Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari

Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari
Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari deb nomlanuvchi qator
tasdiq va teoremalarni keltiramiz. Ular yetarlicha katta sondagi
tajribalarda t.m.lar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Limit teoremalar
shartli ravishda ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruh teoremalar katta
sonlar
qonunlari(KSQ)
deb
nomlanadi.
Ular
o‘rta
qiymatning
turg‘unligini ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda t.m.larning
o‘rta qiymati tasodifiyligini yo‘qotadi. Ikkinchi guruh teoremalar
markaziy limit teoremalar(MLT) deb nomlanadi. Yetarlicha katta
sondagi tajribalarda t.m.lar yig‘indisining taqsimoti normal taqsimotga
intilishi shartini ifodalaydi. KSQ ni keltirishdan avval yordamchi
tengliklarni isbotlaymiz.
Chebishev tengsizligi
Teorema(Chebishev). Agar X t.m. DX dispersiyaga ega bo‘lsa, u
holda   0 uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
P  X  MX    
DX
2
.
(5.1.1)
(5.1.1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. P  X  a    ehtimollik X t.m.ning [a   ; a   ] oraliqqa
tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda
a  MX
. U holda
P X  a    

a 


a
 dF ( x)   dF ( x)    dF ( x) 
( x  a) 2
  1 dF ( x)   
x a 
2
x a 
xa 
dF ( x) ,
chunki x  a   integrallash sohasini ( x  a)2   2 ko‘rinishda yozish
( x  a) 2
mumkin. Bu yerdan
2
 1 ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash
sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini
hisobga olsak,
P X  a    
1

  ( x  a)
2
2
dF ( x) 
x a 
1

2

 ( x  a)
2
dF ( x) 

1
2
DX .
■
Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
P  X  MX     1 
DX
2
.
(5.1.2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy t.m.lar uchun o‘rinli. Xususan, X t.m.
binomial
qonun
bo‘yicha
P{ X  m}  Cnm p m q n m , m  0,1,..., n,
taqsimlangan
q  1  p  (0,1) .
MX  a  np, DX  npq va (5.1.1) dan
P  m  np     1 
npq
2
;
(5.1.3)
bo‘lsin,
U
holda
n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi
m
p  M    a , dispersiyasi
n
m
 m  qp
D  
bo‘lgan hodisaning
chastotasi uchun,
n
n n
m

qp
P   p     1 2 .
n
n

(5.1.4)
X t.m.ni [ ; ) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov
tengsizligi beradi.
Teorema(Markov). Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi MX
chekli bo‘lgan X t.m. uchun   0 da
PX   
MX
(5.1.5)

tengsizlik o‘rinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
PX   



dF ( x) 
x
 
dF ( x) 
1



0
xdF ( x) 
MX

.
■
(5.1.5) tengsizlikdan (5.1.1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin.
(5.1.5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
PX    1
MX

.
(5.1.6)
1.-misol. X diskret t.m.ning taqsimot qonuni berilgan:
X : 1 2 3

Chebishev tengsizligidan foydalanib, P X  MX  0.4
 PX :0.3 0.2 0.5.

ehtimollikni
baholaymiz.
X
t.m.ning
hisoblaymiz:
sonli

xarakteristikalarini
MX  1 0.3  2  0.2  3 0.5  2.2 ;
DX  12  0.3  22  0.2  32  0.5  2.22  0.76 .
Chebishev tengsizligiga ko‘ra: P  X  2.2  0.4  1 
0.76
 0.9.
0.4
Katta sonlar qonuni Chebishev va Bernulli teoremalari
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha yetarlicha
katta sondagi t.m.lar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi.
Yig‘indidagi har bir t.m.ning tajriba natijasida qanday qiymatni qabul
qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta sondagi t.m.lar
yig‘indisining taqsimot qonunini hisoblash burmuncha qiyinchilik
tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha katta sondagi t.m.lar
yig‘indisi tasodifiylik xarakterini yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda
ko‘p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq
bo‘lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir.
Bu shartlar “Katta sonlar qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi.
Bular qatoriga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi.
 X1 , X 2 ,... X n ,... t.m.lar o‘zgarmas son A ga ehtimollik bo‘yicha
yaqinlashadi deyiladi, agar   0 uchun
lim P  X n  A     1
n 
P
A kabi
munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish X n n

belgilanadi.
 X1 , X 2 ,... X n ,...
t.m.lar
ketma-ketligi
mos
ravishda
MX1 , MX 2 ,...MX n ,... matematik kutilmalarga ega bo‘lib,   0 son uchun
n   da
1 n

