Пособие по ЕГЭ для Открытой Школы
advertisement
1
Рецензент: доктор педагогических наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Рязанского государственного университета
Солонина А.Г.
Н.П. Филичева. Учебно-методическое пособие для учащихся Открытых
школ. – г. Рязань. – 92 с.
Муниципальное образовательное
Учреждение «Открытая (сменная)
Общеобразовательная школа № 3»
г. Рязани
2013
Н.П. Филичева 2013
2
ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
Нелли Петровна Филичева
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ПОСОБИЕ
для учащихся открытых школ,
готовящихся
К ВЫПОЛНЕНИЮ
ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ ЕГЭ
РЯЗАНЬ
2013
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Предисловие – 4 – 5 стр.
2. I. Тождественные преобразования – 5 – 8 стр.
3. II. Рациональные уравнения – 8 – 9 стр.
4. III. Разложение квадратного трехчлена на множители – 10 – 12 стр.
5. V. Уравнения с модулем – 12 – 16 стр.
6. VI. Показательные уравнения – 16 – 21 стр.
7. VII. Логарифмические уравнения – 21 – 27 стр.
8. VIII. Тригонометрические уравнения – 27 – 40 стр.
9. IX. Рациональные неравенства – 41 – 43 стр.
10.X. Иррациональные неравенства – 43 – 49 стр.
11.XI. Показательные и логарифмические неравенства – 49 – 52 стр.
12.XII. Тригонометрические неравенства – 52 – 58 стр.
13.XIII. Планиметрия – 59 – 62 стр.
14.XIV. Стереометрия – 63 – 68 стр.
15.XV. Задания для подготовки к ЕГЭ – 69 – 89 стр.
16.Заключение – 90 стр.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Это пособие предназначено учащимся Открытых школ, готовящимся
к сдаче государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ, которая
потребует от них достаточно высокой математической подготовки.
Школьные учебники оно не заменяет и предполагает определенный уровень
владения школьной программной математикой. Вы будете иметь
возможность повторить весь учебный материал. В пособии имеется большое
количество разобранных заданий и заданий для самостоятельного решения.
Вы можете в любое время обратиться за консультацией. В конце пособия
полностью разобран Демонстрационный вариант Единого государственного
экзамена по МАТЕМАТИКЕ 2009 года.
Хотелось бы дать несколько советов молодым людям, работающих с
этим пособием.
1.
ПРИНЦИП РЕГУЛЯРНОСТИ. Основная работа проходит не в
классе на совместных занятиях, а дома, индивидуально. Полноценная
подготовка невозможна без достаточно большого количества часов,
посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но
часто, скажем, по часу в день, чем раз в неделю помногу часов. Хорошо бы
еженедельно набирать по 10 часов, включая классные занятия.
2.
ПРИНЦИП ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ. Несмотря на то, что учебное
пособие разбито на отдельные части, каждое отдельное занятие будет
посвящено определенной теме, было бы совершенно неправильно изучать
эти темы последовательно, одна за другой. Следует постоянно держать в
поле зрения несколько (две-три) тем, постепенно продвигаясь по ним вперед
и вглубь.
3.
ПРИНЦИП ОПЕРЕЖАЮЩЕЙ СЛОЖНОСТИ. Не следует
загружать себя большой по объёму, но несложной работой, так же как
вставать в положение лисицы перед виноградом. Слишком легко и слишком
трудно – равно плохо. Вы имеете право отложить трудную задачу, если
потрудились над её решением определенное время, скажем, один час, и она у
Вас не получилась. В этом случае процесс усвоения новых идей будет более
эффективным.
4.
ПРИНЦИП СМЕНЫ ПРИОРИТЕТОВ. Приоритет идеи. В
период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач
Вам прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задачи; а
главное – правильная идея решения, которая может быть доведена до числа
за разумное время. Приоритет ответа. При отработке уже известных идей,
а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное –
правильный ответ. Никакие сверхкрасивые и сверхоригинальные идеи не
могут компенсировать наличие неверного ответа.
5.
ПРИНЦИП ВАРИАТИВНОСТИ. Очень полезно на примере
одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем
сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и
5
оригинальность, объём вычислительной
и объяснительной работы,
эстетическая и практическая ценность.
6.
ПРИНЦИП САМОКОНТРОЛЯ. Большинство людей склонны
прощать себе небольшие (да и крупные) ошибки. Проявлением этого
недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка
подстраиваться под ответ. Регулярный и систематический анализ своих
ошибок и неудач (выполнение работы над ошибками) должен быть
непременным элементом самостоятельной работы.
7.
ПРИНЦИП БЫСТРОГО ПОВТОРЕНИЯ. По мере накопления
числа решённых задач следует просматривать и некоторым образом
раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив примерно по
следующей схеме: эта задача простая – я её без труда решил в своё время и
сейчас вижу весь путь решения от начала до конца. Эта задача потруднее – я
её в свое время не решил (решил с трудом, нашёл правильную идею, но
запутался в вычислениях), но хорошо помню её решение, данное учителем
(товарищем). И, наконец, эту задачу я не решил, объяснение вроде бы понял,
но сейчас не могу восстановить в своей памяти. Надо разобраться в своих
записях или же спросить об этой задаче учителя.
8.
ПРИНЦИП МОДЕЛИРОВАНИЯ СИТУАЦИЙ. Полезно
моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на экзамене,
и отработать стереотипы поведения. Например, идёт спокойная работа,
получен ответ. Вдруг выясняется, что по ходу решения допущена ошибка.
Времени в обрез. Постарайтесь спокойно и без паники исправить ошибку.
Или: Вам надо решить две задачи. В принципе каждая из них Вам по силам,
но времени маловато. Что лучше? Гнаться за двумя зайцами или спокойно
поймать одного?
I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Свойства степеней:
1.
a 1, a 0
2.
a n
3.
a n b n ab
4.
a a a
0
1
an
6.
n
n
m
5.
nm
7.
8.
an
a nm
m
a
a
n m
a nm
1
n
a n a
k
n
a n ak
Формулы сокращенного умножения:
6
1.
a b 2
a 2 2ab b 2 .
2.
a b 2
a 2 2ab b 2 .
3. a 2 b 2 a b a b .
4.
a b 3
a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 .
5.
a b 3
a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 .
a ba
.
6. a b a b a ab b .
3
3
7. a b
3
3
2
2
2
ab b 2
При выполнении арифметических действий следует помнить порядок
действий: первыми осуществляются операции умножения и деления, затем –
сложения и вычитания. Если нужно изменить порядок, то ставятся скобки.
При наличии скобок, сначала выполняются действия в скобках, а затем все
остальные.
При преобразовании выражений с отрицательными и нулевыми
показателями
степеней
необходимо
правильно
пользоваться
их
определениями.
1 m3
(1 m) 2
m :
Пример 1. Упростить выражение
.
0,3
1 m
Решение: При m 1, m 1 имеем
(1 m)( m 2 m 1)
0,3
0,3
m
(m 2 m 1 m)
0,3
2
1 m
1 2m m 2
(1 m)
Ответ: {0,3, при m 1, m 1 }.
Пример 2. Вычислить:
5
1
5
172 170 3
6
3 12
1.
0,8 0,25
5 1
7
95 93 2 0,373
30
18 4
2.
0,2
Ответ: 29
Ответ: 23
7
12
173
200
7
7 6,35 : 6,5 9,8999...
1
12,8
: 0,125
3.
1
1
1,2 : 36 1 5 : 0,25 1,83 1 4
Ответ:
53
13 9 9
4,625 18 26 : 4 2,5 : 1,25 : 6,75 : 1 68
4.
1
5
7
0,375 : 0,125 : 0,358 1,4796 : 13,7
2
6 12
5
3
Ответ:
17
27
Упростить алгебраические выражения и вычислить их значения при
заданных параметрах:
a2 b2
1.
a
1
a2 b2 a2 b2 1
1
2
2
,
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a 2;
b 1,5.
Ответ: 6.
2
2
1
1
1
1
,
2.
x y
x
y
x
y
x
y
x 5, y 3.
Ответ: 0,6.
a 3 b 2a 2 b 2 ab 3 1 1
1
,
3.
2
2
a b
a b a b
a 25, b 4 .
Ответ: 7.
1
2
1
2
a b
a b
ab
ab ,
4.
a a b b
a a b b
1
1
a 1,2; b 0,8.
Ответ: 2.
1
2 ab
1
1 1 1
a b
ab ,
5.
a
b
a
b
a b
a 7 2,
b 7 2.
Ответ: -3.
6.
1
a a 1
: 1
a a 1
1
a 1
,
a 1
a 5.
Ответ: 2.
7.
a 2 ac 2 2c 2 4
a 2 4a 4
.
a 2 2a 2c 2 c 4 a 2 ac 2 2a 2c 2
8
Ответ: 0.
1
x y 1 x y 1
1 xy
xy 2
8.
x y
y
x
x
y
Ответ: 2.
x x y y
x y
xy
9.
x y
x y
1
x y
Ответ: 0.
2
а
10.
b a
2
a b 4 ab ab b 2
a b
:
.
a2
a ab
a b
2
Ответ: 0.
а 4
3
3 а 2
11. 6а 5 а 1
а 1
а 1
1
1
2 а 3
1
Ответ: 0.
II.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные методы решения алгебраических уравнений
1. Линейные уравнения
Линейные уравнения имеют вид ax + b = 0, при а ≠ 0.
Такое уравнение имеет один корень x
b
.
a
2. Квадратные уравнения
2
Полное квадратное уравнение имеет вид: ax bx c 0 , а ≠ 0,
где a, b, c – некоторые числа, х – переменная.
Для решения уравнения следует вычислить дискриминант
D b 2 4ac .
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня
x1
b D
b D
; x2
.
2a
2a
9
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет два одинаковых
корня: x1 x 2
b
.
2a
Замечания:
1.
Квадратное
уравнение
вида
x 2 px q 0
называется
приведенным.
Его дискриминант имеет вид D p 2 4q .
Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формулам:
p D
, если D 0;
x1, 2
2
p
x1 x 2 , если D 0;
q
нет действительных корней , если D 0.
2
2. Если квадратное уравнение имеет вид ax 2bx c 0
(второй коэффициент четный), то формула корней квадратного уравнения
принимает вид:
x1, 2
b b 2 ac
.
a
Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения
ax 2 bx c 0
равна
b
c
, а произведение корней равно , т.е.
a
a
b
x
x
;
1
2
a
x x c .
1
2
a
2
Если уравнение имеет вид: x px q 0 , то
x1 x2 p;
x1 x2 q.
10
III. Разложение квадратного трехчлена на
множители
Квадратным трехчленом относительно х называется выражение вида
ax 2 bx c , где а ≠ 0, b, c – некоторые действительные числа.
2
Имеет место равенство: ax bx c ax x1 x x2 ,
2
где х1 и х2 корни уравнения ax bx c 0 .
IV. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Иррациональным уравнением относительно х называется уравнение,
содержащее искомую величину под знаком радикала.
Основные методы решения иррациональных уравнений
1. Уединение радикала и возведение в степень. Смысл таких
преобразований
в
сведении
данного
иррационального
уравнения
к
равносильному ему рациональному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение
3x 4 x 4 2 x .
Решение. ОДЗ:
3 x 4 0,
x 4 0, ⇒
x 0.
4
x
,
3
x 4,
⇒ x4.
x 0.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
3x 4 x 4
2 x ,
2
2
3x 4 2 3x 4x 4 x 4 4x ,
2 3x 4x 4 0.
Еще раз возведем в квадрат, получим 3x 4x 4 0.
Отсюда имеем
11
1) 3х + 4 = 0, x1
4
ОДЗ ,
3
2) х – 4 = 0, х2 = 4 ∈ ОДЗ.
Ответ: 4.
2. Введение новой переменной (подстановка).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Пусть
x x 11 x x 11 4 .
x 11 y 0, x 11 y 2 , т.е. x y 2 11 .
Тогда исходное уравнение принимает вид
y 2 y 11
y 2 y 11 4 ,
y 2 y 11 4 y 2 y 11.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
y 2 y 11 16 8 y 2 y 11 y 2 y 11 ,
4 y 2 y 11 8 y .
После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим
8 y 0,
2
2 ⇒
4 y 2 y 11 8 y
0 y 8,
2
2 ⇒
16
y
16
y
176
64
16
y
y
0 y 8,
⇒ у = 4.
2
15 y 240.
Отсюда получаем
x 11 4 , х + 11 = 16, х = 5.
Проверка. Подставим в исходное уравнение корень х = 5.
5 5 11 5 5 11 4 ,
5 4 5 4 4,
3 + 1 = 4, 4 = 4 – верно.
Ответ: х = 5.
12
Решить уравнения:
1. 2 х 2 2 х 3 3х 5.
Ответ: 2.
2.
2 x 1 x 3 3x 4 .
Ответ: 4.
3.
х 2 х 4 х 2 х 1 2 х 2 2 х 9.
Ответ: 0; -1.
4.
х 2 3 3х 2 0.
Ответ: 2.
2
2
5. х 2 х х 2 х 8 12.
Ответ: -2; 4.
2
2
6. 2 х 8х х 4 х 12 9 0.
Ответ: 1; 3.
2
2
7. 2 х 6 2 2 х 3х 2 3х 3
Ответ: 0,5; 1.
8.
20 х
20 х
6.
х
х
9.
2х 1
х 1
2
1.
х 1
2х 1
Ответ: 5/2.
10.
3x 5
x2
1 6
.
x2
3x 5
Ответ: 3.
11.
x2
2 x 15
V.
Ответ: 12.
2 x 15 2 x
УРАВНЕНИЯ
Ответ: 5.
С
МОДУЛЕМ
Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля,
надо освободится от знака модуля, используя его определение:
x, если x 0,
x
x, если x 0.
