Измерения являются одним из важнейших путей познания

Вычисление абсолютных, относительных и приведенных погрешностей средств
измерений
Пример решения задачи
Задача 1. Вольтметром со шкалой (0…100) В, имеющим абсолютную погрешность
V=1 В, измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать
зависимости абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата
измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.
Решение
Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 1), в столбцы которой
будем записывать измеренные значения V, абсолютные V, относительные V и
приведенные V погрешности.
В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения
напряжения: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).
Значение абсолютной погрешности известно из условий задачи (V=1 В) и считается
одинаковым для всех измеренных значений напряжения; это значение заносим во все ячейки
второго столбца.
Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле:
V
V 
 100% .
V
1В
 100%   .
При V=0 В получаем: V 
0В
1В
 100%  10 % .
При V=10 В получаем: V 
10 В
Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений
напряжения рассчитываются аналогично.
Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий
столбец.
Для расчета значений приведенной погрешности будем использовать формулу:
V
V 
 100% .
VN
Предварительно определим нормирующее значение VN.
Так как диапазон измерений вольтметра – (0…100) В, то шкала вольтметра содержит
нулевую отметку, следовательно, за нормирующее значение принимаем размах шкалы
прибора, т. е.
VN  100 В  0 В  100 В .
Так как величины V и VN постоянны при любых измеренных значениях
напряжения, то величина приведенной погрешности так же постоянна и составляет
1В
V 
 100%  1% .
100 В
Это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.
По данным таблицы 1 строим графики зависимостей абсолютной V, относительной
V и приведенной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 1).
В данном случае графики зависимостей абсолютной и приведенной погрешностей
сливаются друг с другом и представляют собой горизонтальные прямые линии. График
зависимости относительной погрешности представляет собой гиперболу.
1
Внимание: так как диапазон измерений прибора – (0…100) В, то за пределы этого
диапазона построенные графики не должны выходить.
Таблица 1.1. Результаты
расчета значений
погрешностей
V, V, V, V,
В
В
%
%
1
2
3
4
0
1
1

10
1 10,00 1
20
1
5,00
1
40
1
2,50
1
50
1
2,00
1
60
1
1,67
1
80
1
1,25
1
100 1
1,00
1
V, В; V, %; V, %
10
V=f2(V)
8
V=f3(V)
6
V=f1(V)
4
2
V, В
0
20
40
60
80
100
Рис. 1.1. Графики зависимостей абсолютной,
относительной и приведенной погрешностей от
результата измерений
Вычисление погрешностей при различных способах задания классов точности
средств измерений
Пример решения задачи
Задача 2. Амперметром класса точности 2.0 со шкалой (0…50) А измерены значения
тока 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 (А). Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и
приведенной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в
виде таблицы и графиков.
Решение
Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.1), в столбцы которой
будем записывать измеренные значения I, абсолютные I, относительные I и приведенные
I погрешности.
В первый столбец записываем заданные в условии
Таблица 2.1. Результаты расчета
задачи измеренные значения тока: 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А.
значений погрешностей
Класс точности амперметра задан числом без кружка,
следовательно, приведенная погрешность, выраженная в
I,
I,
I,
I, %
процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по
A
A
%
1
2
3
4
модулю класса точности, т.е. |I|2%.
0
1
2

