На правах рукописи УДК 544.032.65 Никифоров Александр Михайлович
advertisement
На правах рукописи УДК 544.032.65 Никифоров Александр Михайлович РАЗОГРЕВ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В ПРОЗРАЧНЫХ ТВЁРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ ИНТЕНСИВНЫМ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ Специальность 01.04.07 – Физика конденсированного состояния АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук МОСКВА – 2011 Работа выполнена на кафедре «Физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Епифанов Александр Сергеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дадиванян Артём Константинович доктор физико-математических наук, профессор Синкевич Олег Арсеньевич Ведущая организация Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Защита состоится « 16 » февраля 2012 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета Автореферат разослан « 22 » декабря Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент 2011 г. ________ Барабанова Н.Н. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одним из фундаментальных вопросов физики взаимодействия интенсивного электромагнитного излучения с конденсированными средами является пробой прозрачных твёрдых диэлектриков. Неослабевающий интерес к воздействию электромагнитного излучения на природу изменений физических свойств конденсированных сред обусловлен исследованиями быстропротекающих процессов, проектированием высокополевых оптоэлектронных устройств, получением материалов с заданными порогами оптического пробоя, многочисленными приложениями лазеров в технологиях прецизионной обработки материалов, биологии, хирургии. С другой стороны, оптический пробой диэлектриков является одним из основных физических факторов, ограничивающих мощность лазерных систем, что сужает потенциальную область приложений ультракоротких импульсов. В последние годы проблема повышения лучевой прочности оптических элементов приобретает исключительное значение в связи с крайне жесткими требованиями, предъявляемыми к элементам оптических систем установками лазерного термоядерного синтеза. Таким образом, представляется актуальным исследование диэлектрических материалов на предмет выяснения их предельной стойкости к воздействию интенсивного высокочастотного электромагнитного поля. Максимальные пороговые поля наблюдаются в объемном пробое при однократном облучении предельно чистых оптических материалов. Однако вопрос о том, в каких условиях какой из предельных механизмов нелинейного поглощения оказывается доминирующим в высокочастотном поле, до сих пор остаётся не выясненным. Наиболее вероятными собственными механизмами считаются многофотонная ионизация и ударная лавинная ионизация. В связи с сильной нелинейностью механизмов пробоя они будут конкурировать лишь в достаточно узком диапазоне длительностей воздействия поля на диэлектрик. Для того чтобы попытки совместного рассмотрения нескольких приводящих к пробою процессов были корректными, необходимо уметь определять зависимость постоянной лавинной ионизации от критического поля. Перспективы идентификации доминирующего механизма пробоя связывают со сравнительным анализом характерных зависимостей критического поля от начальной температуры кристалла, энергии ионизации, частоты падающего излучения, длительности воздействия электромагнитного поля. Адекватный анализ процесса развития лавины, индуцированной ультракороткими импульсами, должен опираться на полученное в работах Мельникова В.И. и Эпштейна Э.М. квантовое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции распределения электронов проводимости в сильном поле излучения. Ввиду невозможности получения аналитического решения квантового кинетического уравнения, усилия исследователей были сосредоточены на его диффузионном приближении, описываемом уравнением типа Фоккера-Планка. При этом, как было показано в работах Епифанова А.С., предполагается классический учёт взаимодействия электрона с полем. В связи с этим Епифановым А.