Задачи для проведения муниципального этапа олимпиады в 2013-2014 учебном году (условия). 1.

Задачи для проведения муниципального этапа олимпиады в 2013-2014
учебном году (условия).
УДАЧИ ВСЕМ УЧАСТНИКАМ ОЛИМПИАДЫ!!!
7 класс
1.
(И.Григорьева) Решите ребус, при этом помните, одинаковые
буквы означают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры;
первая цифра каждого числа должна быть отличной от нуля.
СТО · СТО = СЕКРЕТ.
Ответ: 897 · 897 = 804609.
Решение.
Так как 100000 – самое маленькое шестизначное число, то СЕКРЕТ >
Значит, С ≥ 3. Следовательно, СЕКРЕТ
> 300000, откуда СТО >
. Продолжая рассуждения по
аналогии, получаем, что СЕКРЕТ > 700000, откуда СТО >
.
Значит, С ≥ 8.
Теперь обратим внимание на последние цифры. Чисел СТО и СЕКРЕТ.
Произведение О·О кончается на Т. Поэтому возможны варианты: (О; Т) это
(2; 4), (3; 9), (4; 6), (7; 9) (8; 4) (9; 1). Осталось к каждому из чисел ТО = 42,
93, 64, 97, 48, 19 слева приписать цифру 8 или 9 , возвести в квадрат и
проверить данное равенство.
2. Дано некоторое число из 1959 цифр, делящееся на 9. Пусть a -и
сумма цифр этого числа, b – сумма цифр числа a , с – сумма цифр
числа b . Чему равно число с ?
Ответ: 9.
Решение.
Число a не превышает 1959
9 = 17631, число b не превышает 5
9=
45. Следовательно, с = 9 (каждое из чисел a, b и с должно делиться на 9).
3. (Р.Семизаров) Аня, Ваня и Саня рисовали чёртиков на чистых
тетрадных листочках. Экономная Аня нарисовала больше чёртиков, чем
Ваня и Саня вместе, и израсходовала на это меньше всех листочков, а
расточительный Ваня нарисовал меньше всех чёртиков, но извёл
больше листочков, чем Аня вместе с Саней. Больше 5 чёртиков на
листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не меньше 6
листочков.
Доказательство:
Пусть у Ани было n листочков. Тогда у Сани их было не менее n + 1, а
у Вани - не менее 2n + 2. Значит, Ваня нарисовал не менее 2n + 2 чертиков,
а Саня – не менее 2n + 3 чертиков. Следовательно, Аня нарисовала не менее
4n + 6 чертиков. Но поскольку у Ани было лишь n листочков, то она не могла
нарисовать больше 5n чертиков. Значит, 4n + 6 ≤ 5n, откуда n≥ 6.
4. Найти сумму:
Ответ:
.
Решение.
Так
5.
как
,
то
Решите задачу:
Часовая и минутные стрелки часов совпадают в полночь. В какое
время новых суток часовая и минутная стрелки впервые совпадут
снова, если стрелки часов движутся без скачков?
Ответ: в 1 ч
Решение.
Очевидно, совпадение стрелок произойдет вскоре после часа ночи.
Пусть часовая стрелка сдвинется к этому моменту на (1+а) делений часов,
где а <1. Так как минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то
она за то же время сдвинется на (12+12а) делений. До момента совпадения
минутная стрелка в сравнении с часовой пройдет лишний круг, т.е. ее путь
больше пути часовой стрелки на 12 делений. Получаем уравнение: (12+12а) (1+а) = 12. Отсюда находим, что а =
произойдет в 1
6.
Следовательно, совпадение стрелок
в1ч
(Ф.Назаров) Имеется неограниченный запас монет в 1,2,5, 10,
20, 50 копеек и в 1 рубль. Докажите, что если можно заплатить m копеек
n монетами, то n рублей можно уплатить m монетами.
Доказательство.
Пусть m=
Умножив
x+2y+5z+10t+20u+50v+100w и
второе
равенство
на
100,
100x+50·2y+20·5z+10·10t+5·20u+2·50v+1·100w,
равенством и дает требуемый результат.
