Матрицы

.
Министерство общего и профессионального
образования Свердловской области
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
Свердловской области
Социально-профессиональный техникум
«Строитель»
Математика
Методические указания и
контрольные задания
для студентов – заочников
(на базе основного общего
образования)
1
ОДОБРЕНО
Предметной (цикловой) комиссией
естественнонаучных дисциплин
Протокол заседания № ______
от «_____» __________ 2021 г.
Председатель П(Ц)К
________________ / Комличенко Л.А. /
Настоящее пособие предназначено для студентов-заочников ГАПОУ СО
«Социально-профессиональный техникум «Строитель» специальностей «Сварочное
производство» и «Технология деревообработки» и полностью соответствует программе по
математике для СПО. Оно может быть использовано студентами для самостоятельного
изучения раздела программы, а также преподавателем на уроке при изучении нового
материала, для домашнего задания, при повторении и подготовке к зачётной работе.
Пособие включает в себя, помимо задач, теоретические сведения, необходимые для
решения задач раздела «Линейная алгебра», подробные решения типовых примеров, вопросы
для самопроверки, а также упражнения для самостоятельного решения. Сформулированы
контрольные вопросы для проверки знаний теоретического материала.
Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в
организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей
программы по математике.
Все непонятные вопросы студент может выяснить на индивидуальной консультации у
преподавателя.
Практическая работа выполняется письменно, в соответствии с установленными
требованиями, сдается на заочное отделение для проверки преподавателем.
При выполнении работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.
Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются
студенту для переработки.
Правила выполнения работы:
 работа должна быть выполнена в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует
разборчиво написать свою фамилию, инициалы, учебную группу, название дисциплины,
номер варианта (если есть), дату отправки работы на проверку;
 в работу должны быть включены основные определения, понятия из учебного пособия, все
практические задания для самостоятельного решения выполнены и записаны в тетрадь
(выделены желтым цветом), также ответы на вопросы, указанные на 21 странице;
 условие каждой задачи должно быть полностью переписано из задания перед её решением.
Автор - составитель: Глебова Наталья Николаевна, преподаватель математики ГАПОУ СО
«Социально-профессиональный техникум «Строитель»
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .......................................................................................................................................................... 4
§ 𝟏. Определение матрицы. Действия над матрицами. .......................................................................... 5
1. Матрицы ................................................................................................................................................. 5
2. Виды матриц .......................................................................................................................................... 5
3. Равенство матриц .................................................................................................................................. 6
4. Линейные операции над матрицами ................................................................................................. 6
5. Умножение матриц................................................................................................................................ 8
§ 𝟐. Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление ....................................... 10
1. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков ............ 10
2. Основные свойства определителей ................................................................................................. 11
3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя ............................................ 12
4. Вычисление определителя разложением по элементам строки или столбца ......................... 14
§ 3. Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков .................................... 16
1. Определение обратной матрицы ...................................................................................................... 16
2. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков ................................................... 16
§ 4. Решение простейших матричных уравнений ................................................................................. 18
Вопросы и задачи по теме .......................................................................................................................... 21
Литература.................................................................................................................................................. 222
3
Введение
Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике
матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы,
в программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор
проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные
фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера
изготавливаются из высококачественного композиционного материала,
зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный
материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие
элементы
(исключение
составляют
слоистые
композиты).
Матрица в фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или
цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных
элементов).
Благодаря
светочувствительной
матрице
происходит
преобразование спроецированного на нее оптического изображения в
электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП,
то
преобразование
происходит
в
поток
цифровых
данных.
Матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных
видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы
видеонаблюдения.
Основное значение термин «матрица» имеет в математике.
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда
«волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение
линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее
у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц.
Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах
Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории
матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица»
ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь
дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно
решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами,
решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Одним из способов решения систем линейных уравнений являются
определители, которые составляются из матриц.
4
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 𝟏. Определение матрицы. Действия над матрицами.
1. Матрицы
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу,
которая содержит m строк n столбцов. Для записи матрицы используется
следующее обозначение:
𝑎11 𝑎12 … 𝑎𝑛3
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
( …
… … … )
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
Сокращённо прямоугольную матрицу типа 𝑚 × 𝑛 можно записать так: A = (𝑎𝑖𝑗 ).
Любой элемент матрицы обозначается 𝑎𝑖𝑗 , где i - номер строки, j - номер столбца.
2. Виды матриц
Если число строк матрицы не равно числу столбцов (𝑚 ≠ 𝑛), то матрица
называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы:
5 −1
1 3 −4 5
𝐴 =(
) - матрица типа 2 × 4, 𝐵 = (−2
4 ) - матрица
2 −1 1 6
7 −3
типа 3 × 2.
