№1.14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ И ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ Цель работы: изучение тепловых процессов в идеальном газе, ознакомление с методом Клемана – Дезорма и экспериментальное определение отношения молярных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном объеме. Рисунок 1 – Внешний вид установки ФПТ1-6н Описание установки. Внешний вид рабочей панели и принципиальная схема экспериментальной установки ФПТ1-6н представлена на рисунке 1: 1 – включатель «СЕТЬ» для питания установки; 2 – включатель «Компрессор» для нагнетания воздуха в рабочий сосуд (емкость объемом V = 3500 см3), расположенный в полости корпуса; 3 – кран К1, необходимый для предотвращения сброса давления из рабочего сосуда после остановки компрессора; 4 – пневмоклапан «АТМОСФЕРА», позволяющий на короткое время соединять рабочий сосуд с атмосферой; 5 – измеритель давления в рабочем сосуде; 6 – измеритель температуры в рабочем сосуде. Методика измерений и расчетные формулы Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Уравнение, устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния. Для идеальных газов таким уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева: m pV = RT , (1) M где m – масса газа; M – молярная масса, R = 8,314 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная. Любое изменение состояния термодинамической системы, связанное с уменьшением или увеличением хотя бы одного из параметров p, V, Т, называется термодинамическим процессом. Изопроцессы – это процессы, протекающие при одном постоянном параметре: изобарический – при р = const; изохорический – при V = const; изотермический – при Т = const. Адиабатический процесс совершается без теплообмена с окружающей средой, поэтому для его осуществления систему теплоизолируют или ведут процесс так быстро, чтобы теплообмен не успел произойти. При адиабатическом процессе изменяются все три параметра р, V, Т. При адиабатическом сжатии идеального газа температура его повышается, а при расширении понижается. На рисунке 2 в системе координат р(V) изображены изотерма (рV = const) и адиабата (рVγ = const). Из рисунка 2 видно, что адиабата спадает круче изо- термы. Объясняется это тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления газа происходит не только из-за уменьшения его объема, как при изотермическом сжатии, но и за счет повышения температуры. Теплоемкостью вещества (тела) называется величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания его на единицу температуры. Теплоемкость зависит от массы тела, его химического состава и вида теплового процесса. Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью Смол. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты δQ, сообщенное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии dU системы и совершение системой работы δA против внешРисунок 2 – Изотерма и адиабата них сил: δQ = dU + δA. (2) Используя первое начало термодинамики (2) и уравнение Клапейрона – Менделеева (1), можно вывести уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс: pVγ = const, или в других параметрах: TVγ-1 = const , Tγp1-γ = const . В этих уравнениях γ – показатель адиабаты: γ = Cp/CV где СV и Сp – молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении, соответственно. Для идеального газа расчет теплоемкостей СV и Сp можно провести теоретически. При нагревании газа при постоянном объеме (изохорический процесс) работа газа δA = рdV равна нулю, поэтому молярная теплоемкость: δQ dU d i i (3) CV = = = R dT = R , dT dT dT 2 2 где i – число степеней свободы, т. е. количество независимых параметров, с помощью которых однозначно можно задать движение молекулы; индекс V означает изохорический процесс. При изобарном нагревании (p = const) теплота, подводимая к газу, расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение работы расширения газа δA = pdV = (m/M) RdT. Теплоемкость моля газа при этом равна: ( C p= ) δ Q dU δ A i i+2 = + =C V + R= R+ R= R , dT dT dT 2 2 (4) т.е. Cp = CV + R. (5) Уравнение (5) называется уравнением Майера. Из (4) и (5) видно, что разность молярных теплоемкостей Ср – СV = R численно равна работе расширения одного 2 моля идеального газа при нагревании его на один кельвин при постоянном давлении. В этом заключается физический смысл универсальной газовой постоянной R. Для идеальных газов отношение γ = (Cp/CV) = (i+2)/i зависит только от числа степеней свободы молекул газа, которое, в свою очередь, определяется структурой молекулы, т.е. количеством атомов, из которых состоит молекула. Одноатомная молекула (инертные газы) имеет 3 степени свободы, однозначно определяющие скорость ее поступательного движения. Если молекула состоит из двух атомов, то число степеней свободы складывается из числа степеней свободы поступательного движения (iпост = 3) центра масс и вращательного (iвр = 2) движения системы вокруг двух осей, перпендикулярных к оси молекулы, т.е. равно 5. Для трех- и многоатомных молекул i = 6 (три поступательные и три вращательные степени свободы). В данной работе определяется коэффициент γ для воздуха. Если при помощи насоса в сосуд накачать некоторое количество воздуха, то давление и температура воздуха внутри сосуда повысятся. Вследствие теплообмена с окружающей средой через некоторое время температура воздуха, находящегося в сосуде, сравняется с температурой T0 внешней среды. Давление, установившееся в сосуде, равно р1 = р0 + р′, где р0 – атмосферное давление, р′ – добавочное давление. При этом воздух внутри сосуда характеризуется параметрами (р0 + р′), V0, Т0, а уравнение состояния имеет вид: m ( p 0+ p ' )V 0= R T 0 . (6) M Если на короткое время (~ 3 с) открыть пневмоклапан «АТМОСФЕРА», то воздух в сосуде будет расширяться. Этот процесс расширения можно рассматривать как подключение к сосуду дополнительного объема V′. Давление в сосуде станет равным атмосферному p0, температура понизится до Т1, а объем будет равен V0 + V′. Тогда в конце процесса уравнение состояния будет иметь вид: m p 0 (V 0 +V ' )= R T . (7) M Разделив выражение (7) на выражение (6), получим: (V 0+V ' ) p 0 T 1 = . (8) ( p 0+ p ' )V 0 T 0 Расширение происходит быстро, так что в течение процесса теплообмен с окружающей средой незначителен и им можно пренебречь, т. е. процесс можно считать адиабатическим. Поэтому для начального и конечного состояний системы справедливо соотношение: γ V0 p0 γ γ . (9) ( p 0+ p ' )V 0 = p 0 (V 0 +V ' ) , или γ= (V 0 +V ' ) p 0+ p ' Охладившийся при расширении воздух через некоторое время, вследствие теплообмена с внешней средой, нагреется до комнатной температуры Т0 (изохорический процесс). Давление возрастет до некоторой величины р2 = р0 + р′′, где р′′ – новое добавочное давление. Для воздуха массой m′, оставшегося в сосуде, уравнение состояния в начале нагрева: m' p 0 V 0= RT 1 , (10) M а в конце нагрева до комнатной температуры Т0: 3 ( p 0+ p ' ' )V 0= m' RT . M (11) Разделив (10) на (11), получим: p0 T = 1 . (12) p0 + p' ' T 0 Правые части выражений (8) и (12) одинаковы, поэтому левые части также рав- ны: (V 0+V ' ) p 0 p0 p + p'' V0 = , или 0 = . (13) ( p 0+ p ' )V 0 p 0 + p ' p 0 + p' V 0+V ' Возведя левую и правую часть (13) в степень γ, запишем: ( p 0 + p ' ' )γ V 0γ = . (14) ( p 0+ p ' )γ (V 0 +V ' ) γ Заменим правую часть (14) с учетом (9): ( p 0 + p ' ' )γ p0 ; γ = ( p0+ p ' ) p0 + p ' откуда (1+ p ' ' / p 0) γ −1 . (15) γ =(1+ p ' / p 0 ) (1+ p' / p 0) Поскольку р′ << р0; р′′ << р0, то, ограничиваясь первым членом разложения в ряд бинома (1+х)n ≈ 1+nх и пренебрегая членами второго порядка малости, получим: 1+ γ( p ' ' / p 0) p' =1− ; 1+ γ( p' / p 0) p0 p' ' p' p' p ' p' 1+ γ = 1+ γ 1− ≈γ − +1 ; p0 p0 p0 p 0 p0 откуда: p' γ= . (16) p '− p ' ' ( )( ) Порядок выполнения работы 1) Включить установку переключателем «СЕТЬ», при этом переключатель засветится. 2) Включить подачу воздуха в рабочий сосуд переключателем «КОМПРЕССОР», при этом будет слышен шум работающего компрессора и переключатель засветится. 3) По измерителю давления контролировать рост давления в рабочем сосуде. После достижения необходимого давления отключить компрессор и закрыть кран К1. 4) После стабилизации давления и температуры в рабочем сосуде снять показания измерителя давления (р′). 5) На короткое время соединить рабочий сосуд с атмосферой, повернув пневмоклапан «АТМОСФЕРА» по часовой стрелке до щелчка. 6) После стабилизации давления снять показания измерителя давления (р′′). 4 7) Повторить эксперимент п. 3-6 пять раз при различных начальных давлениях воздуха в сосуде (р′). Таблица 1 – Измерение давлений и расчет показателя адиабаты № опыта р′, кПа р′′, кПа γ εγ Обработка результатов измерений 1) Подставить в формулу (16) полученные значения р′ и р′′, взятые из каждого отдельного опыта, вычислить γ1, γ2 и т.д. Результаты занести в таблицу. 2) Для каждого значения γ оценить относительную погрешность по формуле: Δ γ Δ p ' Δ p ' +Δ p' ' εγ= γ = + . p' p' − p' ' 3) Определить среднее опытное значение γоп. Из значений относительной погрешности выбрать максимальное εγmax. Определить абсолютную погрешность: Δγ = γоп. · εγmax. 4) Записать окончательный результат в виде: γ = γоп ± Δγ, εγ = 5) Определить отклонение полученного значения γ от истинного (γист = 1,4): |γ −γ | δ γ истγ оп . ист 6) Сравнить относительную погрешность с отклонением от истинного значения. Сделать вывод. Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. Какие виды теплоемкости Вам известны? 3. От чего зависит теплоемкость газов? Почему Ср > СV? 4. Что называется числом степеней свободы? Как зависят от числа степеней свободы СV и γ? Зная γ (из опыта), рассчитайте число степеней свободы молекулы воздуха 5. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R? 6. Объясните изменение температуры газа в процессе опыта. 7. Почему адиабата при расширении газа спадает круче, чем изотерма? 