что
n=
x+y+z+t+u+v+w.
получим,
вместе
100n=
с
первым
8 класс
1. Вычислите произведение
Ответ:
.
Решение:
Упростим
это
выражение:
Полученное
произведение можно сократить на 2
имеем:
После этого
.
2. Что больше:
или
Ответ:
?
.
Решение:
Обозначим число 111111 через a . Тогда первая дробь
.
Составим разность этих дробей и определим
,
вторая –
её знак
3. (В. Произволов) Полукруг касается катета BC прямоугольника
треугольника ABC в точке M (смотри рисунок). Докажите, что AM
биссектриса угла BAC
Доказательство:
Поскольку OA=OM,то
. По теореме о внешнем угле,
Поскольку
4. (С.Иванов) Под куполом цирка летают, красные, синие и зелёные
воздушные шары – по 150 каждого цвета. Внутри каждого синего
шара находится ровно 13 зелёных, внутри каждого красного –
ровно 5 синих и ровно 19 зелёных. Докажите, что какой- то
зелёный шарик не содержится ни в одном из 449 остальных шаров.
№99.86 (Питер)
5. Из пункта A в B, удалённой от A, на расстоянии 40 км,
одновременно отправились два туриста: первый – пешком со
скоростью 6 км/ч, второй на велосипеде. Когда второй турист
обогнал первого на 5 км, первый сел на попутную машину,
ехавшую со скоростью 24км/ч. Через два часа после отправления
из A первый турист догнал второго и прибыл в B раньше его.
Найдите скорость туриста, ехавшего на велосипеде.
6. Ответ: 9 км/ч
Указание:
Для решения необходимо сделать рисунок на котором отметить пункты
начала и конца движения, а также пункты, в которых оказались
соответственно первый и второй туристы к тому моменту, когда второй
турист обогнал первого на 5 км, а также точку, в которой первый турист
догнал
второго.
После
чего
составляется
система
уравнений
6.(Ф.Назаров) Имеется неограниченный запас монет в 1,2,5, 10, 20, 50
копеек и в 1 рубль. Докажите, что если можно заплатить m копеек n
монетами, то n рублей можно уплатить m монетами.
Доказательство.
Пусть m=
Умножив
x+2y+5z+10t+20u+50v+100w и
второе
равенство
на
100,
100x+50·2y+20·5z+10·10t+5·20u+2·50v+1·100w,
равенством и дает требуемый результат.
что
n=
x+y+z+t+u+v+w.
получим,
вместе
100n=
с
первым
9 класс
1.
Статистика знает всё. В городе Урюпинске 47,7% всех детей
считают, что их нашли в капусте, 15,1%
что их принёс аист, а
оставшиеся 37,2% детей вообще не знают откуда взялись. Аналогичная
статистика среди мальчиков такова: соответственно 33%, 20% и 47% .
Сколько процентов Урюпинских девочек считают, что их принёс аист,
если 63% из них полагают, что были найдены в капусте.
Ответ: 10%
Указание: для удобства данные можно занести в таблицу
капуста аист не знают
…
…
…
x - мальчиков
…
…
…
y- девочек
…
…
…
Используя данные составить линейное уравнение.
2.
На
сколько
нулей
может
оканчиваться
число
Ответ: 0;1;2
Указание: Заметить, что при n=4 данное число оканчивается не нулём, при
n=1 – одним нулём, при n=3 – двумя нулями. Проанализировать оставшиеся
случаи и сделать выводы.
3.
Внутри треугольника ABC взята точка K таким образом, что AK
=1, KC=
,
Найдите длину отрезка
BK.
Ответ:
.
Указание:
Воспользоваться теоремой синусов для треугольников
.
4. На экваторе планеты Транай растут деревья одинаковой высоты.
Если все они упадут на запад, то общая длина участка экватора,
заваленных деревьями составит 100 км. Докажите, что если все деревья
упадут на восток, то общая длина заваленных участков экватора тоже
составит 100 км ( высота деревьев намного меньше размера планеты )
Указание:
Показать и обосновать, что условие выполнится, если длина деревьев
будет одинакова.
