ФГБОУ ВПО «Донской государственный технически университет» Заочная форма обучения Студент ______________ Адрес______________________ Группа_______________ Шифр______________________ (номер зачетной книжки) Контрольная работа №___ по физике за ______ курс Ростов-на-Дону 2023 Контрольная работа Вариант 8 1.8. Расстояние между двумя длинными параллельными проводниками d=8 см. По проводам в противоположном направлении текут токи силой ток I=10 А каждый. Найти напряженность H магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r1=5 см от одного и r2=6 см от другого провода. Дано Решение Для нахождения напряженности магнитного 𝑑 = 8 см = 0,08 м → 𝐼1 = 𝐼2 = I = 10 А поля Н в указанной точке определим направления → → 𝑟1 = 5 см = 0,05 м векторов индукций Н и Н 1 2 полей, создаваемых 𝑟2 = 6 см = 0,06 м. каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически (по правилу параллелограмма): Найти: Н −? → → → Н = Н1 + Н2 . Силовые линии прямолинейного тока представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной к проводнику. Проведем через точку А и проводник с током окружности. Вектор напряженности является касательной к окружности с центром на проводнике, плоскость которой перпендикулярна проводнику. → → Для определения направления векторов Н1 и Н2 применим правило правой руки: Н Н₁ Н₂ 90⁰ 90⁰ А r₁ r₂ d I₁ → I₂ → Угол между векторами Н1 и Н2 − β. → → Угол между радиус–векторами 𝑟1 и 𝑟2 − 𝛼. Из рисунка 900 + 900 + 𝛽 + 𝛼 = 1800 + 𝛽 + 𝛼 = 3600 , 𝛼 + 𝛽 = 3600 − 1800 = 1800 𝛽 = 1800 − 𝛼 Абсолютное значение напряженности Н найдём параллелограмма по теореме косинусов: Н2 = Н21 + Н22 + 2 Н1 Н2 ⋅ cos𝛽 как диагональ Н = √Н21 + Н22 + 2 Н1 Н2 ⋅ cos𝛽 Заменим β 𝐵 = √Н21 + Н22 + 2 Н1 Н2 ⋅ cos(1800 − 𝛼) cos(1800 − 𝛼) = −cos𝛼 𝐵 = √Н21 + Н22 − 2 Н1 Н2 ⋅ cos𝛼 (1) Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой: 1 𝐼 𝐵= ⋅ , 2𝜋 𝑟 где 𝑟 – расстояние от точки до проводника, I – сила тока. Тогда от двух рассматриваемых проводников магнитные индукции соответственно равны: 1 𝐼 1 𝐼 Н1 = ⋅ , Н2 = ⋅ . 2 𝜋 𝑟1 2 𝜋 𝑟2 Подставляя значения Н1 иН2 в формулу (1) и вынося 𝐼 2𝜋 за знак корня, получим: 1 𝐼 2 1 𝐼 2 1 𝐼 1 𝐼 Н = √( ⋅ ) +( ⋅ ) −2 · ⋅ · ⋅ ⋅ cos𝛼 2 𝜋 𝑟1 2 𝜋 𝑟2 2 𝜋 𝑟1 2 𝜋 𝑟2 𝐼 1 2 1 2 1 1 Н= ⋅ √( ) + ( ) − 2 ⋅ ⋅ ⋅ cos𝛼 2𝜋 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 Из треугольника 𝐼1 , А, 𝐼2 найдем cos𝛼 по теореме косинусов: 𝑑 2 = 𝑟 12 + 𝑟22 − 2 𝑟 1 𝑟2 cos𝛼 . Отсюда 𝑟 12 + 𝑟22 − 𝑑 2 cos 𝛼 = . 