контрольная по теории вероятностей

Задание 1. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 4
изделия некачественных. Какова вероятность того, что взятые случайным образом
5 изделия будут:
а) качественными;
б) хотя бы одно из них будет качественным;
в) ни одного качественного изделия.
Решение:
а) Пусть событие А – 5 взятых изделий качественные.
Общее число случаев выбора 5 изделий из 20 равно
5
n  C 20

20!
20! 16  17  18  19  20


 16  17  3  19  15504
5!20  5! 5!15!
1 2  3  4  5
Число случаев, благоприятствующих событию А:
5 изделий будут выбраны из 16 качественных изделий – число сочетаний из
16 по 5.
m  C165 
16!
16! 12  13  14  15  16


 12  13  14  2  4368
5!16  5! 5!11!
1 2  3  4  5
Тогда P A 
m 4368

 0,2817
n 15504
б) Пусть событие А – хотя бы одно из взятых изделий качественное.
Событие А будет противоположным по отношению к событию B – все 5
изделии некачественные.
Так как всего 4 изделия являются некачественными, то событие В является
невозможным. Вероятность невозможного события равна 0. следовательно,
вероятность противоположного события А равна 1.
P  A  1
в) Вероятность того, что все пять изделий будут некачественными PB   0
Ответ: а) 0,2817; б) 1; в) 0.
Задание 2. В партии из N=20 изделий M=4 имеют скрытый дефект. Какова
вероятность того, что из взятых наугад n=5 изделий дефектными окажутся m=2
изделия?
Решение:
Пусть событие А – из выбранных наугад 5 изделий 2 оказались дефектными.
Выбрать
5
n  C 20

из
партии
5
изделия
20!
20! 16  17  18  19  20


 16  17  3  19  15504
5!20  5! 5!15!
1 2  3  4  5
Выбрать 2 дефектных изделия можно C 42 
способами,
n  C163 
оставшееся
изделия
16!
16! 14  15  16


 14  5  8  560
3!16  3! 3!13!
1 2  3
из
мы
можем
способами.
4!
4!
1 2  3  4


 23  6
2!4  2! 2!12! 1  2  1  2
5
мы
можем
выбрать
способами.
Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к
общему числу исходов:
P A 
C42  C163 6  560

 0,21672
5
C20
15504
Ответ: 0,21672.
Задание 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех источниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике p=0,8, во втором
– q= 0,7, в третьем – g=0,85. Найти вероятность того, что
а) формула содержится хотя бы в одном справочнике;
б) формула содержится только в двух учебниках;
в) формула содержится в любом учебнике;
г) формулы нет ни в одном из учебников.
Решение:
Пусть событие А1 – формула содержится в первом справочнике; А2 –
формула содержится во втором справочнике; А3 – формула содержится в третьем
справочнике. Тогда P A1   0,8 , P A2   0,7 , P A3   0,85 .
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
а) формула содержится хотя бы в одном учебнике




P  P A1  A2  A3  1  P A1  A2  A3  1  1  P A1   1  P A2   1  P A3  
 1  1  0,8  1  0,7   1  0,85  0,991
б) формула содержится только в двух учебниках:


P  P A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3  P A1   P A2   1  P A3  
 P  A1   1  P  A2   P A3   1  P A1   P A2   P A3   0,8  0,7  1  0,85 
 0,8  1  0,7   0,85  1  0,8  0,7  0,85  0,084
в) формула содержится в любом учебнике:
P  P  A1  A2  A3   P A1   P A2   P  A3   0,8  0,7  0,85  0,476
г) формулы нет ни в одном учебнике:


P  P A1  A2  A3  1  P A1   1  P A2   1  P A3  
 1  0,8  1  0,7   1  0,85  0,009
Ответ: а) 0,991; б) 0,084; в) 0,476; г) 0,009.
Задание 4. В район изделия поставляются тремя фирмами. Известно, что
первая фирма поставляет товар с браком в X=0,3%, вторая – Y=0,2%, третья –
Z=0,4%. С первой фирмы поступило N=1000, со второй M=2000, с третьей –
K=2500 изделий. Найти вероятность, что приобретенное изделие окажется
а) стандартным;
б) нестандартным;
в) какова вероятность, что стандартное изделие поступило с третьей фирмы?
Решение:
а) Пусть событие А – приобретенное изделие стандартное.
Выдвинем три гипотезы:
Н1 – изделие поставлено первой фирмой.
Н2 – изделие поставлено второй фирмой.
Н3 – изделие поставлено третьей фирмой.
Тогда PH1  
1000
1000 2

