Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Òàðàñà Øåâ÷åíêà
Ôàêóëüòåò êîìï'þòåðíèõ íàóê òà êiáåðíåòèêè
Êàôåäðà ìàòåìàòè÷íî¨ iíôîðìàòèêè
ÂÈÏÓÑÊÍÀ ÊÂÀËIÔIÊÀÖIÉÍÀ ÐÎÁÎÒÀ
íà çäîáóòòÿ ñòóïåíÿ ìàãiñòðà
çà ñïåöiàëüíiñòþ 122 Êîìï'þòåðíi íàóêè (Áiçíåñ Iíôîðìàòèêà)
íà òåìó:
Ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ
ïðîöåñiâ iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ
Âèêîíàâ ñòóäåíò 2-ãî êóðñó ìàãiñòðàòóðè
Ïåðåÿñëîâ Îëåêñié Ñåðãiéîâè÷
Íàóêîâèé êåðiâíèê:
êàíäèäàò ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò
Ðîçîðà Iðèíà Âàñèëiâíà
Ðîáîòó çàñëóõàíî íà çàñiäàííi êàôåäðè ìàòåìàòè÷íî¨ iíôîðìàòèêè òà
ðåêîìåíäîâàíî äî çàõèñòó. Ïðîòîêîë 10 âiä 6 òðàâíÿ 2020 ðîêó.
Çàâiäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòè÷íî¨ iíôîðìàòèêè ïðîô. Òåðåùåíêî Â. Ì.
Êè¨â 2020
2
ÇÌIÑÒ
Âñòóï
Ðîçäië 1.
4
6
Âèïàäêîâi ïðîöåñè
1.1.
Êëàñèôiêàöiÿ òà îñíîâíi ïîíÿòòÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ . . . . . . . .
6
1.2.
Êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâi âèïàäêîâi âåëè÷èíè òà ïðîöåñè . . . . . . . . .
8
Ðîçäië 2.
Ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ
11
2.1.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.
Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ òà ïîçíà÷åííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3.
Ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ â
2.4.
L2 ([0, T ])
ç óðàõóâàííÿì âiäïîâiäi ñèñòåìè . . . . . . . . . . .
Çíàõîäæåííÿ îöiíîê ïàðàìåòðiâ ìîäåëi
Ðîçäië 3.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîãðàìíà ðåàëiçàöiÿ
14
20
23
3.1.
Âèïàäîê ñòåïåíåâèõ ôóíêöié
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2.
Âèïàäîê ïîêàçíèêîâèõ ôóíêöié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3.
Ìîäåëþâàííÿ çà äîïîìîãîþ çíàéäåíèõ îöiíîê
28
Ðîçäië 4.
. . . . . . . . . . . .
Ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ
32
4.1.
Òåîðåòè÷íi âiäîìîñòi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.
Ïåðåâàãè i íåäîëiêè ìîäåëåé ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.3.
Çàãàëüíå ïðîãíîçóâàííÿ ìåòîäîì Arima â R . . . . . . . . . . . . . .
39
4.4.
Ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi çìîäåëüîâàíîãî ïðîöåñó
46
. . . . . . . . . .
Âèñíîâêè
Ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ äæåðåë
ÄÎÄÀÒÎÊ À
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
52
55
55
3
ÄÎÄÀÒÎÊ Á
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÄÎÄÀÒÎÊ Â
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
71
71
4
ÂÑÒÓÏ
Ñüîãîäíi òåîðiÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ òà ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ øèðîêî
âèêîðèñòîâó¹òüñÿ â ðiçíèõ ãàëóçÿõ íàóêè, à íå òiëüêè â ïðèðîäíè÷èõ îáëàñòÿõ.
Îñü ÷îìó îäíi¹þ ç àêòóàëüíèõ ïðîáëåì ¹ ïîáóäîâà ìàòåìàòè÷íî¨ ìîäåëi âèïàäêîâîãî ïðîöåñó, ïðîãíîçó òà âèâ÷åííÿ ¨õ âëàñòèâîñòåé. Çàäà÷i ÷èñåëüíîãî ìîäåëþâàííÿ ñòàþòü îñîáëèâî âàæëèâèìè çàâäÿêè ïîòóæíèì ìîæëèâîñòÿì êîìï'þòåðíèõ
òåõíîëîãié, ùî äîçâîëÿþòü ñòâîðþâàòè iíñòðóìåíòè ìîäåëþâàííÿ ïðîãðàìíîãî
çàáåçïå÷åííÿ òà ïðîãíîçóâàòè ïîâåäiíêó âèïàäêîâîãî ïðîöåñó. Iñíóþòü ðiçíi ìåòîäè ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ òà ïîëiâ. Äåÿêi ç íèõ ìîæíà çíàéòè â
[1114, 18, 19].  äåÿêèõ ðîáîòàõ, ùî ñòîñóþòüñÿ ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ, ïèòàííÿ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi íå âèâ÷åíî.  [36, 9, 10, 15, 16] äëÿ ðiçíèõ
ñòîõàñòè÷íèõ ïðîöåñiâ i ïîëiâ öÿ ïðîáëåìà áóëà äîñëiäæåíà.  [2] ðîçãëÿíóòà ðiâíîìiðíà çáiæíiñòü ðîçêëàäó çà âåéâëåòàìè äëÿ ãàóñiâñüêèõ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ,
ÿêi ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíi äëÿ ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ ó ðiçíèõ ìåòðèêàõ. Ó äàíié ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ ïèòàííÿ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi ïîáóäîâàíî¨
ìîäåëi, à òàêîæ ïðîãíîçóâàííÿ íà ¨ ¨ îñíîâi. Öå îçíà÷à¹, ùî ñïî÷àòêó ìè áóäó¹ìî ìîäåëü, à ïîòiì ïåðåâiðÿ¹ìî ¨ ¨, âèêîðèñòîâóþ÷è äåÿêi òåñòè íà àäåêâàòíiñòü ç
âiäîìîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ, i áóäó¹ìî ïðîãíîç.
Ðîáîòà ïðèñâÿ÷åíà ãàóñîâèì âèïàäêîâèì ïðîöåñàì ç äèñêðåòíèì ñïåêòðîì. Öi
ïðîöåñè ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê âõiäíi ïðîöåñè äëÿ ñòàöiîíàðíî¨ ëiíiéíî¨ ñèñòåìè ç äiéñíîçíà÷íîþ iíòåãðîâàíîþ ç êâàäðàòîì iìïóëüñíî¨ ïåðåõiäíîþ ôóíêöi¹þ. Áiëüø
äåòàëüíó iíôîðìàöiþ ïðî ëiíiéíó ñèñòåìó ç ôóíêöi¹þ iìïóëüñíî¨ âiäïîâiäi òà ïðî
îöiíêè iìïóëüñíî¨ ôóíêöi¨ ìîæíà çíàéòè â [7, 8, 17]. Âiäïîâiääþ ñèñòåìè ¹ âèõiäíèé ïðîöåñ. Âèêîðèñòîâóþòüñÿ ìåòîäè i âëàñòèâîñòi êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâèõ ïðîöåñiâ, ìåòîä ìîìåíòiâ äëÿ çíàõîäæåííÿ îöiíêè ïàðàìåòðó, à òàêîæ ìîäåëü ARIMA
òà íåéðîìåðåæà äëÿ ïîáóäîâè ïðîãíîçó.
Ìåòîþ ðîáîòè ¹ ïîáóäîâà ìîäåëi
XN (t),
ÿêà áóäå íàáëèæàòè âõiäíèé ïðîöåñ
5
X(t)
iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ â áàíàõîâîìó ïðîñòîði
L2 ([0, T ])
ç âðà-
õóâàííÿì âiäïîâiäi ñèñòåìè, çíàõîäæåííÿ îöiíîê ìîäåëi çà âõiäíèìè äàíèìè òà
ïðîãíîçóâàííÿ âèáiðêè íà îñíîâi ïîáóäîâàíî¨ ìîäåëi çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ARIMA òà íåéðîìåðåæi. Äëÿ öüîãî ðîçãëÿäà¹ìî òåîðåìó, ùî ä๠íåîáõiäíi óìîâè äëÿ
ïîáóäîâè ìîäåëi.
Àêòóàëüíiñòü ðîáîòè ïîëÿã๠â òîìó, ùî â áiëüøîñòi ðîáiò, ïðèñâÿ÷åíèõ
êîìï'þòåðíîìó ìîäåëþâàííþ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ, íå âèâ÷àëèñü ïèòàííÿ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi, àëå, ÿê ïîêàçó¹ ïðàêòèêà, ÷àñòî, îñîáëèâî íà âèðîáíèöòâi,
âèíèê๠çàäà÷à ÿêîìîãà òî÷íiøîãî ïðîãíîçó äåÿêîãî òåõíîëîãi÷íîãî ïðîöåñó,
òîáòî, iíøèìè ñëîâàìè, çàäà÷à ïîáóäîâè ìîäåëi öüîãî ïðîöåñó ç ïåâíîþ òî÷íiñòþ
òà íàäiéíiñòþ.
Ðîáîòà ñòðóêòóðîâàíà: ñêëàäà¹òüñÿ çi âñòóïó, ÷îòèðüîõ ðîçäiëiâ òà âèñíîâêó. Ó
ðîçäiëi 1 ìè ââîäèìî îñíîâíi âèçíà÷åííÿ òà âëàñòèâîñòi, êëàñèôiêàöiþ âèïàäêîâèõ
ïðîöåñiâ òà äåÿêi âiäîìîñòi ïðî êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâi âèïàäêîâi ïðîöåñè. Ó ðîçäiëi 2 ðîçãëÿäà¹ìî ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ, à ñàìå: ïîñòàíîâêó çàäà÷i,
ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ, áåðó÷è äî
óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè. Òàêîæ â öié ÷àñòèíi äîâåäåíà òåîðåìà, ÿêà ä๠óìîâè, çà
ÿêèõ ìîäåëü àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ â
L2 ([0, T ])
òà
çíàéäåíi îöiíêè äëÿ ïîáóäîâè ìîäåëi íà îñíîâi âèáiðêè. Ðîçäië 3 ïðèñâÿ÷åíèé ïðàêòè÷íié ÷àñòèíi - ïðîãðàìíié ñèìóëÿöi¨. Äëÿ öüîãî âèêîðèñòîâó¹òüñÿ ñåðåäîâèùå
ïðîãðàìóâàííÿ Microsoft Viausl Studio òà ìîâà ïðîãðàìóâàííÿ
C#.
ðîçãëÿíóòî 3
âèïàäêè: ïîêàçíèêîâèé, ñòåïåíåâèé òèïè ôóíêöié òà ìîäåëþâàííÿ çà äîïîìîãîþ
çíàéäåíèõ îöiíîê.  ðîçäiëi 4 ðîçãëÿäàþòüñÿ òåîðåòè÷íi âiäîìîñòi ïðî ïðîãíîçóâàííÿ òà éîãî ïðàêòè÷íå çàñòîñóâàííÿ íà îñíîâi ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ
iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ çà äîïîìîãîþ ìîâè ïðîãðàìóâàííÿ R. Ïiñëÿ
íàâåäåíi âèñíîâêè, ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ äæåðåë òà ëiñòiíãè ïðîãðàì.
6
ÐÎÇÄIË 1
ÂÈÏÀÄÊÎÂI ÏÐÎÖÅÑÈ
1.1. Êëàñèôiêàöiÿ òà îñíîâíi ïîíÿòòÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ
Òåîði¹þ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ íàçèâà¹òüñÿ ìàòåìàòè÷íà íàóêà, ÿêà âèâ÷๠çàêîíîìiðíîñòi âèïàäêîâèõ ÿâèù ó äèíàìiöi ¨õ ðîçâèòêó. Âèïàäêîâi ïðîöåñè îïèñóþòü áàãàòî ôiçè÷íèõ, åêîíîìi÷íèõ òà âèðîáíè÷èõ ÿâèù. Äî íèõ íàëåæàòü áðîóíiâñüêèé ðóõ, êîëèâàííÿ âàëþòíèõ êóðñiâ, êóðñiâ àêöié, öiíè íà ïåâíèé òîâàð,
áàíêiâñüêi àêòèâè, êiëüêiñòü çàÿâîê íà îáñëóãîâóâàííÿ â êîæíèé ìîìåíò ÷àñó â
ðiçíèõ ñèñòåìàõ íàäàííÿ ïîñëóã. Âçàãàëi ïðîöåñîì íàçèâà¹òüñÿ êîæíå ÿâèùå, ÿêå
ðîçâèâà¹òüñÿ â ÷àñi. Íàñòóïíi îçíà÷åííÿ ñòîõàñòè÷íîãî (âèïàäêîâîãî) ïðîöåñó ¹
åêâiâàëåíòíèìè.
Îçíà÷åííÿ 1.1. Ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ öå ïðîöåñ, ðåàëiçàöiÿ ÿêîãî çàëåæèòü âiä âèïàäêó i äëÿ ÿêîãî âèçíà÷åíà éìîâiðíiñòü òîãî ÷è iíøîãî éîãî ïåðåáiãó.
Îçíà÷åííÿ 1.2. Âèïàäêîâèì (ñòîõàñòè÷íèì) ïðîöåñîì íàçèâà¹òüñÿ ìíî-
æèíà âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, çàëåæíèõ âiä îäíîãî ÷è äåêiëüêîõ çìiííèõ ïàðàìåòðiâ.
Òàêèì ÷èíîì, ïîíÿòòÿ ñòîõàñòè÷íîãî ïðîöåñó óçàãàëüíþ¹ ïîíÿòòÿ âèïàäêîâî¨
âåëè÷èíè. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ ôîðìàëüíî ¹ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ
ÿêà çìiíþ¹òüñÿ çi çìiíîþ íåâèïàäêîâîãî àðãóìåíòó
âèïàäêîâîãî ïðîöåñó) Íåõàé
(Ω, F, P )
t ∈ T (T
X = X(t)
,
- îáëàñòü âèçíà÷åííÿ
- éìîâiðíîñíèé ïðîñòið.
Îçíà÷åííÿ 1.3. Âèïàäêîâîþ ôóíêöi¹þ X
= X(t) íàçèâàþòü ôóíêöiþ íå-
âèïàäêîâîãî àðãóìåíòó t, ÿêà ïðè êîæíîìó ôiêñîâàíîìó çíà÷åííi àðãóìåíòó ¹
âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ.
Îçíà÷åííÿ 1.4. Ïåðåòèíîì âèïàäêîâîãî ïðîöåñó íàçèâàþòü âèïàäêîâó âå-
ëè÷èíó, ÿêà âiäïîâiä๠ôiêñîâàíîìó çíà÷åííþ àðãóìåíòó âèïàäêîâî¨ ôóíêöi¨.
7
ßêùî àðãóìåíò t ïîñëiäîâíî ïðèéì๠âñi çíà÷åííÿ ç îáëàñòi âèçíà÷åííÿ T
âèïàäêîâîãî ïðîöåñó
X = X(t),
òî é óñi âiäïîâiäíi âèïàäêîâi çìiííi (ïåðåòèíè
öüîãî ïðîöåñó) íàáóäóòü ïåâíèõ çíà÷åíü, âíàñëiäîê ÷îãî îäåðæèìî êîíêðåòíó íåâèïàäêîâó ôóíêöiþ
àëiçàöi¹þ ïðîöåñó
X(t).
X(t)
Îòðèìàíà òàêèì ÷èíîì ôóíêöiÿ
X(t)
íàçèâà¹òüñÿ ðå-
àáî òðà¹êòîði¹þ, âèáiðêîâîþ ôóíêöi¹þ, à ïðîöåñ íàáóòòÿ
àðãóìåíòîì t ïîñëiäîâíî âñiõ çíà÷åíü ç îáëàñòi âèçíà÷åííÿ âèïàäêîâî¨ ôóíêöi¨ åêñïåðèìåíòîì íàä öèì âèïàäêîâèì ïðîöåñîì.
Îçíà÷åííÿ 1.5. Ðåàëiçàöi¹þ X(t) (òðà¹êòîði¹þ) âèïàäêîâî¨ ôóíêöi¨ X(t) íàçèâàþòü êîíêðåòíèé âèãëÿä, ÿêèé ìîæå ïðèéíÿòè âèïàäêîâà ôóíêöiÿ â ïðîöåñi
åêñïåðèìåíòó.
Âèïàäêîâi ïðîöåñè îïèñóþòü ðiçíîìàíiòíi ñèñòåìè, çîêðåìà åêîíîìi÷íi òà ôiíàíñîâi. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ, ÿêèé âiäáóâà¹òüñÿ â ñèñòåìi S, ïîëÿã๠â òîìó, ùî
ç ïëèíîì ÷àñó t ñèñòåìà S ó âèïàäêîâèé ñïîñiá çìiíþ¹ ñâié ñòàí. ßêùî ñèñòåìà S ó ìîìåíò t îïèñó¹òüñÿ îäíi¹þ ñêàëÿðíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ X, òî ìè
ìà¹ìî ñïðàâó iç ñêàëÿðíèì âèïàäêîâèì ïðîöåñîì
X(t)
. ßêùî ñòàí ñèñòåìè S ó
ìîìåíò t îïèñó¹òüñÿ äåêiëüêîìà âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè
ìà¹ìî ñïðàâó ç âåêòîðíèì âèïàäêîâèì ïðîöåñîì
X(t).
X1 , X2 , ..., Xk ,
òî ìè
Ó òåîði¨ âèïàäêîâèõ ïðî-
öåñiâ ¨õ ïðèéíÿòî êëàñèôiêóâàòè çàëåæíî âiä ñòðóêòóðè ìíîæèíè ñòàíiâ ñèñòåìè
òà ñòðóêòóðè ìíîæèíè çíà÷åíü àðãóìåíòó
t. Òàêèì ÷èíîì, âèïàäêîâi ïðîöåñè ïî-
äiëÿþòü íà òàêi îñíîâíi êëàñè:
Îçíà÷åííÿ 1.6. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ X(t) íàçèâà¹òüñÿ ïðîöåñîì ç äèñêðåïðîöåñè ç äèñêðåòíèìè ñòàíàìè i äèñêðåòíèì ÷àñîì;
ïðîöåñè ç äèñêðåòíèìè ñòàíàìè i íåïåðåðâíèì ÷àñîì;
ïðîöåñè ç íåïåðåðâíèìè ñòàíàìè i äèñêðåòíèì ÷àñîì;
ïðîöåñè ç íåïåðåðâíèìè ñòàíàìè i íåïåðåðâíèì ÷àñîì.
òíèì ÷àñîì, ÿêùî ñèñòåìà, â ÿêié âií âiäáóâà¹òüñÿ, ìîæå çìiíþâàòè ñâî¨
ñòàíè ëèøå â ìîìåíòè t1 , t2 , ..., tn , ... äèñêðåòíî¨ ìíîæèíè ÷àñó. Îáëàñòü âèçíà÷åííÿ òàêîãî ïðîöåñó ¹ äèñêðåòíîþ ìíîæèíîþ t1 , t2 , ..., tn , ....
Îçíà÷åííÿ 1.7. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ X(t) íàçèâà¹òüñÿ ïðîöåñîì ç íåïåðåðâ-
8
íèì ÷àñîì, ÿêùî ñèñòåìà, â ÿêié âií âiäáóâà¹òüñÿ, ìîæå ïåðåõîäèòè çi ñòàíó
â ñòàí ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t (ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííi àðãóìåíòó).
