ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ФИЗИКЕ

А.А. Толстенева, Л.В. Самойленко
МЕХАНИКА
Лабораторный практикум по физике
Нижний Новгород
2012
3
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина»
А.А. Толстенева, Л.В. Самойленко
МЕХАНИКА
Лабораторный практикум по физике
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2012
4
УДК 008
ББК 22.2
Т 89
Рецензенты:
кандидат педагогических наук, доцент В.В. Благодинова
кандидат педагогических наук, доцент О.В. Лебедева
Т 89
Толстенева А.А.
Механика. Лабораторный практикум по физике: учебнометодическое пособие / А.А. Толстенева, Л.В. Самойленко. –
Н.Новгород: НГПУ им. Козьмы Минина, 2012 – 75с.
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения лабораторных занятий по физике (раздел «Механика»), соответствует государственному образовательному
стандарту, составлено в соответствии с учебной программой для студентов первого курса,
очной формы обучения, по направлениям подготовки: 051000.62 Профессиональное обучение (по отраслям), 230400 Информационные системы и технологии, 23700 При-
кладная информатика, 190700 Технология транспортных процессов, 190600 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 220600 Инноватика.
Приведенные методические рекомендации для проведения лабораторных работ содержат
основные сведения из теории, методику проведения эксперимента и рекомендации по обработке полученных экспериментальных данных. Лабораторный практикум содержит
шесть лабораторных работ и обеспечивает освоение основных законов механики.
УДК 008
ББК 22.2
© Толстенева А.А., Самойленко Л.В., 2012
© НГПУ им. Козьмы Минина, 2012
5
ВВЕДЕНИЕ
Пособие имеет целью обеспечить методическое сопровождение лабораторного практикума по физике по разделу «Механика». Подбор лабораторных
работ отражает содержание раздела «Физические основы механики». Структура учебно-методического пособия включает основные правила проведения и
обработки результатов эксперимента, в частности рассматриваются: основные
правила техники безопасности, правила проведения эксперимента, структура
отчета по лабораторным работам, основы теории случайных погрешностей,
правила построения графиков и т.д., а также собственно задания на лабораторные работы.
В основу пособия положено методическое сопровождение к лабораторному комплексу, разработанному и изготовленному специалистами Южноуральского государственного университета, однако составителями пособия существенно дополнен раздел «Статистическая обработка результатов измерений», расширен перечень и изменена структура выполнения отдельных лабораторных работ.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по перечисленным
ниже направлениям подготовки бакалавров, и нацелено на формирование следующих компетенций.
051000.62
Профессиональное обучение (по отраслям). Формируемые
компетенции:
ОК-17: способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессионально-педагогической деятельности;
ОК-19: ведением технологии научного исследования.
230400 Информационные системы и технологии. Формируемые компетенции:
ОК-10 Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математиче-
6
ского анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
23700 Прикладная информатика. Формируемые компетенции:
ПК-3 Способен использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности и эксплуатировать современное
электронное оборудование и информационно-коммуникационные технологии
в соответствии с целями образовательной программы бакалавра.
190700 Технология транспортных процессов. Формируемые компетенции:
ОК-10 Использует основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
190600 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов. Формируемые компетенции:
ОК-10 Использует основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
ПК-10 Владеет умением проводить измерительный эксперимент и оценивать результаты измерений.
220600 Инноватика. Формируемые компетенции:
ОК-7: готовность использовать законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности;
ПК-13: готовность спланировать необходимый эксперимент, получить
адекватную модель и исследовать ее.
Пособие может быть использовано при подготовке бакалавров других
направлений подготовки, т.к. содержит информацию об основных законах механики.
7
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. К самостоятельному выполнению лабораторных работ студент может
приступить после прохождения инструктажа по проведению лабораторных работ и усвоения безопасных методов их выполнения, о чём студент расписывается в журнале по технике безопасности. Эта подпись является также обязательством восстановить оборудование, вышедшее из строя по вине студента. К
самостоятельному выполнению лабораторных работ студент может приступить
2. Перед выполнением работы необходимо тщательно изучить ее описание.
3. Работы следует выполнять на исправных установках.
4. Измерительные приборы и инструмент необходимо использовать
только по их прямому назначению.
5. Включать приборы и лабораторные установки можно лишь после разрешения преподавателя.
ПРАВИЛА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
1. Данные измерений и расчётов следует записывать чётко и кратко в заранее подготовленные таблицы.
2. Точность измерений и расчётов должна соответствовать цели опыта.
3. В каждом опыте необходимо устранять возможные систематические
погрешности, оценивать случайные погрешности и точность результата измерений.
4. Следует проанализировать результаты каждого эксперимента и сделать
выводы.
ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
Отчеты по лабораторным работам оформляются в отдельной рабочей
тетради в клетку. Каждый студент оформляет отчёт по индивидуальным опытным данным.
8
Отчет должен содержать следующую информацию:
1.Наименование лабораторной работы.
2.Цель лабораторной работы.
3.Схема лабораторной установки или оборудование.
4.Расчетные формулы.
5. Результаты измерений и расчетов (в таблицах).
6.Графики, построенные на миллиметровой бумаге по соответствующим
правилам.
7. Оценка погрешности измерений.
8. Ответы на контрольные вопросы.
9. Выводы в соответствии с поставленной целью.
Вывод включает в себя:
1) основные численные результаты измерений,
2) погрешность измерений, в случае относительной погрешности более
15% обязателен анализ и указание причин, приведших к снижению
точности эксперимента,
3) анализ результатов:
•
сравнение опытных зависимостей (графиков) с теоретическими,
•
сравнение полученных экспериментальных значений с табличными
(обязательна ссылка на источники информации),
•
сопоставление их расхождений с точностью измерений.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
1. Результат измерения и погрешности
Измерением называют нахождение значения физической величины опытным путём с помощью технических средств. Измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. В задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности.
9
Погрешностью измерения называется отклонение результата от истинного значения измеряемой величины.
Истинным значением физической величины, называется значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и
количественном соотношениях соответствующее свойство объекта. Поскольку
истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике
применяется действительное значение физической величины – найденное экспериментальным путем и приближающееся к истинному значению.
По способу выполнения измерения делят на прямые и косвенные. В прямых измерениях величину определяют непосредственно по шкале прибора,
например, секундомера при измерении времени или амперметра при измерении
тока. В косвенных измерениях результат вычисляют по формулам, используя
данные прямых измерений. Так, например, определяют ускорение по формуле а
= 2s/t2, где путь s и время движения t измеряют непосредственно.
Результат всегда получают с некоторой погрешностью, и в любом измерении находят не истинное значение величины, а лишь близкое к нему. Поэтому результат записывают в виде интервала, например:
𝑥=(25±2)мм.
(1)
Это означает, что истинное значение величины х лежит, вероятнее всего,
в пределах от 23 до 27 мм.
Точность измерения величины х определяют по абсолютной или относительной погрешности.
Абсолютная погрешность ∆х измеряемой величины равна разности измеренного х и истинного значениях Х, которое, конечно, неизвестно:
∆х=х - X .
При одинаковой абсолютной погрешности точность измерения может
быть существенно разной. В частности, из двух измерений длин l 1 =100 м,
l2
= 104 м, выполненных с одинаковой абсолютной погрешностью ∆𝑙 = 1 м, второе
10
отличается гораздо большей точностью. Точность измерения оценивают по относительной погрешности.
Относительная погрешность 𝛿𝑥 равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:
𝛿 x=
∆𝑥
Х
100%.
(2)
2. Систематические и случайные погрешности
Погрешности в зависимости от причин появления разделяют на систематические и случайные.
Систематической погрешностью измерения ∆s называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. К систематическим погрешностям относятся:
- Инструментальная погрешность измерений (приборная) - составляющая
погрешности измерений, зависящая от применяемых средств измерений;
- Погрешность метода измерений – составляющая погрешности измерения, происходящая от несовершенства метода измерения;
- Погрешность отсчитывания – составляющая погрешности измерения,
происходящая от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений и др.
При увеличении числа измерений систематические погрешности не
уменьшаются, но влияние их на результат измерений может быть учтено экспериментатором. Систематические погрешности можно исключить путём поверки приборов по эталонам и введением поправок.
Случайные погрешности ∆ обусловлены нерегулярно действующими
факторами или совокупностью случайных причин. Случайные погрешности нередко связаны с изменением свойств объекта измерения, с колебаниями напряжения источника питания или температуры. В ряде однотипных измерений
случайные погрешности беспорядочно изменяются по величине и знаку. Слу11
чайную погрешность оценивают по разбросу результатов в повторных измерениях. Простейшую оценку выполняют по формуле
∆х =
Х 𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖п
2
(3)
где хmax и хтiп - максимальное и минимальное значения из ряда полученных при повторных измерениях.
Введем основные понятия теории вероятностей необходимые для изучения теории случайных погрешностей. Под событием в теории вероятностей
принимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не
произойти. Что бы сравнить события по степени из возможности, нужно с
каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более
вероятн6о событие. Такое число называется вероятностью события. За единицу
измерения вероятности события принята вероятность достоверного события,
т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти.
Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все
другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями меньшими единицы, и диапазон изменения вероятностей любых
событий заключен между нулем и единицей.
Если проведена серия из N опытов, в каждом из которых могло появиться
или не появится событие А, то частотой события А в данной серии опытов
называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов:
𝑃(𝐴) =
𝑚
𝑁
(4)
Частоту события называют его статистической вероятностью: P(A),
где m – число появлений события А,
N – общее число произведенных опытов.
Интервал (1), записанный с такой погрешностью, содержит истинное значение с вероятностью
P =1-(1/2) N - 1
Эта доверительная вероятность Р зависит от числа измерений N.
12
(5)
Разновидностью случайной погрешности является промах - это грубая
погрешность, вызванная нарушением условий эксперимента. Как правило, промахом является неверный отсчёт по шкале прибора, неправильная запись или
ошибка в вычислениях. Обычно, промах резко отличается по величине от других значений, и при обработке опытных данных его отбрасывают. Нужно иметь
в виду, что промах можно заметить только при повторении измерений, поэтому
не следует ограничиваться одним измерением.
3. Приборная погрешность
Анализируя источники погрешностей, выделяют следующие из них:
измерительные приборы, объект измерения и установка, операция вычисления
результата.
Показание прибора отличается от истинного значения измеряемой величины, и это отклонение принято называть приборной погрешностью. Она
включает в себя погрешность отсчёта в результате округления до ближайшего
деления шкалы и погрешность показаний, связанную с несовершенством прибора (неравномерность делений шкалы, люфт и трение в подвижных частях).
При аккуратном выполнении измерений погрешностью отсчёта можно пренебречь. Погрешность показаний прибора приводится в паспорте или определяется по классу точности прибора. В том и в другом случаях указывают максимальное значение, которое называют предельной приборной погрешностью, ей
соответствует доверительная вероятность Р = 0,997.
Класс точности прибора 𝛾 показывает относительную предельную погрешность (в %) для наибольшего измеряемого значения, равного пределу шкалы Хmax :
𝛾=
∆𝑠𝑥
Х𝑚𝑎𝑥
100%,
(6)
где ∆ sx - абсолютная предельная погрешность измеряемой величины X.
Например, амперметр класса точности 0,5 имеет шкалу с пределом 2 А. Любое
показание этого прибора согласно формуле (6) содержит одну и ту же абсо13
лютную погрешность ∆S I = 0,01 А. При этом относительная погрешность величины X, выраженная в процентах,
𝛿x =
∆sx
𝑋
=𝛾
𝑋𝑚𝑎𝑥
(7)
𝑋
Она тем меньше, чем ближе к пределу шкалы измеряемая величина. А
значит, показания в правой части шкалы более точны, чем в её начале. Это следует иметь в виду, выбирая диапазон прибора при измерениях.
Если класс точности и паспортные данные прибора неизвестны, то приборную погрешность принимают равной цене деления шкалы.
4. Статистическая обработка результатов прямых измерений
При проведении серии измерений результаты отдельных измерений xі
расположатся вблизи неизвестного истинного значения х так, что их отклонения в сторону больших или меньших значений будут равновероятны. При этом
наилучшим приближением к истинному значению является среднее арифметическое 𝑥̅ из N измерений:
𝑁
1
𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 .
𝑁
(8)
𝑖=1
Результат измерения принято указывать в виде д о в е р и т е л ь н о г о
интервала значений измеряемой величины, в пределах которого с определённой
вероятностью находится истинное значение х (см. формулу 1). Для доверительного интервала обязательно указывают количественную характеристику его достоверности - д о в е р и т е л ь н у ю в е р о я т н о с т ь Р.
Распространённый способ записи результата измерений с помощью доверительного интервала
𝑥 = 𝑋 ± 𝝈,
(9)
где σ - среднее квадратическое отклонение (СКО).
