[Bulanzhe G.V., Gushin I.A. i dr.] Inzhenernaya gr(b-ok.xyz)(1)

F.B, БУЛАНЖЕ И.А. ГУЩИН В.А. ГОНЧАРОВА ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Серия: Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств Редакционная коллегия: Член-корреспондент РАН Ю.М. Соломенцев - Г.В. БУЛАНЖЕ И.А. ГУЩИН В.А. ГОНЧАРОВА ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Под редакцией Ю.М. Соломенцева Допущено Учебно-методическим объединением вузов по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО AM) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и специальностям: «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Инструментальные системы машиностроительных производств» (направление подготовки дипломированных специалистов «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»); «Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)» (направление подготовки дипломированных специалистов - «Автоматизированные технологии и производства») Москва «Высшая школа» 2003 УДК 744 ББК 30.11 Б 90 Рецензенты: чл.-корр. Академии проблем качества, зав. кафедрой информационного обеспе чения компьютерных технологий, проф. Н.И. Касаткин (Московская государст венная академия приборостроения и информатики); зав. кафедрой инженерной графики, доцент В.В. Новиков (Московский государственный университет ин женерной экологии) Буланже, Г.В. Б 90 Инженерная графика. Проецирование геометрических тел: Учеб. пособие для вузов/Г.В. Буланже, И.А. Гущин, В.А. Гон чарова; Под ред. Ю.М. Соломенцева.— М.: Высш. шк., 2003.— 184 с.: ил. ISBN 5-06-004268-5 Изложена методика построения проекций усеченных геометрических тел, полых геометрических тел с отверстиями и вырезами, а также выполнения ра циональных разрезов и построения наклонных сечений; рассмотрены способы создания твердотельных моделей геометрических тел разнообразной формы с помощью системы автоматического проектирования и черчения Auto CAD 2000; приведены варианты заданий для выполнения графических работ. Для студентов машиностроительных специальностей вузов. УДК 744 ББК 30.11 Учебное издание Градислава Владимировна Буланже, Игорь Александрович Гущин, Вера Алексеевна Гончарова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Редактор В.А. Козлов. Художник В.А. Казак. Художественный редактор З.Е. Анфиногенова. Технический редактор Н.В. Быкова. Корректоры В.А. Жилкина, НЕ. Жданова. Компьютерная верстка ОМ . Чернова Лицензия ИД № 06236 от 09.11.01. Изд. № ОТМ-72. Сдано в набор 15.10.02. Подп. в печать 16.12.02. Формат 6 0 х 8 8 ’/ 16. Бум. газетн. Гарнитура «Таймс». Печать офсетн. Объем 11,27 уел. печ. л. 11,77 уел. кр.-отт. 10,10 уч. изд. л. Тираж 6000 экз. Зак. № 300 ФГУП «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14. Факс: 200-03-01, 200-06-87 E-mail: v.shkola@relcom.ru http://www.v-shkola.ru Отдел реализации. (095) 200-07-69, 200-59-39, факс: (095) 200-03-01. E-mail: sales@v-shkola.ru Отдел «Книга-почтой». (095) 200-33-36. E-mail: bookpost@v-shkola.ru Набрано на персональном компьютере издательства. Отпечатано в ОАО «Оригинал». 101990, Москва, Центр, Хохловский пер., 7—9, стр. 1— 7. ISBN 5-06-004268-5 ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2003 Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается. ПРЕДИСЛОВИЕ При выполнении чертежей деталей станков, приборов, аппара тов и машин-автоматов, состоящих из сочетаний элементов геомет рических тел и поверхностей со сложными отверстиями и выреза ми, применяют особые приемы построений, изложенные в учебном пособии. В разделах 1 и 2 изложена методика построения проекций усе ченных геометрических тел, полых геометрических тел с отверстия ми и вырезами, а также выполнения рациональных разрезов и по строения наклонных сечений. При изложении материала в каждом разделе приведены общие рекомендации, относящиеся к излагаемому вопросу. Построение проекций различных геометрических тел выполнено с учетом стан дартов ЕСКД и приемов, излагаемых в курсе начертательной гео метрии. Соответственно при изложении материала использованы терминология и обозначения, предусмотренные как стандартами ЕСКД, так и принятые в начертательной геометрии. В разделе 3 рассмотрены способы создания твердотельных мо делей геометрических тел разнообразной формы и приведены при меры визуализации и анимации трехмерных объектов. Для создания графической информационной модели использована система авто матизированного проектирования Auto CAD 2000. В разделе 4 помещены чертежи вариантов заданий, предлагае мых для выполнения графических работ. Учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами методики проецирования геометрических тел. При напи сании пособия использованы многолетний опыт преподавания проек ционного черчения на кафедре «Инженерная графика» МГТУ «Станкин» и методические пособия по проекционному черчению, написан ные Г.В. Буланже и А.Г. Леоновой. Авторы выражают свою искрен нюю признательность преподавателю кафедры «Инженерная графи ка» МГТУ «Станкин» М.А. Расторгуеву за осуществление компью терного набора многочисленных иллюстраций учебного пособия. Авторы 3 1. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ В проекционном черчении чертежи выполняют по правилам, со держащимся в комплексе государственных стандартов, называемым «Единая система конструкторской документации» (ЕСКД). Все чертежи должны иметь определенный размер — ф о р м а т в соответствии с ГОСТ 2.301—68. Форматы листов определяются размерами внешней рамки, выполненной сплошной тонкой линией (рис. 1). Задания, приведенные в пособии, рассчитаны только на форматы с размерами сторон 297 х 420 (АЗ) и 210 х 297 (А4). Внут ри формата толстой линией чертят рамку на расстоянии 20 мм от его левой стороны (поле для подшивки чертежа) и 5 мм от осталь ных сторон. В правом нижнем углу формата помещают основную надпись, а в левом верхнем углу — дополнительную графу. Пло щадь внутри рамки, оставшуюся после вычерчивания основной над писи и дополнительной графы, называют рабочим полем чертежа. Размеры и расположение граф о с н о в н о й н а д п и с и по форме I, установленной стандартом ГОСТ 2.104— 68, представлены на рис. 2. На учебных чертежах в курсе проекционного черчения заполняют лишь те графы основной надписи, которые отмечены но мерами в скобках. В этих графах указывают: в графе 1 — название геометрического тела; в графе 2 — обозначение чертежа; в графе 3 — масштаб изображений на чертеже; в графе 4 — название учебного заведения и кафедры; в дополнительной графе — обозначение чертежа, повернутое на 180°. При выполнении заданий все геометрические тела изображают в натуральную величину и в соответствии с ГОСТ 2.302—68 запи сывают в графе 3 основной надписи отношением 1:1. Изображения на чертежах выполняют различными линиями, на чертание, толщина и основное назначение которых установлены ГОСТ 2.303—68. Из всех типов линий, предусмотренных этим стандартом, для выполнения заданий необходимы следующие: 4 Дополнительная графа 70 £ 20 Формат АЗ Основная надпись 185 J2SL 70 Ж Формат А4 Основная надпись 210 Рис. 1 ос мл (2) кз fits1Шггттпшwivim 1ш НШЯШШШЯШШШШШЁ Пров. Е касса Масштаб ЗЁ (1) Лист 20 70 185 Рис. 2 (3) истов □ ' (4) 50 JO Тс сплошная толстая, сплошная тонкая, сплошная волнистая, штрихо вая, штрихпунктирная тонкая и разомкнутая. Правила изображения на чертежах любых предметов, в том чис ле геометрических тел, установлены ГОСТ 2.305—68. В этом стан дарте оговорено, что изображения предметов должны быть получе ны с помощью метода прямоугольного проецирования и за основ ные плоскости проекций приняты шесть граней куба. В проекционном черчении для построения изображений геомет рических тел в учебных целях используют лишь три грани куба (рис. 3). По стандарту изображения на этих гранях (плоскостях про екций) называют: вид спереди или главный вид {грань 7), вид сверху (грань 2), и вид слева (грань 3). Геометрические тела (изделия) ориентируют относительно плос костей проекций так, чтобы их основные измерения (длина, шири на, высота) были бы параллельны этим плоскостям. На построен ных изображениях рекомендуется показывать кроме видимых ли ний контура также невидимые, которые облегчают чтение чертежа. Для различных построений на чертежах геометрических тел удобно использовать систему прямоугольных координат, связанную непосредственно с телом (см. рис. 3). Координатные плоскости та кой системы обычно совмещают с плоскостями симметрии тела или с его гранями, параллельными плоскостям проекций. На чертежах геометрических тел эту систему координат задают ее проекциями или вводят мысленно. 6 Если на чертежах геометрических тел есть изображения разре зов и сечений, то по правилам, установленным ГОСТ 2.306—68, линии штриховки проводят под углом 45° к линиям рамки чертежа. При совпадении по направлению линий штриховки с линиями кон тура изображения или с его осевыми линиями их проводят под уг лом 30° или 60°. Линии штриховки могут иметь наклон влево или вправо, но в одну и ту же сторону на всех разрезах и сечениях, от носящихся к одному и тому же геометрическому телу. Размеры на чертежах наносят в соответствии с правилами, изло женными в ГОСТ 2.307—68. Размеры всегда отражают истинную величину предмета (геометрического тела) независимо от масштаба его изображения. Количество их должно быть таким, чтобы можно было полностью определить форму предмета, причем каждый раз мер на чертеже указывают только один раз. Для нанесения размеров на чертежах надо в соответствии ГОСТ 2.307—68 уметь проводить р а з м е р н ы е и в ы н о с н ы е л и н и и , чертить с т р е л к и , их ограничивающие, правильно указывать р а з м е р н ы е ч и с л а , знать у с л о в н ы е з н а ки и н а д п и с и . К о м п о н о в к а ч е р т е ж а — целесообразное размеще ние изображений, размеров и надписей на рабочем поле чертежа. Графический материал следует располагать так, чтобы полно стью использовать рабочее поле чертежа и не перегружать от дельные его места. Для этого перед началом работы над черте жом определяют количество и габаритные размеры изображений, которые предстоит начертить. Затем на рабочем поле чертежа на мечают положение будущих изображений в виде прямоугольни ков, стороны которых равны их габаритным размерам. При этом надо, по возможности, оставлять места для нанесения размеров и надписей. После такой предварительной работы приступают к выполнению чертежа. 1.2. МНОГОГРАННИКИ Многогранником называют геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Наиболее распростра ненными видами многогранников являются прямые призмы и пира миды. Элементы их поверхности обозначены на рис. 4 на примере призмы. 7 При сечении многогранников плоскостями получают п л о с к и е м н о г о у г о л ь н и к и , число сторон которых равно чис лу пересеченных граней. Стороны и вершины этих многоугольни ков представляют собой линии и точки пересечения граней и ребер многогранников с секущими плоскостями. Таким образом, решение задач на построение сечений многогранников плоскостями сводится к определению линии пересечения двух плоскостей и точки пересе чения прямой с плоскостью. 1.2.1. Призмы усеченные Форма многоугольника, полученного при сечении призмы плоскостью, зависит от ее положения относительно основания призмы. Секущая плоскость может быть параллельна, перпенди кулярна или наклонена к основанию призмы. Соответственно фигурами сечения будут: многоугольник, равный основанию призмы или его части; прямоугольник (в частном случае квад рат); многоугольник, повторяющий форму основания призмы или его части, но растянутую в продольном или поперечном на правлениях. Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении фронтально проецирующей плоско стью ос прямой треугольной призмы (рис. 5). По заданной фрон тальной проекции плоскости а (рис. 5, а) видно, что она наклонена к основаниям призмы и пересекает все ее боковые грани и верхнее основание, т. е. фигура сечения представляет собой четырехуголь ник (рис. 5, б). 8 Рис. 5 Решение примера начинают с вычерчивания двух заданных проекций призмы и построения ее вида слева (рис. 5, в). Затем на виде спереди изображают проекцию фигуры сечения и обознача ют ее вершины— А", В'\ С" и D" — точки пересечения плоско сти а с ребрами призмы. Для построения их горизонтальных и профильных проекций достаточно провести соответствующие ли нии проекционной связи, так как грани призмы и плоскость а за нимают частные положения. Дополнительную линию проводят лишь при построении профильной проекции точки А для перено са координаты Ya с плоскости п\ на плоскость яз. Далее на черте же строят линии пересечения граней призмы с плоскостью а, т. е. проекции сторон четырехугольника ABCD, и отмечают види 9 мость тех его сторон, изображения которых не совпадают с про екциями граней призмы. Фигура сечения изображена на основных плоскостях проекций ль Я2>лз с искажением. Ее истинную величину получают проециро ванием на дополнительную плоскость, параллельную плоскости а, выполняя одну замену плоскостей проекций. Новую ось проекций *1 совмещают со стороной С Д параллельной плоскости а, и от нее замеряют координаты у для точек А и В. Построение по заданной фронтальной проекции правильной усеченной четырехугольной призмы ее горизонтальной и про фильной проекций (рис. 6). Заданный вырез образован четырьмя плоскостями, перпендикулярными плоскости 712 (рис. 6, а)\ горизон- 10 тальной а, двумя профильными pi и Р2 и фронтально проецирую щей у. Эти плоскости пересекаются с гранями призмы и между со бой. Поэтому форма и размер фигур сечения зависят не только от положения названных плоскостей относительно оснований призмы, но и относительно друг друга (рис. 6, б). Выполнение чертежа начинают с построения трех проекций це лой призмы и фронтальной проекции заданного выреза (рис. 6, в). Усеченная призма симметрична относительно фронтальной плоско сти 5, что позволяет обозначить вершины фигур выреза, принадле жащие лишь передним граням призмы. Плоскости ос, Pi, Р2 и у пе ресекаются с этими гранями соответственно по отрезкам АВ, ВС, EF, CD и DE. На виде сверху проекции упомянутых отрезков рас положены на проекциях боковых граней призмы, занимающих го ризонтально проецирующее положение. Для построения профиль ных проекций точек А и Д принадлежащих боковым ребрам приз мы, достаточно провести горизонтальные линии проекционной свя зи, а для точек В, С и Е, F необходимо еще отложить их расстояния до плоскости симметрии 5. Полученные точки А"\ В"\ С'", Е”\ F" последовательно соединяют отрезками прямых и строят от резки, симметричные им относительно плоскости 5. Чертеж закан чивают изображением на видах сверху и слева линий пересечения заданных секущих плоскостей между собой и с верхним основани ем призмы, т. е. отрезков фронтально проецирующих прямых, про ходящих через точки В, С и Е, F Построение горизонтальной и профильной проекций усеченной призмы можно выполнять и в ином порядке, например, последова тельно строить на плоскостях проекций 7ti и щ изображения каж дой фигуры выреза, полученной при сечении призмы плоскостями: а (треугольник), Pi и Р2 (прямоугольники) и у (неправильный шес тиугольник). 1.2.2. Пирамиды усеченные Форма многоугольника, получаемого при сечении пирамиды плоскостью, также зависит от положения секущей плоскости отно сительно основания пирамиды. Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает ее по многоугольнику, подобному основанию. Если секущая плоскость перпендикулярна к основанию пирамиды, то в сечении получается многоугольник, число сторон которого равно количеству пересеченных ребер. Когда секущая 11 плоскость наклонена к основанию пирамиды, то полученный мно гоугольник имеет одинаковое с основанием количество сторон, но с иным соотношением размеров между ними. Кроме того, при нали чии нескольких секущих плоскостей упомянутые фигуры сечения могут быть неполными. Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении горизонтально проецирующей плоскостью а правильной шестиугольной пирамиды (рис. 7). Заданная плоскость а (рис. 7, а) расположена перпендикулярно к основанию пирамиды и пересекает его и две боковые грани. Таким образом, фигура сечения представляет собой четырехугольник (рис. 7, б). Рис. 7 12 На чертеже вначале строят три проекции пирамиды и горизонталь ную проекцию заданного сечения (рис. 7, в). На виде сверху обознача ют вершины фигуры сечения— точки А’, В1, С и ГУ пересечения плоскости а с ребрами пирамиды. С помощью вертикальных линий проекционной связи получают фронтальные проекции этих точек, а с помощью горизонтальных линий проекционной связи — профильные проекции В"', С" и ГУ". Для построения на виде слева точки А заме ряют ее координату УА. На видах спереди и слева построенные проек ции точек соединяют отрезками прямых и при обводке чертежа выде ляют видимые и невидимые стороны четырехугольника ABCD. Рис. 8 13 Истинную величину фигуры сечения, искаженную на плоско стях проекций тсь 7с2 и тс3, получают на дополнительной плоско сти, параллельной плоскости а. Новую ось проекций Х\ совмеща ют со стороной АВ, принадлежащей плоскости п\, и от нее откла дывают координаты z для точек В и С. На рис. 7, в ось х\ перене сена на свободный участок чертежа. Чтобы сохранить проекци онную связь между точками А \ В \ С , D' и А, В, С, D на оси Х\ откладывают отрезки AD = A'D', = А ’В', и 5*1СХ1= Я'С'. Построение по заданной фронтальной проекции правиль ной усеченной треугольной пирамиды ее горизонтальной и профильной проекций (рис. 8). Вырез на пирамиде образован тремя плоскостями, перпендикулярными плоскости Hi (рис. 8, а): фронтально проецирующей а , профильной Р и горизонтальной у. Фигурами, полученными при сечении пирамиды этими плоско стями, являются соответственно треугольники ABC, CDE и DEF (рис. 8, б). Порядок выполнения чертежей различных усеченных много гранников одинаков: строят три проекции целого тела, изобража ют на виде спереди данный вырез и обозначают фронтальные проекции вершин фигур сечения. Проделав эти построения для заданной усеченной пирамиды (рис. 8, в), определяют с помощью линий проекционной связи горизонтальные и профильные проек ции точек А, С и F, расположенных на боковых ребрах пирами ды, занимающих общее положение. Затем, используя вспомога тельные горизонтальные линии уровня, получают проекции то чек В, D и Е на виде сверху. Отрезок DE на видах сверху и слева изображен в истинную величину, так как он параллелен плоско стям проекций п\ и тгз. Это положение отрезка DE позволяет по строить профильную проекцию точки Д отложив от точки Е,п отрезок E'"D"' =E'D'. Чертеж заканчивают, соединяя отрезками прямых на видах сверху и слева проекции вершин треугольников ABC, CDE и DEF и отмечая при этом видимость их сторон. 1.3. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Телами вращения называют тела, ограниченные поверхностью вращения либо поверхностью вращения и плоскостью. Под поверхностью вращения понимают поверхность, полученную при враще нии какой-либо линии (прямой или кривой), называемой образую щей, вокруг неподвижной прямой — оси вращения. 14 Простейшими и наиболее распространенными телами вращения яв ляются прямые круговые цилиндры и конуса, а также шар. Элементы поверхности тел вращения обозначены на примере цилиндра (рис. 9, а). Изображения рассматриваемых геометрических тел на плоско стях, параллельных их оси вращения, ограничены образующими, называемыми очерковыми. Положение проекций таких образующих показано на примере конуса (рис. 9, б). Очерковые образующие по верхностей вращения на проекциях разграничивают видимую и не видимую части геометрических тел. Поэтому при построении про екций линий, принадлежащих поверхностям вращения, необходимо отмечать точки, расположенные на очерковых образующих. При сечении поверхностей вращения плоскостями многие из полученных фигур ограничены лекальными кривыми. Проекции та ких кривых строят по их опорным и промежуточным точкам. К опорным точкам относят вершины кривых, концы их осей и замы кающих хорд. Промежуточными называют те точки лекальных кривых, которые находятся между их опорными точками. 15 1.3.1. Цилиндры усеченные Форма фигуры сечения цилиндра плоскостью зависит от ее по ложения относительно оси вращения цилиндра. Секущая плоскость, например а, параллельная оси цилиндра (рис. 10, а), пересекает его по п р я м о у г о л ь н и к у . Если плоскость, например Р (рис. 10, б), перпендикулярна оси цилиндра, то фигурой сечения будет к р у г или его часть. Секущая плоскость, наклоненная к оси ци линдра, пересекает его по э л л и п с у или его части. При этом ве личина большой оси эллипса зависит от угла наклона секущей плоскости к оси цилиндра, а малая ось всегда равна его диаметру. Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении фронтально проецирующей плоско стью а прямого кругового цилиндра (рис. 11). Фронтально проеци рующая плоскость а наклонена к оси цилиндра (рис. 11, а) и пере секает все его образующие. Поэтому фигурой сечения является пол ный эллипс (рис. 11, б). 