5 (Э.Балаян) Доказать, что
Решение:
Данное выражение представим в виде
в виде
. Известно, что сумма нечётных степеней делится на сумму оснований,
а разность любых целых степеней делится на разность оснований.
Тогда выражение, стоящее в первой скобке делится на 333+7=340, т.е.
на 10. Выражение во второй скобке делится на 777-7=770, т.е. на 10.
Наконец,
выражение
в
третьей
скобке
, кратно 10, так как
2401-1=2400. Итак, данное выражение делится на 10
6. (С.Берлов) На очень большом столе лежат две кучи спичек . В
первой куче
а во второй –
. Два игрока по очереди берут
спички из куч. Одним ходом разрешается брать
другой – m так. Чтобы
k
выигрывает взявший
последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?
Ответ: выигрывает первый №98 76 (питер)
спичек, из
10 класс
1.Верно ли, что при любых неотрицательных a,b,c справедливо
неравенство:
?
2.При любом действительном значении параметра a решить
уравнение
.
Ответ:
Решение:
Приведём уравнение к виду
где
определяется из условий
Уравнение
имеет действительные корни при
условии, что
значениях
Тогда при полученных
выполняются
a
неравенства
следовательно,
Решение уравнения
можно записать в виде
3. (Д.Фомин) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD
и
AE,
пересекающиеся
в
точке
P.
Докажите,
что
.
4.Из пункта A в пункт B с интервалом 10 минут выехали 24
велосипедиста, каждый из которых затратил на весь путь 5 часов.
Одновременно с ними из пункта B в пункт A выезжали мотоциклисты,
каждый из которых затратил на весь путь одинаковое время. В пути
произошло 498 встреч (без учёта
встреч в пунктах A
и B ). Какие
значения может принимать время нахождения в пути каждого
мотоциклиста?
1.
Найдите все точные степени числа 2, которые встречаются
среди чисел
2.
При каких значениях параметра a все решения уравнения
удовлетворяет неравенству
?
11 класс
1.Докажите, что среди чисел
содержится
бесконечное множество точных квадратов.
2. Известно, что для величин углов треугольника ABC выполнено
соотношение
. Найдите площадь этого
треугольника, если длины радиусов вписанной в него и описанной около
него окружностей равны
Ответ:
соответственно.
.
Идея. Проанализировать данное в условии соотношение.
Указание. Преобразовать данное в условии соотношение. И выйти
на то, что один из косинусов обязан равняться нулю.
Указание.
Воспользоваться
формулами
для
длин
радиусов
окружностей, вписанной в прямоугольный треугольник и описанной
около него
Решить систему уравнений
Ответ:
.
Указание. Умножить первое уравнение системы на (x-y),
второе – на
(y-z),
третье – на (z-x) . Затем получаем
Складывая которые получим
Подставляя полученное выражение для z
в третье уравнение
первоначальной системы, получим уравнение, которое решая совместно с
первым уравнением первоначальной системы и исключая свободные члены,
путём умножения на 7 и на 19 первое и второе уравнения соответственно.
Вычесть и прийти к однородному уравнению. Довести решение до
конца самостоятельно.
5.Из пункта A в пункт B с интервалом 10 минут выехали 24
велосипедиста, каждый из которых затратил на весь путь 5 часов.
Одновременно
с
ними
из
пункта
B
в
пункт
A
выезжали
мотоциклисты, каждый из которых затратил на весь путь одинаковое
время. В пути произошло 498 встреч (без учёта встреч в пунктах A и
B). Какие значения может принимать время нахождения в пути
каждого мотоциклиста?
6. Найдите функцию f , заданную на множестве Q рациональных
чисел, такую, что
для любых рациональных чисел x и y
выполняется равенство:
Ответ:
Решение: Методом математической индукции легко доказывается
равенство
где
- любые рациональные числа.
Далее задача решается в несколько шагов.
1) Положить
в
последнем
равенстве
с
2) Найдём
3) Вычислим
функциональном
.
С
этой
целью
уравнении
cтр. 365
в
последнем
положим