2 𝑟1 𝑟2 Подставим в формулу (2) (2) 𝐼 1 2 1 2 1 1 𝑟12 + 𝑟22 − 𝑑 2 √ Н= ⋅ ( ) +( ) −2 ⋅ ⋅ ⋅ 2𝜋 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 2 𝑟1 𝑟2 Упростим 𝐼 1 2 1 2 𝑟12 + 𝑟22 − 𝑑 2 Н= ⋅ √( ) + ( ) − 2𝜋 𝑟1 𝑟2 𝑟12 · 𝑟22 Проверим наименования: 1 2 1 2 м 2 + м2 − м2 1 А √ [Н] = А ⋅ √( ) + ( ) − = А · = м м м2 · м2 м2 м Произведя вычисления, получим 10 1 2 1 2 0, 052 + 0, 062 − 0,082 Н= ⋅ √( ) +( ) − 2 · 3,14 0,05 0,06 0, 052 · 0, 062 Н = 42,46 А/м Ответ: Н = 42,46 А/м. 1.18. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 0,1 м друг от друга. По виткам текут токи I 1= I2=2 А. Найдите магнитную индукцию поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Токи в витках текут в одном направлении. Дано Решение Магнитная индукция поля на оси 𝑅1 = 𝑅2 = R = 4 см= 0,04 м кругового проводника с током 𝑑 = 0,1 м 𝜇0 𝜇𝐼𝑅2 𝐼1 = 𝐼2 = I = 2 А 𝐵= 2(𝑅2 + 𝑎2 )3/2 где 𝑅– радиус кругового витка, 𝑎– расстояние от центра витка до точки, в которой Найти: 𝐵0 −? определяется магнитная индукция; 𝜇 - магнитная проницаемость среды, для воздуха μ=1; 𝝁𝟎 = 𝟒𝝅 ⋅ 𝟏𝟎−𝟕 Гн/м – магнитная постоянная. 𝒅 𝟎, 𝟏 𝒂= = = 𝟎, 𝟎𝟓 м 𝟐 𝟐 Магнитную индукцию поля, в центре этих витков найдем, используя принцип суперпозиции полей. ⃗0=В ⃗ 1+В ⃗2 В ⃗ определим по правилу правой руки: обхватить виток правой Направление В рукой так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в нем, тогда большой палец будет указывать направление линий индукции магнитного поля витка. I₁ O B₂ B₁ I₂ ⃗ 1, В ⃗ 2 − направлены «вправо». В Поскольку величины I, R и r для обоих витков одинаковы, то значение магнитной индукции по абсолютной величине для обоих витков будет равным, т.е. В1 = В2. Результирующее поле 𝝁𝟎 𝑰𝑹𝟐 𝑩𝟎 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = 𝟐В = 𝟐 (𝑹 + 𝒂𝟐 )𝟑/𝟐 Проверим наименования: Вб ⋅ А Вб Гн/м ⋅ А ⋅ м𝟐 Гн ⋅ А ⋅ м А 𝑩𝟎 = 𝟐 = = = 𝟐 = Тл (м + м𝟐 )𝟑/𝟐 м𝟑 м𝟐 м Произведя вычисления, получим 𝟒𝝅 ⋅ 𝟏𝟎−𝟕 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟎, 𝟎𝟒𝟐 𝑩𝟎 = = 𝟏, 𝟓𝟑 ⋅ 𝟏𝟎−𝟓 Тл (𝟎, 𝟎𝟒𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 )𝟑/𝟐 Ответ: 𝑩𝟎 =𝟏, 𝟓𝟑 ⋅ 𝟏𝟎−𝟓 Тл = 𝟏𝟓, 𝟑 мТл 1.28. Альфа-частица со скоростью 2Мм/с влетает в магнитное поле с индукцией 1 Тл под углом 30°. Определите радиус витка винтовой линии, которую будет описывать альфа-частица. Дано Решение Мм Представим заданное движение частицы как сумму 𝜐 = 2 = 2 ∙ 106 м/с с двух движений: В = 1 Тл 1) движение со скоростью 𝜐𝛤 в направлении силовых 𝛼 = 300 линий магнитного поля: 𝜐𝛤 = 𝜐 𝑐𝑜𝑠 𝛼 m = 6, 65 ⋅ 10−27 кг 2) движение со скоростью → 𝜐 ⊥ в направлении, 𝑞 = 3,2 ⋅ 10−19 Кл перпендикулярном этим силовым линиям: Найти: 𝑅−? 