Лаба 4x

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики
Кафедра информатики и прикладной математики
Физика
Лабораторная работа №4
«Изучение свойств идеального газа на примере воздуха».
Выполнил Кудряшов А.А.
Группа 1121
Проверила Курашова С.А.
2011 г.
Цель работы
1. Экспериментальная проверка уравнения состояния идеального газа.
2. Определение температуры абсолютного нуля по шкале Цельсия.
Теоретические основы лабораторной работы
Часть 1
В том случае, когда состояние газа далеко от области фазовых превращений, его с достаточной
степенью точности можно считать идеальным. В качестве идеального газа в работе используется
обычный атмосферный воздух.
Для произвольной массы m идеального газа справедливо следующее уравнение состояния
pV 
m
RT

,
(1)
где p – давление, V – объем,  – молярная масса, T – абсолютная температура газа, R –
универсальная газовая постоянная. Это уравнение называется уравнением МенделееваКлапейрона.
Нулю абсолютной температуры по шкале Цельсия соответствует значение t  273,15 C .
Градусы шкалы абсолютной температуры (шкалы Кельвина) и шкалы Цельсия выбраны
одинаковыми. Поэтому значение абсолютной температуры связано со значением температуры по
шкале Цельсия формулой
(2)
T  Ê   t  C  t  t  C  273,15 C .
Пусть исследуемый газ находиться в цилиндре с контролируемым рабочим объемом Vц (см.
рис. 1), масса газа в цилиндре mц. Температура t цилиндра с газом
поддерживается постоянной.
Датчик давления, работающий при комнатной температуре,
вынесен за пределы рабочего объема и соединен с последним
трубкой. Объем газа Vх в этой трубке мал по сравнению с рабочим
объемом Vц. В соединительной трубке также находится газ массой
mx при некоторой неизвестной средней температуре tх , лежащей в
интервале от комнатной температуры до температуры t рабочего
объема.
В работе измеряется зависимость давления p газа от величины
рабочего объема Vц при разных значениях температуры t (от 20°С до
60°С). Выведем соотношение, связывающее рабочий объем и
давление газа при постоянной температуре. Общее количество
Рис.1.
вещества в рабочем объеме и соединительной трубке
   mö  mx  
(3)
в течение всей работы остается постоянным. Выражая массы газа mц и mx из уравнения состояния
(1), абсолютную температуру из соотношения (2), и подставляя найденные выражения в формулу
(3), получим

pVö
pVx

.
R  t  t  R  tx  t 
(4)
Из этого уравнения найдем искомое соотношение:
Vö 
R  t  t  Vx  t  t 
.

p
 tx  t 
(5)
Из-за перераспределения газа между объемами Vц и Vх в процессе измерения температура tх может
изменяться. Однако, при относительно малой величине Vх изменением второго слагаемого в
формуле (5) можно пренебречь. Поэтому при неизменной температуре t зависимость рабочего
объема Vц от обратного давления 1 p является линейной. Угловой коэффициент этой зависимости
K  R  t  t  ,
(6)
в свою очередь, линейно меняется с температурой и обращается в нуль при абсолютном нуле
температур. Таким образом, изучение зависимости K  t  позволяет найти значение t* .
Рассмотрим другой, более точный, способ определения величины t* . Если для разных
температур измерение давления проводить при одних и тех же значениях объема, то полученные
данные легко преобразуются в зависимость давления от температуры при разных значениях
рабочего объема газа. Теоретический вид этой зависимости получается из уравнения (5):
p
где x  t  
R  t  t 
Vö 1  x  t  

R  t  t 
Vö
1  x t  ,
(7)
Vx  t  t 
. Справедливость приближенного равенства в формуле (7) обусловлена тем,
Vö  tx  t 
что значения функции x  t  малы, и для малых x можно воспользоваться формулой приближенных
вычислений:
1  x 