16 Рис. 11 На чертеже строят три проекции цилиндра и заданную фрон тальную проекцию сечения (рис. 11, в), на которой обозначают кон цы осей эллипса: большой — точки А, В и малой — точки С, D. За тем эти точки отмечают на видах сверху и слева. На плоскости щ изображения эллипса и цилиндрической поверхности совпадают, т. е. горизонтальная проекция эллипса — окружность. На виде слева проекцией эллипса является эллипс с большой осью C"D"’ и малой А”'В"'. Построение профильных проекций промежуточных точек эллипса, которых должно’быть 10— 12, показано на примере точек 17 7 и 2. Соединяя полученные точки, выделяют на виде слева види мую и невидимую части эллипса. Истинную величину эллипса определяют на дополнительной плоскости, параллельной секущей плоскости а. В данном примере новая ось Х\ совмещена с большой осью эллипса АВ и от нее отло жены отрезки, равные радиусу R цилиндра, для построения проек ций точек С, D и размеры полухорд для определения проекций промежуточных точек, например 1, 2, взятые с горизонтальной проекции. Построение по заданной фронтальной проекции усеченного прямого кругового цилиндра его горизонтальной и профильной про екций (рис. 12). Заданный вырез на цилиндре образован четырьмя Рис. 12 18 плоскостями, перпендикулярными плоскости л2 (рис. 12, а): гори зонтальными а ь а 2, профильной Р и фронтально проецирующей у. В результате пересечения этих плоскостей с цилиндром и между собой получаются два прямоугольника, сегмент круга и неполный эллипс (рис. 12, б). Решение примера начинают с построения трех проекций целого цилиндра и изображения на виде спереди данного выреза (рис. 12, в). Усеченный цилиндр имеет фронтальную плоскость симмет рии 6, поэтому точки, необходимые для построения проекций фи гур сечения, обозначены лишь на передней половине цилиндриче ской поверхности. На виде слева эти точки расположены на полу окружности— профильной проекции передней поверхности цилин дра. Точки А В " \ С D Е"\ F" получают, проведя соответст вующие линии проекционной связи. На виде сверху точки С и П также строят с помощью линий проекционной связи. Для определе ния положения точек А\ В' и Е\ F кроме проведения таких линий замеряют на виде слева их расстояние до плоскости симметрии 8 и переносят его на плоскость щ. Далее определяют горизонтальные проекции промежуточных точек эллипса (их построение см. рис. 11, в). На виде сверху строят точки, симметричные полученным от носительно плоскости 5, и соединяют их отрезками прямых и плав ной кривой. Чертеж заканчивают обводкой усеченного цилиндра с показом на нем видимых и невидимых линий. 1.3.2. Конуса усеченные При сечении прямого кругового конуса плоскостью простейши ми фигурами являются: р а в н о б е д р е н н ы й т р е у г о л ь н и к , если плоскость проходит через вершину конуса (рис. 13, а) или его, ось, и к р у г , когда плоскость перпендикулярна к оси ко нуса (рис. 13, б). При всех других положениях плоскости относи тельно оси конуса она пересекает коническую поверхность по ле кальной кривой. Секущая плоскость, параллельная двум образующим конуса, на пример SA и SB, пересекает коническую поверхность по г и п е р б о л е . При этом секущая плоскость может быть наклоненной к оси конуса (рис. 14, а) или быть параллельной ей (рис. 14, б). Ха рактерным признаком таких секущих плоскостей является то, что они пересекают обе полости конической поверхности. 19 Плоскость, параллельная одной из образующих конуса, на пример SC, пересекает коническую поверхность по п а р а б о л е (рис. 14, в). Секущая плоскость, параллельная одной обра зующей конуса, пересекает только одну полость конической по верхности, поэтому парабола, в отличие от гиперболы, имеет одну ветвь. В случае, когда секущая плоскость наклонена к оси конуса так, что пересекает все его образующие, фигурой сечения является эл липс с большой осью АВ и малой CD (рис. 15, а). Если же плос20 Рис. 14 Рис. 15 кость пересекает все образующие конической поверхности при про должении ее за пределами конуса, то фигура сечения представляет собой неполный эллипс (рис. 15, б). Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении конуса горизонтально проецирующей плоскостью а (рис. 16). Плоскость а и ось вращения конуса пер пендикулярны к плоскости п\ (рис. 16, а), следовательно, они па раллельны между собой и заданная плоскость а пересекает кониче скую поверхность по гиперболе. Фигура сечения представляет со бой часть плоскости, ограниченной гиперболой и замыкающей ее хордой (рис. 16, б). Рис. 16 22 На чертеже строят три проекции конуса и горизонтальную про екцию заданного сечения (рис. 16, в). На виде сверху определяют положение вершины гиперболы — точки А', которая находится в середине горизонтальной проекции фигуры сечения. Фронтальную А" и профильную А’" проекции вершины получают с помощью дуги радиуса RA, линий проекционной связи и координаты УА. Плоскость а пересекает основание конуса по хорде ВС. Проекции точки В отмечают без дополнительных линий. Для построения точ ки С на виде спереди проводят вертикальную линию проекционной связи, а на виде слева ее получают, отложив координату Yc. Затем находят точку расположенную на очерковой образующей фрон тальной проекции конуса и определяющую границу видимости ги перболы на виде спереди. Остальные точки гиперболы, лежащие между ее вершиной А и хордой ВС, являются промежуточными. Гипербола имеет ось сим метрии, от которой промежуточные точки одного уровня удалены на одинаковое расстояние, что позволяет уменьшить количество вспомогательных линий при определении их проекций. В качестве вспомогательных линий используют образующие конуса или ок ружности, проведенные на его поверхности. Для примера на рис. 16, в показано построение проекций промежуточных точек 1 и 2. Построенная гипербола расположена на той части конической поверхности, которая невидима на виде слева. Поэтому при обвод ке чертежа профильную проекцию кривой изображают штриховы ми линиями. Истинную величину фигуры сечения получают на дополнитель ной плоскости, параллельной плоскости а. Новая ось проекций х\ совмещена с хордой ВС, принадлежащей плоскости тсь и от нее за меряют координаты z точек гиперболы. Построение трех проекций контура сечения и его истинной величины при пересечении фронтально проецирующей плоско стью а прямого кругового конуса (рис. 17). По заданной фронталь ной проекции плоскости а (рис. 17, а) видно, что она наклонена к оси вращения конуса так, что пересекает все его образующие, т. е. фигурой сечения является эллипс (рис. 17, б). Построив три проекции конуса и фронтальную проекцию задан ного сечения, обозначают на ней концы осей эллипса (рис. 17, в): большой — точки А", В" и малой — точки С", D". Эллипс имеет две оси симметрии, поэтому точка С" = (£>") расположена в середине отрезка А”В". На видах сверху и слева точки А и В получают с по мощью линий проекционной связи. Горизонтальные проекции то 23 чек С и D отмечают на вспомогательной окружности, проведенной через них на поверхности конуса, а на виде слева точки С'" и D"' получают, отложив их расстояние от плоскости симметрии конуса р. Далее находят профильные проекции точек Е и F, расположен ные на очерковых образующих конуса и определяющие границу ви димости эллипса на виде слева. В последнюю очередь строят 10— 12 промежуточных точек эллипса. Определение их проекций аналогично построению проекций точек С и D. При обводке черте жа невидимую часть проекции эллипса на виде слева изображают штриховыми линиями. Рис. 17 24 Истинную величину эллипса, искаженного на плоскостях 7ГЬ я2, лз, определяют на дополнительной плоскости, параллельной секу щей плоскости а. Новую ось х\ совмещают с большой осью АВ эл липса, параллельной плоскости тг2, и от нее откладывают отрезки, равные полухордам эллипса, замеряя их на горизонтальной проек ции. Эллипс, как уже отмечалось, имеет две оси симметрии, поэто му, зная положение одной промежуточной точки, например 7, мож но построить еще три точки эллипса, симметричные ей относитель но этих осей, например точки 3, 4 и 5. Построение по заданной фронтальной проекции усеченного прямого кругового конуса его горизонтальной и профильной про екций (рис. 18). Заданные секущие плоскости перпендикулярны к плоскости 7с2 (рис. 18, а), поэтому по фронтальной проекции усе ченного конуса можно судить о том, по каким линиям пересекает каждая плоскость коническую поверхность (рис. 18, б). Фронтально проецирующая плоскость а проходит через вершину конуса и пере секает его по двум образующим. Горизонтальная плоскость Р, пер пендикулярная к оси вращения конуса, пересекает его поверхность по окружности. Еще одна плоскость — фронтально проецирующая плоскость у — параллельна очерковой образующей конуса, т. е. в сечении получается парабола. Решение примера выполняют в обычном порядке: строят три проекции целого конуса и фронтальную проекцию заданного выре за (рис. 18, в). Усеченный конус имеет фронтальную плоскость симметрии 5, поэтому точки фигур сечения, необходимые для по строения их проекций, обозначены только на передней поверхности конуса. На чертеже проекции этих точек получают с помощью та ких же вспомогательных линий и приемов, которые были разобра ны в предыдущих примерах (см. рис. 16 и 17). Поэтому ниже изло жена лишь последовательность определения на видах сверху и сле ва проекций обозначенных точек. Вначале определяют положение образующих конуса, получен ных при пересечении его с плоскостью а (образующая SA и сим метричная ей). Затем изображают горизонтальную и профильную проекции окружности, расположенной в плоскости Р, и проекции точек В и Д лежащих на ней и симметричных им. Построение па раболы начинают с определения проекций ее вершины — точки С и точки Е, принадлежащей очерковой образующей конуса на виде слева. Далее определяют положение проекций ее промежуточных точек, например точки 7 и симметричной ей. 25 Рис. 18 Чертеж заканчивают изображением линий пересечения плоскости Р с плоскостями а и у — отрезков фронтально проецирующих прямых, проходящих через точки В и D. На построенных проекциях усеченного конуса штриховыми линиями показывают невидимые части параболы. 1.3.3. Шары усеченные Фигурой сечения шара плоскостью является к р у г . Диаметр окружности сечения зависит от расстояния секущей плоскости до центра шара. Плоскость, проходящая через его центр, пересекает поверхность шара по окружности, диаметр которой равен диа26 метру шара. По мере удаления секущей плоскости от центра шара диаметр окружности, получающейся в сечении, уменьшает ся (рис. 19, а). Форма проекции окружности, расположенной на поверхности шара, зависит только от ее положения относительно плоскостей проекций. Такая окружность может быть параллельна, перпендику лярна или наклонена к плоскости проекций и соответственно будет проецироваться: в истинную величину; в виде отрезка, равного ее диаметру; эллипса. Если заданные плоскости пересекаются между собой, то фигуры сечения представляют собой неполные круги (рис. 19, б). Построение по заданной фронтальной проекции усеченного шара его горизонтальной и профильной проекций (рис. 20). Вы рез на шаре образован тремя плоскостями а , (3, у, перпендикуляр ными к плоскости проекций (рис. 20, а) и пересекающимися ме- 27 Рис. 20 жду собой таким образом, что в сечениях получаются неполные круги (рис. 20, б). На чертеже строят три проекции целого шара и фронтальную проекцию заданного выреза (рис. 20, в). Плоскости а и у являются плоскостями уровня (а || 7Гз, у || 7ti), поэтому части кругов, получаю щиеся при сечении ими шара, проецируются в истинную величину соответственно на видах слева и сверху. Профильная плоскость а пересекает поверхность шара по дуге окружности радиуса Ла, а го ризонтальная у — по дуге радиуса Ry. Профильные и горизонталь ные проекции этих дуг и ограничивающих их хорд АВ и CD полу 28 чают с помощью линий проекционной связи и расстояний точек А, В и С, D до плоскости симметрии шара 8. Фронтально проецирующая плоскость Р наклонена к плоско стям проекций я 1 и 7с3, в результате чего фигура сечения — часть круга — проецируется на них с искажением в виде неполного эл липса. Его большая ось EF равна диаметру шара, так как плос кость Р проходит через его центр. Промежуточные точки на видах сверху и слева, например точки 7 и 2, определяются с помощью вспомогательных окружностей, проведенных через них на поверх ности шара. Чертеж заканчивают обводкой видимых и невидимых линий на построенных проекциях усеченного шара. 1.4. ГРУППЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Группы геометрических тел могут состоять из сочетаний двух и более геометрических фигур или их частей. При этом геометриче ские тела, образующие группу, либо расположены порознь, либо соприкасаются друг с другом. Ниже рассматриваются группы второго типа, состоящие из трех геометрических тел, таких как прямые призмы и пирамиды, цилинд ры и конуса, шары. Описания построения проекций и сечений про ецирующими плоскостями перечисленных фигур имеются в преды дущих разделах. Их используют при выполнении проекций и на клонных сечений геометрических тел, объединенных в одну группу. Порядок вычерчивания проекций группы геометрических тел может быть разным. В одном случае полностью строят изображе ния всех тел, образующих группу, на виде спереди, затем на виде сверху и на виде слева, а в другом — последовательно строят три проекции каждого геометрического тела. Раздельное построение проекций геометрических тел предпочтительнее, так как при этом один и тот же размер, определяющий их форму, откладывают сразу на всех проекциях, что ускоряет и упрощает выполнение чертежа. Построение трех проекций и истинных величин фигур при сечении заданной группы геометрических тел произвольной про фильно проецирующей плоскостью (рис. 21, а). По заданным про екциям группы геометрических тел можно судить, что ее основани ем служит правильная шестиугольная призма, на которую поставле ны полуконус и примыкающая к нему четверть шара. 29 Работу над чертежом, согласно приведенным ранее рекомендаци ям, начинают с определения габаритных размеров группы на всех видах и положения ее вертикальной оси. Далее последовательно строят три проекции шестиугольной призмы (рис. 21, б) полу конуса (рис. 21, в) и четверти шара (рис. 21, г). На рис. 21, в, г контуром выделены только те линии, которые дополняют предыдущий чертеж. После окончания всех построений на виде слева задают секущую профильно проецирующую плоскость а (рис. 22). Положение плос кости а выбрано таким, что она пересекает все три геометрические тела и равнонаклонена к плоскостям проекций П2 и щ. В результате пересечения данных геометрических тел с плоскостью а получаются 30 три соприкасающиеся фигуры, имеющие общую ось симметрии. Раз дельное построение проекций и истинных величин этих фигур пока зано на рис. 23. Плоскость а наклонена к оси вращения конуса так, что пересе кает коническую поверхность по эллипсу (рис. 23, а), а полуконус — по его части, меньшей половины эллипса. Проекции фигуры сечения строят по точке А — концу большой оси эллипса, замыкаю щей хорде ВС и промежуточным точкам эллипса, количество кото рых должно быть достаточным для того, чтобы получить плавную кривую. На видах спереди и сверху фигура сечения проецируется в виде части эллипса с одинаковым искажением, но изображается со ответственно невидимыми и видимыми линиями. Истинную величину фигуры сечения получают на дополнитель ной плоскости, параллельной плоскости а, откладывая от ее оси симметрии полухорды эллипса, взятые с его фронтальной проекции. 31 Рис. 23 Профильно проецирующая плоскость а пересекает поверхность шара по дуге окружности радиуса Ra (рис. 23, б). Для определения его размера из центра шара опускают перпендикуляр на плоскость а и продолжают очерк шара до пересечения с ее профильной про екцией. Фигура сечения представляет собой часть круга, ограни ченную с двух сторон его диаметра одинаковыми хордами. Дуги окружности радиуса Ra проецируются на фронтальной и горизон тальной проекциях в виде одинаковых частей эллипса. Истинную величину фигуры сечения определяют на дополнительной плоско сти с помощью линий проекционной связи и дуг радиуса Ra. 32 Шестиугольную призму плоскость а пересекает по переднему ребру ее нижнего основания, примыкающим к нему боковым гра ням и верхнему основанию (рис. 23, в). Фигура сечения представля ет собой равнобочную трапецию. Определение ее проекций и ис тинной величины подробно показано на рис. 23, в. Штриховку фигур сечения выполняют по правилам, изложен ным в ГОСТ 2.306—68, выбирая такое направление штриховки для каждой фигуры, чтобы избежать совпадения ее линий с линиями контура или осью симметрии. Кроме того, интервалы между линия ми штриховки задаются разными. 1.5. ЗАДАНИЯ НА ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ 1.5.1. Задания на построение проекций усеченных геометрических тел Все задания на построение проекций усеченных геометрических тел выполняют на листах формата А4 (210 х 297) и они имеют оди наковое содержание: построить три проекции заданного геометри ческого тела и нанести размеры. З а д а н и е 1. Усеченная призма (с. 131— 134)1 З а д а н и е 2. Усеченная пирамида (с. 135— 138). З а д а н и е 3. Усеченный цилиндр (с. 139— 142). З а д а н и е 4. Усеченный конус (с. 143— 146). З а д а н и е 5. Усеченный шар (с. 147— 150). При выполнении заданий рекомендуется придерживаться такой последовательности. 1. Определить по положению заданных секущих плоскостей от носительно основания многогранника или оси вращения геометри ческого тела формы фигур сечения. 2. Начертить тонкими линиями три проекции целого геометри ческого тела и заданную проекцию выреза. 3. Построить проекции точек фигур сечения, которые можно получить с помощью линий проекционной связи. К ним относятся точки, лежащие на ребрах многогранника или на очерковых обра зующих тела вращения. 'Здесь и далее в скобках указаны номера страниц, на которых помещены чертежи вариантов данного задания. 2-300 33 4. Определить проекции тех точек фигур выреза, для построения которых необходимо кроме линий проекционной связи проводить вспомогательные линии на поверхности геометрического тела — ли нии уровня, образующие, окружности — и замерять расстояния до плоскости координат или симметрии. Вспомогательные линии прово дят при построении проекций точек, расположенных на гранях обще го положения многогранника или промежуточных точек лекальных кривых. 5. Соединить отрезками прямых вершины построенного много угольника или обвести плавной линией полученные точки лекаль ной кривой. Построить проекции линий пересечения плоскостей, образующих заданный вырез. 6. После окончания всех построений с чертежа усеченного гео метрического тела удаляют вспомогательные линии, обводят види мый и невидимый контуры, тонкими сплошными линиями изобра жают его отсеченную часть и наносят размеры (рис. 24). 34 1.5.2. Задание на построение проекций группы геометрических тел З а д а н и е 6. Группа геометрических тел (с. 151— 154). Построить три проекции заданной группы геометрических тел, нанести на них изображения фигур наклонных сечений и определить их ис тинную величину1. Задание выполняют на листе формата А4, придерживаясь по следовательности, изложенной в предыдущем примере (см. рис. 21—23). Пример чертежа данного задания представлен на рис. 25. На нем истинные величины соприкасающихся фигур сечения ‘Положение проецирующей плоскости, пересекающей все три геометрические тела, задается преподавателем. 35 расположены со смещением относительно плоскости а. Чтобы в этом случае не нарушать проекционную связь между точками, по которым строят фигуры сечения, надо сохранять равенство соот ветствующих отрезков на заданной и дополнительной проекциях (см. рис. 7, в). 2. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ОТВЕРСТИЯМИ 2.1. РАЗРЕЗЫ И СЕЧЕНИЯ На чертежах геометрических тел с отверстиями необходимо изо бражать не только их внешний вид, но и внутренние формы, которые показывают штриховыми линиями или выявляют с помощью разрезов и сечений. Последним приемам следует отдавать предпочтение, так как большое количество штриховых линий может затруднить чтение чертежа. Правила выполнения и обозначения разрезов и сечений уста новлены ГОСТ 2.305—68. Разрезом называют изображение предмета, мысленно рассеченно го одной или несколькими плоскостями. При этом мысленное рассече ние предмета относится только к данному разрезу и не влечет за со бой изменения других изображений того же предмета. Например, раз рез, изображенный на фронтальной проекции призмы (рис. 26), никак не отразился на ее профильной проекции. На разрезе показывают то, что получается в секущей плоскости и что расположено за ней. Разрезы в зависимости от положения секущей плоскости относитель но плоскости 7i1 делят на горизонтальные, вертикальные и наклонные. Горизонтальным называют разрез, образованный секущей плос костью, параллельной плоскости п\. Разрезы, образованные секущи ми плоскостями, перпендикулярными плоскости тсь называют верти кальными. Если при этом секущая плоскость параллельна плоскости п2 или п3, то вертикальный разрез называют соответственно фрон тальным или профильным. Разрез, образованный секущей плоско стью, составляющей с плоскостью 7ti угол, отличный от прямого, на зывают наклонным. 37 По числу секущих плоскостей разрезы разделяют на п р о с т ы е — при одной секущей плоскости и с л о ж н ы е , если раз рез образован несколькими секущими плоскостями1. На чертежах положение секущей плоскости отмечают разомкну той линией, называемой линией сечения (рис. 27). Толщина ее равна от 1 до 1,5 толщины контурной линии чертежа, а длина — пример но 8— 10 мм. Линия сечения не должна пересекать контур изобра жения. В 2—3 мм от ее начального и конечного штрихов в нее упи раются стрелки, указывающие направление взгляда. Рядом со стрелками ставится одна и та же прописная буква русского алфави та. Разрез на чертеже отмечают надписью по типу «А — А», кото рую помещают над изображением разреза. Горизонтальные, фронтальные и профильные разрезы можно помещать на месте соответствующих основных видов. Если секу щая плоскость совпадает с плоскостью симметрии геометрического тела (предмета), то для перечисленных выше разрезов ее положение на чертеже не отмечают и разрез не сопровождают надписью (см. рис. 26). 'При выполнении заданий данного раздела необходимо применять только простые разрезы. 