𝜐⊥ = 𝜐 𝑠𝑖𝑛 𝛼 → → Г ⊥ → → B ⃗, Проекция траектории α-частицы на плоскость, перпендикулярную к 𝐵 представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна: 𝐹л = 𝑞𝜐𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑞𝜐⊥ 𝐵. где В – индукция магнитного поля; – скорость, приобретенная α-частицей в ускоряющем поле; q – заряд α-частицы. Центростремительное ускорение: 𝜐⊥2 𝑎𝑛 = 𝑅 где R – радиус окружности. По второму закону Ньютона: 𝐹 = 𝑚𝑎. Тогда: 𝜐⊥2 𝑞𝜐⊥ 𝐵 = 𝑚 . 𝑅 Выразим радиус: 𝜐⊥ 𝑚𝜐 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑞𝐵 = 𝑚 ⇒ 𝑅 = 𝑅 𝑞𝐵 Проверим наименования: кг · м/с кг · м/с кг · м/с2 ∙ м Н ∙ м [𝑅] = = = = =м Кл · Тл А ∙ с · Н Н Н А∙м Произведя вычисления, получим 6,65 ⋅ 10−27 · 2 ⋅ 106 · sin 300 𝑅= = 0,02 м = 2 см 3,2 ⋅ 10−19 · 1 Ответ: 𝑅 = 0,02 м = 2 см 1.38. Квадратный контур со стороной 20 см, по которому течет ток 20А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Определите работу, совершаемую при повороте контура вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол 180°. Дано: Решение: 𝑎 = 20 см = 0,2 м a) Плоский контур, по которому течет ток, I = 20 А свободно установился в однородном B = 10 мТл = 0,01 Тл магнитном поле 𝜑1 = 0 b) Плоский контур, повернули на угол о 𝜑2 = 180 Найти: 𝐴 = ? n S n B S a b ⃗ иn 𝜑 − угол между В ⃗ Работа внешних сил, по перемещению контура с током в магнитном поле, равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: Авн = 𝐼Ф = 𝐼(Ф2 − Ф1 ) где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 - магнитный поток, пронизывающий контур, после перемещения. Работа внешних сил поля: Авн = А = 𝐼(Ф1 − Ф2 ) Магнитный поток, пронизывающий контур: Ф = В𝑆 cos 𝜑 𝑆 = 𝑎2 А = 𝐼(В𝑎2 cos 𝜑1 − В𝑎2 cos 𝜑2 ) А = 𝐼В𝑎2 (cos 𝜑1 − cos 𝜑2 ) Проверим наименования: Н [А] = А · Тл ∙ м2 = А · ∙ м2 = Н · м = Дж А·м Произведя вычисления, получим А = 20 · 0,01 ∙ 0,22 ∙ (cos 0о − cos 180о ) = 1,6 ∙ 10−2 Дж = 16 мДж Ответ: А = 16 мДж 1.48. Катушка диаметром 10 см, имеющая 500 витков, находится в магнитном поле. Ось катушки параллельна линиям магнитной индукции поля. Чему равно среднее значение ЭДС индукции в катушке, если магнитная индукция поля увеличивается в течение 0,1 с от нуля до 2 Тл? Дано: Решение: D = 10 см= 0,1 м Мгновенное значение ЭДС индукции 𝜀𝑖1 в каждом N = 500 витке определяется основным уравнением t = 0,1 с электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла: ∆Ф В1 = 0 𝜀𝑖 = − В2 = 2 Тл ∆𝑡 В катушке из N витков возникает ЭДС Найти: ⟨𝜀𝑖 ⟩ ? 