stup496

Федеральное агентство по образованию
Пензенский государственный университет
Кафедра Высшей и прикладной математики
Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
Учебное пособие
для студентов-заочников инженерно-технических специальностей
ЧАСТЬ I
Пенза 2009
Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г.
“КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ”, часть 1
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей Пензенского государственного университета, составлено на основе программы курса высшей математики с учётом числа часов, отводимых для данной дисциплины учебным планом, а
также профиля подготавливаемых специалистов.
Учебное пособие состоит из 2-х частей. В данной первой части пособия
содержатся задания для 5 контрольных работ, выполняемых в первом и втором семестрах, приводятся решения типового варианта контрольных работ, в
которых содержатся краткие теоретические сведения по каждой изучаемой
теме.
2
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
СОДЕРЖАНИЕ
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ………………………………………………… 4
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ...................................................... 4
ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................................................... 4
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ…………………………………………………………6
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1……………..11
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. ...................................... 18
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ. ........... 24
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ .................................................................... 25
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ....29
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2 …………….33
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ…………38
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3…………….43
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................................................ 43
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ. ............................................................................... 43
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ...................................................................................................... 45
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.............................................................................................................. 48
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ ............................................................................................................ 50
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ……………………………………………………………………………….53
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4…………….54
СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ........................................................................ 54
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ................................................................................................... 60
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………………………………………62
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ........................................................................... 67
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ........................................................ 68
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ................................................................ 68
1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала. .............................. 68
1.2 Интегрирование подстановкой............................................................................... 69
1.3 Интегрирование по частям..................................................................................... 70
1.4 Интегрирование рациональных функций. ............................................................... 72
1.5 Интегрирование тригонометрических функций.................................................... 75
2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................................................................................... 77
2.1 Несобственные интегралы ...................................................................................... 79
2.2 Вычисление площадей плоских фигур....................................................................... 82
2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой. .................................................................. 85
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………
88
ТАБЛИЦЫ ВАРИАНТОВ…………………………………………………………………..93
3
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебнику и решения задач, указанных в каждой теме. Следует также внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в
данном пособии к каждой теме. При этом следует руководствоваться следующими указаниями:
1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради в рукописном виде
(набранные на компьютере контрольные работы не рассматриваются). На внешней
обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр,
номер контрольной работы и дата ее отправки в институт. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые
используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на
чертеже.
Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3—4 см.
2. После получения работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан
в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.
3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена несамостоятельно, то она не
будет зачтена, даже если в этой работе все задачи решены верно.
4. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы. При необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.
5. В данном пособии представлены задачи, представляющие необходимый минимум
знаний по математике, который должен усвоить студент для успешного обучения в университете
и сдачи экзаменов или зачётов.
6. Каждый студент выполняет свой вариант контрольной работы, который определяется по двум последним цифрам зачётной книжки. Номера заданий для соответствующего варианта даны в табл. 1 (с. 97 данного пособия).
ЛИТЕРАТУРА
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1973 - 2007.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: Наука, 1975.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М,: Наука,
1976—1978, т. 1, 2.
4
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М. Айрис Пресс,
2007, часть 1,2.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С. Краткий курс высшей математики. —
М.: Высшая школа, 1978, т. 1, 2.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. – М. Высшая школа, 1999, часть 1,2.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1955—1977.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
в первом семестре
Тема 1. Элементы линейной алгебры
Письменный Д.Т., часть 1, § 1-4.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 4-5.
Тема 2. Элементы векторной алгебры
Ефимов, гл. 7—10, Письменный Д.Т., часть 1, § 5-8.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 2.
Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Ефимов, гл. 1—4, Письменный Д.Т., часть 1, § 9-11.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 1.
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Ефимов, гл. 11—13, Письменный Д.Т., часть 1, § 12.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 3.
Тема 5. Комплексные числа
Письменный Д.Т., часть 1, § 27, 28. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 7.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 12-27).
Тема 6. Введение в математический анализ
Пискунов Н. С., часть 1, гл.1-2, Письменный Д.Т., часть 1, § 13 - 19.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 6.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 27-30).
5
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
1-10. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1;
г) А А-1; д) А-1А.
æ 2 -1 -3 ö
æ 2 -1 2 ö
ç
÷
ç
÷
1.
А= ç 8 -7 -6 ÷ ,
В= ç 3 -5 4 ÷ .
ç -3 4 2 ÷
ç1 2 1÷
è
ø
è
ø
2.
æ 3 5 -6 ö
ç
÷
А= ç 2 4 3 ÷ ,
ç -3 1 1 ÷
è
ø
æ 2 8 -5 ö
В= çç -3 -1 0 ÷÷ .
ç 4 5 -3 ÷
è
ø
3.
æ 2 1 -1ö
ç
÷
А= ç 2 -1 1 ÷ ,
ç1 0 1 ÷
è
ø
æ3 6 0 ö
ç
÷
В= ç 2 4 -6 ÷ .
ç 1 -2 3 ÷
è
ø
4.
æ -6 1 11ö
ç
÷
А= ç 9 2 5 ÷ ,
ç 0 3 7÷
è
ø
æ3 0 1ö
ç
÷
В= ç 0 2 7 ÷ .
ç 1 -3 2 ÷
è
ø
5.
æ 3 1 2ö
ç
÷
А= ç -1 0 2 ÷ ,
ç 1 2 1÷
è
ø
æ 0 -1 2 ö
ç
÷
В= ç 2 1 1 ÷ .
ç3 7 1÷
è
ø
6.
æ2 3 2 ö
ç
÷
А= ç 1 3 -1 ÷ ,
ç4 1 3 ÷
è
ø
æ 3 2 -1 ö
ç
÷
В= ç 3 1 2 ÷ .
ç5 3 0 ÷
è
ø
7.
æ 6 7 3ö
А= çç 3 1 0 ÷÷ ,
ç2 2 1÷
è
ø
æ2 0 5 ö
ç
÷
В= ç 4 -1 -2 ÷ .
ç4 3 7 ÷
è
ø
8.
æ -2 3 4 ö
ç
÷
А= ç 3 -1 -4 ÷ ,
ç -1 2 2 ÷
è
ø
æ3 3 1ö
ç
÷
В= ç 0 6 2 ÷ .
ç1 2 2÷
è
ø
6
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1
9.
æ 1 7 3ö
ç
÷
А= ç -4 9 4 ÷ ,
ç 0 3 2÷
è
ø
æ 6 5 2ö
В= çç 1 9 2 ÷÷ .
ç 4 5 2÷
è
ø
10.
æ2 6 1ö
А= çç 1 3 2 ÷÷ ,
ç0 1 1÷
è
ø
æ 4 -3 2 ö
В= çç -4 0 5 ÷÷ .
ç 3 2 -3 ÷
è
ø
Êàô ÂèÏÌ
11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её:
а) по формулам Крамера,
б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
в) методом Гаусса.
11.
ì 2 х1 + х2 + 3 х3 = 7,
ï
í 2 х1 + 3 х2 + х3 = 1,
ï3 х + 2 х + х = 6.
2
3
î 1
13.
ì3 х1 - х2 + х3 = 12,
ï
í х1 + 2 х2 + 4 х3 = 6,
ï5 х + х + 2 х = 3.
î 1
2
3
15.
ì3 х1 - 2 х2 + 4 х3 = 12,
ï
í3 х1 + 4 х2 - 2 х3 = 6,
ï 2 х - х - х = -9.
î 1
2
3
17.
ì 4 х1 + х2 - 3 х3 = 9,
ï
í х1 + х2 - х3 = -2,
ï8 х + 3 х - 6 х = 12.
î 1
2
3
19.
ì 2 х1 - х2 + 2 х3 = 0,
ï
í 4 х1 + х2 + 4 х3 = 6,
ï х + х + 2 х = 4.
î 1
2
3
7
12.
ì 2 х1 - х2 + 2 х3 = 3,
ï
í х1 + х2 + 2 х3 = -4,
ï 4 х + х + 4 х = -3.
î 1
2
3
14.
ì 2 х1 - х2 + 3 х3 = -4,
ï
í х1 + 3х2 - х3 = 11,
ï х - 2 х + 2 х = -7.
î 1
2
3
16.
ì8 х1 + 3 х2 - 6 х3 = -4,
ï
í х1 + х2 - х3 = 2,
ï 4 х + х - 3 х = -5.
2
3
î 1
18.
ì3 х1 - 2 х2 - 5 х3 = 5,
ï
í 2 х1 + 3 х2 - 4 х3 = 12,
ï х - 2 х + 3 х = -1.
2
3
î 1
20.
ì 2 х1 - х2 - 3 х3 = -9,
ï
í х1 + 5 х2 + х3 = 20,
ï3 х + 4 х + 2 х = 15.
2
3
î 1
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1
21-30. Решить однородную систему уравнений.
21.
23.
25.
27.
29.
ì x + 6 y - 5 z = 0,
ï
í 2 х + 3 y - z = 0,
ï х - 3 y + 4 z = 0.
î
22.
ì x + 2 y - z = 0,
ï
í 2 х - 4 y - 15 z = 0,
ï3 х + 6 y + z = 0.
î
ì x + 4 y - z = 0,
ï
í 2 х - y + z = 0,
ï 4 х + 7 y - z = 0.
î
ì x + 6 y - z = 0,
ï
í5 х + y + 2 z = 0,
ï6 х + 5 y + z = 0.
î
ì x + 7 y + 8 z = 0,
ï
í х - 2 y - z = 0,
ï6 х - 3 y - 3 z = 0.
î
24.
26.
28.
30.
ì x - y + 3z = 0,
ï
í5 х + 2 y - z = 0,
ï6 х + y + 2 z = 0.
î
ì3 x + 2 y - z = 0,
ï
í9 х + 7 y - 3 z = 0,
ï 24 х - y - 8 z = 0.
î
ì x + 4 y + z = 0,
ï
í7 х + 6 y + 2 z = 0,
ï6 х + 2 y + z = 0.
î
ì x + 6 y - z = 0,
ï
í5 х + y + 2 z = 0,
ï6 х + 5 y + z = 0.
î
ì3 x + 7 y - 6 z = 0,
ï
í 2 х + 2 y - 4 z = 0,
ï5 х + 4 y - 10 z = 0.
î
r r r r
31-40. Даны векторы a , b , c , d в декартовой системе координат. Покаr
r r r
зать, что векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в
r
r r r
этом базисе (написать разложение вектора d в базисе a , b , c ).
r
r
r
r
31. d = {-15,5,6}, a = {0,5,1}, b = {3,2, -1}, c = {4,1,0}.
r
r
r
r
32. d = {8,9, 4}, a = {1,0,1}, b = {0, -2,1}, c = {1,3,0}.
r
r
r
r
33. d = {23, - 14, - 30}, a = {2,1,0}, b = {1, -1,0}, c = {-3,2,5}.
r
r
r
r
34. d = {3,1,3}, a = {2,1,0}, b = {1,0,1}, c = {4,2,1}.
r
r
r
r
35. d = {-1,7,0}, a = {0,3,1}, b = {1, -1,2}, c = {2, -1,0}.
r
r
r
r
36. d = {11, - 1,4}, a = {1, - 1,2}, b = {3, 2,0}, c = {-1,1,1}.
r
r
r
r
37. d = {-13, 2,18}, a = {1,1,4}, b = {-3,0,2}, c = {1, 2, -1}.
r
r
r
r
38. d = {0, - 8,9}, a = {0, - 2,1}, b = {3,1, -1}, c = {4,0,1}.
r
r
r
r
39. d = {8, - 7, - 13}, a = {0,1,5}, b = {3, -1,2}, c = {-1,0,1}.
8
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
r
r
r
r
40. d = {2,7,5}, a = {1,0,1}, b = {1, -2,0}, c = {0,3,1}.
41-50. Даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) уравнение высоты СД и её длину; 4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД; 5)
уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 6)
координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД. Сделать чертёж.
41. А(-3; -3), В(5; -7), С(7; 7).
42. А(4; 4), В(-8; -6), С(3; 8).
43. А(-4; -3), В(-7; 3), С(1; 4).
44. А(4; -2), В(6; -4), С(-2; 2).
45. А(2; 3), В(-3; 6), С(6; 1).
46. А(1; 2), В(-3; 1), С(3; -5).
47. А(1; -6), В(-1; 4), С(3; 5).