С. было получено дифференциально-разностное квантовое кинетическое уравнение, попытки решения которого, однако, столкнулись с серьёзными математическими трудностями. Это обстоятельство явилось причиной того, что выводы о роли лавинной ионизации делаются, как правило, на основании анализа диффузионного приближения квантового кинетического уравнения, область применимости которого ограничивается условием малости энергии кванта света по сравнению со средней энергией электронов проводимости. Современный эксперимент заведомо выходит за рамки справедливости диффузионного приближения, однако влияние замены квантового кинетического уравнения уравнением Фоккера-Планка до настоящего времени оставалось невыясненным. В итоге складывается весьма своеобразная ситуация: с одной стороны, в работах констатируется ограниченность области применимости уравнения Фоккера-Планка, а с другой, – это уравнение используется для интерпретации экспериментальных фактов, полученных для случая, когда энергия кванта света порядка или больше средней энергии электронов. В результате целый массив экспериментальной информации в настоящее время не имеет надёжной интерпретации. Целью настоящей работы является разработка техники идентификации ударной лавинной ионизации в качестве предельного механизма оптического пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков. Для этого необходимо – решить квантовое кинетическое уравнение и установить границы области применимости его диффузионного приближения; – найти характерные зависимости порогов пробоя от длительности воздействия электромагнитного поля для различных энергий кванта света, энергий ионизации, начальных температур кристалла; – изучить влияние разогрева решётки в течение импульса на динамику генерации электронов проводимости и характер перераспределения поглощённой энергии между электронным газом и решёткой. Перечисленные задачи решаются с помощью компьютерного эксперимента – имитации процесса развития лавины в высокочастотном электромагнитном поле методом Монте-Карло. Научная новизна работы заключается в развитии теории лавинной ионизации для случая, когда энергия квантов света порядка или больше средней энергии электронов проводимости. 1. Впервые исследовано влияние замены квантового кинетического уравнения уравнением Фоккера-Планка на характер зависимости постоянной развития лавины от интенсивности поля. Показано, что использование диффузионного приближения приводит к заметным ошибкам уже при отношении энергии кванта света к энергии ионизации около 0.1. 2. В результате численного решения квантового кинетического уравнения построены зависимости пороговых полей от длительности воздействия поля на диэлектрик для серии частот электромагнитного поля, температур кристаллической решётки и энергий запрещённой зоны, позволяющие делать обоснованные выводы относительно роли лавинной ионизации в случае, когда диффузионное приближение не применимо из-за большой энергии кванта света. 3. Впервые исследовано перераспределение энергии между электронной и фононной подсистемами; систематически исследовано влияние ключевых факторов эксперимента (начальной температуры решётки, её разогрева в течение импульса, энергии фотонов, длительности воздействия поля) на коэффициент перераспределения поглощённой из поля энергии. Практическая значимость. Проведённые теоретические исследования могут быть использованы – для определения предельной стойкости оптических материалов к воздействию интенсивного высокочастотного электромагнитного поля; – для анализа экспериментальных данных по пробою диэлектриков лазерными импульсами в широком диапазоне длительностей импульсов; – при планировании специальных экспериментов, целью которых является выяснение роли ударной лавинной ионизации в пробое диэлектриков; – для решения вопроса о степени очистки материала с точки зрения достижимых выходных параметров лазерных систем. Построенные зависимости постоянной развития лавины от критического поля могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы генерации свободных носителей. Разработанное программное обеспечение может найти широкое применение в исследованиях по лазерному пробою, поскольку позволяет производить необходимые расчёты без привлечения суперкомпьютеров. Предложенный метод исследования разогрева неравновесных электронов в высокочастотном электромагнитном поле может быть использован для направленного поиска новых материалов, обладающих высокой лучевой прочностью, и при проектировании оптических трактов высокомощных лазерных систем. Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается использованием известных уравнений теоретической физики, выбором адекватных физических моделей для рассматриваемого класса задач, всесторонним тестированием разработанных методов; в предельных случаях решения согласуются известными результатами. На защиту выносятся: 1. Метод теоретического исследования процесса развития электронной лавины в прозрачных твёрдых диэлектриках в высокочастотном электромагнитном поле при длительностях воздействия поля от 3пс до 30нс. Найденные в результате численного решения квантового кинетического уравнения распределения электронов по энергии, сформировавшиеся за время действия электромагнитного поля. 2. Зависимости постоянной развития лавины от пороговой интенсивности поля, полученные в результате решения как уравнения Фоккера-Планка, так и квантового кинетического уравнения, сравнительный анализ которых устанавливает границы области применимости диффузионного приближения. 3. Идентифицирующие лавину в качестве предельного механизма пробоя зависимости порогового поля от длительности воздействия и частоты электромагнитного поля, начальной температуры кристалла. 4. Установленные закономерности перераспределения энергии между электронной и фононной подсистемами в течение действия поля. Учёт разогрева решётки и релаксационных процессов в фононном спектре в случае нескольких эффективных в плане отбора энергии из поля механизмов рассеяния электронов на фононах. Выявленные особенности влияния нагрева решётки (за время действия поля) на постоянную лавинной ионизации. Личный вклад автора состоит в разработке компьютерного эксперимента, создании и тестировании программного обеспечения, обработке и интерпретации результатов расчётов. Изложенные в работе результаты получены автором самостоятельно. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2005; на Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2007; на Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2009; на международной конференции “Fundamentals of Laser Assisted Micro- & Nanotchnologies” (FLAMN-10), St. Petersburg – Pushkin, 2010; на семинаре Теоретического отдела Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, 2011. Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 6 научных статей, в том числе 3 – в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх основных разделов и заключения. Общий объём составляет 160 страниц, включая 20 рисунков и 10 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 135 наименований. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность вынесенной в заглавие диссертации проблемы, сформулирована цель работы, её научная новизна, научнопрактическая ценность, представляемые к защите положения. В РАЗДЕЛЕ 1 содержится критический обзор основных работ по пробою твердых прозрачных диэлектриков в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле, при этом основное внимание уделяется сравнительному анализу теоретических подходов, в которых предпринимаются попытки определения доминирующего механизма пробоя, идентификации электронной лавины в качестве такового механизма. Выясняется, что корректная интерпретация современных экспериментов по пробою диэлектриков пикосекундными лазерными импульсами должна опираться на квантовое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции распределения электронов проводимости в присутствии сильного высокочастотного электромагнитного поля. В связи с этим особое внимание уделяется приближениям квантового кинетического уравнения: дифференциально-разностному квантовому кинетическому уравнению и уравнению типа Фоккера-Планка, отвечающему диффузионному приближению. Невозможность аналитического решения дифференциально-разностного квантового кинетического уравнения, с одной стороны, и заведомая несправедливость диффузионного приближения в случае, когда энергия квантов света порядка или больше средней энергии горячих электронов, с другой, убеждают в необходимости обратиться к компьютерному эксперименту для решения квантового кинетического уравнения. Анализ работ, посвящённых моделированию поведения электронного распределения в сильных полях, позволяет обозначить круг вопросов, успешно решавшихся с помощью компьютерной имитации и сформировать список первостепенных для развития теории лавинной ионизации задач, решение которых может быть получено с помощью метода Монте-Карло. В заключение раздела на основании оценки существующих подходов и возможностей современной вычислительной техники определяется направление исследований, уточняется постановка задачи и метод её решения. РАЗДЕЛ 2 посвящён разработке, обоснованию и тестированию алгоритма моделирования разогрева