2.1. Методика построения траектории движения мячика

Построение компьютерной интерактивной визуальной модели бросания мячика
в стенку в электронных таблицах Microsoft Excel 12
Заключение 17
Список литературы 18
Введение
Человечество в своей деятельности постоянно создает и использует модели
окружающего мира. Строгие правила построения моделей сформулировать
невозможно, однако человечество накопило богатый опыт моделирования
различных объектов и процессов.
Модели позволяют представить в наглядной форме объекты и процессы,
недоступные для непосредственного восприятия (очень большие или очень
маленькие объекты, очень быстрые или очень медленные процессы и др.).
Особое внимание системному подходу к моделированию, формализации и её
визуализации с использованием интерактивных компьютерных моделей
уделяется в 11 классе при изучении курса «Информатика и ИКТ. Профильный
уровень» [1]. Построение и исследование физических моделей проводится на
примере модели движения тела, брошенного к горизонту. Компьютерная модель
движения тела строится при помощи объектно-ориентированного
программирования и в электронных таблицах.
Компьютерная модель, созданная с использованием систем объектноориентированного программирования, позволяет визуально наблюдать за ходом
эксперимента (рис. 1), что значительно облегчает анализ его результатов.
Рис. 1. Компьютерный эксперимент по бросанию мячика в стенку
Предложенный в учебнике способ создания на базе формальной модели
«Бросание мячика в стенку» компьютерной модели с использованием
электронных таблиц не позволяет точно оценить попадание мяча в стенку,
расположенную на известном расстоянии (рис. 2), даже при уменьшении
интервала времени с 0,2 с до 0,1 с (рис. 3). Также отсутствует возможность
построения на одной диаграмме графиков траекторий движения мячика для
обоих диапазонов углов бросания (аналогично представленному на рис. 1), что
затрудняет анализ результатов.
Рис. 2. Траектория движения мячика (интервал времени 0,2 с)
Рис. 3. Траектория движения мячика (интервал времени 0,1 с)
Цель данной проектно-исследовательской работы – усовершенствовать
компьютерную интерактивную визуальную модель тела брошенного под углом
к горизонту в электронных таблицах Microsoft Excel, для обеспечения более
точной оценки попадания мяча в стенку, расположенную на известном
расстоянии и построения на одной диаграмме графиков траекторий движения
мячика сразу для двух диапазонов углов бросания.
^ Объект исследования – моделирование физических процессов в электронных
таблицах Microsoft Excel.
Предмет исследования – компьютерная интерактивная визуальная модель
физического процесса, созданная в электронных таблицах Microsoft Excel.
Решаемые задачи:
1.
Провести анализ формальной модели бросания мячика в стенку,
расположенную на известном расстоянии с целью выявления параметров
системы, необходимых для достижения поставленной цели, и связей
между ними.
2.
Разработать процесс построения компьютерной интерактивной
визуальной модели физического процесса в электронных таблицах
Microsoft Excel.
3.
Разработать компьютерную интерактивную визуальную модель
физического процесса в электронных таблицах Microsoft Excel.
^
Глава 1. Теоретическая часть
1.1. Основные этапы разработки и исследования
моделей на компьютере
Использование компьютера для исследования информационных моделей
различных объектов и систем позволяет изучить их изменения в зависимости от
значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их
исследование на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.
^ Описательная информационная модель. На первом этапе исследования
объекта или процесса обычно строится описательная информационная модель
на естественном языке. Такая модель выделяет существенные, с точки зрения
целей проводимого исследования, свойства (параметры) объекта, а
несущественными свойствами пренебрегает.
^ Формальная модель. На втором этапе создается формальная модель, т.е.
описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо
формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств
и т.д. фиксируются формальные соотношения между исходными и искомыми
величинами, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих
величин.
Однако далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые
величины через исходные. В таких случаях используются приближенные
математические методы, позволяющие получать результаты с заданной
точностью.
^ Компьютерная модель. На третьем этапе необходимо формализованную
информационную модель преобразовать в компьютерную модель, т. е. выразить
ее на понятном для компьютера языке. Существуют два пути решения этой
задачи:

создание проекта на одном из языков программирования;