Случайная составляющая величины СКО рассчитывается по формуле
𝜎𝑥 = √
14
∑(𝑥𝑖 −𝑋̅)2
𝑁(𝑁−1)
(10)
Этой случайной погрешности при большом числе измерений N соответствует доверительный интервал (9) с вероятностью Р=0,68.
Из формулы (9) видно, что рост числа измерений N ведёт к снижению погрешности результата σ . Однако увеличивать число измерений для повышения
точности результата имеет смысл до тех пор, пока случайная погрешность, связанная с разбросом опытных данных, велика по сравнению с систематической
(приборной) составляющей СКО, которая равна σ[△ s ] = 1/3 △ s .
Если преобладает приборная погрешность, то повторные измерения дадут
один и тот же результат. В этом случае делают 2-3 измерения, чтобы убедиться
в отсутствии промаха и малости случайной погрешности, и указывают только
систематическую составляющую СКО.
Величина СКО удобна тем, что с её помощью можно найти границу доверительного интервала ∆ с желаемой доверительной вероятностью Р. Для этого
используется соотношение
△= 𝜎 ∙tP,N
(11)
где tP,N - коэффициент Стьюдента. Значения tP,N приведены в таблице 1 и
определяются как доверительной вероятностью Р, так и числом проведённых
измерений N.
Таблица 1 - Коэффициенты Стьюдента tP,N
Число из-
Доверительная вероятность Р
мерений
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,95
0,99
2
1,00
1,38
2,0
3,1
3,3
12,7
63,5
3
0,82
1,06
1,31
1,9
2,9
4,3
31,6
4
0,77
0,98
1,25
1,6
2,4
3,2
12,9
5
0,74
0,94
1,21
1,5
2,1
2,8
8,6
6
0,73
0,92
1,20
1,5
2,0
2,6
6,9
7
0,72
0,90
1,12
1,4
1,6
2,4
6,0
8
0,71
0,90
1,11
1,4
1,9
2,4
5,4
9
0,71
0,90
1,11
1,4
1,9
2,3
5,0
10
0,70
0,88
1,11
1,4
1,8
2,8
4,8
15
20
0,69
0,86
1,11
1,3
1,7
2,1
3,9
40
0,68
0,85
1,11
1,3
1,7
2,0
3,6
60
0,68
0,85
1,0
1,3
1,7
2,0
3,5
120
0,68
0,85
1,0
1,3
1,7
2,0
3,5
∞
0,67
0,84
1,01
1,3
1,6
2,0
2,6
Предлагается следующий план расчёта случайной погрешности при прямом измерении.
1. Пусть проведена серия измерений величины х: х1, х2, ∙∙∙, xN. Результаты
измерений внесите в Таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты измерений
N
1
2
3
4
5
∙∙∙
𝑥̅ =
x-𝑋̅
x
(х-𝑋̅)2
Сумма:
2. Рассчитайте среднее значение 𝑋̅по формуле (8), отклонение от среднего каждого измерения (x-𝑋̅), его квадрат (x -𝑋̅)2 и найдите сумму квадратов отклонений
𝑁
∑(𝑥𝑖 − 𝑋 )2 .
𝑖=1
3. Вычислите среднее квадратическое отклонение σ по формуле (10).
4. Вычислите доверительный интервал по формуле (11), пользуясь таблицей 1, для определения коэффициента Стьюдента. В лабораторных работах значение доверительной вероятности принимается P=0,95.
5. Запишите результаты расчетов.
16
Пример.
1. В серии из N=5 измерений времени t секундомером с ценой деления
С=0,2 с получены значения: 28,5; 28,3; 28,0; 28,9; 28,3 с.
Таблица 2 – Результаты измерений
N
t,с
t-𝑡,̅ с
(t-𝑡̅)2
1
28,5
0,1
0,01
2
28,3
0,1
0,01
3
28,0
0,4
0,16
4
28,9
0,5
0,25
5
28,3
0,1
0,01
̅𝑡 =28,40с
Сумма:
0,44
1 5
2. Среднее значение времени 𝑡̅ = ∑𝑖=1 28,5 + 28,3 + 28,0 + 28,9 +
5
28,3 = 28,40с.
3. Среднее квадратическое отклонение, рассчитанное по формуле (10)
равно
∑ 0,442
𝜎𝑡 = √
= 0,098
5(5 − 1)
4. Доверительный интервал по формуле (11), с доверительной вероятности принимается P=0,95 равен:
пользуясь таблицей 1, для определения коэффициента Стьюдента. В лабораторных работах значение
△= 0,098 ∙ 2,8 = 0,2744 с.
5.Результаты расчетов:
t=(28,4±0,3)с; P = 0,95.
5.Статистическая обработка результатов косвенных измерений
Обычно приходится вычислять искомую величину по результатам измерения нескольких величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью.
Пусть искомая величина a определяется по результатам прямых измерений нескольких величин: a=f(x1, x2,…..xk). Если a является суммой или разно17
стью величин xk, то среднее квадратическое отклонение σa определяется из
уравнения:
𝜎𝑎2 = 𝜎𝑥21 + 𝜎𝑥22 + ⋯ +𝜎𝑥2𝑘 ,
Где 𝜎𝑥1 , 𝜎𝑥2 , … 𝜎𝑥𝑘 ,
(12)
средние квадратические отклонения прямых измере-
ний каждой из величин xk, рассчитанные по формуле (10).
Если a выражается произведениями или частными величины xk , то среднее квадратическое отклонение σa определяется из уравнения:
𝜎𝑎2
𝑎
2
=
𝜎𝑥21
𝑥1
2
+
𝜎𝑥22
𝑥2
2
+ ⋯+
𝜎𝑘2
𝑥𝑘
2
.
(13)
Найдя по формуле (12) или (13) σa, мы и в случае косвенных измерений
окончательный результат запишем в виде
𝑎 = 𝑎 ± 𝑡𝑃,𝑁 ∙ 𝝈𝒂 , при Р=0,95
(14)
Где tP,N коэффициент Стьюдента, найденный по таблице 1.
4. Вычисления и запись результата
При математической и графической обработке результатов измерений
могут появиться погрешности вычислений. Вероятность их появления
уменьшается, если следовать некоторым простым правилам.
1.При округлении числа до некоторого разряда отбрасывают все цифры,
стоящие справа от этого разряда, причем последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая цифра меньше 5. Последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасываемая цифра больше
или равна 5. Если отбрасывается, только одна цифра 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если
она нечетная.
2.Перед расчётом исходные числа округляют, оставляя в каждом на одну
значащую цифру больше, чем у наименее точного числа, и столько же значащих цифр оставляют в результате. Значащими называют все верные цифры
18
числа, кроме нулей, стоящих впереди цифр, например, записывают A=2,30,35787 ≈ 2,3-0,358 = 0,823.
3.При расчётах числа удобно представлять в виде а∙10±n, где а-число в
разряде единиц, n-целое число. Например, вычисляя момент инерции тела по
формуле
𝐼 = 𝑚𝑟 2 [
𝑔ℎ𝑡 2
ℎ0 (ℎ0 +ℎ)
− 1]
в которой значения величин m =1,05кг, r
=11,3мм, g =9,81м/с2, h0 =50,0см, h =38см, t =6,42с
записывают следующим
образом:
𝐼 = 1,05(1,13 ∙ 10
−2
9,81 ∙ 0,38 ∙ 6,422
) [
− 1] = 0,0624 кг м2
0,50(0,50 + 0,38)
2
4.Число обозначающее погрешность представляют числом, содержащим
не более одной значащей цифры. Число знаков после запятой в числе, обозначающем среднее значение физической величины и числе, обозначающем абсолютную погрешность должно быть одинаковым. Например, пусть среднее значение скорости некоторого тела 𝑣 = 1,724 м⁄с, абсолютная погрешность скорости ∆𝑣 = 0,017 м⁄с , тогда результат измерений должен быть записан в виде:
𝑣 = (1,72 ∓ 0,02) м⁄с .
Если при записи использовался множитель10±n, то он, вынося за скобку:
I = (6,2 ±1,2) 1 0 - 2 к г ∙ м 2 .
5. Представление результатов измерений в виде таблиц
Результаты измерений представляют в виде таблиц, графиков и уравнений. В каждом эксперименте важно сразу же записывать результаты всех измерений аккуратно. В этом помогают заранее заготовленные таблицы. Записи
в таблице должны быть удобны для чтения и обработки, что достигается выполнением ряда правил.
1. Значения каждой величины записывают в соответствующую графу одно под другим так, чтобы одинаковые разряды чисел и запятые располагались
19
на одной вертикали: так легче сопоставить числа. Избегайте исправления цифр:
это затрудняет чтение. Лучше зачеркнуть неверные цифры, а правильные написать рядом.
2. В начале каждой графы указывают наименование, обозначение величины и через запятую её единицу. Не нужно повторять их в каждой строке: это
потеря времени и загромождение записи. Данные прямых измерений и приборные погрешности записывают в единицах шкалы приборов, а результаты расчёта приводят обычно в единицах СИ.
3. Для сокращения записи используйте десятичный множитель 10±n. Его
величину часто берут соответствующей краткой приставке (микро-, мили-, кило- и т. п.), при которой числа в столбце находятся в интервале примерно от 0,1
до 1000. Этот множитель, общий для всех значений в графе, указывают вместе
с единицей величины в заголовке графы. Пример приведен в Таблице 3.
Таблиц 3 – Пример внесения данных в таблицу
ГАЗ
Вязкость ή,
Воздух
10-5 Па∙с
1,75
0,84
Водород
6. Графическое представление результатов
График позволяет наглядно представить результаты опыта, выявить особенности и характер исследуемой зависимости (линейная, квадратичная, или
другая) и определить её параметры. Всё это становится доступным при грамотном применении графического метода, а для этого необходимо следовать определённым правилам построения графиков и умело использовать методы их обработки.
20
Построение графиков
1. Выбор координатных осей. График выполняют на листе миллиметровой бумаги. По горизонтальной оси принято откладывать аргумент, т. е. величину, значение которой задаёт сам экспериментатор, а по вертикальной оси функцию. В конце каждой оси указывают символ величины, десятичный множитель и единицу величины. При этом множитель 10±n, как и в таблицах, позволяет опустить нули при нанесении делений, например, позволяет писать 1, 2,
3 ... вместо 0,001; 0,002 Н и т.д., указав в конце оси 10 Н, или мН.
2. Выбор интервалов. Интервалы изменения переменных на каждой оси
выбирают независимо друг от друга так, чтобы график занял всё поле чертежа.
Для этого границы интервалов берут близкими к наименьшему и наибольшему
из измеренных значений. Подчеркнём, что интервал на оси совсем не обязательно начинать с нуля. Нулевую точку помещают на график лишь в том случае, если она близка к экспериментально исследованной области или если
необходима экстраполяция на нулевое значение.
3. Выбор масштабов и шкал. Масштаб должен быть простым и удобным
для нанесения точек и чтения графика. Предпочтительнее масштабы, в которых
за единицу масштаба принимают отрезок оси, кратный 10 или 50 мм, что позволяет легко отсчитывать доли отрезка. Такому отрезку соотносят "круглое"
число ( 1 ,2 , 5) единиц измеряемой величины, Таблица 4. Деления шкалы на
каждой оси подбирают независимо, в соответствии с масштабом, причём,
надписи делений наносят вдоль всей оси. Чтобы шкала легче читалась, достаточно указать на ней от 3 до 5 делений с числами.
Таблица 4 - Пригодность масштабов
Кратность
Пригодность
10
Самый удачный
5
Возможный
4и2
Не лучшие
Категорически не рекомендуем
3
21
4.Нанесение точек. Опытные данные наносят на поле графика в виде
чётких значков, не подписывая их численные значения - они даны в таблице.
Разные значки (светлые и тёмные кружки, треугольники и др.) используют для
данных, относящихся к различным условиям опыта.
5.Проведение экспериментальной кривой. Кривую проводят плавной линией. Такой характер типичен для физических зависимостей. Опытную кривую
проводят так, чтобы точки располагались равномерно по обе стороны кривой и
как можно ближе к ней. Если вид зависимости известен из теории, то проводят
эту теоретическую кривую. В случае линейной зависимости прямую проводят
через среднюю точку, на рисунке 1 она в рамке, координаты которой вычисляют по формулам:
𝑁
1
𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 ;
𝑁
𝑖=1
𝑁
1
𝑦 = ∑ 𝑦𝑖
𝑁
(17)
𝑖=1
где N-число опытных точек на графике.
6.Заголовок графика - это название изучаемой зависимости, в котором
поясняют символы переменных, указанные в конце осей (не принято писать в
названии слово "график"). При необходимости в названии поясняют обозначения опытных точек и кривых. Заголовок принято располагать выше графика
либо под графиком.
Примеры заголовков
1. Зависимость углового ускорения α маятника от момента силы М.
