Метрология

2
СОДЕРЖАНИЕ
1. Задание 1. …………………………….………………................................
2. Задание 2. …………………………….………………................................
3. Задание 3. …………………………….………………................................
4. Задание 4. …………………………….………………................................
5. Список использованных источников ……………………………………
3
5
7
9
10
3
Задание 1.
ЭДС источника с неизвестным внутренним сопротивлением измеряется
дважды вольтметром на пределах 300 и 750 В с выходным сопротивлением
300 и 750 кОм соответственно. Класс точности вольтметра 1,5. Найти
величину ЭДС и максимальные значения абсолютной и относительной
погрешности, если показания вольтметра составляли 300 и 500 В.
Решение:
Вводим следующие обозначения:
- ЭДС источника 𝜀;
- внутреннее сопротивление источника 𝑟;
- внутренние сопротивления вольтметра соответственно 𝑅1 = 300 кОм
и 𝑅2 = 750 кОм;
- пределы измерения вольтметра соответственно 𝑈𝑁1 = 300 В и
𝑈𝑁2 = 750 В;
- показания вольтметра соответственно 𝑈1 = 300 В и 𝑈2 = 500 В;
- класс точности вольтметра 𝛾 = 1,5.
Тогда на основании приведенных определений и результатов двух
измерений получаем следующие два уравнения:
𝜀
∗ 𝑅1 = 𝑈1 ,
(1)
𝑟 + 𝑅1
𝜀
∗ 𝑅2 = 𝑈2 .
(2)
𝑟 + 𝑅2
Из уравнения (2) выразим ЭДС:
𝑈2
𝑟
𝑟
𝜀=
∗ (𝑟 + 𝑅2 ) = 𝑈2 ∗ (1 + ) = 500 ∗ (1 +
)=
𝑅2
𝑅2
750 ∗ 103
2
= 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟.
(3)
3
Подставим полученное выражение (3) в уравнение (1):
2
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟
3
∗ 𝑅1 = 𝑈1 ;
𝑟 + 𝑅1
2
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 𝑈1
3
= ;
𝑟 + 𝑅1
𝑅1
2
𝑈1
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 =
∗ (𝑟 + 𝑅1 );
3
𝑅1
2
𝑟
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 𝑈1 ∗ (1 + ) ;
3
𝑅1
2
𝑟
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 300 ∗ (1 +
);
3
300 ∗ 103
4
2
500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 300 + 1 ∗ 10−3 ∗ 𝑟;
3
1
200 = ∗ 10−3 ∗ 𝑟;
3
200
𝑟=
= 600000 Ом = 600 кОм.
1
−3
∗ 10
3
Тогда на основании (3) можем определить ЭДС источника:
2
𝜀 = 500 + ∗ 10−3 ∗ 600 ∗ 103 = 900 В.
3
Для вольтметра в общем виде предел абсолютной погрешности ∆
находится из формулы:
∆
𝛾=±
∗ 100%,
(4)
𝑈𝑁
где 𝛾 – класс точности; 𝑈𝑁 – предел измерения.
В свою очередь, предел инструментальной относительной погрешности
определяется следующим образом:
∆
𝛿=±
∗ 100%,
(5)
𝑈изм
где 𝑈изм – результат измерения.
Рассматриваем измерение на пределе 𝑈𝑁1 = 300 В:
𝛾 ∗ 𝑈𝑁1
1,5 ∗ 300
∆𝑈1 =
=±
= ±4,5 В;
100%
100
∆𝑈1
4,5
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±1,5 %.
𝑈1
300
Рассматриваем измерение на пределе 𝑈𝑁2 = 750 В:
𝛾 ∗ 𝑈𝑁2
1,5 ∗ 750
∆𝑈2 =
=±
= ±11,25 В;
100%
100
𝛿𝑈1 = ±
𝛿𝑈2 = ±
∆𝑈2
11,25
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±2,25 %.
𝑈2
500
5
Задание 2.
Определить значения методической и инструментальной погрешности
косвенного измерения сопротивлений 1,5 кОм и помощью амперметра и
вольтметра по двум возможным схемам. Сопротивление амперметра 100 Ом,
сопротивление вольтметра 10 кОм; напряжение источника питания 1 В;
конечные значения диапазонов измерения амперметра: 1 мА; вольтметра 1 В.
Классы точности: амперметра 2,5, вольтметра 2,5. Нарисовать схемы.
Решение:
Изображаем требуемые две схемы метода амперметра-вольтметра:
Рассмотрим погрешности при измерении по схеме а).
