НАЗВА - electroncollisions

Название второй статьи
1Макарець
М.В., 1Петренко Є. О., 2Микоушкин ....
Киевский национальной университет имени Тараса Шевченко. Просп. акад. Глушкова 2.
2
Петербург.
1
Аннотация.
Ключевые слова: моделирование.
Introduction
Электронные пучки лежат в основе
электронной
спектроскопии,
Ожеспектроскопии и многих других методик
исследования твердого тела, поэтому
моделирование их эволюции проводят
довольно давно и с разными целями [4-11].
Для
нерелятивистских
столкновений
брались бинарные столкновения с атомами
мишени
и
взаимодействие
с
их
электронной
подсистемой.
Сечение
упругих электрон-атомных столкновений
рассчитывались в приближении Борна,
ВКБ, или Мотта [4-11]. Потенциал
электрон-атомного
взаимодействия
включал в себя экранирование и обмен,
иногда - корреляцию. Другие авторы
использовали
намного
больше
приближений для описания упругого
взаимодействия электронов с твердым
телом. Как правило, выделяют ионизацию
внутренних
атомных
уровней
и
столкновения с электронами двух внешних
зон. Сечения первых процессов чаще
описывают
полуэмпирическими
выражениями Руда [13,14], а других – в
рамках модели диэлектрического отклика
мишени
с
диэлектрической
проницаемостью   q,   , которую берут
согласно модели Пена [15,16], или Эшли
[17]. Для электронов с низкой энергией
(<20 эВ) учитывают также столкновения с
фононами[18].
Большинство авторов моделируют
движение
электронов
классическими
траекториями, это оправдано для энергий
приблизительно больше чем 100 эВ.
Волновые свойства электронов начинают
играть доминирующую роль, когда длина
волны  де-Бройля становится порядка
межатомного расстояния a в мишени или
превосходит
его,
т.е.
при

2

a
R
y
a
, где a0 – радиус Бора,
0 E
E – энергия электрона, Ry 13.6 эВ –
Ридберг. Поэтому волновые свойства стоит
учитывать,
когда
его
энергия
a  1 Å даёт
ER
y

aa
E
2
0 
t
r, что при
2
Etr 150 эВ, а при a  1.4 Å – Etr  80 эВ.
На
практике,
обычно,
используют
первичные частицы с энергией выше
нескольких КэВ, фотоелектрони мають
енергію порядку, а Оже-електрони – Як
правило дивжина хвилі де-Бройля для має
порядок 1 Å. Для моделювання еволюції
рою електронів з E  Etr враховують різні
ефекти, які
В
первом
разделе
описана
используемая модель, во втором –
приведены
полученные
результаты
моделирования, долее их обсуждения и
выводы.
Model
В работе рассматривали ионы со
скоростью, много меньшей средней
скорости их электронов. Поскольку
43
выполняется условие E 25A
кэВ
1Z
1
[19], где E – энергия иона, A1 , Z1 – его
массовое и атомное числа, поэтому
считали, что он мнгновенно забирает
электроны мишени и далее двигается как
нейтральный
атом
(мы
обсуждали
противоположное, что ион не успевает
поглотить электроны и все время движется
с зарядом +2), который мы называем
частицей. Он претерпевает упругие и
неупругие столкновения с атомами
мишени,
в
ходе
которых
могут
образовываться
электроны.
Длину

свободного
пробега
между
столкновениями мы определяли из
1, где  t  E  –
условия t EN
0
полное
сечение
во
всех
типах
столкновений N 0 – атомная концентрация
мишени. Тип столкновения определялся из
условия,
равномерно
распределенное
случайное число R[0,1] попадает в
интервал вероятностей i -го процесса

 
0


R


1
.
i t
i

1 t
Упругие ион-атомные столкновения
Атом-атомные столкновения для
указанных энергий можно рассматривать
[20] в рамках классической модели
бинарных
столкновений.
Для
ее
использования
необходимо
чтоб
a
межатомное расстояние
и минимальное
приближение при лобовом столкновении
bm удовлетворяло условию bm  a/2 .
Последнее
искали
из
уравнения
Vbm Ec , где потенциал атом-атомного
взаимодействия
V b
задан
в
[21],
E
/(1) – энергия частицы в цc =E
системе, M1 M2 , M 1,2 – массы
частицы и атома мишени, соответственно.
Нарушение данного условия не позволяет
использовать
модель
бинарных
столкновений, потому что при bm  a/2
ион все время движется в поле многих
атомов.
Согласно [22], суммарное сечение
рассеяния, которое является интегралом
дифференциального сечения по утратам
энергии от заданной до максимальной,
имеет простой аналитический вид:
T
m
ax
e ET
,   dET
, 
T
,
 Vb
, 
ET

bET
,  1



E
c


2
(1)
bET
,  b – минимальное
где
приближение частицы с атомом и
передачей ему энергии T , которое
является решением трансцендентного
уравнения:
E
,T
a
r
c
c
o
s