48. А(-2; 7), В(3; 1), С(6; -3).
49. А(-2; 2), В(-4; 6), С(6; 4).
50. А(-1; 3), В(2; 2), С(6; -3).
51-60. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3)
угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань
А1А2А3.
51. А1(6; 5; 2), А2(5; 4; 6), А3(2; 1; 3), А4(6; 3; 5).
52. А1(2; 5; 3), А2(9; 3; 4), А3(4; 5; 2), А4(7; 1; 6).
53. А1(6; 1; -3), А2(4; 2; -2), А3(4; 2; 0), А4(1; 2; -4).
54. А1(5; 5; 4), А2(1; 1; -4), А3(-3; 4; 1), А4(2; 8; -1).
55. А1(2; 4; -1), А2(-2; -1; -3), А3(1; -1; 3), А4(3; 2; 4).
56. А1(-6; 5; 6), А2(-3; 7; 1), А3(5; 7; 8), А4(6; -2; 2).
57. А1(2; 4; 3), А2(-1; -1; 5), А3(4; 8; 3), А4(-3; 6; 7).
58. А1(-3; -5; 4), А2(-5; 8; -3), А3(1; -2; -2), А4(1; 1; -2).
9
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1
59. А1(-3; 1; -2), А2(-1; 5; 1), А3(1; 7; -3), А4(8; 5; 8).
60. А1(3; -1; -1), А2(1; 6; 1), А3(-1; -1; 6), А4(0; 4; 1).
61-70. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип
кривой и построить её.
61.
x 2 - y 2 + 4 x - 6 y - 30 = 0 .
62.
3 x 2 + 5 y 2 + 18 x - 10 y - 13 = 0 .
63.
x2 - 4x - y - 5 = 0 .
64.
-2 x 2 + y 2 - 4 x + 2 y - 5 = 0 .
65.
3 x 2 + y 2 - 12 x + 6 y - 13 = 0 .
66.
6 x 2 + y 2 + 24 x + 2 y = 0 .
67.
2 y2 + 4x - 4 y - 6 = 0 .
68.
x2 - 6x + y - 1 = 0 .
69.
3x2 - y 2 + 6 x - 4 y - 2 = 0 .
70.
5 x 2 + 2 y 2 + 30 x - 8 y - 7 = 0 .
71-80. Построить кривую в полярной системе координат.
71. r = 4sin3j .
75. r =
72. r = 5cos 2j .
73. r = 3 - sin j .
6
5
. 76. r =
. 77. r = 4 + cos 2j .
3 - sin j
6 - 2sin j
79. r = 3sin 2j .
74. r =
4
.
2 - cos j
78. r =
7
.
4 - 3cos j
80. r = 3cos3j .
81-90. Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравнения
z3 = a2 .
.
83. a =
-4
.
1+ i
84. a =
-8
.
1+ i 3
86. a =
-8
.
i+ 3
87. a =
-4
.
1- i
88. a =
8
.
3 -i
90. a =
8
.
3+i
81. a =
4
.
1- i
82. a =
85. a =
4
.
1+ i
89. a =
-8
.
1- i 3
8
1 -i 3
10
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ № 1.
1-10. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1;
г) А А-1; д) А-1А.
æ -4 0 1 ö
æ 1 2 -3 ö
ç
÷
А= ç 2 -1 3 ÷ , В= çç 2 0 1 ÷÷ .
ç 3 2 2÷
ç -2 1 3 ÷
è
ø
è
ø
Р е ш е н и е.
а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С= АВ, элементы которой
сij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ai 3b3 j + ... + ain bnj .
Имеем:
C = AB =
æ -6 -7
ç -6 7
ç
ç 3 8
è
æ -4 0 1 ö æ 1 2 -3 ö æ -4 + 0 - 2 -8 + 0 + 1 12 + 0 + 3 ö
ç 2 -1 3 ÷ × ç 2 0 1 ÷ = ç 2 - 2 - 6 4 + 0 + 3 -6 - 1 + 9 ÷ =
ç
÷ ç
÷ ç
÷
ç 3 2 2 ÷ ç -2 1 3 ÷ ç 3 + 4 - 4 6 + 0 + 2 -9 + 2 + 6 ÷
è
ø è
ø è
ø
15 ö
2 ÷÷ .
-1÷ø
б) Вычислим
æ 1 2 -3 ö æ -4 0 1 ö æ -4 + 4 - 9 0 - 2 - 6 1 + 6 - 6 ö
BA = çç 2 0 1 ÷÷ × çç 2 -1 3 ÷÷ = çç -8 + 0 + 3 0 + 0 + 2 2 + 0 + 2 ÷÷ =
ç -2 1 3 ÷ ç 3 2 2 ÷ ç 8 + 2 + 9 0 - 1 + 6 -2 + 3 + 6 ÷
è
ø è
ø è
ø
æ -9 -8 1 ö
= çç -5 2 4 ÷÷ . Очевидно, что AB ¹ BA .
ç 19 5 7 ÷
è
ø
в) Обратная матрица A-1 матрицы A имеет вид:
æ A11 A21 A31 ö
1
çA
÷
A-1 =
12 A22 A32 ÷ , где
ç
D ( A) ç
÷
è A13 A23 A33 ø
11
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
-4
0
D ( A) = 2
Êàô ÂèÏÌ
1
-1 3 = 8 + 4 + 3 + 24 = 39 ¹ 0 , т.е. матрица A невырожденная.
3
2
2
Значит, существует обратная матрица A-1 . Находим:
A11 =
-1 3
2
A12 = A13 =
2
2 3
3 2
2 -1
3
2
= -8 ;
A21 = -
=5;
A22 =
= 7;
A23 = -
0 1
= 2;
2 2
-4 1
3
2
= -11;
-4 0
3
A31 =
2
A33 =
1
-1 3
A32 = -
=4;
æ 8
ç - 39
1ö ç
æ -8 2
1
5
Тогда A-1 = çç 5 -11 14 ÷÷ = ç
ç
39 ç
÷ ç 39
7
8
4
è
ø
çç 7
è 39
0
= 1;
-4 1
2
3
-4
0
2
-1
= 14 ;
= 4.
2
1 ö
39 39 ÷
÷
11 14 ÷
.
39 39 ÷
8
4 ÷÷
÷
39 39 ø
2
1 ö
æ 8
ç - 39 - 39 39 ÷
æ -4 0 1 ö ç
÷ æ1
5
11
14
÷ = ç0
г) Имеем: A × A-1 = çç 2 -1 3 ÷÷ × ç
ç 39
39 39 ÷ çç
ç 3 2 2÷ ç
0
è
ø
8
4 ÷÷ è
çç 7
÷
39 39 ø
è 39
1 ö æ -4 0 1 ö æ 1
æ -8 2
1
ç
÷ ç
÷ ç
д) Имеем: A-1 × A = ç 5 -11 14 ÷ × ç 2 -1 3 ÷ = ç 0
39 ç
8
4 ÷ø çè 3 2 2 ÷ø çè 0
è7
обратная матрица найдена верно.
-
0 0ö
1 0 ÷÷ = E .
0 1 ÷ø
0 0ö
1 0 ÷÷ = E , т.е.
0 1 ÷ø
11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её:
а) по формулам Крамера,
б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
в) методом Гаусса.
ì х1 + 5 х2 - х3 = 3,
ï
í 2 х1 + 4 х2 - 3 х3 = 2,
ï3х - х - 3 х = -7.
3
î 1 2
12
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
Р е ш е н и е. Найдём главный определитель системы
1 5 -1
D = 2 4 -3 = 1 × 4 × (-3) + 2 × (-1) × (-1) + 5 × (-3) × 3 - (-1) × 4 × 3 3 -1 -3
-1 × (-3) × (-1) - 5 × 2 × (-3) = -16 ¹ 0.
Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
единственное решение. Найдём решение системы по формулам Крамера
D
D
D
x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 , где
D
D
D
3 5 -1
1 3 -1
1 5 3
D1 = 2
-3 = 64 , D 2 = 2 2 -3 = -16 , D3 = 2 4 2 = 32 .
-7 -1 -3
3 -7 -3
3 -1 -7
64
-16
32
Следовательно, x1 =
= -4, x2 =
= 1, x3 =
= -2 .
-16
-16
-16
4
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX = B . Решение системы име-
ет вид X = A-1 × B . Находим обратную матрицу A-1 (она существует, так как
D ( A) = D = -16 ¹ 0 ).
A11 =
4
-1 -3
A12 = A13 =
3
2
2 -3
3 -3
4
3 -1
= -15 ;
A21 = -
= -3 ;
A22 =
= -14 ;
-1
5
-1 -3
1 -1
3 -3
A23 = -
1
= 16 ;
= 0;
5
3 -1
= 16 ;
5 -1
A31 =
4 -3
A32 = A33 =
1 -1
2 -3
1 5
2 4
= -11 ;
= 1;
= -6 .
æ -15 16 -11 ö
1
ç -3 0
÷.
A-1 =
1
÷
-16 çç
÷
14
16
6
è
ø
Решение системы
æ x1 ö
æ -15 16 -11ö æ 3 ö
æ -45 + 32 + 77 ö æ -4 ö
1 ç
1 ç
ç
÷
÷
ç
÷
÷ =ç 1 ÷.
3
0
1
×
2
=
9
+
0
7
X = ç x2 ÷ =
ç
÷ ç ÷
ç
÷ ç ÷
ç x ÷ -16 ç -14 16 -6 ÷ ç -7 ÷ -16 ç -42 + 32 + 42 ÷ ç -2 ÷
è
ø è ø
è
ø è ø
è 3ø
Итак, x1 = -4,
x2 = 1,
x3 = -2 .
13
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
в) Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу систеæ 1 5 -1 3 ö
ç
÷
мы C = ç 2 4 -3 2 ÷ и приведём её к ступенчатому виду. Для этого умç 3 -1 -3 -7 ÷
è
ø
ножим первую строку на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую
строку на (-3) и сложим с третьей. Разделим третью строку на (-16) и поменяем местами вторую и третью строки. Получим:
æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö
ç
÷ ç
÷ ç
÷ ç
÷
C = ç 2 4 -3 2 ÷ : ç 0 -6 -1 -4 ÷ : ç 0 -6 -1 -4 ÷ : ç 0 1 0 1 ÷
ç 3 -1 -3 -7 ÷ ç 0 -16 0 -16 ÷ ç 0 1 0 1 ÷ ç 0 -6 -1 -4 ÷
è
ø è
ø è
ø è
ø
Далее умножим вторую строку на 6 и сложим с третьей, получим
æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö
ç
÷ ç
÷
: ç 0 1 0 1 ÷ : ç 0 1 0 1 ÷ . Затем, из первой строки вычтем вторую,
ç 0 0 -1 2 ÷ ç 0 0 1 -2 ÷
è
ø è
ø
умноженную на 5. и прибавим третью. Окончательно получаем
æ 1 5 -1 3 ö æ 1 0 -1 -2 ö æ 1 0 0
ç
÷ ç
÷ ç
0
1
0
1
:
0
1
0
1
ç
÷ ç
÷ : ç0 1 0
ç 0 0 1 -2 ÷ ç 0 0 1 -2 ÷ ç 0 0 1
è
ø è
ø è
x1 = -4, x2 = 1,
-4 ö
÷
1 ÷ . Откуда следует,
-2 ÷ø
x3 = -2 .
ì3 x + 4 y - z = 0,
ï
21-30. Решить однородную систему уравнений í х - 3 y + 5 z = 0,
ï 4 х + y + 4 z = 0.
î
Однородная система уравнений всегда совместна. Если главный определитель системы D = 0 , то система имеет единственное решение
x = 0, y = 0, z = 0. Если главный определитель системы D ¹ 0 , то система
имеет бесчисленное множество решений.
Р е ш е н и е.
3 4 -1
Так как 1 -3
5 = 0 , то система имеет бесчисленное множество решений.
4 1 4
Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдём её решение.
14
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
ì3 x + 4 y - z = 0,
í
î х - 3 y + 5 z = 0.
4 -1
3 -1
x=
t = 17t , y = t = -16t ,
-3 5
1 5
где t - любое число.
z=
3
4
1 -3
Êàô ÂèÏÌ
t = -13t ,
r r r r
Даны векторы a , b , c , d в декартовой системе координат. Поr
r r r
казать, что векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в
r
r r r
этом базисе (написать разложение вектора d в базисе a , b , c ).
r
r
r
r
d = {-1,7, - 4}, a = {-1,2,1}, b = {2,0,3}, c = {1,1, -1}.