Значение сопротивления, вычисленное по показаниям приборов:
𝑈 𝑈𝐴 + 𝑈𝑥 𝑈𝐴 𝑈𝑥
𝑅𝑥′ = =
=
+
= 𝑅𝐴 + 𝑅𝑥 = 100 + 1500 = 1600 Ом.
𝐼𝑥
𝐼𝑥
𝐼𝑥
𝐼𝑥
Показания приборов:
𝑈1
1
𝑈1 = 𝑈пит = 1 В; 𝐼1 = ′ =
= 0,000625 𝐴 = 0,625 мА.
𝑅𝑥 1600
Абсолютная методическая погрешность измерения сопротивления:
∆м1 = 𝑅𝑥′ − 𝑅𝑥 = 𝑅𝐴 = 100 Ом.
Относительная методическая погрешность измерения сопротивления:
∆м1
100
𝛿м1 =
=
= 0,0667 или 6,67 %.
𝑅𝑥
1500
Абсолютная инструментальная погрешность измерения напряжения:
𝛾𝑈 ∗ 𝑈𝑁
2,5 ∗ 1
∆𝑈1 =
=±
= ±0,025 В.
100%
100
Относительная инструментальная погрешность измерения напряжения:
∆𝑈1
0,025
𝛿𝑈1 = ±
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±2,5 %.
𝑈1
1
6
Абсолютная инструментальная погрешность измерения тока:
𝛾𝐼 ∗ 𝐼𝑁
2,5 ∗ 1
∆𝐼1 =
=±
= ±0,025 мА.
100%
100
Относительная инструментальная погрешность измерения тока:
∆𝐼1
0,025
𝛿𝐼1 = ±
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±4 %.
𝐼1
0,625
Инструментальная погрешность косвенного измерения сопротивления:
𝛿𝑅1 = √(𝛿𝑈1 )2 + (𝛿𝐼1 )2 = ±√2,52 + 42 = ±4,72 %.
Рассмотрим погрешности при измерении по схеме б).
Значение сопротивления, вычисленное по показаниям приборов:
𝑈𝑥
𝑈𝑥
𝑈𝑥
𝑅𝑥 ∗ 𝑅В
1,5 ∗ 10
𝑅𝑥′ =
=
=
=
=
= 1,304 кОм.
𝐼
𝐼𝑥 + 𝐼В 𝑈𝑥 + 𝑈𝑥 𝑅𝑥 + 𝑅В 1,5 + 10
𝑅𝑥 𝑅В
Показания приборов:
𝑈пит
1
𝐼2 = ′
=
= 0,000712 𝐴 = 0,712 мА.
𝑅𝑥 + 𝑅𝐴 1304 + 100
𝑈2 = 𝑅𝑥′ ∗ 𝐼2 = 1,304 ∗ 103 ∗ 0,712 ∗ 10−3 = 0,928 В.
Абсолютная методическая погрешность измерения сопротивления:
∆м2 = 𝑅𝑥′ − 𝑅𝑥 = 1,304 − 1,5 = −0,196 кОм.
Относительная методическая погрешность измерения сопротивления:
∆м2
0,196
𝛿м2 =
=−
= −0,1307 или(−13,07 %).
𝑅𝑥
1,5
Абсолютная инструментальная погрешность измерения напряжения:
𝛾𝑈 ∗ 𝑈𝑁
2,5 ∗ 1
∆𝑈2 =
=±
= ±0,025 В.
100%
100
Относительная инструментальная погрешность измерения напряжения:
∆𝑈2
0,025
𝛿𝑈2 = ±
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±2,7 %.
𝑈2
0,928
Абсолютная инструментальная погрешность измерения тока:
𝛾𝐼 ∗ 𝐼𝑁
2,5 ∗ 1
∆𝐼2 =
=±
= ±0,025 мА.
100%
100
Относительная инструментальная погрешность измерения тока:
∆𝐼2
0,025
𝛿𝐼2 = ±
∗ 100% = ±
∗ 100% = ±3,5 %.
𝐼2
0,712
Инструментальная погрешность косвенного измерения сопротивления:
𝛿𝑅2 = √(𝛿𝑈2 )2 + (𝛿𝐼2 )2 = ±√2,72 + 3,52 = ±4,4 %.
7
Задание 3
Найти доверительный интервал относительной случайной погрешности
результата 6-ти кратного измерения сопротивления резистора, если оценка
среднего квадратического отклонения равна 1,1 Ом. Закон распределения
случайных погрешностей нормальный. Доверительную вероятность принять
равной 0,9; 0,95; 0,98. Среднее арифметическое значение результата
измерения 75,7 Ом.
Решение:
По имеющейся оценке среднего квадратического отклонения
𝑆𝑥 = 1,1 Ом 𝑛 = 6 измерений определим среднее квадратическое отклонение
среднего арифметического:
𝑆𝑥 1,1
𝑆𝑥 =
=
= 0,449 Ом.