Если число строк равно числу столбцов (𝑚 = 𝑛), то матрица называется
3 −2
квадратной. Например, A = (
)
4 5
Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.
𝑎11 𝑎12
Например, порядок квадратной матрицы 𝐴 = (𝑎
) равен 2.
21 𝑎22
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: ( …
… … … ).
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
Диагональ, содержащую элементы 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 , будем называть главной, а
диагональ, содержащую элементы 𝑎1𝑛 , 𝑎2,𝑛−1 , … , 𝑎𝑛1 , - побочной.
Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых не равны нулю только
3 0 0
элементы, находящиеся на главной диагонали, например: 𝐴 = (0 1 0 ). Такие
0 0 −2
матрицы называются диагональными.
Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между
собой, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной
матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется
1 0 0
единичной и обозначается буквой Е:
𝐸 = (0 1 0).
0 0 1
5
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и
0 0
обозначается так: 𝑂 = (
).
0 0
В прямоугольной матрице типа 𝑚 × 𝑛 возможен случай, когда 𝑚 = 1. При этом
получается матрица-строка: 𝐴 = (𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ) . В случае, когда 𝑛 = 1,
𝑎11
𝑎21
получаем матрицу-столбец: 𝐵 = ( …
).
𝑎𝑚1
3. Равенство матриц
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и
одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Так, матрицы
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝐴 = (𝑎
и
𝐵
=
)
(
)
𝑏21 𝑏22 𝑏23
21 𝑎22 𝑎23
равны, если 𝑎11 = 𝑏11 , 𝑎12 = 𝑏12 , 𝑎13 = 𝑏13 , 𝑎21 = 𝑏21 , 𝑎22 = 𝑏22 , 𝑎23 =
𝑏23.
Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они
прямоугольные типа 𝑚 × 𝑛, либо квадратные одного и того же порядка n.
Если в матрице типа 𝑚 × 𝑛 переставить строки со столбцами, получим матрицу
типа 𝑛 × 𝑚, которую называют транспонированной и обозначают 𝐴т .
Например,
1 −2
1 −3
𝐴=(
) и 𝐴𝑇 = (
)
−2
4
−3
4
4. Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В будем называть такую матрицу, элементы которой
равны сумме соответствующих элементов матриц А и В .
Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение : или
прямоугольные типа m×n, или квадратные одинакового порядка.
1. Сложить матрицы А и В, если
2 4
−1 3
а) 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
−1 3
1 −4
Р е ш е н и е. Здесь А и В – квадратные матрицы второго порядка. Складывая
2−1 4+3
их соответствующие элементы, получим С = А + В = (
).
−1 + 1 3 − 4
3 −4 1
2 3 4
б) А = (
), В = (
).
1 4 5
2 0 −3
Р е ш е н и е. Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их
соответствующие элементы:
2+3 3−4 4+1
5 −1 5
С= А+В=(
) = (
)
1 + 2 −4 + 0 5 − 3
3 −4 2
6
2 −1
1 0 −3
в) 𝐴 = (3
).
5 ), 𝐵 = (
2 4 8
0 −8
Р е ш е н и е. Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, так как 𝐴 есть
матрица типа 3 × 2, а 𝐵 − матрица типа 2 × 3; можно складывать только
прямоугольные матрицы одного типа.
2 - 4. Сложить матрицы А и В:
3 2 0
4 1 −3
2. 𝐴 = (4 −5 2), 𝐵 = (5 7 0 ).
6 1 7
0 0 2
2 −1
4
1
3. 𝐴 = (3 0 ), 𝐵 = (−3 −1).
5 8
2
3
7 4 0
−7 −4 −1
4. 𝐴 = (
), 𝐵 = (
)
−2 5 1
2 −5
0
На сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:
1) переместительный закон: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴, где 𝐴 и 𝐵 - либо квадратные
матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа 𝑚 × 𝑛;
2) сочетательный закон сложения (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶), где 𝐴, 𝐵, 𝐶 либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного
типа 𝑚 × 𝑛.
Произведением матрицы 𝑨 на число k называется такая матрица kA, каждый
элемент которой равен 𝑘𝑎𝑖𝑗 , то есть чтобы умножить матрицу А на число 𝑘 нужно
все элементы матрицы умножить на это число.
2 −1 3
5. Умножить матрицу А = ( 2 −4 1) на число 𝑘 = 3.
−5 1 4
Р е ш е н и е. Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим
2·3
3A = ( 2 · 3
−5 · 3
−1 · 3 3 · 3
6
−3
9
−4 · 3 1 · 3) = ( 6
−12 3 ).
