уфа (1)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Уфимский государственный авиационный технический университет»
На правах рукописи
КИРЕЕВ Тимур Фаритович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПОДЗЕМНЫХ
ПЛАСТАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
НЕСТРУКТУРИРОВАННОЙ СЕТКИ ВОРОНОГО
Специальность 05.13.18 —
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Булгакова Гузель Талгатовна
Уфа — 2020
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава
1.1
1.2
1.3
1.4
1. Построение сетки Вороного . . . . . . . . . . . . . .
Обзор методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Диаграмма Вороного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Диаграмма Вороного с ограничениями . . . . . . . . . . .
Характеристика разработанного комплекса программ для
моделирования фильтрации в пористой среде . . . . . . .
1.5 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
11
11
12
14
. . . .
. . . .
22
24
Глава
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2. Решение задачи полимерного заводнения . .
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнения фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . .
Постановка задачи фильтрации . . . . . . . . . . . .
Решение задачи фильтрации . . . . . . . . . . . . . .
Сравнение прямоугольной сетки и сетки Вороного . .
Верификация расчетной схемы . . . . . . . . . . . . .
Блочно-центрированная сетка Вороного и PEBI сетка
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
27
30
31
35
40
42
44
Глава
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3. Процедура апскейлинга
Введение . . . . . . . . . . .
Модель фильтрации . . . . .
Процедура апскейлинга . . .
Построение сетки . . . . . . .
Численный эксперимент . . .
Заключение . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
46
48
49
50
53
57
Глава 4. Интерпретация данных трассерных исследований
межскважинного пространства . . . . . . . . . . . .
4.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Математическая модель переноса трассера . . . . . . . . .
4.3 Пространственная дискретизация . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
58
60
61
для
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
трещин ГРП
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Верификация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сравнение предлагаемого и классического подходов . . . . . . .
Динамика прорыва воды по трещине в добывающую скважину
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
Глава 5. Моделирование напряженного состояния цементного
кольца с трещиной ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Задача фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Задача упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Алгоритм решения локальной задачи упругости на сетке Вороного
5.5 Алгоритм решения глобальной задачи упругости на сетке
Вороного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Верификация численной схемы для уравнения упругости . . . . .
5.8 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
64
68
70
73
75
75
76
77
81
85
86
93
95
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . .
98
Список литературы
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации
программы для ЭВМ «Программа для
построения двумерной расчетной сетки
Вороного» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Приложение Б. Свидетельство о государственной регистрации
программы для ЭВМ «Программа для
интерпретации трассерных исследований с
помощью дискретной модели трещины» . . . . . 115
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Математическое моделирование является основ­
ным инструментом на всех стадиях разработки нефтегазовых месторождений.
В настоящее время доля трудноизвлекаемых углеводородов в общем ба­
лансе запасов России составляет более 60% и с каждым годом продолжает
расти. Для эффективного освоения залежей такого типа требуется развитие
математических инструментов для детального описания геометрии скважин
со сложными типами заканчивания при наличии естественных и техногенных
трещин в продуктивном пласте.
На сегодняшний день при моделировании подземных течений углеводоро­
дов чаще всего используются структурированные расчетные сетки. Такие сетки
не позволяют детально описать сложное структурное строение пласта и неод­
нородности распределения физических свойств в нем.
Неструктурированные сетки лишены этих недостатков, и открывают воз­
можности для проведения более глубокого анализа разработки месторождения
и создания более надежных прогнозных моделей.
Сетка Вороного – это неструктурированная расчетная сетка, основан­
ная на диаграмме Вороного. Много вопросов, связанных с применением
сетки Вороного для математического моделирования фильтрационных течений
(фильтрации) в подземных пластах, остаются открытыми. Таким образом, дан­
ная работа является весьма актуальной.
Степень разработанности темы. Для моделирования нефтяных пла­
стов неструктурированные сетки начали использовать в конце 1980-х го­
дов [1—7].
Одной из самых популярных стала PEBI (Perpendicular Bisector) сет­
ка – это такая сетка Вороного, в которой в качестве расчетных узлов
используются узлы (сайты) диаграммы Вороного. Например, Palagi [2] и
Verma [8] исследовали PEBI сетку для моделирования многофазной филь­
трации, Forsyth [7] предложил использовать метод конечных объемов вместе
с методом конечных элементов (CVFE) для решения уравнений теплопереноса,
опираясь при этом на свойство дуальности триангуляции Делоне к диаграм­
ме Вороного.
5
Основной недостаток этих исследований заключался в отсутствии инстру­
ментов для точного описания сложных граничных условий. Некоторые задачи
требовали жесткой фиксации положения и ориентации граней ячеек (например,
для описания скважин или разломов). Развитие сетки Вороного существенно
отставало от развития треугольных и тетраэдральных расчетных сеток, для
которых подобные проблемы уже успешно решались в 1990-х годах [9—17].
Множество подходов основано на обрезке ячеек сетки Вороного [18—20],
но все они имеют общий недостаток – обрезанные ячейки становятся невыпук­
лыми.
Позже получили развитие алгоритмы построения сетки Вороного без об­
резки ячеек. В работах [21] и [22] были предложены методы построения сетки
Вороного c обработкой пересекающихся разломов и учетом различных типов
скважин. Berge [23; 24] предложил метод для приближенного описания пересе­
кающихся разломов. В работе [25] описаны идеи построения трехмерной сетки
Вороного с аппроксимацией невыпуклых границ и последующей корректиров­
кой дефектов. Похожие идеи были ранее описаны для решения обобщенной
обратной задачи Вороного на плоскости [26; 27]. Но в перечисленных работах
приведены лишь общие идеи и принципы без формализованного описания ал­
горитмов и доказательств их корректности. Один из недостатков работы [25]
заключается в отсутствии поддержки границ с самопересечениями.
В работе Abdelkader [28; 29] представлен формализованный алгоритм по­
строения трехмерной сетки Вороного для областей с невыпуклой границей.
Однако использование этого алгоритма для построения двумерных сеток неце­
лесообразно, поскольку это вносит избыточную сложность.
В настоящей работе разработан формализованный алгоритм построения
двумерной сетки Вороного с ограничениями в виде пересекающихся отрезков.
Проведено доказательство корректности алгоритма. Под корректностью алго­
ритма здесь подразумевается то, что алгоритм выдает ожидаемый результат
при любых ожидаемых входных данных.
Одной из ключевых задач при моделировании подземных фильтрацион­
ных течений является корректный учет распределения давления в околосква­
жинной области. При большом количестве скважин размеры моделируемого
участка пласта во много раз превышают диаметр скважинной колонны и апер­
туру трещин. В таком случае численный расчет за приемлемое время можно
6
провести лишь на грубой сетке, размеры которой на несколько порядков пре­
вышают характерные размеры околоскважинных особенностей.
В связи с этим широкое распространение получили разнообразные методы
уточнения численного решения вблизи скважин: метод Peaceman [30], форму­
лы Abou-Kassem [31], разностно-аналитический метод Каневской [32], метод
апскейлинга [33; 34] и др.
Для моделирования трещин ГРП (гидроразрыва пласта) на неструкту­
рированных сетках обычно применяют модели DFM (Discrete Fracture Model,
дискретная модель трещины) и EDFM (Embedded Discrete Fracture Model)
(Karimi-Fard (2003), Li (2008), Moinfar (2012)). В этих моделях предполагается,
что давление внутри грубой ячейки с трещиной распределено линейно вдоль
нормали к трещине.
Мало работ посвящено методу околоскважинного апскейлинга проводи­
мости с использованием неструктурированных расчетных сеток. В данной
диссертации разработан алгоритм апскейлинга проводимости для трещин ГРП
на грубой сетке Вороного.
Целью данной работы является разработка математических моделей и
численных алгоритмов для моделирования фильтрационных течений в подзем­
ных пластах с использованием сетки Вороного.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи.
1. Разработать алгоритм построения двумерной сетки Вороного с ограни­
чениями и доказать его корректность (п.3 паспорта специальности 05.13.18 ).
2. Разработать алгоритм околоскважинного численного апскейлинга для
трещины ГРП на сетке Вороного (п.3 паспорта специальности 05.13.18 ).
3. Разработать подход к математическому моделированию переноса трас­
сера по высокопроницаемым каналам фильтрации с использованием сетки
Вороного, позволяющий проводить интерпретацию данных трассерных иссле­
дований межскважинного пространства с учетом перетоков трассера между
высокопроницаемыми каналами и пластом (п.1 и п.7 паспорта специальности
05.13.18 ).
4. Построить математическую модель для оценки прочности цементного
кольца скважины с трещиной ГРП под влиянием порового давления пласто­
вой жидкости и разработать алгоритм решения этой задачи на сетке Вороного
с использованием метода многоточечной аппроксимации напряжений (п.1 пас­
порта специальности 05.13.18 ).
7
5. Разработать комплекс программ для моделирования фильтрационных
течений в пористой среде, поддерживающий разработанные алгоритмы, и про­
вести анализ построенных моделей методом вычислительного эксперимента на
ПЭВМ (п.4 и п.8 паспорта специальности 05.13.18 ).
Научная новизна:
1. Разработан алгоритм построения двумерной сетки Вороного с огра­
ничениями, который позволил учесть геометрию пересекающихся разнона­
правленных вертикальных трещин при проведении численного моделирования
фильтрационных течений в подземных пластах.
2. Разработан алгоритм апскейлинга для скважин с трещинами ГРП, поз­
воляющий получить более точное численное решение задачи фильтрационного
течения по сравнению с методом EDFM при использовании грубой сетки Воро­
ного.
3. Предложен новый подход к математическому моделированию переноса
трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации, основанный на примене­
нии неструктурированной сетки Вороного и позволяющий повысить качество
интерпретации данных трассерных исследований межскважинного простран­
ства в сравнении с классическим методом интерпретации. Предложенный
способ учитывает наличие перетоков трассера между высокопроницаемыми
каналами и пластом, что позволило получить корректную оценку объема высо­
копроницаемых каналов между скважинами.
4. Разработаны математическая модель для оценки прочности цементно­
го кольца скважины с трещиной ГРП и алгоритм решения этой задачи на сетке
Вороного, которые позволили установить, что максимальное значение напря­
жения Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и
эксплуатационной колонны, а наличие трещины ГРП может снижать напряже­
ние цементного кольца.
Практическая значимость Разработанный алгоритм построения сет­
ки Вороного может быть использован для решения широкого спектра задач, в
частности, задач численного моделирования в гидро- и геомеханике.
Разработанный алгоритм численного апскейлинга на сетке Вороного
позволяет повысить точность моделирования фильтрации в пористой среде
в случаях, когда используются крупные расчетные ячейки, размеры которых
сравнимы с расстояниями между скважинами.
8
Предложенный подход к интерпретации данных трассерных исследований
позволяет оценить параметры высокопроницаемых каналов фильтрации и полу­
чить детализированную модель межскважинного пространства, которая может
упростить последующее численное моделирование при проведении геолого-тех­
нических мероприятий на месторождениях нефти и газа.
Разработанный программный комплекс внедрен в производственную дея­
тельность ООО «Уфимский научно-технический центр».
Методология и методы исследования. В работе использованы мето­
ды математического моделирования, численные методы (метод Ньютона для
нахождения нуля функции, алгоритм Нелдера-Мида, алгоритм Форчуна, ите­
рационные алгоритмы решения систем линейных уравнений, неявная схема
дискретизации уравнений), методы механики сплошных сред (теория филь­
трации, закон Дарси, элементы гидродинамики и теории упругости), методы
вычислительной геометрии и линейной алгебры, метод конечных объемов,
метод двухточечной аппроксимации потоков и метод многоточечной аппрок­
симации напряжений.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Алгоритм построения двумерной диаграммы Вороного с ограничения­
ми на плоскости. Результаты опубликованы в [35].
2. Алгоритм численного апскейлинга на сетке Вороного вблизи скважин
с трещинами ГРП. Результаты опубликованы в [36; 37].
3. Новый подход к математическому моделированию переноса трассера
по высокопроницаемым каналам фильтрации с помощью дискретной модели
трещины. Результаты опубликованы в [38].
4. Математическая модель для оценки прочности цементного кольца сква­
жины с трещиной ГРП. Результаты опубликованы в [39; 40].
5. Комплекс программ для моделирования фильтрационных течений
в пористой среде, поддерживающий разработанные математические модели и
алгоритмы. Результаты опубликованы в [41; 42].
Эти положения соответствуют областям исследования 1, 3, 4, 7, 8 из пас­
порта специальности 05.13.18 –– Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ.
Достоверность полученных результатов обеспечивается матема­
тическим доказательством сформулированных утверждений, сравнением
результатов вычислительных экспериментов с аналитическими решениями
9
и с расчетами в промышленных пакетах моделирования. Результаты всех
проведенных исследований опубликованы в отечественных и зарубежных ре­
цензируемых научных журналах и находятся в соответствии с результатами,
полученными другими авторами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались
на следующих научных семинарах и конференциях: XXIV Международная
конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2017); X
Всероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделиро­
вание и компьютерные технологии в процессах разработки месторождений»
(Уфа, 2017); VI Международная конференция «International Conference on
Mathematical Modeling in Physical Sciences (IC-MSQUARE)» (Пафос, Кипр,
2017); V Международная конференция «International Conference on Mathematics
and Mechanics (ICMM)» (Вена, Австрия, 2018); III Всероссийская молодеж­
ная научно-практическая конференция «Геолого-геофизические исследования
нефтегазовых пластов» (Уфа, 2018); II Всероссийская летняя школа-конфе­
ренция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения» (Уфа,
2018); IX Всероссийская конференция с международным участием «Актуаль­
ные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2018);
XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической
и прикладной механики (Уфа, 2019); VIII Международная конференция
«International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (IC­
MSQUARE)» (Братислава, Словакия, 2019).
Представленные в диссертации исследования выполнялись при поддержке
гранта РФФИ №17-41-020226 р_а.
Личный вклад. Все представленные в работе научные результаты по­
лучены автором лично или при его непосредственном участии на всех этапах
исследований. В совместные опубликованные работы [35—40; 43—49] автор внес
основной вклад (анализ научной литературы, разработка математических мо­
делей и численных алгоритмов, доказательство утверждений, программная
реализация алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов), науч­
ный руководитель Булгакова Г.Т. организовала ход научно-исследовательской
работы, провела критический анализ разработанных математических моделей
и приняла участие в обсуждении полученных результатов. В совместных ра­
ботах [43; 47—49] Хатмуллин И.Ф. предложил идеи и замечания касательно
программной реализации численных методов.
10
Публикации. По результатам диссертационного исследования опублико­
вано 14 работ, 8 из которых опубликованы в рецензируемых научных изданиях,
включенных в Перечень ВАК или в одну из систем цитирования Scopus и Web
of Science, 6 — в сборниках трудов конференций. Получено 2 свидетельства о
государственной регистрации программы для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти
глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 115 страниц, вклю­
чая 53 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 90 наименований.
11
ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ ВОРОНОГО
1.1
Обзор методов
Известно, что диаграмма Вороного имеет огромное множество приме­
нений [50]. Одно из таких применений – построение расчетных сеток для
численного решения задач гидро- и геомеханики. Для таких задач традици­
онно используются хорошо изученные сетки на основе триангуляции расчетной
области, в частности, триангуляции Делоне [9—17]. По сравнению с ними, сетки
на основе диаграммы Вороного имеют ряд преимуществ.
Задача построения диаграммы Вороного часто рассматривается как зада­
ча построения триангуляции Делоне и наоборот, из-за двойственности между
этими объектами. Однако триангуляция Делоне с ограничениями уже не яв­
ляется двойственной к диаграмме Вороного с ограничениями [21]. Узловые
точки диаграммы, которая двойственна к такой триангуляции, будут лежать
на ребрах триангуляции, поэтому ребра этой диаграммы всегда будут перпен­
дикулярны структурным отрезкам, вместо того, чтобы лежать на них.
Для учета ограничений в диаграмме Вороного чаще всего применяют ме­
тод отсечения, при котором ячейки Вороного обрезаются так, чтобы их границы
лежали на структурных отрезках [18—20]. Недостаток этого похода заключается
в том, что ячейки вблизи структурных отрезков теряют свойство ортогональ­
ности и могут становиться невыпуклыми.
В данной главе изучается вопрос построения диаграммы Вороного с
ограничениями, в которой ребра ячеек Вороного в точности формируют струк­
турные отрезки ограничения, т.е. ячейки Вороного не обрезаются. Эта задача
так же известна как обобщенная обратная задача Вороного (Generalized Inverse
Voronoi Problem) [26]. Она заключатся в том, чтобы по заданному ограни­
чению найти набор узлов, для которых диаграмма Вороного будет являться
диаграммой Вороного с ограничением. В предположении, что узлы диаграм­
мы Вороного могут лежать сколь угодно близко друг к другу, очевидно, что
решение этой задачи всегда существует (конструктивное доказательство это­
го факта приводится, например, в [27]). Открытой проблемой остается поиск
оптимального решения, в котором множество узлов диаграммы было бы мини­
мально [27]. Для случая, когда структурные отрезки ограничения разбивают
12
плоскость на прямоугольники, существует простой алгоритм решения этой за­
дачи с помощью решетки Ханана [27].
Один [21] из подходов для построения диаграммы Вороного с ограничения­
ми заключается в использовании триангуляции Делоне. Сначала генерируется
триангуляция Делоне с ограничениями, затем проводится локальная коррек­
тировка триангуляции: ее ребра перестраиваются так, чтобы они оказались
перпендикулярны структурным отрезкам. В конце вычисляется диаграмма
Вороного, двойственная к полученной триангуляции. Достоинство алгоритма
заключается в том, что он «прокладывает мост» между триангуляцией с огра­
ничениями и диаграммой Вороного с ограничениями. Так, например, можно
использовать готовые алгоритмы измельчения или сглаживания триангуляции,
чтобы получить измельченную или сглаженную диаграмму Вороного.
Второй подход заключается в формировании множества узлов диаграм­
мы Вороного напрямую, без использования триангуляции Делоне [23; 24; 28]. В
данной главе на основе этого подхода предложен алгоритм построения диаграм­
мы Вороного с ограничениями на плоскости. Доказано несколько утверждений
и теорема о корректности алгоритма. Под корректностью алгоритма понима­
ется то, что алгоритм выдает ожидаемый результат при любых ожидаемых
входных данных.
1.2
Диаграмма Вороного
Определение 1. Для заданного конечного множества точек 𝑆 ⊂ R2 ячейкой
Вороного точки 𝑖 ∈ 𝑆 называется множество
{︀
}︀
VoroCell (𝑆, 𝑖) = 𝑥 ∈ R2 : ‖𝑥 − 𝑖‖ < ‖𝑥 − 𝑗‖ ∀𝑗 ∈ 𝑆, 𝑗 ̸= 𝑖
Определение 2. Ребром между ячейками VoroCell (𝑆, 𝑖) и VoroCell (𝑆, 𝑗) при
𝑖 ̸= 𝑗 называется непустое множество
VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) = VoroCell (𝑆, 𝑖) ∩ VoroCell (𝑆, 𝑗)
Определение 3. Вершиной между ячейками VoroCell (𝑆, 𝑖), VoroCell (𝑆, 𝑗)
иVoroCell (𝑆, 𝑘) при 𝑖 ̸= 𝑗 и 𝑖 ̸= 𝑘 называется непустое множество
⋂︁
VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘) =
VoroCell (𝑆, 𝑚)
𝑚∈{𝑖,𝑗,𝑘}
13
Ячейка Вороного – это открытая выпуклая область в R2 , поскольку ее
можно представить в виде пересечения |𝑆| − 1 полуплоскостей. Поэтому ребра
между ячейками Вороного представляют собой отрезки, лучи или линии в R2 , а
вершины между ячейками Вороного – точки в R2 . Ребро или вершина могут не
существовать, если соответствующее пересечение ячеек Вороного пусто. Ино­
гда ребро может вырождаться в точку, а несколько вершин могут совпадать
друг с другом (это происходит, когда 𝑆 содержит 4 и более точек, лежащих
на одной окружности).
Утверждение 1. Пусть 𝑆 ⊂ R2 – конечное множество, 𝑖 ∈ 𝑆, 𝐶 – открытый
круг конечного радиуса, граница которого проходит через точку 𝑖, и 𝐶 ∩𝑆 = ∅.
Тогда VoroCell (𝑆, 𝑖) содержит в себе центр круга 𝐶.
Доказательство. Пусть 𝑐 – центр круга 𝐶. Предположим, что 𝑐 ∈
/
VoroCell (𝑆, 𝑖). Тогда существует точка 𝑗 ∈ 𝑆, такая, что 𝑗 ̸= 𝑖 и 𝑐 ∈
VoroCell (𝑆, 𝑗), следовательно, ‖𝑐 − 𝑗‖ ⩽ ‖𝑐 − 𝑖‖. Если ‖𝑐 − 𝑗‖ < ‖𝑐 − 𝑖‖,
то возникает противоречие с условием 𝐶 ∩ 𝑆 = ∅, поскольку 𝑗 ∈ 𝐶. Если же
‖𝑐 − 𝑗‖ = ‖𝑐 − 𝑖‖, то точка 𝑐 лежит в пересечении VoroCell (𝑆, 𝑖)∩VoroCell (𝑆, 𝑗),
что противоречит исходному предположению.
Следствие 1.1. Пусть 𝑆 ⊂ R2 – конечное множество, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆 – две различ­
ные точки, 𝐶 – открытый круг конечного радиуса, граница которого проходит
через точки 𝑖, 𝑗, и 𝐶 ∩ 𝑆 = ∅. Тогда ребро VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) существует и со­
держит в себе центр круга 𝐶.
Доказательство. Пусть 𝑐 – центр круга 𝐶. Согласно утверждению 1, 𝑐 ∈
VoroCell (𝑆, 𝑖) и 𝑐 ∈ VoroCell (𝑆, 𝑗). Значит 𝑐 ∈ VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗), и, следова­
тельно, это ребро существует.
Следствие 1.2. Пусть 𝑆 ⊂ R2 – конечное множество, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝑆 – три
различные точки, 𝐶 – открытый круг конечного радиуса, граница которого
проходит через точки 𝑖, 𝑗, 𝑘, и 𝐶 ∩ 𝑆 = ∅. Тогда вершина VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘)
существует и совпадает с центром круга 𝐶.
Доказательство. Пусть 𝑐 – центр круга 𝐶. Согласно утверждению 1,
𝑐 ∈ VoroCell (𝑆, 𝑖), 𝑐 ∈ VoroCell (𝑆, 𝑗) и 𝑐 ∈ VoroCell (𝑆, 𝑘). Значит
𝑐 ∈ VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘), и, следовательно, эта вершина существует. Но
14
VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘) может быть либо пустым множеством, либо состоять
из одной точки, поэтому 𝑐 = VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘).
Определение 4. Множеством ячеек диаграммы Вороного называется
VC (𝑆) = {VoroCell (𝑆, 𝑖)}𝑖∈𝑆
Определение 5. Множеством ребер диаграммы Вороного называется
VE (𝑆) = {VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗)}𝑖,𝑗∈𝑆,𝑖̸=𝑗
Определение 6. Множеством вершин диаграммы Вороного называется
VV (𝑆) = {VoroVertex (𝑆, 𝑖, 𝑗, 𝑘)}𝑖,𝑗,𝑘∈𝑆,𝑖̸=𝑗,𝑖̸=𝑘
Определение 7. Диаграммой Вороного для множества точек 𝑆 ⊂ R2 называ­
ется кортеж
VD(𝑆) = (VC (𝑆), VE (𝑆), VV (𝑆))
Определение 8. Точки 𝑆 диаграммы Вороного VD(𝑆) называются узлами,
или узловыми точками.
Задача построения диаграммы Вороного заключается в том, чтобы по за­
данным узловым точкам 𝑆 найти диаграмму Вороного VD(𝑆). На практике,
как правило, множество 𝑆 выступает в качестве входных данных.
1.3
Диаграмма Вороного с ограничениями
Определение 9. Плоский конечный граф 𝐺 = (𝑉,𝐸) в R2 , в котором все ребра
𝐸 являются отрезками, а все вершины 𝑉 имеют ненулевую степень, называется
ограничением. Ребра графа называются структурными отрезками. Ребро меж­
ду двумя вершинами 𝑣1 и 𝑣2 обозначается ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩.
Ограничение 𝐺 может состоять из нескольких компонент связности и со­
держать в себе некоторое количество циклов.
Определение 10. Диаграмма Вороного VD(𝑆) поддерживает ограничение 𝐺,
если
1. 𝑉 ⊆ VV (𝑆).
15
⋃︀
2. ∀ (𝑒 ∈ 𝐸) ∃ ({𝑒1 , ..., 𝑒𝑘 } ⊆ VE (𝑆)) : 𝑒 = 𝑖=1..𝑘 𝑒𝑖 .
В этом случае VD(𝑆) называется диаграммой Вороного с ограничением 𝐺.
Утверждение 2. Пусть 𝑆 ⊂ R2 – конечное множество, 𝐺 = ({𝑣1 ,𝑣2 } , {𝑒}) –
ограничение, в котором 𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩. Если существует два открытых круга
𝐶1 и 𝐶2 с конечными радиусами и центрами в точках 𝑣1 и 𝑣2 , таких, что
1. |𝜕𝐶1 ∩ 𝑆| ⩾ 3 и |𝜕𝐶2 ∩ 𝑆| ⩾ 3,
2. 𝜕𝐶1 ∩ 𝜕𝐶2 = {𝑖, 𝑗} ⊂ 𝑆, 𝑖 ̸= 𝑗,
3. 𝐶1 ∩ 𝑆 = 𝐶2 ∩ 𝑆 = ∅,
то диаграмма Вороного VD(𝑆) поддерживает ограничение 𝐺.
Доказательство. Поскольку 𝜕𝐶1 – окружность и |𝜕𝐶1 ∩ 𝑆| ⩾ 3, то в 𝜕𝐶1 ∩ 𝑆
найдутся три различные точки. Согласно следствию 1.2, 𝑣1 ∈ VV (𝑆). Анало­
гично 𝑣2 ∈ VV (𝑆). Согласно следствию 1.1, ребро VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) содержит в
себе точки 𝑣1 и 𝑣2 . Поскольку VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) – выпуклое множество (отрезок,
луч или линия), оно содержит в себе ребро 𝑒 графа.
