Раздел 3_1 - В помощь студентам ПМР

Практические задания к разделу 3
ПОНЯТИЕ ПРЕДИКАТА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
3.1. Какие из следующих выражений являются предикатами:
а) «х делится на 5» (х  N);
б) «Река х впадает в озеро Байкал» (х пробегает множество названий всевозможных рек);
в) «х2 + 2 х + 4» (х  R);
г) «(х + у)2 = х2 + 2 хy + y2» (x, yR);
д) «х есть брат у» (х, у пробегают множество всех людей);
е) «х и у» (x, у пробегают множество всех студентов данной группы);
ж) «х и у лежат по разные стороны от z» (x, у пробегают множество всех точек, а z  всех
прямых одной плоскости);
з)
«ctg 45° = 1»;
и) «х перпендикулярна у» (х, у пробегают множество всех прямых одной плоскости).
3.2. Для каждого из следующих высказываний найти предикат (одноместный или
многоместный), который обращается в данное высказывание при замене предметных переменных
подходящими значениями из соответствующих областей:
а) «3 + 4 = 7»;
б) «Вера и Надежда  сестры»;
в) «Сегодня  вторник»;
г) «Город Саратов находится на берегу реки Волги;
д) «sin 30° = 1/2»;
е) «А. С. Пушкин — великий русский поэт»;
ж) «32 + 42= 52;
з) «Река Индигирка впадает в озеро Байкал»;
и) « tg

4
 1 ».
Построив такой предикат, постарайтесь или точно указать его область истинности, или както ее обрисовать.
Решение. и) Можно указать три предиката, каждый из которых обращается в данное
высказывание при соответствующей подстановке. Первый предикат одноместный:
« tg x  1 »



 x  R \   n : n  N   . Он превращается в данное высказывание при
2


61
подстановке x 

. Получающееся высказывание истинно. Указанным значением не исчерпыва4
ется множество истинности построенного предиката. Как нетрудно установить, это множество
следующее:



  n : n  N  . Второй предикат также одноместный: « tg  y » (y R). Он
4
4

превращается в данное высказывание при подстановке у = 1. Ясно, что этим значением и
исчерпывается множество истинности этого предиката. Наконец, можно построить третий
предикат, двухместный: « tg x  y »



 x  R \   n : n  N ,
2


данное высказывание при подстановке x 

y  R  . Он превращается в


, у = 1. Его область истинности представляет собой
4
множество упорядоченных пар, совокупность которых графически изображается в виде бесконечного семейства кривых, называемых тангенсоидами.
3.3. Прочитайте следующие высказывания и определите, какие из них истинные, а какие
ложные, считая, что все переменные пробегают множество действительных чисел:
а) (x)(y )( x  y  7);
б) (y )(x)( x  y  7);
в) (x)(y )( x  y  7);
г) (x)(y )( x  y  7);
д) (x)(y)( x  y  3)  (3  4);


