Задания для школьной олимпиады по математике V класс

Задания для школьной олимпиады по математике
V класс
1.
Определите значение выражения
5074: (15*35 +27*15+ 62*18 +33*87-149*33).
Ответ. Значение выражения не существует.
2.Какие цифры надо поставить вместо букв в данном примере?
abcd
abc
+ ab
a
______
4321
Ответ. 3 8 9 1
389
38
3
______
4321
3. На левой чашке весов лежат апельсин, 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, а на правой
чашке- 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы в равновесии. Что легче: яблоко или груша ? Ответ
объясните.
Ответ. Уберем с каждой чашки по 3 яблока и 3 груши. Получится, что апельсин и 3 яблока весят
столько же, сколько две груши. Понятно, что груша тяжелее яблока.
4. Прямоугольный параллелепипед имеет длину 1250 см, ширину 720см, высоту 8о см. Е разделили
на кубические дециметры и разместили их в один ряд, поставив вплотную друг к другу. Какой длины
получился ряд? Ответ. 7200м.
6 к ласс.
 x  y  150
ÍÎÄ ( õ; ó)  30
1. Решите в натуральных числах систему уравнений. 
Ответ (30;120), (60;90), (90;60),(120;30).
2.Определить значение выражения
1
1
1
1


   
.
1 2 2  3 3  4
19  20
19
Ответ.
20
3.Отметьте на плоскости 9 точек так, чтобы можно было построить 6 (не больше и не меньше )
различных квадратов с вершинами в этих точках. (Квадраты, одинаковые по размеру , но по разному
расположенные, считаются различными.)
Ответ.
4.Из молока , жирность которого 5%, готовят творог жирностью 15,5%, при этом получается сыворотка
жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1т молока?
Ответ. 300 кг.
5.Витя, Петя, Юра и Сережа заняли на олимпиаде первые четыре места. На вопрос , кто какое место занял ,
были даны ответы:
А) Петя-2-е, Витя-3-е;
Б) Сережа -2-е, Петя-1-е;
В) Юра-2-е, Витя-4-е.
Оказалось, что в каждом ответе одна часть верна, а другая – нет. Кто какое место занял в действительности?
Ответ. Петя-1-е, Юра-2-е;
Витя-3-е; Сережа-4-е.
7 класс.
1. Определить значение выражения
1
1
1
1


   
.
1 2 2  3 3  4
19  20
Ответ.
19
20
2. Решите уравнение, принимая за неизвестное х. При каких значениях а это уравнение имеет корни?
àõ  2 3  àõ
7

. Ответ . При а  0 ,
.
2
4
3a
2.Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004.
Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n=
=n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n  166. Проверка показывает, что n=166 не
подходит, а n=167-подходит.
3.Натуральные числа a u b таковы, что 19а=99b. Докажите , что a+b делится на 118.
Ответ. Заметим , что 118b= 19b+99b, откуда 118b= 19(a+b) . Число 19-простое, то есть 118 не кратно 19,
следовательно, 19 и 118- взаимно простые, то есть a+b делится на 118.
4. Имеется 11 арбузов и весы , с помощью которых можно за одно взвешивание определить общий вес
любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес арбузов?
Ответ. Пронумеруем арбузы от 1 до 11. взвешивать будем в таком порядке:
1) 1+2+3;
2) 4+5+6; 3)7+8+9;
4) 7+!0+11 5) 8+10+11; 6) 9+10+11.
Сложив результаты трех последних взвешиваний, получим общий вес арбузов 7,8,9 плюс утроенный
общий вес арбузов 10 11. Разделив на 3 разность между этой суммой и общим весом арбузов 7,8 и9,
получим общий вес арбузов 10 и11. Прибавив к нему первых трех взвешиваний , получим общий вес
всех арбузов.
5.Разрежьте равнобедренный треугольник на такие две части , чтобы из них можно было сложить :а)
прямоугольник б) параллелограмм.
8 класс.
1.Упростит выражение
2x 2
a
x


. Ответ 1. если а  x
2
2
x a xa ax
На лужайке паслось 90 телят и гусей. Всего у них было 256 ног. Сколько было гусей и сколько
было телят? Ответ. 38 телят и 52 гуся.
3.Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине O . Точки М и N- середины отрезков АС и ВD .
Докажите , что точка О – середина отрезка МN.
2.
4.Построить график функции
у=
2x  1 .
5.Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004.
Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n=
=n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n  166. Проверка показывает, что n=166 не
подходит, а n=167-подходит.
9 класс.
1.Постройте график функции у = x2 - 4
x +3.
2.Упростить выражение
a
 b

 2
2
 a  ab ab  b
a
 ab
 .

 ab b
3.Найти все пары целых чисел х,у удовлетворяющих системе неравенств:
2 x 2  2 y 2  24 x  28 y  167  0,


15
x  2 y  .
2

Решение.
Записав первое неравенство системы в виде:
2 (х+6)2+2 (у-7)2<3,
получаем, что оно выполняется в трех случаях:
 x  6  0,

 y  7  0,
 x  6  1,

 y  7  0,
 x  6  0,

 y  7  1.
 x  6,

 y  7,
 x  5,
 x  7 ,
или 

 y  7,
 y  7,
 x  6,
 x  6
или 

 y  8,
 y  6.
Подставляя решения систем во второе неравенство, получим два решения исходной системы (-6;6) и (-7;7).
Ответ: (-6;6) и (-7;7).
4.Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Лучи АО и ВС пересекаются в точке
М, Ом=9 , ВМ= 18. Найдите площадь треугольника ВОМ.
Ответ. 48,6. №2, 2001
5. Когда Коля был молод, как Оля, много лет было тетушке Поле- годом меньше , чем Коле теперь
вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли ? Ответ. 1 год.
10 класс.
1.Решить уравнение
x 2  3x  2  x 2  5 x  6  2.
Ответ. 1 или 3.
1. Решить систему уравнений
10 x 2  5 y 2  2 xy  38 x  6 y  41  0
 2
3x  2 y 2  5 xy  17 x  6 y  20  0.
Ответ. х=2, у=1.
3.Диогонали трапеции АВCD пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если длины
оснований трапеции АВ=30 см, DC=24см, боковой стороны AD=3 см и угол DAB равен 600.
Ответ.10 3 см2.
4.Построить график функции
2
У= x
Ответ.+
 6x  9 + x 2  6x  9 .
5..Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004.
Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n=
=n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n  166. Проверка показывает, что n=166 не
подходит, а n=167-подходит.
11 класс.
1.
Определить все пары чисел (х;У) , удовлетворяющих уравнению
6tg
x
2


 3 y 2  12 y  15. Ответ.   2n;2 n  Z .
x
2

1  tg 2
2
2.Решить неравенство
 3  31 23  1
 x  2. Ответ.  3;2  
;
  2;5 .
2 
15  2 x  x 2
 2
x2  4
1
3 
9
3.Вычислить
0 , 5
 4 27
3
1
4
 4  0,0016 0,5 .
4. Вне треугольника АВС взяты точки М и N так,
что MAB
 NAC  90 0 , MA  AB, NA  AC, O  öåíòð описанной около  MAN
BF
окружности, F- точка пересечения ОА и ВС. Найти
, если АС=1, АВ= 2 . Ответ 2.
FC
5. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Разложите вектор
Ответ. AA1 = DA1
 DB1  DC1 .
AA1 по векторам DA1 , DC1 , DB1 .