Докажем теперь, что VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) не может содержать никаких дру­
гих точек, кроме 𝑒. Рассмотрим точку 𝑥 = 𝑡𝑣1 + (1 − 𝑡) 𝑣2 для некоторого 𝑡 > 1.
Поскольку |𝜕𝐶1 ∩ 𝑆| ⩾ 3, на границе круга 𝐶1 найдется точка 𝑘 ∈ 𝑆, отличная
от точек 𝑖 и 𝑗. Круги 𝐶1 и 𝐶2 не содержат точку 𝑘 и их границы пересека­
ются в точках 𝑖, 𝑗, поэтому ‖𝑥 − 𝑘‖ < ‖𝑥 − 𝑖‖ = ‖𝑥 − 𝑗‖. Значит точка 𝑥 не
принадлежит множествам VoroCell (𝑆, 𝑖), VoroCell (𝑆, 𝑗), и, следовательно, не
принадлежит множеству VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗). Аналогично для случая 𝑡 < 0. Та­
ким образом, 𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ = VoroEdge(𝑆, 𝑖, 𝑗) ⊆ 𝐸.
На рисунке 1.1 показана диаграмма Вороного, поддерживающая ограни­
чение 𝐺 = ({𝑣1 ,𝑣2 } , {𝑒}), где 𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩, и соответствующие окружности 𝜕𝐶1
и 𝜕𝐶2 с центрами в точках 𝑣1 и 𝑣2 . Множество 𝑆 состоит из четырех точек.
На рисунке 1.1 показана диаграмма Вороного, поддерживающая ограни­
чение 𝐺 = ({𝑣1 ,𝑣2 ,𝑣3 ,𝑣4 } , {𝑒,𝑔,ℎ}), где 𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ , 𝑔 = ⟨𝑣2 , 𝑣3 ⟩ , ℎ = ⟨𝑣2 , 𝑣4 ⟩, и
соответствующие окружности 𝜕𝐶1 ,𝜕𝐶2 ,𝜕𝐶3 ,𝜕𝐶4 . Множество 𝑆 состоит из де­
вяти точек.
Задачу построения диаграммы Вороного с ограничением можно сформу­
лировать следующим образом: по заданному ограничению 𝐺 требуется найти
такое множество узлов 𝑆, при котором диаграмма Вороного VD(𝑆) будет
являться диаграммой Вороного с ограничением 𝐺. Эта формулировка эквива­
лентна постановке обобщенной обратной задачи Вороного.
16
6
4
4
3
v3
2
2
g
1
v1
0
e
v2
v1
0
e
v2
h
-1
-2
-2
v4
-3
-4
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2
0
2
4
6
8
Рисунок 1.1 — Примеры диаграмм Вороного с ограничением. Серыми и
черными линиями показаны ребра диаграммы, синими точками – узлы
диаграммы
Алгоритм 1. Построение диаграммы Вороного с ограничениями
Входные данные: ограничение 𝐺 = (𝑉, 𝐸).
Результат: множество 𝑆 ⊂ R2 , такое, что VD(𝑆) поддерживает ограничение
𝐺.
1. Выбрать достаточно маленькое число ε, и для каждой вершины 𝑣 ∈ 𝑉
построить открытый круг 𝐶(𝑣) радиуса ε с центром в точке 𝑣 так,
чтобы
а) ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉, 𝑣1 ̸= 𝑣2 : 𝐶(𝑣1 ) ∩ 𝐶(𝑣2 ) = ∅,
б) ∀𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 : dist (𝐶(𝑣1 ), 𝐶(𝑣2 )) ⩾ ε,
в) ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸, 𝑣 ̸= 𝑣1 , 𝑣 ̸= 𝑣2 : dist (𝐶(𝑣), 𝑒) ⩾ ε.
2. На каждом ребре 𝑒 ∈ 𝐸 {︁расположить последовательно
достаточно боль­
}︁
𝑒
шое количество точек 𝑤1𝑒 , 𝑤2𝑒 , ..., 𝑤𝑘(𝑒)
∈ 𝑒 и в центре каждой точки
𝑤𝑖𝑒 построить открытый круг 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) достаточного радиуса так, чтобы
а) ∀𝑒,𝑔 ∈ 𝐸, 𝑒 ̸= 𝑔, ∀𝑖 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒)} , ∀𝑗 ∈ {1,..., 𝑘(𝑔)} : 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩
𝐶(𝑤𝑗𝑔 ) = ∅,
б) ∀𝑒 ∈ 𝐸, ∀𝑖 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒)} , ∀𝑗 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒)} , 𝑖 ̸= 𝑗 : 𝐶(𝑤𝑖𝑒 )∩𝐶(𝑤𝑗𝑒 ) ̸=
⃒
⃒
∅ ⇔ ⃒𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝜕𝐶(𝑤𝑗𝑒 )⃒ = 2 ⇔ |𝑖 − 𝑗| = 1.
в) ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝑒 ∈ 𝐸, ∀𝑖 ∈ {2,..., 𝑘(𝑒) − 1} : 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝐶(𝑣) = ∅,
г) ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 : 𝐶(𝑤1𝑒 ) ∩ 𝐶(𝑣) ̸= ∅ ⇔
|𝜕𝐶(𝑤1𝑒 ) ∩ 𝜕𝐶(𝑣)| = 2 ⇔ 𝑣 = 𝑣1 ,
17
𝑒
д) ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 : 𝐶(𝑤𝑘(𝑒)
) ∩ 𝐶(𝑣) ̸= ∅ ⇔
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑒
) ∩ 𝜕𝐶(𝑣)⃒ = 2 ⇔ 𝑣 = 𝑣2 .
⃒𝜕𝐶(𝑤𝑘(𝑒)
3. ∀𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 : добавить две точки пересечения окружностей 𝜕𝐶(𝑤1𝑒 )
𝑒
и 𝜕𝐶(𝑣1 ) и две точки пересечения окружностей 𝜕𝐶(𝑤𝑘(𝑒)
) и 𝜕𝐶(𝑣2 ) в мно­
жество 𝑆.
800
4. ∀𝑒 ∈ 𝐸, ∀𝑖 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒) − 1} : добавить две точки пересечения окружно­
𝑒
стей 𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) и 𝜕𝐶(𝑤𝑖+1
) в множество 𝑆.
6005. ∀𝑣 ∈ 𝑉 : если степень вершины 𝑣 равна 1, то добавить в 𝑆 произвольную
точку 𝑣 * на окружности 𝜕𝐶(𝑣), такую, что
а) 𝑣 * ∈
/ 𝑆,
400
б) ∀𝑣 ′ ∈ 𝑉 : 𝑣 * ∈
/ 𝐶(𝑣 ′ ).
в) ∀𝑒 ∈ 𝐸, ∀𝑖 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒)} : 𝑣 * ∈
/ 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ).
200
0
w0
w1
w2
w3
w4
w5
-200
Рисунок 1.2 — Иллюстрация к алгоритму 1. Серыми и черными линиями
показаны ребра диаграммы, синими точками – узлы диаграммы
-400
Теорема 1. Алгоритм 1 является корректным, т.е. он генерирует такое
множество 𝑆, что диаграмма Вороного VD(𝑆) поддерживает ограничение 𝐺.
-600
Доказательство. На шаге 1 строится набор непересекающихся кругов 𝐶(𝑣) в
вершинах 𝑣 ∈ 𝑉 . Условие 1.𝑏 алгоритма гарантирует, что на шаге 2 алгоритма
на-800
каждом -600
ребре 𝑒 ∈-400
𝐸 можно-200
будет выбрать
хотя
точку 𝑤𝑖𝑒600
. Условие800
1.𝑐
0
200бы одну400
алгоритма необходимо для того, чтобы круги 𝐶(𝑣) располагались на некотором
расстоянии от ребер 𝐸 (за исключением ребер, инцидентных вершине 𝑣), и,
благодаря этому, на шаге 2 алгоритма в каждой точке 𝑤𝑖𝑒 каждого ребра 𝑒 ∈ 𝐸
можно будет выбрать некоторый ненулевой радиус круга 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ).
На шаге 2 строятся центры кругов 𝑤𝑖𝑒 на ребрах 𝐸 и круги 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) соответ­
ственно (см. рисунок 1.2). Условие 2.𝑎 гарантирует, что круги 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) и 𝐶(𝑤𝑗𝑔 ),
расположенные на разных ребрах, не пересекаются между собой. Условие 2.𝑏
18
обеспечивает то, что круги 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) пересекаются только с двумя соседними кру­
𝑒
𝑒
гами 𝐶(𝑤𝑖−1
) (если 𝑖 > 1) и 𝐶(𝑤𝑖+1
) (если 𝑖 < 𝑘(𝑒)), расположенными на одном
общем ребре. Условия 2.𝑐, 2.𝑑, 2.𝑒 накладывают ограничения на характер пересе­
чения кругов 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) и 𝐶(𝑣). Так, каждый круг 𝐶(𝑤1𝑒 ), расположенный на ребре
𝑒
𝑒 = ⟨𝑣1, 𝑣2⟩ пересекается только с кругом 𝐶(𝑣1 ), а каждый круг 𝐶(𝑤𝑘(𝑒)
), рас­
положенный на ребре 𝑒 = ⟨𝑣1, 𝑣2⟩ пересекается только с кругом 𝐶(𝑣2 ). Кроме
того, условия 2.𝑏, 2.𝑑, 2.𝑒 обеспечивают то, что границы каждой пары пересе­
кающихся кругов пересекаются между собой ровно в двух точках.
Наконец, на шагах 3 и 4 формируется множество 𝑆, состоящее из точек
на границах кругов 𝐶(𝑣) и 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ). Поскольку в графе 𝐺 все вершины имеют
ненулевую степень,
∀𝑣 ∈ 𝑉, ∃𝑒 = ⟨𝑣, 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 : |𝜕𝐶(𝑤1𝑒 ) ∩ 𝐶(𝑣)| = 2,
а значит множество 𝑆 будет содержать по 2 точки с границы каждого круга
𝐶(𝑣). Завершающий шаг 5 нужен для того, чтобы в множество 𝑆 попало как
минимум по три точки с границы каждого круга 𝐶(𝑣).
Докажем, что VD(𝑆) поддерживает ограничение 𝐺. Рассмотрим произ­
вольное
ребро 𝑒}︁ = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 и построенное на шаге 2 множество точек
{︁
𝑒
∈ 𝑒. Ребро 𝑒 можно представить в виде объединения несколь­
𝑤1𝑒 , 𝑤2𝑒 , ..., 𝑤𝑘(𝑒)
ких отрезков:
⟨
⟩ ⟨
⟩ ⟨
⟩
⟨
⟩
𝑒
𝑒
𝑒
𝑒
𝑒 = 𝑣1 , 𝑣2 = 𝑣1 𝑤1 ∪ 𝑤1 , 𝑤2 ∪...∪ 𝑤𝑘(𝑒) , 𝑣2
𝑒
Обозначив 𝑤0𝑒 = 𝑣1 и 𝑤𝑘(𝑒)+1
= 𝑣2 , имеем
𝑒=
⟨
𝑤0𝑒 , 𝑤1𝑒
⟩ ⟨
⟩
⟨
⟩
𝑒
𝑒
𝑒
𝑒
∪ 𝑤1 , 𝑤2 ∪...∪ 𝑤𝑘(𝑒) , 𝑤𝑘(𝑒)+1
В результате выполнения шагов 1 и 2 алгоритма, при 𝑖 ∈ {0, ..., 𝑘(𝑒)} для
⟨︀
⟩︀
𝑒
𝑒
каждого отрезка 𝑤𝑖𝑒 , 𝑤𝑖+1
имеется два круга 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) и 𝐶(𝑤𝑖+1
), центры ко­
⃒
⃒
𝑒
торых совпадают с концами отрезка. Кроме того, ⃒𝜕𝐶(𝑤𝑖−1
) ∩ 𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 )⃒ =
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒𝜕𝐶(𝑤𝑒 ) ∩ 𝜕𝐶(𝑤𝑒 )⃒ = ⃒𝜕𝐶(𝑤𝑒 ) ∩ 𝜕𝐶(𝑤𝑒 )⃒ = 2 в силу условий 2.𝑏, 2.𝑑, 2.𝑒.
𝑖
𝑖+1
𝑖+1
𝑖+2
𝑒
𝑒
Поэтому для кругов 𝐶(𝑤𝑖 ) и 𝐶(𝑤𝑖+1 ) справедливо
𝑒
𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝜕𝐶(𝑤𝑖+1
) = {𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 } ⊂ 𝑆, 𝑎𝑖 ̸= 𝑏𝑖 , 𝑖 ∈ {0, ..., 𝑘(𝑒)} ,
и, следовательно,
|𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝑆| ⩾ 4, 𝑖 ∈ {1, ..., 𝑘(𝑒)} .
19
Благодаря шагу 5, имеем
|𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝑆| ⩾ 3, 𝑖 ∈ {0, 𝑘(𝑒) + 1} .
Условия 1.𝑎, 2.𝑎 − 𝑒 алгоритма гарантируют, что при 𝑖 ∈ {0, ..., 𝑘(𝑒) + 1} внутрь
круга 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) не попадут никакие точки пересечения пар каких-либо других кру­
гов, поэтому
𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝑆 = ∅, 𝑖 ∈ {0, ..., 𝑘(𝑒) + 1} .
По утверждению 2, диаграмма Вороного VD(𝑆) для каждого 𝑖 ∈ {0, ..., 𝑘(𝑒)}
⟨︀
⟩︀
𝑒
𝑒
. Таким
содержит ребро 𝑤𝑖𝑒 , 𝑤𝑖+1
= VoroEdge(𝑆, 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ) и две вершины 𝑤𝑖𝑒 и 𝑤𝑖+1
образом,
1. 𝑉 ⊆ VV (𝑆),
⋃︀
2. ∀ (𝑒 ∈ 𝐸) ∃ ({𝑒1 , ..., 𝑒𝑘 } ⊆ VE (𝑆)) : 𝑒 = 𝑖=1..𝑘 𝑒𝑖 ,
т.е. VD(𝑆) поддерживает ограничение 𝐺.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4000
4000
2000
2000
0
0
-2000
-2000
-4000
-4000
-4000
-2000
0
2000
4000
Рисунок 1.3 — Ограничение.
Черными линиями показаны
ребра ограничения
-4000
-2000
0
2000
4000
Рисунок 1.4 — Диаграмма
Вороного с ограничением.
Черными линиями показаны
ребра диаграммы, синими
точками – узлы диаграммы
Для графа 𝐺 = (𝑉,𝐸) и вершины 𝑣 ∈ 𝑉 обозначим 𝐺 ∖ 𝑣 граф, который
получается из графа 𝐺 удалением вершины 𝑣 и всех ребер ⟨𝑣,𝑢⟩, инцидентных
вершине 𝑣 (при этом вершины 𝑢 не удаляются). Так же обозначим 𝐺 ∖ 𝑒 граф,
который получается из графа 𝐺 удалением ребра 𝑒.
В качестве ε на шаге 1 алгоритма можно{︁ взять число
}︁
1
𝑒
𝑒
𝑒
𝑤1 , 𝑤2 , ..., 𝑤𝑘(𝑒)
4 min𝑣∈𝑉 {dist (𝑣, 𝐺 ∖ 𝑣)}. На шаге 2 алгоритма точки
20
на ребре 𝑒 = ⟨𝑣1 , 𝑣2 ⟩ ∈ 𝐸 можно расположить равномерно с шагом
ℎ = 41 dist (𝑒 ∖ (𝐶 (𝑣1 ) ∪ 𝐶 (𝑣2 )) , 𝐺 ∖ 𝑒), а радиусы кругов 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) выбрать
равными 43 ℎ (чтобы соседние круги 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) пересекались между собой в двух
точках). В таком случае вычислительная сложность алгоритма будет равна
)︂
(︂
𝑑𝑖𝑎𝑚 (𝐺)
,
𝑂 (|𝑉 | log |𝑉 |) + 𝑂 |𝑉 |
ℎ
поскольку ε и ℎ вычисляются за время 𝑂 (|𝑉 | log |𝑉 |), шаги
(︁ 1 и 5 алгоритма)︁вы­
полняются за время 𝑂 (|𝑉 |), а шаги 2, 3, 4 – за время 𝑂 |𝐸| 𝑚𝑎𝑥𝑒∈𝐸 {𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑒)}
=
ℎ
(︁
)︁
(︁
)︁
𝑂 |𝑉 | 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺)
. Мощность множества 𝑆 можно оценить как 𝑂 |𝑉 | 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺)
. Сле­
ℎ
ℎ
довательно, сложность построения диаграммы Вороного с ограничением 𝐺
равна
(︂
)︂)︂
(︂
𝑑𝑖𝑎𝑚 (𝐺)
𝑑𝑖𝑎𝑚 (𝐺)
log |𝑉 |
.
𝑂 |𝑉 |
ℎ
ℎ
Время работы алгоритма может увеличиваться при
– уменьшении минимального расстояния между вершинами графа;
– уменьшении минимального расстояния между несмежными ребрами
графа;
– уменьшении минимального угла между смежными ребрами графа.
Если требуется минимизировать количество элементов в множестве 𝑆, то
можно итерационно объединять пары соседних кругов 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) в один круг боль­
шего радиуса до тех пор, пока условия 1.𝑎 − 𝑐 и 2.𝑎 − 𝑒 удовлетворяются.
На рисунке 1.4 показана диаграмма Вороного с ограничением, построен­
ная с помощью такого алгоритма. На рисунке 1.4 красным цветом изображены
окружности 𝜕𝐶(𝑣) и 𝜕𝐶(𝑤𝑖𝑒 ).
На практике может быть полезна немного другая постановка задачи по­
строения диаграммы Вороного с ограничениями: по заданному ограничению
𝐺 и заданному множеству узлов 𝑆0 требуется найти такое множество узлов
𝑆1 , при котором диаграмма Вороного VD(𝑆0 ∪ 𝑆1 ) будет являться диаграммой
Вороного с ограничением 𝐺. Для решения этой задачи достаточно дополнить
шаги 1 и 2 алгоритма 1 условиями
1. ∀𝑣 ∈ 𝑉 : 𝐶(𝑣) ∩ 𝑆0 = ∅,
2. ∀𝑒 ∈ 𝐸, ∀𝑖 ∈ {1,..., 𝑘(𝑒)} : 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) ∩ 𝑆0 = ∅.
Эти условия можно удовлетворить, удалив из множества 𝑆0 подмножества
⋃︀
⋃︀
𝑒
𝐶(𝑣)
∩
𝑆
и
0
𝑣∈𝑉
𝑒∈𝐸,𝑖∈{1,...,𝑘(𝑒)} 𝐶(𝑤𝑖 ) ∩ 𝑆0 , либо выбрав радиусы кругов 𝐶(𝑣)
21
и 𝐶(𝑤𝑖𝑒 ) достаточно маленькими, а число 𝑘(𝑒) достаточно большим, не моди­
фицируя при этом 𝑆0 .
Для построения двумерной расчетной сетки с ограничением 𝐺 можно
{︀
}︀
использовать множество 𝑆0 = (𝑖∆𝑥, 𝑗∆𝑦) ∈ Z2 : 𝑖 = 1,...,𝑛; 𝑗 = 1,...,𝑚 , для
которого диаграмма Вороного является равномерной сеткой из прямоугольных
ячеек длиной ∆𝑥 и шириной ∆𝑦. На рисунке 1.5 показана расчетная сетка
для прямоугольной области с ограничением из рисунка 1.3, построенная та­
ким методом.
Одна из важных задач – построение сеток для областей со сложными
границами. Построив диаграмму Вороного с ограничением в виде замкнутого
непересекающегося контура, можно получить расчетную сетку для области,
ограниченной этим контуром (рис. 1.6).
4000
2000
0
-2000
-4000
-4000
-2000
0
2000
4000
Рисунок 1.5 — Сетка для
прямоугольной области
Рисунок 1.6 — Сетка для
невыпуклой области
Основные идеи алгоритма можно обобщить для построения трехмерной
диаграммы Вороного с ограничениями в виде поверхностей. В работах [23; 24;
28] описаны идеи и алгоритм построения трехмерной диаграммы Вороного для
областей с невыпуклой границей. Сначала ограничивающие поверхности раз­
биваются на плоские треугольники, затем строится набор сфер с центрами
в вершинах треугольников. Для каждого треугольника пересечение трех его
сфер определяет два узла диаграммы Вороного, равноудаленных от плоскости
треугольника.
22
Однако построение трехмерной диаграммы Вороного чаще всего нецеле­
сообрано при моделирования подземных фильтрационных течений. Области
моделирования при этом имеют слоистую структуру, которая хорошо опи­
сывается трехмерными призматическими сетками (иногда их называют 2.5D
сетками). Оптимальный способ построения таких сеток заключается в гене­
рации двумерных сеток для горизонтальных слоев и создании вертикальных
ребер между соседними слоями [24].
1.4
Характеристика разработанного комплекса программ для
моделирования фильтрации в пористой среде
Разработан комплекс программ на языке программирования C++ для
численного моделирования фильтрационных течений в подземных пластах с
использованием сетки Вороного. Комплекс программ состоит из модуля по­
строения сетки в виде C++ библиотеки и двух консольных приложений для
операционной системы Windows: симулятора трехфазной фильтрации и про­
граммы для интерпретации данных трассерных исследований.
Консольные приложения принимают на вход набор файлов в формате
JSON, в которых задаются:
– геометрия пласта;
– расположение разломов;
– PVT свойства флюидов;
– координаты скважин и тип их конструкции;
– режим работы скважин (заданная динамика забойного давления или
дебита);
– различные настройки расчета;
Результатом работы комплекса программ являются несколько текстовых фай­
лов с полученными расчетами. Пользователь программы может дополнительно
сохранить изображение построенной расчетной сетки и графики с расчетны­
ми данными. Все изображения и графики строятся автоматически с помощью
бесплатно распространяемых графических пакетов Paraview и Gnuplot.
В разработке программных модулей использован стандарт C++17, иди­
ома RAII и шаблон функционального дизайна. Для сборки программного
23
проекта использовалась платформа MSBuild с компилятором Microsoft Visual
C++.
Для проверки корректности исходного кода отдельных расчетных под­
программ разработаны модульные тесты, которые сверяют результаты работы
подпрограмм с эталонными данными, полученными с помощью аналитических
выражений. Использован фреймворк тестирования с открытым исходным ко­
дом Catch2.
В основе модуля построения сетки лежит алгоритм построения сетки Во­
роного с ограничениями из раздела 1.3. При этом на промежуточном шаге для
построения сетки Вороного без ограничений используется алгоритм Форчуна,
реализованный в библиотеке Boost. Результаты работы этого модуля приведе­
ны на рисунках 1.5, 1.6.
Основной алгоритм численного моделирования трехфазной фильтрации в
пористой среде описан в разделе 2.4. Скриншот консольного окна программы
трехфазной фильтрации показан на рисунке 1.7. В окне отображается текущий
статус расчета: временной шаг, ошибки материального баланса для каждой из
фаз, максимальная невязка уравнений фильтрации и среднее пластовое дав­
ление.
Алгоритм решения обратной задачи, реализованный в модуле интерпрета­
ции данных трассерных исследований, описан в разделе 4.5. Результаты работы
этого модуля приведены на рисунках 4.4,4.5,4.6,4.7,4.8.
Рисунок 1.7 — Окно программного модуля трехфазной фильтрации
24
1.5
Заключение
Предложен алгоритм построения диаграммы Вороного с ограничениями
на плоскости, который может быть использован для решения широкого спектра
задач, в частности, задач численного моделирования в гидро- и геомеханике.
Проведено доказательство корректности алгоритма.
Описана процедура построения двумерной расчетной сетки на основе диа­
граммы Вороного с ограничениями. Показаны примеры полученных расчетных
сеток.
25
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОЛИМЕРНОГО ЗАВОДНЕНИЯ
2.1
Введение
Для задач фильтрации можно использовать структурированные или
неструктурированные сетки. Неструктурированные расчетные сетки имеют ряд
преимуществ перед структурированными: они позволяют повысить точность
аппроксимации дифференциальных операторов, сократить эффект ориента­
ции сетки и в некоторых случаях увеличить скорость вычислений за счет
уменьшения общего количества ячеек. Сложное структурное строение обла­
сти, различные граничные условия (наклонные скважины, трещины, разломы)
и неоднородности среды описываются такими сетками гораздо точнее.
Среди неструктурированных можно выделить полиэдральные и тетраэд­
ральные сетки.
Полиэдральные сетки, в отличие от тетраэдральных, позволяют
– уменьшить кол-во ячеек;
– увеличить размер каждой ячейки;
– увеличить кол-во граней каждой ячейки.
Рисунок 2.1 — Разбиение куба на
тетраэдры (изображение:
Рисунок 2.2 — Трехмерная ячейка
www.ics.uci.edu/ eppstein/projects/tetra)
Вороного
26
Например, куб представляет собой одну полиэдральную ячейку, и его нель­
зя разбить менее чем на 5 тетраэдров (рис. 2.1). Поэтому любую заданную
фигуру с помощью полиэдрального разбиения можно разбить на меньшее ко­
личество ячеек по сравнению с тетраэдральным разбиением.
Но самое главное преимущество полиэдральных сеток в том, что их ячейки
имеют большое количество граней. Благодаря этому
– у каждой ячейки появляется больше степеней свободы, что помогает
снизить эффект ориентации сетки;
– градиенты аппроксимируются точнее;
– численное решение задачи фильтрации сходится быстрее и с меньшим
кол-вом итераций.
Сетка Вороного – это одна из полиэдральных сеток, которая обладает еще дву­
мя полезными свойствами:
– она дуальна к триангуляции Делоне.
– ее ячейки и грани всегда выпуклы.
Пример ячейки трехмерной сетки Вороного показан на рисунке 2.2. Другая
особенность сетки Вороного состоит в том, что из нее можно получить ортого­
нальную PEBI-сетку (PErpendicular BIsector), если в качестве расчетных узлов
в численной схеме взять узлы (сайты) диаграммы Вороного.
Для численного решения задач фильтрации в большинстве случаев
применяется метод конечных объемов. Используемые при этом методы ап­
проксимации конвективных и диффузионных слагаемых можно разделить
на двухточечные и многоточечные. Аппроксимация двухточечными методами
монотонна, но согласована только для ортогональных и k-ортогональных се­
ток [51; 52]. Например, для PEBI сетки такая дискретизация будет согласована
при решении задач в изотропных областях, и не согласована при решении за­
дач в анизотропных областях.