е) (x) ( x 2  x)  (( x  1)  ( x  0)) ;
ж) (a)(x)(ax  6)  (a  0);
з) (b)(a)(x)( x 2  ax  b  0);
и) (x)( x  1)  ( x  2)  ( x  x);
к) (b)(a)(x)( x 2  ax  b  0);
л) (a)(b)(x)( x 2  ax  b  0);
Решение. а) Двухместный предикат их «x + y = 7» задан над множеством действительных
чисел R. Это означает, что вместо каждой из двух его предметных переменных, х и у могут
быть подставлены действительные числа. Если такая подстановка сделана вместо обеих
переменных, например «6 + 3 = 7», то предикат превращается в высказывание (в нашем случае
ложное). Но данный двухместный предикат «x + y = 7» может быть превращен в высказывание
и другим путем: именно путем применения к нему операций квантификации (взятия квантора
общности иди квантора существования). Применим сначала к двухместному предикату «x + y
62
= 7» операцию взятая квантора существования по переменной у. Подучим уже одноместный
предикат « (y )( x  y  7) » относительно переменной x, которая пробегает множество R.
Говорят, что в получением выражении переменная у связана, а переменная х свободна. Вместо
переменной у мы уже ничего не можем подставлять, в то время как вместо х могут быть
подставлены действительные числа, в результате чете одноместный предикат будет
превращаться в высказывания. Например, высказывание « (y )(10  y  7) » можно прочитать
так: «Существует действительное число у, такое, что 10  y  7 ». Ясно, что это высказывание
истинно. (В качестве такого у, существование которого утверждает это высказывание, нужно
взять действительное число  3.) Легко далее понять, что, какое бы действительное число х0 мы ни
подставили вместо переменной х в предикат «(у) (х + у = 7)», предикат превращается в
истинное высказывание. Действительно, в качестве такого числа у, существование которого
утверждает высказывание, нужно взять разность 7  х0. Это обстоятельство согласно
определению операции взятия квантора общности означает, что получающееся высказывание
«(х)(у)(х + у = 7)» истинно. Его можно прочитать следующим образом: «Для любого
действительного числа существует такое действительное число, сумма которого с первым равна
7». В выражении «(х)(у)(х + у = 7)» уже нет свободных переменных. Обе переменные х и у
стоят под знаками кванторов и потому являются связанными. Само же выражение уже не
является предикатом, оно есть высказывание, истинное, как мы установили. Впрочем, если мы
хотим, то, развивая понятие предиката, можем считать, что высказывание  это 0-местный
предикат, т. е. предикат без переменных. Но мы должны осознавать, что количественный переход
от одноместного предиката к 0-местному приводит к качественному скачку, так что 0-местный
предикат  это объект качественно иной, нежели предикат одноместный, хотя и подводимый нами
условно под понятие «предикат».
б) Высказывание «(у)(х)(х + у = 7)» можно прочитать так: «Существует такое
действительное число, которое, будучи прибавлено к любому действительному числу, в сумме дает
7». Нетрудно понять, что это утверждение ложно. В самом деле, рассмотрим одноместный
предикат «(х)(х + у = 7)» относительно переменной у, применением к которому квантора
существования получается данное высказывание. Ясно, что, какое бы действительное число ни
подставить вместо предметной переменной у, например «(х)(х + 4 = 7)», предикат будет
превращаться в ложное высказывание. (Высказывание «(х)(х + 4 = 7)» ложно, так как одноместный предикат «(х + 4 = 7)» превращается в ложное высказывание, например, при подстановке
вместо переменной х числа 5.) Поэтому высказывание «(у)(х)(х + у = 7)», получающееся из
одноместного предиката «(х)(х + у = 7)» применением операции взятия квантора существования
по у, ложно.
63
и) Это высказывание можно прочитать так: «Любое действительное число равно самому себе
