Глава 6. Механика жидкости и газа Пример 1 p z

67
Глава 6. Механика жидкости и газа
Пример 1
Сообщающиеся сосуды
1) Что необходимо определить?
В сообщающиеся сосуды налиты две разные жидкости.
0
p2
Давления p1, p2 на поверхностях жидкостей также разные.
z
Надо выяснить, каковы уровни жидкостей.
2) Выбор системы координат.
0
p1
Принимаем, что ось z прямоугольной системы координат
направлена вертикально вверх. Направление двух других
h2
осей нас не интересует. Точку начала системы координат
h1
S
совместим с начальным уровнем столбов жидкости.
x
3) Какие механические величины надо найти?
Плотности жидкостей 1, 2 разные. Надо выяснить высоту
столбов жидкости h1, h2.
4) Какую модель выбираем?
Жидкости практически несжимаемые (=const) и жидкости неподвижны (задача гидростатики).
Поэтому не важно, какова вязкость жидкости, и можем использовать модель напрерывной
среды – идеальной жидости. Система уравнений для нее выведена в Части 1 &7.6.
Уравнения движения
v i  p, i g i ; i=x, y, z;
Закон сохранения массы
v x , x  v y , y  v z , z 0
5) Применение модели к задаче.
В случае гидростатики жидкости неподвижны, т.е. все скорости равны 0. Система координат
выбрана так, что ускорение свободного падения g направлен вдоль оси z. Тогда из системы
уравнений модели получаем систему уравнений гидростатики:
p
0
x
;
p
0 ;
y
p
 g  0 ;
z
(P6-1-1)
Для этой системы существует простое решение
p=-gz+C
(P6-1-2)
Так как у нас есть два столба разных жидкостей, то решение (P6-1-2) надо записать для
каждой жидкости отдельно:
p1=-1gz+C1, p2=-2gz+C2
6) Граничные условия.
Константы интегрирования находим из граничных условий на поверхностях жидкостей:
Для первого столба жидкости p 1 (h 1 )  p 1
0
 C1  p10  1gh 1
Для второго столба жидкости p 2 (h 2 )  p 2  C 2  p 2   2 gh 2
Выводы
Отношение между высотами столбов жидкости можно получить, зная что на нулевом уровне
оба давления должны быть одинаковы
0
p 1 ( 0)  p 2 ( 0) 
0
p10  1gh 1  p 02  1gh 2
(P6-1-3)
68
Чтобы на основании этих соотношений определить высоты h1, h2, надо также вспомнить, что
жидкости несжимаемые и нам известен весь объем обеих жидкостей.
Пример 2
Истечение жидкости из сосуда
1) Что необходимо определить?
y
Надо определить, сколько воды вытекает за 1 сек. из
сосуда.
S
2) Выбор системы координат.
Ось y выбираем в вертикальном направлении, ось x - в
направлении истечения жидкости.
3)Какие механические величины надо найти?
Зная скорость истечения жидкости из трубы vC и площадь
поперечного сечения трубы SC количество вытекшей воды
Q определяется как
Q=vCSC
pa
x
yc
xc
Sc
pc
4) Какую модель выбираем?
Вода - несжимаемая жидкость. Вязкость не учитываем. Поэтому используем модель
непрерывной среды для идеальной жидкости (см. Часть 1 &7.6.)
5) Применение модели к задаче.
Разделим задачу на две части. В первой части рассмотрим сосуд с водой, а во второй истечение
по трубе.
Первая часть – движение воды в сосуде.
Жидкость из сосуда вытекает под влиянием собственного веса и давления среды (воздуха) pa.
Объем сосуда большой, т.е. показатель изменения объема с течением времени мал. Это
позволяет движение воды в сосуде считать квазистационарным, т.е. неизменным по времени.
Из трех уравнений движения остается только одно. Так как вода движется только в направлении
оси y.

dv y

dt
dp
 g
dy
Уравнения движения составлены в системе отсчета Эйлера (системе, в которой наблюдатель
фиксирует, с какой скоростью среда движется через определенную плоскость или точку). В
этой системе полная производная скорости записывается так (см. Часть 1 & 7.1.):
dv y
dt

v y
t
 vx
v y
x
 vy
v y
y
 vz
v y
z
В нашем случае задача квазистационарная (производная по времени равна нулю), вода
двигается только в вертикальном направлении (vx=vz=0) и вертикальная скорость – функция
только от координаты y. Поэтому уравнение движения принимает достаточно простой вид:
v y
dv y
dy

dp
 g
dy
Умножим все уравнение на dy и проинтегрируем
 v y dv y   dp  g  dy

v 2y
2
 p  gy
69
Закон сохранения массы определяет, что
dv y
dy
 0 , т.е. vy=const
Вторая часть – истечение воды по трубе.
При описании движения воды по трубе из трех уравнений движения остается только одно, так
как вода двиется только в направлении оси x .