На практике это делается так:
1) находят критические точки, то есть значения переменной, при
которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль;
13
2)
разбивают
область
допустимых
значений
переменной
на
промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля,
сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака
модуля.
Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и
составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Пример 1. Решить уравнение 1 2 x 3x 2 x 5 .
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком
модуля,
отмечаем на числовой оси полученные значения (рис.1).
2
3
0
1
2
х
Рис. 1
Решаем уравнение на каждом промежутке:
1)
если
x
2
3
то
1 2 x 0, 3x 2 0,
x0
и
уравнение
2
переписывается так 1 - 2х - 3х – 2 – х = 5, т.е. - 6х = 6, x 1 , ;
3
2) если
2
x 0 , то 1 2 x 0, 3x 2 0, x 0 и поэтому имеем
3
1 - 2х + 3х + 2 – х = 5, и так как 3≠5, то в рассматриваемом промежутке
корней нет;
3) если
0 x
1
, то 1 2 x 0, 3x 2 0, x 0 и получаем
2
уравнение
1
1 - 2х + 3х + 2 + х = 5, т.е. 2х = 2, x 1 0, ;
2
4) если x
1
, то 1 2 x 0, 3x 2 0,
2
-1 + 2х + 3х + 2 + х = 5, 6х = 4, x
x 0 и уравнение имеет вид
2 1
, .
3 2
14
2
x2 .
3
Ответ: x1 1;
Пример 2. Решить уравнение x x 1 1 .
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком
модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения (рис.2).
0
1
х
Рис. 2
Решаем уравнение на каждом промежутке:
x 0 , 0 ;
1) x , 0 , тогда –х – х + 1 = 1, - 2х = 0,
2) x 0, 1 , тогда х – х + 1 = 1, 1 = 1, х – любое из [0, 1);
3) x 1, , тогда х + х - 1 = 1, 2х = 2, x 1 1, .
Ответ: x 0, 1 .
2
2
Пример 3. Решить уравнение x 14 x 4 .
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное
уравнение
x
2
2
2
14 x 2 4 , x 4 28 x 2 196 x 4 8 x 2 16 ,
20 x 2 180,
x 2 9,
x1, 2 3 .
Ответ: х1 = -3, х2 = 3.
Пример 4. Решить уравнение 3 x 2 6 x 9 2 x 2 7
Решение.
3 x 2 6x 9 2 x 2 7
3 ( x 3) 2 2 x 7
3x3 2x 7
Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля,
отмечаем на числовой оси полученные значения (рис.3).
-3
0
Рис.3
х
15
Тогда имеем на каждом участке
x 3
3( x 3) 2 x 7
3 x 0
3( x 3) 2 x 7
x 0
3( x 3) 2 x 7
x 3
x 16
5
16
3 x 0
x 5
x 2
x 2
x 0
2
x посторонний корень
5
Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля,
отмечаем на числовой оси полученные значения (рис.4).
2
t
3
Рис. 4
Тогда на каждом промежутке имеем
t 2
t 2
t 2
2 t 3 t 1
2 t 3
2 t 3
t 2 3 t 1 0 0
t
3
t 3
t 3
t 2 t 3 1
t 2
2t 3
2 t 3
Вернемся к замене, проверив, что t удовлетворяет условию t 0
x 7
x 2 9
2 x2 3
x 2
x 2 4
2 x7
Ответ: 2 x 7 .
Решить уравнения:
1. 5 х х 1 10.
Ответ: -2; 8.
16
2. 4 х х 2 2.
Ответ: 2;4.
3. х 2 х 2 6.
Ответ: -3;3.
4.
х 1 х 1
х2
2.
Ответ: 1.
5. 3 х 4 х 3 х .
6.
x 3 x 2 5x 4
Ответ: -3; -9
Ответ: 3 2 ; 2 3
2
7. 1 x 2 x 1 3x 2
Ответ: 2.
8.
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1
Ответ: 2; 5
9.
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1
Ответ: 2,25
Ответ: 0; 1
10. x 1 2 x 2 x 1 2 x
Ответ: 4; 0
11. 4 x 4 x 4 x 4 4 x
12.
3
Ответ: ; 3
2
x 6x 9 x 6x 9 6
VI. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Основные тождества, используемые при решении показательных
уравнений (a 0,
a 1, b 0) :
1.
ax ay x y ,
4.
a xb x ab ,
2.
a xa y a x y ,
5.
a
3.
ax
a x y ,
y
a
6.
а0 1.
x
x
y
a xy ,
Основные методы решения показательных уравнений
17
Показательным
уравнением
называется
уравнение,
в
котором
неизвестное входит в показатель степени.
1. Приведение к одному основанию. Метод основан на следующем
свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и
их
показатели,
т.е.
уравнения
надо
попытаться
привести
к
виду
a f x a g x . Отсюда f x g x .
3
Пример 1. Решить уравнение
7
3 x 7
7
3
7 x 3
.
1
3 7
Решение. Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
7 3
3
7
3 x 7
3
7
7 x 3
.
Применив тождество (1), получим
3x 7 7 x 3,
x 1.
Ответ: 1.
x
Пример 2. Решить уравнение 0,125 4
2 x 8
0,25
.
2
Решение. Переходя к основанию степени 2, получим
x
1
1 2 2 x 8 1 2
2
2 ,
8
4
x
2 3 2 2 2 x 3
2 12
2 2 .
Согласно тождеству (2), имеем
2 3 22 x8 2 20,5
x
,
или
2 4 x19 2 2,5 x .
Последнее уравнение равносильно уравнению
4 x 19 2,5 x ,
18
откуда x
38
.
3
Ответ: x
38
.
3
2. Введение новой переменной.
2 x 1
5 x 1 250 .
Пример 3. Решить уравнение 5
Решение. Применив тождество (2), запишем уравнение в виде
5 2 x 5 1 5 x 5 250 0 .
x
Подставив 5 t 0 в последнее уравнение, получим
1 2
t 5t 250 0 .
5
Откуда
t1 50, t 2 25 . Значение
t1 50
не
удовлетворяет
условию
t >0. Значит 5 x 25, 5 x 5 5 и х = 2.
Ответ: 2.
x
x
x
Пример 4. Решить уравнение 9 6 2 4 .
Решение. Разделим обе части уравнения на 4 x 0 , получим
x
x
9
3
3
2 , или
2
4
2
2x
x
3
2 0.
2
x
3
Обозначим t 0 , тогда последнее уравнение запишется так:
2
t 2 t 2 0.
Решая уравнение, найдем, t1 2, t 2 1.
Значение t1 не удовлетворяет условию t > 0. Следовательно,
x
x
2
2
2
1,
3
3
3
0
x 0.
Ответ: 0.
x
x
Пример 5. Решить уравнение 2 3 2 3 4 .
Решение. Заметим, что 2 3 2 3 1 .
19
1
2 3
Значит,
2 3
.
Перепишем уравнение в виде
x
x
1
2 3 4 .
2 3
x
1
Обозначим 2 3 t 0. Получим t 4, т.е. t 2 4t 1 .
t
Конями данного уравнения будут t1, 2 2 3 .
x
Следовательно, 1) 2 3 2 3.
2 3
x
2
x
1,
2
2 3,
x 2.
x
2) 2 3 2 3 ,
1
x
1 2
2 3 ,
2 3
2 3
1
x
2
2 3,
x
1,
2
x 2.
Ответ:-2; 2.
Пример 6. Решить уравнение 10
x 13 x 4
3 10 x 1 x 2 101 x
x
Решение. Разделим обе части уравнения на 10
2
x
2
x
0.
Получим
10 3 x
2
7 x4
10 x
2
x
3
10 3 x
2
7 x 4 x 2 x
10 4 x
2
8 x 4
10 x
2
3 x 2
10 x
2
x
3 10 x
3 10 2 x
Обозначим 10 2 x
2
2
101 x
10 x
2
x
2
x
3 x 2 x 2 x
2
4 x2
4 x2
, т.е.
101 x
2
x x2 x
,
10 .
t 0 . Тогда t 2 3t 10 0 ⇒ t1 5; t 2 2 .
Корень t2 = -2 не подходит, так как t > 0.
Следовательно, 10 2 x
2
4 x2
5.
2
Отсюда 2 x 2 4 x 2 lg 5 , т.е. 2 x 4 x (2 lg 5) 0
20
x1.2
4 16 4 22 lg 5
4
Ответ: x1 1
1
1
lg 25 .
2
1
1
lg 25 , x 2 1
lg 25
2
2
3. Вынесение общего множителя за скобку.
Пример 7. Решить уравнение 6 x 6 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 .
Решение. После вынесения за скобку в левой части 6х , а в правой 2х,
получим 6 x 1 6 2 x 1 2 4 , или 6 x 2 x . Разделим обе части уравнения
x
x
на 2 0 , получим 3 1 , х = 0.
Ответ: 0.
Решить уравнения:
0,125х 1
25 4 х.
Ответ: 0,5.
4
х 1
х3
0,8 1,25
2.
5
Ответ: -1,5.
1.
х
3. 32
4.
5.
2
х
4
.
16 х
Ответ: -2; 0,2.
4 х 10 2 х 1 24.
4
х2
6. 5 2
7.
2
16 10 2
3 х 1
х х2 4
Ответ: 3.
х2
Ответ: 3; 11.
3 25 3 х 7 0.
5
2
х 2 х 2 4
60
х
х
х
8. 8 18 2 27
9.
х 1
Ответ: 0.
5 х 2 3х 4 5 х 3.
х2
10 3 х 2 3 х 3 11 2 2 х 0
11. 4
12. 4 15
4
х
Ответ: 2,5.
Ответ: 0.
9 х 12 х 2 16 х 0.
10. 7 3
Ответ: 1.
15
х
8.
Ответ: -1.
Ответ: 3.
Ответ: -1; 1.
21
13. х 2
2
2 х 1 1
2х 2
2 х 1 1
х 2 2 х 2.
1 х2
1 х 1
х
х 1
14. 3 4 9 6 4 9
3
2
4х2
15. 3
42 х 1 22 х 9 х 2 63 х 1.
Ответ: 2; 4.
Ответ: -0,5.
Ответ: 1.
VII. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в кото
ром неизвестное находится под знаком логарифма. Логарифмом числа
b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠1) называется показатель степени х, в
которую надо возвести основание а, чтобы получить число b, т.е. из a b
x
следует x log a b и наоборот.
Основные тождества, используемые при решении логарифмических
уравнений (a 0,
1. a
loga x
a 1, b 0) :
x (x > 0) (основное логарифмическое тождество),
2. log a a 1
3. log c ab log c a log c b,
4. log c
a
log c a log c b,
b
a 0, b 0, c 0, c 1
a 0, b 0, c 0, c 1
n
5. log a x n log a x ,
6. log a c
m
1
log a c ,
m
7. log a c
log b c
,
log b a
8. log a b
1
.
log b a
22
9. log a f x log a g x
f ( x) g ( x) (f(x) > 0, g(x) > 0)
Основные методы решения логарифмических уравнений
1. Решение уравнений, основанное на определении логарифма.
Пример 1. Решить уравнение log 3 5 4 log 3 x 1 2 .
Решение. По определению логарифма имеем
5 4 log 3 x 1 3 2 ,
или
4 log 3 x 1 9 5 , log 3 x 1 1 .
И снова по определению логарифма будем иметь х -1 = 3, х = 4.
Проверка. log 3 5 4 log 3 4 1 2 ,
log 3 5 4 log 3 4 1 2,
log 3 5 4 log 3 3 2,
log 3 5 4 2,
log 3 9 2.
Следовательно, х = 4 – решение данного уравнения.
Ответ: х = 4.
2. Решение уравнений потенцированием.
Пример 2. Решить уравнение log 2 3 x log 2 1 x 3 .
Решение.
3 x 0,
x 1.
1 x 0,
ОДЗ:
Применив тождество (3), можно записать
log 2 3 x1 x 3 log 2 2 или log 2 3 x 1 x log 2 2 3 .
Используя тождество (9) получим 3 x 1 x 23 ,
x 2 4 x 5 0.
Решая данное уравнение, найдем х1 = 5, х2 = -1.
Корень х1 = 5 не принадлежит ОДЗ.
23
Следовательно, решением уравнения является х = -1.
Ответ: х = -1.
3. Применение основного логарифмического тождества.
x
lg3 x
Пример 3. Решить уравнение log 2 9 2 10
.
Решение.
9 2 x 0,
2 x 9,
x log 2 9,
x 3.
ОДЗ:
x
3
,
3
x
0
,
x
3
,
Применив в правой части тождество (1), будем иметь
log 2 9 2 x 3 x .
По определению логарифма
2
3 x
92 ,
x
23
2x 9 0,
x
2
22x 9 2 x 8 0 .
x
Подставив 2 t 0 в последнее уравнение, получим
t 2 9t 8 0 .
Откуда t1 1, t 2 8 .
x
x
0
Значит 1) 2 1, 2 2
x1 0 ,
x
x
3
2) 2 8, 2 2
x2 3
х1 = 3 – посторонний корень
Ответ: х = 0.
4. Логарифмирование.
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
x 1lg x 1 100x 1 .
ОДЗ: x +1 > 0 ⇒ x > -1.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.
lg x 1
lg x 1
lg 100x 1 .
Используя тождества (3) и (5), получим
lg x 1 lg x 1 lg 100 lg x 1 .
2
Обозначим lg x 1 t . Тогда уравнение примет вид t 2 t , или
24
t 2 t 2 0 . Решая полученное уравнение, получим t1 = -1 и t2 = 2.
Тогда
lg x 1 1,
lg x 1 2,
x 1 10,
x1 0,9.
x 1 100,
x 2 99.
Ответ: -0,9; 99.
5. Замена переменной..
3
Пример 5. Решить уравнение lg x lg x 2 0 .
