.Å. Èâàíîâ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ
ÀÍÀËÈÇÓ
×àñòü 2
Èâàíîâ
.Å., 2016
ëàâà 16.
Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ëàâà 13.
ÝÊÑÒPÅÌÓÌÛ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅPÅÌÅÍÍÛÕ
1. Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ëàâà 14.
4
ÊÀÒÍÛÉ ÈÍÒÅ
ÀË
5
5
9
18
1. Êðàòíûé èíòåãðàë èìàíà. Îãðàíè÷åííîñòü èíòåãðèðóåìîé óíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Ñâîéñòâà êðàòíîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . .
3. Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó . . . . . . .
4. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìîäóëÿ ÿêîáèàíà . . . . . . . . .
5. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå . . . . . . . .
6. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë çíàêà ÿêîáèàíà îòîáðàæåíèÿ . .
7. Ôîðìóëà ðèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
20
26
30
39
45
48
ÏÎÂÅÕÍÎÑÒÍÛÅ ÈÍÒÅ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ÀËÛ
Îïðåäåëåíèÿ ïîâåðõíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà . . . . . . . . . .
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà . . . . . . . . . .
Îïåðàòîð àìèëüòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà . . . . . . . . . . . . .
Ôîðìóëà Ñòîêñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà
îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Äèåðåíöèàëüíûå îðìû è îáùàÿ òåîðåìà Ñòîêñà .
2
54
54
61
65
69
72
78
83
88
93
Îïðåäåëåíèå pÿäà Ôópüå ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå . .
Òåîðåìà èìàíà îá îñöèëëÿöèè . . . . . . . . . . . . . .
Ñõîäèìîñòü pÿäà Ôópüå â òî÷êå . . . . . . . . . . . . . .
Ïî÷ëåííîå äèåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå
pÿäà Ôópüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Ïîðÿäîê óáûâàíèÿ êîýèöèåíòîâ Ôópüå è îñòàòêà
pÿäà Ôópüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Ñóììèðîâàíèå pÿäà Ôópüå ìåòîäîì ñðåäíèõ
àðèìåòè÷åñêèõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Ïðèáëèæåíèÿ íåïðåðûâíûõ óíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè . .
8. Ïðîñòðàíñòâà C[a, b], RL1 [a, b], RL2 [a, b] . . . . . . . . .
9. Ïîëíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Ñõîäèìîñòü pÿäà Ôópüå â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû .
11. Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, ðàâåíñòâî Ïàpñåâàëÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . .
12. Çàìêíóòûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ëàâà 17.
ÈÍÒÅ
PÀËÛ,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
93
99
102
109
111
113
117
119
125
130
135
138
ÇÀÂÈÑßÙÈÅ
ÎÒ ÏÀPÀÌÅÒPÀ
Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà .
àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà
Ýéëåðîâû èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èíòåãðàë Ôópüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå . . . . . . . . . . . . . . . . .
ëàâà 18.
ëàâà 15.
ßÄÛ ÔÓPÜÅ
1.
2.
3.
4.
141
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
141
144
148
153
155
160
ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
171
Ïðîñòðàíñòâî D îñíîâíûõ (ïðîáíûõ) óíêöèé . . . . .
Ïðîñòðàíñòâî D ′ îáîáùåííûõ óíêöèé . . . . . . . . .
Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå D ′ . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííîé óíêöèè íà áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìóþ óíêöèþ. Ïðîèçâîäíàÿ
îáîáùåííîé óíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà S è S ′ . . . . . . . . . . . . . . .
6. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáîáùåííûõ óíêöèé . . . . . .
171
172
176
1.
2.
3.
4.
177
180
183
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3
Ïðåäèñëîâèå
Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ëåêöèé, ÷èòàåìûõ
àâòîðîì ñòóäåíòàì âòîðîãî êóðñà Ìîñêîâñêîãî èçèêî-òåõíè÷åñêîãî
èíñòèòóòà (ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà).
Ñîäåðæàíèå ìàòåðèàëà ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êàåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè ÌÔÒÈ ( Ó).
Àâòîð âûðàæàåò èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü êîëëåãàì è ñòóäåíòàì, âûñêàçàâøèì öåííûå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ, à òàêæå îáíàðóæèâøèì îïå÷àòêè â ëåêöèÿõ.
ëàâà 13
ÝÊÑÒPÅÌÓÌÛ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅPÅÌÅÍÍÛÕ
1.
Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì
Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X ⊂ Rn çàäàíà óíêöèÿ
f : X → R. Òî÷êà x0 ∈ X íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñòðîãîãî ëîêàëüíîãî
ìèíèìóìà (ìàêñèìóìà) óíêöèè f íà ìíîæåñòâå X , åñëè
\
o
∃δ > 0 : ∀x ∈ U δ (x0 ) X ֒→ f (x0 ) < (>)f (x).
Îïpåäåëåíèå.
Åñëè çäåñü ñòðîãîå íåðàâåíñòâî çàìåíèòü íåñòðîãèì, òî ïîëó÷èòñÿ
îïðåäåëåíèå íåñòðîãîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ìàêñèìóìà). Òî÷êè
ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà.
Ïóñòü x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà åñëè x0 ∈ int X , òî x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f ; åñëè x0 ∈ ∂X ,
òî x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f .
Îïpåäåëåíèå.
x0 òî÷êà ñòðîãîãî áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà óíêöèè f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Ëåììà 1.
o
∃δ > 0 : ∀x ∈ U δ (x0 ) ֒→ f (x0 ) < f (x).
Ïóñòü x0 òî÷êà ñòðîãî áåçóñëîâíîãî ëîo
T
êàëüíîãî ìèíèìóìà óíêöèè f . Òîãäà ∃δ1 > 0 : ∀x ∈ U δ1 (x0 ) X ֒→
֒→ f (x0 ) < f (x). Ïîñêîëüêó x0 ∈ int X , òî ∃δ2 > 0 : Uδ2 (x0 ) ⊂ X .
Îïðåäåëèì δ = min{δ1 , δ2 }. Òîãäà ∀x ∈ Uδ (x0 ) ֒→ f (x0 ) < f (x). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Óòâåðæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ëåììå 1, ñïðàâåäëèâû è äëÿ ìàêñèìóìà, è äëÿ íåñòðîãèõ ýêñòðåìóìîâ. Èíûìè ñëîâàìè, â îïðåäåëåíèè
áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà ìíîæåñòâî X óêàçûâàòü íå íóæíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òåîpåìà 1. (Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.) Ïóñòü óíêöèÿ
f (x) îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ∈ Rn è äèåðåíöèðóåìà
4
5
â òî÷êå x0 . Åñëè x0 òî÷êà áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà
óíêöèè f , òî grad f (x0 ) = 0.
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû âåêòîðà grad f (x ) =
∂f
0
= 0 ðàâíû ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì ∂xi (x ), òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü,
∂f
÷òî ∂x
(x0 ) = 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå i ∈
i
∈ {1, . . . , n} è ðàññìîòðèì óíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé ϕ(xi ) =
= f (x01 , . . . , x0i−1 , xi , x0i+1 , . . . , x0n ). Ïîñêîëüêó x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f , òî x0i òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà
óíêöèè ϕ(xi ). Â ñèëó òåîðåìû Ôåðìà ϕ′ (x0i ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
∂f
0
′ 0
∂xi (x ) = ϕ (xi ) = 0.
Îïpåäåëåíèå.
öèîíàðíîé òî÷êîé
Åñëè grad f (x0 ) = 0, òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ñòàóíêöèè f .
Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè ýêñòðåìóìà óíêöèè ÿâëÿþòñÿ
åå ñòàöèîíàpíûìè òî÷êàìè. Îáðàòíîå íåâåðíî. Íàïðèìåð, äëÿ óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé f (x) = x3 òî÷êà x0 = 0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé, íî íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà.
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà â
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ∈ Rn (ò. å. ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè f
äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî íåïðåðûâíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè
x0 ). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îðìóëà Òåéëîðà (ãëàâà 6, 11,
òåîðåìà 2):
1
f (x) − f (x0 ) = df (x0 ) + d2 f (x0 ) + o(|∆x|2 )
2
ïðè ∆x → 0.
×åðåç fx′ (x0 ) îáîçíà÷èì ñòðîêó ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, êîîðäèíàòíóþ ñòðîêó âåêòîðà ãðàäèåíòà:
∂f 0
∂f 0
′
(x ) · · ·
(x ) ,
fx (x0 ) =
∂x1
∂xn
′′
à ÷åðåç fxx
(x0 ) ìàòðèöó ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà:
2
2
∂ f
(x0 )
∂x1 ∂x1
′′
···
fxx
(x0 ) =
∂2f
(x0 )
∂x1 ∂xn
···
···
···
6
∂ f
(x0 )
∂xn ∂x1
···
∂2f
(x0 )
∂xn ∂xn
.
Ïîñêîëüêó äëÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè f ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà
′′
äèåðåíöèðîâàíèÿ, òî fxx
(x0 )
ñèììåòðè÷åñêàÿ
ìàòðèöà.
x1 − x01
Ïîëàãàÿ dx = ∆x = x − x0 = · · · , ∆f = f (x) − f (x0 ),
xn − x0n
ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà
n
X
∂f 0
(x ) dxi = fx′ (x0 ) dx,
df (x ) =
∂x
i
i=1
0
d2 f (x0 ) =
n X
n
X
i=1 j=1
∂2f
′′
(x0 ) dxi dxj = (dx)T fxx
(x0 ) dx.
∂xi ∂xj
(1)
Èç îðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé äèåðåíöèàë óíêöèè f
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé îðìîé îòíîñèòåëüíî âåêòîðà dx.
Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(x) = xT M x íàçûâàåòñÿ
1) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè k(x) > 0 ∀x 6= 0;
2) îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè k(x) < 0 ∀x 6= 0;
3) çíàêîíåîïðåäåëåííîé, åñëè ∃x1 , x2 ∈ Rn : k(x1 ) > 0, k(x2 ) < 0.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(x) = xT M x îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà −k(x) = xT (−M ) x
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Äëÿ ïðîâåðêè ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé îðìû óäîáíî èñïîëüçîâàòü
êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ îðìà çíàêîíåîïðåäåëåíà, ïðîâîäÿò ïî îïðåäåëåíèþ.
Ëåììà 2.
äåëåíà, òî
Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(x) ïîëîæèòåëüíî îïðå∃λ > 0 : ∀x ∈ Rn ֒→ k(x) ≥ λ|x|2 .
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ k(x) = xT M x íåïðåðûâíà, à åäèíè÷íàÿ ñåðà S = {x ∈ Rn : |x| = 1} îãðàíè÷åíà è çàìêíóòà, ò. å. ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, òî ñóùåñòâóåò min k(x) = λ. Èç ïîëîÄîêàçàòåëüñòâî.
x∈S
æèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé îðìû k(x) ñëåäóåò, ÷òî
λ > 0. Èç îïðåäåëåíèÿ ìèíèìóìà ïîëó÷àåì, ÷òî ∀e
x ∈ S ֒→ k(e
x) ≥ λ.
Åñëè x = 0, òî k(x) = 0, è íåðàâåíñòâî k(x) ≥ λ|x|2 âûïîëíÿåòñÿ.
x
e = |x|
x) ≥ λ, k(x) =
Åñëè x 6= 0, òî x
∈ S , ñëåäîâàòåëüíî, k(e
T
2 T
2
2
= x M x = |x| x
e Mx
e = |x| k(e
x) ≥ λ|x| .
7
Òåîpåìà 2. (Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà.) Ïóñòü óíêöèÿ
f (x) äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0
è ïóñòü x0 ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè f . Òîãäà
1) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà,
òî x0 òî÷êà ñòðîãîãî áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà óíêöèè f ;
2) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, òî
0
x òî÷êà ñòðîãîãî áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà óíêöèè f ;
3) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) çíàêîíåîïðåäåëåíà, òî x0 íå
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f ;
4) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) íå ÿâëÿåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíî, íè îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé è íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîíåîïðåäåëåííîé, òî x0 ìîæåò áûòü òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, à ìîæåò è íå
áûòü.
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó x ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè
0
f , òî df (x ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî,
∆f =
1 2
d f (x0 ) + o(|∆x|2 ) ïðè ∆x → 0.
2
(2)
1) Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.
 ñèëó ëåììû 2 ∃λ > 0 : ∀∆x ∈ Rn ֒→ d2 f (x0 ) ≥ λ|∆x|2 . Îòñþäà
è èç îðìóëû Òåéëîðà (2) ñëåäóåò, ÷òî ∆f ≥ λ2 |∆x|2 + o(|∆x|2 ) ïðè
o(|∆x|2 )
2
∆x→0 |∆x|
∆x → 0. Ïî îïðåäåëåíèþ o-ìàëîãî lim
lim
∆x→0
Ñëåäîâàòåëüíî,
= 0, ïîýòîìó
λ
2
2 |∆x|
+ o(|∆x|2 )
λ
= > 0.
|∆x|2
2
∃δ > 0 : ∀∆x ∈ Uδ (0) ֒→
λ
|∆x|2 + o(|∆x|2 ) > 0,
2
ïîýòîìó ∀x ∈ Uδ (x0 ) ֒→ f (x) − f (x0 ) = ∆f ≥ λ2 |∆x|2 + o(|∆x|2 ) > 0,
à çíà÷èò, x0 òî÷êà ñòðîãîãî áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.
Ïóíêò (2) ñâîäèòñÿ ê ïóíêòó (1) çàìåíîé óíêöèè f (x) íà −f (x).
′′
3) Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) = (dx)T fxx
(x0 ) dx çíàêîn
T ′′
0
T ′′
íåîïðåäåëåíà, ò. å. ∃ξ1 , ξ2 ∈ R : ξ1 fxx (x ) ξ1 > 0, ξ2 fxx (x0 ) ξ2 < 0.
Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (2) äëÿ ∆x = tξ1 , ïîëó÷èì f (x0 + tξ1 ) − f (x0 ) =
′′
′′
(x0 ) ∆x + o(|∆x|2 ) = 21 (ξ1 )T fxx
(x0 ) ξ1 t2 + o(t2 )
= ∆f = 12 (∆x)T fxx
8
ïðè t → 0. Ïîñêîëüêó
1
1 1
T ′′
0
2
2
′′
(ξ1 ) fxx (x ) ξ1 t + o(t ) = (ξ1 )T fxx
(x0 ) ξ1 > 0,
lim
t→0 t2
2
2
òî
∃δ1 > 0 : ∀t ∈ (0, δ1 ) ֒→ ∆f = f (x0 + tξ1 ) − f (x0 ) > 0.
Àíàëîãè÷íî,
∃δ2 > 0 : ∀t ∈ (0, δ2 ) ֒→ ∆f = f (x0 + tξ2 ) − f (x0 ) < 0.
o
n
o
n
Ïîýòîìó ∀δ > 0 ∃t1 = min δ21 , 2|ξδ1 | , ∃t2 = min δ22 , 2|ξδ2 | òàêèå,
÷òî x1 = x0 + t1 ξ1 ∈ Uδ (x0 ), x2 = x0 + t2 ξ2 ∈ Uδ (x0 ), f (x1 ) −
−f (x0 ) > 0, f (x2 )−f (x0 ) < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà x0 íå ÿâëÿåòñÿ
íè òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, íè òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà
óíêöèè f .
4) Ïóñòü f (x) óíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé x ∈ R. Òîãäà â ñëó÷àå
f ′′ (x0 ) = 0 êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 f (x0 ) = f ′′ (x0 ) (dx)2 íå ÿâëÿåòñÿ
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, à òàêæå
íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîíåîïðåäåëåííîé.
Äëÿ óíêöèè f (x) = x4 èìååì f ′′ (0) = 0, à òî÷êà x0 = 0 ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ìèíèìóìà.
Äëÿ óíêöèè f (x) = x3 : f ′′ (0) = 0, à òî÷êà x0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ýêñòðåìóìà.
Ïóñòü óíêöèÿ f : R2 → R äâàæäû íåïðåðûâíî äè′′
åðåíöèðóåìà è det fxx
(x0 ) < 0. Ìîæåò ëè óíêöèÿ f äîñòèãàòü ëîêàëüíûé áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì â òî÷êå x0 ?
Çàäà÷à 1.
2.
Óñëîâíûé ýêñòðåìóì
0
n
Ïóñòü â îêðåñòíîñòè òî÷êè x
∈ R çàäàíû ñêàëÿðíàÿ óíêöèÿ
g1 (x)
f (x) è âåêòîð-óíêöèÿ g(x) = · · · . àññìîòðèì çàäà÷ó îòûñgm (x)
êàíèÿ ýêñòðåìóìà óíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X ⊂ Rn , çàäàííîì
ñèñòåìîé óðàâíåíèé g(x) = 0:
f (x) → ext : g(x) = 0.
9
(1)
Äàëåå áóäåì âñåãäà ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî îãðàíè÷åíèé gi (x) =
= 0 ìåíüøå ÷èñëà ïåðåìåííûõ xj : m < n.
Åñëè ñèñòåìà èç m óðàâíåíèé g(x) = 0 ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî
n
m ïåðåìåííûõ, ò. å. âåêòîð
x ∈ R ìîæíî ðàçáèòü íà äâà âåêòîðà
y
y ∈ Rm è z ∈ Rn−m : x =
òàêèõ, ÷òî
z
g(y, z) = 0
⇐⇒
y = ϕ(z),
òîãäà çàäà÷à (1) îòûñêàíèÿ óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å
îòûñêàíèÿ áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f (ϕ(z), z).
Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ ïpÿìûì ìåòîäîì, èëè ìåòîäîì ðàçðåøåíèÿ îãðàíè÷åíèé.
Ïðèìåð 1. Íàéòè ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû óíêöèè f (x, y, z) =
= −x3 − x2 + 4xy + 2xz − 4y 2 + 2yz − z 2 ïðè óñëîâèè x + y − z = 0.
åøåíèå. Èç óñëîâèÿ x + y − z = 0 ìîæíî âûðàçèòü z = x + y ,
ïîýòîìó èñõîäíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å îòûñêàíèÿ áåçóñëîâíûõ
ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ óíêöèè F (x, y) = f (x, y, x + y) = −x3 +
+ 6xy − 3y 2 . Íàéäåì ñòàöèîíàpíûå òî÷êè óíêöèè F :
′
Fx = 0
−3x2 + 6y = 0
x = y,
⇔
⇔
Fy′ = 0
6x − 6y = 0
x2 = 2x.
Ôóíêöèÿ F èìååò äâå ñòàöèîíàpíûå òî÷êè: (0, 0) è (2, 2).
Èññëåäóåì çíàêîîïðåäåëåííîñòü âòîðîãî äèåðåíöèàëà â ñòàöèîíàpíûõ òî÷êàõ.
−6x
6
0
6
′′
′′
Ïîñêîëüêó F (x, y) =
, òî F (0, 0) =
,
6
−6
6
−6
2
d2 F (0, 0)= 12dx
dy
−
6(dy) .
dx
dx
0
1
=
=
Ïðè
èìååì d2 F (0, 0) = −6 < 0, à ïðè
dy
dy
1
1
ïîëó÷àåì d2 F (0, 0) = 12 − 6 = 6 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòè÷íàÿ
îðìà d2 F (0, 0) çíàêîíåîïðåäåëåíà, è â òî÷êå (0, 0) íåò ëîêàëüíîãî
ýêñòðåìóìà.
−12
6
Ìàòðèöà F ′′ (2, 2) =
îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, òàê
6
−6 12
−6
êàê ìàòðèöà −F ′′ (2, 2) =
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà,
−6
6
÷òî ïðîâåðÿåòñÿ ïî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà: ∆1 = 12 > 0, ∆2 = 12 · 6 −
− 62 > 0. Ïîýòîìó â òî÷êå (x0 , y0 ) = (2, 2) óíêöèÿ F äîñòèãàåò
10
ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå (x0 , y0 , z0 ) = (2, 2, 4)
óíêöèÿ f (x, y, z) äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, ðàâíîãî −x30 +
+ 6x0 y0 − 3y02 = 4.
Åñëè â çàäà÷å íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì (1) íå óäàåòñÿ ðàçðåøèòü
îãðàíè÷åíèÿ, ÿâíî âûðàçèâ îäíè ïåðåìåííûå êàê äîñòàòî÷íî ïðîñòûå óíêöèè äðóãèõ ïåðåìåííûõ, òî ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ìåòîä
ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà.
Îïpåäåëåíèå. Ôóíêöèåé Ëàãðàíæà
óíêöèÿ
äëÿ çàäà÷è (1) íàçûâàåòñÿ
L(x, λ) = f (x) + λT g(x) = f (x) + λ1 g1 (x) + · · · + λm gm (x),
λ1
ãäå âåêòîð λ = · · · íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ìíîæèòåëåé Ëàãðàíλm
æà.
(Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà.) Ïóñòü x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (1). Ïóñòü óíêöèÿ f (x)
è âåêòîð-óíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Ïóñòü âåêòîðû grad g1 (x0 ), · · · , grad gm (x0 ) ëèíåéíî
0
íåçàâèñèìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò
0 âåêòîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà λ ∈
x
∈ Rm òàêîé, ÷òî òî÷êà
ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàpíîé òî÷êîé óíêλ0
öèè Ëàãðàíæà.
Òåîpåìà 1.
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü âåêòîð-óíêöèÿ g(x) äèåðåíöèðóåìà â
òî÷êå x0 . Òîãäà êàñàòåëüíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ê ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âåêòîðîâ
EKAC = {dx ∈ Rn : dgi (x0 ) = 0
∀i ∈ {1, . . . , m} }.
Èíûìè ñëîâàìè, êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî îáðàçóþò âåêòîðû dx,
óäîâëåòâîðÿþùèå ïðîäèåðåíöèðîâàííûì óðàâíåíèÿì îãðàíè÷åíèé, ò. å. ñèñòåìå óðàâíåíèé
∂g1 0
∂g
0
∂x1 (x ) dx1 + · · · + ∂xn1 (x ) dxn = 0,
···
···
···
∂gm 0
∂gm
0
+ · · · + ∂xn (x ) dxn = 0.
∂x1 (x ) dx1
11
0
x
λ0
ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè Ëàãðàíæà. Ïóñòü óíêöèÿ f (x)
è âåêòîð-óíêöèÿ g(x) äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû â
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Ïóñòü âåêòîðû grad g1 (x0 ), · · · , grad gm (x0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû. È ïóñòü k(dx) = (dx)T L′′xx (x0 , λ0 ) dx âòîðîé
äèåðåíöèàë óíêöèè Ëàãðàíæà ïî ïåðåìåííûì x. Òîãäà
1) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(dx) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà
EKAC , ò. å. k(dx) > 0 ∀dx ∈ EKAC \ {0}, òî x0 òî÷êà ñòðîãîãî
ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà â çàäà÷å (1);
2) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(dx) îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà
EKAC , ò. å. k(dx) < 0 ∀dx ∈ EKAC \ {0}, òî x0 òî÷êà ñòðîãîãî
ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà â çàäà÷å (1);
3) åñëè êâàäðàòè÷íàÿ îðìà k(dx) çíàêîíåîïðåäåëåíà íà EKAC ,
ò. å. ñóùåñòâóþò âåêòîðû ξ1 , ξ2 ∈ EKAC : k(ξ1 ) > 0, k(ξ2 ) < 0, òî x0 íå
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (1);
4) åñëè óñëîâèÿ ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ íå âûïîëíåíû, òî òî÷êà x0
ìîæåò áûòü òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (1), à ìîæåò è
íå áûòü åþ.
Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2 áóäóò ïðèâåäåíû ïîñëå ðàññìîòðåíèÿ ïðèìåðà.
Òåîpåìà 2.
Ïðèìåð 2.
â çàäà÷å
(Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà.) Ïóñòü
Äîñòèãàåòñÿ ëè â òî÷êå (0, 0) ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì
x
2y
3y − 2x → ext : x + e = y + e ?
(2)
íåðàçðåøèìî îòåøåíèå. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå x+e = y+e
íîñèòåëüíî x èëè y , òî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä L(x, y, λ) = 3y − 2x + λ(x + ex −
− y − e2y ). Íàéäåì ñòàöèîíàpíûå òî÷êè óíêöèè Ëàãðàíæà:
′
−2 + λ(1 + ex ) = 0,
Lx = 0
′
L =0
3 + λ(−1 − 2e2y ) = 0,
⇔
(3)
′y
x + ex − y − e2y = 0.
Lλ = 0
x
2y
Ïîëó÷èëàñü ñèñòåìà èç òðåõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàpíûõ òî÷åê óíêöèè Ëàãðàíæà.  äàííîì ïðèìåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ òî÷êà (x0 , y0 ) = (0,
0). Ïîäñòàâëÿÿ
x = 0, y = 0 â ñèñòåìó (3),
x0
0
ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà y0 = 0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàpíîé òî÷êîé
λ0
1
12
óíêöèè Ëàãðàíæà. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2, òåïåðü íóæíî èññëåäîâàòü
çíàêîîïðåäåëåííîñòü âòîðîãî äèåðåíöèàëà óíêöèè L(x, y, λ0 ) =
= 3y − 2x + (x + ex − y − e2y ) íà EKAC . Ïîñêîëüêó d2 L(x, y, λ0 ) =
= ex (dx)2 − 4e2y (dy)2 , òî d2 L(x0 , y0 , λ0 ) = (dx)2 − 4(dy)2 . Íàéäåì êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî:
( )
dx
x
2y
EKAC =
: d(x + e − y − e )
=0 =
dy
(x,y)=(0,0)
3 dx
dy
2
=
: 2dx − 3dy = 0 =
: dy ∈ R .
dy
dy
dx
∈ EKAC \{0}: d2 L(x0 , y0 , λ0 ) = ( 23 dy)2 −4(dy)2 =
Ïîýòîìó ïðè
dy
= − 47 (dy)2 < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòè÷íàÿ îðìà d2 L(x0 , y0 , λ0 )
îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà EKAC . Ïîýòîìó (0, 0) òî÷êà ëîêàëüíîãî
ìàêñèìóìà â çàäà÷å (2).
Çàìå÷àíèå. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà íå òðåáóåò ðàçðåøåíèÿ îãðàíè÷åíèé. Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 1 è 2
îñíîâàíî íà òîì, ÷òî â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé óíêöèè îãðàíè÷åíèÿ g(x) = 0 ìîæíî ðàçðåøèòü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
Îïpåäåëåíèå.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî â òî÷êå x0 âûïîëíåíû óñëîîãðàíè÷åíèé g(x) = 0, åñëè
âèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè
1) g(x0 ) = 0;
2) âåêòîð-óíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ;
3) âåêòîðû grad g1 (x0 ), · · · , grad gm (x0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Òðåòüå èç óñëîâèé ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè îãðàíè÷åíèé îçíà÷àåò, ÷òî ñòðîêè ìàòðèöû ßêîáè
∂g1 0
∂g1
· · · ∂x
(x0 )
∂x1 (x )
n
···
···
D g(x0 ) = · · ·
∂gm
∂gm
0
0
∂x1 (x ) · · ·
∂xn (x )
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò. å. rang D g(x0 ) = m. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò m ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû D g(x0 ). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâûå m ñòîëáöîâ ìàòðèöû
13
D g(x0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû (åñëè ýòî íå òàê, òî ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ïåðåìåííûå
âûïîëíÿåòñÿ).
àçîáúåì
xi òàê, ÷òî ýòî óñëîâèå
x1
x1
xm+1
âåêòîð x = · · · íà äâà âåêòîðà: y = · · · è z = · · · . Òîãäà
xn
xm
xn
0
y
y
x=
, x0 =
,
z
z0
f (x) = f (y, z),
Áóäåì îáîçíà÷àòü
g(x) = g(y, z),
L(x, λ) = L(y, z, λ).
∂f 0
∂f
0
=
(x ) · · ·
(x ) ,
∂x1
∂xm
∂f 0
∂f
(x0 ) · · ·
(x ) ,
fz′ (y 0 , z 0 ) =
∂xm+1
∂xn
∂g1 0
∂g1
· · · ∂x
(x0 )
∂x1 (x )
m
···
··· ,
gy′ (y 0 , z 0 ) = · · ·
∂gm
∂gm
0
0
∂x1 (x ) · · ·
∂xm (x )
∂g
∂g1
0
0
1
∂xm+1 (x ) · · ·
∂xn (x )
···
···
··· .
gz′ (y 0 , z 0 ) =
∂gm
∂gm
0
0
∂xm+1 (x ) · · ·
∂xn (x )
fy′ (y 0 , z 0 )
Ïîñêîëüêó ïåðâûå m ñòîëáöîâ ìàòðèöû D g(x0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à îíè ÿâëÿþòñÿ ñòîëáöàìè êâàäðàòíîé ìàòðèöû gy′ (y 0 , z 0 ), òî
det gy′ (y 0 , z 0 ) 6= 0.
Èç òåîðåìû î íåÿâíîé óíêöèè (ãëàâà 12, 4, òåîðåìà 1) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ëåììó.
Ëåììà 1. Ïóñòü â òî÷êå x âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëîêàëüíîé
ðàçðåøèìîñòè îãðàíè÷åíèé. Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà β > 0, γ >
> 0 è óíêöèÿ ϕ(z), íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ â Uβ (z 0 ), òàêèå,
÷òî ïðè z ∈ Uβ (z 0 ), y ∈ Uγ (y 0 ) ñèñòåìû g(y, z) = 0 è y = ϕ(z)
ýêâèâàëåíòíû.
0
y
0
Ïðè ýòîì òî÷êà x =
ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì
z0
(ìàêñèìóìîì) â çàäà÷å (1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà z 0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé áåçóñëîâíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ìàêñèìóìà) óíêöèè F (z) = f (ϕ(z), z).
0
14
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Èç óñëîâèé òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî
â òî÷êå x0 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè îãðàíè÷åíèé.  ñèëó ëåììû 1 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ
0
y
óíêöèÿ ϕ(z) òàêàÿ, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 =
z0
g(y, z) = 0
⇐⇒
y = ϕ(z).
Òðåáóåòñÿ
äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âåêòîð λ0 ∈ Rn òàêîé, ÷òî òî÷êà
0
y
z 0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàpíîé òî÷êîé óíêöèè Ëàãðàíæà L(x, λ) =
λ0
= f (x) + λT g(x), ò. å.
′ 0 0 0
Ly (y , z , λ ) = 0,
L′ (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0,
′z 0 0 0
Lλ (y , z , λ ) = 0.
0
y
Ïîñêîëüêó òî÷êà x0 =
óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèÿì g(x) =
z0
= 0, òî L′λ (y 0 , z 0 , λ0 ) = (g(x0 ))T = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå
L′λ (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0 âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.
Îïðåäåëèì âåêòîð λ0 èç óðàâíåíèÿ L′y (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0:
′
Ly (y 0 , z 0 , λ0 ) = fy′ (y 0 , z 0 ) + (λ0 )T gy′ (y 0 , z 0 ) = 0. Ïîñêîëüêó
det gy′ (y 0 , z 0 ) 6= 0, òî ñóùåñòâóåò ìàòðèöà (gy′ (y 0 , z 0 ))−1 , è âåêòîð λ0
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî îðìóëå
(λ0 )T = −fy′ (y 0 , z 0 ) (gy′ (y 0 , z 0 ))−1 .
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî L′z (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0.
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû 1 òî÷êà x0 äîñòàâëÿåò ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì
â çàäà÷å (1). Îòñþäà è èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî z 0 òî÷êà ëîêàëüíîãî áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè F (z) = f (ϕ(z), z). Ïîñêîëüêó y = ϕ(z) ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ g(y, z) = 0, òî g(ϕ(z), z) = 0,
ñëåäîâàòåëüíî,
F (z) = f (ϕ(z), z) + (λ0 )T g(ϕ(z), z) = L(ϕ(z), z, λ0 ).
Èç òåîðåìû 1 1 ñëåäóåò, ÷òî z 0 ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè F (z),
ò. å. Fz′ (z 0 ) = 0, à çíà÷èò,
15
(L′y (y, z, λ0 ) dy)′z = (dy)T L′′yz (y, z, λ0 ). Ïîýòîìó
L′y (ϕ(z 0 ), z 0 , λ0 ) ϕ′z (z 0 ) + L′z (ϕ(z 0 ), z 0 , λ0 ) = 0.
Îòñþäà è èç óñëîâèé y 0 = ϕ(z 0 ), L′y (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0 ñëåäóåò, ÷òî
L′z (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Èç óñëîâèé òåîðåìû 2 ñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèé ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x0 .
 ñèëó ëåììû 1 òî÷êà x0 äîñòàâëÿåò ëîêàëüíûé ìèíèìóì (ìàêñèìóì) â çàäà÷å (1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà z 0 äîñòàâëÿåò áåçóñëîâíûé ëîêàëüíûé ìèíèìóì (ìàêñèìóì) óíêöèè F (z) =
= f (ϕ(z), z). Ïîñêîëüêó g(ϕ(z), z) = 0, òî
0 T
0
F (z) = f (ϕ(z), z) + (λ ) g(ϕ(z), z) = L(ϕ(z), z, λ ).
(4)
Ñëåäîâàòåëüíî,
Fz′ (z 0 )
=
L′y (ϕ(z 0 ), z 0 , λ0 ) ϕ′z (z 0 )
L′z (ϕ(z 0 ), z 0 , λ0 )
+
L′y (y 0 , z 0 , λ0 ) ϕ′z (z 0 )
L′z (y 0 , z 0 , λ0 ).
=
=
+
0
y
Ïîñêîëüêó z 0 ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè Ëàãðàíæà, òî
λ0
L′y (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0, L′z (y 0 , z 0 , λ0 ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, Fz′ (z 0 ) = 0, ò. å.
z 0 ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè F (z).
Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 1, íàëè÷èå â òî÷êå z 0 ýêñòðåìóìà óíêöèè
F (z), à çíà÷èò, è íàëè÷èå â òî÷êå x0 ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (1), çàâèñèò
îò çíàêîîïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé îðìû d2 F (z 0 ).
 ñèëó èíâàðèàíòíîñòè îðìû ïåðâîãî äèåðåíöèàëà ïîëó÷àåì
dF (z) = L′y (y, z, λ0 ) dy + L′z (y, z, λ0 ) dz,
ãäå y = ϕ(z), dz ïðèðàùåíèå âåêòîðà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ z ,
à dy = dϕ(z). Íàéäåì d2 F (z 0 ):
d(L′y (y, z, λ0 ) dy) = L′y (y, z, λ0 ) d2 y +
+ (dy)T L′′yy (y, z, λ0 ) dy + (dy)T L′′yz (y, z, λ0 ) dz.
Àíàëîãè÷íî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî d2 z = 0, ïîëó÷àåì
d(L′z (y, z, λ0 ) dz) = (dz)T L′′zz (y, z, λ0 ) dz + (dz)T L′′zy (y, z, λ0 ) dy.
Ñëåäîâàòåëüíî,
d2 F (z) = L′y (y, z, λ0 ) d2 y + (dy)T L′′yy (y, z, λ0 ) dy +
+ 2(dy)T L′′yz (y, z, λ0 ) dz + (dz)T L′′zz (y, z, λ0 ) dz =
= L′y (x, λ0 ) d2 y + (dx)T L′′xx (x, λ0 ) dx.
0
y
Ïîñêîëüêó z 0 ñòàöèîíàpíàÿ òî÷êà óíêöèè Ëàãðàíæà, òî
λ0
′
0
0
Ly (x , λ ) = 0, ïîýòîìó
d2 F (z 0 ) = (dx)T L′′xx (x0 , λ0 ) dx = k(dx).
Èç ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì g(y, z) = 0 è y = ϕ(z) ñëåäóåò ýêâèdz ∈ Rn−m
âàëåíòíîñòü ñèñòåì dg(x) = 0 è dy = dϕ(z). Ïîñêîëüêó
dy
ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, dy = dϕ(z 0 ), òî dx =
ïðîèçâîëüíûé
dz
0
âåêòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå dg(x ) = 0, ò. å. dx ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç EKAC . Ñëåäîâàòåëüíî, çíàêîîïðåäåëåííîñòü êâàäðà′′
(z 0 ) dz òàêàÿ æå, êàê è çíàêîîïðåòè÷íîé îðìû d2 F (z 0 ) = (dz)T Fzz
äåëåííîñòü êâàäðàòè÷íîé îðìû k(dx) íà ïîäïðîñòðàíñòâå EKAC .
Ïðèìåíåíèå òåîðåìû 2 1 çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.
d(L′y (y, z, λ0 ) dy) = L′y (y, z, λ0 ) d2 y +
+ (L′y (y, z, λ0 ) dy)′y dy + (L′y (y, z, λ0 ) dy)′z dz.
Ïîñêîëüêó L′y (y, z, λ0 ) dy = (L′y (y, z, λ0 ) dy)T = (dy)T (L′y (y, z, λ0 ))T ,
òî
(L′y (y, z, λ0 ) dy)′y
=
(dy)T L′′yy (y, z, λ0 ).
Àíàëîãè÷íî,
16
17
n
ëàâà 14
ÊÀÒÍÛÉ ÈÍÒÅ
z }| Z{
Z
J = · · · f (x) dx1 · · · dxn ,
ÀË
E
åñëè
1.
Êðàòíûé èíòåãðàë èìàíà.
J = lim σ(f ; T; ξT ),
ℓ(T)→0
ò. å.
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀T ∀ξT :
Îãðàíè÷åííîñòü èíòåãðèðóåìîé
óíêöèè
ℓ(T) < δ
֒→
Åñëè ñóùåñòâóåò êðàòíûé èíòåãðàë óíêöèè
Îïpåäåëåíèå. Äèàìåòðîì ìíîæåñòâà
E ⊂ Rn
íàçûâàåòñÿ ñó-
óíêöèÿ
ïðåìóì ðàññòîÿíèé ìåæäó äâóìÿ ýëåìåíòàìè ýòîãî ìíîæåñòâà:
diam (E) =
sup
x∈E,y∈E
f
|σ(f ; T; ξT ) − J| < ε.
f
ïî ìíîæåñòâó
íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé íà ìíîæåñòâå
E,
òî
E.
Íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà ïî îòðåçêó
|x − y|.
[a, b], äàííîå
â ãëàâå 7, ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåíèþ
òåãðàëà ïî ìíîæåñòâó
E = [a, b].
1-êðàòíîãî èí-
Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå êðàòíîãî
èíòåãðàëà èìàíà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà èìàíà
Îïpåäåëåíèå. àçáèåíèåì èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà
çûâàåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð ìíîæåñòâ
Ei èçìåðèìû ïî
2) ìíîæåñòâà Ei è Ej ïðè i 6= j
1) ìíîæåñòâà
T=
E ⊂ Rn
íà-
{Ei }Ii=1 òàêèõ, ÷òî
Æîðäàíó;
íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê
(ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ëèøü ïî ãðàíèöå);
3)
I
S
Èçâåñòíî, ÷òî åñëè óíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðóåìà íà
îòðåçêå, òî îíà îãðàíè÷åíà íà ýòîì îòðåçêå. Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî óíêöèÿ
ìîì ìíîæåñòâå
E,
f (x)
Ei = E .
Ìåëêîñòüþ ðàçáèåíèÿ
T = {Ei }Ii=1
íàçûâàåòñÿ
X è Y íà(x, y), ãäå x ∈ X , y ∈ Y . Åñëè x =
= (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm , òî ïàðó (x, y) áóäåì
îòîæäåñòâëÿòü ñ âåêòîðîì (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) ∈ Rn+m .
àññìîòðèì â
ℓ(T) = max diam (Ei ).
i=1,...,I
T = {Ei }Ii=1 èçìåðèìîI
ãî ìíîæåñòâà E ⊂ R , âûáîðêà ξT = {ξi }i=1 , ξi ∈ Ei è óíêöèÿ
f : E → R. Èíòåãðàëüíîé ñóììîé èìàíà íàçûâàåòñÿ
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíû ðàçáèåíèå
n
σ(f ; T; ξT ) =
I
X
y
R2
ìíîæåñòâî
[
E = [0, 1] × [0, 1]
(1, 3) × {0} .
1
f (x, y) = 0
f (ξi ) µ(Ei ).
i=1
Îïpåäåëåíèå. ×èñëî
f (x)
E.
çûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïàð
ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð ýëåìåíòîâ ýòîãî ðàçáèåíèÿ:
ìàíà óíêöèè
ìîæåò áûòü èíòåãðèðóåìà íà èçìåðè-
íî íå áûòü îãðàíè÷åííîé íà
Îïpåäåëåíèå. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ
i=1
Îïpåäåëåíèå.
ïî îòðåçêó.
J
íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûì èíòåãðàëîì è-
ïî èçìåðèìîìó ìíîæåñòâó
åòñÿ
18
E ⊂ Rn
è îáîçíà÷à-
0
f (x, y) = 1/(3 − x)
1
2
19
3
x
0,
x ∈ [0, 2],
Ïîñêîëüêó f (x, 0) → ∞
1/(3 − x), x ∈ (2, 3).
ïðè x → 3, òî óíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå E . Ïóñòü T =
= {Ei }Ii=1 ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà E ìåëêîñòè ℓ(T) ≤ 1. Ïîñêîëüêó
diam (Ei ) ≤ 1 ∀i ∈ {1, . . . , I}, òî ëèáî Ei íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ êâàäðàòîì
[0, 1] × [0, 1], ëèáî Ei íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ èíòåðâàëîì (2, 3) × {0}.  ïåðâîì ñëó÷àå µ(Ei ) = 0, âî âòîðîì äëÿ ëþáîé òî÷êè ξi = (xi , yi ) ∈ Ei
âûïîëíÿåòñÿ f (ξi ) = 0. Èòàê, f (ξi ) µ(Ei ) = 0 ∀i ∈ {1, . . . , I}, ïîýòîìó
σ(f ; T; ξT ) = 0 ïðè ℓ(T) ≤ 1, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë èìàíà óíêöèè f ïî ìíîæåñòâó E ñóùåñòâóåò è ðàâåí 0.
Ïóñòü f (x, y) =
Òåîpåìà 1. Åñëè E = int E è óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà
ìíîæåñòâå E , òî f (x) îãðàíè÷åíà íà E .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: óíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà E . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {xk }∞
k=1 ⊂
⊂ E òàêàÿ, ÷òî f (xk ) → ∞ ïðè k → ∞. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà E , òî ìíîæåñòâî E èçìåðèìî, à çíà÷èò, îãðàíè÷åíî.
Ïîýòîìó ìíîæåñòâî E ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } ⊂ E ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{xkj }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîìó x
b ∈ E.
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî δ > 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E1 ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà E è δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè x
b. Ïîñêîëüêó f (xkj ) → ∞
ïðè j → ∞ è xkj ∈ E1 ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ j , òî óíêöèÿ f
íåîãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå E1 .TÈç óñëîâèÿ E = int E ñëåäóåò, ÷òî
x
b ∈ int E , ïîýòîìó ∃x1 ∈ (int E) E1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî µ(E1 ) 6= 0.
Èç ýòîãî óñëîâèÿ è íåîãðàíè÷åííîñòè óíêöèè f íà E1 âûòåêàåò, ÷òî
ïóòåì âûáîðà òî÷êè ξ1 ∈ E1 ÷èñëî f (ξ1 ) µ(E1 ) ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü
óãîäíî áîëüøèì ïî ìîäóëþ.
Äîñòðîèì ðàçáèåíèå T = {Ei }Ii=1 ìíîæåñòâà E òàê, ÷òîáû ℓ(T) ≤
≤ 2δ è ìíîæåñòâî E1 ÿâëÿëîñü ïåðâûì ýëåìåíòîì ðàçáèåíèÿ T. Ïîñêîëüêó âûáîðîì òî÷êè ξ1 ñóììó èìàíà σ(f ; T; ξT ) ìîæíî ñäåëàòü
ñêîëü óãîäíî áîëüøîé ïî ìîäóëþ, ℓ(T) ≤ 2δ , à ÷èñëî δ > 0 ïðîèçâîëüíî, òî íå ñóùåñòâóåò êîíå÷íîãî ïðåäåëà lim σ(f ; T; ξT ), ò. å.
ℓ(T)→0
óíêöèÿ f íåèíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
2.
Ñâîéñòâà êðàòíîãî èíòåãðàëà
Îïpåäåëåíèå.
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà íà èçìåðèìîì
20
ìíîæåñòâå E ⊂ Rn è ïóñòü çàäàíî ðàçáèåíèå T = {Ei }Ii=1 ìíîæåñòâà
E . Îïðåäåëèì ÷èñëà mi = inf f (x), Mi = sup f (x), (i = 1, . . . , I).
x∈Ei
x∈Ei
Íèæíåé è âåðõíåé ñóììàìè Äàðáó íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëà
s(f ; T) =
I
X
mi µ(Ei ),
S(f ; T) =
I
X
Mi µ(Ei ).
i=1
i=1
Ñâîéñòâî 1. (Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà ÷åðåç ñóììû Äàðáó.) ×èñëî J ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì èíòåãðàëîì èìàíà îãðàíè÷åííîé
óíêöèè f (x) ïî èçìåðèìîìó ìíîæåñòâó E òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
J = lim s(f ; T) = lim S(f ; T).
ℓ(T)→0
ℓ(T)→0
Ñâîéñòâî 2. (Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè.) Îãðàíè÷åííàÿ óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E ⊂ Rn
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
lim S(f ; T) − s(f ; T) = 0.
ℓ(T)→0
Ïðè ýòîì
S(f ; T) − s(f ; T) =
ãäå ωi (f ) = Mi − mi =
íà ìíîæåñòâå Ei .
sup
x′ ,x′′ ∈Ei
I
X
ωi (f ) µ(Ei ),
i=1
|f (x′ ) − f (x′′ )| êîëåáàíèå óíêöèè f
Ñâîéñòâî 3. (Ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè.) Åñëè óíêöèè f (x) è g(x)
èíòåãðèðóåìû íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn , òî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α, β óíêöèÿ αf (x) + βg(x) èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E è
Z
Z
· · · (αf (x) + βg(x)) dx1 · · · dxn =
E
=α
Z
···
E
Z
f (x) dx1 · · · dxn + β
21
Z
···
E
Z
g(x) dx1 · · · dxn .
Ñâîéñòâî 4. (Èíòåãðèðîâàíèå íåðàâåíñòâ.) Åñëè óíêöèè f (x)
è g(x) èíòåãðèðóåìû íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn è f (x) ≤ g(x) äëÿ ëþáûõ
x ∈ E , òî
Z
Z
Z
Z
· · · f (x) dx1 · · · dxn ≤ · · · g(x) dx1 · · · dxn .
E
E
Ñâîéñòâî 5. (Èíòåãðèðóåìîñòü ìîäóëÿ.) Åñëè óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn , òî óíêöèÿ |f (x)| òàêæå èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E .
(Èíòåãðèðóåìîñòü ïî ïîäìíîæåñòâó.) Åñëè óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E , òî f èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì èçìåðèìîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà E .
Ñâîéñòâî 6.
Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ 16 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ èíòåãðàëà èìàíà ïî îòðåçêó.
(Ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè êðàòíîãî èíòåãðàëà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâ èíòåãðèðîâàíèÿ.) Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà è èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâàõ X ⊂ Rn è Y ⊂ Rn , íå èìåþùèõ îáùèõ
S âíóòðåííèõ òî÷åê. Òîãäà f (x) èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå X Y , ïðè÷åì
R
R
·S
· · f (x) dx1 · · · dxn =
Òåîpåìà 1.
=
R
R
X
Y
· · · f (x) dx1 · · · dxn +
X
R
R
· · · f (x) dx1 · · · dxn .
(1)
SÄîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê
S óíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå
X Y , òî ∃C ∈ R : ∀x ∈ X Y ֒→ |f (x)| ≤ C .
I
SÏóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå
T ðàçáèåíèåTT = {Ei }i=1 ìíîæåñòâà
X Y . Îïðåäåëèì Xi = X Ei , Yi = Y Ei ∀i ∈ {1, . . . , I}. Èç
íåïóñòûõ ìíîæåñòâ Xi ñîñòàâèì ðàçáèåíèå TX ìíîæåñòâà X , à èç
íåïóñòûõ ìíîæåñòâ Yi ðàçáèåíèå TY ìíîæåñòâà Y . àññìîòðèì
ìíîæåñòâî èíäåêñîâ
\
I = { i ∈ {1, . . . , I} : Ei 6⊂ X è Ei X 6= ∅ }.
|s(f ; T) − s(f ; TX ) − s(f ; TY )| ≤ 2C
22
X
i∈I
µ(Ei ).
i∈I
1 èìååì µ∗ (U2ℓ(T) (∂X)) → 0 ïðè ℓ(T) → 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
!
X
[
µ(Ei ) = µ
Ei ≤ µ∗ (U2ℓ(T) (∂X)) → 0 ïðè ℓ(T) → 0.
i∈I
i∈I
Îòñþäà èç íåðàâåíñòâà (2) ïîëó÷àåì
lim s(f ; T) − s(f ; TX ) − s(f ; TY ) = 0.
ℓ(T)→0
Îáîçíà÷èì
Z
Z
JX = · · · f (x) dx1 · · · dxn ,
JY =
X
Z
···
Y
Z
(3)
f (x) dx1 · · · dxn .
Òàê êàê ℓ(TX ) ≤ ℓ(T), ℓ(TY ) ≤ ℓ(T) è â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f íà ìíîæåñòâàõ X è Y ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
lim s(f ; TX ) = JX , lim s(f ; TY ) = JY , òî èç ñîîòíîøåíèÿ (3)
ℓ(TX )→0
ℓ(TX )→0
ïîëó÷àåì lim s(f ; T) = JX + JY . Àíàëîãè÷íî, äëÿ âåðõíåé ñóììû
ℓ(T)→0
Äàðáó lim S(f ; T) = JX + JY . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
ℓ(T)→0
Y
Òîãäà
Ïîñêîëüêó ïðè i ∈ I ñóùåñòâóþò òî÷êè x, y ∈ Ei òàêèå, ÷òî x ∈
∈ X , y 6∈ X , òî íà îòðåçêå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ x è y íàéäåòñÿ òî÷êà
z ∈ ∂X . Ñëåäîâàòåëüíî,
Ei ⊂ Uδi (∂X), ãäå δi = 2diam Ei ≤ 2ℓ(T ).
S
Ei ⊂ U2ℓ(T) (∂X). Òàê êàê µ(∂X) = 0, òî â ñèëó ëåììû 2
Ïîýòîìó
(2)
Z
···
X
S
Z
f (x) dx1 · · · dxn = JX + JY .
Y
Çàìå÷àíèå. Äëÿ íåîãðàíè÷åííîé óíêöèè f èç èíòåãðèðóåìîS
ñòè f íà ìíîæåñòâàõ X è Y íå ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü f íà X Y .
Ïóñòü,
íàïðèìåð, X = (0, 1) × (0, 1), Y = (0, 1) × {0}, f (x, y) =
0,
y ∈ (0, 1),
Ïîñêîëüêó ñóììû èìàíà óíêöèè f ïî ëþ=
1/x, y = 0.
áîìó ðàçáèåíèþ ìíîæåñòâà X è Y ðàâíû íóëþ, òî 2-êðàòíûå èíòåãðàëû óíêöèè f ïî ìíîæåñòâàì
S X è Y ñóùåñòâóþò è ðàâíû íóëþ.
Ïîñêîëüêó äëÿ ìíîæåñòâà X Y = (0, 1) × [0, 1) èìååò ìåñòî óñëîS
S
âèå int (X Y ) = X Y = [0, 1] × [0, 1] è óíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà
23
ìíîæåñòâå
SX
ìà íà X Y .
S
Y , òî â ñèëó òåîðåìû 1 2 óíêöèÿ f íåèíòåãðèðóå-
(4)
ϕ(x1 , . . . , xn ) < xn+1 < ψ(x1 , . . . , xn )}.
Òåîpåìà 2.
(Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè.) Åñëè
óíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà èçìåðèìîì êîìïàêòå E ⊂ Rn , òî f èíòåãðèðóåìà íà E .
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó òåîðåìû Êàíòîðà èç íåïðåðûâíîñòè
óíêöèè f (x) íà êîìïàêòå E ñëåäóåò åå ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
íà ýòîì êîìïàêòå, ò. å. ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè óíêöèè f :
ω(δ) =
G = {(x1 , . . . , xn+1 ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ E,
sup
x′ ,x′′ ∈E, |x′ −x′′ |<δ
|f (x′ ) − f (x′′ )| → 0
ïðè δ → 0.
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T = {Ei }Ii=1 ìíîæåñòâà
E ïðè x′ , x′′ ∈ Ei âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |x′ − x′′ | ≤
≤ diam (Ei ) ≤ ℓ(T) < 2ℓ(T ), òî ωi (f ) ≤ ω(2ℓ(T )). Ñëåäîâàòåëüíî,
S(f ; T) − s(f ; T) =
I
X
i=1
ωi (f ) µ(Ei ) ≤ ω(2ℓ(T ))
= ω(2ℓ(T )) µ(E) → 0
I
X
xn+1
Ïóñòü T = {Ei }Ii=1 ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå
ìíîæåñòâà E . Äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, . . . , I} îáîçíà÷èì
Äîêàçàòåëüñòâî.
mϕ
i = inf ϕ(x),
x∈Ei
µ(Ei ) =
xn+1 = ϕ(x1 , . . . , xn )
x∈Ei
x∈Ei
Miψ = sup ψ(x).
A=
Ai =
I
[
ϕ
ψ
Ei × [Miϕ , mψ
i ], Mi ≤ mi ,
ϕ
ψ
∅,
M i > mi ,
Ai ,
B=
i=1
I
[
Bi .
i=1
 ñèëó òåîðåìû 4 1 ãëàâû 7 (òåîðåìû îá èçìåðèìîñòè öèëèíäðà)
ñóùåñòâóþò
ϕ
ϕ
ψ
(mψ
i − Mi )µ(Ei ), Mi ≤ mi ,
µ(Bi ) = (Miψ −mϕ
)µ(E
),
µ(A
)
=
i
i
i
0,
Miϕ > mψ
i ,
ϕ
à çíà÷èò, µ(Ai ) ≥ (mψ
i − Mi )µ(Ei ). Ïîñêîëüêó ïðè i 6= j ìíîæåñòâà
Ei è Ej íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî òåì æå ñâîéñòâîì
îáëàäàþò ìíîæåñòâà Ai è Aj , à òàêæå Bi è Bj . Ñëåäîâàòåëüíî,
xn
µ(A) =
I
X
i=1
µ(Ai ) ≥
I
X
i=1
ϕ
(mψ
i − Mi )µ(Ei ) = s(ψ; T ) − S(ϕ; T ).
Òàê êàê A ⊂ G, òî
E
µ∗ (G) ≥ µ∗ (A) = µ(A) = s(ψ; T ) − S(ϕ; T ).
x1
24
x∈Ei
àññìîòðèì ìíîæåñòâà
ïðè ℓ(T) → 0,
G
mψ
i = inf ψ(x),
Miϕ = sup ϕ(x),
i=1
xn+1 = ψ(x1 , . . . , xn )
Ìíîæåñòâî G ⊂
⊂ Rn+1 íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàpíûì
îòíîñèòåëüíî îñè
xn+1 , åñëè ñóùåñòâóåò èçìåðèìîå
ìíîæåñòâî E ⊂ Rn
è íåïðåðûâíûå íà
E
çàìûêàíèè
óíêöèè
ϕ(x),
ψ(x) òàêèå, ÷òî
ϕ(x) < ψ(x) ∀x ∈
∈ E,
E
ψ
Bi = Ei × [mϕ
i , Mi ],
è â ñèëó êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà E .
Îïpåäåëåíèå.
Ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî (4) èçìåðèìî è
Z
Z
µ(G) = · · · (ψ(x) − ϕ(x)) dx1 · · · dxn .
Òåîpåìà 3.
25
(5)
Ïî òåîðåìå 2 óíêöèè ϕ è ψ èíòåãðèðóåìû íà èçìåðèìîì êîìïàêòå
E , à çíà÷èò, è íà E . Ïîýòîìó lim (s(ψ; T ) − S(ϕ; T )) = J , ãäå ââåäåR
R ℓ(T )→0
íî îáîçíà÷åíèå J = · · · (ψ(x) − ϕ(x)) dx1 · · · dxn . Ïðåõîäÿ â íåðàE
âåíñòâå (5) ê ïðåäåëó ïðè ℓ(T ) → 0, ïîëó÷àåì µ∗ (G) ≥ J . Àíàëîãè÷íî, èñïîëüçóÿ âêëþ÷åíèå G ⊂ B , ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó µ∗ (G) ≤ J .
Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò µ(G) = J .
Èç òåîðåìû 3 è êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ãðàèê ñêàëÿðíîé óíêöèè, íåïðåðûâíîé íà èçìåðèìîì êîìïàêòå, èìååò ìåðó íóëü.
3.
Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà
ê ïîâòîðíîìó
Çàèêñèðóåì
ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî δ > 0.
Ïóñòü TδE = {Ei }Ii=1 ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå
ìíîæåñòâà E ìåëêîñòè
ℓ(TδE ) ≤ δ . Ïóñòü ξTδE =
= {ξi }Ii=1 ïðîèçâîëüíàÿ âûáîðêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ðàçáèåíèþ
TδE , ò. å. ξi ∈ Ei äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, . . . , I}. Òàê
Rb
êàê h(ξi ) = g(ξi , y) dy ,
Ïóñòü çàäàíî èçìåðèìîå ìíîæåñòâî E ⊂ Rn , îòðåçîê [a, b] è óíêöèÿ g(x1 , . . . , xn , y), èíòåãðèðóåìàÿ íà öèëèíäðå Ω =
= E × [a, b] ⊂ Rn+1 . Ïóñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E
Rb
Rb
ñóùåñòâóåò èíòåãðàë g(x, y) dy . Òîãäà óíêöèÿ h(x) = g(x, y) dy
a
èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå E è ñïðàâåäëèâà îðìóëà
Z
Z
· · · g(x1 , . . . , xn , y) dx1 · · · dxn dy =
=
···
E
yik
a
yik−1
a
xn
E
dx1 · · · dxn
Zb
a
g(x1 , . . . , xn , y) dy.
Ei
x1
max
k∈{1,...,K1 }
è
h(ξi ) −
Ω
Ωki
òî
ïî
îïðåäåëåíèþ
èíòåãðàëà èìàíà ñói
ùåñòâóåò {yik }K
k=0
ðàçáèåíèå îòðåçêà [a, b]
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
i ∈ {1, . . . , I}
Ω
Z
b
a
Òåîpåìà 1.
Z
y
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ki
X
k=1
(1)
|yik − yik−1 | ≤ δ
g(ξi , yik ) yik − yik−1
≤ δ.
Óìíîæàÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà µ(Ei ) è ñóììèðóÿ ïî i ∈
∈ {1, . . . , I}, ïîëó÷àåì
I
X
i=1
µ(Ei )h(ξi ) −
Ki
I X
X
i=1 k=1
≤
I
X
µ(Ei )g(ξi , yik ) yik − yik−1
≤
(2)
µ(Ei )δ = µ(E)δ.
i=1
Îáîçíà÷èì
Ωki = Ei × [yik−1 , yik ],
26
TδΩ = {Ωki }
i=1,...,I
k=1,...,Ki
27
,
ξTδΩ = {(ξi , yik )}
i=1,...,I
k=1,...,Ki
.
Èç òåîðåìû 4 1 ãëàâû 7 (òåîðåìû îá èçìåðèìîñòè öèëèíäðà) ñëåäóåò, ÷òî µ(Ωk
i)
yik
= µ(Ei )
−
yik−1 . Ïîýòîìó íåðàâåíñòâî (2) ìîæíî
çàïèñàòü ÷åðåç ñóììû èìàíà:
ℓ(TδE ) ≤ δ ,
δ → 0.
R1
0
x2
(x2 +y 2 )2
ïîýòîìó
R1
J=
Ïî
σ
îïðåäåëåíèþ
g, TδΩ , ξTδΩ
···
Ω
→ J
ïðè
ñòâî (3), ïîëó÷àåì
dy
δ → 0.
â
ñèëó
0
···
E
Z
0
R1
(4)
g(x, y) dy = π/4.
g(x, y) dx = −
R1
0
dy
1+y 2
Äåé-
0
R1
=−
= −π/4.
dx
x2 +y 2
=
x=1
x
x2 +y 2 x=0
x
x2 +y 2
1
0
+
1
= − 1+y
2,
Âòîðîé ïîâòîðíûé èí-
èìååì
Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ íåðàâåí-
G
ò. å.
o
ϕ(x1 , . . . , xn ) < xn+1 < ψ(x1 , . . . , xn ) ,
ϕ è ψ íåïðåðûâíû íà çàìûêàíèè èçìåðèìîãî ìíîæåϕ(x) < ψ(x) ∀x ∈ E ;
2) óíêöèÿ f (x1 , . . . , xn+1 ) îãðàíè÷åíà è èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå G;
3) äëÿ ëþáîé òî÷êè (x1 , . . . , xn ) ∈ E ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
ãäå óíêöèè
ñòâà
E
è
h(x1 , . . . , xn ) =
ψ(x1Z,...,xn )
f (x1 , . . . , xn+1 ) dxn+1 .
ϕ(x1 ,...,xn )
h(x) dx1 · · · dxn = J.
Òîãäà óíêöèÿ
h
èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå
E
è ñïðàâåäëèâà
îðìóëà
g(x, y) èí[a, b] × [c, d] è ñóùåñòâóþò ïîâòîðíûå
Rb Rd
Rd Rb
èíòåãðàëû dx g(x, y) dy è dy g(x, y) dx, òî îíè ðàâíû êðàòíîìó
Z
Çàìå÷àíèå. Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè óíêöèÿ
c
dx
ýëåìåíòàpíî îòíîñèòåëüíî îñè xn+1 ,
n
G = (x1 , . . . , xn+1 ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ E,
òåãðèðóåìà íà ïpÿìîóãîëüíèêå
a
R1
Òåîpåìà 2. Ïóñòü
(4)
ñîîòíîøåíèÿ
R1
1) ìíîæåñòâî
δ→0
σ h, TδE , ξTδE −→ J,
òî åñòü ñóùåñòâóåò
Z
è
íî
x2 −y 2
(x2 +y 2 )2 dx
òåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî.
g(x1 , . . . , xn , y) dx1 · · · dxn dy.
èíòåãðàëà
R1
0
Îáîçíà÷èì
Z
0
g(x, y) dx = −π/4,
dx, ñëåäîâàòåëüíî,
0
q
√
2 q
diam Ωki ≤ (diam Ei )2 + yik − yik−1 ≤ (ℓ(TδE ))2 + δ 2 ≤ δ 2.
Z
R1
0
+2
ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà
ïðè
dy
0
(3)
 ñèëó òåîðåìû Ïèàãîðà, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (1) è
√
ℓ(TδΩ ) ≤ δ 2 → 0
R1
ñòâèòåëüíî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì
σ h, TδE , ξTδE − σ g, TδΩ , ξTδΩ ≤ µ(E)δ.
Ïîýòîìó
èìååò ìåñòî
c
a
è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Åñëè æå êðàòíûé èíòåãðàë íå
ñóùåñòâóåò, òî óêàçàííûå ïîâòîðíûå èíòåãðàëû ìîãóò ñóùåñòâîâàòü,
íî áûòü ðàçëè÷íûìè. Íàïðèìåð, äëÿ óíêöèè
g(x, y) =
2
2
x −y
(x2 +y 2 )2
=
Z
···
E
Z
···
G
Z
f (x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 =
dx1 · · · dxn
(5)
ψ(x1Z,...,xn )
f (x1 , . . . , xn+1 ) dxn+1 .
ϕ(x1 ,...,xn )
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ÷èñëà
a = min ϕ(x), b = max ψ(x)
x∈E
è ìíîæåñòâî
28
Ω = E × [a, b].
Íà ìíîæåñòâå
29
Ω
x∈E
îïðåäåëèì óíêöèþ
g(x1 , . . . , xn+1 ) =
f (x1 , . . . , xn+1 ),
0,
(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ G
(x1 , . . . , xn+1 ) 6∈ G.
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ g îãðàíè÷åíà è èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâàõ G
è Ω \ G, òî ïî ñâîéñòâó àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâ èíòåãðèðîâàíèÿ óíêöèÿ g èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå Ω è
R
R
· · · g(x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 =
Z Ω Z
= · · · g(x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 +
Z
+
=
G
···
Z
Z
Ω\G
···
G
Z
g(x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 =
(6)
f (x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 .
 ñèëó òåîðåìû 1 óíêöèÿ h(x1 , . . . , xn ) =
Rb
g(x1 , . . . , xn+1 ) dxn+1
a
èíòåãðèðóåìà íà E è ñïðàâåäëèâà îðìóëà
Z
Z
· · · g(x1 , . . . , xn+1 ) dx1 · · · dxn+1 =
Ω
=
=
Z
Z
···
···
Z
E
E
Z
dx1 · · · dxn
dx1 · · · dxn
Zb
g(x1 , . . . , xn+1 ) dxn+1 =
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ k
ðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé íà çàìûêàíèè îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G ⊂ Rn , åñëè
1) f (x) íåïðåðûâíà íà G;
2) âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè f äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî ñóùåñòâóþò â G è íåïðåðûâíî ïðîäîëæèìû íà G.
Âåêòîð-óíêöèÿ íàçûâàåòñÿ k ðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé íà çàìûêàíèè îòêðûòîãî ìíîæåñòâà, åñëè âñå åå êîìïîíåíòû
îáëàäàþò ýòèì ñâîéñòâîì.
2
Ïóñòü
Ruv äâóìåðíîå àðèìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî òî÷åê
u
~u =
, à R2xy äâóìåðíîå àðèìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî òî÷åê
v
x
~x =
. Ïóñòü çàäàíû îòêðûòûå ìíîæåñòâà G ⊂ R2uv è G∗ ⊂ R2xy .
y
∗
àññìîòðèì îòîáðàæåíèå
(âåêòîð-óíêöèþ) F : G → G , çíà÷åíèÿ
x(u, v)
.
êîòîðîãî F (~u) =
y(u, v)
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå F :
a
ψ(x1Z,...,xn )
f (x1 , . . . , xn+1 ) dxn+1 ,
ϕ(x1 ,...,xn )
îòêóäà è èç (6) ïîëó÷àåì (5).
4.
Äàëåå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ óíêöèè, íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå íà çàìûêàíèÿõ îòêpûòûõ ìíîæåñòâ. Ïîñêîëüêó î äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè â òî÷êå ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà óíêöèÿ îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè, òî íåïðåðûâíóþ
äèåðåíöèðóåìîñòü íà çàìûêàíèè îòêpûòîãî ìíîæåñòâà áóäåì ïîíèìàòü â ñìûñëå ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ.
åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìîäóëÿ ÿêîáèàíà
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ìíîæåñòâå G ⊂ Rn . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíî
ïðîäîëæèìà íà çàìûêàíèå ìíîæåñòâà G, åñëè ñóùåñòâóåò óíêöèÿ
fe(x), íåïðåðûâíàÿ íà G è ñîâïàäàþùàÿ ñ f (x) íà G.
30
R2uv
⊃
G
îòêð.
èçìåð.
F
−→
←−
G∗
îòêð.
èçìåð.
⊂
R2xy
îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1o . F âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò G â G∗ ;
2o . îòîáðàæåíèå F íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî íà G;
3o . JF (~u) 6= 0 äëÿ ëþáîé òî÷êè ~u ∈ G.
u
:
Çäåñü JF (~u) ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ F â òî÷êå ~u =
v
′
∂(x, y)
xu (u, v) x′v (u, v)
.
JF (~u) = det D F (~u) = det
=
yu′ (u, v) yv′ (u, v)
∂(u, v)
31
(1)
Ëåììà 1. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà
îòîáðàæåíèè
F
E ⊂ G îáðàç
E:
ãðàíèöû
E
ïðè
ñîâïàäàåò ñ ãðàíèöåé îáðàçà
∈ N
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~
u0 ∈ ∂E .
~u0 ∈ E , òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {~uk } ⊂ E òàêàÿ,
lim ~uk = ~u0 . Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ F íà ìíîæå-
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê
k→∞
ñòâå
G
èìååì
lim F (~uk ) = F (~u0 ).
(2)
k→∞
Ïîñêîëüêó
F (~uk ) ∈ F (E)
äëÿ ëþáîãî
ñëåäóåò âêëþ÷åíèå
k ∈ N,
òî èç ñîîòíîøåíèÿ (2)
F (~u0 ) ∈ F (E).
(3)
F (~u0 ) ∈ ∂F (E).
(4)
Ïîêàæåì, ÷òî
~u0 ∈ G. Òàê êàê ìíîæåñòâî G îòêðû~u0 ∈ int G. Òîãäà â ñèëó âêëþ÷åíèÿ ~u0 ∈ ∂E íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {w
~ k } ⊂ G \ E òàêàÿ, ÷òî lim w
~ k = ~u0 . Ïîñêîëüêó
àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé
òî, òî
k→∞
F : G → F (G) âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî F (w
~ k ) 6∈ F (E)
k ∈ N, à â ñèëó íåïðåðûâíîñòè F ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
lim F (w
~ k ) = F (~u0 ). Ïîýòîìó F (~u0 ) 6∈ int F (E) è â ñèëó âêëþ÷åíèÿ
îòîáðàæåíèå
äëÿ ëþáîãî
k→∞
~u0 ∈ G.
F (~u0 ) 6∈ F (E),
(3) ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå (4) â ñëó÷àå
Ïóñòü òåïåðü
~u0 6∈ G.
Åñëè
òî, èñïîëüçóÿ âêëþ÷å-
∈
∈ F (E), ò. å. ñóùåñòâóåò âåêòîð ~v0 ∈ E ⊂ G òàêîé, ÷òî F (~u0 ) = F (~v0 ).
Ïîñêîëüêó ~
u0 6∈ G, à ~v0 ∈ G, òî ~v0 6= ~u0 . Èç ñîîòíîøåíèÿ (2) ñëåäóåò, ÷òî lim F (~
uk ) = F (~v0 ).  ñèëó òåîðåìû îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèå (3), îïÿòü ïðèõîäèì ê âêëþ÷åíèþ (4). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F (~
u0 )
k→∞
íèè íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{~vk } ⊂ G
òàêàÿ, ÷òî
lim ~vk = ~v0
áîëüøèõ
F (∂E) ⊂ ∂F (E).
(5)
Äîêàæåì îáðàòíîå âêëþ÷åíèå. Çàèêñèðóåì òî÷êó
Òîãäà
íàéäåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
32
{~xk } ⊂ F (E),
òî äëÿ ëþáîãî èíäåêñà
k ∈
~uk ∈ E òàêîé, ÷òî F (~uk ) = ~xk . Òàê êàê ìíîG èçìåðèìî, òî îíî îãðàíè÷åíî. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî ïîäìíîæåñòâî E òàêæå îãðàíè÷åíî. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {~
ukj }, ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó âåêòîðó ~u0 ∈ E . Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ F íà ìíîæåñòâå G ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
F (~u0 ) = ~x0 . Åñëè ~u0 ∈ int E , òî â ñèëó òåîðåìû îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè èìååì ~
x0 = F (~u0 ) ∈ int F (E), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âêëþ÷åíèþ
~x0 ∈ ∂F (E). Ïîýòîìó ~u0 ∈ ∂E . Ñëåäîâàòåëüíî, ~x0 ∈ F (∂E). Òàêèì
íàéäåòñÿ âåêòîð
{~xk }
⊂
F (E)
îáðàçîì, âêëþ÷åíèå, îáðàòíîå ê (5), òàêæå äîêàçàíî.
F ðàññìîòðèì ëèíåéíîå
F lin :
u
a11 u + a12 v + c1
u
c1
, ãäå ~u =
F lin (~u) = A
=
+
,
v
v
a21 u + a22 v + c2
c2
a11 a12
c1
çàäàâàåìîå ìàòðèöåé A =
è ñòîëáöîì
. Äàëåå ìû
a21 a22
c2
Íàpÿäó ñ íåëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì
îòîáðàæåíèå
áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé.
Èç ñâîéñòâà íîðìû ìàòðèöû (ãëàâà 12, 2, ëåììà 1) ñëåäóåò
Ïåðâîå ñâîéñòâî ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé. Ïðè ëèíåéíîì
îòîáðàæåíèè îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáðàçàìè äâóõ òî÷åê ê
ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïðîîáðàçàìè íå ïðåâîñõîäèò íîðìû ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ:
|F lin (~u1 ) − F lin (~u2 )|
≤ kAk ∀~u1 ∈ R2
|~u1 − ~u2 |
∀~u2 ∈ R2 : ~u1 6= ~u2 .
k→∞
F (~vk ) = F (~uk ) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k . Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî
k èìååì ~vk 6= ~uk , ~uk ∈ G, ~vk ∈ G, F (~vk ) = F (~uk ). Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ 1o ). Èòàê, âêëþ÷åíèå (4) äîêàçàíî. Ñëåäîâàòåëüíî,
è
Ïîñêîëüêó
æåñòâî
F (∂E) = ∂F (E).
÷òî
lim ~xk = ~x0 .
k→∞
Âòîðîå ñâîéñòâî ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé. Åñëè
òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñ ìàòðèöåé
det A 6= 0,
ïåðåâîäèò ïàðàëëåëîãðàìì
â ïàðàëëåëîãðàìì, ïðè÷åì îòíîøåíèå ïëîùàäè îáðàçà ê ïëîùàäè
ïðîîáðàçà ðàâíî ìîäóëþ
det A.
~x0 ∈ ∂F (E).
òàêàÿ,
A
÷òî
33
Äåéñòâèòåëüíî,
P , ïîñòðîåííûé íà
ðàññìîòðèì
ïàðàëëåëîãðàìì
b
b
11
12
âåêòîðàõ ~b1 =
è ~b2 =
. Ïðè îòîáðàæåíèè F lin îí ïåðåéb21
b22
äåò â ïàðàëëåëîãðàìì P ∗ , ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ ~b∗1 = A~b1 è ~b∗2 =
= A~b2 . Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà
P ðàâíà äëèíå âåêòîðíîãî ïðîèçb11
b12
âåäåíèÿ âåêòîðîâ b21 è b22 : µ(P ) = |b11 b22 − b12 b21 | = |det B|,
0
0
b11 b12
ãäå B =
. Àíàëîãè÷íî, µ(P ∗ ) = |det B ∗ |, ãäå ñòîëáöû ìàòb21 b22
ðèöû B ∗ ðàâíû ~b∗1 = A~b1 è ~b∗2 = A~b2 , à çíà÷èò, B ∗ = AB . Ñëåäîâàòåëüíî,
|det (AB)|
µ(P ∗ )
=
= |det A|.
µ(P )
|det B|
(~u) áóäåì îáîçíà÷àòü ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå îòîáðàæå×åðåç Fu~lin
0
u0
íèÿ F (~u) â îêðåñòíîñòè òî÷êè ~u0 =
∈ G:
v0
=
(~u) = F (~u0 ) + D F (~u0 ) (~u − ~u0 ) =
Fu~lin
0
x(u0 , v0 ) + x′u (u0 , v0 ) (u − u0 ) + x′v (u0 , v0 ) (v − v0 )
.
y(u0 , v0 ) + yu′ (u0 , v0 ) (u − u0 ) + yv′ (u0 , v0 ) (v − v0 )
(6)
îòðåçîê â R2uv ñ êîíöàìè â òî÷êàõ ~u =
×åðåç
[~u, ~u0 ] îáîçíà÷èì
u
u0
=
è ~u0 =
. Äëèíà ýòîãî îòðåçêà ðàâíà |~u − ~u0 | =
v
v0
p
= (u − u0 )2 + (v − v0 )2 .
Ëåììà 2.
sup
[~
u,~
u0 ]⊂G
0<|~
u−~
u0 |≤δ
(~u)|
|F (~u) − Fu~lin
0
−→ 0
|~u − ~u0 |
ïðè δ → +0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~
u0 ∈ G è
ïðèìåíèì òåîðåìó î ñðåäíåì (ãëàâà 12, 2, òåîðåìà 1) ê âåêòîðóíêöèè
(~u).
g(~u) = F (~u) − Fu~lin
(7)
0
Ïîëó÷èì, ÷òî
|g(~u)| = |g(~u) − g(~u0 )| ≤ sup kD g(~uθ )k |~u − ~u0 |,
(8)
θ∈(0,1)
ãäå ~uθ = ~u0 + θ(~u − ~u0 ).
Çàìåòèì, ÷òî
(~uθ ) = D F (~uθ ) − D F (~u0 ).
D g(~uθ ) = D F (~uθ ) − D Fu~lin
0
(9)
Ïîñêîëüêó |~uθ − ~u0 | ≤ |~u − ~u0 |, òî, êàê ñëåäóåò èç îðìóë (7), (8),
(9),
(~u)|
|F (~u) − Fu~lin
0
(10)
≤
sup
kD F (~u′ ) − D F (~u0 )k.
|~u − ~u0 |
u
~ 0 ∈G, u
~ ′ ∈G
0<|~
u′ −~
u0 |≤δ
 ñèëó íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè îòîáðàæåíèÿ F íà G
ïðîäîëæåííûå íà G ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ýòîãî îòîáðàæåíèÿ íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå G. Îòñþäà ïî òåîðåìå Êàíòîðà ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ïðîäîëæåííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòîáðàæåíèÿ F íà G, à çíà÷èò, ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ýòèõ ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ íà G. Ïîýòîìó ìàòðèöà ßêîáè D F ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà G, ò. å. ïðè δ → +0
sup
u
~ 0 ∈G, u
~ ′ ∈G
0<|~
u′ −~
u0 |≤δ
kD F (~u′ ) − D F (~u0 )k −→ 0.
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà (10) ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
Òåîpåìà 1. ( åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìîäóëÿ ÿêîáèàíà îòîáðàæåíèÿ.) Ïóñòü çàäàíî îòîáðàæåíèå F (ñì. (1)) ñî ñâîéñòâàìè 1o 3o.
34
35
Ïðè ðàçëè÷íûõ ÷èñëàõ h > 0 è âåêòîðàõ ~u0 =
ñìàòðèâàòü êâàäðàòû
u0
∈ G áóäåì ðàñv0
Qh = Qh (~u0 ) = [u0 − h, u0 + h] × [v0 − h, v0 + h] ⊂ G.
Òîãäà îáðàçû êâàäðàòîâ Qh ïðè îòîáðàæåíèè F ÿâëÿþòñÿ èçìåðè(Qh ))
ñòðåìèòìûìè ìíîæåñòâàìè è ïðè h → +0 îòíîøåíèå ìåð µ(F
µ(Qh )
ñÿ ê ìîäóëþ ÿêîáèàíà |JF (~u0 )| ðàâíîìåðíî ïî âñåì òî÷êàì ~u0 òàêèì,
÷òî êâàäðàòû Qh = Qh (~u0 ) ñîäåðæàòñÿ â G:
sup
~
u0 : Qh =Qh (~
u0 )⊂G
µ(F (Qh ))
− |JF (~u0 )| −→ 0 ïðè
µ(Qh )
Ïóñòü ph ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà Sh . Èç îðìóëû (12) ñëåäóåò,
÷òî ¾êðèâîëèíåéíûé ïàðàëëåëîãðàìì¿ F (Qh ) ñîäåðæèòñÿ â çàìûêà(Qh ): F (Qh ) ⊂
íèè σ(h) îêðåñòíîñòè ïàðàëëåëîãðàììà Sh = Fu~lin
0
⊂ Uσ(h) (Sh ). Ïîýòîìó µ(F (Qh )) ≤ µ(Uσ(h) (Sh )). Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü îêðåñòíîñòè Uσ(h) (Sh ) îòëè÷àåòñÿ îò ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà Sh íå áîëåå ÷åì íà σ(h) ph + πσ 2 (h):
µ(Uσ(h) (Sh )) − µ(Sh ) ≤ σ(h) ph + πσ 2 (h).
Ñëåäîâàòåëüíî,
y
v
Èç òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé óíêöèè ñëåäóåò, ÷òî îáðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé êðèâîé ïðè
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîì îòîáðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìîé êðèâîé. Ïîýòîìó îáðàç ñòîðîíû êâàäðàòà Qh ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé êðèâîé, à îáðàç ãðàíèöû Qh
êóñî÷íî-ãëàäêîé, à çíà÷èò, ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé. Îòñþäà è èç òåîðåìû 3 1 ãëàâû 7 ñëåäóåò, ÷òî µ(F (∂Qh )) = 0, ÷òî âìåñòå ñ ëåììîé 1
òåêóùåãî ïàðàãðàà äàåò ðàâåíñòâî µ(∂F (Qh )) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
â ñèëó êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè ìíîæåñòâî F (Qh ) èçìåðèìî.
 ñèëó âòîðîãî ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé îáðàç êâàäðàòà Qh ïðè îòîáðàæåíèè Fu~lin
ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì Sh =
0
,
ïðè÷åì
(Q
)
= Fu~lin
h
0
(11)
Îáîçíà÷èì
σ(h) =
sup
sup
u
~ 0 : Qh (~
u0 )⊂G
u
~ ∈Qh (~
u0 )
(~u)|.
|F (~u) − Fu~lin
0
(12)
√
Ïîñêîëüêó ïðè ~u ∈ Qh âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |~u − ~u0 | ≤ h 2, òî â
ñèëó ëåììû 2
σ(h)
→ 0 ïðè h → +0.
(13)
h
36
Uσ(
F
Äîêàçàòåëüñòâî.
µ(Sh )
= |det D F (~u0 )| = |JF (~u0 )|.
µ(Qh )
(14)
µ(F (Qh )) − µ(Sh ) ≤ σ(h) ph + πσ 2 (h).
h → +0.
h) ( S
h)
F (Qh )
Sh
v0 + h
Qh
Seh
~u0
σ (h)
~x0
σ (h)
v0 − h
σ (h)
u
u0 − h
σ (h)
x
u0 + h
Äîêàæåì íåðàâåíñòâî
µ(Sh ) − µ(F (Qh )) ≤ σ(h) ph .
(15)
Åñëè ìèíèìàëüíàÿ èç âûñîò ïàðàëëåëîãðàììà Sh íå ïðåâîñõîäèò
2σ(h), òî µ(Sh ) ≤ σ(h) ph , è íåðàâåíñòâî (15) âûïîëíåíî. Ïîýòîìó
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî 2σ(h) ìåíüøå âûñîò ïàðàëëåëîãðàììà Sh .
Òîãäà ñóùåñòâóåò ïàðàëëåëîãðàìì Seh , ñîäåðæàùèéñÿ â ïàðàëëåëîãðàììå Sh è òàêîé, ÷òî ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà Seh ïàðàëëåëüíû
ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììà Sh è íàõîäÿòñÿ îò íèõ
íà ðàññòîÿíèè σ(h).
òî÷êà ~u0 , íàõîäÿùàÿñÿ â öåíòðå
Ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè Fu~lin
0
êâàäðàòà Qh , ïåðåéäåò â öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà Sh , êîòîðûé îáî(~u0 ). Èç îïðåäåëåíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà Seh
çíà÷èì ÷åðåç ~x0 : ~x0 = Fu~lin
0
ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà ~x0 ÿâëÿåòñÿ åãî öåíòðîì, à çíà÷èò, ~x0 ∈ int Seh . Èç
(~u0 ) = F (~u0 ). Ïîýòîìó ~x0 = F (~u0 ).
îðìóëû (6) ñëåäóåò, ÷òî Fu~lin
0
37
Ïîêàæåì, ÷òî
Seh ⊂ F (Qh ).
(16)
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóåò òî÷êà ~x∗ ∈ Seh \ F (Qh ). Òîãäà
íà îòðåçêå [~x0 , ~x∗ ] íàéäåòñÿ òî÷êà ~x1 ∈ ∂F (Qh ).  ñèëó ëåììû 1 èìååì ∂F (Qh ) = F (∂Qh ). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òî÷êà ~u1 ∈ ∂Qh òàêàÿ,
÷òî ~x1 = F (~u1 ). Ïðè ýòîì ~x1 ∈ F (Qh ) = F (Qh ) (ìíîæåñòâî F (Qh )
çàìêíóòî êàê îáðàç êîìïàêòà ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè) è, ñëåäîâàòåëüíî, ~x1 6= ~x∗ .
(~u1 )| ≤ σ(h).
Èç îðìóëû (12) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî |F (~u1 ) − Fu~lin
0
Ïîñêîëüêó Fu~lin
(~
u
)
∈
∂S
,
òî
ðàññòîÿíèå
îò
òî÷êè
~
x
=
F
(~u1 ) äî ãðà1
h
1
0
íèöû ïàðàëëåëîãðàììà Sh íå ïðåâîñõîäèò σ(h). Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
èç ñîîòíîøåíèé ~x0 ∈ int Seh , ~x∗ ∈ Seh , ~x1 ∈ [~x0 , ~x∗ ], ~x1 6= ~x∗ ñëåäóåò,
÷òî ~x1 ∈ int Seh , à çíà÷èò, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ~x1 äî ãðàíèöû ïàðàëëåëîãðàììà Sh ñòðîãî áîëüøå σ(h). Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò âêëþ÷åíèå (16). Èç âêëþ÷åíèÿ (16) è íåðàâåíñòâà µ(Sh ) −
− µ(Seh ) ≤ σ(h) ph ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (15), êîòîðîå âìåñòå ñ íåðàâåíñòâîì (14) äàåò îöåíêó
|µ(F (Qh )) − µ(Sh )| ≤ σ(h)ph + πσ 2 (h).
(17)
Ïîñêîëüêó ïåðèìåòð êâàäðàòà Qh ðàâåí 8h, òî â ñèëó ïåðâîãî
ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ph ≤ 8h |D F (~u0 )|. Òàê êàê îòîáðàæåíèå F íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî íà êîìïàêòå G, òî ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ïðîäîëæåííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îòîáðàæåíèÿ
F îãðàíè÷åíû íà G. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ßêîáè D F (~u) îãðàíè÷åíà íà G, ò. å. sup |D F (~u0 )| = M ∈ R. Ñëåäîâàòåëüíî, ph ≤ 8 M h.
~
u0 ∈G
Îòñþäà è èç îðìóë (13), (17) ñëåäóåò, ÷òî ïðè h → +0
sup
u
~ 0 : Qh (~
u0 )⊂G
|µ(F (Qh )) − µ(Sh )|/h2 → 0.
Çàìå÷àÿ, ÷òî µ(Qh ) = 4h2 , ïîëó÷àåì ïðè h → +0
sup
u
~ 0 : Qh (~
u0 )⊂G
µ(Sh )
µ(F (Qh ))
−→ 0.
−
µ(Qh )
µ(Qh )
Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (11) ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå.
5.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì
èíòåãðàëå
 ýòîì ïàðàãðàå òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåì, ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî îòîáðàæåíèå F : G → G∗ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 1o 3o , à G ⊂ R2uv
è G∗ ⊂ R2xy îòêðûòûå èçìåðèìûå ìíîæåñòâà.
Ëåììà 1. Ïóñòü P çàìêíóòûé êâàäðàò, ëåæàùèé â G, ñòîðîíû
êâàäðàòà P ïàðàëëåëüíû êîîðäèíàòíûì îñÿì. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå
F (P ) çàäàíà íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ f (x, y). Òîãäà
Z Z
Z Z
∂(x, y)
f (x, y) dx dy =
f (x(u, v), y(u, v))
du dv.
∂(u, v)
P
F (P )
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a0 äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà P . àçîáúåì ñòîðîíû êâàäðàòà P íà k ðàâíûõ ÷àñòåé è ïîëó÷èì ðàçáèåíèå
2
T = {Pik }ki=1 êâàäðàòà P íà êâàäðàòû
h
a0 k a0 i h k a0 k a0 i
× vi −
.
,u +
,v +
Pik = uki −
2k i
2k
2k i
2k
k
ui
Îáîçíà÷èì ~uki =
. Èç òåîðåìû 1 4 ñëåäóåò, ÷òî
vik
max 2
i∈{1,...,k }
µ(F (Pik ))
− |JF (~uki )| −→ 0 ïðè k → ∞.
µ(Pik )
 ñèëó ëåììû 1 4 ìíîæåñòâà F (Pik ) è F (Pjk ) ïðè i 6= j ìîãóò ïå2
e = {F (Pik )}ki=1
ðåñåêàòüñÿ ëèøü ïî ãðàíèöå. àññìîòðèì ðàçáèåíèå T
e îïðåäåëèì âûáîðêè ξT =
ìíîæåñòâà F (P ). Äëÿ ðàçáèåíèé T è T
k k2
k k2
ui )}i=1 .
= {~ui }i=1 è ξT
e = {F (~
√
Çàìåòèì, ÷òî ℓ(T) = a0 2/k . Ñëåäîâàòåëüíî, ℓ(T) → 0 ïðè k →
→ ∞. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ
g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
∂(x, y)
∂(u, v)
íåïðåðûâíà íà èçìåðèìîì êîìïàêòå P , òî îíà èíòåãðèðóåìà íà ýòîì
êîìïàêòå. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z Z
σ(g; T; ξT ) −→
g(u, v) du dv ïðè k → ∞.
(2)
P
38
(1)
39
Èç ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ F íà êîìïàêòå P ñëåe ) → 0 ïðè k → ∞. Îòñþäà è èç èíòåãðèðóåìîñòè óíêäóåò, ÷òî ℓ(T
öèè f (x, y), íåïðåðûâíîé íà èçìåðèìîì êîìïàêòå F (P ), ïîëó÷àåì
Z Z
e
f (x, y) dx dy ïðè k → ∞.
σ(f ; T; ξT
(3)
e ) −→
F (P )
Îáîçíà÷èì M =
max
(x,y)∈F (P )
|f (x, y)|. Òîãäà
e ; ξT
|σ(f ; T
e ) − σ(g; T; ξT )| =
k2
k
X
X
k
k
g(~uki ) µ(Pik ) =
f (F (~ui )) µ(F (Pi )) −
=
2
i=1
i=1
2
=
k
X
i=1
f (F (~uki )) µ(F (Pik )) − |JF (~uki )| µ(Pik ) ≤
≤ M k2
i∈{1,...,k }
Çàìå÷àÿ, ÷òî µ(Pik ) = (a0 /k)2 , ïîëó÷àåì
≤ M a20
max 2
i∈{1,...,k }
µ(F (Pik ))
− |JF (~uki )| .
µ(Pik )
(4)
Èç îðìóë (1), (4) ïîëó÷àåì, ÷òî
e ; ξT
|σ(f ; T
e ) − σ(g; T; ξT )| −→ 0
ïðè k → ∞,
îòêóäà è èç îðìóë (2), (3) ñëåäóåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
Òåîpåìà 1. (Î çàìåíå ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå.) Ïóñòü
çàäàíû îòîáðàæåíèå F
R2uv
⊃
G
îòêð.
F
−→
←−
⊂
R2xy
ñî ñâîéñòâàìè 1o 3o è óíêöèÿ f (x, y), íåïðåðûâíàÿ â çàìûêàíèè
ìíîæåñòâà G∗ . Òîãäà
40
G∗
Z Z
f (x(u, v), y(u, v))
∂(x, y)
du dv.
∂(u, v)
(5)
G
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó óíêöèè f (x, y) è g(u, v) =
íåïðåðûâíû íà èçìåðèìûõ êîìïàêòàõ G∗
∂(x,y)
∂(u,v)
= f (x(u, v), y(u, v))
è G, òî ýòè óíêöèè èíòåãðèðóåìû íà íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèè
f è g èíòåãðèðóåìû íà èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâàõ G∗ ⊂ G∗ , G ⊂ G.
Ïîýòîìó èíòåãðàëû â îðìóëå (5) ñóùåñòâóþò.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî G èçìåðèìî, òî îíî îãðàíè÷åíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé êâàäðàò Q0 : G ⊂ Q0 . àçîáúåì ñòî2
ðîíû êâàäðàòà Q0 íà k ðàâíûõ ÷àñòåé è ïîëó÷èì ðàçáèåíèå {Qki }ki=1
êâàäðàòà Q0 íà êâàäðàòû Qki , íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê.
×åðåç Ak îáîçíà÷èì êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ êâàäðàòîâ Qki , êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ âî ìíîæåñòâå G:
[
Qki .
Ak =
Ïóñòü
a0 äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà Q0 . Òîãäà diam (Qki ) =
√
= a0 2/k . Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà ~u ëåæèò âî ìíîæåñòâå G \ Ak ,
k
k
7,
òî ~u
√
T ∈ Qi , Qi 6⊂ G. Ïîýòîìó, êàê ñëåäóåò èç ëåììû 3 1 ãëàâû
Qki ∂G 6= ∅, à çíà÷èò, ~u ∈ Uεk (∂G), ãäå εk = diam (Qki ) = a0 2/k →
→ 0 ïðè k → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, G \ Ak ⊂ Uεk (∂G).
 ñèëó èçìåðèìîñòè ìíîæåñòâà G ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
µ(∂G) = 0. Ïîýòîìó, êàê ñëåäóåò èç ëåììû 2 1 ãëàâû 7,
µ(Uεk (∂G)) → 0 ïðè k → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî,
µ(G \ Ak ) −→ 0
ïðè k → ∞.
(6)
Òàê êàê îòîáðàæåíèå F íåïðåðûâíî íà êîìïàêòå G, òî îíî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà G. Îòñþäà è èç óñëîâèÿ lim εk = 0 ïîëó÷àåì,
k→∞
÷òî äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
σk =
G∗
îòêð.
èçìåð.
èçìåð.
f (x, y) dx dy =
i: Qk
i ⊂G
max 2 µ(F (Pik )) − |JF (~uki )| µ(Pik ) .
e ; ξT
|σ(f ; T
e ) − σ(g; T; ξT )| ≤
Z Z
|F (~u1 ) − F (~u2 )|
sup
~u1 ∈ G, ~u2 ∈ G :
|~u1 − ~u2 | < εk
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå lim σk = 0.
k→∞
41
Ïîñêîëüêó G \ Ak ⊂ Uεk (∂G), òî F (G \ Ak ) ⊂ Uσk (F (∂G)). Â ñèëó
ëåììû 1 4 èìååì F (∂G) = ∂F (G) = ∂G∗ . Îòñþäà è èç êðèòåðèÿ
èçìåðèìîñòè ñëåäóåò ðàâåíñòâî µ(F (∂G)) = 0, ÷òî âìåñòå ñ ëåììîé
2 1 ãëàâû 7 äàåò ñîîòíîøåíèå µ(Uσk (F (∂G)) → 0 ïðè k → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, µ(F (G \ Ak )) → 0 ïðè k → ∞. Òàê êàê îòîáðàæåíèå F
âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî F (G \ Ak ) = F (G) \ F (Ak ) = G∗ \ F (Ak ).
Ïîýòîìó
µ(G∗ \ F (Ak )) −→ 0 ïðè k → ∞.
(7)
y
v
Q
Ak
0
F
Z Z
g(u, v) du dv −→
Z Z
g(u, v) du dv
ïðè k → ∞.
(9)
G
Ak
 ñèëó ëåììû 1 è àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy.
g(u, v) du dv =
(10)
Ak
F (Ak )
Èç îðìóë (8) (10) ñëåäóåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (5).
2
Ïpèìåp. Ïóñòü â îòêpûòîì êðóãå Ω = {(x, y) ∈ R
: x2 +
+y 2 < r02 } çàäàíà íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ f (x, y), êîòîðàÿ ìîæåò áûòü
íåïðåðûâíî
R R ïðîäîëæåíà â çàìûêàíèå êðóãà Ω. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíf (x, y) dx dy ÷àñòî óäîáíî ââåñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû:
òåãðàëà
G
F (Ak )
G∗
Ω
r ≥ 0,
u
x
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè f íà êîìïàêòå G∗ = F (G) ñóùåñòâóåò ÷èñëî M = max |f (x, y)|. Îòñþäà è èç (7) ñëåäóåò, ÷òî ïðè
(x,y)∈G∗
k→∞
Z Z
Îòîáðàæåíèå F : R2rϕ → R2xy íå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì,
òàê êàê, íàïðèìåð, òî÷êè (r, 0) è (r, 2π) ïåðåõîäÿò â îäíó è òó æå
òî÷êó. Êðîìå òîãî, JF (r, ϕ) = 0 ïðè r = 0. ×òîáû óäîâëåòâîðèòü
òðåáîâàíèÿì âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè è íåðàâåíñòâà íóëþ ÿêîáèàíà,
ðàññìîòðèì îòêpûòîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî
f (x, y) dx dy ≤ M µ(G∗ \ F (Ak )) −→ 0.
G∗ \F (Ak )
Èñïîëüçóÿ àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó, ïîëó÷àåì
Z Z
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy,
f (x, y) dx dy +
f (x, y) dx dy =
G∗
ïîýòîìó
Z Z
F (Ak )
f (x, y) dx dy −→
G = {(r, ϕ) : r ∈ (0, r0 ), ϕ ∈ (0, 2π)},
G∗ \F (Ak )
F (Ak )
Z Z
f (x, y) dx dy
G∗
ïðè
k → ∞.
êîòîðîå ïðè îòîáðàæåíèè F ïåðåõîäèò âî ìíîæåñòâî
(8)
Àíàëîãè÷íî èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè g íà êîìïàêòå G è óñëîâèÿ
(6) ñëåäóåò, ÷òî
42
ϕ ∈ [0, 2π],
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
r cos ϕ
Îòîáðàæåíèå F (r, ϕ) =
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî,
r sin ϕ
è åãî ÿêîáèàí
′
xr
x′ϕ
cos ϕ
−r sin ϕ
JF (r, ϕ) = det
=
det
= r.
yr′
yϕ′
sin ϕ
r cos ϕ
G∗ = {(x, y) : (0 < x2 + y 2 < r02 ) è (y 6= 0 ïðè x > 0)}.
 ñèëó òåîðåìû î çàìåíå ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå è òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
43
Z Z
f (x, y) dx dy =
G∗
Z Z
f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ =
=
0
r dr
Z2π
f (r cos ϕ, r sin ϕ) dϕ.
0
Ïîñêîëüêó êðóã Ω îòëè÷àåòñÿ îò ìíîæåñòâà G∗ íà ìíîæåñòâî
ìåðû íóëü, à èíòåãðàë ïî ìíîæåñòâó ìåðû íóëü ðàâåí íóëþ, òî
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy.
f (x, y) dx dy =
G∗
Ω
Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî êðóãó Ω ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà:
Z Z
f (x, y) dx dy =
x2 +y 2 <r02
Zr0
r dr
0
Z2π
f (r cos ϕ, r sin ϕ) dϕ.
0
Äëÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó G ⊂ Rn èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î çàìåíå ïåðåìåííûõ, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.
àññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Rnx òî÷åê x =
= (x1 , . . . , xn ) è ïðîñòðàíñòâî Rnu òî÷åê u = (u1 , . . . , un ). Ïóñòü íà çàìûêàíèè îòêpûòîãî
ìíîæåñòâà G ⊂ Rnu çàäàíà âåêòîð èçìåðèìîãî
x1 (u1 , . . . , un )
, ïåðåâîäÿùàÿ ìíîæåñòâî G â îò···
óíêöèÿ F (u) =
xn (u1 , . . . , un )
êpûòîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî G∗ ⊂ Rnx è îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè:
1o . F âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò G â G∗ ;
2o . îòîáðàæåíèåF íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî
íà G;
∂x1
∂x1
∂u1 (u) · · ·
∂un (u)
···
· · · 6= 0 äëÿ ëþáûõ u ∈ G.
3o . JF (u) = det · · ·
∂xn
∂xn
∂u1 (u) · · ·
∂un (u)
Ïóñòü óíêöèÿ f : G∗ → R íåïðåðûâíà. Òîãäà
Z
Z
Z
Z
· · · f (x) dx1 · · · dxn = · · · f (F (u)) |JF (u)| du1 · · · dun .
Òåîpåìà
G∗
åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë çíàêà ÿêîáèàíà
îòîáðàæåíèÿ
G
Zr0
6.
2.
Íàïîìíèì, ÷òî êðèâàÿ Γ ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè âîçìîæíà åå íàòóðàëüíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ Γ = {~
̺(s) : s ∈ [0, |Γ|]} è âåêòîðóíêöèÿ ̺~(s) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [0, |Γ|]. Ïðè
ýòîì |~
̺′ (s)| = 1 ∀s ∈ [0, |Γ|].
 ãëàâå 5 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè âåêòîð-óíêöèÿ ~r(t) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà è íå èìååò îñîáûõ òî÷åê, ò. å. ~r ′ (t) 6= 0 ∀t ∈
∈ [a, b], òî êðèâàÿ Γ = {~r(t) : t ∈ [a, b]} ãëàäêàÿ.
çàäàíû
Ïóñòü äâà íåêîëëèíåàpíûõ âåêòîðà íà
x1
y1
è ~y =
. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïàðà âåêòîðîâ
ïëîñêîñòè: ~x =
x2
y2
~x, ~y ïðàâàÿ, åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ~x ê
íàïðàâëåíèþ âåêòîðà ~y ïðîèçâîäèòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè; èíà÷å
ãåîìåòðèè
ïàðà ~x, ~y íàçûâàåòñÿ ëåâîé. Èç àíàëèòè÷åñêîé èçâåñòíî,
x1 y1
> 0 ïàðà
÷òî â ïðàâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â ñëó÷àå det
x y2
2
x1 y1
< 0 ëåâàÿ.
âåêòîðîâ ~x, ~y ïðàâàÿ, à â ñëó÷àå det
x2 y2
Îïpåäåëåíèå.
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü ïëîñêèå êðèâûå Γ1 è Γ2 ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå ~r0 . Ïóñòü ~τ1 , ~τ2 âåêòîðû êàñàòåëüíûõ ê êðèâûì Γ1 , Γ2 â
òî÷êå ~r0 , íàïðàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé êðèâûõ Γ1 ,
Γ2 . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâûå Γ1 , Γ2 ñîñòàâëÿþò ïðàâóþ (ëåâóþ)
ïàðó â òî÷êå ~
r0 , åñëè âåêòîðû ~τ1 , ~τ2 ñîñòàâëÿþò ïðàâóþ (ëåâóþ) ïàðó.
G
Ïóñòü êðèâûå Γ1 èΓ2 ëåæàò â îáëàñòè Ω ⊂ R2uv è
u0
ñîñòàâëÿþò ïðàâóþ ïàðó â òî÷êå
. Ïóñòü â îáëàñòè Ω çàäàíà
v0
x(u, v)
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-óíêöèÿ F (u, v) =
y(u, v)
ñ íåðàâíûì íóëþ ÿêîáèàíîì. Ïóñòü F (Γ1 ), F (Γ2 ) îáðàçû êðèâûõ
Γ1 , Γ2 ïðè îòîáðàæåíèè F , îðèåíòèðîâàííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé êðèâûõ Γ1 , Γ2 .
(u0 ,
v0 ) >
Òîãäà â ñëó÷àå JF
0 êðèâûå
F (Γ1 ), F (Γ2 ) ñîñòàâëÿþò
x(u0 , v0 )
x0
ïðàâóþ ïàðó â òî÷êå
, à â ñëó÷àå JF (u0 , v0 ) < 0
=
y(u0 , v0 )
y0
ëåâóþ ïàðó.
44
45
Ëåììà 1.
y
v
Γ2
F
Γ1
JF (u0 , v0 ) > 0
F (Γ2 )
~r0 = ~r(t0 ) òî÷êà ãëàäêîñòè êðèâîé Γ, ò. å. ñóùåñòâóåò ~r ′ (t0 ) 6= 0.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð ~n(t0 ) ∈ R2 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì âíóòðåííåé íîðìàëè ê ãðàíèöå îáëàñòè G â òî÷êå ~
r0 , åñëè
1) ~n(t0 )⊥~r ′ (t0 ) è
2) ∃δ0 > 0 : ∀δ ∈ (0, δ0 ) ֒→ ~r0 + δ~n(t0 ) ∈ G.
F (Γ1 )
y0
v0
u
x
u0
x0
Ïîñêîëüêó êðèâûå Γ1 , Γ2 èìåþò êàñàòåëüu0
íóþ â òî÷êå ~r0 =
, òî ýòè êðèâûå ìîãóò áûòü çàäàíû âåêòîðv
0
ui (t)
óíêöèÿìè ~ri (t) =
, äèåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå t0 , ãäå
vi (t)
~r1 (t0 ) = ~r2 (t0 ) = ~r0 , ïðè÷åì ~r ′i (t0 ) 6= 0, i = 1, 2. Òàê êàê êðèâûå Γ1 ,
Γ2 ñîñòàâëÿþò â òî÷êå ~r0 ïðàâóþ ïàðó, òî ïàðà âåêòîðîâ ~r ′1 (t0 ), ~r ′2 (t0 )
ïðàâàÿ, ò. å.
′
u1 (t0 ) v1′ (t0 )
> 0.
det
(1)
u′2 (t0 ) v2′ (t0 )
Äîêàçàòåëüñòâî.
~
Êðèâûå
F (Γi ) ìîãóò áûòü çàäàíû âåêòîð-óíêöèÿìè Ri (t) =
xi (t)
=
= F (~ri (t)), i = 1, 2.
yi (t)
 ñèëó òåîðåìû î äèåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé âåêòîð-óíêöèè
~ ′ (t0 ) = D F (~r0 ) ~r ′ (t0 ), ñëåäîâàòåëüíî,
R
i
i
′
′
x1 (t0 ) x′2 (t0 )
u1 (t0 ) u′2 (t0 )
=
D
F
(~
r
)
,
0
y1′ (t0 ) y2′ (t0 )
v1′ (t0 ) v2′ (t0 )
ïîýòîìó
det
′
′
x1 (t0 ) x′2 (t0 )
u1 (t0 ) u′2 (t0 )
.
=
J
(u
,
v
)
det
F
0
0
v1′ (t0 ) v2′ (t0 )
y1′ (t0 ) y2′ (t0 )
(2)
Èç îðìóë (1), (2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè JF (u0 , v0 ) > 0 ïàðà âåêòîðîâ
~ ′ (t0 ), R
~ ′ (t0 ) ïðàâàÿ, ò. å. êðèâûå F (Γ1 ), F (Γ2 ) ñîñòàâëÿþò ïðàâóþ
R
1
2
x0
= F (~r0 ), à ïðè JF (u0 , v0 ) < 0 ëåâóþ ïàðó â ýòîé
ïàðó â òî÷êå
y0
òî÷êå.
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ Γ = {~r(t) : t ∈ [a, b]} ëåæèò íà ãðàíèöå îáëàñòè G ⊂ R2 . Ïóñòü
46
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íîãëàäêàÿ êðèâàÿ Γ = {~r(t) : t ∈ [a, b]}, ëåæàùàÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè
G ⊂ R2 , îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G, è
ïèñàòü Γ+ , åñëè â êàæäîé òî÷êå ~r(t0 ) ãëàäêîñòè êðèâîé Γ ïàðà, ñîñòàâëåííàÿ èç âåêòîðà êàñàòåëüíîé ~r ′ (t0 ) è âåêòîðà âíóòðåííåé íîðìàëè ~n(t0 ) ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé. Îðèåíòàöèþ êðèâîé Γ, ïðîòèâîïîëîæíóþ ïîëîæèòåëüíîé, áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíîé îðèåíòàöèåé
è ïèñàòü â ýòîì ñëó÷àå Γ− .
Ìåíåå àêêóðàòíî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êpèâàÿ Γ îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G, åñëè ïðè îáõîäå êðèâîé Γ â íàïðàâëåíèè åå îðèåíòàöèè îáëàñòü G îñòàåòñÿ ñëåâà
(ñïðàâà).
Òåîpåìà 1. ( åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë çíàêà ÿêîáèàíà îòîáðàæåíèÿ.) Ïóñòü ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ Γ+ ëåæèò
íà ãðàíèöå îáëàñòè G ⊂ R2 è îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G. Ïóñòü â îáëàñòè Ω, ñîäåðæàùåé êðèâóþ Γ+ , îïðåäåëåíà
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-óíêöèÿ F (u, v) =
x(u, v)
=
, çàäàþùàÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : G →
y(u, v)
→ F (G) ñ íåðàâíûì íóëþ ÿêîáèàíîì. Ïóñòü êðèâàÿ F (Γ+ ) îáðàç
êðèâîé Γ+ ïðè îòîáðàæåíèè F , îðèåíòèðîâàíà â ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé êðèâîé Γ+ .
Òîãäà â ñëó÷àå JF (u, v) > 0 ∀(u, v) ∈ Ω êðèâàÿ F (Γ+ ) îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè F (G), à â ñëó÷àå JF (u, v) <
< 0 ∀(u, v) ∈ Ω îòðèöàòåëüíî. Äðóãèõ ñëó÷àåâ íå áûâàåò.
+
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Γ = {~
r1 (t) : t ∈ [a, b]}. Çàèêñèðóåì
ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~r0 = ~r1 (t0 ) íà êðèâîé Γ+ . Ïóñòü ~n0 âåêòîð
âíóòðåííåé íîðìàëè ê ãðàíèöå îáëàñòè G â òî÷êå ~r0 . Òîãäà ∃δ0 >
> 0 : ∀δ ∈ (0, δ0 ) ֒→ ~r0 + δ~n(t0 ) ∈ G. Èç ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèè
êðèâîé Γ+ ñëåäóåò, ÷òî êðèâûå Γ+ , Γ0 = {~r2 (t) = ~r0 + (t − t0 )~n0 : t ∈
∈ [t0 , t0 + δ0 ]} îáðàçóþò ïðàâóþ ïàðó â òî÷êå ~r0 .
47
Ïóñòü ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ F ïîëîæèòåëåí. Â ñèëó ëåììû 1 êðè~ 1 (t) = F (~r1 (t)) : t ∈ [a, b]} è F (Γ0 ) = {R
~ 2 (t) =
âûå F (Γ+ ) = {R
~0 =
= F (~r2 (t)) : t ∈ [t0 , t0 + δ0 ]} îáðàçóþò ïðàâóþ ïàðó â òî÷êå R
′
′
~
~
= F (~r0 ), ò. å. ïàðà âåêòîðîâ R1 (t0 ), R2 (t0 ) ïðàâàÿ. Ïîñêîëüêó ∀δ ∈
~ 2′ (t0 ) íàïðàâ~ 2 (t0 + δ) ∈ F (G), òî âåêòîð êàñàòåëüíîé R
∈ (0, δ0 ) ֒→ R
ëåí â ñòîðîíó îáëàñòè F (G). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð êàñàòåëüíîé
~ 1′ (t0 ) è âåêòîð âíóòðåííåé íîðìàëè ê ãðàíèöå îáëàñòè F (G) â òî÷êå
R
~ 0 = F (~r0 ) ñîñòàâëÿþò ïðàâóþ ïàðó. Ïîñêîëüêó âûáîðîì òî÷êè ~r0
R
~ 0 = F (~r0 ) íà êðèâîé
íà êðèâîé Γ+ ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáóþ òî÷êó R
+
+
F (Γ ), òî êðèâàÿ F (Γ ) îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî
îáëàñòè F (G). Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî ÿêîáèàíà, êðèâàÿ F (Γ+ ) îðèåíòèðîâàíà îòðèöàòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè F (G).
Ïîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ñëó÷àåâ íå áûâàåò. Åñëè ÿêîáèàí JF (u, v)
ïðèíèìàåò â îáëàñòè Ω çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ çíàêîâ, òî ïî òåîðåìå î
ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè äëÿ óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, íåïðåðûâíîé íà ñâÿçíîì ìíîæåñòâå, ÿêîáèàí JF (u, v) äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü â íåêîòîðîé òî÷êå îáëàñòè Ω, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèÿì
òåîðåìû.
7.
Ôîðìóëà
Γ
(f~(~r), d~r) =
Zb
(f~(~r(t)), ~r ′ (t)) dt.
(1)
a
Âûðàæåíèå,
çàïèñàííîå
â
ëåâîé
÷àñòè
ýòîé
îðìóëû
ÿâëÿåòñÿ
îáîçíà÷åíèåì
êðèâîëèíåéíîãî
èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà, à â ïðàâîé ÷àñòè äàííîé îðìóëû
=
çàïèñàí èíòåãðàë èìàíà ñêàëÿðíîé óíêöèè ϕ(t)
= (f~(~r(t)), ~r ′ (t)) ïî îòðåçêó [a, b]. Çäåñü ÷åðåç (f~(~r(t)), ~r ′ (t))
îáîçíà÷åíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ f~(~r(t)) è ~r ′ (t).
48
i=1 Γ
i
Γ
Äëÿ êðèâîëèíåéíîãî
Γ =
èíòåãðàëà ïî ïëîñêîé êðèâîé
P (x, y)
x(t)
=
: t ∈ [a, b] îò âåêòîð-óíêöèè f~(x, y) =
Q(x, y)
y(t)
îðìóëà (1) ïðèíèìàåò âèä
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Γ
=
ðèíà
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà,
ââåäåííîãî â 7 ãëàâû 7. Ïóñòü êðèâàÿ Γ = {~r(t) ∈ Rn : t ∈
[a, b]} çàäàíà íåïðåðûâíîé âåêòîð-óíêöèåé ~r(t), èìåþùåé êóñî÷íîíåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, à âåêòîð-óíêöèÿ f~(~r) ∈ Rn íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå Γ. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà óíêöèè
f~(~r) ïî êðèâîé Γ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
Z
Êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå, êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà
íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè, à ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè êðèâîé
ìåíÿåò çíàê. Îòìåòèì, ÷òî èç ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà èìàíà ïî îòðåçêó è îðìóëû (1) ñëåäóåò ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïî êðèâîé:
åñëè êðèâàÿ Γ ñîñòàâëåíà èç êðèâûõ Γ1 , . . . , Γk , îðèåíòèðîâàííûõ â
ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé êðèâîé Γ, òî
Z
k Z
X
(f~(~r), d~r).
(f~(~r), d~r) =
Zb
a
P (x(t), y(t)) x′ (t) + Q(x(t), y(t)) y ′ (t) dt.
 ÷àñòíîñòè, åñëè êðèâàÿ Γ ÿâëÿåòñÿ ãðàèêîì óíêöèè y(x),
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé íà îòðåçêå [a, b], òî
Z
P (x, y) dx =
Zb
P (x, y(x)) dx.
(2)
a
Γ
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà
Rb
P (x, y(x)) dx äîñòà-
a
òî÷íî òðåáîâàòü íåïðåðûâíîñòü óíêöèè y(x) íà [a, b] è íåïðåðûâíîñòü óíêöèè P (x, y) íà ìíîæåñòâå Γ = {(x, y(x)) : x ∈ [a, b]}.
Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ Γ ÿâëÿåòñÿ ãðàèêîì íåïðåðûâíîé
(à íå îáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìîé) óíêöèè, êðèâîR
ëèíåéíûé èíòåãðàë P (x, y) dx áóäåì ïîíèìàòü â ñìûñëå îðìóëû
Γ
(2). Êàê ïîêàçàíî âûøå, â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè y(x) ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ îáùèì îïðåäåëåíèåì
êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà.
49
Àíàëîãè÷íî, åñëè êðèâàÿ Γ = {(x(y), y) : y ∈ [c, d]} ÿâëÿåòñÿ
ãðàèêîì óíêöèè x(y), íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [c, d], à óíêöèÿ
Q(x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå Γ, òî îïðåäåëèì
Q(x, y) dy =
Zd
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îáëàñòü G ⊂ R2 ýëåìåíòàðíà, åñëè îíà ýëåìåíòàpíà îòíîñèòåëüíî êàæäîé èç êîîðäèíàòíûõ
îñåé, ò. å. ñóùåñòâóþò óíêöèè ϕ(x),
ψ(x), íåïðåðûâíûå íà [a, b], è óíêöèè α(y), β(y), íåïðåðûâíûå íà [c, d],
òàêèå, ÷òî
ϕ(x) < ψ(x)
è
y = ψ(x)
x = α(y)
d
G
b
=
Zb
P (x, ϕ(x))dx−
G
50
P (x, ψ(x))dx = −
Zb
a
P (x, ψ(x))−P (x, ϕ(x)) dx.
P (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x)) =
ψ(x)
Z
∂P
(x, y) dy.
∂y
ϕ(x)
Îòñþäà è èç òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó ïîëó÷àåì
Z
P (x, y) dx = −
∂G+
Zb
a
dx
ψ(x)
Z
∂P
(x, y) dy = −
∂y
Z Z
∂P
(x, y) dx dy.
∂y
G
ϕ(x)
Ôîðìóëà
Äîêàçàòåëüñòâî.
G
Γ3
Èç îðìóëû ÍüþòîíàËåéáíèöà ñëåäóåò, ÷òî
2
Òåîpåìà 1. Ïóñòü îáëàñòü G ⊂ R ýëåìåíòàpíà è åå ãðàíèöåé
ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ∂G+ , îðèåíòèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G. Ïóñòü â çàìûêàíèè îáëàñòè G çàäàíû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè P (x, y) è Q(x, y). Òîãäà
ñïðàâåäëèâà îðìóëà ðèíà:
Z Z Z
∂Q
∂P
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
(x, y) −
(x, y) dx dy.
∂x
∂y
Äîêàæåì ñíà÷àëà îðìóëó
Z Z
∂P
(x, y) dx dy.
P (x, y) dx = −
∂y
Zb
a
= {(x, y) : y ∈ (c, d), α(y) < x < β(y)}.
∂G+
x
x
a
Z
ϕ(b)
Γ1
∂G+
y = ϕ(x)
G = {(x, y) : x ∈ (a, b), ϕ(x) < y < ψ(x)} =
∂G+
Γ2
y=ϕ
( x)
Γ1
b
Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòà Rx íà îòðåçêàõ Γ2 è Γ4 íå ìåíÿåòñÿ, òî
êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû P (x, y) dx ïî ýòèì êðèâûì ðàâíû íóëþ.
Êðèâàÿ Γ1 èìååò îðèåíòàöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ îðèåíòàöèè êðèâîé
∂G+ , à êðèâàÿ Γ3 ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
â ñèëó àääèòèâíîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà
Z
Z
Z
P (x, y) dx = P (x, y) dx − P (x, y) dx =
y
a
α(y) < β(y) ∀y ∈ (c, d)
G
a
c
∀x ∈ (a, b),
Γ4
ϕ(a)
Γ4 = {(a, y) : y ∈ [ϕ(a), ψ(a)]}.
Îïpåäåëåíèå.
Γ3
( x)
y=ψ
ψ(a)
Γ3 = {(x, ψ(x)) : x ∈ [a, b]},
c
Γ
ψ(b)
Γ1 = {(x, ϕ(x)) : x ∈ [a, b]},
Γ2 = {(b, y) : y ∈ [ϕ(b), ψ(b)]},
Q(x(y), y) dy.
x = β(y)
Z
y
àçîáúåì êðèâóþ ∂G+ íà êðèâûå
(3)
Z
∂G+
Q(x, y) dy =
Z Z
G
51
∂Q
(x, y) dx dy
∂x
(4)
γj ëåæèò íà ãðàíèöå ñîñåäíèõ îáëàñòåé Gi
Gℓ , òî ïîëîæèòåëüíàÿ îðèåíòàöèÿ ýòîé êðèâîé îòíîñèòåëüíî îáëàñòè Gi ïðîòèâîïîëîæíà ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèè ýòîé æå êðèâîé
îòíîñèòåëüíî îáëàñòè Gℓ .
y
Ñëåäîâàòåëüíî,
èíòåãðàëû
äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñêëàäûâàÿ îðìóëû (3) è (4), ïîëó÷àåì
Çàìåòèì, ÷òî åñëè êðèâàÿ
îðìóëó
è
ðèíà.
Òåîpåìà 2. Ïóñòü
1) îáëàñòü
G ⊂ R2
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê îáúåäèíåíèå
Gi (i =
= 1, . . . , I) ñ êóñî÷íî-ãëàäêèìè ãðàíèöàìè è êðèâûõ γj (j = 1, . . . , J),
ëåæàùèõ íà âíóòðåííèõ (ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè G) ãðàíèöàõ îáëàñòåé Gi ;
2) ãðàíèöà ∂G+ îáëàñòè G ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ
+
çàìêíóòûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ Γk (k = 1, . . . , K), îðèåíòèðîâàííûõ ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G;
3) ïóñòü óíêöèè P (x, y), Q(x, y) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû
íà çàìûêàíèè îáëàñòè G.
êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ýëåìåíòàpíûõ îáëàñòåé
Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
ãäå
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
K Z
X
k=1
∂G+
Gi ,
íèè âçàèìíî óíè÷òîæàòñÿ.  ðåçóëüòàòå â ëåâîé ÷àñòè îðìóëû
(6) îñòàíóòñÿ òîëüêî èíòåãðàëû
Gi
i=1
=
Z
∂G+
i
Z Z G
G,
÷òî
Ôîðìóëà
äàåò
îðìóëó
ðèíà ñïðàâåäëèâà è äëÿ îáëàñòè, êîòî-
ìû 2 äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü èçìåðèìîñòü îáëàñòè
γj ,
ëåæàùèå íà âíóòðåííèõ
ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñè-
G.
Äîêàçàòåëüñòâî
íå áóäåì. Òåì áîëåå ÷òî â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ îáëàñòè, íå óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (1) òåîðåìû 2, îáû÷íî íå âñòðå÷àþòñÿ.
Ñëåäñòâèå. (Âû÷èñëåíèå ïëîùàäè ñ ïîìîùüþ êðèâîëèíåéíîãî
èíòåãðàëà.) Ïóñòü îáëàñòü
G ⊂ R2
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dx dy.
∂x
∂y
ñî-
Γ+
k (k = 1, . . . , K), îðèåíòèðîâàííûõ ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüîáëàñòè G. Òîãäà ïëîùàäü (ìåðà Æîðäàíà) îáëàñòè G ðàâíà ñëå-
íî
äóþùèì êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàì:
Z
x dy = −
Äîêàçàòåëüñòâî.
(6)
∂G+
âûõ
µ(G) =
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
îãðàíè÷åíà, à åå ãðàíèöà
ñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ çàìêíóòûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðè-
Q(x, y) = x,
Z
1
y dx =
2
∂G+
∂G+
52
îáëàñòè
(5).
ëó àääèòèâíîñòè êðàòíîãî èíòåãðàëà
I
X
ïî êðèâûì, ëåæàùèì íà ãðàíèöå
ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìû äîâîëüíî òðóäîåìêî, è ìû åãî ïðèâîäèòü
èìåþò ìåðó íóëü, òî êðàòíûé èíòåãðàë ïî
âíóòðåííèì ãðàíèöàì îáëàñòåé
ðàç-
òàpíûõ îáëàñòåé è ÷àñòåé èõ ãðàíèö, ò. å. âìåñòî óñëîâèÿ (1) òåîðå-
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Gi
ãðàíèöàõ îáëàñòåé
ñ
íûìè çíàêàìè è ïðè ñóììèðîâà-
Çàìå÷àíèå.
Γ+
k
Ïîñêîëüêó êóñî÷íî-ãëàäêèå êðèâûå
P (x, y) dx + Q(x, y) dy
∂G+
ℓ
ðóþ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåí-
èç êîòîðûõ ñîñòîèò îáëàñòü
∂G+
i
∂G+
i
R
(5)
G, ïîëó÷àåì
Z Z Z
∂P
∂Q
(x, y) −
(x, y) dx dy.
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
∂x
∂y
ñòÿì
Gℓ
x
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 1 ê ýëåìåíòàpíûì îáëà-
Äîêàçàòåëüñòâî.
Gi ,
∂P
∂Q
(x, y) −
(x, y) dx dy,
∂x
∂y
R
ìûå
ðèíà:
Z Z G
∂G+
Gi
γj âîéäóò â ñëàãàåP (x, y) dx + Q(x, y) dy è
ïî êðèâîé
∂G+
ℓ
∂G+
i
x dy − y dx.
∂G+
ðèíà äëÿ P (x, y) = 0,
dx dy = µ(G). àâåíñòâî
Ïðèìåíÿÿ îðìóëó
ïîëó÷èì
R
x dy =
RR
G
∂G+
µ(G)
Z
îñòàëüíûì êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàì äîêàçûâàåòñÿ àíàëî-
ãè÷íî.
53
ëàâà 15
ÏÎÂÅÕÍÎÑÒÍÛÅ ÈÍÒÅ
1.
 äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè ïîä ñëîâàìè ¾ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S = ~r(G)¿ äîãîâîðèìñÿ èìåòü â âèäó, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1) (3). Õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ïàðàìåòðèçîâàíà âåêòîð-óíêöèåé, íå óäîâëåòâîðÿþùåé
óñëîâèÿì (1) (3).
ÀËÛ
v
Îïðåäåëåíèÿ ïîâåðõíîñòåé
x(u, v)
Ïóñòü âåêòîð-óíêöèÿ ~r(u, v) = y(u, v)
z(u, v)
íåïðåðûâíà â çàìûêàíèè èçìåðèìîé îáëàñòè G ⊂ R2uv . Òîãäà ìíîæåñòâî
S = ~r(G) = {~r(u, v) : (u, v) ∈ G} ⊂ R3xyz
Îïpåäåëåíèå.
íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ (çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè). Âåêòîðóíêöèÿ ~r(u, v) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçàöèåé ïîâåðõíîñòè S .
Ïóñòü ïîâåðõíîñòü S ïàðàìåòðèçîâàíà íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé âåêòîð-óíêöèåé ~r : G → S (îïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè â çàìûêàíèè îáëàñòè
îñîáîé
áûëî äàíî â 5 ãëàâû 14). Òî÷êà (u0 , v0 ) ∈ G íàçûâàåòñÿ
′
xu (u0 , v0 )
òî÷êîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r, åñëè âåêòîðû ~r ′u (u0 , v0 ) = yu′ (u0 , v0 ) è
zu′ (u0 , v0 )
′
xv (u0 , v0 )
~r ′v (u0 , v0 ) = yv′ (u0 , v0 ) êîëëèíåàðíû, ò. å.
zv′ (u0 , v0 )
Îïpåäåëåíèå.
[~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )] = 0.
Îïpåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ãëàäêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ åå ïàðàìåòðèçàöèÿ S = ~r(G), ÷òî
(1) G èçìåðèìàÿ îáëàñòü â R2uv ;
(2) îòîáðàæåíèå ~r : G → S âçàèìíî îäíîçíà÷íî;
(3) ïàðàìåòðèçàöèÿ ~r íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà è íå èìååò
îñîáûõ òî÷åê â G.
54
~r(u, v)
∂G
z
∂S
G
S
y
u
x
Îïpåäåëåíèå. Îáðàç ãðàíèöû îáëàñòè G íàçûâàåòñÿ êðàåì ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S = ~r(G) è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∂S : ∂S =
= ~r(∂G).
Îïpåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè
åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà êóñêîâ Si ,
i ∈ {1, . . . , I}, òàêèõ, ÷òî
(1) êàæäûé êóñîê Si ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ;
(2) äâà ðàçëè÷íûõ êóñêà Si è Sj ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ëèøü ïî
êðàÿì: Si ∩ Sj = ∂Si ∩ ∂Sj ;
(3) åñëè ïåðåñå÷åíèå äâóõ ðàçëè÷íûõ êóñêîâ Si è Sj ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê, òî ýòè êóñêè íàçûâàþòñÿ ñîñåäíèìè;
(4) ïåðåñå÷åíèå äâóõ ñîñåäíèõ êóñêîâ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà
êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ è, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê;
(5) äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êóñêîâ Si è Sj ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð êóñêîâ Sk1 , Sk2 , . . . , Skm òàêîé, ÷òî k1 = i, km = j è äëÿ
ëþáîãî ℓ ∈ {1, . . . , m − 1} êóñêè Skℓ è Skℓ+1 ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè;
(6) ïåðåñå÷åíèå òðåõ ðàçëè÷íûõ êóñêîâ Si , Sj è Sk ñîñòîèò íå
áîëåå ÷åì èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê.
Ïðè ýòîì êðàåì êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå âñåõ êðèâûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ëåæèò íà êðàþ îäíîãî è
òîëüêî îäíîãî êóñêà Si .
55
Äàäèì îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïðîñòîé ãëàäêîé ïî-
S = ~r(G) â òî÷êå ~r0 = ~r(u0 , v0 ) ∈ S , ãäå (u0 , v0 ) ∈ G.
Ïîñêîëüêó êðèâûå Γu = {~
r (u, v0 ) : u ∈ [u0 − δ, u0 + δ]} è Γv =
= {~r(u0 , v) : v ∈ [v0 − δ, v0 + δ]} ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè S , òî âåêòîðû ~
r ′u (u0 , v0 ) è ~r ′v (u0 , v0 ), êàñàòåëüíûå ê ýòèì êðèâûì, ÿâëÿþòñÿ
íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè S
â òî÷êå ~
r0 .
âåðõíîñòè
Îïpåäåëåíèå.
Êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ãëàäêîé ïîâåðõíî-
W : Ω → G, îïðåäåëÿþùåå äîïóñòèìóþ ïàðà~
R(α,
β) = ~r(u(α, β), v(α, β)) ïîâåðõíîñòè S = ~r(G). Òðå-
çàäàåò îòîáðàæåíèå
ìåòðèçàöèþ
áóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè
~n(~r0 ) = ±
~r0 = ~r(u0 , v0 ),
â òî÷êå
îïðåäåëåííûé ïî ïàðàìåòðèçàöèè
S = ~r(G) â
~ν (~r0 ) = ±
Åäèíè÷íûé âåêòîð
[~r ′u × ~r ′v ]
~n(~r0 ) = ±
|[~r ′u × ~r ′v ]|
îðòîãîíàëüíûé
â òîé æå òî÷êå ~
r0
,
~
= R(Ω)
.
S
(u0 ,v0 )
êàñàòåëü-
Γv
S
â òî÷êå
~r0 ,
~r ′u
íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè
S
â
⊂ R2αβ
âåêòîð-óíêöèÿ
~
R(α,
β)
~ : Ω → R3 .
R
xyz
Ω ⊂
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
S = ~r(G), åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîW :Ω→
G, çàäàííîå
íåïðåðûâíî äèåðåíu(α, β)
öèðóåìîé óíêöèåé W (α, β) =
ñ íåðàâíûì íóëþ ÿêîáèàv(α, β)
~
íîì è òàêîå, ÷òî R(α,
β) = ~r(u(α, β), v(α, β)) ∀(α, β) ∈ Ω.
ñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
Ëåììà 1. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è íîðìàëü ê ïðîñòîé ãëàäêîé
r0
ïîâåðõíîñòè S â çàäàííîé òî÷êå ~
S.
Äîêàçàòåëüñòâî.
u′β
+ ~r ′v
vβ′ , ïîýòîìó
~ ′ = ~r ′ u′ + ~r ′ v ′ ,
R
α
u α
v α
~′ =
R
β
i
′
~α
~ β′ = [~r ′u × ~r ′v ] (u′α vβ′ − u′β vα′ ) = [~r ′u × ~r ′v ] JW .
R
×R
~ν (~r0 ) = ±
JW [~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )]
= ±~n(~r0 ).
|JW | |[~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )]|
çàäàåò äîïóñòèìóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ïðî-
çíà÷íîå îòîáðàæåíèå
ïîâåðõíîñòè
~ 0 , β0 ), îïðåäåëåííûì ïî ïàðàìåòðèçàöèè S =
= R(α
Ñëåäîâàòåëüíî,
~n
Ïóñòü íà çàìûêàíèè èçìåðèìîé îáëàñòè
çàäàíà âåêòîð-óíêöèÿ
~r ′u
h
~r ′v
r0 .
òî÷êå ~
Îïpåäåëåíèå.
=
íàçûâà-
åòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì
β
Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î äèåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé óíêöèè,
íîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè
′
~α
~ ′ (α0 , β0 )]
[R
(α0 , β0 ) × R
β
′ (α , β )]|
′ (α , β ) × R
~α
~
|[R
0
0
0
0
îïóñêàÿ àðãóìåíòû, ìîæíî çàïèñàòü
~r0
Γu
S = ~r(G),
ñîâïàäàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) ñ åäèíè÷íûì âåêòîðîì íîðìàëè
òî÷êå ~
r0 = ~r(u0 , v0 ) ∈ S íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ~
r0 è ïàðàëëåëüíàÿ âåêòîðàì ~r ′u (u0 , v0 ), ~r ′v (u0 , v0 ).
ñòè
[~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )]
|[~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )]|
∈ S íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðèçàöèè
Ïóñòü âåêòîð-óíêöèÿ
W (α, β) =
u(α, β)
v(α, β)
Îïpåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü
áîé òî÷êè
~r0 ∈ S
S
íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè äëÿ ëþ-
ñóùåñòâóåò ÷èñëî
òàêîå, ÷òî
ëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü
Îïpåäåëåíèå.
S
Uδ (~r0 ) ∩ S
ÿâëÿ-
íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóå-
ìîé, åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ïîëå åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ê ïî-
S , ò. å. ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà ìíîæåñòâå S âåêòîð~n(~r), çíà÷åíèåì êîòîðîé â êàæäîé òî÷êå ~r ∈ S ÿâëÿåòñÿ
âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå ~
r.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè S ñóùåñòâóþò
âåðõíîñòè
óíêöèÿ
äâå âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûå îðèåíòàöèè. Åñëè êàêàÿ-ëèáî îðèåíòàöèÿ ïîâåðõíîñòè
S
çàäàíà, òî ïîâåðõíîñòü
ðîâàííîé.
56
δ>0
åòñÿ ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ.
57
S
íàçûâàåòñÿ îðèåíòè-
Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S = ~r(G) îðèåíòèðóåìà, òàê êàê êàæäàÿ èç âåêòîð-óíêöèé
[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]
~n+ (~r) =
|[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]|
Ñóùåñòâóþò ãëàäêèå íåîðèåíòèðóìûå ïîâåðõíîñòè, íàïðèìåð, ëèñò Ìåáèóñà.
Ïðè îïðåäåëåíèè îðèåíòàöèè êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, à
òàêæå â òåîðåìå Ñòîêñà, î êîòîðîé ïîéäåò ðå÷ü â 6, èñïîëüçóåòñÿ
ñëåäóþùåå ïîíÿòèå ñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèè ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè è åå êðàÿ. Ïóñòü S = ~r(G) ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü,
ãðàíèöåé îáëàñòè G ⊂ R2uv ÿâëÿåòñÿ ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íîãëàäêàÿ êðèâàÿ ∂G = {~u(t) : t ∈ [t1 , t2 ]}. Òîãäà êðàåì ïîâåðõíîñòè S
ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ
∂S = ~r(∂G) = {~r(~u(t)) : t ∈ [t1 , t2 ]}.
Çàèêñèðóåì òî÷êó ~u0 = ~u(t0 ), t0 ∈ [t1 , t2 ], êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé
ãëàäêîñòè êðèâîé ∂G, ò. å. ñóùåñòâóåò ~u ′ (t0 ) 6= 0. Ïðè ýòîì òî÷êà
~r0 = ~r(~u0 ) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ãëàäêîñòè êðèâîé ∂S . Ïóñòü ~τ = ~τ (~r0 )
âåêòîð êàñàòåëüíîé ê êðèâîé ∂S â òî÷êå ~r0 , íàïðàâëåííûé â ñî~ âåêòîð âíóòðåííåé
îòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé êðèâîé ∂S . Ïóñòü N
(ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè G) íîðìàëè ê êðèâîé ∂G â òî÷êå ~u0 . Òàê
~ ] ñîäåðæèòñÿ â
êàê ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ > 0 îòðåçîê [~u0 , ~u0 + δ N
G, òî åãî îáðàç, ò. å. êðèâàÿ
~ ) : t ∈ [0, δ]},
Γ = {~r(~u0 + tN
ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè S . Ñëåäîâàòåëüíî, åå âåêòîð êàñàòåëüíîé
(1)
t=0
ëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå ~r0 , ïðè÷åì
âåêòîð β~ íàïðàâëåí ¾â ñòîðîíó¿ ïîâåðõíîñòè S .
58
~r(~u)
∂G
∂S
~n
G
è
[~r ′ (u, v) × ~r ′v (u, v)]
, ãäå ~r = ~r(u, v),
~n− (~r) = − ′u
|[~r u (u, v) × ~r ′v (u, v)]|
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïîëåì åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ê ïîâåðõíîñòè S .
~ r0 ) = d ~r(~u0 + tN
~)
β~ = β(~
dt
z
v
~τ
~r0
~
~u0 + δ N
S
~u′(t0 )
β~ Γ
~
N
y
~u0
u
x
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü îðèåíòàöèÿ ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
S = ~r(G) çàäàíà ïîëåì åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ~n(~r), ~r ∈ S , à ãðàíèöåé îáëàñòè G ⊂ R2uv ÿâëÿåòñÿ ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ
êðèâàÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðàé ∂S îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî
îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè S , è ïèñàòü ∂S + , åñëè â ëþáîé ~r0 òî÷~ r0 ), ~n(~r0 ) ÿâëÿåòñÿ
êå ãëàäêîñòè êðàÿ ∂S + òðîéêà âåêòîðîâ ~τ (~r0 ), β(~
ïðàâîé. Èíà÷å áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðàé ∂S îðèåíòèðîâàí îòðèöà−
òåëüíî, è ïèñàòü ∂S .
Ìåíåå ñòðîãî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êðàé ∂S + îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè îáõîäå êðàÿ ∂S + â íàïðàâëåíèè åãî îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòü S îñòàåòñÿ ñëåâà, åñëè ñìîòðåòü ñ òîé ñòîðîíû, â êîòîðóþ íàïðàâëåí âåêòîð íîðìàëè ê ýòîé
ïîâåðõíîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà ïîâåðõíîñòü S ¾áëèçêà¿ ê ïëîñêîñòè,
ïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ êðàÿ ∂S + ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó ïðàâîãî áóðàâ÷èêà: ïðè âðàùåíèè ðó÷êè áóðàâ÷èêà â íàïðàâëåíèè
îðèåòàöèè ∂S + áóðàâ÷èê áóäåò äâèãàòüñÿ â íàïðàâëåíèè îðèåíòàöèè
ïîâåðõíîñòè S .
Ïóñòü ñèñòåìû êîîðäèíàò (u, v) â ïëîñêîñòè R2uv è
(x, y, z) â ïðîñòðàíñòâå R3xyz ïðàâûå. Ïóñòü S = ~r(G) ïðîñòàÿ
ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü, à ãðàíèöåé îáëàñòè G ⊂ R2uv ÿâëÿåòñÿ ïðîñòàÿ
çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü
[~
r ′u ×~
r ′v ]
(1o ) ïîâåðõíîñòü S îðèåíòèðîâàíà ïîëåì íîðìàëåé ~n+ = |[~
r ′u ×~
r ′v ]| ;
(2o ) îðèåíòàöèÿ êðàÿ ∂S + ïîâåðõíîñòè S ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèè ãðàíèöû ∂G+ îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G, ò. å. åñëè
ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà t òî÷êà ~u(t) äâèæåòñÿ ïî ãðàíèöå ∂G+ â
Ëåììà 2.
59
íàïðàâëåíèè åå îðèåíòàöèè, òî ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà t îáðàç
ýòîé òî÷êè ~r(~u(t)) äâèæåòñÿ â íàïðàâëåíèè îðèåíòàöèè êðèâîé ∂S + .
Òîãäà êðàé ∂S + ïîâåðõíîñòè S îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè S .
Åñëè íàðóøàåòñÿ îäíî èç óñëîâèé (1o ) (2o ), òî êðàé ∂S + îðèåíòèðîâàí îòðèöàòåëüíî, åñëè îáà óñëîâèÿ
òî ïîëîæèòåëüíî.
~ = Nu âåêòîð âíóòðåííåé (ïî
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü N
Nv
îòíîøåíèþ ê îáëàñòè G) íîðìàëèê êðèâîé
∂G = {~u(t) : t ∈ [t1 , t2 ]}
u(t)
â òî÷êå ~u0 = ~u(t0 ). Ïóñòü ~u(t) =
. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèv(t)
~ ÿâëÿåòñÿ
òåëüíîé îðèåíòàöèè ãðàíèöû ∂G+ ïàðà âåêòîðîâ ~u ′(t0 ), N
ïðàâîé, ò. å.
′
u (t0 ) Nu
det
> 0.
(2)
v ′ (t0 ) Nv
Ïóñòü ~τ âåêòîð êàñàòåëüíîé ê êðàþ ∂S + = {~r(~u(t)) : t ∈ [t1 , t2 ]} â
òî÷êå ~r0 , íàïðàâëåííûé â ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé ∂S + . Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè è îðìóëó (1),
ïîëó÷àåì
d
τ = ~r(~u(t))
dt
=
~r ′u (~u0 )u′ (t0 )
+ ~r ′v (~u0 )v ′ (t0 ),
t=t0
~ = d ~r(~u0 + tN
~)
β
dt
= ~r ′u (~u0 )Nu + ~r ′v (~u0 )Nv .
t=0
Ñëåäîâàòåëüíî,
[τ × β] = [~r ′u × ~r ′v ]|u~ 0 u′ (t0 )Nv − v ′ (t0 )Nu .
Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (2) è óñëîâèå (1o ), ïîëó÷àåì
[τ × β] ⇈ [~r ′u × ~r ′v ]|u~ 0 ⇈ ~n+ .
Ïîýòîìó òðîéêà âåêòîðîâ τ , β , ~n+ ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé è, ñëåäîâàòåëüíî,
êðàé ∂S + îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî. Ïðè íàðóøåíèè îäíîãî èç
óñëîâèé (1o ) èëè (2o ) íàïðàâëåíèå âåêòîðà ~n+ èëè τ èçìåíèòñÿ íà
ïðîòèâîïîëîæíîå, è ðàññìàòðèâàåìàÿ òðîéêà âåêòîðîâ ñòàíåò ëåâîé.
Ïðè îäíîâðåìåííîì íàðóøåíèè óñëîâèé (1o ) è (2o ) îðèåíòàöèÿ ýòîé
òðîéêè, à çíà÷èò è êðàÿ ∂S + , íå èçìåíèòñÿ.
60
Îïpåäåëåíèå. Êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìîé, åñëè åå êóñêè Si ìîæíî îðèåíòèðîâàòü ñîãëàñîâàííî, ò. å. òàê,
÷òî ïîëîæèòåëüíûå îðèåíòàöèè îáùåãî êðàÿ ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ ïîâåðõíîñòåé Si è Sj âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíû.
Si
~n
Sj
~n
2.
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà
Ïóñòü çàäàíà ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S = ~r(G), ðàçáèåíèå
=
{Gi }Ii=1 îáëàñòè G ⊂ R2uv è âûáîðêà ξT = {(ui , vi )}Ii=1 , ãäå
T
(ui , vi ) ∈ Gi .
×åðåç ~ri (u, v) îáîçíà÷èì ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå îòîáðàæåíèÿ
~r(u, v) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (ui , vi ):
~ri (u, v) = ~r(ui , vi ) + ~r ′u (ui , vi ) (u − ui ) + ~r ′v (ui , vi ) (v − vi ).
×åðåç Si îáîçíà÷èì îáðàç ìíîæåñòâà Gi ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè
~ri (u, v): Si = ~ri (Gi ). Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Si ëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå (ui , vi ). ×åðåç µ(Si ) îáîçíà÷èì ïëîùàäü (ìåðó Æîðäàíà íà ïëîñêîñòè) ìíîæåñòâà Si , à ÷åðåç
µ(Gi ) ïëîùàäü ìíîæåñòâà Gi ⊂ R2uv .
Êàê èçâåñòíî èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, îòíîøåíèå ïëîùàäåé
îáðàçà è ïðîîáðàçà ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè ðàâíî äëèíå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îáðàçîâ áàçèñíûõ âåêòîðîâ îðòîíîðìèðîâàííîãî
1
áàçèñà. Ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè ~ri (u, v) áàçèñíûå âåêòîðû
0
0
è
ïåðåõîäÿò ñîîòâåòñòâåííî â âåêòîðû ~r ′u (ui , vi ) è ~r ′v (ui , vi ), ïî1
ýòîìó
µ(Si )
= |[~r ′u (ui , vi ) × ~r ′v (ui , vi )]| .
µ(Gi )
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ Si (i = 1, . . . , I ) ÿâëÿåòñÿ ¾÷åøóé÷àòîå¿
ìíîæåñòâî ST , êîòîðîå ïðè ìàëîé ìåëêîñòè ðàçáèåíèÿ T áëèçêî ê
61
ïîâåðõíîñòè S . Ïðåäåë ïëîùàäåé ¾÷åøóé÷àòûõ¿ ìíîæåñòâ ST ïðè
ℓ(T) → 0 íàçûâàåòñÿ ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè S .
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S = ~r(G) èìååò ïëîùàäü σ , åñëè
I
X
i=1
µ(Si ) −→ σ
ïðè ℓ(T) → 0.
Ïëîùàäü ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S = ~r(G)
ñóùåñòâóåò è ðàâíà
ZZ
(1)
|[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv.
Òåîpåìà 1.
G
Äîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç σ(g; T; ξT ) îáîçíà÷èì ñóììó èìàíà
óíêöèè g(u, v) = |[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| äëÿ ðàçáèåíèÿ T = {Gi }Ii=1
è âûáîðêè ξT = {(ui , vi )}Ii=1 :
σ(g; T; ξT ) =
I
X
i=1
|[~r ′u (ui , vi ) × ~r ′v (ui , vi )]| µ(Gi ) =
I
X
µ(Si ).
(2)
i=1
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ g(u, v) íåïðåðûâíà íà èçìåðèìîì êîìïàêòå
G, òî ýòà óíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà G, à çíà÷èò, è íà G. Ïîýòîìó
ïðè ℓ(T) → 0
ZZ
σ(g; T; ξT ) −→
|[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv.
(3)
G
Èç óñëîâèé (2), (3) ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü S = ~r(G) ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü.
Òîãäà êâàäðàòè÷íàÿ îðìà
Îïpåäåëåíèå.
K(du, dv) = |d~r(u0 , v0 )|2 = |~r ′u du + ~r ′v dv|2 =
= |~r ′u |2 du2 + 2(~r ′u , ~r ′v ) du dv + |~r ′v |2 dv 2
62
(ãäå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ~r ′u , ~r ′v âû÷èñëåíû â òî÷êå (u0 , v0 )) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé îðìîé ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå ~r0 =
= ~r(u0 , v0 ).
Çàìåòèì, ÷òî äëèíó âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ [~r ′u ×~r ′v ] óäîáíî âû÷èñëÿòü ÷åðåç êîýèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé îðìû ïîâåðõíîñòè:
p
|[~r ′u × ~r ′v ]| = |~r ′u |2 · |~r ′v |2 − (~r ′u , ~r ′v )2 .
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè S ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ìàññó ýòîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå. Îáîáùàÿ
îðìóëó (1) äëÿ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè S , äàäèì îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà îò óíêöèè f (x, y, z), èçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ðàâåí ìàññå ïîâåðõíîñòè S ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ f .
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü óíêöèÿ f (~
r) íåïðåðûâíà íàRRïðîñòîé
f (~r) dS
ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S = ~r(G). Èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà
S
îò óíêöèè f (~r) ïî ïîâåðõíîñòè S íàçûâàåòñÿ êðàòíûé èíòåãðàë
ZZ
f (~r(u, v)) |[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv.
G
Åñëè
íà ïîâåðõíîñòè
óíêöèÿ
f (x, y, z) íåïðåðûâíà
x
S =
~r(x, y) = y : (x, y) ∈ G , ÿâëÿþùåéñÿ ãðàèêîì
z(x, y)
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè z(x, y), òî
ZZ
ZZ
q
f (x, y, z) dS =
f (x, y, z(x, y)) 1 + (zx′ )2 + (zy′ )2 dx dy.
Ëåììà
1.
S
G
0
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó
~r ′x = 0 , ~r ′y = 1 , òî
zy′
zx′
′ 2
′ 2
′ 2
′ 2
′
′
′
′
|~r x | = 1 + (zx ) , |~r y | = 1 + (zy ) , (~r x , ~r y ) = zx · zy . Ñëåäîâàòåëüq
q
íî, [~r ′x × ~r ′y ] = |~r ′x |2 · |~r ′y |2 − (~r ′x , ~r ′y )2 = 1 + (zx′ )2 + (zy′ )2 , ÷òî
63
ZZ
ïî îïðåäåëåíèþ ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà äàåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
Èç ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè êðàòíîãî èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó ñëå-
=
äóåò ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ïî ïðîñòîé ãëàä-
f (~r(u, v)) |[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv =
ZGZ
~
~ ′ (α, β) × R
~ ′ (α, β)] dα dβ.
f (R(α,
β)) [R
α
β
Ω
êîé ïîâåðõíîñòè:
Êàê áûëî ïîêàçàíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 1 1,
S ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ïðîSi (i = 1, . . . , I), ïåðåñåêàþùèõñÿ òîëüêî
f íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå S , òî
åñëè ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü
i
h
~′ × R
~ ′ = [~r ′ × ~r ′ ] JW .
R
u
v
α
β
ñòûõ ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé
ïî êðàÿì, à óíêöèÿ
ZZ
f (~r) dS =
I ZZ
X
i=1
S
÷àåì
ZZ
Si
Îïpåäåëåíèå. Èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà îò íåïðåðûâíîé óíêöèè
ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
òåãðàëîâ îò óíêöèè
f
S
(5)
 ñèëó òåîðåìû î çàìåíå ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå ïîëó-
f (~r) dS.
G
f (~r)
(4)
=
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà èí-
ïî ïðîñòûì ãëàäêèì êóñêàì ïîâåðõíîñòè
S.
f (~r(u, v)) |[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv =
ZZ
~
f (R(α,
β)) |[~r ′u × ~r ′v ]| |JW | dα dβ,
Ω
îòêóäà è èç îðìóëû (5) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (4).
Èç ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ïî ïðîñòîé
ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè ñëåäóåò, ÷òî
3.
à) èíòåãðàë ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ ýòîé ïîâåðõíîñòè íà ïðîñòûå ãëàäêèå êóñêè è
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà
Äëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷åíèé îïðåäåëèì âåêòîð
á) èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè òàêæå
dy dz
~ = dz dx .
dS
dx dy
îáëàäàåò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè.
Òåîpåìà 2.
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà íå çàâèñèò
îò ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 1. Èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïåð-
ZZ
âîãî ðîäà äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðèçàöèè èí-
S . Ïóñòü çàäàíû äâå ïàðà~
~
R(α,
ìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòè S : S = ~
r (G) = R(α,
β), ïðè÷åì
β) =
u(α, β)
çàäà= ~r(u(α, β), v(α, β)), ãäå âåêòîð-óíêöèÿ W (α, β) =
v(α, β)
òåãðàëà ïî ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
S
=
åò íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæå-
íèå
W :Ω→G
ñ íåðàâíûì íóëþ ÿêîáèàíîì. Ïóñòü óíêöèÿ
íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå
S.
~ =
(~a(x, y, z), dS)
ZZ
P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy
S
f (~r)
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
îò
íåïðåðûâíîé
âåêòîð-óíêöèè
êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
64
S,
~a(x, y, z)
=
P (x, y, z)
Q(x, y, z)
R(x, y, z)
ïî
îðèåíòèðîâàííîé ïîëåì åäèíè÷íûõ
65
íîðìàëåé ~n(x, y, z), íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà îò ñêàëÿðíîé
óíêöèè f (x, y, z) = (~a(x, y, z), ~n(x, y, z)) ïî ïîâåðõíîñòè S :
ZZ
ZZ
~
(~a(x, y, z), dS) =
(~a(x, y, z), ~n(x, y, z)) dS.
S
S
P (~r(u, v)) Q(~r(u, v)) R(~r(u, v))
yu′ (u, v)
zu′ (u, v) du dv =
=±
det x′u (u, v)
′
′
xv (u, v)
yv (u, v)
zv′ (u, v)
G
ZZ
∂(y, z)
∂(z, x)
∂(x, y)
du dv.
=±
P
+Q
+R
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
ZZ
G
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà âåêòîð-óíêöèè
(âåêòîðíîãî ïîëÿ) ~a ïî ïîâåðõíîñòè S ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ðàâåí
ïîòîêó âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ~n(x, y, z), ñîîòâåòñòâóþùåé îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè S .
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ìåíÿåò çíàê.
Èç ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ñëåäóåò ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà.
Òåîpåìà 1. Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà íå çàâèñèò
îò ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü
îò ïàðàìåòðèçàöèè èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà ïî ïðîñòîé ãëàäêîé
ïîâåðõíîñòè.  ñèëó ëåììû 1 1 åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè íå
çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè, ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ f (x, y, z) =
= (~a(x, y, z), ~n(x, y, z)) íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè. Îòñþäà è èç
íåçàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
âòîðîãî ðîäà îò íåïðåðûâíîé óíê2. Èíòåãðàë
P (~r)
öèè ~a(~r) = Q(~r) ïî ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S = ~r(G),
R(~r)
x(u, v)
~r(u, v) = y(u, v) ìîæíî âû÷èñëèòü ïî îðìóëå
z(u, v)
ZZ
~ =
(~a(x, y, z), dS)
Òåîpåìà
S
66
Çíàê + èëè − ïåðåä êðàòíûì èíòåãðàëîì ïî îáëàñòè G çàâèñèò îò
îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè S . Îïðåäåëèòü ýòîò çíàê ìîæíî, âûáðàâ
ïðîèçâîëüíóþ ¾óäîáíóþ¿ òî÷êó ~r0 = ~r(u0 , v0 ) ∈ S è ñðàâíèâ çíàêè
êîîðäèíàò âåêòîðà íîðìàëè ~n(~r0 ), çàäàþùåãî îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè S , è âåêòîðà
~k
~i
~j
[~r ′u (u0 , v0 ) × ~r ′v (u0 , v0 )] = det x′u (u0 , v0 ) yu′ (u0 , v0 ) zu′ (u0 , v0 ) ,
x′v (u0 , v0 ) yv′ (u0 , v0 ) zv′ (u0 , v0 )
ãäå ~i, ~j , ~k áàçèñíûå âåêòîðû.
Åñëè çíàêè êîîðäèíàò ýòèõ âåêòîðîâ ïî ëþáîé èç êîîðäèíàòíûõ
îñåé ñîâïàäàþò, òî ïåðåä êðàòíûì èíòåãðàëîì ñëåäóåò ïîñòàâèòü
çíàê +, åñëè ðàçëè÷íû, òî çíàê −.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè, çàäàþùèé îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè S , ìîæíî âû÷èñëèòü ïî îðìóëå
~n(~r) = ±
[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]
,
|[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]|
ãäå ~r = ~r(u, v),
(1)
ïðè÷åì çíàê + èëè − ìîæíî îïðåäåëèòü òàê, êàê ñêàçàíî âûøå.
Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèÿìè ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è
âòîðîãî ðîäîâ, ïîëó÷àåì
ZZ
ZZ
~ =
(~a(~r), dS)
(~a(~r), ~n(~r)) dS =
S
=
ZZ
S
(~a(~r(u, v)), ~n(~r(u, v))) |[~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]| du dv.
G
Îòñþäà è èç îðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî
ZZ
ZZ
~
(~a(~r), dS) = ±
(~a(~r(u, v)), [~r ′u (u, v) × ~r ′v (u, v)]) du dv.
S
G
67
Âûðàæàÿ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ ÷åðåç îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç èõ êîîðäèíàò â ïðàâîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå, ïîëó÷èì äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî.
Äàäèì îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà
RR
f (x, y, z) dx dy ïî
S
ïîâåðõíîñòè S , êîòîðàÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóåòñÿ íà ïëîñêîñòü (x, y).
Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü íà çàìûêàíèè èçìåðèìîé îáëàñòè G ⊂
⊂ R2xy çàäàíà íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ z(x,y). Ïóñòü S + âåðõíÿÿ,à
x
S − íèæíÿÿ ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè S = y : (x, y) ∈ G .
z(x, y)
ìíîæåñòâå S . Òîãäà èíòåÏóñòü óíêöèÿ f (x, y,
RRz) íåïðåðûâíà íà RR
f (x, y, z) dx dy è
f (x, y, z) dx dy îïðåäåëÿãðàëû âòîðîãî ðîäà
S+
S−
þòñÿ ÷åðåç êðàòíûé èíòåãðàë ïî îáëàñòè G îðìóëàìè
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y, z) dx dy =
f (x, y, z(x, y)) dx dy.
f (x, y, z) dx dy = −
G
S−
S+
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èíòåãðàë
RR
f (x, y, z) dy dz ïî ïîâåðõ-
S
íîñòè S , âçàèìíî
îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóþùåéñÿ íà ïëîñêîñòü (y, z),
RR
f (x, y, z) dz dx ïî ïîâåðõíîñòè S , âçàèìíî îäíîçíà÷íî
è èíòåãðàë
S
ïðîåêòèðóþùåéñÿ íà ïëîñêîñòü (z, x).
 ñëåäóþùåé òåîðåìå äîêàçàíà ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèÿ 1
è îïðåäåëåíèÿ 2 äëÿ èíòåãðàëà ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, âçàèìíî
îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóþùåéñÿ íà ïëîñêîñòü (x, y).
Òåîpåìà 3. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ ãðàèêîì óíêöèè
z(x, y), íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé íà çàìûêàíèè èçìåðèìîé îáëàñòè G ⊂ R2xy . Ïóñòü óíêöèÿ f (x, y, z) íåïðåðûâíà íà ìíîæå+
S , îðèåíòèðîâàííàÿ ïîëåì íîðìàëåé
ñòâå S . Ïóñòü
S1 ïîâåðõíîñòü
nx (x, y, z)
~n(x, y, z) = ny (x, y, z) òàêèõ, ÷òî nz (x, y, z) ≥ 0 ∀(x, y, z) ∈ S , à
nz (x, y, z)
S2+ âåðõíÿÿ ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè S . Òîãäà
68
ZZ
f (x, y, z) dx dy =
ZZ
f (x, y, z) dx dy.
S2+
S1+
x
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ, ÷òî ~
r (x, y) = y , ïîëó÷èì
z(x, y)
′
~i ~j ~k
−zx
[~r ′x × ~r ′y ] = det 1 0 zx′ = −zy′ .
1
0 1 zy′
nx
′
′
[~
r ,~
r ]
Ïîýòîìó åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ~n = |[~r x′ ,~r y′ ]| = ny óäîx
y
nz
âëåòâîðÿåò óñëîâèþ nz ≥ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäàåò îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè S1+ .
 ñèëó òåîðåìû 2
ZZ
ZZ
0 0 f (x, y, z(x, y))
dx dy.
f (x, y, z) dx dy = +
det 1 0 zx′ (x, y)
′
0 1 zy (x, y)
+
G
S1
Ïîýòîìó
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y, z) dx dy.
f (x, y, z) dx dy =
f (x, y, z(x, y)) dx dy =
G
S1+
4.
S2+
Îïåðàòîð
àìèëüòîíà
Îïpåäåëåíèå. Îïåðàòîðîì àìèëüòîíà ∇ (íàáëà) íàçûâàåòñÿ
âåêòîðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé â ïðàâîé ïpÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êî∂
∂
∂
, ∂y
, ∂z
:
îðäèíàò ~i, ~j , ~k èìååò êîîðäèíàòû ∂x
∂
∂x
∂
∂
∂ ~∂
∇ = ∂y
+ ~j
+ ~k .
=i
∂x
∂y
∂z
∂
∂z
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñêpûòü âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå îïåðàòîð ∇,
âåêòîðíûå ïîëÿ, ñêàëÿðíûå ïîëÿ, îïåðàöèè +, −, ∗, /, à òàêæå îïåðàöèè ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèé, äîñòàòî÷íî ðàñïèñàòü
69
ïîêîîðäèíàòíî äàííîå âûðàæåíèå, ïðè ýòîì ñ îïåðàòîðîì
∇
ìîæ-
Îïpåäåëåíèå.
íî äåéñòâîâàòü êàê ñ îáû÷íûì âåêòîðîì, çà òåì èñêëþ÷åíèåì, ÷òî
íåëüçÿ ïåðåñòàâëÿòü ìåñòàìè óíêöèè è îïåðàòîð
∇
èëè åãî êîì∂
íèå, êàæäàÿ êîîðäèíàòà êîòîðîãî ìîæåò ñîäåðæàòü îïåðàòîðû ∂x ,
∂
∂
∂y , ∂z , ñêàëÿðíûå óíêöèè è îïåðàöèè +, −, ∗, /. Êàæäîå òàêîå
P (x, y, z)
~a = ~a(x, y, z) = Q(x, y, z)
R(x, y, z)
(∇, ~a):
âåêòîðíîãî ïîëÿ
ïîíåíòû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñêàëÿðíîå èëè âåêòîðíîå âûðàæåïðîèçâåäåíèå
ñêàëÿðíîå âûðàæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îáû÷íûì îáðàçîì.
Äèâåðãåíöèåé
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìîãî
div ~a = (∇, ~a) =
∂
∂
∂
Ïîñêîëüêó îïåðàòîðû ∂x , ∂y , ∂z äåéñòâóþò íà óíêöèè, ñòîÿùèå
íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîå
∂
∂
∂
P+
Q+
R.
∂x
∂y
∂z
ñïðàâà îò íèõ, è íå äåéñòâóþò íà óíêöèè, ñòîÿùèå îò íèõ ñëåâà, òî
îïåðàòîð
∇
îáëàäàåò ýòèì æå ñâîéñòâîì.
Îïpåäåëåíèå.
P (x, y, z)
Ïðèìåðû. Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå ~
a(x, y, z) = Q(x, y, z)
R(x, y, z)
è íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ ϕ(x, y, z) è
ψ(x, y, z). Òîãäà
∂
∂x ϕ
ϕ′
∂ ϕ x′
ϕy = grad ϕ.
1) ∇ϕ = ∂y =
ϕ′z
∂
ϕ
P (x, y, z)
~a = ~a(x, y, z) = Q(x, y, z) íàçûâàåòñÿ âåêR(x, y, z)
òîðíîå ïðîèçâåäåíèå [∇ × ~
a ].
 ïðàâîé ïpÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ~i, ~
j , ~k ðîòîð ïîëÿ ~a
åìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
âûðàæàåòñÿ ïî îðìóëå
∂
∂
∂
ϕ + Q ∂y
ϕ + R ∂z
ϕ = P ϕ′x + Q ϕ′y + R ϕ′z =
(~a, ∇)ϕ = P ∂x
= (~a, grad ϕ) =
∂ϕ
∂~
a . Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå
ðàòîðîì âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé ïî âåêòîðó
3)
∇ϕψ =
∂
∂x ϕψ
∂
∂y ϕψ
∂
∂z ϕψ
=ψ
∂
∂x ϕ
∂
∂y ϕ
∂
∂z ϕ
+ϕ
(~a, ∇)
~a(x, y, z).
∂
∂x ψ
∂
∂y ψ
∂
∂z ψ
ÿâëÿåòñÿ îïå-
= ψ∇ϕ + ϕ∇ψ .
íà âñå óíêöèè, çàïèñàííûå ñïðàâà îò íåãî (äî ïåðâîãî çíàêà
∇.
+,
 ýòîì ñëó÷àå äîãîâîðèìñÿ òå âåêòîðíûå è ñêàëÿðíûå
ïîëÿ, ê êîòîðûì ïðèìåíÿåòñÿ îïåðàòîð ∇, îòìå÷àòü ñòðåëêîé ↓. Åñëè
äåéñòâóåò íà âñå óíêöèè, çàïèñàííûå ñïðàâà îò íåãî. Íàïðèìåð,
↓
↓
∇ϕψ = ∇ ϕ ψ + ∇ ψ ϕ = ψ∇ϕ + ϕ∇ψ .
70
∇.
~a = ~a(x, y, z)
â âûðàæåíèè ñòðåëêè íåò, òî, êàê è ðàíüøå, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îïåðàòîð
∇
Ïóñòü çàäàíû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå âåêòîðíîå ïîëå
áûâàåò íåóäîáíûì ïðè ðàñêpûòèè âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
îïåðàòîð
~k
~j
àññìîòðèì ïðèìåðû ðàñêpûòèÿ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îïåðàòîð
Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò
−, =),
~i
∂
∂
∂
=
rot~a = [∇ × ~a] = det ∂x
∂y
∂z
P
Q R
∂P
∂Q ∂P
∂R
∂R ∂Q
−
−
−
+ ~j
+ ~k
.
= ~i
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
2)
îòîðîì (âèõðåì)íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðó-
è ñêàëÿðíîå ïîëå
ϕ = ϕ(x, y, z).
↓
↓
div (ϕ~a) = (∇, ϕ~a) = (∇, ϕ ~a) + (∇, ϕ ~a) = (~a, ∇ϕ) + ϕ(∇, ~a) =
= (~a, grad ϕ) + ϕ div ~a.
1)
↓
↓
rot (ϕ~a) = [∇ × ϕ~a] = [∇ × ϕ ~a] + [∇ × ϕ ~a] = −[~a × ∇ϕ] + ϕ[∇ ×
× ~a] = −[~a × grad ϕ] + ϕ rot~a.
2)
a è ñêàëÿðíîå ïîëå
Ïóñòü òåïåðü âåêòîðíîå ïîëå ~
ðûâíî äèåðåíöèðóåìû. Òîãäà
71
ϕ äâàæäû íåïðå-
~
i
∂
3) rot grad ϕ = [∇ × ∇ϕ] = [∇ × ∇]ϕ = det ∂x
∂
∂x
∂ ∂
~ ∂ ∂
∂x ∂z ϕ + k ∂x ∂y −
~j
∂
∂y
∂
∂
∂y ∂z
∂ ∂
∂y ∂x ϕ.
∂ ∂
∂ ∂
~ ∂ ∂
= ~i ∂y
Ïîëü∂z − ∂z ∂y ϕ + j ∂z ∂x −
çóÿñü òåì, ÷òî ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà äèåðåíöèðîâàíèÿ,
ïîëó÷àåì
rot grad ϕ = 0.
4) div rot~a = (∇, [∇ × ~a]) = (∇, ∇, ~a) = 0.
Çäåñü ìû îïÿòü âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà ∇
ìîæíî ïåðåñòàâëÿòü ìåñòàìè, åñëè ýòè êîìïîíåíòû ïðèìåíÿþòñÿ ê
äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè, â ñèëó ÷åãî ñ îïåðàòîðîì ∇ ìîæíî ðàáîòàòü êàê ñ îáû÷íûì âåêòîðîì è, â ÷àñòíîñòè,
[∇ × ∇] = 0.
2
∂2
∂2
∂
ϕ.
5) div grad ϕ = (∇, ∇)ϕ = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2
5.
Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà
Îïpåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì, åñëè îíî
ýëåìåíòàðíî îòíîñèòåëüíî êàæäîé êîîðäèíàòíîé îñè (ñì. îïðåäåëåíèå â 3 ãëàâû 14).
P (x, y, z)
a(x, y, z) = Q(x, y, z)
Òåîpåìà 1. Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå ~
R(x, y, z)
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â çàìûêàíèè ýëåìåíòàðíîé îáëàñòè
G ⊂ R3xyz , ãðàíèöà êîòîðîé ∂G+ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, îðèåíòèðîâàííîé ïîëåì âíåøíèõ íîðìàëåé. Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà:
ZZZ
ZZ
~
(~a(x, y, z), dS).
div ~a(x, y, z) dx dy dz =
(1)
G
∂G+
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî àóññà, îïóñêàÿ àpãóìåíòû, ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
72
ZZZ ~k
∂
∂z ϕ =
∂P
∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
G
=
ZZ
dx dy dz =
(2)
P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
∂G+
Äîêàæåì ðàâåíñòâî
ZZ
ZZZ
∂R
R(x, y, z) dx dy.
(x, y, z) dx dy dz =
∂z
G
(3)
∂G+
 ñèëó ýëåìåíòàðíîñòè îáëàñòè G îòíîñèòåëüíî îñè z ñóùåñòâóþò èçìåðèìîå ìíîæåñòâî E ⊂ R2xy è óíêöèè ϕ(x, y), ψ(x, y), íåïðåðûâíûå íà çàìûêàíèè ìíîæåñòâà E è òàêèå, ÷òî ϕ(x, y) < ψ(x, y)
∀(x, y) ∈ E è
G = {(x, y, z) : (x, y) ∈ E, ϕ(x, y) < z < ψ(x, y)}.
Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü ¾êðèâîëèíåéíîãî öèëèíäðà¿ G ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé:
¾âåðõíåãî îñíîâàíèÿ¿
z
~n
z=
S1
S1 = {(x, y, ψ(x, y)) : (x, y) ∈ E},
S3
~n
¾íèæíåãî îñíîâàíèÿ¿
S2 = {(x, y, ϕ(x, y)) : (x, y) ∈ E}
S2
è ¾áîêîâîé ïîâåðõíîñòè¿
ψ (x
, y)
G
(
z=ϕ
~n
S3 = {(x, y, z) : (x, y) ∈ ∂E,
ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}.
x, y )
~n
y
E
Ïîñêîëüêó âåêòîð
íîðìàëè
nx (x, y, z)
~n(x, y, z) = ny (x, y, z) ê
x
nz (x, y, z)
¾áîêîâîé ïîâåðõíîñòè¿ S3 ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè xy , òî nz (x, y, z) =
= 0 ïðè (x, y, z) ∈ S3 , ñëåäîâàòåëüíî, ñâîäÿ èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ê
èíòåãðàëó ïåðâîãî ðîäà, ïîëó÷àåì
73
ZZ
R(x, y, z) dx dy =
ZZ
S3
S3
E
S1
ZZ
R(x, y, z) dx dy = −
ZZ
R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.
E
S2
Ñëåäîâàòåëüíî,
ZZ
ZZ
R(x, y, z) dx dy +
R(x, y, z) dx dy =
S1
∂G+
+
ZZ
R(x, y, z) dx dy +
=
E
ZZ
R(x, y, z) dx dy =
R(x, y, ψ(x, y)) − R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.
Ïîëüçóÿñü îðìóëîé ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷àåì
R(x, y, z) dx dy =
ZZ
dx dy
E
∂G+
ψ(x,y)
Z
∂R
(x, y, z) dz.
∂z
G
∂G+
74
Ñêëàäûâàÿ
ðàâåíñòâà
Îñòðîãðàäñêîãî àóññà (2).
(5)
Q(x, y, z) dz dx.
(3) (5),
ïîëó÷àåì
îðìóëó
Ïóñòü
1) îáëàñòü G ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî
÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòåé Gi (i = 1, . . . , I) è
êóñî÷íî-ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé Sj (j = 1, . . . , J), ëåæàùèõ íà ãðàíèöàõ îáëàñòåé Gi ;
2) ãðàíèöà ∂G+ îáëàñòè G ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, îðèåíòèðîâàííîé ïîëåì âíåøíèõ íîðìàëåé;
3) âåêòîðíîå ïîëå ~a(x, y, z) ∈ R3 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â
çàìûêàíèè îáëàñòè G.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà (1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó òåîðåìû 1 äëÿ êàæäîé ýëåìåíòàðíîé
îáëàñòè Gi ñïðàâåäëèâà îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà
ZZ
ZZZ
~
(~a(x, y, z), dS),
i ∈ {1, . . . , I}.
div ~a(x, y, z) dx dy dz =
Òåîpåìà 2.
∂G+
i
Ïîñêîëüêó ýëåìåíòàðíûå îáëàñòè Gi èçìåðèìû, òî µ(∂Gi ) =
I
I
S
S
= 0. Îòñþäà è èç óñëîâèÿ G \
∂Gi ñëåäóåò, ÷òî
Gi ⊂
i=1
i=1
I
S
Gi = 0 è â ñèëó àääèòèâíîñòè êðàòíîãî èíòåãðàëà
µ G\
i=1
ϕ(x,y)
Îòñþäà è èç òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó
ñëåäóåò îðìóëà (3).
Àíàëîãè÷íî, ïîëüçóÿñü ýëåìåíòàðíîñòüþ îáëàñòè G îòíîñèòåëüíî
îñåé x è y , ìîæíî ïîëó÷èòü ðàâåíñòâà
ZZ
ZZZ
∂P
P (x, y, z) dy dz,
(x, y, z) dx dy dz =
(4)
∂x
ZZ
∂G+
Gi
S3
S2
ZZ ∂Q
(x, y, z) dx dy dz =
∂y
G
Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì 2 äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà ïî âåðõíåé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè S1 è íèæíåé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè S2 , ïîëó÷àåì
ZZ
ZZ
R(x, y, z) dx dy =
R(x, y, ψ(x, y)) dx dy,
ZZ
ZZZ
R(x, y, z) nz (x, y, z) dS = 0.
=
I ZZ Z
X
i=1
ZZZ
div ~a(x, y, z) dx dy dz =
G
div ~a(x, y, z) dx dy dz =
I ZZ
X
i=1
Gi
~
(~a(x, y, z), dS).
(6)
∂G+
i
+
×åðåç Siℓ
îáîçíà÷èì îáùóþ ãðàíèöó ñîñåäíèõ ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòåé Gi è Gℓ , îðèåíòèðîâàííóþ ïîëåì íîðìàëåé, âíåøíèõ ïî îò+
+
íîøåíèþ ê îáëàñòè Gi . Òîãäà îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòåé Siℓ
è Sℓi
âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíû è, ñëåäîâàòåëüíî,
75
ZZ
~ =−
(~a(x, y, z), dS)
+
∂Siℓ
ZZ
+
∂Sℓi
Ïîýòîìó ïðè ñóììèðîâàíèè èíòåãðàëîâ ïî ïîâåðõíîñòÿì ∂G+ i
èíòåãðàëû ïî îáùèì ãðàíèöàì ñîñåäíèõ îáëàñòåé âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ è îñòàåòñÿ èíòåãðàë ïî ãðàíèöå îáëàñòè G. Òàêèì îáðàçîì,
èç îðìóëû (6) ñëåäóåò îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà äëÿ îáëàñòè G.
Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî
àóññà ñïðàâåäëèâà è äëÿ îáëàñòè G, êîòîðóþ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü
êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàpíûõ îáëàñòåé è ÷àñòåé
èõ ãðàíèö, ò. å. âìåñòî óñëîâèÿ (1) òåîðåìû 2 äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü
èçìåðèìîñòü îáëàñòè G.
Òåîpåìà 3. ( åîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå äèâåðãåíöèè.) Ïóñòü
âåêòîðíîå ïîëå ~a(~r) ∈ R3 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â îáëàñòè
Ω ⊂ R3xyz . Ïóñòü ~r0 ∈ Ω, Sδ+ ñåðà ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå ~r0 ,
îðèåíòèðîâàííàÿ ïîëåì âíåøíèõ íîðìàëåé, à Vδ = µ(Uδ (~r0 )) = 43 πδ 3
îáúåì øàðà Uδ (~r0 ). Òîãäà
ZZ
1
~
div ~a(~r0 ) = lim
(~a(~r), dS).
δ→+0 Vδ
Sδ+
Èç íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè ïîëÿ
~a(~r) ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü óíêöèè div ~a(~r), ïîýòîìó
Äîêàçàòåëüñòâî.
ε(δ) =
sup
~
r ∈Uδ (~
r0 )
|div a(~r) − div a(~r0 )| → 0
ïðè δ → +0.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ZZZ
ZZZ
Sδ+
Uδ (~
r0 )
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
Vδ
ZZ
~ − div ~a(~r0 ) ≤ ε(δ) → 0 ïðè
(~a(~r), dS)
δ → +0.
Sδ+
Çàìå÷àíèå.
Ïîñêîëüêó ïîòîê
RR
~ íå çàâèñèò îò ñèñòå(~a(~r), dS)
Sδ+
ìû êîîðäèíàò, òî â ñèëó òåîðåìû 3 äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ íå
çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü S
îáëàñòü G ⊂ R3 , åñëè
1) S = ∂G è
2) G îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.
Îïpåäåëåíèå.
åò
Îïpåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷èâàåò íåêîòîðóþ îáëàñòü.
îãðàíè÷èâà-
çàìêíóòîé,
åñëè îíà
Íåïðåðûâíîå âåêòîðíîå ïîëå ~a(x, y, z) ∈ R3 íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â îáëàñòè Ω, åñëè ïîòîê ïîëÿ ~a ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ êóñî÷íî-ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü S , ëåæàùóþ â îáëàñòè
Ω, ðàâåí íóëþ:
ZZ
~ =0
(~a(x, y, z), dS)
∀ çàìêí., êóñ.-ãëàä. S ⊂ Ω.
Îïpåäåëåíèå.
S
div ~a(~r) dx dy dz − Vδ div ~a(~r0 ) =
Uδ (~
r0 )
=
Èç òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî àóññà ïîëó÷àåì, ÷òî
ZZ
ZZZ
~
div ~a(~r) dx dy dz =
(~a(~r), dS).
~
(~a(x, y, z), dS).
(div ~a(~r) − div ~a(~r0 )) dx dy dz ≤
ZZZ
Uδ (~
r0 )
Uδ (~
r0 )
76
ε(δ) dx dy dz = Vδ ε(δ).
Îáëàñòü Ω ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ îáúåìíî îäíîñâÿçíîé, åñëè äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S ⊂ Ω îáëàñòü G, îãðàíè÷åííàÿ ïîâåðõíîñòüþ S , ñîäåðæèòñÿ â Ω.
Îïpåäåëåíèå.
Îáðàçíî ãîâîðÿ, îáúåìíàÿ îäíîñâÿçíîñòü îáëàñòè Ω îçíà÷àåò, ÷òî
îáëàñòü Ω íå èìååò ¾âíóòðåííèõ ïîëîñòåé¿.
77
Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå ~a(x, y, z) ∈ R3 íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìî â îáëàñòè Ω. Òîãäà óñëîâèå
Òåîpåìà 4.
div ~a(x, y, z) = 0
∀(x, y, z) ∈ Ω
(7)
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå îáúåìíîé îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè
Ω è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñîëåíîèäàëüíîñòè ïîëÿ ~a.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (7) äëÿ ñîëåíîèäàëüíîñòè ïîëÿ ~a ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 3.
2) Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (7) è îáëàñòü Ω îáúåìíî îäíîñâÿçíà. Ïóñòü çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S îãðàíè÷èâàåò
îáëàñòü G. Òîãäà â ñèëó îáúåìíîé îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè Ω G ⊂
⊂ Ω, ïîýòîìó div ~a(x, y, z) = 0 ∀(x, y, z) ∈ G. Îòñþäà è èç îðìóëû
Îñòðîãðàäñêîãî àóññà ñëåäóåò, ÷òî ïîòîê ïîëÿ ~a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü
S ðàâåí íóëþ.
Çàìå÷àíèå. Èç óñëîâèÿ (7) äëÿ îáúåìíî íåîäíîñâÿçíîé îáëàñòè
Ω íå ñëåäóåò ñîëåíîèäàëüíîñòü ïîëÿ ~a. Ïóñòü, íàïðèìåð, ~a(~r) = |~r~r|3
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàpÿäà, Ω = {~r ∈ R3 : 1 < |~r| < 3},
S = {~r ∈ R3 : |~r| = 2}. Òîãäà
~r
1
1
div ~a = ∇, 3 = 3 (∇, ~r) + ~r, ∇ 3 =
|~r|
|~r|
|~r|
3
3
3∇|~r|
~r
= 3 − ~r,
=
= 0,
−
3
~
r
,
|~r|
|~r|4
|~r|3
|~r|5
ò. å. óñëîâèå (7) âûïîëíåíî. Îäíàêî
ZZ
ZZ
ZZ ~r ~r
~ =
dS =
,
(~a, dS)
(~a, ~n) dS =
|~r|3 |~r|
S
S
=
ZZ
S
6.
R
Γ
S
2
2 4π
dS
=
= 4π 6= 0.
|~r|2
22
Ôîðìóëà Ñòîêñà
Îïpåäåëåíèå.
Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà
(~a(x, y, z), d~r) îò âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a(x, y, z) ∈ R3 ïî çàìêíóòîé
Ïóñòü
1) S = ~r(G) ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ
ïîâåðõíîñòü;
îðèåíòèðîâàííàÿ
x(u, v)
2) âåêòîð-óíêöèÿ ~r(u, v) = y(u, v) äâàæäû íåïðåðûâíî äèz(u, v)
åðåíöèðóåìà â G;
3) ãðàíèöåé îáëàñòè G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êóñî÷íîãëàäêàÿ êðèâàÿ;
4) êðàé ïîâåðõíîñòè ∂S + îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî;
5) âåêòîðíîå ïîëå ~a(x, y, z) ∈ R3 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â
íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ R3 , ñîäåðæàùåé ïîâåðõíîñòü S .
Òîãäà ïîòîê ðîòîðà ïîëÿ ~a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S ðàâåí öèpêóëÿöèè
ïîëÿ ~a ïî êðèâîé ∂S + , ò. å. ñïðàâåäëèâà îðìóëà Ñòîêñà:
ZZ
Z
~ =
(1)
(~a(x, y, z), d~r).
(rot ~a(x, y, z), dS)
Òåîpåìà 1.
S
∂S +
Ïðåäñòàâèì âåêòîðíîå ïîëå ~a(x,
y, z) =
Äîêàçàòåëüñòâî.
P
P (x, y, z)
= Q(x, y, z) êàê ñóììó òðåõ âåêòîðíûõ ïîëåé ~a1 = 0 , ~a2 =
0
R(x,
y, z)
0
0
= Q, ~a3 = 0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îðìóëû Ñòîêñà äîñòà0
R
òî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
ZZ Z
~
(2)
(~ai , d~r), i = 1, 2, 3.
rot~ai , dS =
S
∂S +
Äîêàæåì îðìóëó (2) ïðè i = 1. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü S îðèåíòèðî[~
r ′u ,~
r ′v ]
+
âàíà ïîëåì íîðìàëåé ~n = |[~
r ′u ,~
r ′v ]| , êðèâàÿ ∂G îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî îòíîñèòåëüíî îáëàñòè G, à ñèñòåìà êîîðäèíàò (u, v) ïðàâàÿ. Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 2 èç 1 êðàé ∂S + = ~r(∂G+ ) ïîâåðõíîñòè
S îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî. Ïóñòü êðèâàÿ
u(t)
∂G+ =
: t ∈ [α, β]
v(t)
êðèâîé Γ íàçûâàåòñÿ öèpêóëÿöèåé.
78
79
ïàðàìåòðèçîâàíà
u(t)
,
v(t)
Òîãäà
âåêòîð-óíêöèåé
êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ
ïðîèçâîäíóþ.
x(u(t), v(t))
= y(u(t), v(t)) : t ∈ [α, β] . Ñëåäîâàòåëüíî,
z(u(t), v(t))
Z
(~a1 , d~r) =
=
P dx =
Zβ
∂S +
=
P (x′u u′t + x′v vt′ ) dt =
α
Z
P x′u du + P x′v dv.
∂G+
Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû ðèíà ïîëó÷àåì
Z Z Z
(~a1 , d~r) =
(P x′v )′u − (P x′u )′v du dv.
Ïîñêîëüêó
(P x′v )′u − (P x′u )′v = Pu′ x′v + P x′′vu − Pv′ x′u − P x′′uv = Pu′ x′v − Pv′ x′u =
= (Px′ x′u + Py′ yu′ + Pz′ zu′ ) x′v − (Px′ x′v + Py′ yv′ + Pz′ zv′ ) x′u =
= Py′ (x′v yu′ − x′u yv′ ) + Pz′ (x′v zu′ − x′u zv′ ) = −Py′
òî
Z
∂S +
(~a1 , d~r) =
∂(z, x)
∂(x, y)
+ Pz′
,
∂(u, v)
∂(u, v)
Z Z ∂(z, x)
∂(x, y)
du dv.
+ Pz′
−Py′
∂(u, v)
∂(u, v)
(3)
G
Ñ äðóãîé
ñòîðîíû,
â ñèëó òåîðåìû 2 3 è îðìóëû rot~a1 =
~k
~i
~j
∂
∂
∂
= det ∂x
= ~j Pz′ − ~k Py′ ïîëó÷àåì
∂y
∂z
P
0
0
ZZ
ZZ
0 Pz′ −Py′
~ =
(rot~a1 , dS)
det x′u yu′
zu′ du dv =
′
′
xv yv
zv′
S
G
80
ZZ ∂(z, x)
∂(x, y)
+ Pz′
−Py′
du dv.
∂(u, v)
∂(u, v)
G
Îòñþäà è èç îðìóëû (3) ïîëó÷àåì îðìóëó (2) ïðè i = 1. Ïðè
i = 2, 3 îðìóëà (2) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñêëàäûâàÿ îðìóëû
(2) ïðè i = 1, 2, 3, ïîëó÷àåì îðìóëó Ñòîêñà.
∂Si+
G
∂S +
=
Çàìå÷àíèå. Òåîðåìó 1 ìîæíî äîêàçàòü, íå ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2), ò. å. îò âåêòîð-óíêöèè ~r(u, v) äîñòàòî÷íî
òðåáîâàòü íåïðåðûâíóþ äèåðåíöèðóåìîñòü, à íå íåïðåðûâíîñòü
åå âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ, íî äîêàçàòåëüñòâî áóäåò çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå.
Åñëè ïîâåðõíîñòü S ñîñòàâëåíà èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ ãëàäSi , òî ïðè ñóììèðîâàíèè êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàêèõ ïîâåðõíîñòåé
R
ëîâ
(~a, d~r) èíòåãðàëû ïî îáùåìó êðàþ äâóõ ñîñåäíèõ ïîâåðõíî-
P x′t dt =
α
∂S +
∂S +
Zβ
Z
èìåþùåé
ñòåé Si âîéäóò ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíàêàìè è âçàèìíî óíè÷òîæàòñÿ. Ñêëàäûâàÿ îðìóëû Ñòîêñà äëÿ ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé Si , ìîæíî ïîëó÷èòü îðìóëó Ñòîêñà äëÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S .
Èòàê, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Ñòîêñà äëÿ êóñî÷íîãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé âûõîäèò çà
ðàìêè íàøåãî êópñà.
Òåîpåìà 2. Ïóñòü S êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü, êðàé êîòîðîé ∂S + ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ çàìêíóòûõ êóñî÷íîãëàäêèõ êðèâûõ, îðèåíòèðîâàííûõ ïîëîæèòåëíî. Ïóñòü âåêòîðíîå
ïîëå ~a(x, y, z) ∈ R3 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ R3 , ñîäåðæàùåé ïîâåðõíîñòü S . Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà
Ñòîêñà (1).
Òåîpåìà 3. ( åîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ðîòîðà.) Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå ~a(~r) ∈ R3 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â îáëàñòè G ⊂
⊂ R3xyz . Ïóñòü çàäàíû òî÷êà ~r0 ∈ G è åäèíè÷íûé âåêòîð ~n ∈ R3 .
Ïóñòü Sδ êðóã ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå ~r0 è ëåæàùèé â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó ~n. Òîãäà
Z
1
(rot~a(~r0 ), ~n) = lim
(~a(~r), d~r),
δ→+0 πδ 2
∂Sδ+
81
ãäå ∂Sδ+ ãðàíèöà êðóãà Sδ , îðèåíòèðîâàííàÿ ñîãëàñîâàííî ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ~n ïî ïðàâèëó ¾ïðàâîãî áóðàâ÷èêà¿.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè ïîëÿ
~a ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü óíêöèè (rot ~a(~r), ~n) â òî÷êå ~r0 , ïîýòîìó
äëÿ âåëè÷èíû
ε(δ) = sup |(rot~a(~r), ~n) − (rot~a(~r0 ), ~n)|
δ→+0
(rot~a(~r), ~n) dS −
ò. å.
(rot~a(~r0 ), ~n) dS ≤
ZZ
2
ε(δ) dS = πδ ε(δ),
Sδ
Sδ
Sδ
Ïóñòü â îáëàñòè G ⊂ Rn çàäàíî íåïðåðûâíîå âåêòîðíîå ïîëå ~a : G → Rn . Òîãäà ñëåäóþùèå
óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
R
1) Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (~a(~r), d~r) íå çàâèñèò îò ïóòè èíÒåîpåìà 1.
Γ
Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ε(δ) ñëåäóåò, ÷òî
ZZ
èíòåãðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ
Γ ⊂ G, ò. å. äëÿ ëþáûõ äâóõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ
Γ1 , Γ2 ⊂ G, èìåþùèõ îáùåå íà÷àëî è îáùèé êîíåö, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Z
Z
(~a(~r), d~r) = (~a(~r), d~r).
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå lim ε(δ) = 0.
ZZ
Óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî
òåãðèðîâàíèÿ
~
r ∈Sδ
ZZ
7.
~ − πδ 2 (rot~a(~r0 ), ~n) ≤ πδ 2 ε(δ).
(rot~a(~r), dS)
2) Öèðêóëÿöèÿ
Sδ
(~a(~r), d~r) ïî ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé
êðèâîé Γ ⊂ G ðàâíà íóëþ.
3) Âåêòîðíîå ïîëå ~a ïîòåíöèàëüíî â îáëàñòè G, ò. å. ñóùåñòâóåò
ñêàëÿðíàÿ óíêöèÿ ϕ (îíà íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì) òàêàÿ, ÷òî
~a(~r) = grad ϕ(~r)
∀~r ∈ G,
èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì
äèåðåíöèàëîì óíêöèè ϕ:
(~a(~r), d~r) = dϕ(~r)
∂Sδ+
ñëåäîâàòåëüíî,
Γ2
Γ1
Γ
Sδ
 ñèëó îðìóëû Ñòîêñà
Z
ZZ
~ =
(rot~a(~r), dS)
(~a(~r), d~r),
R
∀~r ∈ G.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1
πδ 2
Z
(~a(~r), d~r) − (rot~a(~r0 ), ~n) ≤ ε(δ),
(3) ⇒ (2).
Ïóñòü (~a(~r), d~r) = dϕ(~r) è ïóñòü Γ = {~r(t) : t ∈
∈ [a, b]} çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Òîãäà ~r(a) = ~r(b) è,
ñëåäîâàòåëüíî,
∂Sδ+
Z
÷òî âìåñòå ñ óñëîâèåì lim ε(δ) = 0 äîêàçûâàåò òåîðåìó.
δ→+0
Γ
Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó öèpêóëÿöèÿ ïîëÿ ~
a íå çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî èç òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~n ∈
∈ R3 âåëè÷èíà (rot~a(~r0 ), ~n) íå çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïîýòîìó ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò.
=
Zb
a
(~a(~r), d~r) =
Zb
(~a(~r(t)), ~r ′ (t)) dt =
a
b
= ϕ(~r(b)) − ϕ(~r(a)) = 0.
dϕ(~r(t)) dt = ϕ(~r(t))
a
Ïóñòü G îáëàñòü â R3 , ïîëå ~a : G → R3 íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìî. Âåðíî ëè, ÷òî ïîëå ~b = rot~a ñîëåíîèäàëüíî â G?
(2) ⇒ (1).
Ïóñòü êóñî÷íî-ãëàäêèå êðèâûå Γ1 , Γ2 ⊂ G èìåþò
îáùèå íà÷àëî è êîíåö. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ−
2 êðèâóþ, ïîëó÷åííóþ
82
83
Çàäà÷à 1.
èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè êðèâîé Γ2 , à ÷åðåç Γ çàìêíóòóþ êðèâóþ,
ñîñòàâëåííóþ èç êðèâûõ Γ1 è Γ−
2 . Òîãäà
Z
Z
(~a(~r), d~r) − (~a(~r), d~r ) =
Γ2
Γ1
=
Z
(~a(~r), d~r ) +
Γ1
Z
(~a(~r), d~r) =
Z
(~a(~r), d~r) = 0.
Γ
Γ−
2
ϕ(~r1 + tℓ) − ϕ(~r1 )
1
lim
= lim
t→+0
t→+0
t
t
Γ
åòñÿ òî÷êà ~r0 , à êîíöîì òî÷êà ~r1 . Òàêàÿ êðèâàÿ Γ ñóùåñòâóåò, òàê
êàê îáëàñòü G ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì. Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè
êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ çíà÷åíèå ϕ(~r1 )
íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé Γ.
Ïóñòü çàäàíû ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ~r1 ∈ G è ~r2 ∈ G. Ïóñòü Γ ïðîèçâîëüíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ñ íà÷àëîì â òî÷êå ~r1 è êîíöîì
â òî÷êå ~r2 , Γ1 ïðîèçâîëüíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ñ íà÷àëîì â
òî÷êå ~r0 è êîíöîì â òî÷êå ~r1 , à êðèâàÿ Γ2 ñîñòàâëåíà èç êðèâûõ Γ1
è Γ, òîãäà
Z
Z
Z
ϕ(~r2 ) − ϕ(~r1 ) = (~a(~r), d~r) − (~a(~r), d~r) = (~a(~r), d~r).
(1)
Γ
Γ1
Γ2
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~r1 ∈ G è ïîêàæåì, ÷òî ~a(~r1 ) =
= grad ϕ(~r1 ). Ïîñêîëüêó îáëàñòü G îòêpûòîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Uδ (~r1 ) ⊂ G. Ïóñòü ℓ ∈ Rn ïðîèçâîëüíûé âåêòîð
åäèíè÷íîé äëèíû, à Γ = {~r(t) = ~r1 + tℓ : t ∈ [0, δ]} îòðåçîê ñ
êîíöàìè â òî÷êàõ ~r1 è ~r1 + δℓ. Òîãäà â ñèëó îðìóëû (1) äëÿ ëþáîãî
t ∈ (0, δ) èìååì
ϕ(~r1 + tℓ) − ϕ(~r1 ) =
Z
(~a(~r), d~r) =
Zt
0
Γ
Ñëåäîâàòåëüíî,
84
(~a(~r(τ )), ℓ) dτ.
(~a(~r(τ )), ℓ) dτ = (~a(~r1 ), ℓ),
0
r1 ) = (~a(~r1 ), ℓ).
ò. å. ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ ∂ϕ
∂ℓ (~
Îòñþäà è èç íåïðåðûâíîñòè âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a ñëåäóåò íåïðåðûâíàÿ äèåðåíöèðóåìîñòü ñêàëÿðíîé óíêöèè ϕ â îáëàñòè G. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè ~r1 ∈ G è äëÿ ëþáîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà ℓ ∈ Rn
(~a(~r1 ), ℓ) =
(1) ⇒ (3).
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~r0 ∈ G. Äëÿ
ëþáîé
òî÷êè
~
r
∈
G
îïðåäåëèì ϕ(~r1 ) êàê êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
1
R
(~a(~r), d~r) ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G, íà÷àëîì êîòîðîé ÿâëÿ-
Zt
∂ϕ
(~r1 ) = (grad ϕ(~r1 ), ℓ),
∂ℓ
ñëåäîâàòåëüíî, ~a(~r1 ) = grad ϕ(~r1 ) ∀~r1 ∈ G.
Îïpåäåëåíèå.
~a íàçûâàåòñÿ
Íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå
â îáëàñòè G ⊂ R3 , åñëè
áåçâèõðåâûì
rot~a(~r) = 0
∀~r ∈ G.
àññìîòðèì ñâÿçü ïîòåíöèàëüíîñòè è áåçâèõðåâîñòè âåêòîðíîãî
ïîëÿ ~a â îáëàñòè G.
Îáëàñòü G ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíî îäíîñâÿçíîé, åñëè äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G
ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S ⊂ G, êðàåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ Γ.
Îïpåäåëåíèå.
Îáðàçíî ãîâîðÿ, ïîâåðõíîñòíàÿ îäíîñâÿçíîñòü îáëàñòè G îçíà÷àåò, ÷òî îáëàñòü G íå èìååò ¾ñêâîçíûõ îòâåðñòèé¿.
Òåîpåìà 2. Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå ~
a íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â îáëàñòè G ⊂ R3 . Òîãäà áåçâèõðåâîñòü ~a â G ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíîé îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè G è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ ~a â îáëàñòè G.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè ïîëå ~
a ïîòåíöèàëüíî, òî â ñèëó òåîðåìû 1 öèpêóëÿöèÿ ïîëÿ ~a ïî ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G ðàâíà íóëþ. Îòñþäà è èç ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ
ðîòîðà ñëåäóåò áåçâèõðåâîñòü ïîëÿ ~a â îáëàñòè G.
2) Ïóñòü ïîëå ~a áåçâèõðåâîå.  ñèëó òåîðåìû 1 äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ ~a äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî öèpêóëÿöèÿ
85
ïî ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G ðàâíà íóëþ. Èç
ïîâåðõíîñòíîé îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè G ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-ãëàäêàÿ
ïîâåðõíîñòü S ⊂ G, êðàåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ Γ. Èç îðìóëû
Ñòîêñà è áåçâèõðåâîñòè ïîëÿ ~a ñëåäóåò, ÷òî öèpêóëÿöèÿ ïîëÿ ~a ïî
êðèâîé Γ ðàâíà íóëþ.
Çàìå÷àíèå. Èç áåçâèõðåâîñòè ïîëÿ ~
a â ïîâåðõíîñòíî íåîäíîïîòåíöèàëüíîñòü
ïîëÿ ~a. Ïóñòü, íàñâÿçíîé îáëàñòè G íå ñëåäóåò
−y
x
ïðèìåð, ~a(x, y, z) = x +y
,
x2 +y 2
2
∈ R}
,
0
Γ = {(2 cos t, 2 sin t, 0) : t ∈ [0, 2π]}
~i
~j
∂
∂
rot~a = det ∂x
∂y
= ~k
îäíàêî
Z
Γ
G = {(x, y, z) : 1 < x2 + y 2 < 9, z ∈
2
(~a, d~r) =
Z
∂
∂x
. Òîãäà
x2 +y 2
−y
x2 +y 2
x
x2 + y 2
x
∂
−
∂y
x dy
y dx
+ 2
=
− 2
x + y2
x + y2
Γ
~k
∂
∂z
0
−y
x2 + y 2
=
= 0,
Z2π
(sin2 t + cos2 t) dt = 2π 6= 0.
0
Ïîñêîëüêó öèpêóëÿöèÿ ïîëÿ ~a ïî çàìêíóòîé êðèâîé Γ ⊂ G íå ðàâíà
íóëþ, òî â ñèëó òåîðåìû 1 ïîëå ~a íåïîòåíöèàëüíî â îáëàñòè G.
àññìîòðèì òåïåðü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ ïîòåí(x, y)
, çàöèàëüíîñòè äâóìåðíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a(x, y) = PQ(x,
y)
äàííîãî â ïëîñêîé îáëàñòè G ⊂ R2.
2
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàìêíóòàÿ êðèâàÿ Γ ⊂ R
2
îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü G ⊂ R , åñëè
1) Γ = ∂G;
2) îáëàñòü G îãðàíè÷åíà.
86
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Æîðäàíà, êîòîðóþ ìû ïðèìåì
áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Òåîpåìà 3. (Òåîðåìà Æîðäàíà.) Äëÿ ëþáîé ïðîñòîé çàìêíóòîé
êðèâîé Γ ⊂ R2 ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü Ω ⊂ R2Sè íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü Ω′ ⊂ R2 òàêèå, ÷òî ∂Ω = ∂Ω′ = Γ è Ω Ω′ S Γ =
= R2 .
Èç òåîðåìû Æîðäàíà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðîñòîé çàìêíóòîé
êðèâîé Γ ⊂ R2 ñóùåñòâóåò îáëàñòü Ω, îãðàíè÷åííàÿ ýòîé êðèâîé.
2
Îïpåäåëåíèå. Îáëàñòü G ⊂ R íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé, åñëè
äëÿ ëþáîé ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé Γ ⊂ G îáëàñòü Ω, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé Γ, ñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè G.
Îáðàçíî ãîâîðÿ, îäíîñâÿçíîñòü îáëàñòè G ⊂ R2 îçíà÷àåò, ÷òî îáëàñòü G íå èìååò ¾äûð¿.
2
Òåîpåìà 4. Ïóñòü â îáëàñòè G ⊂ R çàäàíî íåïðåðûâíî äèå
(x, y)
ðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå ~a(x, y) = PQ(x,
. Òîãäà óñëîâèå
y)
∂Q
∂P
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∀(x, y) ∈ G
(2)
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè G è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïîòåíöèàëüíîñòè âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a.
a ïîòåíöèàëüíî â îáëàñòè G,
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü ïîëå ~
ò. å. ñóùåñòâóåò óíêöèÿ ϕ : G → R òàêàÿ, ÷òî ~a(x, y) = grad ϕ(x, y)
äëÿ ëþáîé òî÷êè (x, y) ∈ G. Ïîýòîìó P = ϕ′x , Q = ϕ′y . Òàê êàê ïîëå
~a íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî â G, òî óíêöèÿ ϕ äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà â G. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î íåçàâèñèìîñòè
ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ îò ïîðÿäêà äèåðåíöèðîâàíèÿ, äëÿ ëþáîé òî÷êè (x, y) ∈ G ïîëó÷àåì Q′x(x, y) = ϕ′′yx (x, y) = ϕ′′xy (x, y) =
= Py′ (x, y), ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå (2).
2) Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (2). Â ñèëó òåîðåìû 1 äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ ~a äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî öèpêóëÿöèÿ R (~a(~r), d~r) ïî ëþáîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ ⊂ G
Γ
ðàâíà íóëþ.  ñèëó îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè G îáëàñòü Ω, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé Γ, ñîäåðæèòñÿ â G. Ïðèìåíÿÿ îðìóëó ðèíà è èñïîëüçóÿ óñëîâèå (2), ïîëó÷àåì
87
Z
(~a(~r), d~r) =
Γ
Z
Γ
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = ±
ZZ ∂Q ∂P
−
∂x
∂y
Ω
Z
dxdy = 0.
ω=
S
ãäå
Z
···
G
Z
F (~u) du1 . . . dum ,
∂x
· · · ∂uim1
∂(xi1 , . . . , xim )
= det · · · · · · · · · ,
∂(u1 , . . . , um )
∂xim
∂x m
· · · ∂uim
∂u1
x1 (~u)
u1
~r(~u) = · · · ,
~u = · · · .
xn (~u)
um
∂x
i1
∂u1
8.
Äèåðåíöèàëüíûå îðìû è îáùàÿ
òåîðåìà Ñòîêñà
Ïóñòü G èçìåðèìàÿ îáëàñòü â Rum
~ , îòîáðàæåíèå
~r : G →
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìî, è äëÿ ëþáîé òî÷êè ~u ∈
∈ G ìàòðèöà ßêîáè D ~r(~u) èìååò ðàíã m. Òîãäà ìíîæåñòâî S = ~r(G)
íàçûâàåòñÿ m-ìåðíûì ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì â R~xn . Êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ S = ~r(G) íàçûâàåòñÿ îáðàç ãðàíèöû îáëàñòè G: ∂S = ~r(∂G).
Îïpåäåëåíèå.
R~xn
Íàïðèìåð, ãëàäêàÿ êðèâàÿ â Rn ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì ãëàäêèì
ìíîãîîáðàçèåì, ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì
ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì â R3 , èçìåðèìàÿ îáëàñòü â Rn ÿâëÿåòñÿ nìåðíûì ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì â Rn .
Ïóñòü äëÿ ëþáîãî óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà èíäåêñîâ i1 . . . im , ãäå êàæäûé èíäåêñ ij ∈ {1, . . . , n}, îïðåäåëåíà óíêöèÿ
ai1 ...im : R~xn → R. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íà R~xn îïðåäåëåíà äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ïîðÿäêà m:
Îïpåäåëåíèå.
ω=
n
X
i1 =1
···
n
X
Ôóíêöèè ai1 ...im íàçûâàþòñÿ
îðìû ω .
Îïpåäåëåíèå.
ai1 ...im (~x) dxi1 . . . dxim .
(1)
im =1
êîýèöèåíòàìè
Èíòåãðàëîì
R
äèåðåíöèàëüíîé
ω îò äèåðåíöèàëüíîé îðìû
S
n
X
i1 =1
···
n
X
ai1 ...im (~r(~u))
im =1
∂(xi1 , . . . , xim )
:
∂(u1 , . . . , um )
Ïîñêîëüêó ïðè ïåðåñòàíîâêå èíäåêñîâ ij ↔ ik , j 6= k ÿêîáèàí
ìåíÿåò çíàê, òî ïðè ïåðåñòàíîâêå ýòèõ èíäåêñîâ â äèR
åðåíöèàëüíîé îðìå ω èíòåãðàë ω ïî ëþáîìó ãëàäêîìó ìíî∂(xi1 ,...,xim )
∂(u1 ,...,um )
S
ãîîáðàçèþ S èçìåíèò çíàê. Ïîýòîìó ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðè ïåðåñòàíîâêå äèåðåíöèàëîâ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ai1 ...im (~x) dxi1 . . . dxim ìåíÿåò çíàê. Íàïðèìåð, dx2 dx1 =
= − dx1 dx2 . Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî åñëè äèåðåíöèàëüíàÿ
îðìà ai1 ...im (~x) dxi1 . . . dxim ñîäåðæèò íåñêîëüêî äèåðåíöèàëîâ
îäíîé è òîé æå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òî ýòà äèåðåíöèàëüíàÿ
îðìà ðàâíà íóëþ. Íàïðèìåð, dx1 dx1 dx2 = 0.
R
Ïðèìåðû.
1) Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà
a1 (~x) dx1 + . . . + an (~x) dxn ïî ãëàäêîé êðèâîé Γ = {~r(t) =
t ∈ [a, b]} ⊂ R~xn ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò
n
P
ai (~x) dxi ïåðâîãî ïîðÿäêà.
äèåðåíöèàëüíîé îðìû ω =
= (x1 (t), . . . , xn (t)) :
i=1
Äåéñòâèòåëüíî,
Z
Γ
88
S
ñòâóåò.
Γ
(1) ïî ãëàäêîìó ìíîãîîáðàçèþ S = ~r(G) íàçûâàåòñÿ êðàòíûé èíòåãðàë ïî îáëàñòè G îò óíêöèè
F (~u) =
Çàìåòèì, ÷òî åñëè êîýèöèåíòû
äèåðåíöèàëüíîé îðìû ω
R
íåïðåðûâíû, òî èíòåãðàë ω ïî ãëàäêîìó ìíîãîîáðàçèþ S ñóùå-
ω=
Zb
a
n
X
∂xi
ai (~r(t))
∂t
i=1
!
dt =
Z
Γ
89
a1 (~x) dx1 + . . . + an (~x) dxn .
P (x, y, z)
2) Ïóñòü ~a(x, y, z) = Q(x, y, z). Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîR(x, y, z)
ðîãî ðîäà
ZZ
ZZ
~
(~a(x, y, z), dS) =
P dy dz + Q dz dx + R dx dy
â Rn , êðàåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîå m-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ∂S + , îðèåíòèðîâàííîå ñîãëàñîâàííî ñ îðèåíòàöèåé ìíîãîîáðàçèÿ S . Òîãäà ñïðàâåäëèâà îáùàÿ îðìóëà Ñòîêñà:
Z
Z
dω.
ω=
(3)
ïî ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S = ~r(G) ⊂ R3xyz ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò äèåðåíöèàëüíîé îðìû âòîðîãî ïîðÿäêà
Íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü îáùåå ïîíÿòèå îðèåíòàöèè ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ è åå ñîãëàñîâàííîñòè ñ îðèåíòàöèåé êðàÿ ìíîãîîáðàçèÿ.
Ïîêàæåì ëèøü, ÷òî îðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî àóññà, Ñòîêñà è ðèíà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îðìóëû (3).
S
S
S
ω = P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy.
(2)
Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2 3 èìååì
Z
ZZ ∂(z, x)
∂(x, y)
∂(y, z)
du dv =
+Q
+R
ω=
P
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
S
=
∂S +
Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî àóññà. àññìîòðèì â R3xyz äèåðåíöèàëüíóþ îðìó âòîðîãî ïîðÿäêà (2). Òîãäà, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî íóëþ äèåðåíöèàëüíûõ îðì, ñîäåðæàùèõ íåñêîëüêî äèåðåíöèàëîâ îäíîé è òîé æå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì
G
ZZ
G
P
det x′u
x′v
Îïpåäåëåíèå.
ω=
ZZ
R
~
zu′ du dv =
(~a(x, y, z), dS).
′
zv
S
Q
yu′
yv′
Äèåðåíöèàëîì îò äèåðåíöèàëüíîé îðìû
n
X
i1 =1
···
n
X
dω =
j=1 i1
Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (3) äëÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìû (2) è ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ðàçìåðíîñòè 3 â R3xyz , ò. å. îáëàñòè S = G ⊂ R3xyz ,
ïîëó÷àåì îðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî àóññà:
Z
Z
(Px′ + Q′y + Rz′ ) dx dy dz.
P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
∂G+
ai1 ...im (~x) dxi1 . . . dxim
im =1
ïîðÿäêà m ñ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûìè êîýèöèåíòàìè
ai1 ...im íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà
n
X
∂ai1 ...im (~x)
···
dxj dxi1 . . . dxim
∂xj
i =1
=1
n X
n
X
dω = (Px′ + Q′y + Rz′ ) dx dy dz.
G
Ôîðìóëà Ñòîêñà. Òåïåðü â R3xyz ðàññìîòðèì äèåðåíöèàëü-
íóþ îðìó ïåðâîãî ïîðÿäêà:
ω = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.
(4)
Òîãäà
m
ïîðÿäêà m + 1.
Òåîpåìà 1. (Îáùàÿ òåîðåìà Ñòîêñà.) Ïóñòü â Rn çàäàíà äèå-
dω = (Px′ dx + Py′ dy + Pz′ dz) dx + (Q′x dx + Q′y dy + Q′z dz) dy+
+(Rx′ dx + Ry′ dy + Rz′ dz) dz =
ðåíöèàëüíàÿ îðìà ω ïîðÿäêà m ñ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûìè êîýèöèåíòàìè. Ïóñòü S ãëàäêîå (m+1)-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå
~
= (Ry′ − Q′z )dy dz + (Pz′ − Rx′ )dz dx + (Q′x − Py′ )dx dy = (rot~a, dS),
90
91
dy dz
P (x, y, z)
~ = dz dx.
ãäå ~
a(x, y, z) = Q(x, y, z), dS
dx dy
R(x, y, z)
ëàâà 16
Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (3)
ßÄÛ ÔÓPÜÅ
äëÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìû (4) è äëÿ ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
S
(äâóìåðíîãî ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ â
R3xyz ),
ïîëó÷àåì ðàíåå
äîêàçàííóþ îðìóëó Ñòîêñà:
Z
(~a, d~r) =
∂S +
Ôîðìóëà
íîé îðìû
Z
1.
=
Z
−
S
Ìû õîðîøî çíàåì, ÷òî äëÿ ðàáîòû ñ âåêòîðàìè â êîíå÷íîìåðíîì
ðèíà. Ïðèìåíèì îðìóëó (3) äëÿ äèåðåíöèàëü-
ω = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
è äëÿ äâóìåðíîãî ãëàäêîãî
S = G ⊂ R2xy .
Py′ )dx dy , òî îðìóëà (3) äàåò îðìóëó
∂G+
ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå
~
(rot~a, dS).
ìíîãîîáðàçèÿ (ò.å. èçìåðèìîé îáëàñòè)
(Q′x
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
Z
Îïðåäåëåíèå pÿäà Ôópüå
G
(Q′x (x, y)
−
Òàê êàê
ðèíà:
dω =
ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå óäîáíî ââåñòè áàçèñ {ek }n
k=1 â ýòîì ïðîñòðàí-
+ · · · + αn en .
Îñîáåííî óäîáíî ðàáîòàòü ñ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì
(ej , ek ) = 0
k)
αk = (e(a,e
.
k ,ek )
òàêèì, ÷òî
a
Py′ (x, y))dx dy.
a = α1 e1 +
ñòâå è çàäàâàòü âåêòîðû êîîðäèíàòàìè â ýòîì áàçèñå:
ðàâíû
ïðè
j 6= k .
{ek },
ò. å. ñ
 ýòîì áàçèñå êîîðäèíàòû âåêòîðà
Ôóíêöèè, êàê èçâåñòíî, ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè áåñêîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíàÿ èäåÿ òåîðèè pÿäîâ Ôópüå ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàäàâàòü óíêöèè ÷åðåç êîýèöèåíòû Ôópüå,
êîòîðûå èãðàþò òó æå ðîëü, ÷òî è êîîðäèíàòû êîíå÷íîìåðíîãî âåêòîðà.
Äëÿ íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå
[a, b] óíêöèé f (x) è g(x) ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèì ïî îðìóëå
(f, g) =
Zb
f (x) g(x) dx.
(1)
a
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äàííàÿ îðìóëà äåéñòâèòåëüíî çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ íà
[a, b] óíêöèé, ò. å.
âûïîëíÿþòñÿ âñå àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå (1) è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà óíêöèè
f (x)
è
g(x)
ìîãóò íå áûòü íåïðåðûâíûìè, à èíòåãðàë
f (x) g(x) dx
a
ñóùåñòâóåò â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå.
Ëó÷è
Rb
(a, +∞), (−∞, a), ãäå a ∈ R, è ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ (−∞, +∞)
áóäåì íàçûâàòü áåñêîíå÷íûìè èíòåðâàëàìè. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèè.
Îïpåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ
f
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóå-
ìîé íà êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå
92
93
(a, b),
åñëè
1) óíêöèÿ f èìååò íà (a, b) íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáåííîñòåé, ò. å. ñóùåñòâóþò ÷èñëà x0 , . . . , xI : a = x0 < x1 < . . . <
< xI = b òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, . . . , I} è äëÿ ëþáîãî îòðåçêà
Rβ
[α, β] ⊂ (xi−1 , xi ) èíòåãðàë èìàíà f (x) dx ñóùåñòâóåò â ñîáñòâåí-
íîì ñìûñëå;
2) èíòåãðàë
ñèñòåìå {ek }. Çäåñü, ñîãëàñíî îðìóëå (1),
(f, ek ) =
a
Ôóíêöèîíàëüíûé pÿä
|ϕ(x) ψ(x)| dx, ò. å. äëÿ óíêöèè ϕ(x) ψ(x) âûïîëíåíî âòîðîå óñëî-
âèå îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè.
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü íà îòðåçêå [a, b] çàäàíà ñèñòåìà íåïðåðûâíûõ è íå ðàâíûõ òîæäåñòâåííî íóëþ óíêöèé {ek (x)}∞
k=1 , îðòîãîíàëüíàÿ â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (1). Ïóñòü óíêöèÿ f (x)
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà ÷èñëà
αk =
(f, ek )
,
(ek , ek )
k ∈ N,
íàçûâàþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôópüå óíêöèè f ïî îðòîãîíàëüíîé
94
αk ek (x) íàçûâàåòñÿ pÿäîì Ôópüå óíê-
öèè f (x), ÷òî çàïèñûâàþò â âèäå
|f (x)| dx ñõîäèòñÿ.
Åñëè óíêöèÿ ϕ(x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå (a, b), à óíêöèÿ ψ(x) íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà (a, b), òî óíêöèÿ ϕ(x) ψ(x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ ϕ(x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (a, b), òî ñóùåñòâóþò ÷èñëà x0 , . . . , xI òàêèå, ÷òî a = x0 <
< x1 < . . . < xI = b, è ϕ(x) èíòåãðèðóåìà â ñîáñòâåííîì ñìûñëå íà
ëþáîì îòðåçêå [α, β] ⊂ (xi−1 , xi ), i = 1, . . . , I . Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå èíòåãðèðóåìûõ óíêöèé åñòü óíêöèÿ èíòåãðèðóåìàÿ, òî óíêöèÿ ϕ(x) ψ(x) èíòåãðèðóåìà â ñîáñòâåííîì ñìûñëå íà ëþáîì îòðåçêå
[α, β] ⊂ (xi−1 , xi ), i = 1, . . . , I , ò. å. äëÿ óíêöèè ϕ(x) ψ(x) âûïîëíåíî
ïåðâîå óñëîâèå îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè.
Èç îãðàíè÷åííîñòè óíêöèè ψ(x) è ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
Rb
|ϕ(x)| dx ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
a
e2k (x) dx,
k=1
f (x) ∼
Ëåììà 1.
a
Rb
∞
P
Rb
a
f (x) ek (x) dx.
a
α
Rb
Rb
(ek , ek ) =
∞
X
αk ek (x).
k=1
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáîé àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèè êîýèöèåíòû Ôópüå ñóùåñòâóþò. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó óíêöèè ek (x) íåïðåðûâíû è íå ðàâíû òîæäåñòâåííî íóëþ, òî èíòåãðàëû
Rb
(ek , ek ) = e2k (x) dx ñóùåñòâóþò è íå ðàâíû íóëþ. Èç íåïðåðûâíîñòè
a
óíêöèé ek (x) íà [a, b] ñëåäóåò òàêæå îãðàíè÷åííîñòü ýòèõ óíêöèé
íà (a, b). Îòñþäà è èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè f íà (a, b) ïî ëåììå 1
ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü, à çíà÷èò, è ïðîñòî ñõîäèìîñòü èíRb
òåãðàëîâ (f, ek ) = f (x) ek (x) dx. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ÷èñëà αk =
a
=
(f,ek )
(ek ,ek ) .
ÿä Ôópüå àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèè f (x) â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò ðàñõîäèòüñÿ èëè ñõîäèòüñÿ íå ê óíêöèè f (x). Ïîýòîìó
∞
∞
P
P
èç óñëîâèÿ f (x) ∼
αk ek (x) íå ñëåäóåò, ÷òî f (x) =
αk ek (x). Â
k=1
k=1
äàëüíåéøåì ìû áóäåì èçó÷àòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè pÿäà Ôópüå.
Îïpåäåëåíèå.
ñòåìà óíêöèé
Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ ñè-
πx
πx
πkx
πkx
1
, sin
, cos
, · · · , sin
, cos
, ···,
2
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ãäå ℓ èêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Ëåììà 2. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà îðòîãîíàëüíà íà ëþáîì
îòðåçêå äëèíû 2ℓ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà d è ëþáûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n, k (n 6= k) èìååì
95
d+2ℓ
Z
ÿä Ôópüå óíêöèè
πkx
πnx
cos
dx =
ℓ
ℓ
sin
âèä
=
d
=−
π(n + k)x
π(n − k)x
1
sin
dx =
− sin
2
ℓ
ℓ
d+2ℓ
òàê êàê, íàïðèìåð,
.
= cos π(n+k)d
ℓ
Ïðè ℓ = π òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíîé
òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé è èìååò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä:
d+2ℓ
Z
sin
πnx
πnx
cos
dx = 0,
ℓ
ℓ
d+2ℓ
Z
πnx
πkx
sin
sin
dx = 0,
ℓ
ℓ
cos
d
πkx
πnx
cos
dx = 0 (n 6= k),
ℓ
ℓ
d+2ℓ
Z
πnx
1
cos
dx = 0,
2
ℓ
d
d
πnx
1
sin
dx = 0.
2
ℓ
(Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè.) Ïóñòü â åâêëèäîâîì
â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèç-
âåäåíèåì) çàäàíà ñèñòåìà ýëåìåíòîâ
{ek }∞
k=1
(ek , ek ) = 1),
ℓ
,
2
sin
πkx
ℓ
d
2
dx =
d+2ℓ
Z cos
πkx
ℓ
d
îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì
ak =
1
ℓ
bk =
1
ℓ
d+2ℓ
Z
f (x) cos
d
d+2ℓ
Z
πkx
dx,
ℓ
f (x) sin
πkx
dx,
ℓ
d
96
k = 0, 1, 2, · · · ,
2
fk
ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîä-
dx = ℓ,
[d, d + 2ℓ]
ek
òàêàÿ, ÷òî
(ek , ej ) = 0
ïðè
j 6= k
è
êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáè-
Èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè êîíå÷íûõ íàáî-
ñëåäóåò, ÷òî ñðåäè ýëåìåíòîâ
ìåíòà. Îïðåäåëèì
fk
íåò íóëåâîãî ýëå-
f1
.
e1 = p
(f1 , f1 )
(e1 , e1 ) = 1. Ïóñòü îïðåäåëåí îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð
{e1 , . . . , en−1 }, êàæäûé ýëåìåíò ek êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ f1 , . . . , fk . Îïðåäåëèì ýëåìåíò
Òîãäà
en = fn − α1 e1 − . . . − αn−1 en−1 ,
f
ãäå êîýèöèåíòû
ìåíòà
k = 1, 2, · · · .
{fk }∞
k=1 ,
f1 , . . . , fk .
íàöèåé ýëåìåíòîâ
ðîâ ýëåìåíòîâ
d+2ℓ
Z (ò. å.
êàæäûé ýëåìåíò
Äîêàçàòåëüñòâî.
dx =
f (x)
Òåîpåìà 1.
ïðîñòðàíñòâå (ò. å.
ðîâàííàÿ ñèñòåìà
d
òî êîýèöèåíòû Ôópüå àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé íà
óíêöèè
âèäó ýòó çàìåíó, äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñòàíäàðòíóþ
ñèñòåìà êîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Òîãäà ñóùåñòâóåò îðòîíîðìè-
Ïîñêîëüêó
2
ìîæíî ïîëó÷èòü òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó îáùåãî âèäà. Èìåÿ â
Åñëè çàäàíà íåîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà óíêöèé, òî åå ìîæíî îð-
d
1
2
πx
ℓ èç ñòàíäàðòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû
x →
òîãîíàëèçîâàòü ñîãëàñíî ñëåäóþùåé òåîðåìå.
d
d+2ℓ
Z Çàìåíîé
òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó.
d+2ℓ
Z
d+2ℓ
Z
1
, sin x, cos x, · · · , sin kx, cos kx, · · · .
2
d+2ℓ
+
Àíàëîãè÷íî, âû÷èñëÿÿ èíòåãðàëû, ëåãêî óáåäèòüñÿ,
÷òî
(2)
k=1
π(n − k)x
ℓ
cos
= 0,
2π(n
−
k)
ℓ
d
d
π(n+k)d
cos π(n+k)(d+2ℓ)
=
cos
+
2π(n
+
k)
=
ℓ
ℓ
ℓ
π(n + k)x
cos
2π(n + k)
ℓ
ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå èìååò
∞ a0 X
πkx
πkx
f (x) ∼
.
+
+ bk sin
ak cos
2
ℓ
ℓ
d
d+2ℓ
Z
f (x)
ef
n
ýëåìåíòàì
αk îïðåäåëèì
e1 , . . . , en−1 :
èç óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè ýëå-
0 = (f
en , ek ) = (fn , ek ) − αk , ãäå
{e1 , . . . , en−1 }.
ðàâíû αk = (fn , ek ).
ìû âîñïîëüçîâàëèñü îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ íàáîðà
Ïîýòîìó èñêîìûå êîýèöèåíòû
97
Ïîñêîëüêó ýëåìåíò α1 e1 + . . . + αn−1 en−1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ f1 , . . . , fn−1 , à ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïîäñèñòåìà
{f1 , . . . , fn } ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî ef
n ÿâëÿåòñÿ íåíóëåâûì ýëåìåíòîì. Îïðåäåëèì
en
f
en = p
.
(f
en , f
en )
Òîãäà íàáîð {e1 , . . . , en } ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, à êàæäûé
ýëåìåíò ek ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ f1 , . . . , fk .
Äåéñòâóÿ ïî èíäóêöèè, îïðåäåëèì èñêîìóþ ñèñòåìó {ek }∞
k=1 .
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ
ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ê ñèñòåìå óíêöèé {1, x, x2 , . . . , xk , . . .}
íà îòðåçêå [−1, 1] ïîëó÷èòñÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà óíêöèé
{ek (x)}∞
k=0 , ýëåìåíòû êîòîðîé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëåííûõ êîýèöèq
åíòîâ ñîâïàäàþò ñ ìíîãî÷ëåíàìè Ëåæàíäðà: ek (x) = Lk (x)
k + 21 .
Äàëåå â îñíîâíîì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü pÿäû Ôópüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå, õîòÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü pÿäû Ôópüå
ïî ëþáîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå, íàïðèìåð, ïî ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà.
Ëåììà 3. Ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà
Ln (x) =
1 dn 2
(x − 1)n ,
n! 2n dxn
2.
n ∈ N,
L0 (x) = 1
ñîñòàâëÿþò îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó íà îòðåçêå [−1, 1].
Äîêàçàòåëüñòâî. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðè n > k ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
J=
Z1
−1
dk
dn 2
(x − 1)n · k (x2 − 1)k dx = 0.
n
dx
dx
Ïîñêîëüêó (x2 − 1)n = (x − 1)n (x + 1)n , òî èíäóêöèåé ïî j ëåãêî äîêàdj
2
n
= (x−1)n−j g(x),
çàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî j ∈ {1, . . . , n−1} dx
j (x −1)
ãäå g(x) íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí. Ñëåäîâàòåëüíî,
= 0 ïðè j ≤ n − 1. Àíàëîãè÷íî,
j
d
2
dxj (x
− 1)n
x=−1
dj
2
dxj (x
− 1)n
x=1
=
= 0 ïðè j ≤ n − 1.
Èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå J ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì
J =−
Z1
−1
dk+1
dn−1 2
(x − 1)n · k+1 (x2 − 1)k dx = · · · =
n−1
dx
dx
n
= (−1)
Z1
−1
(x2 − 1)n
dk+n 2
(x − 1)k dx.
dxk+n
Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí (x2 − 1)k èìååò ñòåïåíü 2k , à k + n > 2k , òî
dk+n
2
k
dxk+n (x − 1) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, J = 0.
98
Òåîðåìà èìàíà îá îñöèëëÿöèè
Îïpåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f : X → R íàçûâàåòñÿ èíèòíîé, åñëè
ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî X0 ⊂ X òàêîå, ÷òî f (x) = 0 äëÿ
ëþáîãî x ∈ X \ X0 .  ÷àñòíîñòè, åñëè ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî, òî
ëþáàÿ óíêöèÿ f : X → R èíèòíà.
Ôóíêöèÿ f , çàäàííàÿ íà ÷èñëîâîì ïðîìåæóòêå, íàçûâàåòñÿ
êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé, åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ýòîãî ïðîìåæóòêà
íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ óíêöèÿ f
ïîñòîÿííà.
Òåîpåìà 1. Ïóñòü óíêöèÿ f àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0
ñóùåñòâóåò èíèòíàÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ óíêöèÿ fε : (a, b) → R
òàêàÿ, ÷òî
Z b
(1)
|f (x) − fε (x)| dx < ε.
a
Ïóñòü ñíà÷àëà a, b ∈ R è óíêöèÿ f
èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b] â ñîáñòâåííîì ñìûñëå. Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà èìàíà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ðàçáèåíèå
T = {xi }Ii=0 îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî
Z b
f (x) dx − s(f ; T ) < ε,
Äîêàçàòåëüñòâî. Øàã 1.
a
ãäå s(f ; T ) =
f , à mi =
I
P
(xi − xi−1 )mi íèæíÿÿ ñóììà èìàíà óíêöèè
i=1
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x). Îïðåäåëèì êóñî÷íî-ïîñòîÿííóþ óíêöèþ
99
fε (x) = mi
x ∈ (xi−1 , xi ),
ïðè
â òî÷êàõ
xi
çíà÷åíèÿ óíêöèè
f
Zb
îïðå-
äåëèì ïðîèçâîëüíî (íà èíòåãðàë çíà÷åíèÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê
íå ïîâëèÿþò). Òîãäà
Z
b
a
|f (x) − fε (x)| dx =
a
Z
b
a
(f (x) − fε (x)) dx =
Øàã 2. Ïóñòü òåïåðü óíêöèÿ
f
Z
b
a
f (x) dx − s(f ; T ) < ε.
èìååò îñîáåííîñòü íà îäíîì èç
êîíöîâ êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà
(a, b)
è íå èìååò îñî-
áåííîñòü â òî÷êå
b ∈ R ∪ +∞.
ñÿ, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
Rb
b′
|f (x)| dx <
ñìûñëå íà
ε>0
Òàê êàê èíòåãðàë
a
íàéäåòñÿ òî÷êà
ε
2 . Ïîñêîëüêó óíêöèÿ
′
[a, b ],
f
|f (x)| dx
b′ ∈ (a, b)
èíòåãðèðóåìà â ñîáñòâåííîì
òî, êàê ïîêàçàíî íà øàãå 1, ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-
ïîñòîÿííàÿ óíêöèÿ
fε : [a, b′ ] → R
Z
a
òàêàÿ, ÷òî
b′
|f (x) − fε (x)| dx <
(a, b) → R
Z
a
íåðàâåíñòâó (1).
f
íå
(f (x) − fε (x)) cos ωx dx ≤
(a0 , b0 ) ⊂ (a, b)
Z
fε (x) cos ωx dx =
a
f (x) àáñîëþòíî
èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà
Òåîpåìà 2. (Òåîðåìà èìàíà.) Ïóñòü óíêöèÿ
èíòåãðèðóåìà íà êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì
100
a
:
ε
2 . Òîãäà
|f (x) − fε (x)| dx <
f (x) = 0
äëÿ ëþáîãî
ε
.
2
(2)
x ∈ (a, b) \ (a0 , b0 ).
Ci
Z
Z
Òîãäà
xi
cos ωx dx =
xi−1
I
1X
x=x
Ci sin ωx|x=xii−1 .
ω i=1
P
fε (x) cos ωx dx ≤ ω2 Ii=1 |Ci |. Âûáèðàÿ
PI
ε
i=1 |Ci | < 2 , ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
a
2
òàê, ÷òî ω
ε
b
fε (x) cos ωx dx <
a
ε
2
÷èñëî
∀ω : |ω| > ωε .
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà (2) ïîëó÷àåì
Z
b
f (x) cos ωx dx <
a
fεi (x)
(a, b) èíèòíóþ êóñî÷íî-ïîñòîÿííóþ óíêöèþ fε (x) =
x ∈ (xi−1 , xi ); â òî÷êàõ xi çíà÷åíèÿ fε îïðåäåëèì ïðîèçâîëüíî.
Ôóíêöèÿ fε : (a, b) → R óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (1).
Rb
Ñëåäîâàòåëüíî,
ωε > 0
I
X
i=1
xi−1
ëèì íà
Â
èíèòíà, òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èíòåðâàë
òàêîé, ÷òî
b
êàæäîãî i
ïðè
fε
Zb
x ∈ (xi−1 , xi ), i ∈ {1, . . . , I}.
(a, b) òî÷êàìè xi : a = x0 < x1 < . . . < xI =
= b òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, . . . , I} óíêöèÿ f èìååò îñîáåííîñòü
ëèøü íà îäíîì èç êîíöîâ èíòåðâàëà (xi−1 , xi ) è íå èìååò îñîáåí-
öèÿ
ε > 0.
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ fε êóñî÷íî-ïîñòîÿííà, òî ñóùåñòâóþò ðàçáèåíèå
{xi }Ii=0 îòðåçêà [a0 , b0 ] è íàáîð ÷èñåë {Ci }Ii=0 òàêèå, ÷òî fε (x) = Ci
Èíà÷å ðàçîáúåì èíòåðâàë
∈ {1, . . . , I} íàéäåòñÿ èíèòíàÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ óíêRxi
|f (x) − fεi (x)| dx < Iε . Îïðåäåfεi : (xi−1 , xi ) → R òàêàÿ, ÷òî
|f (x) − fε (x)| dx <
b
èìååò îñîáåííîñòåé, òî òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî íà øàãå 1.
íîñòåé âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà. Òîãäà, êàê ïîêàçàíî íà øàãå 2, äëÿ
Rb
a
Òàê êàê óíêöèÿ
ε
.
2
Øàã 3. àññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé. Åñëè óíêöèÿ
òàêàÿ, ÷òî
äëÿ ëþáûõ
Äîîïðåäåëÿÿ óíêöèþ fε (x) = 0 ïðè x ∈ (b′ , b), ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ fε : (a, b) → R èíèòíà, êóñî÷íî-ïîñòîÿííà è óäîâëåòâîðÿåò
a
ω→∞
f (x) cos ωx dx −→ 0.
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî
Äîêàçàòåëüñòâî.
ñõîäèò-
òàêàÿ, ÷òî
f (x) sin ωx dx −→ 0,
ñèëó òåîðåìû 1 íàéäåòñÿ èíèòíàÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ óíêöèÿ fε
áåííîñòåé âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè îñî-
Rb
Zb
ω→∞
Ïîýòîìó
Rb
f (x) cos ωx dx
a
Rb
a
f (x) sin ωx dx → 0
ïðè
ε ε
+ =ε
2 2
→
ω→∞
0
ïðè
∀ω : |ω| > ωε .
ω
→
∞.
Ñîîòíîøåíèå
äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
101
Ñëåäñòâèå. Åñëè óíêöèÿ
òåðâàëå
(−π, π),
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà èí-
òî êîýèöèåíòû Ôópüå
1
ak =
π
Zπ
n
Zπ
3.
÷òî
ïîñêîëüêó
óíêöèè
+
ýòîìó ïåðèîäè÷íîñòü óíêöèè
sin kx
è
0
cos kx
2π -
(ak cos kx + bk sin kx)
(â
k=1
ãäå óíêöèÿ
ïîðÿäêà
n.
1
ak =
π
Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ îò ïåðèîäè÷åñêèõ óíêöèé ïîëåçíî
óíêöèè, íå çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ ýòîãî îòðåçêà.
òî èíòåãðàë
d+T
R
ϕ(x) dx
íå çàâèñèò îò
è èíòåãðè-
d
T , òî â ñèëó àääèòèâíîñòè èíòåãðàϕ èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå. Èñïîëüçóÿ ïåðèîäè÷óíêöèè ϕ, ïîëó÷àåì
íå÷íûì ÷èñëîì îòðåçêîâ äëèíîé
ëà óíêöèÿ
d+T
Z
ϕ(x) dx =
d
=
ZT
d
ZT
ϕ(x) dx +
ϕ(x) dx +
ϕ(x) dx =
T
d
Zd
d+T
Z
ϕ(x) dx =
ZT
0
0
102
(−π, π).
2π -ïåðèîäè÷íîé
è àá-
Òîãäà äëÿ ÷àñòè÷íûõ
ñïðàâåäëèâà îðìóëà
(f (x + t) + f (x − t)) Dn (t) dt,
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå
x+π
Z
f (u) cos ku du,
x+π
Z
f (u) sin ku du,
x−π
f
x ∈ R.
 ñèëó
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
k = 0, 1, 2, · · · ,
k = 1, 2, · · · .
Ñëåäîâàòåëüíî,
d.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ëþáîé îòðåçîê ìîæíî ïîêðûòü êî-
íîñòü
f (x)
x−π
1
bk =
π
ðóåìà (â ñîáñòâåííîì èëè íåñîáñòâåííîì ñìûñëå) íà îòðåçêå äëèíîé
T,
ÿâëÿåòñÿ
ëåììû 1 êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè
èìåòü â âèäó, ÷òî èíòåãðàë ïî îòðåçêó, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïåðèîäó
ϕ ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì T
(1)
Dn (t) = 12 +cos t+· · ·+cos nt íàçûâàåòñÿ ÿäðîì Äèðèõëå
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x).
Ëåììà 1. Åñëè óíêöèÿ
Zπ
1
Sn (x) =
π
2π -ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé. Ïîf (x) ñ ïåðèîäîì 2π ÿâëÿåòñÿ íåîápÿäà Ôópüå óíêöèè f (x) ê ñàìîé
ñëó÷àå ñõîäèìîñòè pÿäà) ÿâëÿåòñÿ
õîäèìûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè
∞
P
f (x)
Ïóñòü óíêöèÿ
ñóìì pÿäà Ôópüå óíêöèè
k → ∞.
a
ïåðèîäè÷íû, òî ñóììà pÿäà Ôópüå 20
óíêöèè
Ëåììà 2.
ñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé íà èíòåðâàëå
Ñõîäèìîñòü pÿäà Ôópüå â òî÷êå
Çàìåòèì,
a0 X
(ak cos kx + bk sin kx) .
+
2
k=1
k = 1, 2, · · · ,
f (x) sin kx dx,
−π
ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè
Sn (x) =
k = 0, 1, 2, · · · ,
f (x) cos kx dx,
−π
1
bk =
π
Îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó î ñõîäèìîñòè pÿäà Ôópüå. Ñõîäèìîñòü pÿäà
Ôópüå îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì
1
Sn (x) =
π
1
=
π
x+π
Z
!
n
1 X
+
cos ku cos kx + sin ku sin kx du =
f (u)
2
x+π
Z
x−π
f (u)
k=1
!
x+π
Z
n
1
1 X
+
cos k(u − x) du =
f (u) Dn (u − x) du.
2
π
k=1
x−π
x−π
Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
ϕ(x) dx.
Sn (x) =
èìååì
1
π
Rπ
f (x + t) Dn (t) dt.
u → t = u − x,
ïîëó÷èì
Ïîëüçóÿñü ÷åòíîñòüþ ÿäðà Äèðèõëå,
−π
103
0
Z
Zπ
1
Sn (x) =
f (x + t) Dn (t) dt + f (x + t) Dn (t) dt =
π
=
1
π
−π
Zπ
0
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Snf (x), Sng (x) ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäîâ Ôóðüå óíêöèé f è g .  ñèëó ëåììû 2
Äîêàçàòåëüñòâî.
0
f (x − t) Dn (−t) dt +
Zπ
1
=
π
0
Zπ
0
Snf (x0 ) − Sng (x0 ) =
f (x + t) Dn (t) dt =
1
=
π
0
1
=
π
Ñâîéñòâà ÿäðà Äèðèõëå.
Rπ
Dn (t) dt =
0
(2) Dn (t) =
Äîêàçàòåëüñòâî.
+
n
P
k=1
2)
+
n
P
1)
Rπ
0
sin kt π
k
0
=
π
2.
2 sin 2t Dn (t)
sin k +
k=1
1
2
=
sin 2t +
n
P
k=1
π
2
+
n Rπ
P
Snf (x0 )
cos kt dt =
k=1 0
π
2
+
2 sin 2t cos kt
ãäå
=
sin 2t +
y
y = g(x)
y = f (x)
x
x0
x0 − δ
x0 + δ
Òîãäà â òî÷êå x0 ðÿäû Ôóðüå óíêöèé f (x) è g(x) ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî, à åñëè ñõîäÿòñÿ òî ê îäèíàêîâûì çíà÷åíèÿì.
−
Sng (x0 )
1
=
π
Zπ
δ
h(t) =
Òåîpåìà 1.
104
f (x0 + t) + f (x0 − t) − g(x0 + t) − g(x0 − t) Dn (t) dt.
Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì (2) ÿäðà Äèðèõëå, ïîëó÷àåì
t − sin k − 21 t = sin n + 21 t.
(Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè.) Ïóñòü óíêöèè
f (x) è g(x) 2π -ïåðèîäè÷íû
è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû
íà (−π, π). Ïóñòü ñóùåñòâóåò
÷èñëî δ > 0 òàêîå, ÷òî f (x) =
= g(x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Zπ δ
π
2;
sin(n+ 12 )t
.
2 sin 2t
Dn (t) dt =
f (x0 + t) + f (x0 − t) − g(x0 + t) − g(x0 − t) Dn (t) dt.
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû f (x0 + t) + f (x0 − t) = g(x0 + t) + g(x0 − t) ïðè
t ∈ (0, δ), ïîýòîìó
Snf (x0 ) − Sng (x0 ) =
(f (x + t) + f (x − t)) Dn (t) dt.
(1)
Zπ 1
t dt,
h(t) sin n +
2
(2)
f (x0 + t) + f (x0 − t) − g(x0 + t) − g(x0 − t)
.
2 sin 2t
1
Èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè 2 sin
t íà îòðåçêå [δ, π] è èç àáñîëþò2
íîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f (x0 +t)+f (x0 −t)−g(x0 +t)−g(x0 −t)
ïî ëåììå 1 1 ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü óíêöèè h(t) íà
èíòåðâàëå (δ, π).  ñèëó òåîðåìû èìàíà è îðìóëû (2) ïîëó÷àåì
Snf (x0 ) − Sng (x0 ) → 0 ïðè n → ∞.
Òåîpåìà 2.
(Ïðèçíàê Ä
èíè.) Ïóñòü óíêöèÿ f (x) 2π ïåðèîäè÷íà è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (−π, π). Ïóñòü â òî÷êå x0 ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0) =
= lim f (x) è f (x0 − 0) = lim f (x). Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî
x→x0 +0
δ ∈ (0, π) òàêîå, ÷òî óíêöèÿ
ϕ(t) =
x→x0 −0
f (x0 + t) − f (x0 + 0) + f (x0 − t) − f (x0 − 0)
sin 2t
105
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà èíòåðâàëå (0, δ). Òîãäà ðÿä Ôóðüå óíê(x0 −0)
öèè f â òî÷êå x0 ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó f (x0 +0)+f
.
2
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f
íà (−π, π) è íåïðåðûâíîñòè óíêöèè sin1 t íà îòðåçêå [δ, π] ïî ëåììå
2
1 1 ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü óíêöèè ϕ íà èíòåðâàëå
(δ, π). Îòñþäà è èç óñëîâèé òåîðåìû ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ ϕ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà èíòåðâàëå (0, π).  ñèëó òåîðåìû èìàíà
Zπ
0
1
ϕ(t) sin n +
t dt → 0 ïðè
2
1
π
Rπ
0
!
n → ∞.
Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ÿäðà Äèðèõëå
f (x0 +0)+f (x0 −0)
π
Rπ
Dn (t) dt =
0
=
sin(n+ 12 )t
,
2 sin 2t
=
1
π
ïîëó÷àåì
Rπ
0
=
f (x0 +0)+f (x0 −0)
2
f (x0 +t)−f (x0 +0)+f (x0 −t)−f (x0 −0)
2 sin 2t
Rπ
ϕ(t) sin n +
0
Ñëåäîâàòåëüíî, Sn (x0 ) →
f (x0 + t) − f (x0 + 0) + f (x0 − t) − f (x0 − 0)
′
′
= f+
(x0 ) − f−
(x0 ),
t
f (x0 +t)−f (x0 +0)+f (x0 −t)−f (x0 −0)
sin 2t
ñóùåñòâóåò
êîíå÷íûé
ïðåäåë
lim ϕ(t) = lim sint t ×
t→+0
t→+0
2
(x0 −t)−f (x0 −0)
′
′
=
2(f
(x
)
−
f
(x
))
× lim f (x0 +t)−f (x0 +0)+f
.
Ñëå0
0
+
−
t
t→+0
òî
Dn (t) dt.
0
π
2
è Dn (t) =
äëÿ
óíêöèè
ϕ(t)
=
äîâàòåëüíî, óíêöèÿ ϕ(t) îãðàíè÷åíà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (0, δ),
ãäå δ ∈ (0, π). Îòñþäà è èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè
f íà (−π, π) ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü óíêöèè ϕ íà
(0, δ). Ïî ïðèçíàêó Äèíè ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè óíêöèÿ f îïðåäåëåíà è äèåðåíöèðóåìà íà
èíòåðâàëå (x0 , x1 ) è â òî÷êå x0 ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû ñïðàâà
óíêöèè f è åå ïðîèçâîäíîé, òî â òî÷êå x0 ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè f ñóùåñòâóåò è ðàâíà ïðàâîìó ïðåäåëó ïðîèçâîäíîé: f+′ (x0 ) =
′
= f ′ (x0 + 0), ãäå ïî îïðåäåëåíèþ f+
(x0 ) =
Sn (x0 ) −
1
2π
Rπ
â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå íåïðåðûâíîñòè óíêöèè f â
òî÷êå x0 ê çíà÷åíèþ f (x0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó
lim
f (x0 + t) − f (x0 + 0) +
+ f (x0 − t) − f (x0 − 0) Dn (t) dt +
f (x0 +0)+f (x0 −0)
,
2
t→+0
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî
Sn (x0 ) =
f (x0 + t) − f (x0 − 0)
.
t→−0
t
Òîãäà ðÿä Ôóðüå óíêöèè f â òî÷êå x0 ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó
′
f−
(x0 ) = lim
1
2
t dt → 0
f (x0 +0)+f (x0 −0)
2
1
2
t→+0
t dt =
ïðè n → ∞.
ïðè n → ∞.
Òåîpåìà 3. (Î ñõîäèìîñòè pÿäà Ôópüå â òî÷êå.) Ïóñòü óíêöèÿ
f (x) 2π -ïåðèîäè÷íà è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (−π, π). Ïóñòü
â òî÷êå x0 ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0),
f (x0 − 0) è êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå
′
f+
(x0 ) = lim
t→+0
f (x0 + t) − f (x0 + 0)
,
t
106
f (x0 +t)−f (x0 +0)
,
t
f ′ (x0 + 0) = lim f ′ (x0 +t). Ýòîò àêò ñëåäóåò èç òåîðåìû Ëàãðàíæà
=
sin n +
lim
t→+0
î ñðåäíåì (ãëàâà 3, 4). Àíàëîãè÷íî, åñëè ñóùåñòâóåò f ′ (x0 − 0) ∈ R,
′
′
òî ñóùåñòâóåò f−
(x0 ) è f−
(x0 ) = f ′ (x0 − 0).
Íàïîìíèì, ÷òî óíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé
íà îòðåçêå [a, b], åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå {xi }Ii=0 : a = x0 < x1 <
< . . . < xI = b îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî â ëþáîé òî÷êå îòðåçêà [a, b],
êðîìå òî÷åê xi , óíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà, à â òî÷êàõ xi
ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (xi +0), i = 0, . . . , I −
− 1 è f (xi − 0), i = 1, . . . , I . Ïðè ýòîì â ñàìèõ òî÷êàõ xi óíêöèÿ f
ìîæåò áûòü íåîïðåäåëåíà.
Íàïðèìåð, åñëè óíêöèÿ f è åå ïðîèçâîäíàÿ f ′ êóñî÷íîíåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b], òî â òî÷êàõ ðàçpûâà óíêöèè f åå ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò, íî ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå,
ðàâíûå îäíîñòîðîííèì ïðåäåëàì ïðîèçâîäíîé.
107
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) è åå ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) êóñî÷íîíåïðåðûâíû íà îòðåçêå [−π, π]. Òîãäà pÿä Ôópüå óíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x ∈ (−π, π) ê çíà÷åíèþ 12 (f (x + 0) + f (x − 0)), à â
òî÷êàõ ±π ê ÷èñëó 12 (f (−π + 0) + f (π − 0)).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè f (−π) 6= f (π), òî èçìåíèì çíà÷åíèå
óíêöèè f â òî÷êå π òàê, ÷òîáû f (−π) = f (π). Ïðè ýòîì êîýèRπ
Rπ
öèåíòû Ôópüå ak = π1
f (x) cos kx dx, bk = π1
f (x) sin kx dx íå
Òåîpåìà 4.
−π
Çàìå÷àíèå.
Ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå è 2π -ïåðèîäè÷åñêèå
óíêöèè, pÿäû Ôópüå êîòîðûõ ðàñõîäÿòñÿ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ.
3m
2m−1
X
X cos kx
cos kx
+
,
Çàäà÷à à. ä Ïóñòü
Q(x, m) =
2m − k
2m − k
k=2m+1
k=m
f (x) =
∞
X
2
1
Q(x, 2n ).
2
n
n=1
Äîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ f íåïðåðûâíà è 2π -ïåðèîäè÷íà, íî åå pÿä
Ôópüå íå ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 0.
ÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ìîæíî çàïèñûâàòü
iz
−iz
â êîìïëåêñíîé îðìå. Èñïîëüçóÿ îðìóëû Ýéëåðà cos z = e +e
,
2
iz
−iz
e −e
sin z =
, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòè÷íîé ñóì2i
ìû (1) ðÿäà Ôóðüå óíêöèè f :
n
a0 X
+
2
k=1
ak − ibk ikx ak + ibk −ikx
.
e +
e
2
2
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
c0 =
a0
,
2
ck =
ak − ibk
,
2
c−k =
ak + ibk
2
∀k ∈ N,
(3)
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿäà Ôóðüå:
108
n
X
ck eikx .
k=−n
ðÿä Ôóðüå ïî ñòàíäàðòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå â
êîìïëåêñíîé îðìå èìååò âèä
Ïîýòîìó
f (x) ∼
−π
èçìåíÿòñÿ, à çíà÷èò, íå èçìåíèòñÿ è pÿä Ôópüå. Ïðîäîëæèì óíêöèþ f 2π -ïåðèîäè÷åñêè íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü. Èç òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî pÿä Ôópüå óíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x0 ∈ (−π, π) ê
çíà÷åíèþ 12 (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)), à â òî÷êàõ ±π ê ÷èñëó 12 (f (π +
+ 0) + f (π − 0)) = 12 (f (−π + 0) + f (π − 0)).
Sn (x) =
Sn (x) =
∞
X
(4)
ck eikx .
k=−∞
Èç ðàâåíñòâ (3) è ðàíåå ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé äëÿ êîýèöèåíòîâ
Ôóðüå
1
ak =
π
Zπ
1
bk =
π
f (x) cos kx dx,
−π
Zπ
f (x) sin kx dx
−π
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êîýèöèåíòîâ Ôóðüå â êîìïëåêñíîé îðìå:
Z π
1
ck =
f (x) e−ikx dx ∀k ∈ Z.
2π −π
Ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå, ò. å. ñõîäèìîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì
Sn (x), íå çàâèñèò îò èõ îðìû çàïèñè, òî òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ðÿäà
Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ñïðàâåäëèâû è äëÿ ðÿäà (4).
4.
Ïî÷ëåííîå äèåðåíöèðîâàíèå
è èíòåãðèðîâàíèå pÿäà Ôópüå
Òåîpåìà 1. (Î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèè pÿäà Ôópüå.)
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà, à åå ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) êóñî÷íîíåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−π, π] è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (−π) =
= f (π). Òîãäà pÿä Ôópüå óíêöèè f ′ (x) ïîëó÷àåòñÿ îðìàëüíûì
ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì pÿäà Ôópüå óíêöèè f (x).
′
′
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ak , bk êîýèöèåíòû Ôópüå
′
óíêöèè f (x). Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ óñëîâèå f (−π) =
= f (π) è ÷åòíîñòü êîñèíóñà, ïîëó÷èì
1
bk =
π
Zπ
−π
f (x) sin kx dx = −
109
1
f (x) cos kx
πk
x=π
+
x=−π
1
+
πk
Zπ
−π
1
f (x) cos kx dx =
πk
′
Zπ
f ′ (x) cos kx dx =
−π
1 ′
a .
k k
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îðìóëà ak = − k1 b′k . Òàêèì îáðàçîì,
a′k
b′k
= k bk ,
= −k ak
∀k ∈ N.
Èç óñëîâèÿ f (−π) = f (π) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî a′0 =
=
1
π (f (π)
f ′ (x) ∼
1
π
Rπ
f ′ (x) dx =
−π
′
− f (−π)) = 0. Ïîýòîìó pÿä Ôópüå óíêöèè f (x):
∞
∞
k=1
k=1
X
a′0 X ′
+
(ak cos kx + b′k sin kx) =
(bk k cos kx − ak k sin kx)
2
ïîëó÷àåòñÿ îðìàëüíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì pÿäà
Ôópüå óíêöèè f (x):
f (x) ∼
∞
a0 X
+
(bk sin kx + ak cos kx) .
2
k=1
0
∞ sin kx
cos kx
a0 x X
A0
,
ak
+
+
− bk
f (t) dt =
2
2
k
k
k=1
ãäå ak , bk êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè f , à êîíñòàíòà A0 îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëàì
1
A0 =
π
Zπ
Φ(x) dx,
Φ(x) =
−π
Äîêàçàòåëüñòâî.
Zx
0
f (t) dt −
Òàê êàê
Φ(π) − Φ(−π) =
Zπ
−π
f (t) dt − a0 π = 0,
110
k=1
ãäå Ak , Bk êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè Φ(x), â ÷àñòíîñòè, A0 =
Rπ
Φ(x) dx.  ñèëó òåîðåìû î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèè
= π1
−π
pÿäà Ôópüå Ak = − k1 bk , Bk = k1 ak , ÷òî âìåñòå ñ îðìóëîé (1) äàåò
òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
5.
Ïîðÿäîê óáûâàíèÿ êîýèöèåíòîâ
Ôópüå è îñòàòêà pÿäà Ôópüå
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) è åå ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) êóñî÷íîÔópüå
íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [−π, π]. Òîãäà äëÿ êîýèöèåíòîâ
óíêöèè f ñïðàâåäëèâû îöåíêè: ak = O k1 , bk = O k1 , ò. å.
Ëåììà 1.
∃C ∈ R :
Òåîpåìà 2. (Î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè pÿäà Ôópüå.) Ïóñòü
óíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−π, π]. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π] ñïðàâåäëèâà îðìóëà ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
pÿäà Ôópüå:
Zx
òî â ñèëó òåîðåìû 4 3 óíêöèÿ Φ(x) ðàâíà ñóììå ñâîåãî pÿäà
Ôópüå:
∞
A0 X
(Ak cos kx + Bk sin kx) ,
+
Φ(x) =
(1)
2
a0 x
.
2
C
,
k
∀k ∈ N ֒→ |ak | ≤
|bk | ≤
C
.
k
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó èç êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè óíêöèé f è f ′ ñëåäóåò èõ îãðàíè÷åííîñòü, òî ñóùåñòâóþò ÷èñëà C0 , C1 ∈
∈ R òàêèå, ÷òî
|f (x)| ≤ C0 ,
|f ′ (x)| ≤ C1
∀x ∈ [−π, π].
Ïóñòü x0 , . . . , xI (−π = x0 < x1 < · · · < xI = π ) òî÷êè ðàçpûâîâ
óíêöèè f . Òîãäà
1
bk =
π
Zπ
−π
Zxi
I
1 X
f (x) d cos kx =
f (x) sin kx dx = −
πk i=1
xi−1
I
1 X
f (x) cos kx
=−
πk i=1
2C0 +2πC1
,
πk
Ïîýòîìó |bk | ≤
çûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
x=xi −0
x=xi−1 +0
ò. å. bk = O
111
−
1
k
Zxi
xi−1
f ′ (x) cos kx dx .
. Îöåíêà ak = O
1
k
äîêà-
Òåîpåìà
1.
(Î ïîðÿäêå óáûâàíèÿ êîýèöèåíòîâ Ôópüå è
îñòàòêà pÿäà Ôópüå.)
1) Ïóñòü óíêöèÿ
f (x)
è åå ïðîèçâîäíûå äî
q−1
ïîðÿäêà âêëþ-
1
1
ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî kq+1
[−π, π] è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
f (−π) = f (π) ïðè p = 0, 1, . . . , q − 1. Ïóñòü ïðîèçâîäíûå q -ãî è
(q + 1)-ãî ïîðÿäêîâ óíêöèè f êóñî÷íî-íåïðåðûâíû íà [−π, π]. Òîãäà
÷èòåëüíî íåïðåðûâíû íà îòðåçêå
(p)
(p)
sup
x∈[−π,π]
ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ êîýèöèåíòîâ
Ôópüå óíêöèè
f:
|ak | + |bk | = O
1
k q+1
(1)
∞
P
rn (x) =
x∈[−π,π]
|rn (x)| = O
1
nq
Åñëè
(q)
.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôópüå óíêöèè
f
(p)
1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç
(x).
= 0, 1, . . . , q − 1,
(p+1)
(p)
= − k1 bk
ak
ñëåäîâàòåëüíî,
|ak | + |bk | =
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 ê óíêöèè
(q)
bk = O
1
,
(p)
ak
,
(p)
bk
êîýèöèåíòû
(p)
bk
=
1 (p+1)
ïðè
k ak
p =
C
sup
x∈[−π,π]
∀k ∈ N,
|rn (x)| ≤
ïîëó÷èì îöåíêè
(q)
ak = O
C
(|ak | + |bk |) ≤ C
k=n+1
112
∞
X
k=n+1
1
k
1
k ,
òàêîé, ÷òî
ñëåäîâàòåëüíî,
∞
X
tq+1
=C
Z∞
dt
tq+1
=
C 1
,
q nq
n
1
nq .
ε > 0
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
. Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (2) ïîëó÷àåì, ÷òî
∞
P
k=1
(q)
(|ak | +
.
q+1
+
∞ P
k=1
(q)
(q)
ak cos kx + bk sin kx
óíêöèè
f (q) (x).
Òàê
êàê ñóììà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ óíêöèîíàëüíîãî pÿäà, ÷ëåíû
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè, åñòü óíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ (ãëàâà 10, 3, òåîðåìà 2), òî ñóììà pÿäà Ôópüå óíêöèè
f (q) (x)
íåïðåðûâíà.
f (q) (x0 − 0) 6= f (q) (x0 + 0) â íåêîòîðîé òî÷êå x0 ∈ (−π, π)
èëè f
(π − 0) 6= f (q) (−π + 0), òî â ñèëó òåîðåìû î ñõîäèìîñòè pÿäà Ôópüå â òî÷êå ñóììà pÿäà Ôópüå óíêöèè f (q) (x) áóäåò èìåòü
ðàçpûâ â òî÷êå x0 èëè â òî÷êàõ ±π ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷åííîå ïðîÅñëè
(q)
òèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òðåòüåé ÷àñòè òåîðåìû.
6.
k , ÷òî âìåñòå ñ ðàâåíñòâîì (2) äîêàçûâàåò îöåíêó (1).
kq+1
a0
2
Ñóììèðîâàíèå pÿäà Ôópüå ìåòîäîì
(2)
2) Èç îöåíêè (1) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíñòàíòû
|ak | + |bk | ≤
k=n+1 k−1
dt
1
k1+ε , ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëîâîé pÿä
(q)
1
(q)
(q)
(|a | + |bk |).
kq k
f (q) (x),
Zk
ñõîäèòñÿ. Â ñèëó ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà ðàâíîìåðíîé ñõî-
pÿäà Ôópüå
 ñèëó òåîðåìû î ïî÷ëåííîì äèåðåí-
öèðîâàíèè pÿäà Ôópüå
∞
X
dt
tq+1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
äèìîñòè óíêöèîíàëüíûõ pÿäîâ ïîëó÷àåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü
(q)
óíêöèÿ
1
kq+1+ε
(q)
+ |bk |)
f (x) èìååò íåóñòðàíèìûé ðàçpûâ
(f (q) (x0 − 0) 6= f (q) (x0 + 0)) â íåêîòîðîé òî÷êå x0 ∈ (−π, π) èëè
f (q) (π − 0) 6= f (q) (−π + 0), òî îöåíêà (1) íåóëó÷øàåìà â òîì ñìûñëå,
÷òî
1
∀ε > 0 ֒→ |ak | + |bk | 6= O
.
k q+1+ε
3)
|ak | + |bk | = O
|ak | + |bk | = O
k=n+1
sup
|rn (x)| = O
k−1
t ∈ [k − 1, k],
3) Òðåòüþ ÷àñòü òåîðåìû äîêàæåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåä-
(q)
ak cos kx + bk sin kx:
x∈[−π,π]
≤
1
tq+1 , ñïðàâåäëèâîå ïðè
ïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà
2) Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ
îñòàòêà pÿäà Ôópüå
|rn (x)| ≤ C
sup
ò. å.
.
≤
Rk
Èíòåãðèðóÿ íåðàâåíñòâî kq+1
ñðåäíèõ àðèìåòè÷åñêèõ
Îïpåäåëåíèå.
Ñóììàìè Ôåéåðà
σn (x) óíêöèè f (x) íàçûâàSn (x) óíêöèè f (x):
þòñÿ ñðåäíèå àðèìåòè÷åñêèå ñóìì Ôópüå
S0 (x) + S1 (x) + . . . + Sn (x)
,
n = 0, 1, 2, · · · .
n+1
óíêöèè f (x) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ â ñìûñëå
σn (x) =
ÿä Ôópüå
ñðåä-
íèõ àðèìåòè÷åñêèõ, åñëè ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôåé-
åðà óíêöèè
f (x).
113
 äàííîì ïàðàãðàå áóäåò äîêàçàíà òåîðåìà Ôåéåðà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôåéåðà íåïðåðûâíîé
ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè
f (x)
ñõîäèòñÿ ê óíêöèè
íî. Ïîýòîìó ñóììû Ôåéåðà ëþáîé íåïðåðûâíîé
f (x)
Ñâîéñòâà ÿäðà Ôåéåðà:
2π -
(1)
ðàâíîìåð-
(2)
óíêöèè ìîãóò ñëóæèòü ðàâíîìåðíûìè ïðèáëèæåíèÿìè ýòîé óíêïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè
f (x)
öèè
f (x)
óíêöèè
f (x)
Äëÿ ñóìì Ôåéåðà íåïðåðûâíîé
σn (x) =
2π -ïåðèîäè÷åñêîé
ñïðàâåäëèâà îðìóëà
1
π
Zπ
0
(4)
ìîæåò ðàñõîäèòüñÿ â íåêîòîðûõ òî÷-
â ýòèõ òî÷êàõ è òåì áîëåå ðàâíîìåðíî.
Ëåììà 1.
(3)
2π -
êàõ, òî ñóììû Ôópüå íå ìîãóò ñëóæèòü ïðèáëèæåíèÿìè òàêîé óíê-
Rπ
n = 0, 1, 2, · · · ,
t∈[δ,π]
0
2)
1) Â ñèëó ïåðâîãî ñâîéñòâà ÿäðà Äèðèõëå
π
2 , ñëåäîâàòåëüíî,
Ïîñêîëüêó
ñîãëàñíî
Rπ
Fn (t) dt =
0
âòîðîìó
1
n+1
n Rπ
P
Dk (t) dt =
k=0 0
ñâîéñòâó
sin(k+ 12 )t
,
2 sin 2t
ÿäðà
π
2.
Äèðèõ-
2
Dk (t) =
òî (n + 1) 4 sin (t/2) Fn (t)
=
n
n P
P
sin k + 12 t =
= 2 sin(t/2)
cos kt − cos(k + 1)t = 1 −
èìååì
k=0
k=0
− cos(n + 1)t.
3) Ñëåäóåò èç âòîðîãî ñâîéñòâà ÿäðà Ôåéåðà.
4) Èç âòîðîãî ñâîéñòâà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî
Fn (t) =
D0 (t) + D1 (t) + . . . + Dn (t)
,
n+1
n = 0, 1, 2, · · · ,
ðàâíàÿ ñðåäíåìó àðèìåòè÷åñêîìó ÿäåð Äèðèõëå, íàçûâàåòñÿ
Ôåéåðà ïîðÿäêà n.
1
Sk (x) =
π
Zπ
0
max Fn (t) ≤
t∈[δ,π]
Òåîpåìà 1.
èìååì
Fn (t) ≤
1
,
(n+1)4 sin2 (t/2)
1
n→∞
−→ 0.
(n + 1)4 sin2 (δ/2)
(Òåîðåìà Ôåéåðà.) Ïóñòü óíêöèÿ
[−π, π] è f (−π) = f (π). Òîãäà
óíêöèè f ñõîäèòñÿ ê óíêöèè f
f
íåïðåðûâíà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôåéåðà
ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
[−π, π].
Äîêàçàòåëüñòâî. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
sup
x∈[−π,π]
|σn (x) − f (x)| → 0
ïðè
n → ∞.
(1)
n
σn (x) =
1 X
Sk (x) =
n+1
Ïðîäîëæèì
k=0
0
ÿäðîì
δ ∈ (0, π)
íà
(f (x + t) + f (x − t)) Dk (t) dt.
Ñëåäîâàòåëüíî,
Zπ
ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî
 ñèëó ëåììû 2 3 ÷àñòè÷íàÿ ñóììà Ôópüå
Äîêàçàòåëüñòâî.
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå ïî îðìóëå
1
π
1−cos(n+1)t
Fn (t) = (n+1)4
sin2 (t/2) ;
Fn (t) ≥ 0;
n→∞
max Fn (t) −→ 0
∀δ ∈ (0, π).
Dk (t) dt =
ãäå óíêöèÿ
=
π
2;
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëå
(f (x + t) + f (x − t)) Fn (t) dt,
Fn (t) dt =
0
2π -ïåðèîäè÷åñêîé
öèè. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôópüå íåïðåðûâíîé
Rπ
(f (x + t) + f (x − t))
=
1
π
Zπ
0
1
n+1
n
X
óíêöèþ
f
íà
R.
Èç óñëîâèé òåîðåìû
f.
 ñèëó ëåììû 1
è ïåðâîãî ñâîéñòâà ÿäðà Ôåéåðà
Dk (t) dt =
k=0
(f (x + t) + f (x − t)) Fn (t) dt.
114
!
2π -ïåðèîäè÷íî
ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ïðîäîëæåííîé óíêöèè
1
σn (x) − f (x) =
π
Zπ
0
2
(f (x + t) + f (x − t)) Fn (t) dt − f (x)
π
115
Zπ
0
Fn (t) dt =
1
=
π
Zπ 0
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè f íà îòðåçêå [−2π, 2π] ñóùåñòâóåò
÷èñëî M = max |f (x)|. Ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ δ ∈ (0, π), x ∈ [−π, π]
x∈[−2π,2π]
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
f (x + t) + f (x − t) − 2f (x) Fn (t) dt.
Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ òðåòüå ñâîéñòâî ÿäðà Ôåéåðà, ïîëó÷àåì
|σn (x) − f (x)| ≤
1
π
Zπ
0
|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| Fn (t) dt.
(2)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîîòíîøåíèÿ (1) ðàçîáúåì èíòåãðàë â ïðàâîé
÷àñòè íåðàâåíñòâà (2) íà äâà èíòåãðàëà ïî îòðåçêàì [0, δ] è [δ, π].
Èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè f íà îòðåçêå [−2π, 2π] ïî òåîðåìå
Êàíòîðà ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü f íà ýòîì îòðåçêå. Ïîýòîìó, îáîçíà÷àÿ
ω(δ) =
sup
x′ ,x′′ ∈[−2π,2π]
|x′ −x′′ |≤δ
|f (x′ ) − f (x′′ )|,
ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
0
(|f (x + t) − f (x)| + |f (x − t) − f (x)|) Fn (t) dt ≤
≤ 2ω(δ)
0
sup
x∈[−π,π]
|σn (x) − f (x)| ≤ ω(δ) + 4M max Fn (t).
Zδ
0
Fn (t) dt ≤ 2ω(δ)
Zπ
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3), äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 îïðåäåëèì ÷èñëî
δ = δ(ε) ∈ (0, π) òàê, ÷òî ω(δ) < ε2 .  ñèëó ÷åòâåðòîãî ñâîéñòâà ÿäðà
Ôåéåðà ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ≥ N
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 4M max Fn (t) < ε2 . Ïîýòîìó
x∈[−π,π]
|σn (x) − f (x)| < ε
∀n ≥ N (ε),
òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (1).
7.
Ïðèáëèæåíèÿ íåïðåðûâíûõ óíêöèé
ìíîãî÷ëåíàìè
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü A0 , A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðè÷åì An 6= 0 èëè Bn 6= 0. Âûðàæåíèå
n
X
Ak cos kx + Bk sin kx
k=1
Fn (t) dt,
0
|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| Fn (t) dt ≤ πω(δ).
116
t∈[δ,π]
Tn (x) = A0 +
òî â ñèëó ïåðâîãî ñâîéñòâà ÿäðà Ôåéåðà äëÿ ëþáûõ δ ∈ (0, π), x ∈
∈ [−π, π] èìååì
Zδ
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâ (2), (4) äëÿ ëþáîãî δ ∈ (0, π) ïîëó÷àåì
t∈[δ,π]
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ δ ∈ (0, π), x ∈ [−π, π] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
Zδ
|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| Fn (t) dt ≤
0
t∈[δ,π]
δ
sup
δ→+0
≤
|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| Fn (t) dt ≤ 4M π max Fn (t).
(3)
lim ω(δ) = 0.
Zδ
Zπ
(4)
íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n.
Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ Tn (x) ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ìîn
P
ak cosk x + bk sink x , ãäå
æåò áûòü çàïèñàíà â âèäå Tn (x) = a0 +
k=1
an 6= 0 èëè bn 6= 0.
Òåîpåìà 1. (Ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà.) Ïóñòü óíêöèÿ
f (x) íåïðåðûâíà íà [−π, π] è f (−π) = f (π). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0
117
íàéäåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí
f (x)
æàþùèé óíêöèþ
íà
[−π, π]
Tn (x), ðàâíîìåðíî ïðèáëèε, ò. å.
ñ òî÷íîñòüþ
[−π, π]. Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí
Qn (t) = c0 + c1 t + . . . + cn tn òàêîé, ÷òî max |Tm (t) − Qn (t)| < 2ε .
ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
t∈[−π,π]
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà (2) ïîëó÷àåì, ÷òî
max |f (x) − Tn (x)| < ε.
x∈[−π,π]
max |F (t) − Qn (t)| < ε.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ÷àñòè÷íûå ñóììû Ôópüå ÿâëÿþò-
ñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè, òî ñóììû Ôåéåðà
σn (x),
ðàâíûå ëèíåéíûì êîìáèíàöèÿì ñóìì Ôópüå, òàêæå ÿâëÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Èç òåîðåìû Ôåéåðà ñëåäóåò, ÷òî
äëÿ ëþáîãî
ε > 0
− σn (x)| < ε.
íàéäåòñÿ ÷èñëî
n ∈ N
Tn (x) = σn (x),
Ïîëàãàÿ
òàêîå, ÷òî
max |f (x) −
x∈[−π,π]
ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåí-
ñòâî.
Òåîpåìà 2.
f (x)
(Âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà.) Ïóñòü óíêöèÿ
[a, b]. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ
Pn (x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ðàâíîìåðíî ïðèáëèæàþùèé
f (x) íà îòðåçêå [a, b] ñ òî÷íîñòüþ ε, ò. å.
íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
ìíîãî÷ëåí
óíêöèþ
max |f (x) − Pn (x)| < ε.
0 ≤ t ≤ π,
a ≤ x ≤ b,
F (t) = f a + b−a
π t , íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå
[0, π]. Ïðîäîëæèì óíêöèþ F (t) íà îòðåçîê [−π, 0] ÷åòíûì îáðàçîì.
Ïîëó÷èì íåïðåðûâíóþ íà [−π, π] óíêöèþ F (t), óäîâëåòâîðÿþùóþ
óñëîâèþ F (−π) = F (π).
 ñèëó òåîðåìû 1 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé
ìíîãî÷ëåí Tm (t) òàêîé, ÷òî
t∈[−π,π]
ε
.
2
(2)
Ïîñêîëüêó óíêöèè sin kt, cos kt ðàñêëàäûâàþòñÿ â pÿäû Òåéëîðà
R = +∞, òî óíêöèÿ Tm (t), ðàâíàÿ êîíå÷íîé
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè óíêöèé sin kt, cos kt, òàêæå ðàñêëàäûâàåòñÿ
â pÿä Òåéëîðà ñ R = +∞. Òàê êàê ñòåïåííîé pÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîñ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè
ìåðíî íà ëþáîì îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ýòîãî pÿäà, òî pÿä Òåéëîðà óíêöèè
Tm (t)
118
π
b−a (x
− a),
π
π
max F
(x − a) − Qn
(x − a) < ε.
b−a
b−a
x∈[a,b]
π
Îïðåäåëèâ ìíîãî÷ëåí Pn (x) = Qn b−a (x − a) è çàìå÷àÿ,
π
(x − a) , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.
f (x) = F b−a
8.
Ïðîñòðàíñòâà
÷òî
C[a, b], RL1 [a, b], RL2 [a, b]
ñõîäèòñÿ ê óíêöèè
F íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéF îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è
Îïpåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî
(1)
ïîëó÷èì óíêöèþ
max |F (t) − Tm (t)| <
ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
t=
íîãî è åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèçâîäÿ çàìåíó ïåðåìåííîé
b−a
t,
π
Ïðîèçâîäÿ îáðàòíóþ ê (1) çàìåíó ïåðåìåííîé:
Íàïîìíèì (ñì. 1 ãëàâû 5) îïðåäåëåíèÿ ëèíåéíîãî, íîðìèðîâàí-
x∈[a,b]
x=a+
t∈[−π,π]
Tm (t)
íûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè â
óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
∀f, g ∈ F ֒→ f + g = g + f ;
∀f, g, h ∈ F ֒→ (f + g) + h = f + (g + h);
∃ 0 ∈ F : ∀f ∈ F ֒→ f + 0 = f ;
∀f ∈ F ∃ − f ∈ F : f + (−f ) = 0;
∀f ∈ F ∀α, β ∈ R ֒→ α(β f ) = (αβ) f ;
∀f ∈ F ∀α, β ∈ R ֒→ (α + β) f = α f + β f ;
∀f, g ∈ F ∀α ∈ R ֒→ α (f + g) = α f + α g ;
∀f ∈ F ֒→ 1f = f , ãäå 1 ∈ R.
Îïpåäåëåíèå. Ëèíåéíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî
åòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè â ïðîñòðàíñòâå
êàæäîìó ýëåìåíòó
f ∈F
1)
F
∀f ∈ F ֒→ kf k ≥ 0;
∀α ∈ R ∀f ∈ F ֒→ kα f k = |α| · kf k;
119
íàçûâà-
îïðåäåëåíà íîðìà, ò. å.
ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî
÷åì âûïîëíÿþòñÿ àêñèîìû:
2)
F
kf k,
ïðè-
3) ∀f, g ∈ F ֒→ kf + gk ≤ kf k + kgk;
4) ∀f ∈ F : kf k = 0 ֒→ f = 0.
Îïpåäåëåíèå. Ëèíåéíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî F íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè â íåì îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ò. å.
ëþáûì ýëåìåíòàì f, g ∈ F ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî (f, g) ∈
∈ R, ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ àêñèîìû:
1) ∀f ∈ F ֒→ (f, f ) ≥ 0;
2) ∀f, g, h ∈ F ∀α, β ∈ R ֒→ (α f + β g, h) = α (f, h) + β (g, h);
3) ∀f, g ∈ F ֒→ (f, g) = (g, f );
4) ∀f ∈ F : (f, f ) = 0 ֒→ f = 0.
 1 ãëàâû 5 áûëî äîêàçàíî, ÷òî
à) ëþáîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîp
ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî åâêëèäîâîé íîðìû kf k = (f, f );
á) â ëþáîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
p
p âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (f, g) ≤ (f, f ) (g, g).
×åðåç C[a, b] áóäåì îáîçíà÷àòü íîðìèðîâàííîå
ïðîñòðàíñòâî óíêöèé f (x), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ñ íîðìîé
Îïpåäåëåíèå.
kf kC[a,b] = max |f (x)|.
x∈[a,b]
Ïðîâåðêó âûïîëíåíèÿ àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è àêñèîì
íîðìû äëÿ ïðîñòðàíñòâà C[a, b] ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî.
×åðåç RL1 [a, b] áóäåì îáîçíà÷àòü íîðìèðîâàííîå
ïðîñòðàíñòâî óíêöèé f (x), àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûõ (ïî èìàíó)
íà èíòåðâàëå (a, b) ñ íîðìîé
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî òàêèå óíêöèè ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ýëåìåíòó ïðîñòðàíñòâà RL1 [a, b].
 ÷àñòíîñòè, ìû îòîæäåñòâëÿåì óíêöèè f (x) è g(x), îòëè÷àþùèåñÿ íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû (íàïðèìåð, â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè èçìåíåíèè óíêöèè íà ìíîæåñòâå
íóëåâîé ìåðû èíòåãðàë îò ýòîé óíêöèè íå ìåíÿåòñÿ.
kf kRL1[a,b]
äåéñòâèòåëüíî óäîâëåËåãêî âèäåòü,
÷òî
òâîðÿåò
àêñèîìàì
íîðìû.
×åòâåðòàÿ
àêñèîìà
íîðìû
¾∀f ∈ F : kf k = 0 ֒→ f = 0¿ âûïîëíÿåòñÿ èìåííî â ñèëó ñîãëàøåíèÿ îá îòîæäåñòâëåíèè.
Ôóíêöèþ f (x) áóäåì íàçûâàòü êâàäðàòè÷íî èííà èíòåðâàëå (a, b), åñëè
1) óíêöèÿ f (x) èìååò íà (a, b) íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáåííîñòåé, ò. å. ñóùåñòâóþò ÷èñëà x0 , . . . , xI : a = x0 < x1 < . . . <
< xI = b òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, . . . , I} è äëÿ ëþáîãî îòðåçêà
Rβ
[α, β] ⊂ (xi−1 , xi ) èíòåãðàë èìàíà f (x) dx ñóùåñòâóåò â ñîáñòâåíÎïpåäåëåíèå.
òåãðèðóåìîé
íîì ñìûñëå;
2) èíòåãðàë
kf kRL1 [a,b] =
a
120
f 2 (x) dx ñõîäèòñÿ.
Îïpåäåëåíèå. ×åðåç RL2 [a, b] áóäåì îáîçíà÷àòü åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî óíêöèé f (x), êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ (ïî èìàíó)
íà èíòåðâàëå (a, b) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
(f, g) =
Zb
f (x) g(x) dx.
a
Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü óíêöèè f ∈ RL2 [a, b] è g ∈ RL2 [a, b] òàêèå,
Rb
÷òî (f (x) − g(x))2 dx = 0.
a
|f (x)| dx.
Ïðè ýòîì áóäåì îòîæäåñòâëÿòü àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûå óíêRb
öèè f (x) è g(x) òàêèå, ÷òî |f (x) − g(x)| dx = 0. Èíûìè ñëîâàìè,
a
Rb
a
Îïpåäåëåíèå.
Zb
α
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî RL2 [a, b] óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Àêñèîìà
¾∀f ∈ F : (f, f ) = 0 ֒→ f = 0¿ âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ñîãëàøåíèÿ
îá îòîæäåñòâëåíèè.
Ïîñêîëüêó RL2 [a, b] åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, òî â íåì ìîæíî
ââåñòè åâêëèäîâó íîðìó:
121
kf kRL2 [a,b]
v
u b
uZ
p
u
= (f, f ) = t f 2 (x) dx.
a
Çàìåòèì, ÷òî åñëè kf k åâêëèäîâà íîðìà â íåêîòîðîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ýòîì ïðîñòðàíñòâå
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî îðìóëå
1
(f, g) =
(1)
kf + gk2 − kf k2 − kgk2 .
2
Ïîñêîëüêó äëÿ íîðì kf kC[a,b], kf kRL1 [a,b] âûðàæåíèå (1) íå óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî íîðìû C[a, b],
RL1 [a, b] íå ÿâëÿþòñÿ åâêëèäîâûìè.
1) Ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå C[a, b] ⊂ RL2 [a, b], ïðè÷åì
√
kf kRL2 [a,b] ≤ b − a kf kC[a,b] ∀f ∈ C[a, b].
Ëåììà 1.
2) Ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå RL2 [a, b] ⊂ RL1 [a, b], ïðè÷åì
√
kf kRL1 [a,b] ≤ b − a kf kRL2 [a,b] ∀f ∈ RL2 [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
Rb
a
f (x) dx è
Rb
1) Ïóñòü f
∈ C[a, b]. Òîãäà èíòåãðàëû
f (x) dx ñóùåñòâóþò â ñîáñòâåííîì ñìûñëå, ñëåäîâà2
a
èíòåãðèðóåìà íà (a, b).
òåëüíî, óíêöèÿ f (x) êâàäðàòè÷íî
s
r
Rb
Êðîìå òîãî, kf kRL2 [a,b] =
f 2 (x) dx ≤ (b − a) max |f (x)|2 =
x∈[a,b]
a
√
= b − a kf kC[a,b].
2) Ïóñòü f ∈ RL2 [a, b]. Òîãäà óíêöèÿ f (x) èìååò íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáåííîñòåé íà [a, b]. Îïðåäåëèì óíêöèè g(x) = |f (x)|,
h(x) = 1. Ïîñêîëüêó óíêöèè g è h ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè åâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà RL2 [a, b], òî äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Êîøè
Áóíÿêîâñêîãî (g, h) ≤ kgk khk.
Rb
Çàìå÷àÿ, ÷òî (g, h) = |f (x)| dx = kf kRL1[a,b] , kgkRL2 [a,b] =
a
√
= kf kRL2 [a,b] , khkRL2 [a,b]
=
b − a, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
122
√
b − a kf kRL2 [a,b] . Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è óñëîâèÿ f ∈
Rb
∈ RL2 [a, b] ñëåäóåò, ÷òî kf kRL1 [a,b] < +∞, ò. å. èíòåãðàë |f (x)| dx
kf kRL1 [a,b] ≤
ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò, f ∈ RL1 [a, b].
a
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü F íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk } ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê ýëåìåíòó f ∈ F , åñëè kfk − f k → 0 ïðè k → ∞.
Çàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óíêöèé fk ∈
∈ C[a, b] ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà C[a, b] îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fk (x)} íà îòðåçêå [a, b].
Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óíêöèé fk ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà RL1 [a, b] íàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüþ â ñðåäíåì, à ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà RL2 [a, b] ñõîäèìîñòüþ â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî.
Èç íåðàâåíñòâ, äîêàçàííûõ â ëåììå 1, ñëåäóåò, ÷òî èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè óíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî, à èç ñõîäèìîñòè óíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ñìûñëå
ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî âûòåêàåò åå ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì.
Îïpåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk } ýëåìåíòîâ íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîé, åñëè
∀ε > 0
∃N ∈ N :
∀k, n > N ֒→ kfn − fk k < ε.
Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî F íàçûâàåòñÿ ïîëåñëè â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ëþáàÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk } ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó f ∈ F .
Îïpåäåëåíèå.
íûì,
Èç êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê ïðîñòðàíñòâà Rn ñëåäóåò ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà Rn .
Ïðîñòðàíñòâî C[a, b] òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Äåéñòâèòåëüíî,
ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ íà [a, b] óíêöèé fk (x) óíäàìåíòàëüíà. Â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè óíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé óíêöèè f (x). Ïðè ýòîì óíêöèÿ f (x)
123
áóäåò íåïðåðûâíîé íà [a, b], êàê ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ óíêöèé. Èòàê, ∃f ∈ C[a, b] : kfk −f kC[a,b] → 0
ïðè k → ∞.
Ïðîñòðàíñòâà RL1 [a, b] è RL2 [a, b] íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè, òàê êàê
ñóùåñòâóþò óíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ýòèõ
ïðîñòðàíñòâ, íå èìåþùèå ïðåäåëîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà RL1 [a, b] èëè RL2 [a, b] èìååò ïðåäåë
â áîëåå øèðîêîì ïðîñòðàíñòâå L1 [a, b] èëè L2 [a, b] ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðîñòðàíñòâî L1 [a, b] íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì óíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó, à ïðîñòðàíñòâî L2 [a, b] ïðîñòðàíñòâîì óíêöèé,
êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó.  îòëè÷èå îò ïðîñòðàíñòâ
RL1 [a, b], RL2 [a, b], ïðîñòðàíñòâà L1 [a, b], L2 [a, b] ïîëíû. Òàê æå, êàê
è ïðîñòðàíñòâî RL2 [a, b], ïðîñòðàíñòâî L2 [a, b] ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì.
Ïîëíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ
ïðîñòðàíñòâîì.
Îïpåäåëåíèå.
ãèëüáåðòîâûì
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî L2 [a, b] ãèëüáåðòîâî. Ïðîñòðàíñòâà C[a, b], RL1 [a, b], L1 [a, b] íå ÿâëÿþòñÿ ãèëüáåðòîâûìè, òàê êàê îíè íååâêëèäîâû. Ïðîñòðàíñòâî RL2 [a, b] òàêæå íå
ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì, ïîñêîëüêó îíî íåïîëíî.
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü ìíîæåñòâà A è B ëåæàò â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå F . Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B , åñëè
1) A ⊂ B è
2) ∀b ∈ B ∀ε > 0 ∃aε ∈ A : kb − aε k < ε.
Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî G íàçûâàåòñÿ
íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà F , åñëè
1) ïðîñòðàíñòâî G ïîëíî;
2) F ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà G;
3) ∀f ∈ F ֒→ kf kF = kf kG.
Îïpåäåëåíèå.
ïî-
ïîëíåíèåì
Ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Ïðîñòðàíñòâî L1 [a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàíñòâà RL1 [a, b], à ïðîñòðàíñòâî L2 [a, b] ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàíñòâà RL2 [a, b].
Òåîpåìà 1.
124
9.
Ïîëíûå ñèñòåìû
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ýëåìåíòîâ
ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà F ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå F ,
åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò
êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ α1 e1 +· · ·+αn en (αi ∈ R) ýëåìåíòîâ
ñèñòåìû {ek }, ïðèáëèæàþùàÿ ýëåìåíò f ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà F ñ
òî÷íîñòüþ ε:
kα1 e1 + · · · + αn en − f k < ε.
Îïpåäåëåíèå.
Îòìåòèì, ÷òî ïîëíîòà ñèñòåìû è ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà ýòî ñîâåðøåííî ðàçíûå ïîíÿòèÿ.
e b] îáîçíà÷èì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
×åðåç C[a,
óíêöèé f (x), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] è òàêèõ, ÷òî f (a) = f (b).
Îïpåäåëåíèå.
Äàëåå ïîä òåðìèíîì ¾ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ¿ âñåãäà áóäåì ïîíèìàòü êîíå÷íóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, ò. å. ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâà.
Òåîpåìà 1. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå
e
C[−π,
π] îòíîñèòåëüíî íîðìû C[−π, π].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ëþáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû, òî èç òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î ïðèáëèæåíèè óíêöèé
òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè (òåîðåìà 1 7) ñëåäóåò, ÷òî ëþe
π] ìîæíî ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ðàâíîìåðíî
áóþ óíêöèþ f ∈ C[−π,
(ò. å. â ñìûñëå íîðìû ïðîñòðàíñòâà C[−π, π]) ïðèáëèçèòü ëèíåéíîé
êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ïpèìåp. Ïîêàçàòü, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåïîëíà â
íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå C[−π, π].
åøåíèå. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòîâ
òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì Tn (x), òî íåïîëíîòà òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â C[−π, π]
îçíà÷àåò, ÷òî
∃ε > 0 ∃f ∈ C[−π, π] :
∀Tn ֒→ kf − Tn kC[−π,π] ≥ ε.
Îïðåäåëèì f (x) = x, ε = π . Ïîñêîëüêó Tn (−π) = Tn (π), òî
125
kf − Tn kC[−π,π] =
max |f (x) − Tn (x)| ≥
x∈[−π,π]
≥ max{|f (−π) − Tn (−π)|, |f (π) − Tn (π)|} ≥
1
≥
|f (−π) − Tn (−π)| + |f (π) − Tn (π)| =
2
1
1
|f (−π) − Tn (π)| + |f (π) − Tn (π)| ≥ |f (−π) − f (π)| = π = ε.
=
2
2
Òåîpåìà 2.
Ñèñòåìà óíêöèé
âàííîì ïðîñòðàíñòâå
C[a, b].
k
{x }k=0,1,2,...
kf −
≤
≤
ïîëíà â íîðìèðî-
Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ïðèìåíåíèè òåîðåìû Âåéåðøòðàññà
î ðàâíîìåðíîì ïðèáëèæåíèè íåïðåðûâíûõ óíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè
(òåîðåìà 2 7).
fε k2RL2 [a,b]
I
X
i=1
RL2 [−π, π].
Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå òðè ëåì-
ìû.
[a, b] óíêöèé
RL2 [a, b] îòíîñè-
Ìíîæåñòâî êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà
òåëüíî íîðìû
RL2 [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
f ∈ RL2 [a, b]
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé óíê-
ε > 0 ñóùåñòâóåò êóñî÷íîkf − fε kRL2 [a,b] < ε.
Øàã 1. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî åñëè óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà
ïî èìàíó â ñîáñòâåííîì ñìûñëå íà îòðåçêå [a, b], òî äëÿ ëþáîãî
÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ fε (x) òàêàÿ,
÷òî kf − fε k2
RL2 [a,b] < ε.
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî èìàíó â ñîáñòâåííîì
ñìûñëå íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà óíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà, ò. å. ñóùåñòâóåò ÷èñëî C = sup |f (x)|.  ñèëó êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè
öèè
è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ
fε (x)
òàêàÿ, ÷òî
x∈[a,b]
äëÿ ëþáîãî
÷òî
2C
I
P
ε>0
ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) < ε,
ãäå
{xi }Ii=0
Mi =
i=1
=
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
= mi
ïðè
I
X
sup
i=1 x∈[xi−1 ,xi ]
|f (x) − fε (x)|2 · (xi − xi−1 ) ≤
(Mi − mi )2 (xi − xi−1 ) ≤ 2C
I
X
i=1
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) < ε.
Øàã 2. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë è-
ìàíà
Rb
f 2 (x) dx
ñõîäèòñÿ è óíêöèÿ
f (x)
èìååò îäíó îñîáåííîñòü íà
ε > 0 ñóùåñòâóåò êóñî÷íîfε (x) òàêàÿ, ÷òî kf − fε k2RL2 [a,b] < ε.
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) èìååò îñîáåííîñòü, íàïðèìåð, â òî÷êå b. Èç
Rb 2
ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
f (x) dx ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàé-
êîíöå îòðåçêà
Ëåììà 1.
a
|f (x) − fε (x)|2 dx ≤
a
Íèæå ìû äîêàæåì ïîëíîòó òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå
=
Zb
îòðåçêà
sup
[a, b]
f (x),
òàêîå,
mi =
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x). Îïðåäåëèì êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ óíêöèþ fε (x) =
x ∈ [xi−1 , xi ), i = 1, . . . , I .
126
Òîãäà
[a, b]
, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ
a
äåòñÿ b′
∈ (a, b):
Rb
f 2 (x) dx <
b′
ε
2.
f èíòåãðèðóåìà ïî èìàíó â ñîáñòâåííîì
[a, b′ ], òî, êàê äîêàçàíî íà ïåðâîì øàãå, íàéäåòñÿ êóñî÷íîε
íåïðåðûâíàÿ íà [a, b′ ] óíêöèÿ fε (x) òàêàÿ, ÷òî kf − fε k2
RL2 [a,b′ ] < 2 .
Îïðåäåëèâ fε (x) = 0 ïðè x ∈ (b′ , b], ïîëó÷èì
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ
ñìûñëå íà
kf −
fε k2RL2 [a,b]
=
Zb′
a
|f (x) − fε (x)|2 dx +
Zb
f 2 (x) dx <
b′
< kf − fε k2RL2 [a,b′ ] +
Øàã 3. Ïóñòü òåïåðü
Òîãäà èíòåãðàë
Rb
ε
< ε.
2
f ∈ RL2 [a, b].
f 2 (x) dx
ñõîäèòñÿ è óíêöèÿ
f (x)
èìååò íà
a
[a, b]
êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáåííîñòåé. àçîáúåì îòðåçîê
íå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ
ðûõ óíêöèÿ
f (x)
[ai−1 , ai ], i = 1, . . . , I ,
[a, b]
íà êî-
íà êàæäîì èç êîòî-
èìååò íå áîëåå îäíîé îñîáåííîñòè, ïðè÷åì íà
127
êîíöå îòðåçêà. Êàê ïîêàçàíî íà âòîðîì øàãå, äëÿ ëþáîãî ε >
> 0 íàéäåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ fε (x) òàêàÿ, ÷òî ∀i ∈
2
{1, . . . , I} kf −fεk2RL2 [ai−1 ,ai ] < εI . Ñëåäîâàòåëüíî, kf −fεk2RL2 [a,b] =
I
P
kf − fε k2RL2 [ai−1 ,ai ] < ε2 , ò. å. kf − fε kRL2 [a,b] < ε.
=
i=1
e b] ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì
Ìíîæåñòâî C[a,
ìíîæåñòâà êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] óíêöèé îòíîñèòåëüíî íîðìû RL2 [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà
[a, b], ò. å. ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê T = {xi }Ii=0 , a =
= x0 < x1 < . . . < xI = b òàêèõ, ÷òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ [a, b],
x 6= xi óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà, à â òî÷êàõ xi óíêöèÿ f (x) èìååò
êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Ïóñòü ℓ(T) = max (xi − xi−1 ) Ëåììà 2.
i=1,...,I
ìåëêîñòü ðàçáèåíèÿ T. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà δ ∈ (0, ℓ(T)/2) îïðåäåëèì
íåïðåðûâíóþ íà [a, b] óíêöèþ fδ (x), ïîëîæèâ
fδ (x) = f (x) ïðè x 6∈ (xi − δ, xi + δ), i = 0, 1, . . . , I ;
fδ (x) =
1
δ
f (xi + δ) (x − xi ) ïðè x ∈ [xi , xi + δ), i = 0, 1, . . . , I − 1;
fδ (x) = −
1
δ
f (xi − δ) (x − xi ) ïðè x ∈ (xi − δ, xi ), i = 1, . . . , I .
y
)
y = f (x
y=
y=f
δ ( x)
)
y = f (x
)
x0 +δ
xi −δ
xi
xi +δ
xI −δ
=
Zb
a
|f (x) − fδ (x)|2 dx =
xi−1 +δ
Z
Zxi
I
X
|f (x) − fδ (x)|2 dx +
|f (x) − fδ (x)|2 dx ≤
=
i=1
xi−1
xi −δ
≤ I 2δ (2C)2 → 0 ïðè
x
xI = b
Èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè fδ (x) è óñëîâèé fδ (a) = fδ (b) = 0
e b].
ñëåäóåò, ÷òî fδ ∈ C[a,
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíà
îãðàíè÷åíà íà [a, b], ò. å. C = sup |f (x)| < +∞. Èç îïðåäåëåíèÿ
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà [a, b] óíêe b] òàêàÿ,
öèè f è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ óíêöèÿ fδ ∈ C[a,
÷òî kf − fδ kRL2 [a,b] < ε.
Òåîpåìà 3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïîëíà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå RL2 [−π, π].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíû ïðîèçâîëüíûå óíêöèÿ f ∈
∈ RL2 [−π, π] è ÷èñëî ε > 0.  ñèëó ëåììû 1 ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ fε : [−π, π] → R òàêàÿ, ÷òî
kf − fε kRL2 [−π,π] < 3ε . Ñîãëàñíî ëåììå 2 íàéäåòñÿ óíêöèÿ gε ∈
e
∈ C[−π,
π], óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó kfε − gε kRL2 [−π,π] < 3ε . Èç
e
ïîëíîòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå C[−π,
π] îòíîñèòåëüíî íîðìû C[−π, π] (òåîðåìà 1) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà Tn òàêîãî, ÷òî kgε − Tn kC[−π,π] < 3√ε2π .
Îòñþäà è èç ëåììû 1 8 âûòåêàþò íåðàâåíñòâà kgε − Tn kRL2 [−π,π] ≤
√
≤ 2πkgε − Tn kC[−π,π] < 3ε . Èòàê,
+ kgε − Tn kRL2 [−π,π] <
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Çàìå÷àíèå. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå
RL1 [−π, π]. Ýòîò àêò äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3, ãäå âìåñòî ëåììû 1 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 1 2.
x∈[a,b]
óíêöèè fδ (x) ñëåäóåò, ÷òî |fδ (x)| ≤ C ∀x ∈ [a, b].
Ïîýòîìó
128
δ → 0.
kf − Tn kRL2 [−π,π] ≤ kf − fε kRL2 [−π,π] + kfε − gε kRL2 [−π,π] +
(x
fδ
a = x0
kf −
fδ k2RL2 [a,b]
129
10.
Ñõîäèìîñòü pÿäà Ôópüå â ñìûñëå
f−
åâêëèäîâîé íîðìû
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü F ïðîèçâîëüíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè ýòà ñèñòåìà íå ñîäåðæèò íóëåâîãî ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà F è (ek , en ) = 0 ïðè ëþáûõ k, n ∈ N òàêèõ, ÷òî k 6= n. ×èñëà
∞
P
k)
αk = (e(f,e
íàçûâàþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôópüå, à ðÿä
αk ek k ,ek )
ðÿäîì Ôóðüå
(Ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýèöèåíòîâ Ôópüå.)
Ïóñòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå F çàäàíà îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà
{ek }∞
k=1 è ýëåìåíò f ∈ F . Ïóñòü çàäàíî ÷èñëî n ∈ N. Òîãäà ñðåäè
âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ e1 , . . . , en ñóììà Ôópüå
Òåîpåìà 1.
n
X
ãäå αk =
αk ek ,
k=1
(f, ek )
,
(ek , ek )
ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ýëåìåíòà f â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû ïðîñòðàíñòâà F , ò. å.
min
β1 ,...,βn ∈R
Äîêàçàòåëüñòâî.
n
X
f−
k=1
f−
n
X
k=1
βk ek = kf − sn k.
Îáîçíà÷èì dn = sn −
n
P
βk ek . Òîãäà
k=1
= kf − sn + dn k2 =
= (f − sn + dn , f − sn + dn ) = kf − sn k2 + 2(dn , f − sn ) + kdn k2 .
Ïîñêîëüêó â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñèñòåìû {ek } äëÿ ëþáîãî k ∈
∈ {1, . . . , n} ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (ek , sn ) = αk (ek , ek ), òî ïî îïðåäåëåíèþ êîýèöèåíòîâ Ôópüå αk ïîëó÷àåì (ek , f −sn ) = (ek , f )−
n
P
− αk (ek , ek ) = 0. Òàê êàê dn =
(αk − βk )ek , òî (dn , f − sn ) =
=
n
P
k=1
k=1
(αk − βk ) (ek , f − sn ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
= kf − sn k2 + kdn k2 ≥ kf − sn k2 .
Ïîýòîìó
min
β1 ,...,βn ∈R
f−
n
X
k=1
βk e k = f −
n
X
k=1
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíò f íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà F ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñèñòåìå {ek }∞
k=1 ýëåìåíòîâ
ïðîñòðàíñòâà F , åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αk }
∞
P
òàêàÿ, ÷òî pÿä
αk ek ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó f â ñìûñëå íîðìû ïðî-
ñòðàíñòâà F , ò. å. kf −
áóäåì ïèñàòü
∞
P
n
P
k=1
αk ek k → 0 ïðè n → ∞.  ýòîì ñëó÷àå
αk ek = f .
k=1
Òåîpåìà 2. (Î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòà åâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå.) Ïóñòü ýëåìåíò f åâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà F ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå {ek }∞
k=1 :
∞
∞
P
P
f=
αk ek , ãäå ñõîäèìîñòü pÿäà
αk ek ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå åâ-
k=1
k=1
êëèäîâîé íîðìû ïðîñòðàíñòâà F . Òîãäà êîýèöèåíòû αk ÿâëÿþòñÿ
k)
.
êîýèöèåíòàìè Ôópüå: αk = (e(f,e
k ,ek )
n
∞
P
P
αk ek . àâåíñòâî f =
αk ek
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü sn =
k=1
k=1
îçíà÷àåò, ÷òî kf − sn k → 0 ïðè n → ∞. Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî äëÿ ëþáîãî k ∈ N ïîëó÷àåì, ÷òî
k=1
130
αk ek = kf − sn k.
Çàìå÷àíèå.
( åîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìèíèìàëüíîãî
ñâîéñòâà êîýèöèåíòîâ Ôópüå.) Ïóñòü Lin(e1 , . . . , en ) ëèíåéíàÿ
îáîëî÷êà âåêòîðîâ e1 , . . . , en , òîãäà sn îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ýëåìåíòà f íà ïîäïðîñòðàíñòâî Lin(e1 , . . . , en ). Òåîðåìà 1 óòâåðæäàåò,
÷òî îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ sn ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì
ýëåìåíòà f ñðåäè âñåõ ýëåìåíòîâ ïîäïðîñòðàíñòâà Lin(e1 , . . . , en ).
k=1
2
βk e k
2
βk e k
k=1
ýëåìåíòà f ∈ F ïî ñèñòåìå {ek }.
sn =
n
X
131
|(f, ek ) − (sn , ek )| ≤ kf − sn k · kek k → 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó ∀k ∈
∈ N ֒→ (f, ek ) = lim (sn , ek ). Èç îðòîãîíàëüíîñòè ñèñòåìû {ek } ïîn→∞
ëó÷àåì ðàâåíñòâî (sn , ek ) = αk (ek , ek ) ïðè n ≥ k . Ñëåäîâàòåëüíî,
k)
(f, ek ) = αk (ek , ek ), à çíà÷èò, αk = (e(f,e
.
k ,ek )
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) ïðåäñòàâèìà â âèäå òðèãîíî∞
P
(ak cos kx + bk sin kx), ðàâíîìåðíî ñõîäÿìåòðè÷åñêîãî pÿäà a20 +
(2o ) ⇒ (3o ). Ïóñòü îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ek } ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå F . Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò f ∈ F . Îáîçíà÷èì
∆n =
inf
β1 ,...,βn ∈R
kf −
Ñëåäñòâèå.
k=1
ùåãîñÿ íà [−π, π]. Òîãäà êîýèöèåíòû ak , bk ÿâëÿþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôópüå óíêöèè f (x) ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê ñëåäóåò èç ëåììû 1 8, èç ðàâíîìåðíîé
ñõîäèìîñòè pÿäà âûòåêàåò åãî ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàä∞
P
(ak cos kx + bk sin kx) ñõîäèòñÿ ê
ðàòè÷íîãî. Ïîýòîìó pÿä a20 +
k=1
óíêöèè f (x) â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû ïðîñòðàíñòâà RL2 [−π, π].
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
Ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ýëåìåíòîâ íîðìèðîâàííîãî
ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà F , åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâà∞
P
òåëüíîñòü {αk }∞
αk ek .
k=1 òàêàÿ, ÷òî f =
Îïpåäåëåíèå.
k=1
Äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû {ek }∞
k=1 â åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå F ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(1o ) ñèñòåìà {ek }∞
k=1 áàçèñ ïðîñòðàíñòâà F ;
(2o ) ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå F ;
(3o ) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F pÿä Ôópüå ýòîãî ýëåìåíòà ïî ñèñòåìå {ek } ñõîäèëñÿ ê ýëåìåíòó f â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû ïðîñòðàíñòâà F .
o
o
Äîêàçàòåëüñòâî. (3 ) ⇒ (1 ) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 2 è îïðåäåëåíèÿ áàçèñà.
(1o ) ⇒ (2o ). Ïóñòü îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ek } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì
ïðîñòðàíñòâà F . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ áàçèñà äëÿ ëþáîãî ýëåìåí∞
P
òà f ∈ F ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå f =
αk ek . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
Òåîpåìà 3.
k=1
äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
n
n
P
P
αk ek òàêàÿ, ÷òî kf −
αk ek k < ε, ò. å. ñèñòåìà {ek } ïîëíà â
k=1
ïðîñòðàíñòâå F .
k=1
132
Ïîñêîëüêó ∆n ≤
inf
β1 ,...,βn−1 ∈R,
n
X
k=1
kf −
βk ek k.
n
P
βn =0
k=1
{∆n }∞
n=1 ÿâëÿåòñÿ
βk ek k = ∆n−1 , òî ÷èñëî-
íåâîçðàñòàþùåé, ñëåäîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
lim ∆n = inf ∆n .
âàòåëüíî, ñóùåñòâóåò
n→∞
n∈N
Èç ïîëíîòû ñèñòåìû {ek } ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñón
n
P
P
ùåñòâóåò ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
βk e k k <
βk ek òàêàÿ, ÷òî kf −
k=1
k=1
< ε. Ïîýòîìó ∀ε > 0 ∃n ∈ N : ∆n < ε. Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà
∆n ≥ 0 ñëåäóåò, ÷òî inf ∆n = 0, à çíà÷èò, lim ∆n = 0.
n→∞
n∈N
Èç ìèíèìàëüíîãî ñâîéñòâà êîýèöèåíòîâ Ôópüå ñëåäóåò, ÷òî
n
P
αk ek ñóììà Ôópüå ïîðÿäêà n. Ïîýòîìó
∆n = kf − sn k, ãäå sn =
k=1
lim kf − sn k = 0, ò. å. pÿä Ôópüå ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà f ∈ F
ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó f .
n→∞
Èç òåîðåìû 3 è ïîëíîòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå RL2 [−π, π] (òåîðåìà 3 9) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîpåìà 4. 1) Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì
ïðîñòðàíñòâà RL2 [−π, π].
2) ÿä Ôópüå ëþáîé êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìîé óíêöèè ñõîäèòñÿ ê ýòîé óíêöèè â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî (ò. å. ïî
íîðìå RL2 [−π, π]).
Çàìå÷àíèå. Èç ïîëíîòû îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû {ek } â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå F îòíîñèòåëüíî íååâêëèäîâîé íîðìû íå
ñëåäóåò, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà F . Íàïðèìåð, ñèñòåìà óíêöèé {xk }∞
k=0 ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå C[−1, 1] (òåîðåìà 2 9), íî íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñèñòåìà {xk }∞
k=0 áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
C[−1, 1]. Òîãäà äëÿ óíêöèè f (x) = |x|, ïðèíàäëåæàùåé ïðîñòðàí∞
P
ñòâó C[−1, 1], ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå f (x) =
αk xk ∀x ∈ [−1, 1].
k=0
133
 ñèëó òåîðåìû î äèåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà (òåîðåìà 5
3 ãëàâû 11) ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ f (x) = |x| äèåðåíöèðóåìà â
òî÷êå x = 0. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ln (x) =
1 dn 2
(x − 1)n
n! 2n dxn
(n ∈ N).
Ëåììà 2. Ëþáîé àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç En ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n − 1. Ïîñêîëüêó ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå n − 1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé n óíêöèé 1, x, x2 , . . . , xn−1 , òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà En íå
ïðåâîñõîäèò n.
Òàê êàê ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà Ln (x) ñîñòàâëÿþò îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó íà îòðåçêå [−1, 1] (ëåììà 3 1), òî ëþáîé êîíå÷íûé íàáîð ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà ëèíåéíî íåçàâèñèì. Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî En ñîäåðæèò n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ
L0 (x), . . . , Ln−1 (x), òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà En ðàâíà n, à ñèñòåìà L0 (x), . . . , Ln−1 (x) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà En . Ïîýòîìó ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n − 1 ïðåäñòàâèì êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ L0 (x), . . . , Ln−1 (x).
Òåîpåìà 5. Ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà ïîëíà â ïðîñòðàíñòâàõ C[a, b] è RL2 [a, b] è ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà RL2 [−1, 1].
ÿä Ôópüå ëþáîé óíêöèè f ∈ RL2 [−1, 1] ïî ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ
Ëåæàíäðà ñõîäèòñÿ ê óíêöèè f â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî.
k ∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïîëíîòû ñèñòåìû {x }k=0 â ïðîñòðàíñòâå
C[a, b] (òåîðåìà 2 9) ñëåäóåò, ÷òî
∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃ àëã. ìí-í Pn (x) : kf − Pn kC[a,b] < ε. (1)
√
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà kgkRL2 [a,b] ≤ kgkC[a,b] b − a ∀g ∈ C[a, b]
ïîëó÷àåì
√
∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃Pn (x) : kf − Pn kRL2 [a,b] < ε b − a.
(2)
e b], à çíà÷èò, è ìíîæåñòâî C[a, b]
 ñèëó ëåìì 1, 2 9 ìíîæåñòâî C[a,
ÿâëÿþòñÿ ïëîòíûìè ïîäìíîæåñòâàìè ïðîñòðàíñòâà RL2 [a, b] îòíîñèòåëüíî íîðìû RL2 [a, b], ò. å.
134
Îòñþäà è èç (2) ïîëó÷àåì
∀g ∈ RL2 [a, b] ∀ε > 0 ∃Pn (x) : kg − Pn kRL2 [a,b] < ε
àññìîòðèì ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà:
L0 (x) = 1,
∀g ∈ RL2 [a, b] ∀ε > 0 ∃f ∈ C[a, b] : kf − gkRL2 [a,b] < ε.
√
b − a + ε.
(3)
 ñèëó ëåììû 2 èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò ïîëíîòà ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà {Ln (x)}∞
n=0 â ïðîñòðàíñòâå C[a, b], à èç óñëîâèÿ (3) ïîëíîòà ñèñòåìû {Ln (x)} â ïðîñòðàíñòâå RL2 [a, b].
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà {Ln (x)} îðòîãîíàëüíà â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâà RL2 [−1, 1] è ïîëíà â RL2 [−1, 1], òî
â ñèëó òåîðåìû 3 ñèñòåìà {Ln (x)} ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà
RL2 [−1, 1], è pÿä Ôópüå ëþáîé óíêöèè f ∈ RL2 [−1, 1] ïî ñèñòåìå
{Ln (x)} ñõîäèòñÿ ê óíêöèè f â ñìûñëå íîðìû RL2 [−1, 1].
11.
Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, ðàâåíñòâî
Ïàpñåâàëÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü
ðÿäà Ôóðüå
Ëåììà 1. Ïóñòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå F çàäàíà îðòîãî(f,ek )
íàëüíàÿ ñèñòåìà {ek }∞
k=1 è ýëåìåíò f ∈ F . Ïóñòü αk = (ek ,ek ) êîýn
P
αk ek ñóììà Ôópüå ïîðÿäêà
èöèåíòû Ôópüå ýëåìåíòà f , à sn =
k=1
n. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
kf k2 = kf − sn k2 +
n
X
k=1
α2k kek k2 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
kf k2 = kf − sn + sn k2 = kf − sn k2 + 2(sn , f − sn ) + ksn k2 .
 ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñèñòåìû {ek } ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(ek , sn ) = αk (ek , ek ) ∀k ∈ {1, . . . , n}. Îòñþäà è èç îïðåäåëåíèÿ êîýèöèåíòîâ Ôópüå ïîëó÷àåì (ek , f − sn ) = (ek , f ) − αk (ek , ek ) = 0
n
P
∀k ∈ {1, . . . , n}. Òàê êàê sn =
αk ek , òî (sn , f − sn ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
k=1
2
kf k = kf − sn k2 + ksn k2 .
Åùå ðàç èñïîëüçóÿ îðòîãîíàëüíîñòü ñèñòåìû {ek }, ïîëó÷àåì
135
2
ksn k =
n
X
αk ek ,
k=1
n
X
αk ek
k=1
!
=
n
X
α2k (ek , ek ) =
k=1
n
X
k=1
α2k kek k2 .
n → ∞, ãäå sn =
+
n
P
k=1
àâåíñòâî kf k2 = kf − sn k2 + ksn k2 , äîêàçàííîå â
ëåììå 1, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ïèàãîðà
ê ïpÿìîóãîëüíîìó òðåóãîëüíèêó ñ êàòåòàìè sn è f − sn è ãèïîòåíóçîé f .
Çàìå÷àíèå.
Òåîpåìà 1. (Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ.) Äëÿ ëþáîé îðòîãîíàëüíîé
ñèñòåìû {ek }∞
k=1 åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà F è äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà
f ∈ F ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ:
∞
X
k=1
α2k kek k2 ≤ kf k2 ,
ãäå αk ýòî êîýèöèåíòû Ôópüå ýëåìåíòà f ïî ñèñòåìå {ek }, à
kek k, kf k åâêëèäîâû íîðìû ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N
n
P
kf k2 ≥
α2k kek k2 . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èì òðåk=1
áóåìîå íåðàâåíñòâî.
Òåîpåìà 2. (àâåíñòâî Ïàpñåâàëÿ.) Îpòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà
{ek }∞
k=1 â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå F ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ïàpñåâàëÿ:
∞
X
k=1
α2k kek k2 = kf k2 ,
ãäå αk ýòî êîýèöèåíòû Ôópüå ýëåìåíòà f ïî ñèñòåìå {ek }, à
kek k, kf k åâêëèäîâû íîðìû ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó òåîðåìû 3 10 ñèñòåìà {ek } ÿâëÿåòñÿ
áàçèñîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ
∞
P
αk ek ýëåìåíòà f ñõîäèòñÿ ê
ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F pÿä Ôópüå
k=1
f â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî kf − sn k → 0 ïðè
136
n
P
k=1
αk ek . Â ñèëó ëåììû 1 èìååì kf k2 = kf − sn k2 +
α2k kek k2 . Ïîýòîìó ñèñòåìà {ek } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì åâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà
n
P
f ∈ F ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
α2k kek k2 − kf k2 → 0
∞
P
ïðè n → ∞, ò. å.
k=1
k=1
α2k
kek k = kf k .
2
2
Òàê êàê òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà RL2 [−π, π], òî â ñèëó òåîðåìû 2 ïîëó÷àåì
Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîé óíêöèè f (x), êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå [−π, π], ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ïàpñåâàëÿ:
Zπ
2
f (x) dx = π
!
∞
a20 X 2
2
(ak + bk ) ,
+
2
k=1
−π
ãäå a0 , a1 , b1 , . . . êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè f (x) ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå.
Òåîpåìà 3. (Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè pÿäà Ôópüå.) Ïóñòü óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−π, π] è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ f (−π) = f (π). Ïóñòü ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) êóñî÷íîíåïðåðûâíà íà [−π, π]. Òîãäà pÿä Ôópüå óíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ak , bk êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè f (x), à a′k , b′k êîýèöèåíòû Ôópüå óíêöèè f ′ (x) ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå.  ñèëó òåîðåìû î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèè pÿäà Ôópüå |a′k | = k |bk |, |b′k | = k |ak |. Òàê êàê óíêöèÿ f ′ (x) êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìà íà [−π, π], òî â ñèëó ðàâåíñòâà
∞
P
(a′k )2 + (b′k )2 ñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòÏàpñåâàëÿ pÿä
ñÿ pÿä
∞
P
k=1
k=1
k 2 (a2k + b2k ). Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî xy ≤
x = k|ak |, y =
1
k,
ïîëó÷èì |ak | ≤
1
2
137
k 2 a2k +
1
k2
1
2
2 (x
+ y 2 ) äëÿ
. Àíàëîãè÷íî, |bk | ≤
. Ñëåäîâàòåëüíî, |ak | + |bk | ≤ 21 k 2 (a2k + b2k ) + k12 . Îòñþ∞
∞
P
P
1
k 2 (a2k + b2k ),
äà è èç ñõîäèìîñòè pÿäîâ
k2 ïî ïðèçíàêó ñðàâíå-
≤
1
2
k 2 b2k +
1
k2
k=1
íèÿ ñëåäóåò ñõîäèìîñòü pÿäà
∞
P
k=1
k=1
(|ak |+|bk |). Ïîýòîìó â ñèëó ïðèçíàêà
Âåéåðøòðàññà òðèãîíîìåòðè÷åñêèé pÿä
a0
2
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà R.
12.
+
∞
P
(ak cos kx+bk sin kx)
k=1
Íàïîìíèì, ÷òî ïîëíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
∞
Òåîpåìà 1. (Òåîðåìà èññàÔèøåðà.) Ïóñòü {ek }k=1 îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå F ; {αk } ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
∞
P
(a) ðÿä
αk ek ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó f ∈ F â ñìûñëå
k=1
íîðìû ïðîñòðàíñòâà F ;
(b) ÷èñëà αk ÿâëÿþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôóðüå íåêîòîðîãî ýëåk)
ìåíòà f ∈ F : ∀k ∈ N ֒→ αk = (e(f,e
;
k ,ek )
∞
P
(ñ) ÷èñëîâîé ðÿä
α2k kek k2 ñõîäèòñÿ.
k=1
Ïî òåîðåìå î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå (òåîðåìà 2
10) èç óñëîâèÿ (a) ñëåäóåò óñëîâèå (b). Â ñèëó íåðàâåíñòâà Áåññåëÿ
(òåîðåìà 1 11) èç óñëîâèÿ (b) ñëåäóåò óñëîâèå ( ).
Äîêàæåì, ÷òî ( ) ⇒ (a). Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (ñ). Äëÿ ëþn
P
áîãî n ∈ N îáîçíà÷èì sn =
αk ek . Ïîñêîëüêó ïðè ëþáûõ n, p ∈ N
Äîêàçàòåëüñòâî.
k=1
íîñòè ñèñòåìû {ek } ïîëó÷àåì
n+p
P
αk ek , òî â ñèëó îðòîãîíàëü-
k=n+1
ksn+p − sn k2 = (sn+p − sn , sn+p − sn ) =
138
n+p
X
k=n+1
|αk |2 (ek , ek ) =
n+p
X
k=n+1
|αk |2 kek k2 .
 ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà èç óñëîâèÿ (ñ)
ñëåäóåò, ÷òî
∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n ≥ N ∀p ∈ N ֒→
n+p
X
k=n+1
|αk |2 kek k2 < ε.
Ïîýòîìó
Çàìêíóòûå ñèñòåìû
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sn+p −sn =
=
n+p
X
k=n+1
αk ek ,
n+p
X
k=n+1
αk ek
!
∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n ≥ N ∀p ∈ N ֒→ ksn+p − sn k2 < ε.
Ýòî îçíà÷àåò óíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {sn } îòíîñèòåëüíî íîðìû ïðîñòðàíñòâà F . Îòñþäà è èç ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà
F ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {sn } ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó ïðîñòðàíñòâà F â ñìûñëå íîðìû ïðîñòðàíñòâà F , ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå (à).
Ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ýëåìåíòîâ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé â ïðîñòðàíñòâå F , åñëè íå ñóùåñòâóåò
íåíóëåâîãî ýëåìåíòà f ∈ F òàêîãî, ÷òî (f, ek ) = 0 ∀k ∈ N.
Îòìåòèì, ÷òî çàìêíóòîñòü ñèñòåìû è çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà ýòî ñîâåðøåííî ðàçíûå ïîíÿòèÿ.
Îïpåäåëåíèå.
Äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû {ek }∞
k=1 â åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå F ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(1o ) ñèñòåìà {ek }∞
k=1 áàçèñ ïðîñòðàíñòâà F ;
(2o ) ñèñòåìà {ek }∞
k=1 ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå F ;
(3o ) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F pÿä Ôópüå ýòîãî ýëåìåíòà ïî ñèñòåìå {ek } ñõîäèëñÿ ê ýëåìåíòó f â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû ïðîñòðàíñòâà F ;
(4o ) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ïàðñåâà∞
P
α2k kek k2 = kf k2 , ãäå αk ýòî êîýèöèåíòû Ôópüå ýëåìåíòà
ëÿ
Òåîpåìà 2.
k=1
=
f ïî ñèñòåìå {ek }.
Ïðè ýòîì ëþáîå èç óñëîâèé (1o ) (4o ) âëå÷åò óñëîâèå
(5o ) ñèñòåìà {ek }∞
k=1 çàìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå F .
Åñëè ïðîñòðàíñòâî F ãèëüáåðòîâî, òî äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû
o
o
{ek }∞
k=1 âñå óñëîâèÿ (1 ) (5 ) ðàâíîñèëüíû.
139
Ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèé (1o ) (3o ) äîêàçàíà
â òåîðåìå 3 10. Îòñþäà è èç òåîðåìû 2 11 ñëåäóåò ýêâèâàëåíòíîñòü
óñëîâèé (1o ) (4o ).
Äîêàæåì, ÷òî (3o ) ⇒ (5o ). Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
f ∈ F òàêîé, ÷òî (f, ek ) = 0 ∀k ∈ N. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìêíóòîñòè ñèñòåìû {ek } òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî f = 0. Èç óñëîâèÿ (f, ek ) =
= 0 ∀k ∈ N ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýèöèåíòû pÿäà Ôópüå ýëåìåíòà
f ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, pÿä Ôópüå ýëåìåíòà f ñõîäèòñÿ ê íóëåâîìó ýëåìåíòó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó óñëîâèÿ (3o ) pÿä Ôópüå
ýëåìåíòà f ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó f . Ïîýòîìó f = 0. Ïîñêîëüêó óñëîâèÿ (1o ) (4o ) ýêâèâàëåíòíû, òî ëþáîå èç ýòèõ óñëîâèé âëå÷åò óñëîâèå (5o ).
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà F èç
óñëîâèÿ (5o ) ñëåäóåò óñëîâèå (3o ). Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåk)
êîýèöèåíòû Ôópüå ýëåìåíòà
ìåíò f ∈ F . Ïóñòü αk = (e(f,e
k ,ek )
∞
P
f .  ñèëó íåðàâåíñòâà Áåññåëÿ ÷èñëîâîé pÿä
α2k kek k2 ñõîäèòñÿ.
ëàâà 17
Äîêàçàòåëüñòâî.
k=1
Îòñþäà ïî òåîðåìå èññàÔèøåðà ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä
∞
P
αk ek ñõî-
k=1
äèòñÿ â ñìûñëå íîðìû ïðîñòðàíñòâà F ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó S ∈
∈ F . Ïî òåîðåìå î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòà åâêëèäîâà
ïðîñòðàíñòâà ÷èñëà αk ÿâëÿþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôóðüå ýëåìåíòà
(S,ek )
k)
= αk = (e(f,e
S . Ñëåäîâàòåëüíî, ∀k ∈ N ֒→ (e
. Ïîýòîìó ∀k ∈
k ,ek )
k ,ek )
∈ N ֒→ (S − f, ek ) = 0.  ñèëó çàìêíóòîñòè ñèñòåìû {ek } ïîëó÷àåì,
∞
P
÷òî f − S = 0, à çíà÷èò, f = S =
αk ek . Òåì ñàìûì äîêàçàíî,
k=1
÷òî â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà F èç óñëîâèÿ (5 ) ñëåäóåò
óñëîâèå (3o ). Ïîýòîìó äëÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà F âñå óñëîâèÿ
(1o ) (5o ) ýêâèâàëåíòíû.
o
Çàìå÷àíèå. Çàìêíóòàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â íåïîëíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå F ìîæåò íå áûòü áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà F .
ÈÍÒÅ
PÀËÛ, ÇÀÂÈÑßÙÈÅ ÎÒ ÏÀPÀÌÅÒPÀ
1.
Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå
îò ïàðàìåòðà
Òåîpåìà 1. (Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.) Ïóñòü
íà ïpÿìîóãîëüíèêå Π = [a, b] × [y1 , y2 ] çàäàíà óíêöèÿ f (x, y). Ïóñòü
ïðè y → y0 ∈ [y1 , y2 ] óíêöèÿ f (x, y) ñòðåìèòñÿ ê óíêöèè f0 (x)
ðàâíîìåðíî ïî x ∈ [a, b], ò. å.
ïðè y → y0 .
sup |f (x, y) − f0 (x)| → 0
x∈[a,b]
Ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
Rb
a
ñòâóåò èíòåãðàë
Rb
(1)
f0 (x) dx è äëÿ ëþáîãî y ∈ [y1 , y2 ] ñóùå-
f (x, y) dx. Òîãäà
a
lim
y→y0
Zb
f (x, y) dx =
a
Zb
f0 (x) dx =
a
Zb lim f (x, y) dx.
y→y0
a
(2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀y ∈
∈ [y1 , y2 ] : |y −y0 | < δ ֒→ sup |f (x, y) − f0 (x)| ≤ ε. Ïîýòîìó ïðè |y −
x∈[a,b]
y0 | < δ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
ò. å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2).
Rb
a
f (x, y) dx −
Rb
a
f0 (x) dx ≤ ε(b − a),
Òåîpåìà 2. (Íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.) Ïóñòü
óíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà ïpÿìîóãîëüíèêå Π = [a, b] × [y1 , y2 ].
Rb
Òîãäà óíêöèÿ J(y) = f (x, y) dx íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [y1 , y2 ].
a
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà
êîìïàêòå Π, òî îíà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà Π, ò. å.
Äîêàçàòåëüñòâî.
140
141
|f (x′ , y ′ ) − f (x′′ , y ′′ )| → 0
sup
′
′
′′
′′
(x ,y )∈Π, (x ,y )∈Π
δ → 0.
ïðè
Òåîpåìà
√
=
Ñëåäîâàòåëüíî,
Rb
f (x, y) dx
sup |f (x, y) − f (x, y0 )| → 0
ïðè
x∈[a,b]
lim J(y) = lim
y→y0
y→y0
Zb
f (x, y) dx =
a
y → y0 .
′
∀y ∈ [y1 , y2 ] ֒→ J (y) =
J(y)
Zb
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó
f (x, y0 ) dx = J(y0 ),
f (x, t) = f (x, y1 ) +
a
íåïðåðûâíà â ëþáîé òî÷êå
∀x ∈ [a, b]
Ry2
J(t) =
f (x, y) dy
ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííûé èíòåãðàë
Rb
f (x, y) dx.
Ïóñòü
ïî ïpÿìîóãîëüíèêó
Π
Π = [a, b] × [y1 , y2 ]. Òîãäà
Zy2 Zb
Zb Zy2
f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.
a
a
(3)
f (x, y)
Π.
Zy2 Zb
ZZ
Zb Zy2
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.
2)  ÷àñòíîñòè, åñëè óíêöèÿ
Π,
a
Π
Zb
[y1 , y2 ]
J(y) =
è
a
∀t ∈ [y1 , y2 ] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Zb
f (x, y1 ) +
f (x, y1 ) dx +
a
Z
Zt
y1
t
y1
fy′ (x, y) dy dx =
Zb
a
fy′ (x, y) dx dy.
t = y,
ïîëó÷àåì òðåáóåìîå
[y1 , y2 ] çàäàíû íåïðåðûâíî äèψ(y) òàêèå, ÷òî ϕ(y) ≤ ψ(y) ∀y ∈
∈ [y1 , y2 ]. Ïóñòü â íåêîòîðîì îòêpûòîì ìíîæåñòâå G ⊂ R2 , ñîäåðæàùåì ìíîæåñòâî E = {(x, y) : y ∈ [y1 , y2 ], x ∈ [ϕ(y), ψ(y)]}, çàäàíà óíêöèÿ f (x, y), íåïðåðûâíàÿ âìåñòå ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé
ψ(y)
R
fy′ (x, y). Òîãäà óíêöèÿ J(y) =
f (x, y) dx äèåðåíöèðóåìà íà
Ñëåäñòâèå.
Ïóñòü íà îòðåçêå
y1
f (x, y) íåïðåðûâíà íà ïpÿìîóãîëüíèêå
ϕ(y)
è
ϕ(y)
îòðåçêå
′
[y1 , y2 ]
è äëÿ ëþáîãî
y ∈ [y1 , y2 ]
′
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
′
J (y) = f (ψ(y), y) ψ (y) − f (ϕ(y), y) ϕ (y) +
ψ(y)
Z
fy′ (x, y) dx.
ϕ(y)
òî óñëîâèÿ ïåðâîãî ïóíêòà òåîðåìû âûïîëíÿþòñÿ.
142
fy′ (x, y) dx.
òî, ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ,
åðåíöèðóåìûå óíêöèè
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Â ñèëó òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòå-
a
íåïðåðûâ-
Òîãäà óíêöèÿ
óòâåðæäåíèå.
ãðàëà ê ïîâòîðíîìó ïîëó÷àåì
y1
Zb
Äèåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â òî÷êå
y1
2)  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî (3) ñïðàâåäëèâî, åñëè óíêöèÿ
íåïðåðûâíà íà ïpÿìîóãîëüíèêå
=
a
f (x, y) dx dy
fy′ (x, y) dy ,
a
y1
ñóùåñòâóåò êðàòíûé èíòåãðàë
y1
fy′ (x, y)
â ñèëó òåîðåìû 3 ïîëó÷àåì
y0 ∈ [y1 , y2 ].
ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííûé èíòåãðàë
RR
Rt
y1
Òåîpåìà 3. (Èíòåãðèðîâàíèå èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.)
∀y ∈ [y1 , y2 ]
Π = [a, b] × [y1 , y2 ].
äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå
 ñèëó òåîðåìû 1
è
è åå ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ
a
∀y0 ∈ [y1 , y2 ] ֒→
1) Ïóñòü
f (x, y)
íû íà ïpÿìîóãîëüíèêå
(x′ −x′′ )2 +(y ′ −y ′′ )2 ≤δ
ò. å. óíêöèÿ
(Äèåðåíöèðîâàíèå èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.)
4.
Ïóñòü óíêöèÿ
143
àññìîòðèì
Äîêàçàòåëüñòâî.
=
Rψ
ϕ
óíêöèþ
Φ(y, ϕ, ψ)
f (x, y) dx. Ïî îðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà Φ′ψ (y, ϕ, ψ)
=
=
= f (ψ, y), Φ′ϕ (y, ϕ, ψ) = −f (ϕ, y). Â ñèëó òåîðåìû 4 èìååì
Rψ ′
Φ′y (y, ϕ, ψ) =
fy (x, y) dx. Äèåðåíöèðóÿ ñëîæíóþ óíêϕ
J ′ (y) = Φ′y (y, ϕ(y), ψ(y)) +
öèþ J(y) = Φ(y, ϕ(y), ψ(y)):
′
′
′
+ Φϕ (y, ϕ(y), ψ(y)) ϕ (y) + Φψ (y, ϕ(y), ψ(y)) ψ ′ (y), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
2.
àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ
èíòåãðàëîâ
Rb
Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x, y) dx ñ îñîáåííîa
S
ñòüþ â òî÷êå b ∈ R {+∞} íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ðàâíîìåðíî íà
ìíîæåñòâå Y , åñëè
1) äëÿ ëþáîãî èêñèðîâàííîãî y ∈ Y ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, ò.å.
ñóùåñòâóåò
Îïpåäåëåíèå.
Zb
f (x, y) dx := ′ lim
b →b−0
a
è
′
2)
Rb
a
f (x, y) dx −→
−→
y∈Y
sup
y∈Y
Zb
b′
Rb
a
a
a
ãðàë
Rb
f (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y .
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, íå çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èêñèðîRb
âàííîì y ∈ Y èíòåãðàë f (x, y) dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Èíòåãðèðóÿ
a
íåðàâåíñòâî |f (x, y)| ≤ g(x), ïîëó÷àåì
sup
y∈Y
Zb
b′
f (x, y) dx ≤ sup
y∈Y
Èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
Rb
y∈Y b′
f (x, y) dx ∈ R
f (x, y) dx ïðè b′ → b − 0, ò.å.
Rb
Zb
b′
|f (x, y)| dx ≤
g(x) dx ñëåäóåò, ÷òî
Zb
g(x) dx.
b′
Rb
b′
a
b′ → b − 0. Ïîýòîìó sup
′
Zb
Rb
(Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà.) Ïóñòü f (x, y) dx èíòåa
S
ãðàë ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b ∈ R {+∞}. Ïóñòü ∀x ∈ [a, b) ∀y ∈
Rb
∈ Y ֒→ |f (x, y)| ≤ g(x), è èíòåãðàë g(x) dx ñõîäèòñÿ. Òîãäà èíòåÒåîpåìà 1.
g(x) dx → 0 ïðè
f (x, y) dx → 0 ïðè b′ → b − 0.
Òåîpåìà 2. (Ïðèçíàê Äèðèõëå.) Ïóñòü íà ìíîæåñòâå [a, b) × Y
çàäàíû óíêöèè f (x, y) è g(x, y) òàêèå, ÷òî ïðè ëþáîì èêñèðîâàííîì y ∈ Y óíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà, à óíêöèÿ g(x, y) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà ïî x íà ìíîæåñòâå [a, b). Ïóñòü
Rx
1) ïåðâîîáðàçíàÿ F (x, y) = f (t, y) dt ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà:
a
f (x, y) dx → 0
ïðè b′ → b − 0.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ñ
îñîáåííîñòüþ íà ëåâîì êîíöå ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ.
∃C ∈ R :
∀x ∈ [a, b) ∀y ∈ Y ֒→ |F (x, y)| ≤ C;
2) ïðè ëþáîì y ∈ Y óíêöèÿ g(x, y) ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé
îòíîñèòåëüíî x, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî x0 , íå çàâèñÿùåãî îò y :
∃x0 ∈ [a, b) :
∀x ∈ [x0 , b) ∀y ∈ Y ֒→ gx′ (x, y) ≤ 0;
3) ïðè x → b óíêöèÿ g(x, y) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ðàâíîìåðíî ïî
y ∈Y:
sup |g(x, y)| → 0 ïðè x → b − 0.
y∈Y
144
145
Rb
Òîãäà èíòåãðàë f (x, y) g(x, y) dx ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b ∈
a
S
∈ R {+∞} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y .
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, íå çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èêRb
ñèðîâàííîì y ∈ Y èíòåãðàë f (x, y) g(x, y) dx ñõîäèòñÿ. Èíòåãðèðóÿ
a
ïî ÷àñòÿì, äëÿ ëþáûõ b ∈ [a, b), y ∈ Y ïîëó÷àåì
Zb
Zb
x→b
f (x, y) g(x, y) dx = F (x, y) g(x, y)
− F (x, y) gx′ (x, y) dx.
′
x=b′
b′
b′
Èç
f (x, y) g(x, y) dx = −F (b′ , y) g(b′ , y) −
íåðàâåíñòâà gx′ (x, y)
′
y∈Y
Äîêàçàòåëüñòâî.
b′
sup
b′
(1)
b1
f (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâ-
′
′
∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) : ∀b1 ∈ [b , b) ֒→ sup
Zb
f (x, y) dx ≤
ε
.
2
b1
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáûõ b1 , b2 ∈ [b′ , b)
F (x, y) gx′ (x, y) dx.
sup
b′
y∈Y
Zb2
f (x, y) dx = sup
y∈Y
b1
Zb
f (x, y) dx −
Zb
f (x, y) dx ≤
b2
b1
x→b
Zb
gx′ (x, y) dx =
b′
= 2C g(b′ , y) = 2C |g(b′ , y)|.
Ñëåäîâàòåëüíî,
y∈Y
f (x, y) dx ≤ ε.
íîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
≤ 0 ïðè x ∈ [x0 , b) è óñëîâèÿ lim g(x, y) = 0
f (x, y) g(x, y) dx ≤ C g(b′ , y) − C
Zb
Rb
Zb2
a
ñëåäóåò, ÷òî g(b , y) ≥ 0 äëÿ ëþáûõ b′ ∈ [x0 , b), y ∈ Y . Îòñþäà è èç
íåðàâåíñòâà |F (x, y)| ≤ C ïîëó÷àåì
Zb
1) Ïóñòü èíòåãðàë
y∈Y
x→b
Zb
′
∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) : ∀b1 , b2 ∈ [b , b) ֒→ sup
b′
Ïîñêîëüêó ∀y ∈ Y ֒→ lim F (x, y) g(x, y) = 0, òî
Zb
′
≤ sup
y∈Y
Zb
f (x, y) dx + sup
y∈Y
b1
Zb
f (x, y) dx ≤
ε ε
+ = ε,
2 2
b2
ò. å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (1).
2) Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (1). Â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, íå çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ïðè
Rb
êàæäîì èêñèðîâàííîì y ∈ Y èíòåãðàë f (x, y) dx ñõîäèòñÿ. Ïåðåa
f (x, y) dx ≤ 2C sup |g(b′ , y)| → 0 ïðè
y∈Y
b′ → b − 0.
õîäÿ ê ïðåäåëó ïðè b2 → b − 0 â óñëîâèè (1), ïîëó÷àåì
′
′
∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) : ∀b1 ∈ [b , b) ֒→ sup
y∈Y
Rb
Zb
f (x, y) dx ≤ ε,
b1
(Êðèòåðèé Êîøè.) Ïóñòü f (x, y) dx èíòåãðàë ñ
a
S
îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b ∈ R {+∞}. Òîãäà äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë
Rb
f (x, y) dx ñõîäèëñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , íåîáõîäèìî è äî-
Çàìå÷àíèå. Êðèòåðèé Êîøè óäîáíîãî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íå ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî
146
147
Òåîpåìà 3.
a
ñòàòî÷íî, ÷òîáû
ò. å.
sup
Rb
y∈Y b′
f (x, y) dx → 0 ïðè b′ → b − 0.
íà ìíîæåñòâå
Y.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
+
îòðèöàíèå ê óñëîâèþ (1), ò. å.
Zb2
∃ε > 0 : ∀b′ ∈ [a, b) ∃b1 , b2 ∈ [b′ , b) ∃y ∈ Y :
îò ïàðàìåòðà
óíêöèÿ
∈R
f (x, y)
S
{+∞}) è
[y1 , y2 ].
(Íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.) Ïóñòü
íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå
èíòåãðàë
Rb
[a, b) × [y1 , y2 ]
(ãäå
Òîãäà óíêöèÿ
f (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
J(y) =
f (x, y) dx
íåïðåðûâíà íà
[y1 , y2 ].
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå
> 0.
Rb
Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
y0 ∈ [y1 , y2 ] è ε >
f (x, y) dx
Zb
f (x, y) dx <
èíòåãðàë
Rb
[a, b) × [y1 , y2 ]
(ãäå
b ∈
f (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
a
a
a
y1
′
′
Zy2 Zb
Zb Zy2
f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.
ñëåäóåò, ÷òî
y1
ε
.
4
íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå îá èíòåãðèðîâàíèè ñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó äëÿ ëþáîãî b′ ∈ [a, b) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
a
∃b′ ∈ [a, b) : ∀y ∈ [y1 , y2 ] ֒→
y → y0 .
ïðè
Òîãäà
y1
a
ε ε ε
+ + = ε,
2 4 4
Zy2 Zb
Zb Zy2
f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.
b ∈
a
Rb
f (x, y)
S
∈ R {+∞}) è
[y1 , y2 ].
f (x, y0 ) dx <
(Èíòåãðèðîâàíèå èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.) Ïóñòü
Òåîpåìà 2.
óíêöèÿ
Zb
b′
J(y) → J(y0 )
ò. å.
f (x, y) dx > ε.
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå
Òåîpåìà 1.
f (x, y) dx +
b′
b1
3.
Zb
a
a
(1)
y1
′
àññìîòðèì óíêöèþ
b′
Rb
F (b′ , y) =
f (x, y) dx.
àâíîìåðíàÿ ñõî-
a
′
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
Rb
f (x, y) dx
ïî ïàðà-
a
ìåòðó (òåîðåìà 2 1)
′
∃δ > 0 : ∀y ∈ [y1 , y2 ] : |y − y0 | < δ ֒→
Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî
íåðàâåíñòâî
y ∈ [y1 , y2 ]
|J(y) − J(y0 )| ≤
Zb
a
′
F (b , y)
Zb
a
ε
f (x, y0 ) dx < .
2
|y − y0 | < δ ,
òàêîãî, ÷òî
a
f (x, y) dx −
a
ñòðåìèòñÿ ê óíêöèè
lim
′
b →b
ñïðàâåäëèâî
′
Zb
f (x, y) dx
îçíà÷àåò, ÷òî ïðè
a
F (b, y)
ðàâíîìåðíî ïî
f (x, y0 ) dx +
Zy2
y1
′
F (b , y) dy =
Zy2 óíêöèÿ
y ∈ [y1 , y2 ].
y1
′
lim
F
(b
,
y)
dy,
′
b →b
′
Zy2 Zb
Zy2 Zb
f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy.
lim
′
b →b
y1
a
y1
Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî
148
b′ → b
ãî èíòåãðàëà ïîëó÷àåì
ò. å.
′
Zb
Rb
Îò-
ñþäà â ñèëó òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì ñîáñòâåííî-
′
f (x, y) dx −
äèìîñòü èíòåãðàëà
149
a
Zb
a
Zy2
y1
′
f (x, y) dy dx = lim
′
b →b
Zb
Zy2
y1
a
åøåíèå. àññìîòðèì èíòåãðàë
f (x, y) dy dx =
Zy2 Zb′
Zy2 Zb
f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy.
= lim
′
b →b
Òåîpåìà
y1
a
y1
a
D(y) =
(ãäå
D′ (y) = −
f (x, y) è fy′ (x, y) íåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå [a, b) ×
Rb
S
b ∈ R {+∞}), èíòåãðàë fy′ (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíî-
òåãðàë
Rb
= −Im
a
ìåðíî íà îòðåçêå
[y1 , y2 ]
f (x, y0 ) dx.
y0 ∈ [y1 , y2 ] ñõîäèòñÿ èíRb
J(y) = f (x, y) dx äèåðåíöè-
è ïðè íåêîòîðîì
Òîãäà óíêöèÿ
ðóåìà íà îòðåçêå
[y1 , y2 ]
è
Zb
∀y ∈ [y1 , y2 ] ֒→ J ′ (y) =
Äîêàçàòåëüñòâî.
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
f (x, t) = f (x, y0 ) +
y0
J(t) =
f (x, y0 ) dx +
a
=
Zb
a
f (x, y0 ) dx +
a
Zb
Zt
fy′ (x, y) dy ,
y0
y0
Zb
a
fy′ (x, y) dx dy.
Äèåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â òî÷êå
t = y,
ïîëó÷èì òðåáóåìîå
óòâåðæäåíèå.
Ïpèìåp. Âû÷èñëèòü
= Im
x=0
1
−y − i
1
= Im 2
=− 2
.
−y + i
y +1
y +1
(
e−yx
1,
sin x
,
x
x > 0,
x = 0.
+∞
+∞
Z
Z
′
sin x e−yx dx.
Fy (x, y) dx = −
D (y) =
′
0
0
òî â ñèëó
t
Z
fy′ (x, y) dy dx =
x→+∞
F (x, y) =
x ∈ [a, b], t ∈ [y1 , y2 ]
òåîðåìû îá èíòåãðèðîâàíèè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó
Zb
0
0
Îáîçíà÷èì
a
Rt
ïîëó÷èì
Îáîñíóåì ðàâåíñòâî
fy′ (x, y) dx.
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ
y ≥ 0.
+∞
+∞
Z
Z
e(−y+i)x dx =
sin x e−yx dx = −Im
e(−y+i)x
−y + i
a
a
y > 0,
Ôîðìàëüíî äèåðåíöèðóÿ ïðè
Ïóñòü óíêöèè
× [y1 , y2 ]
sin x −yx
e
dx,
x
0
(Äèåðåíöèðîâàíèå èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.)
3.
+∞
Z
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà y1 , y2 òàêèå, ÷òî 0 < y1 <
< y2 . Ïîñêîëüêó ïðè y ∈ [y1 , y2 ] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |Fy′ (x, y)| =
+∞
R −y x
e 1 dx ñõîäèòñÿ, òî èíòåãðàë
= | sin x e−yx | ≤ e−y1 x , à èíòåãðàë
0
+∞
R
0
Fy′ (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
Âåéåðøòðàññà. Ïîñêîëüêó
|F (x, y)| ≤ e−yx , òî èíòåãðàë
ñõîäèòñÿ. Êðîìå òîãî, óíêöèè
ìíîæåñòâå
[y1 , y2 ]
[0, +∞) × [y1 , y2 ].
F (x, y)
è
Fy′ (x, y)
ïî ïðèçíàêó
+∞
R
íåïðåðûâíû íà
Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû î äèå-
ðåíöèðîâàíèè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó
èíòåãðàë Äèðèõëå
150
+∞
R
0
sin x
x
dx.
=
+∞
R
0
Fy′ (x, y) dx = − y21+1 .
F (x, y) dx
0
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
151
0 < y1 < y2
D′ (y) =
D(y2 ) − D(y1 ) = −
Ïîñêîëüêó
|D(y)| ≤
lim D(y2 ) = 0.
y2 →+∞
+∞
R
Zy2
y1
e−yx dx =
0
y1 →+0
1
y
→ 0
ïðè
Îòñþäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè
0 − lim D(y1 ) =
→ +0 â ðàâåíñòâå (2), ïîëó÷àåì
− lim arctg y1 =
Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äèðèõëå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîá-
dy
= −arctg y2 + arctg y1 .
y2 + 1
y1 →+0
− π2 , ò. å.
(2)
y → +∞,
òî
y2 → +∞, y1 →
lim arctg y2 −
y2 →+∞
y→+0
π
.
2
g(x) = sin x
è
1
+∞
R
0
lim D(y) =
−yx
h(x, y) = e x íåïðåðûâíû ïðè x ∈ [1, +∞), ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè g(x) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, à óíêöèÿ h(x, y) ïðè x → +∞ ñòðåìèòñÿ ê íó1
ëþ ìîíîòîííî è ðàâíîìåðíî ïî y : h′x (x, y) < 0 è |h(x, y)| ≤ x →
→ 0 ïðè x → +∞.  ñèëó ïðèçíàêà Äèðèõëå ïîëó÷àåì ðàâíîìåð+∞
R sin x −yx
íóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
dx, à çíà÷èò, è èíòåãðàëà
x e
ñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ôóíêöèè
sin x
x
e−yx dx
ïî ïàðàìåòðó
Èòàê, äëÿ èíòåãðàëà
y ∈ [0, +∞).
+∞
R
D(y) =
F (x, y) dx âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëî-
0
âèÿ òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó. Ïðèìåíåíèå
Îñòàëîñü äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü óíêöèè
D(y) â òî÷êå y = 0 ñïðà-
ýòîé òåîðåìû çàâåðøàåò îáîñíîâàíèå îðìóëû (3).
π
âà. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî èíòåãðàë Äèðèõëå ðàâåí 2 :
+∞
Z
4.
sin x
π
dx = D(0) = lim D(y) = .
y→+0
x
2
(3)
Ýéëåðîâû èíòåãðàëû
Îïpåäåëåíèå. Èíòåãðàë
0
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå
δ > 0.
+∞
Z
Γ(p) =
xp−1 e−x dx
 ñèëó òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè
íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà
íî ïðîâåðèòü, ÷òî
F (x, y) dx
íà îòðåçêå
[0, δ]
äîñòàòî÷-
0
Âûïîëíåíèå ïåðâîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðå-
F (x, y). Ïðîâåðèì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü
+∞
R sin x −yx
F (x, y) dx =
dx. Ïîñêîëüêó ïðè x ∈ [0, 1]
x e
äåëåíèÿ óíêöèè
ãðàëà
+∞
R
0
0
íàçûâàåòñÿ ãàììà-óíêöèåé Ýéëåðà, à èíòåãðàë
0
F (x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå [0, +∞) × [0, δ] è
+∞
R
F (x, y) dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0, δ].
èíòåãðàë
1) óíêöèÿ
2)
D(y) =
+∞
R
èíòåñïðà-
0
sin x
âåäëèâî íåðàâåíñòâî e−yx x
≤ 1, òî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èí+∞
R sin x −yx
òåãðàëà
dx ýêâèâàëåíòíà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåx e
0
+∞
R sin x −yx
ãðàëà
dx.
x e
1
152
B(p, q) =
Z1
0
xp−1 (1 − x)q−1 dx
íàçûâàåòñÿ áåòà-óíêöèåé Ýéëåðà.
x → +0 èìååò ìåñòî ýêâèâàëåíòíîñòü xp−1 e−x ∼
R1 p−1 −x
èíòåãðàë
x
e dx ñõîäèòñÿ ïðè p > 0. Òàê êàê ïðè
Ïîñêîëüêó ïðè
∼ xp−1 ,
òî
0
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
èíòåãðàë
+∞
R
x
e−x/2 dx
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
ñõîäèòñÿ, òî èíòåãðàë
1
ñÿ ïðè ëþáûõ
ïðè
p.
Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë
+∞
R
1
+∞
R
0
p > 0.
153
xp−1 e−x ≤ e−x/2 ,
xp−1 e−x dx
xp−1 e−x dx
à
ñõîäèò-
ñõîäèòñÿ
x → +0: xp−1 (1 − x)q−1 ∼ xp−1 , à ïðè x → 1 − 0:
R1
∼ (1 − x)q−1 , òî èíòåãðàë xp−1 (1 − x)q−1 dx ñõîäèòñÿ
Òàê êàê ïðè
xp−1 (1 − x)q−1
ïðè
0
p > 0, q > 0.
∀p > 0.
+∞
+∞
Z
Z
p −x
xp de−x =
x e dx = −
Γ(p + 1) =
0
x→+∞
= −xp e−x
Ïîñêîëüêó
ïîëó÷àåì
x=0
Γ(1) =
+∞
Z
p xp−1 e−x dx = p Γ(p).
+
0
+∞
R
e−x dx = 1,
Òî÷íåå, áóäåò äîêàçàíà òåîðåìà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî åñëè óíêöèÿ
f (x)
ñòàâèòü êàê èíòåãðàë Ôópüå.
Íàïîìíèì, ÷òî óíêöèÿ
åìîé íà
(−∞, +∞),
Ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ýéëåðîâûõ èíÑâîéñòâî 2. Áåòà-óíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ãàììà-óíêöèþ
ïî îðìóëå
∀p > 0,
q > 0.
åñëè èíòåãðàë èìàíà
π
sin πp
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü óíêöèÿ
(−∞, +∞). Èíòåãðàëîì Ôópüå
f (x) dx
èìååò ëèøü
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
f (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë
óíêöèè
+∞
Z
(a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx) dω,
If (x) =
(1)
ãäå
1
a(ω) =
π
+∞
Z
f (t) cos ωt dt,
1
b(ω) =
π
−∞
+∞
Z
f (t) sin ωt dt.
f (x)
(2)
−∞
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé íà
óíêöèè
(−∞, +∞)
èíòåãðàëû (2) ñõîäÿòñÿ. Äàëåå ìû áóäåì èññëåäîâàòü
ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà Ôópüå (1).
a(ω), b(ω) èç îðìóëû (2) â îðìóëó
(1), ïîëó÷èì çàïèñü èíòåãðàëà Ôópüå â ñëåäóþùåì âèäå:
∀p ∈ (0, 1).
1
If (x) =
π
+∞
+∞ Z
Z
f (t) cos ω(x − t) dt dω.
0
Òåîpåìà 1.
−∞
Ïóñòü óíêöèÿ
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
(a, b) (ãäå −∞ ≤ a < b ≤ +∞),
êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå
154
+∞
R
êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáåííîñòåé è ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ
Ñâîéñòâî 3. Ôîðìóëà äîïîëíåíèÿ
Γ(p) Γ(1 − p) =
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðó-
0
∀n ∈ N.
òåãðàëîâ.
Γ(p) Γ(q)
Γ(p + q)
f (x)
−∞
òî â ñèëó îðìóëû ïîíèæåíèÿ
Γ(n) = (n − 1)!
(−∞, +∞), à óíêöèè f (x) è f ′ (x)
(−∞, +∞), òî óíêöèþ f (x) ìîæíî ïðåä-
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
0
B(p, q) =
f (x)
íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó pÿäà Ôópüå íà âñåé ÷èñëîâîé ïpÿìîé.
êóñî÷íî-íåïðåðûâíû íà
èìååì
0
Ïîñêîëüêó ñóììà pÿäà Ôópüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé, òî íåïåðèîäè÷åñêóþ óíêöèþ
âèìû èíòåãðàëîì Ôópüå, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì pÿäà Ôópüå.
Γ(p + 1) = p Γ(p)
p>0
Èíòåãðàë Ôópüå
Äàëåå ìû óâèäèì, ÷òî ìíîãèå íåïåðèîäè÷åñêèå óíêöèè ïðåäñòà-
Ñâîéñòâî 1. Ôîðìóëà ïîíèæåíèÿ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè
5.
155
à óíêöèÿ
× [c, d].
ϕ(x, y)
íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå
Òîãäà
Zb
a
d
Z
Zd Zb
f (x) ϕ(x, y) dy dx = f (x) ϕ(x, y) dx dy.
c
c
f (x) dx
a
èìååò îäíó îñîáåííîñòü â òî÷êå
a
ãäà äëÿ ëþáîãî
(3)
b
(ïðè ýòîì
a ∈ R).
F (b, y)
a
Zd
c
b′ ∈ (a, b) óíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà â ñîáñòâåí[a, b′ ]. Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ f (x) ϕ(x, y)
ñìûñëå êðàòíîãî èíòåãðàëà íà ïpÿìîóãîëüíèêå Π =
f (x) ϕ(x, y) dy dx =
Zd
c
àññìîòðèì óíêöèþ
ZZ
f (x) ϕ(x, y) dx dy =
Π
′
Zb
a
(4)
f (x) ϕ(x, y) dx dy.
lim
F (b′ , y) =
C =
sup
x∈(a,b), y∈[c,d]
ϕ(x, y)
f (x) ϕ(x, y) dx.
c
F (b, y) dy.
(6)
c
Èç îðìóë (4), (5), (6) ïîëó÷àåì
Zb
= lim
′
Zd
b →b
f (x) ϕ(x, y) dy dx = lim
′
c
Zd
c
′
′
Zb
a
b →b
f (x) ϕ(x, y) dx dy
Rb
Zb
a
Zd
c
=
c
f (x) dx
(4)
f (x) ϕ(x, y) dy dx
Zd
(5),(6)
Zb
a
=
f (x) ϕ(x, y) dx dy.
èìååò îñîáåííîñòü ëèøü â
òî÷êå
Rb
a,
ðàâåíñòâî (3) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Åñëè èíòåãðàë
f (x) dx èìååò áîëåå îäíîé îñîáåííîñòè, òî ðàçîáúåì èíòåðâàë (a, b)
(5)
íà êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ (ai , bi ) òàê, ÷òîáû èíòåãðàëû
Rbi
f (x) dx
ai
èìåëè ïî îäíîé îñîáåííîñòè, ïðè÷åì íà êîíöå èíòåðâàëà. Ñëîæèâ ðà-
|ϕ(x, y)|.
Èç îãðàíè÷åííîñòè óíêöèè
(a, b) × [c, d] ñëåäóåò, ÷òî C ∈ R. Èç àáñîëþòíîé
óíêöèè f (x) íà (a, b) ñëåäóåò, ÷òî
sup |F (b, y) − F (b′ , y)| = sup
y∈[c,d]
F (b , y) dy =
a
íà ìíîæåñòâå
èíòåãðèðóåìîñòè
Zd
′
a
a
Îáîçíà÷èì
Zd
 ñëó÷àå, êîãäà èíòåãðàë
′
Zb
b′ → b.
b′ → b óíêöèÿ F (b′ , y) ñòðåìèòñÿ ê óíêöèè
ïî y ∈ [c, d]. Ïî òåîðåìå î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå
b′ →b
a
=
ðàâíîìåðíî
Òî-
âòîðíîìó ïîëó÷àåì
ïðè
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
= [a, b′ ] × [c, d] (êàê ïðîèçâåäåíèå îãðàíè÷åííûõ èíòåãðèðóåìûõ íà
Π óíêöèé). Â ñèëó òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîZb′
b′
|f (x)| dx → 0
ïîä çíàêîì ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (òåîðåìà 1, 1) èìååì
íîì ñìûñëå íà îòðåçêå
èíòåãðèðóåìà â
≤C
Zb
àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà èíòåãðàë
Äîêàçàòåëüñòâî.
Rb
(a, b) ×
y∈[c,d]
Zb
b′
âåíñòâà
Zbi
ai
f (x) ϕ(x, y) dx ≤
d
Z
Zd Zbi
f (x) ϕ(x, y) dy dx = f (x) ϕ(x, y) dx dy,
c
c
ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (3).
Òåîpåìà 2.
(Îá èíòåãðàëå Ôóðüå.) Ïóñòü óíêöèÿ
ëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
156
ai
(−∞, +∞).
157
Ïóñòü â òî÷êå
x0
f (x)
àáñî-
ñóùåñòâóþò
f (x0 + 0), f (x0 − 0) è êîíå÷íûå
′
′
f+
(x0 ), f−
(x0 ). Òîãäà èíòåãðàë Ôópüå
òî÷êå x0 ê ÷èñëó 1
2 (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)):
êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû
Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ, â ñèëó òåîðåìû 1 ïîëó÷àåì
îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå
óíêöèè
f (x)
ñõîäèòñÿ â
If (x0 ) =
1
J(λ) =
π
1
(f (x0 + 0) + f (x0 − 0)).
2
J(λ) =
1
π
0
Òàê êàê
1
=
π
+∞
Z
f (t) cos ω(x0 − t) dt dω.
Èñïîëüçóÿ èíòåãðàë Äèðèõëå
−∞
Ïðîèçâîäÿ çàìåíó ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
=
f (t) cos ω(t − x0 ) dt =
u = t − x0 ,
èìååì
sin t
t
dt =
ïðè
0
π
2 , ïîëó÷àåì
(8)
λ → +∞
(9)
è
+∞
Z
sin λu
du → 0
(f (x0 − u) − f (x0 − 0))
u
−∞
+∞
Z
f (x0 + u) cos ωu du =
0
ïðè
λ → +∞.
(10)
Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (8) áóäåò ñëåäîâàòü òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (7).
Ïðåäñòàâèì èíòåãðàë èç ñîîòíîøåíèÿ (9) â âèäå ñóììû òðåõ èí-
0
òåãðàëîâ:
+∞
Z
(f (x0 + u) + f (x0 − u)) cos ωu du.
Ñëåäîâàòåëüíî,
+∞
Z1
Z
f (x0 +u) − f (x0 +0)
sin λu
du =
sin λu du+
(f (x0 +u)−f (x0 +0))
u
u
0
0
+∞
Zλ Z
1
(f (x0 + u) + f (x0 − u)) cos ωu du dω.
J(λ) =
π
0
0
+∞
Z
sin λu
(f (x0 + u) − f (x0 + 0))
du → 0
u
f (x0 + u) cos ωu du =
−∞
0
+∞
R
0
(7)
+∞
Z
f (x0 + u) cos ωu du +
=
du =
Ïîêàæåì, ÷òî
1
lim J(λ) = (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)).
λ→+∞
2
Z0
sin λu
u
1
J(λ) − (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)) =
2
!
+∞
Z
sin λu
1
f (x0 +u)+f (x0 −u)−f (x0 +0)−f (x0 −0)
du.
=
π
u
òî òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
−∞
+∞
R
0
−∞
+∞
Z
+∞
Z
sin λu
(f (x0 + u) + f (x0 − u))
du.
u
0
+∞
+∞ Z
Z
1
f (t) cos ω(x0 − t) dt dω = lim J(λ),
If (x0 ) =
λ→+∞
π
0
0
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì
Zλ
+∞ Zλ
Z
cos ωu dω (f (x0 + u) + f (x0 − u)) du =
0
158
+
+∞
Z
1
f (x0 + u)
sin λu du − f (x0 + 0)
u
159
+∞
Z
1
sin λu
du.
u
+∞
ZA
Z
v. p.
f (x) dx.
f (x) dx = lim
Èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f (x) íà (−∞, +∞) è ñó(x0 +0)
′
ùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà lim f (x0 +u)−f
= f+
(x0 ) ñëåu
u→+0
Z1
0
Çàìåòèì,
f (x0 + u) − f (x0 + 0)
sin λu du → 0 ïðè
u
λ → +∞.
(11)
Èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f (x) íà (−∞, +∞) è íåðàâåíñòâà f (x0t +t) ≤ |f (x0 + t)| ∀t ≥ 1 ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü óíêöèè
äàåò ñîîòíîøåíèå
+∞
Z
1
f (x0 +t)
t
íà (1, +∞), ÷òî â ñèëó òåîðåìû èìàíà
f (x0 + u)
sin λu du → 0
u
Èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà Äèðèõëå
+∞
R
0
+∞
Z
sin λu
du
u
1
t=λu
=
+∞
Z
ïðè λ → +∞.
sin t
t
sin t
dt → 0
t
(12)
(13)
λ
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà R è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b] ⊂ R. Èíòåãðàëîì â ñìûñ+∞
R
ëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ v. p.
f (x) dx íàçûâàåòñÿ ïðåäåë èíòåãðàÎïpåäåëåíèå.
ëîâ
RA
−A
−∞
f (x) dx ïðè A → +∞:
160
÷òî
åñëè
ñóùåñòâóåò
+∞
R
ñóùåñòâóåò è ðàâåí èíòåãðàëó
èíòåãðàëà v. p.
+∞
R
−∞
+∞
R
íåñîáñòâåííûé
f (x) dx, òî èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ v. p.
−∞
+∞
R
èíòåãðàë
+∞
R
f (x) dx
−∞
f (x) dx. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ
−∞
f (x) dx íå ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà
−∞
f (x) dx. Íàïðèìåð, v. p.
+∞
R
x dx = 0, íî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
−∞
x dx ðàñõîäèòñÿ.
−∞
ñëåäîâàòåëüíî, v. p.
Èç îðìóë (11) (13) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå (9). Ñîîòíîøåíèå (10)
äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Èç ðàâåíñòâ (8) (10) ñëåäóåò òðåáóåìîå
ðàâåíñòâî (7).
6.
+∞
R
Åñëè óíêöèÿ f (x) íå÷åòíà è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì
RA
îòðåçêå [a, b] ⊂ R, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà A > 0 èìååì
f (x) dx = 0,
dt ñëåäóåò, ÷òî
ïðè λ → +∞.
A→+∞
−A
−∞
(x0 +0)
íà îòðåçäóåò àáñîëþòíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü óíêöèè f (x0 +u)−f
u
êå [0, 1]. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû èìàíà îá îñöèëëÿöèè
+∞
R
−A
f (x) dx = 0.
−∞
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà R è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b] ⊂ R.
Ïðåîáðàçîâàíèåì Ôópüå óíêöèè f (x) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ F [f ](y),
îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
1
v. p.
F [f ](y) = √
2π
+∞
Z
f (x) e−ixy dx.
(1)
−∞
Îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôópüå óíêöèè f (x) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ F −1 [f ](y), îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
1
v. p.
F −1 [f ](y) = √
2π
161
+∞
Z
f (x) eixy dx.
−∞
(2)
y ∈ R íå ñóùåñòâóåò èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ, çàïèñàííûé â îðìóëå (1) èëè (2), òî â ýòîé òî÷êå F [f ](y) èëè
F −1 [f ](y) ñîîòâåòñòâåííî íå ñóùåñòâóåò.
Åñëè â òî÷êå
ε ε
|g(y1 ) − g(y2 )| ≤ + +
4 4
R, òî, ïîñêîëüêó |f (x) e
+∞
R
f (x) e±ixy dx ñõîäÿòñÿ
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
| = |f (x)|, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
ε
≤ +
2
ZA
ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà. Â ýòîì ñëó-
−A
÷àå èíòåãðàëû â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ â îðìóëàõ (1), (2) ñó-
Îïðåäåëèâ ÷èñëî δ
−∞
ùåñòâóþò è ñîâïàäàþò ñ îáû÷íûìè íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè.
ëþáûõ
Òåîpåìà 1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé íà
R
óíêöèè åñòü óíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ.
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óíêöèÿ
íà
R.
Òîãäà
+∞
Z
1
v. p.
f (x) e−ixy dx =
F [f ](y) = √
2π
−∞
+∞
+∞
Z
Z
1
=√
f (x) cos xy dx + i
f (x) sin xy dx .
2π
−∞
Ïîñêîëüêó èíòåãðàë
+∞
R
−∞
g(y) =
+∞
R
֒→ g(y) −
−A
f (x) cos xy dx.
+∞
Z
ε
|f (x)| dx+
|f (x)| dx ≤ .
4
A
2
2
sin t1 +t
cos t1 − cos t2 = −2 sin t1 −t
2
2
|t1 −t2 |
| cos t1 − cos t2 | ≤ 2 sin 2 ≤ |t1 − t2 |, ïîýòîìó
Èç îðìóëû
162
ε
2 , ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
Íåïðåðûâíîñòü óíêöèè
(3)
A
−∞
|y2 − y1 | < δ ,
g(y) =
+∞
R
+∞
R
f (x) cos xy dx
−∞
f (x) sin xy dx
äîêà-
f (x).
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôópüå óíêöèè
+∞
Z−A
Z
f (x) cos xy dx =
f (x) cos xy dx + f (x) cos xy dx ≤
≤
−A
|f (x)| dx <
íåïðåðûâíà íà
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà
h
i
h
i
F −1 F [f ] (x) = F F −1 [f ] (x) = If (x) ∀x ∈ R.
Òåîpåìà 2. Åñëè óíêöèÿ
òî
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ
ðóåìà íà
F
Z−A
RA
Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ
ñõîäèòñÿ, òî
−∞
> 0 òàê, ÷òî Aδ
çûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.  ñèëó îðìóëû (3) ïîëó÷àåì íåïðåðûâíîñòü
∀ε > 0 ∃A > 0 : ∀y ∈ R ֒→
ZA
|f (x)| dx.
−A
òàêèõ, ÷òî
R.
ZA
−∞
−∞
|f (x)| dx
y1 , y2 ∈ R
ε
|f (x)| |xy2 − xy1 | dx ≤ + A |y2 − y1 |
2
|g(y2 ) − g(y1 )| < ε.
−∞
Ïîêàæåì íåïðåðûâíîñòü óíêöèè
f (x) (cos xy1 − cos xy2 ) dx ≤
−A
Çàìåòèì, ÷òî åñëè óíêöèÿ
±ixy
ZA
ñëåäóåò, ÷òî
−1
R,
òî
F [f ](y) =
√1
2π
+∞
R
f (t) e
−ity
íà
R,
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðè-
dt,
ñëåäîâàòåëüíî,
−∞
+∞
Z
h
i
1
F [f ] (x) = √
v. p.
F [f ](y) eixy dy =
2π
−∞
+∞
+∞ Z
+∞
Z
Z
1
1
i(x−t)y
=
v. p.
v. p.
(g1 (y) + i g2 (y))dy,
f (t) e
dt dy =
2π
2π
ãäå
−∞
−∞
−∞
+∞
Z
g1 (y) =
f (t) cos(x − t)y dt,
+∞
Z
g2 (y) =
f (t) sin(x − t)y dt.
−∞
−∞
163
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ g2 (y) íå÷åòíà, òî v. p.
+∞
R
g2 (y) dy = 0. Òàê
−∞
+∞
R
RA
êàê óíêöèÿ g1 (y) ÷åòíà, òî v. p.
g1 (y) dy = lim
g1 (y) dy =
A→+∞ −A
−∞
!
+∞
RA
R
2 g1 (y) dy = 2
= lim
g1 (y) dy . Ñëåäîâàòåëüíî,
A→+∞
0
0
+∞
+∞ Z
Z
h
i
1
F −1 F [f ] (x) =
f (t) cos(x − t)y dt dy = If (x).
π
0
à â ñëó÷àå, êîãäà f íå÷åòíàÿ, ðàâåíñòâà
F [f ](y) = −F
Äîêàçàòåëüñòâî.
1
F [f ](y) = √
v. p.
2π
−∞
h
i
àâåíñòâî F F −1 [f ] (x) = If (x) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
(Î âçàèìíî îáðàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå.)
à) Ïóñòü óíêöèÿ f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà R è ïóñòü â
òî÷êå x0 ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0) è f (x0 − 0) è
′
(x0 ). Òîãäà
îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå f+′ (x0 ), f−
1
=√
2π
Òåîpåìà 3.
h
i
h
i
1
F −1 F [f ] (x0 ) = F F −1 [f ] (x0 ) = (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)).
2
á) Åñëè óíêöèÿ f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà è íåïðåðûâíà íà
R è â êàæäîé òî÷êå x ∈ R ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå
′
f±
(x), òî
h
i
h
i
F −1 F [f ] (x) = F F −1 [f ] (x) = f (x)
∀x ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêò (à) ñëåäóåò èç òåîðåìû 2 ïðåäûäóùåãî
ïàðàãðàà è òåîðåìû 2 äàííîãî ïàðàãðàà. Ïóíêò (á) ñëåäóåò èç
ïóíêòà (à).
Ïóñòü óíêöèÿ f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b] ⊂ R. Òîãäà â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ f (x) ÷åòíàÿ,
ñïðàâåëèâû ðàâåíñòâà
Ëåììà 1.
F [f ](y) = F −1 [f ](y) =
r
164
2
π
+∞
Z
f (x) cos xy dx,
0
lim
[f ](y) = −i
r
2
π
+∞
Z
f (x) sin xy dx.
0
Ïóñòü óíêöèÿ f ÷åòíàÿ. Òîãäà
+∞
Z
f (x) e−ixy dx =
−∞
ZA
A→+∞
−A
1
=√
2π
−1
f (x) (cos xy − i sin xy) dx =
lim 2
A→+∞
àíàëîãè÷íî, F −1 [f ](y) =
ZA
0
q
f (x) cos xy dx =
2
π
+∞
R
r
2
π
+∞
Z
f (x) cos xy dx,
0
f (x) cos xy dx.
0
 ñëó÷àå íå÷åòíîé óíêöèè f ëåììà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïðèìåð 1.
è g(x) =
1
1+x2 .
Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôópüå óíêöèé f (x) = e−|x|
 ñèëó ÷åòíîñòè óíêöèè f
r
r
+∞
Z
2
2
F [f ](y) =
f (x) cos xy dx =
π
π
0
r
r
+∞
Z
2
2
=
e(−1+iy)x dx =
Re
Re
π
π
åøåíèå.
=
r
0
−1
2
Re
=
π
−1 + iy
Ñëåäîâàòåëüíî,
r
ïî ëåììå 1 ïîëó÷àåì
+∞
Z
f (x) eixy dx =
Re
0
(−1+iy)x x→+∞
e
−1 + iy
1 + iy
2
=
Re
π
1 + y2
r
2
g(y).
F [f ](y) =
π
165
r
=
x=0
1
2
.
π 1 + y2
q
2
F −1 [f ](y) = F [f ](y) =
π g(y). Ïîýòîìó
p π h −1 i
F [g](x) = 2 F F [f ] (x). Ïîñêîëüêó óíêöèÿ f (x) = e−|x| íåïðåðûâíà è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà R, à f ′ (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà
h
i
 ñèëó ÷åòíîñòè
íà
R,
òî ïî òåîðåìå 2(á) èìååì
F F −1 [f ] (x) = f (x).
íî,
F [g](x) =
r
Ñëåäîâàòåëü-
π
f (x).
2
(4)
Ïîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
f
f (x) = f (0) +
öèè
f ′ (x)
Rx
f ′ (t) dt,
lim f (x) = 0.
x→+∞
Ïîñêîëüêó
òî èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíê-
0
íà
R
ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà
= lim f (x) = f (0) +
x→+∞
+∞
R
A =
′
f (t) dt.
0
A 6= 0, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ∃x0 : ∀x > x0 ֒→ |f (x)| >
+∞
R
|f (x)| dx. Ñëå> |A|/2. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
Åñëè
0
Çàìå÷àíèå.  ñèëó ÷åòíîñòè óíêöèè
g(y) =
1
1+y 2 ñîãëàñíî ëåì-
äîâàòåëüíî,
1
F [f ](y) = √
2π
+∞
r
Z
2
π
g(x) cos xy dy =
f (x),
π
2
′
0
+∞
Z
π
cos xy
dy = e−|x| .
2
1+y
2
1
F [f ′ ](y) = √
2π
0
Òåì ñàìûì ìû âû÷èñëèëè îäèí èç
Àíàëîãè÷íî,
ïëàñà:
ðàññìàòðèâàÿ
è
g(x) =
+∞
Z
èíòåãðàëîâ Ëàïëàñà
ïðåîáðàçîâàíèÿ
+∞
R
0
Ôópüå
cos xy
1+y 2
óíêöèé
x
1+x2 , âû÷èñëÿåòñÿ âòîðîé èíòåãðàë Ëà-
0
f (x)
íà
R
èìååì
−∞
x→+∞
x→−∞
lim f (x) = 0,
x→±∞
ïîëó÷àåì
−
!
+∞
Z
−
f (x) (−iy) e−ixy dx = iy F [f ](y).
dy .
y sin xy
π
dy = e−|x| sign x.
1 + y2
2
f (x) e−ixy
lim f (x) = 0.
x→−∞
′
+∞
Z
f ′ (x) e−ixy dx.
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ò. å.
f (x) = e−|x| sign x
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
 ñèëó àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè
ìå 1 îðìóëó (4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
r
A = 0.
−∞
f, f ′ , . . . , f (k−1) àáñîëþòíî èíòåãðèóíêöèÿ f (k) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà
Ñëåäñòâèå. Ïóñòü óíêöèè
ðóåìû è íåïðåðûâíû íà
R, à
R. Òîãäà
è êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà
F [f (k) ](y) = (iy)k F [f ](y).
Òåîpåìà 4. (Ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå ïðîèçâîäíîé.) Ïóñòü óíê-
f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà è íåïðåðûâíà íà R, à åå ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà è êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà R.
(5)
öèÿ
Òîãäà
F [f ′ ](y) = iy F [f ](y).
è
F [f ](y) = o
1
yk
,
y → ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (5) ñîñòîèò â
k -êðàòíîì ïðèìåíåíèè
òåîðåìû 4. Â ñèëó òåîðåìû èìàíà îá îñöèëëÿöèè
166
167
(6)
F [f
(k)
1
](y) = √
2π
Z
+∞
−∞
f (k) (x) cos xy − i sin xy dx → 0 (y → ∞).
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (5) èìååì (iy)k F [f ](y)
= F [f (k) ](y) → 0 ïðè y → ∞, ò.å. ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (6).
dk
F [f ](y) = F [(−ix)k f ](y).
dy k
=
Òåîpåìà 5. (Ïðîèçâîäíàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôópüå.) Ïóñòü óíêöèè f (x) è x f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû íà R. Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå óíêöèè f (x) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé
íà R óíêöèåé è
d
F [f ](y) = F [−ix f ](y).
dy
Äîêàçàòåëüñòâî
Ïðèìåð 3.
= e−x
0
Ïîñêîëüêó
R +∞
−∞
0
Rt
(−ix)e−ixy dy
Rt =
0
0
d −ixy
dy e
òî åñòü
dy
=
e−ixt − 1,
0
F [f ](t) − F [f ](0) =
Z
t
F [−ix f ](y) dy.
(8)
0
 ñèëó òåîðåìû 1 äàííîãî ïàðàãðàà óíêöèÿ F [−ix f ](y) íåïðåðûâíà. Ïîýòîìó â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (8) ñòîèò íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ, ñòîÿùàÿ â ëåâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (8), òàêæå íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà. Äèåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (8) â òî÷êå t = y , ïîëó÷àåì äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî.
Ïóñòü óíêöèè f (x), xf (x), . . . , xk f (x) àáñîëþòíî
èíòåãðèðóåìû íà R. Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óíêöèè f ÿâëÿåòñÿ k ðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé è
Ñëåäñòâèå.
168
.
Âû÷èñëèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôópüå óíêöèè f (x) =
 ñèëó òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôópüå
åøåíèå.
−i
d
F [f ](y) = F [−ix f ](y) = √
dy
2π
i
= −√
2π
(7)
−ixy
dx = F [−ix f ](y), òî ðàâåíñòâî (7) ìîæíî ïåðå−∞ f (x)(−ix)e
ïèñàòü â âèäå
Z +∞
Z t
f (x) e−ixt − 1 dx =
F [−ix f ](y) dy,
−∞
/2
ïîëó÷àåì
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 1 5 ê óíêöèÿì xf (x),
ϕ(x, y) = −i e−ixy è ïðîìåæóòêàì (a, b) = (−∞, +∞), [c, d] = [0, t],
ãäå t ëþáîå ÷èñëî, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Z +∞ Z t
Z t Z +∞
f (x)(−ix)e−ixy dy dx =
f (x)(−ix)e−ixy dx dy.
−∞
2
ñîñòîèò â k -êðàòíîì ïðèìåíåíèè òåîðåìû 5.
i
=√
2π
+∞
Z
2
x e−x /2 e−ixy dx =
−∞
+∞
+∞
Z
Z
x2
y
−x2 /2 −ixy
(x + iy) e
e
dx − √
e− 2 −ixy dx =
2π
−∞
+∞
Z
−∞
−∞
′
x2
dx − y F [f ](y) =
e− 2 −ixy
x
x2
i
= √
e− 2 −ixy
2π
x→+∞
x→−∞
−y F [f ](y) = −y F [f ](y).
Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ F [f ](y) óäîâëåòâîðÿåò äèåðåíöèàëüíîd
ìó óðàâíåíèþ dy
F [f ](y) = −y F [f ](y). åøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì
2
F [f ](y) = C e−y /2 ,
(9)
ãäå
1
C = F [f ](0) = √
2π
2
+∞
Z
2
e−x /2 dx.
(10)
−∞
Ïîñêîëüêó e−y /2 = f (y), òî ðàâåíñòâî (9) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
F [f ](y) = C f (y). Àíàëîãè÷íî,h ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî F −1 [f ](y) =
i
= C f (y). Ñëåäîâàòåëüíî, F −1 F [f ] (x) = C 2 f (x). Ïîñêîëüêó óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà
169
h
i
íà R, òî ïî òåîðåìå 2(á) F −1 F [f ] (x) = f (x). Ñëåäîâàòåëüíî, C 2 =
= 1. Èç îðìóëû (10) ñëåäóåò, ÷òî C > 0. Ïîýòîìó C = 1. Îòñþäà è
èç îðìóëû (9) ñëåäóåò, ÷òî
F [f ](y) = e−y
Çàìå÷àíèå.
ÝéëåðàÏóàññîíà
2
/2
ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
.
Ïðè ðåøåíèè ïðèìåðà 3 áûë âû÷èñëåí èíòåãðàë
+∞
Z
√
2
e−x /2 dx = 2π.
−∞
ëàâà 18
Ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç îðìóëû (10) è ðàâåíñòâà C = 1.
àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíêöèé
(
S
1
0,
x ∈ −∞, − 2n
fn (x) =
1
1
n,
x ∈ − 2n
, 2n
.
Ïîñêîëüêó fn (x) ≥ 0 è
+∞
R
,
(1)
fn (x) dx = 1, òî óíêöèþ fn (x) ìîæ-
−∞
íî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ
ìàññû 1 è äëèíû n1 . Óìåíüøàÿ äëèíó ñòåðæíÿ â ïðåäåëå ïðè n →
→ ∞, ïîëó÷èì ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ìàññû 1. Ïîñêîëüêó fn (0) =
= n → +∞, òî â êëàññå îáû÷íûõ óíêöèé íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà lim fn (x). Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî îáîán→∞
ùåííûõ óíêöèé, êîòîðîå íàpÿäó ñ îáû÷íûìè óíêöèÿìè ñîäåðæèò, íàïðèìåð, δ -óíêöèþ Äèpàêà. δ -óíêöèþ Äèðàêà ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïëîòíîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû 1. Ïðè
ýòîì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óíêöèé (1) âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå lim fn (x) = δ(x) â ñìûñëå îáîáùåííûõ óíêöèé.
n→∞
Ïðèâåäåì åùå îäèí àpãóìåíò â ïîëüçó ðàññìîòðåíèÿ îáîáùåííûõ
óíêöèé. Ìíîãèå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ óíêöèè (íàïðèìåð, f (x) =
= |x|) íå äèåðåíöèðóåìû â íåêîòîðûõ òî÷êàõ. Îäíèì èç äîñòîèíñòâ ïðîñòðàíñòâà îáîùåííûõ óíêöèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ëþáîé
îáîùåííîé óíêöèè (â òîì ÷èñëå è äëÿ f (x) = |x| è äëÿ f (x) = δ(x))
ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ
îáîáùåííûìè óíêöèÿìè.
1.
Ïðîñòðàíñòâî D îñíîâíûõ (ïðîáíûõ)
óíêöèé
Îïpåäåëåíèå.
ìêíóòîå ìíîæåñòâî
Íîñèòåëåì óíêöèè ϕ : R → C íàçûâàåòñÿ çà-
supp ϕ = {x ∈ R : ϕ(x) 6= 0}.
170
1
2n , +∞
171
Îïpåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ
ϕ:R→C
íàçûâàåòñÿ èíèòíîé, åñëè
åå íîñèòåëü ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì.
Îïpåäåëåíèå.
∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D , λ1 , λ2 ∈ C ֒→ (f, λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ) = λ1 (f, ϕ1 ) + λ2 (f, ϕ2 ).
Ôóíêöèîíàë
Ïðîñòðàíñòâîì ïðîáíûõ (îñíîâíûõ) óíêöèé
D
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿ-
D
îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:
þòñÿ èíèòíûå áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè
ϕ : R → C.
ïðîáíîé óíêöèè
íîñòü
Îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà íà ÷èñëî è ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â
∀ϕ1 , ϕ2 , ϕ ∈ D , λ ∈ C, x ∈ R ֒→
(λϕ)(x) = λ ϕ(x).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äàííûå îïåðàöèè íå âûâîäÿò èç ïðîñòðàíñòâà
ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, óíêöèÿ
ϕ(x) =
D.
|x| < a,
|x| ≥ a.
ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó
D
ïðè
ϕn −→ ϕ
a
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíê-
ϕn ∈ D ñõîäèòñÿ ê óíêöèè ϕ ∈ D â ïðîñòðàíñòâå D , è ïèñàòü
D
ϕn −→ ϕ ïðè n → ∞, åñëèS
1) ∃[a, b] ⊂ R : ∀n ∈ N {0} ֒→ supp ϕn ⊂ [a, b];
S
(k)
(k)
2) ∀k ∈ N {0} ֒→ ϕn (x) −→
−→ ϕ (x) ïðè n → ∞.
Îïpåäåëåíèå.
f : Φ → C,
ñòðàíñòâà
D′
îáîáùåííûõ óíêöèé
Ôóíêöèîíàëîì
f
êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó
Φ
íàçûâàåòñÿ
ϕ
ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî
íèþ óíêöèîíàëà íà ýëåìåíòå
ϕ ∈ Φ.
îòîáðàæåíèå
áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðî-
(f, ϕ) ∈ C,
ðàâíîå çíà÷å-
àññìîòðèì óíêöèîíàëû, îïðåäåëåííûå íà ïðîñòðàíñòâå ïðîáíûõ óíêöèé
D . Ôóíêöèîíàë f : D → C íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè
172
(f, ϕn ) → (f, ϕ)
=⇒
ïðè
n → ∞.
Ïðîñòðàíñòâîì îáîáùåííûõ óíêöèé
òîðîì îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:
(λ f, ϕ) = λ (f, ϕ).
Îïpåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f0 : R → C íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé, åñëè îíà àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì
îòðåçêå
[a, b] ⊂ R.
 ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå óíêöèè f0
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû.
Ëåììà 1.
Åñëè óíêöèîíàë
: R → C ëîêàëüíî
f : D → C ïîðîæäåí ëîêàëüíî
f0 : R → C ñîãëàñíî îðìóëå
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèåé
+∞
Z
(f, ϕ) =
f0 (x) ϕ(x) dx
x∈R
Ïðîñòðàíñòâî
n→∞
(f, ϕ):
D ′ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ óíêöèîíàëîâ f : D → C.
′
Ïðîñòðàíñòâî D ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, îïåðàöèè â êî-
öèé
2.
{ϕn } ⊂ D , ñõîäÿùåéñÿ ê
D , ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
֒→ (f1 + f2 , ϕ) = (f1 , ϕ) + (f2 , ϕ),
x
−a
â ïðîñòðàíñòâå
(f, ϕn )
e−1
2
− a
e a2 −x2 ,
0,
íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþ-
∀f, f1 , f2 ∈ D ′ , λ ∈ C, ϕ ∈ D ֒→
f (x)
D
¾øàïî÷êà¿:
(
ϕ∈D
Îïpåäåëåíèå.
֒→ (ϕ1 +ϕ2 )(x) = ϕ1 (x)+ϕ2 (x),
Ýëåìåíòîì
f : D → C
áîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîáíûõ óíêöèé
∀ϕ ∈ D ,
−∞
òî
f
ñòâà
ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé óíêöèåé, ò. å.
D ′.
Äîêàçàòåëüñòâî.
ùåñòâóåò îòðåçîê
[a, b],
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ
Rb
f0 (x) ϕ(x) dx.
ýëåìåíòîì ïðîñòðàí-
ϕ∈D
èíèòíà, òî ñó-
ϕ(x). Èç àáf0 (x) è íåïðåèíòåãðàëà (f, ϕ) =
ñîäåðæàùèé íîñèòåëü óíêöèè
ñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè íà îòðåçêå
ðûâíîñòè óíêöèè
(1)
ϕ(x)
[a, b]
óíêöèè
ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
Ëèíåéíîñòü óíêöèîíàëà
a
f
ñëåäóåò èç ñâîéñòâà ëè-
íåéíîñòè èíòåãðàëà. Ïîêàæåì íåïðåðûâíîñòü óíêöèîíàëà
173
f . Ïóñòü
D
ϕn −→ ϕ ïðè n → ∞. Òîãäà ñóùåñòâóåò îòðåçîê [a, b], ñîäåðæàùèé
íîñèòåëè âñåõ óíêöèé ϕn , è, êðîìå òîãî, ϕn (x) −→
−→ ϕ(x) ïðè n →
x∈R
→ ∞. Ñëåäîâàòåëüíî,
|(f, ϕn ) − (f, ϕ)| =
≤
Zb
a
Zb
a
Îïpåäåëåíèå. åãóëÿðíûì óíêöèîíàëîì íàçûâàåòñÿ óíêöèîíàë f ∈ D ′ , ïîðîæäåííûé íåêîòîðîé ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèåé f0 : R → C ñîãëàñíî îðìóëå (1).
f0 (x) (ϕn (x) − ϕ(x)) dx ≤
|f0 (x)| dx max |ϕn (x) − ϕ(x)| → 0 ïðè
x∈[a,b]
n → ∞.
Òàêèì îáðàçîì, óíêöèîíàë f : D → C ëèíååí è íåïðåðûâåí, ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ D ′ .
Ëåììà 2. Ïóñòü óíêöèîíàëû, ïîðîæäåííûå ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûìè óíêöèÿìè f0 : R → C è f˜0 : R → C â
ñîîòâåòñòâèè ñ îðìóëîé (1), ñîâïàäàþò, ò. å.
Z +∞
Z +∞
f˜0 (x) ϕ(x) dx
∀ϕ ∈ D.
f0 (x) ϕ(x) dx =
−∞
−∞
Òîãäà çíà÷åíèÿ óíêöèé f0 è f˜0 ñîâïàäàþò â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóåò x0 òî÷êà íåïðåðûâíîñòè óíêöèé f0 è f˜0 òàêàÿ, ÷òî f0 (x0 ) 6= f˜0 (x0 ).
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè g(x) = f0 (x) − f˜0 (x) â òî÷êå x0 íàéäåòñÿ ÷èñëî ε > 0 òàêîå, ÷òî íà èíòåðâàëå (x0 − ε, x0 + ε) óíêöèÿ
g(x) ñîõðàíÿåò çíàê. àññìîòðèì óíêöèþ
(
ε2
−
e ε2 −(x−x0 )2 , |x − x0 | < ε,
ϕ(x) =
0,
|x − x0 | ≥ ε,
êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ
àðãóìåíòà. ÒîR +∞ èç óíêöèè ¾øàïî÷êè¿Rñäâèãîì
ε
ãäà ϕ ∈ D, íî −∞ (f0 (x) − f˜0 (x)) ϕ(x) dx = −ε g(x) ϕ(x) dx 6= 0, ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ëåììû.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëåáåãà, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé
âûõîäèò çà ðàìêè äàííîãî êóðñà, ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ëîêàëüíî
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèè èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü. Îòñþäà è èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî åñëè äëÿ äâóõ ëîêàëüíî àáñîëþòíî
Çàìå÷àíèå.
174
èíòåãðèðóåìûõ óíêöèé f0 è f˜0 ñîâïàäàþò ïîðîæäåííûå èìè óíêöèîíàëû, òî ñàìè óíêöèè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü íà ìíîæåñòâå ëåáåãîâîé ìåðû íóëü.
Çàìå÷àíèå. Èç ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè íå
ðàçëè÷àòü óíêöèè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèøü íà ìíîæåñòâå ëåáåãîâîé ìåðû íóëü, òî îðìóëà (1) óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îáû÷íûìè ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûìè óíêöèÿìè f0 : R → C è ðåãóëÿðíûìè óíêöèîíàëàìè f ∈
∈ D ′ . Êîãäà ãîâîðÿò ¾ðàññìîòðèì óíêöèþ f (x) êàê îáîáùåííóþ
óíêöèþ¿, èìåþò â âèäó, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåãóëÿðíûé óíêöèîíàë f ∈ D ′ , ïîðîæäåííûé óíêöèåé f0 = f ïî îðìóëå (1). Ïðè
ýòîì óíêöèîíàë, êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àþò òîé æå áóêâîé, ÷òî è ïîðîäèâøóþ åãî îáû÷íóþ óíêöèþ, îòîæäåñòâëÿÿ îáû÷íûå óíêöèè
ñ ðåãóëÿðíûìè óíêöèîíàëàìè.  ýòîì ñìûñëå ëþáàÿ îáû÷íàÿ ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ óíêöèÿ ñîäåðæèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D′ .
Ôóíêöèîíàëû f ∈ D ′ , íå ÿâëÿþùèåñÿ ðåãóëÿðíûìè, íàçûâàþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè.
Îïpåäåëåíèå.
Îïpåäåëåíèå. δ -óíêöèåé
îïðåäåëÿåìûé ïî îðìóëå
Äèðàêà
(δ, ϕ) = ϕ(0)
íàçûâàåòñÿ óíêöèîíàë δ ,
∀ϕ ∈ D .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óíêöèîíàë δ ëèíååí è íåïðåðûâåí, ò. å. δ ∈ D ′ .
Ôóíêöèîíàë δ ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíûì.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóåò ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ óíêöèÿ f0 : R → C òàêàÿ, ÷òî
Ëåììà 3.
Äîêàçàòåëüñòâî.
+∞
Z
f0 (x) ϕ(x) dx = ϕ(0)
−∞
175
∀ϕ ∈ D .
(
2
− a2a−x2
, |x| < a,
e
0,
|x| ≥ a
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sup ϕa (x) = ϕa (0) = e−1 , òî ñîãëàñíî íàøåìó
Ïîñêîëüêó äëÿ óíêöèè ¾øàïî÷êè¿ ϕa (x) =
åøåíèå.
Ïóñòü ϕ ∈ D . Òîãäà (fn , ϕ) = n
èíòåãðàëüíîé òåîðåìû î ñðåäíåì
1/(2n)
R
ϕ(x) dx. Â ñèëó
−1/(2n)
x∈R
ïðåäïîëîæåíèþ äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a > 0 èìååì
+∞
Z
Za
Za
ϕa (0) =
f0 (x) ϕa (x) dx =
f0 (x) ϕa (x) dx ≤ ϕa (0) |f0 (x)|dx.
−∞
−a
Ñëåäîâàòåëüíî, ∀a > 0 ֒→
Ra
−a
−a
|f0 (x)|dx ≥ 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â
ñèëó ëîêàëüíîé àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè f0 èíòåãðàë
Ra
R1
|f0 (x)|dx = 0. Ïðîòèâîðå÷èå.
|f0 (x)|dx ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó lim
a→+0 −a
−1
àäè åäèíñòâà îðìû çàïèñè ñèíãóëÿðíûå óíêöèîíàëû òàêæå
çàïèñûâàþò êàê îáû÷íûå óíêöèè (íàïðèìåð, δ(x)), õîòÿ ñèíãóëÿðíîìó óíêöèîíàëó íå ñîîòâåòñòâóåò íèêàêàÿ îáû÷íàÿ óíêöèÿ. Òàêàÿ çàïèñü åùå óäîáíà, íàïðèìåð, ïðè ðàññìîòðåíèè ñìåùåííîé δ óíêöèè δ(x − x0 ), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
(δ(x − x0 ), ϕ) = ϕ(x0 )
3.
∀ϕ ∈ D .
Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå
D′
Îïpåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîáùåííûõ óíêöèé fn ∈ D ′ ñõîäèòñÿ ê îáîáùåííîé óíêöèè f ∈ D ′
â ïðîñòðàíñòâå
D′
D ′ , è ïèñàòü fn (x) −→ f (x) ïðè n → ∞, åñëè
∀ϕ ∈ D ֒→ (fn , ϕ) → (f, ϕ) ïðè
n → ∞.
D′
Àíàëîãè÷íî, çàïèñü fε (x) −→ f (x) ïðè ε → +0 îçíà÷àåò, ÷òî
∀ϕ ∈ D ֒→ (fε , ϕ) → (f, ϕ)
D
′
ïðè ε → +0.
Äîêàçàòü, ÷òî fn (x) −→ δ(x) ïðè n → ∞, ãäå
(
S 1
1
0,
x ∈ −∞, − 2n
2n , +∞ ,
fn (x) =
1
1
n,
x ∈ − 2n
, 2n
.
Ïpèìåp.
176
∀n ∈ N
1 1
∃ξn ∈ − ,
:
2n 2n
1/(2n)
Z
ϕ(x) dx =
1
ϕ(ξn ).
n
−1/(2n)
Ïîñêîëüêó ξn → 0 ïðè n → ∞, òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè ϕ
èìååì (fn , ϕ) = ϕ(ξn ) → ϕ(0) ïðè n → ∞. Èòàê, ∀ϕ ∈ D ֒→ (fn , ϕ) →
→ ϕ(0) = (δ, ϕ) ïðè n → ∞.
4.
Ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííîé óíêöèè
íà áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìóþ
óíêöèþ. Ïðîèçâîäíàÿ îáîáùåííîé
óíêöèè
Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü óíêöèÿ ψ : R → C áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìà, à f : D → C îáîáùåííàÿ óíêöèÿ. Ïðîèçâåäåíèåì ψf
íàçûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ïî îðìóëå
(ψf, ϕ) = (f, ψϕ)
∀ϕ ∈ D .
(1)
Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè ψ
íà èíèòíóþ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìóþ óíêöèþ ϕ ∈ D ÿâëÿåòñÿ èíèòíîé áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé, òî ψϕ ∈
∈ D . Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ñìûñë âûðàæåíèå (f, ψϕ), à çíà÷èò,
óíêöèîíàë ψf îïðåäåëåí êîððåêòíî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óíêöèîíàë ψf : D → C, îïðåäåëåííûé ïî îðìóëå (1), ëèíååí è íåïðåðûâåí, ò. å. ψf ∈ D ′ .
Ëåììà 1. Ïóñòü óíêöèÿ ψ : R → C áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìà, à óíêöèîíàë f ∈ D ′ ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå ψ(x) f (x) â ñìûñëå îáîáùåííûõ óíêöèé ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâåäåíèåì ψ(x) f (x) â ñìûñëå îáû÷íûõ óíêöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè óíêöèîíàëà f ñóùåñòâóåò ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ óíêöèÿ f0 : R → C òàêàÿ, ÷òî
177
+∞
Z
(f, ϕ) =
f0 (x) ϕ(x) dx
ñîâïàäàåò ñ óíêöèîíàëîì
∀ϕ ∈ D .
−∞
(2)
ìóëîé
+∞
Z
(f , ϕ) =
f0′ (x) ϕ(x) dx
∀ϕ ∈ D .
−∞
(f, ψϕ) =
ïîëó÷èì
ψϕ ∈ D
f0 (x) ψ(x) ϕ(x) dx,
∀ϕ ∈ D .
−∞
+∞
Z
(ψf, ϕ) =
ψ(x) f0 (x) ϕ(x) dx
+∞
R
êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ îð-
′
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
Ïîäñòàâëÿÿ â ðàâåíñòâå (2) óíêöèþ
f ′ : D → C,
(3)
âìåñòî óíêöèè
ϕ,
Ïóñòü
ϕ ∈ D . Òîãäà ñóùåñòâóåò îòðåçîê [a, b], ñîäåðæàùèé íîñèòåëü
ϕ. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èç îðìóëû (6) ïîëó÷àåì
óíêöèè
(f ′ , ϕ) =
÷òî âìåñòå ñ ðàâåíñòâîì (1)
Zb
b
f0′ (x) ϕ(x) dx = f0 (x) ϕ(x)
a
a
−∞
−
Zb
f0 (x) ϕ′ (x) dx =
a
äîêàçûâàåò îðìóëó (3).
ψ : R → C áåñêîíå÷íî
ψ(x) δ(x) = ψ(0) δ(x).
ϕ ∈ D . Òîãäà
Ïðèìåð 1. Ïóñòü óíêöèÿ
ðóåìà. Ïîêàçàòü, ÷òî
åøåíèå. Ïóñòü
Ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé
óíêöèè f ∈ D
′
Îïpåäåëåíèå.
âàåòñÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿ
′
f ∈D
óíêöèîíàë
′
íàçû-
∀ϕ ∈ D .
(4)
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé èíèòíîé áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé
óíêöèè
ϕ ∈ D
åå ïðîèçâîäíàÿ
′
ϕ
òàêæå èíèòíà è áåñêîíå÷íî
Ëåììà 2. Ïóñòü óíêöèÿ
R.
ïðîèçâîäíîé
f0′ (x)
â ñìûñëå îáîáùåííûõ óíêöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
öèîíàëà
f0 : R → C íåïðåðûâíî äèåðåíöèf0′ (x) â îáû÷íîì ñìûñëå ñîâïàäàåò ñ
Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ
f : D → C,
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ óíê-
îïðåäåëÿåìîãî ïî îðìóëå
+∞
Z
(f, ϕ) =
f0 (x) ϕ(x) dx
−∞
178
∀ϕ ∈ D ,
a
′
îïðåäåëåííûé ïî îðìóëå (6) ÷åðåç îáû÷íóþ ïðî-
f
â ñìûñëå
Ïîêàçàòü, ÷òî
fn′ −→ f ′
îáîáùåííûõ óíêöèé, îïðåäåëåííîé ïî îðìóëå (4).
Ïðèìåð 2. Ïóñòü
ïðè
n → ∞.
åøåíèå. Ïóñòü
D′
fn −→ f
ϕ ∈ D.
ïðè
n → ∞.
Òîãäà
n→∞
Ëåììà 3. Äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè
ψ : R → C è äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé óíêöèè f : D → C ñïðàâåäëèâà
îðìóëà
(ψ f )′ = ψ ′ f + ψ f ′ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
ϕ ∈ D.
Òîãäà
((ψf )′ , ϕ) = −(ψf, ϕ′ ) = (f, −ψϕ′ ) = (f, −(ψϕ)′ + ψ ′ ϕ) =
(5)
D′
(fn′ , ϕ) = −(fn , ϕ′ ) −→ −(f, ϕ′ ) = (f ′ , ϕ).
íî, óíêöèîíàë
ðóåìà íà
f0 (x) ϕ′ (x) dx.
èçâîäíóþ f0′ (x), ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäíîé óíêöèîíàëà
′
(f, ϕ ). Ñëåäîâàòåëüf ′ îïðåäåëåí êîððåêòíî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óíêöèîíàë f ′ : D → C, îïðåäåëåííûé ïî îðìóëå (4), ëèíååí è íåïðåðû′
âåí, ò. å. f ′ ∈ D .
äèåðåíöèðóåìà, òî èìååò ñìûñë âûðàæåíèå
f ′,
Zb
ϕ ∈ D âìåñòî óíêöèè ϕ â ñè(f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ). Ñëåäîâàòåëüíî,
Ïîäñòàâëÿÿ â îðìóëó (5) óíêöèþ
ëó ïîñëåäíåé îðìóëû ïîëó÷àåì
, îïðåäåëÿåìàÿ ïî îðìóëå
(f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ )
=−
äèåðåíöè-
(ψδ, ϕ) = (δ, ψϕ) = ψ(0) ϕ(0) = ψ(0) (δ, ϕ).
(6)
= (f ′ , ψϕ) + (f, ψ ′ ϕ) = (ψf ′ , ϕ) + (ψ ′ f, ϕ).
179
Ïðèìåð 3. Ïóñòü ψ : R → C áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìàÿ
óíêöèÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî ψ(x) δ ′ (x) = ψ(0) δ ′ (x) − ψ ′ (0) δ(x).
′
′
åøåíèå. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî (ψ(x) δ(x)) = ψ (x) δ(x) +
′
+ ψ(x) δ (x). Â ñèëó ïðèìåðà 1 èìååì ψ(x) δ(x) = ψ(0) δ(x),
ψ ′ (x) δ(x) = ψ ′ (0) δ(x). Ïîýòîìó (ψ(0) δ(x))′ = ψ ′ (0) δ(x) + ψ(x) δ ′ (x),
ψ(x) δ ′ (x) = ψ(0) δ ′ (x) − ψ ′ (0) δ(x).
ò. å.
5.
Ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà
S
è
S
′
Ïðîñòðàíñòâîì ïðîáíûõ (îñíîâíûõ) óíêöèé S
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûõ áûñòðîóáûâàþùèõ óíêöèé, ò.å. òàêèõ óíêöèé
ϕ : R → C, ÷òî
1) ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ S, λ1 , λ2 ∈ C ֒→
(f, λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ) = λ1 (f, ϕ1 ) + λ2 (f, ϕ2 ) è
S
2) ϕk −→ ϕ ⇒ (f, ϕk ) → (f, ϕ) ïðè k → ∞.
Îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà íà ÷èñëî è ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â
S îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:
∀f, f1 , f2 ∈ S ′ , λ ∈ C, ϕ ∈ S ֒→
֒→ (f1 + f2 , ϕ) = (f1 , ϕ) + (f2 , ϕ),
Îïpåäåëåíèå.
sup xm ϕ(n) (x) < +∞ ∀m, n ∈ N ∪ {0}.
Ëåììà 1. Ïóñòü ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ óíêöèÿ
f0 : R → C ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ìåäëåííîãî ðîñòà, ò.å. ñóùåñòâóþò
÷èñëà n ∈ N è C > 0 òàêèå, ÷òî
∀ϕ1 , ϕ2 , ϕ ∈ S, λ ∈ C, x ∈ R ֒→
֒→ (ϕ1 +ϕ2 )(x) = ϕ1 (x)+ϕ2 (x),
(λϕ)(x) = λ ϕ(x).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äàííûå îïåðàöèè íå âûâîäÿò èç ïðîñòðàíñòâà S .
Çàìåòèì, ÷òî D ⊂ S . Ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, óíêöèÿ ϕ(x) = e−x
ñîäåðæèòñÿ â S è íå ñîäåðæèòñÿ â D , òî S 6= D .
2
Îïpåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕk } óíêöèé ϕk ∈ S íàS
çûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ â S ê óíêöèè ϕ ∈ S (ïèøóò ϕk −→ ϕ ïðè
k → ∞), åñëè äëÿ ëþáûõ m, n ∈ N ∪ {0}
(n)
m (n)
xm ϕk (x) −→
−→ x ϕ (x)
x∈R
ïðè k → ∞,
òî åñòü
(n)
sup xm ϕk (x) − xm ϕ(n) (x) → 0
x∈R
ïðè k → ∞.
Ïðîñòðàíñòâîì S ′ îáîáùåííûõ óíêöèé íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ
óíêöèîíàëîâ f : S → C, ò.å. òàêèõ, ÷òî
Îïpåäåëåíèå.
180
(1)
|f0 (x)| ≤ C(1 + |x|n ) ∀x ∈ R.
x∈R
Îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà íà ÷èñëî è ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â
S îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:
(λ f, ϕ) = λ (f, ϕ).
Òîãäà óíêöèîíàë f : S → C, îïðåäåëÿåìûé îðìóëîé
Z +∞
(f, ϕ) =
f0 (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ S,
(2)
−∞
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà S ′ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ïðîáíóþ óíêöèþ ϕ ∈ S . Òàê êàê óíêöèÿ ϕ íåïðåðûâíà, à óíêöèÿ f0 ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà, òî èõ ïðîèçâåäåíèå f0 (x)ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ
ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé óíêöèåé. Ïîñêîëüêó ϕ ∈ S , òî
â ÷àñòíîñòè äëÿ ÷èñëà n ∈ N, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
(1), ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
C1 := sup (1 + |x|n )(1 + x2 )ϕ(x) < +∞.
x∈R
C1 C
Ñëåäîâàòåëüíî, |f0 (x)ϕ(x)| ≤ 1+x
2 , à çíà÷èò, èíòåãðàë (2) ñõîäèòñÿ. Èòàê, äëÿ ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè ϕ ∈ S îïðåäåëåíî çíà÷åíèå
óíêöèîíàëà f .
Ëèíåéíîñòü óíêöèîíàëà f , îïðåäåëÿåìîãî îðìóëîé (2), ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà. Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü óíêöèîíàS
ëà f . Ïóñòü ϕk −→ ϕ. Òîãäà
εk := sup (1 + |x|n )(1 + x2 )(ϕk (x) − ϕ(x)) → 0
x∈R
181
ïðè k → ∞.
Ïðîèçâåäåíèåì îáîáùåííîé óíêöèè f ∈ S ′ íà óíêöèþ ψ íàçûâà-
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
|(f, ϕk −ϕ)| ≤
Ïîýòîìó
+∞
−∞
|f0 (x)|·|ϕk (x)−ϕ(x)| dx ≤ Cεk
(f, ϕk − ϕ) → 0
Îïpåäåëåíèå.
îíàë
f ∈ S ′,
ïðè
k → ∞,
Z
+∞
−∞
ò.å. óíêöèîíàë
dx
= Cπεk .
1 + x2
f
íåïðåðûâåí.
åãóëÿðíûì óíêöèîíàëîì íàçûâàåòñÿ óíêöè-
ïîðîæäåííûé íåêîòîðîé ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðè-
ðóåìîé óíêöèåé ìåäëåííîãî ðîñòà
(2). Ôóíêöèîíàë
ñèíãóëÿðíûì.
f ∈ S ′,
f0 : R → C
→ C.
ñòâîì
f ∈ S′
è ïîðîæäàþùèå èõ óíêöèè
S′
Äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ
+ . . . + a0
′
f ∈S
′
f0 : R →
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé è óäî-
äåíèå îáîáùåííîé óíêöèè
6.
íà ìíîãî÷ëåí.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáîáùåííûõ
′
(iy)m
∀ϕ ∈ S.
m
dn
d
F
[ϕ](y)
=
F
dy n
dxm
Òàê êàê äëÿ ëþáîãî
ϕ∈
òàêæå ÿâëÿåòñÿ áûñòðîóáûâàþùåé áåñêîíå÷-
íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé, òî çíà÷åíèå óíêöèîíàëà (f ′ , ϕ)
=
S
′
= −(f, ϕ ) îïðåäåëåíî. Òàê êàê èç ñõîäèìîñòè ϕk −→ ϕ ñëåäóåò ñõîS
äèìîñòü ϕ′k −→ ϕ′ , òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèîíàëà f óíêöèîíàë f ′ òàêæå íåïðåðûâåí. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî f ∈ S óíêöèîíàë f ′ , îïðåäåëÿåìûé îðìóëîé (3), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì
ïðîñòðàíñòâà S ′ .
(1)
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ
(3)
áîé áûñòðîóáûâàþùåé áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè
ϕ ∈ S ïåðåS : F [ϕ] ∈ S . Ïðè ýòîì
((−ix)n ϕ) (y) ∀y ∈ R ∀m, n ∈ N ∪ {0}.
Ëåììà 1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ëþáóþ óíêöèþ
n ∈ N ∪ {0}
ϕ ∈ S.
Cn := sup (1 + x2 )xn ϕ(x) < +∞,
x∈R
Äîêàæåì êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ. Ïîñêîëüêó äëÿ ëþ-
ϕ′
f ∈ S′
âîäèò â óíêöèþ ïðîñòðàíñòâà
ïðèíÿòî íàçûâàòü ïðîñòðàí-
, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
(f , ϕ) = −(f, ϕ )
åå ïðîèçâîäíàÿ
ψ(x) = an xn +
âëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4). Ïîýòîìó, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíî ïðîèçâå-
Ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé óíêöèè f ∈ S ′ íàçû′
∈S
∀ϕ ∈ S.
ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìåòèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí
ñîãëàñíî îðìóëå
îáîáùåííûõ óíêöèé ìåäëåííîãî ðîñòà.
âàåòñÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿ
îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
óíêöèé
 ñâÿçè ñ ýòèì ïðîñòðàíñòâî
Îïpåäåëåíèå.
ψf ∈ S ′ ,
(ψf, ϕ) = (f, ψϕ)
íå ÿâëÿþùèéñÿ ðåãóëÿðíûì, íàçûâàåòñÿ
Ïðèíÿòî îòîæäåñòâëÿòü, îáîçíà÷àÿ îäíîé è òîé æå áóêâîé, ðåãóëÿðíûå óíêöèîíàëû
åòñÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿ
Cn
|xn ϕ(x)| ≤ 1+x
2 äëÿ ëþáîãî x ∈ R è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî
n ∈ N ∪ {0} óíêöèÿ xn ϕ(x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà R. Îòñþ-
òî
äà â ñèëó ñëåäñòâèÿ òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ïðåáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ
ëþáîãî
F [ϕ](y) áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìà è
äëÿ
n ∈ N ∪ {0}
dn
F [ϕ](y) = F [(−ix)n ϕ](y).
dy n
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû î ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå ïðîèçâîäÎïpåäåëåíèå.
Ïóñòü óíêöèÿ
ðåíöèðóåìà è
∀n ∈ N ∪ {0} ∃m ∈ N :
182
ψ : R → C
áåñêîíå÷íî äèå-
|ψ (n) (x)|
< +∞.
m
x∈R 1 + |x|
sup
(4)
íîé äëÿ ëþáîãî
m ∈ N ∪ {0}
èìååì
h
i
dm
n
m
n
((−ix)
ϕ)
(y)
=
(iy)
F
(−ix)
ϕ
(y).
F
dxm
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1). Ïîñêîëüêó
183
sup (1 + x2 )
x∈R
òî óíêöèÿ
ñþäà
F
m
â
d
dxm
ñèëó
dm
dxm
n
dm
((−ix)n ϕ(x)) < +∞,
dxm
((−ix) ϕ)
òåîðåìû
((−ix)n ϕ) (y) → 0
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà
èìàíà
ïðè
ëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
îá
îñöèëëÿöèè
y → ∞.
f0 : R → C àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà
∈ S ïîðîæäåí óíêöèåé f0 , à óíêöèîíàë
óíêöèåé F [f0 ], ò.å. äëÿ ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè
Ëåììà 3. Ïóñòü óíêöèÿ
íà R. Ïóñòü óíêöèîíàë f
R.
Îò-
ïîëó÷àåì,
÷òî
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), ïî-
fb ∈ S ′
ϕ∈S
ïîðîæäåí
(f, ϕ) =
(fb, ϕ) =
n
d
y m n F [ϕ](y) → 0
dy
ïðè
y → ∞.
îãðàíè÷åíà äëÿ ëþáûõ
Ëåììà 2. Ïóñòü
Òîãäà
n
d
y m dy
n F [ϕ](y)
m, n ∈ N ∪ {0}. Èòàê, F [ϕ] ∈ S .
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè
S
ϕk −→ ϕ.
Òîãäà
m, n ∈ N ∪ {0}
S
ïîëó÷àåì
ϕk − ϕ,
(fb, ϕ) =
öèè
Z
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
òî åñòü
dm
sup F
((−ix)n (ϕk − ϕ)) (y) → 0
dxm
y∈R
Òàê êàê
S
ϕk −→ ϕ,
òî äëÿ ëþáûõ èêñèðîâàííûõ
εk := sup (1 + x2 )
x∈R
ïðè
sup F
y∈R
m
d
dxm
F [f0 ](y)ϕ(y) dy.
(4)
+∞
−∞
∀ϕ ∈ S.
Z
1
F [f0 ](y)ϕ(y) dy = √
2π
+∞
ϕ(y) dy
−∞
Z
+∞
f0 (x)e−ixy dx.
−∞
ϕ(y) dy
c
Z
+∞
äëÿ ëþáûõ
f0 (x)e−ixy dx =
−∞
c, d ∈ R
Z
èìååì
+∞
f0 (x) dx
−∞
c → −∞, d → +∞
Z
d
ϕ(y)e−ixy dy.
c
(ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
ïðåäëàãàåòñÿ îáîñíîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî), ïîëó÷àåì
(2)
Z
+∞
ϕ(y) dy
−∞
Z
+∞
f0 (x)e
−∞
−ixy
dx =
Z
+∞
f0 (x) dx
−∞
Z
+∞
ϕ(y)e−ixy dy.
−∞
Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðè
Z +∞
Z +∞
1
b
(f , ϕ) = √
f0 (x) dx
ϕ(y)e−ixy dy =
2π −∞
−∞
Z +∞
f0 (x)F [ϕ](x) dx = (f, F [ϕ]).
=
k → ∞.
Z +∞
εk
1
k→∞
n
√
((−ix) (ϕk − ϕ)) (y) ≤
dx −→ 0.
2π −∞ 1 + x2
184
−∞
d
m, n ∈ N ∪ {0}
dm
((−ix)n (ϕk (x) − ϕ(x))) → 0
dxm
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (2) äîêàçàíî.
+∞
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè
k → ∞,
k → ∞.
Z
ϕ(x,
e y) = e−ixy ϕ(y),
Ñëåäîâàòåëüíî,
(3)
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 1 5 ãëàâû 17 ê íåïðåðûâíîé îãðàíè÷åííîé óíê-
m
dn
d
n
(iy)
F
[ϕ
−
ϕ](y)
=
F
((−ix)
(ϕ
−
ϕ))
(y).
k
k
dy n
dxm
m
ïðè
f0 (x)ϕ(x) dx,
−∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
F [ϕk ] −→ F [ϕ].
dn sup y m n F [ϕk ](y) − F [ϕ](y) → 0
dy
y∈R
+∞
(fb, ϕ) = (f, F [ϕ])
ýòà óíêöèÿ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (1) äëÿ óíêöèè
äëÿ ëþáûõ
Z
Z
−∞
Îïpåäåëåíèå.
f ∈ S′
Ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå îáîáùåííîé óíêöèè
íàçûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿ
185
F [f ] ∈ S ′ ,
îïðåäåëÿåìàÿ
dn
F [f ](y),
dy n
(7)
dn
f (x) (y) = (iy)n F [f ](y).
F
dxn
(8)
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ïðîáíóþ óíê-
îðìóëîé
(F [f ], ϕ) = (f, F [ϕ])
∀ϕ ∈ S.
F [((−ix)n f )] (y) =
(5)
Äîêàæåì êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ. Â ñèëó ëåììû 1 äëÿ
ϕ ∈ S ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå F [ϕ] ∈ S , ïîýòîìó âûðàæåíèå (f, F [ϕ]) èìååò ñìûñë. Ôóíêöèîíàë F [f ], çàäàííûé
îðìóëîé (5), ëèíååí ïî ϕ â ñèëó ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è óíêöèîíàëà f . Ïðîâåðèì íåïðåðûâíîñòü óíêöèîíàëà F [f ].
S
S
Ïóñòü ϕk −→ ϕ. Òîãäà â ñèëó ëåììû 2 èìååì F [ϕk ] −→ F [ϕ]. Îòñþ′
äà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèîíàëà f ∈ S ïîëó÷àåì (f, F [ϕk ]) →
→ (f, F [ϕ]), òî åñòü (F [f ], ϕk ) → (F [f ], ϕ) ïðè k → ∞. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèîíàë F [f ] íåïðåðûâåí, à çíà÷èò, F [f ] ∈ S ′ .
ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè
öèþ
ϕ, ïîëó÷àåì
n
dn
d
n
F
[f
](y),
F
[f
](y),
ϕ(y)
=
(−1)
ϕ(y)
=
dy n
dy n
n
d
n
n
n
= (−1) f (x), F
f
(x),
(ix)
F
[ϕ](x)
=
ϕ(y)
(x)
=
(−1)
dy n
= (−ix)n f (x), F [ϕ](x) = F [(−ix)n f ] (y), ϕ(y) .
ïðèìåíåííîå ê óíêöèè
Ïðîâåðèì, íàêîíåö, ÷òî îïðåäåëåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáîá-
îáû÷íûõ óíêöèé â ñëó÷àå, êîãäà îáîáîáùåííàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ
f0 : R → C, àáf ∈ S ′ ïîðîæäåí
ðåãóëÿðíûì óíêöèîíàëîì, ïîðîæäåííûì óíêöèåé
R.
Ïóñòü óíêöèîíàë
f0 , à óíêöèîíàë fb ∈ S ′ ïîðîæäåí åå ïðåîáðàçîâàF [f0 ], ò.å. äëÿ ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè ϕ ∈ S ñïðàâåä-
òàêîé óíêöèåé
íèåì Ôóðüå
ëèâû îðìóëû (3), (4). Òîãäà â ñèëó ëåììû 3 äëÿ ëþáîé ïðîáíîé
óíêöèè
ϕ∈S
Ñëåäîâàòåëüíî,
Òåì ñàìûì äîêàçàíî ðàâåíñòâî (7). àâåíñòâî (8) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
èìååì
Ïpèìåp. Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñëåäóþùèõ îáîáùåííûõ
(F [f ], ϕ) = (f, F [ϕ]) = fb, ϕ .
óíêöèé:
1)
2)
F [f ] = fb.
3)
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáîá-
f ∈ S ′:
ùåííîé óíêöèè
F
−1
[f ], ϕ = f, F −1 [ϕ]
f1 (x) = δ(x),
f2 (x) = 1,
f3 (x) = xn , n ∈ N.
åøåíèå. Îáîáùåííûå óíêöèè
=F F
−1
[ϕ] = ϕ.
F
−1
ϕ ∈ S
∀ϕ ∈ S.
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
[F [f ]] = F F
−1
[f ] = f
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
186
′
∀f ∈ S .
Ëåììà 4. Äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé óíêöèè
n ∈ N ∪ {0}
è f3 ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè
1 è xn .
ϕ ∈ S èìååì
F [f1 ], ϕ = f1 , F [ϕ] = δ, F [ϕ] = F [ϕ](0) =
Äëÿ ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè
F −1 [F [ϕ]] =
1
= √
2π
Ïîýòîìó
f2
óíêöèîíàëàìè, ïîðîæäåííûìè ñîîòâåòñòâåííî óíêöèÿìè
Ïî òåîðåìå î âçàèìíî îáðàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå äëÿ ëþáîé ïðîáíîé óíêöèè
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé ñ îáîáùåííûìè óíê-
öèÿìè è ñëåäñòâèå òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå,
ùåííûõ óíêöèé ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
ñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé íà
ϕ ∈ S.
f ∈S
′
(6)
Z
+∞
ϕ(x)e−ixy dx
−∞
Ñëåäîâàòåëüíî,
y=0
F [f1 ] =
1
= √
2π
Z
+∞
−∞
√1 f2 . Àíàëîãè÷íî,
2π
ýòîìó, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (6), ïîëó÷àåì
è äëÿ ëþáîãî
=
1
ϕ(x) dx = √ (f2 , ϕ).
2π
√
2πf1 .
 ñèëó ðàâåíñòâà (7) èìååì
187
F −1 [f1 ] = √12π f2 . Ïî√
F [f2 ] = 2πF F −1 [f1 ] =
F [f3 ](y) = F [xn f2 ](y) = in F [(−ix)n f2 ](y) =
n
√
dn
n d
F
[f
](y)
=
f1 (y).
2π
i
2
dy n
dy n
√
√
F [δ] = √12π ; F [1] = 2πδ ; F [xn ] = 2π in δ (n) .
= in
Îòâåò.
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
Áàçèñ 132
Ëåæàíäðà 98, 134
Âèõðü 71
òðèãîíîìåòðè÷åñêèé 117
Äèàìåòð 18
Ìíîæåñòâî
Äèâåðãåíöèÿ 71
ýëåìåíòàðíîå 50, 72
Äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà 88
îòíîñèòåëüíî îñè 24
Èíòåãðàë
Ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà 11
â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷å-
Íàáëà (îïåðàòîð
íèÿ 160
Äèðèõëå 150
äèåðåíöèàëüíîé
Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ 136
îð-
Íîðìàëü
ìû 88
âíóòðåííÿÿ 46
êðàòíûé 18
ê ïîâåðõíîñòè 56
ïîâåðõíîñòíûé
Íîñèòåëü óíêöèè 171
âòîðîãî ðîäà 65
Îáëàñòü
ïåðâîãî ðîäà 63
îäíîñâÿçíàÿ 87
Ôóðüå 155
îáúåìíî 77
Ýéëåðà 153
ïîâåðõíîñòíî 85
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü 56
Îáúåìíî îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü
Êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî
77
11
Îïåðàòîð
Êðàé
àìèëüòîíà (íàáëà)
69
ìíîãîîáðàçèÿ 88
Îðèåíòàöèÿ
ïîâåðõíîñòè 55
êðàÿ ïîâåðõíîñòè 59
îðèåíòèðîâàííûé 59
êðèâîé
Ëåâàÿ ïàðà êðèâûõ, âåêòîðîâ
îòíîñèòåëüíî
45
îáëàñòè
47
Ìåëêîñòü ðàçáèåíèÿ 18
188
àìèëüòîíà)
69
ïîâåðõíîñòè
Ìíîãîîáðàçèå 88
ãëàäêîé 57
Ìíîãî÷ëåí
êóñî÷íî-ãëàäêîé 61
189
Îñîáàÿ òî÷êà ïàðàìåòðèçàöèè
ïîâåðõíîñòè 54
Ïàðà ïðàâàÿ (ëåâàÿ) êðèâûõ,
âåêòîðîâ 45
Ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè
54
äîïóñòèìàÿ 56
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè 62
Ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî 124
Ïîâåðõíîñòíî îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü 85
Ïîâåðõíîñòü 54
ãëàäêàÿ 57
çàìêíóòàÿ 77
êóñî÷íî-ãëàäêàÿ 55
êðàé 55
îðèåíòèðîâàííàÿ 57, 61
ïåðâàÿ
êâàäðàòè÷íàÿ
îðìà 62
ïëîùàäü 62
ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ 54
Ïîëå âåêòîðíîå
áåçâèõðåâîå 85
ïîòåíöèàëüíîå 83
ñîëåíîèäàëüíîå 77
Ïîëíîòà
ïðîñòðàíñòâà 123
ñèñòåìû 125
Ïîïîëíåíèå íîðìèðîâàííîãî
ïðîñòðàíñòâà 124
Ïîòîê 66
Ïðàâàÿ ïàðà êðèâûõ, âåêòîðîâ 45
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 161
Ïðèçíàê
Âåéåðøòðàññà 145
Äèíè 105
Äèðèõëå 145
Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè 104
Ïðîèçâåäåíèå
äåêàðòîâî 19
îáîáùåííîé è áåñêîíå÷íî
äèåðåíöèðóåìîé
óíêöèé 177
Ïðîèçâîäíàÿ
îáîáùåííîé
óíêöèè 178
Ïðîñòðàíñòâî
ãèëüáåðòîâî 124
åâêëèäîâî 120
ëèíåéíîå 119
íîðìèðîâàííîå 119
îáîáùåííûõ óíêöèé 173
îñíîâíûõ óíêöèé 172
ïîëíîå 123
ïðîáíûõ óíêöèé 172
C[a, b] 120
e b] 125
C[a,
D 172
D ′ 173
L1 [a, b], L2 [a, b] 124
RL1 [a, b] 120
RL2 [a, b] 121
àâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ 136
àçáèåíèå 18
ìåëêîñòü 18
îòîð 71
ÿä Ôóðüå 94, 130
â êîìïëåêñíîé îðìå 109
Ñèñòåìà
çàìêíóòàÿ 139
îðòîãîíàëüíàÿ 130
ïîëíàÿ 125
òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ 95
ñòàíäàðòíàÿ 97
Ñóììà
Äàðáó 20
èìàíà 18
Ôåéåðà 113
190
Ñõîäèìîñòü
â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå 123
â ïðîñòðàíñòâå D 172
â ïðîñòðàíñòâå D ′ 176
â ñìûñëå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî 123
â ñìûñëå ñðåäíèõ àðèìåòè÷åñêèõ 113
â ñðåäíåì 123
Ôóíêöèÿ
àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ
93
Äèðàêà 175
Ëàãðàíæà 11
ëîêàëüíî àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ 173
èíòåãðèðóåìàÿ 18
êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìàÿ 121
êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ 99
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ
íà çàìûêàíèè îòêðûòîãî ìíîæåñòâà 31
íåïðåðûâíî
ïðîäîëæèìàÿ 30
îáîáùåííàÿ 173
ïðîáíàÿ (îñíîâíàÿ) 172
èíèòíàÿ 99, 172
¾øàïî÷êà¿ 172
Öèðêóëÿöèÿ 78
Ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî (îáëàñòü) 50, 72
îòíîñèòåëüíî îñè 24
Ýêñòðåìóì 5
áåçóñëîâíûé 5
óñëîâíûé 10
ßäðî
Äèðèõëå 103
Ôåéåðà 114
Òåîðåìà
Âåéåðøòðàññà
ïåðâàÿ 117
âòîðàÿ 118
ðèíà 50
Æîðäàíà 87
èìàíà îá îñöèëëÿöèè
100
èññàÔèøåðà 138
Ñòîêñà 79
îáùàÿ 91
Ôåéåðà 115
Òî÷êà
ñòàöèîíàðíàÿ 6
ýêñòðåìóìà 5
îñîáàÿ äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòè 54
Ôîðìà äèåðåíöèàëüíàÿ 88
Ôîðìóëà
ðèíà 50
Îñòðîãðàäñêîãî àóññà 72
Ñòîêñà 79
îáùàÿ 91
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 123
Ôóíêöèîíàë 172
ðåãóëÿðíûé 175
ñèíãóëÿðíûé 175
191