𝜀𝑖 = −𝑁 ∆Ф ∆𝑡 (1) Изменение магнитного потока ∆Ф = Ф2 − Ф1 Потоки Ф1 и Ф2: Ф1 = 𝐵𝑆 𝑐𝑜𝑠00 = 𝐵𝑆 и Ф2 = 𝐵𝑆 𝑐𝑜𝑠 900 = 0 ∆Ф = 𝐵𝑆 Площадь сечения катушки 𝜋𝐷2 𝑆= 4 Таким образом, среднее значение ЭДС индукции 𝐵𝜋𝐷2 𝑁 < 𝜀𝑖 > = 4𝛥𝑡 Проверим наименования: Тл · м2 Н · м2 Н · м Дж Дж · В Дж · В < 𝜀𝑖 >= = = = = = =В с А·м·с А·с А·с А·с·В Дж Произведя вычисления, получим 2 · 3,14 · 0, 12 · 500 < 𝜀𝑖 >= = 78,5 В 4 · 0,1 Ответ: < 𝜀𝑖 >= 78,5 В 2.8. Уравнение движения точки дано в виде 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡/2). Определите моменты времени, при которых достигается максимальное ускорение точки. Дано: Решение: Формулу скорости получим, взяв первую 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡/2) производную по времени от смещения: Найти: 𝑎𝑚𝑎𝑥 ? 𝑑𝑥 𝑑 𝜐= = (𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡/2)) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = −А ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡/2) · (𝜋𝑡/2)′ 𝜋 𝜐 = −А ⋅ ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡/2) 2 Ускорение точки получим, взяв производную по времени от скорости: 𝑑𝜐 𝑑 𝜋 𝜋 𝑎= = (−А ⋅ ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡/2)) = −А ⋅ ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡/2) · (𝜋𝑡/2)′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2 𝜋 𝜋 𝑎 = −А ⋅ · ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡/2) 2 2 Отсюда максимальное значение ускорения: 𝜋 𝜋 𝜋2 3,142 𝑎𝑚𝑎𝑥 = А ⋅ · = А ⋅ =А⋅ = 2,46 А 2 2 4 4 Ответ: 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 2,46 А 3.8. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,1 Гн и конденсатора ёмкостью 39,5 мкФ. Запишите уравнения зависимости силы тока в контуре и напряжения на конденсаторе от времени, если максимальное значение заряда на конденсаторе равно 3 мкКл. Дано: 𝐿 = 0,1 Гн 𝐶 = 39,5 мкФ = 39,5 · 10−6 Ф 𝑞 = 3 мкКл = 3 · 10−6 Кл Найти: 𝑖 (𝑡) ? 𝑢 (𝑡) ? Решение: Колебательный контур – система, представляющая собой электрическую цепь, содержащую катушку индуктивности и конденсатор. Схема колебательного контура: Запишем уравнение гармонических колебаний заряда 𝑞 = 𝑞 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑚𝑎𝑥 (1) где q – мгновенное значение заряда; 𝑞𝑚𝑎х – амплитуда заряда; – циклическая (круговая) частота; t – время. Круговая частота связана с периодом: 