8. Выведите уравнение Пуассона для адиабатического процесса. 5 №1.15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА (вариант 1) Цель работы: изучить внутреннее трение, как одно из явлений переноса в газах. Описание установки Работа выполняется на установке ФПТ1-1н, которая представляет собой конструкцию настольного типа, состоящую из двух скрепленных вместе приборного блока 1 и блока рабочего элемента 2, общий вид установки представлен на рисунке 3. На лицевой панели приборного блока 1 находятся цифровые приборы для измерения давления 3 и расхода 4. В состав блока рабочего элемента 2 входит металлический капилляр 5, заРисунок 3 – Общий вид установки ФПТ1-1н крепленный между пневмокамерами 6. Регулировка расхода воздуха через рабочий элемент осуществляется путем вращения регулятора 7. Методика измерений и расчетные формулы Вязкость представляет собой пример так называемых явлений переноса. В упрощенной теории вязкости, которая, тем не менее, охватывает все существенные черты данного явления, используются понятия эффективного диаметра и средней длины свободного пробега молекул газа. Молекулы не все время движутся свободно, а время от времени сталкиваются с другими молекулами. В момент столкновения скорость молекулы испытывает резкое изменение как по величине, так и по направлению. В результате траектория молекулы имеет вид ломаной линии с большим количеством звеньев. Для количественного описания явления Клаузиус ввел понятие средней длины свободного пробега ℓ, т.е. среднего расстояния, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Для оценки ℓ используется модель твердых шаров, с которыми отождествляются молекулы. Диаметр такого шара называется эффективным диаметром молекулы d и совпадает с минимальным расстоянием, на которое сближаются центры двух молекул. Для оценки ℓ предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью υ – средней тепловой скоростью молекул. Тогда: 8k T 8 RT υ= = , (1) π m0 πM где m0 – масса одной молекулы газа; M – молярная масса газа. Вообразим, что с подвижной молекулой жестко связана концентрическая с ней твердая сфера диаметра 2d, которую назовем сферой ограждения молекулы. Между двумя последовательными столкновениями подвижной молекулы ее сфера огражде- √ √ 6 ния описывает цилиндр, длина которого и есть свободный пробег молекулы. Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра, то она столкнется с нашей молекулой, в противном случае столкновения не произойдет. Пусть V – объем цилиндра, описываемого сферой ограждения в единицу времени; его величина составляет V = πd2υ. Среднее число z столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме V, т.е. z = Vn, где n – число молекул в единице объема, или концентрация. Поэтому: z =n π d 2 υ . (2) Путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен ее скорости υ. Разделив этот путь на среднее число столкновений z, получим среднюю длину свободного пробега молекулы: 1 ℓ= (3) 2 . nπd Строгий расчет с учетом максвелловского распределения молекул по скоростям дает следующий результат: z =√ 2 π d 2 n υ , (4) 1 ℓ = υ= . (5) z √2 π d 2 n Наличие внутреннего трения в газах можно проиллюстрировать на следующем примере: между двумя параллельными пластинками АВ и CD площади S (см. рис. 4) находится воздух или иной газ. При движении пластинки CD появляется сила, действующая на пластинку АВ и направленная в сторону движения. Эта сила и есть сила Рисунок 4 – Вязкое трение в газах внутреннего трения. Впрочем, о внутреннем трении можно говорить лишь тогда, когда расстояние между пластинами АВ и CD очень велико по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул газа. Тогда от наличия пластин можно отвлечься и говорить о силах, действующих внутри самого газа. Будем представлять себе газ неограниченным и движущимся стационарно плоскопараллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения u меняется в направлении, перпендикулярном к слоям, это направление примем за ось Oy (рис. 4, 5), т.е. предполагается, что u = u(y). Рассечем мысленно газ на две половины плоскостью, параллельной слоям и проходящей через некоторую точку y0. До- Рисунок 5 – К определению вязкости пустим для определенности, что скорость u(y) возрастает с увеличением y. Тогда верхняя половина газа будет действовать на нижнюю с силой, направленной вправо, а нижняя на верхнюю – с силой, направленной влево. Это и есть силы внутреннего трения, их величина определяется формулой Ньютона : du( y 0) F =−η S (6) dy где η – коэффициент вязкости. 7 С молекулярной точки зрения происхождение сил внутреннего трения объясняется так: если бы газ покоился, то все направления скоростей его молекул были бы равновероятны, а средняя скорость и средний импульс каждой молекулы были бы равны нулю. При наличии упорядоченного движения газа средняя скорость молекулы отлична от нуля и равна u = u(y). С этой скоростью связан импульс Р = m0u, которым обладает рассматриваемая молекула; такой импульс условимся называть упорядоченным. Молекулы, лежащие над плоскостью АВ, обладают большим упорядоченным импульсом, чем молекулы, расположенные под ней. Переходя из верхнего полупространства в нижние, молекулы передают часть своего упорядоченного импульса молекулам, с которыми они сталкиваются в нижнем полупространстве. Это проявляется в том, что газ, расположенный ниже плоскости АВ, подвергается действию силы, направленной в сторону скорости u. Аналогично, более медленные молекулы, попадая из нижнего в верхнее полупространство, при столкновениях отнимают часть упорядоченного импульса у молекул, расположенных выше плоскости АВ. В результате газ в верхнем полупространстве испытывает тормозящую силу, направленную против скорости u. Эти силы и являются силами внутреннего трения. Количественное описание внутреннего трения с помощью рассмотрения потока импульса (который в нашем примере направлен сверху вниз) позволяет получить явное выражение для коэффициента внутреннего трения (вязкости): 1 η= ρ υ ℓ . 3 (7) В (7) использовано соотношение, связывающее плотность газа ρ с массой молекулы m0 и концентрацией молекул n: ρ = nm0. Для определения коэффициента вязкости воздух продувается через длинный тонкий канал (капилляр) с небольшой скоростью. При малых скоростях потока течение в канале является ламинарным, т.е. поток воздуха движется отдельными слоями, и его скорость в каждой точке направлена вдоль оси канала. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента необходимо выполнение условия r << L, где r – радиус капилляра, L – длина капилляра; в данной установке r = 0,50 мм, L = 0,1 м, т.е. условие малости радиуса капилляра по сравнению с его длиной выполнено. С другой стороны, r достаточно велик по сравнению с ℓ, чтобы был задействован механизм внутреннего трения; так, при условиях, близких к нормальным, для «молекул воздуха» имеем d ≈ 3,7·10-10 м, и справедлива оценка ℓ ~ 6·10-8 м. Для объемного расхода газа Q (т.е. объема газа, протекающего за единицу времени через поперечное сечение канала: Q = dV/dt) справедлива формула Пуазейля: π r4Δ p η= , (8) 8Q L где ∆p – разность давлений на концах капилляра. Это соотношение используется для экспериментального определения коэффициента вязкости газа. Измеряя объемный расход Q и разность давлений ∆p воздуха на концах капилляра, коэффициент вязкости можно рассчитать по формуле (8). 8 Порядок выполнения работы 1) Включить установку (рисунок 1) тумблером «Сеть». При этом в модуле рабочего элемента загорается постоянная подсветка (зеленое свечение), указывающая на подачу питания. 2) Включить в приборном модуле переключатель «Компрессор». При этом отсек в модуле рабочего элемента подсвечивается мигающим красным светом, указывающим на то, что микрокомпрессор начал прокачку капилляра. 3) Замерить температуру Т и давление р0 в аудитории. 4) Плавно вращая регулятор расхода воздуха «Расход» в приборном модуле установить расход на приборном блоке, начиная со значения 0,7 л/мин. 5) Замерить разность давлений (Δр) с помощью измерителя давления 4. Значения «Расход Q» и Δр занести в таблицу 1. Опыт повторить еще 4 раза, каждый раз снижая расход на 0,1 л/мин. 6) Выключить компрессор, а затем установку тумблером «Сеть». Таблица 1. Измерение расхода и давления. № опыта Q, л/мин Q, м3/с Δp, Па η, Па·с 1 2 3 4 5 T = ____________________, p0 = _________________________ Обработка результатов измерений 1) Перевести расход из л/мин в м3/с, записать результаты в таблицу 1. 2) Для каждого измеренного режима определить коэффициент вязкости воздуха по формуле (8). Результаты записать в таблицу 1. Найти среднее значение коэффициента вязкости ηоп. 3) Вычислить среднеарифметическую скорость υ движения молекул воздуха по формуле (1), учитывая, что молярная масса воздуха M = 29·10-3 кг/моль. 4) Определить концентрацию молекул воздуха из формулы: p 0=n k T 5) Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул воздуха по формуле: 9 3 ηоп 3 ηоп N A , (9) = υm0 n υM n 6) Вычислить по формуле (5) эффективный диаметр d молекул и среднее число столкновений молекул z в единицу времени. ℓ= Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. Напишите выражение для среднеквадратичной скорости молекул идеального газа. Пояснить его происхождение. 3. Приведите известные вам формы уравнения состояния идеального газа. 4. Как связаны средняя длина свободного пробега ℓ и число z столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду? 5. Оцените среднее расстояние <r> между молекулами азота при условиях, близких к нормальным. 6. В потоке газа, направленном вдоль оси х, скорость газа ux растет в положительном направлении оси Z. Куда направлен обусловленный неоднородностью ux поток импульса? 7. Вычислите среднюю длину свободного пробега ℓ молекул газообразного азота, находящегося при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы азота положить равным d = 0,37 нм. 8. Во сколько раз средняя длина свободного пробега ℓ молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между молекулами? 