vector

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСТОЧНИКОВ
АНОМАЛИЙ НА ОСНОВЕ ТРАНСФОРМАЦИИ ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
ПОЛЕЙ В СИСТЕМЕ «VECTOR»
Простолупов Г.В., Щербинина Г.П.
Горный институт Уральского отделения РАН, 614007, Пермь, ул. Сибирская, 78А
В системе «VECTOR», разработанной в Горном институте Уральского
отделения РАН под руководством проф. В.М. Новоселицкого, реализован один из
методов трансформации потенциальных полей, основанный на расчете и
осреднении горизонтальных градиентов, важным свойством которых является
высокая чувствительность к источникам поля.
В системе используется разделение поля на локальную и региональную
составляющие, прием применявшийся еще в методах Тихонова-Буланже,
Гриффина, Саксова-Нигарда и др. Однако, современный уровень развития ЭВМ, с
учетом описанных ниже приемов, позволяет сделать давно используемую на
практике процедуру «осреднения в окнах» более эффективным инструментом в
руках интерпретатора. Отличие в нашем случае, кроме всего прочего,
заключается в осреднении величины именно горизонтального градиента с учетом
направления вектора, а не значений Vz в точках наблюдений. На ряде
экспериментов показано преимущество осреднения горизонтальных градиентов
описанным в статье способом по сравнению с осреднением в скользящих окнах
значений силы тяжести Vz, измеренных на гравиметрических профилях [1]. Это
проявляется в более эффективном разделении источников поля, что связано с
подавлением помех на этапе вычисления градиентов, возможностью оптимизации
сети векторов и, главное, более высокой чувствительностью горизонтальных
градиентов к изменению морфологии поля. Так как при трансформациях
происходит осреднение градиентов с учетом их векторной природы, такая
процедура носит название «векторное сканирование».
Горизонтальные градиенты вычисляются в центрах треугольников,
вершинами которых являются пункты наблюдений гравитационного поля.
Пусть задан треугольник с координатами вершин: (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),
(x3,y3,z3), в которых измерены значения гравитационного поля Vz1, Vz2, Vz3.
Градиенты Vzx, Vzy относим к центру (x, y, z) треугольника и принимаем
неизменными в его пределах. Значения градиентов можно определить из системы
уравнений
Vz1  Vz  Vzx ( x1  x )  Vzy ( y1  y )
Vz 2  Vz  Vzx ( x2  x )  Vzy ( y 2  y )
Vz 3  Vz  Vzx ( x3  x )  Vzy ( y3  y )
где Vz – вспомогательное значение в центре (x, y, z) треугольника.
Решив систему, получим
(V  Vz1 )( y 2  y1 )  (Vz 2  Vz1 )( y3  y1 )
Vzx  z 3
( x1  x2 )( y3  y1 )  ( x1  x3 )( y 2  y1 )
(V  Vz1 )( x2  x1 )  (Vz 2  Vz1 )( x3  x1 )
Vzy  z 3
( y1  y 2 )( x3  x1 )  ( y1  y 3 )( x2  x1 )
(1)
(2)
Размеры
треугольников
определяются
расстоянием
между
гравиметрическими профилями, как правило высота треугольника соответствует
этому расстоянию. Треугольники многократно взаимно перекрываются. В случае
значительного количества треугольников на единицу площади (это количество
зависит от геометрии профилей) число горизонтальных градиентов становится
избыточным и осредняется исходя из соображений регулярности сети векторов
для дальнейшей обработки. В этом случае происходит исправление
нерегулярности сети гравиметрических пунктов, где долгое время было принято
соотношение расстояния между пунктами наблюдений и профилями 1:5. В
результате получаем более регулярную сеть, попутно происходит подавление
случайных ошибок измерений, происходящее как на этапе триангуляции, так и
при осреднении. Каждый вектор является функцией как минимум трех
измеренных значений поля силы тяжести, а в случае избыточной сети
треугольников – опирается на еще большее число измеренных значений. Надо
отметить, что при таком расчете градиентов происходит сглаживание
высокочастотной составляющей поля, обладающей размерами меньшими чем
горизонтальные размеры треугольника, и относящейся в основном к источникам в
верхней части разреза.
Полученные массивы компонент векторов градиента V zx ,V zy подвергаются
процедуре осреднения в скользящих окнах различных размеров, в результате чего
поле подразделяется на локальную и фоновую составляющие. Определяются
также разностные составляющие по паре окон различных размеров. Например,
для Vzx:


Vzxлок  Vzx  Vzxфон ,
(3)
Vzxфон 
1
n
V
zx

(4)
Vzxразн (k1 , k2 )  Vzxлок (k2 )  Vzxлок (k1 )  Vzxфон (k1 )  Vzxфон (k 2 ) , при (k1 
k2), (5)
где k
–
коэффициент
трансформации,
являющийся
коэффициентом
S
пропорциональности между размером окна осреднения и размером
изучаемой площади S,  - объединяющая n векторов квадратная область
(минимальный размер окна должен быть не меньше расстояния между
профилями). Значения k изменяются от 0 до 1. К примеру, при k=1 площадь окна
осреднения  равна площади S с измеренными значениями поля, при k=0.5 –
четверти площади S и т.д.