38 А -А -1 v-z*4 -ф Щ1Л и Рис. 27 а) б) в) Щ Рис. 30 На одной проекции разрез нередко совмещают с видом. При этом, если проекция геометрического тела имеет ось симметрии, то она служит границей между ними. При вертикальной оси симмет рии разрез следует выполнять на правой половине проекции, а вид — на левой (рис. 28). Если же ось симметрии горизонтальна, то разрез изображают на нижней половине проекции (рис. 29). В тех случаях, когда с осью симметрии совпадает изображение ребра, разрез и вид разделяют сплошной волнистой линией (рис. 30). Волнистую линию проводят так, чтобы сохранить изображе ние наружного ребра (рис. 30, а) или внутреннего (рис. 30, б). При совпадении изображений наружного и внутреннего ребер волни стую линию можно провести так, как это показано на рис. 30, в. Разрез, ограниченный волнистой линией, применяют также для выявления внутренней формы тела в узко ограниченном месте (рис. 31). Такой разрез называют местным. На учебных чертежах нередко изображение внутренних форм геометрического тела с помощью разреза дополняют штриховыми линиями. Это может быть вызвано необходимо стью различных построений на внутренних поверхностях гео метрического тела (предмета), например при выполнении на клонных сечений. Сечением называют изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоско стями. На сечении показывают только то, что получается непосред ственно в секущей плоскости. Сечение является составной частью разреза (см. рис. 26 и 27), но может быть и самостоятельным изо бражением. Сечения, не входящие в состав разреза, разделяют на два вида: н а л о ж е н н ы е (рис. 32, а) и в ы н е с е н н ы е (рис. 32, б). Сравнение двух изображений одного и того же сечения на рис. 32 показывает, что при выполнении чертежа следует отдавать пред почтение вынесенному сечению. Для таких сечений приняты те же обозначения и надписи, что и для разрезов. б) * -i Рис. 31 А— А Рис. 32 40 2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА С ПРОДОЛЬНЫМ ОТВЕРСТИЕМ Отверстия, направленные вдоль длины или высоты предмета, называют продольными. Геометрические тела, о которых идет речь в данном разделе, имеют сквозные или глухие отверстия, направ ленные вдоль их высоты. Наружные и внутренние формы этих тел состоят из сочетания трех или четырех геометрических фигур, про ецирование которых было рассмотрено в первом разделе настояще го пособия. Построение трех проекций заданного геометрического тела с продольным отверстием и истинной величины сечения его фронтально проецирующей плоскостью (рис. 33). Заданное гео метрическое тело (рис. 33, а) представляет собой цилиндр, постав ленный на усеченный конус, внутри которых имеется глухое приз матическое отверстие (рис. 33, б). Выполнение чертежа начинают с определения положения вер тикальной оси OZ данного тела на плоскостях проекций п\, П2 и яз (рис. 33, в). Затем на этих же плоскостях последовательно строят изображения усеченного конуса, цилиндра и призматического от верстия. Далее на виде спереди наносят проекцию секущей плос кости, которая задана так, что пересекает все геометрические фи гуры, образующие данное тело. Таким образом, сечение имеет на ружный контур, состоящий из двух различных участков, и один внутренний. Истинную величину сечения получают, как обычно, на допол нительной плоскости, параллельной заданной. Вначале строят на ружный контур, полученный при сечении цилиндра, затем усечен ного конуса. После этого приступают к построению внутреннего контура, который получается при сечении призмы, и выполняют штриховку всего сечения. На виде слева выполняют профильный разрез, чтобы выявить внутреннюю форму геометрического тела. Секущая плоскость совпадает с профильной плоскостью симметрии а тела, поэтому ее положение на чертеже не отмечено ни линией сечения, ни надписью. При обводке чертежа на виде спереди сохранено изображение внутреннего отверстия, так как оно необходимо для построения на клонного сечения. 41 На рис. 34 показано определение истинной величины контура сечения раздельно для каждой геометрической фигуры тела, изо браженного на рис. 33. Секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и пересекает его поверхность и нижнее основание (рис. 34, а \ следовательно, фигу рой сечения является часть эллипса. Истинные размеры замыкаю щей ее хорды ВС и хорд для построения промежуточных точек эл липса определяют на виде сверху. Заданная плоскость пересекает поверхность усеченного конуса по параболе, так как она параллельна одной образующей конуса, а 42 Рис. 34 его верхнее и нижнее основания — соответственно по хордам ВС и DE (рис. 34, б). Промежуточные точки параболы строят с помощью вспомогательных окружностей, проведенных на поверхности кону са. На рис. 34, б для наглядности показано построение вершины па раболы. Внутреннее отверстие правильную треугольную призму се кущая плоскость пересекает по четырехугольнику FKLM (рис. 34, в). Его стороны получаются в результате пересечения боковых гра ней призмы (отрезки LK, KF, FM) и ее основания (отрезок LM) с за данной секущей плоскостью. 43 2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА С ПОПЕРЕЧНЫМ ОТВЕРСТИЕМ Поперечными называют отверстия, направленные перпендику лярно к длине или высоте предмета. В данной теме рассматриваются геометрические тела, имею щие сквозные поперечные отверстия — окна и вырезы, ограни ченные отсеками плоскостей, расположенных перпендикулярно к фронтальной плоскости проекций 7x2 . Поэтому отверстия задают на виде спереди, на котором их форма изображена без искаже ния. На видах сверху и слева построение проекции отверстий сводится к нахождению линий пересечения отсеков проецирую щих плоскостей с поверхностью геометрического тела и между собой. Построение трех проекций правильной шестиугольной приз мы с поперечным сквозным окном (рис. 35). Форма и положение сквозного окна относительно граней призмы показаны на рис. 35, а. Грани окна пересекаются со всеми боковыми гранями призмы по двум одинаковым замкнутым ломаным пространственным линиям, состоящим из отрезков прямых (рис. 35, б). Вначале чертят три проекции целой призмы и фронтальную проекцию окна (рис. 35, в). Призма вместе с окном имеет две вер тикальные плоскости симметрии (а || 712) и Р || 713), разделяющие ее на четыре равные части. Таким образом, можно рассматривать по строение линий пересечения граней окна только с одной частью призмы, например, передней левой (грани / и II на рис. 35, б). На виде спереди концы отрезков этой части линий пересечения обозна чены точками А", В", С", D", Е" и F*. На виде сверху проекция ло маной линии ABCDEF расположена на горизонтальных проекциях граней I и "II. Боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости 7t1 и проецируются на нее в виде отрезков — сторон шестиугольни ка. Поэтому для определения положения точек А \ В\ С , D \ Ef и F достаточно провести через фронтальные проекции этих точек вер тикальные линии проекционной связи и продолжить их до пересе чения с отрезками Г и //'. На виде слева боковая грань /, параллельная плоскости п2, про ецируется в виде вертикального отрезка Этой грани принадле жат отрезки линий пересечения — АВ и EF. Их профильные проек ции получают с помощью горизонтальных линий проекционной связи. Для построения точек С" и кроме проведения горизон44 тальных линий проекционной связи, необходимо отложить на плос кости пз расстояние этих точек до плоскости симметрии а. Затем проводят ломаную линию B"C'D"'E'" и строят симметричную ей линию относительно плоскости а. Грани* окна пересекаются между собой по отрезкам фронтально проецирующих прямых, проходящих через точки излома линий пе ресечения. На горизонтальной и профильной проекциях эти отрез ки невидимы, так как находятся внутри призмы, поэтому их изо бражают штриховыми линиями. Построение истинной величины наклонного сечения правильной шестиугольной призмы профильно проецирующей плоскостью (рис. 45 35, г). Заданная плоскость пересекает наружные и внутренние поверх ности призмы, поэтому фигура сечения состоит из двух контуров. Истинную величину наклонного сечения определяют с помо щью проецирования его на дополнительную плоскость, параллель ную секущей плоскости. Фигура сечения имеет ось симметрии, ко торую проводят параллельно заданной секущей плоскости. Затем приступают к построению наружного контура сечения. На виде сле ва обозначают места пересечения заданной плоскости с боковыми ребрами призмы — точки 2"', 3"', 4'" и с ребрами ее нижнего основания — точки 5"', 6"'. Ширину сечения в отмеченных точках определяют по их фронтальным проекциям и переносят на дополг) Рис. 35.2 46 нительную плоскость с помощью отрезков 7" — 2" = 1 — 2, 3" — 4" = 3 — 4 и J" — 6" = 5 — 6. При этом в обе стороны от оси симметрии контура откладывают половину каждого отрезка. Для определения фронтальной проекции точек 5 и 6 можно вос пользоваться построениями, показанными на рис. 35, г. Они заклю чаются в том, что при пересечении всех боковых граней призмы фи гура сечения имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Построение внутреннего контура сечения (рис. 35, д) выполня ют в той же последовательности, что и внешнего. Отличие состоит лишь в том, что точки излома контура расположены на внутренней поверхности призмы. После окончания всех построений на виде слева выполняют про фильный разрез, чтобы открыть внутренние формы призмы. Секущая плоскость такого разреза совпадает с профильной плоскостью сим метрии Р призмы (см. рис. 35, в), поэтому на чертеже ее не обозна чают, а разрез не сопровождают надписью. На профильной проекции призмы есть вертикальная ось симметрии, что позволяет разрез со вместить с видом. На чертеже их разделяет волнистая линия, так как с осью симметрии совпадает изображение внешнего ребра призмы. В последнюю очередь на разрезе и на сечении наносят штриховку. Построение трех проекций правильной треугольной пирамиды с поперечным окном (рис. 36). По заданной фронтальной проекции пи рамиды видно, что окно пересекает все ее боковые грани (рис. 36, а). В результате пересечения граней окна и пирамиды получаются простран ственный четырехугольник и плоский треугольник (рис. 36, б). Выполнение чертежа начинают, как обычно, с построения трех проекций целой пирамиды и фронтальной проекции окна (рис. 36, в). Пирамида с окном имеет профильную плоскость симметрии а, поэтому обозначения точек, необходимых для объяснения построе ний, нанесены лишь на одной левой половине пирамиды. При определении на виде сверху проекций линий пересечения окна с боковыми гранями пирамиды используют вспомогательные горизонтальные плоскости Pi и Р2 . Их проводят через верхнюю грань окна и его нижнее ребро, которые параллельны плоскости щ. Плоскости Pi и р3 пересекают поверхность пирамиды по треуголь никам, подобным ее основанию. Горизонтальные проекции точек А, В, С, D и Е получают на пересечении вертикальных линий связи, проведенных через их фронтальные проекции A", B” = (D") и С" s (£") со сторонами построенных треугольников. Затем точки А\ В\ С и D \ Е9 соединяют отрезками прямых и строят им симмет ричные относительно плоскости а. 47 окно не показано На виде слева отмеченные точки получают на пересечении го ризонтальных линий проекционной связи с передним ребром пира миды (точки А"\ С'") и ее задней гранью, перпендикулярной к плоскости яз (точки D Е"). При определении положения точки В'" дополнительно откладывают расстояние, указанное на чертеже знаком «V», взятое с плоскости щ. Затем точки А'" и В"\ В'" и С'" соединяют прямыми и получают профильную проекцию линий пе ресечения окна с передними гранями пирамиды. В последнюю очередь строят проекции линий пересечения гра ней окна между собой — отрезков фронтально проецирующих пря мых. На видах сверху и слева они невидимы за исключением отрез ка СЕ, две части которого видны на горизонтальной проекции. 48 Построение истинной величины наклонного сечения правиль ной треугольной пирамиды горизонтально проецирующей плоско стью (рис. 36, г). Истинную величину сечения определяют на допол нительной плоскости, параллельной заданной и смещенной относи тельно нее на свободное место чертежа (см. рис. 36, г). Заданная плос кость пересекает наружную поверхность пирамиды и грани сквозного окна. Наружный контур сечения имеет форму треугольника 1 — 2 — 5, так как плоскость пересекает основание пирамиды и две ее боковые грани. На дополнительной плоскости вначале строят ниж нюю сторону треугольника — отрезок 1 — 3 - Г — 3'. Затем отклады вают от точки 3 расстояние, равное отрезку 2' — 3'. Из полученной Рис. 36.2 49 точки восставляют перпендикуляр к стороне 1 — 3 и откладывают на нем отрезок, равный высоте h2 точки 2. Построение наружного конту ра заканчивают проведением сторон треугольника 1 — 2 и 2 — 3. На внутреннем контуре сечения (см. рис. 36, д) сначала строят с помощью высоты Л4 линию пересечения заданной плоскости с верхней гранью окна — отрезок 4 — 5 = 4' — 5'. Затем определяют положение точки 6, расположенной под точкой 4 на высоте Л6. Для построения точки 7 используют дополнительный треугольник, сим метричный и равный треугольнику 4 — 5 — 6. Внутренняя поверхность пирамиды выявлена на виде слева. Се кущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии пирамиды а (см. рис. 36, в), поэтому на чертеже ее положение и профильный разрез не отмечены. Построение трех проекций прямого кругового цилиндра с по перечным сквозным окном (рис. 37). Плоские отсеки заданного окна, расположенные параллельно и перпендикулярно к оси цилин дра (рис. 37, а), пересекаются с его поверхностью по образующим и дугам (рис. 37, б). На чертеже строят три проекции цилиндра и фронтальную про екцию окна (рис. 37, в). Данное геометрическое тело имеет фрон тальную плоскость симметрии а, поэтому линии пересечения отсе ков окна с цилиндрической поверхностью обозначены только на од ной ее передней половине. Цилиндрическая поверхность располо жена перпендикулярно к плоскости проекций щ и проецируется на нее в виде окружности. Обозначенные точки принадлежат той час ти цилиндрической поверхности, профильной проекцией которой является правая половина окружности. Для построения на виде сле ва точек А, В, С, D, Е и F через их фронтальные проекции проводят горизонтальные линии проекционной связи, на пересечении кото рых с правой полуокружностью получают точки А'" = (В"'\ С" ее (£>"') и F" s (£'"). На виде сверху точки А9, В\ С , D9, Е9 и F определяют на пере сечении соответствующих вертикальных линий связи и расстояний названных точек от фронтальной плоскости симметрии цилиндра а, указанных на чертеже знаками «V» и «W». Затем строят горизон тальные проекции видимых линий пересечения — отрезки образую щих А9В9, C9D 9 и часть образующей E9F, а также проекции дуг, рас положенных на верхней половине цилиндра — части дуг A9F и D9E9 дугу В9С9. Далее вычерчивают изображение окна на задней по верхности цилиндра, симметричное относительно плоскости а, и 50 а) Окно б) определяют линии пересечения отсеков окна между собой, которые на горизонтальной и профильной проекциях изображают штрихо выми линиями. На чертеже цилиндра его внутренние поверхности выявлены с помощью профильного р а зр е за в — А. Заданный цилиндр не име ет профильной плоскости симметрии, поэтому на чертеже необхо димо об о зн ач и ть секущую плоскость и разрез. На виде слева раз рез совмещен с видом, так как профильная проекция цилиндра имеет вертикальную ось симметрии. У заданного цилиндра внут ренние поверхности могут быть также выявлены с помощью гори зонтального разреза, секущую плоскость которого проводят через ось цилиндра. 51 Построение истинной величины наклонного сечения прямого кругового цилиндра горизонтально проецирующей плоскостью (рис. 37, г). Истинную величину наклонного сечения получают на дополнительной плоскости, параллельной секущей и расположен ной с сохранением с ней линий проекционной связи. Заданная плоскость, наклоненная к оси цилиндра, пересекает цилиндрическую поверхность по неполному эллипсу и правое осно вание цилиндра по отрезку прямой. На дополнительной плоскости вначале строят полный эллипс. Его большую ось — отрезок 1 — 2 определяют на виде сверху, продолжив очерковые образующие ци линдра до пересечения с заданной плоскостью в точках Г и 2'. Ма лая ось эллипса — отрезок 3 — 4 — равна диаметру цилиндра. Се кущая плоскость составляет с осью цилиндра угол 45°, поэтому на фронтальной проекции эллипс проецируется в виде окружности. Это положение упрощает построение его промежуточных точек на дополнительной плоскости. Их строят по размерам, взятым на виде спереди, например, так определен размер хорды эллипса 5 — 6 = 5" — 6" . Построение внутреннего контура сечения начинают с обозначе ния на виде сверху точек, определяющих линии пересечения задан ной плоскости с гранями окна — точки 9', IV = (70') и (7 = 8f). За тем через эти точки проводят вертикальные линии проекционной связи и находят их фронтальные проекции. Далее через эти же точ ки проводят линии связи, перпендикулярные плоскости сечения. На линии проекционной связи, проведенной через точки ( 7 's 5'), от кладывают в обе стороны от большой оси эллипса половину отрез ка 7" — 8" и получают точки 7 и 8. Через точки 7 и 8 проводят прямые, параллельные оси 7 — 2, и продолжают их до пересечения с внешним контуром в точке 9 и линией проекционной связи, про веденной через точку 77' = (70') в точке 70. На этой же линии при пересечении ее с контуром эллипса отмечают точку 77. При точном определении истинной величины фигуры сечения должно быть получено равенство отрезков: 8 — 9 = 8' — 9' и 10— 77 = 70" — 77'. Построение наклонного сечения заканчивают его обводкой, на несением штриховки и обозначением секущей плоскости. Построение трех проекций прямого кругового конуса с попе речным сквозным окном (рис. 38). Сквозное окно ограничено бо ковыми отсеками, плоскости которых проходят через вершину ко нуса, и горизонтальными отсеками, расположенными перпендику лярно к его оси (рис. 38, а). Поэтому линиями пересечения этих плоских отсеков с конической поверхностью являются образующие и дуги окружностей (рис. 38, б). На чертеже строят три проекции конуса и фронтальную проек цию окна (рис. 38, в). Конус с окном имеет фронтальную плоскость симметрии а, что позволяет обозначить линии пересечения отсеков окна с конической поверхностью лишь на передней половине конуса. Для построения на виде сверху отмеченных линий пересечения через нижний отсек окна проводят вспомогательную горизонталь ную плоскость р. Эта плоскость пересекает коническую поверх ность по окружности, частью которой является дуга EF. Точки Е и F получают на пересечении вертикальных линий проекционной связи, проведенных через их фронтальные проекции (точки Е \ F"), со вспомогательной окружностью. Затем соединяют прямыми точки Е и S", F и S' и на построенных образующих конуса с помощью вертикальных линий связи получают точки А' и D*. Горизонталь53 окно не показано ную проекцию дуги АВ проводят радиусом, равным отрезку S'A\ а дуги CD — радиусом, равным отрезку S'D На профильной проекции вначале определяют положение обра зующих SE и SF. Точку Е 99= ( F 99) получают на пересечении гори зонтальной линии проекционной связи, проведенной через нижний отсек окна, и расстояния, отмеченного на чертеже знаком «V». Для построения на виде слева точек А, В, С и D через верхние отсеки окна проводят горизонтальные линии связи и продолжают их до пе ресечения с правой очерковой образующей конуса (точки В”\ С"’) и образующими S"E" (точка А999) и S"9( F 9t) (точка (/)"')• Далее на видах сверху и слева строят проекции линий пересече ния, симметричные полученным относительно фронтальной плоско сти симметрии а. Отсеки плоскостей, ограничивающих окно, пере секаются между собой по отрезкам фронтально проецирующих пря 54 мых. На виде сверху эти отрезки невидимы, а на виде слева у от резка, проходящего через точку С'", видны небольшие участки, вы ступающие за образующую А'"Е" и симметричную ей относитель но плоскости а. Построение истинной величины сечения прямого кругового ко нуса фронтальной плоскостью (рис. 38, г). Заданная секущая плос кость параллельна плоскости п2, поэтому на фронтальной проекции фигура сечения не искажена и ее изображение на дополнительной плоскости полностью повторяет проекцию сечения на виде спереди. Секущая плоскость, параллельная оси конуса, пересекает кони ческую поверхность по гиперболе. Ее вершина на виде сверху рас- положена в середине горизонтальной проекции сечения — отрезка Г — 2' и совпадает с точкой В'. Вначале на виде спереди строят проекцию нижней хорды гиперболы — отрезок 7 " — 2", который является линией пересечения заданной плоскости с основанием ко нуса. Промежуточные точки гиперболы получают с помощью вспо могательных окружностей, проведенных на конической поверхно сти. Для примера на рис. 38, г проведена окружность на высоте h и показано построение двух промежуточных точек гиперболы. На дополнительной плоскости сначала чертят наружный контур сечения по размерам, взятым с его фронтальной проекции. Отрезок 7 — 2 = 7 " — 2' проводят параллельно секущей плоскости на сво бодном месте чертежа. Из середины отрезка 7 — 2 восставляют к нему перпендикуляр, отложив на котором высоту гиперболы, полу чают точку В. Затем строят 10— 12 промежуточных точек гипербо лы и соединяют их плавной линией. Вычерчивание внутреннего контура (рис. 38, д) начинают с изо бражения линии пересечения заданной плоскости с нижним отсе ком окна — отрезка 3 — 4 = 3" — 4", расположенного на высоте Аз. Через точку В проводят прямую, параллельную отрезку 3 — 4, и на ней в обе стороны от точки В откладывают ширину верхнего отсека окна. Концы построенного отрезка соединяют прямыми с точками 3 и 4 и получают линии пересечения заданной плоскости с боковыми гранями окна. На пересечении прямой, проведенной через точку 3, и гиперболы получают точку 5, а точку 6 определяют отложив на другой прямой высоту Лб. Затем строят лини пересечения заданной плоскости со средним горизонтальным отсеком окна — отрезок 6 — 7=6" — 7" и с его вертикальной гранью — отрезок В — 7= В" — 7". Перед обводкой проекций конуса на виде слева выполняют профильный разрез А — А. Заданный конус с окном не имеет про фильной плоскости симметрии, поэтому на чертеже необходимо отметить положение секущей плоскости и сопроводить разрез над писью. В последнюю очередь на разрезе и на сечении наносят штриховку. Построение трех проекций геометрического тела с попе речным сквозным окном (рис. 39). Верхняя часть геометриче ского тела представляет собой правильную треугольную пира миду, а нижняя — прямой круговой цилиндр (рис. 39, а). Сквоз ное окно пересекает поверхность обеих частей геометрического тела (рис. 39, б). 