√𝑛 √ 6
Далее по соответствующим таблицам необходимо определить
соответствующие определенной доверительной вероятности коэффициенты
Стьюдента для нормального распределения.
Так, значение 𝑡𝑛;𝑃 квантиля распределения Стьюдента при
доверительной вероятности 𝑃 = 0,95 и 𝑛 − 1 = 6 − 1 = 5:
𝑡𝑛;𝑃 = 2,571.
Доверительные границы истинного значения случайной величины с
вероятностью 𝑃 = 0,95 рассчитываются по формуле:
𝑅 − 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 < 𝑅 < 𝑅 + 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 .
В свою очередь, искомый доверительный интервал относительной
случайной погрешности:
𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃
𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃
−
< 𝛿𝑅 < +
.
𝑅
𝑅
Получаем:
0,449 ∗ 2,571
0,449 ∗ 2,571
−
< 𝛿𝑅 < +
.
75,7
75,7
−0,0152 < 𝛿𝑅 < +0,0152.
−1,52 % < 𝛿𝑅 < 1,52 %.
Аналогичным образом производим расчеты
доверительных вероятностей:
- 𝑃 = 0,9; 𝑡𝑛;𝑃 = 2,015;
−
при
0,449 ∗ 2,015
0,449 ∗ 2,015
< 𝛿𝑅 < +
.
75,7
75,7
−0,012 < 𝛿𝑅 < +0,012.
−1,2 % < 𝛿𝑅 < +1,2 %.
двух
других
8
- 𝑃 = 0,98; 𝑡𝑛;𝑃 = 3,365;
−
0,449 ∗ 3,365
0,449 ∗ 3,365
< 𝛿𝑅 < +
.
75,7
75,7
−0,02 < 𝛿𝑅 < +0,02.
−2 % < 𝛿𝑅 < +2 %.
9
Задание 4
Класс точности цифрового вольтметра 0,5/0,1. Определить абсолютную
погрешность и записать результат, если на диапазоне измерения 0 … 10 В
вольтметр показывает 3,872 В.
Решение:
В общем виде предел абсолютной погрешности ∆ находится из
формулы:
∆
∗ 100%,
(1)
𝑋𝑁
где 𝛾 – класс точности; 𝑋𝑁 – предел измерения.
В свою очередь, предел инструментальной относительной погрешности
определяется следующим образом:
∆
𝛿=±
∗ 100%,
(2)
𝑋изм
где 𝑋изм – результат измерения.
Но в нашем случае при используемом способе задания класса точности
вольтметра его относительная погрешность определяется следующим
образом:
𝑋𝑁
𝛿 = ± [𝑐 + 𝑑 ∗ (
− 1)],
(1)
𝑋изм
где 𝑋𝑁 = 10 − 0 = 10 В – предел измерения; 𝑋изм = 3,872 В – показание
вольтметра при измерении.
Кроме того, в соответствии с данными условия:
𝑐 = 0,5 и 𝑑 = 0,1.
Таким образом, рассматривая измерение напряжения, получаем
следующие значения абсолютной и относительной погрешностей:
10
𝛿𝑈 = ± [0,5 + 0,1 ∗ (
− 1)] = ±0,658 %;
3,872
𝛾=±
𝛿𝑈 ∗ 𝑋изм
0,658 ∗ 3,872
=±
= ±0,02548 В.
100%
100
Записываем результат измерения:
𝑈 = (3,872 ± 0,025) В.
∆𝑈 =
10
Список использованных источников
1. Атамалян, Э. Г. Приборы и методы измерения электрических величин
[Текст] : учеб. пособие для втузов / Э. Г. Атамалян .- 3-е изд., перераб. и доп. М. : Дрофа, 2005.
2. Димов, Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст] :
учебник для студ. вузов (гриф. МО) / Ю. В. Димов. –3-е изд. -СПб. : Питер,
2010. –464 с.
3. Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст]:
учеб. для студ. вузов (гриф МО) / Я. М. Радкевич, А. Г. Схиртладзе, Б. И.
Лактионов. –3-е изд., перераб. и доп. -М. : Высш. шк., 2007. -761 с.
4. Лифиц, И. М. Стандартизация, метрология и сертификация [Текст] :
учебник для студ. вузов (гриф МО). -8-е изд., перераб. и доп. -М. : ЮрайтИздат, 2008. -412 с.
5. Сергеев, А. Г. Метрология и метрологическое обеспечение [Текст] :
учебник для студ. вузов (гриф УМО). -М. : Высшее образование, 2008. 575 с.