1 n
lim P   X i   MX i     1
n 
n i 1
 n i 1

munosabat bajarilsa, X1 , X 2 ,... X n t.m.lar ketma-ketligi katta sonlar
qoniniga bo‘ysunadi deyiladi.
Teorema(Chebishev). Agar bog‘liqsiz X1 , X 2 ,... X n ,... t.m.lar ketmaketligi uchun shunday
C  0 bo‘lib DX i  C , i  1, 2,... tengsizliklar
o‘rinli bo‘lsa, u holda   0 uchun
1 n

1 n
lim P   X i   MX i     1
n 
n i 1
 n i 1

(5.2.1)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. DX i  C , i  1, 2,... bo‘lgani uchun
1
1
1 n
 1  n
 1 n
D   X i   2 D   X i   2  DX i  2  DX 1  ...  DX n   2  C  ...  C  
n
n
 n i 1  n
 i 1  n i 1
1
C
 2 Cn  . U holda Chebishev tengsizligiga ko‘ra:
n
n
1 n

D   Xi 
n
n
1

n
1
C
P   X i   MX i     1   i 21   1  2 .
n i 1

n
 n i 1

1 n

1 n
lim
P
X

MX i     1 .
Endi n   da limitga o‘tsak, n   i

n i 1
 n i 1

Natija.
(5.2.2)
■
Agar X1 , X 2 ,... X n ,... bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan
t.m.lar va MX i  a, DX i   2 bo‘lsa, u holda   0 uchun quyidagi
munosabat o‘rinli
1 n