Îçíà÷åííÿ 1.8. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ X(t) íàçèâà¹òüñÿ ïðîöåñîì ç íåïåðåðâ-
íèìè ñòàíàìè, ÿêùî âñi éîãî ïåðåòèíè ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííi àðãóìåíòó t
¹ íåïåðåðâíèìè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè. Ìíîæèíà çíà÷åíü êîæíî¨ òàêî¨ âèïàäêîâî¨ çìiííî¨ ¹ íåç÷èñëåííîþ.
Îçíà÷åííÿ 1.9. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ X(t) íàçèâà¹òüñÿ ïðîöåñîì ç äèñêðå-
òíèìè ñòàíàìè, ÿêùî êîæåí éîãî ïåðåòèí ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t ¹ äèñêðåòíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ.
1.2. Êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâi âèïàäêîâi âåëè÷èíè òà ïðîöåñè
Íîðìàëüíèé çàêîí ðîçïîäiëó (ÿêèé ùå íàçèâà¹òüñÿ çàêîíîì Ãàóññà) âiäiãðà¹
âèêëþ÷íî âàæëèâó ðîëü â òåîði¨ éìîâiðíîñòåé i çàéì๠ñåðåä iíøèõ çàêîíiâ ðîçïîäiëó îñîáëèâèé ñòàí. Öå çàêîí, ÿêèé íàé÷àñòiøå çóñòði÷à¹òüñÿ íà ïðàêòèöi. Ãîëîâíà îñîáëèâiñòü, ÿêà âèäiëÿ¹ íîðìàëüíèé çàêîí ñåðåä iíøèõ çàêîíiâ, ïîëÿã๠â
òîìó, ùî âií ¹ ãðàíè÷íèì çàêîíîì, äî ÿêîãî íàáëèæàþòüñÿ iíøi çàêîíè ðîçïîäiëó.
Òàê, íàïðèêëàä, âåëèêà êiëüêiñòü ãàðìàòíèõ ïîñòðiëiâ, çäiéñíåíèõ â ðiçíèõ
óìîâàõ, ïîêàçó¹, ùî ðîçñiþâàííÿ ñíàðÿäiâ íà ïëîùèíi ïðè ïîñòðiëi ç îäíi¹¨ ãàðìàòè ïðè âñòàíîâëåíîìó ïðèöiëi ïiäëÿã๠íîðìàëüíîìó çàêîíó.
Óíiâåðñàëüíiñòü íîðìàëüíîãî çàêîíó ïîÿñíþ¹òüñÿ òèì, ùî áóäü-ÿêà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà ¹ ñóìîþ âåëèêî¨ êiëüêîñòi îêðåìèõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü, êîæíå
ç ÿêèõ ïiäïîðÿäêîâó¹òüñÿ ðiçíèì çàêîíàì ðîçïîäiëó i íåñóòò¹âî âïëèâ๠íà ñóìó,
ðîçïîäiëåíà ìàéæå çà íîðìàëüíèì çàêîíîì.
Áiëüøiñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, òàêèõ, íàïðèêëàä, ÿê ïîõèáêè âèìiðiâ, ïîõèáêè ãàðìàòíèõ ñòðiëüá i ò. ä. ìîæóòü áóòè ïîäàíi ÿê ñóìè âåëèêî¨ êiëüêîñòi ìàëèõ
äîäàíêiâ åëåìåíòàðíèõ ïîõèáîê, êîæíà ç ÿêèõ âèçíà÷à¹òüñÿ äi¹þ îêðåìî¨ ïðè÷èíè, ÿêà íå çàëåæèòü âiä iíøèõ. ßêèì áè çàêîíàì ðîçïîäiëó íå ïiäïîðÿäêîâóâàëèñü
îêðåìi åëåìåíòàðíi ïîõèáêè, îñîáëèâîñòi öèõ ðîçïîäiëiâ â ñóìi âåëèêî¨ êiëüêîñòi
äîäàíêiâ íiâåëþþòüñÿ i ñóìà ïiäïîðÿäêîâó¹òüñÿ çàêîíó, ùî áëèçüêèé äî íîðìàëü-
9
íîãî. Ïiäñóìîâàíi ïîõèáêè â çàãàëüíié ñóìi ïîâèííi ãðàòè âiäíîñíî ìàëó ðîëü.
Îçíà÷åííÿ 1.10. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ íîðìàëüíî ðîçïîäiëåíà àáî ïiäïî-
ðÿäêîâó¹òüñÿ çàêîíó ðîçïîäiëó Ãàóññà, ÿêùî ¨¨ ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó ì๠âèãëÿä:
f (x) =
√ 1 e−
2πσ
(x−a)2
2σ 2
Ôóíêöiþ ðîçïîäiëó íîðìàëüíî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè îá÷èñëþþòü ÿê iíòåãðàë
âiä ùiëüíîñòi:
F (x) =
Rx
f (t)dt.
Iíòåãðóâàííÿì çà ùiëüíiñòþ âñòàíîâëþþòü, ùî
−∞
ïåðøèé ïàðàìåòð íîðìàëüíîãî ðîçïîäiëó çáiãà¹òüñÿ ç ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì,
à äðóãèé iç äèñïåðñi¹þ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè, ùî ì๠öåé ðîçïîäië:
EX = a, DX = σ 2
(1.1)
Äàìî âèçíà÷åííÿ òà äåÿêi âëàñòèâîñòi êâàäðàòè÷íî-ãàóññîâèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí
i ñòîõàñòè÷íèõ ïðîöåñiâ. Ïðèïóñòèìî, ùî
ìåòðèêîþ
(T, ρ)
êîìïàêòíèé ìåòðè÷íèé ïðîñòið ç
ρ.
Îçíà÷åííÿ 1.11. Íåõàé Ξ = {ξ , t ∈ T } ¹ ñiìåéñòâîì öåíòðîâàíèõ ãàóñît
âèõ âèïàäêîâèõ çìiííèõ. Ïðîñòið SGΞ (Ω) íàçèâà¹òüñÿ ïðîñòîðîì êâàäðàòè÷íîãàóñîâèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ÿêùî áóäü-ÿêèé åëåìåíò η ∈ SGΞ (Ω) ìîæå áóòè
ïðåäñòàâëåíèé ÿê
η = ζAζ T − EζAζ T ,
(1.2)
äå ζ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), ξk ∈ Ξ, k = 1, n, A - öå äiéñíà ìàòðèöÿ àáî åëåìåíò,
η ∈ SGΞ (Ω) ¹ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ ãðàíèöåþ ïîñëiäîâíîñòi ç
(1.2)
η = l.i.m(ζn AζnT − Eζn AζnT ).
Îçíà÷åííÿ
1.12. [1]
p
||ξ|| =
n→∞
Ïðîñòið SGΞ (Ω) ¹ áàíàõîâèì ïðîñòîðîì ç íîðìîþ
E ξ 2.
Îçíà÷åííÿ 1.13. Âèïàäêîâèé ïðîöåñ ξ(t), t ∈ [0, T ], ¹ êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâèì,
ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ôiêñîâàíîãî t ∈ [0, T ] âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ(t) íàëåæèòü
ïðîñòîðó SGΞ (Ω) i sup |ξ(t)| < ∞.
t∈[0,T ]
Ìè áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè íàñòóïíó òåîðåìó ïðî õâiñò ðîçïîäiëó ñóïðåìóìà
êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâîãî ñòîõàñòè÷íîãî ïðîöåñó. Äîâåäåííÿ òåîðåìè ìîæíà çíàéòè
â [4].
10
Òåîðåìà 1.1. Íåõàé {T, A, µ} ¹ äåÿêèì ìåòðè÷íèì ïðîñòîðîì òà íåõàé
ξ = {ξ(t), t ∈ T } ¹ âèìiðíèì êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâèì âèïàäêîâèì ïðîöåñîì. ÏðèR
ïóñòèìî, ùî ëåáåãîâèé iíòåãðàë (Eξ 2 (t))p/2 dµ(t) ¹ âèçíà÷åíèì äëÿ p > 1. Òîäi
T
R
iíòåãðàë (Eξ 2 (t))p dµ(t) iñíó¹ ç iìîâiðíiñòþ 1 òà
T
v
(
)
√
u
1/p
1/p
u
x
2
x
P
exp − √ 1
|ξ(t)|p dµ(t) > x 6 2t1 +
1
Cpp
2Cpp
T
p
R
äëÿ âñiõ x > ( √p2 + ( p2 + 1)p)p Cp , äå Cp = (Eξ 2 (t))p/2 dµ(t)
Z
T
11
ÐÎÇÄIË 2
ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÕ ÏÐÎÖÅÑIÂ
2.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷i
Îäíi¹þ iç íàéàêòóàëüíiøèõ çàäà÷ çàëèøà¹òüñÿ ïîáóäîâà ìàòåìàòè÷íî¨ ìîäåëi
îïèñóâàíîãî íåþ ïðîöåñó òà äîñëiäæåííÿ ¨ ¨ âëàñòèâîñòåé. Àêòèâíî ðîçðîáëÿþòüñÿ
ìåòîäè ÷èñåëüíîãî ìîäåëþâàííÿ, çðîñò๠ñôåðà çàñòîñóâàííÿ ñòîõàñòè÷íèõ ìîäåëåé â ðiçíèõ îáëàñòÿõ ïðèðîäíè÷èõ òà ñîöiàëüíèõ íàóê, òàêèõ, ÿê ìåòåîðîëîãiÿ,
ñîöiîëîãiÿ, ôiíàíñîâà ìàòåìàòèêà, òåîðiÿ ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ, ñòîõàñòè÷íà
ãåîìåòðiÿ, ðàäiîòåõíiêà òà ií.
Îñêiëüêè áiëüøiñòü ôiçè÷íèõ ÿâèù çàëåæàòü âiä áàãàòüîõ ôàêòîðiâ, òî ïðè ¨õ
ìîäåëþâàííi íàìàãàþòüñÿ âiäòâîðèòè ïðîöåñè, ùî ¹ ñóìîþ âåëèêîãî ÷èñëà âèïàäêîâèõ ÷èííèêiâ, òîáòî çãiäíî öåíòðàëüíîþ ãðàíè÷íîþ òåîðåìîþ ¹ ãàóññîâèìè àáî
áëèçüêèìè äî íèõ ïðîöåñàìè. Òîìó íàéáiëüø øèðîêî ðîçðîáëåíi ìåòîäè ìîäåëþâàííÿ ãàóññîâèõ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ òà ïîëiâ. Àëå â áiëüøîñòi ðîáiò, ïðèñâÿ÷åíèõ
êîìï'þòåðíîìó ìîäåëþâàííþ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ, íå âèâ÷àëèñü ïèòàííÿ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi.
Àëå, ÿê ïîêàçó¹ ïðàêòèêà, ÷àñòî, îñîáëèâî íà âèðîáíèöòâi, âèíèê๠çàäà÷à ÿêîìîãà òî÷íiøîãî ïðîãíîçó äåÿêîãî òåõíîëîãi÷íîãî ïðîöåñó, òîáòî, iíøèìè ñëîâàìè,
çàäà÷à ïîáóäîâè ìîäåëi öüîãî ïðîöåñó ç ïåâíîþ òî÷íiñòþ.
Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî äåÿêi äîïîìiæíi âèçíà÷åííÿ, ââåäåìî íåîáõiäíi ïîçíà÷åííÿ, äîâåäåìî òåîðåìó, ÿêà ä๠íàì âiäïîâiäíi óìîâè äëÿ ïîáóäîâè ìîäåëi,
ÿêà àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ â áàíàõîâîìó ïðîñòîði
L2 ([0, T ]),
áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè. Äëÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè áóäåìî
âèêîðèñòîâóâàòè äåÿêi ìåòîäè òà âëàñòèâîñòi êâàäðàòè÷íî-ãàóññîâèõ ïðîöåñiâ.
12
2.2. Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ òà ïîçíà÷åííÿ
Íåõàé
(Ω, F, P )
¹ äåÿêèìè iìîâiðíîñíèìè ïðîñòîðàìè.
Îçíà÷åííÿ 2.1. Ñòàöiîíàðíèé ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ íàçèâà¹òüñÿ ïðîöåñîì
ç äèñêðåòíèì ñïåêòðîì, ÿêùî éîãî êîðåëÿöiéíà ôóíêöiÿ ìîæå áóòè çàäàíà ÿê
B(h) =
∞
X
b2k cos λk h,
k=0
äå b2k > 0,
P∞
2
k=0 bk
< ∞, òà λκ - çðîñòàþ÷i ïîñëiäîâíîñòi òàêi, ùî 0 6 λκ 6
λk+1 → ∞ êîëè k → ∞.
Ç âèçíà÷åííÿ âèùå âèïëèâà¹, ùî (äèâ., Íàïðèêëàä, [3, 4]) ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ
ç äèñêðåòíèì ñïåêòðîì ìîæå áóòè çàïèñàíèé òàêèì ÷èíîì
X(t) =
∞
X
bk (ξk cos λk t + ηk sin λk t),
(2.1)
k=0
äå
ξk , ηk
¹ íåçàëåæíèìè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì
ñïîäiâàííÿì,
Eξk = Eηk = Eξk ηl = 0
òà
Eξk ξl = Eηk ηl = δkl , k > 0, l > 0.
Çàóâàæèìî, ùî ðÿä â (2.1) ñõîäèòüñÿ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó [3, 4]. ßêùî
âèïàäêîâi âåëè÷èíè
ξk , η k
¹ ãàóñîâèìè, òîäi âèïàäêîâèé ïðîöåñ
X(t)
ç (2.1) áóäå
òàêîæ ãàóñîâèì. Ó ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ ãàóñîâèé âèïàäêîâèé ïðîöåñ ç äèñêðåòíèì
ñïåêòðîì.
Ðîçãëÿíåìî ñòàöiîíàðíó ëiíiéíó ñèñòåìó ç äiéñíîçíà÷íîþ iíòåãðîâàíîþ ç êâàäðàòîì iìïóëüñíî¨ ïåðåõiäíîþ ôóíêöi¹þ
[0, T ].
H(τ ),
ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ â îáëàñòi
Öå îçíà÷à¹, ùî âiäïîâiäü ñèñòåìè íà âõiäíèé ñèãíàë
òüñÿ íà
[−T, T ],
X(t),
τ ∈
ÿêà ñïîñòåðiãà¹-
ì๠òàêèé âèãëÿä
ZT
H(τ )X(t − τ )dτ, t ∈ [0, T ]
Y (t) =
(2.2)
0
òà
H(τ ) ∈ L2 ([0, T ]).
Ïðèïóñòèìî, ùî ôóíêöiÿ iìïóëüñíî¨ âiäïîâiäi ¹ âiäîìà. Ìè òàêîæ ïðèïóñêà¹ìî, ùî âõiäíèé ñèãíàë â ñèñòåìi (2.2) ¹ ñòàöiîíàðíèì âèïàäêîâèì ïðîöåñîì ç
13
äèñêðåòíèì ñïåêòðîì. Ç (2.1) òà (2.2) âèïëèâà¹, ùî âiäïîâiäü ñèñòåìè
Y (t)
ìîæå
áóòè ïðåäñòàâëåíà ÿê
Y (t) =
∞
X
(ξk · ck (t) + ηk · sk (t)),
(2.3)
k=0
äå ôóíêöi¨
ck (t), sk (t)
äîðiâíþþòü
ZT
H(τ ) cos(λk (t − τ ))dτ,
ck (t) = bk
0
ZT
H(τ ) sin(λk (t − τ ))dτ, t ∈ [0, T ].
sk (t) = bk
(2.4)
0
Ó äàíié ðîáîòi äîñëiäæó¹òüñÿ ìîäåëü ïîáóäîâè ïðîöåñó
íàáëèæåííÿ âõiäíîãî ñèãíàëó
X(t)
âiäi ñèñòåìè (âèõiäíîãî ïðîöåñó)
íàõîâîìó ïðîñòîði
L2 ([0, T ]).
X(t)
òà óìîâè äëÿ
ïîáóäîâàíîþ ìîäåëëþ ç óðàõóâàííÿì âiäïî-
Y (t)
ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ â áà-
Äëÿ äîñÿãíåííÿ öi¹¨ ìåòè âèêîðèñòîâó¹òüñÿ òåîðiÿ
êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí i ñòîõàñòè÷íèõ ïðîöåñiâ.
Ìîäåëëþ ñòîõàñòè÷íîãî ïðîöåñó
Îçíà÷åííÿ 2.2. Âèïàäêîâèé
X(t)
áóäåìî íàçèâàòè óñi÷åíèé ðÿä ç (2.1).
ïðîöåñ XN (t) íàçèâà¹òüñÿ ìîäåëëþ ïðîöåñà
X(t), ÿêùî
XN (t) =
N
X
bk (ξk cos λk t + ηk sin λk t).
k=0
ßêùî ìîäåëü
XN (t)
ðîçãëÿäà¹òüñÿ ÿê âõiäíèé ñèãíàë ëiíiéíî¨ ñèñòåìè, òî âè-
õiäíèé ïðîöåñ ì๠òàêèé âèãëÿä
YN (t) =
N
X
(ξk · ck (t) + ηk · sk (t)),
k=0
äå ôóíêöi¨
Ïiä
ck (t), sk (t)
ç (2.4).
ξN (t) ìè ïîçíà÷à¹ìî ñóìó êâàäðàòiâ ðiçíèöü X(t) − XN (t) òà Y (t) − YN (t)
ξN (t) = (X(t) − XN (t))2 + (Y (t) − YN (t))2
(2.5)
14
Îçíà÷åííÿ 2.3. Áóäåìî
ãîâîðèòè, ùî ìîäåëü XN (t) àïðîêñèìó¹ ñòîõà-
ñòè÷íèé ïðîöåñ X(t) ç óðàõóâàííÿì âiäïîâiäi ñèñòåìè ç çàäàíîþ íàäiéíiñòþ
1 − ν, ν ∈ (0, 1), i òî÷íiñòü δ > 0 ó ïðîñòîði L2 ([0, T ]), ÿêùî
Z
2
|ξN (t) − EξN (t)| dµ(t) > δ < ν.
P
T
2.3. Ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñiâ ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà
íàäiéíiñòþ â L ([0, T ]) ç óðàõóâàííÿì âiäïîâiäi ñèñòåìè
2
Ëåãêî ïîêàçàòè, ùî
ξN (t) − EξN (t) ¹ êâàäðàòè÷íî-ãàóñîâèì ïðîöåñîì, äå ξN (t)
ç (1.2). Îñü ÷îìó â äàíîìó âèïàäêó ìîæå áóòè âèêîðèñòàíà Òåîðåìà 2.1 .
Ïîçíà÷èìî
φ1kl = φ1kl (t) = bk bl cos(λk t) cos(λl t) + ck (t)cl (t);
φ2kl = φ2kl (t) = 2(bk bl cos(λk t) sin(λl t) + ck (t)sl (t));
(2.6)
φ3kl = φ3kl (t) = bk bl sin(λk t) sin(λl t) + sk (t)sl (t).
Òîäi ç (2.1), (2.3) òà (1.2) âèïëèâà¹, ùî ïðîöåñ
ξN (t) ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíèé
ó âèãëÿäi ñåði¨
∞
X
ξN (t) =
∞
X
(φ1kl (t)ξk ξl + φ2kl (t)ξk ηl + φ3kl (t)ηk ηl ).
(2.7)
k=N +1 l=N +1
Ïîçíà÷èìî ðiçíèöi
∆φ1kl = φ1kl (t) − φ1kl (s); ∆φ2kl = φ2kl (t) − φ2kl (s); ∆φ3kl = φ3kl (t) − φ3kl (s).
(2.8)
Ñïðàâåäëèâà íàñòóïíà äîïîìiæíà ëåìà.
