Механика жидкостей

ТЕМА 6. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
6.1. Уравнение неразрывности струи
При изучении движения жидкость рассматривается как непрерывная
среда (ее молекулярное строение не учитывается). В каждой точке
пространства, где течет жидкость, можно указать вектор скорости движения
ее частиц. Поскольку область пространства, в каждой точке которого
определен вектор, называется векторным полем, можно сказать, что течение
жидкости характеризуется полем скоростей.
Поле скоростей можно наглядно изобразить с помощью линий тока.
Эти линии проводятся так, что вектор скорости частиц жидкости в любой ее
точке направлен по касательной к линии тока, проходящей через эту точку.
Если линии тока провести через каждую точку, эти линии слились бы.
Поэтому для наглядного представления течения жидкости проводят лишь
часть линий так, что их густота пропорциональна модулю скорости частиц в
рассматриваемой области пространства. Тогда по картине линий тока можно
судить не только о направлении, но и о модуле скорости течения в различных
точках жидкости. Если скорость частиц в каждой точке жидкости
остается неизменной, течение называется стационарным. Если
плотность жидкости всюду одинакова и не изменяется с течением
времени, жидкость называется несжимаемой.
Выделим в текущей несжимаемой жидкости замкнутую линию
(контур) и проведем через каждую его точку соответствующую линию тока.
Эти линии образуют поверхность, которая называется трубкой тока (рис.
6.1,а). Поскольку вектор скорости в каждой точке такой трубки направлен
б)
a)
2

s2
1
s1
Рис. 6.1
по касательной к ее поверхности, частицы жидкости при движении не
пересекают стенки трубки.
Пусть поперечное сечение трубки тока настолько мало, что в каждой
его точке скорость частиц жидкости одинакова (рис. 6.1,б). При
стационарном течении через сечение s1 за время dt пройдет жидкость
1
объемом s11dt , за единицу времени – объемом s11 (здесь 1 - скорость частиц
в сечении s1 ). Поскольку жидкость несжимаема, объем жидкости,
протекающей через сечения s1 и s2 в единицу времени, одинаков, т.е.
s11  s2 2 . Понятно, что это равенство справедливо для любой пары сечений.
Следовательно, при стационарном течении несжимаемой жидкости в
любом сечении выбранной трубки тока произведение s  const . Из этого
равенства, которое называется уравнением неразрывности струи, следует,
что при изменяющемся сечении трубки тока жидкость движется с
ускорением. Если трубка расположена горизонтально, это ускорение может
быть обусловлено только непостоянством силы, вызывающей течение
жидкости. Модуль силы, действующей перпендикулярно сечению трубки,
называется силой давления, отношение модуля этой силы к площади сечения
– давлением. Из определения следует, что единицей измерения давления в
СИ служит 1 Н/м2; она имеет специальное название 1 Паскаль (Па).
Строго говоря, уравнение неразрывности справедливо лишь для
несжимаемой жидкости. Вместе с тем, как показывает опыт, оно выполняется
для реальных жидкостей и газов, если скорость их течения невелика. В
частности, скорость газовой струи должна быть много меньше скорости
звуковой волны в этом газе.
6.2. Уравнение Бернулли
Как уже отмечалось, в текущих жидкостях и газах существуют
силы внутреннего (вязкого) трения, обусловленные перемещением соседних
слоев друг относительно друга. Воображаемая жидкость, у которой
внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Опытным
путем установлено, что модуль силы внутреннего трения, действующей на
границе между слоями площадью s , определяется следующим выражением:
F 
d
s.
dz
(6.8)
Здесь d / dz - модуль производной модуля скорости по направлению,
перпендикулярному вектору скорости течения (рис. 6.5,а),  - динамическая
вязкость жидкости, зависящая от ее природы и температуры. Из (6.8)
следует, что

