МАТЕМАТИКА Многочлены, разложение на множители и алгебраические дроби (задание 8 ОГЭ) Важно! Ответы на 1–19 задания ОГЭ должны быть представлены целым числом или конечной десятичной дробью. Задание 1 Найдите значение выражения (2 + с)2 – c(c – 4) 1 при c = – 8. Решение: Полезные советы: ! Раскройте первую скобку, воспользовавшись формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. ! Раскройте вторую скобку. Обратите внимание, что перед скобками стоит –c. Это значит, что при умножении каждого слагаемого в скобках на отрицательное число, его знак меняется на противоположный! ! Приведите подобные слагаемые. ! Подставьте в полученное выражение значение с и вычислите. Ответ: Задание 2 Найдите значение выражения 1 (a – 4)2 – 2a(5a – 4) при a = – 3. Полезные советы: ! Раскройте первую скобку, воспользовавшись формулой (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. ! Раскройте вторую скобку. Обратите внимание, что перед скобками стоит –2a. Это значит, что при умножении каждого слагаемого в скобках на отрицательное число, его знак меняется на противоположный! ! Приведите подобные слагаемые. ! Подставьте в полученное выражение значение a и вычислите. Решение: Ответ: 1 МАТЕМАТИКА Задание 3 Найдите значение выражения (3b – 8)(8b + 3) – 8b(3b + 8) при b = –5,2. Полезные советы: ! Раскройте скобки. Важно помнить, что при умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножаем на каждый член другого многочлена. ! Обратите внимание, что перед третьими скобками стоит отрицательное число –8b. Это значит, что при умножении каждого слагаемого в скобках на отрицательное число, его знак меняется на противоположный. ! Приведите подобные слагаемые. ! Подставьте в полученное выражение значение b и вычислите. Решение: Ответ: Задание 4 Найдите значение выражения –24ab – (4a – 3b)2 при a = 8, b = Полезные советы: 3. ! Возведите двучлен в квадрат, воспользовавшись формулой (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Полученное выражение запишите в скобках, так как перед ним стоит знак минус. ! Раскройте скобки. Обратите внимание, что перед скобками стоит минус. Это значит, что знак каждого слагаемого в скобках поменяется на противоположный! ! Приведите подобные слагаемые. ! Подставьте в полученное выражение значение a и b и вычислите. Решение: Ответ: 2 МАТЕМАТИКА Задание 5 Разложите многочлен на множители 12k – 16p. Решение: Полезные советы: ! Вынесите общий множитель за скобку. ! При вынесении общего множителя за скобку каждый член многочлена делится на этот множитель. Ответ: Задание 6 Разложите многочлен на множители 7ax + 7a. Решение: Полезные советы: ! Вынесите общий множитель за скобку. ! При вынесении общего множителя за скобку каждый член многочлена делится на этот множитель. Ответ: 3 МАТЕМАТИКА Задание 7 Разложите многочлен на множители 18z5 + 12z4. Решение: Полезные советы: ! Вынесите общий множитель за скобку. ! При вынесении общего множителя за скобку каждый член многочлена делится на этот множитель. Ответ: Задание 8 Разложите многочлен на множители 25x2 – 10x + 1. Полезный совет: ! Воспользуйтесь формулой квадрата разности a2 – 2ab + b2 = (a – b)2. Решение: Ответ: 4 МАТЕМАТИКА Задание 9 Разложите многочлен на множители 16a2 – 49. Решение: Полезные советы: ! Воспользуйтесь формулой квадрата разности a2 – b2 = (a – b)(a + b). Ответ: Задание 10 Разложите многочлен на множители 9m4 + 12m2n + 4n2. Полезные советы: ! Воспользуйтесь формулой квадрата суммы a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. Решение: Ответ: 5 МАТЕМАТИКА Задание 11 Разложите многочлен на множители a3 + a2 – 3a – 3. Решение: Полезные советы: ! Используйте способ группировки. ! В первые скобки заключите первые два слагаемых, а во вторые – оставшиеся. ! Из первой скобки вынесите общий множитель. ! Из второй скобки вынесите общий множитель. ! У вас должно получиться одно и то же выражение в скобках. ! Вынесите полученное выражение как общий множитель. Ответ: Задание 12 Разложите многочлен на множители 3x2 + 10x + 3. Решение: Полезные советы: ! Воспользуйтесь формулой ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax² + bx + c = 0. Ответ: 6 МАТЕМАТИКА Задание 13 Разложите многочлен на множители –6a3 + 12a2 – 6a. Решение: Полезные советы: ! Вынесите общий множитель за скобку. ! Воспользуйтесь формулой квадрата разности a2 – 2ab + b2 = (a – b)2. Ответ: Задание 14 a2 – 9 Найдите значение выражения 6a2 – 18a при a = –0,3. Решение: Полезные советы: ! Сократите алгебраическую дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. ! Подставьте в полученное выражение значение a и вычислите. Ответ: 7 МАТЕМАТИКА Задание 15 5b2 – 14ab Найдите значение выражения 25b2 – 196a2 при a = – 2, b = 8. Решение: Полезные советы: ! Сократите алгебраическую дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. ! Подставьте в полученное выражение значения a и b и вычислите. ! Обратите внимание, что из 8 можно частично извлечь корень, представив её в виде произведения 2 и 4. Ответ: Задание 16 Найдите значение выражения b + 2a – b2 при a = 49, b = 10. b Решение: Полезные советы: ! Приведите к общему знаменателю. Обратите внимание, что b можно b представить как . 