тогда и только тогда, когда оно больше 1 или меньше 2». Чтобы выяснить, истинно или ложно
это высказывание, будем пытаться искать такое действительное число х0, которое превратило бы
одноместный предикат
( x  1)  ( x  2)  ( x  x)
в ложное высказывание. Если нам удастся найти такое число, то данное высказывание,
получающееся из этого предиката «навешиванием» (т. е. применением операции взятия) квантора
общности, ложно. Если же мы придем к противоречию, предположив, что такое х0 существует, то
данное высказывание истинно.
Ясно, что предикат «х = х» превращается в истинное высказывание при подстановке вместо х
любого действительного числа, т. е. является тождественно истинным. Спрашивается: можно ли
указать действительное число, которое превратило бы предикат « ( x  1)  ( x  2) » в ложное
высказывание? Нет, потому что, какое бы действительное число мы ни взяли, оно либо больше 1,
либо меньше 2 (либо одновременно и больше 1, и меньше 2, что вовсе не возбраняется в нашем
случае). Следовательно, предикат « ( x  1)  ( x  2) » тождественно истинен. Тогда тождественно
истинным будет и предикат
( x  1)  ( x  2)  ( x  x) .
И значит, данное высказывание
(x)( x  1)  ( x  2)  ( x  x)
по определению операции взятия квантора общности истинно.
3.4.
Пусть P (x) и Q (x)  одноместные предикаты, заданные на множестве М, такие, что
высказывание
xP( x)  P( x)  Q( x)  P( x)
истинно. Доказать, что высказывание x P(x) ложно.
3.5. Определите, является ли один из предикатов, заданных на множестве действительных
чисел, следствием другого:
64
а) « х    3»,
« x2  3x + 2 = 0 »;
б) «х4 = 16»,
« x2 =  2 »;
в) «х  1  0»,
« (x  2) (х + 5) = 0»;
г) «sin x = 3»,
« x2 + 5 = 0»;
д) « х2 + 5x  6  0»,
« x + 1 = 1 + x »;
е) «х2  0»,
« x = sin  »;
ж) « x3  2x2  5ч + 6 = 0»,
« х  2 = 1».
Решение. ж) Второй предикат превращается в истинное высказывание лишь при двух
подстановках: х = 1 и х = 3. Нетрудно проверить, что эти подстановки превращают и первый
предикат в истинное высказывание (являются корнями данного кубического уравнения). Поэтому
первый предикат является следствием второго.
3.6. Задайте множество М значений предметной переменной так, чтобы на этом множестве
второй предикат был бы следствием первого:
а) «х кратно 3»,
«х четно»;
б) «x 2 = 1»,
«x 1 = 0»;
в) «x нечетно»,
«х  квадрат натурального числа»;
г) «x  ромб»,
«x  параллелограмм»;
д) «x  параллелограмм»,
«x  ромб»;
е) «x  русский ученый»,
«x  математик»;
ж) «x  квадрат»,
Решение.
«x  параллелограмм».
ж) Поскольку всякий квадрат является параллелограммом, то в качестве
множества, на котором второй предикат является следствием первого, может быть взято множество
всех четырехугольников.
3.7. Докажите, что конъюнкция тождественно
истинного предиката с любым другим
предикатом, зависящим от тех же переменных, равносильна последнему.
3.8. Докажите, что импликация двух предикатов, зависящих от одних и тех же переменных,
с тождественно ложным следствием равносильна отрицанию ее посылки.
ЗАПИСИ НА ЯЗЫКЕ АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ
И АНАЛИЗ РАССУЖДЕНИЙ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ
Пример 1. Что означает утверждение «Прямые а и b не параллельны»?
Чтобы раскрыть смысл формулы (а || b), надо найти отрицание формулы  a    b
   a  b =   a = b). Имеем (а || b) = (a    b    a  b =   a = b)) =
a    b    a  b =   a = b)) = a    b    a  b    a  b.
Но формула a    b  , означающая на русском языке «Не существует плоскости,
содержащей обе прямые а и b», передает отношение скрещивания прямых, а формула a  b  
 a  b, переводимая на русский язык предложением «Прямые а и b имеют общие точки, но не
совпадают», выражает отношение пересечения прямых.