 1  x .
(8)
В данном случае   1.
При неизменном рабочем объеме Vц график зависимости давления от температуры в
соответствии с формулой (7) должен быть почти линейным. Причем давление должно обращаться
в нуль как раз при t  t . Из-за малости функции x  t  отклонение от линейности невелико, и при
измерении в ограниченном диапазоне температур практически незаметно. Но, если искать
значение t с помощью линейной аппроксимации экспериментальной зависимости p  t  ,
продолжая (экстраполируя) аппроксимирующую прямую до пересечения с осью t, то найденное
приближенное значение
t* окажется систематически
смещенным влево относительно истинного значения t* (см.
рис. 2). Причина этого в следующем. Величина x  t  в первом
приближении линейно растущая функция температуры, с
учетом этого график функции p  t  из уравнения (7)
Рис.2. Жирная линия –
экстраполяция реальной
параболической зависимости,
обычная линия – экстраполяция с
помощью аппроксимирующей
прямой, проведенной по точкам в
рабочем диапазоне температур.
оказывается параболой выпуклой вверх. Аппроксимирующая
прямая, параметры которой найдены по точкам в рабочем
диапазоне температур, идет практически по касательной к
этому графику, «промахиваясь» мимо истинного значения t ,
как изображено на рис. 1. Однако, можно показать, что
разность t  t при малом отношении Vx Vö должна убывать
обратно пропорционально объему Vц. Поэтому, правильное
значение температуры абсолютного нуля может быть найдено
как предел:
t  lim t ,
(9)
1 Vö 0
линейным продолжением графика зависимости t от 1 Vö к значению 1 Vö  0 .
Обработка Результатов
1. Перевести показания лабораторного барометра из миллиметров ртутного столба в
паскали:
pатм = 133,322 * p0 =133,322 * 761,8 / 1000 кПа = 101,47 кПа
2,3.
Таблица 1.1
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Vц, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Δp1,кПа
46
20,5
4,3
-8,2
-18,4
-26,9
-33,1
-38,8
Δp2,кПа
46
20,1
4,2
-8,6
-19
-26,9
-33,2
-39
p, кПа
147,47
121,77
105,72
93,07
82,77
74,57
68,32
62,57
1/p,кПа^-1
0,0068
0,0082
0,0095
0,0107
0,0121
0,0134
0,0146
0,016
Таблица 1.1
140
120
100
80
Vц, мл
60
40
20
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Таблица 1.2
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Vц, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Δp1,кПа
50
26,3
9,8
-4,2
-13,2
-22,2
-29
-35,2
Δp2,кПа
50
27
8,6
-4,8
-14,1
-22,2
-29,5
-35,3
p, кПа
151,47
128,12
110,67
96,97
87,82
79,27
73,72
66,22
1/p,кПа^-1
0,0066
0,0078
0,009
0,0103
0,0114
0,0126
0,0138
0,0151
Таблица 1.2
140
120
100
80
Vц, мл
60
40
20
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Таблица 1.3
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Vц, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Δp1,кПа
50,6
28,8
11
-0,8
-10,9
-19,6
-25,3
-31,2
Δp2,кПа
50,6
28,8
10,8
-0,8
-11,2
-19,7
-25,5
-31,5
p,кПа
152,07
130,27
112,37
100,67
90,42
81,82
76,07
70,12
1/p,кПа^-1
0,0066
0,0077
0,0089
0,0099
0,0111
0,0122
0,0131
0,0143
Таблица 1.3
140
120
100
80
Vц, мл
60
40
20
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Таблица 1.4
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Vц, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Δp1,кПа
57,3
34,3
15,4
3,5
-7
-16
-25,3
-30,3
Δp2,кПа
57,5
33,9
15
3,8
-6,7
-15,8
-25
-30,2
p,кПа
158,87
135,57
116,67
105,12
94,62
85,57
76,32
71,22
1/p,кПа^-1
0,0063
0,0074
0,0086
0,0095
0,0106
0,0117
0,0131
0,014
Таблица 1.4
140
120
100
80
60
40
20
0
Vц, мл
0
0.005
0.01
0.015
Таблица 1.5
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Vц, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Δp1,кПа
61,4
38,9
20,2
7
-3,7
-13,6
-21,4
-26,8
Δp2,кПа
61,6
39
20,2
7,2
-3,6
-13,5
-21,2
-26,7
p,кПа
162,97
140,42
121,67
108,57
97,82
87,92
80,17
74,72
1/p,кПа^-1
0,0061
0,0071
0,0082
0,0092
0,0102
0,0114
0,0125
0,0134
Таблица 1.5
140
120
100
80
Vц, мл
60
40
20
0
0
0.005
0.01
0.015
4,5) Используя формулу наименьших квадратов (запрограммированный вариант):
Таблица 2.1
№ п.п.
1
t, °С
16,8
К, Дж
8169,28
2
29,5
8682,28
3
41
9024,27
4
48
9137,79
5
57,2
9464,61
Таблица 2.1
9600
9400
9200
9000
8800
8600
8400
8200
8000
К, Дж
0
20
40
60
80
Уравнение аппроксимирующей прямой:
K = 31,003 * t + 7702, 01;
Таким образом:
A = 31,00;
C = 7702,01;
Следовательно
C
t   = - 7702,01/31,003 = - 248,4 °С
A
 A   C 
t  t 
 