неравновесных электронов интенсивным высокочастотным электромагнитным полем, описываемого квантовым кинетическим уравнением F p , t 2 B k l k k t l N 1 F , t N F , t N F , t N 1 F pk , t pk k k p p k k pk pk , p k l p k l (1) eEk p d F p , t g p f p , t , l k J l m 1 2 p 2 В (1) использованы обозначения: f , t функция распределения электронов по энергии, g плотность числа электронных состояний по шкале энергий, модуля матричного элемента электрон-фононного B k квадрат взаимодействия, J l функция Бесселя целого порядка вещественного аргумента, косинус угла между направлениями электрического поля E и импульса фонона k , N k число фононов в состоянии с импульсом k , p импульс электрона, k энергия фонона, энергия кванта света. То обстоятельство, что в работе нагрев электронного газа исследуется в контексте 2 оптического пробоя, выдвигает на передний план симметричную составляющую функции распределения электронов. В ходе симуляции отслеживается перемещение электрона по энергетической оси (разбитой на ячейки, равные энергии эффективного фонона) вследствие электрон-фононных и электрон-фонон-фотонных процессов, вероятности которых имеют вид P N 1 q11 1 , P N 1 1 q11 1 , phon P phon N q11 1 , P N q11 1 , P phon , phot P phon , phot N 1 q11 1 , phon , phot . (2) N 1 q11 1 phon , phot Здесь N – числа заполнения фононов, – среднее время между электронфононными столкновениями, q11 – доля электрон-фонон-фотонных процессов в однофотонном приближении, которая играет роль безразмерной интенсивности порогового поля ek E 6 m 1 2 2q 1 p 2 2 2 2 . (3) p Электрон следует от события к событию, и каждое последующее событие разыгрывается с помощью псевдослучайных чисел, отбираясь из числа возможных. Проведено исследование влияния на результаты моделирования выбора датчика псевдослучайных последовательностей: наиболее подходящей для моделирования лавинной ионизации является комбинация алгоритма генерации псевдослучайных чисел R250 и линейного конгруэнтного метода (для генерации начальной последовательности). Окончательный выбор был сделан на основании сравнения результатов, полученных при использовании генераторов R250 и ISAAC. Важным практическим следствием принятого решения является возможность производить все вычисления по разработанной методике на персональном компьютере. Случаи ухода электрона за энергию ионизации фиксируются, при этом считается, что происходит удвоение числа электронов. Накопленная в процессе моделирования информация обобщается для построения функции распределения по энергии сильно неравновесного газа горячих электронов проводимости, сформировавшейся к концу действия электромагнитного поля и определения постоянной развития лавины N 1 ion ln 2 , (4) N col где N col – полное число столкновений (число испытаний во внутреннем цикле программы), Nion – число актов ионизации. Найденные путём численного решения квантового кинетического уравнения функции распределения приведены на Рис. 1. Сравнительный анализ представленных результатов демонстрируют, что форма распределения существенно зависит от длительности лазерного импульса: чем короче время взаимодействия электронов с полем, тем сильнее отличается от равновесной функция распределения. Особое внимание следует обратить на Рис. 1(в), где приведена функция распределения электронов по энергиям, характерная для субпикосекундных импульсов и импульсов длительностью в несколько пикосекунд: видно, что явный учёт скачков электрона по энергии за счёт электрон-фонон-фотонных процессов приводит к цепочке четко выраженных эквидистантных максимумов, которые транслируют первый максимум вблизи нуля через интервал I ( I энергия ионизации). Рис. 1. Гистограммы распределения горячих электронов по энергии, нормированные на максимальное число электронов (приведённые для удобства без множителя плотности числа состояний), в предпробойных условиях, характерные для интервала наносекундных (а), пикосекундных (б), субпикосекундных (в) длительностей воздействия поля на диэлектрик. Влияние разогрева решётки в течение действия электромагнитного поля на динамику генерации электронов проводимости и характер перераспределения энергии (за время импульса) между электронной и фононной подсистемами учитывается путём модификации вероятностей процессов (2): после каждого акта ионизации производится пересчёт чисел N в соответствии с (5) N N N n , где n текущее показание счетчика разности между числом