2.Зависимость избыточного давления в баллоне р от времени t истечения
воздуха.
Определение параметров линейной зависимости
Для определения параметров опытной прямой обычно используют один
из двух распространённых методов: 1) приближённый метод, использующий
отсчитанные по шкале графика отрезки; 2) статистический метод наименьших
квадратов (МНК). Рассмотрим первый из этих методов.
22
Пусть измеренные величины х и у связаны линейной зависимостью вида
у= Кх + b и нужно определить её параметры К и b. Простейший метод состоит
в следующем. Опытные точки наносят на график и проводят прямую линию,
руководствуясь правилами построения графика. На концах проведённой линии
выбирают две произвольные точки а и b, удобные для отсчёта интервалов ( x б x а ) и (y б -y а ),рисунок 1.
Рисунок 1 - Определение параметров линейной зависимости
Заметим, что точность расчёта величины К тем выше, чем дальше точки а и b друг от друга. Для снижения погрешности отсчёта по графику и для
простоты расчёта значения К удобно точку а взять на одной из осей, а точку b так, чтобы отрезок ( x б - x а ) выражался целым числом.
Среднее значение углового коэффициента
̅=
К
у𝑏 −у𝑎
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
.
(16)
Параметр b линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью у, если ось х начинается с нуля. Можно найти
величину b и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки
графика:
̅ 𝑥̅
𝑏 = 𝑦̅ − 𝐾
(17)
Оценка случайной погрешности по графику
Случайная погрешность является результатом действия ряда случайных
факторов, как зависящих, так и не зависящих от экспериментатора: загрязнение
23
подшипников установки, разное растяжение нити на различных участках и в
разных опытах, умение включить секундомер одновременно с началом движения и выключить его в нужный момент, умение устанавливать одинаковые
начальные условия опыта (наматывая нить на шкив в один слой) и т. п. Действие этих факторов проявляется в том, что экспериментальные точки на графике имеют определённый "разброс", причём, тем больший, чем больше случайная погрешность опыта. Эта погрешность практически всегда значительно
больше систематической. Поэтому относительная погрешность 𝛿 к углового
коэффициента К, найденного по графику, даёт относительную погрешность
измеряемой величины, рассчитываемой по значению К.
Простейшая оценка погрешностей выполняется следующим образом.
1.
По графику (рисунок 1) определяют величины:
∆y - отклонение наиболее удалённой от прямой точки,
(уN – у1) - интервал, на котором сделаны измерения (длина оси у).
2. Абсолютная случайная погрешность параметра b (в единицах измерения величины у )
△b=△у.
(18)
2. Для углового коэффициента прямой К сначала вычисляют
𝛿𝐾 =
∆𝑦
𝑦𝑁 − 𝑦1
100%
(19)
Эта формула удобна тем, что в ней используется отношение величин одной размерности. Поэтому их можно измерить в любых единицах (проще всего
в миллиметрах по оси у ) . Напомним, что в погрешности имеет значение обычно одна цифра, а потому достаточная точность измерения отрезка (уN - у1) "круглое число", например, 100 или 120 мм.
4.
Относительная погрешность измеряемой величины, рассчитывае-
мой по значению К , часто совпадает с найденной выше 𝜹K . Тогда для этой измеряемой величины, например А, имеем 𝜹А= 𝜹K , а её абсолютная погрешность,
вычисленная по формуле
△А=А𝜹у /100%,
24
(20)
даёт доверительный интервал для измеряемой величины А:
𝐴 = 𝐴̅ ± △ А ; P = 1 - ( 1 / 2 ) N - 1
(21)
Погрешность может быть рассчитана с помощью персонального компьютера в программе Microsoft Excel.
Контрольные вопросы
1. Какие измерения называют прямыми и какие - косвенными?
2. Что представляют собой абсолютная и относительная погрешности?
3. Чем обусловлено появление систематических погрешностей?
4. Какие погрешности называют случайными? Укажите их источники.
5. Что такое промах? Как можно его обнаружить?
6. Для чего измерение проводят несколько раз?
7. Что означает класс точности прибора?
8. Как определяют систематическую погрешность в прямых измерениях?
9. Сколько значащих цифр указывают в погрешности и в результате?
10. Запишите результат измерений в виде доверительного интервала.
13.Для чего в заголовок графы таблицы выносят общий множитель и единицу величины?
14. Какой интервал называют доверительным?
15. Что такое доверительная вероятность измерений?
16.По какой формуле рассчитывают среднее квадратическое отклонение
случайной величины?
17.Чему равна величина систематической составляющей СКО?
18.В каких случаях рост числа измерений не приводит к увеличению точности? Чем обусловлена погрешность в этих случаях?
19.Как рассчитывают доверительный интервал при прямых измерениях?
20. Каким образом находят доверительный интервал при косвенных измерениях?
25
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ФИЗИКЕ
Лабораторная работа № 1. Определение плотности вещества
ЦЕЛЬ: на примере определения плотности вещества научиться производить измерения некоторых физических величин, изучить методику расчета доверительного интервала и доверительной вероятности при прямых и косвенных измерениях. Установить связь между доверительным интервалом и доверительной вероятностью.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Плотностью вещества называется его масса, заключенная в единице
объема
𝑚
𝜌= .
𝑉
(1.1)
ОБОРУДОВАНИЕ
1.Масса исследуемого тела определяется взвешиванием на технических
весах. Технические весы состоят из равноплечного рычага, называемого коромыслом. Опорой коромыслу служит ребро стальной призмы, вставленной в середину коромысла, перпендикулярно его плоскости, ребро призмы опирается
на пластину, укрепленную наверху колонки. Центр тяжести коромысла с чашками и стрелкой лежит ниже ребра призмы, так что коромысло находится в
устойчивом равновесии. На равных расстояниях от опорного ребра имеются
призмы, на которых подвешены чашки весов.
Для определения равновесия служит длинная стрелка, прикрепленная к
коромыслу. Конец стрелки двигается.
При взвешивании на технических весах необходимо соблюдать следующие правила:
А) пока весы не находятся в работе, их необходимо арретировать поворотом головки;
Б) разновесы и взвешиваемое тело следует ставить так, чтобы общий
центр тяжести грузов приходился на середину чашки;
В) разновесы следует брать пинцетом;
26
Г) когда взвешивание окончено, весы нужно арретировать и, сняв разновесы, записать вес тела (разновесы кладут только в ящик);
Д) для корректирования возможной неравномерности чашек весов повторить взвешивание, переложив взвешиваемое тело не другую чашку.
2. Высота цилиндра измеряется с помощью штангенциркуля. Штангенциркуль служит для измерения линейных размеров, не требующих высокой
точности. Отсчетным приспособлением у всех конструкций штангенинструментов служит шкала штанги и нониус. Цена деления основной шкалы равна
1мм. Нониусы штангенциркулей изготавливаются таким образом, что цена деления их обычно равна 0,1, 0,05 или 0,2 мм.
3. Диаметр цилиндра измеряется с помощью микрометра. Микрометр
служит для измерения размеров, требующих высокой точности. Отсчетное
устройство микрометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала имеет цену деления 0,5 мм, а цена деления шкалы барабана 0,01 мм.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
В данной работе тело имеет форму цилиндра. Объем тела цилиндрической формы вычисляется по формуле
𝑉=
𝜋𝑑 2 𝑙
(1.2)
4
где d – диаметр цилиндра; l- высота цилиндра.
При подстановке (1.2) в (1.1) расчетная формула для плотности принимает вид
𝜌=
4𝑚
𝜋𝑑 2 𝑙
.
(1.3)
С учетом полученных средних значений измерений формула может быть
записана в следующем виде:
𝜌=
4𝑚
2
𝜋𝑑 𝑙
27
.
(1.4)
Задание 1. Проведение прямых измерений и расчет случайной по
грешности.
Внесите сведения о приборах в таблицу 1.1.
Таблица 1.1. - Сведения о приборах
Прибор
Класс точности
Цена деления шка-
Прибора,γ %
лы, С
Технические весы
Штангенциркуль
Микрометр
Определить массу тела m тела цилиндрической формы, взвешивая его на
технических весах. Повторите взвешивание 5 раз.
Рассчитать среднее квадратичное отклонение σm.
Рассчитать абсолютную погрешность ∆m простейшим методом и методом
Стюдента.
Рассчитать относительную погрешность 𝛿 m..
Записать результат измерений.
Все полученные данные внести в таблицу 1.2.
Таблица 1.2 – Результаты измерений массы тела
N
mi
σm
mi-𝑚
̅ (mi-𝑚
̅)2
∑(𝑚𝑖 −𝑚
̅ )2
1
𝜎𝑚 = √ 𝑁(𝑁−1)
=
2
3
4
5
Сумма:
𝑚
̅=
Результат измерения: 𝑚 = 𝑚
̅ ∓ ∆𝑚 , P=0,95.
∆m
𝑚max − 𝑚𝑚𝑖𝑛
=
2
∆𝑚 =
P=l-(0,5)N-1=
𝛿 m=
△𝑚 = 𝜎𝑚 ∙tP,N =
P=0,95
𝛿 m=
∆𝑚
𝑚
∆𝑚
𝑚
𝛿m
100%=
100%=
Измерить высоту цилиндра l, с помощью штангенциркуля, в различных
точках 5 раз.
Рассчитать среднее квадратичное отклонение σl.
28
Рассчитать абсолютную погрешность ∆l простейшим методом и методом
Стюдента.
Рассчитать относительную погрешность 𝛿 l.
Записать результат измерений.
Все полученные данные внести в таблицу 1.3.
Таблица 1.2 – Результаты измерений высоты тела
N
1
2
3
4
5
li
li-𝑙 ̅
(li-𝑙 )̅ 2
σl
∑(𝑙 −𝑙)2
𝑖
𝜎𝑙 = √ 𝑁(𝑁−1)
=
∆l
𝑙
𝛿𝑙
𝑙
∆𝑙
∆𝑙 = max − 𝑚𝑖𝑛=
2
P=l-(0,5)N-1=
𝛿 l= 100%=
△𝑙 = 𝜎𝑙 ∙tP,N =
P=0,95
𝛿 l= 100%=
𝑙
∆𝑙
𝑙
Сумма:
𝑙̅ =
Результат измерения: 𝑙 = 𝑙 ̅ ∓ ∆𝑙 , P=0,95.
Измерить диаметр цилиндра d, с помощью микрометра, в различных точках 5 раз.
Рассчитать среднее квадратичное отклонение σd.
Рассчитать абсолютную погрешность ∆d простейшим методом и методом
Стюдента.
Рассчитать относительную погрешность 𝛿 d.
Записать результат измерений.
Все полученные данные внести в таблицу 1.4.
Таблица 1.4 – Результаты измерений диаметра тела
N
di
σd
di-𝑑̅
(di-𝑑̅)2
∑(𝑑−𝑑)2
1
𝜎𝑑 = √ 𝑁(𝑁−1) =
2
3
4
5
Сумма:
𝑑̅ =
Результат измерения: 𝑑 = 𝑑̅ ∓ ∆𝑑 , P=0,95.
29
∆d
𝑑max − 𝑑𝑚𝑖𝑛
∆𝑑 =
2
P=l-(0,5)N-1=
△𝑑 = 𝜎𝑑 ∙tP,N =
P=0,95
𝛿𝑑
=
𝛿 d=
𝛿 d=
∆𝑑
𝑑
∆𝑑
𝑑
100%=
100%=
Задание 2. Проведение косвенный измерений и расчет случайной погрешности.
Рассчитать среднее значение плотности вещества 𝜌 по формуле 1.4.
Рассчитать среднее квадратичное отклонение σρ.
Рассчитать абсолютную погрешность ∆ρ методом Стюдента.
Рассчитать относительную погрешность 𝛿 ρ.
Записать результат измерений.
Все полученные данные внести в таблицу 1.5.
Таблица 1.5. – Расчет плотности тела и абсолютной погрешности косвенных измерений
N
m,г
l,мм
d,мм
ρ,
кг/м2
σρ
𝜎𝜌2
𝑎
𝝈𝒂
𝜌
2
=
2
𝜎𝑚
𝑚
2
+
𝜎𝑙2
𝑙
2
∆ρ
+
𝜎𝜌 =
𝜎𝑑2
𝑑
2
△𝜌 = 𝜎𝜌 ∙tP,N =
P=0,95
𝛿𝜌
∆ρ
𝛿 ρ= 𝜌 100%=
Результат измерения: 𝜌 = 𝜎̅ ∓ ∆𝜌 , P=0,95.
Задание 3. Исследование зависимости ширины доверительного интервала от требуемой доверительной вероятности.
Запишите в таблицу 1.5. значения коэффициента Стьюдента, пользуясь
Таблицей 1.
Рассчитайте доверительный интервал для плотности вещества ρ, при различных значениях коэффициента Стьюдента tP:N.
