Задания районного (городского) этапа Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год) 9 класс

Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
9 класс
Задание 9.1. Время встречи изменить нельзя
Незнайка и Знайка выехали на велосипедах от своих домов одновременно и поехали навстречу
друг другу. Через 12 минут они встретились и продолжили движение. Знайка доехал до домика
Незнайки и повернул обратно, а Незнайка доехал до домика Знайки и также поехал обратно. Через
какой промежуток времени они вновь встретятся, если каждый из них весь путь проезжал с неизменной скоростью, но скорость Незнайки на 20% больше скорости Знайки?
Решение. I способ. Знайка и Незнайка до первой встречи вместе проедут расстояние L1 =1t1
+1t1. До второй встречи они проедут расстояние L2 =1t2 +1t2, где t2 – время от первой встречи до
второй. Герои проедут до второй встречи расстояние L2 =2 L1. Тогда мы получим систему уравнений:
L1  v1t1  v 2 t1

2L1  v1t 2  v 2 t 2
Решая эту систему уравнений относительно t2, получим t2=2t1=24 мин.
Ответ: следующая встреча произойдет через 24 с после первой.
II способ. Задача может решена путем рассуждений, без записи формул. Принципиальным являются два момента: 1) Расстояние, которое Знайка и Незнайка проехали до первой встречи, равно
расстоянию между их домиками; 2) Чтобы встретиться второй раз, им нужно вместе проехать это
расстояние дважды – сначала удаляясь друг от друга, а потом двигаясь навстречу друг другу. Отсюда следует, что время, прошедшее от первой встречи в два раза больше времени, прошедшего
от начала движения до первой встречи.
Примерные критерии оценивания задания 9.1
Знает формулу для определения пути при равномерном движении
Правильно записал формулу для определения расстояния при первой встрече
Правильно записал формулу для определения расстояния при второй встрече
Правильно записал, что L2 =2 L1.
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
5 балл
Задание 9.2. На взлет
Определите время разгона до взлета самолета массой 10 т, если он взлетает после достижения скорости 216 км/ч. Сила тяги двигателя растет линейно со временем от нуля до максимального значения 40 000 Н в течение первых 10 с, а потом остается постоянной. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. I способ. С увеличением силы от 0 до 4104 Н увеличивается и ускорение на первом участке в течение времени от 0 до 10 с. Среднее значение ускорения на первом участке можно
определить следующим образом:
Fн  Fк
F F
2
a ср1 
 н к (1)
m
2m
На втором участке ускорение будет определяться по второму закону Ньютона
Fк
(2).
m
Скорость в момент отрыва самолета будет определяться =1к+a2t2 или
= aср1t1+a2t2 (3).
Начальная скорость самолета на первом участке равна нулю. Решая совместно уравнения 1, 2 и 3
относительно t2, с учетом, что Fн=0, получим:
Fк
  a ср1t1   2m t1 m 1
t2 =


 t1 .
Fк
a2
Fк 2
m
m 1
 t1 ) .
Время разгона самолета будет определяться как t=t1+t2 или t  (
Fк 2
a 2
104  60 1
Выполним вычисления t  (
  10)  15  5  20 (c) .
4  104 2
Ответ: время разгона самолета равно 20 с.
Примерные критерии оценивания задания 9.2
Знает формулу второго закона Ньютона
1 балл
Знает формулу определения скорости через ускорение
1 балл
Правильно записал формулу для среднего значения ускорения на 1 балл
участке разгона
Правильно записал выражение для определения времени для вто- 1 балл
рого участка
Правильно записал конечное выражение для определения времени 1 балл
Правильно выполнил вычисления
1 балл
Итого 6 балл
II способ. Воспользуемся формулой Ft = pк – pн.
Обозначим искомое время за t, которое будет равно t, тогда суммарный импульс силы найдем как
Fсрt1+Fmax(t – t1) = m или
Fmaxt1/2+Fmax(t – t1) = m.
m 1
 t1 )
Отсюда t  (
Fmax 2
Задание 9.3. Подводная часть тела
Тело прямоугольной формы высотой 16 см плавает в жидкости. Какова высота погруженной части
тела, если плотность жидкости в 4 раза больше плотности тела?
Решение. Ввиду того, что плотность жидкости в 4 раза больше плотности тела (имеется ввиду, что оно однородно) оно будет плавать в жидкости. Значит сила Архимеда (она зависит от объема погруженной части
тела) будет равна сила тяжести Fт = mтg (она постоянна), т.е жVпчтg =
H
mтg . Учитывая, что Vпчт = Sh2, а mт =V получим: h 2 
. Отсюда
ж
получим
численное
значение
погруженной
части
тела
прямоугольной
  16 16
h2 