Сетки, состоящие из треугольников или тетраэдров, в общем случае не
обладают свойством ортогональности, поэтому двухточечная аппроксимация
для них будет не согласована даже в изотропных областях. Многоточечные ме­
тоды аппроксимации позволяют получить согласованную дискретизацию для
произвольных неструктурированных сеток в анизотропных областях, но требу­
ют больших вычислительных затрат по сравнению с двухточечными методами.
К недостаткам большинства многоточечных методов можно так же отнести их
немотононность [53], а к недостаткам двухточечных методов – высокий эффект
27
ориентации сетки. Стоит отметить, что дискретизация многофазных или нели­
нейных задач фильтрации, как правило, не согласована на любых сетках, даже
для многоточечных методов аппроксимации [51]. К счастью, условие согласован­
ности не является необходимым для сходимости численного метода. Например,
известно, что двухточечная аппроксимация на неравномерной прямоугольной
блочно-центрированной сетке не согласована, но, тем не менее, численное ре­
шение сходится [54].
В данной главе рассматривается двухточечная аппроксимация потока
из-за ее простоты и низкой требовательности к вычислительным ресурсам. Рас­
сматриваются только изотропные задачи, хотя такая аппроксимация позволяет
успешно решать и некоторые ортотропные задачи. Рассматривается модель
полимерного заводнения с учетом минерализации пластовой воды, которая по­
строена на основе модели нелетучей нефти [55]. Для разбиения пространства
применяется неструктурированная сетка Вороного, описанная в главе 1. Моде­
лируется фильтрация пяти компонентов в пористой среде: водяного, нефтяного,
газового, полимерного и соляного. Учитываются увеличение вязкости водной
фазы с ростом концентрации полимера и адсорбция полимера на поверхности
породы согласно изотерме адсорбции с последующим снижением проницаемо­
сти породы для водной фазы. Компонента соли в данной работе представляет
пластовую соль, снижающую вязкость полимерного раствора.
Материал изложен следующим образом: в разделах 2.2 и 2.3 приводятся
основные уравнения модели и формулируется постановка задачи; в разделе 2.4
осуществляется дискретизация уравнений на сетке Вороного; в разделах 2.5
и 2.7 сравниваются результаты моделирования на блочно-центрированной сетке
Вороного, прямоугольной сетке и PEBI сетке; в разделе 2.6 проводится верифи­
кация расчетной схемы.
2.2
Уравнения фильтрации
Для осуществления полимерного заводнения в пласт в виде оторочки за­
качивается водный раствор полимера с высокой молекулярной массой (порядка
миллиона г/моль для частично гидролизованного полиакриламида), при этом
его подвижность в несколько раз меньше подвижности воды, что приводит к
28
увеличению коэффициента охвата пласта вытеснением и росту конечной неф­
теотдачи.
Исследования в области моделирования полимерного заводнения начались
в конце 1960-х годов [56]. За это время появилось большое количество моделей,
которые учитывают эффекты адсорбции, влияние температуры, химическое
разложение, неньютоновское поведение растворов полимеров [57; 58] и обра­
зование языков обводнения [59].
Будем считать, что фильтрация флюидов происходит в тонком пласте,
свойства которого слабо меняются вдоль вертикальной оси. В двумерной по­
становке уравнения модели полимерного заводнения записываются следующим
образом:
[︂ (︂ )︂]︂
(︂ )︂
𝑆𝑤
⃗𝑣𝑤
𝜕
φ
+∇·
+ 𝑞𝑤 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
(2.1)
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵𝑤
[︂ (︂ )︂]︂
(︂ )︂
𝜕
𝑆𝑜
⃗𝑣𝑜
φ
+∇·
+ 𝑞𝑜 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
(2.2)
𝜕𝑡
𝐵𝑜
𝐵𝑜
[︂ (︂
)︂]︂
(︂
)︂
𝜕
𝑅𝑠 𝑆𝑜 𝑆𝑔
𝑅𝑠⃗𝑣𝑜
⃗𝑣𝑔
φ
+
+∇·
+
+ 𝑞𝑔 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
(2.3)
𝜕𝑡
𝐵𝑜
𝐵𝑔
𝐵𝑜
𝐵𝑔
[︂ (︂
)︂]︂
(︂
)︂
𝜕
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝜕
⃗𝑣𝑤 𝐶𝑝
φ
+ [(1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 ] + ∇ ·
+ 𝑞𝑤 𝐶𝑝 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
(2.4)
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝜕𝑡
𝐵𝑤
[︂ (︂
)︂]︂
(︂
)︂
𝑆 𝑤 𝐶𝑠
⃗𝑣𝑤 𝐶𝑠
𝜕
φ
+∇·
+ 𝑞𝑤 𝐶𝑠 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
(2.5)
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵𝑤
𝑆𝑤 + 𝑆𝑜 + 𝑆𝑔 = 1.
(2.6)
Используются следующие обозначения: 𝑡 – время; φ – пористость поро­
ды; 𝑆𝑤 – водонасыщенность; 𝑆𝑜 – нефтенасыщенность; 𝑆𝑔 – газонасыщенность;
𝐵𝑤 , 𝐵𝑜 , 𝐵𝑔 – объемные коэффициенты воды, нефти и свободного газа соот­
ветственно; 𝑅𝑠 – коэффициент растворимости газа в нефти; 𝑝𝑏 – давление
насыщения нефти, которое постоянно при 𝑆𝑔 = 0 и равно пластовому давлению
при 𝑆𝑔 > 0; ⃗𝑣𝑤 , ⃗𝑣𝑜 , ⃗𝑣𝑔 – скорости фильтрации воды, нефти и свободного газа со­
ответственно; 𝐶𝑝 – масса полимера, растворенного в единице объема воды; 𝐶𝑠 –
масса соли, растворенной в единице объема воды; 𝐶𝑎 – масса полимера, ад­
сорбированного на поверхности единицы массы породы (изотерма адсорбции);
ρ𝑟 – плотность породы; 𝑞𝑤 , 𝑞𝑜 , 𝑞𝑔 – добытый или закачанный скважиной объем
флюида в единицу времени для воды, нефти и свободного газа соответственно;
δ𝑤𝑒𝑙𝑙 – дельта-функция Дирака (размерностью 1/м3), локализованная в точке
расположения скважины.
29
Уравнения (2.1—2.3), соответственно, уравнения сохранения массы для
водяной, нефтяной и газовой компонент, отвечают классической модели неле­
тучей нефти. Уравнения (2.4) и (2.5) описывают законы сохранения массы для
полимерной и соляной компонент, (2.6) – замыкающее уравнение для насыщен­
ностей. Скорости движения флюидов в пористой среде задаются линейным
законом Дарси:
⃗𝑣𝑤 = −
𝑘𝑘𝑟𝑤
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝑅
∇𝑝,
(2.7)
𝑘𝑘𝑟𝑜
∇𝑝,
(2.8)
µ𝑜
𝑘𝑘𝑟𝑔
⃗𝑣𝑔 = −
∇𝑝.
(2.9)
µ𝑔
Источники, моделирующие наличие добывающих скважин, представляют­
ся уравнениями
⃗𝑣𝑜 = −
𝑞𝑤 =
𝑘𝑟𝑤
2π𝑘ℎ
(𝑝 − 𝑝𝑏ℎ ) ,
ln (𝑟𝑒𝑞 /𝑟𝑤 ) µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅
2π𝑘ℎ
𝑘𝑟𝑜
(𝑝 − 𝑝𝑏ℎ ) ,
ln (𝑟𝑒𝑞 /𝑟𝑤 ) µ𝑜 𝐵𝑜
(︂
)︂
2π𝑘ℎ
𝑘𝑟𝑔
𝑅𝑠 𝑘𝑟𝑜
𝑞𝑔 =
+
(𝑝 − 𝑝𝑏ℎ ) .
ln (𝑟𝑒𝑞 /𝑟𝑤 ) µ𝑔 𝐵𝑔
µ𝑜 𝐵𝑜
Для нагнетательных скважин используется уравнение
(︂
)︂
2π𝑘ℎ
𝑘𝑟𝑤
𝑘𝑟𝑜
𝑘𝑟𝑔
𝑅𝑠 𝑘𝑟𝑜
𝑞𝑤 =
+
+
+
(𝑝 − 𝑝𝑏ℎ ) .
ln (𝑟𝑒𝑞 /𝑟𝑤 ) µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 µ𝑜 𝐵𝑜 µ𝑔 𝐵𝑔
µ𝑜 𝐵𝑜
𝑞𝑜 =
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
В уравнениях (2.7—2.13) использованы следующие обозначения: 𝑝 – пла­
стовое давление; 𝑘 – проницаемость породы; 𝑘𝑟𝑤 , 𝑘𝑟𝑜 , 𝑘𝑟𝑔 – относительные
фазовые проницаемости воды, нефти и свободного газа соответственно; µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 –
эффективная вязкость воды; µ𝑜 , µ𝑔 – вязкости нефти и свободного газа соот­
ветственно; 𝑅 – коэффициент сопротивления, отражающий эффект снижения
фазовой проницаемости воды из-за адсорбции молекул полимера на поверх­
ности породы; ℎ – толщина пласта; 𝑟𝑒𝑞 – эквивалентный радиус скважинной
ячейки [31]; 𝑟𝑤 – радиус ствола скважины; 𝑝𝑏ℎ – забойное давление скважины.
Коэффициент сопротивления вычисляется по формуле:
𝑅 = 1 + (𝑅𝑟𝑒𝑠 − 1)
𝐶𝑎
𝐶𝑎 𝑚𝑎𝑥
,
30
где 𝑅𝑟𝑒𝑠 – коэффициент остаточного сопротивления, 𝐶𝑎 𝑚𝑎𝑥 – максимальное зна­
чение изотермы адсорбции. Основные предположения, учитываемые в модели:
– температура флюидов всегда остается постоянной;
– капиллярные давления между фазами равны нулю;
– вода не смешивается с нефтяной и газовой фазами;
– вода, полимер и соль полностью смешиваются, образуя однородный рас­
твор;
– газовая компонента включает в себя свободный и растворенный в нефти
газ;
– объемные коэффициенты воды, нефти и газа не зависят от концентра­
ций полимера и соли;
– пористость и объемные коэффициенты являются функциями пластово­
го давления;
– равновесный коэффициент растворимости газа в нефти зависит от пла­
стового давления;
– относительные фазовые проницаемости представляют собой функции
водонасыщенности и газонасыщенности;
– эффективная вязкость воды обуславливается концентрациями по­
лимера и соли; значения вязкости определяются по результатам
лабораторных исследований;
– изотерма адсорбции есть функция концентрации полимера;
– адсорбция молекул полимера на поверхности породы снижает фазовую
проницаемость воды и не влияет на фазовые проницаемости нефти и
газа.
2.3
Постановка задачи фильтрации
Пусть пласт Ω ⊂ R2 имеет границу Γ = 𝜕Ω, представляющую собой
замкнутый контур. Пласт вскрыт несколькими вертикальными скважинами,
которые работают в режиме постоянного забойного давления. Проницаемость
породы неоднородна и изотропна. Толщина пласта, плотность породы, коэффи­
циент остаточного сопротивления, вязкости чистой воды, нефти и газа известны
и постоянны. Предполагается, что функциональные зависимости φ (𝑝), 𝐵𝑤 (𝑝),
𝐵𝑜 (𝑝,𝑝𝑏 ), 𝐵𝑔 (𝑝), 𝑘𝑟𝑤 (𝑆𝑤 ), 𝑘𝑟𝑜 (𝑆𝑤 ,𝑆𝑔 ), 𝑘𝑟𝑔 (𝑆𝑔 ), 𝑅𝑠 (𝑝), µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 (𝐶𝑝 ,𝐶𝑠 ), 𝐶𝑎 (𝐶𝑝 )
31
определены и в начальный момент времени:
𝑝 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 𝑝0 (⃗𝑟) ,
𝑆𝑤 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 𝑆𝑤0 (⃗𝑟) ,
𝑆𝑔 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 𝑆𝑔0 (⃗𝑟) ,
𝑝𝑏 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 𝑝𝑏0 (⃗𝑟) ,
𝐶𝑝 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 0,
𝐶𝑠 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 𝐶𝑠0 (⃗𝑟) .
Граница пласта считается непроницаемой:
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
= 0.
𝜕⃗𝑛 ⃒Γ
Необходимо вычислить значения 𝑝, 𝑆𝑤 , 𝑆𝑔 , 𝑅𝑠 , 𝐶𝑝 , 𝐶𝑠 , 𝑞𝑤 , 𝑞𝑜 , 𝑞𝑔 в моменты
времени 𝑡 > 0.
2.4
Решение задачи фильтрации
Несмотря на то что постановка задачи двумерная, считается, что ячейки
трехмерные и имеют глубину ℎ, равную толщине пласта. Проведем дискрети­
зацию одного из уравнений, например (2.4). Проинтегрируем его по объему
ячейки 𝑖:
∫︁ {︂
𝑉𝑖
[︂ (︂
)︂]︂
}︂
𝜕
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝜕
φ
+ [(1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 ] 𝑑𝑉 +
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝜕𝑡
(︂
)︂
∫︁
∫︁
⃗𝑣𝑤 𝐶𝑝
∇·
𝑑𝑉 + 𝑞𝑤 𝐶𝑝 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑉 = 0.
𝐵𝑤
𝑉𝑖
𝑉𝑖
Нижний индекс 𝑖 определяет среднее значение величин внутри 𝑖-й ячей­
ки. Замена подынтегральных величин их средними значениями и применение
формулы Гаусса-Остроградского [60] приводит к уравнению:
[︂ (︂
)︂
]︂ ∫︁
𝜕
𝑆 𝑤 𝐶𝑝
𝐶𝑝
𝑉𝑖
φ
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 +
⃗𝑣𝑤 · ⃗𝑛𝑑𝑆 + 𝑞𝑤𝑖 𝐶𝑝𝑖 = 0.
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵
𝑤
𝑖
𝑆𝑖
32
Рисунок 2.3 — Вычисление потока между ячейками сетки
Интеграл по поверхности 𝑆𝑖 ячейки 𝑖 в уравнении представляется в виде
суммы поверхностных интегралов по каждой грани этой ячейки:
[︂ (︂
)︂
]︂
∑︁ 𝐶𝑝𝑖𝑗 ∫︁
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝜕
φ
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 +
⃗𝑣𝑤 · ⃗𝑛𝑑𝑆 + 𝑞𝑤𝑖 𝐶𝑝𝑖 = 0,
𝑉𝑖
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵𝑤𝑖𝑗
𝑖
𝑗∈Ψ(𝑖)
𝑆𝑖𝑗
[︂ (︂
)︂
]︂
∑︁ 𝐶𝑝𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗
𝜕
𝑆 𝑤 𝐶𝑝
φ
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 +
⃗𝑣𝑤 · ⃗𝑛𝑖𝑗 + 𝑞𝑤𝑖 𝐶𝑝𝑖 = 0;
𝑉𝑖
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵
𝑤𝑖𝑗
𝑖
𝑗∈Ψ(𝑖)
множество ячеек, смежных с 𝑖-й ячейкой, обозначается Ψ(𝑖); 𝑆𝑖𝑗 – грань
между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, а 𝑠𝑖𝑗 – площадь этой грани; ⃗𝑛𝑖𝑗 – нормаль к грани 𝑆𝑖𝑗 ,
направленная в сторону ячейки 𝑗 (рис. 2.3). Нижний индекс 𝑖𝑗 у всех остальных
величин говорит, что это среднее значение величины на грани 𝑆𝑖𝑗 . Для скорости
флюида (2.7) по нормали к грани применяется двухточечная аппроксимация:
[︂ (︂
)︂
]︂
𝜕
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝑉𝑖
φ
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎 +
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝑖
(︂
)︂
∑︁
𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑟𝑤 𝑖𝑗
𝑝𝑖 − 𝑝𝑗
+
𝐶𝑝𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗
+ 𝑞𝑤𝑖 𝐶𝑝 𝑖 = 0.
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝑖𝑗 𝐵𝑤𝑖𝑗 𝑅𝑖𝑗
𝑑𝑖𝑗
𝑗∈Ψ(𝑖)
33
Здесь: 𝑝𝑖 , 𝑝𝑗 – значения пластового давления в узловых точках 𝑃𝑖 и 𝑃𝑗
соответственно; 𝑑𝑖𝑗 – расстояние между узловыми точками 𝑃𝑖 и 𝑃𝑗 ; производная
по времени аппроксимируется конечной разностью с шагом ∆𝑡:
𝑉𝑖
∆𝑡
[︃(︂
)︂𝑛+1 (︂
)︂𝑛 ]︃
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝑆𝑤 𝐶𝑝
φ
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎
+
− φ
𝐵𝑤
𝐵𝑤
𝑖
[︂
]︂
𝑛+1
∑︁ 𝑠 𝑘𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
(︀ 𝑛+1
)︀
𝑛+1 𝑛+1
+
𝑝𝑖 − 𝑝𝑛+1
+ 𝑞𝑤𝑖
𝐶𝑝𝑖 = 0.
𝑗
𝑑 µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
𝑗∈Ψ(𝑖)
Далее вычисляются:
– значение проницаемости породы на грани как среднее гармоническое
проницаемостей ячеек [61]
𝑘𝑖𝑗 =
2
;
1/𝑘𝑖 + 1/𝑘𝑗
– значения относительной фазовой проницаемости, объемного коэффици­
ента, вязкости, коэффициента сопротивления и концентрации полимера
на грани вверх по потоку
[︁
]︁
𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
]︁
[︁
𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
=
=
[︁
]︁
𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖 ,
[︁
]︁
𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑗 ,
𝑝𝑖 > 𝑝𝑗 ,
𝑝𝑖 ⩽ 𝑝𝑗 ;
– эквивалентный радиус скважинной ячейки [2; 31]
⧸︃
⎞1
⎛
𝑟𝑒𝑞 = ⎝𝑒−2π𝑘ℎ
∏︁
𝑗∈Ψ(𝑖)
𝑇
𝑑𝑖𝑗𝑖𝑗 ⎠
∑︀
𝑇𝑖𝑗
𝑗∈Ψ(𝑖)
,
𝑇𝑖𝑗 =
𝑘𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗
.
𝑑𝑖𝑗
После проведения аналогичным образом дискретизации уравнений (2.1—2.3
и 2.5) получается система из пяти нелинейных уравнений для 𝑖-й ячейки сетки:
𝑉𝑖
∆𝑡
[︃(︂
𝑆𝑤
φ
𝐵𝑤
)︂𝑛+1
(︂
𝑆𝑤
− φ
𝐵𝑤
)︂𝑛 ]︃
𝑖
]︂𝑛+1
∑︁ [︂ 𝑠
(︀ 𝑛+1
)︀ 𝑛+1
𝑘𝑘𝑟𝑤
+
𝑝𝑖 − 𝑝𝑛+1
+𝑞𝑤 𝑖 = 0,
𝑗
𝑑 µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
𝑗∈Ψ(𝑖)
(2.14)
34
𝑉𝑖
∆𝑡
[︃(︂
φ
𝑆𝑜
𝐵𝑜
)︂𝑛+1
)︂𝑛 ]︃
(︂
∑︁ [︂ 𝑠 𝑘𝑘𝑟𝑜 ]︂𝑛+1 (︀
)︀
𝑆𝑜
𝑛+1
+
𝑝𝑛+1
−
𝑝
+ 𝑞𝑜𝑛+1
− φ
𝑖
𝑗
𝑖 = 0,
𝐵𝑜
𝑑 µ𝑜 𝐵𝑜 𝑖𝑗
𝑖
𝑗∈Ψ(𝑖)
(2.15)
[︃(︂
)︂𝑛+1 (︂
)︂𝑛 ]︃
𝑆𝑔
𝑉𝑖
𝑅𝑠 𝑆𝑜
𝑅𝑠 𝑆𝑜
𝑆𝑔
φ
+φ
+φ
+
− φ
∆𝑡
𝐵𝑔
𝐵𝑜
𝐵𝑔
𝐵𝑜
𝑖
(︂
)︂]︂
[︂
𝑛+1
∑︁ 𝑘𝑠
(︀ 𝑛+1
)︀
𝑅𝑠 𝑘𝑟𝑜
𝑘𝑟𝑔
+
𝑝𝑖 − 𝑝𝑛+1
+ 𝑞𝑔𝑛+1
𝑗
𝑖 = 0,
𝑑 µ𝑔 𝐵𝑔
µ𝑜 𝐵𝑜 𝑖𝑗
(2.16)
𝑗∈Ψ(𝑖)
𝑉𝑖
𝑙
∆𝑡
[︃(︂
)︂𝑛+1 (︂
)︂𝑛 ]︃
𝑆𝑤 𝐶𝑝
𝑆𝑤 𝐶𝑝
φ
+ ρ𝑟 𝐶 𝑎
+ (1 − φ) ρ𝑟 𝐶𝑎
+
− φ
𝐵𝑤
𝐵𝑤
𝑖
[︂
]︂
𝑛+1
∑︁ 𝑠 𝑘𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑝
(︀ 𝑛+1
)︀
𝑛+1
𝑝𝑖 − 𝑝𝑛+1
+ 𝑞𝑤𝑛+1
𝑗
𝑖 𝐶𝑝 𝑖 = 0,
𝑑 µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
(2.17)
𝑗∈Ψ(𝑖)
[︃(︂
)︂𝑛+1
(︂
)︂𝑛 ]︃
𝑆 𝑤 𝐶𝑠
− φ
+
𝐵𝑤
𝑆 𝑤 𝐶𝑠
𝑉𝑖
φ
∆𝑡
𝐵𝑤
𝑖
∑︁ [︂ 𝑠 𝑘𝑘𝑟𝑤 𝐶𝑠 ]︂𝑛+1 (︀
)︀
𝑛+1
𝑝𝑛+1
− 𝑝𝑛+1
+ 𝑞𝑤𝑛+1
𝑖
𝑗
𝑖 𝐶𝑠 𝑖 = 0.
𝑑 µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 𝐵𝑤 𝑅 𝑖𝑗
(2.18)
𝑗∈Ψ(𝑖)
При сетке с 𝑁 ячейками система будет включать 5𝑁 уравне­
ний (2.14—2.18). В качестве неизвестных переменных принимаются 𝑝𝑖 , 𝑆𝑤𝑖 ,
«газовая переменная в 𝑖-й ячейке», 𝐶𝑝 𝑖 , 𝐶𝑠 𝑖 для 𝑖 = 1, ..., 𝑁 . Если нефть в
ячейке насыщена газом (𝑆𝑔 𝑖 > 0), то «газовая переменная» является газонасы­
щенностью 𝑆𝑔 𝑖 , в противном случае – коэффициентом растворимости газа 𝑅𝑠 𝑖 .
Нефтенасыщенность 𝑆𝑜 𝑖 , в силу уравнения (2.6), — величина известная. При
условии, что все 5𝑁 (𝑖 = 1, ..., 𝑁 ) переменных на временном слое 𝑛 идентифи­
цированы, система уравнений (2.14—2.18) становится замкнутой. Ее решением
будут значения неизвестных на временном слое 𝑛 + 1. Эту систему можно пред­
ставить в векторной форме:
𝐹⃗ (⃗𝑥𝑛+1 ) = 0.
(2.19)
Условие непроницаемости на границе области выполняется за счет того,
что в уравнениях сохранения массы (2.14—2.18) суммирование потоков через
35
границу ячейки ведется только по граням, которые образуют две соседние ячей­
ки. Система (2.19) решается итерационным методом Ньютона [62]:
⃗𝑥𝑣+1 = ⃗𝑥𝑣 − J−1 (⃗𝑥𝑣 ) · 𝐹⃗ (⃗𝑥𝑣 ),
𝑑𝐹⃗ (⃗𝑥𝑣 )
.
J(⃗𝑥𝑣 ) =
𝑑⃗𝑥𝑣
𝑛
В качестве начального приближения выбирается
⃒⃗𝑥 , а в качестве конеч­
⃒
⃒
⃒
ного ⃗𝑥𝑛+1 выступает вектор ⃗𝑥𝑣+1 такой, что ⃒𝐹⃗ (⃗𝑥𝑣+1 )⃒ < ε. Самая большая
часть вычислительных затрат на каждом шаге метода Ньютона приходится
на вычисление обратного якобиана J−1 , которое сводится к решению разре­
женной системы линейных уравнений. Порядок этой системы линейно зависит
от количества ячеек в расчетной сетке, поэтому уменьшение количества яче­
ек напрямую сокращает как время счета, так и ресурс памяти, необходимые
для работы алгоритма. В данной работе решение этой системы уравнений осу­
ществлялось с помощью итерационного метода бисопряженных градиентов с
предобуславливателем 𝐼𝐿𝑈 (0).
2.5
Сравнение прямоугольной сетки и сетки Вороного
Кривые фазовых проницаемостей воды и газа были построены методом,
предложенным в [63], а фазовая проницаемость нефти вычислена по модели
Стоуна [64]. Зависимость эффективной вязкости воды от локальных концен­
траций полимера и соли принята кусочно-линейной (рис. 2.4):
{︃
7.25𝐶𝑝 + 0.5, 0.03𝐶𝑝 < 0.06 − 2𝐶𝑠 ,
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 (𝐶𝑝 , 𝐶𝑠 ) =
3.5𝐶𝑝 − 250𝐶𝑠 + 8, 0.03𝐶𝑝 ⩾ 0.06 − 2𝐶𝑠 .
Повышенная минерализация пластовых вод нарушает устойчивость и струк­
туру молекул полимера и тем самым снижает эффект загущения воды.
Использованы также линейные объемные коэффициенты воды и дегази­
рованной нефти и линейная изотерма адсорбции полимера. Пористость и
проницаемость породы были постоянными. В таблице 1 приведены значения
основных параметров задачи.
