«Золотое сечение» Учебно – исследовательская работа на тему:

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 3
г. Красноармейска Саратовской области»
Учебно – исследовательская работа
на тему:
«Золотое сечение»
Работу выполнила:
Землянскова Анастасия,
учащаяся 10 «А» класса.
Руководитель:
Усачева М.Е. ,
учитель математики.
2013 – 2014 учебный год
Содержание
Введение……………………………………………………………………..3 стр.
История “золотого сечения”..............................................................4-5 стр.
Золотое сечение в математике.............................................................6 стр.
3.“Золотое сечение” в архитектуре.......................................................7-8 стр.
4. Музыка и золотое сечение....................................................................8 стр.
5.“Золотое сечение” в строении человеческого тела..........................8-10 стр.
6. Золотое сечение в живой природе.......................................................10 стр.
7.“Золотое сечение” в живописи..............................................................11 стр.
8.Выводы...............................................................................................11-12 стр.
9.Источники информации.........................................................................12 стр.
Введение
Изучая в школе математику, мы часто слышим, что без знания этой науки никак не обойтись в
современной жизни. Взглянем на странички наших учебников. Где они, эти пропорции, корни,
пирамиды, синусы в окружающей нас действительности?
Где же они прячутся – эти числа и математические закономерности во всём, что нас привлекает? А
что же нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное! Но тогда как же это связано между
собой - красота, гармония и … математика?
Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружили, что за
высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе
«отвечает» принцип «золотого сечения».
Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887...
Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом
сопутствует всему живому. Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху,
форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а
может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип “золотого
сечения”, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и
гармонии. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в
облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется
божественному закону, имя которому — «золотое сечение».
Цель работы: выявить принципы применения «золотого сечения» в различных областях знаний, и
проверить гармонию числовыми закономерностями.
Задачи:
описать геометрический смысл «золотого сечения»;
определить возможные направления применения «золотого сечения» в науке.
 исследовать принципы и возможности практического применения «золотого сечения» в различных
областях искусства;
проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения» в науке;
Исследовать принцип “золотого сечения” в живой природе:
а) в строении тела человека
в) в растениях
Методы исследования: работа с источниками информации, математические расчеты
пропорциональных отношений, сопоставление полученных данных.
1. История “золотого сечения”
“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а
другое - деление отрезка в среднем
и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой
золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.
Иоганн Кеплер.
О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор
создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его,
создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что
Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого
сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо
да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские
мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от
Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его
точного значения.
А что это такое “золотое сечение” или по-другому “золотая пропорция”? Золотое сечение – это
такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится
к большей части, как сама большая часть относится к меньшей и это приблизительно равно 1,62 т.е.
c:b = b:a ; или, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему и это
приблизительно равно 0,62 т.е. a:b = b:c
Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887.
С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении
выражается квадратичной иррациональностью.
Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем
новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон a/b=(a+b)/a
А после продолжительного деления на новые «золотые» прямоугольники мы можем построить
«золотую» спираль.
На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её
гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с природой, и это создавало благодатную почву
для его творчества.
Многие ученые абсолютизировали пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех
явлений природы и искусства.
Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека
– формула золотого сечения.
Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но кроме того ему приписывают и многие
вымышленные свойства.
Принято считать, что объекты, содержащие в себе “золотое сечение” воспринимаются людьми как
наиболее гармоничными.
Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где
вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы
сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно
примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели
“золотое сечение”. Так что же такое “золотое сечение”?..Что это за идеальное, божественное
сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он – мистическая тайна? “Золотое сечение”
– это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная
загадка, его великая тайна.
2. Золотое сечение в математике.
Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все.
Обозначается золотое сечение буквой Ф.
Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.
Числа Фибоначчи.
Что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Джаконда",
подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?
Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским
математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок.
1170 - умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с
достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы "Liber
Abaci" (1202) - трактат об арифметике (индийские цифры) и алгебре (до квадратных уравнений),
"Practica Geometriae" (1220).
После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная
суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой
последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел. 2
Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью
Фибоначчи.
В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из
последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина,
колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не
достигающая его.
Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным
до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо
Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или
золотая пропорция.
Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
В геометрии при построении прямоугольников и прямоугольных треугольников очень нужно
золотое сечение.
3. “Золотое сечение” в архитектуре
Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали
закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекало “золотое
сечение”. Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на
Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и
деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора
продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследователи пришли
к выводу о преобладании в нем ряда “золотого сечения”.
Одним из красивейших произведений древнегреческой
архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).
Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий.
Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей
Аттики, богине Афине-Девственнице. Он красовался на самом высоком пункте афинского акрополя,
там, где перед тем стоял не вполне достроенный храм той же богини, заложенный еще до нашествия.
По окончании персидских войн, в правление Перикла, приступили к сооружению, на месте прежнего
святилища, нового, более обширного и роскошного храма, при чем пущено в ход искусство лучших из
тогдашних художников и употреблены огромные денежные средства. Строителями П. называют
Иктина и Калликрата; первому, по-видимому, принадлежал проект этого здания, а второй заведовал
производством строительных работ. Великий скульптор Фидий и сам Перикл наблюдали за
постройкой, продолжавшейся около десяти лет, с 448 по 438 г. До Р. Хр. На прямоугольной
платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно
было со всех сторон подниматься по трем ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора
величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с
семнадцатью в каждом длинном. Высотой эти колонны были в 11 м, диаметр их разреза в нижнем
конце равнялся 1,8 м. Окруженный этой колоннадой, стоит и посей день.
Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).
4. Музыка и золотое сечение.