2
Решение.
ОДЗ: x > 0.
Введем переменную lg x t .
2
Исходное уравнение примет вид t 3t 2 0 .
Его решения t1 = 1 и t2 = 2.
Тогда
lg x 1,
x1 10.
lg x 2,
x 2 100.
Ответ: 10; 100.
2
Пример 6. Решить уравнение log x 9 x log 3 x 4.
Решение. ОДЗ: x 0,
2
x 1
Используя тождества 2, 3, 5 и 8, запишем уравнение в виде
log
x
9 log x x 2 log 32 x 4 ,
2 log x 3 2log 32 x 4,
2
2 log 32 x 4.
log 3 x
2
2 t 2 4, т.е.
t
Обозначим log 3 x t .Тогда уравнение примет вид
t 2 t 2 0 . Его решения t1 = -2 и t2 = 1.
Поэтому
log 3 x 2,
x1 32 ,
log 3 x 1,
x2 3.
1
x1 .
9
25
Ответ: 1/9; 3.
6. Переход к другому основанию.
Пример 7. Решить уравнение 1 log 2 x 1 log x 1 4.
Решение.
x 1 0,
ОДЗ:
x 1 1.
x 1,
x 2.
По свойству (7)
log x 1 4
log 2 4
2
log 2 x 1 log 2 x 1
Тогда уравнение примет вид
1 log 2 x 1
2
.
log 2 x 1
Обозначим log 2 x 1 t .Тогда исходное уравнение примет вид
1 t
2
2
или t t 2 0 . Его решения t1 = -2 и t2 = 1.
t
Тогда
log 2 x 1 2,
log 2 x 1 1,
1
,
4
x 1 2,
x 1
5
.
4
x2 3.
x1
Ответ: 5/4; 3.
Решить уравнения:
1.
log 4 2 log 3 1 log 2 1 3 log 2 x
2
2. log 3 x 4 x 12 2.
3. log x 1 x 5x 10 2.
4.
2
log 1 2 x 8 x 4 x 2 2
5. log 2 3 x log 2 1 x 3.
6.
log 5
x2
2
log 5
.
10
x 1
1
.
2
Ответ: 2.
Ответ: -1; -3.
Ответ: 3.
Ответ: 0,25.
Ответ: -1.
Ответ: 3.
26
Ответ: 0; 9
1
3
.
2 log 2 x 4 log 2 x
Ответ: 2; 8.
7.
lg x 2 6 x 9 lg 3 lg x 3.
8.
2
9.
3 log 24 x 4
1.
5 log 24 x 3 log 4 x 2
Ответ: 2; 1/16.
3
10. lg lg x lg lg x 2 0.
11.
Ответ: 10.
2 lg x
2
lg x.
lg x 1 lg x 1
Ответ: 0,01.
12. log 2 x log 4 x log 8 x 11.
Ответ: 64.
13. log 2 x x 2 log 2 x x 3 1.
Ответ: 6.
14. log 3 x 1x log 3
Ответ: 1.
15. lg 10 lgx
2
lg x
17. x
2 logх 10
18. x
2 lg
3
1 lg x
21
10lg x
16. x
x
0.
x 1
lg x
Ответ: 3; 7.
20.
Ответ: 0,1; 10.
10 x.
x 1, 5 lg x
Ответ: 10.
10.
19. log 25 x 1 log
5
Ответ: 0,1; 10.
1
log 1 125.
x 1
25
Ответ: 6.
2
20. log x 5x log 5 x 1.
Ответ:
21. log 3 x 7 5 x 3 log 5 x 3 3x 7 2.
Ответ: 2.
2
2
2
22. log 2 x 1 5 8 x 4 x log 5 2 х 4 x 4 x 1 4.
log 2 x3 3x 2 2 x 1
log 2 x x log 2 x 2.
23.
log 2 x3 2 x 2 3x 5
5;
1
.
5
Ответ: 1; 0,5.
Ответ: 1.
x 3
log 6 3 x 2 x.
24. log 6 2
Ответ: log 3 4.
25. 1 2 log x 2 log 4 10 x
Ответ: 2; 8.
2
log 4 x
27
VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента:
1. sin 2 x cos 2 x 1 ,
2. tgx
sin x
,
cos x
2
4. 1 tg x
3. ctgx
1
,
cos 2 x
cos x
,
sin x
2
5. 1 ctg x
1
.
sin 2 x
2. Формулы сложения:
1. sin x y sin x cos y cos x sin y ,
2. sin x y sin x cos y cos x sin y ,
3. cosx y cos x cos y sin x sin y ,
4. cosx y cos x cos y sin x sin y ,
5. tg x y
tgx tgy
,
1 tgxtgy
6. tg x y
tgx tgy
.
1 tgxtgy
3. Формулы кратных аргументов:
1. sin 2x 2 sin x cos x ,
2. cos 2 x cos 2 x sin 2 x ,
3. cos 2 x 2 cos 2 x 1 ,
4. cos 2 x 1 2 sin 2 x ,
5. tg 2 x
2tgx
,
1 tg 2 x
3
6. sin 3x 3 sin x 4 sin x ,
7. cos 3x 4 cos 3 x 3 cos x .
4. Формулы преобразования сумм или разностей в произведение:
1. sin x sin y 2 sin
x y
x y
cos
,
2
2
2. sin x sin y 2 sin
x y
x y
cos
,
2
2
28
3. cos x cos y 2 cos
x y
x y
cos
,
2
2
4. cos x cos y 2 sin
5. tgx tgy
x y
x y
sin
,
2
2
sin x y
,
cos x cos y
6. tgx tgy
sin x y
.
cos x cos y
5. Преобразование произведений в суммы или разности:
1. sin x sin y
1
cosx y cosx y ,
2
2. cos x cos y
1
cosx y cosx y ,
2
3. sin x cos y
1
sin x y sin x y .
2
6. Формулы понижения степени:
2
1. cos x
1 cos 2 x
,
2
2
2. sin x
1 cos 2 x
.
2
7. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента:
x
x
x
2tg
1 tg 2
2tg
2
2
2
cos x
tgx
1. sin x
,
2.
,
3.
x.
x
x
1 tg 2
1 tg 2
1 tg 2
2
2
2
8. Формулы приведения:
sin x sin x
sin x cos x
2
sin x cos x
2
cos x cos x
cos x sin x
2
cos x sin x
2
sin x sin x
sin x sin x
cos x cos x
cos x cos x
3
sin
x cos x
2
3
sin
x cos x
2
3
cos
x sin x
2
3
cos
x sin x
2
29
tg x ctgx
2
tg x tgx
tg x ctgx
2
9. Значения тригонометрических функций основных углов
Функция
00
0
sin(x)
0
cos(x)
1
tg(x)
0
ctg(x)
∞
300
6
1
2
450
4
2
2
2
2
3
2
3
3
3
Угол
900
2
600
3
3
2
1
2
1
0
1200
2
3
3
2
1
2
1350
3
4
2
2
2
2
1
3
∞
3
-1
1
3
3
0
3
3
-1
1500
5
6
1
2
1800
3
2
3
3
-1
3
∞
0
0
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения
вида:
sin x a; x 1 arcsin a n,
a 1,
n
cos x a,
tgx a,
ctgx a,
x arccosa 2 n,
a 1,
x arctga n, a R,
x arcctga n, a R,
n 0; 1, 2, ..., n Z
Решения простейших тригонометрических уравнений при а = 0 и
а = ± 1 целесообразно запомнить:
sin x 0
x k ,
sin x 1
x
sin x 1
x
cos x 0
x
2
2
k Z
2k , k Z
2
2k ,
k Z
k Z
k ,
cos x 1
x 2k ,
cos x 1
x 2k ,
tgx 0
x k ,
k Z
k Z
k Z
30
k , k Z
2
При использовании формул решения тригонометрических уравнений
x
ctgx 0
необходимо учитывать, что
arcsin x arcsin x, arccos x arccos x,
arctg x arctgx, arcctg x arcctgx.
Для
тригонометрических
уравнений
в
отличие,
например,
от
квадратных уравнений не существует единого метода решения. Различные
тригонометрические уравнения требуют порой разных способов решения.
Поэтому, чтобы легко можно было отыскать подходящий способ решения,
нужно хорошо знать тригонометрические формулы и уметь их применять.
Далее на конкретных примерах показаны некоторые способы решения
тригонометрических уравнений.
1. Общий прием. Он заключается в том, что все тригонометрические
функции,
которые
входят
в
уравнение,
выражают
через
одну
тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.
2
Пример 1. Решить уравнение 2 cos x 5 sin x 4 0 .
2
2
Решение. Заменим cos x 1 sin x .
2
Получим 2 1 sin x 5 sin x 4 0 ,
2 sin 2 5 sin x 2 0 .
Отсюда находим sin x
вариант sin x
x 1
n
1
или sin x 2 . Так как sin x 1 , то остается
2
1
1
n
, из которого получаем x 1 arcsin n, n Z ,
2
2
6
n, n Z .
Ответ: x 1
n
6
n, n Z
Пример 2 . Решить уравнение
1
5
.
tg 2 x
cos2 x
4 cos2 x
Решение. Воспользовавшись формулой tg 2 x
1 cos 2 x
, получим
1 cos 2 x
31
1
1 cos2 x
5
. А после замены cos2 x t , придем к
cos2 x 1 cos2 x 21 cos2 x
уравнению
1 1 t
5
1
. Решив уравнение, найдем корни t1 , t 2 2 .
t 1 t 21 t
2
Отбрасывая, второй корень t 2 2 1 , получаем одно уравнение cos2 x
1
,
2
которое равносильно исходному.
2x
Отсюда находим
Ответ:
6
3
2 n, x
6
n .
n .
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. В этом случае
путем
замены
данное
тригонометрическое
уравнение
приводится
к
алгебраическому уравнению.
Пример 3. Решить уравнение 3 cos 2 x 10 cos x 3 0 .
Решение. Пусть cos x y . Тогда данное уравнение примет следующий
2
вид 3 y 10 y 3 0 . Решив его, найдем у1 = 1/3 и у2 = 3. Значение у2 = 3 не
удовлетворяет условию, так как cos x 1 .
1
1
Следовательно cos x , тогда x arccos 2n, n Z .
3
3
Ответ: x arccos
1
2n, n Z .
3
3. Методы группировки. Путем группировки слагаемых уравнение
приводят к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть
32
равна нулю. Уравнение в этом случае распадается на несколько более
простых уравнений.
Пример 4. Решить уравнение 2sin 3 x cos2 2x sin x .
Решение. Сгруппируем члены уравнения:
sin x 2 sin x cos
3
2
2 x 0, sin x 1 2 sin 2 x cos 2 2 x 0,
sin x cos 2 x cos 2 2 x 0,
cos 2 xsin x cos 2 x 0
Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности двух
n
n, x1 ;
2
4 2
уравнений: 1) cos 2 x 0, 2 x
2) sin x cos2 x 0 .
sin x cos x .
2
По формуле приведения имеем
Тогда исходное уравнение примет вид cos2 x cos x 0 .
2
Воспользовавшись формулой разности косинусов, получаем
x
2 sin
x
Отсюда: 1)
2
2)
2
Ответ:
3x
2
4
x2
k,
n
2
;
6
2
3x
2
0.
2 n ; n Z ,
x3
2 sin 2
2
2 n,
6
2k
,
3
kZ .
2k
, n Z, k Z .
3
33
Пример 5. Решить уравнение sin x
1
sin 3 x cos3 x .
4
2
1
sin x cos x , а
Решение. Так как sin x
4
2
sin 3 x cos 3 x sin x cos x sin 2 x sin x cos x cos 2 x
sin x cos x 1 sin x cos x ,
то, вынося общий множитель за скобку, преобразуем уравнение к виду:
sin x cos x 1 sin x cos x
1
0.
2
Отсюда имеем:
tgx 1,
1) sin x cos x 0 ,
2 1
2) sin x cos x
4
k ;
1
2 1
sin 2 x
, sin 2 x 2 2 .
2
2
,
2
0 2 2 1 , значит, это уравнение имеет решение
Так как
x
x1
1
1n arcsin 2 2 n .
2
2
Ответ: x1
x2
4
k ,
kZ ,
1
1n arcsin 2 2 n , n Z
2
2
4. Однородные и приводимые к ним уравнения. Однородные
уравнения,
т.е.
уравнения
вида
a sin x b cos x 0
,
a sin 2 x b sin x cos x c sin 2 x 0
и т.д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова)
приводятся к
алгебраическим уравнениям относительно tgx путем деления обеих частей
уравнения на cosx ≠0 и cos2 x ≠0
соответственно. Некоторые уравнения
2
2
можно сделать однородными путем замены 1 на sin x cos x .
34
Пример 6. Решить уравнение
sin 2 x 3sin x cos x 2 cos2 x 0 .
Решение. Заметим, что если
x 0 - решение этого уравнения, то
cos x0 0 . Действительно, если
cos x0 0 , то из уравнения следует, что и
sin x0 0 , а это невозможно.
Разделим обе части уравнения на cos2 x . Так как cos x 0 , то после
такого преобразования мы получим равносильное уравнение
tg 2 x 3tgx 2 0 .
Решая его, найдем
n, n Z ,
4
2) tgx 2, x2 arctg 2 , k Z .
1) tgx 1, x1
x1
Ответ:
4
n, n Z , x 2 arctg 2 , k Z .
Пример 7. Решить уравнение
2 sin 3 x cos x .
Решение. Левая и правая части уравнения однородны относительно
sin x и cos x степеней 3 и 1 соответственно. Эти степени можно сделать
равными, если помножим правую часть на 1 sin 2 x cos 2 x .
Получим 2 sin 3 x cos x sin 2 x cos3 x .