построение компьютерной модели с использованием некоторого
приложения, например электронных таблиц.
В процессе создания компьютерной модели полезно разработать удобный
графический интерфейс, который позволит визуализировать формальную
модель, а также реализовать интерактивный диалог человека с компьютером на
этапе исследования модели.
^ Компьютерный эксперимент. Четвертый этап исследования
информационной модели состоит в проведении компьютерного эксперимента.
Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков
программирования, ее нужно запустить на выполнение и получить результаты.
Если компьютерная модель исследуется в приложении, например в электронных
таблицах, можно провести сортировку или поиск данных, построить диаграмму
или график и т. д.
^ Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой
модели. Пятый этап представляет собой анализ полученных результатов и
корректировку исследуемой модели. В случае отличия результатов, полученных
при исследовании информационной модели, от измеренных параметров
реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах
построения модели были допущены ошибки или неточности.
Например, при построении описательной качественной модели могут быть
неправильно отобраны существенные свойства объектов, в процессе
формализации могут быть допущены ошибки в формулах и т. д. В таких
случаях необходимо провести корректировку модели, причем уточнение модели
может проводиться многократно, пока анализ результатов не покажет их
соответствие изучаемому объекту.
^ Визуализация формальных моделей. В процессе исследования формальных
моделей часто производится их визуализация. Для визуализации алгоритмов
используются блок-схемы, пространственных соотношений параметров
объектов – чертежи, моделей электрических цепей – электрические схемы. При
визуализации формальных моделей с помощью анимации может отображаться
динамика процесса, производиться построение графиков изменения величин и т.
д.
В настоящее время широкое распространение получили компьютерные
интерактивные визуальные модели. В таких моделях исследователь может
менять начальные условия и параметры протекания процессов и наблюдать
изменения в поведении модели.
^
1.2. Построение формальной модели движения тела,
брошенного под углом к горизонту
Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов
используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки.
Необходимо задать автомату нужную скорость и угол бросания мячика для
попадания в мишень определенной высоты, находящуюся на известном
расстоянии.
^ Описательная модель. Построим идеализированную модель движения
объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные
допущения:

мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать
материальной точкой;

изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения
можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с2 и движение по
оси OYможно считать равноускоренным;

скорость бросания тела мало, поэтому сопротивлением воздуха можно
пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным.
Формальная (математическая) модель. Для формализации модели обозначим
величины:

начальная скорость мяча – ν0;

угол бросания мячика – α;

высота стенки – h;