Алгеброй можно поверить не только гармонию архитектуры и поэзии, но и гармонию музыки.
Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно
иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту,
которую мы только ощущаем, слушая произведение.
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого
«кульминационного взлета», высшей точки. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре
произведения, обычно она смещена, асимметрична. Изучая произведения Баха, Бетховена, Шопена,
Скрябина можно установить, что во многих из них вершина, или высшая точка находится в точке
золотого сечения.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от
точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер.
5.“Золотое сечение” в строении человеческого тела.
В разные времена и у разных народов эталоны длины частей человека были одинаковыми: они
происходили от человеческого тела. В человеке заложены пропорции, отобранные самой природой.
Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях
линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных
рук.
Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах
13 : 8 = 1, 625.
А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.
Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев
и т.д.
Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных
"золотому сечению". Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем
красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение
"правильные черты лица". У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1,
618:1 или 62 : 38.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из
соотношения “золотого сечения”. Они используют мерки с тела человека, сотворенного по этому
принципу. Если эти пропорции совпадают с формулой “золотого сечения”, то внешность или тело
человека считается идеально сложенными. В строении черт лица человека и в руке, также есть
множество примеров, приближающихся по значению к этой формуле.
Если мы начнем измерять себя, свои пропорции, то увидим что далеки от идеала. Кстати, мальчики
ближе к «золотой» пропорции.
Правильную красоту можно математически просчитать и даже прибегнуть к хирургической
корректировке с целью совершенствования внешности.
В настоящее время стоматология, занимается не только лечением заболеваний полости рта, но и
эстетической медициной.
Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения".
Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное
соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность "золотого сечения"
Вот некоторые примеры соотношений размеров и расстояний между зубами:
Ширина верхнего центрального резца относится к ширине нижнего центрального резца, как 62 : 38,
т.е. 1, 618:1, в соотношении "золотого сечения"
В этой же пропорции находится ширина двух верхних резцов к ширине двух нижних.
Расстояние между премолярами верхней челюсти относится к ширине четырёх верхних резцов, как
62 : 38:
Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это подчинено общему
закону - "золотому сечению".
Вольно или невольно, врач использует эти пропорции при восстановлении коронковой части зуба,
при протезировании или ортодонтических мероприятиях. Лучше, конечно, чтобы врач применял
математическую составляющую в формировании вашей красоты и здоровья.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
 расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618
 расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
 расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
6. Золотое сечение в живой природе.
С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым: чьи-то
умелые руки, доброе сердце, отзывчивый характер, незабываемые радостные деньки, покрытые
ковром спелой ржи поля.… А в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида нередко
упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью.
В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая
организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и
гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.
Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные
отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.
Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию
многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число
оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.
Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других
растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали;
ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно.
Спиралью закручивается ураган.
Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной
спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение
листьев на ветках деревьев подметили давно.
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее
хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если
внимательно посмотреть на яйцо птицы.
7.“Золотое сечение” в живописи.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на
творчестве Леонардо да Винчи.
Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи
математиком, не дерзнет читать мои труды”. Сам термин “золотое сечение” ввел Леонардо да Винчи.
Он говорил о пропорции человеческого тела.
В картине Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр) образ
богатой горожанки. Внутреннюю значительность композиции придает космически-величавый и в то
же время тревожно-отчужденный пейзаж, тающий в холодной дымке. Ее композиция основана на
золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.
Это самая православная картина во всей истории живописи. Написанная почти пять столетий назад,
стала сенсацией XX века, темой газетной шумихи. Миллионные очереди зрителей простаивали
сутками перед зданиями музеев Америки, Японии, Москвы, чтобы в течение нескольких минут
посмотреть на заключенный в бронированную витрину, очень плохо различимый в её искусственной
среде шедевр Леонардо.
Удивительная изменчивость лица молодой женщины. В нём проступает то холодная ирония, то
кокетливое лукавство, то печаль, то душевная ясность, то серьезная сосредоточенность, то доверчивая
открытость. Вся композиция несет в себе пафос господства человека в мире, его центрального
положения во Вселенной.
Нет у великого Сандро Боттичелли картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли
его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в
природе.
8.Выводы.
Проанализировав проявления «золотого сечения» в окружающей нас действительности, а также
научные открытия о существовании «золотой пропорции» в различных областях нашей жизни.
Отмечаем, что:
С расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается
феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория
сложных систем, и даже геология и астрономия;
«Золотое сечение» является основной пропорциональностью мира;
«Золотое сечение» является оптимальным кодом живой природы.
Я убедилась, что все-таки существует связь между математикой и музыкой, между математикой
и архитектурой, между математикой и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству
присуще стремление к стройности, гармонии, соразмерности. Природа совершенна, и у нее есть свои
законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.
Меня поразил тот факт, что даже планеты солнечной системы обращаются вокруг солнца по
орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это
доказали с помощью математики!
Узнала, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется
законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой
симметрии.
Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных
инструментов для познания тайн природы – это математика.
9.Источники информации.
Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.
Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.
Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М.,
1990.
Dubner H., Keller W. "New Fibonacci and Lucas primes," Math. Comp., 68:225 (1999) 417--427, S1--S12.
MR 99c
Proportions in Music //Fibonacci Quarterly vol 2 (1964) pages 219-222
Howat R. Debussy in Proportion : A Musical Analysis
Zeising A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers.
Leipzig, 1854..
Mandelbrot B. The Fractal Gometry of Nature / Benoit B. Mandelbrot.San Francisco : W.H. Freeman, 1982.
Петрович Д. Теоректики пропорций.-М., 1979.