31-40.
Р е ш е н и е.
r r r
Векторы a , b , c образуют базис, если определитель, составленный из
координат
этих
векторов
не
равен
нулю.
Вычислим
-1 2 1
=
D
2
0
1= 0 + 6 + 2 - 0 - (-3) - ( -4)
= 15 ¹ 0 , следовательно, век-
3 -1
r
r r r
r r r
торы a , b , c образуют базис. Разложение вектора d по базису a , b , c
r
r
r
r
r
имеет вид: d = aa + bb + gc , где a, b, g - координаты вектора d в базиr r r
се a , b , c . Для нахождения a, b, g составим систему уравнений
ì -a + 2b + g = -1,
ï
, коэффициенты которой равны координатам базисí 2a + g = 7,
ïa + 3b - g = -4.
î
r
ных векторов, а свободные члены – координатам вектора d . Главный
определитель системы был вычислен выше и равен 15, поэтому систему можно решить по формулам Крамера
-1 2 1
-1 -1 1
-1 2 -1
1
D1 = 7
1 = 30 , D 2 = 2 7 1 = -15 , D3 = 2
-4 3 -1
1 -4 -1
1
30
-15
45
Следовательно, a =
= 2, b =
= -1, g =
=3 и
15r
15
15
r r
r
d = 2a - b + 3c .
0
0
7 = 45 .
3 -4
41-50. Даны вершины треугольника АВС: А(4; 3), В(-3; -3), С(2; 7).
15
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) уравнение высоты СД и её длину; 4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД; 5)
уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 6)
координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД.
Р е ш е н и е.
1) Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точками:
d = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 , где ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) - координаты этих точек.
Следовательно,
длина
стороны
АВ
равна
=
AB
(-3 - 4) 2 + (-=
3 - 3) 2
=
49 + 36
85 » 9,2 .
2)
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
x - x1
y - y1
=
.
x2 - x1 y2 - y1
x-4
y -3
Уравнение стороны АВ:
=
, откуда следует 6( x - 4) = 7( y - 3) Þ
-3 - 4 -3 - 3
6
3
6 x - 7 y - 3 = 0 Þ y = x - . Последнее уравнение с угловым коэффициен7
7
6
том, из которого следует, k AB = .
7
Уравнение стороны ВС:
x - (-3) y - (-3)
x+3 y+3
=
Þ
=
Þ 10( x + 3) = 5( y + 3) Þ
2 - (-3) 7 - (-3)
5
10
2 x - y + 3 = 0 , откуда следует y = 2 x + 3 и k BC = 2 .
3)
Высота СД перпендикулярна стороне АВ, воспользуемся условием
1
7
перпендикулярности k1 × k2 = -1 , из которого найдём kСД = = - .
k AB
6
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом y - y0 = k ( x - x0 ) . Подставим в это уравнение вместо x0 , y0 координаты точки С и kСД , получим уравнение высоты
7
СД: y - 7 = - ( x - 2) Þ 7 x + 6 y - 56 = 0 .
6
16
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
Длину высоты СД найдём по формуле расстояния от точки С до прямой АВ:
Ax0 + By0 + C
h=
, где Ax + By + C = 0 - уравнение стороны АВ, ( x0 , y0 ) –
2
2
A +B
6×2 - 7×7 -3
40
40
координаты точки С. Вычислим h = СД =
=
»
= 4,35 .
2
2
9.2
85
6 +7
4)
Для составления уравнения медианы АЕ найдём координаты точки Е –
середины стороны ВС.
x + xC -3 + 2
y + yC -3 + 7
1
xE = B
=
= - , yE = B
=
= 2.
2
2
2
2
2
Запишем уравнение прямой, проходящей через 2 точки А и Е:
x-4
y-3
=
Þ x - 4 = 4,5( y - 3) Þ x - 4,5 y + 9.5 = 0 или 2 x - 9 y + 19 = 0 -0,5 - 4 2 - 3
уравнение медианы АЕ.
Найдём точку пересечения высоты СД и медианы АЕ. Для этого составим
систему из двух уравнений этих прямых и решим её.
26
ì
x
=
ïï
ì7 x + 6 y - 56 = 0 ì7 x + 6 y = 56
5
Þí
Þí
Þ К(26/5; 49/15).
í
î 2 x - 9 y + 19 = 0 î 2 x - 9 y = -19 ï y = 49
ïî
15
5) Так как прямая, проходящая через точку К параллельна стороне АВ, то
6
их угловые коэффициенты равны k AB = . Тогда по точке К и угловому
7
коэффициенту составляем уравнение прямой
49 6
26
25
y= (x - ) Þ 6x - 7 y = 0 или 18 x - 21 y - 25 = 0 .
15 7
5
3
6) Найдём координаты точки Д, как точки пересечения стороны АВ и высоты СД, для этого решим систему уравнений
82
ì
x
=
ì6 x - 7 y - 3 = 0
ì6 x - 7 y = 3
ïï 17
Þí
Þí
Þ Д(82/17; 63/17)
í
î7 x + 6 y - 56 = 0 î7 x + 6 y = 56 ï y = 63
ïî
17
Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД, находим, исходя из того, что точка Д является серединой отрезка АМ, т.е.
x + xM
y + yM
xД = A
; yД = A
Þ
2
2
17
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
82
96
-4=
» 5,6;
17
17
63
75
yM = 2 y Д - y A = 2 × - 3 =
» 4, 4.
17
17
xM = 2 x Д - x A = 2 ×
ó
Ñ
7
6
5
4
Ä
À
3
Å2
-3 -2 -1
Â
1
0
1
2
3 4
Ì
Ê
5 6 7
õ
-2
-3
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число,
обозначаемое с = а × b и равное произведению модулей данных векторов на
косинус угла между ними:
ab = a b cos(a¶
, b) ,
где (a¶
, b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b .
Отметим, что всегда 0 £ (a¶
, b) £ p .
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:
1) a × b = b × a;
2) (la) × b = l (a × b) = a × (lb);
3) a × (b + c) = a × b + a × c;
4) a × b = a прab = b прb a;
2
5) a × a = a ;
6) a × b = 0 Û a ^ b.
Если a = ( x1 , y1, z1 ), b = ( x2 , y2, z2 ) , то в базисе i, j, k:
a × b = x1 x2 + y1 y2 + z1z2 ;
a = x12 + y12 + z12 ;
b = x22 + y22 + z22 ;
18
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
cos(a¶
, b) =
a×b
=
ab
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x12 + y12 + z12 ×
2
2
x2 + y2 + z2
2
Êàô ÂèÏÌ
.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к
вектору b наблюдается из конца вектора с происходящим против движения
часовой стрелки. В противном случае данная тройка называется левой.
+V
c
b
O
а
c
b
–V
O
а
Левая тройка
Правая тройка
Векторным произведением векторов a и b называется вектор, обозначаемый с = а ´ b, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) c = a b sin(a¶
, b);
c = a×b
2) c ^ a, c ^ b;
3) тройка a, b, c - правая.
b
Перечислим основные свойства векторного
произведения векторов:
1) a ´ b = -(b ´ a);
S
О
а
2) (la) ´ b = l(a ´ b) = a ´ (lb);
3) a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c;
4) a ´ b = 0 Û a P b;
5) a ´ b = S , где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , имеющих общее начало в точке О.
Если a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ) , то векторное произведение а ´ b
выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:
i
j k
a ´ b = x1
y1
z1 .
x2
y2
z2
19
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
Смешанным произведением векторов а, b, с называется число (a ´ b) × c .
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1) (a ´ b) × с = a × (b ´ с) , поэтому смешанное произведение можно обозначать проще: abс ;
2) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
3) (a ´ b) × с = a × (b ´ с) , поэтому смешанное произведение можно обозначать проще: abс ;
4) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
5)геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: abc = ±V , где V — объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятый со знаком « + », если тройка векторов а, b, с правая, или со знаком «–», если она левая;
6) abc = 0 Û a, b, c компланарны.
Если a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ), c = ( x3 , y3 , z3 ) то
x1
y1
z1
abc = x2
y2
z2 .
x3
y3
z3
51-60. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
А1(4; 7; 8), А2(-1; 13; 0), А3(2; 4; 9), А4(1; 8; 9).
Р е ш е н и е.
1)
Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точ-
ками: d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 )2 + ( z2 - z1 )2 , где ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 ) координаты этих точек. Следовательно, длина ребра А1А2 равна
A1 A2 = (-1 - 4) 2 + (13 - 7) 2 + (0 - 8) 2 = 25 + 36 + 64 = 125 = 5 5
2)
Угол между рёбрами А1А2 и А1А3 равен углу между направляющими
uuuuur
векторами A1 A2 = {-1 - 4;13 - 7;0 - 8} = {-5;6; -8} и
uuuuur
A1 A3 = {2 - 4;4 - 7;9 - 8} = {-2; -3;1} .
20
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
uuuuur uuuuur
( A1 A2 × A1 A3 )
(-5) × (-2) + 6 × (-3) + (-8) × 1
=
cos j = uuuuur uuuuur =
2
2
2
2
2
2
A1 A2 × A1 A3
(-5) + 6 + (-8) × (-2) + (-3) + 1
-16
=
125 × 14
» -0,38.
Следовательно, j = arccos( -0,38) » 112o.
3)
Для нахождения угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 надо найти вектор, перпендикулярный грани А1А2А3, который называется
uuuuur нормальuuuuur
ным вектором и равен векторному произведению векторов A1 A2 и A1 A3 , т.е.
i
j k
-5 -8
-5 6
6 -8
r uuuuur uuuuur
n = A1 A2 ´ A1 A3 = -5 6 -8 = i
- j
+k
=
-3 1
-2 1
-2 -3
- 2 -3 1
= -18i + 21 j + 27 k = {-18;21;27}.
uuuuur
A1 A4 = {1 - 4;8 - 7;9 - 8} = {-3;1;1} .
Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдём по формуле
uuuuur r
A1 A4 × n
(-3) × (-18) + 1 × 21 + 1 × 27
=
sin f = uuuur r =
2
2
2
2
2
2
×
A1 A1 n
(-3) + 1 + 1 × ( -18) + 21 + 27
102
=
» 0,8.
11 × 3 166
Следовательно, угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 равен
f = arcsin 0,8 = 52o .
4)
Площадь грани А1А2А3 равна
1 uuuuur uuuuur 1
3
166 » 19,3 .
S A1 A2 A3 = A1 A2 ´ A1 A3 = {-18;21;27} =
2
2
2
5)
Объём пирамиды равен
-5 6 -8
1 uuuuur uuuuur uuuuur
1
1
V=
A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = -2 -3 1 = 15 + 16 - 18 + 72 + 5 + 12 = 17. 6)
6
6
6
-3 1 1
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
x - x1
y - y1
z - z1
=
=
. Тогда уравнение прямой А1А2 можно записать в
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x-4
y-7 z -8
x - 4 y -7 z -8
виде
или
.
=
=
=
=
-1 - 4 13 - 7 0 - 8
-5
6
-8
(
)
21
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
7) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки с координатами ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z 2 ), ( x3 , y3 , z3 )
x - x1
y - y1
z - z1
x2 - x1
x3 - x1
y2 - y1
y3 - y1
z2 - z1 = 0 .
z3 - z1
Тогда уравнение плоскости А1А2А3 запишется в виде
x - 4 y -7 z -8
6 -8
-5 -8
-5 6
-1 - 4 13 - 7 0 - 8 = 0 Þ ( x - 4)
- ( y - 7)
+ ( z - 8)
=0
-3 1
-2 1
-2 -3
2- 4 4-7 9-8
или после преобразований, получим 6 x - 7 y - 9 z + 97 = 0 .
8) Уравнение высоты A4 H , опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 получим исходя из условия перпендикулярности прямой A4 H и плоскости
А1А2А3. В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный
r
вектор n = {6; -7; -9} плоскости А1А2А3. И тогда уравнение высоты запишетx -1 y - 8 z - 9
ся в виде
=
=
.
6
-7
-9
61-70. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и построить её.
П р и м е р 1 . 4 x 2 + 9 y 2 + 32 x - 54 y + 109 = 0 .