1·3 4·3
−15
3 12
6. Найти линейную комбинацию 3𝐴 − 2𝐵, если
2 −4 0
4 −1 −2
𝐴 = (−1 5
1 ), 𝐵 = (0 −3 5 ).
0
3 −7
2 0 −4
Р е ш е н и е. Сначала находим произведения А на 𝑘1 = 3 и 𝐵 на 𝑘2 = −2:
6 −12
0
−8 2
4
3𝐴 = (−3 15
3 ), −2𝐵 = ( 0 6 −10).
0
9 −21
−4 0
8
Теперь найдём сумму полученных матриц:
6 − 8 −12 + 2
0+4
−2 −10
4
3𝐴 − 2𝐵 = (−3 + 0 15 + 6
3 − 10 ) = (−3
21 −7 ).
0−4
9+0
−21 + 8
−4
9 −13
7
7 - 9. Вычислить линейные комбинации матриц:
2 −6 1
−5 2
3
7. 2𝐴 − 𝐵, если 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
3
0 4
0 −1 −2
6 −4
0 −1
8. 3𝐴 + 2𝐵, если 𝐴 = ( 3 −2), 𝐵 = ( −2 5 ).
−1
5
4
0
2 −1
1 2
−7 −4
9. 2𝐴 + 3𝐵 − 𝐶, если 𝐴 = (
), 𝐵 = (
), 𝐶 = (
)
−3
4
−4 0
18 −8
5. Умножение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
А = (𝑎
и
В
=
)
(
)
𝑏21 𝑏22
21 𝑎22
Произведением этих матриц называется матрица
𝑎 𝑏 + 𝑎12 𝑏21
𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 𝑏22
𝐶 = 𝐴𝐵 = ( 11 11
).
𝑎21 𝑏11 + 𝑎22 𝑏21 𝑎21 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22
10. Найти произведение матриц A и В, если
3 1 1
1
1 −1
𝐴 = (2 1 2) , 𝐵 = (2 −1
1 ).
1 2 3
1
0
1
Р е ш е н и е. 𝐶 =
3 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 3 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) + 1 ∙ 0 3 ∙ (−1) + 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1
(2 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 2 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 0 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1) =
1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 1 1 ∙ 1 + 2 ∙ (−1) + 3 ∙ 0 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1
6
2 −1
(6
1
1)
8 −1
4
11 – 13. Найти произведения матриц:
1 1
3 −1
11. (
)∙(
).
−1
2
3 1
12. (
2 0
5
1
)∙(
).
0 1
2 −3
1 1 3
3 −1 0
13. ( 0 2 1) ∙ (0
1 1).
−1 0 4
2
0 1
Правило нахождения матрицы – произведения распространяется на умножение
и прямоугольных матриц.
8
0 −1
2
1
14. 𝐴 = (
3
0
3
7
2
3 1
1
) , 𝐵 = (2 1)
1
1 0
1
Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:
1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;
2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица,
содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов,
сколько столбцов во второй матрице.
15 – 18. Найти произведение АВ:
−1 2
3 2 1
15. 𝐴 = (
) , 𝐵 = ( 2 0).
0 1 2
−3 1
3
0
−1 0 2
16. 𝐴 = ( 0 −1) , 𝐵 = (
).
2 1 0
−2
5
1 2
2 1 0
17. 𝐴 = (
) , 𝐵 = (2 1).
3 1 1
2 2
1 1
1
1
18. 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
1 1
−1 −1
2 −1
−7
4
19. Вычислить 𝐶 = 𝐴2 + 2𝐵, где 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
0
3
5 −3
20. Найти 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴, где
1 2 1
4 1 1
𝐴 = (2 1 2) , 𝐵 = (4 2 0).
1 2 3
1 2 1
−1 2
2 −1 0
21. Найти 3𝐴 ∙ 2𝐵, если 𝐴 = (
) , 𝐵 = ( 2 0).
3
2 1
−3 1
1 0 0
2
3 4
22. Найти AE, если 𝐴 = (
) , 𝐸 = (0 1 0).
5 −1 6
0 0 1
6. Свойства умножения матриц
1) Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, то
есть
𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.
2) Сочетательный закон: 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶.
3) Распределительный закон (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.
Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для
матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух
ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если
9
1
𝐴=(
1
0 0
(
).
0 0
1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) 1 ∙ (−1) + 1 ∙ 1
1
1 −1
), 𝐵 = (
), то 𝐴𝐵 = (
)=
1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) 1 ∙ (−1) + 1 ∙ 1
1
−1
1
§ 𝟐. Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление
1. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего
порядков
𝑎11 𝑎12
Пусть дана квадратная матрица второго порядка: А = (𝑎
).
21 𝑎22
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице,
называется число 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21.
𝑎11 𝑎12
Определитель второго порядка записывается так: 𝐷 = |𝑎
|.