56 На виде сверху окно не показано Рис. 39.1 Проекции геометрических тел с поперечным сквозным окном, составленные как бы из двух частей, можно вычерчивать в разной последовательности. В одном случае полностью строят горизон тальную, затем профильную проекции всего геометрического тела с окном, а в другом — определяют на видах сверху и слева проекции окна на одной его части, затем на другой. В данном примере при нят вариант раздельного построения каждой части геометрического тела и окна. На чертеже после построения трех проекций геометрического тела и фронтальной проекции сквозного окна приступают к опреде лению линий пересечения верхней части окна с поверхностью пи 57 рамиды (рис. 39, в). Геометрическое тело с окном имеет профиль ную плоскость симметрии а, поэтому на чертеже обозначена одна половина искомых линий пересечения. Для построения на виде сверху точек А и В используют вспомо гательную горизонтальную плоскость Р, проведенную через их фронтальные проекции — точку А" = (В'"). Точки А9 и В9 определя ют на пересечении вертикальной линии проекционной связи и сто рон треугольника, полученного при сечении пирамиды плоскостью р. Точки С и D9 получают на пересечении горизонтальных проек ций ребер основания пирамиды, которым они принадлежат, с вер- Рис. 39.2 58 тикальной линией проекционной связи, проведенной через точку С" = {ГУ*). Затем точки А' и С \ В' и П соединяют прямыми и чертят симметричные им относительно плоскости а. На виде слева профильные проекции точек А, В, D определяют с помощью горизонтальных линий проекционной связи, проведен ных через их фронтальные проекции и продолженных до пересече ния с передним боковым ребром пирамиды (точка А'") и ее задней гранью (точки В"\ D"'). Точку С'" получают на пересечении гори зонтальной линии связи и расстояния, отмеченного знаком «V» и перенесенного на плоскость с плоскости п\. Горизонтальные и вертикальные отсеки нижней части окна, рас положенные параллельно и перпендикулярно к оси цилиндра, пере секают цилиндрическую поверхность по ее образующим и дугам (см. рис. 39, б). Эти линии одинаковы на передней, задней, правой и левой частях цилиндрической поверхности, поэтому на чертеже обозначена лишь их четвертая часть — образующая EF и дуга FK (рис. 39, г). На виде сверху отмеченные линии расположены на полуокруж ности — горизонтальной проекции передней половины цилиндриче ской поверхности. Проекции образующей — точку Е = (F ) и дуги — дугу (F )K получают с помощью вертикальных линий свя зи. Для построения на виде слева точек Е, F, К через их фронталь ные проекции проводят горизонтальные линии проекционной связи и продолжают их до пересечения с расстоянием, отмеченным зна ком «W» (точки F") и с очерковой образующей цилиндра (точ ка К"'). Затем на плоскости я3 строят линии, симметричные постро енным относительно оси цилиндра. Построение проекций заканчивают изображением линий пере сечения отеков окна между собой и с верхним основанием цилин дра (рис. 39, д). На виде сверху четыре участка последних линий видимы. Затем выполняют профильный разрез, плоскость которо го совпадает с плоскостью симметрии а геометрического тела (см. рис. 39, в). Построение истинной величины сечения геометрического тела профильно проецирующей плоскостью (см. рис. 39, д). По положению на профильной проекции заданной плоскости определя ют, что она пересекает обе части геометрического тела и сквозное окно. На этой же проекции отмечают точки, необходимые для вы черчивания контура сечения. Затем находят их горизонтальные и фронтальные проекции. Сечение имеет ось симметрии. На чертеже точки его контура обозначены с одной стороны этой оси, поэтому 59 вначале определяют половину истинной величины сечения, а потом строят симметричную ей относительно оси контура. В рассматриваемом примере дополнительная плоскость смеще на относительно секущей плоскости и повернута до горизонтально го положения оси симметрии сечения. Определение его истинной величины начинают с вычерчивания линий пересечения заданной плоскости с правой половиной нижней части окна — отрезков 1 — 2 = 1 " — 2" и 2 — 3 = 2"' — 3’". Для построения линии пересе чения правой наклонной грани окна с заданной плоскостью на виде слева продолжают его верхнее ребро и находят точку 4 Затем на дополнительной плоскости откладывают отрезок 1 — 4 = Г" — 4’" и соединяют прямой линией точки 3 и 4. У наружного контура се чения вначале строят линию, полученную при пересечении задан ной плоскости с правой частью цилиндрической поверхно сти— участок эллипса. На оси сечения откладывают отрезок 1 — 5 = Г" — J'", а на перпендикуляре к оси, проведенном через точку 3, отрезок 3 — 6 = У — в . Промежуточные точки эллипса строят, отмечая положение его хорды на виде слева, а затем опре деляя ее величину на виде сверху. Отрезок 6 — 7 = 6' — 7' является линией пересечения секущей плоскости с верхним основанием ци линдра. Для определения линии пересечения с правой передней бо ковой гранью пирамиды на виде слева продолжают ее переднее ребро и находят точку 8'". На оси симметрии откладывают отрезок 1 — 8 = Г" — 8’" и соединяют прямой точки 7 и 8. На пересечении отрезков 3 — 4 и 7 — 8 получают точку 9. Далее вычерчивают другую половину контура сечения, симмет ричную относительно его оси, обводят контур и наносят штриховку. 2.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА С ПРОДОЛЬНЫМ И ПОПЕРЕЧНЫМ ОТВЕРСТИЯМИ В данной теме рассматриваются геометрические тела с продоль ным отверстием, имеющие сквозное поперечное окно или вырез. Поперечные отверстия ограничены плоскими отсеками, перпенди кулярными к одной из плоскостей проекций п\, П2 или яз, поэтому на одном из трех видов их форма и положение полностью заданы. На остальных двух видах построение проекций искомых линий пе ресечения рекомендуется выполнять раздельно: сначала вычертить линии пересечения отсеков окна с наружной поверхностью задан ного тела, затем с его внутренней. 60 Построение трех проекций прямого кругового цилиндра с про дольным отверстием и поперечным сквозным окном (рис. 40). Продольное отверстие заданного цилиндра имеет форму пра вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 40, а), а сквоз ное окно пересекает цилиндрическую поверхность и боковые грани пирамиды (рис. 40, б). Вначале определяют проекции линий пересечения отсеков окна только с цилиндрической поверхностью, поэтому на рис. 40, в ци линдр изображен без продольного отверстия. Построив три проек ции целого цилиндра и фронтальную проекцию окна, отмечают их 61 плоскости симметрии — фронтальную а и профильную р. Горизон тальные отсеки окна пересекают цилиндрическую поверхность по дугам, а вертикальные — по образующим. На виде спереди обозна чена одна четвертая часть этих линий, так как остальные симмет ричны им относительно плоскостей а и р. На видах сверху и слева проекции дуг АВ, CD и образующей ВС находят с помощью линий связи, проведенных через их фрон тальные проекции — точки А", В", С" и D". На пересечении верти кальных линий связи и полуокружности (горизонтальной проекции передней половины цилиндрической поверхности) получают точки Я '= (С ') и A' = {Dr). Горизонтальные линии связи продолжают до пересечения с очерковой образующей цилиндра в точках А"' и D"’ и с расстоянием, отмеченным знаком «V», в точках В" и С'". Затем на виде слева точки А'" и В" ', В"’ и С'", С'" и D"' соединяют пря мыми линиями и чертят линии, симметричные им относительно плоскости а. Рис. 40.2 62 Верхний и нижний отсеки окна, расположенные в горизон тальных плоскостях у и 8, пересекаются с боковыми гранями пи рамиды по неполному и полному четырехугольникам, подобным основаниям пирамиды (рис. 40, г). Линиями пересечения боко вых граней окна и пирамиды являются отрезки профильных пря мых. Все линии пересечения расположены симметрично относи тельно плоскостей а и р , поэтому на чертеже обозначена лишь их четвертая часть. Точки Е, К, L и М принадлежат боковым ребрам пирамиды. На видах сверху и слева их проекции получают на пересечении верти кальных и горизонтальных линий проекционной связи с проекция ми соответствующих ребер пирамиды. Точка F расположена на бо ковой грани пирамиды, занимающей общее положение, поэтому ее профильную проекцию — точку F ” определяют на пересечении го ризонтальной линии связи и расстояния, отмеченного знаком «V». А-А Рис. 40.3 63 В рассматриваемом примере выполнено два вертикальных раз реза — фронтальный и профильный, чтобы более наглядно выявить внутренние формы заданного цилиндра. Секущие плоскости разре зов совпадают с плоскостями симметрии цилиндра, поэтому на чер теже не отмечено их положение и разрезы не сопровождены надпи сью. На видах спереди и слева разрез и вид разграничены сплош ной волнистой линией, чтобы сохранить изображение бокового реб ра пирамиды. Построение истинной величины сечения цилиндра с отвер стиями профильно проецирующей плоскостью (рис. 40, д). За данная плоскость пересекает наружную поверхность цилиндра и его продольное и поперечное отверстия. Таким образом, фигура се чения состоит из одного наружного контура и двух внутренних. Истинную величину сечения определяют проецированием на дополнительную плоскость, параллельную заданной и помещенную на свободном месте чертежа. Сечение имеет ось симметрии, с про ведения которой начинают построение его истинной величины. Секущая плоскость, наклоненная к оси цилиндра, пересекает цилиндрическую поверхность по эллипсу. Его большая ось являет ся осью симметрии сечения и равна отрезку 1 — 2 = 1 ' " — 2 '", а малая ось 3 — 4 — диаметру цилиндра. Для определения контура эллипса строят 10— 12 промежуточных точек (их построение см. на рис. 37, г). Построение внутреннего контура начинают с вычерчивания не правильного четырехугольника 5 — 7 — 6 — 8 , получающегося при пересечении всех боковых ребер пирамиды. Диагонали этого четы рехугольника расположены на осях эллипса и точка их пересечения совпадает с центром эллипса — точкой О. Вершины четырехуголь ника отмечают на осях эллипса при помощи отрезков: 0 - 5 = 0'"-5"', 0 - 6 = 0 " ' - 6 "', 0 - 7 = 0 " - 7 " и 0 - 8 = 0 " - 8 ". За тем точки 5, 6 , 7 и 8 последовательно соединяют прямыми линиями и получают искомый четырехугольник. При пересечении заданной плоскостью сквозного окна получа ется прямоугольник. Его построение начинают с определения по ложения точек 9 и 10. На оси 1 — 2 откладывают отрезки 0 — 9 = 0'" — 9"' и 0 — 10 = 0"' — 10"'. Через точки 9 и 10 прово дят прямые, параллельные оси 3 — 4, и на них в обе стороны от кладывают половину ширины окна, взятую с вида спереди. Концы построенных отрезков соединяют прямыми линиями и получают изображение прямоугольника. При пересечении сторон прямо угольника и четырехугольника определяются участки сторон по 64 следнего, лежащие за контуром прямоугольника и принадлежащие фигуре сечения. Построение истинной величины сечения заканчивают обводкой его контура и нанесением штриховки. Построение трех проекций прямого кругового конуса с продоль ным отверстием и сквозным поперечным вырезом (рис. 41). Задан ный конус имеет продольное глухое цилиндрическое отверстие и сквозной поперечный вырез, образованный двумя горизонтально про ецирующими плоскостями, проходящими через ось конуса, и горизон тальной плоскостью, перпендикулярной к его оси (рис. 41, а). Плоско сти, ограничивающие вырез, пересекают коническую и цилиндриче скую поверхности по участкам их образующих и дуг (рис. 41, б). з-зо о 65 Решение примера начинают с вычерчивания трех проекций ко нуса с цилиндрическим отверстием и горизонтальной проекции вы реза (рис. 41, в). Заданное геометрическое тело имеет две верти кальные плоскости симметрии (а || п2 и Р || щ), разделяющие его на четыре равные части, поэтому на чертеже обозначены искомые ли нии пересечения лишь на одной из них. Вначале определяют проекции линий пересечения отсеков сквозного выреза с конической поверхностью. Его боковой отсек расположен в горизонтально проецирующей плоскости, которая пе ресекает коническую поверхность по образующей SC. Ее фронталь ную проекцию S"C" получают с помощью вертикальной линии проекционной связи. Для построения профильной проекции обра зующей SC используют отрезок, отмеченный знаком «V». Верхний отсек выреза принадлежит горизонтальной плоскости у и пересекает коническую поверхность по дуге АВ заданного радиу са Ry. Вначале на виде спереди определяют положение плоскости у, построив на плоскости п2 проекцию окружности радиуса Лу. Затем на ней отмечают точку А" и на пересечении фронтальных проекций плоскости у и образующей SC получают точку В”. Профильные г) А 3 Рис. 41.2 66 проекции точек А и В определяют с помощью горизонтальной ли нии связи, продолженной до пересечения с образующей S"9C"9 в точке В’” и с очерковой образующей конуса в точке А'". Цилиндрическую поверхность боковой отсек пересекает по ее образующей — отрезку EF горизонтально проецирующей прямой. Его фронтальную проекцию E"F 9 получают с помощью вертикаль ной лйнии проекционной связи, проведенной через точку (Е9= F ), а профильную E99tF 9t на пересечении горизонтальной линии связи и отрезка, отмеченного знаком «W». Горизонтальный отсек сквозного выреза пересекает цилиндри ческую поверхность по дуге DE. Ее фронтальная проекция располо жена на одноименной проекции плоскости у, а профильную проек цию D999E999 получают с помощью горизонтальной линии связи. Боковой отсек выреза пересекается с горизонтальным отсеком и основанием конуса по отрезкам горизонтальных прямых соответст венно BE и CF. Проекции заданного конуса заканчивают вычерчиванием на плоскостях 7с2 и 7Сз линий пересечения, симметричных построенным относительно плоскостей а и р. Затем выполняют профильный раз рез и обводят чертеж. Построение истинной величины сечения конуса с отверстием и вырезом фронтально проецирующей плоскостью (рис. 41, г). За данная плоскость пересекает коническую поверхность и основание конуса, горизонтальные и вертикальные отсеки выреза, основание и цилиндрическую поверхность внутреннего отверстия. Следовательно, фигура сечения состоит из наружного и внутреннего контуров. Истинную величину сечения определяют проецированием его на дополнительную плоскость, параллельную секущей плоскости и помещенную на свободном месте чертежа. Сечение имеет ось сим метрии, поэтому точки, необходимые для построения контура, кро ме тех, которые лежат на этой оси, обозначены лишь с одной ее стороны. Секущая плоскость, расположенная параллельно очерковой об разующей конуса, пересекает коническую поверхность по параболе, а его основание по хорде окружности. Построение истинной вели чины сечения начинают с точки 1 — вершины параболы и точки 2 — середины нижней хорды. На оси симметрии откладывают отре зок 1 — 2= 1" — 2". Через точку 2 проводят прямую, перпендику лярную к оси, и на ней в обе стороны от точки 2 откладывают от резки 2 — 3 = 2 9 — 3'. Далее на сечении строят 10— 12 промежу точных точек параболы, чтобы получить ее контур. На рис. 41, г 67 показано построение промежуточных точек параболы на примере двух точек, не имеющих обозначения. Затем строят линии пересечения заданной плоскости с горизон тальными отсеками выреза. На оси 1 — 2 откладывают отрезок 2 — 4 = 2" — 4" и через точку 4 проводят прямую, перпендикуляр ную к оси. На перпендикуляре в обе стороны от точки 4 откладыва ют последовательно отрезки 4 — 5 = 4' — 5' и 5 — 6 = 5 ' — 6'. Точ ки 5 и 3 и симметричные им относительно оси 1 — 2 соединяют прямыми и получают линии пересечения секущей плоскости с вер тикальными отсеками выреза. При пересечении заданной плоскости с цилиндрическим отвер стием получается половина эллипса. Его малая ось равна диаметру цилиндра и проходит через точку 7. На оси сечения 1 — 2 отклады вают отрезок 2 — 7 = 2" — 7" и на перпендикуляре, проведенном через точку 7, откладывают размер малой оси эллипса. Большая по луось эллипса равна отрезку 7 — 8= 7" — 8 ". Для построения про межуточных точек эллипса используют вертикальные линии проек ционной связи и горизонтальную проекцию цилиндра. После окончания всех построений обводят контур сечения и на носят штриховку. 2.5. ПОЛЫЕ ШАРЫ С ОТВЕРСТИЯМИ В данной теме рассматриваются шары, имеющие внешнюю и внутреннюю поверхности в виде двух концентрических сфер1. Внут ренняя поверхность может быть концентричной сферой или концен тричной полусферой, переходящей в цилиндрическое отверстие. Отверстия всех полых шаров — сквозные окна и вырезы огра ничены отсеками горизонтальных и профильных плоскостей и ци линдрическими поверхностями с осями, проходящими через центр сфер. Поэтому при пересечении плоских отсеков и цилиндрических поверхностей с наружной и внутренней поверхностями шаров полу чаются окружности или их дуги, которые проецируются на плоско сти 7ii, 712 или 7Сз без искажения или в виде отрезков прямых. Построение трех проекций полого шара со сквозным окном (рис. 42). Заданный шар имеет сквозное окно, ограниченное отсека ми плоскостей и цилиндрической поверхностью с осью, проходя щей через центр шара (рис. 42, а), которые пересекаются с его внешней и внутренней сферами по дугам окружностей (рис. 42, б). 'Концентрическими сферами называют сферы, имеющий общий центр. 68 Рис. 42.1 Вначале определяют линии пересечения окна только с наруж ной поверхностью шара (рис. 42, в). На чертеже строят три про екции шара без внутренней сферы, фронтальную проекцию сквозного окна и обозначают их плоскости симметрии — гори зонтальную а и фронтальную р. Точки, необходимые для по строения искомых линий пересечения, отмечают лишь на перед ней нижней части шара. На виде сверху чертят дугу окружности радиуса Лу, по которой нижний горизонтальный отсек окна пересекается с внешней сферой шара. Через точки А”, В", С” и D" проводят вертикальные линии проекционной связи и отмечают на плоскости п\ точки пересечения их с очерком шара (точки А \ D') и с дугой радиуса Ry (точки В \ С'). Точки С и D' соединяют прямой и получают горизонтальную 69 проекцию линии пересечения цилиндрической поверхности с внеш ней сферой — отрезок С П . На виде слева чертят дугучжружности радиуса Л5 — линию пе ресечения профильной плоскости 5 с внешней сферой. На уровне плоскостей а и у проводят горизонтальные линии проекционной связи и продолжают их до пересечения с дугой радиуса Rs в точках А"' и В”', а также с очерком шара в точке С" и с вертикальным от резком, проведенным через точку С'", в точке D На плоскости пз горизонтальный отрезок В " ' С является проекцией дуги ВС, а вер тикальный отрезок — C"D'” проекцией дуги CD. Далее на видах сверху и слева чертят линии пересечения, сим метричные построенным относительно плоскостей а и р. В послед нюю очередь на этих же видах изображают невидимые отрезки фронтально проецирующих прямых — линии пересечения поверх ностей окна между собой. На рис. 42, г приведен чертеж полого шара, на котором выпол нен горизонтальный разрез, чтобы показать построение проекций ли ний пересечения окна с внутренней сферой. Точки искомых линий пересечения обозначены на той же части шара, что и на рис. 42, в. Вначале на виде сверху проводят полуокружность радиуса гу, по которой нижний отсек окна пересекается с внутренней сферой и на ней отмечают точки Е и F . Цилиндрическая поверхность окна пе ресекается с внутренней сферой по дуге FK, которая на плоскости 711 проецируется в виде горизонтального отрезка F K '. Проекцию дуги EF на плоскости пз (отрезок E"F") получают с помощью горизонтальной линии связи, проведенной через точки (£"), F', которая пересекает вертикальную ось симметрии профиль ной проекции шара в точке (£"') и очерк его внутренней сферы в точке F". Дуга FK на виде слева проецируется в виде вертикально го отрезка F"K"’. Чертеж полого шара со сквозным окном заканчивают построе нием на видах сверху и слева линий пересечения, симметричных соответственно дугам E F , F K и E"F", F"K’" относительно плос костей а и р . Построение истинной величины сечения полого шара про фильно проецирующей плоскостью (рис. 42, д). Истинную величи ну сечения определяют проецированием его на дополнительную плоскость, параллельную заданной. 70 Рис. 42.2 По положению секущей плоскости на профильной проекции оп ределяют, что она пересекает обе сферы шара, плоские отсеки сквозного окна и его цилиндрическую поверхность. Вначале на виде слева отмечают точки, необходимые для по строения контура сечения, которые затем проецируют на дополни тельную плоскость с помощью линий проекционной связи. Прово дят прямую, параллельную заданной плоскости, и проецируют на нее точку О — центр концентрических окружностей, ограничиваю щих контур сечения. На дополнительной плоскости эти окружности 71 чертят радиусами, равными отрезкам О — 1 = 0 — Г" и О — 2 = О’" — 2"'. Границу окружности внешнего контура сечения определяют точки 3 и 4. Через точку 3 проводят прямую, параллельную оси О — 7, и на пересечении этой прямой с линией связи, проведен ной через точку 5"', получают точку J. Отрезки 3 — 5 и J — 6 являются линиями пересечения плоских отсеков окна с заданной плоскостью. Границу окружности внутреннего контура определяют точки 6 и 7. Цилиндрическую поверхность, заданная плоскость пересе кает на участке между точками 4'" и 7"'. Линией пересечения яв ляется часть эллипса, на которой отмечают точку 8 , удаленную от оси О — 7 на расстояние, равное радиусу цилиндрической по верхности. Построение истинной величины сечения, как обычно, заканчи вают обводкой его контура, нанесением штриховки и обозначения секущей плоскости. 