Сделайте вывод о ширине доверительного интервала, в зависимости от
требуемой доверительной вероятности.
Таблица 1.5. - Зависимости ширины доверительного интервала от требуемой доверительной вероятности
Доверительная вероятность
Коэффициент Стьюдента tP:N
Доверительный интервал, ∆ρ
0,70
30
0,80
0,90
0,95
0,99
Контрольные вопросы
1. Какой интервал называют доверительным?
2. Что такое доверительная вероятность измерений?
3. По какой формуле рассчитывают среднее квадратическое отклонение
случайной величины?
4. Чему равна величина систематической составляющей СКО?
5. В каких случаях рост числа измерений не приводит к увеличения точности? Чем обусловлена погрешность в этих случаях?
6. Для чего используют коэффициент Стьюдента? Чем определяется его
значение?
7. Как рассчитывают доверительный интервал результата прямых измерений?
8. Как рассчитывают доверительный интервал результата косвенных измерений?
31
Лабораторная работа № 2. Изучение закона сохранения импульса
ЦЕЛЬ: исследовать соударение тел, проверить выполнение законов сохранения импульса и энергии, оценить погрешность опытов.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Удар - кратковременное взаимодействие тел.
Центральным называют удар, при котором скорости взаимодействующих
тел направлены вдоль прямой, соединяющей их центры масс.
Абсолютно упругим называют удар, при котором действуют лишь консервативные силы и поэтому механическая энергия системы взаимодействующих тел сохраняется.
Абсолютно неупругим называют удар, при котором после взаимодействия
тела движутся как единое целое (с одной скоростью).
Механическая система - совокупность материальных тел, рассматриваемых как единое целое. Механическая система тел, на которую не действуют
внешние тела, называется замкнутой.
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов 𝑝⃗𝑖 всех N тел,
входящих в систему:
𝑁
𝑁
⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑝⃗ = ∑ 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖
𝑝
𝑖=1
𝑖=1
(2.1)
Закон сохранения импульса (ЗСИ): в замкнутой механической системе
𝑁
∑ 𝑚𝑖 𝑣̅𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑖=1
(2.2)
ЗСИ для упругого центрального удара двух тел
𝑚1 𝑣⃗1 + 𝑚2 𝑣⃗2 = 𝑚1 𝑢
⃗⃗1 + 𝑚2 𝑢
⃗⃗2
(2.3)
ЗСИ для неупругого центрального удара двух тел
𝑚1 𝑣⃗1 +𝑚2 𝑣⃗2 = ( 𝑚1 + 𝑚2 )𝑢
⃗⃗
где 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 - скорости тел непосредственно перед ударом;
32
(2.4)
𝑢
⃗⃗1 , 𝑢
⃗⃗2 , 𝑢
⃗⃗ - то же после удара.
Коэффициент восстановления механической энергии k - отношение кинетических энергий системы тел : после удара 𝐸кон к энергии до удара Енач :
𝑘 = 𝐸кон /Енач
(2.5)
Он характеризует рассеяние механической энергии при ударе и зависит
от упругих свойств взаимодействующих тел. Для абсолютного упругого удара
k = 1, в реальных случаях k = 1.
ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, набор тел (шайб), весы.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка состоит из горизонтально расположенного рабочего поля 3
(рис. 2.1) с нанесенной координатной сеткой, по которому перемещаются взаимодействующие тела 1 и 2. Начальную скорость телу 1 в направлении оси X сообщает ударный пружинный механизм 5. Перед выстрелом тело 1 фиксируется
между направляющими 6. Ударный механизм снабжен винтом 4, изменяя положение которого можно изменять начальный импульс тела 1.
Рисунок 2.1- Схема лабораторной установки
33
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Боёк ударного пружинного механизма, ударяя по телу 1 (рис. 2.2), сообщает ему начальный импульс, значение которого перед взаимодействием тел
𝑝⃗0 =m1𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗0
(2.6)
где 𝑚1 - масса первого тела,
𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗0 начальная скорость тела.
Начальную скорость тела v0 можно оценить по длине пути l0, пройденному телом по рабочему полю до остановки при свободном движении. Работа силы трения по определению равна
Атр=-μmgl. По теореме о кинетической
энергии эта работа равна приращению энергии тела
А𝑚𝑝 = ∆𝐸 = 0 −
𝑚𝑣0 2
2
(2.7)
Учитывая это, найдем начальную скорость тела
v0 = √2𝑔𝜇𝑙0
(2.8)
Следует отметить, что v0 - скорость шайбы в момент соударения, когда
она находится на расстоянии l0 от точки, где оно остановится.
После взаимодействия тела начинают двигаться со скоростями 𝑣⃗1 и 𝑣⃗2 соответственно.
Их суммарный импульс:
𝑝⃗= ml 𝑣⃗1 +m2𝑣⃗2 ,
(2.9)
где v1 = √2𝑔𝜇𝑙1 - скорость 1 тела после взаимодействия,
v2 = √2𝑔𝜇𝑙2 - скорость 2 тела после взаимодействия,
𝑙1 , 𝑙2 - расстояния, проходимые телами после взаимодействия.
Длину пути 𝑙0 при свободном движении тела 1 (в отсутствие второго тела), а также после соударения 𝑙1 и 𝑙2 , определяют по изменению координат х и
у крайних точек тел (рис. 2.2).
𝑙0 = ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥01
34
𝑙1 = √(∆𝑥1 )2 + (∆𝑦1 )2 = √(𝑥1 − 𝑥01 )2 + (𝑦1 − 𝑦01 )2
(2.10)
𝑙2 = √(∆𝑥2 )2 + (∆𝑦2 )2 = √(𝑥2 − 𝑥02 )2 + (𝑦2 − 𝑦02 )2
Рисунок 2.2 - Изменение координат х и у крайних точек тел
В случае нецентрального удара, первое тело продолжит движение под углом а к направлению оси X. При этом:
sin 𝛼 =
∆𝑦1
⁄𝑙 ,
1
∆𝑥1
⁄𝑙 .
1
cos 𝛼 =
(2.11)
Второе тело начнет двигаться под углом 𝛽 к оси X
sin 𝛽 =
∆𝑦2
⁄𝑙 ,
2
cos 𝛽 =
∆𝑥2
⁄𝑙
2
.
(2.12)
Закон сохранения импульса в проекции на оси координат X и У принимает вид:
на ось X
𝑚1 𝑣0 = 𝑚1 𝑣1 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚2 𝑣2 𝑐𝑜𝑠𝛽,
на ось У
0= 𝑚1 𝑣1 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑚2 𝑣2 𝑠𝑖𝑛𝛽.
С учетом (2.10)-(2.12) закон сохранения импульса принимает вид:
а ось X (проекция)
𝑚1 √𝑙0 =
на ось У (проекция)
0=
𝑚1 ∆𝑥1
√𝑙1
𝑚1 ∆𝑦1
√𝑙1
+
+
𝑚1 ∆𝑥2
√𝑙2
𝑚1 ∆𝑦2
√𝑙2
До взаимодействия кинетическая энергия системы
35
(2.13)
𝐸нач =
𝑚1 𝑣02
2
= 𝜇𝑚1 𝑔𝑙0 ,
(2.14)
а после взаимодействия энергия системы:
𝐸конеч =
𝑚1 𝑣12
2
+
𝑚2 𝑣22
2
= 𝜇𝑚1 𝑔𝑙1 + 𝜇𝑚1 𝑔𝑙2
(2.15)
При абсолютно упругом ударе энергия системы не меняется:
Енач = Еконеч ,
и коэффициент восстановления энергии k:
k=
𝐸конеч
𝐸нач
При неабсолютно упругом ударе
= 1.
Енач > Еконеч,
и коэффициент восстановления энергии
k<1.
(2.16)
Задание 1. Сравнение импульсов и энергий до и после взаимодействия.
1. Выберите два тела примерно одинаковой массы, определите её и запишите т1 и т2 в табл. 2.1.
2. Определите скорость тела 1 при свободном движении. Для этого взведите пружинный механизм, зафиксировав его в первом пазу. Шайбу 1 вставьте
в направляющие до упора. Запишите её начальные координаты (см. рис. 2.2).
Произведите выстрел и занесите в табл. 2.1 координату х крайней точки шайбы.
Таблица 2.1- Координаты и массы тел
Начальные координаты т1 =
(кг)
m2=
(кг)
и массы тел
х 01 = (мм)
х02 = (мм)
y01 = (мм)
y02= (мм)
Конечные координаты тел
при свободном движепосле взаимодействия
нии
№ п.п.
х, мм
х1, мм
y1, мм
x2, мм
1
2
3
4
5
6
36
y2, мм
7
Среднее
𝑥̅1 =
𝑦̅2 =
𝑥̅ =
𝑦̅1 =
𝑥̅2 =
Прираще- ∆х = 𝑥̅ - 𝑥01 ∆𝑥1 = 𝑥̅1 -𝑥01 ∆𝑦1 = 𝑦̅1 -𝑦01 ∆𝑥2 = 𝑥̅2 -𝑥02 ∆𝑦2 = 𝑦̅2 -𝑦02
ние координаты
∆
Расстоя𝑙0 = ∆𝑥
𝑙1 = √(∆𝑥1 )2 + (∆𝑦1 )2
𝑙2 = √(∆𝑥2 )2 + (∆𝑦2 )2
ние
3. При тех же условиях повторить опыт еще 6 раз. Результаты занесите в
табл. 2.1 и рассчитайте среднее значение х и расстояние l0.
4. Установите тело 1 в исходное положение. Тело 2 установите в одном из
закрашенных кругов. Запишите начальные координаты крайних точек второго
тела (рис. 2.2). Произведите выстрел и занесите в табл. 2.1 координаты крайних
точек тел.
5. При тех же условиях повторите опыт еще 6 раз. Результаты занесите в
табл. 2.1. Рассчитайте средние значения 𝑥̅1 , 𝑦̅1 , 𝑥2 , 𝑦̅2 ; приращения координат
∆x1, ∆y1, ∆x2, ∆y2 и перемещения тел 𝑙1̅ и 𝑙2̅ .
6. Рассчитайте по формуле (2.13) величины, пропорциональные проекциям импульсов тел на оси координат до и после соударения, и занесите результаты в табл.2.2.
Таблица 2.2- Величины, пропорциональные проекциям импульсов тел на оси
координат
Импульс
Вдоль
оси X
Вдоль
оси У
До удара
𝑚1
1/2
𝑚1 √𝑙0 , кг мм
0
𝑚1
37
∆𝑥1
√𝑙1
∆𝑦1
√𝑙1
ПОСЛЕ УДАРА
∆𝑥
+ 𝑚2 2 , кг∙ мм1/2
√𝑙2
− 𝑚2
∆𝑦2
√𝑙2
, кг∙ мм1/2
7. Сравните результаты и сделайте выводы.
8. Рассчитайте величины, пропорциональные энергиям до и после соударения (см. формулу (2.14 и 2.15)) и занесите результаты в табл. 2.3.
Таблица 2.3 – Энергия до и после удара
Энергия
До удара
𝑚1 𝑙0 , кг мм
ПОСЛЕ УДАРА
𝑚1 𝑙1 + 𝑚2 𝑙2 , кг мм
Коэффициент вос- [𝑚1 𝑙1 + 𝑚2 𝑙2 ] / 𝑚1 𝑙0 =
становления
9. Сделайте выводы.
З а д а н и е 2. Простейшая оценка погрешности измерений.
В качестве систематической погрешности в данных опытах следует взять
приборную погрешность, равную цене деления измерительного прибора. Случайная погрешность определяется по разбросу выборки:
∆𝑥 =
(𝑥max − 𝑥min )
2
где (𝑥max − 𝑥min ) - максимальное и минимальное значение измеряемой
величины в серии из N повторных измерений. Этой границе доверительного
интервала, совпадающего с ∆, соответствует доверительная вероятность
1 𝑁−1
𝑃 =1−( )
2
1.
В табл. 2.4 занесите средние значения прямых измерений, выполненных в одном из упражнений и значения погрешностей
этих величин - систематической и случайной.
38
Таблица 2.4 – Расчет погрешности
Величина
𝑚1 (кг)
𝑚2 (кг)
𝑥01 (мм)
𝑦01 (мм)
𝑥02 (мм)
𝑦02 (мм)
𝑥1 (мм)
𝑦1 (мм)
𝑥2 (мм)
𝑦2 (мм)
Значение
Абсолютная погрешность
систематич. ∆𝑆 случайная ∆
—
—
—
—
—
—
Наибольшая из них
абсолют. ∆
относит. 𝛿
2. Для каждой величины выберете наибольшую из погрешностей, рассчитанных в п. 1 и определите наибольшую относительную погрешность δ измерения каждой величины. В окончательном выводе следует отметить, для каких
величин желательно увеличить (и как?) точность измерений, а для каких её
можно и уменьшить без ущерба для конечного результата.