 4 (см).
4
4
Ответ: подводная часть тела прямоугольной формы имеет высоту 4 см.
формы:
Примерные критерии оценивания задания 9.3
Знает формулу архимедовой силы
Знает формулу силы тяжести
Правильно записал условие плавания тела
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
Итого 5 балл
Задание 9.4. Электрическая цепочка
Каждый резистор цепи имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, протекает ток 1 А. Каково напряжение между точками А и В?
Решение. Обозначим резисторы, как показано на верхнем рисунке. Через резисторы R7 и R8
протекает ток силой 1 А, потому что резисторы включены последовательно. Сопротивление R78
=2R=2 Ом, а напряжение U78=2 В. Сила тока через резистор R6 будет равна I6= U78/R6=2 A.
Через резистор R5 будет равен I5 =I6+I78=3 A, а
напряжение на нем 3 В.
Напряжение на резисторе R4 будет определяться
U4=U5+U678=5 В. Через это резистор будет протекать ток
I4=5 А.
Через резистор R3 будет протекать ток I3, который
можно определить: I3=I4+I5=8 А. Напряжение на нём будет равно U3= 8 В.
Напряжение на резисторе R2 U2=U3+U4. U2=13 В.
Через резистор R2 будет протекать ток I2= U2/R2, I2= 13 A.
Через резистор R1 ,будет протекать ток I1=I2+I3 или
I1=13 А + 8 А=21 А, а напряжение на нем будет равно
U1=21 В.
Напряжение между точками А и В будет равно
UAB=U1+U2=21 B +13 B=34 B.
Ответ: UAB=34 B.
Примерные критерии оценивания задания 9.4
Знает формулу закона Ома для участка цепи
Знает формулу для определения силы тока в неразветвленной части цепи
Знает закономерности последовательного соединения резисторов
Знает закономерности параллельного соединения резисторов
Правильно нарисовал эквивалентные цепи
Правильно определил напряжение между точками А и В
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
4 балл
1
9 балл
Задание 9.5. Догадайся сам…
Имеется две одинаковых кастрюли с водой: в одной из них кипяченая вода, в другой - сырая. Как
определить, в какой кастрюле находится сырая вода? В вашем распоряжении имеются кастрюли
меньшей емкости и нагреватель.
Решение. Если в одинаковые кастрюли налить одинаковое количество воды сырой и кипяченной и
затем их немного нагреть, то большее количество воздушных пузырьков на поверхности кастрюле
будет наблюдаться там, где сырая вода.
Примерные критерии оценивания задания 9.5
Правильно ответил на вопрос
Дал правильное объяснение
1 балл
2 балл
Итого 3 балл
Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
10 класс
Задание 10.1. Вмороженный камешек
Ледяной кубик с вмороженным в него небольшим камешком опустили в цилиндрический сосуд с
водой. При этом кубик стал плавать, полностью погрузившись в воду. Во сколько раз объем камешка меньше объема льда?
Решение. Если кубик, полностью погрузившись в воду, плавает, то на основании условия плавания тела сила тяжести равна архимедовой силе: Mg=FA. Масса кубика складывается из массы льда
mл и массы камешка mк, т.е. M= mл+ mк или M= Vлл+ Vкк. В свою очередь объем погруженной
части тела будет складываться из объема льда и объема камешка, т.е. V= Vл+ Vк. На основании
этих рассуждений можно записать: (Vлл+ Vкк)g = (Vл+ Vк)вg. Решая это уравнение относительV
1000  900
1
V
V   л
 .
но к , получим к  в
. Откуда к 
Vл 2200  1000 12
Vл
Vл к  в
Ответ: Объем камешка в 12 раз меньше объема льда.
Примерные критерии оценивания задания 10.1
Знает формулы: архимедовой силы FА=жVпчтg, массы тела m=V
Знает условие плавания тел Mg=FA
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
4 балл
Задание 10.2. Равновесное состояние
Балка массой М подвешена горизонтально с использованием двух блоков одинакового радиуса R
и четырех нитей (1, 2, 3 и 4), одна из которых (1) перекинута через блоки, как показано на рисунке.
Определите силы натяжения каждой нити, если длина балки равна 8R. Нити и блоки считать невесомыми. Трением пренебречь.
Решение. На основании условия покоя балки:
Т2 + Т3 + Т4 = Mg (1).
Условие горизонтальности балки (сумма
моментов сил относительно точки О равна нулю):
Т24R + Т3R – Т44R = 0 или
4Т2 + Т3 – 4Т4 = 0 (2).
Для равновесия первого блока
-Т32R + Т2R = 0 или
Т2=2 Т3. (3).
Решая систему трех уравнений
Т 2 Т3 Т 4  Mg