Р е ш е н и е . Дополним члены, содержащие x , и члены, содержащие y , до
полных квадратов. Получим :
4( x 2 + 8 x + 16) - 64 + 9( y 2 - 6 y + 9) - 81 + 109 = 0 Þ 4( x + 4) 2 + 9( y - 3) 2 = 36 Р
азделим последнее уравнение на 36 и приведём к каноническому уравнению
( x + 4)2 ( y - 3) 2
+
= 1.
9
4
Это уравнение эллипса, центр
которого лежит в точке С(-4; 3),
большая полуось a = 3 , малая
полуось b = 2 .
ó
7
6
5
4
3
2
1
0
Ñ
-4 -3 -2 -1
-2
-3
22
1
2
3 4
5 6 7
õ
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
П р и м е р 2. x 2 - 6 y 2 - 12 x - 24 y = 0 .
Р е ш е н и е . Дополним члены, содержащие x , и члены, содержащие y , до
полных квадратов. Получим
( x 2 - 12 x + 36) - 36 - 6( y 2 + 4 y + 4) + 24 = 0 Þ ( x - 6) 2 - 6( y + 2) 2 = 12 .
Разделим последнее уравнение на 12 и приведём к каноническому уравнению
( x - 6) 2 ( y + 2) 2
= 1 . Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точ12
2
ке С(6; -2), действительная полуось a = 12 , мнимая полуось b = 2 . Вершины гиперболы A1 (6 - 12; - 2) и A2 (6 + 12; - 2) .
ó
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1
2
-2
Решение.
5 6 7
õ
Ñ
À2
À1
-3
Пример 3.
3 4
x 2 - 8 x + 2 y + 18 = 0 .
Дополним члены, содержащие x , до полного квадрата. Полу-
2
чим: x - 8 x + 16 + 2 y + 2 = 0 Þ ( x - 4) 2 + 2( y + 1) = 0 Þ ( x - 4) 2 = -2( y + 1) .
Получили каноническое уравнение параболы, вершина которой смещена в
точку С(4; -1), ветви
направлены вниз.
ó
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1
-2
-3
23
2
3 4
5 6 7
Ñ
õ
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
71-80. Построить кривую в полярной системе координат.
Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных
координатах.
Положение некоторой точки М на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy определяется числами х и у, т. е. M ( x, y ) . Эту
точку можно задать и другим способом, например с помощью расстояния
uuuur
r = OM и угла j , отсчитываемого против хода часовой стрелки от оси Ох,
uuuur
называемой полярной осью, до радиуса-вектора OM . В этом случае используется запись M (r, j) . Расстояние r называется полярным радиусом, j полярным углом точки М, а точка О — полюсом.
ó
Ì(x,y)(M( r, j ))
Связь между декартовыми х, у и полярr
y
ными r, j координатами точки М при укаj
õ
занном расположении осей Ох и Оу, вектоO
õ
N
uuuur
ра OM и угла j выражается формулами:
ì x = r cos j,
ï
í y = r sin j,
ïr ³ 0, 0 £ j < 2p.
î
Декартовы координаты точки М можно находить по ее полярным коорx
y
динатам по формулам: r = x 2 + y 2 , cos j =
, sin j =
.
2
2
2
2
x +y
x +y
Эти формулы дают также возможность переходить от уравнений линий,
заданных в декартовых координатах, к их уравнениям в полярных координатах, и наоборот.
П р и м е р 1 . Построить точки, заданные полярными координатами: М1(2;
p /6), М2(1; 3 p /4), М3(3; 5 p /4), М4(2; 5 p /6), М5(3/2; p /2), М6(4; 0), М7(3;
7 p /4).
Решение.
Вначале проведем луч под углом j
к полярной оси Ох, затем на построенном луче отложим от полюса О отрезок
длиной r . В итоге найдем все семь точек. Отрезок ОЕ определяет единицу
длины.
М4
О
М3
24
М5
М1
М2 r = 2
p6
Е
М6
М7
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
П р и м е р 2 . Построить кардиоиду, заданную уравнением в полярных координатах r = 4(1 - sin j) .
Р е ш е н и е.
Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла ji ,
(i = 1,…, 16) и соответствующие им значения полярного радиуса ri :
ji
ri
ji
ri
ji
ri
ji
ri
0
4
p 2
0
p
4
3p 2
8
p6
2
2p 3
» 0,6
7p 6
6
5p 3
» 7,4
p 4
» 1,2
3p 4
» 1,2
5p 4
» 6,8
7p 4
» 6,8
p3
» 0,6
5p 6
2
4p 3
» 7,4
11p 6
6
Построив найденные точки М i ,( ri , ji ) в полярной системе координат и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о кардиоиде.
Комплексные числа и действия над ними
Комплексным числом называется число вида z = x + iy , где х и
у— действительные числа; i =
-1 —так называемая мнимая единица, т. е.
число, квадрат которого равен —1 (корень уравнения z 2 + 1 = 0 ); х называется действительной (вещественной) частью комплексного числа, a y — мнимой его частью. Для этих чисел приняты обозначения: x = Re z, y = Im z .
Если у = 0, то z = x Î R ; если же x = 0 , то число z = iy называется чисто
мнимым. С геометрической точки зрения, всякому комплексному числу
uuuur
z = x + iy соответствует точка М(х, у) плоскости (или вектор OM ) и, наоборот, всякой точке М(х, у) соответствует комплексное число z = x + iy . Между
множествами комплексных чисел и точек плоскости Оху установлено вза-
25
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
имно однозначное соответствие, поэтоó
му данная плоскость называется комплексной и обозначается символом ( Z ).
Ì( z = x + iy )
y
Множество всех комплексных чиrj
сел обозначается буквой С. Отметим,
õ
что R Î C . Точки, соответствующие дейõ À
O
ствительным числам z = х, расположены
на оси Ох, которая называется действи-y
M ( z = x - iy )
тельной осью комплексной плоскости, а
точки, соответствующие мнимым числам
z = iy,— на оси Оу, которую называют мнимой осью комплексной плоскости.
Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действительные и мнимые части. Числа вида z = x + iy и z = x - iy называются сопряженными.
Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 — два комплексных числа, то арифметические операции над ними выполняются по следующим правилам:
z1 + z2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 );
z1 - z2 = ( x1 + iy1 ) - ( x2 + iy2 ) = ( x1 - x2 ) + i ( y1 - y2 );
z1 × z2 = ( x1 + iy1 ) × ( x2 + iy2 ) = ( x1x2 - y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 );
z1 x1 + iy1 z1 × z2 x1 x2 + y1 y2
x y -x y
=
=
=
+i 2 1 1 2.
z2 x2 + iy2 z2 × z2
x22 + y22
x22 + y22
Последняя операция имеет место при условии, что z2 ¹ 0 . В результате получаем, вообще говоря, комплексные числа. Указанные операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соответствующих
операций над действительными числами, т. е. сложение и умножение коммутативны, ассоциативны, связаны отношением дистрибутивности и для них
существуют обратные операции вычитания и деления (кроме деления на
нуль).
uuuur
Число r = OM = z × z называется модулем комплексного числа z .
uuuur
Угол j , образованный вектором OM с положительным направлением оси
Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается j = Argz .
Очевидно, что для всякого комплексного числа z = x + iy справедливы формулы:
x = r cos j, y = r sin j,
x
y
y
r = x 2 + y 2 , cos j = , sin j = , j = arctg ,
r
r
x
где главное значение аргумента j = arg z удовлетворяет следующим условиям: -p < arg z £ p или 0 £ arg z < 2p .
26
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
Всякое комплексное число z = x + iy может быть представлено в
тригонометрической форме z = r (cos j + i sin j) или в показательной форме
z = reij (так как по формуле Эйлера eij = cos j + i sin j ).
Если z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 ), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) то справедливы
формулы:
z1 z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )) = r1r2 ei (j1 +j2 ) ,
z1 r1
r
= (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )) = 1 ei (j1 -j2 ) , ( z ¹ 0)
z2 r2
r2
z n = r n (cos nj + i sin nj) = r n einj .
Последняя формула называется формулой Муавра.
Для извлечения корня n -й степени (n > 1, n Î Z ) из комплексного числа
используется формула, дающая n значений этого корня, которые лежат в
вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса
R = n r с центром в начале координат:
j + 2pk
j + 2pk ö
æ
+ i sin
zk = n z = n r ç cos
÷ , k = 0,1,...(n - 1).
n
n ø
è
4
. Требуется: 1) записать число
-1 + i
a в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравнения z 3 = a 2 .
81-90. Дано комплексное число a =
Решение.
1)
Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и знаменатель умножим на сопряжённое знаменателю число:
a=
4
4(-1 - i )
4(-1 - i)
=
=
= -2 - 2i .
-1 + i (-1 + i)(-1 - i)
2
Получили комплексное число в алгебраической форме, у которого
x = Re a = -2, y = Im a = -2 .
Найдём модуль и аргумент этого числа
x
2
y
2
r = x 2 + y 2 = (-2) 2 + (-2)2 = 2 2, cos j = = , sin j = = ,
r
2
r
2
Откуда следует, что j = -
3p
и тригонометрическая форма числа имеет вид:
4
27
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
Êàô ÂèÏÌ
æ
3p
3p ö
æ 3p ö
æ 3p ö ö
æ
a = 2 2 ç cos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ÷ = 2 2 ç cos - i sin ÷ .
4
4 ø
è 4 ø
è 4 øø
è
è
2) Для решения уравнения z 3 = a 2 найдём
3p
3p ö æ
3p
3p ö
æ
a 2 = (2 2)2 ç cos 2 ×
- i sin 2 × ÷ = 8 ç cos + i sin ÷ = -8i и
4
4 ø è
2
2 ø
è
p
r = -8i = 8, j = - .
2
Затем найдём
æ
æ - p 2 + 2pk ö
æ -p 2 + 2pk ö ö
3
zk = a 2 = 3 -8i = 3 8 ç cos ç
÷ + i sin ç
÷ ÷ , k = 0,1,2.
3
3
è
ø
è
øø
è
Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, находим все 3 возможные корни
данного уравнения:
æ 3
æ
p
pö
1ö
æ -p 2 ö
æ -p 2 öö
æ
z0 = 2 ç cos ç
+
i
sin
=
2
cos
i
sin
=
2
i
ç
÷ = 3 - i,
÷
ç
÷÷
ç
÷
6
6ø
2
2
è 3 ø
è 3 øø
è
è
è
ø
æ
p
pö
æ - p 2 + 2p ö
æ -p 2 + 2p ö ö
æ
z1 = 2 ç cos ç
+
i
sin
=
2
cos
+
i
sin
÷
ç
÷÷
ç
÷ = 2i,
3
3
2
2ø
è
ø
è
øø
è
è
æ
7p
7p ö
æ - p 2 + 4p ö
æ - p 2 + 4p ö ö
æ
z2 = 2 ç cos ç
+ i sin ÷ =
÷ + i sin ç
÷ ÷ = 2 ç cos
3
3
6
6 ø
è
ø
è
øø
è
è
æ
p
pö
3 1ö
æ
= 2 ç - cos - i sin ÷ = 2 ç - ÷ = - 3 - i.
6
6ø
2
2ø
è
è
z1
2
z2
z0
28
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.
Введение в математический анализ.
91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
4 x6 - 5 x + 6
91. а) lim
x ®¥ x 6 - 12 x 2 + 20
x × tg x
г) lim
x ®¥ 3 x 6 + 2 x 2 + 10
93. а) lim
x3 - 3 x 2 - 2 x
x ®¥ 3 x3 + 4 x 2 + 4
г) lim
sin5 х
x ®0 x 2 + 2 x
94. а) lim
x ®¥ 8 x3 - 4 x 2 + 5
; б) lim
2 x 2 - 5x - 3
x ®3 x2 - x - 6
x +1 - 2
;
x ®3 x - 2 - 1
; в); lim
2x
.
x ® 0 ln(1 + x )
д) lim
; б) lim
x2 - 3x + 2
x ® 2 3x2 - 4 x - 4
3ö
÷
xø
.
x2 - 4x + 3
; б) lim
x ®1
sin 3 x
;
x ®0 3 - 2 x + 9
; в) lim
1- 2 х
æ
д) lim ç1 x ®¥ è
;
3 x3 + 4 x
x ®3 3x2 - 8 x - 3
1+ х - 2
;
x ®3 x - 3
; в) lim
x ®¥
2 x6 - 3 x 4 + 6
æ 1 - cos6 x ö
г) lim ç
÷;
1
cos
4
x
è
ø
x ®0
; б) lim
; д) lim x ( ln(3x - 1) - ln(3x - 2) ) .
x ®0 cos x - cos3 x
92. а) lim
x2 - 9
x2 - 1
; в) lim æç x - x 2 + 7 x ö÷ ;
ø
x ®¥ è
3x
1 - cos5 x
æ 2x - 1 ö
г) lim
; д) lim ç
÷ .