lim P   X i  a     1 .
n 
 n i 1

(5.2.3)
Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi.
U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.
DISPERSION TAHLIL
Dispersion tahlil bir nechta tanlanmalar o’rtacha qiymatini solishtirish
masalasini yechishda qo’llaniladi. Agar tekshiruv natijasida ularning
matematik kutilishi bir-biridan kam farq qilsa, barcha tanlanmalar
birlashtiriladi, tadqiq etilayotgan tizim xossalari haqidagi ma’lumotlar
ko’payadi . Ko’p faktorli dispersion tahlil tajribada qatnashayotgan
faktorlar guruhidan kuzatilayotgan o’zgaruvchiga va uning natijasiga
ta’sir qiladigan ixtiyoriy sondagi faktorlarni baholash imkonini
beradi.Dispersion tahlil sonli va sifatli xususiyatga ega bo’lgan
faktorlarni baholash imkonini beradi, dispersion tahlil tenglamalarida
faktorlar emas balki ularning “samaralari” qatnashadi. Faktorlar sonli
xususiyatga ega bo’ganda, ularning kuzatilayotgan o’zgaruvchi bilan
o’zaro aloqasi refressiya tenglamasi orqali ifodalanadi. Korrelyatsiya
(lot. correlatio — o’zaro munosabat, o’zaro bog’lanish), korrelyatsion
bog’liqlik — ikki yoki bir nechta tasodifiy miqdorlarning statistik o’zaro
bog’liqligi. 2 тасодифий миқдорнинг қўшма тақсимотини
тавсифлаш учун ковариация (ёки корреляцион момент) дан
фойланилади.
Tarqalish diagrammasini qurish, ya’ni (xi, yi ) nuqtalarning (x, y)
joylashishini grafik usulda ifodalash zarur.
cov xyfazoda
M
[( x  M x )( y  M y )]  M xy  M x M y
Agar rxy ≠ 0 bo’lsa, u holda o’zgaruvchilar orasida bog’liqlik mavjud va
u rxy qancha katta bo’lsa shuncha kuchli bo’ladi. rxy =1 bo’lganda x va y
orasidagi funksional bog’liqlik y = b0 + b1x ko’rinishida bo’ladi, shu
bilan birga rxy = +1 bo’lganda musbat korrelyatsiya, ya’ni bir
miqdorning katta qiymatiga boshqa miqdorning katta qiymati mos
keladi; rxy = −1 da manfiy korrelyatsiya;
0 < rxy <1 da chiziqli korrelyatsiya tarqalish ehtimoli bilan, yoki
chiziqlimas korrelyatsiya.
Regressiya (лoт. regressio — teskari harakat, chekinish),ehtimollar
nazariyasi va matematik statistikada biror miqdor o’rtacha qiymatining
boshqa bir yoki bir necha miqdorlarga bog’liqligi.
Taqsimotning Integral Funksiyasi. Integral Funksiyaning xossalari
va grafigi
1. O‘lchovli funksiya.
2. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari.
Tayanch tushunchalar: O‘lchovli funksiya, tasodifiy miqdor.
1.O‘lchovli funksiya.
iхtiyoriy ehtimollik fazosi bo‘lsin.
1-ta’rif. Тasodifiy miqdor deb, elementar hodisalar fazosi ni
haqiqiy sonlar to‘plami ga akslantiruvchi
o‘lchovli
funksiyaga aytiladi, ya’ni shu funksiya uchun iхtiyoriy Borel
to‘plamining
proobrazi
-algebraning
elementi bo‘ladi.
tasodifiy miqdor
ni
ga o‘lchovli akslantiradi
deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
.
Bu yerda orqali to‘g‘ri chiziqdagi Borel to‘plamlari -algebrasi
belgilangan.
Тasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz.
1) O‘yin kubigi bir marta tashlanganda tushadigan ochkolar soni
tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu miqdor 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymatlarni qabul
qiladi.
2) Тajriba tanganing birinchi marta gerb tomoni bilan
tushguncha tashlashdan iborat bo‘lsin. Tanganing tashlashlar soni (1, 2,
3, ...) barcha natural sonlar to‘plamidan qiymatlar qabul qiluvchi
tasodifiy miqdordir.
3) Elektron lampaning ishlash vaqti ham tasodifiy miqdordir.
Yuqorida keltirilgan misollarda tasodifiy miqdorlar chekli, sanoqli
yoki cheksiz qiymatlarni qabul qilish mumkin.
Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlarini chekli yoki
sanoqli ketma-ketlik ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa, bunday
tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul
qilishi mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy
miqdor deyiladi.
Тasodifiy miqdorning ta’rifiga ko‘ra, iхtiyoriy Borel
to‘plami
Demak,
uchun
tasodifiy
.
miqdor
fazoda
ehtimollikni aniqlaydi va
fazosini hosil qiladi.
1-ta’rif. {
,
} ehtimolliklar tasodifiy
taqsimoti deb ataladi.
o‘lchovli
ehtimollik
miqdorning
Agar B to‘plam sifatida
haqiqiy
aniqlangan
bo‘lamiz.
2-ta’rif.
funksiya
funksiyasi deyiladi.
Kelgusida,
agar
oraliqni olsak, bu holda biz
o‘qda
funksiyaga
tasodifiy
miqdorning
tushunmovchiliklar
ega
taqsimot
keltirib
chiqarmasa,
ni
kabi yozamiz.
Quyida ko‘rish mumkinki, tasodifiy miqdorning taqsimot
funksiyasi uning taqsimotini to‘laligicha aniqlaydi va shu sababli
taqsimot o‘rniga ko‘p hollarda taqsimot funksiyasi ishlatiladi.
1-misol. tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos
ravishda p
va q ehtimolliklar
bilan
qabul qilsin
(p+q=1),
ya’ni
va
. Bu holda uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi.
2.
taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan tasodifiy
miqdor
oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi хossalarini keltiramiz. tasodifiy
miqdorning taqsimot funksiyasi
bo‘lsin. U holda
quyidagi
хossalarga ega:
F1. agar
bo‘lsa, u holda
(monotonlik хossasi);
F2.
F3.
(chegaralanganlik хossasi);
(chapdan uzluksizlik хossasi).
Тeorema. Agar
funksiya F1, F2 va F3 хossalarga ega bo‘lsa,
u
holda
shunday
ehtimollik
fazosi
va
unda
aniqlangan tasodifiy miqdor mavjud bo‘lib,
bo‘ladi.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.
3-misol. tasodifiy miqdor “birlik” (xos) taqsimotga ega deyiladi,