4T2  T3  4T4  0
T  2T
3
 2
получим значение сил натяжения нитей: T1  T3 
4
Mg;
21
T2 
8
Mg
21
T4 
3
Mg .
7
Примерные критерии оценивания задания 10.2
N 
Знает условия равновесия тела: 1)  Fi  0 2)
i 1
M  0
Правильно выполнен чертеж к задаче
Правильно записано условие покоя балки: Т2 + Т3 + Т4 = Mg
Правильно записано условие горизонтальности балки
4Т2 + Т3 – 4Т4 = 0
Правильно записано условие равновесия первого блока
Правильно составлена система уравнений
Правильно определил силу натяжение нитей
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
Итого 7 балл
Задание 10.3. Столкновение тел
Первое тело, брошенное с Земли, вертикально вверх
сталкивается с точно таким же вторым телом, падающим
с высоты 20 м с нулевой скоростью. Определите начальную скорость первого тела и высоту, на которой произошло столкновение, если время падения второго тела оказалось в 2 раза больше времени его падения при отсутствии столкновения с другим телом. Движение тел начинается одновременно, столкновение центральное и абсолютно упругое.
Решение. Запишем зависимость координаты тел от
времени для каждого тела:
gt 2
gt 2
gt 2
Y1  0 t 
и Y2= H 
. В момент встречи координаты тел равны, т.е. H 
=
2
2
2
H
gt 2
0 t 
. Откуда время столкновения будет определяться t ст 
. Тогда высота, на которой
o
2
gH
произойдет столкновение, будет определяться h  H(1  2 ) . Время падения второго тела без
22
2H
gt 221
. Значит t 21 
, t21=2 c.
g
2
При абсолютно упругом столкновении тел, выполняются законы сохранения импульса и
энергии. При ударе шарики обменяются скоростями, и дальше будут продолжать движение по
траектории другого тела, по которой то двигалось бы в отсутствии соударения. Таким образом,
время падения второго тела в результате столкновения будет равно полному времени движения
первого тела (от начала движения до возвращения на Землю) в отсутствии столкновения со вто

рым телом. Таким образом t 22  t1  2 0 . По условию задачи t22=2t21. Значит 2 0 =4 или 0=20
g
g
м/с.
10  20
)  15 (м).
Высота, на которой произошло столкновение, будет равна: h  20(1 
2  400
Ответ: 20 м/с – начальная скорость первого тела; 15 м – высота, на которой произошло
столкновение.
столкновения можно определить из уравнения: H 
Примерные критерии оценивания задания 10.3
Правильно записал уравнение координат, движущихся тел
Правильно получил выражение для определения времени встречи
Правильно записал выражение для определения высоты, на которой произошло столкновение
Правильно определил время падения второго тела без столкновения с первым телом
Правильно определил характер движения тел после столкновения
Правильно определил время движения второго тела с учетом
столкновения с первым телом
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
2 балл
1 балл
1 балл
8 балл
Задание 10.4. Электрическая цепочка
Пятнадцать одинаковых отрезков проволоки спаяли в виде пятиконечной звезды (см. рис.). Сопротивление каждого отрезка равно 2 Ом. Определите сопротивление цепи между точками А и В.
А
В
Решение. Если внимательно посмотреть на эту фигуру, то её элементарной ячейкой является
треугольник сопротивлений.
Сопротивление этого треугольника равно r = 4/3 Ом. Начертим эквивалентную электрическую схему «звездочки»
Сопротивление цепи между точками А и В будет равно RAB=16/15 Ом.
Примерные критерии оценивания задания 10.4
Правильно определил элементарную «ячейку» электрической цепи
Правильно нарисовал эквивалентную цепь
Знает формулу нахождения сопротивления при последовательного
соединения проводников
Знает формулу нахождения сопротивления параллельного соединения проводников
Правильно общее сопротивление электрической цепи
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
5 балл
Задание 10.5
Решение. На основании закона сохранения и превращения энергии 80% кинетической энергии льда идет на его нагревание от -100 до 0 0С, плавления при температуре 0 0С, нагревания воды
от 0 до 100 0С, а потом её парообразование при 100 0С.
0,8m2
=mcл(t2-t1)+m+mcв(t3-t2)+mL. После сокращения пра2
вой и левой части уравнения на массу тела и решения данного уравнения относительно скорости 
и подстановки числовых значений, взятых из справочника получим: 2,9103 м/с.
На основании этого запишем
Примерные критерии оценивания задания 10.5
Знает формулу кинетической энергии тела
Правильно представил цепь превращения твердого льда в пар
Знает формулы нагревания, плавления и парообразования
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
5 балл
Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
11 класс
Задание 11.1. Вверх, вниз
Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 15 0 с горизонтом.
Найдите коэффициент трения тела о плоскость, если время его подъема в два раза меньше времени спуска.
Решение. Первый способ.
При движении тела вверх по наклонной плоскости на него
ствуют три силы (см. рис).
На основании второго закона Ньютона
можно записать