2x
x ®¥ è 2 x + 2 ø
x ®0
95. а) lim
100 x 2 + 4 x + 5
x ®¥ 4 x3 + x 2 - 3 x
; б) lim
х2 - 4 х + 4
x ®2 2x2 - 6 х + 4
x2 - 5x + 6
;
x ®2 5 - x - x + 1
; в) lim
sin 4 x + sin 2 x
; д) lim x ( ln(2 x + 1) - ln(2 x + 3) ) .
6x
x ®0
x ®¥
г) lim
96. а) lim
2 x5 - 5 x3 + 8
x ®¥ x5 + 2 x 4 + 7
; б) lim
x ®2
6 - x - x2
x3 - 8
1 - cos6 x
æ x + 4ö
; д) lim ç
г) lim
÷
x ®¥ è x + 2 ø
x ® 0 7 x sin 3 x
; в) lim
x ®-4
-2 x
29
.
x + 12 - 4 - x
x2 + 2 x - 8
;
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2
97. а) lim
7 x3 - 2 x 2 - 4 x
x ®¥ 2 x3 + 8 x 2 - x + 5
; б) lim
x2 - 5x + 6
x3 - 27
x ®3
1- 3 x
x × sin 2 x
æ x+4ö
г) lim
; д) lim ç
÷
x ®¥ è x ø
x ®0 cos x - cos3 x
98. а) lim
- x 4 + 5 x2 + 6
x ®¥ 4 x 4 + 2 x 2 + 3
г) lim
x ®-2
99. а) lim
5+ х -3
;
x-4
x ®4
; в) lim
; б) lim
2-x - x+6
2
x - x-6
x3 + 9
x ®¥ 6 x3 + 10 x 2 + 5
2 x 2 - 72
x ®6 x2 - 7 x + 6
;
.
cos 2 x - 1
;
x ® 0 3 x sin 3 x
; в) lim
д) lim x ( ln( x + 3) - ln( x + 2) ) .
x ®¥
; б) lim
3 x 2 - x - 14
x ®-2 x 2 + 8 x + 12
3
;
3+ x
cos x - cos x
æ 2x - 1 ö
; д) lim ç
в) lim ( х + 4 - х + 2 х ) ; г) lim
÷
4 x sin x
x ®¥ è 2 x ø
x ®0
x ®¥
2
100. а) lim
2
x 4 + 15 x 2 + 11
x ®¥ 3 x 4 - 2 x 2 + 2
; б) lim
3 x 2 + 10 x + 3
x ®-3 2 x 2 + 5 x - 3
.
;
5 x2 + 4 x - 1
x × tg 3 x
æ 2x ö
в) lim
; г) lim
; д) lim ç
÷
x ®-1 x + 3 - 5 + 3 x
x ®¥ è 2 x + 1 ø
x ® 0 1 - cos6 x
-4 x
.
101-110. Задана функция y = f ( x) и два значения аргумента x1 и x2 .
Требуется: 1) установить, является ли эта функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти её пределы справа и слева;
1
101. f ( x ) = 10 3 x +1 , x1 = 2;
x2 = -1 3 .
1
102. f ( x) = 3 2 + x ,
x1 = 0; x2 = -2 .
1
103. f ( x) = 5 4 + x ,
x1 = 1; x2 = -4 .
1
104. f ( x ) = 2 x -1 ,
x1 = 0; x2 = 1 .
30
ÏÃÓ
1
105. f ( x ) = 7 x ,
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2
Êàô ÂèÏÌ
x1 = 0; x2 = -3 .
1
106. f ( x) = 10 7 - x ,
x1 = 5; x2 = 7 .
1
107. f ( x) = 6 4 - 2 x ,
x1 = 2; x2 = 1 2 .
1
108. f ( x) = 4 6 - 2 x ,
x1 = 3; x2 = 4 .
1
109. f ( x) = 2 4 x + 2 ,
x1 = 1; x2 = -1 2 .
1
110. f ( x) = 8 6 - x ,
x1 = 6; x2 = 4 .
111-120. Задана функция y = f ( x) . Найти точки разрыва функции, если
они существуют. Сделать чертёж.
ì -1, если x < 0,
ï
111. f ( x ) = í - cos x, если 0 £ x £ p 2,
ï p 2 + x, если x > p 2.
î
ì x, если x £ -2,
ï
112. f ( x ) = í 2 - x, если - 2 < x < 0,
ï 2
î x + 2, если x ³ 0.
ì x, если x £ -1,
ï
113. f ( x ) = í1 2, если - 1 < x £ p 6,
ïsin x, если x > p 6.
î
ì x 2 - 4, если x < -1,
ïï
114. f ( x ) = í3 x, если - 1 £ x £ 3,
ï5, если x > 3.
ïî
ì 2, если x < -1,
ï
115. f ( x) = í 2 - 2 x, если - 1 £ x £ 1,
ïln x, если x > 1.
î
31
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2
ì4
ï x , если x < -2,
ï
116. f ( x) = í x, если - 2 £ x < 0,
ï1 - x, если x ³ 0.
ï
î
ì 4-x
, если x < 0,
ï
2
ïï
117. f ( x) = ícos 2 x, если 0 £ x £ p 4,
ï - x, если x > p 4.
ï
ïî
ìcos x, если x £ -p,
ï
118. f ( x ) = í -1, если - p < x £ 0,
ï
î x + 1, если x > 0.
ì x + p, если x £ -p,
ï
119. f ( x) = ísin x, если - p < x £ 0,
ï3 - 2 x, если x > 0.
î
ì x 2 - 4, если x < -2,
ïï
120. f ( x ) = í3 x + 2, если - 2 £ x £ 2,
ï
2
ïî12 - x , если x > 2.
32
Êàô ÂèÏÌ
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ № 2.
91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Р е ш е н и е.
7 x 4 + 2 x3 + 5
¥
. Чтобы раскрыть её,
¥
x ®¥ 6 x 4 + 3 x 2 - 7 x
разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x в наивыс-
а) lim
. Имеем неопределённость вида
шей степени, в данном примере на x 4 . Получим
4
3
7x + 2x + 5
7
x4
+2
x3
+
5
2 5
+
7
x x4
= lim
= , так как
6
x ®¥ 6 + 3 - 7
x 2 x3
x4
x4 x 4
x ®¥ 6 x 4 + 3 x 2 - 7 x x ®¥ x 4
x2
x
6
+3
-7
x4
x4
x4
2 5
3 7
каждая из дробей ,
,
,
® 0 при x ® ¥ .
x x 4 x 2 x3
lim
x2 - 4
= lim
7+
0
. Чтобы раскрыть её,
0
x ®-2 3 x 2 + x - 10
разложим числитель и знаменатель дроби на множители, воспользовавшись
формулами сокращённого умножения (см. справочный материал в конце данб) lim
. Имеем неопределённость вида
ного пособия): x 2 - 4 = ( x - 2)( x + 2) и разложением квадратного трёхчлена на
множители. Для чего решим уравнение 3x 2 + x - 10 = 0 . Найдём
-b ± b 2 - 4ac -1 ± 11
x1,2 =
=
,
2a
6
2
D = b - 4ac = 1 - 4 × 3 × ( -10) = 11,
5
5
откуда следует, что x1 = , x2 = -2 и 3 x 2 + x - 10 = 3( x - )( x + 2) =
3
3
= (3 x - 5)( x + 2) . Подставим полученные выражения под знак предела, получим lim
x2 - 4
x ®-2 3 x 2 + x - 10
( x - 2)( x + 2)
x - 2 -2 - 5 7
= lim
=
= .
x ®-2 (3 x - 5)( x + 2) x ®-2 3 x - 5 -6 - 5 11
= lim
33
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2
21 + х - 5
0
. Чтобы раскрыть её, ум0
x ® 4 x3 - 64
ножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
в) lim
lim
. Имеем неопределённость вида
( 21 + х - 5)( 21 + x + 5)
x ®4
( x3 - 64)( 21 + x + 5)
21 + x - 25
= lim
x ® 4 ( x3 - 64)( 21 + x + 5)
.
Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов, получим
lim
x-4
x ® 4 ( x - 4)( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5)
=
= lim
1
x ® 4 ( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5)
=
1
.
480
0
5 x × sin x
. Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её,
0
x ® 0 cos 2 x - cos 4 x
разложим знаменатель на множители по формуле разности косинусов, полу2x + 4x
2x - 4x
чим: cos 2 x - cos 4 x = -2sin
× sin
= -2sin3 x sin( - x) = 2sin 3 x sin x
2
2
г) lim
sin x
= 1 или воспользуемся
x ®0 x
свойствами эквивалентных бесконечно малых величин sin x : x, sin 3 x : 3 x
при x ® 0 , получим:
5 x × sin x
5x × x
5
5
lim
= lim
= lim
= (т.к.
x ® 0 cos 2 x - cos 4 x x ® 0 2sin 3 x sin x x ® 0 2 × sin 3 x × sin x 6
x
x
5 x × sin x
5x × x
5 x2
5
sin 3 x
lim
= 3 ) или lim
= lim
= lim
= .
x ® 0 cos 2 x - cos 4 x x ® 0 2sin 3 x sin x x ® 0 2 × 3 x × x 6
x ®0 x
Затем применим I замечательный предел lim
д) lim 4 x ( ln(1 + 2 x) - ln(3 + 2 x) ) . Преобразуем выражение, стоящее под знаx ®¥
ком предела по свойствам логарифмов
æ 1 + 2x ö
æ 1 + 2x ö
lim 4 x ( ln(1 + 2 x) - ln(3 + 2 x) ) = lim 4 x ç ln
÷ = lim ln ç
÷
x ®¥
x ®¥ è 3 + 2 x ø x ®¥ è 3 + 2 x ø
4x
.
Так как логарифмическая функция непрерывна в области определения, то по
свойству непрерывных функций предел и логарифм можно поменять местами,
æ 1 + 2x ö
т.е. lim ln ç
÷
x ®¥ è 3 + 2 x ø
4x
æ 1 + 2x ö
= ln lim ç
÷
x ®¥ è 3 + 2 x ø
34
4x
. Теперь перед нами стоит задача
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2
æ 1 + 2x ö
найти lim ç
÷
x ®¥ è 3 + 2 x ø
4x
. Имеем неопределённость вида 1¥ , которую раскроем
x
1ö
æ
сведением выражения ко второму замечательному пределу lim ç1 + ÷ = e .
xø
x ®¥ è
Для
чего
выполним
следующие
преобразования:
4x
4x
4x
2 ö
æ 1 + 2x ö
æ 1 + 2x
ö
æ
lim ç
lim ç1 +
lim ç1 =
- 1=
=
÷
÷
÷
3 + 2x ø
3 + 2x ø
x ®¥ è 3 + 2 x ø
x ®¥ è
x ®¥ è
-2
3 + 2 x ö 3 + 2 x ×4 x
ö -2 ÷
æ
-2
çæ
= lim ç ç1 +
÷
3 + 2x ø
x ®¥ ç è
è
÷
÷
ø
-8 x
+ 2 x e -4 , так как
= lim e 3=
x ®¥
-8 x
-8
-8
æ3
ö
= lim
=
= -4, ç ® 0 при x ® ¥ ÷ .
2
x ®¥ 3 + 2 x x ®¥ 3 + 2
èx
ø
x
lim
æ
4x
ç1+
æ 1 + 2x ö
Или можно несколько иначе: lim ç
÷ = lim ç
x ®¥ è 3 + 2 x ø
x ®¥ ç 1 +
è
почленно числитель и знаменатель на 2x )=
æ
ç1 +
= lim ç
x ®¥ ç 1 +
è
1 ö
2x ÷
3 ÷÷
2x ø
4x
101-110.
x1 = 3 и x2 = 4 .