Таким образом, непараллельность прямых означает их пересечение или скрещивание.
Пример 2. Записать на языке алгебры предикатов так называемые «аристотелевские
65
категорические суждения» часто используемые в рассуждениях: «Все S суть Р»,
«Некоторые S суть Р», «Ни одно S не суть Р», «Некоторые S не суть Р».
Запись приводится в табл. 1.1. В первом столбце этой таблицы указан вид суждения,
возникающий
при
классификации
категорических
суждений
по
сложному признаку,
учитывающему количество (суждения общие и частные), выражаемое в формулировке
кванторными словами «все», «некоторые», и качество (суждения утвердительные и
отрицательные), которое передается связками «суть», «не суть», «есть».
В втором столбце дается стандартная словесная формулировка суждений в традиционной
логике, а в пятом  их запись на языке алгебры предикатов, при этом S(x) надо понимать как «х
обладает свойством S», а Р(х)  как «х обладает свойством Р».
В четвертом столбце показаны отношения между объемами Vs и VР понятий S и Р, если
суждения понимаются в наиболее общем виде, когда они дают исчерпывающую информацию
только о субъекте. Например, из суждения «Все S суть Р» ясно, что речь идет обо всех S, объем
же предиката не определен: идет ли речь обо всех объектах, обладающих свойством P, или
только о некоторых; только ли S суть P, или и другие объекты тоже суть Р. Иногда эту
неопределенность в отношении объема предиката Р устраняет контекст, иногда это устранение и
не требуется. Чтобы подчеркнуть отношение объема VР к объему Vs, используют более
определенную формулировку «Все S и не только S суть Р» или «Все S и только они суть Р».
Вторая формулировка называется общевыделяющим утвердительным суждением. Первому
суждению отвечает диаграмма Венна, представленная на рис. 1, а, второму—на рис. 1, б. С
учетом сказанного суждение «Некоторые S суть Р» в общем виде понимается как «Некоторые S
и не только они суть Р», чему соответствует диаграмма рис. 2, а, но оно может означать и
«Некоторые S и только они суть S» (рис. 2, б). Суждению «Все S не суть Р», понимаемому в
общем виде, соответствует диаграмма на рис. 3, а. Этому же суждению в выделяющей форме
«Все S и только они не являются Р» отвечает диаграмма на рис. 3, б. Такая формулировка
соответствует описанию отношения между противоречащими понятиями, т. е. такими,
объемы которых не пересекаются и исчерпывают объем более общего родового понятия.
Наконец, суждению «Некоторые S не есть Р» в общем виде соответствует диаграмма на рис. 4, а,
а в выделяющем виде «Некоторые S и только они не являются Р»  диаграмма на рис. 4, б.
Таблица 3.1
Вид суждения
Запись в
Запись на языке
Отношения между объемами Vs и
традиционной
алгебры предикатов
VР
логике словесных
формулировок
Общеутвердительное Все S суть P
xS ( x)  P( x)
Рис.1
66
xS ( x) & P( x)
Частноутвердительное Некоторые S суть Р
Рис. 2
Общеотрицательное
xS ( x)  P( x)
Ни одно S не суть Р
Рис.3
Частноотрицательное Некоторые S не суть Р
xS ( x) & P( x)
Рис.4
Пример 3. Проанализировать рассуждение «Все люди смертны; Сократ  человек;
следовательно, Сократ смертен». Первая посылка рассуждения есть общеутвердительное
суждение (см. пример 2). Введем обозначения: Ч(х): х  человек; С (х): х  смертен; с  Сократ.
Структура рассуждения:
хЧ(х)С(х)), Ч(с) ├ С(с).
(3.1)
Пусть следование (3.1) не имеет места. Тогда в некоторой области Do должен
существовать набор (a, li(x), lj(x)) для (с, Ч(х), С(х)), при котором будут выполняться следующие
условия:
х li(x)  lj (х)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.
Но тогда импликация li(a)  lj (a) имеет значение Л, а значит, по определению квантора
общности, х li(x)  lj (х)) = Л, что противоречит первому условию. Поэтому следование 2.8
