18173

Исходные данные
Параметры цепи:
U  100 B, C  20 мкФ, L  0,2 Гн, R1  100 Ом .
Переходный процесс – апериодический.
Классический метод
1. Для цепи, получаемой после коммутации, составим систему уравнений по
законам Кирхгофа.
i1
R
i2
i3
L
U
C
R1
i1  i2  i3  0

di2

 R1i2  U
 Ri1  L
dt

 Ri1  uC  U
1
 2
 3
2. Выразим все переменные системы уравнений через uC или производную от
этого напряжения.
i3  C
duC
,
dt
2
из уравнения (3) выразим
i1 
U  uС
,
R
подставим в (1)
U  uС
du
 i2  C С  0,
R
dt
откуда
i2 
U  uС
du
C С .
R
dt
Подставим полученные выражения для токов в (2)
du 
 U  uС
d
C С 
duС
dt 
 U  uС 
 U  uС
 R
R 

L

R

C
1

 R
dt
dt
 R 


 U,

d 2uC  L
R1 
R1 

 duС 
 LC 


CR


1


U

1

U,
1





R
R 
dt 2
R
 dt 

получаем ЛНДУ второго порядка
d 2uC
du
LCR  2   L  CRR1   С   R  R1   U  R1.
dt
dt
Поделив на коэффициент при старшей производной, получим
d 2uC  1
R1  duС R  R1 UR1


 CR L   dt  LCR  LCR .
dt 2


Для проверки решения получим ЛНДУ относительно тока
i2
и его
производных.
i3  C
duC
.
dt
из уравнения (3) выразим
i1 
U  uС
,
R
подставим в (2)
U  uС  L
di2
 R1i2  U ,
dt
3
откуда
uC  L
di2
 R1i2 ,
dt
тогда
duC
d 2i2
di
d  di2

i3  C
C L
 R1i2   LC 2  R1C 2 .
dt
dt  dt
dt
dt

Из (2)
i1 
U L
di2
 R1i2
dt
.
R
Подставим полученные выражения для токов в (1)
U L
di2
 R1i2

d 2i2
di 
dt
 i2   LC 2  R1C 2   0,
R
dt 
dt

d 2i2  L
R  U
 di 
 LC 2    CR1   2  1  1    0,
R R
dt
R
 dt 
получаем ЛНДУ второго порядка
d 2i2  L
R  U
 di 
LC 2    CR1   2  1  1   ,
R R
dt
R
 dt 
d 2i2  1
R1  di2 R  R1
U


 CR L   dt  LCR  LCR .
2
dt


3. Характеристическое уравнение полученных ЛНДУ одинаково:
R 
R  R1
 1
p2  
 1  p 
 0.
LCR
 CR L 
Дискриминант полученного квадратного уравнения
2
2
R 
R  R1  L  CRR1 
R  R1
 1
D
 1   4

 4


CR
L
LCR
LCR
LCR




2
L  CRR1   4  LCR  R  R1 


,
2
LCR


для определения Rкр приравняем D  0 :
 L  CRR1 2  4  LCR  R  R1   0,
4
L2  2 LCRR1  C 2 R 2 R12  4 LCR 2  4 LCRR1  0,


R 2  C 2 R12  4 LC  2 LCR1 R  L2  0,
подставим численные значения
1,2  105 R 2  8  104 R  0,04  0,
корни этого уравнения
R1  33,3, R 2  100.
Т.к. R  0 , то принимаем Rкр  33,3 Ом .
Исследуем зависимость D от R , т.к. коэффициент при R 2 отрицательный, то
график зависимости D  R  имеет вид.
При R  Rкр D  0 , что соответствует апериодическому переходному процессу.
Примем R  10 Ом , тогда значение дискриминанта
2
2
R 
R  R1 
1
100 
10  100
 1
D
 1   4



4



LCR  20  106  10 0,2 
0,2  20  106  10
 CR L 
 1,925  107  0.
3. Решение ЛНДУ ищем в виде
uС  uCсв  uCпр ,
причем свободная составляющая
uCсв  A1e p1t  A2 e p2t ,
где A1 , A2 - постоянные интегрирования.
5
Характеристическое уравнение
R 
R  R1
 1
p2  
 1  p 
 0,
LCR
 CR L 
p 2  5500  p  2,75  106  0,
дискриминант
D  1,925  107 ,
корни уравнения
p1 
5500  1,925  107
 4944 с 1 ,
2
5500  1,925  107
p2 
 556 с 1.
2
Итак, свободная составляющая напряжения
uCсв  A1e 4944t  A2 e 556t .
4. Найдем принужденную составляющую напряжения uCпр (напряжение на
конденсаторе в новом установившемся режиме)
i1пр
R
i3пр
i2пр
L
C
U
uCпр
R1
uCпр  i2 пр  R1 
U
100
 R1 
 100  90,9 B .
R  R1
10  100
uС  uCсв  uCпр  A1e4944t  A2e556t  90,9 .
5. Для определения двух постоянных интегрирования A1 и A2 необходимо
использовать второе уравнение, найдем производную
uC 
duС
 A1 p1e p1t  A2 p2 e p2t .
dt
6
При t  0

