Вариант 2. m=0, n=2, k=1. Задание 1 Постановка задачи. Определить количество органических и сложных минеральных удобрений для разбрасывания на (20+1) га лугопастбищных угодий таким образом, чтобы полная стоимость вносимых удобрений была минимальной. Предполагается внести на луг не менее (80-0) кг/га азота, (20+2) кг/га фосфора и (30+0+2) кг/га калия. Производительность труда при разбрасывании органического удобрения может составлять (10+2) т/час, а сложного удобрения – (0,4+0,1*0) т/час. Общее время на работы не должно превышать 25 часов Стоимость и химический состав удобрений приведены в таблице. Стоимость и химический состав удобрений Стоимость, Азот, Удобрение руб/т кг/т Органическое удобрение 126 7 Сложное удобрение 6490 220 Экономико-математическая модель задачи: Фосфор, кг/т 1,5 100 Калий, кг/т 3 100 Нам необходимо найти оптимальный объем внесенных удобрений, цена которых будет стремиться к минимуму 𝐹 = 126 ∗ 𝑥1 + 6490 ∗ 𝑥2 → 𝒎𝒊𝒏 при следующих ограничениях: Ограничения на значения переменных накладываются, во-первых, соображениями агронома о минимальных нормах внесения азота (80 кг/га), фосфора (22 кг/га) и калия (32 кг/га) и, во-вторых, ресурсом времени (25 ч), выделенным на выполнение всех работ. Рассмотрим сначала ограничение на нормы внесения азота. В 1 т органического удобрения содержится 7 кг, а в 1 т сложных удобрений — 220 кг азота, то есть всего в органическом удобрении содержится 7х1 кг, а в сложных удобрениях 220х2 кг азота. Т.е., общее количество азота, вносимого на угодья, составляет 7х1 + 220х2 и это суммарное количество не должно быть меньше 1680 кг, так как минимальная норма внесения — 80 кг/га, а площадь угодий — 21 га. Поэтому ограничения по азоту можно записать в виде: 7х1 + 220х2 ≥ 1680 Подобным образом составим ограничения по фосфору: 1,5х1 + 100х2 ≥ 462 и калию: 3х1 + 100х2 ≥ 672 Учтём, что у нас имеется – ограничение по ресурсу времени. Агроном разбрасывает органические удобрения с производительностью 12 т/ч и вносит сложные сложное удобрение с производительностью 0,5 т/ч. Общее время, х х необходимое для выполнения этой работы, составляет 1 + 2 и не должно 12 0,5 превышать 25 часов. Представим все ограничения системой неравенств: 7х1 + 220х2 ≥ 1680 1,5х1 + 100х2 ≥ 462 3х1 + 100х2 ≥ 672 0,083х1 + 2х2 ≤ 25 𝑥1 ≥ 0 𝑥2 ≥ 0 После построения математической модели, введем исходные данные в табличный редактор Excel, получим следующее: Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов, обновленный вид рабочего листа: Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения: Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет следующий вид: Таким образом стоимость необходимых удобрений 35122,22 руб достигается при внесении в землю 179,35т органических удобрений и 1,93т сложного удобрения. Задание 2 Постановка задачи. Найти оптимальный план выпуска различных видов продукции, если прибыль, полученная от реализации продукта П1 равна (2+1), от П2 – (3+1) условной единицы. Запасы и число единиц ресурсов, затраченных на изготовление одного вида продукции, заданы в таблице. Запасы ресурсов и их расход при изготовлении единицы продукции. Число единиц ресурсов, затраченных на изготовление одной единицы продукции П1 П2 1 3 4 1 0 1 5 0 Вид Запас ресурса ресурса Р1 Р2 Р3 Р4 20 16 5 19 Т.е. необходимо определить оптимальный план производства для достижения предприятием максимальной прибыли. Экономико-математическая модель задачи: 𝐹 = 3 ∗ 𝑥1 + 4 ∗ 𝑥2 → 𝒎𝒂𝒙 при ограничениях 1 ∗ 𝑥1 + 3 ∗ 𝑥2 ≤ 20 4 ∗ 𝑥1 + 1 ∗ 𝑥2 ≤ 16 0 ∗ 𝑥1 + 1 ∗ 𝑥2 ≤ 5 5 ∗ 𝑥1 + 0 ∗ 𝑥2 ≤ 19 𝑥1 ≥ 0 𝑥2 ≥ 0 После построения математической модели, введем исходные данные в табличный редактор Excel, получим следующее: Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов, обновленный вид рабочего листа: Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения: Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет следующий вид: Таким образом максимальная прибыль предприятия 28,25 у.е достигается при выпуске 2,75 шт товара П1 и 5 шт товара П2. Задание 3 Постановка задачи. На трех базах A1, A2, A3 находится однородный груз в количестве a1, a2, a3 тонн. Этот груз необходимо развести четырем потребителям B1, B2, B3, B4, потребности которых в данном грузе составляют b1, b2, b3, b4 тонн соответственно. Стоимость перевозок единицы продукции от i-го поставщика к j-му потребителю cij известны (таблица). Требуется установить такие объемы перевозок xij от каждого поставщика к каждому потребителю, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальными и потребности всех потребителей были удовлетворены. Запасы груза, объемы потребностей потребителей и стоимости транспортных перевозок. Поставщики А1 А2 А3 Потребности Потребители В1 В2 5 8 7 10 14 13 176 44 В3 15 4 17 157 В4 18 5 10 123 Запасы 140 160 200 500 В данном примере, сумма потребностей (176+44+157+123=500) и сумма запасов (140+160+200) равны, следовательно – модель закрытая. Экономико-математическая модель задачи: 𝐹 = 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 + 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 + 𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 → 𝒎𝒊𝒏 при ограничениях 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 = 140 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 = 160 𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 = 200 𝑥11 + 𝑥21 +𝑥31 = 176 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 44 причем x11 ≥ 0, x12 ≥ 0,..., x34 ≥ 0 𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 = 157 𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 = 123 После построения математической модели, введем исходные данные в табличный редактор Excel, получим следующее: Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов, обновленный вид рабочего листа: Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения: Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет следующий вид: Таким образом минимальная стоимость доставки в соответствии с потребностями потребителей имеет значение 3613 ден.ед при условии доставки клиенту В1: 140 шт товара со склада А1, 3 шт товара со склада А2, 33 шт товара со склада А1; клиенту В2: 44 шт товара со склада А3; клиенту В3: 157 шт товара со склада А2; клиенту В4 123 шт товара со склада А3.