 .
 A   C 
2
№ п.п.
1
2
3
4
5
К, Дж
8169,28
8682,28
9024,27
9137,79
9464,61
Kапр (Yi)
8222,87
8616,61
8973,15
9190,18
9475,41
2
t (Xi)
16,8
29,5
41
48
57,2
to
-248,4
D
998,08
Таким образом: to = -248.4 ± 16.7 °С ;
E
4219,309
Xср
38,5
ΔA
2,06
ΔC
84,32
Δto
-16,7
Таблица 2.2
Vo, мл
t,C
16,8
29,5
41
48
57,2
1/Vo, мл^-1
tср, С
50
60
70
80
147,47 121,77
105,72
151,47 128,12
110,67
152,07 130,27
112,37
158,87 135,57
116,67
162,97 140,42
121,67
0,02 0,016667 0,014286
-324,8
-300,3
-260,5
90
p, кПа
93,07
82,77
96,97
87,82
100,67
90,42
105,12
94,62
108,57
97,82
0,0125 0,011111
-220,5
-206,8
p(V) при t = 50
110
105
100
p, кПа
95
90
0
20
40
60
p(V) при t = 80
110
105
100
p, кПа
95
90
0
20
40
60
80
100
74,57
79,27
81,82
85,57
87,92
0,01
-209,4
110
120
68,32
62,57
73,72
66,22
76,07
70,12
76,32
71,22
80,17
74,72
0,009091 0,008333
-208,4
-191,9
Vo, мл
50
60
70
80
90
100
110
120
Уравнение аппроксимирующей p(t)
p = 0,37 * t +120,16
p = 0,38 * t + 114,1
p = 0,38 * t + 99
p = 0,39 * t + 86
p = 0,37 * t + 76,5
p = 0,33 * t + 69,1
p = 0,31 * t + 64,6
p = 0,3 * t + 57,58
c
120,16
114,1
99
86
76,5
69,1
64,6
57,58
a
0,37
0,38
0,38
0,39
0,37
0,33
0,31
0,3
tср
-324,757
-300,263
-260,526
-220,513
-206,757
-209,394
-208,387
-191,933
8)
tср(V)
0
-50 0
50
100
150
-100
-150
-200
tср
-250
-300
-350
Уравнение аппроксимирующей: t = 1.1*V - 301.1;
Вывод:
Значение абсолютного нуля, полученное в процессе выполнения лабораторной, с учетом
погрешность, минимально отличается от табличного значения, причиной чего, как я считаю,
являются несколько факторов: Погрешность измерительных приборов, которая не учитывалась в
процессе расчетов, небольшие ошибки и неточности при измерении, не изолированность воды,
как следствие – её остывание в процессе опыта, накапливающаяся погрешность за счет неявного
округления или преобразования типов при программном решении лабораторной работы,
возможная ошибка при занесении аргументов в программу для вычисления.