21 𝑎22
Элементы а11 , а22 образуют главную диагональ определителя, а21 , а12 – побочную.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
 
 

 
 

 
 
,
то есть из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение
элементов побочной.
23. Вычислить определители второго порядка:
2
2
5
𝑎𝑏|.
а) |
| ; б) | 𝑎
−3 −4
𝑎𝑏 𝑏 2
2
5
Р е ш е н и е. а) |
| = 2 ∙ (−4) − 5 ∙ (−3) = −8 + 15 = 7;
−3 −4
2
𝑎𝑏| = 𝑎2 ∙ 𝑏 2 − 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑏 = 𝑎2 𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0.
б) | 𝑎
𝑎𝑏 𝑏 2
24 - 30 . Вычислить определители:
−1 4
3 −1
4 7
24. |
| ; 25. |
| ; 26. |
|;
5 2
4
5
−2 1
28. |
cos 𝛼
sin 𝛼
− sin 𝛼
|;
cos 𝛼
𝑎+𝑏
29. |
2𝑎
𝑏
|;
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
27. |
𝑎−𝑏
sin 𝛼
30. |
sin 𝛽
𝑎−𝑏
|;
𝑎+𝑏
cos 𝛼
|.
cos 𝛽
𝑎11 𝑎12 𝑎13
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка 𝐴 = (𝑎21 𝑎22 𝑎23 ).
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Определителем третьего порядка, соответствующим данной матрице,
называется число 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 −
𝑎32 𝑎23 𝑎11. ,
Определитель третьего порядка записывается так:
10
𝑎11
𝐷 = |𝑎21
𝑎31
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23 |
𝑎32 𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
− 𝑎32 𝑎23 𝑎11.
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться
правилом треугольников. Это правило проиллюстрируем по схеме:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎31
𝑎32
𝑎33
𝑎31
𝑎32
𝑎33
Определитель 3-го порядка представляет собой алгебраическую сумму шести
произведений, причем три произведения берутся со знаком „ + “ и три – со
знаком „ – “. Со знаком „ + “ берется произведение элементов, стоящих на главной
диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной
диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.
Со знаком „ – “ берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а
также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с
добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.
31. Вычислить определитель третьего порядка.
3 −5 −1
| 2
1
4|
−1 −2
1
= 3 ∙ 1 ∙ 1 + 2 ∙ (−2) ∙ (−1) + (−5) ∙ 4 ∙ (−1)— 1 ∙ 1 ∙ (−1) − 2 ∙ (−5) ∙ 1
−
−(−2) ∙ 4 ∙ 3 = 3 + 4 + 20 − 1 + 10 + 24 = 60.
32 – 39. Вычислить определители:
𝑎+𝑥
𝑥
𝑥
2 −3
5
3
4 −5
32. |−4
𝑏+𝑥
𝑥 |.
1 −2|. 33. |8
7 −2|. 34. | 𝑥
𝑥
𝑥
𝑐+𝑥
−1
6
8
2 −1
8
2 3 −4
4 −2 3
5 0
0
35. |5 6
38.
39.
|.
|
|.
|
7
7 1 2|.
3 2
0
8 0
3
5 −3 6
0 7 −1
2. Основные свойства определителей
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с
соответствующими столбцами (т.е. транспонировать), и наоборот.
3 −2
3 5
Пример: |
|=|
| = 3 ∙ 4 − (−2) ∙ 5 = 22.
5
4
−2 4
Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов.
11
2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак на
противоположный:
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
|𝑎
|
=
−
|
𝑎11 𝑎12 |.
21 𝑎22
5 −1
Пример: |
| = 5 ∙ (−4) − 3 ∙ (−1) = −20 + 3 = −17.
3 −4
Поменяв местами столбцы, получим
−1 5
|
| = −1 ∙ 3 − 5 ∙ (−4) = −3 + 20 = 17
−4 3
3. Определитель, имеющий две одинаковых строки (или столбца) равен нулю.
1
1 3
Пример: |1
1 3| = 1 ∙ 1 ∙ 4 + 1 ∙ 3 ∙ 2 + 1 ∙ (−1) ∙ 3 − 3 ∙ 1 ∙ 2 − 3 ∙ (−1) ∙ 1 −
2 −1 4
1∙1∙4=
= 4 + 6 − 3 − 6 + 3 − 4 = 0.
4. Общий множитель элементов какого-либо строки (или столбца) определителя
можно вынести за знак определителя:
𝑎11 𝑎12
𝑎
𝑘𝑎12
|.
| 11
| = 𝑘|𝑎
𝑎21 𝑘𝑎22
21 𝑎22
3 −2
3 1
Пример: |
| = −2 |
| = −2(3 ∙ 3 − 7 ∙ 1) = −2 ∙ 2 = −4.