2𝜋 𝜔= 𝑇 Период определим из формулы Томсона: 2𝜋 1 𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶 ⇒ 𝜔 = = 2𝜋√𝐿𝐶 √𝐿𝐶 Ток первая производная от заряда: 𝑑𝑞 𝑖= = (𝑞𝑚 𝑐𝑜𝑠( 𝜔𝑡))′ = −𝑞𝑚 𝜔 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡) 𝑑𝑡 Напряжение в контуре: 𝑞 𝑞𝑚 𝑈= = 𝑐𝑜𝑠( 𝜔𝑡) 𝐶 𝐶 Произведя вычисления, получим 1 рад 503 рад рад 𝜔= = 503 = 𝜋 = 160𝜋 с 3,14 с с √0,1 · 39,5 · 10−6 𝑖 = −3 · 10−6 503 · 𝑠𝑖𝑛(160𝜋 · 𝑡) = −1,5 · 10−3 · 𝑠𝑖𝑛(160𝜋 · 𝑡), А 𝑖 = 1,5 · 10−3 · со𝑠(160𝜋 · 𝑡 + 𝜋/2), А 3 · 10−6 𝑢= · со𝑠(160𝜋 · 𝑡) = 0,076 · со𝑠(160𝜋 · 𝑡), В 39,5 · 10−6 Ответ: 𝑖(𝑡) = 1,5 · со𝑠(160𝜋 · 𝑡 + 𝜋/2), мА, 𝑢(𝑡) = 76 · со𝑠(160𝜋 · 𝑡), мВ 4.8. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину пленки, если показатель преломления материала пленки равен 1,4. Дано: Решение: −7 Из световой волны, падающей на пленку, 𝜆 = 500нм = 5 ⋅ 10 м выделим узкий пучок SA. Ход этого пучка в случае, 𝑛 = 1,4 когда угол падения 0, показан на рис. В точках А и В 𝑖 = 00 падающий пучок частично отражается и частично преломляется. Найти: 𝑑𝑚𝑖𝑛 −? После отражения образуются две когерентные волны 1 и 2 S 1 A d 2 2 B Оптическая разность хода при интерференции в тонких плёнках в отраженном свете: 𝜆 𝛥 = 2𝑑√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑖 − (1) 2 𝜆/2 − добавляется, так как при отражении от более плотной пленки, теряется пол волны. Условие интерференционных максимумов: 𝛥 = ±𝑘𝜆 (𝑘 = 0,1,2, . . . ). (2) Приравнивая (1) и (2), получаем 𝜆 2𝑑𝑛 − = 𝑘𝜆 2 Отсюда 𝑘𝜆 + 𝜆/2 𝑑= 2𝑛 Минимальная толщина будет при 𝑘 = 0. Таким образом, 𝜆/2 𝜆 𝑑𝑚𝑖𝑛 = = 2𝑛 4𝑛 Проверим наименования: [𝑑𝑚𝑖𝑛 ] = м Произведя вычисления, получим 5 ⋅ 10−7 𝑑𝑚𝑖𝑛 = = 8,9 ⋅ 10−8 м 4 ⋅ 1,4 −8 Ответ: 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 8,9 ⋅ 10 м = 89 нм. 5.8. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу = 30° соответствует максимум четвертого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм. Дано Решение Из формулы, определяющей положение 𝑎 = 1 мм = 1 ∙ 10−3 м главных максимумов дифракционной решётки, 𝜑 = 30° найдем период решетки d: k=4 𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝑘𝜆 𝜆 = 0,5 мкм = 5 ⋅ 10−7 м где φ – угол дифракции, k – порядок максимума (по условию задачи – четвертый максимум), λ – длина Найти: N - ? волны, падающей нормально на решетку. Число штрихов на единицу длины равно: 𝑎 𝑑= 𝑁 Приравняем d, и выразим N 𝑎 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝑘𝜆 ⇒ 𝑁 = 𝑁 𝑘𝜆 Проверим наименования: