Момент импульса микрочастицы

Лекции 10-11. Момент импульса микрочастицы
Содержание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Момент импульса в классической механике.
Оператор момента импульса.
Оператор квадрата момента импульса.
Оператор L̂ z .
Мультиплеты и спин электрона.
Оператор спина электрона. Уравнение Паули.
Полный момент импульса.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
1. Момент импульса в классической механике
Напомню определение момента импульса:
  
L  [r , p] ,


где r - радиус-вектор частицы с импульсом p . В случае
системы частиц


 
L   [ ri , p i ]   Li .
i
i
Последнее равенство выражает свойство аддитивности
момента импульса.
Момент импульса состоит из орбитального и собственного. Собственным моментом

импульса S называется момент импульса, вычисленный при условии, что полный импульс


p   pi  0 :
i

 
S  [ri , pi ]
i

p 0
.
(1)
Собственный момент импульса характеризует внутренние вращения, происходящие в системе
относительно центра масс; орбитальный – описывает вращение системы как целого
относительно точки, не совпадающей с центром масс. Отдельная частица в классической
  

механике не имеет собственного момента, так как из условия p  0 следует S  [r , p ]  0 .
Отличный от нуля собственный момент может иметь система частиц (например, система из
двух частиц). Собственный момент не равен нулю для волчка, вращающегося на одном месте.
Значение момента импульса состоит в том, что существует закон сохранения момента
импульса. Этот закон выражает собой одно из наиболее фундаментальных свойств пространства
– изотропию пространства, т.е. физическую эквивалентность всех направлений в
пространстве.
2. Оператор момента импульса
В квантовой механике моменту импульса ставится в соответствие оператор:
  
ˆ

 

L  [r , p]  L  [r , pˆ ] , pˆ  i .
Выпишем операторы компонент момента импульса (в декартовых координатах):
(2)
2


Lˆ x  ypˆ z  zpˆ y  i ( y  z ),
z
y


Lˆ y  ( xpˆ z  zpˆ x )  i ( x  z ),
z
x


Lˆ z  xpˆ y  ypˆ x  i ( x  y ).
y
x
Чтобы ответить на вопрос, можно ли одновременно измерить компоненты импульса L x и
L y , нужно найти коммутатор операторов этих величин. Вычисляем:
2
Lˆ x Lˆ y  ( ypˆ z  zpˆ y )( zpˆ x  xpˆ z )  iypˆ x  yzpˆ z pˆ x  z 2 pˆ x pˆ y  xypˆ z  zxpˆ y pˆ z ,
2
Lˆ y Lˆ x  ( xpˆ z  zpˆ x )( ypˆ z  zpˆ y )   xypˆ z  (ixpˆ y )  yzpˆ z pˆ x  z 2 pˆ x pˆ y  zxpˆ y pˆ z .
Отсюда:
Lˆ x Lˆ y  Lˆ y Lˆ x  iLˆ z .
Оператор квадрата момента импульса дается формулой:
ˆ
L2  Lˆ 2  Lˆ 2  Lˆ 2 .
x
y
(3)
z
Легко проверить, что
ˆ
(4)
[ L2 Lˆi ]  0 , i  x, y, z .
Значит, компоненты момента импульса нельзя измерить одновременно. Одновременно можно
измерить лишь одну компоненту и квадрат момента. Если точно известна компонента L x , то две
другие не определены. Это значит, что вектор момента импульса квантовой частицы не
имеет определённого направления в пространстве.
3. Оператор квадрата момента импульса
Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической
системе координат:
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  ;


Lˆ x  i (sin 
 ctg cos 
),




Lˆ y  i (cos 
 ctg sin 
),
(5)



Lˆ z  i
,

ˆ
 2
L2   2  , ,
 2
 , - оператор Лапласа для сферы (угловая часть оператора Лапласа),
 2
1 

1
2
 , 
(sin 
)
.
sin  

sin 2   2
Заметим, что операторы (5) действуют только на угловые переменные. Это упрощает решение
задачи на собственные значения
ˆ
L2   L2  .
(6)
3
Можно считать, что   ( ,  ) . Подставляя (5) в (6) и обозначая
L2
  , найдём:
2
1 