2.6. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аксонометрическая проекция или, сокращенно, аксонометрия, это наглядное изображение предмета (геометрического тела), полу ченное проецированием его на одну плоскость (рис. 43). Чтобы обеспечить наглядность изображения, направление проецирования N не должно быть параллельно основным измерениям предмета. При этом на аксонометрической проекции длина, ширина и высота предмета могут быть искажены по осям координат в одинаковой 72 или в разной степени. Степень искажения основных измерений предмета определяется отношениями длин аксонометрических про екций отрезков, параллельных осям координат, к их действительной длине. Эти отношения называют коэффициентами искажения. На пример, для отрезка АВ, параллельного оси Y (см. рис. 43), коэффи циент искажения равен отношению АаВа1АВ. Аксонометрические проекции, у которых проецирующие пря мые перпендикулярны к плоскости проекций па (v|/ = 90°), называют прямоугольными. Среди них наибольшее применение нашли: 1) прямоугольная изометрическая проекция, 2) прямоугольная диметрическая проекция. Эти виды аксонометрических проекций приме няют согласно ГОСТ 2.317—69. 2.6.1. Прямоугольная изометрическая проекция плоских фигур Прямоугольная изометрическая проекция представляет собой аксонометрическую проекцию с одинаковыми по трем аксономет рическим осям коэффициентами искажения, равными 0,82. Оси изометрической проекции (рис. 44, а) составляют между собой углы, равные 120°. Ось Z располагают вертикально, тогда оси X и Y составят с горизонтальной прямой углы 30°. На рис. 44, б по казан прием построения осей изометрической проекции с помощью произвольного радиуса R. При построении изометрической проекции все линейные разме ры геометрического тела, параллельные осям координат, надо умно жать на коэффициент 0,82, т. е. уменьшать их по сравнению с дей ствительными размерами. Однако на практике коэффициенты иска жения округляют до единицы, что позволяет значительно упростить построения. Изометрические проекции, построенные с учетом тео ретических или округленных коэффициентов искажения, отличают- 73 ся друг от друга только размером, так как в первом случае масштаб изображения 1 : 1, а во втором— 1,22 : 1 (1/0,82 = 1,22). Построение изометрической проекции плоских многоуголь ников. Если плоский многоугольник имеет взаимно перпендикуляр ные стороны, то с ними обычно совмещают оси координат. Напри мер, при построении изометрической проекции прямоугольника, расположенного в плоскости 7Cj (рис. 45, а), с его смежными сторо нами совмещены оси координат X и Y. Построив изометрические проекции этих осей, от точки О откладывают по оси X отрезок а, а по оси Y — отрезок Ь. Через концы построенных отрезков проводят прямые, параллельные осям X и Y, и продолжают их до взаимного пересечения. Полученный параллелограмм есть изометрическая проекция данного прямоугольника. На рис. 45, б изображена изометрическая проекция того же пря моугольника, но принадлежащего плоскости яз. При построении аксонометрической проекции плоских много угольников с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии последние удобно принимать за оси координат. Для примера взят правильный шестиугольник ABCDEF, расположенный в плоскости л2 (рис. 46, а). Вначале строят изометрические оси X и Z (рис. 46, б) и откладывают по оси Z вверх и вниз от точки О отрезки 01 = 0"1" и 02 = 0"2". Через точки 7 и 2 проводят прямые, парал лельные оси X, и на них откладывают в обе стороны от точек 7 и 2 половину стороны шестиугольника, например отрезок В"1". Концы отложенных отрезков (точки 5, С, Е и F) являются изометрической проекцией вершин В, С, Е и F. Вершины А и D принадлежат оси X. Для построения их изометрической проекции по оси X откладыва ют в обе стороны от точки О отрезки ОА = О"А" и OD = O'D " (рис. 46, в). Последовательно соединив прямыми построенные вер шины шестиугольника, получают его изометрическую проекцию. Построение изометрической проекции окружностей. Изо метрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях х[____ о1 о а Рис. 45 74 Рис. 46 проекций или плоскостях им параллельных, есть эллипсы с одина ковым соотношением осей (рис. 47). Большие оси этих эллипсов равны 1,22 Д>кр, а малые — 0,7 D0Kp, где Д , к р — диаметр изображае мой окружности. Направление осей эллипсов зависит от положения проецируемой окружности. Большая ось эллипса всегда перпенди кулярна той аксонометрической оси, которая не принадлежит плос кости, изображаемой окружности, а малая совпадает с этой осью или параллельна ей. Например, изометрическая проекция окружно сти, заданной в горизонтальной плоскости (или ей параллельной), есть эллипс, большая ось которого перпендикулярна оси Z, а малая совпадает с ней (или ей параллельна). Практически при вычерчивании аксонометрической проекции окружности эллипс обычно заменяют овалом, построение которого значительно проще и при равенстве размеров осей овала и эллипса их очертания очень близки. На рис. 48 показано построение овала, приближенно заменяю щего изометрическую проекцию окружности, расположенной в плоскости Яь Большая ось овала АВ = 1,22 Д>кр, а малая — CD = 0,7 D0Kp. Вна чале задают центр овала — точку О и через нее проводят две вза имно перпендикулярные прямые. Из точки О описывают две ок ружности радиусами, равными полуосям овала. В пересечении этих окружностей с взаимно перпендикулярными прямыми отмечают точки 0 1 , 0 2 , 0з, 0 4 — центры сопряженных дуг окружностей, из которых состоит овал. Далее проводят прямые 010з, 0 1 0 4 , 020з и 0 2 0 4 , на которых расположены точки сопряжения дуг овала. Две дуги окружности радиуса R\ = 0 2С описывают из центров 0 \ и 0 2, а две дуги окружности радиуса R2 = О3Л — из центров Оз и 0 4 . Для остальных координатных плоскостей овалы строят анало гично овалу, заменяющему изометрическую проекцию окружности, 75 Рис. 47 Рис. 48 расположенной в плоскости Я]. При этом изменяется только на правление большой и малой осей овала или эллипса (см. рис. 47). Прямоугольную изометрическую проекцию применяют доволь но широко благодаря простоте построения ее осей и одинаковому соотношению осей эллипсов — проекций окружностей, располо женных в плоскостях проекций или в плоскостях, им параллель ных. Однако нужно иметь в виду, что изометрическая проекция, построенная с округленными коэффициентами искажения, получа ется увеличенной и чем крупнее изображаемый предмет, тем более заметна разница между нормальной и увеличенной изометрической проекцией. Поэтому изометрическую проекцию крупных предметов следует строить с учетом коэффициентов искажения или помещать на отдельном формате. 2.6.2. Прямоугольная диметрическая проекция плоских фигур Прямоугольная диметрическая проекция представляет собой ак сонометрическую проекцию с одинаковыми коэффициентами иска жения по осям X и Z Ось X (рис. 49) составляет с горизонтальной прямой угол 7° 10', а ось Y— угол 4Г25'. В диметрической прямоугольной проекции коэффициенты ис кажения по осям X и Z равны 0,94, а по оси Y — 0,47. Первый ко эффициент обычно округляют до единицы, а второй — до 0,5. Та76 ким образом, при построении диметрической проекции отрезки, парал лельные осям координат X и Z, со храняют свою величину, а величину отрезков, параллельных оси Y, умень шают в два раза. Построение диметрической проекции плоских многоугольников. На рис. 50, а показано построение димет рической проекции прямоугольника, расположенного в плоскости 712. По строив диметрические проекции осей X и Z, от точки О по оси X откладывают отрезок а, а по оси Z — отрезок Ь. Через концы построенных отрезков проводят пря мые, параллельные осям X и Z, до их взаимного пересечения и по лучают параллелограмм — диметрическую проекцию заданного прямоугольника. При построении диметрической проекции прямоугольника (многоугольника), вытянутого в одном направлении и принадле жащего горизонтальной или профильной плоскостям, желательно с осью Y совмещать его меньшую сторону (рис. 50, б). Несоблю дение этого условия (рис. 50, в) приводит к значительному иска жению формы прямоугольника (многоугольника) в диметрической проекции. Построение диметрической проекции плоской фигуры, имею щей ось симметрии показано на примере трапеции ABCD, располо женной в плоскости 7ii (рис. 51, а). С осью симметрии совмещена ось Y, а ось X — со стороной АВ(А'В'). Построив диметрические проекции осей Х и Y (рис. 51,6), откладывают по оси X в обе сто- Рис. 50 77 роны от точки О отрезки АО = ВО = А'СУ, а по оси Y — отрезок ОЕ = Л/2. Через точку Е проводят прямую, параллельную оси X, и на ней строят сторону CD с помощью отрезков DE= СЕ = D'E'. Со единив прямыми линиями вершины A, D и В, С, получают диметрическую проекцию трапеции ABCD. Построение диметрической проекции окружностей. Димет рические проекции окружностей (рис. 52), расположенных в гори зонтальных и профильных плоскостях, или плоскостях им парал лельных, представляют собой эллипсы с большой осью, равной 1,06Z>OKp и малой — 0,35 D0K?. Окружности же, расположенные во 78 фронтальной плоскости, проецируются в виде эллипсов с большой осью, равной l,06Z)O4, и малой — 0,94 D0Kp. Большие оси эллипсов всегда перпендикулярны той аксонометрической оси, которая не принадлежит плоскости изображаемой окружности, а малые совпа дают с направлением этой оси. Диметрические проекции окружности (эллипсы) обычно заменя ют овалами, размеры осей которых равны размерам соответствую щих осей эллипсов. Овал с осями АВ = 1,06 D0Kp и CD = 0,35 D0Kp заменяет проек цию окружности, расположенной в плоскости ici или тез. Наметив точку О, проводят через нее две взаимно перпендикулярные пря мые (рис. S3, а) и на горизонтальной прямой откладывают боль шую ось овала АВ, а на вертикальной — малую ось CD. Далее строят центры сопряженных дуг окружностей, из которых состоит овал. Для этого по вертикальной прямой вверх и вниз от точки О откладывают отрезки 0 0 \ = ООг = 1,06DOKp и получают центры 0 \ и Ог. Точки 0з и 0 \ строят, отложив от концов большой оси точек А и В отрезки, равные 1/4 малой оси CD, т. е. 0,35Z>OKp/4. Затем проводят прямые 0 \0 з и 0 \0 ь а также прямые ОгОз и O2 O4, на которых расположены точки сопряжения дуг овала (рис. 53, б). Между этими прямыми проводят дуги окружности радиуса 79 R\ = 0 2C с центрами в точках 0 \ и 0 2 и дуги окружности радиуса = О3 С с центрами в точках Оъ и 0 4. Проекцию окружности, расположенной в плоскости п2, заменя ют овалом с осями, равными \,06DOKp и 0,94£>О1ф. Строят оси димет рической проекции X, Y, Z (рис. 54, а) и проводят через точку О прямую, перпендикулярную оси Y. Малая ось овала расположена на оси Y, а большая — на прямой, ей перпендикулярной. Отложив на осях X и Z радиус заданной окружности, т. е. отрезки ОМ= ОК= ON= OL = Д«р/2, получают точки М, К, N, L — точки сопряжения дуг овала. Чтобы построить центры дуг окружностей, из которых состоит овал, проводят через точки М и N горизонталь ные прямые. В пересечении этих прямых с осью Y и перпендикуля ром к ней получают искомые точки 0 \9 О2, О3, О4. Из центров 0 \ и Оъ проводят дуги окружности радиуса R\ = О3К (рис. 54, б), а из центров О2 и О4 — дуги окружности радиуса R2 = О2М. /?2 а) 80 С помощью прямоугольной диметрической проекции получают наиболее наглядные изображения, поэтому ей следует отдавать предпочтение перед изометрической проекцией. 2.6.3. Аксонометрические проекции геометрических тел с отверстием Наглядность изображения геометрического тела зависит от вида аксонометрической проекции и его ориентации относительно осей координат. Поэтому перед построением аксонометрической проек ции геометрического тела на чертеже обозначают оси присоединен ной к нему системы координат. Последовательность построения аксонометрической проекции определяется формой геометрического тела. Однако есть несколько общих положений. Построение аксонометрической проекции следу ет начинать с изображения основания или оснований и внешнего контура целого геометрического тела. Затем надо построить проек ции наружных и внутренних очертаний сквозного окна или выреза. После окончания всех построений на аксонометрической проекции рекомендуется обвести лишь видимые линии контура, чтобы при дать полученному изображению большую наглядность. На аксонометрической проекции геометрического тела с окном не всегда видно, что оно сквозное. В таких случаях с помощью двух секущих плоскостей удаляют часть геометрического тела, чтобы показать его внутренние поверхности. Секущие плоскости обычно совмещают с координатными плоскостями. Направление линий штриховки на координатных плоскостях показано на рис. 55, а для изометрической проекции и на рис. 55, б для диметриче ской проекции. Построение аксонометрической проекции правильной тре угольной пирамиды с поперечным сквозным окном (рис. 56). На чертеже заданной пирамиды обозначают систему координат, при соединенную к ней, и наносят размеры, необходимые для построе ния аксонометрической проекции (рис. 56, а). Решение примера на чинают с построения целой пирамиды в изометрической и диметри ческой проекциях, чтобы определить, на которой из них получается наиболее наглядное изображение пирамиды. Построение изометрической проекции показано на рис. 56, б. Вначале на оси Z откладывают высоту пирамиды Н и получают проекцию вершины S. Затем строят основание пирамиды. На оси Y откладывают в положительном и отрицательном направлениях от81 резки соответственно L\ и Li и получают точки 7 и 2. Через точку 2 проводят прямую, параллельную оси X, и на ней откладывают в обе стороны отрезки, равные all. Концы этих отрезков — точки 3 и 4 соединяют прямыми с точкой 1 и получают проекцию основания пирамиды. Далее чертят ее боковые ребра S — 1, S — 2 и S — 3. Диметрическую проекцию целой пирамиды (рис. 56, в) строят в такой же последовательности как изометрическую. Отличие состо ит лишь в том, что отрезки L\ и L2, которые откладывают по оси Y, уменьшают в два раза. При сравнении построенных аксонометрических проекций пира миды более наглядной и приемлемой для изображения на ней сквозного окна оказалась диметрическая проекция, так как на ней видны обе передние грани. 82 Рис. 56 Диметрическую проекцию сквозного окна (рис. 56, г) начинают с построения на высоте h\ и й2 двух треугольников, подобных осно ванию пирамиды. Далее на каждом треугольнике на стороне, парал лельной оси X, откладывают ширину окна, равную отрезку Ь, и по лучают точки 1 и 2. Через эти точки проводят прямые, параллель ные оси Y, и продолжают их до пересечения со сторонами постро енных треугольников. Затем соединяют прямыми линиями получен ные отрезки верхнего и нижнего отсеков окна, принадлежащие од ной и той же боковой грани пирамиды. Диметрическую проекцию пирамиды заканчивают обводкой ви димых линий контура — наружных и внутренних. На рис. 56, г в учебных целях сохранены линии построения. 83 Построение изометрической проекции геометрического тела со сквозным окном (рис. 57). На чертеже геометрического тела обо значают связанные с ним оси координат (рис. 57, а) и строят их в изо метрической проекции (рис. 57, б). Вначале вычерчивают изометриче скую проекцию целого геометрического тела, состоящего из цилиндра и поставленного на него конуса. На оси Z от начала координат после довательно откладывают высоту цилиндра И\ и конуса h2 и получают точку 1 — центр окружности верхнего основания цилиндра и вершину конуса S. Через начало координат и точку 1 проводят горизонтальные прямые и вычерчивают два овала, заменяющих эллипсы с большими осями, равными 1,22D0Kp, и малыми, равными 0,7D0Kp. Затем через вершину конуса проводят образующие, касательные к верхнему овалу, после чего приступают к вычерчиванию изображения сквозного окна на передней поверхности геометрического тела. Рис. 57 84 По оси X откладывают в обе стороны от начала координат от резки 6/2, равные половине ширины нижнего отсека окна. Через концы построенных отрезков проводят прямые, параллельные оси Y, и через точки пересечения их с нижним овалом — прямые, па раллельные оси Z, на которых получают точки А и В, принадлежа щие верхнему основанию цилиндра. Через вершину S и точки А и В проводят образующие SA и SB, ограничивающие ширину окна на конической поверхности. Далее на оси Z откладывают отрезки Аз и А4, чтобы определить центры овалов, заменяющих окружности ниж него и верхнего отсеков окна. После построения этих овалов на изометрической проекции оставляют лишь их видимые части. В по следнюю очередь чертят изображение видимого правого вертикаль ного отсека окна. На рис. 57, б не видно ни одной линии пересечения окна с противоположной поверхностью геометрического тела, поэтому на изометрической проекции выполняют разрез двумя вертикаль ными секущими плоскостями (рис. 57, в), чтобы показать сквоз ное окно. 2.7. ЗАДАНИЯ НА ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ОТВЕРСТИЯМИ Задания на построение проекций геометрических тел с отвер стиями выполняют на листах формата АЗ (296 х 420). Содержание всех заданий одинаковое: построить три проекции заданного гео метрического тела, нанести размеры и определить истинную вели чину наклонного сечения1. З а д а н и е 7. Геометрическое тело с продольным отверстием (с. 155— 158)2. З а д а н и е 8 . Геометрическое тело с поперечным отверсти ем (с. 159— 166). З а д а н и е 9. Геометрическое тело с продольным и попе речным отверстием (с. 167— 174). З а д а н и е 10. Полый шар с отверстием (с. 175— 182). ‘Положение проецирующей плоскости наклонного сечения задается преподавателем. 2В скобках указаны страницы, на которых помещены чертежи вариантов данного задания. 85 Рис. 58 Выполнение чертежей перечисленных выше заданий показано на примере геометрического тела с продольным отверстием (рис. 58). Три проекции геометрического тела могут быть дополнены его аксонометрической проекцией. Образец такого варианта выполне ния задания представлена на рис. 59 на примере геометрического тела с поперечным окном. Геометрические тела с отверстиями имеют наружную и внут реннюю поверхности, каждая из которых может быть одного вида или представлять собой сочетание нескольких видов по верхностей. Поэтому на изображениях таких геометрических тел их очертания состоят из двух и более контуров. Это положение необходимо учитывать при построении проекций геометрических тел с отверстиями и раздельно вычерчивать каждый вид поверх ности, их ограничивающий. Вначале рекомендуется строить три проекции наружных форм тела, затем три проекции внутренних 86 20 форм и заканчивать чертеж построением линий пересечения по верхностей между собой. При определении истинной величины наклонного сечения также раздельно строят его наружный и внутренний контуры. 3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЕРСОНАЛЬНОМ КОМПЬЮТЕРЕ Геометрическим телом принято называть замкнутую часть про странства, ограниченную плоскими или кривыми поверхностями. Сложные геометрические тела образованы из нескольких простей ших геометрических тел. Поэтому для построения сложного гео метрического тела мысленно расчленяют его на элементарные гео метрические формы. Создание геометрических тел рассмотрено на примере работы в системе автоматизированного проектирования AutoCAD — Автокад. Эта система позволяет создавать каркасные, поверхностные и твердо тельные модели. Элементами к а р к а с н о й м о д е л и являются ребро и точка, поэтому аппроксимирующие поверхности являются в основном плоскостями. П о в е р х н о с т н ы е м о д е л и позволя ют описать сложные геометрические поверхности второго порядка, а также поверхности, которые невозможно описать аналитически. Ко манды поверхностного моделирования позволяют создавать сети пря моугольной и произвольной топологии, поверхности соединения, вра щения, сдвига и края. С помощью сетей строят плоские участки с по следующей аппроксимацией их в криволинейные. Точность аппрокси мации зависит от плотности сети. Для создания геометрических тел сложной конфигурации (с окнами и внутренними полостями) исполь зуют т в е р д о т е л ь н о е м о д е л и р о в а н и е , обеспечиваю щее полное описание трехмерной геометрической модели с учетом ее объема. По созданной твердотельной модели автоматически определя ют объем, массу, центр тяжести и моменты инерции тела. 3.1. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА Прежде чем приступить к работе с телами, необходимо изме нить некоторые системные переменные. Системная переменная Isolines регулирует отображение всех криволинейных поверхностей в чертеже и может изменяться от 0 до 2047. По умолчанию значе 88 ние этой переменной равно четырем. При этом отображение проис ходит быстро, но форма поверхности выявлена недостаточно. Для лучшей наглядности криволинейных поверхностей при каркасном изображении значение этой переменной следует установить равное восьми. При этом значении достигается оптимальное соотношение качества и скорости отображения. Для отображения контуров кри вых силуэта при работе с каркасными моделями необходимо уста новить значение переменной Dispsilh, равной 1. На плавность тони рования и закрашивания трехмерных объектов с сокрытием невиди мых линий влияет переменная Facetres, которая может принимать значения от 0,01 до 10,0. Для этой переменной следует установить значение 0,5. Для создания трехмерных тел существует специальная панель инструментов Solid (Тела). Команды для работы с телами выбирают из меню Draw-Solids — Рисование — Тела. Простейшие трехмерные геометрические тела называют твердотельными примитивами или типовыми объемными телами. Панель инструментов содержит сле дующие твердотельные примитивы (рис. 60): Box — Параллелепи пед, Sphere — Шар, Cylinder — Цилиндр, Сопе-Конус, Wedge — Клин, Torus — Тор. Параллелепипед. Автокад всегда создает параллелепипед пер пендикулярным плоскости XY текущей пользовательской системы координат (ПСК) (рис. 60, а): Command: Box Команда: Параллелепипед. Center/< Corner of box >< 0, 0, 0 >: Центр/ < Угол параллелепи педа > < о,, о, 0> Cube/Length/< other corner >: Куб/Длина/< другой угол >: Height: Высота: Указывают при построении параллелепипеда координаты двух его противоположных вершин, расположенных в плоскости XY, и вводят высоту параллелепипеда. Опция Центр позволяет строить параллелепипед указанием его пространственного центра. Опцией Куб создают куб (рис. 60, б) запрашиванием только одного разме ра — длины. Клин (рис. 60, в). Запросы команды Wedge — Клин такие же, как и при построении параллелепипеда. Ш ар (рис. 60, г) строят командой Sphere — Шар. Command: Sphere Команда: Шар Center of sphere < 0, 0, 0 >: Центр шара < 0, 0, 0 >: Diameter/< radius > of sphere: Диаметр/< Радиус > гиара: Если координата Z центра шара равна < 0 >, то верхняя полови на шара будет лежать на плоскости XY, а нижняя под ней. 89 Рис. 60.1 Цилиндр. Автокад позволяет формировать цилиндры с круглым (рис. 60, д) или эллиптическим основанием (рис. 60, е). Сместив центр верхнего основания по отношению к центру нижнего, можно построить наклонный цилиндр (рис. 60, ж). Command: Cylinder Команда: Цилиндр Elliptical/< center point > < 0, 0, 0 >: Эллиптический/< Центр > <0, 0t 0 >: 90 Diameter/< radius >: Диаметр/< Радиус >: При выборе эллиптического цилиндра появятся запросы коман ды Ellipse — Эллипс. Конус рассматривают как цилиндр, диаметр которого изменяет ся в направлении от основания к вершине. Его можно сформиро вать с круговым (рис. 60, з) и эллиптическим основанием (рис. 60, и). Для получения перевернутого конуса (рис. 60, к) задают отрица тельное значение высоты: Command: Cone Команда: Конус Elliptical/< center point > < 0, 0, 0 >: Эллиптический/< Центр > <0, 0, 0 >: Diameter/< radius >: Диаметр/< Радиус >: При выборе эллиптического конуса появятся запросы команды Ellipse — Эллипс. Тор. Команда Torus — Тор позволяет построить его в виде ци линдра, замкнутого в кольцо. Изменяя величины радиусов тора и трубки, получают необычные формы тора: Command: Torus Команда: Тор Center o f sphere < 0, 0, 0 >: Центр тора < 0, 0, 0 >: Diameter/< radius > of torus: Диаметр/< Радиус > тора: Diameter/< radius > of tube: Диаметр/< Радиус > трубки: Рис. 60.3 92 Тор представляет собой тело, образованное вращением круга вокруг оси, расположенной в одной с ним плоскости. Если ось вра щения не пересекает образующий круг, то торовая поверхность имеет форму кольца (рис. 60, л). Это выполняется при условии, ко гда радиус тора больше радиуса трубки. Вторая разновидность торовой поверхности имеет форму сплюснутого мяча (рис. 60, м) и получается в случае, когда радиус трубы больше абсолютного зна чения радиуса тора. Третья разновидность торовой поверхности имеет форму лимона (рис. 60, н) и получается при условии, что ра диус тора отрицательный, а радиус трубы больше абсолютного зна чения радиуса тора. Создание тел из замкнутых плоских объектов. Для создания тел из замкнутых плоских объектов (эллипса, круга, кольца, замк нутой полилинии, сплайновой кривой и области) используют ко манду Extrude — Выдави. Если установить значение системной пе ременной DELOBJ равным 1, исходные объекты удаляются, если DELOBJ = 0, то исходные объекты сохраняются и после создания объемного тела. При выдавливании боковые грани строятся перпен дикулярно плоскости исходного объекта (рис. 61, а). Если изменять угол выдавливания, то при положительном угле объект сужается, а при отрицательном — расширяется: Command: Extrude Команда: Выдави Select objects: Выберите объекты: Path/< Height of Extrusion > : Траектория /< Высота выдавлива ния >: Extrusion taper angle< 0 >: Угол сужения< 0 >: Взяв за исходный объект круг и задавая угол сужения, получа ют усеченный конус. При задании отрицательного угла получают перевернутый усеченный конус. Этой же командой можно строить призму и пирамиду, взяв за исходный объект многоугольник. Вы бирая опцию Path — Траектория, выдавливают объект вдоль на правляющей, которая может быть задана отрезком, дугой, эллип сом, эллиптической дугой, окружностью, полилинией или сплайно вой линией. Направляющая не должна быть слишком сложной, ле жать в плоскости исходного объекта и иметь большую кривизну. Для построения тел вращения используют команду Revolve — Вращай. Вращая замкнутый контур, получают сложные геометрические тела (рис. 61, б): Command: Revolve Команда: Вращай Select objects: Выберите объекты: Axis of revolution — object /Х/Y/ < Start point of axis >: Ось вращения — объект /Х/Y/ < Начальная точка >: 93 Рис. 61 Angle of revolution < full circle >: Угол поворота < полный круг >: В качестве оси вращения можно использовать отрезок прямой или один из сегментов полилинии. 3.2. СЛОЖНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА Сложные геометрические тела являются составными объектами. Создание составных объектов базируется на методах булевой алгеб ры—алгебры логики, созданной английским математиком и логи ком Джорджем Булем (Boole). Объект создают в результате приме нения одного или нескольких методов: Union — Объединение, Subtract — Вычитание и Intersect — Пересечение. Исходные объек ты обязательно должны иметь общую область. После создания но вого тела исходные объекты не сохраняются. Для создания полых, а также сложных тел используют опера цию вычитания: Command: Subtract Select solids and regions to subtract from... Select objects: Select solids and regions to subtract... Select objects: Команда: Вычти Выберите фигуры и области, из которых нужно вычесть... 94 Выберите объекты: Выберите фигуры и области, которые нужно вычесть... Выберите объекты: Эта команда позволяет создавать новый объект путем исключе ния из одного объекта (из которого вычитают) пространственной области, принадлежащей другому объекту (который вычитают). При объединении нескольких геометрических тел в одно новое тело используют команду Union — Объедини. Command: Union Команда: Объедини Select objects: Выберите объекты для объединения Эта команда позволяет из нескольких объектов создавать новое тело с одним общим объемом и общей поверхностью. Команда Intersect — Пересечение создает тело, образованное об щим для двух тел пространством. Командой Interfere — Взаимодействие создают тело из общей для двух исходных тел части, но исходные тела при этом сохраня ются. Если перенести это новое тело (общую часть) в другое место, то исходные тела остаются нетронутыми. При использовании этой команды желательно изменить текущей слой, чтобы вновь создан ное тело находилось на другом слое. Command: Interfere Select the first set o f solids... Select objects: Select the second set o f solids... Select objects: Команда: Взаимодействие Выберите первый набор тел... Выберите объекты: Выберите второй набор тел... Выберите объекты: Create interference solids? < N > : Создать тела взаимодействия? < Н > : Если не нужно создавать новое тело, то нажимают клавишу < Enter >, в противном случае нажимают < Y> = < Д>. Рассмотрим работу перечисленных выше команд на примерах. Для удобства работы с трехмерными объектами желательно соз дать четыре видовых экрана. Для этого в подменю View — Вид вы бирают Viewports -> Viewports — Видовые экраны -> 4 Видовых эк рана. Эта опция позволяет создать четыре одинаковых видовых эк рана. Графическая зона по горизонтали и по вертикали делится по полам. Текущим всегда бывает только один видовой экран — он выделен утолщенной рамкой и графический курсор имеет в нем вид перекрестия. Чтобы сделать видовой экран активным, необхо 95 димо перевести курсор в этот видовой экран и щелкнуть левой кнопкой «мыши». Для каждого видового экрана устанавливают не обходимые проекции — виды. Направление проецирования задают командой Vpoint — ТЗрения или с помощью панели инструментов Viewpoint — ТЗрения. В верхнем левом окне устанавливают вид спе реди (фронтальную проекцию), в верхнем правом окне — вид слева (профильную проекцию), в нижнем левом окне — вид сверху (гори зонтальную проекцию), а в нижнем правом — изометрическую про екцию. Указанные проекции выбирают с помощью панели инстру ментов (Front View, Left View, Top View, SE Isometric View) или за дают координаты точки зрения (0, — 1,0; — 1, 0, 0; 0, 0, 1; 1, — 1, 1). Эти видовые экраны позволяют сразу увидеть четыре проекции создаваемого объекта. Построение проводят в окне TOP View — Вид в плане, в осталь ных окнах проекции строятся автоматически. Для сохранения на стройки видовых экранов обращаются к меню View —> Viewports —>New Viewports — Вид —> Видовые экраны —» Но вые Видовые экраны, в появившемся диалоговом окне задают имя. Если в процессе работы требуется вернуться к сохраненным видо вым экранам, вызывают в меню View —> Viewports -> Named Views — Вид -> Видовые экраны -» Именованные Видовые экраны. В появившемся диалоговом окне выбирают имя. 3.3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ РАЗЛИЧНОЙ СЛОЖНОСТИ 3.3.1. Пространственная модель призмы, усеченной плоскостью Основание призмы в виде правильных многоугольников строят с помощью команды Polygon— Многоугольник. Если основанием призмы являются неправильные многоугольники, то используют команду Polyline — Полулиния. Твердотельную модель призмы соз дают с помощью команды Extrude — Выдави из замкнутых плоских объектов. Построение правильной прямой пятигранной призмы, усечен ной фронтально проецирующей плоскостью (рис. 62), начинают с построения основания: Command: Polygon Number of sides < 4 >: 5 96 Edge/< Center of polygon > : 100, 100 Inscribed in circle/Circumscribed about circle (I/C) < / > : Enter Radius of circle: 50 Команда: Число сторон многоугольника < 4 > : 5 Сторона/< Центр многоугольника >: 100, 100 Вписанный/Описанный вокруг окружности (В/О) < В >: Enter Радиус окружности: 50 После появления на экране правильного пятиугольника вызыва ют команду Extrude — Выдави: Command: Extrude Команда: Выдави Select objects: Выберите объекты: ' Path/< Height of Extrusion >: Траектория/< Высота выдавливания >: 80 Extrusion taper angle < 0 >: Угол сужения < 0 >: Во всех видовых экранах появятся изображения призмы. Для построения усеченной призмы используют команду Slice — Разрез, расположенную на панели инструментов Solids— Тела. Эта команда имеет следующие опции: 4-300 97 Object — Объект:— секущая плоскость проходит по объекту (объектом может быть круг, эллипс, дуга, сплайн или плоская поли линия). Zaxis — Ось Z: — разрез производится плоскостью, перпен дикулярной указанной оси Z. На первый запрос команды указывают точку на плоскости разреза, являющуюся началом координат О, О, О, а затем указывают точку в плане на оси Z (см. рис. 62). Wiew — Вид, плоскость разреза параллельна текущему виду и проходит через заданную точку. XY, YZ и ZX— плоскость разреза параллельна соответственно плоскостям XY} YZ\ ZX и проходит через заданную точку. 3 points — 3 точки, плоскость разреза определяется тремя точ ками. Эту опцию используют, когда плоскость разреза является плоскостью общего положения. Для проецирующих плоскостей ис пользуют остальные опции. Если призма усечена фронтально проецирующей плоскостью, то используют опцию Zaxis — Ось Z. Текущим делают верхний левый видовой экран — Front View. Command: Slice Select objects: Section plane by object /Zaxis / Viewe /XY/YZ/ZX/ < 3points >:Z Point on plane: Point on Z-axis (normal) of the plane: Both sides/ < Point on desired side of the plane >: Команда: Разрез Выберите объект: выбирают призму Режущая плоскость по объекту/ось Z / Вид /XY/ YZ/ZX/ < Зточки >:Z Точка на плоскости: указывают точку 1 Точка на оси Z: указывают точку 2 Обе стороны/ < Точка на нужной стороне плоскости >: указы вают точку 3. Секущая плоскость будет перпендикулярна оси Z, заданной точ ками 1 — 2 и пройдет через точку 1. Эта секущая плоскость разре жет призму на две части. Вариант ответа Both sides — Обе стороны позволяет оставить обе части призмы и при желании их можно вновь соединить коман дой Union — Объедини. Вариант ответа по умолчанию — оставляет указанную часть призмы. Если секущая плоскость является профильно проецирующей, то описанные построения следует проводить в видовом экране Left View — Вид Слева. 98 3.3.2. Пространственная модель призмы, усеченной несколькими плоскостями Рассмотрим построение проекций шестигранной призмы, усе ченной тремя плоскостями (рис. 63). Построение твердотельной шестигранной призмы аналогично построению пятигранной приз мы. Процесс построения состоит из семи этапов: 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 2. Вызывая команду Polygon — Многоугольник, строят правиль ный шестиугольник с координатами центра 100, 100, радиусом опи санной окружности 30 и числом сторон 6. 3. С помощью команды Extrude — Выдави создают призму вы сотой 80. 99 4. В Автокаде по умолчанию установлена мировая система ко ординат (World — МСК), в которой ось X направлена вправо, ось Y— вертикально вверх, а отсчет углов производится против часо вой стрелки. Для того чтобы фронтальная проекция призмы явля лась видом в плане (вид сверху), создают пользовательскую систе му координат (UCS — ПСК). Для этого в меню Tools — Сервис вы бирают UCS — ПСК или обращаются к пиктограмме UCS — TfCK стандартной панели инструментов. В подменю откроются много численные опции: Obiect — Объект — новая ПСК имеет ту же ори ентацию, что и выбранный примитив. Origin — Начало — залает новую трехмерную точку начала, со храняя прежнее направление осей; View — Вид — новая ПСК параллельна текущему виду, а ее на чало — начало текущей ПСК. 3 Point-З Точки — задает начало, т. е. точку на положительном направлении оси X и точку в положительной плоскости XY. Z axis Vector — Z Ось — задает новую точку начала и положи тельного направления оси Z (только для трехмерных объектов). X axis Rotate— X поворот — поворачивает текущую ПСК во круг оси X. Y axis Rotate — Y поворот — поворачивает текущую ПСК во круг оси Y. Z axis Rotate — 2 поворот — поворачивает текущую ПСК вокруг оси Z. Restore — Восстанови — восстанавливает сохраненную ПСК. Save — Сохрани — присваивает имя текущей ПСК. Delete — Удали — удаляет ПСК из списка. World — Мировая — делает текущей МСК. List— Список— выводит список сохраненных ПСК. Previous — Предыдущая — делает текущей предыдущую ПСК. Named — Именованная — открывает окно с именованными ПСК. Из предложенных опций выбирают опцию View — Вид, предва рительно сделав текущим видовой экран с фронтальной проекцией призмы. Для новой ПСК фронтальная проекция будет являться ви дом в плане. 5. Вызывают команду Polyline — Полилиния в меню Draw — Ри сование и обводят фронтальные проекции секущих плоскостей замкнутой полилинией. Command: Polyline Start point: указывают точку 1 100 Arc / Close / Halfwidth / Length / Undo / Width / < End point of line >: 2 Arc / Close / Halfwidth / Length / Undo / Width / < End point of line >: 3 Arc / Close / Halfwidth / Length / Undo / Width / < End point of line >: 4 Arc / Close / Halfwidth / Length / Undo / Width / < End point of line > : Cl Команда: Полилиния Начальная точка: указывают точку 1 Дуга / Замкни / Полуширина / Длина / Отмени /Ширина / < Ко нечная точка сегмента >: указывают точку 2 Последовательно указывают точки 5, 4 и опцию Close — Замкни для получения замкнутого контура. 6. С помощью команды Extrude — Выдави создают призму. 7. Для построения усеченной призмы используют команду Subtract — Вычти Command: Subtract Select solids and regions to subtract from... Select objects: Select solids and regions to cubtract... Select objects: Команда: Вычти Выберите фигуры и области, из которых нужно вычесть... Выберите объекты: выбирают шестигранную призму Выберите фигуры и области, которые нужно вычесть... Выберите объекты: выбирают четырехгранную призму В результате выполнения этой команды во всех четырех экра нах будут построены проекции шестигранной призмы, усеченной тремя плоскостями. 3.3.3. Пространственная модель пирамиды Твердотельную пирамиду создают по аналогии с призмой, зада вая угол сужения. Для пирамиды угол сужения равен углу, тангенс которого равен отношению радиуса вписанной окружности к высо те пирамиды. В случае усеченной пирамиды берется тангенс отно шения разности радиусов вписанных окружностей нижнего и верх него оснований к высоте пирамиды. Для нахождения величины ра диуса вписанной окружности вписывают в шестиугольник круг и с помощью команды List— Список определяют радиус. Для выполне 101 ния числовых расчетов и операций с геометрическими функциями предусмотрен калькулятор. Калькулятор вызывают набором в ко мандной строке CAL — КАЛЬК или в прозрачном режиме, находясь в какой-либо команде набором ’CAL — ’КАЛЬК. Калькулятор по зволяет использовать объектные привязки, координаты точек и даже переменные языка AutoLISP. Ниже приведена последователь ность построения правильной шестигранной пирамиды (рис. 64): 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 2. Вызывая команду Polygon — Многоугольник, строят правиль ный шестиугольник с координатами центра 100, 100, радиусом опи санной окружности 35 и числом сторон 6. 3. Вписывают в шестиугольник круг командой Circle— Круг с центром в точке 100, 100 и радиусом, равным расстоянию от цен тра круга до середины любой стороны, определяемой с помощью Рис. 64 102 объектной привязки Midpoint — Середина. Вызывают команду List — Список и определяют радиус вписанной окружности. 4. Создают пирамиду высотой 80 с помощью команды Extrude — Выдави: Command: Extrude Select objects: Path / < Height of Extrusion >: 80 Extrusion taper angle < 0 >: ’CAL » Expression: atan (30/80) Команда: Выдави Выберите объекты: указывают на шестиугольник Траектория/ < Высота выдавливания >: 80 Угол сужения < 0 >: *Кальк » Выражение: atan (30/80) С помощью функция atan — вычисляют арктангенс действи тельного числа и вычерчивается пирамида с заданными параметра ми. Построение проекций усеченной пирамиды аналогично по строению усеченной призмы (см. выше). 3.3.4. Пространственная модель пирамиды, усеченной несколькими плоскостями Пирамиду, усеченную несколькими плоскостями, можно по строить не прибегая к помощи ПСК, а используя команду вращения трехмерных объектов Rotate3D — ЗПоверни. Для этого на виде в плане строят многоугольник — основание пирамиды и замкнутый контур, имеющий форму окна, прорезающего заданное тело (рис. 65). Затем с помощью команды Extrude — Выдави создают заданное геометрическое тело и призму, имеющую в основании построенный замкнутый контур. Командой Rotate3D — ЗПоверни, которая нахо дится в подменю Modify — 3D Operation (Редактирование — ЗМ Операции), поворачивают призму на угол 90°. Command: Rotate3D Select objects: Axis by object / Last / View / Xaxis / Yaxis / Zaxis / < 2points >: X Point on X axis < 0, 0, 0 >: 100, 100, 30 < Rotation angle > / Reference: 90 Команда: ЗПоверни Выберите объект: выбирают призму Ось вращения по объекту / Последний / Вид /ось X / ось Y / ось Z / < 2точки >: X 103 Точка оси X < О, О, 0 >: 100, 100, 30 <Угол поворота > / Ссылка: 90 Опции команды Rotate3D — ЗПоверни: Object — Объект — вращение вокруг двухмерного объекта (дуга, круг, отрезок, сплайн или полилиния). Если выбрать круг или дугу вращение осуществляется вокруг линии, берущей начало в центре объекта и перпендикулярной к нему. Last — Последний — используется последняя определенная ось, View — Вид — ось поворота параллельна текущему виду и проходит через указанную точку, Xaxis — ось X — ось поворота параллельна оси X и проходит через указанную точку, Yaxis — ось Y — ось по ворота параллельна оси Y и проходит через указанную точку, Zaxis — ось Z — ось поворота параллельна оси Z и проходит через указанную точку, 2 Points — 2 Точки — опция по умолчанию. Для определения оси указываются две точки. Допускается использова ние объектной привязки. Усеченную пирамиду строят, используя операцию вычитания, выполняемую командой Subtract — Вычти. Результатом выполне104 ния этой команды станет усеченная пирамида, изображение кото рой появится во всех четырех экранах (рис. 66). 3.3.5. Пирамида с цилиндрическим окном Достаточно трудоемкое построение проекций пирамиды с ци линдрическим окном с помощью секущих плоскостей, принятое в начертательной геометрии, на персональном компьютере выполня ется очень быстро (рис. 67): 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 2. Вызывают команду Polygon — Многоугольник и строят пра вильный шестиугольник с координатами центра 100, 100, радиусом описанной окружности 35 и числом сторон 6. 5-300 105 Рис. 67 3. Командой Cylinder — Цилиндр, строят цилиндр с центром в точке 100, 100, радиусом, равным 15, и высотой 80. 4. Затем с помощью команды Extrude — Выдави создают пира миду высотой 80. 5. Поворачивают цилиндр командой Rotate3D — ЗПоверни на угол 90° относительно оси X, если цилиндрическое окно перпенди кулярно фронтальной плоскости проекций, и относительно оси Y, если окно перпендикулярно профильной плоскости проекций. 6. Командой Subtract — Вычти создают пирамиду с цилиндри ческим окном. 