Домашнее задание к занятию 16.03.2022 Задача 1. (1 балл) Пусть 𝜑(𝑥) – вещественная функция, которая → 0, при |𝑥| → +∞. Докажите следующее соотношение: (︂ )︂ ∫︁ +∞ ∫︁ +∞ )︀ (︀ 2 𝑑2 2 𝑑𝑘 2 ˜ 𝑚 + 𝑘 2 |𝜑(𝑘)| 𝜑(𝑥) 𝑚 − 2 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = , 𝑑𝑥 2𝜋 −∞ −∞ ˜ где 𝜑(𝑘) - преобразование Фурье функции 𝜑(𝑥). Задача 2. (2 балла) Используя преобразование Фурье, найти функцию, удовлетворяющую уравнению: ∫︁ ∞ 2 𝑓 (𝑦)𝑒−𝜅|𝑥−𝑦| 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥 /2 −∞ Задача 3. (2 балла) Рассмотрим нормированной волновой (︁ 2 )︁волновой пакет, описываемый ∫︀ ∞ 1√ 𝑥 −𝑖𝑘𝑥 ̃︀ функцией 𝜓(𝑥) = 𝜋1/4 𝑎 exp − 2𝑎2 . Пусть 𝜓(𝑘) = −∞ 𝑑𝑥𝑒 𝜓(𝑘) – её фурье-образ. Вы∫︀ ∞ 2 ∫︀ ∞ 2 𝑑𝑘 ̃︀ числить ∆𝑥2 = 𝑥 |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 и ∆𝑘 2 = 𝑘 2 |𝜓(𝑘)| ; проверить выполнения “принципа −∞ −∞ 2𝜋 неопределённости”: ∆𝑥2 · ∆𝑘 2 ≥ 14 . 1