1  2
(7)
(sin 
) 2
   0 .
sin  

sin   2
Это уравнение для шаровых функций. Решение этого уравнения, отвечающее стандартным
условиям, существует лишь при
  l (l  1) ,
(8)
где l - целое положительное число (l  0) .
Приведем определение шаровых функций:
m
Yl m ( ,  )  cPl (cos  )e im , m  0,1,...,l ,
(9)
m
Pl ( )  (1   2 )
m
2
d
d
m
m
Pl ( ) ,   cos  ,
1 dl
Pl ( ) - полином Лежандра, Pl ( )  l
[( 2  1)l ] . Постоянная в (9) выбирается так, чтобы
l
2 l! d
выполнялось условие ортонормировки шаровых функций
2

0
0



 d  d sin  Yl m Yl m   l l m m .
Из (6)-(8) получаем:
L2   2 l (l  1), (l  0,1,...) .
Собственному значению L2 с фиксированным l отвечают 2l  1 собственных функций,
отличающихся значениями m . Шаровые функции (9) являются собственными функциями
ˆ
оператора L2 (5):
ˆ
(m  0,1,...  l ) .
L2 l m   2l (l  1)l m , l m  Yl m ( , ),
(10)
4. Оператор L̂ z
Рассмотрим задачу на собственные значения оператора L̂ z :


L z   Lz    i
  Lz  .

Решение уравнения (11) дается формулой
i
Lz


(11)
(12)
  ce
, c  const .
Так как углы  и   2 физически эквивалентны, то должно выполняться равенство
(  2 )  ( ) , представляющее собой условие однозначности  -функции. Подставляя в
это условие (12), найдём:
L
i z 2
Lz
e  1 
 m  0,1,... .

Итак,
L z  m , m ( )  ce im .
(13)
Как видим, z - компонента вектора момента импульса квантуется согласно (13).
4
Очевидно, что функция Yl m (9) также является собственной функцией оператора L̂ z и

отвечает собственному значению m. Очевидно, что величина L z , как проекция вектора L , не


L
может быть больше, чем L : Lz  L ; обозначим max Lz  l , тогда z  m принимает

значения  l ,l  1,..0, ... ,l , всего 2l  1 значений.
Итак, модуль момента импульса может принимать определенное значение, равное
 l (l  1) . Для фиксированного l проекция момента на ось z может принимать 2l  1 значений
(l ,l  1, ... ,l ) . Две другие проекции совершенно не определены. Это значит, что для

квантовой частицы вектор L не имеет определённого направления в пространстве.
Величина l называется орбитальным квантовым числом (орбитальным моментом), а m магнитным квантовым числом (магнитным моментом).
Чтобы объяснить название (магнитный момент) рассмотрим виток с током I . Когда
частица движется по орбите, возникает круговой ток I  ev , e - заряд частицы,  - частота
вращения. Такой ток обладает магнитным моментом   pm  IS  e r 2 ( r - радиус орбиты).
Орбитальный момент: L  me vr , 2r  v ( me - масса электрона, v - скорость частицы). Тогда
1
e
pm  ev r 2  evr  p m 
L . Знак «-» указывает на то, что pm и L имеют
2
2me
e
p
m ; m - гиромагнитное
противоположные направления. Так как Lz  m , то p m  
L
2m e
e
отношение,
- магнетон Бора. Как видим, квантовое число m определяет величину
2me
магнитного момента.
5. Мультиплеты и спин электрона
Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии,
состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения.
О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях.
Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в
результате квантовых переходов электронов в атомах с одного
уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя
уровнями энергии - E1 и E2 . При переходе электрона E 2  E1
E  E1
излучается фотон с частотой   2
. Обратный переход

возможен с поглощением фотона. В согласии с такими
представлениями атомные спектры состоят из отдельных линий, т.е. зависимость интенсивности
I электромагнитного излучения от частоты  должна иметь следующий вид:
5
Исследование спектров сложных атомов показало, однако, что каждая линия расщепляется на
несколько компонент, расположенных очень близко друг от друга. Такие линии называются
мультиплетами (см. рис.).
Дублет,
Триплет,
Квартет,
Синглет.
Возникновение мультиплетов объясняется тем, что электрон обладает собственным
механическим моментом, который называется спином. Предположение о наличии
собственного момента электрона впервые сделали голландские физики Уленбек и Гаудсмит
(1925).