3. Погрешность измерения величины импульса и энергии в первом приближении можно считать равной (во всяком случае, не выше) относительной
погрешности менее точно измеренной величины (в табл. 2.4). С учетом этого
сделайте вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии либо о
причинах их невыполнении в проведенных опытах и степени упругости ударов.
Контрольные вопросы
1.Как записывают ЗСИ:
а) для замкнутой механической системы
б) при упругом центральном ударе двух тел;
в) при неупругом центральном ударе?
2. Как записывают закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ) при
упругом центральном ударе двух тел?
3.В каких ударах выполняются: а) ЗСМЭ; б) ЗСИ; в) оба закона?
39
4.Почему соударяющиеся шайбы можно считать замкнутой системой?
5.Как записывают ЗСИ при измерениях в упругом и неупругом ударах?
6.Какие прямые измерения необходимо сделать в работе для проверки
ЗСИ?
7.От каких величин зависит: а) скорость ударяющего тела; б) импульс и
скорость тел после неупругого удара?
8.Какой удар называется центральным?
9.Какой удар называется нецентральным?
10.От чего зависит направление движения тел после нецентрального удара?
40
Лабораторная работа № 3. Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека
ЦЕЛЬ: получить экспериментальную зависимость углового ускорения от
момента силы и определить момент инерции маятника динамическим методом.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.
Основные кинематические и динамические параметры вращательного
движения:
𝜑 - угловой путь, или угол поворота;
𝜔 = d𝜑 / dt - модуль угловой скорости тела;
𝛼 = d𝜔 / dt - модуль углового ускорения тела.
Для произвольной точки вращающегося тела, расположенной на расстоянии r от оси вращения, модуль линейной скорости
v = 𝜔𝑟
(3.1)
модуль тангенциального ускорения
𝛼𝜏 = а r .
(3.2)
⃗⃗ натяжения нити, намотанной на шкив радиуса г,
Модуль момента силы 𝑇
М = rТ.
(3.3)
⃗⃗⃗⃗материальной точки массы m, которая двиМодуль момента импульса 𝐿
жется со скоростью v, на расстоянии г от оси вращения:
L = mvr.
(3.4)
Для тела с моментом инерции I, вращающегося со скоростью 𝜔, модуль
момента импульса
L=I𝜔.
(3.5)
Момент инерции материальной точки массы m, удалённой от оси вращения на расстояние r, I=mr2.
Момент инерции тела относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции всех N точек тела:
41
𝑁
𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2
(3.6)
𝑖−1
Закон динамики вращательного движения
𝑛
𝐼𝜔
̅
̅ или 𝑑 ( ) = ∑ 𝑀
̅𝑖
𝑑𝐿̅ = 𝑀
𝑑𝑡
(3.7)
𝑖=1
Если момент инерции вращающегося тела остаётся постоянным, то закон
динамики принимает вид
𝑛
̅𝑖
𝐼𝛼̅ = ∑ 𝑀
(3.8)
𝑖=1
ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов.
Рисунок 3.1 - Маятник Обербека
42
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Основной частью установки является крестообразный маятник, который
может вращаться с малым трением вокруг оси О (см. рисунок 3.1).
По стержням крестовины могут перемещаться подвижные цилиндры 3
массой т0. На оси с крестовиной насажен шкив радиуса r. К концу нити, намотанной на шкив и перекинутой через невесомый блок 4, прикрепляется груз 5
массой m, приводящий маятник во вращательное движение. Время прохождения грузом расстояния h измеряют секундомером. Маятник в исходном положении удерживается электромагнитом, при нажатии клавиши "Пуск" секундомера электромагнит отключается, груз начинает двигаться и одновременно включается секундомер. Счёт времени заканчивается при достижении грузом нижнего положения. Для того, чтобы секундомер сработал, необходимо
установке с помощью винтов в основании платформы придать такое положение, при котором груз опускался бы точно в отмеченный круг. В этот круг
вмонтирован датчик, выключающий секундомер.
Расстояние h отмечается по линейке, установленной в верхней части
установки, на которой указывается расстояние груза в начальном положении от
основания установки.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Приняв, что нить невесома, нерастяжима, считаем движение грузов равноускоренным. Ускорение груза а определяют, измерив время его движения и
пройденный путь h:
a = 2h/t2.
(3.9)
Угловое ускорение маятника а выразим через линейное ускорение и радиус шкива h:
𝛼=
𝛼
2ℎ
= 2
𝑟
𝑟𝑡
(3.10)
Силу натяжения нити Т можно определить, применив к движению груза
массой m закон Ньютона (пренебрегая при этом сопротивлением воздуха):
Т = m(g -a) = mg,
43
так как обычно а « g.
Таким образом, измерив для груза массой m время t прохождения им расстояния h, можно рассчитать угловое ускорение а (формула 3.10) маятника и
определить момент силы, действующий на маятник:
M = Tr = mgr.
(3.11)
При вращении маятника на него действует также тормозящий момент сил
трения Мтр, и поэтому закон динамики (3.8) принимает вид
1α = М-Мтр.
(3.12)
Это уравнение позволяет найти момент инерции блока I динамическим
методом, измерив, ряд величин 𝛼 и М. Для более точного определения величины I в опыте получают зависимость α= ƒ(М), линейный характер которой (при
MТР = const) позволяет рассчитать среднее значение I по угловому коэффициенту опытной прямой.
З а д а н и е 1. Изучение закона вращения маятника
1. Определите массу грузов т, установите центры подвижных цилиндров
т0 на одинаковом расстоянии l от оси вращения и измерьте радиус шкива r. Результаты запишите в табл. 3.1.
Таблица 3.1- Зависимость углового ускорения от момента силы
h=
r, мм
r=
м,
t, с
№
т, г
1
2
3
4
5
Координаты средней точки
∆М, Н∙м
∆α, с- 2
𝐼 = ∆𝑀⁄∆𝛼
Мтр, Н∙м
𝜹I,%
I= I±∆I; кг м2 P = I –(1/2)N-1
I= I±∆I; кг м2 P = 0,95
44
М, Н∙м
α, с- 2
3. Прикрепите к нити один из грузов т. Вращая маятник, намотайте нить
на шкив в один слой и включите электромагнит красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Запишите расстояние h, проходимое грузом при
падении. Убедитесь, что нить и груз во время движения не задевают неподвижные части установки или другие предметы. Устраните качание груза и нажмите
кнопку «Пуск» секундомера. Запишите время t движения груза до нижней точки.
4.
Увеличивая массу груза т (не менее 5- раз), запишите время t дви-
жения груза на пути h. Все результаты по мере их получения записывайте в
табл.3.1.
5. Вычислите значения α и М в каждом опыте по формулам (3.10, 3.11).
7. Изобразите графически зависимость углового ускорения α от момента
силы М, нанеся точки на график.
По графику определите среднее значение момента инерции маятника
𝐼 = ∆𝑀⁄∆𝛼, рассчитав угловой коэффициент прямой.
8. По графику определите момент сил трения Мтр, сравните его с моментами, создаваемыми грузами, и сделайте вывод.
10.Рассчитайте относительную 𝜹I и абсолютную △I погрешности момента
инерции.
11.Запишите результат в виде доверительного интервала
I= I±∆I; P = I –(1/2)N-1
с доверительной вероятностью Р оценённой по формуле (5) либо переменяя таблицу коэффициентов Стюдента с доверительной вероятностью Р=0,95
(по указанию преподавателя).
З а д а н и е 2. Измерение динамическим методом момента инерции
крестовины маятника
1.
Закрепите подвижные цилиндры на максимальном и одинаковом
расстоянии от оси вращения. Прикрепите к нити груз массой т. Измерьте радиус шкива r его и запишите в табл. 3.2 значения m, r и h.
45
Таблица 3.2 - Измерение радиуса шкива r и значения m, r и h.
h=
№
l, см
м,
т=
кг,
t, c
l 2 , см2
I, кг м2
2
𝐼̅
r=
мм
1
2
3
4
5
𝑙̅
𝑡
Iкр =
кг м2
m0=
кг
𝑙
2. Вращая маятник, намотайте нить на шкив в один слой и измерьте время
движения t.
3. Проведите ещё 5 опытов с тем же грузом т уменьшая всякий раз на
1,5-2 см расстояние цилиндров l от оси вращения. Результаты измерений 𝑙 и t
вносите в табл. 3.2.
4. Вычислите для каждого опыта величины l2 и момент инерции маятника
по формуле, полученной с учётом выражений (3.10), (3.11):
𝑔𝑡 2
𝑀
I = 𝛼 = 𝑚𝑟 2 ( 2ℎ − 1).
(3.13)
5.Постройте график зависимости момента инерции маятника I от и l2.
Сделайте вывод о характере полученной зависимости I = f (l2) с учётом того,
что момент инерции маятника, у которого цилиндры приняты за материальные
точки,
I= Iкр+4т0l2.
(3.14)
6. Определите с помощью графика (динамическим методом) момент
инерции крестовины Iкр, которой согласно (3.14) равен параметру b линейной
зависимости I = f(l2).
7. Рассчитайте массу подвешенных грузов m0,
46
𝑚0 =
𝐼−𝐼кр
4𝑙 2
(3.15)
8. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы
1. Запишите закон динамики вращательного движения.
2. Какое вращение тела называют равноускоренным, каковы его условия?
⃗⃗⃗ момент импульса тела 𝐿⃗⃗?
3. Как направлены векторы 𝛼⃗, 𝑀
4. От чего зависят: а) угловое ускорение маятника, б) момент инерции маятника, в) момент силы, действующий на маятник?
5. Какая зависимость лежит в основе динамического метода измерения
момента инерции I?
6. Какие величины определяют наклон прямой на графике 𝛼 = 𝑓(М)?
7. Как в работе изменяют момент силы?
8. Какие величины в работе измеряют для определения величин 𝛼 и M?
9. Как можно изменять момент инерции маятника в данной работе?
47
Лабораторная работа № 4. Определение момента инерции диска.
Проверка теоремы Штейнера
ЦЕЛЬ: определить момент инерции диска расчётным и экспериментальным методами
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.
Работа, которую совершает постоянный момент силы М при повороте
тела на угол φ (в радианах),
А=Мφ.
(1)
Работа сил трения или сопротивления равна изменению механической энергии
системы:
А = W1-W2.
(2)
Кинетическая энергия тела массой 𝒎, которое движется поступательно
со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью 𝝎 относительно
центра масс,
𝑾К =
𝒎𝒗𝟐
𝟐
+
𝑰𝒄 𝝎𝟐
𝟐
(3)
Эта энергия равна кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси (MOB):
𝑾К =
𝑰𝝎𝟐
(4)
𝟐
В этих формулах Ic - момент инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс, I - момент инерции относительно MOB.
Если эти оси параллельны друг другу, то согласно теореме Штейнера
I = Ic + m𝑎2 ,
(5)
где m - масса тел, 𝒂 - расстояние между осями.
Формулы для расчета моментов инерции некоторых тел относительно их
оси симметрии приведены в табл. 4.1.
Зачастую для решения физических или технических задач необходимо
определить момента инерции тела сложной формы. Для решения такой задачи
48
предлагается следующая методика, основанная на применении теоремы Штейнера.
1. Исследуйте форму тела. Приняв во внимание, что момент инерции любого тела равен сумме моментов инерции отдельных его элементов, мысленно
разделите исследуемое тело на простые элементы, для которых формулы расчёта величины Ii даны в табл. 4.1.
2. Сделайте эскиз исследуемого тела, а если необходимо, то и его элементов, обозначая символами все размеры, подлежащие измерению. Например, тело (рис. 4.1а) состоит из насаженных на вал 1 шкива 2 и маховика 3 с двумя отверстиями 4. Это тело можно представить (рис. 4.1) как совокупность трёх
сплошных цилиндров 1, 2 и 3 за вычетом двух малых дисков 4, расположенных
на месте отверстий маховика.
а)
б)
Рисунок 4.1 – Пример исследуемого тела
Для расчёта момента инерции такого тела
I = I1+ I2 + I3-I4
(4.6)
необходимо знать массы указанных элементов, их радиусы, а также расстояние
а от центра отверстий до оси вращения. В случае, если массы тi неизвестны, то
для их определения через плотность и объём деталей нужно измерить ещё их
длины 𝑙1, 𝑙2 и 𝑙3 .