  0,1818 , PH 1 / A  1  0,003  0,997
1000  2000  2500 5500 11
P H 2  
2000
2000 4

  0,3636 ,
1000  2000  2500 5500 11
PH 2 / A  1  0,002  0,998
P H 3  
2500
2500 5

  0,4545 ,
1000  2000  2500 5500 11
P H 3 / A  1  0,004  0,996
По формуле полной вероятности:
P  A  P H1   P H1 / A  P H 2   PH 2 / A  P H 3   P H 3 / A  0,1818  0,997 
 0,3636  0,998  0,4545  0,996  0,18127  0,3629  0,4527  0,9969
б) Пусть событие В – приобретенное изделие нестандартное.
Выдвинем три гипотезы:
Н1 – изделие поставлено первой фирмой.
Н2 – изделие поставлено второй фирмой.
Н3 – изделие поставлено третьей фирмой.
Тогда PH1  
1000
1000
2


 0,1818 , PH 1 / B   0,003
1000  2000  2500 5500 11
P H 2  
2000
2000 4

  0,3636 ,
1000  2000  2500 5500 11
PH 2 / B   0,002
P H 3  
2500
2500 15


 0,4545 ,
1000  2000  2500 5500 11
PH 3 / B   0,004
По формуле полной вероятности:
P B   P H1   P H1 / B   P H 2   PH 2 / B   P H 3   P H 3 / B   0,1818  0,003  0,3636  0,002 
 0,4545  0,004  0,000545  0,000727  0,001818  0,003091
в) вероятность поступления стандартного изделия с третьей фирмы:
P  H 3 / A 
0,4545  0,996
 0,454131
0,9969
Ответ: а) 0,9969; б) 0,003091; в) 0,454131
Задание 5. В среднем по P=15% договоров страховая компания выплачивает
страховую сумму. Найти вероятность того, что из n=10 договоров с наступлением
страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) три договора;
б) менее двух договоров.
Решение:
Используем формулу Бернулли:
n=10 – число опытов
р=0,15 – вероятность выплаты страховой суммы
q=1–p=0,85 – вероятность не выплаты страховой суммы.
Формула Бернулли: Pn m   C nm p m q n m
Тогда
а) вероятность того, что из тринадцати договоров с наступлением
страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы менее двух
договоров, равна:
10!
8  9  10
 0,153  0,857 
 0,153  0,857 
3!7!
1 2  3
 120  0,003375  0,320577  0,129834
P10 3  C103 p3q10  3 
б) вероятность того, что из тринадцати договоров с наступлением
страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы по трём договорам,
равна:
10!
10!
 0,150  0,8510 
 0,151  0,859 
0!10!
1!9!
10
9
 1  1  0,85  10  0,15  0,85  1  1  0,196874  10  0,15  0,231617  0,196874 
 0,347425  0,5443
P10 0  P10 1  C100 p 0 q10  0  C101 p1q10 1 
Ответ: а) 0,129834; б) 0,5443.
Задание 6. Аудиторную работу по теории вероятности успешно выполнило
50% студентов. Найти вероятность того, что из N=400 студентов успешно
выполнят:
а) M=150 студентов;
б) не менее M=150 студентов;
в) от M=150 до L=300 студентов.
Решение:
n = 400
p = 0,5
q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5
np = 4000,5 = 200
npq = 4000,50,5= 100
npq  100  10
а) M = 150
x
M  np 150  200

 5
10
npq
P(m  150) 
1
  x   0,1    5  0,1   5  0,1  0,0000015  0,00000015
npq
б) m1 = 50
x1 
M  np 150  200

 5
10
npq
m2 = 300
x2 
L  np 300  200

 10
10
npq
P (150  x  300)    x2    x1   10    5  10    5 
 0,499997  0,499997  0,999994
Ответ: а) 0,00000015; б) 0,999994.
Задание 7. Задан закон распределения дискретной случайной величины в
виде таблицы (в первой строке указаны возможные значения случайной величины,
во второй — соответствующие вероятности).
Найти:
а) функцию распределения;
б) математическое ожидание;
в) дисперсию;
г) среднее квадратическое отклонение;
д) коэффициент ассимметрии.
xi
pi
5
0,1
15
0,2
25
0,3
35
0,2
45
0,2
Решение:
а) Составим функцию распределения F(х):
F(x≤5) = 0
F(5< x ≤15) = 0,1
F(15< x ≤25) = 0,5 + 0,1 = 0,3
F(25< x ≤35) = 0,3 + 0,3 = 0,6
F(35< x ≤45) = 0,2 + 0,6 = 0,8
F(x>45) = 0,2+0,8=1
x5
0 ,
 0,1 , 5  x  15