Спиновый момент обозначим через S . Согласно опытным данным, проекция
собственного момента электрона на любое направление может принимать лишь два значения

 .
2
6. Оператор спина электрона. Уравнение Паули
̂
Оператор спина обозначим через S и потребуем, чтобы для его компонент выполнялись
̂
такие же правила перестановки, как и для оператора L :
Sˆ x Sˆ y  Sˆ y Sˆ x  iSˆ z ,
Sˆ y Sˆ z  Sˆ z Sˆ y  iSˆ x и др.
(14)
Принимаем, в соответствии с данными эксперимента, что проекция спина на любое направление

может принимать лишь два значения:  . Отсюда следует, что операторы Ŝ i должны быть
2
двухрядными матрицами, поскольку двухрядные матрицы имеют только два собственных
значения. Обозначим:

Sˆi   i (i  x, y, z ) ,
(15)
2
где  i - спиновые матрицы, собственные значения которых равны  1 . Отсюда видно, что
1 0 
 2 i  
 , i  x, y, z .
 0 1
(16)
Можно показать, что из (14)-(16) следует, что спиновые матрицы антикоммутируют:
 x y   y x и т.д.,
причём
 x  y  i z
(остальные равенства получаются циклической перестановкой индексов). Приведем явное
представление:
6
0  i
1 0 
;  z  
 .
0
 0  1
Квадрат оператора спина дается формулой:
ˆ
3 1 0 
.
S 2  Sˆ x 2  Sˆ y 2  Sˆ z 2   2 
4  0 1
Можно записать так:

1
S 2   2 l s (l s  1) ; l s  - спиновое квантовое число,
2
1
S z   m s ; m s   - спиновое магнитное квантовое число.
2
 0 1
 x  
 ;  y  
1 0 
i
Отношение спинового магнитного момента p m к спиновому механическому равно -
e
(в
me c
гауссовой системе единиц), т.е.

e 
pm 
S
me c
«  e » - заряд электрона (отрицательный)

Электрон в магнитном поле  приобретает дополнительную потенциальную энергию:
 
U   pm  .
e ˆ 
e  
( S ) 
(  ) . Поэтому оператор Гамильтона для
Оператор этой энергии U 
me c
2me c
электрона содержит дополнительный член U . Теперь уравнение Шредингера принимает вид:

1  e  2
e  
i

( p  A)   e  
(  )
(17)
t
2 me
c
2me c
(«  e » - заряд электрона). Это уравнение Паули. Решением этого уравнения является столбец
 
(спинор):    1  .
 2 
Отметим, что плотность тока вероятности, учитывающая спин электрона, содержит
дополнительный член (спиновый ток):

 e
rot (   ) .
2mec
7. Расщепление спектральных линий в магнитном поле
Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном

магнитном поле  , которое направлено вдоль оси z . Векторный потенциал выберем в виде:


Ax   y , Ay  x , Az  0 .
2
2

Электрон атома будет подвергаться одновременно действию магнитного поля  и
электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое поле будем считать
центрально-симметричным, и потенциальную энергию электрона в нём обозначим через U (r ) .
Подставим выражение для вектора-потенциала в уравнение Паули:
7
i
   2  2
ie


e

   U (r )  
( x
y
)
( z  ) .
t
2 me
2 me c
y
x
2 me c



(18)
Lz

i

Здесь мы опустили члены ~  2 , считая их малыми. Далее, учитывая равенство



 i(  y
 x )  i
 Lˆ z , получаем:
x
y


e ˆ
i
 Hˆ 0  
( L z   z ) ,
t
2me c
(19)
где Ĥ 0 - гамильтониан электрона в отсутствие магнитного поля. Последнее слагаемое в правой
части (19) – это потенциальная энергия взаимодействия магнитного диполя с моментом



e 

( L   ) в магнитном поле  :
2me c

U    .
(20)
Мы ищем стационарные состояния:
E

 i  t
.
(21)
( r , t )  ( r )e
Подстановка (21) в (19) даёт:
 
e ˆ
(22)
Hˆ 0  
( Lz   z )  E ;    1  .
2me c
 2 
Рассмотрим представление, в котором матрица  z диагональна:
1 0 
1 0  1   1 
 .
 z  
 ;  z   
   