м [𝑁] = = 1 м Произведя вычисления, получим 10−3 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 30𝑜 𝑁= = 250 4 ⋅ 5 ⋅ 10−7 Ответ: 250 5.18. Пучок естественного света падает на стекло с показателем преломления 1,73. Определить, при каком угле преломления отраженный от стекла пучок света будет полностью поляризован. Дано: 𝑛1 = 1 𝑛2 = 1,73 Решение: Свет, отраженный от диэлектрика полностью поляризован, если он падает на диэлектрик под углом Брюстера Найти: 𝑖2 −? i₂ 𝑖1 − угол падения, 𝑖2 − угол преломления. Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны 𝑖1 + 𝑖2 = 900 𝑖1 = 𝑖Бр , 𝑖2 = 900 − 𝑖1 = 900 − 𝑖Бр Докажем: по закону преломления 𝑠𝑖𝑛 𝑖1 𝑛2 𝑠𝑖𝑛 𝑖1 = = 𝑡𝑔𝑖1 = ⇒ 𝑠𝑖𝑛 𝑖2 = 𝑐𝑜𝑠 𝑖1 𝑠𝑖𝑛 𝑖2 𝑛1 𝑐𝑜𝑠 𝑖1 𝑠𝑖𝑛 𝑖2 = 𝑠𝑖𝑛(900 − 𝑖1 ) 𝑖2 = 900 − 𝑖1 = 900 − 𝑖Бр Согласно закону Брюстера: 𝑡𝑔𝑖Бр = 𝑛21 , где n21 – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (воздуха). Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, 𝑛2 𝑛2 𝑡𝑔𝑖Бр = ⇒ 𝑖Бр = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛1 𝑛1 1,73 𝑖Бр = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 600 1 0 𝑖2 = 90 − 𝑖Бр = 900 − 600 = 300 Ответ: 𝑖2 = 300 6.8. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной электрической лампочке равна 2450 К. Отношение её излучения к излучению чёрного тела при данной температуре равно 0,3. Найти величину излучающей поверхности спирали. Дано N= 25 Вт Т = 2450 К 𝑘 = 𝑅э /𝑅эч = 0,3 Найти: 𝑆−? Решение Энергетическая светимость 𝑅э по определению равна энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям. Поэтому Е 𝑁ч.т. 𝑅э = = ⇒ 𝑁ч.т. = 𝑅эч ⋅ 𝑆 𝑡⋅𝑆 𝑆 где S – площадь поверхности излучающего тела. 𝑁ч.т. − мощность излучения абсолютно черного тела. По закону Стефана-Больцмана излучательность абсолютно черного тела: 𝑅эч = 𝜎𝑇 4 . где σ = 5,67·10-8 Вт/м2·К4 – постоянная Стефана - Больцмана Отсюда выражаем мощности 𝑁ч.т. = 𝜎𝑇 4 𝑆 (1) Так как вольфрамовая спираль не является абсолютно черным телом, то энергетическая светимость 𝑘 = 𝑅э /𝑅эч ⇒ 𝑅э = 𝑘𝑅эч = 𝑘𝜎𝑇 4 Тогда мощность излучения 𝑁 = 𝑅э ⋅ 𝑆 = 𝑘𝜎Т4 ⋅ 𝑆 (2) Разделим (2) на (1) и выразим площадь 𝑁 𝑅э. ⋅ 𝑆 𝑅э. = = 𝑁ч.т. 𝑅ч.т. ⋅ 𝑆 𝑅ч.т. 𝑅э 𝑁 𝑘= = 4 𝑅ч.т. 𝜎Т ⋅ 𝑆 𝑁 𝑆= 4 𝜎Т ⋅ 𝑘 Проверим наименования: Вт [𝑆] = = м2 . Вт ⋅ К4 м 2 ⋅ К4 Произведя вычисления, получим 25 𝑆= = 40,8 ⋅ 10−6 м2 = 40,8 см2 5,67 ⋅ 10−8 ⋅ 24504 ⋅ 0,3 Ответ: S =40,8 см2 6.18. Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности металла, если фототок прекращается при задерживающем напряжении 3,7 В. Дано Решение Кинетическая энергия электрона: 𝑈з = 3,7 𝐵 𝑚𝜐 2 Найти: 𝜐𝑚𝑎𝑥 −? 