Ëåìà 2.1. Íåõàé ξ
N (t)
- öå ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ ç
EξN (t) =
DξN (t) =
D(ξN (t) − ξN (s)) =
∞
X
(1.2).
Òîäi
(φ1kk (t) + φ3kk (t));
k=N +1
∞
X
k,l=N +1
∞
X
k,l=N +1
2(φ1kl (t))2 + (φ2kl (t))2 + 2(φ3kl (t))2 ;
2(∆φ1kl )2 + (∆φ2kl )2 + 2(∆φ3kl )2 .
(2.9)
15
Äîâåäåííÿ.
Îñêiëüêè
ξk , ηl , k > 0, l > 0, ¹ ãàóñîâèìè íåçàëåæíèìè öåíòðîâà-
íèìè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè ñ äèñïåðñi¹þ 1, òî âèêîðèñòàâøè (2.7), îòðèìà¹ìî
EξN (t) =
=
(φ1kl (t)Eξk ξl + φ2kl (t)Eξk ηl + φ3kl (t)Eηk ηl )
k=N +1 l=N +1
∞
X
(φ1kk (t)
k=N +1
ξN (t)
Ùîá çíàéòè äèñïåðñiþ
E(ξN (t))2 = E
∞
X
∞
X
∞
X
+ φ3kk (t))
îòðèìà¹ìî ñïî÷àòêó äðóãèé ìîìåíò
∞
X
!2
(φ1kl (t)Eξk ξl + φ2kl (t)Eξk ηl + φ3kl (t)Eηk ηl )
.
k=N +1 l=N +1
Ìè áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ôîðìóëó Iññåðëiñà äëÿ ãàóñîâèõ öåíòðîâàíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí:
EX1 X2 X3 X4 = EX1 X2 EX3 X4 + EX1 X3 EX2 X4 + EX1 X4 EX2 X3 .
Òîäi ìè îòðèìà¹ìî
2
E(ξN (t))
= E
+
∞
X
∞
X
φ1kk (t)φ1ll (t) + 2(φ1kl (t))2 + (φ2kl (t))2 +
k=N +1 l=N +1
3
φkk (t)φ3ll (t) + 2(φ3kl (t))2
Äèñïåðñiÿ ñòîõàñòè÷íîãî ïðîöåñó
ξN (t)
+ 2φ1kk (t)φ3ll (t) .
äîðiâíþ¹
DξN (t) = E(ξN (t))2 − (EξN (t))2
∞
X
=
2(φ1kl (t))2 + (φ2kl (t))2 + 2(φ3kl (t))2 .
k,l=N +1
Àíàëîãi÷íî ëåãêî äîâåñòè ôîðìóëó äëÿ äèñïåðñi¨ ïðîöåñó ïðèðiñòó
ξN (s).
ξN (t) −
Ëåìà ïîâíiñòþ äîâåäåíà.
Ðîçãëÿíåìî òàêi óìîâè:
Óìîâà A:
H(τ )
Iñíó¹ ñòàëà
íà îáëàñòi
c > 0,
ÿêà îáìåæó¹ ôóíêöiþ iìïóëüñíî¨ âiäïîâiäi
[0, T ]
|H(τ )| 6 c.
16
Óìîâà B:
Íàñòóïíèé iíòåãðàë ¹ çáiæíèì
ZT
IH =
H 2 (τ )dτ < ∞.
0
Óìîâà C:
∞
X
b2k λ2α
k < ∞, α ∈ (0, 1].
k=N +1
Íàñòóïíà ëåììà ä๠îöiíêó ñåðåäíüîãî, äèñïåðñi¨ ïðîöåñó
ξN (t)
òà äèñïåðñiþ
ïðèðîñòó ïðîöåñó.
Ëåìà 2.2. Ïðèïóñòèìî, ùî óìîâè
EξN (t) 6 (1 + T · IH )
∞
X
A, B, C
âèêîíóþòüñÿ. Òîäi
b2k ;
(2.10)
k=N +1
!2
∞
X
DξN (t) 6 (8 + 2T 2 · IH2 )
b2k
+ (64c2 + 2 · IH2 )
k=N +1
∞
X
+ 4T · IH2
!2
k=N +1
∞
X
!
b2k
k=N +1
∞
X
b2k
λk
k=N +1
b2k
λk
!
:= (δ0 (N ))2 ;
D(ξN (t) − ξN (s)))1/2 6 K(N ) · |t − s|α , α ∈ (0, 1],
(2.11)
äå
K(N ) = 23−α
∞
X
b2k λ2α
k ·
k=N +1
+ 8c2 (
∞
X
b2k +
k=N +1
∞
X
b2k λ2α−1
·
k
!2
∞
X
b2k λαk
b2k λ−1
k +
∞
X
k=N +1
k=N +1
∞
X
∞
X
∞
X
b2k λ2α−2
·
k
k=N +1
k=N +1
b2k λ−2
k +
EξN (t) =
(φ1kk (t) + φ3kk (t)).
k=N +1
!2
b2k λα−1
k
k=N +1
Çà ëåìîþ 2.1
∞
X
+
k=N +1
k=N +1
+ 16c4 (
Äîâåäåííÿ.
∞
X
)+
!2 1/2
b2k λα−2
k
)
(2.12)
17
Ïiäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ
φ1kk (t), φ3kk (t)
ç (2.6), îòðèìà¹ìî
∞
X
EξN (t) =
(b2k + c2k (t) + s2k (t)).
k=N +1
Òåïåð îöiíèìî
c2k (t) + s2k (t).
c2k (t) + s2k (t) = b2k
2
ZT
H(τ ) cos(λk (t − τ ))dτ
0
+ b2k
2
ZT
H(τ ) sin(λk (t − τ ))dτ
0
6 b2k
6
ZT
H 2 (τ )dτ
0
2
bk IH T.
Îòæå, îöiíêà (2.10) äëÿ
ZT
cos2 (λk (t − τ )) + sin2 (λk (t − τ ))dτ
0
EξN (t)
äîâåäåíà.
Ç ëåìè 2.1 âèïëèâà¹, ùî ìè ïîâèííi îöiíèòè
îöiíêó äèñïåðñi¨ ïðîöåñó
(φikl (t))2 , i = 1, 2, 3,
ùîá çíàéòè
ξN (t):
(φ1kl (t))2 = b2k b2l cos2 (λk t) cos2 (λl t)
+ 2bk bl cos(λk t) cos(λl t)ck (t)cl (t)
+ c2k (t)c2l (t).
Îöiíèìî êîæíåèé äîäàíîê îêðåìî. Î÷åâèäíî, ùî
cos2 (λk t) cos2 (λl t) 6 1.
ZT
H(τ ) cos(λk t) cos(λk (t − τ ))dτ
cos(λk t)ck (t) =
0
1
=
2
ZT
H(τ )(cos(λk (2t − τ )) + cos(λk τ ))dτ
0
6
äå êîíñòàíòà
c
c 4
2c
·
= ,
2 λk
λk
çàäàíà â óìîâi
A
.
(2.13)
18
(ck (t))2 = b
2
ZT
H(τ ) cos(λk (t − τ ))dτ
0
T
Z
6
H 2 (τ )dτ
0
6
IH
2
ZT
cos2 (λk (t − τ ))dτ
0
ZT
(1 + cos(2λk (t − τ )))dτ
0
6
1
IH
(T + ).
2
λk
Ç íåðiâíîñòi âèùå i (2.13) ìè îòðèìó¹ìî
2
T
1
T
1
8c
+ IH2 ( +
)( +
) := Akl.
(φ1kl (t))2 6 b2k b2l 1 +
λk λl
2 2λk 2 2λl
(2.14)
Òàê ñàìî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî
(φ2kl (t))2 6 4Akl ,
(φ3kl (t))2 6 Akl .
(2.15)
Çà ëåìîþ 2.1, (2.14) i (2.15) ìè ìà¹ìî, ùî
∞
X
DξN (t) 6 8
Akl = (δ0 (N ))2 ,
k,l=N +1
äå
(δ0 (N ))2
ç (2.10).
Ùîá çàâåðøèòè äîêàç ëåìè, ìè ìà¹ìî îöiíèòè
(D(ξN (t) − ξN (s)))1/2 .
Ç ëåìè
2.1 âèïëèâà¹, ùî äîñòàòíüî îöiíèòè
(∆φikl )2 = (φikl (t) − φikl (s))2 , i = 1, 2, 3.
|∆φ1kl | = |bk bl (cos(λk t) cos(λl t) − cos(λk s) cos(λl s)) + ck (t)cl (t) − ck (s)cl (s)|
6 bk bl (| cos(λk t)| · | cos(λl t) − cos(λl s)|
+ | cos(λl t)| · | cos(λk t) − cos(λk s)|)
19
+ |ck (t)| · |cl (t) − cl (s)|
+ |cl (t)| · |ck (t) − ck (s)|.
Îñêiëüêè â ìîíîãðàôi¨ [4] äîâåäåíà íåðiâíiñòü
| sin(h)| 6 hα , α ∈ (0, 1],
λk
(t − s))|
2
6 21−α λαk |t − s|α
| cos(λk t) − cos(λk s)| 6 2| sin(
òà
ZT
|ck (t) − ck (s)| 6 bk
|H(τ )|| cos(λk (t − τ )) − cos(λk (s − τ ))|dτ
0
λk
6 2cbk | sin( (t − s))|
2
ZT
| sin(
λk
(t + s − 2τ ))|dτ
2
0
6 2
òî ôóíêöi¨
ck (t)
2−α
cλα−1
k bk |t
− s|,
ìîæóòü áóäòè îáìåæåíi íàñòóïíèì ÷èíîì
ZT
H(τ ) cos(λk (t − τ ))dτ |
|ck (t)| = bk |
0
ZT
6 cbk |
cos(λk (t − τ ))dτ | 6
2cbk
.
λk
0
Îòæå,
2
4c
:= Rkl .
|∆φ1kl | 6 bk bl 21−α |t − s|α (λαk + λαl ) 1 +
λk λl
Àíàëîãi÷íî ìîæóòü áóòè îòðìèìàíi îöiíêè
|∆φ3kl | 6 Rkl
òà
|∆φ2kl | 6 2Rkl
. Îòæå,
D(ξN (t) − ξN (s)) =
∞
X
k,l=N +1
2(∆φ1kl )2 + (∆φ2kl )2 + 2(∆φ3kl )2
20
∞
X
6 8
2
Rkl
.
k,l=N +1
Ïiñëÿ åëåìåíòàðíîãî ïåðåòâîðåííÿ ìè ìà¹ìî
(D(ξN (t) − ξN (s)))1/2 6 K(N ) · |t − s|α , α ∈ (0, 1],
äå êîåôiöi¹íò
K(N )
âèçíà÷åíèé â (2.12). Ëåìà 2.2 äîâåäåíà.
Ðåçóëüòàòè ëåìè 2.2 ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíi äëÿ íàáëèæåííÿ ãàóñîâîãî âèïàäêîâîãî ïðîöåñó ç äèñêðåòíèì ñïåêòðîì ç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà íàäiéíiñòþ.
Òåîðåìà 2.1. Ïðèïóñòèìî, ùî óìîâè
A, B, C
âèêîíàíi. Ìîäåëü XN (t) àïðî-
êñèìó¹ ãàóñîâèé ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ ç äèñêðåòíèì ñïåêòðîì X(t) áåðó÷è äî
óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè iç çàäàíîþ íàäiéíiñòþ 1 − ν , ν ∈ (0, 1), òà òî÷íiñòþ
δ > 0 â ïðîñòîði L2 ([0, T ]), ÿêùî äëÿ N ñïðàâäåëèâi íåðiâíîñòi
2
δ > ( √ + 4)C2 (N ),
2
s
2 1+
√
δ 1/2 2
1
C2 (N ) 2
δ 1/2
exp − √
(2.16)
1
2C2 (N ) 2
< ν,
äå
Z
C2 (N ) =
T
!2
∞
2
X
b
k
(DN (t))dt = (8 + 2T 2 · IH2 )
b2k + (64c2 + 2 · IH2 )
λk
k=N +1
k=N +1
!
! 1
∞
∞
2
X
X
2
b
2
2
k
+4T · IH
bk
;
λk
!2
∞
X
k=N +1
Äîâåäåííÿ.
k=N +1
Äîâåäåííÿ òåîðåìè âèïëèâ๠ç âèçíà÷åííÿ 2.1, òåîðåìîþ 1.1 òà
çâ'ÿçêiâ ç Ëåìîþ 2.2.
2.4. Çíàõîäæåííÿ îöiíîê ïàðàìåòðiâ ìîäåëi
Ïðîàíàëiçóâàâøè íàéïîøèðåíiøi ìåòîäè îöiíîê ïàðàìåòðiâ ìîäåëi, áóëî âèðiøåíî âèêîðèñòàòè ìåòîä ìîìåíòiâ äëÿ îöiíêè
b.
Ìåòîä ì๠íàñòóïíi ïåðåâàãè:
21
1. Îöiíêè îäåðæóâàíi öèì ìåòîäîì çàâæäè ¹ çàìîæíèìè.
2. Ìåòîä ìîìåíòiâ ìàëî çàëåæèòü âiä çàêîíó ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè.
3. Ñêëàäíiñòü îá÷èñëåííÿ íåçíà÷íà.
Çíàéäåìî âèáiðêîâèé ìîìåíò:
2
Ex (t) = E
∞ X
∞
X
bi bj (ξi sin λi t + ηi sin λi t)(ξj sin λj t + ηj sin λj t)
i=0 j=0
∞ X
∞
X
=
bi bj E ξi ξj sin λi t sin λj t + Eξi ηj sin λi t cos λj t
i=0 j=0
+Eηi ξj cos λi t sin λj t + Eηi ηj cos λi t cos λj t
∞
∞
X
2 2 i
X
1
2i
2
2 i
=
b Eξi sin λ t + Eηi cos λ t =
b2i =
1 − b2
i=0
i=0
Çâiäñè ìà¹ìî îöiíêó
b:
n
1
1X
=
(xi − x)2
n i=1
1 − bˆ2
bˆ2 = 1 −
1
2
i=1 (xi − x)
Pn
1
n
n
2
i=1 (xi − x)
r
b̂ = 1 − Pn
Âèêîðèñòàâøè ìåòîä ìîìåíòiâ äëÿ çíàõîäæåííÿ îöiíêè
λ, âèÿâèëîñü, ÷òî ïðè
ïiäðàõóíêó 4-ãî âèáiðêîâîãî ìîìåíòó âñå âåëè÷èíè çíèùóþòüñÿ. Áóëî âèðiøåíî
îöiíèòè äàíèé ïàðàìåòð
λ çà äîïîìîãîþ êîðåëÿöiéíî¨ ôóíêöi¨ òà ¨ ¨ îöiíêè â òî÷öi
t = 1.
B(1) =
N
X
b2k cos(λk )
k>0
Ç iíøî¨ ñòîðîíè
B(1)
ìîæíà îöiíèòè òàê:
22
n−1
ˆ = Cov(X(t + 1), X(t)) =
B(1)
1 X
(Xk+1 − X1 )(Xk − X2 ),
n−1
k=1
äå
X1
òà
X2
ìàþòü âèãëÿä:
n
1 X
X1 =
xi
n−1
X2 =
1
n−1
k=2
n−1
X
k=1
cos
òà
sin
âàðiàíòiâ îöiíêè
λ.
Áåðó÷è äî óâàãè òå, ùî
Îñêiëüêè
âèãëÿä
(1, 2π].
òüñÿ ç êðîêîì
ìàþòü ïåðiîä
xi
2π ,
òî ñò๠ìîæëèâèì ïåðåáið ìîæëèâèõ
λ > 1,
iíòåðâàë äëÿ ïåðåáîðó ìà¹
Äëÿ ïðèñêîðåííÿ ïîøóêó âiäïîâiäíîãî çíà÷åííÿ ïåðåáið ïî÷èíà¹-
h = 0.1
i äàëi ïîñòóïîâî çìåíøó¹òüñÿ. Òàêèì ÷èíîì ìè êiëüêiñíî
îöiíèëè ïàðàìåòð ìîäåëi
λ.
23
ÐÎÇÄIË 3
ÏÐÎÃÐÀÌÍÀ ÐÅÀËIÇÀÖIß
 ïðîãðàìíié ðåàëiçàöi¨ ðîçãëÿäà¹ìî äâà âèïàäêè.  ïåðøîìó âèïàäêó ìà¹ìî
ôóíêöi¨ âèäó
bk =
1
k m , λk
= k e , ó äðóãîìó - bk =
âåëè÷èíè ¹ íåçìiííèìè, à ñàìå:
òà
= pk . Â îáîõ âèïàäêàõ äåÿêi
T =1
Ôóíêöiÿ iìïóëüñíî¨ âiäïîâiäi
A B
1
, λk
qk
H(τ ) = sin(τ ).Êîíñòàíòè c, IH
îöiíþòüñÿ ç óìîâ
:
Äëÿ ñòâîðåííÿ ìîäåëi
1
c = 1, IH = (2 − sin(2)).
4
ïðîöåñó òà ïîøóêó N äëÿ ðiçíî¨
òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi
ç óìîâ òåîðåìè 2.1 âèêîðèñòà¹ìî âiëüíå ïðîãðàìíå ñåðåäîâèùå Microsoft Visual
Studio òà ìîâó C#. Äëÿ ðîáîòè ïðîãðàìè òðåáà ââåñòè âõiäíi äàíi, à ñàìå: òî÷íiòü,
íàäiéíiñòü òà âiäïîâiäíi ïàðàìåòðè äëÿ ôóíêöié
bk , λk . Ïðèêëàä ðîáîòè ïðîãðàìè
äëÿ äâîõ âèïàäêiâ ïðåäñòàâëåíèé íà ðèñ. 3.1 òà ðèñ. 3.2.
ðèñ. 3.1. Âèïàäîê ôóíêöié ñòåïåíåâîãî òèïó: bk =
1
k m , λk
= ke
24
ðèñ. 3.2. Âèïàäîê ôóíêöié ïîêàçíèêîâîãî òèïó: bk =
1
, λk
qk
= pk
3.1. Âèïàäîê ñòåïåíåâèõ ôóíêöié
Íåõàé ìà¹ìî
bk =
1
k m , λk
= ke.
 öüîìó âèïàäêó âõiäíèé ïðîöåñ ì๠âèãëÿä
∞
X
1
X(t) =
(ξk cos(k e · t) + ηk sin(k e · t))
m
k
(3.1)
k=0
Ðÿä
∞
X
b2k λdk ,
d 6 2α,
k=N +1
ìîæíà îáìåæåòè ÿê
∞
X
b2k λdk =
∞
X
N +1
k=N +1
6
1
k 2m−ed
∞ Zk
X
N +1k−1
äå
δ0 (N )
òåîðåìè 1.1.
1
=
∞ Zk
X
N +1k−1
1
k 2m−ed
Z∞
dx =
x2m−ed
dx
1
1
dx
=
.(3.2)
x2m−ed
(2m − ed − 1)N 2m−ed−1
N
ç (2.10) îöiíþ¹òüñÿ â öüîìó êîíêðåòíîìó âèïàäêó çà äîïîìîãîþ
25
N −2m+1 2
N −2m−e+1 2
δ0 (N ) = 8, 1487 · (
) + 64, 1487 · (
)+
−2m + 1
−2m − e + 1
21
N −4m−e+2
+0, 2974 ·
4m2 + 2me − 4m + 1
Äåÿêi çíà÷åííÿ
m = 1.1; e = 0.1)
N
äëÿ ðiçíî¨ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi(ïðè çàäàíèõ ïàðàìåòðàõ
íàâåäåíi â òàáëèöi 3.1.