верное, а исходное рассуждение правильное.
Пример 4. Проанализировать рассуждение: «Всякая хоккейная команда, могущая
победить ЦСКА,  команда высшей лиги. Ни одна команда высшей лиги не может победить
ЦСКА. Значит ЦСКА непобедима».
О бозначения:
П(x):
команда х может
победить
ЦСКА; В (x): команда х из высшей
лиги.
Структура рассуждения:
хП(х)  В(х)), хВ(х)  П(х)) ├ хП(х).
Устанавливаем,
правильно
ли
полученное
следование,
методом
равносильных
преобразований. Пользуясь следствием б) обобщения предложения 1.10, преобразовываем
формулу хП(х)  В(х))&хВ(х)  П(х))  хП(х).
Имеем:
хП(х)  В(х)) & хВ(х)  П(х))  хП(х) = х(П(х)  В(х)) & В(х)
 П(х)))  хП(х) = (х(П(х)  В(х)) & В(х)  П(х))) & хП(х)) =
= (х(П(х)  (В(х) & В(х)))) & хП(х) = Л = И.
В
этих
равносильных
образованиях
дважды
использовалось свойство
конъюнкции A & A= Л и один раз свойство дизъюнкции А  Л = А.
Таким образом, исходная формула общезначима, а значит, рассуждение правильное.
67
Пример 5. Проанализировать рассуждение: «Если бы какая-нибудь команда могла
обыграть ЦСКА, то и какая-нибудь команда высшей лиги могла бы. «Динамо» (Минск) 
команда высшей лиги, а не может обыграть ЦСКА. Значит, ЦСКА непобедима».
Обозначения: П(х): команда х может победить ЦСКА; В(х): команда х из высшей лиги; д
— «Динамо» (Минск).
Структура рассуждения:
хП(х)  х(В(х)& П(х)), В(д) & П(д) ├ хП(х).
(3.2)
Замечание. При формализации рассуждений следует учитывать, что в естественном
языке во избежание частых повторов одних и тех же слов или словосочетаний широко
пользуются синонимическими оборотами. Понятно, что при переводе они должны передаваться
одной и той же формулой. В нашем примере такими синонимами являются предикаты «команда
х может обыграть ЦСКА» и «команда х может победить ЦСКА», и оба они передаются
формулой П(х).
Следование (3.2) неверно. Чтобы это доказать, достаточно указать хотя бы одну
интерпретацию формул, выражающих посылки и заключение, в которой посылки будут
принимать значение И, а заключение  значение Л. Такой интерпретацией, например, является
следующая: D = {1, 2, 3, 4}. В этой интерпретации имеем, после вычислений,
И  И, И &Л ├ И, или И, И ├ Л.
Итак, в этой интерпретации обе посылки имеют значение И, а заключение  значение Л.
Значит, следование (3.2) неверно, а рассуждение неправильное.
3.9. Введя подходящие одноместные предикаты на соответствующих областях, переведите
следующие высказывания, на язык алгебры предикатов:
а) Все рациональные числа действительные.
б) Ни одно рациональное число не является действительным.
в) Некоторые рациональные числа действительные.
г) Некоторые рациональные числа не являются действительными.
Решение. Введем следующие одноместные предикаты
Q (х): «х  рациональное число»;
R (x): «х  действительное число».
Тогда перевод приведенных высказываний на язык алгебры предикатов будет таким:
а) (x)(Q( x)  R( x));
б) (x)(Q( x)  R( x));
в) (x)(Q( x) & R( x));
г) (x)(Q( x) & R( x)).
68
3.10. Введите одноместные предикаты на соответствующих областях и запишите при их
помощи следующие высказывания в виде формул алгебры предикатов:
а) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6.
б) Жители Швейцарии обязательно владеют или французским, или итальянским, или
немецким языком.
в) Функция, непрерывная на отрезке [0, 1], сохраняет знак или принимает нулевое значение.
г) Некоторые змеи ядовиты.
д) Все собаки обладают хорошим обонянием.
3.11. В следующих примерах проделайте то же самое, что и в предыдущей задаче,
необязательно ограничиваясь одноместными предикатами:
а) Если  есть корень многочлена от одной переменной с вещественными коэффициентами, то
 также корень этого многочлена.
б) Между любыми двумя различными точками на прямой лежит по меньшей мере одна точка,