dv x dp

dt
dx
Также как и для сосуда, при описании движения воды по трубе надо записать полную
производную скорости:
dv x dp

dx dx
v 2x
После интегрирования получаем

p
2
dv x
Закон сохраниея массы определяет, что
 0 , т.е. vx=const
dy
v x
6) Граничные условия.
a) Давление воды на дне сосуда p (y= -H) равен давлению в трубке:
v 2y
v2

 gH   x
2
2

v 2y
2
 gH 
v 2x
2
b) Количество воды, вытекшее из сосуда Q1 должно быть равно количеству воды. Вытекшему
из трубы Q2
Q1=Q2 vyS=vxSc
Оба условия создают систему двух уравнений для определения двух скоростей:
Скорость истечения
1
2gH 2
vx  [
]
Sc 2
1( )
S
Так как SCS, то окончательное выражение можно упростить
v
1
( 2gH) 2
(P6-2-1)
Эта формула известна под названием формула Торичелли. Количество вытекшей воды
(расход) определяется
Q  Sc
1
( 2gH) 2
Пример 3
Течение жидкости (газа) по трубопроводу
1) Что нобходимо определить?
Надо определить, как на поток жидкости (газа) влияет изменение площади поперечного сечения
трубы.
70
2) Выбор системы координат. Нам необходима только одна координата – расстояние L от
начала трубы до рассматриваемого поперечного сечения при измерении его вдоль продольной
оси трубы (независимо от того, как труба изогнута).
3) Какие механические величины надо найти?
Надо найти, каково соотношение между
v
скоростью потока v(L) и площадью
dL
поперечного сечения S(L).
4) Какую модель выбраем?
Рассмотрим
непрерывную
среду
для
идеальной жидкости.
5) Применение модели к задаче.
Уравнения движения.
В этом случае есть только одно уравнение
движения – движение в направлении оси
трубы (см. Часть 1 &7.5.):

dv p

 g L
dt L
Далее рассмотрим случай, когда собственный вес жидкости (член уравнения gL) мало влияет
на движение жидкости, и движение стационарно. Также как в предыдущем примере, помещаем
полную производную скорости и получаем:
v
dv dp
dp

 0  vdv 
0
dL dL

Газ или жидкость могут быть также сжимаемы, т.е. =(p), поэтому интегрирование
полученного уравнения надо выполнить следующим образом:
dp
 vdv   (p)  0
В случае несжимаемой жидкости =const и интегрирование выполняется просто:
v2
  p  const
2
Константа интегрирования – давление p0, которое было бы при скорости v=0;

v2
 p  p0
2
(P6-3-1)
Выводы:
1) Полученное уравнение называется уравнение Бернулли.
v2
2) В сущности это закон сохранения энергии. Сумма кинетической ( 
) и потенциальной
2
энергии (энергия накапливается при сжатии газа давлением p) величина неизменная.
Закон сохраниения массы
Выделим бесконечно маленький элемент трубы длиной dL. В этот элемент входит объем
жидкости vS в единицу времени, масса которого vS. За время dt через левое сечение протекает
vSdt жидкости, а через правую часть
[vS 
 (vS )
dL ]dt
L
71
Разница
 (vS )
dLdt появляется потому, что может изменится плотность (t). Масса
L
бесконечно маленького элемента dL в момент времени t была SdL, а через промежуток
времени t+dt эта масса S dL 
 ( S )
dt dL . Масса не может изменится, так как нет ни
t
утечки жидкости, ни пополнения. Поэтому
(vS )
 ( S )
dLdt 
dt dL  0
L
t

(vS ) (S)

