Понятие корня. Свойства корня. Арифметическим корнем n – ой степени из числа а называют неотрицательное число, n – ая степень которого равна a. Из определения арифметического корня n – ой степени следует, что при четном n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно. Например: 4 √−81 – не существует, так как ни одно число в 4-ой степени не даст -81. При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак корня. Например: 3 3 5 5 √−27 = − √27 = −3 √−32 = − √32 = −2 Основные свойства корней (𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒏 ≥ 𝟐, 𝒎 ≥ 𝟐) 𝑛 2𝑘 1. √𝑎𝑛 = √𝑎2𝑘 = |𝑎| – четный показатель корня 𝑛 2. √𝑎𝑛 = 2𝑘+1 √𝑎2𝑘+1 = 𝑎 – нечетный показатель корня 𝑛 𝑘 𝑛𝑘 3. √ √𝑎 = √𝑎 𝑘 𝑛 𝑛 4. ( √𝑎) = √𝑎𝑘 𝑛 𝑛 𝑛 5. √𝑎𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 𝑛 𝑎 √𝑎 6. √ = 𝑛 𝑏 √𝑏 𝑛 𝑛𝑘 𝑛 7. √𝑎𝑚 = √𝑎𝑚𝑘 Для арифметического корня n – ой степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня. Например: 3 3 3 3 3 2 √𝑎 = √23 ∙ √𝑎 = √23 𝑎 = √8𝑎 Таким образом, для того чтобы внести множитель под знак корня n – ой степени, необходимо его возвести в n – ую степень. Запомнить! Под знак корня с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель. Например: 4 4 4 −𝑎3 √3𝑏 = − √(𝑎3 )4 ∙ 3𝑏 = − √3𝑎12 𝑏 Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня. Например: 3 3 3 √27𝑎2 = 3√27 ∙ √𝑎2 = 3 √𝑎2 √5𝑎6 𝑐 = √5 ∙ √𝑎6 ∙ √𝑐 = √5𝑐 ∙ √(𝑎3 )2 = √5𝑐 ∙ |𝑎|3 Примеры 1. Вычислить: 3 1) √−8 4 2) √16 5 1 3) √ 32 5) √363 4 81 4) √ 625 6) √642 4 1 2 ) 25 6 7) √( 12 8) √2254 8 2. Вычислить: 3 5 5 1) √2 ∙ √16 2) 3 4 √54 3) 3 √2 2√48 4) 4 √243 √250 3 4√2 3. Упростите выражение: 3 1) √𝑎6 𝑏 3 𝑐12 4 16𝑥 4 𝑦 16 2) √ ,𝑥 > 0 𝑎8 3) √567𝑘 3 √7𝑘15 5 4𝑚 2 5 𝑛4 4) √ 3 ∶ √ 8𝑚 𝑛 ,𝑘 > 0 Домашнее задание 1. Вычислить: 3 1) √−216 3 5 3) √− 2) √32 27 8 4 81 4) √ 625 2. Вычислить: 3 3 1) √0,008 ∙ 27 2) 3 3 5√17 √24 4) 3) 3 √136 3 4√2 √243 3 √−9 3. Упростите выражение: 3 1) 7 √375𝑛2 √214 𝑞 28 3) 5 4 4) √8𝑥 3 𝑦 5 ∙ √2𝑥𝑦 7 5 8𝑐 2 5 𝑑9 5) √ ∶ √ 3 𝑑 4𝑐 3 √3𝑛14 4 4 2) √115 𝑑10 4 6) √6 − 2√5 ∙ √6 + 2√5 4. Вынесите множитель из-под знака корня: 5 1) √−128𝑎7 4 2) √6𝑎12 𝑏 6 3 3) √64𝑥 3 𝑧 6 6 4) √𝑎12 𝑏18