Разделим обе части уравнения на cos 3 x . Так как cos x 0 , то после
такого преобразования мы получим равносильное уравнение
2tg 3 x tg 2 x 1 0
Пусть tgx t ,
тогда
2t 3 t 2 1 0,
2t 3 2t 2 t 2 1 0,
2t 2 t 1 t 1t 1 0,
t 12t 2 t 1 0,
t 1.
Следовательно, tgx 1, x
Ответ:
4
4
n.
n .
5. Введение дополнительного угла. Введение дополнительного угла
полезно при решении уравнений вида a sin x b cos x c .
35
Введем дополнительный угол по формулам
a
cos
a 2 b2
, sin
b
a 2 b2
.
Преобразуем левую часть исходного уравнения
a
b
a 2 b 2 sin x
cos x
a2 b2
a2 b2
a 2 b 2 sin x cos cos x sin a 2 b 2 sin x
Тогда уравнение примет вид sin x
решение, если c
c
a b
2
2
. Уравнение имеет
a2 b2 .
Пример 8. Решить уравнение cos2 x sin 2 x 1.
Решение. Имеем a b 1, c 1,
Пусть
, тогда cos
4
sin
4
4
a 2 b2 2 .
1
, и поэтому исходное
2
уравнение имеет вид
2 sin 2 x 1,
4
2x
4
1
Ответ:
n 1
4
1
sin 2 x
,
4
2
x 1
n,
x 1
n 1
n 1
8 2n .
1
8 2n .
1
6. Введение вспомогательного угла.
Суть метода в том, что
некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию
соответствующего аргумента φ, а затем производят тригонометрические
преобразования.
Пример 9. Решить уравнение
3
1
cos x sin x 1
2
2
36
Решение. Так как
3
cos ,
2
6
а
1
sin , то исходное уравнение
2
6
примет вид
cos
6
cos x sin
6
sin x 1
cos x 1, x 2n,
6
6
Ответ: x
6
nZ ,
6
2n,
nZ
2n, n Z
Универсальная
7.
x
подстановка.
Уравнения
вида
a sin x b cos x d 0 , где a, b, d - действительные числа и a, b ≠0, удобно
применять универсальную подстановку tg
x
1 t2
2
cos x
1 t2
2 x
1 tg
2
1 tg 2
и
x
t . Тогда
2
2tg
sin x
x
2
1 tg 2
x
2
2t
1 t2 .
Уравнение становится рациональным. После нахождения его решения
надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа
x 2n, n Z .
(Делая
подстановку,
считаем,
что
cos
x
0, т.е.
2
x 2n, n Z ).
Пример 10. Решить уравнение 3 cos x 4 sin x 5 .
Решение. Используя приведенные формулы, перепишем уравнение в
виде
x
x
2tg
2 4
2 5
3
,
x
x
1 tg 2
1 tg 2
2
2
1 tg 2
3 3tg 2
4tg 2
x
x
x
8tg 5 5tg 2 ,
2
2
2
x
x
4tg 1 0 ,
2
2
37
2
x
2tg 1 0 ,
2
tg
Ответ: x 2arctg
x 1
,
2 2
x 2arctg
1
2n, n Z .
2
1
2n, n Z
2
8. Решение уравнений с применением формул понижения степени.
Если тригонометрические уравнения содержат sinx и cosx в четной степени,
то полезно применять формулы понижения степени
sin 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
2
и cos x
.
2
2
Пример 11. sin 2 x sin 2 2 x 1
2
Решение. Используя формулу sin x
1 cos 2 x
приведем исходное
2
уравнение к виду:
1 cos 2 x 1 cos 4 x
1 cos 2 x cos 4 x 0 2 cos 3x cos x 0
2
2
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений
а) cos 3x 0,
б) cos x 0,
3x
x
2
2
n,
k ,
x
6
3
n, n Z
k Z .
Множество решений уравнения б) является подмножеством множества
решений уравнения а), поэтому в ответе запишем лишь корни уравнения а).
Ответ:
x
6
3
n, n Z .
9. Способ подстановки. Уравнение вида Psin x cos x, sin x cos x 0
2
решаются с помощью замены cos x sin x t 1 2 sin x cos x t
Пример 12. Решить уравнение sin x cos x 1 sin x cos x
38
Решение. Обозначим cos x sin x t . Тогда
t 2 1
sin x cos x
.
2
Наше исходное уравнение в новых обозначениях будет выглядеть так:
t2 1
t 1
2
t 12 0,
t 2 2t 1 0,
или
t 1,
т.е. sin x cos x 1
Умножим и поделим левую часть уравнения на 2 , получим
1
1
2
sin x
cos x 1
2
2
sin x sin
x
4
4
cos x cos
4
2n,
4
1
2
,
nZ , x
Следовательно, x1 2n,
Ответ: x1 2n,
2
cos x
,
4 2
4
4
2n, n Z .
n Z , x2
n Z , x2
2
2
2m,
2m,
mZ
mZ
10. Решение тригонометрических уравнений вида f x g x
Пример 13. Решить уравнение 1 cos x sin x, x , 3 .
1 cos x 0,
Решение. ОДЗ:
sin x 0.
При условии, что обе части уравнения неотрицательны, возведем их в
квадрат:
1 cos x sin 2 x , 1 cos x 1 cos 2 x , cos 2 x cos x 0 ,
cos xcos x 1 0 .
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений
k ,
а) cos x 0,
x1
б) cos x 1,
x2 2n,
2
kZ ,
nZ
39
x , 3 , решениями исходного уравнения
Но так как sin x 0 и
являются корни x1 2 ,
Ответ: x1 2 ,
x2
x2
5
.
2
5
.
2
Решить уравнения:
Ответ: x
1. cos x cos 3x 2 sin 2x.
2
2. 2 cos
x
cos 2 x 1.
2
Ответ: x
3
2
n, n Z
2k 1,
kZ
5 sin 2 x 7 sin x cos x 4 cos 2 x 1.
3.
Ответ:
x1
4.
4
3
x 2 arctg k , n, k Z
4
n,
sin 4 x 2 cos 4 x 2 cos 4 x 2 sin 4 x 2
3.
Ответ: x 1
k
48
8
k, k Z
5. sin x cos 2x 1 sin x cos 2x.
6. 1 cos 2 x tgx .
Ответ: x1
2k ; x 2 n, k , n Z
2
Ответ: x1
k ; x 2 n, k , n Z
4
7. sin 4 2 x cos 4 2 x sin 2 x cos 2 x.
Ответ: x
8
2
k, k Z
8. sin 4 x cos 4 x sin 4 x.
Ответ:
x1 1
k 1
9.
12
2
k,
x2
4
1 cos 2 x sin 2 x cos x
.
2 cos x
1 cos 2 x
2
т,
m, k Z
Ответ: x
k ,
4
k Z
40
10. cos 3x sin 2x sin 4x 0 .
Ответ: x
6
3
k, k Z
sin 5x cos 3x sin 6x cos 2x.
11.
Ответ: x1
6
3
x 2 n, n, k Z .
k,
12. sin x cos x 1 sin x cos x.
Ответ: x1
13. sin 2 x tgx 2
2
2k ; x 2 2n, n, k Z .
Ответ: x
4
k ,
kZ .
14. 1 tgx1 sin 2 x 1 tgx
Ответ: x1
k ; x 2 n, k , n Z .
4
2
15. 2 sin x 2 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0.
Ответ: x1
n
2k ; x 2 1
n, x 3 2m,
2
6
m, k , n Z
1
1
1
4 cos 2 x
1 sin x 1 sin x
3
16.
Ответ:
x1
17.
6
2k , х2
5
2n, k , n Z
6
cos 2 x sin 2 x
2tgx ctgx 2
cos 2 x sin 2 x
Ответ: x1
IX.
4
n,
x 2 arctg 3 k , n, k Z
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
41
Линейным неравенством называется неравенство вида
ax b 0 или
ax b 0 . Если
a 0 , то первое неравенство равносильно неравенству
b
b
x ; если a 0 , то равносильно неравенству x .
a
d
Решить неравенство, содержащее переменную,- значит найти множество
значений переменной, при которых это неравенство является верным.
Элементы множества называются решениями неравенства.
Два неравенства называются равносильными, если множества решений этих
неравенств совпадают.
Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит
только рациональные функции.
Их решают методом интервалов, который основан на важном свойстве
рациональной функции: в интервале между двумя своими соседними
критическими точками (корнями числителя и знаменателя)
рациональная функция сохраняет знак.
Изменение знаков рациональной функции иллюстрируют с помощью
волнообразной кривой, которую чертят справа налево, и проводят через все
критические точки. При этом:
- если кратность какого-либо корня нечетная, то волна пересекает ось Ох,
т.е. переходит с одной стороны оси на другую;
- если кратность какого-либо корня четная, то волна остается по одну
сторону от оси Ох, такую точку называют точкой возврата.
Пример 1. Решить неравенство
x 3 3x 2 x 3
0.
x 2 3x 2
Решение: Нули многочлена, стоящего в знаменателе: x 1, x 2 .
Нули
многочлена,
стоящего
в
числителе,
3
2
2
x 3x x 3 x x 3 x 3 x 3x 1x 1 .
Тогда неравенство можно записать в виде
x 3x 1x 1 0 .
x 1x 2
Критические точки рациональной функции x 2, x 1, x 1, x 3 .
Числовая ось этими точками разбивается на 5 интервалов. Отмечаем
точки на числовой оси. Для определения знака функции на каждом интервале
можно действовать следующим образом. Замечаем, что при
x 3 все
линейные множители числителя и знаменателя положительны и,
следовательно, на интервале 3; функция принимает только
положительные значения. Над этим интервалом ставим знак «плюс». Затем
знаки меняются при переходе через каждую критическую точку, кроме точки
x 1, т.к. множитель x 1 присутствует и в числителе, и в знаменателе
рациональной функции. Записываем объединение интервалов, на которых
функция имеет положительный знак. Поскольку заданное неравенство
строгое, сами критические точки не являются решениями. Получаем ответ
2;1 1;1 3; .
42
В процессе решения данного неравенства может возникнуть соблазн
x 1x 3 0 .
x 2
заменить его с самого начала более простым неравенством
Такое упрощение (сделанное без всяких оговорок) приведет к ошибке.
Полученное неравенство неравносильно исходному, т.к. в его множество
решений входит x 1, а это значение переменной не является решением
данного неравенства.
Ответ:
2; 1 1; 1 3; .
Пример 2. Решить неравенство
x 32 x 2 x 1 0 .
4 x x
Решение:
Критические
точки
рациональной
функции
x 3, x 0, x 4 . Числовая ось разбивается на четыре интервала, на
каждом из которых легко определяется знак функции. При определении
знака нужно следить только за изменением знака линейных множителей
x 32 и x 2 x 1
знаменателя, т.к. квадратичные корни числителя
положительны на всех четырех интервалах. Из трех критических точек
только x 3 входит в множество решений неравенства.
Ответ: 3 0; 4
Пример
3.
Найти
область
определения
функции
2
1
2x 1
.
3
x x 1 x 1 x 1
2
Решение: Для нахождения области определения данной функции
2
1
2x 1
3
0 . Приведем его к
x x 1 x 1 x 1
2x 1 x 2 x 1 2 x 1
x2 x 2
стандартному виду
Находим
0
,
0.
x3 1
x3 1
критические точки x 1 и x 2 и записываем неравенство следующим
x 1 x 2
0 . Критические точки разбивают числовую ось на три
образом
x 1
нужно решить неравенство
2
интервала. Определяем знак левой части неравенства на каждом интервале.
Исследуем сами критические точки: точка x 2 является нулем числителя и,
т.к. неравенство нестрогое, входит в множество решений. Точка x 1, хотя и
является нулем числителя, не принадлежит множеству решений из-за того,
что обращает в нуль знаменатель.
Ответ: ; 1 1; 2
Решить неравенства:
1. 3x 2 13x 44 x 2 12 x 9 0
2.
x 2 7 x 12
0
x 2 10 x 20
1
Ответ: ; 4
3
Ответ: 5 5; 3 4; 5 5
43
3.
4.
5.
6.
7.
2x 5
1
x 6x 7 x 3
8 4x
2
3
2
x 4 x
4x x
2
1
2x 1
3
2
x x 1 x 1 x 1
2
3
4x
2 x 2 x 4 x2
2
1
1
2
2
2
x x 1 x 1 x
x 12
Ответ:
2
; 1 3; 7
Ответ: 4; 0 0;
Ответ: ; 1 1; 2
Ответ: 2; 2 2;
Ответ: ; 1 1; 0 0; 1
Найти область определения функции:
1. f x
2. f x
3 3x
1
15 2 x x 2
3 x
Ответ: 5; 3 3; 4
Ответ: 1; 2
x 2 2x 2
x
3 2x x 2
X. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что
большее значение имеет предварительное определение области допустимых
значений неравенства; иногда процесс отыскания решения заканчивается
вместе с установлением области допустимых значений неравенства.
При
решении
иррациональных
неравенств
используются
утверждения:
1) если обе части неравенства на некотором множестве принимают
неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в четную
степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство
равносильное данному неравенству на некотором множестве;
2) возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную
степень с сохранением знака неравенства, всегда является преобразованием
равносильным.
3) Иррациональное неравенство
f x g x равносильно системе
неравенств:
44
f x 0,
g x 0,
2
2
f x g x .
4)
Иррациональное
f x g x равносильно
неравенство
совокупности двух систем неравенств:
f x 0,
g x 0,
2
2
f x g x ;
и
Пример 1. Решить неравенство
f x 0,
g x 0.
x 61 x 5 .
Решение. ОДЗ x+61 ≥ 0, x ≥- 61.
Правая часть неравенства (x +5) может быть отрицательной.
Рассмотрим два случая.