1


T
=
E
d
s
1

s
()
b
V
(
bs
/ )E
V
()
b
V
c
,
(2)
  E, T  – угол рассеяния частицы в
2
0
лабораторной
системе
координат,
а
412. Из (1) и определения bm
следует, что при лобовом столкновении,
когда TTmax E, E,E0.
Полное
сечение
рассеяния можно
найти, если в (1) положить b  a 2 , но
тогда при энергиях EVa 2 его
значение остается постоянным. Поэтому в
работе задавали минимальную энергию
TTmin 0.1 эВ и для нее считали полное
сечение, которое удовлетворяет условию
bE
 ,Tmina/2, начиная с какой-то
энергии Emin , которую считали нижней
границей
применения
классической
модели бинарных столкновений для всех
допустимых прицельных расстояний.
Вероятность всех упругих рассеяний с
потерей энергии от максимальной до
заданной определяется соотношением:

,T
E


,T
E
,
m
in
p
(
E
,T
)=
(3)
которое
удовлетворяет
условию
p(ET
, ) 1. Из уравнения p(ET
, )=R, где
R[0,1] – равномерно распределенное
случайное число,
переданную атому
угол рассеяния
системе координат
(2).
численно определяли
мишени энергию T и
ионов лабораторной
 , как это следует из
Ионизация атомов мишени ионами
Для
описания
не
столкновений ионов с атомами
использовали полуклассическую
Гризинского [23,24], согласно
дифференциальное и полное
ионизации:
упругих
мишени
модель
которой
сечения
 1
d

4
a2Z2 n
i
i
= 0
u
 
3 i
d
T
R
y  1

u
i
3
/2
1
1
 

1 4 
u

1


i


1

 ln
e






 
 
1

uE
3 
u


i
i




(4)
1
1
 

u
u


i
i

1




 
 



2  
1
 u
i 1 u
i

1


1

l
n
e




 
1

uE
3

u
 
 
 


i
i


(5)
где Z – атомный номер иона, ni –
населенность i -го энергетического уровня
атома,  = E/Ry – энергия иона,  = T/Ry –
3
/2


nM

4
aZ  1 
i =
m
1u
i
2 2 i
0
e
ui =Ui/Ry – энергия
Um
перехода, или ионизации, ui =M
,
i/ eE
M , me – массы иона и электрона,
потери энергии,
соответственно,
=41 ui /ui,
e=2.71828. В этих выражениях должно
T  Ui .
выполняться
условие
Угол
неупруго рассеяния атома считали равным
нулю.
Полное ионизационное сечение
рассеяния иона на атоме мишени брали
равным
сумме
сечений
(5)
по
энергетическим уровням, а номер уровня,
ионизация
которого
произошла,
разыгрывали как было указанно выше.
Фазовые координаты образованные
ионом электронов использовали для
моделирования их торможения. При этом
учитывались их упругие столкновения с
атомами
мишени,
а
неупругие
рассматривали как сумму нескольких
взаимодополняющих
процессов:
1)
ионизацию глубоких уровней; ионизацию
электронов валентной зоны и зоны
проводимости; возбуждение плазмонов и
фононов.
Упругие электрон-атомные
столкновения
Дифференциальное
de E,
упругого
сечение
рассеяния
не
поляризированных электронов с энергией
E на атоме рассчитывали согласно [А1]
как:
d

E
,
=(),
2
e
f
d

1
i

ä
å
f()
=
l
1
c
o
s

i
n

2
P
els
l
l
kl=
0
(6)
2
где k = 2E – волновой вектор
электрона (в единицах a0 ), E – его
энергия (в Ry ) в л-системе,  – угол
рассеивания л-системе, а  l – фазовые
сдвиги. Они зависят от энергии электрона
и
потенциала
взаимодействия
и
определяются
асимптотическим
поведением
волновой
функции
на
бесконечности, поэтому l l (r)r. Для
их поиска использовали известный метод
[А2] переход от уравнения Шредингера
для радиальной волновой функции к
уравнениям ее фазы и амплитуды. Для
сдвига фазы получили уравнения:
d  l ( )
   