F
.
d
s
dz
(6.8А)
Следовательно, динамическая вязкость равна единице, если при изменении
скорости течения вдоль перпендикулярного направления на 1 м/с на одном
метре длины, на поверхность единичной площади, разделяющей слои,
действует сила 1 Н. Из (6.8А) следует также, что единицей измерения
динамической вязкости в системе СИ служит 1 Па∙с.
Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости в
2
объеме узкой трубки тока, ограниченном сечениями площадью s1 и s2 (рис.
6.2). За время t этот объем сместится вдоль линий тока, причем сечение s1
l 2
s2 '
F2
s2
F1
l1
s1 '
s1
h1
h2
Рис. 6.2
сместится на l1 , сечение s2 - на l2 . Очевидно, смещение жидкости
происходит под действием силы давления. Поскольку внутреннее трение
отсутствует, работу этой силы можно представить как приращение полной
механической энергии жидкости, заключенной в выделенном объеме.
Сила давления на стенки трубки тока перпендикулярна направлению
смещения частиц жидкости и поэтому работу не совершает. Отлична от нуля
лишь работа сил давления F1 и F2 , действующих в сечениях s1 и s2 :
(6.1)
A  F1l1  F2 l2 .
Выразим силы F1 и F2 через соответствующие давления P1 и P2 :
(6.2)
F1  P1 s1 , F2  P2 s2 .
Сделав в (6.1) замену (6.2), получим:
(6.3)
A  P1 s1l1  P2 s2 l2 .
Легко видеть, что s1l1 и s 2 l 2 - это объемы жидкости, протекающей через оба
сечения за время t . Так как жидкость несжимаема, эти объемы равны, т.е.
s1l1  s2 l 2  V . С учетом этого перепишем равенство (6.3) следующим
образом:
(6.4)
A  ( P1  P2 )V .
Как уже отмечалось, эту же работу можно представить как изменение полной
механической энергии выделенной части жидкости, которая складывается из
кинетической энергии ее движения и потенциальной энергии в поле силы
тяжести: A  W2  W1 . Поскольку течение стационарно, полная энергия
жидкости, заключенной в трубке тока между сечениями s1 ' и s2 , за
рассматриваемый промежуток времени не изменяется. Поэтому приращение
полной энергии равно разности значений полной энергии жидкости в
объемах V2 и V1 .
Пусть сечения трубки и промежуток времени малы настолько, что
всем частицам жидкости в объемах V1 и V2 соответствуют одинаковые
3
скорости 1 и  2 , одинаковые давления P1 и P2 и одинаковая высота h1 и h2
относительно произвольно выбранного уровня. Так как V1  V2 , масса
жидкости в этих объемах также одинакова и равна V (  - плотность
жидкости). Тогда приращение полной механической энергии
W2  W1 
V 2 2
2
 V1 2