9. Азот находится при нормальных условиях. Найдите среднюю частоту столкновений z. 10. Напишите в переменных (р, V) уравнение процесса, в котором сохраняется z. 11. Как зависит ℓ от абсолютной температуры Т идеального газа, если последний совершает адиабатический процесс? 12. Как зависит z от Т идеального газа в изохорическом процессе? 13. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависит ℓ в этом процессе от давления р? 14. Определите характер зависимости от температуры Т и давления р газа его коэффициента вязкости η. 15. Как изменится коэффициент вязкости η идеального газа, если объем газа увеличить изотермически в 4 раза? 16. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменится η, если объем газа адиабатически уменьшить в 10 раз? 10 № 1.15 а. Определение коэффициента вязкости воздуха (вариант 2) Цель работы: изучить внутреннее трение как одно из явлений переноса в газах. Описание установки Установка (рис.6) состоит из баллона Б, жидкостного манометра М и набора капилляров (1-5), соединенных с баллоном кранами К1-К5. Давление воздуха в баллоне до необходимого можно повысить с помощью компрессора при открытом кране К и закрытых кранах К1-К5 и К0. Кран К0 используется для быстрого выпускания воздуха из баллона. Капилляры в установке соединены последовательно. При открытом Рисунок 6 – Схема установки «Изучение вязкости кране К1 (остальные краны закрыты) воздуха» воздух вытекает через капилляр 1, имеющий длину L1. Если открыть только кран К 2, то воздух будет вытекать через два последовательно соединенных капилляра 1 и 2, действие которых эквивалентно действию одного капилляра длиной (L1 + L2). Если открыть только кран К5, то воздух будет протекать 5 последовательных капилляров с общей длиной (L1 + L2 + L3 + L4 + L5). Примечание: сечение соединительных трубок много больше сечения капилляров, и сопротивлением соединительных трубок можно пренебречь. Методика измерений и расчетные формулы Вязкость представляет собой пример так называемых явлений переноса. В упрощенной теории вязкости, которая, тем не менее, охватывает все существенные черты данного явления, используются понятия эффективного диаметра и средней длины свободного пробега молекул газа. Молекулы не все время движутся свободно, а время от времени сталкиваются с другими молекулами. В момент столкновения скорость молекулы испытывает резкое изменение как по величине, так и по направлению. В результате траектория молекулы имеет вид ломаной линии с большим количеством звеньев. Для количественного описания явления Клаузиус ввел понятие средней длины свободного пробега ℓ, т.е. среднего расстояния, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Для оценки ℓ используется модель твердых шаров, с которыми отождествляются молекулы. Диаметр такого шара называется эффективным диаметром молекулы d и совпадает с минимальным расстоянием, на которое сближаются центры двух молекул. Также предполагается, что движется только одна молекула с постоянной скоростью υ – средней тепловой скоростью молекул. Тогда: 11 √ √ 8k T 8 RT = , (1) π m0 πM где k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, m0 – масса одной молекулы, R = 8,314 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса газа. Вообразим, что с подвижной молекулой жестко связана концентрическая с ней твердая сфера диаметра 2d, которую назовем сферой ограждения молекулы. Между двумя последовательными столкновениями подвижной молекулы ее сфера ограждения описывает цилиндр, длина которого и есть длина свободного пробега молекулы. Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра, то она столкнется с нашей молекулой, в противном случае столкновения не произойдет. Объем цилиндра, описываемого сферой ограждения в единицу времени, составляет V = πd2υ. Среднее число z столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме V, т.е. z = Vn, где n – число молекул в единице объема, или концентрация. Поэтому z = nπd2υ. Путь, проходимый молекулой в единицу времени, численно равен скорости молекулы υ. Разделив этот путь на среднее число столкновений z, получим среднюю длину свободного пробега ℓ = 1/(nπd2υ). Строгий расчет с учетом максвелловского распределения молекул идеального газа по скоростям дает следующий результат: z =√ 2 π d 2 n υ , (2) 1 ℓ = υ= . (3) z √2 π d 2 n υ= Наличие внутреннего трения в газах можно проиллюстрировать на следующем примере: между двумя параллельными пластинками А и B площади S (см. рис. 2) находится воздух или иной газ. При движении пластинки B появляется сила, действующая на пластинку A и направленная в сторону движения. Эта сила и есть сила внутреннего трения. Впрочем, о внутреннем треРисунок 7 – Вязкое трение в газе нии можно говорить лишь тогда, когда расстояние между пластинами A и B очень велико по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул газа. Тогда от наличия пластин можно отвлечься и говорить о силах, действующих внутри самого газа. Будем представлять себе газ неограниченным и движущимся стационарно плоскопараллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения u меняется в направлении, перпендикулярном к слоям, это направление примем за ось Oy (рис. 2, 3), т.е. предполагается, что u = u(y). Рассечем мысленно газ на две половины плоскостью, параллельной слоям и проходящей через некоторую точку y0. Допустим для определенности, что скорость u(y) возрастает с увеличением х. Тогда верхняя половина газа будет действовать на нижнюю с силой, 12 направленной вправо, а нижняя на верхнюю – с силой, направленной влево. Это и есть силы внутреннего трения, их величина определяется формулой Ньютона: du F =−η S , (4) dy где η – коэффициент вязкости. С молекулярной точки зрения происхождение сил внутреннего трения объясняется так: если бы газ покоился, то все направления скоростей его молекул были бы равновероятны, а векторы средней скорости и среднего импульса каждой молекулы были бы равны нулю. При наличии упорядоченного движения газа вектор средней скорости молекулы отличен от нуля и имеет модуль u = u(x). С этой скоростью связан упорядоченный импульс p = mu, кото- Рисунок 8 – К определению вязкости рым обладает рассматриваемая молекула. Молекулы, лежащие над плоскостью АВ, обладают более высоким упорядоченным импульсом, чем молекулы, расположенные под ней. Переходя из верхнего полупространства в нижние, молекулы передают часть своего упорядоченного импульса молекулам, с которыми они сталкиваются в нижнем полупространстве. Это проявляется в том, что газ, расположенный ниже плоскости АВ, подвергается действию силы, направленной в сторону скорости u. Аналогично, более медленные молекулы, попадая из нижнего в верхнее полупространство, при столкновениях отнимают часть упорядоченного импульса у молекул, расположенных выше плоскости АВ. В результате газ в верхнем полупространстве испытывает тормозящую силу, направленную против скорости u. Эти силы и являются силами внутреннего трения. Количественное описание внутреннего трения с помощью рассмотрения потока импульса (который в нашем примере направлен сверху вниз) позволяет получить явное выражение для коэффициента внутреннего трения (вязкости): 1 η= ρ υ ℓ , (5) 3 где ρ = nm – плотность газа. Для определения коэффициента вязкости воздух продувается через длинный тонкий канал (капилляр) с небольшой скоростью. При малых скоростях потока течение в канале является ламинарным, т.е. поток воздуха движется отдельными слоями, и его скорость в каждой точке направлена вдоль оси канала. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента необходимо выполнение условия r << Lк, где r – радиус капилляра, Lк – длина капилляра. С другой стороны, радиус капилляра r должен быть достаточно велик по сравнению с ℓ, чтобы был задействован механизм внутреннего трения; так, при условиях, близких к нормальным, для «молекул воздуха» эффективный диаметр составляет d ≈ 3,7·10-10 м, длина свободного пробега ℓ ~ 6·10-8 м. В установке воздух предварительно накачивается в баллон компрессором и в процессе измерений выпускается через систему капилляров, соединенных последовательно; давление в баллоне контролируется с помощью жидкостного манометра. 13 В баллоне создается избыточное над атмосферным p0 давление Δp = p – p0 = ρжgh (ρж – плотность жидкости в манометре, g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, h – разность уровней жидкости в коленах манометра). Затем капилляр соединяется с атмосферой, при этом за время dt через капилляр вытекает некоторое количество воздуха объемом dV и массой dm = ρdV, где ρ – плотность воздуха в капилляре. Давление в капилляре изменяется от p0 до p0 + Δp, но, поскольку Δp << p0, то с достаточной точностью можно принять давление воздуха в капилляре равным атмосферному давлению p0. Тогда плотность воздуха (из уравнения Клапейрона – Менделеева): p M ρ= 0 . (6) RT Объем воздуха dV, прошедшего через капилляр за время dt, описывается формулой Пуазейля: π r4 π r4 dV = Δ p⋅dt= ρ gh⋅dt . (7) 8ηL 8ηL ж Масса воздуха dm, прошедшего через капилляр за время dt, с учетом (6) составляет: p0 M π r 4 (8) dm=ρdV = ρ g h⋅dt . 8 RT η L ж Из уравнения состояния идеального газа выразим изменение массы dm газа в баллоне через уменьшение давления dp в нем: MVб M Vб dm= dp= ρ g dh , (9) RT RT ж где Vб – объем баллона. Исключая dm из уравнений (8) и (9), получаем: 4 dh p 0 π r (10) − = ⋅dt . h 8VбL η Решая это дифференциальное уравнение при условии, что за время опыта давление в баллоне уменьшится от ρжgh0 до ρжgh, получаем рабочую формулу для определения вязкости воздуха: π r4 p0 h (11) ln =− t . h0 8 L ηV б ( ) Порядок выполнения работы Задание 1. Определение коэффициента вязкости воздуха 1) Записать исходные данные: атмосферное давление: радиус капилляра: длина капилляра: длина 5 капилляров: объем баллона: p0 = _______________________, r = _______________________, ℓ1 = _______________________, L = _______________________, Vб = _______________________. 