с ними не совпадающая.
в) Через две различные точки проходит единственная прямая.
г) Каждый студент выполнил по меньшей мере одну лабораторную работу.
д) Если произведение натуральных чисел делится на простое число, то на него делится по
меньшей мере один из сомножителей.
е) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
ж) Наибольший общий делитель чисел a и b делится на всякий их общий делитель.
з) Для каждого действительного числа х существует такой у, что для каждого z, если сумма z и
1 меньше у, то сумма х и 2 меньше 4.
и) х  простое число.
к) Каждое четное число, большее четырех, является суммой двух простых чисел (гипотеза
Гольдбаха).
3.12. Запишите следующие высказывания на языке алгебры предикатов:
а) Существует точно один х, такой, что Р (х).
б) Существуют по меньшей мере два различных х, такие, что Р (х).
в) Существует не более двух х, таких, что Р (х).
г) Существуют точно два различных х, такие, что Р (х).
3.13. Что можно сказать о множестве М, если для любого предиката В (х) на множестве
М истинно высказывание (x)( B( x))  (x)( B( x)) ?
69
3.14. Пусть Р (х) означает «x  простое число», Е (х) означает «х  четное число», О (х)  «х 
нечетное число», D (x, y)  «х делит у» или «у делится на х». Переведите на русский язык
следующие символические записи на языке алгебры предикатов, учитывая, что переменные х и у
пробегают множество натуральных чисел:
а) P (7);
б) E (2) & P (2);
в) (x)( D(2, x)  E ( x)) ;
г) (x)( E ( x) & D( x,6)) ;
д) (x)(E ( x)  D(2, x)) ;
е) (x)E( x)  (y)( D( x, y)  E( y)) ;
ж) (x)P( x)  (y)( E( y) & D( x, y));
з) (x)O( x)  (y)( P( y)  D( x, y)) ;
и) (x)( E ( x) & P( x)) & (x)(O( x) & P( x)) & (y )( x  y & E ( y ) & P( y )).
Решение. е) Это высказывание можно прочитать так: «Для любого натурального числа х, если
оно четное, то для любого натурального числа у, если х делит у, то и у будет четным числом». Мы
прочитали это высказывание что называется «с листа», произнесли словами нового языка то, что
было написано на старом языке, не вникая в математическую суть утверждения. Вдумаемся теперь
в смысл этого утверждения и придадим ему более подобающую русскому языку и более понятную
форму: «Всякое натуральное число, делящееся на четное число, само будет четным».
3.15. Переведите на русский язык следующие символические записи, учитывая, что
переменные х и у пробегают множество всех действительных чисел:
a) (x)(y )( x  y );
б) (y )(x)( x  y ). .
Сравните логические значения этих высказываний.
Пример 6. Правильно ли следование:
(а) xS ( x)  P( x) ├ xS ( x) & P( x)
(б) xS ( x) & P( x)
├ xS ( x) & P( x)?
Проверку правильности следования можно проводить и с помощью диаграмм Венна, если
посылки и заключения  одноместные предикаты, зависящие от одной переменной. Для
категорических суждений, каковыми являются в нашем примере посылки и заключения,
отношения между объемами понятий S и Р описаны в примере 2. Этим описанием мы и
воспользуемся.
70
Метод диаграмм Венна для случая с одной посылкой состоит в следующем. Изображаем
диаграммами все возможные случаи отношений между объемами понятий S и Р,
соответствующие посылке.
Если на каждой из полученных диаграмм заключение оказывается истинным, то следование
правильно. Если же хотя бы на одной из диаграмм заключение ложно, то следование
неправильно.
(а) Поскольку посылка xS ( x)  P( x) является отрицательным суждением, то для нее
возможны диаграммы, изображенные на рис. 5.
Рис. 5
Ни на одной из этих диаграмм суждение xS ( x) & P( x) не верно, так как объемы понятий S
и Р не имеют общих элементов.
Значит, следование неправильное.
(б) Так как посылка xS ( x) & P( x) является частноутвердительным суждением, то
возможные для нее диаграммы приведены на рис. 6.
71