7 −6
7 3
5. Если все элементы некоторой строки (или столбца) пропорциональны
соответствующим элементам другой строки (или столбца), то такой определитель
равен 0.
3 7
1
Пример:
|2 3 −1| = 3 ∙ 3 ∙ (−2) + 7 ∙ (−1) ∙ 4 + 2 ∙ 6 ∙ 1 − 1 ∙ 3 ∙ 4 − 6 ∙
4 6 −2
(−1) ∙ 3 −
−7 ∙ 2 ∙ (−2) = −18 − 28 + 12 − 12 + 18 + 28 = 0.
6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то
же число, то определитель не изменит своей величины:
𝑎11 𝑎12
𝑎 + 𝑘𝑎12 𝑎12
|.
| 11
|=|𝑎
𝑎21 + 𝑘𝑎22 𝑎22
21 𝑎22
7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или
ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 0
0
|𝑎21 𝑎22 0 | = | 0 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 .
0
0 𝑎33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
12
Минором 𝑴𝒊𝒋 элемента 𝑎𝑖𝑗 определителя D = | 𝑎𝑖𝑗 |, называют такой новый
определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и
столбца, содержащий данный элемент.
Например, минор М23, соответствующий элементу 𝑎23 определителя
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝐷 = |𝑎21 𝑎22 𝑎23 |,
𝑎31 𝑎32 𝑎33
получается, если вычеркнуть из определителя D вторую строку и третий
столбец, т.е.
𝑎11 𝑎12
𝑀 = |𝑎
|.
31 𝑎32
40 - 41. Записать все миноры определителя:
−1 2 0
40. 𝐷 = | 3 7 −1|.
5 4 2
Ре ш е н и е.
3 −1
3 7
7 −1
𝑀11 = |
| ; 𝑀12 = |
| ; 𝑀13 = |
|;
4
2
5 2
5 4
−1 0
−1 2
2 0
𝑀21 = |
| ; 𝑀22 = |
| ; 𝑀23 = |
|;
4 2
5 2
5 4
2
0
−1
0
−1 2
𝑀31 = |
| ; 𝑀32 = |
| ; 𝑀33 = |
|.
7 −1
3 −1
3 7
1 2
3 4
0 −1
5 2
4 −5
41. а) 𝐷 = |
| ; б) 𝐷 = |
|.
3 2 −1 4
3
7
1 4 −3 2
Алгебраическим дополнением 𝐴𝑖𝑗 элемента 𝑎𝑖𝑗 определителя D называется
минор 𝑀𝑖𝑗 этого элемента, взятый со знаком (−1)𝑖+𝑗 . Алгебраическое дополнение
элемента 𝑎𝑖𝑗 обозначается 𝐴𝑖𝑗 .
Таким образом, 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝑀𝑖𝑗 .
42.
Вычислить алгебраические дополнения элементов 𝑎13 , 𝑎21 , 𝑎31
определителя
−1 2
3
𝐷 = | 2 0 −3|.
3 2
5
Ре ш е н и е.
2 0
2 3
𝐴13 = (−1)1+3 ∙ |
| = 4 − 0 = 4;
𝐴21 = (−1)2+1 ∙ |
| = −(10 − 6) =
3 2
2 5
−4;
2
3
𝐴31 = (−1)3+1 ∙ |
| = −6 − 0 = −6.
0 −3
43. Найти алгебраические дополнения элементов 𝑎12 , 𝑎22 , 𝑎32 определителя
13
2 0
𝐷 = |−1 7
0 5
4
0|
2
4. Вычисление определителя разложением по элементам строки или столбца
Теорема. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца)
определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.
D = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + … + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 или D = 𝑎1𝑗 . 𝐴1𝑗 +𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + … +𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 .
Эти соотношения называют разложением определителя по элементам -й строки
или 𝑗-го столбца.
44. Вычислить определитель разложением:
а) по элементам 2-ой строки; б) по элементам 1-го столбца.
2
1
1
𝐷 = |−1
3
4|
5 −2 −1
2
1
1
1
Р е ш е н и е. а) 𝐷 = −1 ∙ (−1)2+1 ∙ |
| + 3 ∙ (−1)2+2 ∙ |
|+4∙
−2 −1
5 −1
2
1
(−1)2+3 |
|=
5 −2
= (−1 − (−2)) + 3 ∙ (−2 − 5) − 4 ∙ (−4 − 5) = 1 − 21 +
36 = 16.
б)
1
(−1)3+1 |
3
1
|=
4
3
𝐷 = 2 ∙ (−1)1+1 |
−2
4
1
1
| − 1 ∙ (−1)2+1 |
|+5∙
−1
−2 −1
= 2(−3 + 8) + (−1 + 2) + 5(4 − 3) = 10 + 1 + 5 = 16.