14 2) При всех закрытых кранах открыть кран К, включить компрессор и накачать в баллон воздух до избыточного давления 140-180 мм водяного столба. Затем компрессор выключить, кран К закрыть. 3) Выждав 1-2 мин., пока не установится постоянное давление в баллоне, открыть кран К5 и одновременно включить секундомер. 4) После того, как давление уменьшится на Δh = 20 мм водяного столба, снять отсчет времени и остаточную высоту h водяного столба; при этом кран не закрывать и секундомер не выключать. Далее снять отсчеты времени t и высоты h для Δh = 40, 60, 80 и 100 мм водяного столба. Результаты записывать в таблицу 1. Таблица 1 – Измерение зависимости остаточного давления в баллоне от времени № опыта h, мм t, мин:с t, с ln(h/h0) 1 2 3 4 5 Задание 2. Исследование зависимости расхода воздуха через капилляр от длины капилляра 1) Записать исходные данные: атмосферное давление: p0 = _______________________, радиус капилляра: r = _______________________, длина капилляра: ℓ1 = _______________________, длина 5 капилляров: L = _______________________, объем баллона: Vб = _______________________. 2) При всех закрытых кранах открыть кран К, включить компрессор и накачать в баллон воздух до избыточного давления 100 мм водяного столба. Затем выключить компрессор и закрыть кран К. 3) Открыть кран К1 и включить секундомер. 4) Когда давление в баллоне уменьшится в 2 раза, выключить секундомер и одновременно закрыть кран. Записать длину капилляра и показания секундомера в таблицу 2. Таблица 2 – Измерение зависимости расхода воздуха от длины капилляра h0 = _________________________; h = ________________________. 15 № опыта L, м t, мин:с t, с 1 2 3 4 5 5) Провести аналогичные измерения (пп.2-4) с 2, 3, 4, 5 последовательно соединенными капиллярами; результаты записывать в таблицу 2. Обработка результатов измерений Задание 1 1) Перевести время в секунды. Рассчитать ln(h/h0). Результаты записывать в таблицу 1. 2) Построить график зависимости величины ln(h/h0) от времени. График должен иметь вид прямой. По графику определить угловой коэффициент: Δ ln(h/ h 0) , Δt где Δln(h/h0) – изменение логарифма отношения высот водяного столба в манометре, происходящее за время Δt. tg α= 3) Согласно формуле (11), угловой коэффициент составляет: π r 4 p0 . tg α= 8 L ηV б С учетом этого определить вязкость воздуха η для условий эксперимента. Определить отклонение полученного значения от справочного. Сделать вывод. Задание 2 1) Перевести время в секунды, записать результаты в таблицу 2. 2) Построить график зависимости времени t, соответствующего одинаковому расходу газа h0/h = 2, от длины капилляра L. График должен иметь вид прямой. 16 3) По графику определить угловой коэффициент: tg β= Δt . ΔL 4) Согласно формуле (11), угловой коэффициент составляет: tg β= 8ηV б 4 ⋅ln π r p0 ( ). h0 h С учетом этого определить коэффициент вязкости воздуха η для условий эксперимента. 5) Определить отклонение полученного значения вязкости от табличного. Сделать вывод. Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. Напишите выражение для среднеквадратичной скорости молекул идеального газа. Пояснить его происхождение. 3. Приведите известные вам формы уравнения состояния идеального газа. 4. Как связаны средняя длина свободного пробега ℓ и число z столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду? 5. Что такое вязкость? Какая величина переносится за счет вязкости? 6. В потоке газа, направленном вдоль оси Oх, скорость газа ux растет в положительном направлении оси Oz. Куда направлен поток импульса, обусловленный вязкостью? 7. Во сколько раз средняя длина свободного пробега ℓ молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между молекулами? 8. Напишите в переменных (р, V) уравнение процесса, в котором не изменяется z. 9. Как зависит от абсолютной температуры Т вязкость идеального газа, если последний совершает адиабатический процесс? 10. Как зависит z от Т идеального газа в изохорическом процессе? 11. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависит ℓ в этом процессе от давления р? 12. Определите характер зависимости от температуры Т и давления р газа его коэффициента вязкости η. 13. Как изменится коэффициент вязкости η идеального газа, если объем газа увеличить изотермически в 4 раза? 14. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменится η, если объем газа адиабатически уменьшить в 10 раз? 17 №1.16 ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Цель работы: провести измерения скорости звука в воздухе при различных температурах, построить график зависимости зв(t) и сравнить эту зависимость с теоретической. Описание установки. Работа выполняется на установке ФПТ1-7н, общий вид которой представлен на рис.9. Основным элементом установки является волновод с нагревательной спиралью; в торцах волновода установлены источник звука (телефон) и приемник (микрофон). Ручками на блоке излучателя (слева) Рисунок 9 – Общий вид установки ФПТ1-7н осуществляется регулировка частоты звукового сигнала, ручкой на правом блоке устанавливается температура воздуха в волноводе. Для контроля амплитуды сигнала, принимаемого микрофоном, используются индикатор резонанса и осциллограф. Методика измерений и расчетные формулы. Звуковая волна в газе представляет собой продольную волну в упругой среде, в которой происходят периодические сжатия и разрежения газа, например воздуха. Скорость распространения упругих колебаний определяется выражением: υ=√ E /ρ где Е – модуль упругости среды, ρ– плотность среды. Воспользуемся уравнениями термодинамики для нахождения скорости звука в газе. Выделим мысленно в газе прямоугольный параллелепипед, площадь основания которого S, a высота – x, параллельная вектору скорости распространения волны (см. рис.10). Этот параллелепипед будет испытывать продольную деформацию dx, причём относительная деформация, согласно закону Гука: dx ε= = σ x E где – сила давления, испытываемая единицей Рисунок 10 – К выводу скорости звука в газе поверхности выбранного объёма. В данном случае: dx dp − = , x E где dp– давление, избыточное над равновесным. Умножим и разделим левую часть на S: 18 dx⋅S dp = . x⋅S E Последнее выражение можно представить в виде: dV dp − = , V E где V – объём параллелепипеда, dV – изменение объема при деформации. Отсюда: dp E=−V . dV Звуковые колебания имеют довольно высокую частоту (сотни и тысячи герц), а теплопроводность газа относительно мала, поэтому смены сжатия и разрежения в газе происходят настолько быстро, что процесс можно считать адиабатным (pVγ = const, γ – коэффициент Пуассона). Дифференцируя уравнение адиабаты, получаем: − V dp dp =− ε =γ p=E . dV Тогда для скорости звука в газе имеем: γp υ= ρ . С учетом уравнения Клапейрона – Менделеева для одного моля идеального газа и связи плотности с молярной массой (ρ = M/Vm, Vm – молярный объем), получим окончательное выражение для скорости звука в газе: γRT (1) υ= M где M – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа. Подставляя в последнюю формулу значения величин для воздуха и заменяя абсолютную температуру температурой t по шкале Цельсия, получим удобное для практического применения соотношение: υзв = 331,6 + 0,6t, м/с. d ( p V γ )= p⋅γ V γ−1 dV +V γ dp=0 , − √ √ Действие установки основано на использовании явления звукового резонанса (стоячей волны) в трубке с закрытыми торцами. Известно, что в замкнутой среде на границе раздела двух сред бегущая волна отражается, и в результате в этой среде возникают две встречные когерентные волны, которые при наложении интерферируют. Уравнения прямой и обратной волн без учёта потерь энергии могут быть записаны в следующем виде: S1 = А sin(ωt – kx + φ1) и S2 = А sin(ωt + kx + φ2), φ −φ φ +φ S=S 1+ S 2=2 A cos kx+ 2 1 sin ω t + 2 1 , 2 2 где А – амплитуда, ω – циклическая частота, φ – начальная фаза колебаний, ( ) ( ) 19 k = 2π/λ – волновое число. При наложении этих волн получается результирующее колебание. Пусть φ1 = 0 и φ2 – φ1 = π, тогда уравнение стоячей волны примет вид: S = 2Аsin(kx)·cos(ωt). В множителе, зависящем от времени, нет координаты, т.е. все точки волны одновременно проходят положение равновесия, а амплитуда стоячей волны, в отличие от бегущей, зависит от координаты. Точки, соответствующие максимуму амплитуды, называются пучностями, а точки, соответствующие минимуму амплитуды, называются узлами стоячей волны. Координаты пучностей находятся из условия sin(kx) = 1: 2π sin x=1 , x= λ + λ n λ 4 2 где λ – длина волны, n = 0, 1, 2, … Координаты узлов находятся из условия sin(kx) = 0: 2π sin x=0 , x= λ n . λ 2 Между длиной волны λ, ее частотой ν и размерами среды существует вполне определённое соотношение: в замкнутом с обеих сторон столбе воздуха стоячая волна возникает только в том случае, если на длине столба L укладывается целое число полуволн: nυ ν= υ = λ 2L где n – положительное целое число, номер резонанса. Из этого соотношения можно найти частоты волн, при которых возможно образование стоячей волны. Частота, соответствующая n = 1, называется основной, остальные, кратные основной, называются гармониками. В данной работе в одном конце трубки воздуха располагается источник колебаний звуковой частоты (телефон), а в другом – приемник (микрофон). Если в трубке при соответствующей частоте колебаний источника возникает стоячая волна, то амплитуда звуковых колебаний, воспринимаемых микрофоном в противоположном от телефона торце трубки, резко возрастает, что фиксируется максимальным отклонением стрелки индикатора резонанса и резким возрастанием амплитуды сигнала на осциллографе. Поэтому, измеряя частоту ν, соответствующую резонансу, можно определить скорость звука по формуле: 2 Lν υ= (2) n Установка позволяет устанавливать температуру воздуха в волноводе от комнатной до 70 °С и получать резонансы с порядками n ≥ 2. Резонанс с порядком n = 2 наблюдается при частоте ν ~ 650-700 Гц и комнатной температуре. Порядок выполнения работы. 