49
Таблица 4.1 – Формулы расчета
№
п/п
1
Элемент
тела
вращения
Диск
2
Вал-шкив
3
Ось
4
а)
б)
Кольцо
Масса
m , кг
Диаметр
d, мм
и a, мм
Момент инерции I, кг м2
формула
𝐼1 =
𝐼2 =
𝐼3 =
𝐼4 =
Цилиндр
в)
𝐼4 =
Пластина
Тело
𝐼4 =
2
1
2
1
2
𝑚1 𝑟1 2
𝑚2 𝑟2 2
𝑚3 𝑟3 2
𝑚4 (𝑟 2 + 𝑅2 )
𝐼4 =
Стержень
д)
2
𝐼4 =
Шар
г)
1
1
значение
1
12
1
2
2
5
1
12
𝑚4 𝑟 2
𝑚4 𝑟 2
𝑚4 𝑙 2
𝑚4 (𝑏2 + 𝑑 2 )
𝐼𝑐 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ± 𝑛𝐼4
𝑚 = ∑ 𝑚𝑖 = a=
𝐼𝑧 = 𝐼𝑐 + 𝑚𝑎2
Примечания:
а)
значения 𝐼𝑖 и 𝐼𝑐 даны относительно оси, проходящей через центр
б)
для стержня длиной 𝑙 и пластины размером b × d значения I даны
масс;
относительно оси, перпендикулярной их плоскости;
в) в формуле для 1c: п - число одинаковых элементов; знак «минус» для
случая, если отверстия в диске имеют форму четвертого элемента.
3. Получите формулу вида (4.6) для расчёта момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс системы.
4. Запишите в табл. 4.1 массы 𝑚𝑖 отдельных частей тела, а если они неизвестны, то плотность вещества ρ.
5. Измерьте линейкой или штангенциркулем (в отчёте объясните выбор
инструмента) величины, необходимые для расчёта момента инерции каждого
элемента тела. Результаты измерений записывайте в табл. 4.1.
50
6. Вычислите моменты инерции отдельных элементов, а затем момент
инерции тела Ic относительно оси, проходящей через центр масс.
7. Рассчитайте, если это необходимо в данной работе, момент инерции
тела относительно MOB, используя теорему Штейнера.
8. Оцените систематическую (приборную) погрешность прямых измерений, сделанных для расчёта величины I. Результаты внесите в табл. 4.2.
Таблица 4.2 - Систематическая (приборная) погрешность прямых измерений
Измеряемый
параметр
𝑑𝑖
Величина
Систематическая
погрешность ∆s
Относительная погрешность 𝛿
(𝛿 = ∆𝑠 / 𝑑𝑖 )
9. В выводе оцените соотношение величин Ii частей тела. Какие из них
пренебрежимо малы и по какой причине? По данным табл. 4.2 сделайте вывод о
том, какие измерения проведены с достаточной точностью, а какие - нет; связано ли последнее с используемым инструментом?
51
ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, набор гирь, штангенциркуль,
секундомер.
Рисунок 4.2 – Схема лабораторной установки
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось (рис. 4.2) и может вращаться с малым трением. На той же оси находится шкив 2 радиусом r, на который наматывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой т, под
действием которого система приводится во вращение. Путь, пройденный грузом до своего нижнего положения (когда нить полностью размотается), определяется по шкале 3, вдоль которой груз движется.
В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы
5 цилиндрической формы (радиуса R ) и массы т0.
В установках предусмотрено автоматическое измерение времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое поднимается груз по
инерции после прохождения нижнего положения.
52
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Если намотать нить на шкив, подняв на высоту h0 груз т, то он будет обладать потенциальной энергией W0=mgh0. При падении груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения
груза 𝑚𝑣 2 /2 и энергию вращения диска 𝐼𝜔2 /2. Зная время t падения груза до
нижней точки, можно определить конечную скорость движения груза v = 2h0 /t
и угловую скорость вращения диска ω = v / r = 2h0 / ( r ∙t ) , где r - радиус шкива.
При движении в подшипниках действует момент сил трения Мтр, для преодоления которого на пути h0 = φ0 r совершается работа
𝐴 = 𝑀тр ∙ 𝜑0 = Мтр
ℎ0
𝑟
(4.7)
где - 𝜑0 угол поворота диска (угловое перемещение).
В соответствии с законом сохранения энергии и равенством (4.2)
𝑚𝑔ℎ0 =
𝑚𝑣 2
2
+
𝐼𝜔2
2
+𝑀тр
ℎ0
𝑟
(4.8)
Момент сил трения Мтр найдём из следующих соображений. После того,
как груз опустится до нижней точки, маховик, продолжая вращение по инерции, поднимет груз на высоту h; там его потенциальная энергия mgh меньше,
чем начальная, на величину работы, совершенной против сил трения на всём
пути (h0+ h)=φr. Из закона сохранения энергии и формулы (4.2) следует
𝑀тр
ℎ0 +ℎ
𝑟
= 𝑚𝑔ℎ0 − 𝑚𝑔ℎ
(4.9)
Решая совместно уравнения (4.8), (4.9), получаем расчётную формулу для
момента инерции вращающегося тела:
2
𝐼 = 𝑚𝑟 [
𝑔ℎ𝑡 2
ℎ0 (ℎ0 +ℎ)
− 1]
(4.10)
З а д а н и е 1. Определение момента инерции диска
1. Снимите дополнительные грузы с диска.
2. Измерьте штангенциркулем диаметр шкива d в нескольких местах, записывая результаты в табл. 4.3, и определите среднее значение 𝑑̅.
53
Таблица 4.3 – Данные для определения момента инерции диска
№ п.п.
d, м
t, с
h, м
1
2
3
4
5
Среднее значение
𝑟 = 𝑑̅ /2 =
т=
h0 =
𝐼Д =
м,
кг,
м
2
кг∙м
3. Вращая диск, намотайте нить в один слой на шкив и включите электромагнит красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Измерьте и запишите расстояние h0 от груза до нулевой отметки шкалы.
4. Определите массу груза m, подвешенного к нити, включите секундомер.
5. В момент прохождения грузом нижнего положения секундомер выключается. Продолжая дальше наблюдение за движением груза m, заметьте высоту h, на которую поднимется груз, двигаясь по инерции. Показание секундомера t и высоту h запишите в табл. 4.3.
6. Повторите измерения еще четыре раза при тех же значениях т и h0.
7 . Вычислите среднее значение момента инерции диска 1Д по формуле
(4.10).
З а д а н и е 2. Проверка теоремы Штейнера
1. Определите массу т0 и радиус R дополнительных грузов. Закрепите их
на одинаковом расстоянии от оси вращения на диске установки и замерьте расстояние l1 от оси вращения до центра грузов. Результаты этих измерений и число дополнительных грузов k занесите в табл. 4.4.
Таблица 4.4 – Данные для проверки теоремы Штейнера
т0=
k=
R=
r=
h 0=
1 Д=
кг
м
м
м
кг м2
№
п.п.
1
2
3
4
𝑙1 =
t, с
м
h, м
𝑙2 =
t, с
54
м
h, м
𝑙3 =
t, с
м
h, м
м
𝑙4 =
t, с h, м
5
Среднее
Iэксп
Iг =1⁄2 𝑚0 𝑅2 +𝑚0 𝑙 2
Iрасч = I Д + k I г
2. Занести в табл. 2 результаты измерений, полученных в задании 1: радиус шкива r массу груза m, расстояние, проходимое грузом до нулевой отметки ℎ0 и число дополнительных грузов k.
3. Проведите измерения (см. пп. 2-6 задания 1) и результаты занесите в
табл.4.4.
4. Рассчитайте момент инерции Iэксп диска с дополнительными грузами
(формула 4.10).
5. Рассчитайте момент инерции дополнительных грузов 𝐼г , используя теорему Штейнера 𝐼г = (0,5 𝑚0 𝑅2 + 𝑚0 𝑙 2 )k и результат занести в таблицу 4.4.
6. Рассчитайте момент инерции системы «диск - дополнительные грузы»
𝐼расч. = 𝐼Д + 𝑘𝐼г .
7. Проведите подобные измерения и расчеты с другим положением дополнительных грузов на диске (пп. 3-6 задания 1).
8. Сравните полученное экспериментально значение момента инерции
Iэксп и расчетное значение момента инерции системы Iрасч и сделайте выводы.
З а д а н и е 3. Оценка погрешности измерений
1.
Оцените случайные погрешности измеряемых величин по разбросу полученных значений (∆ = 𝑥𝑚𝑎𝑥 - 𝑥𝑚𝑖𝑛 )/2), либо применяя
таблицу коэффициентов Стюдента (по указанию преподавателя)
и приборные (систематические) погрешности всех измерений.
Результаты занесите в табл. 4.5.
Таблица 4.5 – Оценка погрешности измерений
55
Измеряемая величина
Название
Погрешность
Система- Случайная
Наибольшая
тическая
∆
δ
Средн.
значение
Масса груза т
кг
—
Высота h0
м
—
Высота h
м
Время t
с
Радиус r
мм
Масса т0
г
—
Радиус R
м
—
Расстояние l
м
—
2. Расчет абсолютной и относительной погрешности измерения момента
инерции I , провести в соответствии с пунктом а) либо б), по указанию преподавателя.
а) Относительную погрешность полученного результата 𝛿𝐼 примите равной погрешности той величины, которая измерена менее точно и рассчитайте
абсолютную погрешность величины момента инерции
∆𝐼 = 𝐼 ∙ 𝛿𝐼
Запишите результат в виде:
P = I (0.5)𝑁− 1 .
I = I ± ∆𝐼 ,
б ) Проведите расчет погрешности измерений в соответствии с методикой, предложенной для косвенных измерений, пользуясь таблицей коэффициентов Стюдента. Запишите результат в виде:
I = I ± ∆𝐼 ,
P = 0 ,9 5 .
Относительную погрешность рассчитайте по формуле:
∆𝐼
𝛿= 100%.
𝐼
3. Сравните расчетные значения момента инерции и полученные экспериментально и сделайте выводы.
Контрольные
56
вопросы
1.Чему равен момент инерции твёрдого тела относительно оси?
2.Как зависит момент инерции твёрдого тела от его массы и распределения массы тела относительно оси вращения?
3.Чему равен момент инерции материальной точки?
4.От каких величин зависит момент инерции диска, по какой формуле его
рассчитывают в опытах?
5.Как рассчитывают момент инерции твёрдого тела сложной формы?
6.Сформулируйте теорему Штейнера.
7.Запишите закон сохранения энергии для системы "диск-груз".
8.На что расходуется механическая энергия в системе:
а) потенциальная энергия груза при его опускании;
б) кинетическая энергия системы при движении груза вверх?
9.Какое положение груза соответствует наибольшей кинетической энергии маховика?
10.По какой формуле определяют работу, затраченную на преодоление
сил трения?
11.От каких величин зависит кинетическая энергия тела при поступательном и вращательном движениях?
57
Лабораторная работа № 5. Изучение закона сохранения механической энергии
ЦЕЛЬ: получить экспериментальное подтверждение закона сохранения
механической энергии.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.
Кинетическая энергия системы тел, часть общей механической энергии
системы, есть функция состояния ее движения. При поступательном движении
кинетическая энергия определяется выражением:
mv 2
Eк 
.
2
При вращательном движении кинетическая энергия определяется выражением:
Eк 
1
J 2 .
2
- Кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е.
является величиной относительной.
- Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних dAвнешн и внутренних сил dAвнутр , действующих на эту систему:
dEk  dАвнешн  dАвнутр
- Кинетическая энергия механической системы из n тел равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы:
n m v2
i
Eк   i
.
2
i 1
Потенциальная энергия − часть общей механической энергии системы,
зависящей от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту
систему и от их положений во внешнем силовом поле.
Для тела находящегося на высоте h над поверхностью Земли
58
Е П  mgh.
Потенциальная сила - сила, работа которой зависит только от начального
и конечного положения точки её приложения и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения этой точки.
Работа потенциальных сил, равна изменению потенциальной энергии:
Aпот  Е П .
Консервативные силы не изменяют механическую энергию тела. Например, сила тяготения, сила Лоренца и все потенциальные силы. Bсe потенциальные силы относятся к консервативным силам.
К неконсервативным силам относятся диссипативные силы − это силы
трения и сопротивления. Суммарная работа внутренних диссипативных сил
рассматриваемой системы отрицательна в любой системе отсчета.
дис.
Aвнутр
.  0.
В случае, когда материальная точка находится в потенциальном поле,
связь между силой F, действующей на точку, и потенциальной энергией ЕП
имеет вид:

F   gradЕ П .
Полная механическая энергия системы является суммой кинетической и
потенциальной энергий системы:
Е Е к  ЕП ,
Приращение механической энергии системы тел равно алгебраической
сумме работ всех внешних сил и всех внутренних диссипативных сил.
дис
Е2  Е1  Авнеш  Авнутр
.
Закон сохранения механической энергии системы тел. Механическая
энергия замкнутой системы тел, в которой нет диссипативных сил, сохраняется
в процессе движения:
Е  Ек  Е П  const .
59
Замкнутой системой тел называется такая система, на которую или не
действуют внешние силы, или векторная сумма их равна нулю.
Система тел, в которой действуют только консервативные силы, называется консервативной. Консервативная система тел − это идеальная система тел.