расстояние до стенки – s.
Изобразим график
движения мячика
(рис. 4):
Рис. 4. Бросание
мячика в стенку
Для определения
координат мячика
используем формулы
равномерного и
равноускоренного
движения.
Дальность х и
высоту у при
заданной начальной
скорости ν0 и угле
бросания α для
любого момента
времени t можно
вычислить по
формулам:
х = ν0 ∙ cosα ∙ t, (1)
у = ν0 ∙ sinα ∙ t – g ∙
t2/2 (2)
Из первой формулы
выражаем время,
которое понадобится
мячику, чтобы
преодолеть
расстояние x:
t = x / ν0 ∙ cosα. (3)
Для вычисления координаты у в момент времени, когда мячик будет находиться
на расстоянии x, подставляем значение времени t в формулу для вычисления
координаты у:
y = x ∙ tgα – g ∙ x2/(2 ∙ ν02 ∙ cos2α). (4)
Чтобы определить, попадет ли мячик в стенку, необходимо вычислить его
координату у в момент времени, когда он будет находиться на расстоянии s:
t = s / ν0 ∙ cosα (5)
y = s ∙ tgα – g ∙ s2/(2 ∙ ν02 ∙ cos2α) (6).
Формализуем теперь условие попадание мячика в мишень. Попадание
произойдет, если значение высоты мячика y будет удовлетворять условию в
форме неравенства:
0 ≤ y ≤ h.
Если y < 0, то это означает «недолет», а если y > h, то это означает «перелет».
^
Глава 2. Практическая часть
2.1. Методика построения траектории движения мячика
Анализ методики построения траектории движения мячика, предложенной в
учебниках по информатике [1, 2] и в элективном курсе по исследованию
информационных моделей [3, 4], показывает, что при построении траектории
движения в электронных таблицах расчет координаты тела x проводится в
зависимости от значения времени t. Как следует из формулы (1) по истечении
одного и того же промежутка времени координаты x при разных углах бросания
будут отличаться. Это приводит к тому, что на одной диаграмме можно
изобразить график зависимости координаты тела y от координаты x толькодля
одного угла бросания (рис. 2).
Данная проблема решается, если при построении траектории движения мячика
для расчета координаты y использовать или формулу (6), или формулу (2). При
вычислении координаты y по формуле (2) предварительно необходимо
вычислить значение времени t по формуле (3).
Применение данных методик построения траектории движения мячика в
электронных таблицах позволит:
1.
определить высоту нахождения мячика на заданном расстоянии в
зависимости от угла бросания;
2.
построить на одной диаграмме любое количество траекторий движения
мячика в зависимости от угла бросания.
Для построения компьютерной интерактивной визуальной модели бросания
мячика в стенку в электронных таблицах Microsoft Excel методика с
вычислением координаты y по формуле (2) более предпочтительна, так как
дополнительно позволяет определить время, затраченное на достижение
мячиком цели, находящейся на заданном расстоянии, и тем самым более полно
провести анализ результатов компьютерного эксперимента.
^
2.2. Построение компьютерной интерактивной
визуальной модели бросания мячика в стенку в
электронных таблицах Microsoft Excel
1. Заполнить ячейки с текстовой информацией (см. рис. 5).
2. В ячейку В1 ввести начальную скорость бросания мячика υo= 18 м/с, а
значения четырех углов бросания 20°, 40°, 60° и 80° – соответственно в ячейки
В2, D2, F2 и H2 (рис. 5).
3. В ячейки А4:А21 ввести значения координаты мячика х с интервалом в 2 м.
Для заданных значений координаты мячика х по формуле (3) вычислим
значение времени t, а по формуле (2) координаты мячика у.
В электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются в
радианах, поэтому необходимо преобразовать значения углов из градусов в
радианы с помощью функции РАДИАНЫ().
4. Ввести:
• в ячейку В4 формулу =$A4/($B$1*COS(РАДИАНЫ(B2)));
• в ячейку С4 формулу =$B$1*SIN(РАДИАНЫ(B2))*B4 – 4,9*B4*B4.
5. Скопировать введенные формулы в ячейки D4, F4, H4 и E4, G4, I4
соответственно.
6. Установить в формулах абсолютные ссылки на ячейки $B$2, $D$2, $F$2,
$H$2.
7. Выделить диапазон ячеек В4:I4 и, используя маркер заполнения, скопировать
его в диапазон ячеек В5:I21.
В столбцах С, D, F и H получим координаты мячика по оси У для четырех углов
бросания, соответствующие значениям координаты мячика по оси X, указанным
в столбце А (см. рис. 5).
Визуализируем модель, построив графики зависимости координаты у от
координаты х (траекторию движения мячика) для четырех углов бросания. Для
построения траектории движения мячика используем диаграмму типа График.
8. При построении графика в качестве категорий использовать диапазон ячеек
А4:А21, а в качестве значений – диапазоны ячеек С4:С21, Е4:Е21, G4:G21,
I4:I21 (рис. 5).
Выборочное выделение диапазонов проводить при нажатой клавише Ctrl.
Рис. 5. Координаты и траектории движения мячика для четырех углов бросания
^ Компьютерный эксперимент. Исследуем модель и определим с заданной
точностью (например, 0,1°) диапазон углов бросания, которые обеспечивают
попадание мячика в стенку.
В качестве начальных условий бросания мячика выберем, например,
следующие: скорость бросания υo= 18 м/с, высота стенки h = 1 м, расстояние до
стенки s = 30 м, значение угла бросания α = 40°.
9. Заполнить ячейки с текстовой информацией (см. рис. 6).
10. Ввести (рис. 6):

в ячейку В23 – значение расстояния до стенки;

в ячейку В24 – значение начальной скорости;

в ячейку В25 – значение угла бросания;