1) Вывести ручку НАГРЕВ в крайнее положение против часовой стрелки и включить установку переключателем СЕТЬ; при этом переключатель НАГРЕВ должен быть выключен. 20 2) Найти первый возможный резонанс и соответствующую ему частоту: для этого вывести регуляторы частоты ГРУБО и ТОЧНО в крайнее положение против часовой стрелки, затем, плавно повышая частоту, найти то ее значение, при котором амплитуда сигнала на выходе резко возрастет (контролировать по ИНДИКАТОРУ РЕЗОНАНСА и по осциллографу). Полученная резонансная частота соответствует порядку резонанса n = 2 при начальной температуре T1, фиксируемой на ИНДИКАТОРЕ ТЕМПЕРАТУРЫ. Определить частоту третьего и четвёртого резонансов (n = 3 и n = 4). Результаты записать в таблицу 1. 3) Включить нагрев, установить температуру на 10-15 °C выше начальной, дождаться стабилизации температуры. Записать установившуюся температуру Т2 и проделать измерения по п.2. 4) Повторить п.3, повысив температуру еще на 10-15 °C. Таблица 1 ν, Гц № п/п t, °С n=2 n=3 n=4 1 2 3 Обработка результатов измерений. 1) Для каждого значения частоты рассчитать скорость звука по формуле (2), результаты записывать в таблицу 2. Таблица 2. υзв,м/с № п/п t, °С <υзв>, м/с n=2 n=3 n=4 1 2 3 2) Для каждой температуры рассчитать среднее значение скорости звука <υ зв>, построить график зависимости <υзв> от температуры по экспериментальным данным и сравнить эту зависимость с теоретической (2). 3) Определить отклонение экспериментальных значений от теоретических и сделать вывод о качестве проведенных опытов. Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. Адиабатный процесс. Вывод уравнения адиабаты из первого начала термодинамики. 3. Что называется коэффициентом Пуассона и как он связан с числом степеней свободы молекулы? 4. Как зависит скорость звука в газе от температуры газа? 5. Выведите формулу (1). 21 №1.17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПРИ НАГРЕВАНИИ И ПЛАВЛЕНИИ ОЛОВА Цель работы: определение изменения энтропии при фазовом переходе первого рода на примере плавления олова. Описание установки Рисунок 11 – Общий вид установки ФПТ1-11н Работа выполняется на установке ФПТ111 или ФПТ1-11н, общий вид установки ФПТ1-11н показан на рис.11. Нагревание олова происходит в тигле с помощью электрического нагревателя, источник питания которого размещен в блоке приборов. Температура олова измеряется цифровым термометром, расположенным в блоке рабочего элемента. Время нагрева измеряется цифровым секундомером, расположенным в блоке приборов. Секундомер приводится в действие при включении питания блока приборов. Методика измерений и расчетные формулы Фазовый переход первого рода – фазовое превращение, сопровождающееся поглощением или выделением некоторого количества скрытой теплоты и изменением удельного объема вещества; температура перехода остается постоянной и зависит от давления. Значит, для того, чтобы расплавить некоторую массу m вещества, находящуюся при температуре плавления ТП, необходимо затратить количество теплоты QП = λ⋅m. (1) где λ – удельная теплота плавления данного вещества. Энтропией называется функция состояния термодинамической системы, дифференциал которой dS при обратимом процессе равен отношению бесконечно малого количества теплоты δQ, сообщенного системе, к термодинамической температуре Т системы δQ dS = . T Энтропия всегда определяется с точностью до постоянной величины, поэтому смысл имеет лишь ее изменение при переходе системы из состояния 1 в состояние 2: 2 δQ . (2) Δ S=∫ T 1 Процесс плавления олова протекает при постоянной температуре T = Tп, т. е. является изотермическим. Изменение энтропии при таком процессе можно найти по формуле (2): 22 2 Q 1 Δ S п= ∫ δ Qп= п . Tп 1 Tп Из выражения (2) следует, что изменение энтропии при нагревании и плавлении олова можно определить как сумму изменений энтропии при нагревании его от начальной температуры T0 до температуры плавления Tп и при плавлении олова: T δQ Qп Δ S=Δ S н +Δ S п =∫ + . Tп T T п 0 С учетом δQH = c m dT и формулы (1) получаем: Δ S=c m ln ( ) Tп λm , + T0 T п (3) где с и λ – удельная теплоемкость и удельная теплота плавления олова, соответственно. Формула (3) может быть использована для экспериментального определения изменения энтропии при нагревании и плавлении олова после измерения значения температур T0 и Tп. Порядок выполнения работы 1) Включить установку тумблером «Сеть» и измерить начальную температуру олова (ТК). 2) Одновременно включить нагреватель и запустить секундомер и через каждую минуту измерять температуру олова. Измерения проводить до тех пор, пока температура не достигнет постоянной величины (ТП), а затем начнет увеличиваться. Результаты измерений записывать в таблицу, вид которой разработать самостоятельно. 3) Выключить нагреватель и провести аналогичные измерения при охлаждении олова; при этом температуру отмечать на том же графике, что и в п.2, продолжая его. 4) Выключить установку тумблером «Сеть». Обработка результатов измерений 1) Построить график Т = f(t).По полученному графику определить температуры, соответствующие участкам, параллельным оси времени, и по их среднему значению найти температуру плавления олова. 2) По формуле (3) определить изменение энтропии во время нагревания и плавления олова. Удельную теплоту плавления и удельную теплоемкость олова найти в справочниках. 3) Определить удельную энтропию плавления олова, сравнить полученное значение со справочным: определить отклонение и сделать вывод о качестве опыта. 23 Контрольные вопросы 1. Что такое фазовый переход первого рода? 2. Что такое энтропия? 3. Чему равно изменение энтропии идеального газа при изопроцессах и при адиабатическом процессе? 4. Выведите формулу изменения энтропии при нагревании и плавлении кристаллического тела. 5. В чем заключается метод определения изменения энтропии при нагревании и плавлении олова, который использован в данной работе? 6. До какой температуры нужно нагревать олово в тигле при выполнении эксперимента? 7. Каковы основные источники погрешностей данного метода измерений? 24 №1.18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА Цель работы: изучение процесса теплопередачи и определение теплопроводности воздуха. Описание установки Работа выполняется на установке ФПТ-1-3, общий вид установки представлен на рисунке 12. В состав установки входят блок рабочего элемента 3 и блок управления 1, закрепленные на основании 5. Блок рабочего элемента 3 представляет собой коробчатую конструкцию. Несущими узлами блока являются панель и кронштейн, скрепленные между собой. Между выступающими частями панели в текстолитовых фланцах зажата стеклянная трубка 4. По оси трубки натянута вольфрамовая нить. Между панелью и кронштейном размещен вентилятор для охлаждения трубки. На панели установлены два цифровых контроллера 2 для измерения напряжения и температуры. В верхней части блока на кронштейне закреплен Рисунок 12 – Общий вид установки датчик температуры 6. Спереди блок рабочего элемента защищен прозрачным экраном из оргстекла. ФПТ-1-3 На лицевой панели прибора 1 находятся органы управления: «СЕТЬ», «НАГРЕВ», «НАПРЯЖЕНИЕ». Узел «СЕТЬ» осуществляет подключение установки к сети питающего напряжения. Узел «НАПРЯЖЕНИЕ» осуществляет управление работой цифрового контроллера для измерения напряжения. Узел «НАГРЕВ» осуществляет включение и регулирование тока для нагрева нити. Методика измерений и расчетные формулы В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. Теплопроводность представляет собой перенос энергии: если в одной области газа кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит выравнивание средних кинетических энергий молекул, т. е. выравнивание температуры газа по всему объему. Распространение теплоты в газах происходит тремя способами: тепловым излучением (перенос энергии электромагнитными волнами), конвекцией (перенос энергии за счет перемещения слоев газа в пространстве из области с более высокой температурой в области с низкой температурой) и теплопроводностью. Теплопроводность подчиняется закону Фурье (система отсчета выбрана так, что ось х ориентирована в направлении переноса): dT j=−λ , dx 25 где j – плотность теплового потока, т. е. энергия, переносимая в единицу времени через единичную площадку перпендикулярно оси х, Дж/(с·м2) = Вт/м2; λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м · К); dT/dx – градиент температуры вдоль оси Ox, К/м; знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры. Для идеального газа коэффициент теплопроводности определяется по формуле: 1 λ= c V ρ υ ℓ , 3 где ρ – плотность газа, cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, υ – средняя скорость теплового движения молекул, ℓ – средняя длина свободного пробега молекул. Средняя скорость теплового движения молекул: 8RT υ= , πM где М – молярная масса. Рассмотрим два коаксиальных цилиндра, пространство между которыми заполнено газом (см. рис.13). Если внутренний цилиндр нагревать, а температуру наружного цилиндра поддерживать постоянной, ниже температуры нагревателя, то в газе между цилиндрами возникает радиальный поток теплоты, направленный от внутреннего цилиндра к наружному. При этом температура слоев газа, прилегающих к стенкам цилиндров, равна температуре стенок. Выделим в газе цилиндрический слой радиусом r, толщиной dr и длиной L. По закону Фурье количество теплоты, которое проходит через этот слой за одну секунду, выражается формулой: Рисунок 13 – К вывоdT dT ду коэффициента тепP= j S=−λ S =−λ 2πr L . dr dr лопроводности Отсюда: dr 2πλ L =− dT . r P Тогда: √ r2 T2 1 1 ∫ drr = 2 πPλ L ∫ dT , r T где T1 и r1, T2 и r2 – соответственно температуры поверхностей и радиусы внутреннего и наружного цилиндров. Если внутренний