=  2 V  
d
2k  k 
2 (7)


  J 1 ( ) cos  l ( )  N 1 ( ) sin  l ( ) 
l
 l 2
2

J ( x)
N 1 ( x)
где l  12
та
– функции
l
2
Бесселя дробного порядка первого и
второго
рода
(функции
Неймана),
соответственно, а V  r  – потенциал
электрон
атомного
взаимодействия.
Начальное условие для всех фазовых
сдвигов брали одинаковое l (0) = 0 ,
Для проведения расчетов была
написана специальная программа, которая
позволяла находить фазовые сдвиги в
широком диапазоне энергий и моментов,
которые определяют l . отметим, что при
низких энергиях E = Ry и некоторых
l =0,1,2,
углах рассеивания для достижения
заданной точности в (А1) необходимо
l  100 ,
было
использовать
а
интегрирование (А2) – нужно было
проводить до значений  ? 1 . Это
требовало учета поведения функций
Бесселя и полиномов Лежандра при
больших значениях индекса и аргумента.
Полное сечение находилось по
формуле:

d

E
,
sin
e

E
=
2

d=


e

d

0
.

4

2
 2
l
1
2
sinl
k l=0
(8)
Вероятность упругого рассеяния в
интервал углов меньших заданного  ,
задается как:
 
E
,


2d
e
' '
p
(
E
,
)
=
s
i
n
d
,
e

(
E
)
d

e 0




(9)
и удовлетворяет условию pe(E,) 1
уравнения pe(E,)=R, где R[0,1] –
равномерно распределенное случайное
число, решалось численно для угла
рассеяния электрона  .
Расчеты сечения упругого рассеяния
проводили
для
экранированного
потенциала атома золота, рассчитанного в
модели Томаса-Ферми без учета обмена и
корреляции.
При
малых
энергиях
электронов полное сечение рассеяния
можно приблизить формулой жестких
2
[А1] e  4a . Расчеты дали
значение a 11.3 А, что не существенно
выходит за пределы принятой модели
бинарных столкновений.
сфер
Ионизация глубоких атомных уровней
для расчета дифференциального и
полного сечений ионизации атомных
уровней
электронами
использовали
полуэмпирическую модель Кима-Рудда
[А3,А4] с дифференциальным сечением:
2
d
iKR
4
an
= 2 0i

d
T R
yu
ui i)
i(
2
2


u
u u
u
u
i
i
i

 i  i


 
2
ui) ui  ui 
 (


 2
d
fi()
u
i
nlnu d
 i  i 
, (10)
n
K
R
2
i

E
)=
4
a

i (
0
u
(


u

i
i
i)
,
2
 u
 
2
u
1 u
i
i
i

1


1


l
n

 2
  
u
u
i 
i
  
  2

(11)
ni
i -го
где
–
населенность
энергетического уровня атома,  = E/Ry –
энергия электрона,  = T/Ry – потери
энергии, ui =Ui/Ry и i = Ki/Ry – полная
и кинетическая энергии электрона на i -м
'
уровне, соответственно, e=2.71828, fi ( )
производная по энергии от силы
осциллятора электронного перехода с i -го
уровня атома в непрерывный спектр.
После ионизации уровня будет три
частицы: 1) рассеянный электрон с
энергий E  T , который движется под
углом  к первоначальному направлению;
2) ионизированный атом с кинетической
Ea ,
энергией
который
движется
относительного того же направления под
углом  a ; 3) вторичный электрон с
U
E
ET
энергией ET
, который
s=
i
a
движется под углом  s . Импульс атома P
пренебрежимо
мал,
поэтому
углы
рассеяния электронов находили из законов
сохранения
энергии
и
импульса
p= p'  ps . Азимутальные углы рассеяния
налетающего и вторичного электронов
'
случайны в пределах 0  2 и  =  ,
соответственно.
Столкновения с фононами
Для описания рассеяния на фононах
мы использовали оператор вектора
смещений u(r) атома из узла n в
представлении чисел заполнения фононов:
+ i
q
n
e
(
q
)
(
b
+
b
)
e
,(12)
s
q
s