При решении задачи рассмотрим худший случай
5
1
20
2
|I|=2%, когда приведенная погрешность принимает
10
1
10
2
максимальное по абсолютной величине значение, что
20
1
5
2
25
соответствует I=+2% и I=-2%.
1
4
2
30
1 3,33
2
Данные значения приведенной погрешности заносим
40
1
2,5
2
в четвертый столбец таблицы 2.1.
50
1
2
2
Рассчитаем значения абсолютной погрешности.
I
 100% выражаем абсолютную
Из формулы I 
IN
I  I N
погрешность I 
. За нормирующее значение IN принимаем размах шкалы, т.к.
100%
шкала амперметра содержит нулевую отметку, т. е. IN=|50 А – 0 А| = 50 А.
2
 2%  50 A
 1 A во всех точках шкалы
100%
прибора. Заносим данное значение во второй столбец таблицы.
Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле
I
1A
I 
 100% . При I=0 A получаем: I 
 100%   . При I=5 A получаем:
I
0A
1A
I 
 100%  20 % .
5A
Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений тока
рассчитываются аналогично.
Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий
столбец.
По данным таблицы 2.1, учитывая, что погрешности могут быть как
положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной I,
относительной I и приведенной I погрешностей от результата измерений I (см. рис. 2).
Абсолютная погрешность равна I 
I, A; I, %; I, %
мажоранта
20
I=±f2(I
)
15
I=±f1(I
)
I=±f3(I)
10
5
I, А
0
10
20
30
40
50
-5
-10
-15
миноранта
-20
Рис. 2. Графики зависимостей абсолютной, относительной и приведенной
погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими аддитивными
погрешностями
Задача 3. Вольтметром класса точности 0,5
со шкалой (0…100) В измерены
значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать зависимости абсолютной и
относительной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде
таблицы и графиков.
3
Решение
Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.2), в столбцы которой
будем записывать измеренные значения V, абсолютные V и относительные V
погрешности.
В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока:
0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).
Класс точности вольтметра задан числом в кружке, следовательно, относительная
погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по
модулю класса точности, т.е. |V|0,5%.
При решении задачи рассмотрим худший случай, т.е. |V|=0,5%, что соответствует
значениям V=+0,5% и V=-0,5%
Примем во внимание опыт решения задачи 5.2., из которого видно, что результаты
вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей,
численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". Поэтому
дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений
относительной погрешности V=0,5%, но при этом будем помнить, что все значения
второго и третьего столбцов таблицы 2.2. могут принимать и отрицательные значения.
Значение относительной погрешности V=0,5% заносим в
Таблица 2.2. Результаты
третий столбец таблицы.
расчета значений
Рассчитаем значения абсолютной погрешности.
погрешностей
V
V,
V, V,
 100% выражаем абсолютную
Из формулы V 
В
В
%
V
1
2
3
погрешность:
0
0
0,5
V  V
10
0,05 0,5
V 
.
20
0,1
0,5
100%
40
0,2
0,5
0,5%  0 В
50
0,25 0,5
 0В.
При V=0 В получаем: V 
60
0,3
0,5
100%
80
0,4
0,5
При V=10 В получаем:
100 0,5
0,5
0,5%  10 В
V 
 0,05 В .
100%
Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений
напряжения рассчитываются аналогично.
Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй
столбец.
По данным таблицы 2.2, учитывая, что погрешности могут быть как
положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной V и
относительной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 3).
4
V, B
V, %
0,5
0,4
мажоранты
0,3
0,2
0,1
V=±f1(V)
V=±f2(V)
0
20
40
60
80
100
V, B
-0,1
-0,2
-0,3
миноранты
-0,4
-0,5
Рис. 3. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от
результата измерений для прибора с преобладающими мультипликативными погрешностями
Задача 4. Цифровым омметром класса точности 1.0/0.5 со шкалой (0…1000) Ом
измерены значения сопротивления 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом). Рассчитать
зависимости абсолютной и относительной основных погрешностей от результата измерений.
Результаты представить в виде таблицы и графиков.
Решение
Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.3), в столбцы которой
будем записывать измеренные значения R, абсолютные R и относительные R
погрешности.
В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения
сопротивления: 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом).
Класс точности вольтметра задан в виде двух чисел, разделенных косой чертой.
Следовательно, относительная погрешность, выраженная в
Таблица 2.3. Результаты
расчета значений
процентах, во всех точках шкалы должна удовлетворять
погрешностей
следующему соотношению:
R  a  b   Rк R  1 , %.
R,
R,
R,
Ом
Ом
%
В данном случае, а=1,0; b=0,5; Rк=1000 Ом, причем
1
2
3
параметры этой формулы а и b ответственны, соответственно, за
0
5,0

мультипликативную и аддитивную составляющие суммарной
100
5,5 5,500
погрешности.
200
6,0 3,000
400
7,0 1,750
Таким образом, получаем:
500
7,5 1,500
R  1,0  0,5  1000 R  1.
600
8,0 1,333
800
9,0 1,125
При решении задачи рассмотрим худший случай
1000 10,0 1,000
R  1,0  0,5  1000 R  1,
5
что соответствует значениям R  1,0  0,5  1000 R  1.
Примем во внимание опыт решения задачи 5.2, из которого видно, что результаты
вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей,
численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". поэтому
дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений
относительной погрешности R  1,0  0,5  1000 R  1 , но при этом будем помнить, что
все значения второго и третьего столбцов таблицы 2.3 могут принимать и отрицательные
значения.
Рассчитаем значения относительной погрешности.
При R=0 Ом получаем: R  1,0  0,5  1000 0  1   .
При R=100 Ом получаем: R  1,0  0,5  1000 100  1  5,5% .
Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений
сопротивления рассчитываются аналогично.
Полученные значения относительной погрешности заносим в третий столбец
таблицы 2.3.
Рассчитаем значения абсолютной погрешности.
R
 100% выражаем абсолютную погрешность
Из формулы R 
R
R R
0
R 
. При R=0 Ом получаем: R 
– неопределенность.
100%
100%
R, Ом
R, %
мажоранты
10
8
R=±f1(R)
4
R=±f2(R)
2
0
200
400
500
800
1000 R, Ом
-2
-4
-6
-8
миноранты
-10
6
Рис. 4. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от
результата измерений для прибора с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными
погрешностями
Искомое значение R можно определить следующим образом. Так как класс
точности прибора задан в виде двух чисел, то у данного прибора аддитивные и
мультипликативные погрешности соизмеримы. При R=0 Ом мультипликативная
составляющая погрешность равна нулю, значит, общая погрешность в этой точке
обусловлена только аддитивной составляющей. Аддитивную составляющую представляет
второе из чисел, задающих класс точности, т.е. в данном случае число b=0,5. Это означает,
что аддитивная погрешность составляет 0,5% от верхнего предела измерений прибора, т.е. от
Rк=1000 Ом.
b  Rк 0,5%  1000 Ом

 5 Ом .
Таким образом, при R=0 имеем R 
100%
100%
R  R 5,5%  100 Ом

 5,5 Ом .
При R=100 Ом получаем R 
100%
100%
3 %  200 Ом
 6 Ом .
При R=200 Ом получаем R 
100%
Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений
сопротивления рассчитываются аналогично. Полученные таким образом значения
абсолютной погрешности заносим во второй столбец таблицы 2.3.
По данным таблицы 2.3, учитывая, что погрешности могут быть как
положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной R и
относительной R погрешностей от результата измерений R (см. рис. 4).
7