Âåëè÷èíè N äëÿ ðiçíî¨ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi
Òî÷íiñòü
Ó âèïàäêó êîëè
äåëü
X20 (t)
(3.3)
δ
Ðiâåíü çíà÷óùîñòi
ν
0.5
13
0.75
0.5
12
0.8
0.5
12
0.5
0.3
17
0.6
0.2
18
âiäïîâiäíå
N = 20.
áóäå íàáëèæàòè âõiäíèé ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ
Öå îçíà÷à¹, ùî ìî-
X(t)
ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.95 áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi
ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.3.
3.1
N
0.7
δ = 0.95, ν = 0.05
Òàáëèöÿ
X20 (t)
26
ðèñ. 3.3. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X20 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.95, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
3.2. Âèïàäîê ïîêàçíèêîâèõ ôóíêöié
Íåõàé ìà¹ìî
bk =
1
, λk
pk
= qk .
 öüîìó âèïàäêó âõiäíèé ïðîöåñ ì๠âèãëÿä
∞
X
1
X(t) =
(ξk cos(q k · t) + ηk sin(q k · t))
k
p
(3.4)
k=0
Ðÿä
∞
X
b2k λdk ,
d 6 2α,
k=N +1
ìîæíà îáìåæåòè ÿê
∞
X
k=N +1
äå
δ0 (N )
òåîðåìè 1.1.
b2k λdk =
∞ d k
X
N +1
q
p2
d N +1
=
q
p2
1−
qd
p2
(3.5)
ç (2.10) îöiíþ¹òüñÿ â öüîìó êîíêðåòíîìó âèïàäêó çà äîïîìîãîþ
27
N +1 2
1
p2
δ0 (N ) = 8, 1487 ·
1−
1
p2
+ 64, 1487 ·
+0, 2974 · Äåÿêi çíà÷åííÿ
q = 0.3; p = 2)
N
1−
1
p4 q
1
p2
N +1 2
1−
1
p2 q
+
(3.6)
N +1
1−
1
p2 q
12
1
p2 q
äëÿ ðiçíî¨ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi(ïðè çàäàíèõ ïàðàìåòðàõ
íàâåäåíi â òàáëèöi 3.2.
Âåëè÷èíè N äëÿ ðiçíî¨ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi
Òî÷íiñòü
Ó âèïàäêó êîëè
äåëü
X31 (t)
δ
Ðiâåíü çíà÷óùîñòi
ν
0.5
17
0.75
0.5
16
0.8
0.5
15
0.5
0.3
19
0.6
0.2
18
âiäïîâiäíå
N = 31.
áóäå íàáëèæàòè âõiäíèé ñòîõàñòè÷íèé ïðîöåñ
Öå îçíà÷à¹, ùî ìî-
X(t)
ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.95 áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi
ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.4.
3.2
N
0.7
δ = 0.95, ν = 0.05
Òàáëèöÿ
X31 (t)
28
ðèñ. 3.4. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X31 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.95, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
3.3. Ìîäåëþâàííÿ çà äîïîìîãîþ çíàéäåíèõ îöiíîê
Âèùå áóëî ðîçãëÿíóòî ìîäåëþâàííÿ, äå âèêîðèñòîâóâàëèñü îêðåìi âèïàäêè
çàäàííÿ ïàðàìåòðiâ
bk
òà
λk .
Àëå, ìàþ÷è âèáiðêó, ìîæíà çíàéòè îöiíêè öèõ ïà-
ðàìåòðiâ, ùî äîçâîëèòü íàì âèêîðèñòàòè çìîäåëþâàíèé âèïàäêîâèé ïðîöåñ äëÿ
ïðîãíîçâàííÿ.
Äëÿ òåñòóâàííÿ ïðîãðàìè âèêîðèñòîâóâàëàñü âèáiðêà êóðñó ãðèâíi äî äîëàðó.
Äàíi áóëè âçÿòi ç âiäêðèòî¨ ïëàòôîðìè äàíèõ Quandl.  ïðåäñòàâëåíîìó ïðèêëàäi ðîçãëÿäà¹ìî êóðñ ãðèâíi çà îñòàííi 20 ìiñÿöiâ. Íà îñíîâi âõiäíèõ äàíèõ áóëè
çíàéäåíi îöiíêè
λ = 1.57, b = 0.819
òà âåðõíÿ ìåæà ñóìóâàííÿ
N = 5.
Ðåçóëüòàò
ìîäåëi ìîæíà ïîáà÷èòè íà ðèñ 3.5.
Çìåíøèâøè íàäiéíiñòü ìàéæå âäâi÷i , à ñàìå
çíà÷åííÿ
ν = 0.6,
ìè îòðèìàëè áiëüøå
N = 6, ùî ñâiä÷èòü ïðî òå, ùî ïðè ìåíøîìó çíà÷åííi íàäiéíîñòi âåðõíÿ
ìåæà ñóìóâàííÿ çáiëüøó¹òüñÿ. Ðåçóëüòàò çîáðàæåíèé íà ðèñ. 3.6.
Àíàëîãi÷íó òåíäåíöiþ ìîæíî ïîáà÷èòè íà ðèñ 3.7., à ñàìå - ïðè çìåíøåííié
29
ðèñ. 3.5. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X5 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.95, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
òî÷íîñòi çáiëüøó¹òüñÿ
N.
Ïðè îäíî÷àñíîìó çìåíøåííi
ν
òà
δ
îòðèìà¹ìî ùå áiëüøå çíà÷åííÿ
N = 9.
Îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ñâiä÷àòü ïðî òå, ùî ìîäåëü ïîáóäîâàíà ïðàâèëüíî òà âiäïîâiäíèé ôóíêöiîíàë ïðàöþ¹. Ïðè òåñòóâàííi ïðîãðàìè áóëî âèêîðèñòàíî ïðèáëèçíî 20 ðiçíèõ âèáiðîê. Õî÷à ìåòîä ïåðåáîðó ¹ îäíèì iç íàéïîâiëüíiøèõ ìåòîäiâ, àëå
çà äîïîìîãîþ îïèñàíèõ â 2-îìó ðîçäiëi îïòèìiçàöié ñåðåäíié ÷àñ ïîøóêó îöiíîê
âèÿâèâñÿ äîâîëi ìàëèé - 1.3ñåê. Òàêîæ ôóíêöiîíàë ñòâîðåíî¨ ïðîãðàìè äîçâîëÿ¹
ïîáóäóâàòè òðåíä äëÿ âiçóàëüíîãî àíàëiçó âèáiðêè òà ïîäàëüøîãî ïðîãíîçóâàííÿ.
30
ðèñ. 3.6. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X6 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.95
òà íàäiéíiñòþ 0.4, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
ðèñ. 3.7. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X7 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.7
òà íàäiéíiñòþ 0.95, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
31
ðèñ. 3.8. Òðàåêòîðiÿ ìîäåëi X9 (t), ùî àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ X(t) ç òî÷íiñòþ 0.7
òà íàäiéíiñòþ 0.6, áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè
32
ÐÎÇÄIË 4
ÏÐÎÃÍÎÇÓÂÀÍÍß ÍÀ ÎÑÍÎÂI ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß
ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÕ ÏÐÎÖÅÑI IÇ ÇÀÄÀÍÎÞ ÒÎ×ÍIÑÒÞ ÒÀ
ÍÀÄIÉÍIÑÒÞ
4.1. Òåîðåòè÷íi âiäîìîñòi
Çàäà÷à ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ áóëà òà çàëèøà¹òüñÿ àêòóàëüíîþ, îñîáëèâî çàðàç, êîëè äîñòóïíi ïîòóæíi çàñîáè çáîðó òà îáðîáêè iíôîðìàöi¨. Ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ ¹ âàæëèâîþ íàóêîâî-òåõíi÷íîþ ïðîáëåìîþ, òàê ÿê äîçâîëÿ¹
ïåðåäáà÷èòè ïîâåäiíêó ðiçíèõ ôàêòîðiâ â åêîíîìi÷íèõ, ôiíàíñîâèõ, ñîöiàëüíèõ,
åêîëîãi÷íèõ òà iíøèõ ñèñòåìàõ.
Ðîçâèòîê ïðîãíîçóâàííÿ ÿê íàóêè, îñòàííiì ÷àñîì ïðèçâîäèòü äî ñòâîðåííÿ
áàãàòüîõ ìåòîäiâ, ïðîöåäóð, ïðèéîìiâ ïðîãíîçóâàííÿ íåðiâíîöiííèõ çà ñâî¹þ öiííiñòþ. Çà îöiíêàìè ñïåöiàëiñòiâ, âæå íàðàõîâó¹òüñÿ áiëüøå ñòà ìåòîäiâ ïðîãíîçóâàííÿ, â ñâîþ ÷åðãó ïåðåä â÷åíèìè ïîñò๠çàäà÷à âèáîðó ìåòîäiâ, ÿêi äàâàëè á
àäåêâàòíi ïðîãíîçè.
Æîðñòêi ñòàòèñòè÷íi ïðèïóùåííÿ ïðî âëàñòèâîñòi ÷àñîâèõ ðÿäiâ ÷àñòî îáìåæóþòü âëàñòèâîñòi êëàñè÷íèõ ìåòîäiâ ïðîãíîçóâàííÿ.  áiëüøîñòi ÷àñîâèõ ðÿäiâ
ïðèñóòíi ñêëàäíi çàêîíîìiðíîñòi, ÿêi íå âèÿâëÿþòüñÿ âiäîìèìè ëiíiéíèìè ìåòîäàìè.
Ó ïðîöåñi àíàëiçó ÷àñîâèõ ðÿäiâ iñòîðè÷íå çíà÷åííÿ äîñëiäæóâàíî¨ çìiííî¨ àáî
çìiííèõ, îòðèìàíi ïðîòÿãîì ïåâíîãî ïðîìiæêó ÷àñó, çáèðàþòüñÿ, ïiääàþòüñÿ ïîïåðåäíié îáðîáöi, âèâ÷àþòüñÿ, ïîòiì âèêîíó¹òüñÿ ïðîåêòóâàííÿ ìîäåëi, ÿêà íàéáiëüø àäåêâàòíèì ÷èíîì îïèñó¹ i âiäáèâ๠çàêîíîìiðíîñòi, ùî iñíóþòü ìiæ çiáðàíèìè äàíèìè. Äàëi ïîáóäîâàíà ìîäåëi âèêîðèñòîâó¹òüñÿ äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ
çíà÷åíü äîñëiäæóâàíî¨ çìiííî¨ àáî çìiííèõ íà ïåâíèé ÷àñîâèé ïåðiîä.
Ïðèðîäíî, âèíèê๠íåîáõiäíiñòü ìàòè ôîðìàëüíèé îïèñ ìîäåëi, ÿêà ç âèñîêîþ
33
òî÷íiñòþ õàðàêòåðèçó¹ ÷àñîâèé ðÿä. Âiäîìi i øèðîêî çàñòîñîâóþòüñÿ ðiçíi ìîäåëi äëÿ îïèñó i ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ, ñåðåä ÿêèõ ñëiä âiäçíà÷èòè ëiíiéíi
ðåãðåñiéíi ìîäåëi [20].
 äàíèé ÷àñ äëÿ âèðiøåííÿ çàâäàíü ìîäåëþâàííÿ i ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ âèêîðèñòîâóþòüñÿ òàêîæ øòó÷íi íåéðîííi ìåðåæi, ùî îáóìîâëåíî ¨õ çäàòíiñòþ
ðiçíîái÷íî¨ îáðîáêè iíôîðìàöi¨, óçàãàëüíåííÿ òà âèäiëåííÿ ïðèõîâàíèõ çàëåæíîñòåé i çàêîíîìiðíîñòåé ìiæ äîñëiäæóâàíèìè äàíèìè [21, 22, 24, 25].
×àñîâèé ðÿä ïðåäñòàâëÿ¹ ñîáîþ ïîñëiäîâíiñòü äàíèõ, ùî îïèñóþòü îá'¹êò â ïîñëiäîâíi ìîìåíòè ÷àñó. Íà âiäìiíó âiä àíàëiçó âèïàäêîâèõ âèáiðîê, àíàëiç ÷àñîâèõ
ðÿäiâ ãðóíòó¹òüñÿ íà ïðèïóùåííi, ùî ïîñëiäîâíi äàíi ñïîñòåðiãàþòüñÿ ÷åðåç ðiâíi
ïðîìiæêè ÷àñó (òîäi ÿê â iíøèõ ìåòîäàõ ïðèâ'ÿçêà ñïîñòåðåæåíü äî ÷àñó áóëà äëÿ
íàñ íå âàæëèâà. Iñíó¹ äâi îñíîâíi ìåòè àíàëiçó ÷àñîâèõ ðÿäiâ: âèçíà÷åííÿ ïðèðîäè ðÿäó i ïðîãíîçóâàííÿ, òîáòî ïåðåäáà÷åííÿ ìàéáóòíiõ çíà÷åíü ÷àñîâîãî ðÿäó
ïî òåïåðiøíiì i ìèíóëèì çíà÷åííÿì. Îáèäâi öiëi âèìàãàþòü, ùîá ìîäåëü ðÿäó áóëà âèçíà÷åíà i áiëüø-ìåíø ôîðìàëüíî îïèñàíà. ßê òiëüêè ìîäåëü âèçíà÷åíà, ç ¨ ¨
äîïîìîãîþ ìîæíà iíòåðïðåòóâàòè îòðèìàíi äàíi - íàïðèêëàä, âèêîðèñòîâóâàòè ¨ ¨
äëÿ àíàëiçó íàÿâíîñòi ñåçîííîãî çìiíè öií íà òîâàðè. Ïîòiì ìîæíà åêñòðàïîëþâàòè ðÿä íà îñíîâi çíàéäåíî¨ ìîäåëi, òîáòî ïåðåäáà÷èòè éîãî ìàéáóòíi çíà÷åííÿ.
ßê i áiëüøiñòü iíøèõ âèäiâ àíàëiçó, àíàëiç ÷àñîâèõ ðÿäiâ ïåðåäáà÷à¹, ùî äàíi
ìiñòÿòü ñèñòåìàòè÷íó ñêëàäîâó (çàçâè÷àé âêëþ÷๠êiëüêà êîìïîíåíò) i âèïàäêîâèé øóì (ïîìèëêó), ÿêèé óñêëàäíþ¹ âèÿâëåííÿ ðåãóëÿðíèõ êîìïîíåíò. Áiëüøiñòü
ìåòîäiâ äîñëiäæåííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ âêëþ÷๠ðiçíi ñïîñîáè ôiëüòðàöi¨ øóìó, ùî äîçâîëÿþòü ïîáà÷èòè ðåãóëÿðíó ñêëàäîâó áiëüø ÷iòêî. Áiëüøiñòü ðåãóëÿðíèõ ñêëàäîâèõ ÷àñîâèõ ðÿäiâ íàëåæèòü äî äâîõ êëàñiâ: âîíè ¹ àáî òðåíäîì, àáî ñåçîííîþ
ñêëàäîâîþ. Òðåíä ¹ çàãàëüíó ñèñòåìàòè÷íó ëiíiéíó àáî íåëiíiéíó êîìïîíåíòó, çàêîíîìiðíî çìiíþ¹òüñÿ â ÷àñi.
Ñåçîííà ñêëàäîâà - öå ïåðiîäè÷íî ïîâòîðþâàíà êîìïîíåíòà. Îáèäâà öi âèäè
ðåãóëÿðíèõ êîìïîíåíò ÷àñòî ¹ â ðÿäàõ îäíî÷àñíî. Íàïðèêëàä, ïðîäàæi êîìïàíi¨
ìîæóòü çðîñòàòè ç ðîêó â ðiê (òðåíä), àëå ïðè öüîìó âîíè ìîæóòü ìiñòèòè i
ñåçîííó ñêëàäîâó (íàïðèêëàä,
30% ði÷íèõ ïðîäàæiâ äîâîäèòüñÿ íà ñi÷åíü i òiëüêè
34
35%
- íà ëèïåíü).
Ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ ïåðåäáà÷à¹, ùî âiäîìî çíà÷åííÿ äåÿêîþ ôóíêöi¨ â ïåðøèõ n òî÷êàõ ÷àñîâîãî ðÿäó. Âèêîðèñòîâóþ÷è öþ iíôîðìàöiþ íåîáõiäíî
ñïðîãíîçóâàòè çíà÷åííÿ â n + 1 òî÷öi ÷àñîâîãî ðÿäó. Iñíó¹ áåçëi÷ ðiçíèõ ìåòîäiâ ïðîãíîçóâàííÿ, àëå íà ñüîãîäíiøíié äåíü îäíèìè ç íàéïîøèðåíiøèõ ¹ ìåòîä
íåéðîííèõ ìåðåæ i ARIMA ìîäåëü.
Ìîäåëü ARIMA (AutoregRessive Integrated Moving Average) - îäèí ç íàéáiëüø
ïîøèðåíèõ ìåòîäiâ àíàëiçó i ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ. Öÿ ìîäåëü äîçâîëÿ¹
îáðîáèòè äàíi, ùîá êðàùå çðîçóìiòè öåé ðÿä àáî ïåðåäáà÷èòè éîãî ðîçâèòîê.
ARIMA âèêîðèñòîâó¹ òðè îñíîâíèõ ïàðàìåòðè (p, d, q), ÿêi âèðàæàþòüñÿ öiëèìè ÷èñëàìè. Òîìó ìîäåëü òàêîæ çàïèñó¹òüñÿ ÿê ARIMA (p, d, q). Ðàçîì öi òðè
ïàðàìåòðè âðàõîâóþòü ñåçîííiñòü, òåíäåíöiþ i øóì â íàáîðàõ äàíèõ:
p - ïîðÿäîê àâòîðåãðåñi¨ (AR), ÿêèé äîçâîëÿ¹ äîäàòè ïîïåðåäíi çíà÷åííÿ ÷àñîâîãî ðÿäó. Öåé ïàðàìåòð ìîæíà ïðîiëþñòðóâàòè òâåðäæåííÿì ¾çàâòðà, éìîâiðíî,
áóäå òåïëî, ÿêùî â îñòàííi òðè äíi áóëî òåïëî¿.
d - ïîðÿäîê iíòåãðóâàííÿ (ïîðÿäîê ðiçíèöü âèõiäíîãî ÷àñîâîãî ðÿäó). Âií äîä๠â ìîäåëü ïîíÿòòÿ ðiçíèöi ÷àñîâèõ ðÿäiâ (âèçíà÷๠êiëüêiñòü ìèíóëèõ ÷àñîâèõ
òî÷îê, ÿêi ïîòðiáíî âèëó÷èòè ç ïîòî÷íîãî çíà÷åííÿ). Öåé ïàðàìåòð iëþñòðó¹ òàêå
òâåðäæåííÿ: ¾çàâòðà, éìîâiðíî, áóäå òàêà æ òåìïåðàòóðà, ÿêùî ðiçíèöÿ â òåìïåðàòóði çà îñòàííi òðè äíi áóëà äóæå ìàëà¿.
q - ïîðÿäîê çìiííîãî ñåðåäíüîãî (MA), ÿêèé äîçâîëÿ¹ âñòàíîâèòè ïîõèáêó ìîäåëi ÿê ëiíiéíó êîìáiíàöiþ ñïîñòåðiãà¹ìèõ ðàíiøå çíà÷åíü ïîìèëîê.