испусканий и числом поглощений фононов, N изменение чисел заполнения фононов, приходящихся в среднем на одно избыточное испускание фонона. Находим связь между вероятностями, используемыми в моделировании по методу Монте-Карло, и коэффициентами уравнения типа Фоккера-Планка, записанного в n фотонном приближении 1 2 F , t 2 N 1 n dF , t 2 2 F , t n 2 q al 2 dt 2 l n n mB k l 2 al n n n al l k , 2q ql , ql n p k l n al l n (6) 2q n доля всех электрон-фонон-фотонных процессов в n квантовом приближении, ql n определяет долю l фотонных процессов испускания (или поглощения) в n квантовом приближении. Используя в (6) соотношение 2l 2k l k k k C2 l 2 k C2 l 2 k z z 2 m J l z 1 (для l 0 ; C M биномиальные 2l 2k ! 2 2 k 0 коэффициенты), приходим к 2 k l l k k eEk p k C 2 l 2 k C2 l 2 k r l 2 1 , r . (7) 2l 2k 1 ! 2 k 0 m 1 2 p 2 Для того чтобы корректно учесть первый член в n n квантовом приближении в разложении n r 2 2n 1 n! 2 2 2n в l n достаточно ограничиться kmax n l 1 слагаемыми. В каждой клетке табл. 1 записан последний член, который необходимо учитывать при данном параметре квантовости процесса n : для получения полного выражения l n для заданного n необходимо просуммировать содержимое ячеек, предшествующих n 1 ячейке, и удвоить полученный результат. Таблица 1 n Вспомогательная таблица для получения коэффициентов l n0 n 1 l 0 1 l 1 0 n2 n3 3r 4 160 5r 6 4032 r2 12 r4 80 5r 6 5376 r6 2688 r6 16128 r2 6 l2 0 0 r4 320 l 3 0 0 0 Пользуясь табл. 1 и принимая во внимание J l z 1 J l z , заключаем, l что n al n mB k n n l 2 mB k p k l n p k не является функцией n . Подставляя (8) в (6) и используя (7), приходим к n r2 n n 2 2q l l . 6 l 1 l n (8) (9) То обстоятельство, что выражение (9) не является функцией квантовости ( n ) процесса обязывает сделать вывод, что в диффузионном приближении описание развития лавины с учётом n квантовых электрон-фонон-фотонных процессов ( n 0 ) эквивалентно рассмотрению, учитывающему лишь процессы с участием одного кванта света. Разделяя в уравнении (6) переменные F , t exp t , учитывая, что при k BT и используя результаты (8) и (9), приходим к уравнению 2 d d 2 pk k BT I , 1 2q 2 m B k d d 2 I (10) На Рис. 2 построены графики зависимостей постоянной развития лавины от эффективной температуры электронного газа . Применение краевого условия удвоения потока электронов приводит к заниженным величинам постоянной развития лавины, что согласуется с физическими предпосылками моделирования и свидетельствует о корректности разработанной схемы. Рис. 2. Зависимость постоянной развития лавины от эффективной температуры электронного газа: кривая 1 соответствует аналитическому решению уравнения Фоккера-Планка с краевым условием удвоения потока электронов; кривая 2 – решению уравнения Фоккера-Планка методом Монте-Карло. РАЗДЕЛ 3 посвящён разработке теоретического обеспечения для построения алгоритма симуляции лавины, учитывающего специфику взаимодействия конкретного материала с излучением. Приводится модификация алгоритма моделирования случая, когда реализуются два различных механизма рассеяния электронов, обеспечивающих эффективный отбор энергии из электромагнитного поля. Для DO-, DA-, PO-, PA-механизмов рассеяния электронов на фононах зависимости времени релаксации продольной компоненты импульса горячего электрона от энергии и температуры включены в алгоритм моделирования 0 V 2m 0 1 4 V B p 1 B1 2 N 1 1 ln , p 1 4 2 2m 2m 2 N 1 , 4 PO DO 2 2 N 1 2 0 0 kT 1 kT V V p 1 4 B3 2m B , p 1 4 4 B4 B m 2m . PA DA s s (11) Из соотношений (11) следует, что характер зависимости частоты столкновений горячих электронов с фононами от энергии для одноимённых механизмов рассеяния совпадает. Запуску моделирования предшествует инициализация массива поправочных коэффициентов: i й энергетической ячейке согласно 0 p 1 i , соотношениям (11) ставится в соответствие значение нормированное на опорное время розыгрыша. С помощью указанных зависимостей произведены модификации процедуры в розыгрыше типа процесса. При прогонке программы с учётом разогрева решётки аналогичным 0 образом используются зависимости p 1 T . Результаты симуляции, 0 0 произведённой как с учётом зависимостей p 1 i и p 1 T , так и в предположении постоянства частот электрон-фононных столкновений, практически не отличаются, несмотря на достаточно большое число актов рассеяния, предшествующих событию ионизации. Однако соотношения (11) оказываются полезными