1) x + 5 ≥ 0, x ≥ -5. В этом случае обе части неравенства
неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства можно возвести в
квадрат:
x + 61 < x2 + 10x + 25, - x2 - 9x + 36 < 0, x2 + 9x – 36 > 0.
Разложим на множители x2 + 9x – 36 = (x - x1)(x - x2), где x1 и x2 –
корни уравнения x2 + 9x – 36 = 0.
x1, 2
9 81 4 36 9 15
,
2
2
x1 = -12, x2 = 3.
Следовательно, x2 + 9x – 36 = (x + 12 )(x - 3).
Таким образом, x 12x 3 0 .
Найдем пересечение полученного множества с множеством x ≥ -5 и
множеством ОДЗ x ≥- 61 (рис.5).
3
х
-12
х
-5
х
-61
Рис. 5
45
Пересечением данных множеств является x >3.
2) x + 5 < 0, x < -5.
В этом случае левая часть неравенства неотрицательна, а правая
отрицательна. Такое неравенство неверно.
Ответ: x 3, .
x 7 x 1 .
Пример 2. Решить неравенство
Решение. ОДЗ x + 7 ≥ 0, x ≥- 7.
Правая часть неравенства (x +1) может быть отрицательной.
Рассмотрим два случая.
x 7 0,
x 7,
x 1,
x
1
0
,
x
1
,
1)
⇒
⇒ 2
x 7 x 2 2 x 1.
2
x x 6 0.
2
x 7 x 1 .
Разложим на множители
x2 + x – 6 = (x - x1)(x - x2), где x1 и x2 – корни уравнения x2 + x – 6 = 0.
x1, 2
1 1 4 6 1 5
,
2
2
x1 = - 3, x2 = 2.
Следовательно, x2 + x – 6 = (x + 3 )(x - 2).
Продолжаем решать систему неравенств (рис. 6).
-1
х
x 1,
x 3x 2 0.
х
2
-3
Рис. 6
Следовательно, x 1; 2 .
2)
x 7 0,
x 7,
⇒
x 1 0.
x 1.
46
3) Объединим полученные решения (рис. 7).
2
х
-1
Таким образом, x 7; 2 .
х
7; 2 .
Ответ: x -7
-1
Рис. 7
Пример 3. Решить уравнение
5x 6 x 1 4
Решение. Уединим радикал и запишем уравнение в виде
5x 6 4 x 1
5 x 6 0,
x 1 0,
5 x 6 16 8 x 1 x 1.
6
x
,
5
x 1,
8 x 1 4 x 9.
⇔
x 1,
8 x 1 4 x 9.
При решении второго неравенства рассмотрим два случая
x 1,
4 x 9 0,
x 1,
4 x 9 0,
2
64( x 1) 16 x 72 x 81.
x 1,
x 9 ,
4
9
x ,
4
16 x 2 136 x 145 0.
Разложим на множители 16x2 - 136 x +145 = (x - x1)(x - x2),
где x1 и x2 – корни уравнения 16x2 - 136 x +145 = 0.
x1, 2
x1
136 136 2 4 16 145 136 18496 9280 136 96
,
32
32
32
29
5
7,25; x 2 1,25.
4
4
Следовательно, 16 x 2 136 x 145 16x 7,25x 1,25
47
Продолжаем решать систему неравенств.
x 1,
x 2,25,
x 2,25,
16 x 7,25 x 1,25 0.
2,25
1
х
2,25
х
1,25
7,25
х
Рис. 8.
Решение первой системы является 1≤ х < 2,25.
Решением второй системы является 2,25 ≤ х < 7,25.
Объединяя решения, получим 1 ≤ х < 7,25.
Ответ: 1 ≤ х < 7,25.
Пример 4. Решить уравнение
2
2 4 x2
1
2 4 x2
1
x
.
Решение. Преобразуем уравнение,
4 2 4 x2 2 4 x2 1
0,
x
4 (4 x 2 )
6 4 x2 1
0,
x
x2
6 x 4 x2
0.
x2
Отсюда следует
48
x 0,
2
6 x 4 x 0.
Решаем полученное неравенство.
x 0
2
4 x
x 0
2
4 x 0
6
x
0
6 x
4 x 2 ( 6 x ) 2
x 0
x 0
x 0
2
( x 2)( x 2) 0
2 x 2
x 4 0
x
6
x
6
x
6
4 x 2 36 12 x x 2
2 x 2 12 x 32 0
x 2 6 x 16 0.
Неравенство х2 - 6х +16 > 0 выполняется для любого х, так как
функция
y x 2 6 x 16
не имеет нулей (дискриминант уравнения
x 2 6 x 16 0 отрицательный).
Следовательно,
2 x 2
2 x 0
x 0
0 x 2
x 6
Ответ: 2;0 0;2.
Решить неравенства:
1.
4 x2 4 x x2 2.
Ответ: 0 x 2 .
2.
x 1 x 1 x 1.
Ответ: x 1 .
3.
x 3 x 2 2 x 1.
Ответ: x 2 .
49
4.
28
;
3
Ответ: x
x 3 x 1 x 2.
5. 1 x
Ответ: 2;
x2 2x.
6.
х 2 х 3 5.
Ответ: 3 х 7
7.
х2 3х 2 x 2.
Ответ: x
8. 3 х х 6 4 х 2.
2
Ответ: x 2; 2
9.
х 2 3х x 7.
Ответ: х 3; 0
10.
х 2 5х 7 3 x.
Ответ: x 2
11.
x2 1
2 x 2 5x 2
Ответ: x 0,5;1
0
6 x 2x 2
0
12.
x 1
Ответ: x 1; 1,5 2
Найти область определения функций
1. y lg 6 x 6 x 18
Ответ: x 6; - 2
2. y 6 x 3 x 15
Ответ: x 3; 1
3. y
Ответ: x 2;
x 3 x 2 2x 4
4. y x 3 x 3 1
Ответ: x 3; 4 7;
XI. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется
показательным.
Решение показательных неравенств вида a f x a g x (где a 0, a 1 )
основано на следующих утверждениях:
- если a 1 , то неравенства a f x a g x и f x g x равносильны;
- если 0 a 1 , то неравенства a f x a g x и f x g x равносильны.
Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма,
называется логарифмическим.
50
Неравенство вида log a f x log a g x равносильно системе f x g x 0 при
a 1; и системе 0 f x g x при a 0; 1 .
При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие
свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и
область ее определения.
Если неравенство содержит степень, основание и показатель которой
зависят от переменной, то при решении неравенств рассматриваются лишь
такие значения переменной, при которых основание положительно.
1
x
Пример 1. Решить неравенство 0,5 0,0625 .
Решение: Заметим, что 0,0625=0,54. Тогда можно записать
1
неравенство в виде 0,5 x 0,5 4 . Поскольку показательная функция с
основанием, меньшим единицы, убывает, это неравенство верно тогда, когда
1
4 . Этому неравенству удовлетворяют следующие
x
1
значения: x 0, x .
4
1
Ответ: ; 0 ; .
4
верно неравенство
Пример 2. Решить неравенство x 32 x 7 x 1 .
Решение: Если x 3 1 , то данное неравенство верно тогда, когда
2
x 3 1,
2
2 x 7 x 0
является решением исходного неравенства. Если 0 x 3 1 , то неравенство
верно тогда, когда верно неравенство 2 x 2 7 x 0 . Значит, любое решение
0 x 3 1,
системы неравенств 2
также является решением исходного
2 x 7 x 0
2 x 2 7 x 0 . Значит, любое решение системы неравенств
неравенства.
При x 3 1 , т.е. при x 4 , исходное неравенство, очевидно,
неверно. Из сказанного следует, что множество решений исходного
неравенства является объединением множеств решений двух рассмотренных
систем.
Легко найти, что множество решений первой системы есть интервал
4; , а второй системы – интервал 3; 3,5 . Тогда общее решение исходного
неравенства 3; 3,5 4; .
Ответ: 3; 3,5 4; .
Пример 3. Решить неравенство log 0,2 x 2 4 1 .
Решение: Следует рассматривать лишь те значения x , для которых
2
x 4 0 . Логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы,
убывает, поэтому решениями исходного неравенства являются те значения
переменной, которые удовлетворяют неравенству x 2 4 0,2 1 5 . Получаем
систему неравенств 0 x 2 4 5 . Значит, 2 x 3 .
51
Ответ: 2 x 3 .
Пример 4. Решить неравенство log 2 log 0,5 2 x
15
2.
16
Решение: Это неравенство равносильно системе неравенств
15
0 log 0,5 2 x 4 . Эта система в свою очередь равносильна системе
16
15
1 2 x 0,5 4 . Здесь было учтено, что основание логарифма меньше
16
15
единицы, а также то, что неравенство 2 x 0 следует из правого
16
неравенства этой системы. Преобразуя полученную систему, получаем
31
2 x 1 , откуда log 2 31 4 x 0 .
16
Ответ: log 2 31 4 x 0 .
Пример 5. Решить неравенство log 2 x x 2 5 x 6 1 .
Решение: Если 2x 1 , то данное неравенство верно в том случае,
когда x 2 5 x 6 2 x . Если же 0 2x 1 , то данное неравенство верно, когда
x 2 5 x 6 2 x . Учитывая, что в любом случае должно выполняться
неравенство x 2 5 x 6 0 , получаем, что данное неравенство равносильно
совокупности двух систем неравенств
2 x 1,
2
x 5x 6 2 x
0 2 x 1,
.
2
0 x 5 x 6 2 x
Первая из этих систем имеет решения 0,5 x 1, 6 x . Во второй
системе первое неравенство верно при 0 x 0,5 , а второе – при 1 x 6 .
и
Сравнивая эти два множества, видим, что вторая система решений не имеет.
Следовательно, в данном случае с множеством решений исходного
неравенства совпадает с множеством решений первой из рассмотренных
систем.
Ответ: 0,5; 1 6; .
Решить неравенства:
6 x 3
1. 3 x 4 27 2 x1
2. 4 0,5 x x3 0,25 2 x
4x
4
4 x 3x
4. 5 4 x 2 25 x 7 10 x
3.
5. 0,8 x 1,25 x1 0,25
6. 2 3 x 9 4 x 12 x 18
7. 3 x 3 x log 2 3 log 2 6 0
Ответ: 0; 0,5 4;
Ответ: ; 1 2;
Ответ: ; 0 1;
Ответ: 0; 1
Ответ: ; 1
Ответ: 0,5; 2
Ответ: ; log 3 log 3 2 0;
52
3x 1
1
x2
8. log 1 / 3
Ответ:
; 2 5 ;
8
9. log x 7 log x 3
Ответ: 1;
3 13
10. log 3 log 9 x 2 4 x 3 0
Ответ: 2 2 ; ; 2 2
4 4
16
x
x2
11. log 3 3 1 log 3 3 9 3
Ответ: 0; log 3 28 3 log 3 4;
1
2
x
12. log 5 6 log 0, 2 1 1
Ответ: 1 5; 1 5;
x
10
3
5 7
2
13. log x 3 x 2 4 x 4
Ответ: 3;
4; 4,5
2
2
15. 25
x
Ответ: 1; 2 2;
14. log x 1 x 1 log x 1 x 1
log52
Ответ: 0,2; 5
x log5 x 30
16. log x2 6 log x2 6 log x2 6 log x2 6
17. log 3 9 x 18 log 3 x 2
Ответ: 2; 3 10 ;
Ответ: 7;
18. log 2 x 2 x 3 log 2
Ответ: ; 0 2;
x 1
1
log 3 9 3 x 3
2x 3
20. log 1 x
1
42 x 1
19.
x
2
x 1
Ответ: log 3 0,9; 2
Ответ: 0,5; 0,25 0; 0,5
XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства,
содержащие
переменную
только
под
знаком
тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств
используют свойство
монотонности тригонометрических функций, а также промежутки их
знакопостоянства.
Тригонометрические неравенства типа sin x a, sin x a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin x > a
(sin х < a ) используют единичную окружность или график функции y = sin x.
Важным моментом является знание, что:
sin x 0, если x k , k Z ;
sin x 1, если x
2
2 k , k Z ;
2 k , k Z ;
2
sin x 0, если 2 k x 2 k , k Z ;
sin x 0, если 2 k x 2 k , k Z
sin x 1, если x
53
Пример 1. Решить неравенство
1
sin x .
2
Решение:
1-й способ. На единичной окружности строим дуги АС и
AC1, синус которых равен у (рис. 9).
Из рисунка видно, что данному неравенству удовлетворяют все дуги, начало
которых находится в точке А, а конец — в любой внутренней точке дуги
5
СВС1, т.
е.
. Чтобы
получить
все решения данного
x
6
6
неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2лк.
(Почему?)
Окончательно имеем:
5
2 k x
2 k , k Z .
6
6
Рис. 9
2-й способ. Для решения данного неравенства строим графики функций
y=sin x и y=1/2 (рис.10).
Из рисунка видно, что прямая у=1/2 пересекает синусоиду в бесконечном
числе точек.
На рисунке выделены несколько промежутков значений аргумента,
5
удовлетворяющих данному неравенству, один из них ,
.
6 6
Воспользовавшись периодичностью синуса, запишем окончательный ответ:
5
2 k x
2 k , k Z
6
6
5
Ответ:
2 k x
2 k , k Z
6
6
1
Пример 2. Решить неравенство sin x .
2
Решение: Используя рисунок 10, приходим к заключению, что концы
7
искомых дуг должны лежать на дуге С 1В 1С, т. е.
x .
6
6
Общее решение данного неравенства имеет вид:
7
2 k x 2 k , k Z .
6
6
54
Рис.10
Ответ:
7
2 k x 2 k , k Z .
6
6
1
sin x .
2
Решение: На единичной окружности построим дуги, синус которых
равен -1/2 (рис. 11). Из рисунка видно, что данному неравенству
удовлетворяют все дуги, начало которых находится в точке А, а конец - в
7
любой точке дуги CBC1, т. е. x
.