0
L
t
Так как площадь поперечного сечения S не изменяется во времени (нет производной по
времени), то
(vS )

S
0
L
t
(P6-3-2)
В стационарном потоке (ни одна функция не является функцией времени)
(vS )
 0  vS  const
L
Вывод: В стационарном потоке расход жидкости (газа) Q=vS величина постоянная. Там,
где поперечное сечение меньше, скорость больше и наоборот.
Пример 4
Какие особенности появляются при сверхзвуковых скоростях?
1) Что необходимо определить?
Для газа (или для тела в газе) движение со скоростью большей скорости звука появляются
принципиальные отличия. Это и будем исследовать.
2) Выбор системы координат.
Рассмотрим самый простой случай – движение сжимаемого газа в газопроводе.
3)Какие механические величины надо найти? Надо найти соотношение скорости и давления.
4) Какую модель выберем?
Используем модель непрерывной сжимаемой газообразной среды и соответствующие ей
соотношения для газопровода:
dp
v2
dp
a) Уравнения движения  vdv  

 C1
 0 и их интегралы
2
(p)
(p)
b)Закон сохранения массы vS=Q. Константа Q - расход газа.
5) Применение модели к задаче.
Так как расход газа в любом сечении величина постоянная, то dQ/dL=0. Продифференицируем
закон сохранения массы (надо брать производную как от сложной функции):
dQ
dS
dv
d
 v

S
vS  0
dL
dL
dL
dL
Сократим на dL и разделим все члены на vS
dS dv d


0
S
v

Окончательно полученные члены уравнения умножим и разделим на dp
dS dv d dp


0
S
v
 dp
72
Введем обозначение
dp
 a 2 , которое является скоростью звука:
d
dS dv dp


0
S
v a 2
Уравнения равновесия до интегрирования имели следующий вид vdv 
dp
 0 . Используем

это, чтобы выразить dp dp= -vdv
Поместим dp в предыдущее уравнение:
dS dv dp


0 
S
v a 2
dv
v 2 dS
(1  2 ) 
0
v
S
a
Выводы:
1) Полученная формула показывает, что отношение v/a принципиально меняет происходящее.
Поэтому у данного отношения есть специальное название, его называют числом Маха и
обозначают M=v/a.
2) Если M1, т.е. скорость потока меньше скорости звука, то при уменьшении поперечного
сечения (dS0) скорость возрастает (dv0). Конечно, остается в силе и обратное соотношение.
Т.е. если dS0, то dv0.
3) Если M1, т.е. скорость потока больше скорости звука, то при уменьшении поперечного
сечения (dS0) уменьшается также и скорость (dv0). Конечно остается в силе и обратное
соотношение т. е. если dS0, то dv0.
4) Если скорость потока равна скорости звука, то dS=0, т.е. там где S(L) экстримальное
значение.
5) Основываясь на вышеупомянутых выводах, было построено сопло Лаваля. Это труба, в
которой поток с дозвуковой скоростью преобразуется в поток с сверхзвуковой скоростью. В
начале сопло имеет непрерывно сужающуюся площадь поперечного сечения. В этой части
скорость возрастает до скорости звука. Затем поперечное сечение трубы расширяется и
скорость еще возрастает .
6)В несжимаемой среде a 
2
dp dp

  . В этой среде изменение давления мгновенно
d 0
передается на все точки среды.
Пример 5
Гидравлический удар
1) Что необходимо определить?
Надо определить, какую силу должна выдержать задвижка (клапан) при закрытии трубы, по
которой течет жидкость.
2) Выбор системы координат
Нас интересует только движение по трубе, т.е. только одна ось, которая совпадает с осью
трубы. Чтобы найти ответ на интересующий нас вопрос, можем принять, что труба прямая.
Итак, движение происходит только в направлении оси x.
3) Какие механические величины надо найти? Надо найти давление p на задвижку.
4) Какую модель выбираем? Используем модель непрерывной среды – идеальную жидкость.
5) Применение модели к задаче.
73
Чтобы оценить величину давления, рассмотрим численный пример По трубе длиной в один
метр течет жидкость со скоростью v0. Площадь поперечного сечения трубы S . Опишем, что
произойдет, если на конце трубы будет задвижка и мы эту задвижку закроем за очень короткое
время, за 0,01 сек. Задача одномерная, так как одну из координатных осей мы можем считать
совпадающей с направлением трубы. В этом случае система уравнений (см. Часть 1 &7.6.)
преобразуется следующм образом:

V
V0
t
0,01
v
0
x
dv dp

dt dx
Из второго уравнения следует, что закрывая задвижку,
скорость по всей длине трубы будет одинаковой, то есть
она будет изменятся по времени, но не будет разной в
разных сечения трубы,v не является функцией от x. Так
как длительность времени, в течении которого
закрывается задвижка очень мала 0,01 сек, то можем не
искать точную запись этой функции, а принять, что
скорость меняется от начальной скорости v0 до нуля за
0,01 сек (см. рис.), и тогда изменение скорости можно
записать следующим образом: v  v 0 (1 
t
)
0,01
Если нам известна функция v как функция времени t, то в перевом уравнении поместим v
 
вместо производной функции v по времени v

v0
и уравнение принимает вид
0,01
v 0 dp
. Умножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем. В левой части

0,01 dx
переменная x, которая может изменятся от 0 до100 см ,а давление изменяется от начального p
до конечного значения pb:
p
p
v 0 100
v 0 100
-
dx =  dp  
 dx   dp
0,01 0
0,01 0
0
p
b
b
Интегрируя, получаем возрастание давления на задвижке pb-p, которое равно
p b  p  
vo
100
o, o1
Чтобы предположить насколько велико давление, подставим v0= 200 cm/ sek. Тогда для такой
жидкости как вода (= 1
gr
6 gr
)
изменение
давления
на
заслонку
. Это
p

p

2
.
10
b
cm 3
cm2
действительно огромное давление.
Выводы:
1) Если трубопровод абсолютно жесткий и в нем нет дополнительных возможностей для
вытекания жидкости, то при быстром закрытии задвижки мы получаем огромный скачок
давления, который называется гидравлическим ударом.
2) Чтобы уменьшить (предотвратить) появление гидравлического удара,
a) трубу надо сделать упругой, в этом случае удар самортизируют упругие стенки,
b) трубопровод надо делать короче,
c) надо закрывать медленнее.
Сущность гидравлического удара можно понять, используя энергетический баланс (см.
уравнение Бернулли (P6-3-1)). В трубе метровой длины движется жидкость со скоростью v0 и ее
74
v 02
кинетическая энергия K  
V (V - объем столба жидкости метровой длины). При
2
закрытии заслонки вся эта энергия переходит в потенциальную U=pV, т. е. давление должно
быстро возрастать.
Пример 6
Течение жидкости по каналу.
1) Что необходимо определить?
z
y
Масло течет по желобу, наклон которого к
горизонту составляет  градусов. Поток
a
жидкости стационарный, т.е. скорости по
q
времени неизменны. Надо определить какое
количество масла стекает в единицу времени
по желобу.

S
2) Выбораем систему координат так, чтобы
g
ось x совадала с продольной осью желоба и
x
ось y - с нижней поверхностью желоба
3) Какие механические величины надо найти?
Расход масла Q(м3/сек) – произведение скорости истечения на площадь поперечного сечения.
Так как скорость истечения в разных поперечных сечениях желоба может быть разной, то
расход надо расчитывать, суммируя расход на бесконечно малых площадях dS
Q   v(a, y, z ) dS
S
4) Какую модель выбираем?
Масло – вязкая, практически несжимаемая жидкость. Поэтому надо использовать модель
непрерывной жидкой вязкой несжимаемой (=const) среды (см. Часть 1 &7.8.2.).
5) Применение модели к задаче.
Задача стационарная. Примем, что желоб достаточно широкий и поэтому трение жидкости
вдоль вертикальных стенок желоба учитывать не будем. Это дает возможность принять, что
единственная неизвестная функция vx=vx(z) и vyvz0.
Уравнения движения
Собственный вес дает проекции на оси x и z. Запишем соответствующие уравнения движения:
p  yx  zx


 g cos
x
y
z
p  xz  yz
0


 g sin 
z
x
y
0
Соотношения свойств материала
Учитывая, что vx=vx(z) и vyvz0, остается только одно соотношение  zx  
dv x
, и yxyz0.
dz
Решение системы уравнений
Поместив уравнения свойств материала в уравнения движения и приняв, что давление также
как скорость функция только от z , получим:
0
Интегрируя, находим:
d2vx
 g cos ;
d2z
0
dp
 g sin 
dz
75
p( z )  zg sin   C1 :
z 2g cos
v x (z) 
 C2 z  C3
2
6) Граничные условия.
Для определения трех констант интегрирования необходимо три граничных условия:
a) Вязкая жидкость прилипает к дну желоба v(0)=0
b) На поверхности жидкости давление p(h)= -pa, где h- высота жидкости в желобе и pa атмосферное давление.
c) Также касательные напряжения на поверхности равны нулю xz(h)=0.
2
z
gh cos 
2
z
h
g hcos
xz
vx
g cos
z2
vx 
(hz  )