𝐸𝑘 = 2 –31 m= 9.11 10 кг - масса электрона; 𝜐 - скорость электрона. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена: 𝐸𝐾 = 𝑒𝑈3 , где е – заряд электрона е = 1,6 ⋅ 10−19 Кл; 𝑈з – разность потенциалов между катодом и анодом, полностью задерживающая фототок. 𝑚𝜐 2 2𝑒𝑈3 𝑒𝑈3 = ⇒𝜐=√ 2 𝑚 Проверим наименования: Кл ⋅ В Дж Н⋅м кг ⋅ м/с2 ⋅ м м √ √ √ [𝜐] = √ = = = = кг кг кг кг с Произведя вычисления, получим 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 3,7 𝜐=√ = 1,14 ⋅ 106 м/с. −31 9.11 ⋅ 10 Ответ: 𝜐 = 1,14 ⋅ 106 м/с = 1,14 Мм/с 6.28. Рентгеновские лучи с длиной волны 0,2 Å испытывают комптоновское рассеяние под углом 90º. Определите изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии. Дано: Решение: Комптоновское смещение длины волны 𝜆0 = 0,2 Å = 2 ∙ 10−11 м рассеянного фотона определяется формулой: 𝜑 = 90º = 𝜆 − 0 = к (1 – 𝑐𝑜𝑠𝜑), с = 3 ∙ 108 м/с где к – комптоновская длина волны. h = 6,63 ∙ 10−34 Дж ∙ с ℎ 𝑚0 = 9,11 ∙ 10−31 кг к = 𝑚0 с с - скорость света; Найти: ∆𝜆 −? h – постоянная планка Планка; 𝑚0 − масса электрона. ℎ = (1 – 𝑐𝑜𝑠𝜑) 𝑚0 с ’ фотон электрон фотон 90,0° x электрон Проверим наименования: Дж · с Н·м Н·м [] = = = =м кг · м/с кг · м/с2 Н Произведя вычисления, получим, 6,63 ∙ 10−34 (1 – cos 900 ) = 2,42 ∙ 10−12 м = 2,42 пм ∆𝜆 = −31 8 9,11 ∙ 10 · 3 ∙ 10 Ответ:∆𝜆 = 2,42 пм 7.8. Определите кинетическую, потенциальную и полную энергии электрона на первой стационарной орбите в атоме водорода. Дано: Решение: Атом водорода H Потенциальная энергия электрона на n-ой орбите атома водорода 𝑍=1 𝑍𝑒 2 𝑛=1 П=− (1) Найти: П = ? 𝑇 = ? 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐸 =? где 𝑒 = 1,6 ⋅ 10−19 Кл - заряд электрона, 𝜀0 = 8,85 ⋅ 10−12 Ф/м - электрическая постоянная, 𝑟 - радиус орбиты. Кулоновская сила, действующая на электрон в атоме водорода, является центростремительной: 𝐹 = 𝑚𝑎𝑛 , где 𝑚 = 9,1 ⋅ 10−31 кг - масса электрона. 𝑎𝑛 = 𝜐 2 ⁄𝑟 − центростремительное ускорение. 𝐹 = 𝑚𝜐 2 ⁄𝑟 (2) По закону Кулона эта сила равна: 𝑍𝑒 2 𝐹= (3) 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Приравняем (2) и (3) и найдем скорость: 𝑚𝜐 2 𝑍𝑒 2 𝑍𝑒 2 2 = ⇒𝜐 = (4) 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑚 С другой стороны, в соответствии с постулатом Бора 𝑛ℏ 𝑛ℏ 2 2 𝑚𝜐𝑟 = 𝑛ℏ ⇒ 𝜐 = ⇒𝜐 =( ) (5) 𝑚𝑟 𝑚𝑟 ℎ где ℏ = − постоянная Планка с чертой, ℎ = 6,63 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с - постоянная 