6
6
Общее решение данного неравенства имеет вид:
7
2 k x
2 k , k Z .
6
6
Пример 3. Решить неравенство
Замечание. В отличие от предыдущих примеров концы этой дуги входят в
искомое множество. (Почему?)
7
Ответ: 2 k x
2 k , k Z
6
6
1
Пример 4. Решить неравенство sin 3x cos x cos3x sin x .
2
Решение: Левая часть этого неравенства представляет собой синус
суммы, т. е. sin 3x x или sin 4 x .
1
Следовательно, данное неравенство примет вид sin 4 x .
2
Пользуясь рисунком 1, находим:
5
2 k 4 x
2 k , k Z .
6
6
Откуда
Ответ:
5 k
, k Z .
24
2
24
2
k
5 k
x
, k Z
24
2
24
2
k
x
Пример 5. Решить неравенство 6 sin 2 x 5sin x 1 0 .
Решение: Введем новую переменную y = sin x. Тогда данное
55
неравенство можно записать в виде 6у2 — 5у+1>0. Мы получили
1
1
квадратное неравенство. Корнями трехчлена служат y1 , y2 .
2
3
2
Разложим трехчлен 6 y 5 y 1 на линейные множители, по формуле
1
1
ax2 bx c ax x1 x x2 имеем: 6 y 2 5 y 1 6 y y 0 .
3
2
Решим это неравенство методом интервалов. Его решением будет
1
1
объединение промежутков y и y (рис.10). Тогда получаем, что
3
2
1
1
sin x (1) и sin x (2).
3
2
рис. 11
Для решения неравенства (1) используем единичную окружность (рис.11). Из
рисунка видим, что неравенству (1) удовлетворяют такие значения х, что
1
1
(3)
arcsin x arcsin .
3
3
Чтобы получить все решения неравенства (1), достаточно к концам
указанного промежутка (3) прибавить 2лk, (Почему?) Окончательно,
1
1
имеем: arcsin 2 k x arcsin 2 k , k Z . (4)
3
3
Для решения неравенства (2) используем также единичную окружность (рис.
11). Из рисунка видим, что неравенству (2) удовлетворяют следующие
5
значения х
(5)
2 k x
2 k , k Z .
6
6
Решением данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие
неравенствам (4) и (5).
Решение тригонометрических неравенств вида cos x > , cos x <
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида соs x> ,
cos x < используют единичную окружность или график функции y=cos x.
Важным моментом является знание, что:
cos x 0 , если x
2
k, k Z ;
56
cos x 1, если x 2 k , k Z ;
cos x 1, если x 2 k , k Z ;
cos x 0, если 2 k
2 k , k Z ;
2
3
cos x 0, если 2 k x
2 k , k Z
2
2
2
x
1
Пример 6. Решить неравенство: cos 3x .
2
Решение: Обозначим Зх через , тогда данное неравенство примет
1
вид cos .
2
Этому неравенству удовлетворяют все точки P единичной окружности,
абсциссы которых больше или равны -1/2 (Рис. 12). Из рисунка видно,
рис. 12
рис. 13
что эти точки дуги лежат правее прямой х=-1/2 или на самой этой прямой.
Следовательно, множество всех точек, удовлетворяющих данному
неравенству, есть дуга, выделенная на рис.12. Концы этой дуги входят в
искомое множество, так как их абсциссы равны -1/2
и, значит,
удовлетворяют данному неравенству.
2
2
Таким образом,
. Учитывая периодичность косинуса, запишем
3
3
1
множество всех решений неравенства cos
2
2
2
2 k
2 k , k Z ..
3
3
Переходя снова к переменной х, получаем искомый ответ:
2
2
2 k 3 x
2 k , k Z ;
3
3
..
2 2 k
2 2 k
x
, k Z
9
3
9
3
1
Пример 7. Решить неравенство cos2 x .
2
Решение: Обозначим 2х через , тогда данное неравенство примет
57
1
вид cos .Этому неравенству удовлетворяют все точки единичной
2
окружности, абсциссы которых меньше -1/2 (рис. 13). Из рисунка видно, что
эти точки лежат левее прямой х=-1/2.
Следовательно, искомое множество точек есть дуга, выделенная на рис. 13.
Концы этой дуги не входят в искомое множество, так как мы решаем строгое
неравенство.
Ограничиваясь рассмотрением углов , лежащих в промежутке (0; 2л),
2
4
получаем
. Учитывая периодичность косинуса, запишем
3
3
1
множество всех решений неравенства cos .
2
2
4
2 k
2 k , k Z .
3
3
Теперь перейдем снова к переменной х, получаем искомый ответ
2
k
k, k Z .
3
3
15
11 2 cos x .
cos x 1
Решение: Введем новую переменную y cos x , тогда данное
15
неравенство примет вид
11 2 y .
y 1
1
2 y 4 y
2
0
После преобразований получаем:
y 1
Пример 8. Решить неравенство
рис.14
Решим это неравенство методом интервалов (рис. 14). Решение неравенства:
1
y 1 и y 4 .
2
Неравенство cos x 1 решения не имеет. Так как 1 cos x 1, то
1
1
неравенство cos x 4 надо заменить неравенством cos x 1.
2
2
58
Решением этого неравенства является 2 k
3
x
3
2 k , k Z ;
Решить неравенства:
1. sin x 1 cos x
Ответ: x R , кроме чисел вида
2. sin x cos x 2
3. 4 sin 2 x 2 2 1 sin x 2 0
4. 2 cos x 30 1
5. 2 cos2 x 3cos x 2 0
4
2 k , k Z
Ответ:
Ответ:
Ответ: 2 k
3
x
3
2 k , k Z
3
Ответ: k x k , k Z
4 tg x
2
6
3
cos x
sin x 2
7.
2
4 sin 2 x 1
5
1
2 k ;2 k
2 k ;2 k arcsin 2 k ; 2 k
6
6
8
6
Ответ: 5
1
2 k ; arcsin 2 k
6
8
; k Z
6.
8. 2 2
sin x 2
1 cos x
8
5
3
Ответ: 2 k ; 2 k
2 k ;
2 k , k Z
2
3
3
2
2
9. 2 sin x sin x sin 3x 1
Ответ:
3
5
5
;2 k
2 k ;2 k 2 k ;2 k
2 k
, k Z
4
6
4
4
6
4
10. 4 sin x sin 2 x sin 3x sin 4 x
3
5
k k;
k , k Z
Ответ: k ; k k ;
8
8
8
8
2
XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ
Решение геометрических задач часто вызывает определенные трудности, что
связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с
использованием определенной формулы. Для успешного решения
59
геометрических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим
материалом.
О чертеже. Выполняя чертеж (рисунок), стремитесь сделать его
соответствующим условиям. Хороший чертеж – это удобный для восприятия
наглядный способ записи условий задачи, он может стать помощником при
решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. В то же время
надо отчетливо понимать, что даже самый аккуратный, выполненный с
помощью циркуля и линейки чертеж сам по себе ничего не доказывает. Все,
что «увидено» из чертежа, должно быть обосновано соответствующим
логическим выводом.
О поиске решения. Начиная решать задачу, используйте определение и
свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, ведите
рассуждения. Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые
элементы задачи, вспомните похожие задачи.
О проверке решения. Для контроля правильности решения задачи (
особенно самоконтроля на экзаменах) полезно не только еще раз
просмотреть решение и проверить выкладки, но провести, в некотором
смысле, обратное решение: исходя из ответа, вычислить известные элементы,
проверить, существует ли фигура при найденном значении искомой
величины. Если задача с параметром, выбрать для проверки такое значение
параметра, при котором решение очевидно или результат легко находится.
1. Произвольный треугольник ( a, b, c - стороны, , , - противолежащие
им углы; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус
вписанной окружности; S - площадь; ha - высота, проведенная к стороне a ):
1
1
S a ha ; S bc sin ; S p p a p b p c (формула Герона);
2
2
S
abc
a 2 sin sin
r ; R
; S
; a 2 b 2 c 2 2bc cos (теорема
p
4S
2 sin
a
b
c
косинусов);
(теорема синусов).
sin sin sin
2. Прямоугольный треугольник ( a, b - катеты; c - гипотенуза; ac , bc проекции катетов на гипотенузу):
1
1
abc
c
(теорема
S ab; S c hc ; r
; R ; a 2 b2 c2
2
2
2
2
a
a b b
Пифагора); C ; c ; a c sin c cos btg bctg .
a c
b c
3. Равносторонний треугольник
a2 3
a 3
a 3
S
; r
; R
4
6
3
4. Произвольный выпуклый четырехугольник ( d1 , d 2 - диагонали; - угол
1
между ними; S - площадь): S d1d 2 sin
2
60
5. Параллелограмм ( a, b - смежные стороны; - угол между ними; ha высота, проведенная к стороне a ):
1
S a ha absin d1d 2 sin
2
1
6. Ромб:
S a ha a 2 sin d1d 2
2
7. Прямоугольник ( d - диагональ):
1
S ab d 2 sin
2
1
8. Квадрат:
S a2 d 2
2
9. Трапеция ( a, b - основания, h - расстояние между ними; l - средняя линия):
ab
ab
l
; S
h lh
2
2
10. Правильный многоугольник ( a n - сторона правильного n-угольника; R радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности):
na r
a3 R 3; a4 R 2; a6 R; S n
2
11. Окружность, круг ( r - радиус; C - длина дуги; S - площадь круга):
C 2 r; S r 2
12. Сектор ( l - длина дуги, ограничивающей сектор; n - градусная мера
центрального угла; - радианная мера центрального угла):
r n
r 2 n 1 2
l
r
;
S
r
180
360
2
Дополнительные соотношения между элементами фигур
1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
2. Биссектриса
делит
сторону
треугольника
на
отрезки,
a a1
пропорциональные двум другим его сторонам, т.е.
, где a, b b b1
стороны треугольника, a1 ,b1 - прилегающие к ним отрезки стороны c .
3. Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha , hb , hc и
радиусом
окружности
выражается
формулой
r вписанной
1 1 1 1
.
ha hb hc r
4. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать
окружность, является средним геометрическим ее оснований.
5. Площадь S равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно
перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т.е. S h 2 .
Решить задачи:.
61
1. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с
основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной
окружности лежит на большем основании трапеции.
Ответ: 8 5 , 4 5 см
2. Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные
части, и соответственные точки деления, считая в одном направлении,
соединены между собой. В полученный правильный треугольник
вписана окружность радиуса r 6 см. Определить стороны
треугольников.
Ответ: 12 3, 36 см
3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на
хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон
треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты,
проведенной к основанию треугольника, равна 3 см.
20
Ответ:
см
3
4. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного
треугольника равны соответственно 2 и 5 см. Найти катеты
треугольника.
Ответ: 6, 8 см
5. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности
и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону
треугольника, если радиус малой окружности равен r .
Ответ: 6 r 3
6. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна
32 3 см2. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
острый угол при основании равен .
3
Ответ: 8 см
7. На диаметре 2 R полуокружности построен правильный треугольник,
сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же
сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той
части треугольника, которая лежит вне круга.
R2 3 3
Ответ:
6
8. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой
описан около нее. Найти радиус окружности, если разность периметров
этих шестиугольников равна a .
3 1
Ответ: a
3
2
9. На катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, построены
круги. Доказать, что сумма площадей частей этих кругов,
62
расположенных вне описанного около этого треугольника круга, равна
площади этого треугольника.
10.Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на
которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена
центром окружности, вписанной в треугольник.
Ответ: 11:7
11. На отрезке АВ длины R как на диаметре построена окружность.
Вторая окружность такого же радиуса, как и первая, имеет центр в
точке А. Третья окружность касается первой окружности внутренним
образом, второй окружности – внешним образом, а также касается
отрезка АВ. Найдите радиус третьей окружности.
R 3
Ответ:
8
12. На сторонах четырехугольника с диагоналями a и b лежат вершины
ромба. Стороны ромба параллельны диагоналям четырехугольника.
Найдите сторону ромба.
ab
Ответ:
ab
13. В выпуклом четырехугольнике АВСД диагонали пересекаются в точке
Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и ДСЕ равна
7, а площадь всего четырехугольника не превосходит 28, АД= 5 .
Найдите ВС.
Ответ: 5
14. Медиана в треугольнике, выходящая из одной вершины, равна
высоте, опущенной из другой вершины, и равна 1. Высота, опущенная
из третьей вершины, равна 3 . Найти площадь треугольника.
3
Ответ:
или 3
2
15. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного
треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие
находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите
площадь правильного треугольника.
Ответ: 113 3 168
XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ
При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его
наглядности значительно возрастают.
1.
Произвольная призма ( l - боковое ребро; P -периметр основания; S площадь основания; H - высота; Pсеч - периметр перпендикулярного сечения;
63
S сеч - площадь перпендикулярного сечения; S бок - площадь боковой
поверхности; V - объем): Sбок Pсеч l ; V S H ; V S сеч l
S бок P l
2.
Прямая призма:
3.
Прямоугольный параллелепипед ( a, b, c - его измерения; d диагональ): Sбок P H ; V abc; d 2 a 2 b2 c 2
V a3; d a 3
Куб ( a - ребро):
Произвольная пирамида ( S - площадь основания; H - высота; V 1
объем):
V SH
3
6.
Правильная пирамида ( P - периметр основания; l - апофема; S бок 1
площадь боковой поверхности): Sбок P l
2
7.
Произвольная усеченная пирамида ( S1 , S 2 - площади оснований; h 1
высота; V - объем): V h S1 S 2 S1 S 2
3
8.
Правильная усеченная пирамида ( P1 , P2 - периметры оснований; l 1
апофема; площадь боковой поверхности): Sбок P1 P2 l
2
9.
