Всероссийская олимпиада по математике 1 этап (школьный

Всероссийская олимпиада по математике Школьный этап
2014 – 2015 учебный год.
7 класс.
Задания.
1. Восстановите математическую запись примера:
**7
*
---*36.
2. Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка,
затем половину нового остатка и, наконец половину следующего остатка. В итоге в
корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц первоначально было в корзине?
3. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть,
Чтобы получить возможное наибольшее число, делящееся на 9?
4. В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг.
5. Собрался Иван царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым.
« Вот тебе меч-кладенец - говорит ему баба Яга.- Одним ударом ты можешь срубить либо
одну голову, либо две головы, либо два хвоста. Но запомни: срубишь один хвост- два
вырастут, срубишь два хвоста- голова вырастет, срубишь голову – голова вырастет,
срубишь две головы- ничего не вырастит».
За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?
Решения.
1. 117
8
---936.
2. 160 яиц.
3. Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6.
Так как больше то число, у которого цифр больше, стирать надо две тройки. Останется
число из 10 цифр. Чтобы это число было наибольшим, надо в старших разрядах иметь
большие цифры, поэтому стираем 2 последние тройки.
4. Разделим 24 кг на две части, отмерив на весах по 12 кг гвоздей. Отложим одну кучу
гвоздей, а вторую поделим поровну. Получим две кучи по 6кг Одну из первых
поделим пополам. Всего у нас будет четыре кучи гвоздей по 12кг, 6 кг, 3 Кг, 3 кг.
Сложим вторую и третью, получим ровно 9 кг.
5.Так как, по условию задачи, только рубка двух голов Змея одновременно приводит к
их полной ликвидации, то перед ликвидацией Змея необходимо добиться, чтобы у него
осталось только четное число голов. Поскольку Змей имеет три головы, то следует
рубить ему хвосты так, чтобы это привело к получению еще трех голов. В связи с этим
Иван царевич может поступать следующим образом:
1. Первыми тремя ударами Иван- царевич рубит каждый хвост пополам, и тогда у
Змея будет шесть хвостов.
2. Следующими тремя ударами Иван –царевич рубит хвосты Змея попарно и в
результате получает к имеющимся трем хвостам еще три головы.
3 наконец, последними тремя ударами Ива- царевич рубит попарно шесть голов Змея,
и тот побежден девятью ударами.
Всероссийская олимпиада школьников Школьный этап
2014 – 2015 учебный год.
8 класс.
Задания.
1. Разложите на множители:
4 a 2  b2  21b2  20ab  36
2.Постройте график функции:
x2  x
x2

Y= 2
.
x 1 x 1
3.Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка
получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный,
разносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?
с7
4.Найдите все такие целые с, при которых дробь
является целым числом.
с4
5.Старший брат говорит младшему; « Когда мне было столько лет, сколько тебе
сейчас, то я втрое старше тебя, а когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, то
нам вместе будет 60 лет» Сколько лет братьям


Решения.
1. (2a-5b-6)( 2a-5b+6).
2. Упрощая правую часть, имеем: y=x, где x   1. Таким образом, графиком
указанной функции является прямая, заданная формулой y=x, без двух точек
А(1;1) и В(-1;-1).
3. Треугольники с углами 60 0 ,30 0 ,90 0 .АВС- прямоугольный, АКСравносторонний, КВС- тупоугольный, СКВ-равнобедренный, АСВразносторонний.
с  7 с  4  11
11

 1
4.
, поэтому исходное число будет целым, если 11
с4
с4
с4
кратнос-4,11- простое число, значит его делителями будут -11;-1; 1; 11.
Получаем с=7; с=3, с=15.Ответ: -7,3,5,15.
5. Пусть возрасты братьев в настоящий момент с и m. Старшему было столько,
сколько младшему сейчас-с лет назад. Тогда младшему было m-(c-m)=2m-c.
Так как старший был тогда старше младшего, то получаем уравнение
m=3(2m-с). Откуда Младшему будет столько лет, сколько старшему, через сm лет. Тогда старшему брату будет 2c-m лет. Так Как 3с=5m? то из этого
уравнения имеем 5m- m= 60, откуда m=15. Следовательно,
с=25. Ответы Братьев 15и 25 лет
Всероссийская олимпиада школьников Школьный этап
2014-2015 учебный год
9 класс.
Задания.
1. Вычислить:
2 3  2 2 3  2 2 2 3  2 2 2 3
2. В уравнении x 2  (2m  1)x  m 2  2  0 найти такое значение m , при котором один
из корней был бы равен половине другого.
3. Построить график функции, заданной формулой y  x 2  2x
4. Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать
окружность, равен произведению ее оснований.
5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу золота нужно добавить к первому
сплаву для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
Решения.
1. Вычислить:
2 3  2 2 3  2 2 2 3  2 2 2 3
Решение
2 3  2 2 3  2 2 2 3  2 2 2 3 
 2  3  2  2  3  4   2  2  3  




 2 3  2 2 3  2 2 3  2 3  4 2 3 
 2 3  2 3  43 1
2. В уравнении x 2  (2m  1)x  m 2  2  0 найти такое значение m , при котором один из
корней был бы равен половине другого.
Решение
x 1  x 2  2m  1
по теореме Виета

 x1  x 2  m 2  2 
Рассмотрим систему: 
x2

x

по условию
1

2
x 2
 2 1  x 2  2m  1
3x  4m  2
  22
x
2
x 2  2m  4
 2 x2  m2  2
21
Применяя метод подстановки, получим:
 4m  2 
2

  2m  4,
 3 
16m 2  16m  4  18m 2  36,
2
2m 2  16m  32  0,
m 2  8m  16  0,
m 4
Ответ: m=4.
3. Построить график функции, заданной формулой y  x 2  2x
Решение
Упростим
x 2  2x :
 х  2х  х если х  0
x 2  2x  х  2х  
x  2х  3х ,если х  0
Тогда график будет состоять из линий:
y  x , где x  0 и y  3x , где x  0. См.
рисунок.
4. Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать
окружность, равен произведению ее оснований.
Решение
Дано: ABCD – трапеция,
AD  BC ., AB  CD  c .
BC  b , AD  a, BE  h  высота.
Доказать: h 2  ab
Доказательство
Так как в четырехугольнике, описанном около окружности,
суммы длин противоположных сторон равны, то
a b
a b
. AE 
.
2
2
Из ABE , где E  90, BE 2  AB 2  AE 2 , т.е .
a  b  2c . То AB 
a 2  2ab  b 2  a 2  2ab  b 2 4ab
a b  a b 
h2  

 ab. Ч .Т .Д .
 
 
4
4
 2   2 
2
5.
2
Пусть х кг было золота в 1 сплаве, составим таблицу:
%
%
Масса
Масса
Масса
золота
серебра
золота (кг)
серебра сплава (кг)
(кг)
1 сплав
20
80
х
4х
5х
2 сплав
50
50
80
80  0,5  40 80-40=40
Так как масса серебра в новом сплаве не изменилась, то составим уравнение:
4х = 40, то х = 10, т.е. золота было в 1 сплаве 10 кг, тогда в новый сплав добавили 40 – 10
= 30 (кг).
Ответ: 30 кг.
Всероссийская олимпиада школьников Школьный этап
2014-2015 учебный год
10 класс.
Задания.
1. Упростите выражение:
34  24 2  1
2.
3.
4.
5.
18  8 2  3  2 2
Решить систему:
3
1
 2



 2х  y x  2 y
2
 2
1
1




 2x  y x  2 y 18
Построить график функции:
y  4x 2  8 x  5
Пусть a и b –длины катетов некоторого прямоугольного треугольника,
с – длина гипотенузы, r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что a + b = c + 2r.
Пациенту произведена внутримышечная инъекция лекарства. Известно, что через каждые
полчаса количество лекарства в крови увеличивается на 2 единицы. Вместе с тем, в течение
каждого получаса половина лекарства, поступившего в кровь, распадается. Через какое
наименьшее время в крови пациента будет не менее 10 единиц лекарства?
Решение.
1.
34  24 2  1
18  8 2  3  2 2
 
42  2  4  3 2  3 2

4  24 2 
2
 2
2
2
1
 1  2 1  2 
2
 2
4  3 2   1  4  3 2  1  3 2  4  1 

4  2   1  2  4  2   1  2  4  2  1  2
3 2  3 3 2  1 3 2  33  2 2  3 2  3




 3 2 3
1
3  2 2 3  2 2 3  2 2 3  2 2 
2
2
2.
2
Ответ: 3 2  3
2

Пусть
1
u
2x  у
и
1
 v , тогда получим :
x  2y
8
1
1


4
v


v

2
u

3
v


18
9
2 вычтем из 1) 2) получим 


1
1 1
1
2u  v 
2u  
u 
18
9 18
12


2x  y  12
x  5
Так как уравнения с переменными в знаменателях, то проверка
Тогда 

x  2 y  9
 y  2
 2 3 18 1

  
x  5
обязательна: 12 9 36 2 Ответ: 
.
2 1 2
1
y


2

  

12 9 36 18
3. Построить график функции:
y  4x 2  8 x  5
х  0  узловая
Тогда ,
График функции будет таким:
точка
1)если x  0, то y  4x 2  8x  5
2)x  0, то y  4x 2  8x  5
4.
AK = AM, CK = CL, BL = BM – как отрезки касательных.
Сложив почленно эти равенства, получим:
AK+CK+BL = AM+CL+BM
Прибавим к обеим частям CL:
AK+CK+BL+CL= AM+CL+BM+CL, или
5. Последовательность количества лекарства, имеющегося в крови каждый час, является
арифметической прогрессией. Доза после первой инъекции равна 2 единицам, затем через каждый
час количество лекарства увеличивается на Ч.Т.Д.
1 единицу
Тогда : a1  2 d ,  1, S  10 , n  время в часах .
Составим уравнение , пользуясь формулой S 
2a1  d n  1
:
Ответ: 2 часа
2
4  1  n  1
 n  10  n 2  3n  20  0  n1  5, n 2  2
2
Всероссийская олимпиада школьников Школьный этап
2014-2015 учебный год
11 класс.
Задания.
1. . Упростить:
sin 3 2  cos 6  cos 3 2  sin 6
2. Решите уравнение:
x 4  8x 2  17  sin
3. Решить систему уравнений:
x
4
 x  y x  y 13



6
x  y x  y
xy  5.
4. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 метров, а в каждый следующий
час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий раз. За сколько часов он
достигнет высоты в 5700 м?
5. В треугольнике ABC величина угла А вдвое больше величины угла В, а длины сторон,
противолежащих этим углам, равны соответственно 12 см и 8 см. Найти длину третьей
стороны треугольника.
1.
sin 3 2  cos 6  cos 3 2  sin 6  sin 6  cos 2   cos 2 2 
1  cos 4
1  cos 4
 cos 6  sin 2   sin 2 2  sin 6  cos 2 
 cos 6  sin 2 

2
2
1
 sin 6  cos 2  cos 6  sin 2   cos 4  sin 6  cos 2  cos 6  sin 2  
2
1
1
sin 8  3
 sin 8  cos 4  sin 4    sin 8 
  sin 8
2
2
2  4
Ответ:
2.
Преобразуем левую часть уравнения:
x
4
 8x
2

 17  x
2
4

2
1
Очевидно, что при любых значениях х верны неравенства: x 2  4   1  1; sin
2

4
 1.
3
sin 8
4
Тогда, корнями данного уравнения являются только такие х, при которых обе части уравнения
 x 2  4 2 1  1

равны 1. То есть уравнение равносильно системе:  x
.
sin

1

4
Решением которой является число 2.
Ответ: х = 2.

3.

x y
1 13
, тогдаu   , 6u 2  13u  6  0
x y
u
6
3
2
6u 2  13u  6  0  D  25, u1  , u 2  .
2
3
Пустьu 
1)
 x  5 y  0 x  5 y
x y 3
  2x  y   2x  y   
 2

x y 2
y  1
xy  5
x 1  5 x 2  5
,

 y 1  1  y 2  1
2)
x y 2
  3x  y   2x  y   x  5 y ,
x y
3
но , xy  5, тогда  5 y 2  5, т.е . решений нет.
Ответ: 5;1,  5;1.
4. Пусть он достигнет высоты в 5700 м за n часов. Последовательность чисел, выражающих высоту
подъема за каждый час – арифметическая прогрессия, где a1  800 м , d  25, S n  5700 м .
Применив формулу S n 
2  800  25n  1
 n  5700
2
2a1  d n  1
 n , составим уравнение :
2
1600  25n  25n  11400
Решим его: 1600n  25n 2  25n  11400  0
n 2  65n  456  0
D  2401
65  49
65  49
n1 
 8, n 2 
 57.
2
2
Анализ корней:
Если n =8, то a8  a1  7d  800  7  25  658м  пройдет за 8-й день.
Если n =57, то a57  a1  56d  800  56  25  600м  , то есть n =57 по смыслу задачи нам не подходит.
5. Пусть АК –биссектриса угла А.
Тогда , KAC  ABC  AKC
ABC 
AC KC AK
AC 2 16


 KC 
 ,
BC
AC
AB
BC
3
16
AK  BK  BC  KC  12  ,
3
Указания по проверке и оценке работ олимпиады
На решение задач отводится 2,5 часа.
Все задачи оцениваются одинаково по 7 баллов.
7 баллов оценивается полное решение задачи.
6 баллов ставится за правильное решение задачи, в котором имеются
легко устранимые недочеты, например, допущена вычислительная
ошибка, не влияющая на окончательный результат.
5 баллов ставится за правильное решение, в котором однако, пропущены
или неверно доказаны некоторые утверждения, или пропущены
некоторые случаи.
4 балла ставится за правильное решение, в котором пропущены или не
доказаны некоторые утверждения, составляющие примерно половину
полного решения.
3 балла ставится, если путь решения верный, однако допущены ошибки
существенно повлиявшие на окончательный ответ.
2 балла ставится в том случае, если путь решения указан (хотя бы в
черновике), но решение не доведено до конца.
1 балл ставится, если в работе имеются некие разумные соображения по
поводу решения задачи.
МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ-35.