Система тел, в которой действуют диссипативные силы, называется диссипативной. Все реальные системы тел – диссипативные.
ОБОРУДОВАНИЕ: установка, набор тел, секундомер
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В работе используются тела, осью которых является цилиндрический
стержень радиусом r. Одно из тел 1 (рис. 5.1) помещают на параллельные
направляющие 2, образующие с горизонтом углы 𝛼1 и 𝛼2.
Рисунок 5.1 - Схема лабораторной установки
Если тело отпустить, то оно, скатываясь, достигнет нижней точки и, двигаясь далее по инерции, поднимется вверх по направляющим. Движение тела,
при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, называется плоским. Плоское движение можно представить двумя способами: либо
как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и
вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения (MOB), положение которой непрерывно изменяется. В нашем случае эта мгновенная ось Z проходит
через точки касания направляющих с движущимся стержнем.
60
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Тело, находясь на высоте h0, обладает запасом потенциальной энергии
определяемой выражением
ЕП0=𝑚𝑔ℎ0
(5.1)
При скатывании тело, опускаясь с высоты
h0 = l0 sin 𝛼1 ≅ 𝑙0 𝛼1
(5.2)
проходит путь 𝑙0 , а поднимаясь по инерции на высоту h
h ≅ 𝑙𝛼2 ,
(5.3)
проходит путь 𝑙. При этом, его потенциальная энергия в точке максимального
подъема равна
ЕП=𝑚𝑔ℎ
(5.4)
В нижней точке скорость поступательного движения центра масс v = 2 l 0 / t , а
угловая скорость тела
𝜔0 = v / r = 2 l 0 / ( r ∙ t ) ,
(5.5)
где t - время движения от верхней точки до нижней, r - радиус стержня
(оси).
В нижней точке запас потенциальной энергии ЕП0, преобразуется в кинетическую энергию, определяемую выражением
𝐸к𝑜 =
𝐼𝜔2
2
.
(5.6)
На скатывающееся тело действует момент сил сопротивления Мтр.
Мтр=Fтр r,
(5.7)
Следовательно часть потенциальной энергии ЕП0 будет израсходована на
работу против диссипативных сил, в частности силы трения качения.
𝐹тр =
Мтр⁄
𝑟.
(5.8)
Работа его на пути 𝑙0 равна Атр = Мтр𝜑, где угловой путь 𝜑0 = 𝑙0 /r.
Закон сохранения энергии на отрезке пути 𝑙0 имеет вид
𝑚𝑔ℎ0 =
61
𝐼𝜔2
2
+ 𝐴тр ,
(5.9)
Где I- момент инерции скатывающегося тела относительно MOB,
т - масса тела, включающая в себя массу стержня.
При движении тела вниз с высоты h0 и вкатывании его на высоту h работа сил сопротивления на пути ( 𝑙 + 𝑙0 ) равна убыли потенциальной энергии:
Атр = mgℎ0 - 𝑚𝑔ℎ.
Атр = ЕП0 - ЕП
Атр = Мтр
(5.10)
𝑙0 + 𝑙
𝑟
Тогда момент силы трения Мтр, может быть определен выражением:
М
тр
=
Атр 𝑟
𝑙0 +𝑙
(5.11)
Момент инерции тела относительно MOB определяется теоремой Штейнера
I = 10 + т𝑎2 ,
(5.12)
где 10 - момент инерции, относительно центра масс;
а - расстояние от центра масс тела до оси вращения (в этом опыте а=r).
Для определения момента инерции динамическим методом применим
формулу, полученную при совместном решении уравнений (5.5), (5.9) и (5.11).
𝐼=
𝑚𝑔𝑙𝑟 2 (𝛼1 +𝛼2 )𝑡 2
2𝑙0 (𝑙0 +𝑙)
(5.13)
З а д а н и е 1. Аналитический расчёт момента инерции тела
Для расчёта момента инерции маховика I необходимо измерить массу тела (написана на телах) или объём (массу рассчитать, используя плотность) и
радиусы цилиндрических тел. Методика расчёта величины I дана выше. В соответствии с ней результаты всех измерений и вычислений вносите в табл. 1.5.
62
Таблица 1.5. - Аналитический расчёт момента инерции тела
Индекс Элемент
тела
вращения
1
Диск
2
Вал-шкив
3
Ось
4
а)
б)
Кольцо
Масса
m, кг
Диаметр
d, мм
и a, мм
Момент инерции
I, кг ∙ м2
формула
значение
𝐼1 =
𝐼2 =
𝐼3 =
𝐼4 =
Цилиндр
в)
𝐼4 =
Пластина
Тело
𝐼4 =
𝑚 = ∑ 𝑚𝑖 =
a=
1
12
2
1
2
1
2
𝑚1 𝑟1 2
𝑚2 𝑟2 2
𝑚3 𝑟3 2
𝑚4 (𝑟 2 + 𝑅2 )
𝐼4 =
Стержень
д)
2
𝐼4 =
Шар
г)
1
1
1
2
2
5
1
𝑚4 𝑟 2
𝑚4 𝑟 2
12
𝑚4 𝑙 2
𝑚4 (𝑏2 + 𝑑 2 )
𝐼𝑐 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ± 𝑛𝐼4
𝐼𝑧 = 𝐼𝑐 + 𝑚𝑎2
Далее задание выполняется, как описано в таблице 4.1.
З а д а н и е 2. Экспериментальное подтверждение закона сохранения механической энергии
1. Запишите постоянные установки α1 и α2 в табл. 5.2.
2. Проверьте правильность положения установки. При скатывании тело
не должно смещаться к одной из направляющих. Для регулировки используйте
винты основания. Измерьте штангенциркулем диаметр d стержня в различных
местах, определите его среднее значение и средний радиус r, данные внесите в
табл. 5.2.
3. Установите тело на направляющие на расстоянии 𝑙0 (по указанию преподавателя) от нижней точки, за его положение фиксируется магнитом по
нажатию кнопки « С б р о с » секундомера.
63
4. Нажмите кнопку секундомера «П у с к ». При этом электромагнит отключится и тело начинает двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундомер автоматически выключится. Запишите время движения тела до нижней точки t0 ,в табл. 5.2.
Наблюдая далее за движением тела по инерции, отметьте расстояние 𝑙, на
которое оно поднимется до остановки.
4. Опыт повторите еще четыре раза при том же расстоянии 𝑙0 , записывая
результаты в табл. 5.2.
Таблица 5.2 - Данные о движении тела при скатывании с наклонной плоскости
№ п.п. d , мм
1
2
3
4
5
Среднее 𝑑 =
значе- мм
ние
t0, с
𝑡0 =
l, м
c 𝑙 =
Спуск
α1=
рад
𝑙0 =
м
ho=
м
ЕП0=
Дж
𝜔 0=
рад/c
Eкo=
Дж
Подъем
α2=
рад
𝑙 =
м
h=
м
ЕП=
Дж
𝜔= 0 р а д / c
Eк=0 Дж
т=
𝑟=
I=
кг
𝑑
2
м
кг∙м2
Атр =ЕП- ЕП0 Дж
Мтр=
Fтр=
Нм
Н
м
7. Найдите средние значения величин d, r, t 0 и l.
8 .Вычислите значения величин в столбцах «Спуск» и «Подъем» по формулам: ho и h - (5.2), (5.3); ЕП0 и ЕП - (5.1) и (5.4); 𝜔0 - (5.5); Eкo – (5.6); Атр –
(5.10); Мтр – (5.11); Fтр- (5.8).
9. Сделайте вывод о выполнении закона сохранения механической энергии при скатывании тела с наклонной плоскости.
З а д а н и е 3. Изучение зависимости момента инерции от распределения массы относительно оси вращения
В этом задании используется тело в виде крестовины, по которой могут перемещаться грузы (цилиндры). Все результаты измерений заносятся в табл. 5.3.
64
1. Определите массу т тела и радиус r оси тела, и запишите постоянную
установки (𝛼1 + 𝛼2 ).
2. Установите подвижные цилиндры на равном расстоянии b от оси вращения и измерьте это расстояние.
Примечания.
1. Когда грузы находятся
на одинаковом расстоянии от
оси вращения, тело должно
находиться в безразличном
положении равновесия на горизонтальны направляющих.
2.
Так как цилиндры имеют одинаковый размер, расстояние между центрами
грузов равно расстоянию ме
жду их торцами, которое
можно измерить значительно
точнее (рис. 5.2 ) .
Рисунок 5.2 - Схема расположения цилиндров
Таблица 5.3 - Данные зависимости момента инерции от распределения массы
относительно оси вращения
№ п.п.
b
t
𝑏2
I
𝛼1 + 𝛼2 =
рад
т=
кг
𝑟=
мм
𝑙0 =
м
1
2
3
3. Установите тело на направляющие на расстоянии 𝑙0 от нижней точки,
его положение фиксируется магнитом нажатием кнопки «Сброс» секундомера.
4. Нажмите кнопку секундомера «Пуск». При этом электромагнит отключится и тело начинает двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундо65
мер автоматически выключится. Запишите время движения тела до нижней
точки в табл. 5.3.
5. Отметьте расстояние 𝑙, на которое продвинется тело, поднимаясь по
инерции.
6. Повторите измерения пп. 3-5 при других расстояниях b цилиндров, относительно оси вращения.
7. Рассчитайте 𝑏 2 и момент инерции тела I по формуле (5.13) для определения момента инерции динамическим методом.
8. Постройте график зависимости (см. рекомендации построения и обрабо т к и графиков) I = f ( b ) и по графику определите момент инерции крестовины I К P и массу т подвижных грузов.
9. Сделайте выводы.
З а д а н и е 4. Оценка погрешности измерений
В качестве систематической погрешности в данных опытах следует
взять приборную погрешность, равную цене деления измерительного прибора.
Случайная погрешность определяется по разбросу выборки:
( 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 )
2
- максимальное и минимальное значение измеряемой вели∆=
где хmах и xmin
чины в серии из N повторных измерений. Этой границе доверительного интервала соответствует доверительная вероятность
1 𝑁−1
𝑃 =1−( )
2
В табл. 5.4 занесите средние значения прямых измерений, выполненных в
одном из упражнений и значения погрешностей этих величин - систематической и случайной.
Для каждой величины выберете наибольшую из погрешностей и рассчитайте наибольшую относительную погрешность 5 измерения каждой величины.
В окончательном выводе следует отметить для каких величин желательно увеличить (и как?) точность измерений, а для каких её можно и уменьшить без
66
ущерба для конечного результата.
Таблица 5.4 - Расчет погрешности
ВЕЛИЧИНА
название
значение
ПОГРЕШНОСТЬ
абсолютная
систематич. случайная
наибольшая
абсолютная
относит.
рад
𝛼1 + 𝛼2
—
т
кг
—
1о
м
—
1
м
r
м
t
с
3. В качестве относительной погрешности результатов измерений примите наибольшую из погрешностей прямых измерений.
Контрольные
вопросы
1. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. При каких
условиях он выполняется?
2.Дайте определение потенциальной и кинетической энергии.
3. Как рассчитать кинетическую энергию тела при скатывании его с
наклонной плоскости?
4.Укажите величины кинетической и потенциальной энергии при скатывании тела: в начале и в конце движения, в нижней точке и в произвольной точке.
5. Опишите характер движения тела по направляющим. Какая сила созда
ёт момент относительно оси вращения?
6. Как измеряют угловую скорость 𝜔 в данной работе?
7. Какие величины измеряют для определения скорости 𝜔, момента сил
трения, работы сил трения?
8. Какие уравнения лежат в основе динамических методов определения
момента инерции?
9. Что составляет основу методики расчётного метода определения величины I.
67
Лабораторная работа № 6. Проверка закона сохранения момента импульса
ЦЕЛЬ: проверить закон сохранения момента импульса и энергии при неупругом взаимодействии маятников, оценить погрешность измерений.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ:
Моментом импульса твердого тела относительно оси называют векторную величину


L  J
(6.1)
Момент импульса измеряется в 1кг∙м/с.
Момент импульса – вектор, его направление всегда совпадает с направ
лением угловой скорости  .
Производная момента импульса системы по времени равна суммарному
моменту всех внешних сил относительна данной оси.


dL
 M внешн .
dt
(6.2)
Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Для замкнутой системы Fвнешн  0 ; M внешн  0 ,


dL
 0; L  const .
dt
ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, секундомер, линейка
68
(6.3)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Рисунок 6.1 – Схема лабораторной установки
Установка состоит из двух физических маятников (1) (масса 𝑚1 и (2)
(масса 𝑚2 ), которые независимо могут вращаться вокруг общей оси О (рис.
6.1). Маятники снабжены магнитами М, с помощью которых они стягиваются и
могут вращаться вокруг оси О, как единое целое. Для изменения момента инерции к маятнику 1 может быть прикреплен добавочный груз Г (масса 𝑚г ).