Цилиндр ( R - радиус основания; H - высота; S бок -площадь боковой
Sбок 2 R H ,
поверхности; V - объем):
V R2 H
10. Конус ( R - радиус основания; H - высота; l - образующая; S бок S бок R l ,
площадь боковой поверхности; V - объем):
1
V R2H
3
11. Усеченный конус ( R1 , R2 - радиусы оснований; H - высота; l образующая; S бок -площадь боковой поверхности; V - объем):
1
Sбок R1 R2 l; V H R12 R22 R1 R2
3
12. Шар, сфера ( R - радиус шара; S - площадь сферической поверхности;
4
S 4 R 2 ; V R 3
V - объем):
3
13. Шаровой сегмент ( R - радиус шара; h - высота сегмента; S - площадь
сферической поверхности; V - объем):
1
S 2 R h; V h 2 R h
3
14. Шаровой сектор ( R - радиус шара; h - высота сегмента; V - объем):
2
V R2h
3
4.
5.
Дополнительные соотношения между элементами призмы и пирамиды
64
1. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а)
все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; б)
длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды
проецируется в центр окружности, описанной около основания
пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
2. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а)
все боковые грани образуют с основанием равные углы; б) длины всех
апофем боковых граней равны. Тогда вершина пирамиды проецируется
в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (эта же точка
служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).
3. Если в наклонной призме боковое ребро А1В1 составляет равные углы
со сторонами основания, образующими вершину А1, то основание О
высоты В1О лежит на биссектрисе угла А1.
Это же утверждение можно сформулировать так: если в трехгранном угле
два острых плоских угла равны, то проекция их общего ребра на
плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.
4. Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения
высот треугольника, лежащего в основании, то противоположные
ребра пирамиды перпендикулярны. Справедливо и обратное
утверждение.
Пример 1
В основании прямоугольного параллелепипеда с боковыми ребрами
AA, BB, CC , DD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ 7 , ВС 1 .
Точка М – середина ребра AB . Найти объем параллелепипеда, если известно,
что отрезки МС и В D образуют равные углы с плоскостью ABCD.
Дано: АВ 7 , ВС 1 , АМ МВ . Отрезки МС и В D образуют равные углы с
плоскостью ABCD.
Найти: Vпар
Решение:
V S осн H ; S осн 7 1 7
65
Пусть высота H x
Построим углы между отрезком МС и плоскостью ABCD и отрезком В D и
плоскостью ABCD , обозначим эти равные углы .
На рис. С ОК и DOP .
a
2
Пусть CK a , тогда MN , так как MN BT и является средней линией
AB T .
Из СОК C K a OC sin
a
Из MNO MN MO sin
2
3a
3a
3a
sin OC MO
MC sin sin
Отсюда следует, что
2
2
2MC
изO BT BT O B sin
Аналогично, из
сложив почленно, получаем:
изDPO DP O D sin
BT DP OB ODsin
2a
2a DB sin sin
(2)
DB
(1)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
3a
2a
3
2
,
.
2 M C DB 2 M C DB
Так как MC MB 2 BC 2 CC 2 и
DB AB 2 BC 2 CC 2 , то
7
1 x 2 и DB 7 1 x 2
4
3
2
Тогда
11
8 x2
2
x2
4
11
16 x 2 9 8 x 2 ,
4
2
44 16 x 72 9 x 2 ,
7 x 2 28 , x 2 4 , x 2
V S осн H 7 1 2 2 7
MC
Ответ: 2 7
Пример 2.
Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона ее основания
равна 2, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей
оснований.
66
Дано: АВ 2; 3S AABB 2S ABC ;
Найти: V.
Решение:
V S осн AA S ABC AA ;
BK AC ; АК=КС=1.
BK AB 2 AK 2 4 1 3
1
1
S ABC AC BK 2 3 3
2
2
2
2
2 3
S AABB S ABC
3
3
3
3
S AABB AA AB 2 AA
ABK ;
S AABB 2 3 1
3
2
3 2
3
3
1.
Тогда V 3
3
AA
Ответ: 1.
Решить задачи:
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1 см, а ее
боковая поверхность составляет 3 см2. Найти объем пирамиды.
47 3
Ответ:
см
24
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6
дм, а высота 4 дм. Найти боковую поверхность усеченной пирамиды,
отсекаемой от данной плоскостью, параллельной ее основанию и
отстоящей от него на 1 дм.
Ответ: 26,25 дм2
3. В правильной треугольной призме площадь сечения, проходящего
через боковое ребро перпендикулярно противолежащей боковой грани,
равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную
поверхность призмы.
Ответ: 3 2Q 0,5a 2
67
4. Определить объем шара, вписанного в правильную пирамиду, у
которой высота равна h , а двугранный угол при основании равен 60 .
4 h 3
Ответ:
81
5. Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды
проведено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам этой
пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания
равна a , а боковое ребро равно b .
ab
Ответ:
4
6. Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна 2 . Две вершины
правильного треугольника расположены на границе одного основания
цилиндра, а одна вершина – на границе другого основания. Найдите
сторону правильного треугольника.
Ответ: 2, 2 3
7. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой
равны 1. Найдите расстояние от середины ребра АВ до плоскости,
проходящей через С и середины ребер SB и SD.
3 10
Ответ:
20
8. В основании треугольной пирамиды лежит треугольник, одна сторона
которого равна 1,04, все боковые ребра равны 2. Около пирамиды
описан конус так, что вершины основания лежат на окружности
основания конуса, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
Найдите угол при осевом сечении конуса, если площадь осевого
сечения конуса равна 1.
Ответ: 150
9. В правильной четырехугольной призме, высота которой равна 5, а
сторона основания 2, проведено сечение плоскостью, проходящей
через вершину основания параллельно диагонали основания и
образующей угол 60 с плоскостью основания. Найдите площадь
сечения.
Ответ: 8
10. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник
со стороной 1. Боковые грани наклонены к плоскости основания под
равными углами. Одно боковое ребро равно 7 , а два других меньше
его. Найдите объем пирамиды.
3
Ответ:
6
11. Дан правильный тетраэдр АВСД с ребром a . Найдите радиус сфера,
проходящей через вершины С и Д и середины ребер АВ и АС.
a 22
Ответ:
8
68
12. В правильную шестиугольную пирамиду вписан конус и около нее
описан конус. Найдите разность объемов описанного и вписанного
конусов, если высота пирамиды H, радиус основания описанного
конуса R.
1
Ответ: R 2 H
12
13. В каком отношении делит объем треугольной пирамиды плоскость,
параллельная двум ее скрещивающимся ребрам и делящая одно из
других ребер в отношении 2:1?
20
Ответ:
7
14. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усеченная
пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через
центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол
60 . Определить объем пирамиды.
21 R 3
Ответ:
16
15. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная
пирамида, у которой стороны оснований относятся как m : n .
Определить отношение объемов пирамиды и шара.
2m 2 mn n 2
Ответ:
mn
XV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
ЕГЭ
К
69
Уважаемые ученики 12-х классов начинаем знакомство с
Демонстрационным
вариантом
2009
года
Единого
государственного
экзамена по МАТЕМАТИКЕ. Следует иметь в виду, что эти задания не
отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться на
экзамене в 2009 году. Назначение демонстрационного варианта заключается
в том, чтобы дать возможность ВАМ составить представление о Едином
государственном экзамене и примерном содержании его заданий.
Все эти сведения позволят ВАМ выработать стратегию подготовки и
сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые ВЫ ставите перед собой. За
пояснениями, консультациями обращаться к директору школы.
Дорогие ребята! МАТЕМАТИКА – царица наук. И как каждая
венценосная особа – она сложна, требует к себе предельно внимательного,
уважительного и глубокого отношения. Тогда, мы уверены, она ВАС заметит
и откроет ВАМ свои математические тайны.
СОВЕТ: чтобы научиться решать задачи, необходимо приучить себя
ПРОЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ (может много раз) И ПОНЯТЬ СУТЬ
УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ – это почти 90 % успеха.
Желаю ВАМ удачи! С уважением Нелли Петровна.
ЧАСТЬ 1
(она содержит 13 заданий (А 1 – А 10 и В 1 – В 3) базового уровня по
материалу курса математики. К каждому заданию А 1 – А 10 приведены 4
70
варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих
заданий надо указать номер верного ответа).
А1
101, 4
.
Упростите выражение
10 0, 7
1) 0,7
2) 2
3) 10
0, 7
4) 10
2
Решение:
101, 4
101, 40, 7 10 0,7
0,7
10
Номер верного ответа – 3.
При решении подобных заданий необходимо вспомнить
ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ
а
n
1.
2.
3.
6.
7.
8.
n раз
а
а :a
n
a a
n
m
m
a
nm
nm
a
4. а
5.
a
a
...
a
n m
nm
а0 1
а1 а
m
n
a a
1
n
а n
a
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
n
m
Упростите выражения:
111,5
1. 0,3 .
11
2.
k 5, 2 3k 0,8 .
71
3.
с 4,5 13 с 0,5 .
1
2
4. Найдите значение выражения 4
3а
4 5а при а .
5. Найдите значение выражения 2
7а
23а при а .
1
2
6. Вычислите:
4
3
1
2
2
5
6
5
3
9
16
1
10
25
:
36
3
2
.
2
5
1
5
2
7. Выполните действия 14a 10(a ) .
А2
Найдите значение выражения 4 log 11 11 .
3
1) - 64
2) -
1
64
3) - 12
4) - 1
Решение:
4 log 11 113 12 log 11 11 12
Номер верного ответа – 3.
При решении подобных заданий необходимо вспомнить
Определение логарифма и его свойства
Определение. Логарифмом числа b по основанию a ( a › 0, a 1) называется
показатель степени, в которую надо возвести a , чтобы получить число b :
x
log a b x a b .
Например, log 5 125 3, так как 5 3 125 ;
log
3
3 2, так как
3
2
3;
log 0,5 16 4, так как 0,5
4
16 .
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
a loga b b.
72
Согласно
этому
7 2 log7 8 7 log7 8
2
3log3 5 5 ;
тождеству:
2 log21 0,7 0,7 ;
8 2 64 .
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
log a (U V ) log a U log a V
U
log a U log a V
V
log a U n n log a U
log a
log a n U
1
log a U
n
log a a 1
log a 1 0
log a b
log c b
log c a
Последняя формула является формулой перехода к новому основанию.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
1. Запишите без знака логарифма следующие равенства:
log 2
1
3;
8
log 1 8 3;
log 5 625 4
2
2. Решите уравнения:
3
log 33 3 x ;
2
log 2 x 5;
log x 27
3
.
2
3. Вычислите:
51 log5 2 ;
7 2 log7 4 ;
a 2loga b .
4. Найдите значение выражения 7 log 12 12 .
2
1
log 1 250.
10
5
5
5. Вычислите: log 1
А3
Вычислите:
1) 1,5
4
0,0625 81 .
2) 3,5
3) 0,45
4) 0,15
Решение:
73
4
0,0625 81 = 4 0,0625 4 81 4 0,54 4 34 0,5 3 1,5.
Номер верного ответа – 1.
При решении данного задания необходимо вспомнить следующее:
Определение. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, nая степень которого равна а.
Из определения следует,
3
125 5 , так как 53 125 .
Определение. Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного
числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.
Свойства корня n- ой степени
n
ab n a n b , a ≥0 и b ≥0
n
a
b
n k
n
a
n
b
, a ≥0 и b ≥0
a nk a , a ≥0
nk mk
a n a m , a ≥0
А4
На каком из следующих рисунков изображен график функции,
возрастающей на промежутке [0;2] ?
74
Номер верного ответа – 1.
При решении подобных заданий необходимо вспомнить
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Если функция f (x) непрерывна на некотором промежутке. Тогда:
А) если f (x) › 0 во всех внутренних точках промежутка, то функция f (x)
возрастает на этом промежутке;
Б) если f (x) ‹ 0 во всех внутренних точках промежутка, то функция
убывает на этом промежутке.
Или проще (и именно для этого случая): если при увеличении значения
х значение функции увеличивается, то функция возрастает на промежутке.
Что мы наблюдаем в случае 1) на промежутке [0;2]. Здесь х увеличивается
от 0 до 2, а значения функции (y) увеличивается от -2 до 0,9.
А5
Найдите производную функции y 12 x 3 e x .
1) y 15x 2 x e x1 2) y 3x 2 e x ( x 1) 3) y 36 x 2 x e x1 4) y 36 x 2 e x
Решение:
y 12 x 3 e x
12x e 12 3x
3
x
2
e x 36 x 2 e x .
Номер верного ответа – 4.
75
Что необходимо вспомнить для выполнения данного задания ?
Таблица производных
Простая функция
Сложная функция
(c) 0
(x) 1
(u n ) n u n1 u
( x n ) n x n 1
( x )
( u ) U
1
2 x
2 U
1
1
2
x
x
1
u
(a x ) a , a 0 ;
x
a a
x
(e u ) e u u
(e x ) e
u
1
(ln x )
, x 0;
x
(log a x)
1
, a 0 , a 1, x 0 ;
x ln a
u
u2
u
ln a u
u
ln u u
u
log a u u ln a
(sin x) cos x
sin u cos u u
cos x sin x
cos u cos u u
(tg x)
tgu
1
cos 2 x
(ctg x)
ctgu
1
sin 2 x
(arcsin x)
(arccos x)
(arctg x)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
u
cos 2 u
u
sin 2 u
(arcsin u )
u
1 u2
(arccos u ) -
u
1 u2
(arctg u ) u 2
1 u
76
(arcctg x) -
1
1 x2
(arcctg u )
u
1 u2
2.2.Правила дифференцирования
Пусть u u(x) и v v(x) – две дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, с – постоянная величина . Тогда
1. (u v) u v
2. (c u ) c u
3. (u v) u v u v
u u v u v
4.
v2
v
c
c
5. 2
v
v
Примеры:
1. y x 2 sin x
y x 2 sin x x 2 sin x x 2 sin x 2 x sin x x 2 cos x.