0,3 , 15  x  25
F x   
0,6 , 25  x  35
0,8 , 35  x  45

 1 ,
x  45
б) математическое ожидание найдем по формуле M [ x]   xi pi .
M [ x]  5  0,1  15  0,2  25  0,3  35  0,2  45  0,2  27
в) дисперсию найдем по формуле D[ x]   xi2 pi  M x 2 .
D[ x]  52  0,1  152  0,2  252  0,3  352  0,2  452  0,2  27 2  156
г) среднее квадратическое отклонение σ(x):
 [ x]  Dx  156  12,49
Коэффициент вариации – показывает, какую долю среднего значения этой
величины составляет ее средний разброс.
v

x

12,49
 46,26%
27
Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.
 x  M x

3
д) коэффициент асимметрии найдем по формуле As
As 


pi
3
5  27 3  0,1  15  27 3  0,2  25  27 3  0,3  35  27 3  0,2  45  27 3  0,2 
11,363
 144
 0,0739
1948,439
Так как As<0, то имеем левостороннюю асимметрию.
Задание 9. Исходные данные – результаты выборки непрерывного
статистического показателя, Провести группировку, разбив диапазон значений
статистического показателя на 5 интервалов, Для выборки необходимо:
а) построить гистограмму и секторную диаграмму частот;
б) вычислить значения среднего показателя, моды, медианы, дисперсии,
среднего квадратического отклонения, коэффициентов асимметрии и эксцесса,
Исходные данные:
Номера наблюдений
Данные для задачи
1
3,1
2
4,3
3
5
4
3,2
5
4,1
6
6,5
7
8,2
8
2,4
9
3,7
10
5,3
11
5,9
12
3,2
13
7,6
14
5,6
15
9,3
16
3,4
17
6,2
18
5,5
19
7,2
20
4,8
Решение:
Проведем группировку статистических данных.
Число интервалов n= 5, число единиц совокупности N  20 .
Величина интервала вычисляется как h 
x max  x min
.
n
xmax – максимальное значение группировочного признака в совокупности.
xmin – минимальное значение группировочного признака.
Так как xmin  2,4 и xmax  9,3 , то h 
9,3  2,4
 1,38 .
5
Определим границы групп:
Номер группы
1
2
3
4
5
Нижняя граница
2,4
3,78
5,16
6,54
7,92
Верхняя граница
3,78
5,16
6,54
7,92
9,3
Для каждого значения подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот
или иной интервал. Для этого отсортируем таблицу по возрастанию признака,
затем подсчитаем количество данных, попавших в каждую группу:
Номер группы
1
2
3
4
5
Интервал
2,4 – 3,78
3,78 – 5,16
5,16 – 6,54
6,54 – 7,92
7,92 – 9,3
Количество
6
4
6
2
2
Гистограмма
7
6
5
6
6
4
4
3
2
2
1
2
0
2,4 – 3,78 3,78 – 5,16 5,16 – 6,54 6,54 – 7,92 7,92 – 9,3
Секторная диаграмма частот
0,1; 10%
0,1; 10%
0,3; 30%
2,4 – 3,78
3,78 – 5,16
0,3; 30%
0,2; 20%
5,16 – 6,54
6,54 – 7,92
Составим для расчета показателей вспомогательную таблицу:
Группы
xi
Кол-во,
fi
xi  fi
2,4 – 3,78
3,78 – 5,16
5,16 – 6,54
6,54 – 7,92
7,92 – 9,3
Итого
3,09
4,47
5,85
7,23
8,61
6
4
6
2
2
20
18,54
17,88
35,10
14,46
17,22
103,20
Накоп. |x - xср|f (x - xср)2f (x - xср)3f (x - xср)4f Частость,
частота,
fi/n
S
6
12,42
25,71
-53,22
110,16
0,3
10
2,76
1,90
-1,31
0,91
0,2
16
4,14
2,86
1,97
1,36
0,3
18
4,14
8,57
17,74
36,72
0,1
20
6,9
23,81
82,13
283,34
0,1
30,36
62,85
47,3
432,5
1,0
Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда,
надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем – среднюю для
всего ряда.
Средняя арифметическая для каждого интервала определяется по формуле
средней арифметической простой, т.е. как полусумма верхней и нижней границ.
Средняя для всего ряда вычисляется по формуле:
n
x
x
i
i 1
n
f
i 1
fi
,
i
где x i – это средние интервалов, f i – частота соответствующих средних (в
данном случае, количество предприятий в группе, n – количество групп.
n
x
x f
i 1
n
i i
f
i 1