Äëÿ âiäñòåæåííÿ ñåçîííîñòi âèêîðèñòîâó¹òüñÿ ñåçîííà ìîäåëü ARIMA - ARIMA (p, d, q) (P, D, Q) s. Òóò (p, d, q) - íåñåçîííi ïàðàìåòðè, îïèñàíi âèùå, à (P,
D, Q) ñëiäóþòü òèì æå âèçíà÷åííÿì, àëå çàñòîñîâóþòüñÿ äî ñåçîííî¨ ñêëàäîâî¨
÷àñîâîãî ðÿäó. Ïàðàìåòð s âèçíà÷๠ïåðiîäè÷íiñòü ÷àñîâîãî ðÿäó (4 - êâàðòàëüíi
ïåðiîäè, 12 - ði÷íi ïåðiîäè i ò.ä.). Âèêîðèñòàííÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ
ïåðåäáà÷๠iíåðöiéíiñòü ïðîöåñó, òîáòî ôàêòîðè, ùî âïëèâàþòü íà äîñëiäæóâàíå
ÿâèùå â ìèíóëîìó i ñüîãîäåííi, áóäóòü ïðîäîâæóâàòè äiÿòè ñõîæèì ÷èíîì i íå â
äóæå äàëåêîìó ìàéáóòíüîìó. Òîìó îñíîâíîþ ìåòîþ àíàëiçó ÷àñîâèõ ðÿäiâ âèñòó-
35
ï๠ðîçêëàäàííÿ ðiâíiâ ðÿäó íà ñêëàäîâi êîìïîíåíòè ç ìåòîþ âðàõóâàííÿ ¨õ ïðè
ïðîãíîçóâàííi, òîáòî äåêîìïîçèöiÿ ÷àñîâèõ ðÿäiâ. Àíàëiçóþ÷è ÷àñîâèé ðÿä, ïåðø
ðèñ. 5.1. Äåêîìïîçèöèiÿ ÷àñîâîãî ðÿäó
çà âñå, âèÿâëÿþòü òåíäåíöiþ , ùî âèçíà÷๠îñíîâíèé íàïðÿì ðîçâèòêó ÿâèùà çà
òðèâàëèé ïåðiîä ÷àñó. Ðàçîì ç òðåíäîì ìîæóòü ìàòè ìiñöå ðåãóëÿðíi ïåðiîäè÷íi êîëèâàííÿ, íàïðèêëàä öèêëi÷íi, òðèâàëiñòþ â êiëüêà ðîêiâ - öèêëè äiëîâî¨
àêòèâíîñòi òà ií., À òàêîæ ñåçîííi, ÿêi ïðîÿâëÿþòüñÿ, íàïðèêëàä, â äèíàìiöi öií
íà ïðîäóêòè õàð÷óâàííÿ, ñïîæèâàííÿ åëåêòðîåíåðãi¨ äîìîãîñïîäàðñòâàìè i ò.ï.
Öi êîëèâàííÿ âèêëèêàþòüñÿ îñîáëèâîñòÿìè iñíóâàííÿ ÿâèùà â îäíi ïåðiîäè â ïîðiâíÿííi ç iíøèìè (íàïðèêëàä, ñåçîííiñòþ), ùî òàêîæ ì๠áóòè âðàõîâàíî ïðè
ïðîãíîçóâàííi.
Êðiì òîãî, ¹ âèïàäêîâi êîëèâàííÿ, ïîâ'ÿçàíi ç äi¹þ ðiçíîãî ðîäó äðóãîðÿäíèõ
ôàêòîðiâ, - âèïàäêîâà êîìïîíåíòà.
Äåêîìïîçèöiÿ ÷àñîâîãî ðÿäó - öå âèäiëåííÿ òåíäåíöi¨, öèêëi÷íèõ i âèïàäêîâèõ
êîëèâàíü. Ïðîâåäåííÿ äåêîìïîçèöi¨ äîçâîëÿ¹ çðîçóìiòè ñòðóêòóðó ðÿäó, ïîáóäóâàòè éîãî ìîäåëü i åêñòðàïîëþâàòè ðiâíi ðÿäó íà êîðîòêîñòðîêîâó ïåðñïåêòèâó.
Ðîçãëÿíóòi êîìïîíåíòè äèíàìi÷íîãî ðÿäó íå îáîâ'ÿçêîâî ¹ â êîæíîìó ÷àñîâîìó
36
ðÿäi. Ìîæóòü áóòè ðÿäè äèíàìiêè, â ÿêèõ âiäñóòíÿ òåíäåíöiÿ, àáî ïåðiîäè÷íi êîëèâàííÿ, àáî i òå é iíøå.  öüîìó âèïàäêó ðiâíi ðÿäó ¹ ôóíêöi¹þ âèïàäêîâî¨
êîìïîíåíòè, êîëèâàííÿ ¨õ çíà÷åíü âiäáóâà¹òüñÿ íàâêîëî ñåðåäíüîãî ðiâíÿ, ùî õàðàêòåðíî äëÿ ñòàöiîíàðíîãî ðÿäó. Ïðèêëàä äåêîìïîçèöi¨ çîáðàæåíèé íà ðèñ 5.1.
4.2. Ïåðåâàãè i íåäîëiêè ìîäåëåé ARIMA
Äî î÷åâèäíèõ ïåðåâàã ìîæíà âiäíåñòè òå, ùî öi ìîäåëi ìàþòü äóæå ÷iòêå
ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íå îáãðóíòóâàííÿ, ùî ðîáèòü ¨õ îäíîþ ç íàéáiëüø íàóêîâî
îáãðóíòîâàíèõ ìîäåëåé ç óñi¹¨ áåçëi÷i ìîäåëåé ïðîãíîçóâàííÿ òåíäåíöié ó ÷àñîâèõ
ðÿäàõ.
Ùå îäíi¹þ ïåðåâàãîþ ¹ ôîðìàëiçîâàíà i íàéáiëüø äîêëàäíî ðîçðîáëåíà ìåòîäèêà, ñëiäóþ÷è ÿêié ìîæíà ïiäiáðàòè ìîäåëü, íàéáiëüø ïiäõîäÿùó äî êîæíîãî
êîíêðåòíîãî ÷àñîâîãî ðÿäó. Ôîðìàëüíà ïðîöåäóðà ïåðåâiðêè ìîäåëi íà àäåêâàòíiñòü äîñèòü ïðîñòà, à ðîçðîáëåíi ìåòîäèêè ç àâòîìàòè÷íîãî ïiäáîðó íàéêðàùî¨
ARIMA i çîâñiì "çíà÷íî ïîëåãøóþòü æèòòÿ"ïðîãíîçèñòà.
Êðiì òîãî, òî÷êîâi i iíòåðâàëüíi ïðîãíîçè âèïëèâàþòü ç ñàìî¨ ìîäåëi i íå âèìàãàþòü îêðåìîãî îöiíþâàííÿ.
Îäèí ç ÿâíèõ íåäîëiêiâ ìîäåëåé ïîëÿã๠ó âèìîçi äî ðÿäiâ äàíèõ: äëÿ ïîáóäîâè
àäåêâàòíî¨ ìîäåëi ARIMA ïîòðiáíî íå ìåíøå 40 ñïîñòåðåæåíü, à äëÿ SARIÌÀ áëèçüêî 6-10 ñåçîíiâ, ùî íà ïðàêòèöi íå çàâæäè ìîæëèâî.
Äðóãèì ñåðéîçíèì íåäîëiêîì ¹ íåàäàïòèâíîñòü ìîäåëåé àâòîðåãðåñi¨: ïðè îòðèìàííi íîâèõ äàíèõ ìîäåëü ïîòðiáíî ïåðiîäè÷íî ïåðåîöiíþâàòè, à iíîäi - i ïåðåáóäîâóâàòè ïîâíiñòþ.
Òðåòié íåäîëiê ïîëÿã๠â òîìó, ùî ïîáóäîâà çàäîâiëüíîþ ìîäåëi ARIMA âèìàã๠âåëèêèõ âèòðàò ðåñóðñiâ i ÷àñó. Ñàìå æ ïîáóäîâà ìîäåëi ñêîðiøå ¹ "ìèñòåöòâîì òîáòî âèìàã๠âåëèêîãî äîñâiäó ç áîêó ïðîãíîçèñòà.
Àëå öi âñi ïåðåâàãè i íåäîëiêè ñòîñóþòüñÿ ëèøå ïðîöåñó ïîáóäîâè ìîäåëi. Öiêàâèì ¹ ïîðiâíÿííÿ òî÷íîñòi ïðîãíîçiâ ìîäåëåé ARIMA ç iíøèìè ìîäåëÿìè, ÿêå
áóëî çäiéñíåíî â ðÿäi âèïðîáóâàíü, ùî ïðîâîäÿòüñÿ Ìiæíàðîäíèì iíñòèòóòîì ïðî-
37
ãíîçèñòiâ (International Institute of Forecasters).
Äî 1982 ð ñåðåä ïðîãíîçèñòiâ iñíóâàëà äóìêà, ùî ìîäåëi ARIMA äàþòü íàéòî÷íiøi ïðîãíîçè, òàê ÿê ¹ áiëüø çàãàëüíèìè äëÿ êëàñó iíøèõ ìîäåëåé. Îäíàê ïiñëÿ
ïðîâåäåííÿ ïåðøèõ âèïðîáóâàíü òî÷íîñòi ïðîãíîçóâàííÿ ðiçíèõ ìîäåëåé â ðàìêàõ
Ì-Competition, ïðîâåäåíîãî Ìiæíàðîäíèì iíñòèòóòîì ïðîãíîçèñòiâ, â õîäi ÿêîãî
ìîäåëi ARIMA ïîêàçàëè ñåáå íå êðàùå ìîäåëåé åêñïîíåíöiàëüíîãî çãëàäæóâàííÿ.
Òàê ñôîðìóâàëîñÿ öiëêîì ëîãi÷íå óÿâëåííÿ ïðî òå, ùî â êîæíîìó êîíêðåòíîìó
âèïàäêó ïîòðiáíî âèêîðèñòîâóâàòè ñâîþ ìîäåëü.
Áiëüø òîãî, ïîäàëüøi äîñëiäæåííÿ ïîêàçàëè, ùî âèêîðèñòàííÿ ìîäåëåé AR,
AR i ARMA â îáõiä ìåòîäîëîãi¨ Áîêñó - Äæåíêiíñà (òîáòî áåç äîñëiäæåííÿ êîððåëîãðàìì i îöiíêè çàëèøêiâ) â ðÿäi âèïàäêiâ ä๠íå ìåíøå òî÷íi ïðîãíîçè, íiæ çà
ìîäåëÿìè ARIMA, ïîáóäîâàíèìè íà îñíîâi ìåòîäîëîãi¨ Áîêñó - Äæåíêiíñà. Äàíèé
âèñíîâîê âêàçó¹ íà òå, ùî äëÿ îòðèìàííÿ òî÷íèõ ïðîãíîçiâ çà äîïîìîãîþ ìîäåëåé
ARIMA äîáèâàòèñÿ íåêîððåëiðîâàííèõ íîðìàëüíî ðîçïîäiëåíèõ çàëèøêiâ íå ìà¹
ñåíñó: îäíå ïðîñòî íå çàëåæèòü âiä iíøîãî.
Äîñëiäæåííÿ â ðàìêàõ íàñòóïíèõ âèïðîáóâàíü, îïóáëiêîâàíèõ â ñòàòòÿõ 1998
õ, 2000-õ i 2005-õ ðð., ïîêàçàëè, ùî ñòàòèñòè÷íî îá ðóíòîâàíi ìîäåëi (â ïåðøó
÷åðãó ìàëè íà óâàçi ñàìå ARIMA) íå ïåðåâèùóþòü iíøi ìîäåëi ïî òî÷íîñòi ïðîãíîçiâ.
Âñå öå âèêëèê๠ïèòàííÿ ïðî òå, ÷îìó æ ìåòîäè, ùî ìàþòü òàêå ãàðíå íàóêîâå îáãðóíòóâàííÿ ç òî÷êè çîðó ìàòåìàòè÷íî¨ ñòàòèñòèêè, íå ¹ êðàùèìè çà
"äèêi"ìåòîäè, ó ÿêèõ ïîâíîöiííå ñòàòèñòè÷íå îáãðóíòóâàííÿ ç'ÿâèëîñÿ â êðàùîìó âèïàäêó íà ïî÷àòêó XXI ñò. Âiäïîâiäü íà öå ïèòàííÿ ïîëÿã๠â ñàìîìó ïiäõîäi,
ùî ëåæèòü â îñíîâi öèõ ìåòîäiâ: óñÿ ïîáóäîâà ìîäåëåé ARIMA
ðóíòó¹òüñÿ íà
ïðèïóùåííi ïðî òå, ùî ÷àñîâèé ðÿä ãåíåðó¹òüñÿ íåñêií÷åííî âiäïîâiäíî äî ÿêî¨ñü
ôóíêöi¨, ïàðàìåòðè ÿêî¨ íàì ïîòðiáíî iäåíòèôiêóâàòè òà îöiíèòè, òîáòî â îñíîâi
ïiäõîäó ARIMA ëåæèòü ïðèïóùåííÿ ïðî ïîñòiéíèé õàðàêòåð ïðîöåñiâ, ùî ïðîòiêàþòü. Åâîëþöiéíiñòü â ìîäåëi íå âðàõîâó¹òüñÿ. Âèêëèêàíî öå òèì, ùî ìîäåëi
ñïî÷àòêó ðîçðîáëÿëèñÿ äëÿ ìîäåëþâàííÿ ôiçè÷íèõ i òåõíi÷íèõ ïðîöåñiâ (íàïðèêëàä, îäèí ç îñíîâîïîëîæíèêiâ ìîäåëåé àâòîðåãðåñi¨, Äæ. Þë, â ñâî¨õ ðîáîòàõ
38
ñïèðàâñÿ íà ìîäåëþâàííÿ ÷èñëà ïëÿì íà ñîíöi [25]), â ÿêèõ ïðàêòè÷íî âñi âèäè
ïðîöåñiâ îïèñóþòüñÿ àáî ÿê ñòàöiîíàðíi, àáî ÿê ñòàöiîíàðíi â ðiçíèöÿõ. Ïðîáëåìà
æ çàñòîñóâàííÿ öèõ ìåòîäiâ äî åêîíîìi÷íèõ ðÿäàõ ïîëÿã๠â òîìó, ùî åêîíîìi÷íi
ïðîöåñè, ÿê ìè âæå çíà¹ìî, ïî ñóòi ñâî¨é ¹ íåçâîðîòíèìè, à çíà÷èòü, i òàêå "òåõíi÷íå"ñòàâëåííÿ äî íèõ íå äîçâîëÿ¹ âðàõóâàòè ¨õ îñîáëèâîñòi i, ÿê ðåçóëüòàò, íå
äîçâîëÿ¹ äàâàòè òî÷íi ïðîãíîçè.
 åêîíîìåòðèöi ââàæà¹òüñÿ, ùî äëÿ îòðèìàííÿ àäåêâàòíèõ ïðîãíîçiâ ïîòðiáíî îòðèìàòè ðiçíèìè ñïîñîáàìè íåçìiùåíó, åôåêòèâíó îöiíêó êîåôiöi¹íòiâ ìîäåëi, ïîçáóòèñÿ âiä ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòi òà àâòîêîðåëÿöi¨, îòðèìàòè íîðìàëüíî
ðîçïîäiëåíi çàëèøêè i ò.ä. I çâè÷àéíî, ïðè ïðîãíîçóâàííi òåíäåíöié ó ÷àñîâèõ ðÿäàõ åêîíîìåòðèêà âñüîãî öüîãî äîñÿãà¹òüñÿ çà äîïîìîãîþ ìîäåëi ARIMA (i ðiçíèõ
¨ ¨ ìîäèôiêàöié äëÿ îêðåìèõ âèïàäêiâ àâòîêîððåëÿöi¨ çàëèøêiâ i ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòi). Îäíàê âñi öi õàðàêòåðèñòèêè ìàþòü ñåíñ òiëüêè ó âèïàäêó ç òåõíi÷íèìè
ïðîöåñàìè àáî ïðè ðîáîòi ç ïðîñòîðîâèìè äàíèìè - òàì, äå íåì๠åâîëþöi¨. Ó åâîëþöiéíèõ ïðîöåñàõ âiäáóâàþòüñÿ ïîñòiéíi çìiíè âñiõ õàðàêòåðèñòèê ðîçïîäiëó, â
çâ'ÿçêó ç ÷èì "ãîíêà"çà êðàùèìè îöiíêàìè øâèäøå íàãàäó¹ ïîøóêè ¹äèíîðîãà:
ìè øóêà¹ìî òå, ùî íå iñíó¹, òàì, äå éîãî â ïðèíöèïi íåìà¹.
Áiëüø òîãî, çàëåæíiñòü ïîòî÷íîãî çíà÷åííÿ âiä ïîïåðåäíüîãî â áàãàòüîõ ðÿäàõ
íîñèòü ñêîðiøå âiðòóàëüíèé, íiæ ðåàëüíèé õàðàêòåð: ñïðàâäi, ÿêùî â ïîíåäiëîê
ïðîäàæó òàïî÷îê áóëè íà îäíîìó ðiâíi, òî i ó âiâòîðîê âîíè áóäóòü áëèçüêi äî
íüîãî. Îäíàê öå íi â ÿêié ìiði íå ãîâîðèòü ïðî òå, ùî êiëüêiñòü ïðîäàíèõ òàïî÷îê
â ïîíåäiëîê äiéñíî âïëèâ๠íà òå, ñêiëüêè áóäå ïðîäàíî òàïî÷îê ó âiâòîðîê. Ïî ñóòi
ñâî¨é öå íåçàëåæíi îäíà âiä îäíî¨ ïîäi¨, íà ÿêi âïëèâàþòü ÿêiñü çîâíiøíi ÷èííèêè.
Àëå ôîðìàëüíî ïðè ïîáóäîâi êîððåëîãðàìì ìè ïîáà÷èìî, ùî ìiæ öèìè ïîäiÿìè
¹ ÿêàñü êîðåëÿöiÿ. Î÷åâèäíî, ùî âîíà íîñèòü ïîìèëêîâèé õàðàêòåð, à çíà÷èòü, i
ìîäåëi, ùî ãðóíòóþòüñÿ íà íié, áóäóòü íîñèòè ïîìèëêîâèé õàðàêòåð.
Çâè÷àéíî, ó ìîäåëåé ARIMA ¹ ñâî¨ íåäîëiêè, ùî ëåæàòü â ñàìié ¨õ îñíîâi.
Îäíàê öå íi â ÿêié ìiði íå ãîâîðèòü ïðî òå, ùî âiä öèõ ìîäåëåé òðåáà âiäìîâèòèñÿ
i ïðè ïðîãíîçóâàííi âèêîðèñòîâóâàòè òiëüêè ìîäåëi åêñïîíåíöiàëüíîãî çãëàäæóâàííÿ! Äëÿ êîæíîãî êîíêðåòíîãî âèïàäêó âàðòî çâåðòàòèñÿ äî ñâ ïðîãíîçíî¨
39
ìîäåëi: áóäü òî íàéïðîñòiøi ìîäåëi, ìîäåëi òðåíäiâ, ñåçîííî¨ äåêîìïîçèöi¨, ìîäåëi
åêñïîíåíöiàëüíîãî çãëàäæóâàííÿ àáî ìîäåëi àâòîðåãðåñi¨ ç êîâçàþ÷îþ ñåðåäíüîþ.