 0  1
 0  1 2    2 
Уравнение (22) распадается на два независимых уравнения:
e ˆ
Hˆ 0 1 
( L z   )1  E1 ,
2me c
(23)
e 
0
ˆ
H 2 
( L z   )2  E2 .
2me c
Решение 1 ( 2 ) отвечает ориентации спина электрона по (против) оси z . В отсутствие
магнитного поля мы имеем две функции:


0    , E  E 0 при S z  , и
2
0 
0 

0    , E  E 0 при S z   .
(24)
2

Будем считать, что
Lˆ z   m ,   m .
Тогда функции (24) будут подчиняться уравнениям (23), но принадлежать другим собственным
значениям энергии:
8
 : E  E  E 0 
e

(m  1) , S z  ,  z  1,
2 me c
2
e

(m  1) , S z   ,  z  1.
2 me c
2
Итак, сами волновые функции не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Но
энергия начинает зависеть от ориентации момента относительно поля, т.е. уровни энергии в
магнитном поле расщепляются.
Рассмотрим уровень энергии для S - терма ( l  0 , m  0 ):
  : E  E   E 0 
Благодаря расщеплению уровней
возрастает
число
возможных
переходов, и вместе с ними
спектральных линий. Это явление
называется эффектом Зеемана.
Можно
показать,
что
при
оптических переходах число m
может изменятся лишь на  1 либо
оставаться неизменным. Кроме
того, спин электрона очень слабо взаимодействует с полем
световой волны, поэтому можно считать , что спин не изменяется. Здесь на рис. справа внизу
изображены уровни для S -терма ( l  0 ), а вверху – для P -терма ( l  1).
Если обозначить частоту перехода при   0 через  0 , то получаем частоты:
e
  0 
(m  m) .
(25)
2me c
e
Так как m  m  1,0 , то имеем три частоты: одну неизменную и две – смещённые: 
2m e c
(это нормальный триплет Зеемана). Постоянная Планка в (25) не входит, т.е. это чисто
классический эффект. Классическая теория объясняет эффект Зеемана прецессией орбиты
e
электрона в магнитном поле с частотой Лармора
.
2m e c
8. Полный момент импульса


является суммой орбитального L и спинового S моментов:
  
J  L  S , J i  Li  S i .
Используя это определение и правила коммутации для Li и S i , легко получить, что
J x J y  J y J x  i J z ,
J y J z  J z J y  iJ x ,
(26)
J z J x  J x J z  i J y ,


J 2 J i  J i J 2  0, (i  x, y, z ).
Из (26) видно, что одновременно можно измерить квадрат полного момента импульса и одну из
  
проекций J i (i  x, y, z ) . Одновременно можно измерить также квадраты моментов: J 2 , L2 , S 2 .
9
Квадрат полного момента и его проекция на любое направление квантуются согласно
равенствам:

1 3 5
J 2   2 j ( j  1), j  , , ,...,
2 2 2
(27)
1 3
J z  m j , m j   , ,..., j.
2 2
Квантовое число j , определяющее собственные значения полного момента, выражается
через орбитальное квантовое число l и спиновое l s :
j  l  ls
либо
j  l  ls .
9. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Напомним, что для произвольного электромагнитного поля ( , A) оператор Гамильтона
дается формулой



1  e  2
Hˆ 
( p  A)  e , p  i .
(28)
2m
c
Учитываем равенство
ˆ e  2 ˆ 2 e     e 2  2
( p  A)  p  ( p A  A p )  2 A


c
c 
c


idivA 2 iA

и направляем магнитное поле  вдоль оси z ,  z   ,
 x   y  0 , выбирая вектор-
потенциал следующим образом:

A  ( Ax ,0,0) , Ax   y .
В результате уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется так:
2  2
ie

e2

 
y

 2 y 2   E .
2
2m
mc
x 2mc
(29)

В силу того, что переменные x и z не входят в H , вдоль x и z получается свободное
движение. Переменные в уравнении (29) разделяются, если решение искать в виде:
(30)
( x, y, z )  e i ( x  z ) ( y),
 ,   const .
Функция  подчиняется уравнению


  2 d 2 e
e 2 2 2
2 2


y


y


E

(   2 ).