 mg  Fр  Fтр
a
.
m
В проекции на ось х и ось y можно записать второй заНьютона следующим образом
 mg sin   Fтр
 mg cos   Fр
(1) a y1 
a х1 
 0 (2).
m
m
Cила трения Fтр=N==Fр=mgcos (3).
Решая совместно уравнения 1-3, получим
ax1= -g(sin+cos) (4).
При движении тела вниз, рассуждая аналогично, получим
ax2=g(sin-cos) (5).
дей-
кон
Перемещение тела при движении вверх определяется
a t2
Sx1   x1 1 . Решая совместно уравнением 4, получим:
2
t2
Sx1  g(sin    cos ) 1 (6).
2
При движении тела вниз, перемещение будет определяться Sx 2 
a x 2 t 22
. Решая совместно с
2
t 22
пятым уравнением, получим: Sx 2  g(sin    cos )
(7).
2
Так как перемещения тел равны, то, решая совместно уравнения 6 и 7 относительно коэффи3 sin 
циента трения, получим: =
, численное значение =0,16.
5 cos 
Ответ: коэффициент трения тела о плоскость равен 0,16.
Примерные критерии оценивания задания 11.1
Знает формулу второго закона Ньютона
Правильно выполнил чертеж для движения тела
Правильно нашел проекции сил на ось движения
Правильно записал второй закон Ньютона в скалярной форме
Знает формулу перемещения тела
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
7 балл
Задание 11.2. Камешек и лед
Ледяной кубик с вмороженным в него небольшим камешком опустили в цилиндрический сосуд с
водой. При этом уровень воды в сосуде повысился на 4 см, а кубик стал плавать полностью погрузившись в воду. На сколько изменится уровень воды в сосуде, когда лёд полностью растает?
V
1
Решение. Объем камешка в 12 раз меньше льда (см. решение задачи 10.1) к  , т.е.
Vл 12
Vл=12Vк.
С другой стороны Vк+Vл=SH, где S-площадь цилиндрического стакана, H – высота поднятия
жидкости в сосуде, после опускания в него ледяного кубика. Или
13Vк=SH
(1).
После того как вес лед растает и превратится в воду будет выполняться условие: масса воды
будет равна массе льда mл=mв или лVл=вVв. Выразим отсюда объем воды

12 л
Vв  л Vл 
Vк
(2).
в
в
Объем камешка Vк и объем, образовавшейся воды изо льда, Vв будут связаны соотношением
(см. 3 ситуацию на рис.)
Vк + Vв = Sh2
(3).
Решая уравнения 1 – 3 относительно h2 получим:
 12л  H
  .
h 2  1 