2. f ( x)
ln x
.
cos x
1
cos x ln x sin x
ln x cos x ln x cos x) x
cos x x ln x sin x
ln x
f ( x)
.
2
2
cos x
x cos 2 x
cos x
cos x
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
Примеры.
1. y 3
1
x
y
2. y 3 x 4 3
1
x
y
77
3. y
x3
cos x
y
4. y sin( x 2 )
y
, u
y x
А6
7 x 2,3
Решите неравенство
1) ( ;0,3]
x 2,3
Решение: 7
1
49 .
2) ( ;4,3]
3) [4,3;)
4) [0,3;)
1 x 2,3
7 2
,7
49
y 7 x возрастающая функция , поэтому
x 2,3 2,
x 4,3.
Номер верного ответа – 2.
Что необходимо вспомнить для выполнения данного задания ?
Свойства неравенств
Показательную функцию и ее свойства
Основные свойства числовых неравенств:
1. если a › b , то b ‹ a
2. если a › b , а b › c , то a › c
3. если a › b и c d , то a c › b d
4. если a › b и c › d , то a c › b d
если a ‹ b и c › d , то a c › b d
5. если a › b и m ›0, то ambm
6. если a › b и m ‹ 0, то ambm
78
Показательная функция и ее свойства
x
Определение. Функция y a , где a › 0, a 1 , называется показательной
функцией.
x
1
Например, y , y 5 x .
2
Основные свойства показательной функции
1. Областью определения функции является множество всех
действительных чисел, т.е. х - любое число.
2. Областью
изменения
функции
является
множество
всех
положительных действительных чисел, т.е. у – неотрицательное число.
3. Если a › 1, то функция возрастает на всей области определения.
4. Если 0a 1 , то функция убывает на всей области определения.
0
5. a 1
1
6. a a
А7
Найдите наибольшее целое значение функции y 4,3 cos x.
1) 1
2) 0
3) 5
4) 4
Решение:
1 ‹ cos x ‹ 1 , поэтому наибольшее целое значение данной функции будет
равно 4.
Номер верного ответа – 4.
Необходимо знать свойства тригонометрических функций, в частности
область значений функции y cos x .
А8
На рисунке изображен график функции y f (x), заданной на отрезке [-4;7].
Укажите те значения x , для которых выполняется неравенство f ( x) 1.
1) [0;7]
2) [-4;1] [3;5]
3) [-1;3]
4) [-1;7]
Решение:
79
Из рисунка видно, что при 0 x 7 выполняется неравенство f ( x) 1.
Номер верного ответа – 1.
Данное задание является базовым и ярким доказательством того, что его не
выполнять просто нельзя. Необходимо внимательно прочитать задание,
проанализировать график функции и дать правильный ответ.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
1.
2.
А9
2
Найдите область определения функции f ( x) log 0,3 x 4 x .
1) ( ;0) (2;)
Решение: x 2 4 x › 0,
2) ( 0;2)
3) (0;4)
4) (;0) (4;)
x ( x 4) › 0 ,
Номер верного ответа – 4.
80
Что необходимо повторить для успешного решения данного
задания?
Область определения логарифмической функции и
саму функцию.
Логарифмическая функция
1. Определение. Функция вида у log а х , где а › 0, а 1, называется
логарифмической.
2. Свойства.
Область определения- ( 0; + ).
Область значений – множество R – все действительные числа.
При a > 1 функция возрастает, при 0 < а < 1 функция убывает.
Эскизы графиков представлены на рис. 1 и рис.2
log( x)
log( x)
0
1
2
log
5
0
5
10
x
x
А10
1)
Решите уравнение
4
n, n Z
Решение:
cos 2x 1.
2) n, n Z
3)
n
2
, n Z
4)
4
n
2
, n Z
cos 2x 1
2 x arccos 1 n, n Z
2 x 0 n, n Z
x
2
n, n Z
Номер верного ответа – 3.
Для успешного выполнения данного задания необходимо
повторить
решение
простейших
тригонометрических
уравнений:
Уравнение
Формула решений
Примечания
sin x a
x 1 arcsin a n, n Z
arcsin( a) arcsin a,
cos x a
x arccos a 2n, n Z
a 1, n Z
arccos( a) arccos a,
n
a 1, n Z
81
tgx a
ctgx a
x arctga n, n Z
arctg (a) arctga,
x arcctga n, n Z
a R, n Z
arcctg ( a ) arcctga,
a R, n Z
Примеры: 1.
sin x 1
x
2
2n, n Z
2.
sin x 1
x
2
2n, n Z
3.
cos x 1
x 2n, n Z
4.
cos x 1
x 2n, n Z
5.
tg (2 x 3) 2
2 x 3 arctg 2 n, n Z
2 x arctg 2 3 n, n Z
x
arctg 2 3
n, n Z
2
2 2
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
2
0
2
2. cos 3x 1 0
1. cos x
3. 3ctg ( x) 1
3
Ответом на задания В-1 – В11 должно быть некоторое
целое число или число, записанное в виде десятичной
дроби. Единицы измерения писать
не нужно
В1
4
5
Найдите cos , и 0 ‹ ‹
.
2
82
Решение:
сos 1 sin 2
Iччетверт
2
16 3
4
cos 1 1
0,6.
25 5
5
Для выполнения данного задания необходимо вспомнить основное
тригонометрическое тождество и следствия из него и знаки функции
y cos x .
sin 2 x cos 2 x 1
sin x 1 cos 2 x
cos x 1 sin 2 x
В2
На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к нему в точке
с абсциссой x 0 . Найдите значение производной в точке x 0 .
f ( x0 ) tg ;
f (2)
3
1,5.
2
Для выполнения задания необходимо повторить геометрический смысл
производной:
Производная функции в точке касания равна тангенсу угла наклона
касательной к графику этой функции: f ( x0 ) tg
83
В3
Для оклейки стен ванной комнаты (см. рисунок) нужно приобрести
керамическую плитку, причем плитка покупается с запасом в 10 % от
оклеиваемой площади. Ширина двери равна 0,75 м, высота – 2 м. Цена
плитки 300 р. За 1 м 2 . Определите стоимость плитки, если стены решено
оклеить полностью, от пола до потолка.
Решение: S = 1,9 2,5 2 2 2,5 2 19,5; S оклеиваемой 19,5 0,75 2 18;
площади
10%- 1,8.
18+1,8=19,8- вся площадь, которую нужно оклеить
Цена – 300р. 19,8= 5940 (рублей)
5940 рублей
ЧАСТЬ 2
В4
x
Решите уравнение 5 x 20 5 125 0
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите и
произведение).
Решение:
x
2
5 y, y 2 20 y 125 0,
y1 25, y 2 5,
x 2.
Данное уравнение является показательным. Решение показательных
уравнений подробно разобрано в данном пособии.
В5
Функция y f (x) определена на промежутке (-2;7). На рисунке изображен
график ее производной. Укажите точку минимума функции y f (x) на
промежутке (-2;7).
84
Решение:
На рисунке видно, что при переходе через точку х=2 производная меняет
знак с «-» на «+», значит х=2- точка минимума.
В6
Вычислите значение выражения
6 log6 5 100 lg
8
.
Решение:
6log6 5 100lg
8
5 8 13.
При упрощении данного выражения применяется основное логарифмическое
тождество
a loga b b.
В7
Функция y f (x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции
при 2 x 1 . Найдите значение выражения
f (1) f (9)
.
f (2)
Решение:
f (1) f (9) 1 1
0,5.
f (2)
2
Используется определение периодичности функции:
85
Функция f (x) называется периодической, если существует такое
для любого x D выполняется равенство f ( x t ) f ( x) .
Для данного примера t 3 .
t 0 , что
В8
Найдите все значения а, при которых уравнение x 5 a 2 имеет
ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму.)
Решение:
x 5a 2
x 5a 2
или
x 5 a 2
x a 3
или
x a7
x1 a 3
x 3 a
2
или
x3 a 7
x 7 a
4
При а = 7 уравнение имеет три корня: 0; -4 и 4.
В9
Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами
относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из
первой скважины на 10 % и из второй – тоже на 10%. На сколько процентов
нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы
суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?
Решение:
Пусть 6х – добывает 1 скважина
7х – добывает 2 скважина
10 х – добывает 3 скважина
6х+7х+10х – объем добычи
6 x 0,1 6 x - планируемая добыча из 1 скважины
7 x 0,1 7 x - планируемая добыча из 2 скважины
10 x 10 x y - планируемая добыча из 3 скважины, где у- увеличение добычи
из 3 скважины
86
(6 x 0,1 6 x) (7 x 0,1 7 x) (10 x 10 xy) 6 x 7 x 10 x
5,4 x 6,3 x 10 x 10 xy 23 x
21,7 x 10 xy 23 x
21,7 10 y 23
y 0,13
y 13%
В10
Концы отрезка МК лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол
между прямой МК и плоскостью основания цилиндра равен 30 , МК=8,
площадь боковой поверхности цилиндра равна 40 . Найдите периметр
осевого сечения цилиндра.
Решение:
P 4r 2 H
S бок. 2rH 40
2rH 40, rH 20
8
4
2
20
r
5
4
P 4 5 2 4 28
H
В11
Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее
окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции.
Решение:
ОKN ~
NED
OK ON
4 ON
ON ND 9 4 5
NE ND
4 ND
ED 5 2 4 2 3 AD AE ED 9 3 12
87
Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте
бланк ответов № 2. Запишите сначала номер
выполняемого задания, а затем – решение.
С1
Найдите наименьшее значение функции
2x
f ( x) 2
x 5,5 2,5 .
при
x 16
Решение:
x 5,5 2,5
2,5 x 5,5 2,5
3 x8
Найдем наименьшее значение данной функции на отрезке [3;8].
f ( x)
2( x 2 16) 2 x 2 x
x
2
16
2
32 2 x 2
x
2
16
2
32 2 x 2 0
x1 4, x 2 4
Критическая точка x 4 3;8 .
Найдем значения функции в точках 3,4,8:
23
6
0,24
9 16 25
24 1
f (4)
0,25
32
4
28
16 1
f (8)
0,2
64 16 80 5
f (3)
Наименьшее значение функции равно 0,2.
С2
Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
x
x
2 sin 4 2 cos 4
sin 2 x
2
2
и
принимают равные значения.
tgx
tgx
Решение:
sin 2 x 2 sin x cos x
2 cos 2 x
sin x
tgx
cos x
88
x
x
2 cos 4
2
2
tgx
2 sin 4
x
x
x
x
x
x
2 sin cos sin cos sin 2 cos 2
2
2
2
2
2
2
sin x
cos x
2 cos x cos x
2 cos 2 x
sin x
sin x
x
x
2 sin 2 cos 2 cos x
2
2
sin x
Приравняем эти выражения:
2 cos 2 x
sin x
2 sin x 2
0
cos 2 x
sin
x
2 cos 2 x
cos x 0, x
2
n, n Z что
невозможно
sin x
x 1
2
2
n 1
4
n, n Z
Ответ: x 1n1
4
n, n Z .
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания С3 – С5 используйте
бланк ответов №2. Запишите сначала номер
выполняемого задания, а затем – обоснованное решение.
С3
Найдите все значения x > 1, при каждом из которых наибольшее из двух
2 2
чисел a log 2 x 2 log x 32 2 и b 41 log 2 x больше 5.
Решение:
С4
Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в
плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре АВ пирамиды
89
так, что АМ:МВ = 1:3. Точка Т лежит на прямой АF и равноудалена от точек
М и В. Объем пирамиды ТВСМ равен
5
. Найдите радиус сферы, описанной
64
около пирамиды FADC.
Решение:
С5
Найдите все значения параметра р , при каждом из которых уравнение
1,5 p 7 32
29 p 154 0,125
10 p p 2 24 различных корней.
Решение:
Упростим уравнение:
0.4 x 0, 2
x
3
11 p 41 0
имеет
ровно
x
1 3
(1,5 p 7) (2 )
(29 p 154) 11 p 41 0
2
2 x 1
x
(1,5 p 7) 2
(29 p 154) 2 11 p 41 0
5 0, 4 x 0, 2
(3 p 14) 2 2 x 1 (29 p 154) 2 x 11 p 41 0
пусть y 2 x , тогдa
(3 p 14) y 2 (29 p 154) y 11 p 41 0
По теореме Виета:
y1 y 2 11 p 41,
y1 y 2 154 29 p.
В то же время 10 p p 2 24 (6 p)( p 4) 0 .
p 4;6.
Рассмотрим
р=4. При этом
y1 y 2 44 41 3
y1 y 2 154 116 38.
Не вдаваясь в
подробности, видим, что корни есть. А при р=4 данное уравнение не имеет
корней по условию.
y1 y 2 55 41 14
Рассмотрим р=5. При этом
y1 y 2 154 145 9
y1 7
.
2x 7
2x 2
y2 2
90
Получил два корня. А при р=5 по условию задачи должно быть ровно 1
корень ( 6 5)(5 4) 1.
Рассмотрим р=6.
y1 y 2 66 41 25
y1 y 2 154 174 20.
Один из значений у будет
отрицательным, т.е. р=6 (при котором данное уравнение имеет 0 корней)
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: р=6.
91
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Уважаемые старшеклассники – сдача ЕГЭ по математике, это, возможно,
первый ваш самостоятельный серьезный поступок. Затем Вы выбираете свою
жизнь. Так выберите то, что именно Вам, а не кому-то другому по душе. А,
выбрав - добейтесь результата!
МОУ
«Открытая (сменная) общеобразовательная школа № 3»
390000, г. Рязань, ул. Ленина, 45.
92