 Vgh2  
 Vgh1  .
2


(6.5)
Приравняв правые части (6.4) и (6.5), имеем:
  2

 2
( P1  P2 )V   2  gh2  1  gh1 V 
2
 2

2
2

 2
P1  gh1  1  P2  gh2 
.
2
2
(6.6)
Это равенство становится вполне строгим лишь при условии, что площадь
обоих сечений рассматриваемой трубки тока стремится к нулю, т.е. при
стягивании трубки в линию тока. В этом случае переменные P , h и  в левой
и правой части (6.6) относятся к различным точкам одной и той же линии
тока. Поскольку при выводе этого уравнения сечения s1 и s2 были выбраны
совершенно произвольно, можно утверждать, что в стационарно текущей
идеальной несжимаемой жидкости вдоль любой линии тока
P  gh 
 2
2
 const .
P – т.н.
Это утверждение называется уравнением Бернулли. Здесь
статическое давление, обусловленное внешним воздействием на жидкость,
например – работой насоса, нагнетающего ее в трубу;  2 / 2 – кинетическая
энергия единицы объема жидкости, gh – соответственно потенциальная
энергия. Легко видеть, что все слагаемые в левой части имеют размерность 1
Н/м2;
поэтому
они
называются
соответственно
статическим,
гидростатическим и динамическим давлением. В случае горизонтально
расположенной линии тока имеем:
P1  gh 
1 2
2
 P2  gh 
 2 2
2
 P1 
1 2
2
 P2 
 2 2
2
.
Следовательно, статическое давление в жидкости меньше там, где скорость
течения больше. Динамическое давление обусловлено движением жидкости,
гидростатическое давление возникает в том случае, когда линия тока
расположена под углом к горизонту. Хотя уравнение Бернулли получено для
идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется и для реальных
жидкостей с небольшим внутренним трением.
6.3. Формула Торричелли
Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из
небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Для этого мысленно
выделим в жидкости трубку тока, сечениями которой являются открытая
4
поверхность сосуда ( s1 ) и сечение вытекающей струи ( s2 ) (рис. 6.4). Для всех
точек этих сечений модуль скорость течения жидкости ( 1 и  2 ), а также
высоту над произвольно выбранным уровнем ( h1 и h2 ) можно считать
одинаковыми. Поэтому течение жидкости в рассматриваемой трубке тока
подчиняется уравнению Бернулли:
P1  gh1 
1 2
2
 P2  gh2 
 2 2
2
.
Учтем, что статические давления в данном случае одинаковы (они равны
атмосферному давлению), а также то, что численное значение 1 можно
считать равным нулю. Поэтому
gh1  gh2 
 2 2
2
  2  2 g (h1  h2 ) .
2
Обозначив h1  h2  h , получим, что  2  2 gh . Эта равенство называется
формулой Торричелли; она получена в предположении, что жидкость
идеальна, т.е. в ней отсутствуют силы трения при относительном
перемещении соседних слоев. Интересно отметить, что такая же формула
получается для скорости, приобретаемой телом в свободном падении с
s1
h1
s2
2
h2
h0
Рис. 6.4
высоты h над поверхностью Земли при отсутствии сопротивления воздуха.
Через нижнее отверстие сосуда за промежуток времени dt вытекает
жидкость объемом s2 2 dt и массой
  s22 dt . Понятно, что величина
 2 (   s22 dt ) - это модуль изменения импульса жидкости, содержащейся в
сосуде, за этот же промежуток времени. По второму закону Ньютона
 2 (   s22 dt )  Fdt , где F - модуль силы, с которой сосуд действует на
вытекающую струю. По третьему закону Ньютона с такой же силой струя
жидкости действует на сосуд. Следовательно, модуль этой силы (она
называется реактивной силой) равен   s 2 2 2 . Если трение между сосудом и
поверхностью, на которой он находится, невелико, сосуд под действием
реактивной силы может прийти в движение.
5
6.4. Движение тел в жидкостях и газах
При исследовании сил, которые действуют на тела, движущиеся в
жидкости или газе, используются два подхода. В первом случае тело
движется в неподвижной среде; во втором случае, который обычно
используется в научных лабораториях, на покоящееся тело набегает поток
жидкости или газа. В соответствии с принципом относительности Галилея
оба подхода равноправны и должны давать одинаковые результаты.
Сила, которая действует на тело со стороны набегающей среды,
состоит, вообще говоря, из двух компонент. Один из них направлен вдоль
вектора скорости потока и называется лобовым сопротивлением. Вторая
составляющая перпендикулярна направлению движения среды и называется
подъемной силой. Можно показать, что на тело, симметричное относительно
направления потока, подъемная сила не действует. Для этого рассмотрим
линии тока вблизи длинного цилиндра, ось симметрии которого
перпендикулярна скорости движения среды (рис. 6.7,а). Легко видеть, что в
точках 1 и 2 скорость потока равна нулю, в точках 3,4 она имеет одинаковые
значения. Из уравнения Бернулли следует, что в этом случае и
динамическое, и статическое давление в точках 3,4 также одинаковы,
поэтому подъемная сила равна нулю. Если же среда набегает на
полуцилиндр, линии тока имеют вид, как на рис. 6.7,б. При этом скорость
потока и, соответственно, динамическое давление в точке 2 больше, чем в
точке 1. Согласно уравнению Бернулли статическое давление
непосредственно над полуцилиндром меньше, чем под ним, что и приводит к
возникновению подъемной силы.
Лобовое сопротивление складывается из силы давления и силы
внутреннего трения, причем обе составляющие обусловлены вязкостью
среды. Действительно, в более полных курсах гидромеханики доказывается
справедливость утверждения, получившего название парадокса Д’Аламбера:
при равномерном движении идеальной среды относительно тела
произвольной формы лобовое сопротивление равно нулю. Если же
относительно тела движется вязкая среда, ее тонкий (пограничный) слой
б)
a)


3
2
1

2
 1
4

Рис. 6.7
прилипает к телу и оказывает тормозящее действие на соседние слои. В свою
очередь эти слои пытаются увлечь за собой слой, прилипший к телу; в
6
результате возникает лобовое сопротивление, обусловленное внутренним
трением.
С увеличением скорости движения среды картина обтекания тела резко
меняется. Под действием сил внутреннего трения пограничный слой
отрывается от поверхности тела; в результате этого позади него образуются
области завихрений, где скорость движения частиц среды значительно
больше, а статическое давление – меньше, чем перед телом (рис. 6.8). Таким
образом возникает перепад давлений и вторая составляющая лобового
сопротивления – сила давления. При данных поперечных размерах тела
лобовое сопротивление значительно зависит от его формы; наименьшим
сопротивлением обладают хорошо обтекаемые каплевидные тела. Стокс
установил, что при небольших скоростях движения модуль силы
сопротивления F  kl . Здесь  - динамическая вязкость среды, l характерный размер тела, k - коэффициент пропорциональности, зависящий
Рис. 6.8
от формы тела. В частности, для шара k  6 , l  R (его радиус). Поэтому в
случае движения в жидкости небольших шариков
F  6R .
(6.12)
Это равенство называется формулой Стокса.
7