Ïðîñòî âàðòî ìàòè íà óâàçi ÿê ïîçèòèâíi, òàê i íåãàòèâíi ñòîðîíè âèêîðèñòîâóâàíèõ ìîäåëåé i ñïèðàòèñÿ íà òi ïðîãíîçè, ùîäî ÿêèõ (íà îñíîâi åêñïåðòíî¨ äóìêè
òà ôóíäàìåíòàëüíîãî àíàëiçó ãàëóçi) ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíè êðàùå îïèøóòü
ðåàëüíó ñèòóàöiþ â ìàéáóòíüîìó.
4.3. Çàãàëüíå ïðîãíîçóâàííÿ ìåòîäîì Arima â R
Íåõàé
Xt , t ∈ T0
- öå ìíîæèíà ñïîñòåðåæåíü, ÿêà îòðèìó¹òüñÿ ïîñëiäîâíî â
T0
÷àñi øëÿõîì âèìiðþâàíü, à
ìíîæèíà âiäëiêiâ ìîìåíòiâ ÷àñó, â ÿêi âèêîíàíî
ñïîñòåðåæåííÿ. Ñïîñòåðåæåííÿ òðàêòóþòüñÿ ÿê ðåàëiçàöiÿ ñòîõàñòè÷íîãî ïðîöåñó
Xt : t ∈ T0
çà ÷àñ
áiëèì øóìîì
t ∈ T0 .
{ξt }
Äëÿ ïðîöåñó
{Xt }
ARMA-ïðîöåñ ïîðÿäêó
1−
p
X
iç ñåðåäíiì çíà÷åííÿì
(p, q)
!
ai L i X t =
i=1
1+
E(Xt ) = µ
i
îïèñóþòü òàê:
q
X
!
bi Lj
ξt
j=1
Öåé âèðàç ìîæíà ïðåäñòàâèòè â òàêîìó âèãëÿäi:
A(L)Xt = B(L)ξt ,
äå L îïåðàòîð ÷àñîâîãî çñóâó
Ïîëiíîìè
A(L) i B(L)
LXt = Xt−1 L−1 Xt−1 = Xt
âèçíà÷àþòüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì:
A(L) = 1 − a1 L − ... − ap Lp
B(L) = 1 − b1 L − ... − bq Lq
Çà óìîâè
äëÿ
p=0
q =0
ïðîöåñ
{Xt }
íàçèâàþòü àâòîðåãðåñèâíèì ïðîöåñîì
ïðîöåñîì ðóõîìîãî ñåðåäíüîãî
AR(p),
à
M A(q).
Ó ðîáîòi áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè áiëüø çàãàëüíó ìîäåëü
ARIM A(p, d, q), ÿêó
AR(p),
ìîäåëi ðóõîìîãî ñå-
ìîæíà òðàíñôîðìóâàòè äî àâòîðåãðåñèâíî¨ ìîäåëi
ðåäíüîãî
M A(q)
àáî ìîäåëi
ARM A(p, q).
ßê ìîäèôiêàöiÿ
ARM A(p, q)-ïðîöåñó,
40
ARIM A(p, d, q)-ïðîöåñ öå d-êðàòíå âèêîðèñòàííÿ îïåðàòîðà ñêií÷åííèõ ðiçíèöü
4 = 1?L
äî ïî÷àòêîâîãî ÷àñîâîãî ðÿäó
{Xt }.
Éîãî îïèñóþòü ðiâíÿííÿìè:
A(L) 4d Xt = B(L)ξt
äå
d
ïîðÿäîê ðiçíèöi (öiëå ÷èñëî).
Ïðè ðîáîòi ç íîðìàëüíèìè ÷àñîâèìè ðÿäàìè ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè ñòàíäàðòíèé ïiäõiä:
1. Âiçóàëüíèé àíàëiç
2. Ðîçêëàäàííÿ ðÿäó i âèâ÷åííÿ éîãî êîìïîíåíò: ñåçîííiñòü, ôëóêòóàöiþ,
òðåíä
3. Ïîáóäîâà ìàòåìàòè÷íî¨ ìîäåëi i ïðîãíîçóâàííÿ
ðèñ. 5.2. Âiçóàëüíèé àíàëiç ÷àñîâîãî ðÿäó
Ðîçãëÿíåìî âèáiðêó êóðñó ãðèâíi äî äîëàðó çà 6 ðîêiâ(ðèñ 5.3). Äàíi áóëè âçÿòi
ç ðåñóðñó Quandl.
ßêùî ðîçãëÿäàòè öiíè â ìàñøòàái äåñÿòèëiòü, òî ìîæíà ïîìiòèòè êiëüêà ïiêiâ i ïàäiíü i íàïðÿìîê òðåíäà, àëå â çàãàëüíîìó âàæêî çðîáèòè ÿêiñü çíà÷óùi
41
ðèñ. 5.3. Âèáiðêà òà òðåíä
âèñíîâêè, òîìó äîñëiäæó¹ìî êîìïîíåíòè ðÿäó(ðèñ 5.4).
Iñíó¹ êiëüêà ñïîñîáiâ âèÿâëåííÿ ñòàöiîíàðíîñòi ðîçãëÿíóòîãî ðÿäó. Ïåðøèì
ñïîñîáîì ¹ âiçóàëüíèé àíàëiç ãðàôiêà ðÿäó ç ìåòîþ âèÿâëåííÿ òðåíäiâ, ñåçîííîñòi, ðiçêèõ ñòðèáêiâ ðîçãëÿíóòèõ äàíèõ. Âñå öå ¹ àðãóìåíòîì äëÿ ïðèéíÿòòÿ
ãiïîòåçè ïðî íåñòàöiîíàðíîñòi ÷àñîâîãî ðÿäó. Ùîá íå çàëèøàëîñÿ ñóìíiâiâ ùîäî
ñòàöiîíàðíîñòi ðÿäó, ìîæíà âèêîðèñòàòè ôîðìàëüíi òåñòè íà íàÿâíiñòü â îïåðàòîði çñóâó îäèíè÷íîãî êîðåíÿ(îçíàêà íåñòàöiîíàðíîñòi). Äëÿ öüîãî ïðîâåäåìî òåñò
Äiêêi-Ôóëëåðà äëÿ ïåðåâiðêè ñòàöiîíàðíîñòi ðÿäó:
Augmented Dickey-Fuller Test
data: uah.tsm Dickey-Fuller = -1.3809, Lag order = 4, p-value = 0.8276 alternative
hypothesis: stationary
Îñêiëüêè
p − value = 0.8276,
òî ðÿä íåñòàöiîíàðíèé.
Ç iíøîãî áîêó, ç äîñèòü âèñîêèì ñòóïåíåì âïåâíåíîñòi ìîæíà ñòâåðäæóâàòè,
ùî ïîõiäíà ïåðøîãî ïîðÿäêó ðÿäó ñòàöiîíàðíà, òîáòî öå iíòåãðîâàíèé ÷àñîâèé ðÿä
ïåðøîãî ïîðÿäêó (öåé ôàêò â ïîäàëüøîìó äîçâîëèòü íàì çàñòîñóâàòè ìåòîäîëîãiþ Áîêñà - Äæåíêiíñà).
42
ðèñ. 5.4. Äåêîìïîçiÿ âèáiðêè
Augmented Dickey-Fuller Test
data: di(uah.tsm) Dickey-Fuller = -5.0731, Lag order = 4, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Êðiì òîãî, âèÿâëÿ¹òüñÿ, ¹ i ñåçîííà êîìïîíåíòà, ùî âàæêî ïîáà÷èòè íà çàãàëüíîìó ãðàôiêó. ßêùî ïðèäèâèòèñÿ, òî êðiì äîñèòü âèñîêî¨ âîëàòèëüíîñòi, ìîæíà
ïîìiòèòè ðiñò êóðñó ãðèâíi ùîðîêó â ïåðøèõ ìiñÿöÿõ. Ç iíøîãî áîêó, ïðèñóòíÿ
âèïàäêîâà êîìïîíåíòà, âàãà ÿêî¨ îñîáëèâî çðîñò๠íà ïî÷àòêó 2015îãî ðîêó.
Iíîäi êðàùå ïðàöþâàòè ç äàíèìè ïiñëÿ îäíîïàðàìåòðè÷íîãî ïåðåòâîðåííÿ
Áîêñà-Êîêñà, ÿêå äîçâîëÿ¹ ñòàáiëiçóâàòè äèñïåðñiþ i ïðèâåñòè äàíi äî áiëüø íîðìàëüíîãî âèãëÿäó. Ùî æ ñòîñó¹òüñÿ íàéáiëüø ñëèçüêî¨ òåìè, à ñàìå - åêñòðàïîëÿöi¨, òî â ñòàòòi [23] àâòîðè çàçíà÷àþòü, ùî â çàëåæíîñòi âiä äîâæèíè ÷àñîâîãî
ïðîìiæêó çàñòîñîâíiñòü ìîäåëåé òàêà:
-äëÿ ñåðåäíüîñòðîêîâîãî i äîâãîñòðîêîâîãî ïåðiîäó â áiëüøié ìiði ïîõîäÿòü
íåëiíiéíi ìîäåëi - òi æ íåéðîííi ìåðåæi, ìàøèíè îïîðíèõ âåêòîðiâ;
-äëÿ êîðîòêîñòðîêîâîãî ïåðiîäó ARIMA ÷àñòî ïåðåâåðøó¹ íåéðîííi ìåðåæi.
Ñêîðèñòà¹ìîñÿ ïðèñóòíüî¨ â ïàêåòi forecast ôóíêöi¹þ nnetar (), çà äîïîìîãîþ
43
ÿêî¨ áåç çàéâèõ ñêëàäíîùiâ ìîæíà ïîáóäóâàòè íåéðîìåðåæåâîìó ìîäåëü ðÿäó(ðèñ
5.5). Ïðè öüîìó çðîáèìî öå äëÿ òðüîõ ðÿäiâ - âiä áiëüø äåòàëüíîãî (ïî äíÿõ) äî
ìåíø äåòàëüíîãî (ïî ìiñÿöÿõ). Òàêîæ ïîäèâèìîñÿ, ùî áóäå â ñåðåäíüîñòðîêîâîìó ïåðiîäi, íàïðèêëàä, çà ïiâ ðîêó (íà ãðàôiêàõ öå âiäîáðàæåíî ñèíiì êîëüîðîì).
Ùî äîáðå âèéøëî íà âåðõíüîìó òà ñåðåäíüîìó ãðàôiêàõ, òàê öå ïåðåíàâ÷àííÿ:
ðèñ. 5.5. Ðåçóëüòàòè ïðîãíîçó çà äîïîìîãîþ íåéðîìåðåæ íà 6 ìiñÿöiâ
íåéðîííà ìåðåæà çëîâèëà ïàòåðí ñåðåäèíè êîæíîãî ðîêó(íà ïî÷àòêó ðîêó ìîæíà
áà÷èòè ïàäiííÿ, äàëi - ôëåò, ïîòiì - çíîâó ðiñò ) â ðÿäó i ïî÷àëà éîãî êîïiþâàòè.
Ãðàôiêè äîáðå iëþñòðóþòü, ÿê çìiíþþòüñÿ ïåðåäáà÷åííÿ â çàëåæíîñòi âiä çãëàäæóâàííÿ äàíèõ. Ó áóäü-ÿêîìó âèïàäêó äëÿ âèáiðîê ç âèñîêîþ (ç ðiçíèõ ïðè÷èí)
âîëàòèëüíiñòþ ïðîãíîçàì íà òàêèé ÷àñîâèé ïðîìiæîê âiðèòè íå ìîæíà, òîìó âiäðàçó ïåðåéäåìî äî êîðîòêîñòðîêîâîãî ïåðiîäó, à òàêîæ ïîðiâíÿ¹ìî êiëüêà ðiçíèõ
ìîäåëåé - ARIMA i íåéðîííó ìåðåæó. Áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè äàíi çà îñòàíí¹
ïiâði÷÷ÿ òà çðîáèìî ïðîãíîç íà 20 äíiâ. Ðåçóëüòàò çîáðàæåíèé íà ðèñ 5.6.
Äëÿ âñòàíîâëåííÿ ïàðàìåòðiâ ìîäåëi Arima áóâ çäiéñíåíèé ïîøóê ñåðåä êîìáiíàöié, ùî ìiíiìiçóâàòèìóòü iíôîðìàöiéíèé êðèòåðié Àêàiêå. Öåé êðèòåðié ïðîïîíó¹ âiäíîñíi îöiíêè âòðà÷åíî¨ iíôîðìàöi¨ ïðè çàñòîñóâàííi äàíî¨ ìîäåëi äëÿ
44
ðèñ. 5.6. Ðåçóëüòàòè êîðîòêîñòðîêîâîãî ïðîãíîçó çà äîïîìîãîþ íåéðîìåðåæi
òà ìîäåëi ARIMA
ïðåäñòàâëåííÿ ïðîöåñó, ùî ïîðîäæó¹ äàíi. Çíà÷åííÿ êðèòåðiþ ì๠òàêèé âèãëÿä:
AIC = 2k − 2ln(L),
äå
k
êiëüêiñòü îöiíþâàíèõ ïàðàìåòðiâ ó ìîäåëi,
L
ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ
ôóíêöi¨ ïðàâäîïîäiáíîñòi äëÿ äàíî¨ ìîäåëi.
Ñåðåä ìîäåëåé-êàíäèäàòiâ íàéêðàùîþ áóäå òà, ùî ì๠ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ
êðèòåðiþ.
Ó ðåçóëüòàòi ïîøóêó ¾îïòèìàëüíèì¿ íàáîðîì ïàðàìåòðiâ äëÿ êóðñó ãðèâíi
ñòàâ (2, 2, 3). Ïîìèëêè ïðîãíîçóâàííÿ ó âèáiðöi çáåðiãàþòüñÿ ó çàëèøêàõ ïðîãíîçîâàíî¨ çìiííî¨. ßêùî ïðîãíîçîâàíó ìîäåëü íåìîæëèâî ïîêðàùèòè, íå ïîâèííî
áóòè æîäíèõ êîðåëÿöié ìiæ ïîìèëêàìè ïðîãíîçó äëÿ ïîñëiäîâíèõ ïðîãíîçiâ. Iíøèìè ñëîâàìè, ÿêùî iñíóþòü êîðåëÿöi¨ ìiæ ïîìèëêàìè ïðîãíîçó äëÿ ïîñëiäîâíèõ
ïðîãíîçiâ, îòæå ïîáóäîâàíà ìîäåëü íå ¹ îïòèìàëüíîþ.
Ùîá ç'ÿñóâàòè, ÷è ¹ ïiäiáðàíi ïàðàìåòðè îïòèìàëüíèìè, ìè ìîæåìî îòðèìàòè
êîðåëîãðàìó ïîìèëîê ïðîãíîçó ó âèáiðöi äëÿ ïåâíî¨ êiëüêîñòi ëàãiâ. Ïîáóäó¹ìî
45
êîðåëîãðàìó ïîìèëîê ïðîãíîçó êóðñó ãðèâíi.
Ìîæíà ïîáà÷èòè ç êîðåëîãðàìè íà Ðèñóíêó 5.7, ùî àâòîêîðåëÿöiÿ ïðè âiäñòàíÿõ 0.6 òà 0.3 ìàéæå òîðêà¹òüñÿ ìåæ çíà÷óùîñòi. Ùîá ïåðåâiðèòè íàÿâíiñòü ñóòò¹âèõ äîêàçiâ íåíóëüîâèõ êîðåëÿöié ïðè âiäñòàíi 0-1, ìîæíà ïðîâåñòè òåñò ËüþíãàÁîêñà âií ïîêàçó¹ çíà÷åííÿ
p − value = 0.886,
ùî ¹ áiëüøèì çà
0.05
i ä๠íàì
ìîæëèâiñòü ñòâåðäæóâàòè, ùî ïîáóäîâàíi ïàðàìåòðè ARIMA ìîäåëi äëÿ êóðñó
ãðèâíi ¹ îïòèìàëüíèìè.
ðèñ. 5.7. Êîðåëîãðàìà ïîìèëîê
Ïðîãíîç çà äîïîìãîþ ìîäåëi Arima âèÿâèâñÿ çíà÷íî êðàùèì çà ïðîãíîç íåéðîìåðåæi. Ðåàëüíi äàíi çà öåé ïåðiä ïîêàçóþòü, ùî â ãðóäíi êóðñ ãðèâíi ïðîäîâæèâ
ïàäàòè. Íåéðîìåðåæà æ íà êîòîêié äèñòàíöi¨ íàâïàêè ïîêàçàëà ðiñò. À ïðîãíîç
ìîäåëi ARIMA âÿâèâñÿ äóæå áëèçüêèì äî ðåàëüíèõ äàíèõ. Ðåçóëüòàòè ïîðiâíÿííÿ
íàâåäåíi íà ðèñ 5.8.
46
ðèñ. 5.8. Ïîðiâíÿííÿ ïðîãíîçiâ
4.4. Ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi çìîäåëüîâàíîãî ïðîöåñó
Äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi çìîäåëüîâàíîãî âèïàäêîâîãî ïðîöåñó áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè òàêèé àëãîðèò:
1. Ìîäåëþ¹ìî âèïàäêîâèé ïðîöåñ íà îñíîâi âèáiðêè â ïðîãðàìi, íàïèñàíié íà
C#
2. Äåêîìïîçó¹ìî âèáiðêó ôóíêöi¹þ decompose() â R
3. Ðîáèìî ïðîãíîç òðåíäîâî¨ êîìïîíåíòè çà äîïîìîãîþ ARIMA
4. Äîäà¹ìî âñi êîìïîíåíòè ïðîãíîçó: ïðîãíîç òðåíäó+ôëóêòóàöiÿ+ñåçîííiñòü
Äëÿ òåñòóâàííÿ íàâåäåíåãî âèùå àëãîðèòìó ñêîðèñòà¹ìîñÿ òi¹þ æ ñàìîþ âèáiðêîþ çà ïiâðîêó òà çäiñíèìî ïðîãíîç íà 20 äíiâ. Äëÿ ïî÷àòêó äîñëiäèìî òðåíä
âèáiðêè(ðèñ 5.10). Ïðîâiâøè òåñò Äiêêi-Ôóëëåðà, îòðèìàíî çíà÷åííÿ
0.584.
p − value =
Îòæå, ðÿä íåñòàöiîíàðíèé.
ßê i ðàíiøå ïiäáåðåìî îïòèìàëüíó ìîäåëü ARIMA çà äîìîãîþ iíôîðìàöiéíîãî
êðèòåðiþ Àêàiêå. ¾Îïòèìàëüíèì¿ íàáîðîì ïàðàìåòðiâ ñòàâ (1, 2, 0). Ïîáóäó¹ìî
êîðåëîãðàìó ïîìèëîê ïðîãíîçó êóðñó ãðèâíi(ðèñ 5.12). ßê i ðàíüøå, ìà¹ìî âiäñòà-
47
ðèñ. 5.9. Âiçóàëiçàöiÿ ñòâîðåíîãî àëãîðèòìó ïðîãíîçóâàííÿ
íi, íà ÿêèõ àâòîêîðåëÿöiÿ ìàéæå òîðêà¹òüñÿ ìåæ çíà÷óùîñòi. Òåñò Ëüþíãà-Áîêñà
ïîêàçó¹ çíà÷åííÿ
p − value = 0.238.
Îòæå, çíàéäåíi ïàðàìåòðè ¹ îïòèìàëüíèìè.