2
2
2m dy
mc
2mc
2m


Очевидно, что с помощью линейного преобразования независимой переменной y ,
y  y    ,   const ,
это уравнение можно свести к уравнению гармонического осциллятора. Так как
e 2 2 2 e
 2 2
1  ey
e 2 2 
c 

y 
y 

   
y

 ,
2
2 
2mc
mc
2m
2m  c
2mc 
eH 

то можно положить:
c 
 
.
eH
Обозначим:
2
2
(31)
10
e 2  2 m 0
e

 0 
.
2
2
mc
2mc
В результате приходим к уравнению Шредингера для осциллятора:
2
  2 d 2 m 0
2 2
2


y



,


E

.
2m dy  2
2
2m
На основании решения задачи об осцилляторе получаем:
2
 n ( y )  e

2
2
1
H n ( ),    0 (n  ), n  0,1,,
2
m 0
c

(y 
).

e
Из выражения (30) видно, что можно положить ( p x и p y - компоненты импульса):
(32)
(33)
px
p
,  z .


Из (32) и (33) получаем следующее выражение для уровней энергии:
p z2
e
1
(34)
E
(n  ) 
(n  0,1,...) .
mc
2 2m
Последнее слагаемое в правой части (34) – это кинетическая энергия движения частицы вдоль
оси z , а первое слагаемое – кинетическая энергия в плоскости, перпендикулярной к
направлению магнитного поля. Эта энергия квантуется. Таким
образом, спектр энергии заряженной частицы в магнитном
поле содержит как непрерывную компоненту, так и
дискретную.
Из классической электродинамики известно, что контур с


током силой I обладает магнитным моментом p m  ISn , где S площадь той части плоскости, которая ограничена контуром.

Если контур поместить в магнитное поле  , то он начинает
взаимодействовать с магнитным полем. Под действием
магнитного поля магнитный момент стремится повернуться так, чтобы энергия взаимодействия
была минимальной, а именно: магнитный момент стремится установиться вдоль силовых линий

магнитного поля H . Энергия взаимодействия дается формулой

 
e
U   pm   pm z  
(2n  1) .
2mc
(35)
Из (35) видно, что проекция магнитного момента p m z есть целое кратное от магнетона Бора
e
.
2mc
Квантование энергии электрона в магнитном поле (уровни Ландау) – следствие
квантовой механики. Оно приводит к появлению диамагнитных свойств электронного газа.
Отметим соответствие полученных результатов с классической теорией: согласно
последней, частица совершает круговое движение в плоскости xy с частотой  0 и
поступательное движение вдоль магнитных силовых линий. В квантовой теории круговое
движение квантуется, а поступательному движению отвечает импульс p z .
Отметим также, что энергия (34) не зависит от компоненты импульса p x , т.е. имеется
вырождение бесконечно высокой кратности.
B 
11
Контрольные вопросы
С каким свойством симметрии пространства связан закон сохранения момента импульса?
Как определяется собственный момент импульса классической частицы?
Каков физический смысл собственного момента импульса?
Можно ли одновременно измерить компоненты момента L x и L y ?
Какие значения может принимать момент импульса квантовой частицы?
Как определяется направление момента импульса квантовой частицы?
Какие величины, связанные с моментом импульса, можно измерить одновременно?
Каков физический смысл орбитального и магнитного моментов? Какие значения могут
принимать эти моменты?
9. Что такое мультиплеты? Что является причиной возникновения мультиплетов?
10. Что такое спин квантовой частицы?
11. Чем отличается уравнение Паули от уравнения Шредингера?
12. Какой вид имеет волновая функция, подчиняющаяся уравнению Паули?
13. В чем состоит эффект Зеемана?
14. Каков энергетический спектр электрона в однородном магнитном поле?
15. Почему происходит квантование энергии электрона в магнитном поле?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.