Следующий
шаг
интегрирование
(восстановление)
массива
трансформированных значений Vz, т.е. локальных и разностных составляющих
при различных окнах осреднения, что делается для картопостроения и
визуализации поля в виде трехмерной диаграммы в аномалиях силы тяжести с
целью удобства содержательной интерпретации трансформант. Карты и
трехмерные диаграммы поля трансформант V zx ,V zy также включаются в
содержательную интерпретацию.


О привязке трансформант по глубине. С увеличением размеров
сканирующего окна происходит увеличение глубины «зондирования», то есть
увеличивается эффективная мощность изучаемого слоя. Это позволяет
предположить, что локальная составляющая поля отражает строение верхней
части разреза - от земной поверхности до некоторой эффективной глубины hэф(i),
определяемой коэффициентом трансформации ki. При увеличении коэффициента
трансформации ki+1, эффективная глубина (глубина «зондирования») также
увеличится и станет равной hэф(i+1). Тогда разность двух трансформант или
разностную составляющую поля градиентов, определяемую формулой (5), можно
считать отражением строения «пачки пород» на глубине от hэф(i) до hэф(i+1). Под
«пачкой пород» понимается некоторый квазигоризонтальный слой, заключающий
в себе совокупность источников поля, например, точечных. В результате
получаем разностную карту восстановленного поля, определяемую двумя
коэффициентами трансформации и двумя соответствующими эффективными
глубинами.
Может быть установлена определенная связь размеров окна осреднения с
глубиной залегания точечных источников поля. При большем размере окна
осреднения, локальная составляющая содержит эффекты более глубоких
источников поля, при малом размере окна влияние глубоких источников
отфильтровывается, их влияние в значительной степени остается в фоновой
составляющей поля. Рассматривая простые модельные классы источников
несложно вывести эмпирическую зависимость между шириной окна осреднения и
глубиной залегания источников. В частности, для материальной точки (шара)
такая зависимость выглядит так
h  0.33k S ,
(6)
где h – глубина материальной точки. Произведение k S по сути отражает
размеры окна сканирования, значение 0.33 – эмпирический коэффициент связи
ширины аномалии с глубиной точечного источника. Глубины источников,
определенные таким образом, принято называть «эффективными». Нет
препятствий для расчета зависимости эффективной глубины от размеров окна для
тел любой другой формы, больше подходящих для конкретного геологического
разреза.
Рассчитав серию разностных карт восстановленного поля таким образом,
чтобы больший коэффициент трансформации одной совпадал с меньшим
коэффициентом трансформации другой, и проведя их интерполяцию в
пространстве, получим объемное распределение трансформант или трехмерную
разностную диаграмму. По вертикальной шкале такой диаграммы откладывается
коэффициент трансформации k, или рассчитанные по формуле (6) эффективные
глубины. Рассчитанная изложенным путем диаграмма отражает как бы объемное
распределение плотности горных пород, пусть и в размерности трансформанты Vz
(в рамках модели). С определенными оговорками ее можно назвать
«квазиплотностной» моделью среды.
Результатом обработки или материалом для дальнейшего геологического
истолкования являются: карты трансформированных горизонтальных градиентов
поля силы тяжести, отражающие слои с различными эффективными глубинами
(графическое изображение векторов в виде множества «стрелок»); карты и
трехмерные диаграммы значений поля силы тяжести, восстановленного
(интегрированием) из трансформант горизонтальных градиентов; карты и
трехмерные диаграммы модулей горизонтальных градиентов. Наиболее
информативными являются разностные карты и разностные трехмерные
диаграммы, которые позволяют определить плановое положение и эффективные
глубины источников аномалий; оценить относительные размеры источников;
выяснить их взаимное расположение [2].
О физическом смысле трансформаций. При трансформациях используются
фундаментальные свойства потенциального поля для класса точечных
источников. Речь, в частности, идет о таком свойстве поля в выбранном
модельном классе, как прямая зависимость между шириной аномалии и глубиной
источника. Приведение в строгое соответствие таких параметров как глубина
залегания источников поля и коэффициента трансформации векторов (величины
окна), а также все сказанное выше, позволяет прийти к следующему выводу,
способствующему пониманию сущности результирующих диаграмм поля: сложно
распределенные в пространстве трехмерной диаграммы аномалии (их центры)
совпадают со множеством точечных источников модели среды, создающих поле
тождественное наблюденному. Это касается и разностных карт, поскольку
трехмерная диаграмма – суть разностные карты, в определенном порядке
интерполированные в пространстве. Таким образом, поле разностной карты, в
свою очередь, соответствует гравитационному эффекту на поверхности
наблюдений (поверхности Земли) от модели среды, заданной точечными
источниками и ограниченной горизонтальным слоем, определенным парой
эффективных глубин. При разработке метода VECTOR просчитано немало
примеров трансформации поля моделей точечных источников и их локализации в
пространстве, подтверждающих эти положения (один из таких примеров
приведен ниже). Все это учитывается при содержательной интерпретации
трансформант.