Çà äîïîìîãîþ ìåòîäó decompose() â R ìîæíà îòðèìàòè ñåçîííó êîìíîíåòó ç
÷àñîâîãî ðÿäó. Iìïîðòó¹ìî çãåíåðîâàíó ôëóêòóàöiþ ç ïðîãðàìè íà ìîâi
C#. Äàëi
îá'¹äíó¹ìî âñi òðè êîìïîíåíòè: ïðîãíîç òðåíäó, ñåçîííiñòü, ôëóêòóàöiþ. Îòðèìàíèé ïðîãíîç ìîæíî ïîáà÷èòè íà ðèñ 5.13. Ñïîñòåðiãà¹òüñÿ çàãàëüíèé òðåíä ñïàäàííÿ.
Ïîðiâíþþ÷è ãðàôiêè íà ðèñ 5.14, ìîæíà ñêàçàòè, ÷òî çàãàëüíèé ïðîãíîç ARIMA äóæå áëèçüêèé äî ïðîãíîçó çà äîïîìîãîþ ñòâîðåíî¨ ìîäåëi. Àëå îáèäâi ìîäåëi
â êiíöi ïåðiîäó ïîêàçóþòü äóæå âåëèêå âiäõèëåííÿ âiä ðåàëüíèõ äàíèõ. Ñåçîííà
êîìïîíåíòà â ãðóäíi ïîêàçó¹ âåëèêèé ðiñò, àëå ðåàëüíi äàíi ïîêàçóþòü ñïàä. Ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ñïàä â ãðóäíi 2019îãî ðîêó ¹ ðåçóëüòàòîì âèïàäêî¨
êîìïîíåíòè, ÿêó ñïðîãíîçóâàòè ìàéæå íåðåàëüíî.
48
ðèñ. 5.10. Òðåíä âèáiðêè
ðèñ. 5.11. Ïðîãíîç òðåíäó
49
ðèñ. 5.12. Êîðåëîãðàìà ïîìèëîê ïðîãíîçó êóðñó ãðèâíi
ðèñ. 5.13. Îòðèìàíèé ïðîãíîç çà äîïîìîãîþ íàøîãî àëãîðèòìó
50
ðèñ. 5.14. Ïîðiâíÿííÿ ïðîãíîçiâ ARIMA òà ñòâîðåíîãî àëãîðèòìó
51
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Óâàãà â öié ðîáîòi ïðèñâÿ÷ó¹òüñÿ ãàóñîâèì âèïàäêîâèì ïðîöåñàì ç äèñêðåòíèì
ñïåêòðîì, ÿêi ðîçãëÿäàëèñü ÿê âõiäíi ïðîöåñè äî ñòàöiîíàðíî¨ ëiíiéíî¨ ñèñòåìè ç
äiéñíîçíà÷íîþ iíòåãðîâàíîþ ç êâàäðàòîì iìïóëüñíî¨ ïåðåõiäíîþ ôóíêöi¹þ, ÿêà
âèçíà÷à¹òüñÿ â îáëàñòi
τ ∈ [0, T ].
Ðåàöiÿ ñèñòåìè - âèõiäíèé ïðîöåñ, íà îñíîâi
ÿêîãî âèêîíó¹òüñÿ ïðîãíîçóâàííÿ êóðñó âàëþò çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ARIMA òà
íåéðîìåðåæ íà ìîâi ïðîãðàìóâàííÿ R.
Ìåòîþ áóëî ïîáóäîâà ìîäåëi, ÿêà àïðîêñèìó¹ ïðîöåñ iç çàäàíîþ òî÷íiñòþ òà
íàäiéíiñòþ â áàíàõîâîìó ïðîñòîði
L2 ([0, T ]) áåðó÷è äî óâàãè âiäïîâiäü ñèñòåìè òà
ïðîãíîçóâàííÿ íà îñíîâi ñòâîðåíî¨ ìîäåëi. Äëÿ öüîãî áóëà äîâåäåíà òåîðåìà, ÿêà
ä๠íàì âiäïîâiäíi óìîâè, âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîäè òà âëàñòèâîñòi êâàäðàòè÷íîãàóññîâèõ ïðîöåñiâ. Ðîçãëÿíóòî äâà âèïàäêè çàäàííÿ ôóíêöié
bk , λk ,
ïåíåâi òà ïîêàçíèêîâi ôóíêöi¨. Òàêîæ çíàéäåíi îöiíêè ïàðàìåòðiâ
õîäæåííÿ
N
à ñàìå: ñòå-
bk , λk . Äëÿ çíà-
(âåðõíÿ ìåæà ñóìóâàííÿ â ìîäåëi) äëÿ ðiçíî¨ òî÷íîñòi òà íàäiéíîñòi
òà âiçóàëiçàöi¨ îòðèìàíèõ äàíèõ â ïðîãðàìíîìó ñåðåäîâèùi Microsoft Visual Studio
òà ìîâè ïðîãðàìóâàííÿ
C#
ñòâîðåíî ïðîãðàìíèé ïðîäóêò. Áóëè äîñëiäæåíi ïðî-
ãíîçè ìåòîäàìè ARIMA òà íåéðîìåðåæ çà äîïîìîãîþ ñòâîðåíî¨ ìîäåëi. Îòðèìàíi
ðåçóëüòàòè ñâiä÷àòü, ùî çäiéñíåíèé ïðîãíîç ¹ áëèçüêèì äî ðåàëüíèõ äàíèõ. Îòæå,
ìîäåëü áóëà ïîáóäîâàíà âiðíî òà ìîæå áóòè âèêîðèñòàíà äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ.
52
ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÈÕ ÄÆÅÐÅË
[1] V. V. Buldygin, and Yu. V. Kozachenko,
Metric Characterization of Random
Variables and Random Processes, American Mathematical Society, Providence, RI,
2000.
[2] Yu. Kozachenko, A. Olenko, O. Polosmak, Uniform convergence of wavelet expansions of Gaussian random processes,
Stochastic Analysis and Applications,
29
, 2
(2011), 169184.
[3] Yu. Kozachenko, A. Pashko, I. Rozora,
Simulation of random processes and elds,
Kyiv: Zadruga, 2007. (In Ukrainian)
[4] Yuriy V. Kozachenko, Oleksandr O. Pogorilyak, Iryna V. Rozora and Antonina M.
Tegza,
Simulation of Stochastic Processes with Given Accuracy and Reliability,
ISTE Press - Elsevier; 1 edition (2016).
[5] Yu. Kozachenko, I. Rozora, Accuracy and Reliability of models of stochastic
processes of the space
stics,
71
Subϕ (Ω), Theory of Probability and Mathematical Stati-
(2005), 105117.
[6] Kozachenko, Yu., Rozora, I. Simulation of Gaussian stochastic processes.
Oper. and Stochastic Equ.,
11
Random
, no.3 (2003), 275-296.
[7] Kozacenko,Yu. and Rozora, I. On cross-correlogram estimators of impulse response
function.
Theor. Probability and Math. Statist.,
93
(2015), 7583.
[8] Kozachenko, Yu., Rozora, I. A Criterion For Testing Hypothesis About Impulse
Response Function.
Statistics, optimization & information computing
4
, no. 3
(2016), 214-232.
[9] Kozachenko Yu., Rozora I., Turchyn Ye. On an expansion of random processes in
series.
Random Operators and Stochastic Equ.,
15
(2007), 15-33.
[10] Kozachenko Yu. V., Rozora I.V. and Turchyn Ye.V. Properties of Some Random
Series,
Communications in Statistics - Theory and Methods,
36723683.
40
, no.19-20 (2011),
53
[11] Yu. Kozachenko,T. Sottinen, O. Vasylyk, Simulation of weakly self-similar stationary increment
Subϕ (Ω)-processes: a series expansion approach, Methodology and
computing in applied probability,
7
(2005), 379400.
[12] P. Kramer, O Kurbanmuradov, K. Sabelfeld, Comparative Analysis of Multiscale
Gaussian Random Field Simulation Algorithms,
cs,
226
Journal of Computational Physi-
September (2007), 897924.
[13] Michaylov H., Voitishek A.
Numeric Statistical Modeling. Tutotial, Acadedmia,
Moscow, 2006. (in Russian)
[14] S. Prigarin
Numerical Modeling of Random Processes and Fields,
Novosibirsk:
Inst. of Comp. Math. and Math. Geoph. Publ., 2005.
[15] Rozora I. Simulation of Gaussian stochastic processes with respect to derivative.
Applied statistics, Actuarial and Finance Mathematics,
[16] Rozora I. Simulation accuracy of strictly
in the space
1-2
(2008), 139147.
ϕ-Sub-Gaussian
L2 [0, T ]. Comp. and Applied Mathem.,
2
stochastic processes
, no.98 (2009), 6876. (in
Ukrainian)
[17] Rozora
response
I.
Statistical
function
hypothesis
testing
for
the
shape
of
impulse
Communications in Statistics - Theory and Methods,
http://dx.doi.org/10.1080/03610926.2017.1321125, (2017).
[18] K. Sabelfeld,
Monte Carlo Methods in Boundary Problems,
Novosibirsk: Nauka,
1989. (In Russian).
[19] S. Yermakov, G. Mikhailov,
Statistical simulation,
Moscow: Nauka, 1982. (In
Russian)
[20] V. Davnis, V. Korotkih,
Adaptive trend decomposition of nancial time series,
Moscow: Nauka, 2014. (In Russian)
[21] U. Lukavit,
Adaptive methods for short-term time series forecasting,
Moscow:
Nauka, 2003 . (In Russian)
[22]
A3. SIPEI Military Expenditure Database. Stockholm international peace
research institute
[23]
Crude Oil Price Forecasting Techniques: a Comprehensive Review of Literature
[24]
Health expenditure per capita, by country, 1995-2014. World Health Organization
54
[25] L. Orlik,
Correlation Regression Analysis, Moscow:`Nauka, 2008. (In Russian)
55
ÄÎÄÀÒÎÊ À
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 1
using
System ;
using
System . C o l l e c t i o n s . G e n e r i c ;
using
S y s t e m . ComponentModel ;
using
S y s t e m . Data ;
using
System . Drawing ;
using
System . Linq ;
using
System . Text ;
using
S y s t e m . Windows . Forms ;
using
ZedGraph ;
namespace
WindowsFormsApplication2
{
public
partial
class
Form1
:
Form
{
const
double
const
double
T =
1;
const
double
c
1;
const
double
I_h =
const
double
r
int
N_res =
public
alfa
=
=
=
1.0/
3;
1;
2;
1;
Form1 ( )
{
InitializeComponent ( ) ;
c a s e 1 . Checked
=
true ;
draw_trace ( ) ;
}
private
{
void
gaus_method ( d o u b l e [ ]
massive ,
double
mu ,
double
sigma ,
int
num )
56
double
dSumm =
Random
ran
for
( int
0,
= new
n =
0;
dRandValue
=
0;
Random ( Guid . NewGuid ( ) . GetHashCode ( ) ) ;
n < num ;
n++)
{
dSumm =
for
0;
( int
i
=
0;
i
<=
12;
i ++)
{
double
R =
ran . NextDouble ( ) ;
dSumm = dSumm + R ;
}
dRandValue
= Math . Round ( ( mu +
massive [ n ]
=
sigma
*
(dSumm
=
6)) ,
3);
dRandValue ;
}
}
private
void
draw_trace ( )
{
double [ ]
e t a=new
double [ ]
ksi
double
m =
d o u b l e [ N_res ] ;
= new
d o u b l e [ N_res ] ;
D o u b l e . P a r s e ( input_m . T e x t ) ;
double
e
=
Double . P a r s e ( input_e . Text ) ;
double
p =
Double . P a r s e ( input_p . Text ) ;
double
q =
Double . P a r s e ( input_q . Text ) ;
GraphPane
pane
=
z e d G r a p h . GraphPane ;
pane . C u r v e L i s t . C l e a r ( ) ;
PointPairList
list
= new
PointPairList ( ) ;
p a n e . YAxis . T i t l e . T e x t
=
" çíà÷åííÿ
p a n e . XAxis . T i t l e . T e x t
=
" ÷àñ " ;
pane . T i t l e . Text
double
tmin
=
0;
double
tmax =
1;
for
{
( double
t
=
=
" Ìîäåëü
tmin ;
ìîäåëi
ïðîöåñó
t <= tmax ;
iç
t
ïðîöåñó " ;
çàäàíîþ
+=
òîíiñòþ
1.0/700)
òà
íàäiéíiñòþ " ;
57
gaus_method ( e t a ,
0,
1,
N_res ) ;
gaus_method ( k s i ,
0,
1,
N_res ) ;
double
for
l
=
( int
0;
k =
1;
k <
N_res ; k++
)
{
if
( c a s e 1 . Checked )
{
l
+=
*
( Math . Pow ( k ,
t)
+
eta [ k ]
*
=m) *
( ksi [ k ]
*
Math . Cos ( Math . Pow ( k ,
Math . S i n ( Math . Pow ( k ,
e)
*
e)
t )));
}
else
{
l
+=
( Math . Pow ( p ,
*
t)
=
1
+
eta [ k ]
*
=k ) *
( ksi [ k ]
*
Math . Cos ( Math . Pow ( q ,
Math . S i n ( Math . Pow ( q ,
k)
*
t )));
}
}
double
a
l i s t . Add ( t ,
/
N_res ;
l );
}
LineItem
myCurve =
C o l o r . Blue ,
p a n e . AddCurve ( " Ìîäåëü
ïðîöåñó " ,
SymbolType . None ) ;
p a n e . XAxis . S c a l e . Min =
tmin ;
p a n e . XAxis . S c a l e . Max = tmax ;
zedGraph . AxisChange ( ) ;
zedGraph . I n v a l i d a t e ( ) ;
}
private
bool
check_delta_1 ( i n t
N,
double
delta )
{
double
m =
D o u b l e . P a r s e ( input_m . T e x t ) ;
list ,
k)
58
double
e
double
C_2 =
/
(
=2 *
+
=
Double . P a r s e ( input_e . Text ) ;
m +
(
=2 *
+
0.2974
/
(
=4 *
double
res
*
=
*
Math . Pow ( N ,
m
=2 *
Math . Pow ( ( Math . Pow (N ,
m
=
e
e
+
+
1)) ,
m +
1)
/
2
+
=
e
+
/
p
/
p,
p
/
q,
m
1)
2)
=4 *
m
=
e
+
2)
2);
= Math . Pow ( r
+ Math . S q r t ( r
return
=2 *
Math . Pow ( ( Math . Pow (N ,
1)) ,2)
64.1487
/
*
8.1487
1) ,
/
Math . S q r t ( 2 )
r)
* C_2 ;
d e l t a >=r e s ? t r u e : f a l s e ;
}
private
bool
check_delta_2 ( i n t
N,
double
delta )
{
double
p =
Double . P a r s e ( input_p . Text ) ;
double
q =
Double . P a r s e ( input_q . Text ) ;
double
C_2 =
8.1487
*
1
/
2)
/
(1
=
p
p)) ,
*
+
64.1487
/
(1
1
/
p
+
0.2974
*
Math . Pow ( 1
/
(1
/
p
double
*
/
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
=
=
res
1
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
/
/
p
/
p)
q)) ,
/
= Math . Pow ( r
/
p
/
N +
N +
1)
1)
2)
/
p
/
p
/
p
/
(1
=1
/
Math . S q r t ( 2 )
/
p
/
p
/
p
p
/
/
q,
p
N +
/
1)
q);
+ Math . S q r t ( r
/
2
+
1) ,
r)
=
e
+
2);
r)
*
Math . S q r t ( 2 ) )
C_2 ;
return
delta
>=
res
?
true
:
false ;
}
private
bool
check_nu_1 ( i n t
N, d o u b l e
nu ,
double
delta )
{
double
m =
D o u b l e . P a r s e ( input_m . T e x t ) ;
double
e
double
C_2 =
/
(
=2 *
=
Double . P a r s e ( input_e . Text ) ;
m +
8.1487
1)) ,
+
64.1487
/
(
+
0.2974
double
=2 *
res
*
m
=
*
m +
1)
2)
Math . Pow ( ( Math . Pow (N ,
=
=2 *
Math . Pow ( ( Math . Pow (N ,
e
+
1)) ,
=2 *
m
=
/
(
e
+
1)
2)
*
Math . Pow ( N ,
2
*
=4 *
Math . S q r t ( 1
+
m
=
e
+
2)
=4 *
( Math . Pow ( d e l t a ,
1
m
/
59
/
Math . Pow ( C_2 ,
/
Math . S q r t ( 2 )
return
r e s <nu
1
/
?
/
*
r ))
Math . Pow ( C_2 ,
true
:
=Math . Pow ( d e l t a
Math . Pow ( Math . E ,
1
/
,
1
/
r)
r ));
false ;
}
private
bool
check_nu_2 ( i n t
N, d o u b l e
nu ,
double
delta )
{
double
p =
Double . P a r s e ( input_p . Text ) ;
double
q =
Double . P a r s e ( input_q . Text ) ;
double
C_2 =
8.1487
*
1
/
2)
/
(1
=
/
p
p)) ,
*
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
/
q,
(1
1
/
p
+
0.2974
*
Math . Pow ( 1
/
(1
1
/
p
/
=
1
/
=
2
*
Math . S q r t ( 1
+
( Math . Pow ( d e l t a ,
double
=
res
/
Math . Pow ( C_2 ,
/
Math . S q r t ( 2 )
return
r e s <nu
?