цилиндр изготовить в виде нити диаметром d и закрепить нить вдоль оси наружного цилиндра – трубки диаметром D, то для теплопроводности от нити к трубке будет справедливо уравнение: P⋅ln( D/ d ) , (1) λ= 2π LΔT 26 где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м · К); P – тепловой поток (мощность), Вт; L – длина нити; ΔT – разность температур нити и трубки. В установке ФПТ-1-3 тепловой поток создается вольфрамовой нитью при нагревании постоянным током. Сопротивление нити при повышении температуры значительно изменяется, поэтому его измерение осуществляется сравнением падений напряжения на нити и на эталонном резисторе, включенном последовательно с нитью. Тепловой поток определяется по формуле: P= I 2 R н = U рU н , Rр (2) где I – сила тока в нити, Rн – сопротивление нити, Uн – падение напряжения на нити; Uр –падение напряжения на эталонном резисторе; Rp – сопротивление эталонного резистора (Rp = 41 Ом). Разность температур нити и трубки: ΔT = Tн – Tт, где Тн – температура нити; Тт – температура трубки, равная температуре окружающего воздуха. Температуру трубки в процессе эксперимента можно считать постоянной, т. к. поверхность трубки обдувается с помощью вентилятора потоком воздуха. Температура нити тем выше, чем больше протекающий по ней ток. Разность температур по результатам измерений падений напряжения можно определить с помощью выражения: (U /U )−(U н0 / U р 0) ΔT= н р ⋅(1+α t ) , (3) α⋅(U н 0 /U р 0) где Uн – падение напряжение нити в нагретом состоянии; Uн0 – падение напряжения на нити при температуре окружающего воздуха (при рабочем токе не более 10 мА); Uр – падение напряжение на эталоном резисторе при нагретой нити; Uр0 – падение напряжения на эталонном резисторе при холодной нити; α – температурный коэффициент сопротивления материала нити; t – температура воздуха в градусах Цельсия. Данные установки: Длина нити L = 0.4 м; Диаметр нити d = 0.64 мм; Внутренний диаметр трубки D = 26 мм; Температурный коэффициент сопротивления α = 4.1·10-3 К-1; Сопротивление эталонного резистора Rр = 41 Ом. 27 Порядок выполнения работы. 1) Включить тумблер «ВКЛ» в модуле питания «СЕТЬ». При этом засветится индикатор. Записать значение температуры окружающего воздуха. 2) Включить тумблер «ВКЛ» в модуле «НАГРЕВ». При этом засветится соответствующий индикатор. 3) Нажать кнопку Uр (режим измерения падения напряжения на эталонном резисторе). 4) Установить регулятором «НАГРЕВ» напряжение Uр0 не более 0,06 В (не греющий ток). Записать значение Uр0. 5) Нажать кнопку Uн (режим измерения падения напряжения на нити) и записать значение Uн0. 6) Нажать кнопку Uр и установить ручкой «НАГРЕВ» напряжение на эталонном резисторе 0,5В. 7) Выждать 1-2 минуты для стабилизации теплового режима и измерить падение напряжения на нити Uн (нажать кнопку Uн). 8) Повторить пункты 6-7 для величины Uр в диапазоне 1-6 В с шагом 1В. 9) После измерений вывести ручку «НАГРЕВ» в крайнее левое положение и выключить установку. Измерение падения напряжения на нити. Uн0 = ___________ В; Uр0 = ___________ В; T = ___________ К. Расчет: Uн0/Uр0 = _____________. Таблица 1 – Измерение напряжений № опыта Uр, В 1 0.5 2 1.0 3 2.0 4 3.0 5 4.0 6 5.0 7 6.0 Uн, В Uн/Uр 28 Таблица 2 – Результаты расчетов мощности и теплопроводности № опыта P, Вт ΔТ, К λ, Вт/(м·К) 1 2 3 4 5 6 7 Примечание. Таблицу 2 рекомендуется разместить на левой стороне разворота лабораторного журнала, т. к. она относится к расчетной части работы. Обработка результатов измерений 1) Для каждого значения Uр рассчитать отношение Uн/Uр; результаты записывать в таблицу 1. 2) Для каждого значения Uр рассчитать разность температур по формуле (3), тепловой поток по формуле (2) и коэффициент теплопроводности воздуха по формуле (1). Результаты записывать в таблицу 2. 3) Определить среднее значение коэффициента теплопроводности λоп. 4) Построить графики зависимости P(ΔТ) и P(Uн/Uр). Сравнить их. 5) Сравнить опытное значение теплопроводности со справочным, определить относительное отклонение: |λ −λ спр| δ λ= оп λ спр Сделать вывод. Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. В чем сущность явлений переноса? При каких условиях возникают явления переноса? 3. Выведите формулу (1) для теплопроводности воздуха в описываемом эксперименте. 4. Объясните физическую сущность закона Фурье. 5. Какова связь между температурой и средней кинетической энергией молекул? 6. Какой вывод можно сделать из сравнения графиков j(ΔТ) и j(Uн/Uр)? 7. Зависит ли теплопроводность газа от числа молекул в единице объема, от давления? Почему? 29 8. Сформулируйте зависимость теплопроводности газа от длины свободного пробега, средней скорости молекул, плотности и теплоемкости газа. Объясните физическую сущность полученного выражения. 30 №1.19 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ ВОЗДУХА И ВОДЯНОГО ПАРА Цель работы: определение коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара по скорости испарения жидкости из капилляра. Описание установки Для выполнения работы используется установка ФПТ1-4, общий вид которой представлен на рисунке 9. Установка состоит из блока рабочего элемента и блока приборов, размещенных на основании. Блок рабочего элемента содержит микроскоп с рабочим элементом на предметном столике. Рабочий элемент снабжен измерителем, к подвижной части которого прикреплен корпус из оргстекла. В отверстии корпуса находится стеклянная трубка (капилляр) с водой. Для подсветки трубки при измерениях применяется фонарь, свет от которого передается к рабочему элементу по световоду из оргстекла. Яркость свечения фонаря устанавливается регулятором «Подсветка капилляра» на передней Рисунок 14 – Общий вид установки панели блока приборов. Время испарения воды из ФПТ1-4 капилляра измеряется секундомером (цифровой индикатор «Время» в блоке приборов). Секундомер приводится в действие при включении питания блока приборов. Сброс на нуль значений на индикаторе производится нажатием кнопки «MODE», после отпускания которой снова начинается отсчет времени. Температура воздуха в блоке рабочего элемента измеряется полупроводниковым термометром и отображается на цифровом индикаторе «Температура» блока рабочего устройства. Цена деления указана на шкале микроскопа. Методика измерений и расчетные формулы. Диффузия – это явление самопроизвольного взаимного проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и твердых тел. В химически чистых газах диффузия возникает вследствие неодинаковой плотности в различных частях объема газа. В случае смеси газов причиной диффузии является различие в концентрации отдельных газов в разных частях объема смеси. Диффузия представляет собой перенос массы газа из мест с большей концентрацией данного газа в места с меньшей его концентрацией. Теплопроводность подчиняется закону Фика (система отсчета выбрана так, что ось x ориентирована в направлении переноса): dρ , (1) j m =− D dx 31 где jm – плотность потока массы, т. е. масса вещества, диффундирующего в единицу времени через единицу площади, кг/(м2·с); D – коэффициент диффузии, м2/с; dρ/dx – градиент плотности вдоль оси x, кг/(м3·м) = кг/м4. Знак минус показывает, что перенос массы направлен в сторону убывания плотности. Коэффициент диффузии определяется по формуле: 1 D= υ ℓ , (2) 3 где ℓ – средняя длина свободного пробега молекул; υ – средняя скорость теплового движения молекул. В случае смеси газов полное давление равно сумме парциальных давлений отдельных газов. Парциальное давление газа определяется как давление этого газа, если бы он один занимал весь объем смеси. Этот экспериментальный закон был получен Дальтоном и называется законом Дальтона для парциальных давлений. Согласно этому закону, парциальное давление газа в смеси пропорционально концентрации его молекул. Это положение согласуется с законом идеального газа, из которого следует, что полное давление равно N p= kT , (3) V где N – общее число молекул, N = N1 + N2 + … +Ni; k – постоянная Больцмана; V – объем; Т – термодинамическая температура. Для смеси газов: n n Ni p=∑ kT =∑ p n , (4) i=1 V i=1 где pi – парциальное давление i-го газа в смеси, (Ni/V) – концентрация молекул i-го газа в смеси. Наиболее распространенным методом определения коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара является метод, основанный на измерении скорости испарения жидкости, частично заполняющей узкую трубку постоянного сечения S, в атмосферный воздух. На границе с водой (х = 0) парциальное давление водяного пара pп в трубке равняется давлению насыщенного пара pн при температуре опыта. Давление водяного пара в трубке изменяется вдоль оси x от значения pн до давления p1 около открытого конца трубки (х = h), которое определяется влажностью воздуха в лаборатории, поэтому вдоль оси трубки существует градиент парциального давления dpп/dx, из-за которого возникает диффузионный поток массы m пара, направленный вверх. Плотность пара ρп можно выразить через его парциальное давление, используя уравнение состояния идеального газа: m p M ρп = = п п . (5) V RT Подставляя полученное соотношение (5) в формулу закона Фика (1), определим поток массы пара через площадь поперечного сечения трубки: − D M п dpп dρ μп =− D S= S . (6) dx RT dx 32 Пренебрегая массой пара, которая переносится конвекционным потоком, возникающим в трубке, поток массы пара μ п можно выразить через скорость понижения уровня жидкости в капилляре: Δh μп =ρж S , (7) Δτ где ρж – плотность жидкости; Δh – понижение уровня жидкости за время Δτ . Подставляя выражение (7) в формулу (6), получим: Δ h −D M п dpп ρж Δ τ = . R T dx Разделяя переменные и интегрируя это равенство, получим: p h Δh ρж RT dx=−d M п∫ dpп , Δ τ∫ 0 p 1 н или ρж RT Отсюда: Δh h=−D M п ( p н− p 1) . Δτ ρ ж R T h(Δ h/ Δ τ ) , (8) M п ( p н − p1 ) D – коэффициент взаимной диффузии; ρж – плотность жидкости (воды); R – универсальная газовая постоянная, R = 8,314 Дж/(моль·К); h – расстояние от поверхности воды до верхнего края трубки; Т – температура воды в капилляре и воздуха в лаборатории; Δh – понижение уровня жидкости за время Δτ; Mп – молярная масса воды; pн – давление насыщенного пара; p1 – давление пара, которое определяется влажностью воздуха в лаборатории. D= где Порядок выполнения работы. 