в  13

Откуда h2=3,63 см, h1=0,37 см.
Ответ: уровень воды в сосуде увеличится по сравнению с первоначальным уровнем воды в
сосуде на 3,63 см и понизится по сравнению уровнем воды с плавающим в нём кубиком на 0,37
см.
Примерные критерии оценивания задания 11.2
Знает формулы: архимедовой силы FА=жVпчтg, массы тела m=V
Знает условие плавания тел Mg=FA
Правильно воспользовался условием равенства масс льда и воды
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
5 балл
Задание 11.3. Остановись мгновенье
Два стальных шарика диаметром 2 см сталкиваются друг с другом и разлетаются в разные стороны. Оцените время их взаимодействия, если соударение центральное и абсолютно упругое.
Решение.
При столкновении шариков в них возникает упругая деформация,
которая начинается передаваться из более напряженной области в
менее напряженную, т.е. начинает распространяться возмущения со
скоростью, равной скорости звука в данной среде. Колебания распространяются до противоположной стороны шарика, отражаются на
границе раздела сталь-воздух и начинают двигаться в противоположном
направлении. Далее, когда возмущения доходят до места соударения,
«слои» начинают «смещаться» (3). Шарики незначительно увеличиваются в своих размерах и отталкиваются.
Время взаимодействия можно оценить по времени прохождения возмущений от одной части
шарика и обратно. Это расстояние соизмеримо с двойным диаметром шарика, т.е. время взаимодействие шариков можно оценить следующим образом t 2D/ст , t 2210-2 /5,2103  7,810-6
(с).
Примерные критерии оценивания задания 11.3
Привел правильные рассуждения
2 балл
Правильно записал формулу для оценивания время взаимодей- 1 балл
ствия шариков
Правильно выполнил вычисления
1 балл
Итого 4 балл
Задание 11.4.
Прибор питается от батареи, состоящей из N аккумуляторов, соединенных параллельно. При
каком N мощность батареи будет максимальной, если потребляемая прибором мощность при N=5
в 16 раз больше, чем при N=1?
Мощность, выделяемая на внешней цепи, определяется P=I2R. Используя закон Ома для за
мкнутой цепи можно записать I 
, где  - ЭДС источника rб – внутреннее сопротивление
rб  R
батареи, R - сопротивление прибора. Так как аккумуляторы подключаются параллельно, то внутреннее сопротивление батареи будет определяться rб =r/N, а ЭДС будет оставаться неизменной.
2
R , а при пяти
При наличии одного аккумулятора мощность Р1 будет определяться P1 
r
2
(  R)
N1
параллельно соединенных аккумуляторов мощность Р5 - P5 
2
R.
r
2
(
 R)
N5
Отношение мощностей при подключении к нагрузке 5 и 1 аккумулятора Р5 : Р1 равно 16,
2
R
r
2
(
 R)
P5
(r  R ) 2
N5
т.е. 

 16 .
r
2
P1
2
 R)
R (
r
N5
2
(  R)
N1
r
 R )2
N1
Выражение
 16 решим относительно R.
r
2
(
 R)
N5
После преобразований получим: R=r/15 (1).
Максимальная мощность выделяемая в приборе, сопротивление которого R, будет наибольшей в том случае, когда сопротивление прибора будет равно внутреннему сопротивлению батареи
r
 R (2) . Решая совместно уравнения 1 и 2, можно утверждать, что
аккумуляторов, т.е.
N
наибольшая мощность, выделяемая на приборе будет, если включены параллельно 15 аккумуляторов.
(
Ответ: количество аккумуляторов равно15.
Примерные критерии оценивания задания 11.4
Знает формулу для вычисления мощности постоянного тока
Знает формулу закона Ома для замкнутой цепи
Знает формулу для нахождения общего сопротивления при параллельном соединении одинаковых проводников
Знает условие при котором в цепи выделяется максимальная мощность
Правильно получил конечное выражение
Правильно выполнил вычисления
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
6 балл
Задание 11.5. Циклический процесс
Порция гелия в циклическом процессе вначале адиабатически расширяется, при этом температура газа уменьшается от Т1 до Т2, затем сжимается изобарно до первоначального объема и,
наконец, нагревается изохорно до первоначального давления. Найдите наименьшее значение температуры в этом цикле.
Примечание: уравнение адиабаты pV = const. Показатель адиабаты  для одноатомного газа равен 5/3,
для двухатомного 7/5, для газа, молекулы которого состоят из трех и более атомов, =4/3 .
Решение. Начертим этот процесс в координатах (P,V).
Через точки 1, 2 и 3 проведем изотермы. Очевидно, что
изотерма, проходящая через точку 3 имеет наименьшую
температуру Тmin=Т3.
Для определения этой температуры составим необходимые уравнения.

Для участка 12
Для участка 23
Для участка 31
p 2  V1 
   (1).
р1 1 =
p1  V2 
V2 V3
V T

или 1  3 (2)
T2 T3
V2 T2
p 3 p1

(3).
T3 T1
V
р2V2 или

Из уравнения 3 и 1 получим
V 
p
p
T3  T1 3  T1 2  T1  1  .
p1
p1
 V2 

T 
Если в последнее выражение подставить уравнение 2, то оно примет вид T3  T1  3  . Решая по T2 
1
следнее уравнение относительно Т3, окончательно получим: T3  Tmin
 T    1
  2  ,
 T1 
где показатель адиабаты гелия равен =5/3, потому что он является одноатомным газом.
Примерные критерии оценивания задания 11.5
Правильно начертил график замкнутого цикла
Правильно определил точку на графике, в которой температура
наименьшая
Правильно записал уравнение адиабаты процесса 1 - 2
Правильно записал уравнение изобарного процесса для участка 23
Правильно записал уравнение изохорного процесса для участка 31
Правильно записал конечное выражение
Итого
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
6 балл