1.1.Законы Кирхгофа. Энергетический баланс

3
Введение
При
изучении
теоретических
основ
электротехники,
теории
электрических цепей и электротехники большую роль играет решение задач.
В «Методическом пособии по расчету линейных электрических цепей»
предложены задачи различной степени сложности, которые могут быть
использованы как при проведении практических занятий по указанным выше
дисциплинам, так и для самостоятельной работы студентов. Пособие состоит
из двух глав и приложения.
Все примеры и задачи в сборнике составлены и решены авторами.
Задачи составлены таким образом, что объем вычислительных операций в
процессе решения сведен к минимуму. Это позволяет сосредоточить
основное внимание на методической стороне вопросов.
В первой главе рассматривается теория цепей постоянного тока,
разбираются различные методы расчета. По каждому методу дается краткая
теория, примеры с подробными решениями. Для лучшего усвоения
материала примеры располагаются в порядке увеличения трудности.
Вторая глава посвящена расчету цепей синусоидального тока
символическим методом, включая трехфазные цепи. В приложении дается
алгебра комплексных чисел.
Пособие
специальностей.
рекомендуется
для
электрических
и
неэлектрических
4
1. Расчет цепей постоянного тока
1.1.
Законы Кирхгофа. Энергетический баланс
Законы Кирхгофа являются основными законами электрических цепей.
Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом
узле электрической цепи равна нулю:
I 0
(1.1.1)
Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений
напряжений вдоль замкнутого контура цепи равна алгебраической сумме
электродвижущих сил (ЭДС), действующих в этом контуре:
 I n Rn   E
(1.1.2)
В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический
баланс
(равенство
между
суммой
мощностей
источников
энергии,
работающих в режиме генератора, и потребляемой мощностью в цепи), т.е.:
 Pист   Pпотр
или
 E  I  U  I    I K2  RK
(1.1.3)
Рассмотрим методику применения законов Кирхгофа и составления
энергетического баланса на конкретном примере.
5
Примеры решения задач
Пример 1.1
С помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа , найти
токи в ветвях схемы при следующих значениях сопротивлений и ЭДС:
R1=4 Ом, R2=3 Ом, R3=2 Ом, Е1=4 В, Е2=2 В, Е3=14 В. Составить
энергетический баланс.
а
I1
Е3
I2
R1
R2
Е2
R3
I3
b
Е1
Произвольно выбираем направления токов I1, I2, I3. Так как в схеме три
ветви, то общее число уравнений, составленных по обоим законам, должно
быть равно 3. Составляем одно уравнение по первому закону Кирхгофа (т.к. в
схеме два узла), например, для узла «а» (см. рисунок):
I1  I2  I3
(а)
Если составить еще одно уравнение для узла «b», то оно повторяет
уравнение (а):
I2  I3  I1
Это доказывает, что по первому закону Кирхгофа необходимо
составить число уравнений на единицу меньше числа узлов в схеме.
Составим еще два уравнения по второму закону Кирхгофа.
Выберем левый и правый контуры. Они являются независимыми, так
как каждый из них содержит ветвь, не входящую в другой контур.
Направление обхода выбираем по часовой стрелке. Для левого контура:
I R  I R  E  E
1 1 2 2
2 1
(б)
6
I3  R3  I2  R2  E3  E2
Для правого контура:
(в)
Если составить еще уравнение и для внешнего (зависимого) контура, то
оно будет линейной комбинацией уравнений (б) и (в), результатом их
сложения, не будет нести новой информации и, следовательно, является
лишним.
Для внешнего контура при обходе по часовой стрелке получим:
I1  R1  I 3  R3  E3  E1
(г)
Уравнение (г) получается в результате сложения уравнений (а) и (б),
т.е. является их линейной комбинацией. Его можно использовать вместо
уравнения (б) или (в). Подставив значения сопротивлений и ЭДС в (а), (б),
(в) получим окончательно систему уравнений для определения токов:
 I1  I 2  I 3  0

4 I1  3I 2  2  4
 3I  2 I  14  2
2
3

(1' )
(2' )
(3' )
Решим полученную систему методом подстановки (последовательного
исключения неизвестных).
Из (3'):
I 3  12  3I 2  
1
2
Из (2'):
I1   2  3I 2  
1
4
Подставим I1 и I3 в (1'):