Если определитель имеет четвёртый или более высокий порядок, то его также
можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок
алгебраических дополнений.
45. Вычислить определитель
3 0 2 0
𝐷 = | 2 3 −1 4 |.
0 4 −2 3
5 2 0 1
Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам 1-ой строки (так как она
содержит два нулевых элемента):
3 0 2 0
𝐷 = | 2 3 −1 4 |
0 4 −2 3
5 2 0 1
3 −1 4
2 −1 4
2 3 4
2 3 −1
= 3 |4 −2 3| − 0 ∙ |0 −2 3| + 2 |0 4 3| − 0 ∙ |0 4 −2|.
2
0 1
5
0 1
5 2 1
5 2
0
14
Поскольку второй и четвёртый члены разложения равны нулю, имеем
𝐷 = 3(−6 − 6 + 16 + 4) + 2(8 + 45 − 80 − 12) = 24 − 78 = −54.
46 – 48. Вычислить определители третьего порядка:
1 0 1
1 −1 −2
3
2 −4
46. |2 1 3 |.
47. |1
48. |0
2 −2|.
5
1 |.
5 0 −1
2
3 −5
1 −6
4
49 – 51. Вычислить определители четвёртого порядка:
2 3 −3 4
2 −1 1 0
3 −1 4 2
1 2 −1|. 50. |2 1 −1 2|. 51. |5
2 0 1 |.
49. |0
6 2 1 0
3 −1 2 3
0
2 1 −3
3 1 6 1
2 3
6 −2 9 8
0 5
Перечислим различные способы вычисления определителей.
1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение.
Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для
определителя более высокого порядка применим следующий способ.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам
строки или столбца.
3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду.
Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен
произведению элементов главной диагонали.
Чтобы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к
какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять
соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то
же число, до тех пор пока не придём к определителю треугольного вида.
Пусть, например, требуется вычислить определитель
1
1 1 1
𝐷 = | 1 −1 2 2 |.
1
1 −1 3
1
1 1 −1
Вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим определитель
треугольного вида:
1 1
1 1
𝐷 = | 0 −2 1 1 | = 1 ∙ (−2)(−2)(−2) = −8.
0 0 −2 2
0 0
0 −2
15
§ 3. Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков
1. Определение обратной матрицы
Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен
нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется
матрица, которая, будучи умноженной на А, даёт единичную матрицу.
Обозначив обратную матрицу через 𝐴−1 , запишем 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐸.
Если обратная матрица 𝐴−1 существует, то матрица 𝐴 называется обратимой.
Операция нахождения обратной матрицы при условии, что она существует
называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое
значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах
линейного программирования.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица 𝐴 имела обратную, необходимо
и достаточно, чтобы матрица 𝐴 была невырожденной, т.е. чтобы её определитель
был отличен от нуля.
2. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Найти определитель матрицы 𝐴.
2. Найти алгебраические дополнения всех элементов 𝑎𝑖𝑗 матрицы 𝐴 и
записать новую матрицу.
3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать).
4. Умножить полученную матрицу на 1⁄𝐷.
52. Найти матрицу, обратную матрице
2 −3
𝐴=(
).
−1 5
Р е ш е н и е. 1. Найдём определитель матрицы 𝐴:
2 −3
𝐷=|
| = 2 ∙ 5 − (−1) ∙ (−3) = 10 − 3 = 7.
−1 5
Так как D ≠ 0, то данная матрица является невырожденной и, следовательно,
существует обратная матрица.
2. Найдём алгебраические дополнения каждого элемента: 𝐴11 = (−1)1+1 ∙ 5 =
5;
𝐴12 = (−1)1+2 ∙ (−1) = 1; 𝐴21 = (−1)2+1 ∙ (−3) = 3; 𝐴22 = (−1)2+2 ∙
5 1
2 = 2. Тогда получим матрицу: 𝐴̃ = (
).
3 2
5 3
3. Транспонируем эту матрицу: 𝐴𝑇 = (
).
1 2
4. Умножим полученную матрицу на 1⁄𝐷, т.е.на 1⁄7
5⁄ 3⁄
1 5 3
7).
−1
𝐴 = ∙(
)=( 7
1⁄ 2⁄
7 1 2
7
7
16
Проверим полученный ответ. Выполнив умножение 𝐴𝐴−1 , находим
5⁄ 3⁄
2 ∙ 5⁄7 + (−3) ∙ 1⁄7 2 ∙ 3⁄7 + (−3) ∙ 2⁄7
2 −3
7
7
𝐴𝐴 = (
)∙(
)=(
)
1⁄ 2⁄
5⁄ + 5 ∙ 1⁄
3⁄ + 5 ∙ 2⁄
−1 5
−1
∙
−1
∙
7
7
7
7
7
7
1 0
=(
)=𝐸
0 1
2 −1 3
53. Найти матрицу, обратную матрице 𝐴 = (−4 5 0).