1 ö
2x ÷
3 ÷÷
2x ø
4x
= (разделили
4x
1
1 ö
æ
×4
ç1 +
÷
2
е
е2
2x ø
è
= lim
=
=
= е -4 .
4x
3
6
x ®¥ æ
3 ö
×4 е
ç1 +
÷
е2
2x ø
è
1
Задана функция y = f ( x) = 8 x - 3 и два значения аргумента
Требуется: 1) установить, является ли эта функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти её пределы справа и слева.
Р е ш е н и е.
1
Для точки x1 = 3 имеем: lim 8 x - 3 = 8-¥ = 0,
x ® 3- 0
1
lim 8 x -3 = 8¥ = ¥,
x ®3 + 0
т.е. в точке x1 = 3 функция f ( x) терпит бесконечный разрыв
35
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 2
( x1 = 3 - точка разрыва второго рода).
1
Для точки x2 = 4 имеем: lim 8 x - 3 = 81 = 8,
x ®4- 0
1
lim 8 x -3 = 81 = 8 .
x® 4+0
Следовательно, в точке x1 = 4 функция f ( x) непрерывна.
111-120. Задана функция y = f ( x) . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж.
ì x 2 , если x £ 0,
ï
ï
f ( x) = í( x - 1)2 , если 0<x £ 2,
ï5 - x, если x > 2.
ïî
Р е ш е н и е. Функция f ( x) определена и непрерывна на интервалах
(-¥;0), (0;2), (2; +¥) , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1 = 0 и x2 = 2 .
Для точки x1 = 0 имеем: lim f ( x ) = lim x 2 = 0,
x ®-0
lim f ( x ) = lim ( x - 1)2 = 1,
x ®+0
x ®+0
x ®-0
= 0,
f (0) = x 2
x =0
т.е. функция f ( x) в точке x1 = 0 имеет разрыв первого рода.
Для точки x2 = 2 находим:
lim
x ®2- 0
lim
x ®2+ 0
f ( x) = lim ( x - 1) 2 = 1,
x ® 2-0
f ( x ) = lim (5 - x) = 3,
f (2) = ( x - 1)2
x ®2+ 0
x= 2
= 1,
т.е. в точке x2 = 2 функция f ( x)
также имеет разрыв первого рода.
На рисунке представлен график данной функции.
36
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
во втором семестре
Тема 7. Производная и её приложения
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 3, Пискунов Н. С., часть 1, гл. 3.
Письменный Д.Т., часть 1, § 20-24.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 7, §1.
Разберите решения задач из данного пособия (стр.41-55).
Тема 8. Приложения дифференциального исчисления
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 4, Пискунов Н. С., часть 1, гл. 4, 5.
Письменный Д.Т., часть 1, § 25-26.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 7, §2.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 55-58).
Тема 9. Неопределённый интеграл
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §1. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 10.
Письменный Д.Т., часть 1, § 29-34.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 9.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 58-72).
Тема 10. Определённый интеграл
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §2-4. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 11.
Письменный Д.Т., часть 1, § 35-42.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 10.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 73-82).
37
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3.
Производная и её приложения
121-130. Найти производные
121. а) y =
3x - 4
2
x + 3x - 2
(
dy
данных функций.
dx
)
3
; б) y = 3sin 2 x - cos 2 2 x ; в) y = ln arcsin 1 - x 2 ;
3
2
x
г) y = ln 3
; д) y = (2 x + 3) tg x .
3
x - 6x
4
x+3
122. а) y =
; б) y = 2arctg x - ln(1 + x 2 ) ; в) y = ln tg x3
x3 - 6 x - 9
(
г) y = ln 4
123. а) y =
3
x + 2x
2x
; д) y = (1 + cos 2 x)sin 3 x .
x3 - 5 x 2 + 3
x2 + 3
г) y = ln
124. а) y =
3x 2 + 2
x3 + 9 x
3x
3
(
x - 4x + 1
(
; б) y = 2arcsin2 x + arccos 2 x
в) y = arctg 1- x ;
4x
2
2x + 1
;
2x - 1
д) y = ( x3 + 2)сtg x .
;
2
3
)
3
; б) y = 3cos 3 x + sin 2 3 x ; в) y = arctg
2
125. а) y =
)
x + 5x - 2
г) y = ln 3
(
2x2 - 2
x3 - 3 x
);
4
д) y = (tg 2 x)cos 2 x .
;
; б) y = 5tg 2 x - сtg 2 2 x
) ; в) y = earctg
2
2
2 x -1
2
x
+4
г) y = ln 7
; д) y = (cos x + 5) tg x .
3
x + 12 x
126. а) y =
6
4x + 1
; б) y = æç 4 tg x + x ö÷ ; в) y = arcsin 1-4x 2 ;
è
ø
x 2 - 16 x - 2
3- x
г) y = ln 5
3
2
x - 9x
127. а) y =
2
; д) y = ( x + sin 6 x) x .
4
2x - 3
; б) y = æç 3arccos 2 x + 1 - 4 x 2 ö÷ ;
è
ø
x2 + 4 x - 3
38
;
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
2
в) y = lnsin æç е x
è
ö;
÷
ø
4 - 3x
г) y = ln 7
3
2
x - 4x
д) y = (tg 2 x) tg 2 x .
;
2
3x - 8
2
128. а) y =
; б) y = æç 6cos x + sin 2 x ö÷ ;
è
ø
x2 + 3x - 4
г) y = ln æç x 2 + 1 + x 4 ö÷ ; д) y = (2 x + x 2 ) x .
è
ø
129. а) y =
2 x3 + 5
(
)
4
б) y = 8cos 2 x + cos 2 x ;
;
x4 + 2 x
г) y = ln æç е x + е 2 x + 1 ö÷ ; д) y = ( x + 1)arctg x .
è
ø
130. а) y =
x3 - 10
4
x - 8x
в) y = earcsin 1- x ;
в) y = ln arcsin
10
1
æ
arcsin x
2ö
б) y = ç 2
;
- 1 - x ÷ ; в) y = ln tg
è
ø
x
;
1
x ; д) y = ( x + ln x) x .
г) y = x × arctg
dy
d2y
131-160. Для данных функций найти
и
.
dx
dx 2
2
131. а) y = x 1 + x ;
132. а) y =
x
2
x -1
;
133. а) y = x 2 × ln x ;
134. а) y = xe
-x
2
;
x
;
б)
б)
б)
б)
2
135. а) y = (1 + x )arctg x ; б)
136. а) y = e x cos x ;
б)
ìï x = 2t - t 2 ,
í
ïî y = 3t - t 3 .
ì x = 3cos t ,
í
î y = 4sin t .
ì x = cos t + t sin t ,
í
î y = sin t - t cos t.
ìï x = 2cos2 t ,
í
ïî y = 4sin 3 t.
ìï x = 2t 3 + t ,
í
ïî y = ln t.
ìï x = 3t - t 3 ,
í
ïî y = 3t 2 .
39
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
137. а) y = e
-x
sin x ;
2
б)
138. а) y = xe - x ;
б)
139. а) y = e 2 x cos3 x ;
б)
2
140. а) y = x3e - x ;
б)
ìï x = 2t - t 2 ,
í
ïî y = 4t 3 .
ì x = сtg t ,
ï
1
í
=
y
.
ï
cos 2 t
î
ìï x = t - ln t ,
í
2
3
ïî y = 3t - 2t .
ìï x = 2t - sin 2t ,
í
3
ïî y = 8sin t.
141-150. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f ( x ) = e x , вычислить значение ea с точностью 0,001.
141. a = 0, 49 . 142. a = 0,36 . 143. a = 0,18 . 144. a = 0,83 .
145. a = 0,59 . 146. a = 0,53 . 147. a = 0,78 . 148. a = 0, 21 .
149. a = 0,15 . 150. a = 0,72 .
151-160. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
1 ö
æ
151. а) lim ç tg x ÷;
pè
1 - sin x ø
x®
б) lim xsin x .
1 ö
æ1
152. а) lim ç ÷;
x ®0 è x sin x ø
æ x
p ö
153. а) lim ç
÷;
p è сtg x 2cos x ø
б) lim ( arcsin x )
x ®0
2
x®
sin x
x ®0
1 ln x
б) lim ( сtg x )
x ®0
.
2
1 ö
æ 1
154. а) lim ç
÷;
x ®1è x - 1 ln x ø
æ 1
ö
155. а) lim ç
- сtg 2 x ÷ ;
x ®0 è x 2
ø
б) lim x1 x .
1ö
æ
156. а) lim ç сtg x - ÷ ;
xø
x ®0 è
x ö
æ 1
157. а) lim ç
÷;
x ®1è ln x ln x ø
б) lim ( cos 2 x )
x ®¥
б) lim ( tg x )
2 x -p
p
x®
2
3x
x ®0
б) lim (sin x) x .
x ®0
40
.
.
.
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
æ 1
1 ö
158. а) lim ç
÷;
x ® 0 è x sin x x 2 ø
æ x
1ö
- ÷;
159. а) lim ç
x ® 0 è arctg x x ø
б) lim ( ln x )
æ1
1 ö
160. а) lim ç ÷;
x ®0 è x e x - 1 ø
б) lim (1 - 2 x )1 x .
1x
x ®¥
.
б) lim (1 + x )ln x .
x ®0
x ®0
161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) на отрезке [a; b] .
161. f ( x ) = x - 2sin x , [ 0; p 2] .
2
164. f ( x) = 2 x 2 - x + 1 , [0;1] .
2
- 3ln x , [1;4] .
x
166. f ( x ) = xe-2 x , [0;1] .
163. f ( x ) = e- x + 2 x 2 , [ -1;1] .
165. f ( x) = x -
162. f ( x ) = x + 2cos x , [ - p 4; p 3] .
167. f ( x) = 81x - x 4 ,
[ -1;4] .
169. f ( x ) = 4arctg x - 2 x + 1 , [0;1] .
2
168. f ( x ) = x3 - 3ln x , [1 2;2 ] .
170. f ( x ) = x 2 е- x , [ -1;2] .
171. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд
максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус
R и высота H), если на его изготовление имеется S = 84, 82 дм2 материвши
( S » 27p )?
172. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей а = 3м. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?
173. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H),
если на его изготовление имеется S = 18,84 м2 материала ( S » 6p )?
174. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?
175. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 25 м2
(V » 8p ). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота
Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее
количество материала?
176. Из круглого бревна радиуса R = 2 3 требуется вырезать балку
прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки про41
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
порциональна b h 2. При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?
177. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного
объема V = 50 м3 ( V » 16p ). Каковы должны быть размеры бака (радиус R и
высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
178. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной боковой поверхности S = 4 3 м2. Каковы должны
быть размеры палатки (сторона основания а и высота Н), чтобы вместимость
палатки была наибольшей?
179. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V = 41,89 M3
40
(V » p ). Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет
3
иметь наименьшую полную поверхность.
180. Сечение
оросительного
канала
имеет
форму
равнобочной
трапеции,
боковые
стороны
которой
равны
меньшему
основанию.
При
каком
угле
наклона
боковых
сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?
42
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ № 3.
Производная и её приложения
Пусть функция y = f ( x) определена в промежутке [a, b]. Исходя из
некоторого значения x = x0 независимой переменной придадим ему приращение Dx, не выводящие его из промежутка [a, b], так что и новое значение
принадлежит промежутку [a, b]. Тогда значение y = f ( x) функции заменится
новым значением y + Dy = f ( x0 + Dx ), т.е. получим приращение
Dy = Df ( x0 ) = f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ).
Предел отношения приращения функции Dy к вызвавшему его приращению Dx независимой переменной при стремлении Dx ® 0, т.е.
f ( x0 + Dx ) - f ( x0 )
Dy
= lim
Dx
Dx ® 0 Dx Dx ® 0
называется производной функции y = f ( x) по независимой переменной x
при данном ее значении x = x0 .
lim
Функция y = f ( x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a, b ) , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
dy
Производная обозначается :
, y ¢ или f ¢( x0 ) .
dx
Правила вычисления производных.
Установим несколько правил, которые могут помочь в вычислении
производных. Будем считать, что функции u = u ( x) , v = v ( x) и y = y ( x) дифференцируемы.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. c¢ = 0 .