1 3
3
 I 2  I 2  6  I 2  0 , откуда
2 4
2
I 2  2 A
Далее ток: I1:
I1   2  3  2 
I 3  12  3I 2  
1
1 A
4
1
1
 12  6   3 A
2
2
Составим энергетический баланс:
 Pист   Pпотр
7
 I1 E1  I 2 E2  I 3 E3  I12 R1  I 22 R2  I 32 R3 ;
 1  4  2  2  3  14  12  4   22  3  32  2 ;
34=34
В данном случае ЭДС Е1 и Е2 работают как потребители.
Примечание. В задачах 1.1.1-1.1.8 для облегчения вычислений
дополнительно задаются некоторые значения токов или напряжений.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.1.1
U4
E4
R4
I4
а
в
R3
I3
Е2
I1
R5
Е6
R1
R2
I2
I5
R6
I6
Дано: R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом,
R4=2 Ом, R5=1 Ом, R6=4 Ом,
Е2=11 В, Е4=2 В, Е6=1 В.
Требуется определить все токи и составить энергетический баланс,
если: а) I3=1 А, I6=1 А (решение приведено в конце параграфа).
б) U4=4 В, U6=4 В.
в) I2=3 А, I5=1 А.
г) U2=6 В, U5=1 В.
8
Задача 1.1.2
Е1
R5
I2
I4
U4
R1
R2
R4
E5
E4
I1
I5
E3
I3
R3
Дано: R1=2 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом,
R4=1 Ом, R5=1 Ом, E1=6 B,
Е3=5 В, Е4=1 В, Е5=4 В.
Используя уравнения по законам Кирхгофа, определить все токи и
составить энергетический баланс, если:
а) I1=1 А.
б) I2= 2 A.
в) U5=2 B.
г) U4=1 В.
9
Задача 1.1.3
Дано: R1=2 Ом,
R3
R2=1 Ом,
I3
R4
I2
R2
R3=1 Ом, R4=3 Ом,
R6
R5=2 Ом, R6=1 Ом.
E2
I4
E1=1 B, E2 =8 B,
E6
I1
R1
E1
E6=2 B.
R5
I5
Определить все токи, используя законы Кирхгофа, если:
а) I1=1 A, I4=1 A
б) U3=2 B, U6=4 B
в) I2=3 A, I6=1 A
г) U1=2 B, U6=1 B.
Составить энергетический баланс.
Задача 1.1.4
I3
R3
Дано: R1=3 Ом, R2=2 Ом,
E3
R3=1 Ом, R4=1 Ом,
Е2
R5=2 Ом, E1=5 B,
R2
E4
R1
I2
I1
R5
I4
E4=2 B, E5=5 B.
R4
E1
E2=1 B, E3=3 B,
I5
Составить уравнения по
законам Кирхгофа,
E5
определить все токи и составить энергетический баланс, если:
а) I1=2 A
б) I2=1 A
в) U4=1 B
г) U5=4 B.
10
Задача 1.1.5
В схеме задачи 1.1.1 известными являются:
сопротивления: R3=6 Ом, R4=4 Ом, R5=2 Ом, R6=8 Ом,
ЭДС: E2=11 B, E4=2 B, E6=1 B,
токи: I1=1 A, I2=1,5 A, I5=0,5 A.
Составить уравнения по законам Кирхгофа, найти неизвестные токи
ветвей и сопротивления.
Задача 1.1.6
В схеме задачи 1.1.2 известными являются сопротивления:
R4=2 Ом, R5=2 Ом;
R3=6 Ом,
ЭДС: E1=6 B, E3=5 B, E4=1 B, E5=4 B; токи: I1=0,5 A,
I2=1 A, I5=1 A.
Составить уравнения по законам Кирхгофа, найти неизвестные токи
ветвей и сопротивления R1 и R2.
Задача 1.1.7
В схеме задачи 1.1.3 известными являются сопротивления:
R4=6 Ом, R5=4 Ом, R6=2 Ом;
R3=2 Ом,
ЭДС: E1=1 B, E2=8 B, E6=2 B; токи: I1=0,5 A,
I2=1,5 A, I5=1 A.
Составить уравнения по законам Кирхгофа, найти неизвестные токи
ветвей и сопротивления R1 и R2.
Задача 1.1.8
В схеме задачи 1.1.4 известными являются сопротивления:
R4=2 Ом, R5=4 Ом;
R3=2 Ом,
ЭДС: E1=5 B, E2=1 B, E3=3 B, E4=2 B, E5=5 B;
токи:
I1=1 A, I2=0,5 A, I5=1 A.
Составить уравнения по законам Кирхгофа, найти неизвестные токи
ветвей и сопротивления R1 и R2.
11
Пример решения задачи 1.1.1 (задача 1.1.1 а)).
I3=1 A, I6=1 A. Определить остальные токи.
Составим уравнения по законам Кирхгофа:
для узлов а) I3  I4  I2
б) I3  I5  I1
г) I1  I6  I2
для контура абга : I3  R3  I1  R1  I2  R2  E2 т.е.
1 3  I1 1 I2  2  11
Итак, рассмотрим три последних уравнения:
I1  I5  1
(1)
I1  I2  1
(2)
I1  2 I2  8
(3)
Вычитая из уравнения (3) уравнение (2), получим, 3 I2  9 А, I2  3
A.
Далее, из (2)
из (1)
I1  1  I 2  1  3  2 A
I 5  I1  1  2  1  1 A
I 4  I 2  I3  3  1  2 A .
Энергетический баланс:
I2R  I2R  I2R  I2R  I2R  I2R  E I  E I  E I
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
2 2
4 4
6 6
2 2  1  32  2  12  3  2 2  2  12  1  12  4  11  3  2  2  1  1
38 Вт =38 Вт (верно).