3.3.6. Усеченные тела вращения Тела вращения создают командой Revolve — Вращай из замкнутых контуров. Замкнутым контуром может быть эллипс, окружность, замк нутые плоские полилинии, сплайновые линии и области. Для того чтобы исходные объекты сохранялись и после создания тела враще ния, устанавливают системную переменную DELOBJ, равной 0. 106 Если вращать прямоугольник вокруг оси, параллельной оси X, то построенный цилиндр будет перпендикулярен профильной плос кости проекций. Для построения цилиндра, перпендикулярного фронтальной плоскости проекций, прямоугольник вращают вокруг оси, параллельной оси Y. Цилиндр, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости, строят командой Cylinder — Цилиндр. Для построения проекций конуса с осью, перпендикулярной го ризонтальной плоскости проекций, используют команду Cone — Конус. Если ось конуса перпендикулярна другим плоско стям проекций, используют ПСК. Конус можно построить вращени ем треугольника вокруг одной из сторон в зависимости от его ори ентации в пространстве. Проекции цилиндра и конуса, усеченных несколькими плоско стями, строят в такой последовательности: 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 107 2. Вызывают команду Cylinde — Цилиндр. Для построения про екций конуса используют команду Cone — Конус. Координаты цен тра 100, 100, радиус основания 35 и высота 80. 3. Для того чтобы фронтальные проекции цилиндра и конуса яв лялась видом в плане (вид сверху), создают ПСК. Из предложенных опций выбирают опцию View — Вид, предварительно сделав теку щим видовой экран с фронтальной проекцией цилиндра и конуса. 4. Вызывают команду Polyline — Полилиния и обводят фрон тальные проекции секущих плоскостей замкнутой полилинией. 5. Затем с помощью команды Extrude — Выдави создают призму высотой 80. 6. Командой Subtract — Вычти создают усеченные цилиндр (рис. 68) и конус (рис. 69). Усеченный шар создают командой Sphere — Шар. Затем, с по мощью команды Polyline — Полилиния обводят проекции секущих плоскостей полилинией, создавая замкнутый контур, из которого 108 формируют призму. Используя логическую операцию Subtract — Вычти, из шара вычитают призму. Результат построения показан на рис. 70. Построение тора, усеченного несколькими плоскостями, ана логично построению призмы, усеченной несколькими плоскостями. 3.3.7. Создание сложных геометрических тел Создание геометрического тела с продольным и поперечным отверстиями (рис. 71). Последовательность построения: 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 2. Вызывают команду Polygon — Многоугольник и строят пра вильный шестиугольник с координатами центра 100, 100, радиусом описанной окружности 50 и правильный пятиугольник с тем же центром и радиусом описанной окружности 35. 3. Командой Cylinder — Цилиндр строят цилиндр с центром в точке 100, 100, 0, радиусом, равным 25, и высотой 100. 4. Затем с помощью команды Extrude — Выдави создают две призмы высотой 100. 109 5. Поворачивают пятигранную призму командой Rotate3D — ЗПоверни на угол 90° относительно оси 1 и с координа тами точки 100, 100,50. 6. Командой Subtract — Вычти, выполняют операцию вычита ния цилиндра и пятигранной призмы из шестигранной. Создание тела с линиями пересечения и среза рассмотрим на примере резца (рис. 72). Для построения тел с элементами пересе чения и среза используют команду Intersect — Пересечение или, если необходимо сохранить исходные тела команду Interfere — Взаимодействие. Последовательность построения: 1. Создают четыре видовых экрана с видами спереди, сверху, слева и изометрической проекцией. 2. Для того чтобы профильная проекция конуса являлась видом в плане, создают ПСК. Из предложенных опций выбирают опцию View — Вид, предварительно сделав текущим вид слева. 3. Для построения проекций конуса используют команду Cone — Конус. Координаты центра 100, 100, 0, радиус основания 105 и высота 150. 110 60 Рис. 72 4. Командой Polyline — Полилиния строят замкнутый контур с координатами (40,40; @120,0; @-30,80; @— 60,0; 40,40) и с помо щью команды Extrude — Выдави создают призму высотой 160. 5. Вызывают команду Cylinder — Цилиндр и строят цилиндр с координатами 100, 205, 0, радиусом, равным 105, и высотой 150. Вместо цилиндра возможно построение замкнутого контура с помо щью полилинии с последующим созданием призматического тела командой Extrude — Выдави (рис. 73). Рис. 74 Рис. 73 111 6. Поворачивают цилиндр командой Rotate3D — ЗПоверни на угол 90° относительно оси У и с координатами точки 100, 205, 0. Командой Move — Перенеси передвигают цилиндр параллельно оси X до положения, симметричного относительно оси конуса. 7. Вызывают команду Intersect — Пересечение и указывают на конус и призму. В результате выполнения этой команды будет соз дано новое тело из пространства, общего для этих двух тел. 8. Командой Subtract — Вычти создают резец с заданными разме рами вычитанием цилиндра из созданного командой Intersect — Пере сечение тела. Результат выполнения показан на рис. 74. 3.4. ЧЕРТЕЖИ ТРЕХМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ Построение модели детали еще не является законченной рабо той. Необходимо скомпоновать все необходимые проекции детали на одном листе и вывести их на бумагу. При создании моделей ис пользуют неперекрывающиеся видовые экраны Tiled Viewports — Неперекор. ВЭ, позволяющие видеть создаваемый объ ект в разных ракурсах одновременно во всех экранах. Изменения, вводимые в одном активном экране, сразу же отражаются во всех неактивных видовых экранах. Недостаток неперекрывающихся ви довых экранов состоит в том, что в каждый момент времени актив ным может быть только один экран. Он и выводится на бумагу. Не перекрывающиеся видовые экраны облегчают создание объектов. После создания определенной конфигурации видовых экранов ее можно сохранить View -> Viewports -» New Viewports — Вид -> Ви довые экраны -> Новые ВЭ, в появившемся диалоговом окне задают имя. Сохраненную конфигурацию можно использовать и для пла вающих видовых экранов. Для работы в пространстве листа в автокаде введено понятие layout — компоновка. Каждый чертеж может иметь несколько ком поновок, каждая из которых имеет закладку в графической зоне чертежа. Закладки позволяют быстро переходить из одной компо новки в другую. Для создания компоновки используют перекры вающиеся (плавающие) видовые экраны. Каждый видовой экран может содержать вид, разрез или сечение созданной модели, но все эти виды располагаются как бы на одном листе бумаги. Для каждой компоновки устанавливают свои видовые экраны с помощью меню Viewports — Видовые экраны, затем для каждого видового экрана задают направление проецирования, используя ко 112 манды меню 3D Views — ЗМтзрения, и масштабируют с помощью команды View — Zoom —> Scale — Вид -» Покажи —> Масштаб. Для получения желаемого результата плавающие видовые экраны мож но передвигать, растягивать, уменьшать. Для выравнивания видо вых экранов используют опцию Align — Выровняй команды MVSETUP— ФОРМАТЛ, которую вызывают набором в командной строке mvsetup — формата. Для вставки титульного блока выбира ют опцию Title block— Титульный блок, которая выводит на экран список существующих титульных блоков, выполненных в системах ISO и ANSI. Можно вставить и блок, выполненный в ЕСКД, но для этого необходимо предварительно его создать и записать в формате .dwt (файл шаблона чертежа), присвоив ему имя. Для облегчения процесса создания компоновки в автокаде пре дусмотрена команда Tools —> Wizards -> Create Layout— Сервис -* Мас тера —►Компоновка, позволяющая с помощью диалоговых окон по лучать необходимые компоновки. Находясь в выбранной компонов ке, переключаются из пространства модели в пространство листа и обратно с помощью кнопки Model — Paper — Модель— Лист в строке состояния. Созданную компоновку сохраняют с помощью команды Layout в подкаталоге Template с расширением .dwt под любым именем. Для использования шаблона компоновки в других чертежах достаточно щелкнуть правой кнопкой «мыши» на заклад ке любой компоновки и выбрать в контекстном меню From template — Выберете шаблон. Таким образом, во вновь создавае мых чертежах нет необходимости настраивать и масштабировать видовые экраны, достаточно построить модель и выбрать необходи мую компоновку из ранее созданных. На экране появятся необходи мые проекции построенной модели. Для построения трех основных видов и аксонометрической проекции модели создают компоновку из четырех видовых экра нов, используя команду Viewports — Видовые экраны, затем для каждого видового экрана задают направление проецирования, ис пользуя команды меню 3D Views — ЗМ тзрения (верхний левый экран — вид спереди, верхний правый — вид слева, нижний ле вый — вид сверху, нижний правый — изометрическая проекция). С помощью команды View —>Zoom —> Scale — Вид —> Пока жи -> Масштаб устанавливают в каждом видовом экране мас штаб, равный единице. Командой Pan Realtime — Панорамирова ние в реальном времени настраивают границы отображаемого участка. Затем переходят к выравниванию видов, т. е. устанавли вают проекционную связь между ними. ИЗ Для изменения размеров видового экрана в пространстве листа используют команды растяжения Stretch — Растяни, перемещения Move — Перенеси или «ручки». При работе с «ручками» необходи мо щелкнуть правой клавишей «мыши» на границе видового экра на. Тогда в углах экрана появятся голубые квадратики — «ручки». Из этих четырех квадратиков выбирают один, который окрашивает ся в красный цвет. Это и будет базовая «ручка» для редактирова ния. С помощью этой «ручки» изменяют размеры видового экрана или, при необходимости, выбирают другую ручку. Полученную компоновку сохраняют под именем ЕСКД комп с помощью команды Layout. Для формирования чертежа в пространстве листа можно ис пользовать команду MVSETUP— ФОРМАТЛ, которую вызывают набором в командной строке mvsetup — форматл. Команда MVSETUP — ФОРМАТЛ имеет следующие опции: Align Create /Scale viewports / Options / Title block/Undo — Выров няй / Создай /Масштабируй видовые экраны / Опции / Титульный блок/Отмени. Выбор опции Options — Опции выводит на экран приглашение: Choose option to set — Layer / Limits / Units / Xref— Слой /Лимиты / Ссылка. С помощью этих опций задают формат (размеры) чертежа, создают слой для вставки титульного блока (рамка с основной надписью), устанавливают единицы изме рения, а также внешнюю ссылку на титульный блок. Для вставки титульного блока выбирают опцию Title block — Титульный блок, которая выводит на экран список сущест вующих титульных блоков, выполненных в системах ISO для фор матов А4, АЗ, А2, А1, АО и ANSI для форматов V, А, В, С, D, Е. Можно вставить и блок, выполненный в ЕСКД, но для этого необ ходимо предварительно его создать и записать в формате .dwt (файл шаблона чертежа), присвоив ему имя. Для создания видовых экранов выбирают опцию Create — Соз дай, предлагающую следующие варианты видовых экранов: Available Mview viewport layout options: 0: None 1: Single 2: Std. Engineering 3: Array of Viewports Redisplay / < Number of entry to load >: 2 Bunding area for viewports). First point: Выберите нижнюю ле вую точку нижнего левого видового экрана Other point: Выберите верхнюю правую точку верхнего правого видового экрана 114 Distance between viewports in X < 0 >: Distance between viweports in Y < 0 >: Опции доступных видовых экранов: О: Нет 1: Один 2: Станд. Технический 3: Набор видовых экранов Перерисовать / < Номер загружаемой опции >: 2 Границы видового экрана (ов). Первая точка: Выберите левую нижнюю точку нижнего левого видового экрана Другая точка: Выберите правую верхнюю точку верхнего пра вого видового экрана Расстояние между видовыми экранами по оси X < 0 >: Расстояние между видовыми экранами по оси Y < 0 >: На экране дисплея появятся четыре видовые экрана, но распо ложение проекций будет выполнено по международному стандарту, не соответствующему ЕСКД. Для выполнения требований ЕСКД необходимо изменить направление взгляда на объект, т. е. изменить расположение проекций. Для этого необходимо перейти в плаваю щие видовые экраны и установить в нижнем левом видовом экране вместо фронтальной проекции вид в плане, в верхнем левом вместо вида в плане — фронтальную проекцию и поменять местами пра вые верхнюю и нижнюю проекции. Построив проекции, устанавливают единый масштаб для всех видов. Вызывают опцию Scale viewports — Масштабируй видовые экраны, позволяющую установить масштаб для каждого видового экрана в отдельности или один для всех. Установив единый мас штаб для всех видовых экранов, переходят к выравниванию видов, т. е. устанавливают проекционную связь между ними. Для этого предусмотрена опция Align — Выровняй, которая обеспечивает вы равнивание угловое, горизонтальное, вертикальное и дает возмож ность повернуть рисунок на видовом экране на заданный угол от носительно базовой точки. Для выравнивания горизонтальной и фронтальной проекций используют вертикальное выравнивание, для фронтальной и профильной — горизонтальное. Эта команда по зволяет перемещать рисунок на видовом экране, выравнивая его по базовой точке, которую выбирают в другом видовом экране. При выборе базовых точек можно использовать объектную привязку. Редактирование модели возможно только в пространстве модели. Закончив выравнивание, переходят в пространство листа. В про странстве листа нельзя редактировать модель, но можно изменять размеры видовых экранов и перемещать их. При невозможности на 115 строить изображение в заданных размерах видового экрана следует изменить размеры самого видового экрана. Компоновка как бы создает изображение модели на заданные плоскости проекций, но не создает двухмерные проекции видов. Поэтому все видимые и невидимые участки модели изображаются одним типом линий. Для удаления невидимых линий переходят в плавающие видовые экраны и вызывают команду Hide— Скрой, а затем возвращаются в пространство листа. Чертеж, полученный с помощью компоновки, еще не имеет законченного вида. Перед нанесением размеров создают слой для размеров. Для на несения размеров в пространстве листа в диалоговом окне Dimension Styles -» Geometry — Размерные стили -> Геометрия в области Scale — Масштаб устанавливают флажок около опции Scale to Paper — Относительно листа. Тогда при масштабировании каждого плавающего видового экрана автоматически произойдет переход в новый масштаб геометрических параметров всех размер ных элементов (стрелок, текста и т. д.) и при выводе на печать ве личина всех размерных элементов будет одинаковой. Перед выводом на печать замораживают слой, на котором нахо дились видовые экраны, проводят осевые линии, заполняют основ ную надпись и предварительно просматривают выводимый на бу магу чертеж. Для компоновки проекций модели в пространстве листа в Автокаде существуют три команды — SOL VIEW — ТВИД, SOLDRAW— ТРИСУЙ u SOLPROF— ПРОФИЛЬ. Пиктограммы этих программ расположены на панели инструментов Solids — Тела. Команда Solview — Твид панели инструментов Solids — Тела по зволяет автоматически создавать видовые экраны и строить ортого нальные проекции. Возможности этой команды позволяют строить двумерные проекции модели, сечения и наклонные виды, не влияя на модель. Если из пространства листа вернуться в пространство модели, то помимо модели можно увидеть плоские изображения за данных видов и сечений, созданных этой командой. Выбирают эту команду с помощью пиктограммы или из падающего меню Draw —> Solis —> Setup —> View — Рисуй —> Тела —> Подготовка —>Вид. При этом на экране дисплея появляется следующее сообщение: Command: Setup: View UCS / Ortho / A uxiliary / Section / < eXit >: Команда: Подготовка: Вид ПСК/ Прямоуг / Вспомогат / Сечение // < Выход >: 116 Рассмотрим опции этой команды. Опция UCS — ПСК, позволя ет выбрать текущую ПСК, установить масштаб, центр и координа ты углов рамки видового экрана. Опция Ortho — Прямоуг создает ортогональные проекции. Опция Auxiliary — Вспомогает создает наклонные виды. Опция Section — Сечение служит для формирования разрезов. Разрезы могут быть продольными поперечными и наклонными и строятся строго в проекционной связи. Масштаб разреза может от личаться от основного и задается пользователем. Для получения из разреза сечения необходимо заморозить видимый и невидимый слои, а контур со штриховкой обвести полилинией. Опция eXit — Выход служит для завершения выполнения команды. Команда Solview — Твид создает для каждого вида дополнитель ные слои с метками: для видимых линий — vis, для невиди мых — hid, для размеров — dim и для линий штриховки — hat. Тип линии Continue — Непрерывный заменяют в слоях с меткой — hid на Dashed — Пунктирный. Закончив работу со слоями, вызывают команду Soldraw — Трисуй, позволяющую создавать плоские изо бражения, в которых контуры вычерчиваются выбранным типом линий, а в сечениях штриховка наносится автоматически. При обра щении к этой команде происходит автоматический переход в про странство листа, и невидимые линии во всех видовых экранах бу дут изображены штриховыми. Если эти слои отключить, то невиди мые линии на всех видовых экранах будут скрыты. На запрос ко манды Select object: — Выберите объекты с помощью секущей рамки указывают рамки всех построенных видов по отдельности или всех сразу. Замораживают слои Vports, который создает рамку около каждого вида, и слой, в котором выполнена модель, наносят размеры и вставляют блок с основной надписью. Последовательность построения чертежа, выполненного с помо щью этих команд, показана на рис. 75. 1. Вызывают команду Polygon — Многоугольник и строят пра вильный шестиугольник с координатами центра 100, 100, радиусом описанной окружности 50 и правильный пятиугольник с тем же центром и радиусом описанной окружности 35. 2. Командой Cylinder — Цилиндр строят цилиндр с центром в точке 100, 100, радиусом, равным 20, и высотой 80. 3. Затем с помощью команды Extrude — Выдави, создают шес тигранную призму высотой 80 и пятигранную высотой 100. 4. Поворачивают пятигранную призму командой Rotate3D — ЗПоверни на угол 90° относительно оси X. 117 070 aV Рис. 75 5. Командой Subtract — Вычти создают призму с цилиндриче ской полостью и окном в форме пятигранника. Построив твердо тельную модель заданного геометрического тела, переходят к соз данию двумерных чертежей этой модели. 6. Вызывают команду Setup: View — Подготовка: Вид Command: Setup: View Команда: Подготовка: Вид UCS/ Ortho /Auxiliary / Section / < eXit >: и ПСК / пРямоуг /Вспомогат / Сечение // < Выход >: П Named / World /?/ < Current >: Enter Именованная И Мировая /?/ < Текущая >: Масштаб вида < 1 >: Enter Enter view scale< 1 >: Enter Центр вида: 100, 100 View center: 100, 100 Центр вида: Enter View center: Enter Первый угол рамки: 40, 40 Clip first corner: 40, 40 Второй угол рамки: 155, 150 Clip other corner: 155, 150 Имя вида: Н1 View name: HI На экране дисплея появится та проекция модели, которая была текущей перед вызовом этой команды. Так как построение велось на виде в плане, то появляется горизонтальная проекция модели. 118 Для построения фронтальной проекции выбирают опцию Ortho — пРямоуг. Для построения проекции указывают сторону видового экрана координаты центра вида и углов рамки, дают имя виду. UCS / Ortho /Auxiliary /Section / < eXit >: О Pick side of viewport to proect: Midpoint (Указывают на нижнюю часть видового экрана) Укажите сторону видового экрана для проекции: Середина View center: 100, 210 Центр вида: 100, 210 View center: Enter Центр вида: Enter Clip first corner: 40, 170 Первый угол рамки: 40, 170 Clip other corner: 155, 260 Второй угол рамки: 155, 260 View name: H2 Имя вида: Н2 На экране дисплея появится фронтальная проекция модели, вы полненная в проекционной связи с горизонтальной проекцией. Про фильная проекция строится по аналогии с фронтальной. Для по строения сечения вызывают опцию Section — Сечение. UCS / Ortho / Auxiliary / Section / < eXit >:S ПСК / пРямоуг / Вспомогат / Сечение // < Выход >: С Cutting Plane’s 1st point: указывают точку на видовом экране Cutting Plane’s 2nd point: указывают точку с другой стороны вида 1-ая точка секущей плоскости: 2-ая точка секущей плоскости: Side of cutting plane to view from: указывают точку на одной из сторон от секущей плоскости, для определения направления про ецирования Направление вида по отношению к секущей плоскости: Enter view scale< 1 >: Enter Масштаб нового вида < 1 >: View center: 0, — 100,0 Центр вида: 0, — 100,0 View center: Enter Центр вида: Enter Clip first comer: 180, 40 Первый угол рамки: 180, 40 Clip other corner: 280, 160 Второй угол рамки: 280, 160 View name: SI Имя вида: SI Построенное сечение всегда находится в проекционной связи с плоскостью сечения. 7. Открывают диалоговое окно Lauer Properties Manager — Свойства слоя. В открывшемся диалоговом окне поя вится много новых слоев. Для каждой построенной проекции ко манда Setup: View — Подготовка: Вид создала три слоя. Название каждого слоя состоит из имени заданного вида и написанного через дефис назначения. Слои с невидимыми линиями обозначены 119 Hl-hid, H2-hid, H3-hid, Sl-hid, с видимыми — Hl-vis, H2-vis, H3-vis, Sl-vis, а для размерных линий — HI-dim, H2-dim, H3-dim,. SI-dim. Для линий штриховки появился слой Sl-hat. Для того чтобы линии невидимого контура были выполнены по ЕСКД, изменяют тип ли нии в слоях с меткой hid и вместо Continuous — Сплошная устанав ливают Dashed— Штриховая. Делают невидимыми слои Vports, который создает рамку около каждого вида, а также слой, в кото ром была создана модель. 8. Вызывают команду Soldraw — Трисуй для создания двумер ных изображений и выбирают все видовые экраны. При обращении к этой команде происходит автоматический переход в пространство листа, в результате чего на экране дисплея линии видимого контура вычерчиваются сплошной линией, все линии невидимого контура во всех видовых экранах будут изображены штриховыми линиями, а в сечении появится штриховка. 