1 ! Запишите числители на одной черте и приведите подобные слагаемые. ! Подставьте значения a и b и вычислите. Ответ: 8 МАТЕМАТИКА Задание 17 Найдите значение выражения 1 x + 6y – при x = x 6xy 1 22, y = 6. Решение: Полезные советы: ! Приведите алгебраические дроби к общему знаменателю. ! Запишите числители на одной черте и приведите подобные слагаемые. Обратите внимание, что перед второй дробью стоит минус. Значит, при записи на одной черте необходимо знак каждого слагаемого во втором числителе поменять на противоположный. ! Сократите полученную дробь. ! Подставьте значение х и вычислите. Ответ: Задание 18 Найдите значение выражения 16 4 – при a = –12. 4a – a2 a Решение: Полезные советы: ! Разложите знаменатель первой дроби на множители. ! Приведите алгебраические дроби к общему знам енателю. ! Запишите числители на одной черте, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. ! Сократите полученную дробь. ! Подставьте значение a и вычислите. Ответ: 9 МАТЕМАТИКА Задание 19 Найдите значение выражения xy + y2 9x ⋅ при x = –9,6, y = –0,4. 18x x+y Решение: Полезные советы: ! Разложите числитель первой дроби на множители. ! Запишите произведение числителей на одной черте, а знаменателей – под ней. ! Сократите одинаковые множители и числа. ! Подставьте значения x и y и вычислите. Ответ: Задание 20 Найдите значение выражения (x – 7) : x2 – 14x + 49 при x = –13. x+7 Решение: Полезные советы: ! Представьте выражение x – 7 x–7 в виде дроби . 1 ! Разложите числитель второй дроби на множители, воспользовавшись формулой квадрата разности a2 – 2ab + b2 = (a – b)2. ! Переверните вторую дробь и замените деление умножением. ! Запишите произведение числителей на одной черте, а знаменателей – под ней. ! Сократите одинаковые множители. ! Подставьте значение x и вычислите. Ответ: 10 МАТЕМАТИКА Задание 21 Найдите значение выражения ( ) 7ab a 7b ⋅ – при a = 7 2 + 7, b = a + 7b 7b a 2 – 9. Решение: Полезные советы: ! Найдите разность в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. ! Разложите числитель полученной дроби на множители. ! Запишите произведение числителей на одной черте, а знаменателей – под ней. ! Сократите одинаковые множители и числа. ! Подставьте значение a и b и вычислите. Ответ: Задание 22 Найдите значение выражения (2v5 + 2v5 + 2) ⋅ 2v5v+ 5 при v = –8. Решение: Полезные советы: ! Найдите сумму в скобках, 2 представив 2 как 1 и приведя дроби к общему знаменателю. ! Разложите числитель полученной дроби на множители, воспользовавшись формулой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. ! Запишите произведение числителей на одной черте, а знаменателей – под ней. ! Сократите одинаковые множители и числа. ! Подставьте значение v и вычислите. Ответ: 11 МАТЕМАТИКА Задание 23 Найдите значение выражения 6b 1 b – ): при a = 9,6, b = (aa –+ 6ab a 6b – a 2 2 – 2. Полезные советы: Решение: ! Найдите разность в скобках, разложив первый знаменатель на множители и приведя дроби к общему знаменателю. Обратите внимание, что перед второй дробью стоит минус. Значит, при записи на одной черте необходимо знак каждого слагаемого во втором числителе поменять на противоположный. ! Переверните вторую дробь и замените деление умножением. ! Запишите произведение числителей на одной черте, а знаменателей – под ней. ! Сократите одинаковые множители. ! Подставьте значение a и вычислите. Ответ: Задание 24 Найдите значение выражения 6a 36a2 + c2 c – 36a – + при a = 83, c = 80. c 6ac 6a Решение: Полезные советы: ! Приведите алгебраические дроби к общему знаменателю. ! Запишите числители на одной черте и приведите подобные слагаемые. Обратите внимание, что перед второй дробью стоит минус. Значит, при записи на одной черте необходимо знак каждого слагаемого во втором числителе поменять на противоположный. ! Сократите полученную дробь. ! Если необходимо, подставьте значение a и c и вычислите. Ответ: 12