−3 2 1
−1
Р е ш е н и е. 1. Находим определитель матрицы 𝐴:
2 −1 3
𝐷 = |−4 5 0| = 2 ∙ 5 ∙ 1 + (−4) ∙ 2 ∙ 3 + (−1) ∙ 0 ∙ (−3) − 3 ∙ 5 ∙ (−3) −
−3 2 1
−0 ∙ 2 ∙ 2— 4 ∙ (−1) ∙ 1 = 10 − 24 + 45 − 4 = 27.
Поскольку 𝐷 ≠ 0, матрица 𝐴 является невырожденной и, значит, можно найти
матрицу 𝐴−1 .
2. Найдём алгебраические дополнения всех элементов матрицы 𝐴.
−1 3
5 0
𝐴11 = (−1)1+1 ∙ |
| = 5;
𝐴21 = (−1)2+1 ∙ |
|=
2 1
2 1
7;
−4 0
2 3
𝐴12 = (−1)1+2 ∙ |
| = 4;
𝐴22 = (−1)2+2 ∙ |
|=
−3 1
−3 1
11;
2 −1
−4 5
𝐴13 = (−1)1+3 ∙ |
| = 7;
𝐴23 = (−1)2+3 ∙ |
|=
−3 2
−3 2
−1;
−1 3
2 3
𝐴31 (−1)3+1 ∙ |
| = −15; 𝐴32 = (−1)3+2 ∙ |
| = −12;
5 0
−4 0
2 −1
𝐴33 = (−1)3+3 ∙ |
| = 6.
−4 5
5
4
7
̃
Запишем новую матрицу: 𝐴 = ( 7
11 −1).
−15 −12 6
5 7 −15
3. Транспонируем полученную матрицу: 𝐴𝑇 = (4 11 −12).
7 −1
6
1
1
4. Умножив полученную матрицу на ⁄𝐷 = ⁄27, находим
17
5⁄
15
7⁄
27
27 − ⁄27
4⁄
11⁄
12
A−1
27
27 − ⁄27 =
6⁄
7
1
( ⁄27 − ⁄27
27 )
5⁄
5
7⁄
27
27 − ⁄9
4⁄
11⁄
4
27
27 − ⁄9 .
7
1
2⁄
( ⁄27 − ⁄27
9 )
Проверим полученный ответ. Имеем
5⁄
5
7⁄
27
27 − ⁄9
2 −1 3
𝐴𝐴−1 = (−4 5 0) ∙ 4⁄27 11⁄27 − 4⁄9
−3 2 1
7
1
2⁄
( ⁄27 − ⁄27
9 )
10 − 4 + 21
14 − 11 − 3 −10 + 4 + 6
27
27
9
1 0 0
−20 + 20 + 0 −28 + 55 + 0 20 − 20 + 0
=
== (0 1 0) = 𝐸
27
27
9
0 0 1
−15 + 8 + 7 −21 + 22 − 1 15 − 8 + 2
(
)
27
27
9
54 – 60. Найти матрицы, обратные заданной матрице А:
5
1
= ⁄14 (4
7
54. (
1 2
).
3 4
7 −15
11 −12) =
−1
6
3 −4
55. (
).
5
7
2
5
7
58. (6
3
4 ).
5 −2 −3
3
59. (2
3
4
1
56. (
).
0 −3
−4
5
−3
1 ).
−5 −1
57. (
−1 −3
).
4
2
−2
3
5
60. ( 0
1 −4)
6 −1
2
§ 4. Решение простейших матричных уравнений
Пусть дана система уравнений
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1 ,
{𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2 ,
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3 .
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝐴 = (𝑎21 𝑎22 𝑎23 ).
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Свободные члены и неизвестные можно записать при помощи матрицстолбцов:
18
𝑥1
𝑏1
𝐵 = (𝑏2 ) , 𝑋 = (𝑥2 ).
𝑥3
𝑏3
Тогда эту систему уравнений можно записать так:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥1
𝑏1
(𝑎21 𝑎22 𝑎23 ) ∙ (𝑥2 ) = (𝑏2 ) или 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑥3
𝑏3
Это равенство называется простейшим матричным уравнением.
Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А невырожденная (𝐷 ≠ 0); тогда существует обратная матрица 𝐴−1 . Умножив обе
части матричного уравнения на обратную матрицу 𝐴−1 , получим
𝐴−1 (𝐴𝑋) = 𝐴−1 𝐵.
Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде
(𝐴−1 𝐴)𝑋 = 𝐴−1 𝐵.
Поскольку 𝐴−1 𝐴 = 𝐸 и 𝐸𝑋 = 𝑋, находим
𝑋 = 𝐴−1 𝐵.
Чтобы решить матричное уравнение нужно:
1. Найти обратную матрицу А-1
2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец
свободных членов В, т.е. 𝐴−1 𝐵.
3. Пользуясь определением равных матриц записать ответ.
3
3
2
61. Решить матричное уравнение (
)∙𝑋 =(
).
1 −4
−13
Р е ш е н и е. 1. Будем искать обратную матрицу 𝐴−1 .
Найдём определитель матрицы 𝐴:
3
2
𝐷=|
| = −12 − 2 = −14 ≠ 0.
1 −4
Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы 𝐴:
𝐴11 = (−1)1+1 ∙ (−4) = −4;
𝐴21 = (−1)2+1 ∙ 2 = −2;
𝐴12 = (−1)1+2 ∙ 1 = −1;
𝐴22 = (−1)2+2 ∙ 3 = 3.
−4 −1
Запишем новую матрицу 𝐴̃ = (
) и транспонируем её 𝐴𝑇 =
−2
3
−4 −2
(
).
−1
3
Учитывая, что 1⁄𝐷 = − 1⁄14, запишем обратную матрицу
2⁄
1⁄
−4 −2
7
7 ).
−1
1
𝐴 = − ⁄14 (
)=(
3
1
−1
3
⁄14 − ⁄14
2. Умножим матрицу 𝐴−1 на матрицу 𝐵:
19
6−13
2⁄
1⁄
7 ) ( 3 ) = ( 7 ) = (−1).
𝑋 = 𝐴−1 𝐵 = ( 7
3+39
3
1⁄
−13
3
14 − ⁄14
14
𝑥1
−1
3. Так как (𝑥 ) = ( ), то по определению равных матриц 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 3.
3
2
62 – 65. Решить матричные уравнения:
7
3
5 1
62. (2 −3 1) 𝑋 = (0).
5
3
2 0
2 −7
1
−18
63. (3
1 −1) 𝑋 = ( 19 ).
1 −1
3
1
0
2
3
8
64. (5 −2
0 ) 𝑋 = ( 9 ).
2
0 −3
−10
1
65. ( 1
−1
1 −1
−1
−1
1 ) 𝑋 = ( 5 ).
1
1
1
20
Вопросы и задачи по теме
1. Что называется матрицей?
2. Что называется матрицей-строкой? матрицей-столбцом?
3. Какие матрицы называются прямоугольными? квадратными?
4. Какие матрицы называются равными?
5. Что называется главной диагональю матрицы?
6. Какая матрица называются диагональной?
7. Какая матрица называется единичной?
8. Какая матрица называется треугольной?
9. Что значит «транспонировать» матрицу?
10. Транспонируйте матрицу
3 0
1
𝐴 = (−1 2
7 ).
0 1 −3
11. Что называется суммой матриц?
12. Сложите матрицы
1 0 1
6
2 −1
𝐴 = (−2 0 1) и 𝐵 = (2
0
2 ).
3 5 2
1 −1 −3
13. Что называется произведением матрицы на число?
14. Как найти произведение двух матриц?
15. В чём состоит обязательное условие существования произведения матриц?
16. Найдите произведение матриц:
3 0 1 2
2 −1 −3 5
а) (−2 0 5) (3) ; б) (
)(
).
4
6
2 1
1 1 2 1
17. Какими свойствами обладает произведение матриц?
18. Что называется определителем матрицы?
19. Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?
20. Что называется минором?
21. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
22. Как разложить определитель по элементам строки или столбца?
23. Какие способы вычисления определителя вам известны?
24. Перечислите свойства определителей.
25. Какая матрица называется невырожденной?
26. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?
27. Каков порядок вычисления обратной матрицы?
3 1
28. Вычислите обратную матрицу для 𝐴 = (
).
7 5
29. Как записать простейшее матричное уравнение?
30. Как решить матричное уравнение?
31. Решите матричным способом систему уравнений
3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 0,
{ 5𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 0,
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.
21
Литература
1. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. Математика: Учебник. - М.: Дрофа, 2010.
2. Дадаян А.А. Сборник задач по математике. Учебное пособие. Гриф МО РФ,
– М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2013.
3. Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс
М.: Издательство МЭИ.2006.
4. Лисичкин В.Т., Соловейчик Л.И. Математика в задачах с решениями: Учебное
пособие. 3-е изд., стер. – СПб: Издательство «Лань», 2011. -464 с.: ил. –
(Учебники для вузов. Специальная литература)
22