uС  0   A1  A2  uCпр ,


uС  0   p1 A1  p2 A2 .
Найдем начальные условия uC  0  и uC  0  .
i3  C
duС
du
i
, следовательно, С  3 .
dt
dt
C
До коммутации цепь разомкнута, поэтому
uC  0   0, i3  0   0 , uC  0  
i3  0 
C
 0.
Таким образом, имеем систему уравнений
0  A1  A2  90,9,

0  4944 A1  556 A2 .
Отсюда
A1  11,5 A2  102,4 .
Искомое напряжение
uC  11,5e4944t  102,4e556t  90,9, B .
6. Вычислим токи в цепи


duC
d
 20  106 
11,5e4944t  102,4e556t  90,9 
dt
dt
 1,14e4944t  1,14e556t , A.
i3  C


4944t
 102,4e556t  90,9
U  uС 100  11,5e
i1 


R
10
 1,15e4944t  10,24e556t  0,91, A,

 

i2  i1  i3  1,15e4944t  10,24e556t  0,91  1,14e4944t  1,14e556t 
 0,01e4944t  9,1e556t  0,91, A.
7
7. Найдем значения полученных величин в моменты времени t  0 (начальные
значения после коммутации) и t   (принужденные значения):
t 0
t
i1 , A
10
0,91
i2 , A
10
0,91
i3 , A
0
0
uC , B
0
90,9
8. Построение графиков изменения напряжения uC  t  и токов i1  t  , i2  t  , i3  t  .
Построим графики изменения на интервале от t  0 до t 
3
pmin
, где pmin -
меньший по модулю корень характеристического уравнения.
3
pmin

3
 0,0054 c .
556
8
9
Операторный метод
К моменту коммутации в цепи установились начальные условия:
i1  0   i2  0   i3  0   0 ,
uC  0   0 .
После коммутации уравнения Кирхгофа в операторной форме имеют вид:
 I1  p   I 2  p   I 3  p   0

 R  I1  p    R1  pL   I 2  p   U  p   Li2  0 

uC  0 
1

R

I
p


I
p

U
p







1
3

pC
p

Учитывая, что U  p  
U
, а также i2  0   0, uC  0   0 , совместно решим
p
уравнения относительно тока I1  p  .
U
 R  I1  p 
p
I2  p  
,
R1  pL
U
 R  I1  p 
p
I3  p  
,
1
pC
тогда
U
U
 R  I1  p 
 R  I1  p 
p
p
I1  p  

 0,
1
R1  pL
pC

 U
R
I1  p   1 
 pCR  
 R1  pL
 p
 1


 pC  ,
 R1  pL

откуда
10
 1

U

 pC 
 1  pC  R1  pL  
R

pL
p
 1

I1  p  

R
R

pL

R

pCR
R

pL


1
1
1
 pCR
R1  pL
U
p

p 2 LCU  pCR1U  U
p  p 2 LCR  p  L  CRR1   R  R1 

F1  p 
pF3  p 
.
Подставив числовые значения, получим
F1  p   p 2  0,2  20  106  100  p  20  106  100  100  100 
 0,0004 p 2  0,2 p  100,


F3  p   p 2  0,2  20  106  10  p  0,2  20  106  10  100  10  100 
 0,00004 p 2  0,22 p  110.
По изображению тока найдем его оригинал при помощи теоремы разложения с
использованием формулы
i1  t  
F1  0 
F3  0 
2

k 1
F1  pk 
 e pk t .
pk F3  pk 
При p  0
F1  p   100,
F3  p   110.
Найдем корни уравнения F3  p   0 :
0,00004 p 2  0,22 p  110  0,
0,22  0,222  4  0,00004  110
p1,2 
,
2  0,00004
p1  4944, p2  556.
Вычислим значения
F1  p1   0,0004   4944   0,2   4944   100  8887,5,
2
F1  p2   0,0004   556   0,2   556   100  112,5,
2
F3  p   0,00008 p  0,22 ,
11
F3  p1   0,00008   4944   0,22  0,175,
F3  p2   0,00008   556   0,22  0,175.
После подстановки функций в формулу теоремы разложения, получим
значение искомого тока
i1  t  
100
8887,5
112,5

e4944t 
e556t 
110  4944    0,175 
 556   0,175
 0,91  1,15e4944t  10,24e556t  1,15e4944t  10,24e 556t  0,91, A.
Полученное
выражение
тока
совпадает
с
выражением,
найденным
классическим методом.
12