2
 xz  (h  z )g cos 
p  ( z  h )g sin   p a
Пример 7
Движение тела в жидкости (газе)?
1) Что необходимо определить?
Выясним, как надо записать граничные условия если твердое тело движется в потоке жидкости
(газа).
2) Выбор системы координат. Описываемая проблема существует в любой системе координат.
3) Какие механические величины надо найти? Граничные условия в скоростях.
4) Какую модель выбираем?Модель непрерывной среды для жидкости и газа.
5) Применение модели к задаче.
В этом примере рассмотрим как записать граничные
условия, не записывая сами уравнения модели.
6) Граничные условия.
n
a) Граничные условия на поверхности преграды в
vk
потоке.
v0
На поверхности преграды составляющая скорости
жидкости (газа), направление которой совпадает с
нормалью к поверхности преграды (на рис. n)
должна быть равна скорости движения преграды в
этом направлении. Если бы это было не так, то:
- если скорость жидкости была бы больше, то жидкость проникла бы внутрь преграды;
- если скорость жидкости была бы меньше, то появились бы пустоты между преградой и
потоком.
Компонента скорости жидкости в направлении касательной к поверхности для жидкости
без вязкости равна скорости потока.
b) Движение тела в жидкости (газе).
76
Для сформулированных граничных условий кроме пункта а) можем сформулировать условие –
скорость "на бесконечности", т.е. на достаточном расстоянии (обычно соизмеримым с
размерами тела) жидкость не чувствует движущееся тело. Поэтому здесь скорость потока равна
нулю v()=0.
c) Граничные условия на поверхности жидкости. На поверхности жидкости известно давление,
оно равно атмосферному давлению.
- d) Граничные условия на поверхности соприкосновения двух жидкостей (газов) или на
поверхности соприкосновения жидкости и газа - условия состоят в том, что на
поверхности раздела должны быть равны давления и составляющие скоростей,
перепендикулярных к поверхности раздела
Пример 8
Как появляется турбулентность?
Попробуем понять, почему в природе (в реках и т. п.) в потоке жидкости появляются
завихрения, которые в механике называются турбулентным потоком.
Если поток жидкости является однородным (в механике – ламинарным), то можем
исследовать устойчив ли он. Поместив в этот поток какое-нибудь препядствие (камни в реке),
можем заметить, что при малой скорости течения линии потока обтекают преграду, но
завихрения не появляются. Увеличивая скорость всегда можем найти такую скорость потока,
при которой появляются завихрения. Это значит, что была достигнута критическая скорость,
при которой однородный поток теряет устойчивость.
Вопросы для проверки
1) Какие функции являются неизвестными в механике жидкостей? Почему?
2) Какие функции являются неизвестными в механике газов? Почему?
3) Что такое гидростатика и каковы ее уравнения?
4) Как определить уровни двух разных жидкостей в сообщающихся сосудах?
5) Как определить скорость истечения жидкости из сосуда?
6) Как можно рассчитать движение жидкости по трубопороводу?
7) Как можно рассчитать движение газа по трубопороводу?
8) Что такое число Маха?
9) Как поток жидкости с дозвуковой скоростью превратить в поток со сверхзвуковой
скоростью?
10) Как появляется гидравлический удар? Почему?
11) Как можно оценить появление гидрвлического удара?
12) Как объяснить гидравлический удар с точки зрения закона сохранения энергии (уравнение
Бернулли)?
13) Что такое стационарный и нестационарный поток?
14) Дайте пример расчета скорости стационарного потока вязкой жидкости.
15) Как найти распределение скоростей вязкой жидкости по высоте желоба?
16) Как найти касательные напряжения для вязкой жидкости, текущей по желобу?
17) Как записать граничные условия на поверхности тела, движущегося в потоке?
18) Как записать граничные условия для тела, движущегося в жидкости (корабль)?
19) Как записать граничные условия для тела, движущегося в газе (самолет)?
20) Как записать граничные условия на поверхности соприкосновения двух жидкостей?
21) Как записать граничные условия на поверхности соприкосновения двух газов?
22) Как записать ганичные условия на поверхности соприкосновения жидкости и газа?
23) Что обозначает понятие – скорость на бесконечности и когда его используют?
24) Что такое турбулентный поток?
25) Когда появляется турбулентный поток?