На каждом маятнике красной меткой указано положение центра масс
(ц.м.), расстояние которого от оси вращения равны, соответственно, 𝑙1 и 𝑙2 .
Очевидно, центр масс маятника с добавочным грузом находится от оси
69
𝑙1г =
𝑚1 𝑙1 + 𝑚Г 𝑙Г
𝑚1 + 𝑚 Г
(6.4)
где 𝑙Г - расстояние центра груза от оси вращения.
Центр масс двух маятников с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии
𝑙12г =
𝑚1 𝑙1 + 𝑚2 𝑙2 +𝑚Г 𝑙Г
𝑚1 + 𝑚2 +𝑚Г
(6.5)
Если добавочный груз отсутствует, то это расстояние
(6.6)
Угол отклонения маятника от равновесия определяется по шкале Ш. В
положении равновесия маятники располагаются так, чтобы их визиры находились против нулевой отметки шкалы Ш. Это достигается с помощью винтов
В в основании установки.
Если отклонить один из маятников, и закрепить в отклоненном положении, а второй отклонить и отпустить, то он будет совершать колебательное
движение около положения равновесия.
Если же один из маятников отклонить из положения равновесия на угол а
(второй при этом оставить в положении равновесия) и отпустить, то после
столкновения маятников они начнут двигаться как одно целое и отклонятся от
положения равновесия на угол 𝛽.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Два физических маятника, имеющие общую горизонтальную ось вращения образуют замкнутую систему в момент прохождения ими положения равновесия (в этом положении моменты сил тяжести равны нулю, а других моментов относительно оси вращения просто нет). Следовательно, при прохождении
положения равновесия для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса:




I11  I 22  I11  I 22
70
(6.7)
где 𝐼1 и 𝐼2 - моменты инерции маятников относительно оси вращения;
𝜔
⃗⃗1 и 𝜔
⃗⃗2 - их угловые скорости в положении равновесия до их соударения;
 
1, 2 – их угловые скорости после взаимодействия.
До взаимодействия второй маятник покоится (𝜔
⃗⃗2 = 0 ) , а после взаимо 
действия оба маятника движутся как единое целое ( 1  2   ) и поэтому закон сохранения момента импульса в проекции на ось вращения принимает вид:
𝐼1 𝜔1 = ( 𝐼1 + 𝐼2 )𝜔
(6.8)
Момент инерции маятников можно найти, зная их периоды колебаний
Т = 2𝜋√
𝐼
(6.9)
𝑚𝑔𝑙
где l - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.
Таким образом, момент инерции маятника I
𝐼1 =
𝐼1Г =
𝑚1 𝑔𝑙1 Т1 2
4𝜋2
(без добавочного груза)
(𝑚1 + 𝑚Г ) 𝑔𝑙1Г Т1Г 2
4𝜋2
(6.10)
(с грузом)
момент инерции системы из двух маятников
𝐼12 =
𝐼12Г =
(𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑔𝑙12 Т12 2
4𝜋2
(без груза)
(𝑚1 + 𝑚Г +𝑚Г ) 𝑔𝑙12Г Т12Г 2
4𝜋2
(6.10)
(с грузом)
где 𝑙12 , 𝑙12Г - расстояние от оси до центра масс системы из двух маятников без дополнительного груза и с грузом;
𝑇12 , 𝑇12Г - период колебания системы из двух маятников (без груза и с
грузом).
При отклонении маятника от положения равновесия на угол α центр масс
его поднимется на высоту (рис. 6.2) h = l ( l - cos 𝛼).
71
Рисунок 6.2 - Отклонение маятника от положения равновесия
Так как до взаимодействия и после взаимодействия на маятник действует
только сила тяжести (консервативная), а момент силы сопротивления достаточно мал, из закона сохранения механической энергии
mgh =
𝐼𝜔2
(6.11)
2
можно найти угловую скорость маятника в момент прохождения положения
равновесия:
𝜔 =√
Где
𝐼𝜔2
2
2𝑚 𝑔𝑙(1−𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝐼
(6.12)
- энергия колеблющегося маятника при прохождении положения
равновесия,
mgh - энергия маятникa, отклоненного на угол α (при этом его центр масс
поднят на высоту h).
В наших опытах первоначально маятник 1 отклоняется от положения равновесия на угол α и, следовательно, его угловая скорость при прохождении положения равновесия (т.е. перед взаимодействием (столкновением) с маятником
В)):
𝜔1 = √
2𝑚 ∙𝑔𝑙1 (1−𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝐼1
72
(без добавочного груза)
(6.13)
𝜔1Г = √
2(𝑚1 +𝑚Г )𝑔𝑙1Г (1−𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝐼1Г
(с грузом)
После столкновения система из двух маятников отклоняется на угол 𝛽, и
следовательно, их начальная угловая скорость в положении равновесия:
𝜔12 = √
2(𝑚1 +𝑚2 )𝑔𝑙12 (1−𝑐𝑜𝑠𝛽)
𝜔12Г = √
𝐼1Г
(без добавочного груза);
2(𝑚1 +𝑚2 +𝑚Г )𝑔𝑙12Г (1−𝑐𝑜𝑠𝛽)
𝐼12Г
(6.14)
(с грузом).
З а д а н и е 1. Определение моментов импульсов и кинетической энергии маятников
1. С помощью винтов В (рис.6.1) установите маятники в свободном положении на нулевую отметку шкалы.
2. Измерьте расстояние 𝑙1 , 𝑙2 и 𝑙Г запишите их значение в табл. 6.1. Запишите также значения т 1 , т 2 и тГ.
3. Рассчитайте расстояние от оси вращения до центра масс маятников
𝑙1Г , 𝑙12 и 𝑙12Г .
4. Отведите в сторону маятник 2, закрепите его. Определите время десяти
колебаний 𝑡1 маятника 1 и время 10 колебаний маятника 1 с добавочным грузом 𝑡1Г . Определите время 10 колебаний системы, состоящей из двух маятников, без дополнительного груза t12 и с грузом t12- Полученные значения занесите в табл. 6.1.
5. Рассчитайте периоды колебаний 𝑇1 , 𝑇1Г , 𝑇12 , 𝑇12Г и моменты инерции
маятников 𝐼1 , 𝐼1г , 𝐼12 , 𝐼12Г .
6. Отклоните маятник 1 (без груза) на угол 𝛼1 (по указанию преподавателя) и запишите его значение в табл. 6.1. Маятник 2 при этом находится в положении равновесия. Опустите маятник 1 и отметьте угол 𝛽, на который отклонится система из двух маятников после взаимодействия. Опыт повторите не
̅
менее 5 раз и рассчитайте среднее значение угла 𝛽.
73
Таблица 6.1 – Результаты измерений
Опытные данные
Величина
Расстояние до центра масс
системы..........................…..
𝑚1 =
𝑚2 =
𝑚г =
𝑙1Г =
системы..........................…..
𝑙1=
𝑙2 =
𝑙12 =
𝑙г =
системы..........................…..
N=10
𝑙12Г =
𝑡1 = c
𝑡1Г = 𝑐
𝑡12 = 𝑐
𝑇1 = c
𝑇1Г = 𝑐
𝑇12 = 𝑐
𝑡12Г = 𝑐
𝑇12Г = 𝑐
Момент инерции
𝐼1 =
системы..........................…..
Без груза 𝛼1 =
𝐼1Г =
№
системы..........................…..
𝛽1
1
𝐼12 =
2
системы..........................…..
3
𝐼12Г =
4
5
Среднее
С грузом 𝛼2 =
№
𝛽2
1
2
3
4
5
Среднее
Проверьте: все ли обведенные графы заполнены
Угловая скорость
Системы……………………
𝜔1Г = √
Системы……………………
𝜔12 = √
Системы……………………
𝜔12Г = √
74
Значение
Повторите опыт (п.п. 6-7), прикрепив к маятнику 1 добавочный груз Г.
7. Рассчитайте угловые скорости маятников до взаимодействия 𝜔1 и после 𝜔12 , 𝜔1Г , и 𝜔12Г.
9.Рассчитайте моменты импульсов и энергию маятников в первом и во
втором опытах. Результаты занести в табл.6.2.
Таблица 6.2. - Моменты импульсов и энергия маятников
Без груза
С грузом
𝐼1 𝜔1
Отклонение
𝐼12 𝜔12
∆
𝐼1Г 𝜔1Г
𝛿
Отклонение
𝐼12Г 𝜔12Г
∆
𝛿
10.Рассчитайте энергию маятников до и после взаимодействия. Рассчитайте коэффициент восстановления для первого и второго случая, результаты
внесите в таблицу 6.3.
Таблица 6.3. – Энергия маятников и коэффициент восстановления
Без груза
С грузом
0,5 𝐼1 𝜔12
2
0,5 𝐼12 𝜔12
Коэффициент
восстановления
2
0,5 𝐼1Г 𝜔1Г
2
0,5 𝐼12Г 𝜔12Г
Коэффициент
восстановления
11.Сделайте выводы.
З а д а н и е 2. Оценка погрешности измерений
В качестве систематической погрешности в данных опытах следует взять
приборную погрешность, равную цене деления измерительного прибора.
Случайная погрешность определяется:
а) по разбросу выборки:
∆=
(𝑥max − 𝑥min)
2
где хmах и xmin - максимальное и минимальное значения измеряемой величины в серии из N повторных измерений. Этой границе доверительного интервала соответствует доверительная вероятность
75
1 𝑁−1
𝑃 =1−( )
2
б) По методу Стюдента с доверительной вероятностью Р=0,95 (по указанию преподавателя).
1. В табл. 6.4 занесите средние значения прямых измерений, выполненных в одном из упражнений и значения погрешностей этих величин - систематической и случайной.
2. Для каждой величины выберете наибольшую из погрешностей и рассчитайте наибольшую относительную погрешность 𝛿 измерения каждой величины.
В окончательном выводе следует отметить, для каких величин желательно увеличить (и как?) точность измерений, а для каких её можно и уменьшить
без ущерба для конечного результата.
Таблица 6.4 - Средние значения прямых измерений,
Измеряемая величина Абсолютная погрешность
Наибольшая из них
обозначе- среднее систематич. ∆s случайная ∆ абсолют. ∆
относит. 𝛿
ние
значение
1
2
3
4
5
6
—
𝒎𝟏 , кг
—
𝒎𝟐 , кг
—
𝒎г , кг
—
𝒍𝟏 , м
—
𝒍𝟐 , м
—
𝒍г , м
—
𝒕𝟏 , с
—
𝒕𝟏𝟐 , с
—
𝒕Г , с
—
𝒕𝟏г, с
𝒕𝟏𝟐г, с
—
𝜶𝟏 ,
—
𝜶𝟐
𝜷𝟏
𝜷𝟐
76
3. Погрешность измерения величины момента импульса и энергии в первом приближении можно считать равной (во всяком случае, не выше) относительной погрешности менее точно измеренной величины (в табл.6.4). С учетом
этого сделайте вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии в
проведенных опытах и степени упругости ударов.
Контрольные
вопросы
1. Что называется моментом импульса материальной точки, тела
Как направлен момент импульса?
2. Запишите закон сохранения момента импульса для замкнутой системы.
3. Запишите закон сохранения момента импульса системы из двух маятников.
4. Как можно определить начальную скорость маятника до взаимодействия?
Какие величины измеряют для этого?
5. От каких величин зависит момент инерции маятника? Как его изменяют в
данной установке?
6. Что такое центр масс?
7. Как рассчитывают расстояние до центра масс системы из двух маятников?
8. От чего зависит угловая скорость маятника перед взаимодействием?
9. Чему равна энергия маятника: перед взаимодействием? после взаимодействия.
77
Литература
Основная:
1. Бондарев Б.В. Курс общей физики в 3-х кн. : Учебное пособие. – М., 2006.
2. Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн.: Учебное пособие. М.: АСТ, 2006.
3. Трофимова Т.И. Краткий курс физики: Учебное пособие для вузов. – М.:
Высшая школа, 2004.
4. Трофимова Т.И. Краткий курс физики: Учебное пособие. – М., 2006.
Дополнительная:
1. Червова А.А., Толстенева А.А., Груздева М.Л. Расчет погрешности измерений при выполнении лабораторных работ по физике с использованием компьютерных технологий. Методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПА, 2003.
78
Содержание
Введение
1.
3
Основные правила проведения и обработки результатов эксперимента
5
2.
Лабораторная работа №1. Определение плотности вещества
23
3.
Лабораторная работа №2. Изучение закона сохранения им- 29
пульса
4.
Лабораторная работа №3. Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека
5.
Лабораторная работа №4. Определение момента инерции
диска. Проверка теоремы Штейнера
6.
8.
45
Лабораторная работа №5. Изучение закона сохранения механической энергии
7.
38
55
Лабораторная работа №6. Проверка закона сохранения момента импульса
65
Литература
75
79