2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е. ( u ± v) )¢ = u ¢ ± v¢ .
3. Производная произведения двух функций находится по правилу
(uv)¢ = u ¢ × v + u × v¢ .
Следствие. (cu )¢ = c × u ¢ , т.е. постоянный множитель можно вынести за
знак производной.
43
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
4. Производная частного двух функций находится по правилу
cv¢
æ u ö¢ u ¢v - v¢u
æ c ö¢
=
,
в
частности,
=.
ç ÷
ç
÷
2
2
v
èvø
è
ø
v
v
5. Производная сложной ф ункции.
Пусть y ( x) = f ( u ( x ) ) . Тогда y ¢( x) = f ¢ ( u ) × u ¢( x ).
При применении этой формулы для решения конкретных примеров часто
бывает полезным использовать в качестве искусственного приема введение
промежуточных функций.
Проиллюстрируем это на следующем примере. Вычислим производную
(
функции y = sin 5 6 x 4 + x 2
).
3
(
) . Тогда y = u5.
3
w = ( 6 x 4 - x 2 ) . Тогда u = sin w.
3
Введем функцию u = sin 6 x 4 + x 2
Затем введем функцию
Наконец, введем функцию v = 6 x 4 + x 2 . Тогда w = v3 .
Воспользовавшись этими обозначениями процесс дифференцирования
можно представить следующим образом:
y ¢ = (u 5 )¢ = 5u 4 × u ¢,
u ¢ = (sin w)¢ = (cos w) w¢,
w¢ = (v3 )¢ = 3v 2 v ¢,
v¢ = 24 x3 + 2 x.
Отметим, что все производные берутся по x . Теперь начинаем процесс «собирания» производной
3 ö4
æ
4
2
4
4
2 3
¢
5sin
6
(cos w) w¢ =
y ¢ = 5 ç sin 6 x + x
×
u
=
x
+
x
÷
è
ø
(
)
(
)
(
) (
) × v2 × v¢ =
3
3
2
= 15sin 4 ( 6 x 4 + x 2 ) cos ( 6 x 4 + x 2 ) ( 6 x 4 + x 2 ) ( 24 x3 + 2 x ) .
= 15sin 4 6 x 4 + x 2
3
cos 6 x 4 + x 2
3
Отметим, что приведенная выше процедура может оказаться полезной на
первых порах, пока не выработался автоматизм при вычислении производных.
1
6. Производная обратной функции y ¢x =
, если y = f ( x) и x = j( y ) .
x¢y
44
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
Таблица производных
f ¢( x )
f ( x)
c
0
2.
x
1
un
nu n -1 × u¢
4.
5.
1
u
2 u
1
u
-
1
u2
× u¢
× u¢
au
au × ln a × u¢
7.
еu
eu × u¢
8.
log a u
6.
f ¢( x )
1
1.
3.
f ( x)
9.
ln u
1
× u¢
u ln a
1
× u¢
u
10.
sin u
cosu × u ¢
11.
cosu
- sinu × u ¢
× u¢
12.
tgu
13.
ctgu
14.
arcsinu
15.
arccos u
16.
arctgu
17.
arcctg u
cos u
1
× u¢
2
sin u
1
× u¢
2
1- u
1
× u¢
2
1- u
1
× u¢
1 + u2
1
× u¢
2
1+ u
18.
sh u
ch u × u ¢
19.
ch u
sh u × u ¢
2
1
20.
th u
21.
cthu
2
× u¢
ch u
1
× u¢
2
sh u
Геометрический смысл производной: f ¢( x0 ) = tg a , где tg a равен угловому
коэффициенту касательной кривой y = f ( x) в точке x0 .
121-130.
Пример1. y =
Решение.
Найти производные
5x - 2
2
dy
данных функций
dx
.
x + 5x - 1
Применим правило дифференцирования частного, получим
45
ÏÃÓ
y¢ =
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
(5 x - 2)¢ x 2 + 5 x - 1 - (5 x - 2)( x 2 + 5 x - 1)¢
2
( x + 5 x - 1)
=
2
2 x + 5x - 1
x + 5x - 1
=
(2 x + 5)
=
2
10( x 2 + 5 x - 1) - (5 x - 2)(2 x + 5)
2
2( x + 5 x - 1)
32
=
2
1
5 x 2 + 5 x - 1 - (5 x - 2)
=
Êàô ÂèÏÌ
29 x
2
32
2( x + 5 x - 1)
.
5
Пример 2.
Решение.
1 ö
æ
y = ç 2tg 3 x ÷ .
cos3x ø
è
4
1 ö æ tg 3 x
1 ö¢
æ
tg
3
x
×
y¢ = 5 ç 2
2
÷ ç
÷ =
cos3x ø è
cos3 x ø
è
4
ö
1 ö æ tg 3 x
1
æ tg 3 x
= 5ç 2
ln 2 × (tg 3 x)¢ +
× (cos3 x)¢ ÷ =
÷ ×ç2
cos3 x ø è
è
cos 2 3 x
ø
4
1 ö æ tg 3 x
3
3sin 3 x ö
æ tg 3 x
2
ln
2
= 5ç 2
×
×
÷
÷=
cos3 x ø çè
è
cos 2 3 x cos 2 3 x ø
4
(
)
1 ö
æ tg 3 x
tg 3 x
=
2
ln 2 - sin 3 x .
ç
÷ × 2
2
cos3
x
è
ø
cos 3x
15
2
П р и м е р 3 . y = еarctg x -1 .
Решение.
¢
¢
2
2
1
× æç x 2 - 1 ö÷ =
y ¢ = еarctg x -1 × æç arctg x 2 - 1 ö÷ = еarctg x -1 ×
è
ø
ø
1 + ( x 2 - 1) 2 è
2
2
1
1
1
= еarctg x -1 ×
×
× 2 x = еarctg x -1 ×
.
2
2
2
1+ x -1 2 x -1
x x -1
5 - 4x
П р и м е р 4 . y = ln 4
.
x 2 + 8 x - 10
Решение.
Упростим функцию, воспользовавшись свойствами логарифма:
1 æ 5 - 4x ö 1
1
y = ln ç
= ln(5 + 4 x ) - ln( x 2 + 8 x - 10) , а затем продифферен÷
4 è x 2 + 8 x - 10 ø 4
4
цируем. Получим
46
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
2
1
æ1
ö¢ 1 (5 + 4 x)¢ 1 ( x + 8 x - 10)¢
y ¢ = ç ln(5 + 4 x) - ln( x 2 + 8 x - 10) ÷ = ×
- ×
=
4
4 x 2 + 8 x - 10
è4
ø 4 5 + 4x
1æ 4
2 x + 8 ö 1 æ 4 x 2 + 32 x - 40 - 10 x - 8 x 2 - 40 - 32 x ö
= ç
÷=
÷= ç
÷
4 è 5 + 4 x x 2 + 8 x - 10 ø 4 çè
(4 x + 5)( x 2 + 8 x - 10)
ø
=
1
-4 x 2 - 10 x - 80
x 2 + 2,5 x + 20
×
=.
2
4 (4 x + 5)( x 2 + 8 x - 10)
(4 x + 5)( x + 8 x - 10)
П р и м е р 5 . y = (arcsin x )2 x .
Р е ш е н и е . Прологарифмируем данную функцию
ln y = ln(arcsin x )2 x , ln y = 2 x × ln(arcsin x ) . Продифференцируем обе
части полученного выражения
(ln y )¢ = 2 x × ln(arcsin x ) ¢ Þ
(
)
y¢
ln(arcsin x )
= (2 x )¢ × ln(arcsin x ) + 2 x × (ln(arcsin x ))¢ =
+2 x×
y
x
1
ln(arcsin x )
1
1
1
×
× (arcsin x )¢ =
+2 x×
×
×
=
(arcsin x )
x
(arcsin x ) 1 - x 2 x
=
ln(arcsin x )
x
+
1
(arcsin x ) 1 - x
.
Отсюда следует, что
æ ln(arcsin x )
ö
1
+
y¢ = y × ç
÷=
(arcsin x ) 1 - x ø
x
è
æ ln(arcsin x )
ö
1
= (arcsin x )2 x × ç
+
÷.
x
(arcsin
x
)
1
x
è
ø
dy
d2y
131-160. Для данных функций найти
и
.
dx
dx 2
П р и м е р 1 . y = x3 sin 3 x.
Р е ш е н и е.
dy
= y ¢ = ( x3 sin 3 x )¢ = ( x3 )¢ × sin 3 x + x3 × (sin 3 x)¢ = 3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x;
dx
d2y
dx 2
= y ¢¢ = (3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x)¢ = 6 x sin3 x + 9 x 2 cos3 x + 9 x 2 cos3 x -
47
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
-9 x3 sin 3 x = 3 x ((2 - 3 x 2 )sin 3 x + 6 x cos3 x).
Пример 2.
ìï x = 2t - sin 2t ,
í
3
ïî y = 8sin t.
Р е ш е н и е.
dy y ¢(t )
(8sin 3 t )¢
24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t
=
=
=
=
=
= 6cos t;
dx x¢(t ) (2t - sin 2t )¢ 2 - 2cos 2t
2(1 - cos 2t )
2 × 2sin 2 t
æ dy ö¢
ç ÷
d 2 y è dx ø t
-6sin t
(6cos t )¢
3
=
=
=
=.
2
2
¢
¢
x
(
t
)
(2
t
sin
2
t
)
2sin
t
dx
4sin t
Формула Тейлора.
Рассмотрим функцию y = f ( x) . Формула Тейлора позволяет, при определённых условиях , приближённо представить функцию f ( x) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Если функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 и
имеет в ней производные до (n + 1) -го порядка включительно, то для любого
x из этой окрестности найдётся точка c Î ( x0 ; x) такая, что справедлива формула
f ¢( x0 )
f ¢¢( x0 )
f ( n) ( x0 )
2
f ( x ) = f ( x0 ) +
( x - x0 ) +
( x - x0 ) + ... +
( x - x0 ) n +
1!
2!
n!
f (n +1) (c)
( x - x0 )n +1 , ( c = x0 + q( x - x0 ), 0 < q < 1).
+
(n + 1)!
Эта формула называется формулой Тейлора для функции f ( x) и её
можно записать в виде f ( x ) = Pn ( x) + Rn ( x ) , где
f ¢( x0 )
f ¢¢( x0 )
f ( n) ( x0 )
2
Pn ( x) = f ( x0 ) +
( x - x0 ) +
( x - x0 ) + ... +
( x - x0 )n
1!
2!
n!
на-
f (n +1) (c )
зывается многочленом Тейлора, а Rn ( x) =
( x - x0 ) n +1 называется
(n + 1)!
остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
Rn ( x) есть погрешность приближённого равенства f ( x) » Pn ( x) . Таким образом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию y = f ( x) много-
48
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
Êàô ÂèÏÌ
членом y = Pn ( x ) с соответствующей степенью точности, равной значению
остаточного члена Rn ( x) .
При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу
Маклорена:
f ¢(0)
f ¢¢(0) 2
f ( n) (0) n f (n +1) (c ) n +1
f ( x ) = f (0) +
x+
x + ... +
x +
x ,
1!
2!
( n + 1)!
n!
где c находится между 0 и x ( c = qx, 0 < q < 1) .
Приведём разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций:
еx = 1 +
x x 2 x3
x n еqx x n +1
,
+
+
+ ... +
+
1! 2! 3!
n! ( n + 1)!
2n +1
2n + 3
x3 x 5
n x
n +1 x
sin x = x +
- ... + ( -1)
+ ( -1)
× cos qx ,
3! 5!
(2n + 1)!
(2n + 3)!
2n
2n + 2
x2 x 4
n x
n +1 x
cos x = 1 +
- ... + (-1)
+ (-1)
× cos qx ,
2! 4!
(2n)!
(2n + 2)!
n
x 2 x3 x 4
x n +1
n -1 x
n
,
ln(1 + x) = x +
+ ... + (-1)
+ (-1)
2
3
4
n
(n + 1)(1 + qx)
(1 + x )m = 1 + mx +
+
m(m - 1) 2
m(m - 1)(m - 2)...( m - n + 1) n
x + ... +
x +
2!
n!
m(m - 1)...(m - n)(1 + qx) m - n -1 n +1
x .
(n + 1)!
141-150. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f ( x ) = e x , вычислить значение e0,12 с точностью 0,001.