при выборе схемы учёта нагрева решётки для заданного диэлектрика в случае нескольких эффективных механизмов рассеяния электронов на фононах. Получены оценки поправок к частотам электрон-фононных столкновений, обусловленных присутствием сильного электромагнитного поля (снабжены индексом EMF) p 1 DO EMF p 1 DO p PO 1 0 p 1 DA p PA EMF p 1 PO 0 EMF p 1 DA 1 0 EMF p 1 PA 0 m 8 1 16 5 1 8 1 1 3 , (12) 2 m 1 1 2 2 где 1 eE при p 1 6 m 2 Интересно заметить, что при рассеянии на горячих электронах, несмотря на различные зависимости матричных элементов электрон-фононного взаимодействия от импульса фонона, определяющие размер поправки выражения (12) для DO- и DA-механизмов, а также для РО- и РА-механизмов совпадают. Изучается вопрос о включении в схему моделирования разогрева решётки в зависимости от длительности импульса и типа возмущаемых фононов. В связи с последним рассматривается актуальный для пробоя пикосекундными импульсами вопрос о релаксации фононной подсистемы через трёх- и четырёхфононные процессы. Получено общее выражение для одночастичной мацубаровской функции Грина фононов, численные оценки времени жизни фононов позволяющее , производить . Здесь - Фурье-образ одночастичной мацубаровской функции Грина 2k BT kj фонона, - Фурье-образ мацубаровской функции Грина kj 2 s 2 свободного фонона ( s s 2k BT - дискретная частота, s – целое число), - массовый оператор. Аналитические выражения для диаграмм имеют вид: 12 V k T k j B 18 k BT 2 4 k1 j1k1 j2k jk j V 3 3 Vk k1 j1k jk j k j k j 1 k j , 1 k j 2 N k j 1 ; 1 j2 k j k j 2 k j k j , 2 2 2 2k BT 2 N k j 1 k j s k j k j 2 k jk j 2 2 2 2 2 2 s k j k j 4kj s 2 N k j 1 k j s 2 k j 2 k j 2 ; 2 s 2 k j 2 k j 2 4k j 2s 2 96 k BT 2 V k j k j k j 4 k1 j1k jk jk j 4 Vk j kjkjkj 3 k jk jk j , 1 2 3 3 k j k j k j 2 k jk jk j B s , 2 k BT 2 2 N k j 1 2 N k j 1 1 1 B s Re 2 r r s ir ir ir s ir ir ir 1 1 s ir ir ir s ir ir ir 2 N k j 1 2 N k j 1 Re 2 N k j 1 2 N k j 1 1 1 r r s ir ir ir s ir ir ir 1 1 s ir ir ir s ir ir ir Re 1 1 r r s ir ir ir s ir ir ir 1 1 s ir ir ir s ir ir ir 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3s r r r 2s r r r 2 r r r r r r 4 ; 2 s 4 r 4 r 4 r 4 2s 2 r 2 r 2 2r 2 8sr r r 2 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 где для сокращения записи в выражении, определяющем использованы следующие обозначения r k j 2 k BT r , 24 kBT 2 k j 2 k BT , V k j k j k j k1 j1k jk jk1 j2 r 4 k j B s , . 2 k BT V k j kjkjkj 4 k jk jk j , 4 1 1 2 N kj 1 2 N kj 1 2 N kj 1 4 k jk jk j 2 2 kj kj kj kj В зависимости от роли, которую играют рассматриваемые процессы в установлении равновесия, можно пользоваться различными аппроксимациями массового оператора и на основании сравнения определяющих характер задачи временных масштабов выбрать для заданного материала подходящий способ включения нагрева решётки в схему компьютерного эксперимента. Выполненный в настоящем разделе анализ даёт возможность продолжить процедуру моделирования на область субпикосекундных лазерных импульсов. ЧЕТВЁРТЫЙ РАЗДЕЛ содержит результаты применения компьютерного моделирования к исследованию развития лавины в высокочастотном поле. Для установления области применимости диффузионного приближения сопоставляются результаты, полученные при моделировании уравнения Фоккера-Планка с эффективной электронной температурой, «заменяющей» процессы, протекающие с участием квантов света, с результатами 2kjkj k BT непосредственного моделирования квантового кинетического уравнения. На Рис. 3 проведено такое сравнение для трех различных отношений – I построены зависимости постоянной развития лавины от пороговой интенсивности поля: видно, что учет процессов с участием одного кванта света приводит к тому, что лавина будет нарастать значительно быстрее. Рис. 3. Зависимости постоянной развития лавины от параметра безразмерной интенсивности поля q при 0.1 (а), 0.05 (б), 0.15 (в): штриховые линии – I результат моделирования уравнения Фоккера-Планка с использованием эффективной температуры электронного газа; сплошные линии отвечают моделированию квантового кинетического уравнения, учитывающего явно процессы с участием фотонов; (г) натуральные логарифмы зависимостей, построенных на Рис. 3 (а). Сравнивая результаты Рис. 3(а)-(в), отмечаем, что поправка к диффузионному приближению возрастает при увеличении отношения энергии кванта света к энергии ионизации. На Рис. 3(г) обращаем внимание на то, что