в ячейку В27 – формулу для вычисления высоты мячика в момент
попадания в стенку для заданных начальных условий:
=B23*TAN(РАДИАНЫ(B25))(9,81*B23^2)/(2*B24^2*COS(РАДИАНЫ(B25))^2)
Рис. 6. Определение диапазона углов методом ^ Подбор параметров
Для заданных начальных условий (скорости бросания и расстояния до стенки)
проведем поиск углов, которые дают попадание в стенку на высотах 0 и 1 м.
Используем для этого метод Подбор параметра.
Надстройка Подбор параметра в электронных таблицах Microsoft Excel
установлена по умолчанию.
Методом ^ Подбор параметра будем сначала искать значение угла бросания,
которое обеспечит попадание мячика в стенку на минимальной высоте 0 метров.
В данном случае значение функции (высота мячика при попадании в стенку)
хранится в ячейке В27 (см. рис. 6), а значение аргумента (угла бросания) – в
ячейке В25. Значит, необходимо установить в ячейке В27 значение 0 и
методом Подбор параметра найти соответствующее значение аргумента в
ячейке В25.
11.Выделить ячейку В27, содержащую значение высоты мячика, и ввести
команду [Сервис-Подбор параметра…].
12.
В появившемся диалоговом окне (рис. 7) ввести в
поле Значение: наименьшую высоту попадания в стенку (т. е. 0). В
поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$25,
содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.
Рис. 7. Ввод данных для метода Подбор данных
В ячейке В25 появится значение 32,6, т. е. минимальное значение угла бросания
мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных
условиях.
Рис. 8. Определение диапазона углов
методом Подбор параметра
Методом Подбор параметра найдем теперь угол бросания, который обеспечит
попадание мячика в стенку на максимальной высоте 1 метр.
13. Выделить ячейку В27, содержащую значение высоты мячика, и ввести
команду [Сервис-Подбор параметра...].
14. В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наибольшую
высоту попадания в стенку (т. е. 1).
15. В поле ^ Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$25, содержащей
значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.
В ячейке В25 появится значение 36,1, т. е. максимальное значение угла
бросания мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных
начальных условиях.
16. Повторить процедуру определения диапазона углов при начальном значении
угла в ячейке В25, равном 60°.
Получим значения предельных углов 55,8° и 57,4°, т. е. второй диапазон углов.
17. Ввести полученные значения углов 32,6°, 36,1°, 55,8° и 57,4° соответственно
в ячейки B2, D2, F2 и H2. На диаграмме можно проследить за изменением
траекторий движения мячика (рис. 8).
Рис. 8. Координаты и траектории движения мячика
для двух диапазонов углов бросания
Анализ результатов. Исследование компьютерной модели в электронных
таблицах показало:
1.
при одинаковой начальной скорости мячик преодолевает большие
расстояния при углах бросания в диапазоне от 20° до 80°;
2.
существует два диапазона значений угла бросания мячика от 32,6° до
36,1° и от 55,8° до 57,4°, при которых обеспечивается попадание в стенку
высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со
скоростью 18 м/с;
3.
время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние до
мишени увеличивается с возрастанием угла бросания.
Заключение
Считаю, что при выполнении работы поставленная цель по
усовершенствованию компьютерной модели тела, брошенного под углом к
горизонту в электронных таблицах Microsoft Excel достигнута.
Все задачи решены:

проведен анализ формальной модели бросания мячика в стенку,
расположенную на известном расстоянии с целью выявления параметров
системы, необходимых для достижения поставленной цели, и связей
между ними;

разработан процесс построения компьютерной интерактивной визуальной
модели физического процесса в электронных таблицах Microsoft Excel;

разработана компьютерная интерактивная визуальная модель
физического процесса в электронных таблицах Microsoft Excel,
позволяющая провести более широкий анализ результатов моделирования
по сравнению с предлагаемой в учебнике [1].
У исследователя компьютерной модели появилась возможность провести более
точную оценку попадания мячика в стенку, расположенную на известном
расстоянии, и проводить анализ траекторий его движения для нескольких углов
бросания, построенных на одной диаграмме.
Разработанная методика построения компьютерной интерактивной визуальной
модели бросания мячика в стенку в электронных таблицах Microsoft Excel уже
опробована в нашей школе на уроках информатики в классе информационно-
технологического профиля.
На мой взгляд, данная работа в дальнейшем могла бы быть полезной для
учащихся и учителей других школ при построении и исследовании физических
моделей, как на уроках информатики, так и при изучении элективного курса
«Исследование информационных моделей».
^