Как найти задуманное число Существует множество способов найти задуманное кем-то целое положительное число по результатам произведенных над ним действий. Ограничимся лишь несколькими примерами. Всякий, кто знаком с арифметической, без труда придумает другие фокусы того же рода. nчисло. (ⅱ) Выясните, четно или нечетно полученное произведение. Если оно четно, то его следует далее разделить пополам; если нечетно,- прибавить к нему 1 и разделить пополам. (ⅲ) Полученный результат следует умножать на 3. (ⅳ) Попросите разделить это произведение на 9 и узнайте целую часть частного. Допустим, в ответе получилось n. (ⅴ) В таком случае задуманное число равно 2n или 2n+1 в зависимости от того, четным или нечетным был результатом шага (ⅰ). Доказательство очевидно. Любое четное число имеет вид 2n, и проделанные над ним операции дают: (ⅰ) 6n (четное число); (ⅱ) 6n/2=3n; (ⅲ) 3*3n=9n; (ⅳ) 9n/9=n; (ⅴ) 2n. Нечетное же число имеет вид 2n+1; поэтому те же операции над ним проводят к ответу: (ⅰ) 6n+3 (нечетное число); (ⅱ) (6n+3+1)/2=3n+2; (ⅲ) 3(3n+2)=9n+6; (ⅳ) (9n+6)/9 =n+ остаток; (ⅴ) 2n+1. Итак, в обоих случаях указанное правило работает безупречно. Второй способ ( [1], задача Ⅳ, с. 74). Предложите задумавшему число проделать над ним следующие операции: (ⅰ) умножить задуманное число на 5; (ⅱ) прибавить к произведению на 6; (ⅲ) умножить сумму на 4; (ⅳ) прибавить к произведению 9; (ⅴ) умножить полученную сумму на 5. Если теперь из последнего результата вычесть 165 и разность разделить на 100, то получитя задуманное число. В самом деле, пусть задумано число n. Тогда указанная последовательность операций приводит к следующему результату: (ⅰ) 5n; (ⅱ) 5n+6; (ⅲ) 20n+24; (ⅳ) 20n+33; (ⅴ) 100n+165. Отсюда и следует изложенное выше правило. Третий способ ( [1], задача Ⅴ, с. 80). Попросите задумавшего число выполнить следующие операции: (ⅰ) умножить число на любое другое, названное вами, скажем на а; (ⅱ) разделить произведение на ещё одно число, скажем на b; (ⅲ) умножить число на с; (ⅳ) разделить произведение на d; (ⅴ) разделить результат на задуманное число; (ⅵ) прибавить к частному задуманное число. Вычитая из полученного результата ac/ba, вы определите задуманное число. В самом деле, пусть n-задуманное число. Тогда в результате первых четырех операций получается nac/bd. Операция (ⅴ) дает ac/bd, а (ⅵ) приводит к n+ac/bd. Но ac/bd нам известно, и, вычитая его, мы получаем n. Разумеется, в качестве чисел a, b, c и d можно брать любые положительные числа. Пусть, например, a=12, b=4, c=7, d=3; тогда достаточно вычесть 7 из конечного результата – и задуманное число определено. Четвёртый способ (см. [3])*. Попросите кого-то задумать число меньше 90 и произвести над ним следующие операции: (ⅰ) умножить на 10 и прибавить любое число меньше 10, скажем число а (однако число а он должен назвать); (ⅱ) разделить полученный результат на 3 и назвать остаток – допустим, это будет число b; (ⅲ) умножить частное, полученное на предыдущем шаге, на 10 и прибавить любое число меньше 10, например число с (которое загадывающий также должен вам сообщить); (ⅳ) разделить результат шага (ⅲ) на 3 и назвать остаток (пусть он равен d), а также треть справа цифру частного (предположен это будет е). Теперь вы без труда найдете задуманное число. Действительно, пусть оно имеет вид 9х+у, где х≤9, у≤8, и пусть r-остаток от деления a-b+3(c-d) на 9; тогда х=е, у=9-r. Это несложно доказать. Если задуманное число равно 9х+у, то после шага (ⅰ) мы получим число 90х+10у+а. Пусть у+а=3n+b; тогда частное, полученное в результате шага (ⅱ), ровно 30х+3у+n. Шаг (ⅲ) приводит к числу 300х+30у+10т+с. Если n+c=3m+d, то частное, полученное в результате шага (ⅳ), равно 100х+10у+3n+m; обозначим его через Q. Третьей цифрой числа Q должно быть х, так как в силу у≤8 и а≤9 обязательно n≤5, а неравенства n≤5 и c≤9 вместе дают m≤4. Следовательно, 10y+3n+m≤99, и значит, третья цифра числа Q (т.е. число сотен в нем) равна х. Далее из равенств y+a=3n+b и n+c=3m+d получаем