103,20
 5,16
20
i
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц
данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.
Величина моды определяется по формуле:
Mo  x Mo  h
где
f Mo  f ( 1)
( f Mo  f ( 1) )  ( f Mo  f ( 1) )
хМо – начало модального интервала;
h – величина интервала;
fМо – частота, соответствующая модальному интервалу;
f(-1) – предмодальная частота;
f(+1) – послемодальная частота.
Сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей
частотой. Это 1-я группа.
хМо = 2,4
fМо = 6
f(-1) = 0
f(+1) = 4
h = 1,38
Mo  2,4  1,38 
60
 3,44
( 6  0)  ( 6  4)
Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.
При нахождении медианы интервального вариационного ряда вначале
определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана
(интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая
половина), а затем – приближенное значение медианы по формуле:
n
Me  x Me  h
где
0,5 f i  S ( 1)
i 1
f Me
хМе – нижняя граница медианного интервала;
h – величина интервала;
S(-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
fМе – частота медианного интервала;
n
f
i 1
i
– сумма частот или число членов ряда.
Медианный интервал в нашей задаче – 2-й, поскольку в этом интервале
накопленная частота равна 10, что равно половине общей суммы частот.
Следовательно, в этой группе и находится медиана.
хМе = 3,78
h = 1,38
S(-1) = 6
fМе = 4
n
f
i 1
i
= 20
Me  3,78  1,38 
0,5  20  6
 5,16
4
Мода не совпадает со средней арифметической, а медиана и среднее
арифметическое равны.
Дисперсия
индивидуальных
представляет
значений
собой
признака
средний
от
их
квадрат
средней
отклонений
величины
и
для
сгруппированных данных вычисляется как
 x
n
 
2
i 1
i
x

2
fi
n
f
i 1
i
Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из
среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней
арифметической.
Для
сгруппированных
данных
среднее
квадратическое
отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии.
2 
62,85
 3,1423
20
  3,1423  1,7726
Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности – чем
меньше значение среднего квадратического отклонения (также как и дисперсии),
тем однороднее совокупность.
 x  x 
f
As 
3
i
Коэффициент асимметрии вычисляется как
 fi
i

3
.
47,3
47,3
As  20 3 
 0,4246
1,7726
20 1,77263
Так как As>0, то имеется правосторонняя асимметрия.
 x  x 
f
Ex 
i
Эксцесс оценивается с помощью показателя эксцесса:
432,5
432,5
Ex  20 4  3 
 3  2,1901  3  0,8099
1,7726
20 1,77264
Так как Ex<0, то распределение является плосковершинным.
i

4
4
 fi
3.
Задание 10. Найти доверительный интервал для оценки математического
ожидания m нормального распределения генеральной совокупности с надежность
0,95, зная выборочное среднее xср, объем выборки n и среднее квадратическое
отклонение . Данные взять из таблицы 7.
xср= 75,17; n=36; 6
Решение:
Для оценки математического ожидания воспользуемся формулой:
xв  t 

n
 a  xв  t 

n
Найдем t.
Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим: Ф(t) = 0,475.
По таблице находим: t = 1,96. Найдем точность оценки

t   1,96  6

 1,96
n
36
Искомый доверительный интервал:
75,17  1,96  a  75,17  1,96 или 73,21  a  77,13
Ответ: математическое ожидание находится в интервале ( 73,21;77,13 .
Задание 7. Найти доверительный интервал для оценки математического
ожидания m нормального распределения генеральной совокупности с надежность
0,95, зная выборочное среднее xср, объем выборки n и среднее квадратическое
отклонение . Данные взять из таблицы 5.
xср= 74,55; n=46; 13
Решение:
Для оценки математического ожидания воспользуемся формулой:
xв  t 

n
 a  xв  t 

n
Найдем t.
Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим: Ф(t) = 0,475.
По таблице находим: t = 1,96. Найдем точность оценки

t   1,96  13

 3,7568
n
46
Искомый доверительный интервал:
74,55  3,7568  a  74,55  3,7568 или 70,7932  a  78,3068
Ответ: математическое ожидание находится в интервале ( 70,79;78,31 .