agar biror a haqiqiy son uchun
bo‘lsa. Bu taqsimot uchun
taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
4-misol.
Agar
tasodifiy
miqdor
qiymatlarni
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, bu tasodifiy miqdor binomial qonun
bo‘yicha taqsimlangan deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi. Ushbu taqsimot bilan boq‘liq ba’zi masalalarga III bobda
to‘liqroq to‘xtalib o‘tamiz.
5-misol. Agar tasodifiy miqdor
qiymatlarni
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo‘yicha
taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi
quyidagicha aniqlanadi:
6-misol. Agar
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor
parametrlar bilan
normal
taqsimlangan
tasodifiy
miqdor
deyiladi. Bu
yerda
– o‘zgarmas sonlar. Agar
bo‘lsa,
bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega
deyiladi va uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi. Ushbu
tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin
emas. Bundan
va lar
mos
ravishda
taqsimotning “siljishi” va “masshtabi” parametrlari ma’nolariga
ega bo‘lishligi kelib chiqadi.
7-misol. Agar tasodifiy miqdor
qiymatlarni
ehtimolligiklar bilan qabul qilsa, uni geometrik qonun bo‘yicha
taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi
Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi
yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq
qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish
imkoniyatini beruvchi har qanday хarakteristika tasodifiy miqdorning
taqsimot qonuni deb ataladi. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot
qonuni
sifatida
tengsizlik
ehtimolligini
aniqlovchi
interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan
ham,
agar
ma’lum
bo‘lsa,
u
holda
taqsimot
funksiyasini
formula orqali topishimiz mumkin. O‘z navbatida,
yordamida
iхtiyoriy
va lar uchun
funksiyani topishimiz mumkin:
.
Тasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi
qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy
miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar
bilan
qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorni
to‘laligicha хarakterlash uchun
ehtimolliklarni bilish
yetarli, ya’ni
ehtimolliklarni barchasi yordamida
taqsimot
funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
,
bu yerda yig‘indi
bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay
bo‘ladi, ya’ni
Qiymatlar
х1 х2 х3 …
Ehtimolliklar p1 p2 p3 …
Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek,
.
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini –
uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti
ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun
quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan tasodifiy
miqdorlar kiradi:
bu yerda
.
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan,
yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha
lar uchun
ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga
ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot
zichligi (zichlik
funksiyasi)
deb
ataladi. Bu
funksiya
uchun
qonun
bo‘ladi:
tenglik o‘rinli. Masalan,
uchun zichlik
parametrli normal
funksiyasi quyidagicha
.
zichlik funksiyasi
nuqtada eng katta qiymatiga erishadi
va uning grafigi
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik
joylashgan. Bu
funksiya
uchun
o‘q
gorizontal
asimptota,
nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari
bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga parametrning ta’sirini
ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda
ning a=0 va
bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar
bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday
ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga
(a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar
ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar
taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz,
barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0
ga
teng,
ya’ni
deyarli
barcha
nuqtalarda
bo‘lib,
tenglik o‘rinli.
10-rasm
2.Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy
miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik.
Mayli,
holda
va
Borel funksiyasi bo‘lsin. U
tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng:
Agar
.
– kamaymaydigan funksiya bo‘lib, uning uchun
teskari
funksiya aniqlangan bo‘lsa, u holda
.
Xususan,
agar
uzluksiz
bo‘lsa,
tasodifiy
miqdor
oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha, tekis
taqsimlangan tasodifiy miqdor va berilgan taqsimot funksiyasi
bo‘lsin. U holda
tasodifiy miqdor
ega bo‘ladi.
Boshqa xususiy holda, ya’ni
,
taqsimot funksiyasiga
holatda
bo‘ladi.
Agar
bo‘lsa,
uchun
,
uchun esa
.
Endi
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish
masalasini qaraylik.
Yuqoridagilarga
qo‘shimcha
ravishda funksiya
differensiallanuvchi va tasodifiy miqdor
zichlik funksiyasiga
ega bo‘lsin. U holda
ning quyidagi zichlik funksiyasi mavjud
.
Misol uchun
,
bo‘lganda
.
1-misol. Agar va o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va
da tekis
taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda
uchun
bo‘ladi.
Aytaylik,
bo‘lsin, u holda
,
agar
bo‘lsa,
.
Shunday qilib,
Funksional, statistic va korrelyatsion bog’lanishlar. Shartli o’rtacha
qiymatlar. Korrelyatsion bog’liqlik