Закачка раствора полимера проводилась 1750 суток (57 месяцев). Кон­
центрация полимера в нагнетаемом растворе была равна 2 кг/м3. После этого
2700 суток (90 месяцев) закачивалась пресная вода. Численное моделирование
36
Таблица 1 — Основные параметры задачи
Название параметра
Размеры пласта (ширина/длина/толщина)
Пористость
Проницаемость породы
Плотность породы
Начальное пластовое давление
Начальное давление насыщения
Начальная газонасыщенность
Начальная концентрация соли в пласте
Обозначение Значение
м
475/475/10
φ, м
0.2
𝑘, мД
50
ρ𝑟 , кг/м3
2650
𝑝0 , атм
200
𝑝𝑏0 , атм
170
𝑆𝑔0
0
𝐶𝑠0 , кг/м3
0.02
Вязкость чистой воды
(𝐶𝑝 = 0, 𝐶𝑠 = 0)
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 , сПз
0.5
Вязкость нефти
Вязкость газа
Сжимаемость воды
Сжимаемость дегазированной нефти
µ𝑜 , сПз
µ𝑔 , сПз
1/атм
1/атм
3
0.01
4х10−5
1.5х10−4
Максимальная концентрация
полимера в растворе
𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 , кг/м3
2
Максимальная концентрация
соли в растворе
𝐶𝑠𝑚𝑎𝑥 , кг/м3
0.03
Эффективная вязкость воды
при максимальной концентрации полимера
и нулевой концентрации соли
(𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 , 𝐶𝑠 = 0)
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 , сПз
15
Эффективная вязкость воды
при максимальных концентрациях полимера
и соли (𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 , 𝐶𝑠 = 𝐶𝑠𝑚𝑎𝑥 )
µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 , сПз
7.5
Коэффициент остаточного сопротивления
𝑅𝑟𝑒𝑠
Максимальная величина адсорбции
𝐶𝑎𝑚𝑎𝑥 , кг/кг
Забойное давление нагнетающей скважины
𝑝𝑏ℎ1 , атм
Забойное давление добывающей скважины
𝑝𝑏ℎ2 , атм
Расстояние между скважинами
м
1.2
1.25х10−5
300
150
530
37
Рисунок 2.4 — Зависимость эффективной вязкости воды µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 в численном
эксперименте от локальных концентраций полимера 𝐶𝑝 и соли 𝐶𝑠
выполнено для 6-ти различных конфигураций дискретизации расчетной обла­
сти: на гексагональной локально измельченной сетке Вороного с 178, 491 и 2332
ячейками и локально измельченной прямоугольной сетке с 185, 505 и 2368 ячей­
ками (рис. 2.5).
На протяжении всего времени закачки оторочки полимера наблюдается
падение дебита нефти (рис. 2.6) из-за увеличения областей повышенной вязко­
сти в пласте. На 1750 сутки после начала закачки пресной воды размер этих
областей уменьшается за счет низкой вязкости пресной воды и частичной ад­
сорбции полимера на поверхности породы, и дебит нефти резко увеличивается.
После 2800 суток нагнетаемая вода достигает добывающей скважины, за этим
следует снижение дебита нефти и возрастание дебита воды. На рисунке 2.5 за­
метно, что сетка Вороного за счет радиального характера измельчения сетки
вблизи скважин более реалистично изображает распределение пластового дав­
ления, чем прямоугольная сетка с таким же количеством ячеек. По рисункам 2.6
и 2.6 можно сделать следующий вывод: по сравнению с локально измельченной
прямоугольной сеткой локально измельченная гексагональная сетка Вороного
дает меньшую дисперсию дебита нефти при изменении количества ячеек. Для
такой сетки дебиты, полученные на малом количестве ячеек, близки к дебитам,
вычисленным на большом количестве ячеек. Это объясняется двумя причина­
38
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рисунок 2.5 — Конфигурации сеток и распределение пластового давления на
60-м месяце заводнения: гексагональная локально измельченная сетка
Вороного (а–в) и прямоугольная локально измельченная сетка (г–е) с
количеством ячеек: (а) – 178, (б) – 491, (в) – 2332, (г) – 185, (д) – 505, (е) – 2368
ми: во-первых, радиальный характер локального измельчения и гексагональная
форма ячеек сетки Вороного снижают эффект ориентации; во-вторых, ячейки
со скважинами не меняют своего положения.
На рисунке 2.7 демонстрируется эффект ориентации сетки, выражаю­
щийся в искажении формы фронта воды. Таким образом, по сравнению с
прямоугольной сеткой сетка Вороного позволяет точнее воссоздать картину
продвижения фронта полимерного заводнения за счет использования гексаго­
нального шаблона, но при этом, вследствие увеличения ширины ленты матрицы
Якоби, повышаются вычислительные затраты.
39
Рисунок 2.6 — Дебит нефти 𝑄𝑜 , рассчитанный на локально измельченной
прямоугольной сетке
Рисунок 2.7 — Дебит нефти 𝑄𝑜 , рассчитанный на гексагональной локально
измельченной сетке Вороного
а)
б)
Рисунок 2.8 — Распределение водонасыщенности на 80-м месяце заводнения;
(а) – прямоугольная сетка с 2601 ячейкой, (б) – гексагональная локально
измельченная сетка Вороного с 2678 ячейками
40
2.6
Верификация расчетной схемы
Для верификации расчетной схемы проведено сравнение результатов мо­
делирования с расчетами в симуляторе с открытым исходным кодом OPM
Flow [65] (версия 2016.10) и в коммерческом симуляторе Schlumberger Eclipse
(версия 2010). Данные программы поддерживают аналогичные модели нелету­
чей нефти и полимерного заводнения. Однако OPM Flow не учитывает наличие
компонента соли, поэтому при проведении тестирования входные данные из
предыдущего эксперимента были модифицированы: вязкость раствора поли­
мера имела вид линейной функции концентрации полимера, не зависящей от
концентрации соли. По той же причине в расчете эквивалентного радиуса сква­
жинной ячейки использовался классический метод Писмана [30]. Все расчеты
проводились на прямоугольной сетке с 2601 ячейкой. Для всех симуляторов за­
давались одинаковые значения максимальной ошибки материального баланса,
выступающей в качестве одного из критериев сходимости метода Ньютона. Ко­
личество итераций метода Ньютона в OPM Flow составило 1127, в Eclipse —
346, в расчете по предложенной модели — 377.
Вычисленные дебиты нефти и их абсолютные разности показаны на ри­
сунке 2.9. Абсолютное отклонение дебита нефти в расчете по предложенной
модели от дебита нефти в программе Eclipse составило не более 0.17%; абсо­
лютное отклонение дебита нефти в расчете на предложенной модели от дебита
нефти в программе OPM Flow не превысило 8%.
При вычислении эквивалентного радиуса скважинной ячейки по форму­
ле Абу-Кассема [2; 31] максимальное отклонение дебита нефти в расчете по
предложенной модели от дебита нефти в программе Eclipse составило 0.7%. По­
следнее наблюдение говорит о том, что формула из Абу-Кассема дает близкие
результаты к формуле Писмана, и этот факт оправдывает применение форму­
лы Абу-Кассема для сетки Вороного.
41
а)
б)
в)
г)
Рисунок 2.9 — К сопоставлению полученных результатов с данными,
рассчитанными в симуляторах: (а), (б) – дебиты нефти; (в), (г) – абсолютное
отклонение полученного дебита от дебитов в Eclipse и OPM Flow
42
2.7
Блочно-центрированная сетка Вороного и PEBI сетка
В нашем определении сетка Вороного не является PEBI (Perpendicular
Bisector) сеткой. Сетка Вороного – это сетка, построенная на основе диаграммы
Вороного, т.е. состоящая из ячеек диаграммы Вороного, в которой не зада­
но расположение расчетных узлов. В случае PEBI сетки, когда расчетный
узел совпадает с узлом-генератором диаграммы Вороного, ошибка аппроксима­
ции конвективных (или диффузионных) слагаемых в уравнениях фильтрации
минимальна [51]. Если расчетный узел находится в центре масс ячейки, то ми­
нимизируется ошибка аппроксимации массовых слагаемых. Сетка Вороного с
узлами, расположенными в центрах масс ячеек, в некоторых случаях позволяет
получить более точное численное решение по сравнению с PEBI сеткой. Несмот­
ря на то, что у такой сетки Вороного теряется свойство согласованности, она
остается более привлекательной из-за относительно низкой ошибки аппрокси­
мации массовых слагаемых.
Тем не менее, вопрос выбора положения расчетного узла остается откры­
тым. Возможно, в некоторых случаях ортогональные не-PEBI сетки с узлами,
близкими к центрам масс ячеек, покажут наилучший результат. Для каждой
конкретной задачи в каждой ячейке сетки должно существовать некое поло­
жение узловой точки, при которой сумма ошибок аппроксимации массового и
конвективного слагаемых минимальна.
Рисунок 2.10 — PEBI сетка. Зеленым цветом изображен отрезок,
соединяющий узлы 𝑈 и 𝑉 двух ячеек
В PEBI сетке каждое ребро – это серединный перпендикуляр отрезка, со­
единяющего узлы двух ячеек (этот отрезок обозначен как 𝑈 𝑉 на рисунке 2.10).
43
Рисунок 2.11 — Сетка Вороного с радиальным измельчением и два варианта
расположения узлов: (а) – узлы PEBI сетки, (б) – узлы
блочно-центрированной сетки. Узлы обозначены зелеными точками, а точки
пересечения серединных перпендикуляров к ребрам – черными точками
То есть ребро сетки перпендикулярно отрезку 𝑈 𝑉 и делит его пополам. Но
сам отрезок 𝑈 𝑉 не является серединным перпендикуляром ребра, и, как пока­
зано на рисунке 2.10, отрезок 𝑈 𝑉 может даже не пересекаться с ребром. Это
увеличивает ошибку аппроксимации градиентов между ячейками.
Второй недостаток PEBI сетки заключается в том, что расчетный узел
может располагаться довольно далеко от центра масс ячейки. В этом случае
увеличивается ошибка аппроксимации массовых слагаемых.
Чтобы избежать описанных проблем, можно использовать центр масс
ячейки в качестве расчетного узла, и назвать такую сетку блочно-центрирован­
ной сеткой Вороного. На рисунке 2.11 показана сетка Вороного с радиальным
измельчением и два варианта расположения узлов. Видно, что для блочно-цен­
трированной сетки зеленые и черные точки более близки друг к другу, а значит
градиенты будут аппроксимироваться точнее.
Для сравнения PEBI сетки и блочно-центрированной сетки Вороного ре­
шена задача фильтрации однофазного слабосжимаемого флюида:
φµ𝑐 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑝 1 𝜕𝑝
= 2+
,
𝑘 𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝑟
𝑝 (𝑡 = 0, 𝑟) = 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑡 , ∀𝑟,
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
𝑞µ
𝑟 ⃒ =
, 𝑡 > 0,
𝜕𝑟 𝑟𝑤 2π𝑘ℎ
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
= 0, ∀𝑡.
𝜕𝑟 ⃒𝑟𝑒
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
44
Здесь предполагается, что пласт представляет собой круг радиуса 𝑟𝑒 = 100 с
непроницаемыми границами, в центре которого работает вертикальная скважи­
на с конечным радиусом 𝑟𝑤 = 0.1.
В качестве эталонного решения задачи 2.20—2.23 использовано полуанали­
тическое решение [66], основанное на преобразовании Лапласа и теореме Коши
о вычетах. Численной составляющей в этом полуаналитическом решении явля­
ется поиск корней α𝑛 уравнения
)︂
(︂
)︂
(︂
𝑟𝑒
𝑟𝑒
𝑌1 (α𝑛 ) − 𝐽1 (α𝑛 ) 𝑌1 α𝑛
= 0,
(2.24)
𝐽1 α𝑛
𝑟𝑤
𝑟𝑤
где 𝐽1 (𝑥) , 𝑌1 (𝑥) – функции Бесселя первого и второго рода. С помощью чис­
ленного метода одномерной оптимизации найдено 22500 корней α𝑛 , лежащих в
интервале (0.0038, 70.76), которые удовлетворяют уравнению (2.24) с точностью
10−16 . Все вычисления проводились в числах двойной точности.
Рисунок 2.12 — Погрешность численного решения задачи однофазной
фильтрации на двух сетках
На рисунке 2.12 показана разница между численным и аналитическим
решением. Видно, что расчет на блочно-центрированной сетке точнее, чем рас­
чет на PEBI сетке.
2.8
Заключение
Рассмотрена математическая модель полимерного заводнения, учитыва­
ющая осадкообразование и минерализацию пластовой воды. Верифицирован
45
алгоритм решения соответствующих уравнений на неструктурированной сет­
ке Вороного.
Продемонстрировано, что за счет снижения эффекта ориентации сетка
Вороного дает более реалистичную картину продвижения фронта воды. В ходе
вычислительного эксперимента доказано, что расчет на гексагональной сетке
Вороного дает меньшую дисперсию дебита нефти при изменении размера яче­
ек по сравнению с расчетом на прямоугольной сетке. Впервые выявлено, что
блочно-центрированная сетка Вороного в некоторых случаях позволяет полу­
чить более точное численное решение по сравнению с PEBI сеткой.
46
ГЛАВА 3. ПРОЦЕДУРА АПСКЕЙЛИНГА ДЛЯ ТРЕЩИН ГРП
3.1
Введение
Моделирование движения углеводородов в подземных пластах обычно
подразумевает численное решение больших систем нелинейных уравнений со­
хранения массы. Одной из ключевых задач при этом является корректный
учет сильно нелинейного распределения давления в околоскважинной области.
Типичные размеры моделируемого участка пласта во много раз превышают
диаметр скважинной колонны и апертуру трещин, поэтому полномасштабный
численный расчет за приемлемое время можно провести лишь на грубой сет­
ке, размеры которой на несколько порядков превышают характерные размеры
околоскважинных особенностей.
Для моделирования трещин ГРП на грубой сетке обычно применяют мо­
дели DFM [67] и EDFM [68; 69]. В этих моделях предполагается, что давление
внутри грубой ячейки с трещиной распределено линейно вдоль нормали к тре­
щине. Однако в реальности давление около трещин ГРП распределено сильно
нелинейно, и, как будет показано дальше в примере, это предположение вносит
существенную погрешность в расчетные показатели скважин.
Существуют модели, использующие аналитическую форму нелинейного
распределения давления в околоскважинной области (например, метод Писма­
на [30]). Они связывают забойное давление скважины с давлением в ячейке
грубой сетки, в которой находится скважина. Однако такие методы не позволя­
ют ни описать неоднородности пласта в околоскважинной области, ни учесть
скважины с трещинами ГРП конечной проводимости. Еще один недостаток
метода Писмана заключается в том, что давление в ячейке со скважиной при­
нимается равным давлению на радиусе Писмана, которое может не совпадать
со средним давлением в этой ячейке, что порождает дополнительную ошибку
материального баланса.
Полуаналитические решения (например, подход [70], основанный на вы­
числении функций Грина) позволяют моделировать скважины со сложными
траекториями (в том числе с трещинами ГРП конечной проводимости) и опи­
сывать слабые неоднородности пласта, комбинируя аналитические решения в
47
нескольких грубых ячейках. Но описать сильную околоскважинную неоднород­
ность такими методами довольно затруднительно, т.к. каждая грубая ячейка,
в которой определяется аналитическое решение, должна быть однородной. Так
же эти методы не позволяют в полной мере учесть нестационарные эффекты
около скважины, такие как разгазирование нефти внутри трещины.
Околоскважинный апскейлинг проводимостей является альтернативным
методом учета нелинейного характера давления в околоскважинной области.
Здесь все неоднородности учитываются с помощью решения стационарного
уравнения движения жидкости на мелкой сетке. Mascarenhas [33] описал про­
цедуру численного апскейлинга для горизонтальной скважины на декартовой
расчетной сетке. Ding и другие [71] описали процедуру апскейлинга прово­
димостей для трещин ГРП. Для учета нестационарных эффектов на ранних
временах они предложили метод связанного моделирования на грубой и мел­
кой сетке (coupled modeling), в котором проводимости ячеек в околоскважинной
области изменяются со временем. Апскейлингу на неструктурированной сетке
Вороного [2] посвящено несколько работ. Например, Мазо и Поташев [34] пред­
ложили апскейлинг абсолютной проницаемости для суперэлементной модели
разработки нефтяного пласта, в которой размеры грубых ячеек сопоставимы
с расстоянием между соседними скважинами. Artus и другие [72] использова­
ли двухэтапный апскейлинг проводимости, включающий в себя аналитический
и численный этапы.
В данной главе предложена процедура численного околоскважинного ап­
скейлинга для трещин ГРП конечной проводимости на неструктурированной
сетке Вороного, в которой ячейки трещины явно присутствуют в грубой сетке.
Такой подход позволяет учесть нестационарный характер движения флюидов
и разгазирование внутри трещины на грубой сетке так же, как в методе EDFM.
Так же, как и в работе [72], используется радиальное измельчение сетки вблизи
трещин ГРП. Для простоты рассматривается локальный апскейлинг, хотя обоб­
щение описанной процедуры на глобальный и локально-глобальный [73] случаи
тривиально. Данный подход можно рассматривать как альтернативный метод
построения расширенной скважинной области в рамках концепции extended
well model [74].
48
3.2
Модель фильтрации
Моделирование движения трехфазной смеси в пласте и в трещинах за­
ключается в решении следующей задачи, которая будет называться глобальной
задачей:
𝜕
(φρα 𝑆α ) + ∇ · (ρα⃗𝑣α ) = ρα 𝑞α δ𝑤𝑒𝑙𝑙 ,
(3.1)
𝜕𝑡
𝑘𝑘𝑟α
∇𝑝α ,
µα
(3.2)
𝑆α = 1,
(3.3)
⃒
𝜕𝑝α ⃒⃒
= 0.
𝜕⃗𝑛 ⃒𝜕Ω
(3.4)
⃗𝑣α = −
∑︁
α
Здесь α – индекс компонента (вода, нефть или газ); φ – пористость поро­
ды; ρα – плотность; 𝑆α – насыщенность; ⃗𝑣α – скорость движения компонента;
𝑘 – изотропное поле проницаемости; 𝑘𝑟α – относительная фазовая проницае­
мость; µα – вязкость; 𝑝α – давление; 𝑞α – приток компонента из скважины;
δ𝑤𝑒𝑙𝑙 – дельта-функция Дирака (размерности 1/м3), локализованная в точке
расположения нагнетательной скважины; 𝜕Ω – внешняя граница рассматрива­
емой области Ω. При этом могут задаваться различные граничные условия в
точках расположения скважин и различные начальные условия во всей обла­
сти. Область Ω включает в себя трещины ГРП, т.е. движение трехфазной смеси
в трещинах и в пласте описывается одинаковыми уравнениями.
Пространственная дискретизация уравнений (3.1—3.4) методом конечных
объемов с помощью двухточечной аппроксимации потока и замена производной
по времени левой конечной разностью приводят к системе нелинейных уравне­
ний, которая обычно решается методом Ньютона. В этом случае поток флюида
между двумя ячейками равен
𝑞α,𝑖𝑗 = −𝑇𝑖𝑗
𝑘𝑟α
(𝑝α,𝑖 − 𝑝α,𝑗 ),
µα
где одинарный индекс обозначает значение в 𝑖-ой ячейке, а парный индекс 𝑖𝑗
обозначает значение на грани между ячейками 𝑖 и 𝑗. Если считать, что давле­
ние между узлами ячеек 𝑖 и 𝑗 распределено линейно, то можно использовать
49
линейную формулу для вычисления проводимости между этими ячейками:
𝑇𝑖𝑗 = 𝑘𝑖𝑗
𝐴𝑖𝑗
,
𝑑𝑖𝑗
где 𝐴𝑖𝑗 – площадь грани между ячейками 𝑖 и 𝑗, 𝑑𝑖𝑗 – расстояние между узлами
𝑖 и 𝑗. Для вычисления 𝑘𝑖𝑗 обычно используется среднее гармоническое значе­
ний 𝑘𝑖 и 𝑘𝑗 . При этом ячейки 𝑖 и 𝑗 могут представлять собой как пластовые
контрольные объемы, так и контрольные объемы трещин.
На самом деле даже в однофазном и несжимаемом случае давление в
околоскважинной области распределено сильно нелинейно в направлении 𝑟 к
скважине, поскольку является решением уравнения Пуассона:
𝑝(𝑟) ∼ 𝑙𝑛(𝑟).
В связи с этим использование линейной формулы для вычисления проводимо­
стей в околоскважинной области вносит некоторую погрешность в вычисление
потоков. Метод апскейлинга сводится к тому, чтобы отразить нелинейный ха­
рактер распределения давления между ячейками через коэффициент 𝑇𝑖𝑗 .
3.3
Процедура апскейлинга
Для каждой скважины на мелкой детализированной сетке решается вспо­
могательная локальная задача:
∇ · (𝑘∇𝑝) = 0,
𝑝|𝜕Ψ = 0,
𝑝|𝑤 = 1.
Здесь Ψ ⊂ Ω – околоскважинная область, включающая в себя трещину ГРП,
𝜕Ψ – внешняя граница области Ψ, 𝑤 ∈ Ψ ⊂ Ω – центр скважины. Трещина
ГРП в данном подходе моделируется с помощью создания некоторой области
в 𝑘 с повышенной проницаемостью. Особенную роль при этом играет способ
пространственной дискретизации задачи: область Ψ разбивается так, чтобы
границы элементов разбиения совпадали с границами области повышенной про­
ницаемости.
Следует отметить, что в некоторых однородных задачах 𝑝 может выра­
жаться аналитически, но в данной работе предполагается, что пласт имеет
50
неоднородные изотропные характеристики, поэтому используется численное
решение. Полученное решение 𝑝 содержит в себе детальную информацию о
нелинейном характере распределения давления в области Ψ в установившем­
ся режиме.
Проводимости между крупными ячейками для глобальной задачи вычис­
ляются через решение 𝑝 следующим образом:
∫︀
𝑠
𝑞𝑖𝑗
𝑉 ∩𝑉 𝑘∇𝑝 · 𝑑⃗
∫︀
,
= − 1 ∫︀ 𝑖 𝑗
𝑇𝑖𝑗 = −
1
⟨𝑝⟩𝑖 − ⟨𝑝⟩𝑗
𝑝𝑑𝑣
−
𝑝𝑑𝑣
|𝑉𝑖 | 𝑉𝑖
|𝑉𝑗 | 𝑉𝑗
где 𝑞𝑖𝑗 – поток однофазного флюида между ячейками 𝑖 и 𝑗, ⟨𝑝⟩𝑖 – среднее зна­
чение давления 𝑝 в ячейке 𝑖, 𝑉𝑖 – 𝑖-ая ячейка, |𝑉𝑖 | – объем 𝑖-ой ячейки, 𝑉𝑖 ∩ 𝑉𝑗 –
грань между 𝑖-ой и 𝑗-ой ячейками.
Алгоритм решения глобальной задачи с применением процедуры апскей­
линга состоит из четырех шагов:
1. Построить глобальную и локальную расчетные сетки для областей Ω и
Ψ соответственно.
2. В области Ψ решить локальную задачу, описанную выше.
3. Вычислить проводимости для глобальной расчетной сетки в области Ψ
по формуле, описанной выше, а в области Ω∖Ψ – по линейной формуле
из раздела 2.
4. С использованием полученных проводимостей решить глобальную за­
дачу в области Ω.
Шаг 1 описан в следующем разделе. Решение локальной задачи на ша­
ге 2 и глобальной задачи на шаге 4 проводится методом конечных объемов с
помощью двухточечной аппроксимации потока. Вычислительные затраты при
проведении шагов 1, 2 и 3 существенно ниже затрат при проведении шага 4,
поэтому применение процедуры апскейлинга полностью оправдано.
3.4
Построение сетки
Для решения глобальной и локальных задач предлагается построить две
согласованные расчетные сетки: грубую сетку для глобальной задачи и мелкую
сетку для локальных задач. Грубая и мелкая сетки считаются согласованны­
ми, если:
51
(a) каждую ячейку грубой сетки можно представить в виде объединения
некоторого множества ячеек мелкой сетки;
(b) каждую грань грубой сетки можно представить в виде объединения
некоторого множества граней мелкой сетки.
Свойство согласованности позволяет точно вычислять значения интегра­
лов по ячейкам и граням грубой сетки для вычисления проводимости. Можно
использовать следующий алгоритм построения согласованных неструктуриро­
ванных сеток.
1. Построить сетку для всей области Ω, в которой околоскважинные
области детально представлены мелкими ячейками, а отдаленные от
скважин области пласта представлены крупными ячейками. Эта сетка
будет называться мелкой сеткой и будет использоваться для решения
локальных задач.
2. На основе мелкой сетки построить новую сетку для всей области Ω пу­
тем объединения мелких ячеек в околоскважинной области в крупные
ячейки. Новая сетка будет называться грубой сеткой и будет использо­
ваться для решения глобальной задачи.
На первом этапе строится мелкая сетка. В околоскважинной области узло­
вые точки расставляются возрастающим шагом по нормали к трещине ГРП и
радиально на кончиках трещины, как показано на рисунке 3.1. В мелкой сетке
скважины с трещинами ГРП представляются моделью DFM, т.е. контрольные
объемы для трещины строятся на гранях между пластовыми контрольными
объемами (рис. 3.2). Эти ячейки трещины геометрически представляются в
виде одномерных линий, но имеют ненулевой объем, который рассчитывает­
ся исходя из ширины раскрытия трещины. Объем соседних пластовых ячеек,
примыкающих к трещине, соответствующим образом сокращается, чтобы гаран­
тировать неизменность суммарного объема околоскважинной области. Мелкая
сетка строится так, чтобы пластовые ячейки, примыкающие к трещине, имели
форму прямоугольника (или форму трапеции на краях трещины) с высотой
1-10 см и длиной равной диаметру грубой пластовой ячейки (порядка 100 м).
На втором этапе строится грубая сетка. Пластовые ячейки мелкой сетки
объединяются в грубые ячейки, как показано на рисунке 3.3. При этом ячейки
трещины не изменяются и так же присутствуют в грубой сетке. Но теперь каж­
дая ячейка трещины соединена только с одной грубой ячейкой пласта – точно
52
Рисунок 3.1 — Расположение узловых точек для построения мелкой расчетной
сетки около трещины ГРП. Узловые точки изображены серым цветом. Черной
линией обозначена трещина ГРП
Рисунок 3.2 — Часть мелкой расчетной сетки около трещины ГРП. Узловые
точки пластовых ячеек изображены серым цветом. Узловые точки ячейки
трещины изображены черным цветом. Черными линиями изображены грани
пластовых ячеек. Пунктирная линия представляет собой одновременно грань
между двумя пластовыми ячейками и ячейку трещины ГРП
так же, как в модели EDFM. Количество мелких ячеек для объединения в одну
грубую ячейку выбирается исходя из желаемого размера грубой ячейки.
