Олимпиада по математике. 9 класс 1. (1 + Найдите значение выражения: )(1 + )(1 + )(1 + {1 - ) при а = 2003. 2. Сократите дробь: 3. Решите систему уравнений: 4. Постройте график функции: у= 5.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб.; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб.; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник? 6. Численность населения в городе в первый год возросла на 8% , а затем два года подряд убывала на 5% ежегодно. В результате в городе стало 272916 жителей. Сколько жителей в городе было первоначально? 7. В юности М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%? 8. Сократите дробь: 9. Решите уравнение: х4-25х2 +60х-36=0 10.Сравните 12723 и 51318 11.Пассажир едет на поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и видит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4с. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120м? 12.Какая фигура на плоскости является решением системы неравенств: 13.Реши уравнение : 14.ВД – высота равнобедренного треугольника АВС, АВ=ВС, угол АОД=600. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний. 15.Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения х2 +55х – 45 =0. Олимпиада по математике. 8 класс 1. Вычислите: . 2. В ∆ ABC проведены биссектрисы углов А и В, угол между ними равен 125°. Найдите угол С. 3. Постройте график функции: у = 4. Решите уравнение: . =2. 5. Найдите значения а и в, при которых равенство выполняется при всех допустимых значениях переменной х. 6.Определите дробь, числитель которой меньше знаменателя на 2; если числитель увеличить на 5, а знаменатель уменьшить на 5, то получиться целое число 2. 7.На лужайке паслись 90 телят и гусей. Всего у них было 256 ног. Сколько было телят и сколько гусей? 8.Для придания стенам необходимого оттенка при покраске были смешаны три цвета: белый, зелёный и жёлтый в отношении 12 : 5 : 3. Какой процент готовой краски составляет жёлтый цвет? А. 30% Б. 15% В. 25% Г. 20% 9.Банковская процентная ставка по вкладу составляет 8% годовых. Какой станет сумма вклада в 50000 рублей через три года? А. 62000руб. Б. 62985руб.60коп В. 64000руб. Г. 59805руб.50коп. 10.Найдите значение выражения: 11. Какое наибольшее число воскресений может быть в году? 12. Сократить дробь: (х4 – х2 -2х -1)/(х4 – 3х2 +1) 13. Дан вектор ОВ , В(8;6). Постройте все точки, получающиеся из данной точки В последовательным поворотом вектора ОВ на прямые углы около начала координат. Определите вид фигуры, полученной в результате последовательного соединения указанных точек. 14. Найти значения выражения 81а7в5с3 + 36а5в6с4 – 135 а4в4с5., при а=-2, в=-1/2, с= -1/3/ 15.Постройте график функции У= /х+2/ - /х-3// 16.Решить уравнение |5х-2|=8 17. Сумма цифр двузначного числа равна 11, если к этому числу прибавить 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. 18. При каком значении а прямая у= ах+5 проходит через точку М (-3;2). 19. Найти угол между биссектрисами смежных углов. 20. Построить график функции у = (2|х-3|)/ (х-3) + 1 7 класс 1. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство: (х-у)(х+у) – (а-х+у)(а-х-у) – а(2х-а) = 0 2. Выразите 10 пятью девятками. Укажите как можно больше способов. 3. Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в мотоцикл 6 л бензина с помощью 9- литрового ведра и 5-литрового бидона? 4. Как от куска материи длиной метра отрезать полметра, не имея под руками метра? 5. Какие цифры надо поставить вместо букв А и Б, чтобы получилось верное равенство: АБ•А•Б = БББ? (здесь АБ – двузначное число, БББ- трехзначное число). 6. (Старинная задача.) Собака гонится за кроликом, который находится в 150 футах от нее (фут - это старинная мера длины, равная примерно 30,5см). Собака делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика. 7. Какой вес должна иметь каждая из трех гирь для того, чтобы с их помощью можно было бы взвесить любое целое число килограммов от 1кг до 10кг на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки). Обоснуйте свой ответ. 8. Расставьте скобки в выражении: 7-6-5-4-3-2-1=0 так, чтобы получилось верное равенство. 9. В одной узбекской деревне каждый житель разговаривает либо поузбекски, либо по-русски, либо на обоих языках. разговаривают по-узбекски, жителей жителей разговаривают по-русски. Какая часть жителей деревни разговаривают на обоих языках? 10.Вычислить выражения: 3,4+(3 -2 + )* 6 +1,5*20,15:2 - 10,09. 11.В кошельке было шесть двух- и пятирублевых монет. Сколько было тех и других, если общая сумма мелочи в кошельке 18 рублей? 12.Задача (про хвосты). По тропинке вдоль кустов Шли 11 хвостов. Сосчитать я также смог, Что шагало 30 ног. Это вместе шли куда-то Петухи и поросята. А теперь вопрос таков: Сколько было петухов? И узнать я был бы рад, Сколько было поросят? Ты сумел найти ответ? До свиданья, вам привет. 13.Дядя Федор , кот Матроскин, Шарик, и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот станет крайний слева. В каком порядке они сидят? 14.Вычислите: + 15. Пять мальчиков, встретившись, обменялись рукопожатиями. Сколькими? 16. От числа одну восьмую Взяв, прибавь ты к ней любую Половину от трехсот, И восьмушка превзойдет Не чуть-чуть – на пятьдесят Три четвертых. Будь рад, Если тот, кто знает счет, Мне число то назовет. 