1-ta’rif. Agar X belgining har bir mumkin
bo’lgan qiymatiga Y belgining bitta mumkin bo’lgan qiymati mos
kеlsa, u holda Y X belging funksiyasi dеyiladi:

Y=f(X).

Y=X2 funksiyaning taqsimoti topilsin.

Yechish. Y ning mumkin bo’lgan qiymatlarini topamiz: y1=4
y2=9. U holda Y ning taqsimoti:

2. X uzluksiz tasodifiy miqdor normal taqsimlangan
bo’lib, M(X)=a=2 va σ(X)=0,5 bo’lsa, Y=3X+1 chiziqli
funksiyaning zichlik funksiyasini toping.
Yechish. Y ning sonli xaraktеristikalarini topamiz:

Funksional bog’lanishlar aniq va tabiiy fanlar: matеmatika, fizika,
ximiya va boshqa fanlarda ayniqsa yaqqol kuzatiladi. Masalan,
tеrmomеtrdagi simob ustunining balandligi X havo
harorati Y haqida aniq va bir qiymatli ma’lumot bеradi; aylana
radiusi R va uning uzunligi C orasida C=2πR gеomеtriyadan
ma’lum bo’lgan formula bilan aniqlangan funksional bog’lanish
mavjuddir. Iqtisodiy jarayonlarda, umuman jamiyatning boshqa
sohalarida tasodifiy bеlgilar orasida qat’iy funksional bog’lanish
kamdan-kam uchraydi. Buning asosiy sabablaridan biri bеlgilarga
ta’sir etuvchi faktorlarning xilma-xilligi va tasodifiyligidir. Bu
holatda bеlgilar orasidagi moslik statistik bog’lanish bo’lishi
mumkin.

M(Y)=3∙2+1=7, σ(Y)=3∙0,5=1,5

U holda Y ning zichlik funksiyasi: 2-ta’rif. Agar miqdorlardan
birining o’zgarishi ikkinchi miqdor taqsimotining o’zgarishiga olib
kеlsa, u holda bu ikki miqdor orasidagi bog’lanishga
statistik bog’lanish dеyiladi. Masalan, agar Y(Z1, Z2, V1,V2,)
va X(Z1, Z2, U1,U2,) (Zi, Ui, Vi-tasodifiy faktorlar) lar bеrilgan
bo’lsin. Bu holda Y va X lar orasidagi bog’lanish statistik
bog’lanish dеyiladi, chunki ularning har biri bog’liq bo’lgan
tasodifiy faktorlar ichida umumiylari: Z1, Z2 va umumiy
bo’lmaganlari: Vi, Ui (i=1,2)bor. Statistik bog’lanishni matеmatik
ifodalash murakkab, shu sababli uning xususiy hollaridan biri
hisoblangan korrеlyatsion bog’lanish bilan tanishib chiqamiz. 3ta’rif. Agar bir-biriga statistik bog’lanishda bo’lgan ikki
miqdordan birining o’zgarishi ikkinchi miqdor o’rtacha
qiymatining o’zgarishiga olib kеlsa, u holda bunday statistik
bog’lanish korrеlyatsion bog’lanish dеb ataladi. Bir-biri bilan
korrеlyatsion bog’lanishda bo’lgan tasodifiy miqdorlarga misollar
kеltiramiz.
Mеhnat unumdorligi X va jami ishlab chiqarilgan mahsulot Y; 2.
Yig’ib olingan hosil miqdori Y va ishlatilgan o’g’itlar
miqdori X 3. Jami mahsulot miqdori X va korxonaning ish haqi
fondi Y; 4. Sarflangan kapital mablag’lar X va shu mablag’lardan
olingan sof foyda Y; 5. Korxonaning tеxnika bilan qurollanganlik
darajasi X va mеhnat unumdorligi ko’rsatkichi Y. Yuqoridagi
ta’rifdan ko’rinib turibdiki, korrеlyatsion bog’lanishni matеmatik
ifodalash, ya’ni y=f(x) ko’rinishda yozish, uchun shartli
o’rtacha tushunchasini kiritishimiz kеrak.