2𝜋 Планка. Приравняем (4) и (5) и найдем радиус: 𝑛ℏ 2 𝑍𝑒 2 𝑛ℏ 2 1 𝑍𝑒 2 ⇒( ) = ( ) = 𝑚𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟𝑚 𝑚 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑚 ℎ 2 ℎ 2 2 4𝜋𝜀 𝑛 4𝜋𝜀 𝑛 ( ) 0 0 4𝜋𝜀0 𝑛ℏ 2𝜋 = 4𝜋 2 𝑟= = 𝑚𝑍𝑒 2 𝑚𝑍𝑒 2 𝑚𝑍𝑒 2 ℎ2 𝜀0 𝑛2 𝑟= ⋅ , (6) 𝜋 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑒2 𝑍 Заменив в формуле (1) радиус получим 𝑍𝑒 2 𝑍 2 𝑚𝑒 4 П=− =− 2 , (7) ℎ2 𝜀0 𝑛2 𝑛 4𝜋𝜀0 2 ℎ2 4𝜋𝜀0 ⋅ ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑒2 𝑍 Кинетическая энергия: 𝑚𝜐 2 𝑇= 2 Заменим квадрат скорости формулой (4), получим 𝑚 𝑍𝑒 2 𝑍 𝑒2 𝑇= = 2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑚 8 𝜋𝜀0 𝑟 Заменим 𝑟 формулой (6), получим 𝑍 𝑒2 𝑍 2 𝑚𝑒 4 𝑇= = ℎ2 𝜀0 𝑛2 8𝑛2 ℎ2 𝜀0 2 8 𝜋𝜀0 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑒2 𝑍 Полная энергия 𝐸 = 𝑇 + П 𝑍 2 𝑚𝑒 4 𝑍 2 𝑚𝑒 4 𝑍 2 𝑚𝑒 4 𝐸= 2 2 2− 2 =− 2 8𝑛 ℎ 𝜀0 𝑛 4𝜋𝜀0 2 ℎ2 𝑛 4𝜋𝜀0 2 ℎ2 Проверим наименования: кг · Кл4 [Е] = = (Ф/м)2 · (Дж · с)2 кг · Кл4 кг · м2 = = Н · м = Дж с2 Кл 2 (В · м) · (Кл · В · с)2 Произведя вычисления, получим 9.1 ⋅ 10−31 ⋅ (1,6 ⋅ 10−19 )4 П=− = −43,43 ⋅ 10−19 Дж −12 2 −34 2 4 ⋅ 3,14 ⋅ (8.85 ⋅ 10 ) ⋅ (6,63 ⋅ 10 ) Знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. 9.1 ⋅ 10−31 ⋅ (1,6 ⋅ 10−19 )4 𝑇= = 21,715 ⋅ 10−19 Дж 8 ⋅ 3,14 ⋅ (8.85 ⋅ 10−12 )2 ⋅ (6,63 ⋅ 10−34 )2 Полная энергия 9.1 ⋅ 10−31 ⋅ (1,6 ⋅ 10−19 )4 𝐸=− = −21,715 ⋅ 10−19 Дж −12 2 −34 2 4 ⋅ 3,14 ⋅ (8.85 ⋅ 10 ) ⋅ (6,63 ⋅ 10 ) Переведем в электрон вольты −43,43 ⋅ 10−19 П= = −27,2 эВ. 1,6 ⋅ 10−19 21,715 ⋅ 10−19 𝑇= = 13,6 эВ. 1,6 ⋅ 10−19 −21,715 ⋅ 10−19 𝐸= = −13,6 эВ. 1,6 ⋅ 10−19 Ответ: П = −27,2 эВ, 𝑇 = 13,6 эВ, Е = −13,6 эВ 8.8. Определите энергию и удельную энергию связи для ядер изотопов гелия 3 2Не. Дано: 3 2Не 𝑚( 32Не) = 3,01605 а.е.м. 𝑚𝑝 = 1,00728 а. е. м. 𝑚𝑛 = 1,00866 а. е. м 𝑚е = 0,00055 а. о. м Найти: Есв − ? Еуд − ? Решение: Энергия связи нуклонов в ядре равна Есв = mс2 , Дж с = 3 ∙ 108 м/с – скорость света. m − дефект массы ядра в кг. Если массы измерять в а.е.м., то 𝐸СВ = 931,5 ⋅ 𝛥𝑚(МэВ), т = Z mp + (A – Z) mn - Mядра. где mp, mn и Mядра - массы протона, нейтрона и ядра соответственно Для атома 32Не : Z=2, A = 3 𝑚Я = 3,01605 − 2 ∙ 0,00055 = 3,01495 а. о. м После подстановки численных значений, получим: ∆𝑚 = 2 ∙ 1,00728 + (3 − 2) ∙ 1,00866 − 3,01495 = 0,00827 а. е. м Есв = 931,5 ∙ 0,00827 = 7,70 МэВ Удельная энергия связи Ес𝐵 7,70 МеВ = = 2,57 МеВ/нуклон А 3 = 7,70 МеВ, Еуд = 2,57 МэВ/нуклон. Еуд = Ответ: Есв