q
,
s
2
M
N
Ω
(
q
)
s
где Ω(q
- частота, cs s )=qcs
скорость длинноволновых акустических
фонов ветки s ; e(q)=e(q) – единичный
вектор поляризации фононов; M суммарная масса атомов, которые входят в
N
элементарную ячейку;
- число
элементарных ячеек в кристалле. Зная u(r)
в представлении чисел заполнения, можно
получить
оператор
деформационного
потенциала:
+
F
q)(bqαb
eiqr,
α(
qα)
2
|q|
F
q)=i E
α(
F
3
2M
cα
(13)
Оператор взаимодействия заряженных
частиц с продольными акустическими
фононами принимает вид:
+
+
F
(
q
)
aa
(
b
b
.
α
k
+
qk
q
α

q
α)
(14)
В качестве волновых функций
фононов Φ
использовали волновые
функции гармонического осциллятора,
которые по Ландау нормированы на
единичную плотность потока и на объем
элементарной ячейки. Волновая функция
частицы Ψ
– это плоская волна,
нормированная также по Ландау на δ функцию.
В случае когда, в начальный момент
не было фононов, матричные элементы
имеют следующий вид:
1
2
Ψ
Φ
H
Ψ
Φ
= 
F
(
q
)
|
Φ
|

k
+
q
0
,
q
i
n
t
k
1
,
q
α
0
,
q
N
(15)

2
e
x
p2

i
q
r
Φ
F
(
q
)
Φ



0
,
qα
2
,

q
1
2
Ψ
Φ
Ψ
Φ
=
F
(
q
)
|
Φ
|
(16)


k

qq
1
,H
i
n
t
k
0
,
q
α
1
,

q
N
Формула Борна, для нашего случая,
будет выглядит так:
m
p
d
σ
=
Ψ
(
r
)
Φ
(
R
)
U
Φ
(
R
)
Ψ
(
r
)
d
R
d
r
d
Ω
,
k
'
k
2
4

4
π
(17)
т.е. Это два интеграла от матричных
элементов (16). После подстановки (16) в
(17):
22
22
d
σm
v
m
v2|
q
|
2 4
=
F
(
q
)=
E =