17) Говорил принцессе поэт: "Мне, увы, вдвое больше лет, чем Вам было тогда, в былые года, когда Ваших сейчас я был лет. Но когда подрастете (состарюсь ли я?), будет Вам сколько мне сейчас лет (вместе ж нам, хоть умри, шесть десятков и три), буду я Вам любезен иль нет? Интересно, сколько лет каждому из них?» 18) («Восьмое путешествие Синдбада»). Синдбад-Мореход попал на остров, где жили только правдолюбы (всегда говорившие правду) и лгуны. Синдбада сопровождал проводник-островитянин. Вскоре они увидели еще одного жителя острова. Синдбад послал проводника узнать, кто этот житель правдолюб или лгун. Проводник вернулся и отвечал: "Говорит, что лгун". Кто был проводник - правдолюб или лгун? 19) Сократите дробь 20) В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача: Роскошно липа расцвела. Под ней червяк завелся малый, Да вверх пополз во всю он мочьЧетыре локтя делал в ночь, Но днем сослепу полз обратно Он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, И вот итог работы важной, Награда девяти ночей: Он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, Какой та липа высоты. 21.Из корзины взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально? 22. Запишите число 100 девятью различными цифрами, соединенными знаками действий. 23. Реши уравнение: 24. Не выполняя деления, докажи, что число 7920 делится на 60. 25. Гусеница ползет по стволу яблони. За первый час она поднялась на 10 см, за второй – опустилась на 4 см, за третий – вновь поднялась на 10 см, а за четвертый – опустилась на 4 см. Так она продолжала подниматься и опускаться в течение 11 часов. На сколько см поднимется гусеница за это время? 26. Две стороны треугольника равны соответственно 2 см и 13 см. Найти длину третьей стороны, если она выражается целым числом сантиметров, кратным 7. 27. 100 мышей за 100 дней съедают 200 кг крупы. Сколько зерна съедят 10 мышей за 10 дней? Длину каждой стороны квадрата увеличили на 40%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? 28. Когда сыну исполнилось 7 лет, его отцу 37 лет. Сейчас отец в 4 раза старше сына. Сколько лет сыну?. 10 класс 1. В ведре-10 л чистого спирта, а в баке-20 л 40%-ного раствора спирта. Некоторое количество спирта из ведра перелили в бак, полученную смесь перемешали и точно такое же количество смеси перелили обратно. Эту операцию повторили несколько раз, соблюдая следующие условия: в ведро переливают такое же количество раствора, какое перед этим из ведра перелили в бак; после каждого переливания новый раствор тщательно перемешивают. После нескольких описанных операций в ведре оказался 70%-ный раствор спирта. Определите процентную концентрацию раствора спирта в баке. 2. Чиновник как-то сказал, что квартплата увеличится за год в среднем на 15%,так как сейчас граждане оплачивают только 35%стоимости содержания жилья, а через год будут оплачивать 50%.На сколько процентов на самом деле увеличится квартплата при тех же условиях? 3. Решите неравенство: 4. Верно ли, что =2000? 5. Известно, что х+ = 5 . Найдите х2+ . 6. Докажите, что при любом а не равном 0 справедливо неравенство 1+1/а2 2/а – 11/ 25а2 +2/5а 7. Дано уравнение х(а-х)/(х+а) + х – а =10 – 10х/ (х+а), где а – действительное число. Определите число решений уравнения в зависимости от параметра а. 8. Найдите наименьший корень уравнения / х+/2х+1//=8 9. Является ли число 3612 + 12115 простым ? 10.Решите уравнение: (х2 – 10х +15)/(х2 -6х+15) = 3х/(х2 – 8х +15). 11.Решите неравенство . 12.При каких значениях параметра а наименьшее значение функции у=х2 -4ах +45 на равно 9? 13. Доказать, что 13! – 11! Кратно 31. 14.В параллелограмме АВСД луч, проведенный из вершины А, делит сторону ВС, в отношении 3:5 (ВС АВ). В каком отношении луч делит диагональ ВД? Цена товара со 100 тыс руб дважды понижалась, каждый раз на 30%. Какова окончательная цена товара?. Олимпиада по математике. 11 ласс 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку, принадлежащую диагонали куба и перпендикулярной этой диагонали. 4. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хор, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят занимаются только спортом? 5. Доказать, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла прямоугольного треугольника с центром квадрата, построенного на гипотенузе, делит прямой угол пополам. Доказать: угол 1 равен углу 2. 6.Решите уравнение: 7.В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке М. Известно, что AM = 1, ВМ = 2, СМ = 4. При каких значениях DM четырехугольник ABCD является трапецией? 8.Найдите экстремумы функции у = -3x – 2 9.Докажите, что число (1+ а) целое; б) делится на 2005. . • 2• 3•...• 2004 10.Решите уравнение 11.Каким должно быть число m, чтобы уравнение х3 + mх +1=0 и х4 + mх2+1=0 имели общий корень ? 12. Натуральные числа от 1 выписаны подряд. Какая цифра стоит на 2007 месте? 13. Разложите на множите выражение, не группируя члены х5 +х4у + х3у2+х2у3+ху4+у5 14.Доказать, что число 47+716 – составное. 15. На дуге ВС окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка М. Отрезки АМ и ВС пересекаются в точке К. Доказать, что = + .