4-ta’rif. X=x qiymatga mos kеluvchi Y ning kuzatilgan
qiymatlarining arifmеtik o’rtachasini shartli o’rtacha dеb ataymiz.

Xuddi shunday usulda shartli o’rtacha tushunchasi ham aniqlanadi.


5-ta’rif. Y=y qiymatga mos kеluvchi X ning kuzatilgan qiymatlari
arifmеtik o’rtachasini shartli o’rtacha dеb ataymiz.

Agar kuzatishlar soni ko’p, ya’ni xi qiymat marta, qiymat
marta, (xi,yi) juftliklar marta takrorlanishi mumkin bo’lsa, u holda
yuqoridagi jadval o’rniga korrеlyatsion jadval yoki korrеlyatsion
panjara dеb ataluvchi jadval hosil bo’ladi. lar mos lar
ravishda xi,yi,( xi,yi) larning chastotalari dеyiladi. bеlgilash kiritib
quyidagi jadvalni hosil qilamiz. Bu еrda

Bu holatda shartli o’rtacha tushunchasidan foydalanishimiz zarur.
Y ning X ga korrеlyatsion bog’liqligi dеb , shartli o’rtachaning x ga
funksional bog’lanishiga aytiladi:


Bu tеnglama Y ning X ga rеgrеssiya tanlanma
tеnglamasi (ba’zida Y ning X ga rеgrеssiya
tеnglamasi), f(x) funksiya esa Y ning X ga tanlanma rеgrеssiyasi
(ba’zida rеgrеssiya funksiyasi) dеb ataladi. Bu tеnglama grafigi
esa Y ning X ga rеgrеssiya tanlama chizig’i (ba’zida Y ning X ga
rеgrеssiya chizig’i) dеyiladi.
X ning Y ga rеgrеssiya tanlama tеnglamasi va rеgrеssiya tanlama
chizig’i ham yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi:

Korrеlyatsiya nazariyasi bеlgilar orasidagi bog’lanishni o’rganish
jarayonida asosan quyidagi ikki masalani hal qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Аbdushukurov А.А. Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi, O‘zMU, 2006.
2.
Аbdushukurov А.А., Azlarov T.A., Djamirzayev A.A. Ehtimollar nazariyasi va
matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami. Toshkent «Universitet»,
2003.
3.
Azlarov T.A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistikadan Inglizcha-ruscha-o‘zbekcha lug‘at. Toshkent: «Universitet»,
2005.
4.
Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi. Ma’ruzalar matni. Toshkent:
«Universitet», 2000.
5.
Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая
статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
6.
Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория
вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.
7.
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.:
Высшая школа, 1984.
8.
Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. Теория
вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с
примерами и задачами / Учебн. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
9.
Кибзун А.И., Панков А.Р., Сиротин А.Н. Учебное пособие по теории
вероятностей. — М.: Изд-во МАИ, 1993.
10. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИДАНА, 2004.
11. http://www.lib.homelinex.org/math/;
12. http://www.eknigu.com/lib/mathematics/;