α
24
24 F
d
Ω
4
π
9
4
π
2
M
c
α
2
'
=
A
k
+
kk
2
k
c
o
s
θ
(18)
k  k =q
'
где k и k ' - волновые векторы
частицы до и после взаимодействия с
фононом соответственно, из закона
v
сохранения импульса,
- объем
элементарной ячейки.
В
моделировании
Монте-Карло,
расчет углов рассеяния и потери энергии
налетающей частицы рассчитывались тем
же самым способом, что и в предыдущих
процессах.
7.
Results and discussion
Висновки
Врахування лише кількох низько
енергетичних процесів дає загальну
картину поведінки руху електронів в
твердому тілі, зокрема:
вигляд
розподілу
електронів по глибині;
«зупинених»
References
Роботи по предмету для наших
досліджень
1. V. Pugatch et al. Micro-strip metal foil
detectors for the beam profile monitoring //
Proc. of the DIPAC 2005, Lyon, France,
2005, p. 18-20.
2. V. Pugatch, O. Mykhailenko. Micro-strip
metal detector for the beam profile
monitoring // NIM, 2007, Vol. A 581, p. 531534.
3. В.М. Пугач, В.Л. Перевертайло, О.А. та
інші. Мікростріпові металеві детектори. //
Ядерна фізика та енергетика. 2006,
№1(17), с. 95-101.
4. Роботи по методу наших досліджень
J.D. Martinez, R.Mayol, F. Salvat. Monte
Carlo simulation of kilovolt electron
transport in solids. // J. Appl. Phys., 1980,
Vol. 67, No. 6, p. 2955-2964.
5. Z.J. Ding, R. Shimizu, K. Goto. Background
formation in the low-energy region in Auger
electron spectroscopy. // J. Appl. Phys., 1994,
Vol. 76 (2), p. 1187-1195.
6. Z.J. Ding, X.D. Tang, R. Shimizu. Monte
Carlo study of secondary electron emission.
// J. Appl. Phys., 2001, Vol. 89, No. 1, p.
718-726.
Z.J. Ding, X.D. Tang, H.M. Li. Monte Carlo
calculation of the energy distribution of
backscattered electrons. // Int. J. Mod. Phys.
B., 2002, Vol. 16, No 28&29, p. 4405-4412.
8. M. Yasuda, S. Yamauchi, H. Kawata, K.
Murata. Quantitative electron microprobe
analysis of aluminum, copper, and gold thin
films on silicon substrates // J. Appl. Phys.,
2002, Vol. 92, No. 6, p. 3404-3409.
9. Z.J. Ding, K. Salma, Z.M. Zhang. Energy
distribution of backscattered electrons from
heavy metals. // [J]. Acta Metallurgica
Sinica, 2005, Vol. 18(3), p. 345-350.
10. F. Salvat, J.M. Fernández-Varea. Overview
of physical interaction models for photon and
electron transport used in Monte Carlo codes.
// Metrologia, 2009, Vol. 46, p. 112–138.
11. S.F. Mao, Z.J. Ding. A Monte Carlo
simulation study on the image resolution in
scanning electron microscopy. // Surf. Interf.
An., 2010, Vol. 42, No 6-7, p. 443–1377.
12. Роботи по особливостях методу
а) пружні електрон-атомні зіткнення
Мотт Н., Месси Г. Теория атомніх
столкновений. // М.: Мир, 1969. – 756 с.
13. б) непружні електрон-атомні зіткнення
Kim Y.-K., Rudd M.E. Binary-encounterdipole model for electron-impact ionization.
// Phys. Rev., 1994, Vol. A50, №5, р. 39543967.
14. Hwanga W., Kim Y.-K., Rudd M.E. New
model for electron-impact ionization cross
sections of molecules. // J. Chem. Phys.,
1996, Vol.104, №8, р. 2956-2966.
15. D.R. Penn. Electron mean-free-paths
calculation using a model dielectric function.
// Phys. Rev., 1987, Vol. B35, №2, p. 482486.
16. J.C. Ashley. Energy loss probabilities for
electrons, positrons, and protons in
condensed matter. // J. Appl. Phys., 1991,
Vol.69, №2, р. 674-678.
17. в) електрон-фононні зіткнення
18. A. Akkerman. Characteristacs of electron
inelastic interactions in organic compaunds
and water over energy range 20-1000 eV. // J.
Appl. Phys., 1999, Vol.86, №10, р. 58095816.
г) хвильові властивості
д) посилання по ходу тексту роботи
19. M. Inokuti. Inelastic collisions of fast charged
particles with atoms and molecules – The
Bethe theory revisited. Rev. Mod. Phys.
1971, Vol. 43, p. 297.
20. N.Bohr. The Penetration of Atomic Particles
Through Matter. // Kgl. Dan. Vid. Selsk.
Mat. Fys. Medd. 1948, Vol. 18, p. 8.
21. Ziegler J.F., Biersack J.P., Littmark U. The
Stopping and Ranges of Ions in Solids. Vol.
1. – N.Y.: Pergamon Press, 1985. – 321 p.
22. Макарець М.В., Сторчака С.Н. Новий
метод
розрахунку
розподілу
імплантованих іонів. 1. Алгоритм та
семиінваріанти // Укр. Фіз. Журн. – 2001,
Т.46, №4. – С.486-494.
23. Gryzinski M. Two-Particle Collisions. II.
Coulomb Collisions in the Laboratory
System of Coordinates // Phys. Rev., 1965,
Vol. A138, №2. P.322-335.
24. Gryzinski M. Classical Theory of Atomic
Collisions. I. Theory of Inelastic Collisions //
Phys. Rev., 1965, Vol. A138, №2. P.336358.
25. [A1] Мотт Н., Месси Г. Теория атомніх
столкновений. М.: Мир, 1969. – 756 с.
26. [А2] Chadan K., Kobayashi R., Kobayashi T.
The absolute definition of the phase-shift in
potential scattering // J. Math. Phys.-2001.Vol.42,№9.-P.4031-4049.
27. [A3] Hwanga W., Kim Y.-K., Rudd M.E. New
model for electron-impact ionization cross
sections of molecules // J. Chem. Phys.1996.-Vol.104, №8.-P.2956-2966.
[A4] Kim Y.-K., Rudd M.E. Binary-encounterdipole model for electron-impact ionization //
Phys. Rev.-1994.-Vol.A50, №5.-P.3954-3967.