1) Включить установку тумблером «Сеть». 2) Провести пробные включения цифрового секундомера. Для этого нажатием первой клавиши «MODE» перевести секундомер в режим работы, при котором наблюдается мигание надписей «SUN», «FRI», «SAT» в верхней части табло секундомера. После этого все цифровые индикаторы должны высвечивать нули. 3) Нажатием третьей клавиши «DATE/UP» запустить секундомер и, спустя малое время, нажатием той же клавиши остановить его. 4) Нажав вторую клавишу «AL-T/SET», обнулить показание секундомера. 5) Подготовить таблицу для записи результатов измерений (см. таблицу 1). Диапазон измерений секундомера 0–29 мин 59,99 с, температуры – 0–100 0С. Атмосферное давление: p0 = Температура воздуха в лаборатории: Т = 33 Таблица 1 – Измерение времени движения мениска по капилляру № изм. τ, мин:с τ, с h, мм 1 2 3 4 5 6) Повернуть тубус микроскопа «на себя» и установить его в положение, удобное для работы. 7) Отрегулировать яркость подсветки ручкой «Подсветка капилляра» на блоке приборов. 8) При помощи регулировочного винта добиться четкого изображения края капилляра. Установить край капилляра на нулевое деление шкалы микроскопа. 9) Вращая гайку перемещения узла капилляра, найти положение мениска воды. Сфокусировать микроскоп на мениске. 10) Наблюдать изменение уровня воды в трубке по движению мениска вдоль шкалы микроскопа. При достижении вершиной мениска большого деления шкалы измерить расстояние от края трубки до вершины мениска воды по шкале микроскопа в делениях (n) и в метрах (h), занести значения в таблицу 1. Данным значениям n и h соответствует начало отсчета времени: τ = 0. Включить секундомер. 11) Измерить время τ, за которое мениск смещается на n = 5 малых делений шкалы микроскопа. Записать значения n и τ в таблицу 1. Не обнуляя секундомер, продолжать измерения. 12) Сделать 5 измерений положения мениска. При выходе изображения мениска из поля зрения необходимо вращением гайки измерителя вернуть мениск в поле зрения. 13) Измерить температуру воздуха в рабочем элементе. 14) Установить регулятор подсветки капилляра в положение минимальной яркости, после чего выключить установку тумблером «Сеть». Обработка результатов измерений. 1) По данным таблицы 1 построить график h(τ), откладывая по оси ординат высоту h, а по оси абсцисс – время τ. По нанесенным опытным точкам провести усредненную прямую и по ее наклону определить среднее значение Δh/Δτ. Также по данным таблицы 1 определить среднее значение h. 2) Определить относительную влажность воздуха φ в аудитории по показаниям психрометра и таблице 2. 3) Давление насыщенного водяного пара определить из таблицы 3, где приведена зависимость давления pн и плотности ρ насыщенного водяного пара от темпера34 туры, а давление водяного пара p1 возле открытого конца трубки найти по значению относительной влажности φ (в процентах) в помещении лаборатории: φ p1= p 100 н 4) Используя найденные средние значения h и Δh/Δτ, по формуле (8) вычислить коэффициент взаимной диффузии воздуха и водяного пара, учитывая, что плотность воды ρж = 103 кг/м3, молярная масса воды M = 18 г/моль. Таблица 2 – Психрометрическая таблица относительной влажности воздуха Показания Разность показаний сухого и влажного термометров, °С сухого тер0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 мометра, °С 12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11 14 100 90 79 70 60 51 42 33 25 17 9 16 100 90 81 71 62 54 45 37 30 22 15 18 100 91 82 73 64 56 48 41 34 26 20 20 100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24 22 100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28 24 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31 26 100 92 85 78 71 64 58 50 45 40 34 28 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37 30 100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39 Таблица 3 – Зависимость давления pн и плотности ρ насыщенного водяного пара от температуры t, °С pн, кПа ρ, 10-3, кг/м3 t, °С pн, кПа ρ, 10-3, кг/м3 15 1,704 12,84 21 2,486 18,35 16 1,817 13,65 22 2,642 19,44 17 1,937 14,50 23 2,809 20,60 18 2,062 15,39 24 2,984 21,81 19 2,196 16,32 25 3,168 23,07 20 2,337 17,32 26 3,361 24,40 Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа. Опытные законы и уравнение состояния идеального газа. 2. В чем заключается явление диффузии? Какая физическая величина переносится при диффузии? 3. Напишите формулу закона Фика и объясните физический смысл коэффициента диффузии. 4. Какое явление называется испарением жидкости? Как влияет состояние динамического равновесия жидкости и ее пара на процесс испарения жидкости? 5. Какой пар называется насыщенным? Что такое плотность насыщенного пара? 35 6. Что такое парциальное давление? Как можно определить давление смеси газов? 7. Что такое относительная влажность? Как можно измерить эту величину? 8. В чем заключается метод определения коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара по скорости испарения жидкости из капилляра? 9. Объясните, почему скорость диффузии много меньше тепловой скорости молекул. 36 №1.20 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы: Ознакомиться с теорией теплоемкости, а также с одним из методов экспериментального определения удельной теплоемкости твердых тел и определить удельные теплоемкости стали, алюминия и латуни. Описание установки Для выполнения работы используется установка ФПТ1-8, схема которой изображена на рисунке 3. Установка представляет собой конструкцию настольного типа, состоящую из блока приборного 1 и блока рабочего элемента 2, смонтированных на стойке 3. Блок приборный БП-8 содержит источник питания, вольтметр и амперметр для измерения мощности нагревателя, регулятор мощности нагревателя и секундомер. Рисунок 15 – Общий вид установки ФПТ1-8 Блок рабочего элемента РЭ-8 содержит нагреватель (калориметр) 4, набор образцов 5 и термометр для измерения температуры внутри калориметра. Методика измерений и расчетные формулы Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты Q, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на единицу: δQ C= (1) dT Стандартная единица теплоемкости – джоуль на кельвин (Дж/К). Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью Смол, стандартная единица – джоуль на моль-кельвин (Дж/(мольК)). Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью Суд, ее стандартная единица – джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кгК)). Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением: C C уд = мол M где M молярная масса. При нагревании твердое тело не совершает работы над внешними телами, так как объем тела практически не меняется. Следовательно, согласно первому началу термодинамики (δQ = dU + δА), все тепло идет на приращение внутренней энергии. На основании (1) получаем: dU C= . (2) dT В твердых телах частицы «закреплены» в определенных положениях равновесия, отвечающих минимуму энергии взаимодействия их друг с другом. Частицы могут совершать только колебания около равновесного положения в узлах 37 кристаллической решетки. Направление колебаний непрерывно и хаотически меняется с течением времени. При этом каждое колебание частицы можно представить как суперпозицию трех «простых колебаний» вдоль заданных направлений (координатных осей Ox, Oy, Oz). На каждое такое «простое колебание» приходится средняя энергия kT (kT/2 средняя кинетическая энергия плюс kT/2 средняя потенциальная энергия колебания). Тогда полная энергия тепловых колебаний одного моля химически простого твердого вещества составляет: Uмол = NA·3kT = 3RT, (3) где R = kNA – универсальная газовая постоянная. Тогда, согласно (2), молярная теплоемкость твердого тела должна быть равна: Cмол = 3R. (4) Из (4) видно, что теплоемкость моля химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 3R = 24,9 Дж/(моль·К). Это утверждение называется законом Дюлонга – Пти. Если твердое тело является химическим соединением, например, NaCℓ, то его кристаллическая решетка построена из атомов различных типов. Если в молекуле n атомов, и каждый атом обладает энергией 3kТ, то на молекулу придется в среднем энергия 3nкТ. Молярная теплоемкость будет равна Cмол = 3nkNA = 3nR, т. е. в n раз больше, чем у того же вещества при одноатомной молекуле. В кристалле каменной соли мы имеем расположенными по узлам решетки ионы Na+ и Cℓ, общее число которых в моле равно 2NА. Молярная теплоемкость кристаллической каменной соли должна равняться Смол = 6kNA = 6R. В общем случае, молярная теплоемкость твердого соединения равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит, это правило было установлено эмпирически и называется законом Джоуля – Коппа. Указанные законы выполняются с хорошим приближением для многих веществ при комнатной температуре. При понижении температуры теплоемкость твердого тела уменьшается, стремится к нулю при абсолютном нуле. У алмаза и бора теплоемкость при комнатной температуре оказалась ниже 3R. Строго говоря, колеблющийся атом следует уподоблять не классическому, а квантовому осциллятору, обладающему дискретным энергетическим спектром. Энергия линейного осциллятора, согласно квантовой теории, есть целое кратное величины hν/εn = nh, где h = 6,625·10-34 Дж·с – постоянная Планка, n – любое целое число. Средняя энергия такого осциллятора вычисляется по формуле Планка: hν εn= . (5) exp(h ν/ kT )−1 При высоких температурах выполняется соотношение hν << kT, поэтому: exp(h ν / kT )≈1+(h ν/ kT ) , и формула (5) переходит в классическую: εn = kT. Основу квантовой теории теплоемкости Эйнштейна составляет представление о твердом теле как