Характеристикой
данного
метода
обработки
a
гравитационного (в частности)
поля
является
возможность
получать
начальные
представления
об
объемном
плотностном строении недр без
привлечения
какой-либо
априорной
геологической
б
информации. В программу в
качестве
исходных
данных
закладываются лишь координаты
пункта наблюдений и измеренное
в нем значение потенциального
поля. После получения картины
распределения
аномалий
(источников) в пространстве,
происходит
сопоставление
полученных
трансформант
с
геологическими данными (если
таковые есть в наличии). Такая
в
качественно-количественная
информация полезна для лучшего
понимания геологии изучаемого
района. Различная амплитуда
(интенсивность) аномалий на
трехмерной диаграмме позволяет
оценить
плотностные
характеристики соответствующих
им
источников.
Взаимное
расположение аномалий, или, как
мы
выяснили
источников,
принимает самые разнообразные
Рис.1. Пример разделения источников
формы,
и
как
показывает
магнитного поля
практика, отражает особенности и
закономерности
плотностного
а – модель источников магнитного поля, б – эффект от
источников на поверхности модели (как бы поверхности
строения геологического разреза
Земли), в – разделение источников на трехмерной
территории.
разностной диаграмме магнитного поля
Конечно,
условные
трансформации
не
могут
претендовать на единственное и
устойчивое решение обратной задачи гравиметрии (магнитометрии), однако в
рамках принятой модели могут помочь при решении некоторых геологических
задач. Возражение, что не всегда геологическая среда может быть задана
множеством точечных источников, справедливо, но и такая формальная модель
полезна, что будет показано в разделе практического применения метода.
Рассмотрим пример эффективности предложенного метода при разделении
эффектов от двух источников, расположенных друг под другом. В общем случае,
было бы неправильно говорить о том, что такие эффекты всегда можно разделить
с помощью процедуры «векторного сканирования». Многое здесь зависит от
расстояния между источниками. Модель, состоит из двух изометричных
косонамагниченных источников, залегающих на глубине 200 и 500 м (рис.1а).
Намагниченность нижнего несколько больше, чем верхнего. Магнитный эффект,
создаваемый ими на земной поверхности показан на рис.1б. По этой карте нельзя
сделать вывод о наличии двух источников, создавших аномалию. В результате
расчета 9-ти разностных трансформант и построения на их основе разностной
трехмерной диаграммы, эффекты как от верхнего, так и от нижнего источников
локализовались на различных уровнях (рис.1в). Аномалии локализовались при тех
значениях коэффициента трансформации, которые отвечают глубинам порядка
200 и 500 м. Заметим, что подобное разделение стандартными методами
осреднения – невозможно.
Резюмируя, можно отметить, что трансформация горизонтальных
градиентов позволяет повысить чувствительность известного метода осреднения в
окнах, что в комплексе с описанным приемом послойного выделения эффектов
поля дает возможность проводить более детальное разделение и локализацию
источников поля как в плане так и по глубине. Тригональные построения на
системах профильных съемок с процедурой осреднения позволяют получать
устойчивое вычисление полных горизонтальных градиентов силы тяжести.
Основным результатом обработки являются разностные карты и
трехмерные разностные диаграммы поля. При этом, необходимо помнить, что
поле разностной карты или трехмерной диаграммы не является внутренним полем
изучаемой среды или продолжением в нижнее полупространство. Поле
разностной карты с эффективными глубинами h1 и h2, как и поле горизонтального
слоя трехмерной диаграммы, ограниченного эффективными глубинами h1 и h2,
рассматривается как гравитационное влияние слоя модели среды с теми же
глубинами на поверхность наблюдений (Земную поверхность). Сумма всех
разностных трансформант или слоев трехмерной диаграммы равна исходному
полю, т.е. полю введенному в обработку. Привязка по глубине разностных
трансформант основана на модели точечных источников, что допускает
следующую интерпретацию: центры аномалий на трехмерных трансформантах
могут рассматриваться как множество точечных источников гипотетической
модели среды, суммарное поле от которой предполагается равным исходному.
Такой подход наиболее применим к задачам рудного типа, однако как показала
практика, метод может быть использован и при решении ряда структурных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Простолупов Г.В., Новоселицкий В.М., Конешов В.Н., Щербинина Г.П.
Об интерпретации гравитационного и магнитного полей на основе
трансформации горизонтальных градиентов в системе ”VECTOR”/ Физика Земли.
2006. №6. С.90-96.
2. Novoselitskiy, V.; Bitchkov S.; Prostoloupov, G.; Scherbinina, G.; Tchadaev
, M. The computer-based system ”VECTOR” as a tool for detection and localization of
both gravity and magnetic field sources and its applications at geological interpretation//
Abstracts of Contributions of the EGS-AGU-EUG Joint Assembly, France, Nice, 2003,
vol.5, №01497.