Таким образом, контрольные объемы трещин включены в грубую сетку и
используются для решения глобальной задачи. Такие ячейки из-за их малого
объема конечно же будут снижать максимально допустимое значение времен­
ного шага в методе Ньютона, но это будет происходить только в те моменты,
когда фронт насыщенности в трещине изменяется сильно. Такие моменты воз­
53
никают при запуске новых скважин, прорыве воды в добывающие скважины
или разгазировании нефти и довольно кратковременны по сравнению со всем
периодом симуляции. Произведение проницаемости и площади граней трещин­
ных ячеек сопоставимо с произведением проницаемости и площади пластовых
ячеек, потому ячейки трещин не должны оказывать сильного негативного вли­
яния на обусловленность линеаризованной системы уравнений, возникающей
при решении глобальной задачи.
Рисунок 3.3 — Часть грубой расчетной сетки около трещины ГРП. Все
обозначения аналогичны обозначениям на рис. 3.2, за исключением того, что
пунктирная линия теперь не является гранью между ячейками, а изображает
только ячейки трещины ГРП. Узловые точки грубых ячеек, через которые
проходит трещина, геометрически совпадают с узловыми точками ячеек
трещины
3.5
Численный эксперимент
В качестве примера рассмотрена задача двухфазной фильтрации в неодно­
родном изотропном пласте. В рассматриваемом участке находятся добывающая
и нагнетательная скважины с трещинами ГРП, работающие с постоянным за­
бойным давлением. Ширина раскрытия обеих трещин равна 1 мм. Трещина
ГРП на добывающей скважине имеет проницаемость 500000 Дарси для имита­
ции бесконечной проводимости, а трещина ГРП на нагнетательной скважине
имеет проницаемость 500 Дарси. Карта пластовой проницаемости показана на
рисунке 3.4. Расчетная сетка показана на рисунке 3.5.
На рисунке 3.6 показано давление, полученное с помощью решения двух
локальных задач на мелкой сетке. Это давление использовалось для вы­
54
числения проводимостей в процедуре апскейлинга. Видно, что из-за разной
проницаемости трещин распределение давления в двух локальных областях
различается.
Рисунок 3.4 — Проницаемость пласта (указаны значения проницаемости в
ячейках мелкой сетки)
Рисунок 3.5 — Мелкая сетка (слева) и крупная сетка (справа). В левом
нижнем углу расположена добывающая скважина, а в правом верхнем углу –
нагнетательная скважина
Проведено 3 варианта расчета для глобальной задачи. Первый расчет про­
изведен на мелкой сетке с использованием классической линейной формулы для
вычисления всех проводимостей между ячейками и принят в качестве эталон­
ного. Второй расчет произведен на грубой сетке с использованием процедуры
апскейлинга.
55
Рисунок 3.6 — Давление, полученное с помощью решения двух локальных
задач на мелкой сетке
Третий расчет проведен на грубой сетке с использованием классической
линейной формулы, и он эквивалентен использованию модели EDFM. В этом
случае вычисление проводимости между грубой пластовой ячейкой 𝑖 и ячейкой
трещины 𝑗, которая в ней находится, осуществлялось по формуле (см. рису­
нок 3.7):
𝐴𝑖𝑗
2𝑑𝑙𝑖𝑗 ℎ
= 𝑘𝑖
,
⟨𝑑⟩𝑖
⟨𝑑⟩𝑖
∫︁
1
𝑑𝑦
⟨𝑑⟩𝑖 =
𝑥𝑛 𝑑𝑣 = 𝑖 ,
|𝑉𝑖 | 𝑉𝑖
4
𝑇𝑖𝑗 = 𝑘𝑖
где 𝑘𝑖 – проницаемость пластовой ячейки 𝑖, принятая равной средневзвешенно­
му значению проницаемостей мелких пластовых ячеек, образующих эту грубую
ячейку; 𝐴𝑖𝑗 – открытая для потока площадь поверхности ячейки трещины 𝑗, на­
ходящейся в ячейке 𝑖; 𝑑𝑙𝑖𝑗 – длина ячейки трещины 𝑗, находящейся в ячейке 𝑖;
ℎ – высота трещины; ⟨𝑑⟩𝑖 – среднее расстояние до трещины по нормали к тре­
щине в ячейке 𝑖; 𝑑𝑣 – элементарный объем пластовой ячейки; 𝑥𝑛 – расстояние
от элементарного объема 𝑑𝑣 до трещины по нормали к трещине.
На рисунке 3.8 изображены показатели работы добывающей скважины
для трех вариантов расчета. Видно, что в начальный период от 0 до 2000 суток
дебит нефти, вычисленный на крупной сетке с использованием линейной фор­
мулы, в среднем на 25 м3/сут ниже эталонного дебита нефти, вычисленного
56
на мелкой сетке. Это говорит о том, что предположение о линейности распре­
деления давления в крупной ячейке с трещиной вносит до 8% погрешности в
значение притока к скважине. Такая погрешность в конечном счете привела к
тому, что время прорыва воды в добывающую скважину увеличилось на 300
суток, что наблюдается на графике дебита воды. В то же время дебит нефти из
расчета на крупной сетке с использованием апскейлинга в период от 0 до 2000
суток отклонился от эталонного решения не более чем на 1%, а время прорыва
воды отклонилось не более чем на 30 суток.
Рисунок 3.7 — К вычислению проводимости между ячейкой трещины и
пластовой ячейкой в варианте расчета 3
Рисунок 3.8 — Дебиты нефти и воды в трех вариантах расчета: черная
линия – мелкая сетка (эталонное решение); красная линия – крупная сетка
(апскейлинг); синяя линия – крупная сетка (линейная формула)
57
3.6
Заключение
Предложена процедура околоскважинного апскейлинга для трещин ГРП
конечной проводимости на неструктурированной сетке Вороного, в которой
ячейки трещины явно присутствуют в грубой сетке.
Показано, что используемое в модели EDFM предположение о линейно­
сти распределения давления в пластовой ячейке, содержащей трещину, может
вносить значительную погрешность в решение глобальной задачи, а процедура
апскейлинга позволяет учесть нелинейный характер распределения давления
путем изменения проводимости ячеек и существенно повысить точность реше­
ния задачи.
58
ГЛАВА 4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ ТРАССЕРНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ МЕЖСКВАЖИННОГО ПРОСТРАНСТВА
4.1
Введение
Трассерные (или индикаторные) исследования проводятся для изучения
фильтрационной неоднородности межскважинного пространства. Это происхо­
дит следующим образом: в нагнетательную скважину закачивается раствор
специального вещества (трассер), затем производится отбор проб жидкости с
добывающих скважин, и по результатам лабораторного анализа проб строятся
графики зависимости концентрации трассера в отборах жидкости от време­
ни. Совместное использование геолого-геофизических данных и результатов
подобных экспериментов позволяет повысить достоверность знаний о строении
нефтяной залежи и количественно оценить емкостные и фильтрационные пара­
метры трещиноватых и пористых пластов [75; 76].
На практике, как правило, трассерный метод используется для опре­
деления маршрута продвижения воды к скважинам с преждевременным
обводнением продукции. Если это обводнение связанно с холостой циркуляци­
ей нагнетаемой воды, то возникает необходимость в проведении мероприятий
по изоляции высокопроницаемых каналов фильтрации в пласте [77]. Наиболее
рентабельными являются технологии с закачкой водоизолирующих химических
составов в водонасыщенные интервалы продуктивного пласта [77]. Результаты
интерпретации данных трассерных исследований выступают в качестве исход­
ных данных при моделировании таких физико-химических способов увеличения
нефтеотдачи. Кривые концентрации трассера в отборах жидкости с добываю­
щих скважин, или кривые отклика, можно анализировать с трех различных
точек зрения.
К первой категории относится качественная интерпретация, при которой
по кривым отклика определяется ряд характеристик: наличие высокопрони­
цаемых каналов и трещин между скважинами; связанность различных слоев
между собой; направленность фильтрационных потоков в пласте. Кроме того,
с помощью интегрирования кривой отклика по времени рассчитывается накоп­
ленный отбор трассера, который позволяет вычислить распределение объема
нагнетаемой воды по соседним добывающим скважинам. К этой же катего­
59
рии относится классическая методика количественной интерпретации [75; 76],
согласно которой каждому пику кривой отклика 𝐶 (𝑡) соответствует канал с
параметрами:
2µ𝐿2
,
(4.1)
𝑘=
(𝑡1 + 𝑡2 ) ∆𝑝
𝑉 = 𝑄𝑖𝑛𝑗
(𝑡1 + 𝑡2 )
2𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∫︁𝑡2
𝐶 (𝑡) 𝑄 (𝑡)𝑑𝑡,
(4.2)
𝑡1
где 𝑘 – проницаемость канала; µ – вязкость жидкости; 𝐿 – расстояние между
скважинами; 𝐶 (𝑡) – кривая отклика (массовая концентрация трассера в отборе
жидкости с добывающей скважины); 𝑡1 и 𝑡2 – соответственно время начала и
конца пика на кривой 𝐶 (𝑡); ∆𝑝 – перепад давления между нагнетательной и
добывающей скважинами; 𝑉 – объем канала; 𝑄𝑖𝑛𝑗 – приемистость нагнетатель­
ной скважины; 𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – масса закачанного трассера; 𝑄 (𝑡) – дебит добывающей
скважины.
Во втором случае применяются более сложные математические модели,
например, при генерации простейших аналитических кривых отклика и после­
дующем их наложении на фактические кривые [78]. Сложные отклики при этом
разбиваются на несколько простых аналитических откликов.
Наконец, можно использовать численные симуляторы на основе метода
конечных объемов или метода трубок тока. Большинство коммерческих симу­
ляторов позволяет учитывать наличие трассера в воде с различной степенью
сложности [79].
Одним из недостатков классической методики [75; 76] является предполо­
жение о том, что каналы с низким фильтрационным сопротивлением (каналы
НФС) изолированы от пласта. Таким образом, потери трассера из-за перето­
ков между каналами НФС и пластом не учитываются, что может привести к
сильной недооценке объема такого канала [80].
В данной работе описывается способ интерпретации данных трассерных
исследований, основанный на численном решении уравнения конвективного
переноса трассера. Предлагается новый подход к математическому модели­
рованию переноса трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации с
использованием сетки Вороного: считается, что каналы НФС представляют
собой дискретные вертикальные трещины, соединяющие забои добывающих
и нагнетательных скважин. Предлагаемый подход лишен главного недостатка
60
классической методики и дает более наглядное описание структуры межсква­
жинного пространства, что упрощает последующее проведение численного
моделирования для изоляции каналов НФС. По сравнению с коммерческими
численными симуляторами, применяется более простая гидродинамическая мо­
дель, позволяющая находить решение обратной задачи за приемлемое время
(не более 5 секунд в экспериментах, представленных в данной работе). Отсут­
ствие сжимаемости флюидов, многофазных, капиллярных и гравитационных
эффектов в модели снижает уровень нелинейности обратной задачи и таким
образом повышает устойчивость ее решения.
4.2
Математическая модель переноса трассера
При построении математической модели течения воды и переноса трассера
в пласте и в трещинах принимаются следующие предположения:
– свойства пласта слабо меняются вдоль вертикальной оси;
– гравитационные эффекты отсутствуют;
– пласт плоский и двумерный;
– первоначально в пласте и трещинах содержится только чистая вода;
– вода несжимаема;
– трассер способен растворяться в воде.
Для описания течения воды и переноса трассера в пласте и в трещинах
используются следующие уравнения:
𝑑𝑖𝑣 ⃗𝑣 = 0,
φ
𝜕𝐶
+ 𝑑𝑖𝑣 (𝐶⃗𝑣 ) + 𝑞𝐶δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
𝜕𝑡
𝑘
⃗𝑣 = − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝,
µ
∫︁
(︀
)︀
𝑞 = lim
⃗𝑣 , ⃗𝑛𝑆(𝑅) 𝑑𝑠 .
𝑅→+0
𝑆(𝑅)
Решение прямой задачи движения трассера заключается в отыскании при
𝑡 > 0 модельных кривых отклика – функций 𝐶 (𝑡, ⃗𝑟), в точках расположения
добывающих скважин при следующих начальных и граничных условиях:
61
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
= 0,
𝜕⃗𝑛Γ ⃒Γ
𝑝 (⃗𝑟 = ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙 ) = 𝑝𝑏ℎ ,
𝐶 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 0,
{︃
𝐶𝑖𝑛𝑗 , 𝑡 ∈ (0, 𝑡𝑖𝑛𝑗 ]
𝐶 (𝑡, ⃗𝑟 = ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙,𝑖𝑛𝑗 ) =
.
0, 𝑡 ∈ (𝑡𝑖𝑛𝑗 , +∞)
Здесь использованы следующие обозначения: 𝑣 – вектор скорости филь­
трации воды; φ – пористость породы; 𝐶 (𝑡, ⃗𝑟) и 𝐶𝑖𝑛𝑗 – массовая концентрация
трассера во всей области (в пласте и в трещинах) и в нагнетаемой воде
соответственно; 𝑡 и 𝑡𝑖𝑛𝑗 – текущее время и длительность закачки трассера со­
ответственно; 𝑞 – дебит (расход) воды; ⃗𝑛𝑆(𝑅) – вектор нормали к 𝑆(𝑅); ⃗𝑛Γ –
вектор нормали к Γ; ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙 – точки расположения добывающих и нагнетательных
скважин; ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙,𝑖𝑛𝑗 – точка расположения нагнетательной скважины, в которую
производится закачка трассера; δ𝑤𝑒𝑙𝑙 – дельта-функция Дирака (размерностью
1/м3), локализованная в точке ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙 ; 𝑘 – проницаемость породы; µ – вязкость во­
ды; 𝑝 и 𝑝𝑏ℎ – пластовое давление и фиксированное забойное давление скважины
соответственно; 𝑆(𝑅) – сфера радиуса 𝑅, локализованная в точке расположе­
ния скважины; Γ – внешняя граница пласта.
4.3
Пространственная дискретизация
Для численного описания геометрии пласта и трещин применяется дву­
мерная неструктурированная сетка Вороного [2] и дискретная модель трещины
[67]. Трещины представляются в виде набора прямоугольных ячеек (рис. 4.1),
ширина которых принимается равной ширине раскрытия трещины (от 0.001 мм
до 10 см). Каждая ячейка трещины может быть соединена с другой ячейкой
трещины или с ячейкой пласта, благодаря чему учитываются перетоки воды и
трассера из трещины в пласт и обратно (рис. 4.1).
Для представления вертикальных скважин используется измельченная ра­
диальная сетка, которая позволяет соединить забой скважины с произвольным
количеством трещин (рис. 4.2). Забой скважины считается отдельной расчетной
ячейкой (рис. 4.2), диаметр которой совпадает с диаметром ствола скважины
(около 10 см), поэтому нет необходимости прибегать к аналитическим моделям
для описания притока к скважине, таким, например, как формула Писмана [30].
62
а)
б)
Рисунок 4.1 — Расчетная сетка для пласта с трещиной: (а) – сетка вокруг
трещины, (б) – увеличенное изображение сетки вблизи трещины (серым
цветом обозначены ячейки трещины, черными стрелками – возможные
направления течения воды и трассера между ячейками)
Уравнения движения трассера решаются на этой сетке методом конечных
объемов с помощью двухточечной аппроксимации потоков [43]. Расчетная сетка
является ортогональной, поскольку в ячейках за узловые точки принимаются
точки-генераторы диаграммы Вороного; это свойство увеличивает точность ап­
проксимации потоков между ячейками [2; 43].
4.4
Верификация модели
Для верификации предложенной модели переноса трассера была рассмот­
рена прямоугольная область пласта с двумя скважинами, между которыми
проходила трещина с проницаемостью 100 Дарси и шириной раскрытия 1 см
(рис. 4.3). Проницаемость пласта равнялась 50 миллидарси, толщина пласта –
10 м, расстояние между скважинами – 800 м, забойные давления скважин – 15
и 25 МПа. Аналогичная задача рассматривалась в коммерческом гидродинами­
ческом симуляторе Schlumberger Eclipse (версия 2010) на декартовой расчетной
сетке (рис. 4.3). При решении уравнений в обоих расчетах использовалась оди­
наковая величина временного шага – 10 часов. В нагнетательную скважину
было закачано 10 м3 раствора трассера с концентрацией 30 кг/м3.
63
а)
б)
Рисунок 4.2 — Расчетная сетка для пласта с трещиной, проходящей между
двумя скважинами: (а) – сетка вокруг трещины и скважин, (б) –
схематическое изображение соединения забоя скважины с несколькими
трещинами (серым цветом обозначены ячейки трещин, черным – ячейка забоя
скважины)
На рисунке 4.4 изображены кривые отклика, зарегистрированные на
добывающей скважине. Максимальное абсолютное отклонение концентрации
трассера составило 1,5%, а отклонение накопленной концентрации трассера –
0.15%. Таким образом, предложенную модель можно считать приемлемой для
решения задачи переноса трассера.
а)
б)
Рисунок 4.3 — Сетки для верификации: (а) – для расчета по предложенной
модели, (б) – для расчета в коммерческом симуляторе; горизонтальная линия
в центре – трещина, соединяющая две скважины; перекрестные сгущения
линий на рисунке (б) образованы локальным измельчением сетки
64
Несмотря на то что концентрация трассера в нагнетаемом растворе меня­
ется скачкообразно, форма кривой отклика на рисунке 4.4 не имеет разрывов.
Такое «размазывание» кривой отклика возникает по трем причинам: во-пер­
вых, скорость движения трассера в каждой точке трещины разная, поскольку
трещина имеет конечную проводимость; во-вторых, происходит переток трассе­
ра из трещины в пласт; в-третьих, использованная расчетная схема обладает
численной дисперсией. Первые две причины связаны с физикой процесса, а
третья обусловлена вычислительными погрешностями; важная задача опреде­
ления влияния каждой из них на вид кривой отклика остается открытой. В
разделе 4.6 данной главы будет показано, что решение обратной задачи с по­
мощью дискретной модели трещины довольно близко к решению, полученному
с помощью классического метода интерпретации [75; 76], и, таким образом, в
проведенных экспериментах численная дисперсия не оказывает существенного
влияния на точность решения прямой и обратной задач.
Рисунок 4.4 — Кривые отклика из расчетов по предложенной модели и с
помощью коммерческого симулятора
4.5
Решение обратной задачи
Интерпретация данных трассерных исследований заключается в построе­
нии модели участка пласта и определении фильтрационных параметров этого
участка с помощью решения обратной задачи. Предполагается, что трассер за­
качивается в одну нагнетательную скважину, а отбор проб производится на
65
нескольких соседствующих с ней добывающих скважинах. Между нагнетатель­
ной скважиной и всеми взаимодействующими с ней добывающими скважинами
проводятся трещины, вскрывающие всю толщину пласта. Для каждой добыва­
ющей скважины задана фактическая кривая отклика, и, таким образом, между
трещинами и фактическими кривыми отклика устанавливается взаимно-одно­
значное соответствие. Каждая трещина характеризуется двумя параметрами:
проницаемостью и шириной раскрытия. Обратная задача заключается в отыс­
кании неизвестных параметров модели – векторов проницаемости 𝑘 и ширины
𝑤 – по имеющимся фактическим кривым отклика.
(︁
)︁
⃗
За решение обратной задачи принимаются два вектора 𝑘,𝑤
⃗ , доставля­
ющие минимум функционалу невязки
⎞2
⎛ ∫︀
(︁
)︁
⃗
⃗ 𝑑𝑡
(︁
)︁
∑︁ ⎜ 𝑡 𝐶𝑠𝑖𝑚 𝑖,𝑡,𝑘,𝑤
⎟
⎟+
⎜ ∫︀
−
1
𝐹 ⃗𝑘,𝑤
⃗ =α
⎠
⎝
𝐶𝑓 𝑎𝑐𝑡 (𝑖,𝑡) 𝑑𝑡
𝑖
𝑡
⎛
(1 − α)
∑︁ ⎜
⎝
𝑖
(︁
(︁
)︁)︁
arg max 𝐶𝑠𝑖𝑚 𝑖,𝑡,⃗𝑘,𝑤
⃗
𝑡
arg max (𝐶𝑓 𝑎𝑐𝑡 (𝑖,𝑡))
⎞2
⎟
− 1⎠
𝑡
Здесь: α ∈ (0,1) – параметр; 𝑖 – индекс добывающей скважины, для которой
имеется фактическая
(︁ кривая
)︁ отклика; 𝐶𝑓 𝑎𝑐𝑡 (𝑖,𝑡) – фактическая кривая отклика
⃗ – модельная кривая отклика скважины 𝑖.
𝑖-й скважины; 𝐶𝑠𝑖𝑚 𝑖,𝑡,⃗𝑘,𝑤
Исследование корректности обратной задачи осуществлялась на трех на­
борах зашумленных синтетических кривых отклика, которые генерировались с
помощью решения прямой задачи. В качестве шума использовался белый шум
с нормальным распределением. Степень зашумленности кривой отклика вы­
числялась как относительное отклонение площади под графиком исходной и
зашумленной кривых отклика, вычисленное в процентах. Минимизация целевой
функции проводилась методом локальной оптимизации Нелдера–Мида [81].
На рисунке 4.5 показаны расчетная область пласта, расположение сква­
жин и трещин. Рисунок 4.6 содержит синтетические кривые отклика с
ненулевой степенью зашумленности и соответствующие решения обратной за­
дачи. В таблице 2 приведены: исходные параметры трещин, на основе которых
генерировались синтетические входные данные; параметры трещин, получен­
ные в результате решения обратной задачи; использованные интервалы поиска
параметров трещин и начальные приближения для этих параметров. Номера
66
трещин совпадают с номерами добывающих скважин, с которыми они соеди­
нены.
Рисунок 4.5 — Расчетная сетка для исследования корректности обратной
задачи. Цифрами указаны номера скважин, жирными линиями обозначены
трещины, черными кругами – добывающие скважины, черным кругом со
стрелками – нагнетательная скважина
Рисунок 4.6 — Кривые отклика при исследовании корректности обратной
задачи
Из таблицы 2 видно:
67
Таблица 2 — Параметры трещин, полученные в ходе исследования
корректности обратной задачи
Трещина №1,
проницаемость,
мД
Трещина №2,
проницаемость,
мД
Трещина №1,
ширина,
мм
Трещина №2,
ширина,
мм
Исходные значения
100
50
10
5
Интервал поиска
(0.1; 1000)
(0.1; 1000)
(0.01; 50)
(0.01; 50)
Начальное приближение
для решения обратной
задачи
500
500
25
25
Решение обратной задачи
по синтетическим входным
данным без наложения шум
100.14
50.23
9.97
4.95
Решение обратной задачи
по зашумленным (1%)
синтетическим входным
данным
95.84
50.17
10.43
4.9
Решение обратной задачи
по зашумленным (8%)
синтетическим входным
данным
94.9
37.2
10.08
6.29
– значения параметров трещин, полученные из решения обратной задачи
по синтетическим входным данным без наложения шума, практически
совпадают с исходными (отклонение не более 1%);
– отклонение вычисленных значений параметров трещин от исходных ве­
личин увеличивается с ростом степени зашумленности синтетических
данных.
Таким образом, результаты данного эксперимента не противоречат гипо­
тезе о том, что решение обратной задачи существует и непрерывно зависит от
входных данных. На единственность решения указывает тот факт, что началь­
ные приближения для параметров трещин находились на достаточно большом
отдалении от исходных значений, а интервалы поиска параметров практиче­
ски полностью охватывают допустимые физические границы соответствующих
величин (Табл. 2).
68
4.6
Сравнение предлагаемого и классического подходов
Рисунок 4.7 — Расчетная сетка и взаимное расположение скважин для
расчета на опытном участке пласта; цифрами обозначены номера скважин,
жирными линиями – трещины, черными точками – добывающие скважины,
черной точкой со стрелками – нагнетательная скважина
Таблица 3 — Параметры каналов НФС, вычисленные с помощью
классического метода по формулам (4.1) и (4.2)
Номер канала НФС Проницаемость (мД) Объем (м3 )
1
4241
0.64
2
10573
0.03
3
3171
0.61
Для сравнения описанного и классического подходов проведена ин­
терпретация данных трассерных исследований на опытном участке пласта,
содержащем одну нагнетательную и три добывающих скважины (рис. 4.7). Про­
ницаемость пласта принята равной 50 миллидарси. На рисунке 4.8 показаны
модельные и фактические кривые отклика. Видно, что координаты вершин пи­
ков и площади под графиками близки друг к другу.
В таблице 3 приведены параметры каналов НФС, вычисленные на основе
классического подхода к интерпретации [75; 76] по формулам (4.1) и (4.2). В
69
Рисунок 4.8 — Фактические и модельные кривые отклика на трех
добывающих скважинах, полученные из расчета на опытном участке пласта
таблицах 4 и 5 представлены параметры трещин, вычисленные предложенным
методом интерпретации. Объемы трещин в таблицах 4 и 5 вычислялись как
произведение ширины раскрытия, длины и высоты трещины. Номера трещин и
каналов НФС совпадают с номерами добывающих скважин, с которыми они
соединены.
По данным таблицы 3 видно, что проницаемость канала №2 выше прони­
цаемости двух других каналов. Это связано с тем, что пиковая концентрация
трассера достигла добывающей скважины №2 раньше, чем двух других сква­
жин (рис. 4.8). Кроме того, канал №2 имеет относительно маленький объем
(0.03 м3) из-за низкого значения накопленного отбора трассера на скважине
№2, что хорошо просматривается на рисунке 4.8 (величина отбора пропорцио­
нальна площади под графиком кривой отклика).
Как видно по таблицам 3 и 4, результаты классической интерпретации
довольно близки к результатам интерпретации с помощью дискретной модели
трещины без учета перетоков между трещиной и пластом: проницаемости отли­
чаются не более чем на 5%, а объемы – на 50%. Ввиду радикального отличия
использованных методов интерпретации отклонение в 50% можно считать до­
70
Таблица 4 — Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели
трещины (без перетоков между трещиной и пластом)
Номер трещины Проницаемость (мД) Ширина (мм) Объем (м3 )
1
4060
0.019
0.27
2
10396
0.001
0.01
3
2973
0.031
0.29
Таблица 5 — Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели
трещины (с перетоками между трещиной и пластом)
Номер трещины Проницаемость (мД) Ширина (мм) Объем (м3 )
1
7962
4.35
62.6
2
13960
1.92
21.0
3
4798
4.83
46.4
пустимым. Описанное наблюдение указывает на то, что проведенные расчеты
верны (в частности, численная дисперсия не оказывает существенного влияния
на результат) и постановка обратной задачи корректна.
Сравнивания содержимое таблиц 4 и 5, можно заключить, что учет пе­
ретоков между трещиной и пластом сильно влияет на вычисленные объемы
трещин – они возрастают не менее чем в 200 раз. Такое различие связано с
тем, что существенная часть трассера по мере движения по трещине перете­
кает в пласт.
4.7
Динамика прорыва воды по трещине в добывающую скважину
Принято считать, что высокопроницаемые каналы между скважинами все­
гда вызывают преждевременный прорыв воды в добывающую скважину. Для
проверки этого тезиса выполнено моделирование прорыва воды по дискретной
трещине в добывающую скважину с помощью решения задачи двухфазной
фильтрации по линейному закону Дарси:
(︂ )︂
[︂ (︂ )︂]︂
𝜕
⃗𝑣𝑤
𝑆𝑤
φ
+∇·
+ 𝑞𝑤 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
𝜕𝑡
𝐵𝑤
𝐵𝑤
[︂ (︂ )︂]︂
(︂ )︂
𝑆𝑜
⃗𝑣𝑜
𝜕
φ
+∇·
+ 𝑞𝑜 δ𝑤𝑒𝑙𝑙 = 0,
𝜕𝑡
𝐵𝑜
𝐵𝑜
𝑆𝑤 + 𝑆𝑜 = 1,
71
𝑘𝑘𝑟𝑤
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝),
µ𝑤
𝑘𝑘𝑟𝑜
⃗𝑣𝑜 = −
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝),
µ𝑜
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
= 0,
𝜕⃗𝑛Γ ⃒
⃗𝑣𝑤 = −
Γ
𝑝 (⃗𝑟 = ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙 ) = 𝑝𝑏ℎ ,
𝑆𝑤 (𝑡 = 0, ⃗𝑟) = 0,
𝑆𝑤 (𝑡, ⃗𝑟 = ⃗𝑟𝑤𝑒𝑙𝑙,𝑖𝑛𝑗 ) = 1.
Используются следующие обозначения: 𝑆𝑤 и 𝑆𝑜 – водо- и нефтенасыщен­
ность соответственно; 𝐵𝑤 , 𝐵𝑜 – объемные коэффициенты воды и нефти; ⃗𝑣𝑤 , ⃗𝑣𝑜 –
скорости фильтрации воды и нефти; 𝑞𝑤 , 𝑞𝑜 – дебит (расход) воды и нефти;
𝑘𝑟𝑤 , 𝑘𝑟𝑜 – относительные фазовые проницаемости воды и нефти; µ𝑤 , µ𝑜 – вяз­
кости воды и нефти. Все остальные обозначения аналогичны обозначениям
раздела 2.
Для тестового двухфазного расчета применялась модель из раздела 4 с
аналогичными параметрами. Фазовые проницаемости считались линейными.
Вязкости воды и нефти равнялись 0.5 и 2 сПз соответственно. Расчет прове­
ден для двух значений проницаемости трещины: 500 и 10 Дарси. Перетоки
между трещиной и пластом включены. На рисунке 4.9 показано поле водона­
сыщенности в пласте и в трещине после 500 суток заводнения. На рисунке 4.10
изображен график обводненности добывающей скважины.
а)
б)
Рисунок 4.9 — Поле водонасыщенности в двухфазном расчете после 500 суток
заводнения при различной проницаемости трещины, Дарси: (а) – 500; (б) – 10
По рисунку 4.9 видно, что при проницаемости трещины 500 Дарси после
500 суток заводнения вода достигает добывающей скважины; в этом случае
72
Рисунок 4.10 — Динамика обводненности добывающей скважины в
двухфазном расчете для двух значений проницаемости трещины
прорыв воды по трещине происходит мгновенно и повышает обводненность до­
бывающей скважины до значения 0.15 (см. рис. 4.10).
Однако при проницаемости трещины 10 Дарси вода, движущаяся по тре­
щине, практически не достигает добывающей скважины на момент 500 суток
(рис. 4.9); обводненность при этом начинает расти только после 4000 суток за­
воднения (рис. 4.10), и инициирует этот рост вода, текущая по пласту, а не по
трещине. Данный эффект возникает из-за того, что давление в трещине вбли­
зи добывающей скважины падает ниже пластового давления, нефть из пласта
втекает в трещину и препятствует движению воды.
На рисунке 4.11 приведено поле давления в случае, когда проницаемость
трещины близка к бесконечной (1000000 Дарси). Самая высокая точка поверх­
ности указывает на расположение нагнетательной скважины, а самая низкая
точка – на расположение добывающей скважины. Видно, что вблизи нагне­
тательной скважины давление в трещине выше давления в пласте, значит,
нагнетаемая вода будет вытекать из трещины в пласт. Примерно посередине
между двумя скважинами давление в трещине становится равным давлению в
пласте. Вблизи добывающей скважины давление в трещине падает ниже дав­
ления в пласте, и нефть из пласта будет втекать в трещину и препятствовать
движению нагнетаемой воды по трещине.
Примечательно, что на опытных участках, как правило, значения прони­
цаемости трещин как раз составляют около 10 Дарси. Даже при проницаемости
500 Дарси на момент 500 суток (см. рис. 4.9) водонасыщенность в трещине вбли­
зи добывающей скважины не превышает значения 0.5, следовательно, нефть из
73
Рисунок 4.11 — Пластовое давление в двухфазном расчете при проницаемости
трещины, близкой к бесконечной; вертикальная координата каждой точки
поверхности отвечает давлению в этой точке
пласта все равно втекает в трещину и снижает расход воды по трещине вблизи
добывающей скважины.
Таким образом, если высокопроницаемый канал фильтрации гидродина­
мически связан с пластом (имеет проницаемые стенки), то прорыв воды по
нему в добывающую скважину может отсутствовать (в том смысле, что доля
воды, пришедшая в добывающую скважину через трещину, будет ничтожно
мала). Каждой ситуации будет соответствовать некоторое минимальное значе­
ние проницаемости канала, при котором прорыв воды в добывающую скважину
возможен, причем это значение может оказаться довольно большим (возможно,
намного выше типичных значений проницаемости, получаемых при интерпре­
тации данных трассерных исследований).
4.8
Заключение
Предложен новый подход к математическому моделированию перено­
са трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации с использованием
сетки Вороного, основанный на представлении высокопроницаемых каналов
фильтрации в виде дискретных трещин, соединяющих забои добывающих и
нагнетательных скважин. Описана процедура интерпретации данных трассер­
ных исследований с помощью предложенного подхода. Проведена верификация
математической модели и построен алгоритм решения обратной задачи. Пока­
зано, что при отсутствии перетоков между трещиной и пластом результаты
интерпретации с помощью представленного метода близки к результатам клас­
сической интерпретации.
74
Установлено, что если в действительности добывающая и нагнетательная
скважины соединены друг с другом вертикальной трещиной с проницаемыми
стенками, то классический метод интерпретации может дать неадекватно за­
ниженную (в 200 и более раз) оценку объема этой трещины. Это наблюдение
согласуется с результатами, полученными в работе [80].
Сделанные выводы можно распространить и на случаи, когда высо­
копроницаемые каналы представляют собой горизонтальные пропластки с
вертикальными перетоками. Хотя в горизонтальных пропластках линии тока
трассера между скважинами будут иметь не линейный, а радиальный харак­
тер, специфика влияния перетоков на оцениваемый объем трещин останется
прежней.
75
ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ЦЕМЕНТНОГО КОЛЬЦА С ТРЕЩИНОЙ ГРП
5.1
Введение
Одной из насущных проблем в нефтегазовой отрасли является разрушение
цементного кольца между породой и эксплуатационной колонной скважины.
Это приводит к преждевременному обводнению скважин и загрязнению окру­
жающей среды. В данной главе проводится моделирование напряженного
состояния цементного кольца и эксплуатационной колонны для вертикальной
скважины с трещиной ГРП. Рассматривается несовершенная скважина с пер­
форационными каналами, в результате чего распределение порового давления
пластовой жидкости оказывается неравномерным вдоль вертикальной и гори­
зонтальной осей. Оценивается влияние распределения порового давления на
прочность цементного кольца и эксплуатационной колонны.
Предполагается, что преимущественное влияние на прочность конструк­
ции оказывает величина удельной потенциальной энергии формообразова­
ния [82]. Эта величина оценивается с помощью вычисления напряжений Мизеса
(т.е. интенсивности напряжений) [83] в каждой точке цементного кольца и экс­
плуатационной колонны.
Моделирование прочности цементного кольца проводится с помощью
неполно связных задач линейной упругости и фильтрации Дарси. Использу­
ются следующие предположения.
1. Пластовая жидкость несжимаема.
2. Порода пласта, цементное кольцо и эксплуатационная колонна дефор­
мируемы и представляют собой линейно-упругие тела.
3. Между цементным кольцом и эксплуатационной колонной выполняют­
ся условия идеального контакта.
4. Трещина гидроразыва пласта (ГРП) примыкает к цементному кольцу,
является бесконечнопроводимой и недеформируемой.
5. Трещина ГРП не оказывает влияния на напряженное состояние горной
породы.
76
6. Деформации цементного кольца и эксплуатационной колонны малы и
не оказывают влияния на горную породу, трещину ГРП и пластовую
жидкость.
7. На внутреннюю стенку эксплуатационной колонны действует забойное
давление скважины.
8. На внешнюю стенку цементного кольца действуют поровое давление
пластовой жидкости и горное боковое давление породы.
9. Сила тяжести оказывает влияние на горную породу и не оказывает
влияния на цементное кольцо и эксплуатационную колонну.
Алгоритм решения задачи состоит из двух последовательных шагов:
1. Вычислить стационарное распределение давления пластовой жидкости
с помощью решения уравнения фильтрации несжимаемого флюида.
2. Вычислить напряженное состояние цементного кольца и эксплуатаци­
онной колонны с помощью решения стационарного уравнения линейной
упругости, в котором в качестве граничного условия учитывается дав­
ление пластовой жидкости, вычисленное в пункте 1.
Пространственная дискретизация уравнений осуществляется с помощью
построения трехмерной расчетной сетки Вороного [2] для пласта, трещины
ГРП, цементного кольца и эксплуатационной колонны. Для решения уравнения
фильтрации применяется метод конечных объемов с двухточечной аппроксима­
цией потока, а для решения уравнения упругости – метод конечных объемов с
многоточечной аппроксимацией напряжений [84; 85].
5.2
Задача фильтрации
Задача фильтрации описывается следующими уравнениями [86]:
)︂
(︂
𝑘
𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑝) = 0,
𝑑𝑖𝑣
µ
𝑝|𝑝𝑒𝑟𝑓 = 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 ,
𝑝|𝑓 𝑟𝑎𝑐 = 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 ,
⃒
𝜕𝑝 ⃒⃒
= 0.
𝜕⃗𝑛 ⃒𝑆0
Здесь 𝑝 – давление пластовой жидкости, 𝑘 – проницаемость пласта, µ –
вязкость флюида, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 – забойное давление скважины, 𝑝𝑒𝑟𝑓 – перфорационные
77
каналы скважины, 𝑓 𝑟𝑎𝑐 – трещина ГРП, 𝑆0 – граница пласта, которая вклю­
чает в себя внутреннюю часть, внешнюю часть, а так же кровлю и подошву
пласта. Внешняя часть границы пласта описывает границу области дренирова­
ния, а внутренняя часть границы пласта представляет собой внешнюю стенку
цементного кольца скважины.
Трещина ГРП вскрывает всю толщину пласта, имеет два симметричных
крыла и примыкает к перфорационным каналам скважины, как показано на
рисунке 5.1. Трещина ГРП моделируется с помощью создания пластовых ячеек
шириной 5 мм с повышенной проницаемостью. Вблизи трещины используется
локальное измельчение сетки.
Процесс дискретизации уравнений фильтрации описан в главе 2. Решение
задачи фильтрации сводится к решению одной разреженной системы линейных
уравнений. Решение этой системы уравнений осуществлялось с помощью итера­
ционного метода бисопряженных градиентов с предобуславливателем 𝐼𝐿𝑈 (0).
5.3
Задача упругости
Рассматривается вертикальная скважина с трещиной ГРП. Цементное
кольцо и эксплуатационная колонна представляют собой единый полый ци­
линдр с перфорационными каналами, как показано на рисунке 5.1.
В пренебрежении массовыми силами напряженное состояние цементного
кольца и эксплуатационной колонны описывается следующими уравнениями:
𝜕σ11 𝜕σ12 𝜕σ13
+
+
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕σ21 𝜕σ22 𝜕σ23
+
+
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕σ31 𝜕σ32 𝜕σ33
+
+
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
σ = Cε,
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
⃗σ𝑛 |𝑆1 = − (𝑝𝑟𝑜𝑐𝑘 + 𝑏𝑝) ⃗𝑛|𝑆1 ,
(5.5)
⃗σ𝑛 |𝑆2 = − 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙⃗𝑛|𝑆2 ,
(5.6)
⃗σ𝑛 |𝑆3 = − 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙⃗𝑛|𝑆3 ,
⃗𝑢|𝑆 = ⃗0.
(5.7)
4
(5.8)
78
Рисунок 5.1 — Цементное кольцо и эксплуатационная колонна. Голубым
цветом закрашена внешняя стенка цементного кольца, зеленым – внутренняя
стенка эксплуатационной колонны, красным – стенки перфораций, серым –
торцы цементного кольца и эксплуатационной колонны, желтым – трещина
ГРП
Здесь σ – симметричный тензор напряжений (2 ранга), C – тензор жесткости
(4 ранга), ε – симметричный тензор деформаций (2 ранга), ⃗𝑢 = (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 )𝑇 –
вектор перемещений, 𝑢𝑥 ,𝑢𝑦 ,𝑢𝑧 – перемещения вдоль осей 𝑥,𝑦,𝑧 соответственно,
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑘 – горизонтальная составляющая давления, действующего на цементное
кольцо со стороны горной породы, 𝑏 = 𝐾𝐾𝑚 – постоянная Био [87] (где 𝐾, 𝐾𝑚 –
объемные модули водонасыщенного скелета породы и материала зерен ске­
лета породы соответственно), 𝑝 – давление пластовой жидкости, создающее
неравномерную нагрузку на стенку 𝑆1 , 𝑆1 – внешняя стенка цементного коль­
ца (рис. 5.1), 𝑆2 – внутренняя стенка эксплуатационной колонны, 𝑆3 – стенки
перфораций в цементном кольце и эксплуатационной колонне, 𝑆4 – торцы це­
ментного кольца и эксплуатационной колонны, 𝑆5 – контактная поверхность
между цементным кольцом и эксплуатационной колонной, ⃗σ𝑛 – вектор напря­
жения, действующий на площадку с нормалью ⃗𝑛 = (𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 )𝑇 .
79
Тензор деформаций имеет вид
⎛
(︁
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦 +
𝜕𝑢𝑦
(︁ 𝜕𝑦
1 𝜕𝑢𝑦
2
𝜕𝑧 +
1
2
⎜ (︁
)︁
⎜ 1 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦
ε = ⎜ 2 𝜕𝑦 + 𝜕𝑥
⎝ (︀
)︀
𝜕𝑢𝑧
1 𝜕𝑢𝑥
+
2 𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
)︁
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
)︁
1 𝜕𝑢𝑥
2 (︁ 𝜕𝑧 +
1 𝜕𝑢𝑦
2
𝜕𝑧 +
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
(︀
)︀ ⎞
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥 )︁⎟
𝜕𝑢𝑧 ⎟
,
𝜕𝑦 ⎟
⎠
а компонента 𝑙 вектора напряжения ⃗σ𝑛 равна
σ𝑛,𝑙 = σ𝑙1 𝑛𝑥 + σ𝑙2 𝑛𝑦 + σ𝑙3 𝑛𝑧 .
Предполагается, что контактная поверхность 𝑆5 между цементным коль­
цом и эксплуатационной колонной является поверхностью идеального контакта.
Это предположение приводит к условиям непрерывности вектора напряжения
и перемещения на этой поверхности:
⃗σ𝑛 |𝑆5 +0 = ⃗σ𝑛 |𝑆5 −0 ,
⃗𝑢|𝑆5 +0 = ⃗𝑢|𝑆5 −0 .
Предполагается, что горный массив представляет собой однородное транс­
версально-изотропное тело (полупространство), ограниченное горизонтальной
плоскостью (поверхностью земли), в котором все плоскости изотропии парал­
лельны ограничивающей. Будем считать, что давление 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑘 со стороны горной
породы на цементное кольцо постоянно и равно горизонтальному напряжению
внутри горного массива на рассматриваемой глубине [88]:
ν𝑟𝑜𝑐𝑘
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑘 =
ρ𝑟𝑜𝑐𝑘 𝑔ℎ,
(5.9)
1 − ν𝑟𝑜𝑐𝑘
где ν𝑟𝑜𝑐𝑘 , ρ𝑟𝑜𝑐𝑘 – осредненные коэффициент Пуассона и плотность вышележа­
щих горных пород, 𝑔 – ускорение свободного падения, ℎ – глубина залегания
рассматриваемого участка цементного кольца.
Продемонстрируем решение задачи упругости с помощью метода ко­
нечных объемов с многоточечной аппроксимацией напряжений [84; 85].
Проинтегрируем уравнения 5.1—5.3 в ячейке 𝑖 и воспользуемся формулой
Гаусса-Остроградского:
)︂
∫︁ (︂
𝜕σ𝑙1 𝜕σ𝑙2 𝜕σ𝑙3
+
+
𝑑𝑉 = 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑉𝑖
∫︁
σ𝑛,𝑙 𝑑𝑆 = 0.
𝜕𝑉𝑖
80
Здесь 𝑉𝑖 – множество точек ячейки 𝑖, |𝑉𝑖 | – объем ячейки 𝑖. Интеграл по поверх­
ности 𝜕𝑉𝑖 ячейки 𝑖 представляется в виде суммы поверхностных интегралов по
каждой грани этой ячейки:
∑︁ ∫︁
σ𝑛,𝑙 𝑑𝑆 = 0.
(5.10)
𝑗∈Ψ(𝑖)𝑆
𝑖𝑗
Множество ячеек, смежных с 𝑖-ой ячейкой, обозначается Ψ(𝑖); 𝑆𝑖𝑗 – грань между
𝑖-ой и 𝑗-ой ячейками.
(︀
)︀𝑇
Пусть ⃗σ𝑛𝑖𝑗 = σ𝑛𝑖𝑗 ,1 , σ𝑛𝑖𝑗 ,2 , σ𝑛𝑖𝑗 ,3 – средний вектор напряжения на грани
между 𝑖-ой и 𝑗-ой ячейками. Тогда уравнение (5.10) примет вид
∑︁
|𝑆𝑖𝑗 | σ𝑛𝑖𝑗 ,𝑙 = 0.
𝑗∈Ψ(𝑖)
Три уравнения для 𝑙 = 1, 2, 3 можно записать как одно векторное урав­
нение
∑︁
|𝑆𝑖𝑗 | ⃗σ𝑛𝑖𝑗 = ⃗0.
𝑗∈Ψ(𝑖)
Введем также среднее значение ⃗𝑢𝑖 перемещения в ячейке 𝑖. Метод многото­
чечной аппроксимации напряжений заключается в том, чтобы искать значение
|𝑆𝑖𝑗 | ⃗σ𝑛𝑖𝑗 на грани между 𝑖-ой и 𝑗-ой ячейками в виде линейной комбинации
некоторого набора ⃗𝑢𝑘 :
∑︁ ∑︁
|𝑆𝑖𝑗 | ⃗σ𝑛𝑖𝑗 =
t𝑖𝑗𝑘𝑣 ⃗𝑢𝑘 .
𝑣∈𝑉 (𝑖,𝑗) 𝑘∈𝐶(𝑣)
Здесь t𝑖𝑗𝑘𝑣 – тензоры 2-го ранга, 𝑉 (𝑖,𝑗) – множество всех вершин грани 𝑖𝑗,
𝐶 (𝑣) – множество всех ячеек, смежных с вершиной 𝑣.
Каждой вершине 𝑣 расчетной сетки соответствует одна ячейка дуальной
сетки. Для каждой дуальной ячейки решается специальная локальная задача
для определения коэффициентов t𝑖𝑗𝑘𝑣 внутри этой дуальной ячейки. Когда все
коэффициенты t𝑖𝑗𝑘𝑣 будут вычислены, уравнения равновесия во всех ячейках
можно будет представить в виде системы линейных уравнений относительно
неизвестных ⃗𝑢𝑖 .
81
5.4
Алгоритм решения локальной задачи упругости на сетке
Вороного
Для каждой вершины сетки решается отдельная локальная задача. Рас­
смотрим вершину 𝑣 и ячейку 𝑖 ∈ 𝐶 (𝑣). Рассмотрим все ребра и все грани сетки,
которые инциденты одновременно вершине 𝑣 и ячейке 𝑖. Многогранник, натя­
нутый на вершину 𝑣, центроид ячейки 𝑖 и центроиды всех этих ребер и граней
называется мини-ячейкой и обозначается (𝑖,𝑣) (рис. 5.2). Грань мини-ячейки
(𝑖,𝑣), инцидентная какой-либо другой ячейке 𝑗, называется мини-гранью и обо­
значается (𝑖,𝑗,𝑣). Очевидно, что все ячейки сетки можно представить в виде
объединения некоторого множества мини-ячеек, а все грани – в виде объедине­
ния некоторого множества мини-граней.
Рисунок 5.2 — Несколько ячеек, инцидентных вершине 𝑣. Ребра ячеек
изображены черными отрезками. Мини-ячейка (𝑖,𝑣) закрашена серым цветом
Пусть в каждой точке ⃗𝑟 мини-ячейки (𝑖,𝑣) каждая компонента вектора
перемещений ⃗𝑢 (⃗𝑟) = (𝑢𝑥 (⃗𝑟) , 𝑢𝑦 (⃗𝑟) , 𝑢𝑧 (⃗𝑟))𝑇 является линейной функцией ко­
ординат:
𝑢𝑥 (⃗𝑟) = 𝑢𝑖,𝑥 + ∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 · (⃗𝑟 − ⃗𝑟𝑖 ) ,
𝑢𝑦 (⃗𝑟) = 𝑢𝑖,𝑦 + ∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 · (⃗𝑟 − ⃗𝑟𝑖 ) ,
𝑢𝑧 (⃗𝑟) = 𝑢𝑖,𝑧 + ∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 · (⃗𝑟 − ⃗𝑟𝑖 ) .
Здесь ⃗𝑢𝑖 = (𝑢𝑖,𝑥 , 𝑢𝑖,𝑦 , 𝑢𝑖,𝑧 )𝑇 – среднее значение перемещения в ячейке 𝑖,
∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 – градиенты компонент вектора перемещений (это векто­
82
ры), ⃗𝑟𝑖 – центр ячейки 𝑖. Считаем, что градиенты ∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 в данной
мини-ячейке – константы, т.е. они не зависят от координаты ⃗𝑟. Поэтому тензор
напряжений σ𝑖𝑣 в мини-ячейке (𝑖,𝑣) тоже не зависит от ⃗𝑟.
Обозначим G𝑖𝑣 матрицу с компонентами градиентов ∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 ,∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 :
⎛
⎞
(∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 )𝑥 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 )𝑦 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑥 )𝑧
⎜
⎟
G𝑖𝑣 = ⎝(∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 )𝑥 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 )𝑦 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑦 )𝑧 ⎠
(∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 )𝑥 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 )𝑦 (∇𝑢𝑖𝑣,𝑧 )𝑧
Тогда ⃗𝑢 (⃗𝑟) в каждой точке ⃗𝑟 мини-ячейки (𝑖,𝑣) будет иметь вид
⃗𝑢 (⃗𝑟) = ⃗𝑢𝑖 + G𝑖𝑣 · (⃗𝑟 − ⃗𝑟𝑖 ) ,
а тензор деформаций в мини-ячейке (𝑖,𝑣) будет выражаться через G𝑖𝑣 :
⎞
⎛
1
1
G𝑖𝑣,11
2 (G𝑖𝑣,12 + G𝑖𝑣,21 ) 2 (G𝑖𝑣,13 + G𝑖𝑣,31 )
⎟
⎜1
1
.
ε𝑖𝑣 = ⎝ 2 (G𝑖𝑣,12 + G𝑖𝑣,21 )
G𝑖𝑣,22
2 (G𝑖𝑣,23 + G𝑖𝑣,32 )⎠
1
1
G𝑖𝑣,33
2 (G𝑖𝑣,13 + G𝑖𝑣,31 ) 2 (G𝑖𝑣,23 + G𝑖𝑣,32 )
Каждая компонента 𝑟𝑠 тензора деформаций равна
ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 =
1
(G𝑖𝑣,𝑟𝑠 + G𝑖𝑣,𝑠𝑟 ) .
2
(5.11)
Пусть σ𝑖𝑣 = {σ𝑖𝑣,𝑝𝑞 } , C𝑖𝑣 = {𝑐𝑖𝑣,𝑝𝑞𝑟𝑠 } , ε𝑖𝑣 = {ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 }, где 𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 – индексы
компонент тензоров (каждый индекс принимает значение от 1 до 3). Тогда
σ𝑖𝑣,𝑝𝑞 =
3 ∑︁
3
∑︁
𝑐𝑖𝑣,𝑝𝑞𝑟𝑠 ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 .
(5.12)
𝑟=1 𝑠=1
С учетом 5.11 и 5.12 выражение для компоненты 𝑝 вектора напряжения
на мини-грани (𝑖,𝑗,𝑣) будет иметь вид
3
∑︁
σ𝑖𝑣,𝑛𝑖𝑗𝑣 ,𝑝 =
𝑟,𝑠=1
=
𝑐𝑖𝑣,𝑝1𝑟𝑠 ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,1 +
3
∑︁
𝑐𝑖𝑣,𝑝2𝑟𝑠 ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,2 +
𝑟,𝑠=1
3
∑︁
𝑐𝑖𝑣,𝑝3𝑟𝑠 ε𝑖𝑣,𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,3 =
(5.13)
𝑟,𝑠=1
3
1 ∑︁
(G𝑖𝑣,𝑟𝑠 + G𝑖𝑣,𝑠𝑟 ) (𝑐𝑖𝑣,𝑝1𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,1 + 𝑐𝑖𝑣,𝑝2𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,2 + 𝑐𝑖𝑣,𝑝3𝑟𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑣,3 ) .
2 𝑟,𝑠=1
(5.14)
Представим каждую компоненту 𝑟𝑠 матрицы G𝑖𝑣 в виде суммы скалярных
произведений векторов ⃗𝑢𝑘 :
∑︁
⃗ 𝑖𝑣,𝑟𝑠,𝑘 · ⃗𝑢𝑘 ,
α
(5.15)
G𝑖𝑣,𝑟𝑠 =
𝑘∈𝐶(𝑣)
83
⃗ 𝑖𝑣,𝑟𝑠,𝑘 – вектор длины 3.
где α
Локальная задача для вершины 𝑣 заключается в вычислении коэффициен­
⃗ 𝑖𝑣,𝑟𝑠,𝑘 разложения (5.15) для всех 𝑖 ∈ 𝐶 (𝑣) и для всех 𝑟𝑠 ∈ {1,2,3}×{1,2,3}.
тов α
Пусть вершина 𝑣 инцидентна 𝑁 ячейкам и 𝑀 граням. На каждой
мини-грани 𝑚 (меняется от 1 до 𝑀 ) задаем условие непрерывности вектора
напряжения (на всей мини-грани) и условие непрерывности перемещения (в
единственной точке ⃗𝑟𝑚 мини-грани):
⃗σ𝑖𝑣,𝑛𝑖𝑗𝑣 = ⃗σ𝑗𝑣,𝑛𝑖𝑗𝑣 , (𝑖,𝑗) ∈ 𝑁 𝑒𝑖𝑔ℎ𝑏𝑜𝑢𝑟𝑠 (𝑚) ,
⃗𝑢𝑖 + G𝑖𝑣 · (⃗𝑟𝑚 − ⃗𝑟𝑖 ) = ⃗𝑢𝑗 + G𝑗𝑣 · (⃗𝑟𝑚 − ⃗𝑟𝑗 ) , (𝑖,𝑗) ∈ 𝑁 𝑒𝑖𝑔ℎ𝑏𝑜𝑢𝑟𝑠 (𝑚) .
(5.16)
(5.17)
Для данной вершины 𝑣 получаем 𝑀 векторных (т.е. 3𝑀 скалярных) уравне­
ний (5.16), и 𝑀 векторных (т.е. 3𝑀 скалярных) уравнений (5.17). Неизвестные
переменные в данных уравнениях – это компоненты матриц G𝑖𝑣 и компоненты
векторов ⃗𝑢𝑖 для всех 𝑖 ∈ 𝐶 (𝑣).
На основе уравнений 5.16 и 5.17 построим систему уравнений
⎛
⎞
⎛ ⎞
𝒞 𝒪1 (︃ )︃
𝑜
⎜
⎟ 𝑔𝑣
⎜ ⎟
= ⎝𝑜⎠ ,
(5.18)
⎝ℛ ℰ ⎠
𝑢𝑣
𝒪2 ℐ
𝑥
где 𝑔𝑣 – неизвестный столбец высотой 9𝑁 , состоящий из чисел G𝑖𝑣,𝑟𝑠 для всех
𝑖 ∈ 𝐶 (𝑣) и для всех 𝑟𝑠 ∈ {1,2,3} × {1,2,3}, 𝑢𝑣 – неизвестный столбец высо­
той 3𝑁 , состоящий из компонент векторов ⃗𝑢𝑖 для всех 𝑖 ∈ 𝐶 (𝑣), 𝒞 – матрица
размером 3𝑀 × 9𝑁 , состоящая из коэффициентов разложения 3𝑀 скалярных
уравнений (5.16) по компонентам столбца 𝑔𝑣 , ℛ – матрица размером 3𝑀 × 9𝑁 ,
состоящая из коэффициентов разложения 3𝑀 скалярных уравнений (5.17) по
компонентам столбца 𝑔𝑣 , ℰ – матрица размером 3𝑀 ×3𝑁 , состоящая из коэффи­
циентов разложения 3𝑀 скалярных уравнений (5.17) по компонентам столбца
𝑢𝑣 , 𝒪1 – нулевая матрица размером 3𝑀 × 3𝑁 , 𝒪2 – нулевая матрица разме­
ром 3𝑁 × 9𝑁 , ℐ – единичная матрица размером 3𝑁 × 3𝑁 , 𝑜 – нулевой столбец
высотой 3𝑀 , 𝑥 – столбец высотой 3𝑁 , состоящий из произвольных чисел.
Обозначим
⎛
⎞
⎛ ⎞
(︃ )︃
𝒞 𝒪1
𝑜
𝑔𝑣
⎜
⎟
⎜ ⎟
, ⃗𝑧 = ⎝ 𝑜 ⎠ .
A = ⎝ ℛ ℰ ⎠ , ⃗𝑦 =
𝑢𝑣
𝒪2 ℐ
𝑥
84
Коэффициенты матрицы 𝒞 являются известными в силу (5.14). Коэффициенты
матриц ℛ и ℰ зависят только от геометрии расчетной сетки. Таким образом,
все коэффициенты матрицы A являются известными. Если обратная матрица
A−1 существует, то
⎛ ⎞
(︃ )︃
𝑜
𝑔𝑣
⎜
⎟
= A−1 ⎝ 𝑜 ⎠ .
(5.19)
𝑢𝑣
𝑥
Поскольку система (5.18) задает ограничение 𝑢𝑣 = 𝑥, а запись (5.19) справедли­
ва для любого столбца 𝑥, обратная матрица A−1 содержит в себе коэффициенты
разложения каждой компоненты столбца 𝑔𝑣 по компонентам столбца 𝑢𝑣 . Иными
⃗ 𝑖𝑣,𝑟𝑠,𝑘 разло­
словами, матрица A−1 содержит в себе искомые коэффициенты α
жения (5.15).
Поскольку матрица A имеет размеры (6𝑀 + 3𝑁 ) × 12𝑁 , она будет обра­
тима только в случае 2𝑀 = 3𝑁 . Для простых трехмерных сеток, состоящих
из параллелепипедов, призм или тетраэдров, условие 2𝑀 = 3𝑁 всегда выпол­
няется. Но для сеток, состоящих из многогранников произвольной формы (в
частности, для сетки Вороного в общем случае) это условие не выполняется.
В последнем случае вместо A−1 можно использовать псевдообратную матрицу
A+ , и тогда градиенты G𝑖𝑣,𝑟𝑠 будут выражаться через ⃗𝑢𝑘 в смысле минимизации
невязки ‖A⃗𝑦 − ⃗𝑧‖. В данной работе псевдообратная матрица A+ вычислялась
с помощью численного QR разложения матрицы A.
Подставляя (5.15) в (5.14), получаем представление напряжения на мини­
грани в виде линейной комбинации ⃗𝑢𝑘 :
∑︁
⃗σ𝑖𝑣,𝑛𝑖𝑗𝑣 =
t𝑖𝑗𝑘𝑣 ⃗𝑢𝑘
𝑘∈𝐶(𝑣)
Вектор напряжения на всей грани 𝑖𝑗 будет равен
∑︁
∑︁ ∑︁
⃗σ𝑛𝑖𝑗 =
⃗σ𝑖𝑣,𝑛𝑖𝑗𝑣 =
t𝑖𝑗𝑘𝑣 ⃗𝑢𝑘
𝑣∈𝑉 (𝑖,𝑗)
𝑣∈𝑉 (𝑖,𝑗) 𝑘∈𝐶(𝑣)
Таким образом, для вычисления искомых коэффициентов t𝑖𝑗𝑘𝑣 использу­
⃗ 𝑖𝑣,𝑟𝑠,𝑘 , вычисляемые с помощью псевдообратной матрицы A+ .
ются векторы α
85
5.5
Алгоритм решения глобальной задачи упругости на сетке
Вороного
Для учета глобальных граничных условий (5.5—5.8) уравнения 5.16 и 5.17
корректируются нужным образом на соответствующих мини-гранях. В резуль­
тате решаемые локальные задачи имеют различные постановки в зависимости
от комбинации граничных условий в конкретной мини-ячейке.
Один из способов упрощения программной реализации метода многоточеч­
ной аппроксимации заключается в сокращении числа возможных комбинаций
граничных условий в мини-ячейках. Для этого глобальное граничное условие
на перемещения (5.8) не учитывается при решении локальных задач, а учиты­
вается при решении глобальной задачи в дискретной форме
⃗𝑢𝑖 |𝑖∈𝐶𝑒𝑙𝑙𝑠(𝑆4 ) = ⃗0,
где 𝐶𝑒𝑙𝑙𝑠 (𝑆4 ) – множество ячеек, у которых хотя бы одна грань лежит на
границе 𝑆4 .
Вычислив все коэффициенты t𝑖𝑗𝑘𝑣 , получаем линейное векторное уравне­
ние относительно неизвестных перемещений для ячейки 𝑖:
∑︁ ∑︁ ∑︁
t𝑖𝑗𝑘𝑣 ⃗𝑢𝑘 = ⃗0.
𝑗∈Ψ(𝑖) 𝑣∈𝑉 (𝑖,𝑗) 𝑘∈𝐶(𝑣)
Объединив уравнения для всех ячеек, получаем разреженную систему линей­
ных уравнений. Решение этой системы уравнений осуществлялось с помощью
итерационного метода бисопряженных градиентов с предобуславливателем
𝐼𝐿𝑈 (0).
После того, как перемещения ⃗𝑢𝑖 найдены, в каждой мини-ячейке (𝑖, 𝑣)
вычисляется тензор напряжений σ𝑖𝑣 с помощью подстановки уравнения (5.15)
в (5.11) и в (5.12).
Далее вычисляется напряжение Мизеса σ𝑚,𝑖𝑣 в каждой мини-ячейке (𝑖, 𝑣):
⎯
√︂
⎸ 3 3
⎸ 3 ∑︁ ∑︁
3
S𝑖𝑣 : S𝑖𝑣 = ⎷
𝑠𝑖𝑣,𝑝𝑞 𝑠𝑖𝑣,𝑝𝑞 ,
σ𝑚,𝑖𝑣 =
2
2 𝑝=1 𝑞=1
1
trace (σ𝑖𝑣 ) I.
3
Здесь : – операция свертки по последним двум индексам первого тензора и
первым двум индексам второго тензора [89].
S𝑖𝑣 = σ𝑖𝑣 −
86
Напряжение Мизеса в ячейке 𝑖 принимается равным среднему значению
напряжения Мизеса по всем мини-ячейкам (𝑖,𝑣).
5.6
Вычислительный эксперимент
Рассмотрены несовершенные добывающая и нагнетательная вертикаль­
ные скважины, находящиеся друг от друга на расстоянии 500 м. Добывающая
скважина работает с постоянными забойным давлением 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 (принималось
равным 50 и 20 атм), а нагнетательная скважина – с постоянными забойным дав­
лением 150 атм. Напряженное состояние цементного кольца и эксплуатационной
колонны вычисляется только для добывающей скважины. Нагнетательная сква­
жина влияет только распределение порового давления пластовой жидкости.
Рассмотрены два случая: с наличием трещин ГРП на обоих скважинах, и с
отсутствием трещин ГРП на обоих скважинах.
Материал цементного кольца и эксплуатационной колонны считается изо­
тропным, поэтому тензор жесткости C содержит только два независимых
коэффициента – модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Толщина пласта – 3 м, внутренний радиус эксплуатационной колонны – 6
см, толщина эксплуатационной колонны – 1.8 см, толщина цементного кольца –
3 см, полудлина трещин ГРП – 125 м, ширина раскрытия трещин ГРП – 1 см,
проницаемость пласта – 100 миллидарси, вязкость флюида – 1 сПз, коэффи­
циент Пуассона цементного кольца и эксплуатационной колонны – 0.25, модуль
Юнга цементного кольца обозначен 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 (принимался равным 5 и 1 ГПа), мо­
дуль Юнга эксплуатационной колонны – 200 ГПа, осредненный коэффициент
Пуассона вышележащих горных пород – 0.25, осредненная плотность вышеле­
жащих горных пород – 2500 кг/м3 , постоянная Био – 0.85, глубина залегания
пласта – 2000 м. Давление 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑘 , вычисленное по формуле (5.9), равно 161 атм.
Для построения трехмерной расчетной сетки вначале строится двумерная
сетка Вороного (рис. 5.3), представляющая собой горизонтальный срез пла­
ста. Далее двумерная сетка дублируется в 60 слоев, и вершины всех соседних
двумерных сеток соединяются вертикальными ребрами, образуя трехмерные
призмы.
Итоговая расчетная сетка состоит из ячеек пласта, ячеек трещины ГРП,
ячеек цементного кольца и ячеек эксплуатационной колонны для обеих сква­
87
жин. Перфорации представляют собой вырезанные пустоты в цементном кольце
и эксплуатационной колонне, имеющие форму параллелепипедов со сторонами
5 см. Количество пластовых ячеек – 200 тысяч, количество ячеек цементного
кольца и эксплуатационной колоны (для одной скважины) – 10 тысяч. Будем
считать, что торцы цементного кольца имеют вертикальные координаты 𝑧 = 0
и 𝑧 = 3.
На рисунке 5.4 показано распределение давления пластовой жидкости око­
ло добывающей скважины при наличии и при отсутствии трещины ГРП.
Рисунок 5.3 — Двумерная сетка Вороного с локальным измельчением вблизи
двух скважин. 1 – нагнетательная скважина, 2 – добывающая скважина
а)
б)
Рисунок 5.4 — Распределение давления пластовой жидкости (атм) вблизи
добывающей скважины (𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм) при наличии (а) и при отсутствии (б)
трещины ГРП
На рисунке 5.5 видно, что при отсутствии горного бокового давления
смещения цементного кольца и эксплуатационной колонны в горизонтальной
плоскости примерно одинаковы по всей высоте пласта. При наличии горного
88
а)
б)
Рисунок 5.5 — Перемещение (мкм) точек цементного кольца и
эксплуатационной колонны вдоль горизонтальной оси (при наличии трещины
ГРП, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при наличии горного бокового
давления, (б) – при отсутствии горного бокового давления
бокового давления максимальные смещения приходятся на зону перфораций –
это объясняется тем, что давление, действующее на стенки перфораций, меньше
давления, действующего на внешнюю стенку цементного кольца.
На рисунках 5.6 и 5.7 показано напряжение Мизеса в цементном кольце и
эксплуатационной колонне. На этих рисунках скрыты части цементного кольца
и эксплуатационной колонны, отсеченные вертикальной (𝑥 = 0) и горизонталь­
ной (𝑧 = 2) плоскостями.
На рисунках 5.8 и 5.9 показано напряжение Мизеса в цементном кольце
и эксплуатационной колонне в вертикальном сечении вдоль линии перфора­
ций. Синий цвет соответствует сечению внутренней стенки эксплуатационной
колонны, красный цвет – сечению внутренней стенки цементного кольца на
стыке с эксплуатационной колонной, зеленый цвет – сечению внешней стенки
цементного кольца.
Самое большое напряжение Мизеса наблюдается на внутренней стенке
цементного кольца (рис. 5.8 и 5.9): 63 атм при отсутствии горного бокового дав­
89
а)
б)
Рисунок 5.6 — Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и
эксплуатационной колонны (при отсутствии горного бокового давления,
𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при
наличии трещины ГРП
а)
б)
Рисунок 5.7 — Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и
эксплуатационной колонны (при наличии горного бокового давления,
𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при
наличии трещины ГРП
ления и 200 атм при его наличии. Учет горного бокового давления увеличивает
напряжения Мизеса, но не изменяет качественную картину их распределения.
Поскольку торцы цементного кольца и эксплуатационной колонны закреп­
лены и неподвижны, вблизи координат 𝑧 = 0 и 𝑧 = 3 наблюдается скачок
90
а)
б)
Рисунок 5.8 — Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при
отсутствии горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) –
при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП
а)
б)
Рисунок 5.9 — Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии
горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при
отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП
напряжения Мизеса. Напряжение в цементном кольце существенно выше напря­
жения в эксплуатационной колонне (это связано с тем, что цементное кольцо
имеет меньший модуль Юнга).
Сравнивая части (а) и (б) рисунков 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, можно заметить, что
наличие трещины ГРП не меняет картину пространственного распределения
91
напряжений в цементном кольце и эксплуатационной колонне, но уменьшает
максимальное значение напряжения Мизеса приблизительно на 20 атм.
а)
б)
Рисунок 5.10 — Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии
горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 20 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при
отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП
а)
б)
Рисунок 5.11 — Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии
горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 1 ГПа): (а) – при
отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП
На рисунках 5.10 и 5.11 показаны результаты расчета с уменьшенным за­
бойным давлением добывающей скважины (20 атм) и с уменьшенным модулем
92
а)
б)
Рисунок 5.12 — Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (с учетом
влияния горных тектонических горизонтальных напряжений, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм,
𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии
трещины ГРП
Юнга цементного кольца (1 ГПа). Сравнивания рисунки 5.9 и 5.10, можно за­
метить, что уменьшение забойного давления скважины с 50 до 20 атм приводит
к уменьшению напряжений Мизеса (приблизительно на 10 атм при отсутствии
трещины ГРП и на 20 атм при ее наличии), а уменьшение модуля Юнга цемента
с 5 до 1 ГПа почти не влияет на напряжения Мизеса.
На рисунке 5.12 показаны результаты расчета с увеличенным горным
боковым давлением (в 10 раз, т.е. до 1610 атм) для имитации влияния гор­
ных тектонических горизонтальных напряжений на цементное кольцо. В этом
случае наличие или отсутствие трещины ГРП практически не влияет на напря­
жение цементного кольца и эксплуатационной колонны.
93
5.7
Верификация численной схемы для уравнения упругости
Для верификации численной схемы рассмотрена известная задача дефор­
мации балки под собственной тяжестью [90]:
𝜕σ11 𝜕σ12 𝜕σ13
+
+
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕σ21 𝜕σ22 𝜕σ23
+
+
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕σ31 𝜕σ32 𝜕σ33
+
+
+ ρ𝑔 = 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
σ = λ trace (ε)I + 2µε,
⃗σ𝑛 |Ω = ⃗0,
⃗𝑢|𝑥=0 = ⃗0,
λ = µ = 200,
ρ𝑔 = 0.01,
где I – единичный тензор, λ, µ – коэффициенты Ламе, ρ – плотность материала
балки, 𝑔 – ускорение свободного падения, Ω – внешняя граница балки. Бал­
ка имеет размеры 20x3x1, состоит из изотропного материала и закреплена на
одном конце. На каждую точку балки действует сила тяжести. В отличие от
предыдущих разделов главы, в данном разделе все величины являются без­
размерными.
Проведено сравнение расчета, полученного с помощью разработанного
численного метода, с расчетом в пакете моделирования с открытым исходным
кодом Fenics [90], в котором используется метод конечных элементов. В на­
шем расчете использовалась гексаэдральная сетка, состоящая из 3840 ячеек
кубической формы, а в расчете в Fenics – тетраэдральная сетка, состоящая из
3840 * 6 = 23040 элементов. В обоих случаях использовались ячейки разме­
ром 0.25х0.25х0.25.
Граничное условие ⃗𝑢|𝑥=0 = ⃗0 в нашем расчете заменялось на дискретную
форму, как описано в разделе 5.5, т.е. фиксировались перемещения ⃗𝑢 в ячейках,
примыкающих к границе 𝑥 = 0. А в расчете в Fenics перемещения ⃗𝑢 фиксиро­
вались на вершинах тетраэдров на границе 𝑥 = 0.
На рисунке 5.13 показаны деформированное состояние балки и напряже­
ния Мизеса в каждой точке балки, полученные в двух расчетах. На рисунке 5.14
94
а)
б)
Рисунок 5.13 — Напряжение Мизеса в каждой точке деформированной балки:
(а) – расчет в пакете моделирования Fenics; (б) – наш расчет
Рисунок 5.14 — Напряжение Мизеса в продольном сечении балки в двух
расчетах
изображены напряжения Мизеса в продольном сечении балки. Видно, что мак­
симальная деформация приходится на свободный конец балки (𝑥 = 20), а
максимальное напряжение Мизеса наблюдается вблизи закрепленного конца
балки (𝑥 = 0).
Максимальное отклонение между двумя расчетами возникает на закреп­
ленном конце балки и составляет приблизительно 14% (рис. 5.15). Такое высокое
отклонение можно объяснить различием в способах учета граничного условия
⃗𝑢|𝑥=0 = ⃗0 в двух расчетах. Среднее значение отклонения по всем точкам в
продольном сечении балки составляет 1.6%.
95
Рисунок 5.15 — Абсолютная разница напряжений Мизеса в продольном
сечении балки в двух расчетах
5.8
Заключение
Разработана математическая модель для оценки прочности цементного
кольца скважины с трещиной ГРП под влиянием порового давления пласто­
вой жидкости. Предложен алгоритм решения этой задачи на сетке Вороного
с использованием метода многоточечной аппроксимации напряжений. В ходе
вычислительного эксперимента установлено, что максимальное значение напря­
жения Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и
эксплуатационной колонны, а наличие трещины ГРП может снижать напряже­
ние цементного кольца.
96
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты работы заключаются в следующем.
1. Разработан алгоритм построения двумерной сетки Вороного с
ограничениями, который позволил учесть геометрию пересекающихся разнона­
правленных вертикальных трещин при проведении численного моделирования
фильтрационных течений в подземных пластах.
2. Разработан алгоритм околоскважинного апскейлинга для трещин ГРП
конечной проводимости на сетке Вороного, который позволил повысить точ­
ность численного решения задачи фильтрационного течения не менее чем на
8% по сравнению с методом EDFM.
3. Предложен новый подход к математическому моделированию переноса
трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации, основанный на примене­
нии неструктурированной сетки Вороного и позволяющий повысить качество
интерпретации данных трассерных исследований межскважинного простран­
ства в сравнении с классическим методом интерпретации. Предложенный
способ учитывает наличие перетоков трассера между высокопроницаемыми
каналами и пластом, что позволило получить корректную оценку объема высо­
копроницаемых каналов между скважинами.
4. Разработана математическая модель для оценки прочности цементного
кольца скважины с трещиной ГРП под влиянием порового давления пласто­
вой жидкости. Предложен алгоритм решения этой задачи на сетке Вороного
с использованием метода многоточечной аппроксимации напряжений. В ходе
вычислительного эксперимента установлено, что максимальное значение напря­
жения Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и
эксплуатационной колонны, а наличие трещины ГРП может снижать напряже­
ние цементного кольца.
5. Разработанный программный комплекс позволил выполнить ряд чис­
ленных экспериментов по моделированию фильтрационных течений в пористой
среде, в ходе которых, в частности, выявлено, что блочно-центрированная сет­
ка Вороного в некоторых случаях позволяет получить более точное численное
решение по сравнению с PEBI сеткой.
97
В заключение автор выражает благодарность и большую признательность
научному руководителю Булгаковой Г.Т. за поддержку, помощь, обсужде­
ние результатов и научное руководство. Также автор благодарит коллектив
Уфимского научно-технического центра за предоставленную возможность пуб­
ликации результатов проведенных исследований, Ильясова А.М. за ценные
обсуждения задач теории упругости, Лукащука С.Ю. за конструктивные за­
мечания к работе.
98
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
BEM boundary element method, метод граничных элементов
CVFE control volume finite element, метод контрольных объемов и конечных
элементов
DFM discrete fracture model, дискретная модель трещины
EDFM embedded discrete fracture model, встроенная дискретная модель тре­
щины
FEM finite element method, метод конечных элементов
PEBI perpendicular bisector, серединный перпендикуляр
RAII Resource Acquisition Is Initialization, программная идиома для разде­
ляемых объектов или ресурсов
JSON JavaScript Object Notation, текстовый формат обмена данными
ГРП гидроразрыв пласта
99
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Modeling Reservoir Geometry With Irregular Grids / Z. Heinemann [et al.] //
SPE Symposium on Reservoir Simulation. –– 1989. –– P. 37––54.
2. Palagi, C. L. Use of voronoi grid in reservoir simulation / C. L. Palagi,
K. Aziz // SPE Advanced Technology Series. –– 1994. –– Vol. 2, no. 2. ––
P. 69––77.
3. Мазо, А. Б. Суперэлементный метод численного моделирования разра­
ботки залежей нефти / А. Б. Мазо, К. А. Поташев, Е. И. Калинин //
Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии. —
2013. — т. 1, № 12. — с. 237—243.
4. Полностью неявная схема решения задач трехфазной фильтрации на
неструктурированных сетках в пакете программ НИМФА / О. И. Бутнев
[и др.] // Вестник кибернетики. — 2015. — т. 3, № 19. — с. 56—72.
5. Kim, S. Improving accuracy and flexibility of numerical simulation of geother­
mal heat pump systems using Voronoi grid refinement approach / S. Kim,
G. Bae, K. Lee // Geosciences Journal. –– 2015. –– Vol. 19, no. 3. ––
P. 527––535.
6. An unstructured gridding method for simulating faulted reservoirs populated
with complex wells / X. Y. Ding, L. S. Fung, [et al.] // SPE Reservoir Simula­
tion Symposium. –– Houston, Texas, 2015.
7. Forsyth, P. A. A control volume finite element method for local mesh refine­
ment / P. A. Forsyth // SPE Symposium on Reservoir Simulation. –– Houston,
Texas, 1989.
8. A control volume scheme for flexible grids in reservoir simulation / S. Verma,
K. Aziz, [et al.] // SPE Reservoir Simulation Symposium. –– Dallas, Texas,
1997.
9. Shewchuk, J. R. Sweep algorithms for constructing higher-dimensional con­
strained Delaunay triangulations / J. R. Shewchuk // Annual Symposium on
Computational Geometry: Proceedings of the sixteenth annual symposium on
Computational geometry. –– 2000. –– Vol. 12, no. 14. –– P. 350––359.
100
10. Shewchuk, J. R. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh gener­
ation / J. R. Shewchuk // Computational Geometry. –– 2002. –– Vol. 22,
no. 1––3. –– P. 21––74.
11. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и её применение / А. В. Скворцов. —
Томск : Издательство Томского университета, 2002. — 128 с.
12. Автоматизированные технологии построения неструктурированных рас­
четных сеток. т. 4 / Ю. В. Василевский [и др.]. — Москва : Физматлит,
2016. — 216 с.
13. Bowyer, A. Computing dirichlet tessellations / A. Bowyer // The computer
journal. –– 1981. –– Vol. 24, no. 2. –– P. 162––166.
14. Joe, B. Construction of three-dimensional Delaunay triangulations using local
transformations / B. Joe // Computer Aided Geometric Design. –– 1991. ––
Vol. 8, no. 2. –– P. 123––142.
15. Edelsbrunner, H. Incremental topological flipping works for regular triangula­
tions / H. Edelsbrunner, N. R. Shah // Algorithmica. –– 1996. –– Vol. 15,
no. 3. –– P. 223––241.
16. Lo, S. H. Finite element mesh generation / S. H. Lo. –– 1st ed. –– CRC Press,
2014. –– 672 p.
17. Frey, P. Mesh generation: application to finite elements / P. Frey,
P. L. George. –– 2nd ed. –– Wiley-ISTE Press, 2008. –– 848 p.
18. Efficient computation of clipped voronoi diagram for mesh generation / D. Yan
[et al.] // Computer-Aided Design. –– 2013. –– Vol. 45, no. 4. –– P. 843––852.
19. Lu, L. Centroidal Voronoi tessellation of line segments and graphs / L. Lu,
B. Lévy, W. Wang // Computer Graphics Forum. –– 2012. –– Vol. 31, 2pt4. ––
P. 775––784.
20. Tournois, J. 2D centroidal Voronoi tessellations with constraints / J. Tournois,
P. Alliez, O. Devillers // Numerical Mathematics: Theory, Methods and Ap­
plications. –– 2010. –– Vol. 3, no. 2. –– P. 212––222.
21. Efficient and accurate reservoir modeling using adaptive gridding with global
scale up / L. V. Branets [et al.] // Proceedings of SPE Reservoir Simulation
Symposium. –– 2009.
101
22. Dynamic Data Analysis. Vol. 5.20 / O. Houzé, D. Viturat, O. S. Fjaere,
[et al.]. –– 1st ed. –– Kappa Engineering, 2019. –– 757 p.
23. Berge, R. L. Unstructured pebi grids adapting to geological feautres in sub­
surface reservoirs : Master’s thesis / Berge R. L. –– Norwegian University of
Science, Technology, 2016.
24. Berge, R. L. Unstructured Voronoi grids conforming to lower dimensional
objects / R. L. Berge, Ø. S. Klemetsdal, K.-A. Lie // Computational Geo­
sciences. –– 2019. –– Vol. 23, no. 1. –– P. 169––188.
25. Воропинов, А. А. Построение трехмерной сетки на основе диаграммы
Вороного в невыпуклых областях / А. А. Воропинов, С. С. Соколов,
А. К. Шмелева // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математиче­
ское моделирование физических процессов. — 2018. — № 2. — с. 40—54.
26. Fitting voronoi diagrams to planar tesselations / G. Aloupis [et al.] // Pro­
ceedings of International Workshop on Combinatorial Algorithms. –– 2013. ––
P. 349––361.
27. On the construction of generalized voronoi inverse of a rectangular tessellation /
S. Banerjee [et al.] // Ninth International Symposium on Voronoi Diagrams in
Science and Engineering. –– New Brunswick, NJ, 2012. –– P. 132––137.
28. A seed placement strategy for conforming voronoi meshing / A. Abdelkader
[et al.] // Proceedings of Canadian Conference on Computational Geometry. ––
2017. –– P. 95––100.
29. VoroCrust: Voronoi meshing without clipping / A. Abdelkader [et al.] // arXiv
preprint arXiv:1902.08767. –– 2019.
30. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with
nonsquare grid blocks and anisotropic permeability / D. W. Peaceman
[et al.] // Society of Petroleum Engineers Journal. –– 1983. –– Vol. 23, no. 03. ––
P. 531––543.
31. Analytical well models for reservoir simulation / J. H. Abou-Kassem, K. Aziz,
[et al.] // Society of Petroleum Engineers Journal. –– 1985. –– Vol. 25, no. 04. ––
P. 573––579.
102
32. Каневская, Р. Опыт моделирования и мониторинга разработки нефтяного
месторождения в условиях массового проведения гидроразрыва пласта /
Р. Каневская, С. Жучков // Технологии нефти и газа. — 2011. — т. 4,
№ 75. — с. 41—47.
33. Mascarenhas, O. Coarse scale simulation of horizontal wells in heterogeneous
reservoirs / O. Mascarenhas, L. Durlofsky // Journal of Petroleum Science and
Engineering. –– 2000. –– Vol. 25, no. 3/4. –– P. 135––147.
34. Мазо, А. Б. Апскейлинг абсолютной проницаемости для суперэлементной
модели разработки нефтяного пласта / А. Б. Мазо, К. А. Поташев // Ма­
тематическое моделирование. — 2017. — т. 29, № 6. — с. 89—102.
35. Киреев, Т. Ф. Построение диаграммы Вороного с ограничениями на плос­
кости / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вычислительные технологии. —
2019. — т. 24, № 4. — с. 28—37.
36. Киреев, Т. Ф. Процедура апскейлинга для моделирования скважин с тре­
щинами гидроразрыва пласта [Near-well upscaling to simulate wells with
hydraulic fractures] / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Математическое
моделирование [Mathematical models and computer simulations]. — 2019. —
№ 3. — с. 97—108.
37. Kireev, T. F. Flow-Based Upscaling for Voronoi Grid near a Hydraulic Frac­
ture / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // 21st International Workshop on
Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019). Vol. 3. –– At­
lantis Press, 2019.
38. Киреев, Т. Ф. Интерпретация трассерных исследований с помощью
дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вычис­
лительная механика сплошных сред. — 2018. — т. 11, № 3. — с. 252—262.
39. Kireev, T. F. Modeling of stress state of a perforated cement sheath in a pro­
duction well / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // Journal of Physics: Conference
Series (JPCS). –– Bratislava, Slovakia : IOP Publishing, 2019.
40. Киреев, Т. Ф. Моделирование напряженного состояния перфорированного
цементного кольца, примыкающего к скважине с трещиной гидроразыва
пласта / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.
Физ.-мат. науки. — 2019. — т. 23, № 4. — с. 777—788.
103
41. Киреев, Т. Ф. Программа для построения двумерной расчетной сетки Во­
роного / Т. Ф. Киреев // Свидетельство о государственной регистрации
программы для ЭВМ № 2019615495 от 24.05.2019. — 2019.
42. Киреев, Т. Ф. Программа для интерпретации трассерных исследований
с помощью дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев // Свидетель­
ство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019615494
от 24.05.2019. — 2019.
43. Киреев, Т. Ф. Моделирование полимерного заводнения с использованием
сетки Вороного / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмуллин // Вы­
числительная механика сплошных сред. — 2018. — т. 11, № 1. — с. 15—24.
44. Киреев, Т. Ф. Моделирование притока к трещине гидроразрыва пласта
с помощью процедуры апскейлинга / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова //
Тезисы докладов IX Всероссийской конференции «Актуальные проблемы
прикладной математики и механики» с международным участием, посвя­
щенная памяти академика А.Ф. Сидорова. — Абрау-Дюрсо : Екатеринбург:
ИММ УрО РАН, 2018. — с. 40.
45. Kireev, T. F. Near-well upscaling for coarse scale simulation of finite conductiv­
ity fractures / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // Proceedings of International
Conference on mathematics and mechanics, ICMM2018. –– Vienna, Austria,
2018. –– P. 32.
46. Киреев, Т. Ф. Применение неструктурированной сетки Вороного для чис­
ленного решения задач фильтрации / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова //
XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической
и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 2: Механика жидко­
сти и газа. — Уфа : Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. — с. 1208—1210.
47. Kireev, T. F. Mathematical modeling of polymer flooding using the unstruc­
tured Voronoi grid / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova, I. F. Khatmullin // Journal
of Physics: Conference Series (JPCS). Vol. 936. –– Paphos, Cyprus : IOP Pub­
lishing, 2017. –– P. 012001.
48. Киреев, Т. Ф. Математическое моделирование полимерного заводнения
нефтяных пластов / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмуллин //
104
Сборник тезисов XXIV Международной конференции «Математика. Ком­
пьютер. Образование». т. 24. — Пущино : Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2017. — с. 193.
49. Киреев, Т. Ф. Интерпретация трассерных исследований с помощью
дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмул­
лин // Тезисы докладов Второй всероссийской летней школы-конференции
«Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения». — Уфа :
Уфа: БашАльфаПринт, 2018. — с. 57.
50. Aurenhammer, F. Voronoi diagrams—a survey of a fundamental geometric
data structure / F. Aurenhammer // ACM Computing Surveys (CSUR). ––
1991. –– Vol. 23, no. 3. –– P. 345––405.
51. Use of irregular grid in reservoir simulation / E. Nacul, K. Aziz, [et al.] // SPE
Annual Technical Conference and Exhibition. –– 1991.
52. Wu, X. H. Effect of grid deviation on flow solutions / X. H. Wu,
R. R. Parashkevov // SPE Reservoir Simulation Symposium. –– 2005.
53. Nikitin, K. A monotone nonlinear finite volume method for diffusion equations
and multiphase flows / K. Nikitin, K. Terekhov, Y. Vassilevski // Computa­
tional Geosciences. –– 2013. –– Vol. 18. –– P. 311––324.
54. Forsyth, P. A. Quadratic convergence for cell-centered grids / P. A. Forsyth,
P. H. Sammon // Applied Numerical Mathematics. –– 1988. –– Vol. 4. ––
P. 377––394.
55. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз,
Э. Сеттари. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2004. — 416 с.
56. Chang, H. L. Polymer Flooding Technology - Yesterday, Today, and Tomor­
row / H. L. Chang // Journal of Petroleum Technology. –– 1978. –– Vol. 30,
no. 8. –– P. 1113––1128.
57. Bondor, P. Mathematical Simulation of Polymer Flooding in Complex Reser­
voirs / P. Bondor, G. Hirasaki, M. Tham // Society of Petroleum Engineers
Journal. –– 1972. –– Vol. 12, no. 5. –– P. 369––382.
58. Clifford, P. The Effects of Chemical Degradation on Polymer Flooding / P. Clif­
ford, K. Sorbie // SPE Oilfield and Geothermal Chemistry Symposium. ––
Phoenix, Arizona,
105
59. Modeling and Upscaling Unstable Water and Polymer Floods: Dynamic Char­
acterization of the Effective Finger Zone / H. Luo [et al.] // SPE Improved Oil
Recovery Conference. –– Tulsa, Oklahoma, 2016.
60. Кудрявцев, Л. Курс математического анализа. т. 2 / Л. Кудрявцев. —
5-е изд. — 2003. — 720 с.
61. Cardwell, W. Average Permeabilities of Heterogeneous Oil Sands / W. Card­
well, R. Parsons // Transactions of the AIME. –– 1945. –– Vol. 160, no. 1. ––
P. 34––42.
62. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — 2-е изд. — БХВ­
Петербург, 2011. — 592 с.
63. Corey, A. The interrelation between gas and oil relative permeabilities /
A. Corey // Producers monthly. –– 1954. –– Vol. 19, no. 1. –– P. 38––41.
64. Estimation of three-phase relative permeability and residual oil data / H. Stone
[et al.] // Journal of Canadian Petroleum Technology. –– 1973. –– Vol. 12,
no. 04.
65. OPM Flow [электронный ресурс]. — 2017. — URL: http://opm-project.org
(дата обр. 23.10.2017).
66. Matthews, C. S. Pressure buildup and flow tests in wells. т. 1 / C. S. Matthews,
D. G. Russell. — Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, 1967.
67. Karimi-Fard, M. An Efficient Discrete Fracture Model Applicable for General
Purpose Reservoir Simulators / M. Karimi-Fard, L. Durlofsky, K. Aziz // SPE
Journal, SPE-88812-PA. –– 2004. –– Vol. 9, no. 02. –– P. 227––236.
68. Development of a novel and computationally-efficient discrete-fracture model
to study IOR processes in naturally fractured reservoirs / A. Moinfar [et al.] //
SPE Improved Oil Recovery Symposium. –– Tulsa, Oklahoma, USA, 2012.
69. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir
through discrete fracture networks and homogenized media / L. Li, S. H. Lee,
[et al.] // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. –– 2008. –– Vol. 11,
no. 04. –– P. 750––758.
70. Wolfsteiner, C. Calculation of well index for nonconventional wells on ar­
bitrary grids / C. Wolfsteiner, L. J. Durlofsky, K. Aziz // Computational
Geosciences. –– 2003. –– Vol. 7, no. 1. –– P. 61––82.
106
71. Ding, D. Y. Efficient simulation of hydraulic fractured wells in unconventional
reservoirs / D. Y. Ding, Y. Wu, L. Jeannin // Journal of Petroleum Science
and Engineering. –– 2014. –– Vol. 122. –– P. 631––642.
72. Simulation of Deviated Wells Using 3D Unstructured Grids of Flexible Reso­
lution / V. Artus, D. Fructus, O. Houzé, [et al.] // SPE Reservoir Simulation
Conference. –– Montgomery, Texas, USA, 2017.
73. A coupled local–global upscaling approach for simulating flow in highly het­
erogeneous formations / Y. Chen [et al.] // Advances in Water Resources. ––
2003. –– Vol. 26, no. 10. –– P. 1041––1060.
74. Accurate resolution of near-well effects in upscaled models using flow-based
unstructured local grid refinement / M. Karimi-Fard, L. Durlofsky, [et al.] //
SPE Journal. –– 2012. –– Vol. 17, no. 04. –– P. 1––084.
75. Чернокожев, Д. Совершенствование технологии индикаторных иссле­
дований для оценки фильтрационной неоднородности межскважинного
пространства нефтяных пластов : дис. . . . канд. / Чернокожев Д.А. —
Дубна : Дисс. . . канд. техн. наук: 25.00.10, 07.2008. — 141 с.
76. Соколовский, Э. Индикаторные методы изучения нефтегазоносных пла­
стов / Э. Соколовский, Г. Соловьев, Ю. Тренчиков. — Москва : Недра,
1986. — 157 с.
77. Регулирование фильтрационных потоков водоизолирующими технологи­
ями при разработке нефтяных месторождений / В. Захаров [и др.]. —
Москва : РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2010. — 225 с.
78. Abbaszadeh-Dehghani, M. Analysis of well-to-well tracer flow to determine
reservoir layering / M. Abbaszadeh-Dehghani, W. Brigham // Journal of
Petroleum Technology. –– 1984. –– Vol. 36, no. 10. –– P. 1753––1762.
79. Agca, C. Modeling and analysis of tracer flow in oil reservoirs / C. Agca,
G. Pope, K. Sepehrnoori // Journal of Petroleum Science and Engineering. ––
1990. –– Vol. 4, no. 1. –– P. 3––19.
80. Ильясов, А. Моделирование течения вязкой жидкости в магистральной
вертикальной трещине с проницаемыми стенками / А. Ильясов, Г. Булга­
кова // Математическое моделирование. — 2016. — т. 28, № 7. — с. 65—80.
81. Nelder, J. A simplex method for function minimization / J. Nelder, R. Mead //
The Computer Journal. –– 1965. –– Vol. 7, no. 4. –– P. 308––313.
107
82. Межецкий, Г. Сопротивление материалов: учебник / Г. Межецкий, Г. За­
гребин, Н. Решетник. — Москва : Дашков и К, 2016. — 432 с.
83. Щербо, А. Г. Основы теории упругости и пластичности: учеб.-метод.
комплекс для студентов спец. «Промышленное и гражданское строитель­
ство» / А. Г. Щербо. — Новополоцк : ПГУ, 2008. — 240 с.
84. Nordbotten, J. M. Cell-centered finite volume discretizations for deformable
porous media / J. M. Nordbotten // International Journal for Numerical Meth­
ods in Engineering. –– 2014. –– Vol. 100, no. 6. –– P. 399––418.
85. Keilegavlen, E. Finite volume methods for elasticity with weak symmetry /
E. Keilegavlen, J. M. Nordbotten // International Journal for Numerical Meth­
ods in Engineering. –– 2017. –– Vol. 112, no. 8. –– P. 939––962.
86. Ertekin, T. Basic applied reservoir simulation / T. Ertekin, J. Abou-Kassem,
G. King. –– Richardson : Society of Petroleum Engineers, 2001. –– 406 p. ––
(SPE Textbook Series).
87. Ильясов, А. Моделирование прочности водоизолирующих барьеров в по­
ристых пластах / А. Ильясов, Т. Киреев, Г. Булгакова // Прикладная
механика и техническая физика. — 2019. — т. 60, № 5. — с. 184—193.
88. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехниц­
кий. — Москва : Наука, 1977. — 416 с.
89. Овсянников, Л. Введение в механику сплошных сред. Часть 1: общее вве­
дение / Л. Овсянников. — Новосибирск, 1976. — 75 с.
90. The FEniCS Project Version 1.5 / M. S. Alnaes [et al.] // Archive of Numerical
Software. –– 2015. –– Vol. 3, no. 100.
108
СПИСОК РИСУНКОВ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Примеры диаграмм Вороного с ограничением. Серыми и черными
линиями показаны ребра диаграммы, синими точками – узлы
диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Иллюстрация к алгоритму 1. Серыми и черными линиями
показаны ребра диаграммы, синими точками – узлы диаграммы . .
Ограничение. Черными линиями показаны ребра ограничения . . .
Диаграмма Вороного с ограничением. Черными линиями показаны
ребра диаграммы, синими точками – узлы диаграммы . . . . . . .
Сетка для прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сетка для невыпуклой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Окно программного модуля трехфазной фильтрации . . . . . . . .
.
16
.
.
17
19
.
.
.
.
19
21
21
23
Разбиение куба на тетраэдры (изображение:
www.ics.uci.edu/ eppstein/projects/tetra) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трехмерная ячейка Вороного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вычисление потока между ячейками сетки . . . . . . . . . . . . . . .
Зависимость эффективной вязкости воды µ𝑤_𝑒𝑓 𝑓 в численном
эксперименте от локальных концентраций полимера 𝐶𝑝 и соли 𝐶𝑠 . .
Конфигурации сеток и распределение пластового давления на 60-м
месяце заводнения: гексагональная локально измельченная сетка
Вороного (а–в) и прямоугольная локально измельченная сетка (г–е)
с количеством ячеек: (а) – 178, (б) – 491, (в) – 2332, (г) – 185, (д) –
505, (е) – 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дебит нефти 𝑄𝑜 , рассчитанный на локально измельченной
прямоугольной сетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дебит нефти 𝑄𝑜 , рассчитанный на гексагональной локально
измельченной сетке Вороного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распределение водонасыщенности на 80-м месяце заводнения; (а) –
прямоугольная сетка с 2601 ячейкой, (б) – гексагональная локально
измельченная сетка Вороного с 2678 ячейками . . . . . . . . . . . . .
25
25
32
37
38
39
39
39
109
2.9
К сопоставлению полученных результатов с данными,
рассчитанными в симуляторах: (а), (б) – дебиты нефти; (в), (г) –
абсолютное отклонение полученного дебита от дебитов в Eclipse и
OPM Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 PEBI сетка. Зеленым цветом изображен отрезок, соединяющий
узлы 𝑈 и 𝑉 двух ячеек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Сетка Вороного с радиальным измельчением и два варианта
расположения узлов: (а) – узлы PEBI сетки, (б) – узлы
блочно-центрированной сетки. Узлы обозначены зелеными
точками, а точки пересечения серединных перпендикуляров к
ребрам – черными точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Погрешность численного решения задачи однофазной фильтрации
на двух сетках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
.
41
.
42
.
43
.
44
Расположение узловых точек для построения мелкой расчетной
сетки около трещины ГРП. Узловые точки изображены серым
цветом. Черной линией обозначена трещина ГРП . . . . . . . . . . .
Часть мелкой расчетной сетки около трещины ГРП. Узловые точки
пластовых ячеек изображены серым цветом. Узловые точки ячейки
трещины изображены черным цветом. Черными линиями
изображены грани пластовых ячеек. Пунктирная линия
представляет собой одновременно грань между двумя пластовыми
ячейками и ячейку трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Часть грубой расчетной сетки около трещины ГРП. Все
обозначения аналогичны обозначениям на рис. 3.2, за исключением
того, что пунктирная линия теперь не является гранью между
ячейками, а изображает только ячейки трещины ГРП. Узловые
точки грубых ячеек, через которые проходит трещина,
геометрически совпадают с узловыми точками ячеек трещины . . . .
Проницаемость пласта (указаны значения проницаемости в ячейках
мелкой сетки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Мелкая сетка (слева) и крупная сетка (справа). В левом нижнем
углу расположена добывающая скважина, а в правом верхнем
углу – нагнетательная скважина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
53
54
54
110
3.6
3.7
3.8
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Давление, полученное с помощью решения двух локальных задач
на мелкой сетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
К вычислению проводимости между ячейкой трещины и пластовой
ячейкой в варианте расчета 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дебиты нефти и воды в трех вариантах расчета: черная линия –
мелкая сетка (эталонное решение); красная линия – крупная сетка
(апскейлинг); синяя линия – крупная сетка (линейная формула) . . .
Расчетная сетка для пласта с трещиной: (а) – сетка вокруг
трещины, (б) – увеличенное изображение сетки вблизи трещины
(серым цветом обозначены ячейки трещины, черными стрелками –
возможные направления течения воды и трассера между ячейками)
Расчетная сетка для пласта с трещиной, проходящей между двумя
скважинами: (а) – сетка вокруг трещины и скважин, (б) –
схематическое изображение соединения забоя скважины с
несколькими трещинами (серым цветом обозначены ячейки
трещин, черным – ячейка забоя скважины) . . . . . . . . . . . . . . .
Сетки для верификации: (а) – для расчета по предложенной
модели, (б) – для расчета в коммерческом симуляторе;
горизонтальная линия в центре – трещина, соединяющая две
скважины; перекрестные сгущения линий на рисунке (б)
образованы локальным измельчением сетки . . . . . . . . . . . . . .
Кривые отклика из расчетов по предложенной модели и с помощью
коммерческого симулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Расчетная сетка для исследования корректности обратной задачи.
Цифрами указаны номера скважин, жирными линиями обозначены
трещины, черными кругами – добывающие скважины, черным
кругом со стрелками – нагнетательная скважина . . . . . . . . . . .
Кривые отклика при исследовании корректности обратной задачи . .
Расчетная сетка и взаимное расположение скважин для расчета на
опытном участке пласта; цифрами обозначены номера скважин,
жирными линиями – трещины, черными точками – добывающие
скважины, черной точкой со стрелками – нагнетательная скважина .
Фактические и модельные кривые отклика на трех добывающих
скважинах, полученные из расчета на опытном участке пласта . . .
55
56
56
62
63
63
64
66
66
68
69
111
4.9
Поле водонасыщенности в двухфазном расчете после 500 суток
заводнения при различной проницаемости трещины, Дарси: (а) –
500; (б) – 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Динамика обводненности добывающей скважины в двухфазном
расчете для двух значений проницаемости трещины . . . . . . . . . .
4.11 Пластовое давление в двухфазном расчете при проницаемости
трещины, близкой к бесконечной; вертикальная координата каждой
точки поверхности отвечает давлению в этой точке . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Цементное кольцо и эксплуатационная колонна. Голубым цветом
закрашена внешняя стенка цементного кольца, зеленым –
внутренняя стенка эксплуатационной колонны, красным – стенки
перфораций, серым – торцы цементного кольца и эксплуатационной
колонны, желтым – трещина ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Несколько ячеек, инцидентных вершине 𝑣. Ребра ячеек изображены
черными отрезками. Мини-ячейка (𝑖,𝑣) закрашена серым цветом . .
Двумерная сетка Вороного с локальным измельчением вблизи двух
скважин. 1 – нагнетательная скважина, 2 – добывающая скважина .
Распределение давления пластовой жидкости (атм) вблизи
добывающей скважины (𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм) при наличии (а) и при
отсутствии (б) трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Перемещение (мкм) точек цементного кольца и эксплуатационной
колонны вдоль горизонтальной оси (при наличии трещины ГРП,
𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при наличии горного
бокового давления, (б) – при отсутствии горного бокового давления .
Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и
эксплуатационной колонны (при отсутствии горного бокового
давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии
трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП . . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и
эксплуатационной колонны (при наличии горного бокового
давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии
трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП . . . . . . . . . . . .
71
72
73
78
81
87
87
88
89
89
112
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при
отсутствии горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5
ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии
трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при
наличии горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5
ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии
трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при
наличии горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 20 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5
ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии
трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при
наличии горного бокового давления, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 1
ГПа): (а) – при отсутствии трещины ГРП, (б) – при наличии
трещины ГРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного
кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (с
учетом влияния горных тектонических горизонтальных
напряжений, 𝑝𝑤𝑒𝑙𝑙 = 50 атм, 𝐸𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 5 ГПа): (а) – при отсутствии
трещины ГРП, (б) – при наличии трещины ГРП . . . . . . . . . . .
Напряжение Мизеса в каждой точке деформированной балки: (а) –
расчет в пакете моделирования Fenics; (б) – наш расчет . . . . . .
Напряжение Мизеса в продольном сечении балки в двух расчетах
Абсолютная разница напряжений Мизеса в продольном сечении
балки в двух расчетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
90
.
90
.
91
.
91
.
92
.
.
94
94
.
95
113
СПИСОК ТАБЛИЦ
1
Основные параметры задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Параметры трещин, полученные в ходе исследования корректности
обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Параметры каналов НФС, вычисленные с помощью классического
метода по формулам (4.1) и (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели
трещины (без перетоков между трещиной и пластом) . . . . . . . .
Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели
трещины (с перетоками между трещиной и пластом) . . . . . . . .
3
4
5
36
.
67
.
68
.
70
.
70
114
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ
ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ «ПРОГРАММА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ
ДВУМЕРНОЙ РАСЧЕТНОЙ СЕТКИ ВОРОНОГО»
115
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ
ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ «ПРОГРАММА ДЛЯ
ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТРАССЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ С
ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ТРЕЩИНЫ»
СВИДЕТЕЛЬСТВО
о rосударственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2019616557
,