1
/
/
p)
/
q)) ,
/
r ))
*
p
/
:
p
/
p
p
/
/
p
p
/
/
p
Math . Pow ( Math . E ,
Math . Pow ( C_2 ,
true
p,
N +
N +
1
/
q,
/
p
N +
void
/
q);
1
/
r)
r ));
false ;
{
delta
double
nu =
int
for
N =
=
Double . P a r s e ( i n p u t _ d e l t a . Text ) ;
Double . P a r s e ( input_nu . Text ) ;
1;
( ; N< 1 0 0 0 ;N++)
{
i f ( c h e c k _ d e l t a _ 1 ( N , d e l t a )&&check_nu_1 ( N , nu , d e l t a ) )
{
r e s u l t _ N . Text
N_res = N ;
break ;
}
}
}
= N. ToString ( ) ;
*
Math . S q r t ( 2 ) )
=Math . Pow ( d e l t a
calculate_1 ()
double
1)
1)
}
private
1)
2)
/
(1
/
p
/
p
p
/
64.1487
/
/
p
+
=
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
/
,
1
/
r)
60
private
void
calculate_2 ()
{
double
delta
double
nu =
int
N =
for
(;
=
Double . P a r s e ( i n p u t _ d e l t a . Text ) ;
Double . P a r s e ( input_nu . Text ) ;
1;
N <
1000;
N++)
{
if
( c h e c k _ d e l t a _ 2 (N ,
delta )
&& check_nu_2 (N ,
nu ,
{
r e s u l t _ N . Text
= N. ToString ( ) ;
N_res = N ;
break ;
}
}
}
private
void
button1_Click ( o b j e c t
{
if
( c a s e 1 . Checked )
{
calculate_1 ( ) ;
}
else
{
calculate_2 ( ) ;
}
draw_trace ( ) ;
}
}
}
sender ,
EventArgs
e)
delta ))
61
ÄÎÄÀÒÎÊ Á
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 2
using
System ;
using
System . C o l l e c t i o n s . G e n e r i c ;
using
S y s t e m . ComponentModel ;
using
S y s t e m . Data ;
using
System . Drawing ;
using
System . Linq ;
using
System . Text ;
using
S y s t e m . Windows . Forms ;
using
ZedGraph ;
using
S y s t e m . IO ;
namespace
WindowsFormsApplication2
{
public
partial
class
Form1
:
Form
1.0/
3.0;
{
const
double
const
double
T =
1.0;
const
double
c
1.0;
const
double
I_h =
const
double
r
int
N_res =
L i s t <d o u b l e >
alfa
=
=
=
1.0;
2.0;
1;
s a m p l e=new
L i s t <d o u b l e > ma = new
L i s t <d o u b l e > ( ) ;
L i s t <d o u b l e > ( ) ;
L i s t <d o u b l e > random = new
L i s t <d o u b l e >
seasonal
= new
double
b_evaluaton
double
lambda_evaluaton
double
spring_koef
bool
l a m bd a _ f ou n d
=
=
=
L i s t <d o u b l e > ( ) ;
0;
=
1;
false ;
1;
L i s t <d o u b l e > ( ) ;
62
int
ma_step =
double [ ]
30;
MovingAverage ( i n t
period ,
double [ ]
source )
{
var
ma = new
double
for
sum =
( int
bar
sum +=
( int
0;
bar
<
period ;
b a r++)
s o u r c e [ bar ] ;
1]
bar
ma [ b a r ]
return
0;
=
=
ma [ p e r i o d
for
d o u b l e [ s o u r c e . Length ] ;
= sum
=
/
period ;
= ma [ b a r
period ;
bar
=
1]
<
s o u r c e . Length ;
+
s o u r c e [ bar ]
=
s o u r c e [ bar
/
=
b a r++)
period
period ]
/
period ;
*
( s a m p l e . Elemen
ma ;
}
public
void
lambda_evaluation_calculation ()
{
double
x1_1 =
for ( int
0,
x2_1 =
0;
i = 2 ; i <s a m p l e . Count;++ i )
{
x1_1 +=
s a m p l e . ElementAt ( i ) ;
}
x1_1/=( s a m p l e . Count
for
( int
i
=
1;
i
<
=1);
s a m p l e . Count
=1;
++i )
{
x2_1 +=
s a m p l e . ElementAt ( i ) ;
}
x2_1
/=
double
for ( int
( s a m p l e . Count
b_upper
i =1;
=
i<
=
1);
0;
s a m p l e . Count
=1;++ i )
{
b_upper +=
( ( s a m p l e . ElementAt ( i
+
1)
=
x1_1 )
63
}
double
step
double
eps
=
=
0.1;
b_upper
lambda_evaluaton
l a m bd a _ f ou n d
for
( int
j
=
=
=
/
10.0;
1;
false ;
3;
j
< 7;++ j
)
{
lambda_evaluaton
=
1;
double
k = Math . Pow ( 1 0 ,
step
100.0
for
=
( int
i
=
/
j );
k;
0;
i
<
6
*k /100;
i ++)
{
if
( check_lambda ( lambda_evaluaton ,
eps ,
b_upper ) )
eps ,
double
{
l a m bd a _ f ou n d
=
true ;
break ;
}
lambda_evaluaton
+=
step ;
}
if
( l a m b da _ f o un d )
break ;
}
}
public
bool
check_lambda ( d o u b l e
lambda ,
double
b)
{
double
for ( int
b_upper_copy =
0;
i = 0 ; i <100;++ i )
{
b_upper_copy +=
if
( Math . Pow ( b _ e v a l u a t o n , 2
( b_upper_copy >
return
(b +
eps ) )
false ;
}
if
( Math . Abs ( b
return
else
=
true ;
b_upper_copy )
<
eps )
* i ) * Math . Cos ( Math . Pow (
64
return
false ;
}
public
Form1 ( )
{
InitializeComponent ( ) ;
draw_trace ( ) ;
}
private
void
gaus_method ( d o u b l e [ ]
double
mu ,
double
double
dSumm =
Random
ran
sigma ,
int
massive ,
num )
{
for
( int
0,
= new
n =
0;
dRandValue
=
0;
Random ( Guid . NewGuid ( ) . GetHashCode ( ) ) ;
n < num ;
n++)
{
dSumm =
for
( int
0;
i
=
0;
i
<=
12;
i ++)
{
double
R =
ran . NextDouble ( ) ;
dSumm = dSumm + R ;
}
dRandValue
= Math . Round ( ( mu +
massive [ n ]
=
sigma
*
(dSumm
dRandValue ;
}
}
private
void
draw_trace ( )
{
double [ ]
e t a=new
double [ ]
ksi
d o u b l e [ s a m p l e . Count ] ;
= new
GraphPane
pane
=
GraphPane
pane1
d o u b l e [ N_res ] ;
z e d G r a p h . GraphPane ;
=
z e d G r a p h C o n t r o l 1 . GraphPane ;
pane . C u r v e L i s t . C l e a r ( ) ;
pane1 . C u r v e L i s t . C l e a r ( ) ;
=
6)) ,
3);
65
PointPairList
list
= new
PointPairList ( ) ;
PointPairList
list1
= new
PointPairList ( ) ;
PointPairList
list2
= new
PointPairList ( ) ;
p a n e . YAxis . T i t l e . T e x t
=
" Çíà÷åííÿ
p a n e . XAxis . T i t l e . T e x t
=
" ×àñ " ;
pane . T i t l e . Text
=
" Ìîäåëü
ìîäåëi
ïðîöåñó
iç
p a n e 1 . YAxis . T i t l e . T e x t
=
" Çíà÷åííÿ
p a n e 1 . XAxis . T i t l e . T e x t
=
" ×àñ " ;
pane1 . T i t l e . Text
=
" Âèáiðêà
òà
ïðîöåñó " ;
çàäàíîþ
òîíiñòþ
òà
íàäiéíiñòþ
âèáiðêè " ;
òðåíä " ;
random . C l e a r ( ) ;
gaus_method ( e t a ,
0,
1,
s a m p l e . Count ) ;
gaus_method ( k s i ,
0,
1,
N_res ) ;
for
( int
t
=
0;
t
<
s a m p l e . Count ;
++t )
{
double
for
l
=
0;
( int
k =
0;
k <
N_res ; k++
)
l
( Math . Pow ( b _ e v a l u a t o n ,
{
+=
k)
*
( ksi [ k ]
*
Math . Cos ( Math .
}
l i s t . Add ( t ,
l );
random . Add ( l
);
l i s t 1 . Add ( t ,
s a m p l e . ElementAt ( t ) / s p r i n g _ k o e f ) ;
if
( t>ma_step )
l i s t 2 . Add ( t
=ma_step / 2 ,
ma . E l e m e n t A t ( t ) ) ;
}
LineItem
myCurve =
p a n e . AddCurve ( " Ìîäåëü
ïðîöåñó " ,
LineItem
myCurve1 =
p a n e 1 . AddCurve ( " Â è á i ð ê à " ,
LineItem
myCurve2 =
p a n e 1 . AddCurve ( " Òðåíä " ,
list ,
list1 ,
list2 ,
C o l o r . Bl
C o l o r . Blue ,
C o l o r . Red ,
Sym
66
p a n e . XAxis . S c a l e . Min =
0;
p a n e . XAxis . S c a l e . Max =
s a m p l e . Count ;
p a n e 1 . XAxis . S c a l e . Min =
0;
p a n e 1 . XAxis . S c a l e . Max =
s a m p l e . Count ;
zedGraph . AxisChange ( ) ;
z ed Gr ap hC on t ro l1 . AxisChange ( ) ;
zedGraph . I n v a l i d a t e ( ) ;
zedGraphControl1 . I n v a l i d a t e ( ) ;
}
private
bool
check_delta ( i n t
N,
double
delta )
{
double
q =
lambda_evaluaton ;
double
p =
1 . 0 / b_evaluaton ;
double
C_2 =
8.1487
+
64.1487
+
0.2974
double
res
return
delta
*
*
*
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
Math . Pow ( 1
= Math . Pow ( r
>=
res
?
/
/
p
/
p
/
/
p
/
Math . S q r t ( 2 )
true
:
p
/
p
/
p
/
p
/
q,
/
q,
p,
N +
N +
N +
1)
+ Math . S q r t ( r
1)
/
/
1)
/
(1
2
+
/
(1
=
=
1
(1
=
1
/
1) ,
r)
false ;
}
private
bool
check_nu ( i n t
N, d o u b l e
nu ,
double
delta )
{
double
q =
lambda_evaluaton ;
double
p =
1.0
double
C_2 =
+
64.1487
+
0.2974
double
res
=
return
r e s <nu
/
b_evaluaton ;
8.1487
*
*
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
Math . Pow ( ( Math . Pow ( 1
*
Math . Pow ( 1
2
*
?
{
void
p
Math . S q r t ( 1
true
:
}
private
/
calculate_N ( )
false ;
/
+
p
/
/
p
p
/
/
p
/
/
p
/
p
/
q,
q,
( Math . Pow ( d e l t a ,
p,
N +
N +
1
N +
/
1)
r)
1)
/
1)
/
(1
*
/
(1
=
(1
=
=
1
1
/
Math . S q r
67
double
delta
double
nu =
int
for
N =
=
Double . P a r s e ( i n p u t _ d e l t a . Text ) ;
Double . P a r s e ( input_nu . Text ) ;
1;
( ; N< 1 0 0 0 ;N++)
{
i f ( c h e c k _ d e l t a ( N , d e l t a )&&check_nu (N , nu , d e l t a ) )
{
r e s u l t _ N . Text
= N. ToString ( ) ;
N_res = N ;
break ;
}
}
}
private
void
Form1_Load ( o b j e c t
sender ,
EventArgs
void
find_evaluations_Click ( object
e)
{
}
private
{
spring_koef
double [ ]
int
n =
for
1;
tmp ;
s a m p l e . Count ;
tmp = new
tmp =
=
double [ n ] ;
s a m p l e . ToArray ( ) ;
( int
i
=
0;
i
<
n;
++i )
{
tmp [ i ]
/=
spring_koef ;
}
double
avarage
double
sum =
for
( int
i
=
= tmp . Sum ( )
0;
0;
i
<
n;
i ++)
/
n;
sender ,
EventArgs
e)
68
{
sum +=
( ( tmp [ i ]
=
*
avarage )
( tmp [ i ]
=
avarage ) ) ;
}
Random
rnd
double
upper
double
bottom
double
step
if
= new
=
( bottom >
r n d . Next ( 1 0 ,
=
=
Random ( ) ;
51)
r n d . Next ( 1 0 ,
/
51)
100.0;
/
100.0;
0.01;
upper )
{
double
a
bottom
=
upper
=
bottom ;
upper ;
=
a;
/
sum )
}
while
((n
>
upper )
{
for
( int
i
=
0;
i
<
n;
++i )
{
tmp [ i ]
/=
spring_koef ;
tmp [ i ]
*=
( spring_koef
+
step ) ;
}
spring_koef
sum =
step ;
0;
avarage
for
+=
= tmp . Sum ( )
( int
i
=
0;
i
/
<
n;
n;
i ++)
{
sum +=
( ( tmp [ i ]
=
avarage )
*
( tmp [ i ]
}
}
while
(n
/
sum <
bottom )
{
for
( int
i
=
0;
i
<
n;
++i )
{
tmp [ i ]
/=
spring_koef ;
tmp [ i ]
*=
( spring_koef
=
step ) ;
=
avarage ) ) ;
69
}
spring_koef
sum =
step ;
0;
avarage
for
==
= tmp . Sum ( )
( int
i
=
0;
i
<
/
n;
n;
i ++)
{
sum +=
( ( tmp [ i ]
=
*
avarage )
( tmp [ i ]
=
avarage ) ) ;
}
}
b_evaluaton
sample
= Math . S q r t ( 1 . 0
=
n
/
sum ) ;
= tmp . T o L i s t ( ) ;
b_res . Text
= Math . Round ( b _ e v a l u a t o n ,
3 ) . ToString ( ) ;
lambda_evaluation_calculation ( ) ;
if
( l a m b da _ f o un d )
lambda_res . Text
= Math . Round ( l a m b d a _ e v a l u a t o n ,
3 ) . ToString ( ) ;
}
private
void
open_sample_Click_1 ( o b j e c t
sender ,
EventArgs
e)
{
if
( o p e n F i l e D i a l o g 1 . ShowDialog ( )
==
D i a l o g R e s u l t . Cancel )
return ;
string
filename
StreamReader
string
while
sr
=
o p e n F i l e D i a l o g 1 . FileName ;
= new
StreamReader ( f i l e n a m e ,
System . Text . Encoding
line ;
(( line
=
s r . ReadLine ( ) )
!=
null )
{
s a m p l e . Add ( C o n v e r t . ToDouble ( l i n e ) ) ;
}
sample . Reverse ( ) ;
ma =
}
M o v i n g A v e r a g e ( ma_step ,
s a m p l e . ToArray ( ) ) . T o L i s t ( ) ;
70
private
void
find_N_Click ( o b j e c t
{
calculate_N ( ) ;
draw_trace ( ) ;
}
}
}
sender ,
EventArgs
e)
71
ÄÎÄÀÒÎÊ Â
Ëiñòiíã ïðîãðàìè 3
l i b r a r y ( Quandl )
library ( forecast )
library ( tseries )
library ( readxl )
uah . t s
=
<
read_excel ( f i l e . choose ( ) )
=
read_excel ( f i l e . choose ( ) )
=
read_excel ( f i l e . choose ( ) )
uah . t s w <
uah . tsm <
p l o t ( uah . t s ,
x l a b ="Y e a r " ,
l i n e s ( l o w e s s ( uah . t s ) ,
c o l =" r e d " ,
p l o t ( d e c o m p o s e ( uah . tsm ,
a d f . t e s t ( uah . tsm ,
=
f r e q u e n c y =365) ,
BoxCox . lambda ( t s ( uah . t s w ,
=
BoxCox . lambda ( uah . tsm ,
=
f i t . nn <
n n e t a r ( t s ( uah . t s ,
=
f c a s t . nn <
=
f i t . nnw <
=
f i t . nnm <
f r e q u e n c y =52) ,
f r e q u e n c y =365) ,
h =180 ,
n n e t a r ( t s ( uah . t s w ,
=
=
method=" l o g l i k " )
f o r e c a s t ( f i t . nnw ,
f r e q u e n c y =52) ,
h =24 ,
f o r e c a s t ( f i t . nnm ,
h =6 ,
lambda=L ,
s i z e =75)
lambda=L )
lambda=Lw ,
s i z e =75)
lambda=Lw )
n n e t a r ( t s ( uah . tsm , f r e q u e n c y = 1 2 ) ,
f c a s t . nnm <
method=" l o g l i k " )
method=" l o g l i k " )
f o r e c a s t ( f i t . nn ,
f c a s t . nnw <
l t y =" d a s h e d " )
a l t e r n a t i v e =c ( ' s t a t i o n a r y ' ) )
=
Lm <
t y p e =" l " )
t y p e =" a d d i t i v e " ) )
BoxCox . lambda ( t s ( uah . t s ,
Lw <
$" ,
a l t e r n a t i v e =c ( ' s t a t i o n a r y ' ) )
a d f . t e s t ( d i f f ( uah . tsm ) ,
L <
y l a b =" P r i c e ,
lambda=Lm,
lambda=Lm)
s i z e =75)
72
p a r ( mfrow=c ( 3 ,
1))
p l o t ( f c a s t . nn ,
i n c l u d e =1040)
p l o t ( f c a s t . nnw ,
i n c l u d e =2 08 )
p l o t ( f c a s t . nnm ,
i n c l u d e =48)
short
=
<
t s ( uah . t s [ i n d e x ( uah . t s )
=
short . test
=
hh <
<
>
"2019
= 06 = 30"
&
a s . n u m e r i c ( uah . t s [ i n d e x ( uah . t s ) >=
i n d e x ( uah . t s )
"2019
=11 =20" ,])
length ( short . test )
plot ( short )
=
azfinal . aic
<
for
(p
in
<
1:3)
azcurrent . aic
if
Inf
=
a z f i n a l . order
c (0 ,0 ,0)
for
(d
=
<
<
=
<
a z f i n a l . order
1:2)
for
(q
AIC ( a r i m a ( s h o r t ,
( azcurrent . aic
azfinal . aic
in
azfinal . aic )
in
1:3)
{
o r d e r=c ( p ,
d,
q)))
{
azcurrent . aic
=
c (p ,
=
arima ( s h o r t ,
<
a z f i n a l . arima <
d,
q)
o r d e r= a z f i n a l . o r d e r )
}
}
p a r ( mfrow=c ( 1 ,
1))
a c f ( r e s i d ( a z f i n a l . arima ) ,
na . a c t i o n=na . o m i t )
Box . t e s t ( r e s i d ( a z f i n a l . a r i m a ) ,
=
f i t . arima <
arima ( s h o r t ,
=
f c a s t . arima <
l a g =1 ,
a z f i n a l . order )
f o r e c a s t ( f i t . arima ,
p l o t ( f c a s t . arima )
t y p e ="L j u n g
h)
<
=Box " )
"2019
=11 =2
73
trendd
=
<
decompose ( s h o r t ,
=
seasonall <
t y p e =" a d d i t i v e " ) $ t r e n d
d e c o m p o s e ( uah . tsm ,
adf . t e s t ( trendd ,
t y p e =" a d d i t i v e " ) $ s e a s o n a l
a l t e r n a t i v e =c ( ' s t a t i o n a r y ' ) )
p l o t ( trendd )
plot ( seasonall )
azfinal . aic
=
<
a z f i n a l . order
for
(p
in
Inf
=
<
1:3)
for
azcurrent . aic
if
c (0 ,0 ,0)
(d
=
<
<
=
<
a z f i n a l . order
1:2)
for
(q
AIC ( a r i m a ( s h o r t ,
( azcurrent . aic
azfinal . aic
in
azfinal . aic )
in
1:3)
{
o r d e r=c ( p ,
d,
q)))
{
azcurrent . aic
=
c (p ,
=
arima ( s h o r t ,
<
a z f i n a l . arima <
d,
q)
o r d e r= a z f i n a l . o r d e r )
}
}
Box . t e s t ( r e s i d ( a z f i n a l . a r i m a ) ,
=
f i t . arima1 <
arima ( trendd ,
=
f c a s t . arima1 <
l a g =1 ,
t y p e ="L j u n g
=Box " )
a z f i n a l . order )
f o r e c a s t ( f i t . arima1 ,
hh )
p l o t ( f c a s t . arima1 )
=
randomm <
read_excel ( f i l e . choose ( ) )
=f c a s t
f c a s t . a r i m a 1 $ m e a n<
=
f i t . nn <
nnetar ( short ,
=
f c a s t . nn <
. a r i m a 1 $ m e a n+randomm+ s e a s o n a l l [ 7 3 ]
s i z e =7 ,
f o r e c a s t ( f i t . nn ,
h,
lambda=L )
lambda=L )
74
p a r ( mfrow=c ( 1 ,
1))
plot ( short . test ,
t y p e =" l " ,
c o l =" r e d " ,
l w d =5 ,
x l a b ="Day " ,
y l a b =" P r i c e " ,
y l i m=c ( min ( s h o r t . t e s t ,
f c a s t . a rim a$ mea n ,
f c a s t . arima1$mean ) ,
max ( s h o r t . t e s t ,
f c a s t . a rim a$ mea n ,
f c a s t . arima1$mean ) ) )
l i n e s ( as . numeric ( q ) ,
c o l =" g r e e n " ,
l w d =3 , l t y =2)
l i n e s ( a s . n u m e r i c ( f c a s t . arima$mean ) ,
c o l =" b l u e " ,
legend (" bottomleft " ,
Data " , "ARIMA" , "ARIMA+m o d e l " ) ,
l e g e n d=c ( " R e a l
c o l=c ( " r e d " , " g r e e n " ,
grid ()
" blue ") ,
l w d =3 ,
l t y =c ( 1 , 2 , 2 ) ,
l t y =2)
l w d=c ( 5 , 3 , 3 ) )
main="