совокупности N независимых атомов осцилляторов, колеблющихся с одинаковой частотой ν. Средняя энергия ε, приходящаяся на одну степень свободы осциллятора, определяется формулой (5). Осцилляторы считаются трехмерными, т. е. имеющими три степени свободы. Поэтому средняя энергия тепловых колебаний одного атома равна 3ε, а внутренняя 38 энергия одного моля твердого тела определяется выражением: 3 N Ah ν U мол =3 N A ε= . (6) exp (h ν/kT )−1 Отсюда (h ν/ kT )2 exp(h ν /kT ) dU C мол = =3 R . (7) 2 dT [exp(h ν /kT )−1] При больших T (hν/kT << 1) имеем Смол = 3R, т. е. выражение (7) переходит в закон Дюлонга – Пти. В случае низких температур, когда hν/kT >> 1, можно пренебречь единицей в знаменателе (7): hν 2 hν C мол =3 R exp − . (8) kT kT При Т → 0 выражения (7) и (8) стремятся к нулю, в полном соответствии с опытом (hν/kT → ∞; exp(–hν/kT) → 0). Поскольку экспонента убывает значительно быстрее, то: lim C мол =0 ( ) ( ) T →0 С точки зрения квантовой теории теплоемкости, тот факт, что некоторые вещества (алмаз, бор и другие) не подчиняются закону Дюлонга – Пти даже при комнатных температурах, объяснятся именно тем, что у этих веществ характеристическая температура Дебая Θ настолько высока, что комнатная температура должна считаться низкой температурой (например, для свинца Θ = 88 К, для серебра Θ = 225 К, для алюминия Θ = 429 К, а для алмаза Θ = 2200 К). Удельная теплоемкость твердого тела определяется по формуле: ΔQ C уд = , (9) mΔt где ΔQ – количество теплоты, поглощенное образцом при изменении температуры на Δt; m – масса образца; Δt = t2 – t1 – разность конечной и начальной температур. Если для нагрева пустого калориметра на Δt требуется количество теплоты Q1, а для нагрева калориметра с исследуемым образцом на Δt – количество теплоты Q2, то на нагрев самого образца идет количество теплоты: ΔQ = Q2 – Q1. (10) В установке ФПТ1-8 нагрев производится пропусканием тока через нагреватель. Количество теплоты, выделяемое нагревателем, определяется по закону Джоуля – Ленца: Q = I U τ, (11) где I – сила тока в нагревателе; U – напряжение, приложенное к нагревателю; τ – время работы нагревателя. Если мощность нагрева остается постоянной в течение всего эксперимента, то после подстановки выражения (11) в формулу (10) имеем: Q = IU (τ2 – τ1), (12) где τ1 – время нагрева пустого калориметра на Δt, τ2 – время нагрева калориметра с образцом на Δt. Тогда: 39 C уд = I U ( τ 2−τ 1 ) . mΔt (13) Порядок выполнения работы 1) Подключить вилку кабеля питания к розетке сети переменного тока напряжением 220 В. 2) Включить тумблер «ВКЛ» в модуле питания «СЕТЬ». 3) Убедиться, что в калориметре отсутствует образец. Плотно закрыть крышку калориметра. 4) Включить модуль НАГРЕВ тумблером «ВКЛ». 5) Регулятором модуля установить заданную мощность нагрева и поддерживать постоянной. Значения напряжения и тока в нагревателе записать в таблицу 1. 6) Контролировать температуру по цифровому контроллеру для измерения температуры. Рекомендуется принять начальную температуру t1 = 35 °C, конечную – t2 = 45 °C (или t1 = 30 °C, t2 = 40 °C). Нагрев рекомендуется выключить при достижении температуры на один градус ниже требуемого значения t2 («поправка на тепловую инерцию»). Время нагрева измерять секундомером и записывать в таблицу 1. 7) Охладить калориметр: выключить нагрев и открыть крышку. Для быстрого охлаждения калориметра рекомендуется опустить в него один из образцов. Температура начнет снижаться. Когда темп охлаждения снизится, нагревшийся образец вынуть и вложить следующий (холодный). Для вынимания образца надо повернуть против часовой стрелки винт в нижней части калориметра, после чего вытащить образец рукояткой. 8) Определить массу исследуемого образца взвешиванием на технических весах. 9) Нагрев калориметра с исследуемым образцом рекомендуется производить через 2 - 3 минуты после помещения образца в калориметр и закрытия крышки. Таблица 1 – Измерение мощности и времени нагрева образец I, А U, В t1, °C t2, °C τ, мин:с пустой калориметр №1 (сталь) №2 (алюминий) №3 (латунь) 40 Обработка результатов измерений 1) Перевести значения времени в секунды. По формуле (13) вычислить удельную теплоемкость Соп. Результаты записывать в таблицу 2. Таблица 2 – Результаты расчетов теплоемкостей образец m, кг Cоп, Дж/(кг·К) ΔC/C ΔC, Дж/(кг·К) №1 (сталь) №2 (алюминий) №3 (латунь) 2) Рассчитать относительную погрешность теплоемкости (ΔС/С) по формуле: Δ C Δ I Δ U Δ τ 1 +Δ τ 2 Δ m Δ (Δ t) = + + τ −τ + + 2 1 C I U m Δt Принять относительную погрешность измерения разности температур Δ(Δt)/Δt = 5 %. Относительная погрешность измерения напряжения на нагревателе 5%. Относительная погрешность измерения тока в нагревателе 5%. Относительная погрешность измерения времени 2%. Результаты записывать в таблицу 2. 3) Рассчитать абсолютную погрешность удельной теплоемкости для каждого тела, результаты записать в таблицу 2. Определить относительное отклонение полученных значений от справочных: C спр−C оп δC = C спр Сравнить отклонение с погрешностью измерений, сделать вывод о качестве проделанных опытов. | | Контрольные вопросы 1. Что такое степени свободы системы? Что собой представляют степени свободы теплового движения молекул в твердом теле, жидкости, газе? Закон Больцмана о распределении энергии по степеням свободы. 2. Что называется теплоемкостью тела, удельной и молярной теплоемкостью? 3. Теплоемкость твердых тел. Закон Дюлонга – Пти. 4. Понятие о квантовой теории теплоемкости Эйнштейна и Дебая. 5. Вывод рабочей формулы (13). 41 №1.21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ГАЗОВОЙ ПОСТОЯННОЙ МЕТОДОМ ОТКАЧКИ Цель работы: Определение молярной (универсальной) газовой постоянной R – константы состояния идеального газа, одинаковой для всех газов. Описание установки В работе используется установка ФПТ1-12, выполненная в виде конструкции настольного типа, общий вид установки представлен на рисунке 16. В состав установки входят блок управления 1, приборный блок 2, колба 3 и технические весы 4. На лицевой панели блока приборного установлен вакуумметр и, термометр для измерения температуры окружающей среды, внутри блока установлен компрессор. Колба соединяется с выходным патрубком компрессора с помощью вакуумРисунок 16 – Общий вид установки ной трубки. На лицевой панели блока управления ФПТ1-12 имеются тумблер «Сеть» для включения питания установки и кнопка «Пуск» для включения компрессора. Методика измерений и расчетные формулы. Молярную газовую постоянную можно определить из уравнения Менделеева – Клапейрона: m pV = RT , (1) M где p – давление; V – объем; m – масса газа; M – молярная масса этого газа; T – абсолютная температура газа. Все параметры газа, входящие в уравнение (1), за исключением массы газа, можно измерить прямо. Прямое измерения массы газа затруднено, так как взвешивание газа возможно только вместе с сосудом, в который он заключен. Поэтому для определения R из (1) необходимо исключить массу сосуда, например, с помощью рассмотрения двух состояний одного и того же газа с разными массами m1 и m2 при одинаковых значениях температуры T и объема V. Из уравнений состояния (1) для двух значений массы газа можно получить следующее выражение для молярной газовой постоянной: M ( p 1− p 2)V R= . (2) (m 1−m2 )T Поэтому, если измерить давление p1 и температуру Т для некоторой массы m1 газа, заключенного в сосуде объемом V и массой m0, а затем изменить массу газа в том же сосуде до величины m2, например, путем откачки, и измерить давление p2 при той же температуре Т, то по формуле (2) можно рассчитать молярную газовую постоянную. 42 Порядок выполнения работы. 1) Включить электронные весы и измерить массу колбы с воздухом (m0 + m1) при атмосферном давлении р1. 2) Включить установку переключателем «Сеть». Подключить к шлангу установки сосуд и открыть на нем кран. Включить компрессор кнопкой «ПУСК» и, удерживая кнопку нажатой, откачать воздух из колбы до давления p2, при этом прибор измеряет разность давлений в сосуде и атмосферного. После этого, закрыв кран и выключив компрессор (отпустив кнопку «ПУСК»), отсоединить сосуд от установки и измерить его массу с воздухом (m0 + m2) при давлении p2. 3) Повторить измерения не менее трех раз. Результаты записывать в таблицу 1. 4) Измерить температуру воздуха в лаборатории. 5) По окончании измерений выключить установку тумблером «СЕТЬ», выключить весы. Таблица результатов измерений. Молярная масса воздуха: М = 0,029 кг/моль. Объем сосуда: V = _______________, ΔV = _____________. Таблица 1 – Измерение массы и давления воздуха в сосуде № измерения 1 2 3 средние значения m1+m0, кг Δm1, кг m2+m0, кг Δm2, кг p1, Па Δp1, Па p2, Па Δp2, Па 43 Обработка результатов измерений. 1) Определить средние значения масс и давлений, а также погрешности их измерения; результаты записать в таблицу 1. 2) По средним значениям масс определить разность масс (m1 – m2) и разность давлений, а также их погрешности: Δ m1 +Δ m 2 Δ p 1 +Δ p2 . εm = , ε p= m 1−m2 p 1− p 2 3) По формуле (2) рассчитать опытное значение Rоп. Определить относительную погрешность: ΔR ΔV Δ T ε R= =εm +ε p + + . R V T Примечание: погрешность молярной массы воздуха несущественна. 4) Определить абсолютную погрешность R. Записать окончательный результат с учетом округления. 5) Определить относительное отклонение полученного значения R от теоретического Rтеор = 8.314 Дж/(моль·К): |R −R теор| . δ R = оп R теор Сравнить отклонение с погрешностью измерений. Сделать вывод. Контрольные вопросы. 1. Модель идеального газа. Опытные законы идеального газа, изопроцессы. 2. Что такое универсальная газовая постоянная? 3. Выведите из опытных законов идеального газа уравнение Менделеева – Клапейрона для одного моля газа и для произвольной массы газа. 4. Выведите формулу для определения универсальной газовой постоянной методом откачки. 5. Как связаны постоянные R, число Авогадро NA и постоянная Больцмана k ? 44