9. Текущим устанавливают слой с меткой — dim и наносят раз меры, предварительно настроив размерный стиль. Для выполнения требований ЕСКД для линий видимого контура устанавливают толщину линии 0,8 мм. При необходимости вставля ют блок с основной надписью. Команды Solview — Твид и Soldraw — Трисуй позволяют строить ортогональные проекции, наклонные виды и сечения для трехмер ных объектов. Для построения различных видов и аксонометриче ских проекций моделей используют команду Solprof— Профиль, работающую в режиме пространства листа с предварительно соз данными плавающими видовыми экранами (рис. 76). Эта команда, так же как и команда Soldraw — Трисуй, создает двумерные виды трехмерных объектов, не изменяя самой модели. Плоскостные изо бражения модели располагаются со стороны изображаемого вида. Чертеж модели в аксонометрической проекции вместе с созданны ми командой Solprof— Профиль двумерными видами показан на рис. 77. Последовательность построения треугольной призмы с цилинд рическим отверстием и треугольным окном: 1. Вызывают команду Polyline — Полилиния и строят треуголь ники с координатами (100,45; @47.5,85; @— 95,0; С) и (100, 130; @— 37.5, — 60; @75,0; С). 2. Командой Cylinder — Цилиндр строят цилиндр с центром в точке 100, 100, радиусом 22.5 и высотой 100. 3. С помощью команды pxtrude — Выдави создают трехгранные призмы высотой 100. 120 Рис. 76 4. Командой Rotate3D — ЗПоверни поворачивают призму с ко ординатами (100, 130; @— 37.5, — 60; @75,0; С) на угол 90° отно сительно оси X. 5. Командой Subtract — Вычти создают призму с цилиндриче ской полостью и окном в форме трехгранника. Построив твердотельную модель заданного геометрического тела, переходят к созданию двухмерных чертежей этой модели. 6. Выбрав закладку Layout 1 — Компоновка1, нажимают правую клавишу мыши и из контекстного меню выбирают опцию From template — Выберите шаблон. В появившемся диалоговом окне вы бирают компоновку ЕСКД комп. На экране появятся четыре проек ции построенной модели. 7. Для изменения размеров видового экрана в пространстве листа используют команды растяжения Stretch — Растяни, пере мещения Move — Перенеси или «ручки». При необходимости из меняют масштаб полученных видов, используя команду Zoom — Scale — Покажи — Масштаб меню View — Вид. Мас6-300 121 Рис. 77 штаб изображения изменяют в пространстве модели выбранной компоновки. 8. Вызывают команду Solprof— Профиль Command: Setup profile Команда: Подготовка: контуры Select object: Выберите объекты Display hidden profile lines on separate layer? < Y >.Enter Отображать скрытые линии сечения на отдельном слое? < ДА >: Enter Project profile lines onto a plane? < Y >: Enter Проецировать линии сечения на плоскость? < ДА >: Enter Delete tangential edges? < Y >: Enter Удалить касательные грани? < ДА >: Enter Команду Solprof— Профиль вызывают для каждого видового экрана отдельно (этот диалог будет повторяться четыре раза). Если на запрос «Проецировать линии сечения на плоскость?» ответить отрицательно, то двухмерные объекты созданы не будут. 9. Открывают диалоговое окно Lauer Properties Manager — Свойства слоя. В открывшемся диалоговом окне поя122 вится много новых слоев. Слои с невидимыми линиями обозначены 32А, 34й, 36Л, 38Л, с видимыми линиями — 32v, 34v, 36v, 38v. Для того чтобы линии невидимого контура были выполнены по ЕСКД, изменяют тип линии в слоях с меткой А, вместо Continuous — Сплошная устанавливают Dashed — Штриховая. Де лают невидимыми слой, на котором были созданы видовые экраны, и слой, на котором была создана модель. 10. Для выполнения требований ЕСКД для линий видимого контура устанавливают толщину 0,8 мм. Наносят размеры, предва рительно настроив размерный стиль на пространство листа, и, уста новив объектную привязку, проводят осевые линии. При необходи мости вставляют блок с основной надписью и выводят чертеж на печать, предварительно просмотрев его с помощью команды Print Preview — Предварительный просмотр. На одном чертеже для разных видовых экранов возможно ис пользование команд Solview — Твид, Soldraw — Трисуй и Solprof — Профиль. Чертеж полого цилиндра с цилиндрическим ок ном, выполненный с использованием указанных выше команд, по казан на рис. 78. Использование предварительно созданной компо новки заменяет действие команды Solview — Твид. 123 3.5. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ Для придания трехмерным чертежам деталей естественного вида используют тонирование или раскрашивание. Тонирова ние — цветовая раскраска двух- и трехмерных моделей с наложени ем теней в соответствии с установленными источниками света. Рас крашивание — упрощенное тонирование, выполняемое командой Shade — Раскрашивание. Эта команда предполагает один источник света, находящийся за точкой обзора и заданный по умолчанию. Раскрашивание используют для быстрого получения наглядного представления модели. Для раскрашивания выбирают в меню View — Shade — Вид — Раскрашивание. Ниже перечислены опции этой команды. IDWireframe— 2М каркас, отображает объекты в виде привычной каркасной модели без раскрашивания. 3D Wireframe — ЗМ каркас, отображает объекты в виде каркасной мо дели, но вместе с трехмерной пиктограммой ПСК. Hidden — Скрыть, эквивалентна выполнению команды HIDE — СКРОЙ. Flat Shaded — Без тени, формирует «плоскую» без полутонов заливку областей. При этом не учитывается ориента ция граней и изменение вследствие этого их освещенности. Gouraud shaded — Гуро. Создает сглаженный полутоновой переход между по-разному ориентированными гранями. Flat Shaded’ Edges On — Без тени с кромками, совмещает плоскую заливку и каркас ное представление ребер. Gouraud Shaded, Edges On — Гуро с кром ками, комбинирует раскрашивание по методу Гуро с выводом кар касного представления ребер. Системная переменная SHADEDIF контролирует световой по ток, который отражается от объекта. HIDEPRECISION — переменная, позволяющая изменять точ ность вычисления при удалении невидимых линий и раскрашивании: 0 — одинарная точность, 1 — двойная точ ность. FACETRATIO — переменная, влияющая на плотность сети для тел вращения: 0 — обычная плотность, 1 — увеличенная плотность. Возможно получение трех видов тонирования: Render— Упрощен ное, Photo Real — Фотореалистичное, Photo Raytrace — Трассиров ка луча. Упрощенное тонирование (рис. 79) — вариант по умолчанию, выполняемый быстрее остальных, но не дающий возможности мо делирования специальных эффектов визуализации. Используется один источник света — позади наблюдателя. 124 Рис. 79 Фотореалистичное тонирование позволяет создавать специаль ные материалы, включать при создании сцены растровые изображе ния, учитывать падающие тени. Изображение на экране формирует ся строка за строкой. Трассировка луча выполняет тонирование, в котором реализует ся алгоритм обратной трассировки световых лучей для генерации преломления, отражения, определения освещенности. Этот метод требует больших вычислительных затрат для отслеживания пути всех световых лучей с учетом встречающихся на их пути объектов и позволяет получить четкие контуры объектов, резко очерченные тени. Но при этом снижается скорость визуализации. Для получе ния качественного изображения созданных объектов необходимо выполнить следующие действия: 1. С помощью команды DVIEW—ДВИД выбрать наиболее удачный перспективный вид. 2. Назначить материалы созданным геометрическим объектам. 3. Создать источники света. 4. Создать специальные эффекты. 5. Визуализировать изображение. Если нет необходимости в перспективном изображении объек тов, то можно остановиться на изометрическом изображении, кото125 рое использовалось при работе с неперекрывающимися видовыми экранами. Перспективные виды создаются командой DVIEW—ДВИД, по зволяющей рассматривать объекты в динамике, перемещая их или поворачивая. Команда DVIEW—ДВИД имеет следующие опции: CAmera / TArget / Distance / POints / РАп / Zoom / TWist / Clip / Hi de / Off / Undo / < eXit > : Камера / Цель / Расстояние / Точки / Пан / Покажи / Вра щай / Сечение / Скрой / ОТКл / ОТМени / < выХод >: Camera — Камера задает положение камеры относительно цели: угол в плоскости XY от оси X и угол с плоскостью XY. Эти углы характеризуют направление главного луча. Камеру можно повора чивать, поднимать и опускать относительно цели. По умолчанию считается, что цель находится в центре текущего вида и главный луч как бы закреплен в этой точке. Target — Цель задает положение цели относительно камеры. Указываемые при запросах углы определяют направление главного луча, который как бы закреплен в точке положения камеры. По умолчанию точка положения камеры совпадает с началом текущей системы координат. Запросы при работе с этими двумя опциями одинаковые. Toggle angle in/Enter angle from XY plane < 90.000 >: Другой угол /Введите угол от плоскости XY < 90.000 >: Toggle angle from/Enter angle in XY plane from X axis <-90.000 >: Другой угол /Введите угол в плоскости XY от оси X < — 90.000 >: Опция Distance — Расстояние. Задается расстояние от камеры до цели и включается режим перспективы. Расстояние можно вво дить в командную строку или использовать линейный регулятор, расположенный в верхней части графического поля. Перемещение курсора вправо от отметки IX уменьшает масштаб изображения, а перемещение влево — увеличивает. Коэффициент масштаба IX вос станавливает исходный масштаб. Опция Points — Точки позволяет задать положение цели и каме ры с помощью координат X, Y, Z или использовать объектную при вязку и фильтры. Enter target point < 20, 60, 80 >... Введите точку цели < 20, 60, 80>... Enter camera point < 20, 60, 80 >... Выберите точку для камеры < 20, 60, 80>... 126 Опция РАп — Пан панорамирует изображение, не изменяя мас штаба изображения. Опция Zoom — Покажи запрашивает фокусное расстояние камеры. Adjust lens length < 70.000 >: Укажите фокусное расстояние объектива < 70.000 >: Большое фокусное расстояние дает более широкий обзор, но уменьшает масштаб изображения. Если режим перспективы отключен, то опция аналогична команде Zoom —> Center — Покажи —>Центр. Опция Twist — Вращай вращает или наклоняет изображение мо дели относительно направления взгляда. В работе этой опции при сутствует «резиновая нить» от центра вида, с помощью которой можно настроить угол вращения. Опция Clip — СЕчение устанавливает положение передней и задней секущих плоскостей перпендикулярно направлению взгляда. Объекты, находящиеся перед передней или задней секущими плос костями, на экране невидимы. При выборе опции Clip — СЕчение, появляется запрос Back/ Front/ < off >: Задняя/Передняя / < Откл >: Опция по умолчанию отключает все ранее заданные секущие плоскости. Две другие опции устанавливают положение задней и передней секущих плоскостей. Секущую плоскость можно устанавливать вводом значения координат или с помощью линейного регулятора. Опция Hide — Скрой удаляет невидимые линии. Опция Off — Откл отключает режим перспективы и возвращает на экран параллельный вид — режим обычного просмотра. Опция Undo — ОТМени, отменяет результат работы последней опции внутри команд ДВИД. Вызывая подряд несколько раз Undo — ОТМени можно последовательно отменить все изменения команды ДВИД. Опция eXit — выХод завершает команду ДВИД и регенерирует рисунок. Чертеж призмы, выполненный с использованием команды ДВИД -» Камера, показан на рис. 80. Этот же рисунок в перспекти ве после выполнения команды Расстояние показан на рис. 81. На рис. 82 показана деталь в перспективном проецировании, а на рис. 83, 84, 85 — в параллельном проецировании. Закончив создание вида в перспективе, переходят к выбору ма териалов для созданных моделей. Под «материалом» принят опре деленный набор свойств, присваиваемый поверхностям созданных геометрических моделей для придания им внешнего сходства с ре альными объектами. Существует две разновидности материалов: стандартные и основанные на картах текстур. Внешнее сходство с 127 Рис. 81 Рис. 80 реальными объектами достигается за счет совокупности различных цветов отражательной способности и прозрачности. Для создания и настройки характеристик стандартных материалов используют диа логовое окно Materials Материалы, находящееся в панели инст рументов Render Тонирование. Материалы, основанные на картах текстур — это растровые файлы, которые накладываются на созданные объекты. Растровые изображения хранятся в папке Textures. На один объект можно по местить до четырех растровых изображений. Растровые изображе ния можно получать на основе сканированных фотографий. Воз можно комбинирование стандартных материалов и материалов на основе карт текстур. Важным фактором для визуализации созданных объектов явля ется освещение. Существует четыре вида источников света. Ambient Light — Окружающая подсветка — не имеет источника и направления. Это равномерное освещение всех объектов рассеян ным светом. Интенсивность подсветки можно менять с помощью шкалы Intensity Интенсивность Point Light— Точечный напоминает электрическую лампочку, свет от которой распространяется по всем направлениям из опреде ленной точки в пространстве. — — — . 128 Рис. 85 Spotlight — Прожектор создает нацеленный световой поток. Прожектор задается двумя точкамй: точкой цели, где будет нахо диться наиболее яркое пятно, и точкой расположения прожектора. Прожектор позволяет получать контролируемые тени. Distant Light — Удаленный направленный световой поток, ис пускающий, как солнце, параллельные лучи. Интенсивность свето вого потока можно устанавливать автоматически с помощью каль кулятора положения солнца. Для этого достаточно задать свое ме стоположение и время года и суток. " Закончив создание источников света, переходят к созданию фона. Имеются четыре типа фона: Solid — Сплошной использует сплошную заливку выбранным цветом; Gradient — Переход содержит три цвета, плавно переходящие друг в друга; Image — Изображение фоном служит любое растровое изобра жение; Merge — Слияние позволяет использовать текущий фон как фон тонирования и создавать дополнительный эффект отражения, нало жив выбранное растровое изображение на внутреннюю поверхность сферы, окружающую сцену. Создание сцены. Сцены позволяют управлять источником све та и видами. Для каждого вида сцена позволяет назначать свои ис точники света, выбрав их из уже созданных. Сцена — это закончен ная композиция, включающая в себя созданные геометрические тела, источники света, материалы и камеры, позволяющие выбрать наиболее удачное положение тел в пространстве. Закончив созда ние сцены, переходят к тонированию. Для получения хороших ре зультатов при визуализации сцен необходимо получение перспек тивного изображения с удачным расположением камеры, комбина цией различных источников света и удачно подобранных материа лов. Созданные тонированные изображения можно сохранить, вы брав команду Tools -» Display Image -* Save — Сервис —> Изобра жение —> Сохранить и использовать в других графических пакетах. Задание 1 4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 131 132 133 134 135 Задание 2 136 137 138 Задание 3 § § § § ЯР £ § 090 8 139 8 § 8 а* о § 140 141 § § 8 § 142 143 Задание 4 3 090 Ql oоs § 144 01 JO 145 о «о о сэ 3 с§ 3 £cvi 146 147 Задание 5 148 8 <§ CSJ § 149 § § § 150 Задание 6 Si Ш Г ¥ 1П « - \ 91 0Z X _ -------- — о $ 151 152 7-300 153 154 155 Задание 7 156 157 158 Задание 8 159 160 0Q.09 08.10 На виде сверху окно не показано 161 162 08.17 08.18 Окно На виде сверху окно не показано 163 08.23 08.24 Окно Окно На виде сверху окно не показано 164 165 166 Задание 9 На виде спереди сквозной вырез не показан^ На виде сверху окно не показано 167 168 169 170 09.17 Окно сквозное \ 09.18 032 ШЛ0. На виде сверху окно не показано На виде сверху окно не показано 171 На виде спереди сквозной вырез не показан 172 На виде сверху окно не показано 09.25 Окно 056 На виде сверху окно не показано На виде спереди сквозной вырез не показан На виде спереди сквозной вырез не показан На виде сверху окно не показано 173 174 Задание 10 175 10.05 10.06 Окно сквозное 20 JO 176 177 10.13 10.14 178 1 0 .1 9 10.20 179 10.21 10.22 180 10.25 Окно 10.26 OR 42 181 10.29 10.30 182 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ А, В, С, ...— точки; 1, 2, 3, ...— вспомогательные точки; а , Р, у, ...— плоскости; ц, р, ср, ц/, со, ...— углы; пи Я2, лз — горизонтальная, фронтальная и профильная плоско сти проекций; X, Y, Z — оси проекций; О — начало координат; А', а ', х', у', т! — проекции на плоскость щ; А", а", х", у", z" — проекции на плоскость я2; А"', а '" , х'", у'", т!" — проекции на плоскость (А), (В),..., (1), (2), ...— невидимые точки; = — совпадение; || — параллельность; -L — перпендикулярность; п — пересечение. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Буланже Г.В., Леонова А.Г. Сложные геометрические тела. — М.: МОССТАНКИН, 1971. 58 с. 2. Буланже Г.В. Усеченные геометрические тела. — М.: МОССТАНКИН, 1989. 46 с. 3. Гончарова В. А., Гущин И. А. Проекционное черчение на персональном компьютере. — М.: МГТУ «Станкин», 1999. 56 с. 4. Финкельштейн Э. Библия пользователя Autocad 2000 14.: Пер. с англ.— К., М.; СПб: Диалектика, 1998. 896 с. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ..................................................................................................................... 1. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ Т Е Л ............................................ 1.1. Основные положения............................................................................................... 1.2. Многогранники.......................................................................................................... 1.2.1. Призмы усеченные............................................................................................ 1.2.2. Пирамиды усеченные....................................................................................... 1.3. Тела вращ ения.................................................................................................... 1.3.1. Цилиндры усеченные....................................................................................... 1.3.2. Конуса усеченные............................................................................................ 1.3.3. Шары усеченные............................................................................................... 1.4. Группы геометрических тел............................................................................... 1.5. Задания на проецирование геометрических т е л ............................................ 1.5.1. Задания на построение проекций усеченных геометрических тел . . . . 1.5.2. Задания на построение проекций группы геометрических т е л .............. 2. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ОТВЕРСТИЯМИ . . . 2.1. Разрезы и сечения.................................................................................................... 2.2. Геометрические тела с продольным отверстием.............................................. 2.3. Геометрические тела с поперечным отверстием.............................................. 2.4. Геометрические тела с продольным и поперечным отверстиями................ 2.5. Полые шары с отверстиями................................................................................. 2.6. Аксонометрические проекции............................................................................... 2.6.1. Прямоугольная изометрическая проекция плоских ф и г у р ...................... 2.6.2. Прямоугольная диметрическая проекция плоских фигур........................ 2.6.3. Аксонометрические проекции геометрических тел с отверстием........... 2.7. Задания на проецирование геометрических тел с отверстиями...................... 3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЕРСОНАЛЬНОМ К О М П Ь Ю Т Е Р Е ............. .............................................................................................. 3.1. Простейшие геометрические тела......................................................................... 3.2. Сложные геометрические тела............................................................................... 3.3. Примеры построений геометрических тел различной сложности................ 3.3.1. Пространственная модель призмы, усеченной плоскостью...................... 3.3.2. Пространственная модель призмы, усеченной несколькими плоскостями 3.3.3. Пространственная модель пирамиды............................................................ 3.3.4. Пространственная модель пирамиды, усеченной несколькими плоскостями 3.3.5. Пирамида с цилиндрическим о к н о м ............................................................ 3.3.6. Усеченные тела вращения............................................................................... 3.3.7. Создание сложных геометрических т е л ...................................................... 3.4. Чертежи трехмерных моделей............................................................................... 3.5. Визуализация трехмерных объектов.................................................................... 4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ.......................................................................................... Принятые обозначения . ............................................................................................ Список лит ературы ....................................................................................................... 3 4 4 7 8 И 14 16 19 26 29 33 33 35 37 37 41 44 60 68 72 73 76 81 85 88 88 94 96 96 99 101 103 105 106 109 112 124 131 183 183

[Bulanzhe G.V., Gushin I.A. i dr.] Inzhenernaya gr(b-ok.xyz)(1)

Related documents

Products

Support

[Bulanzhe G.V., Gushin I.A. i dr.] Inzhenernaya gr(b-ok.xyz)(1)

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib