МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
УНИВЕРСИТЕТ СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ
М.И. ФРОЛОВ
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
МОСКВА
2004
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ И УПРАЖНЕНИЙ:
 Простой процент
 Сложный процент
 Ставка процента в годовом исчислении
 Чистая дисконтированная стоимость
 Амортизация
ЦЕЛИ:
 научиться использовать различные методы вычисления суммы процентов к
уплате
 уяснить применение расчетов процентной ставки при амортизации и дисконтировании
 научиться использовать приемы оценки и сравнения инвестиционных предложений на основании значений чистой дисконтированной стоимости
ЛИТЕРАТУРА:
Р. Томас. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М.: Дело
и сервис, 1999.
ЗАНЯТИЕ 1
Введение
Использование финансовой информации часто имеет первостепенное значение при принятии хозяйственных решений. Рассмотрим ряд методов анализа финансовых данных и, в частности, стоимость денег во времени. Это неизбежно затрагивает рассмотрение понятия “процент” и того, как изменения процентных
ставок влияют на принятие соответствующих хозяйственных решений. Эти решения распространяются на такие области, как капиталовложения, ссуды и займы, и
учитывают такие факторы, как амортизация, инфляция и налоговые скидки.
На последующих примерах мы покажем сферу применения финансовой математики.
Пример 1.1. Компания “Торнберри”
Компания “Торнберри Бэйкириз” основана в конце 50-х годов нашего века.
Первоначально компания обосновалась в центре Лос-Анджелеса и занималась
выпечкой хлебобулочных и кондитерских изделий для местного потребления. В
60-е годы отмечался быстрый рост объемов продаж изделий компании, и к 1975 г.
валовый оборот превысил 300 млн. долл. США. Компания и в дальнейшем постепенно наращивала объемы производства, и в 1995 г. оборот составил 1,3 млрд.
долл. США. Компания дополнительно развернула крупные производства по всей
территории США и Канады, в том числе в Окленде, Новом Орлеане, Ванкувере и
Монреале.
Ныне используемое самое современное и высокотехнологичное производственное оборудование уже ничем не напоминает то, с чем компания скромно
начинала свою деятельность. В компании считают, что вложения в такое оборудование имеют первостепенное значение для того, чтобы обеспечить предложение высококачественных изделий по конкурентной цене. Леонард Килби, директор по производству компании “Торнберри”, отвечает за принятие решений по
вопросам приобретения наиболее приемлемого оборудования и другой техники.
При принятии таких решений необходимо учитывать качество предлагаемых
изделий, розничную цену, а также условия погашения кредитов. Так, в последнее
время решения по большей части склонялись в пользу лизинга, а не приобретения. Использование основных методов определения стоимости денег во времени
(с учетом амортизации и чистой дисконтированной стоимости) лежит в основе
формирования оптимальной стратегии компании.
Так, недавно компания внедрила систему по предоставлению автомобилей в,
пользование руководителей высшего и среднего звена. На первом этапе компания
приобрела несколько автомобилей для своих сотрудников. Однако затем с помощью методов финансовой математики было просчитано, что наиболее эффективно с точки зрения затрат брать машины в аренду с последующим правом “обратного выкупа” работниками, и это позволило компании увеличить парк машин,
предназначенных для управленцев.
Пример 1.2. Компания “Паркер и Джеймсон”
Группа “Паркер и Джеймсон” базируется в Великобритании и имеет в своем
составе подразделение аналитиков по хозяйственным и финансовым вопросам.
Эти аналитики предлагают разнообразные услуги частным лицам и корпоративным клиентам. Компания с местом нахождения в Лондоне дает консультации и
оказывает помощь по ряду вопросов, например консультации по вопросам инвестиций.
Компания предлагает проведение оценки инвестиций и, при необходимости,
может управлять инвестиционным портфелем от имени клиента. Предлагаются
консультации по вопросам кредитования и по вопросам налоговых льгот.
В составе компании имеется группа специалистов, консультирующих по вопросам капитальных ссуд и ипотеки. Консультации по вопросам ссуд, займов и
инвестиций ориентированы на каждого клиента в отдельности, в зависимости от
его статуса как налогоплательщика и имеющихся льгот по налогообложению. Рекомендации по таким вопросам, как прибыль на инвестицию или стоимость кредитных ресурсов, подразумевают использование финансово-математических ме-
тодов, например чистой дисконтированной стоимости, дисконтирования и амортизации. Эти понятия и будут рассмотрены на наших занятиях.
ЗАНЯТИЕ 2
Простой процент
Рассмотрим ситуацию, когда исходная сумма денег помещается на сберегательный счет под фиксированный процент. При этом процент выплачивается
непосредственно инвестору, а не прибавляется к исходной сумме вложения.
Это пример варианта размещения денежных средств под простой процент.
Так, если мы вложим 200 ф. ст. под 5% годовых, то в конце каждого года будем
получать процентный доход в размере 5% от первоначальной суммы вложения.
Следовательно, ежегодно мы будем получать 5% от 200 ф. ст., при условии, что
денежные средства не изымаются по окончании этого срока. То есть в конце каждого года мы будем получать по 200х0,05=10 ф. ст.
Этот простой пример можно облечь в следующую формулу финансовой математики.
Пусть Р – основная сумма, или сумма вложения, и r – процентная ставка, выраженная в процентах. Тогда процентный доход (I), получаемый в конце каждого
периода, вычисляется по формуле
I = Pr/100
(2.1)
В более общем виде процентный доход, получаемый за n периодов, вычисляется по формуле
I = Pnr/100 (2.2)
И наконец, сумма денежных средств в распоряжении инвестора, по аканмнии n периодов складывается из суммы процентного дохода и суммы первоначального вложения. Это представлено следующей формулой, где А обозначает
сумму денежных средств в распоряжении инвестора:
А= Р + Pnr/100
(2.3)
Эти формулы в равной степени пригодны для вычисления процента к уплате
за пользование заемными средствами с фиксированной суммой по ставке простого процента. На последующих примерах мы рассмотрим вычисление простого
процента по этим формулам.
Пример 2.1.
Частное лицо помещает 800 ф. ст. на депозит в банке по ставке простого процента из расчета 4% годовых. Вычислите, какую сумму инвестор будет иметь на
счете через два года.
В данном примере, исходя из формулы (2.2), имеем:
Р – первоначальное вложение, так называемая “основная сумма”, – 800 ф. ст.;
r – процентная ставка – 4% годовых;
n – временной период инвестиции – 2 года.
Следовательно, процентный доход инвестора составляет:
I = Pnr/100 = 800х2х4/100 = 64 ф. ст.
Таким образом, за два года инвестор получит 64 ф. ст. Поэтому через один
года на счете инвестора будет 864 ф. ст.
Пример 2.2
Рассмотрим ситуацию, когда компания “Торнберри” занимает денежные
средства под простой процент сроком на три года. Сумма заемных средств составляет 200 000 долл. США, фиксированная процентная ставка – 6% годовых из
расчета простого процента сроком на 3 года.
В этом примере имеем:
Р – сумма заемных средств – 200 000 долл.;
r – годовая процентная ставка – 6%; n – количество лет – 3.
Следовательно, сумма процентов к уплате за три года составляет:
I = Pnr/100 = 200000х3х6/100 = 36000.
Таким образом, при исходной сумме кредита в 200000 долл. компания выплатит 36 000 долл. в виде процентов.
ЗАНЯТИЕ 3
Сложный процент
Основное различие между простым и сложным процентом заключается в
следующем. Процент на инвестицию называется простым, если он прибавляется к
исходной сумме в конце каждого периода. И наоборот, если процент прибавляется к исходной инвестиции, то фактически инвестированная сумма увеличивается,
и процентный доход от такой новой суммы инвестиции также увеличивается в той
же самой пропорции. Это получило название компаундинга, или сложения процентов, и на такую инвестицию зарабатывается процентный доход, исходя из
сложного процента.
Например, если 100 долл. положены на счет под 10% годовых по ставке
сложного процента, то в конце первого года на счете окажется 110 долл., которые
складываются из 100 долл. – суммы исходного вложения и 10 долл. – суммы процентного дохода.
В течение второго года проценты из расчета 10% годовых начисляются на
совокупную сумму в 110 долл. То есть в течение второго года инвестиция принесет 11 долл. дохода. После же двух лет общая сумма вложения увеличится до 121
долл. Аналогично, за третий год инвестиция принесет 12,10 долл. дохода (10% от
121 долл.). Как видно, с каждым годом инвестиция приносит все больший процентный доход.
Воспользуемся формулой (2.1). Мы имеем:
Р – основная сумма (т. е. сумма вложения);
n – процентная ставка, выраженная в %.
Тогда сумма процентного дохода, получаемого в конце каждого периода, вычисляется по формуле
I = Pr/100
Далее, сумма в конце периода увеличилась до:
А = Р + Pr/100
Это выражение можно записать в следующем виде:
А = Р (1 + r/100)
(3.1)
И наконец, сумма денежных средств в распоряжении инвестора по окончании n периодов рассчитывается по формуле
А = Р (1 + r/100)n (3.2)
Иногда для получения этого значения применяется альтернативная формула,
в которой процентная ставка выражена в десятичных долях (R). То есть если процентная ставка составляет 12%, то R = 0.12. Сумму после n периодов тогда можно
записать как
А = Р (1 + R)n
(3.3)
Эти формулы предполагают выплаты в конце каждого периода. Во многих
практических ситуациях могут производиться дополнительные выплаты. Так, если мы рассматриваем годичный период, а выплаты производятся ежемесячно (т. е.
12 раз в году), тогда формулу необходимо видоизменить. При т выплатах за период сумма денежных средств по окончании n периодов составляет:
А = Р (1 + r/100m)nm
или
А = Р (1 + R/m)nm (3.5)
(3.4)
ЗАНЯТИЕ 4
Примеры вычисления сложного процента
Пример 4.1
500 ф. ст. помещаются на депозит под 7% годовых. Вычислите общую сумму
на счете после четырех лет и сумму процентного дохода, полученную за этот период.
Имеем Р = 500 ф. ст. и r = 7%. Через четыре года (n = 4) общая сумма вложения составит:
А = Р (1 + r/100)n = 500 (1+ 7/100 ) 4 = 500 (1,3018) = 655,4.
Таким образом, по окончании четырех лет сумма инвестиции составит 655,4
ф. ст. Следовательно, исходное вложение принесет за четыре года процентный
доход в сумме 155,4 ф.ст.
Пример 4.2
Рассмотрим вложение в 1000 долл. США под процентную ставку в 6% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Общая сумма на счете по окончании
пяти лет рассчитывается следующим образом:
А = Р (1 + r/100m)nm,
где Р = 1000, r = 6%, n = 5, m = 4 (4 периода, квартала, в году). Отсюда
А = 1000 (1 + 6/100х4) 4х5 = 1000 (1 + 0,015) = 1000х1,3469= 1346,9 долл.
Сравните полученное значение с общей суммой на счете в случае, если проценты выплачиваются ежегодно. В этом случае
А = 1000 (1 + 6/100) 5 = 1338,2 долл.
Таким образом, даже когда годовая процентная ставка остается неизменной,
увеличение количества периодов выплат увеличивает общую сумму прибыли на
вложение.
Пример 4.3
Рассмотрим вложение в 500 ф.ст. на депозит под 10% годовых. По окончании
каждого года докладывается еще 100 ф. ст. Вычислим сумму, накопленную по истечении первых четырех лет.
В конце второго года сумма равна: 650 (1 +10/100) 1 = 715.
Докладываются еще 100 ф. ст., что дает в итоге 815 ф. ст.
В конце третьего года сумма равна: 815 (1 + 10/100) 1 = 896,50.
Докладываются еще 100 ф. ст., что дает в сумме 996,50 ф. ст.
В конце четвертого года сумма равна 996,5 (1 + 10/100) 1 = 1096,15.
Прибавив еще 100 ф. ст. по окончании четвертого года, получим общую
сумму в 1196,15, полученную от вложения в целом 900 ф. ст. за период в четыре
года.
ЗАНЯТИЕ 5
Упражнения: простой и сложный процент
5.1. Вычислите сумму простого процентного дохода при вложении на следующих условиях:
а) 10 000 ф. ст. под 5% годовых на 4 года;
б) 6000 ф. ст. под 12% годовых на 18 месяцев;
в) 2500 ф. ст. под 8% годовых на 6 1/2 лет.
5.2. В таблице приведены планируемые суммы накоплений от вложения исходной суммы в 1000 ф. ст. за определенное количество лет:
Год
Сумма в конце года (ф. ст.) при годовой ставке сложного процента
2%
4%
6%
8%
1
1020
2
1040,40
3
4
1060
1081
1124,86
1082,43
1166,40
1191,02
1259,71
1169,86
а) заполните пропуски в таблице с помощью формулы сложного процента.
б) с помощью таблицы найдите итоговые накопления от следующих вложений:
– 2000 ф. ст. под 4% годовых на 3 года;
– 10 000 ф. ст. под 8% годовых на 4 года;
– 500 ф. ст. под 6% годовых на 2 года.
5.3. Найдите сумму накоплений от следующих вложений при условии, что
процент начисляется ежемесячно и прибавляется к исходной сумме:
а) 4000 ф. ст. под 6% годовых на 18 месяцев;
б) 1000 ф. ст. под 2% годовых на 3 года.
ЗАНЯТИЕ 6
Ставка процента в годовом исчислении
Ставка процента в годовом исчислении есть чистый процент, уплачиваемый
за пользование кредитом или получаемый от инвестиции, в котором учитывается
сложение процентов за несколько временных периодов.
Так, на четвертом занятии мы рассмотрели задачу вычисления суммы годового сложного процента при ежеквартальном начислении процентов. Во многих
случаях вложение приращивает сумму процентов ежемесячно, хотя указана только годовая ставка процента. Согласно законодательству Великобритании для таких вложений обязательно указание ставки процента в годовом исчислении, с тем
чтобы можно было реально сравнить инвестиционные предложения или варианты
кредитования.
Пример 5.1
Рассмотрим вложение в 100 ф. ст. под 6% годовых при ежемесячном начи
слениии процентов. Указанная ставка в 6% – это так называемая номинальная
ставка процента, и она реально не отражает суммы процентного дохода при такого рода вложениях.
В этом примере мы имеем основную сумму Р = 100 ф. ст., r = 6% и число
выплат в год т = 12.
Для периода в один год (n = 1) накопленная сумма рассчитывается в формуле
А = Р (1 + r/100m)nm = 100 (1 + 6/100х12) 1х12= 100 (1,005) 12 = 106,17 ф.ст.
Таким образом, вложение в 100 ф. ст. принесло за год 6,17 ф. ст. Поэтому
ставка процента в годовом исчислении составляет 6,17%.
Пример 5.2
Компания – эмитент кредитных карточек взимает 2,4% в месяц с сумм дебетового остатка. Номинальная справка процента составляет 2,4 х 12 = 28,8% в год.
Однако она не является чистой процентной ставкой, применяемой в отношении
держателей кредитных карточек. Чистая ставка, т. е. процентная ставка в годовом
исчислении, рассчитывается следующим образом.
Рассмотрим задолженность в 1 долл. США в течение года. Имеем: Р = 1, n =
1, т = 12 и r = 28.8%.
Получаем накопленную сумму:
А = Р (1 + r/100m)nm = 1 (1 + 28,8/100х12) 1х12 = 1,024 12 = 1,3292 долл.
Это означает, что чистая ставка процента по этому кредиту составляет
32,93%.
Следует отметить, что базовую формулу сложного процента можно использовать в такого рода примерах. Мы знаем, что процентная ставка составляет 2,4%
в месяц, и при исходной сумме в 1 долл., инвестированной на год, получаем:
А = Р (1 + r/100)n = 1 (1 + 2,4/100) 12 = (1.024) 12 = 1,3292 долл.
что аналогично значению, полученному при использовании альтернативного
подхода.
ЗАНЯТИЕ 7
Чистая дисконтированная стоимость
Рассмотрим сумму вложения, необходимую для накопления конкретного
объема вложений в заданный момент времени в будущем. Так, если через два года
нам понадобится 500 ф. ст., то сколько средств нео6ходимо вложить сейчас, чтобы добиться этого? Это значение называется текущей ценностью будущей потребности. Формула (3.2) определяет стоимость будущего вложения исходя из заданной текущей стоимости. Следовательно, если эту формулу обратить, то мы
сможем вычислить текущую стоимость исходя из будущей потребности.
Так, мы знаем, что А = Р (1 + r/100)n, где Р – текущая стоимость, а А –
накопленная, или будущая, стоимость. Путем преобразования формулы получаем:
Р = А / (1 + r / 100)n
(7.1)
В качестве варианта используется понятие чистой дисконтированной стоимости, которая получается путем вычитания исходного вложения из будущей
стоимости. Таким образом,
Чистая дисконтированная стоимость = А / (1 + r / 100)n - Р
где Р обозначает текущую стоимость, а А – будущую стоимость.
Понятие текущей стоимости связано с вычислениями с применением дисконтирования. В процессе дисконтирования стоимость денег рассматривается в их
движении в обратном направлении во времени. Это сопоставимо с понятием компаундинга, когда мы рассматриваем стоимость денег в их движении вперед во
времени.
Пример 7.1
Инвестиционное предложение состоит в фиксированной норме прибыли из
расчета 8% годовых в течение 5 лет. Давайте рассмотрим, какую сумму необходимо положить сейчас, чтобы по истечении указанного срока накопить 2000 ф. ст.
Имеем: А = 2000, r= 8% и n = 5.
Следовательно, текущую стоимость можно вычислить следующим образом:
Р = А / (1 + r / 100)n = 2000 / (1+0,08) 5 = 1361,17 ф. ст.
Итак, сейчас необходимо вложить 1361.17 ф. ст., чтобы через пять лет эта
сумма превратилась в 2000 ф. ст.
Пример 7.2
При ставке сложного процента 6% в год рассмотрим два варианта единовременного вложения определенной суммы. По первому варианту через три года мы будем иметь 1000 ф. ст., а по второму варианту – 1200 ф. ст. через пять лет. Эти два
варианта можно сравнить, рассчитав для каждого случая чистую дисконтированную стоимость. Для первого варианта текущая стоимость определяется как
Р = А / (1 + r / 100)n = 1000 / (1+0,06) 3 = 839,62 ф. ст.
Для второго варианта текущая стоимость равна
Р = А / (1 + r / 100)n = 1000 / (1+0,06) 5 = 896,71 ф. ст.
Следовательно, как это видно из полученных значений, текущая стоимость
при втором варианте выше, чем при первом. Поэтому, исходя из приведенных
вычислений, второй вариант вложения кажется более выгодным. Следует отметить, что на практике для определения наилучшего варианта инвестирования приходится учитывать и другие факторы, о чем мы поговорим позднее.
ЗАНЯТИЕ 8
Чистая дисконтированная стоимость. Продолжение
Пример 8.1
Рассмотрим вложение в 1000 долл., которое станет 2000 долл. через четыре
года. При условии годовой ставки дисконта в 8% можно рассчитать чистую дисконтированную стоимость:
Чистая дисконтированная стоимость = А / (1 + r / 100)n - Р
где Р – текущая стоимость = первоначальное вложение – 1000 долл.; А – окончательная стоимость вложения – 2000 долл.;
r – ставка дисконта – 8%; n – число периодов – 4. Итак,
Чистая дисконтированная стоимость = А / (1 + r / 100)n – Р =
= 2000 / (1 + 8/100) 4 – 1000 = 1470,05 – 1000 = 470,05.
Таким образом, при условии, что ставка дисконта в 8% достаточна, вложение
все же выгодно, хотя, конечно, неплохо было бы рассмотреть другие варианты
вложений с целью установления, является ли значение чистой дисконтированной
стоимости оптимальным.
Пример 8.2
Рассмотрим ситуацию, когда требуется 100 ф. ст. на конец периода вложения. Чтобы вычислить сумму вложения в настоящий момент, воспользуемся формулой текущей стоимости, как это показано в предыдущих примерах.
Так, при условии годовой процентной ставки в 10% в течение трех лет текущая стоимость составляет:
Р= А / (1 + r / 100)n =100 / (1,1) 3 = 100 (1,33) =100 х 0,751= 75.10 ф. ст.
Таким образом, вложив 75,10 ф. ст. сейчас, через три года мы будем иметь
100 ф. ст. Для данного вложения существует дисконтирующий множитель, равный 0.751. В нашем примере дисконтирующий множитель – это просто значение.
В целом, вычисления с применением дисконтирования могут быть сложны, и
для облегчения вычислений могут использоваться таблицы дисконтирования. В
этих таблицах приведены дисконтирующие множители, соответствующие различным процентным ставкам в зависимости от временного периода. Так, в таблице ниже приведены дисконтирующие множители для процентных ставок от 4 до
10% и для периодов от 1 года до 5 лет.
Количество лет
Годовая процентная ставка
4%
6%
8%
10%
1
0.962
0.943
0.926
0.909
2
0.925
0.890
0.857
0.826
3
0.889
0.840
0.794
0.751
4
0.855
0.792
0.735
0.683
5
0.822
0.747
0.681
0.621
Такую таблицу можно использовать для определения суммы вложения, необходимой для достижения определенной суммы в течение заданного периода времени. Так, если через 5 лет при ставке процента в 6% требуется иметь сумму в 500
ф. ст., то необходимая сумма вложения находится по таблице следующим образом: вложение на пять лет при процентной ставке 6% имеет дисконтирующий
множитель 0.747, что видно из таблицы. Следовательно, сумма, которую необходимо вложить сейчас, чтобы потом иметь 500 ф. ст., рассчитывается следующим
образом: 0.747 х 500 = 373.50 ф. ст.
ЗАНЯТИЕ 9
Упражнения: Ставка процента в годовом исчислении и текущая стоимость
9.1. Вычислите ставку процента в годовом исчислении на основании текущей
информации, где процентные ставки даны в процентах годовых. В каждом из случаев определите накопленную сумму на конец года.
а) Вложение 100 ф. ст. при номинальной ставке 6% с ежемесячным начислением процентов.
б) Вложение 500 ф. ст. при номинальной ставке 10% с ежеквартальным
начислением процентов.
в) Вложение 1000 ф. ст. при номинальной ставке 7% с начислением процентов каждые полгода.
9.2. Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы по окончании указанных периодов накопить означенные суммы при условии, что процентный доход прибавляется к сумме вложения по окончании года.
а) 2000 долл. США через два года при 10% годовых.
б) 5000 долл. США через три года при 6% годовых.
9.3. Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы накопить
сумму в 1000 ф. ст. по окончании заданных периодов:
а) за пять лет при 4% годовых;
б) за два года при 7% годовых;
в) за шесть лет при 10% годовых.
9.4. Найдите чистую дисконтированную стоимость для каждого из следующих вложений и обоснуйте, какое из вложений, на ваш взгляд, наиболее выгодное:
а) Текущее вложение в 1000 ф. ст., которое за два года должно вырасти до
1600 ф. ст. при ставке дисконта 6%;
б) Текущее вложение в 3000 ф. ст., которое за четыре года должно вырасти
до 6000 ф. ст. при ставке дисконта 10%;
в) Текущее вложение в 10 000 ф. ст., которое за шесть лет должно вырз сти
до 24 000 ф. ст. при ставке дисконта 8%.
ЗАНЯТИЕ 10
Амортизация
Амортизацию предмета можно определить способом, сходным с методами
сложного процента. Если стоимость предмета (или актива) уменьшается по фиксированной процентной ставке (r) за период, то стоимость этого предмета, после n
периодов рассчитывается по следующей формуле:
An = A0 (1 – r / 100) n
(10.1)
где A0 – текущая стоимость и An – стоимость после n периодов. Значение r называется нормой амортизации.
Пример 9.1
Стоимость одного из тестозамесочных агрегатов компании “Торнберри” в
настоящее время составляет 300 000 долл. США. При условии нормы амортизации 10% в год определите стоимость агрегата через четыре года.
В этом примере мы имеем:
Текущая стоимость A0 = 300 000
Норма амортизации r = 10%
Число лет n = 4
С помощью формулы амортизации определяем:
An = A0 (1 – r / 100) n = 300 000 (0,9) 4 = 300 000 х 0,6561 = 196 830 долл.
Таким образом, стоимость этого агрегата через четыре года будет равна 196
830 долл., т. е. за указанный период произойдет снижение его стоимости на сумму
103 170 долл.