при относительно малых значениях параметра q , соответствующего критическим интенсивностям в наносекундном диапазоне длительностей, моделирование квантового кинетического уравнения, как и диффузионное приближение, приводит к очень сильной зависимости постоянной развития лавины от интенсивности электромагнитного поля, при сокращении длительности импульса указанная зависимость заметно ослабевает. Из-за трудностей сравнения теоретических и экспериментальных результатов относительная значимость механизмов пробоя оценивается не столько по величине пороговой напряженности, сколько по характерным зависимостям критического поля от температуры диэлектрика, частоты электромагнитного поля, энергии ионизации, длительности импульса. На Рис. 4 приведены найденные в результате численного решения квантового кинетического уравнения зависимости критического поля от длительности воздействия поля в диапазоне от 3пс до 30нс . Пороговая величина поля с уменьшением длительности импульса возрастает, причём зависимость является плавной в наносекундном диапазоне длительностей воздействия и резкой в пикосекундном диапазоне. Рис. 4. Зависимости порогового поля от логарифма отношения длительности t p импульса к t0 1012 c (а) для 0.53мкм при температурах 300K (кривые 1), 400K (2), 500K (3), 600K (4); (б) для T 400K при различных длинах волн падающего излучения: сплошные кривые – 0.27мкм , штриховые – 0.53мкм , пунктирные – 1.06мкм . На Рис. 4(а) отмечаем, что при более высоких начальных температурах электронная подсистема активнее отбирают энергию из электромагнитного поля, что приводит к меньшим критическим полям при тех же импульсах, но более высоких начальных температурах. Зафиксировав длительность импульса, видим, что с возрастанием температуры критические поля убывают, что качественно согласуется с ранее установленным в диффузионном приближении 1 результатом (Епифанов А.С., Маненков А.А. Прохоров А.М.) Ecr ~ T 2 . Фиксируя температуру и варьируя частоту электромагнитного поля, из Рис. 4(б) заключаем, что критические поля для случая квантов света, энергия которых выше, будут больше. Анализ перераспределения энергии между электронным газом и решёткой производится как в пренебрежении влиянием разогрева решётки на вероятности процессов рассеяния (2), так и с учётом влияния разогрева решётки. Информация, накопленная в процессе моделирования, используется для вычисления отношения энергии, запасенной в электронной подсистеме к избыточной (по отношению к равновесному состоянию) энергии, сконцентрированной в решётке к концу действия импульса. Коэффициент перераспределения R позволяет делать выводы относительно того, когда разрушение развивается: если отношение R мало, то необратимые микроскопические изменения могут начаться еще во время действия импульса, в случае R 1 при пороговых интенсивностях все проявления пробоя следует ожидать уже после его прохождения. Сравнительный анализ полученных в предположении «холодной решётки» результатов позволил установить, что коэффициент перераспределения возрастает с укорочением длительности воздействия поля, увеличением энергии кванта света, понижением начальной температуры кристалла и ряд других закономерностей. Для всех длин волн учёт влияния нагрева фононного газа приводит к более высоким значениям коэффициента перераспределения. Анализируя зависимость отношения R от длины волны, наблюдаем интересную особенность: при использовании схемы моделирования без учёта влияния нагрева решётки это отношение растет с уменьшением длины волны падающего излучения, а при учёте – убывает при всех длительностях импульсов, причём расхождение в значениях R нарастает с увеличением длины волны. Рис. 5. Сравнительный анализ влияния нагрева решётки на постоянную развития лавины ( 0 энергия эффективного фонона). Анализируя влияние разогрева решётки на постоянную развития лавины Рис. 5, заключаем, что учет нагрева фононов приводит к небольшому, но заметному увеличению скорости развития лавины: это увеличение меньше выражено для длины волны 0.27мкм с одной стороны, а с другой – оно сильнее для наносекундного диапазона длительностей импульса. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Произведённое в настоящей работе теоретическое рассмотрение процесса ударной лавинной ионизации привело к разработке метода численного решения квантового кинетического уравнения Больцмана, описывающего эволюцию функции распределения электронов проводимости в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле. 1. Получены решения указанного уравнения для случая, когда энергия кванта света порядка или больше средней энергии электронов, в широком диапазоне длительностей импульсов (от 3 1012 до 3 108 с). Установлено, что с сокращением длительности воздействия поля на диэлектрик форма функции распределения электронов проводимости по энергии существенно определяется способом учёта взаимодействия электронов с полем. 2. Найдены зависимости постоянной развития лавины от критического поля, которые в дальнейшем могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы генерации электронов проводимости. 3. Построены зависимости порогов пробоя от длительности импульса для серии частот электромагнитного поля, энергий ионизации, начальных температур кристалла, позволяющие идентифицировать лавину в качестве предельного механизма пробоя прозрачных диэлектриков. Показано, что критическое поле слабо зависит от длительности воздействия поля, когда последняя больше или порядка нескольких пикосекунд, в то время как в более коротких импульсах критическое поле резко возрастает. 4. Изучено влияние разогрева решётки в течение действия импульса на динамику генерации электронов проводимости. Показано, что хотя разогрев решётки приводит к ускорению развития лавины, на величины порогов это ускорение заметно повлиять не может. 5. Проанализировано перераспределение энергии между электронной и фононной подсистемами для различных схем учёта нагрева решётки. 6. Установлены границы области применимости уравнения ФоккераПланка, отвечающего диффузионному приближению квантового кинетического уравнения. Произведённые вычисления свидетельствуют о том, что использование диффузионного приближения приводит к заметным ошибкам даже при не слишком больших ( ~ 0.1 ) отношениях энергии кванта света к энергии ионизации. 7. Развитый в настоящей работе подход позволяет отделить погрешности, связанные с применением диффузионного приближения, от ошибок, возникающих из-за использования краевого условия удвоения потока электронов. Разработанный в диссертации алгоритм компьютерной симуляции разогрева электронов в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле представляет собой гибкий и эффективный инструмент целенаправленных исследований роли лавинного механизма пробоя диэлектриков, который, как мы надеемся, позволит согласовать модельные представления о процессе развития электронной лавины с результатами экспериментальных данных по пробою прозрачных твёрдых диэлектриков. Основные результаты диссертации отражены в работах: 1. Гарнов С.В., Епифанов А.С., Никифоров А.М. Влияние нагрева фононного спектра на процесс образования индуцированной полем лазера электронной плазмы в широкозонных диэлектриках // Многозарядная лазерная микроплазма газов. М.: Наука, 2011. С. 64-78 (Труды ИОФАН; т. 67). 2. Никифоров А.М., Епифанов А.С., Гарнов С.В. Разогрев неравновесных электронов лазерным излучением в твёрдых прозрачных диэлектриках // ЖЭТФ. – 2011. – №139. – С. 184 – 198. 3. Никифоров А.М. Теоретическое исследование процессов релаксации в фононном спектре диэлектриков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2010. – № 4. – С. 48 – 59. 4. Епифанов А.С., Никифоров А.М. Исследование развития лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках методом Монте-Карло // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 98 – 115. 5. Никифоров А.М. Влияние разогрева фононного спектра на развитие электронной лавины под действием интенсивного лазерного излучения // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 91 – 97. 6. Никифоров А.М. Исследование методом Монте-Карло развития лавинной ионизации в объёме твёрдых прозрачных диэлектриков // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов четвёртой научнометодической конференции аспирантов и молодых исследователей, М.: НИИ РЛ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 76 – 77. 7. Никифоров А.М. Разогрев неравновесных носителей в диэлектриках большими квантами света // Труды пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (часть 1), М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 196 – 200. 8. Григорьев С.В., Епифанов А.С., Никифоров А.М. Динамические массивы произвольной размерности // Тезисы докладов Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». – М.: МГТУ, 2005. С. 144 – 146.