Р е ш е н и е.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа для функции f ( x ) = е x имеет вид
x 2 x3
xn
x n +1 q x
е =1+ x +
+
+ ... +
+ Rn , где Rn =
е , 0 < q < 1.
2! 3!
n!
(n + 1)!
x
n
a 2 a3
an
Отсюда е » 1 + a +
+
+ ... +
= å uk .
2! 3!
n! k = 0
Значение a = 0,12 принадлежат отрезку [0; 0,5] , следовательно,
a
49
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
qx
0 < qx < 0,5 и е
<е
0,5
Êàô ÂèÏÌ
a n +1 q x 2a n +1
< 2 ; Rn =
.
е <
(n + 1)!
( n + 1)!
При заданной погрешности e = 0,001 точность будет заведомо выполнять2a n +1
a n +1
-1
ся, если мы положим
< 10 e , откуда
< 0,5 × 10-1 e .
(n + 1)!
(n + 1)!
Полагая e = 0,001, получим условие
a n +1
< 0,5 × 10 -4 и при a = 0,12 име(n + 1)!
ем:
u0 = 1 ,
0,12
u1 =
= 0,12 ,
1!
(0,12)2 0,0144
u2 =
=
= 0,0072
2!
2
(0,12)3 0,001728
u3 =
=
= 0,000288 ,
3!
6
(0,12)4 0,00021
u4 =
=
» 0,0000086 < 0,5 × 10-4 .
4!
24
Складывая вычисленные значения, получим
е0,12 » 1 + 0,12 + 0,0072 + 0,000288 + 0,0000086 » 1,1275 .
Заданная точность достигнута при n = 4 .
Правило Лопиталя
Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 . Пусть
g ¢( x) ¹ 0 в окрестности точки x0 .
f ¢( x )
f ( x)
f ¢( x )
Если существует lim
= l , то lim
= lim
=l.
x ® x0 g ¢( x)
x ® x0 g ( x) x ® x0 g ¢( x)
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей ви0 ¥
да и , которые называются основными. Неопределённости вида
0 ¥
0 × ¥, ¥ - ¥, 1¥ , ¥0 , 00 сводятся к двум основным видам путём тождественных преобразований.
151-160. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
Р е ш е н и е.
50
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
а) lim
x®
1 - sin x
p tg 2 2 x
2
.
При x ®
p
0
получаем неопределённость .
2
0
Применяем правило Лопиталя: lim
1 - sin x
2
p
x ® tg 2 x
2
- cos x
= lim
2
p
x ® 2 tg 2 x ×
2
cos2 2 x
Êàô ÂèÏÌ
= lim
(1 - sin x)¢
2
p
x ® (tg 2 x)¢
2
=
- cos3 2 x cos x
1
cos3 2 x cos x
= lim
= - lim
=
p
p 2sin x cos x
4sin 2 x
4
x®
x®
2
2
1
cos3 2 x
1 -1 1
= - lim
=- × = .
p sin x
8
8 1 8
x®
2
б) lim x3 (4 + ln x) .
x ®0
Имеем неопределённость вида 00 .
Обозначим y = x3 (4 + ln x ) . Тогда ln y = ln x3 (4 + ln x ) =
3ln x
,
4 + ln x
3
3ln x
(3ln x )¢
3
æ¥ö
lim ln y = lim
= ç ÷ = lim
= lim x = lim = 3 .
x ®0
x ® 0 4 + ln x è ¥ ø x ® 0 (4 + ln x )¢ x ® 0 1 x ® 0 1
x
Так как ln lim x3 (4 + ln x) = 3 , то lim x3 (4 + ln x) = е3 .
x ®0
x ®0
161-170.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) = 2sin x + cos 2 x на отрезке [0; p 2] .
Р е ш е н и е. Находим критические точки функции из условия
f ¢( x) = 0 . f ¢( x) = 2cos x - 2sin 2 x = 0 . Решаем полученное уравнение:
2cos x - 4sin x cos x = 0 Þ 2cos x (1 - 2sin x) = 0 Þ 2cos x = 0 или 2sin x = 1 .
p
1
p
cos x = 0 Þ x = + pn, n Î Z . sin x = Þ x = (-1)n + pn, n Î Z .
2
2
6
p
p
Из всех найденных критических точек только x =
и x=
принадлежат
6
2
отрезку [0; p 2] . Вычислим значения данной функции при
p
p
1
p
p
æpö
x = 0, x = , x = : f (0) = 1, f ç ÷ = 2sin + cos = 1 + = 1,5 ,
6
2
6
3
2
è6ø
51
ÏÃÓ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
p
æpö
f ç ÷ = 2sin + cos p = 2 - 1 = 1 .
2
è 2ø
æpö
Следовательно, f наиб = f ç ÷ = 1,5;
è6ø
171-180. Решить задачу.
Êàô ÂèÏÌ
æpö
f наим = f (0) = f ç ÷ = 1 .
è2ø
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого круго9
вого конуса заданной вместимости V= 14,14 м3 ( V » p ). Каковы долж2
ны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер
ушло наименьшее количество полотна?
1
Р е ш е н и е. Объём конуса находится по формуле V = pR 2 H , боко3
вая поверхность конуса S = pRl , где l - образующая конуса. l = H 2 + R 2 .
Таким образом, надо найти наименьшее значение функции S = pR R 2 + H 2 ,
1
9
27
при условии, что pR 2 H = p Þ H =
. Следовательно,
3
2
2R2
4 R6 + 729
S ( R) = pR R +
=p
. Исследуем полученную функцию на
4
2
R
4R
экстремум:
2
æ
S ¢( R ) = p ç
ç
è
272
24 R5
× R - 4 R 6 + 729
¢
4 R6 + 729 ö÷ p 2 4 R6 + 729
= ×
=
2
2R
÷ 2
R
ø
p 12 R6 - 4 R6 - 729 p
8 R 6 - 729
= ×
= ×
.
2 R 2 4 R6 + 729
2 R 2 4 R6 + 729
Найдём критические точки из условия S ¢( R ) = 0 .
3
p
8 R 6 - 729
729 æ 9 ö
9
3
×
= 0, 8 R 6 - 729 = 0, R 6 =
=ç ÷ , R=
=
» 2,1
2 R 2 4 R 6 + 729
8
2
2
è2ø
( R ¹ 0 по условию задачи).
H=
27
=
–
27 × 2
= 3 м.
2×9
+
3
2
V ¢( R)
V ( R)
2R2
min
Итак, для того, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна, высота шатра должна быть Н=3м и радиус основания R=2,1м.
52
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.
Приложения дифференциального исчисления
181-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
и, используя результаты исследования, построить её график.
x3 + 4
181. y =
184. y =
x2
182. y =
.
12 - 3 x 2
x 2 - 12
.
x 2 - 3x + 3
187. y =
.
x -1
190. y =
1 - 2x3
x
2
.
193. y = (3 - x)е x - 2 .
196. y =
е2 - x
.
2-x
4 - x3
185. y =
x2
3x4 + 1
x3
186. y =
.
x2 - 4x + 1
188. y =
.
x-4
189. y =
2
x2
.
x2 - x + 1
.
x -1
x3 - 32
x2
.
191. y = е 2x - x .
192. y = 3 x( x - 3) 2 .
194. y = ( x - 2)е3 - x .
195. y = ( x - 1)е3 x +1 .
197. y = -
199. y = 3 x( x + 2) .
183. y =
.
2 x3 + 1
е -( x + 2)
.
x+2
198. y =
еx 2
.
x
200. y = 3 ( x - 1) x 2 .
201-210. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
y = f ( x) в точке M 0 ( x0 , y0 ) .
201. y = ( x - 2)е x , M 0 (0; - 2) . 202. y = ( x 2 + 4)е x , M 0 (0; 4) .
203. y =
1
x2 - 4
, M 0 (1; - 1 3) .
205. y = ( x - 5) x , M 0 (1; - 4) .
207. y =
x2 + 1
2
x +9
, M 0 (0;1 9) .
209. y = ( x 2 - x)2 x , M 0 (0; 0) .
204. y =
x-5
x2 - 1
, M 0 (0; 5) .
206. y = ( x + 1) x , M 0 (1; 2) .
208. y =
210. y =
53
ln x
2
x +1
, M 0 (1; 0) .
1+ x
, M 0 (4; - 3) .
1- x
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
211-220. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
211. 1 + (0,08) 2 .
212. 17 .
213. arcsin 0,49 .
214. cos63o .
215. tg 46o .
216.
217. arctg 0,98 .
218. arccos0,52 . 219. sin 32o .
220.
3(7,05)2 - 6 × 7,05 - 5 .
5(5,08)2 + 4 × 5,08 - 1 .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ № 4.
181-200.
Исследовать методами дифференциального исчисления
функцию и, используя результаты исследования, построить её график.
Схема полного исследования функции
Для полного исследования функции и построения её графика применяется
следующая примерная схема:
1. указать область определения функции;
2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями
координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3. установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
4. исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5. определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
6. найти асимптоты графика функции;
7. произвести необходимые дополнительные вычисления;
8. построить график функции.
( x + 3)2
.
Пример 1. y =
x-4
Р е ш е н и е . Воспользуемся рекомендуемой схемой.
1. Областью определения функции является множество (-¥; 4) È (4; + ¥) .
2. Ордината точки графика у > 0 при x > 4 , y < 0 при x < 4 .
3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:
(0, –9/4) и (– 3, 0).
4. Легко находим, что x = 4 - вертикальная асимптота, причем:
54
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
( x + 3) 2
( x + 3) 2
= -¥;
= +¥ .
lim
lim
x ® 4 - 0 ( x - 4)
x ® 4 + 0 ( x - 4)
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:
y¢ =
2( x + 3)( x - 4) - ( x + 3) 2
( x - 4)
2
=
x 2 - 8 x - 33
( x - 4)
2
.
Из условия у' = 0 следует x 2 - 8 x - 33 = 0 , откуда x1 = 11, x2 = -3 .
+
–
–3
max
+
11
min
min
y¢
y
В интервале ( -¥; - 3) y ¢ > 0 , следовательно, функция возрастает в этом интервале. В (-3; 4) у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке
x = -3 имеет локальный максимум: y (-3) = 0 . В интервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в (11; + ¥) у' > 0, т. е. функция возрастает. В точке x = 11 имеем локальный минимум: y (11) = 28 .
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим
точки перегиба. Для этого найдем
y ¢¢ =
(2 x - 8)( x - 4) 2 - ( x 2 - 8 x - 33) × 2( x - 4)
=
98
.
( x - 4)4
( x - 4)3
Очевидно, что в интервале ( -¥; 4) y ¢¢ < 0 , и в этом интервале кривая выпукла; в (4; + ¥ ) y ¢¢ > 0 , т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при x = 4
функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
7. Находим наклонные асимптоты y = kx + b :
f ( x)
( x + 3) 2
k = lim
= lim
= 1,
x ®±¥ x
x ®±¥ x ( x - 4)
æ ( x + 3) 2
ö
10 x - 9
f
x
kx
x
(
)
=
lim
= 10.
ç
÷ = lim
(
)
÷ x ®±¥ x - 4
x ®±¥
x ®±¥ çè x - 4
ø
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
y = x + 10 .
b = lim
55
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
9. Строим график функции
2
П р и м е р 2 . y = xе - x 2 .
Р е ш е н и е . Воспользуемся общей схемой исследования функции.
1. Область определения функции (-¥; + ¥) .
2. Так как у = 0 при х = 0, то график функции проходит через начало координат.
3. Функция принимает положительные значения в интервале (0; + ¥) и отрицательные в интервале (-¥; 0) .
4. Вертикальных асимптот нет.
2
5. Так как y (- x ) = - xе - x 2 = - y ( x) , то функция нечетна и ее график симметричен относительно начала координат.
6. Исследуем функцию на монотонность:
2
2
2
æ x ö¢ е x 2 - x × xе x 2 е x 2 (1 - x 2 ) 1 - x 2
=
= 2 .
y¢ = ç 2 ÷ =
ç x 2÷
x2
x2
е
е
еx 2
èе
ø
Если y ¢ = 0 , то 1 - x 2 = 0 , откуда x1 = -1, x2 = 1 .
–
+
–1
min
–
1
max
y
1
» -0,6 , ymax (1) =
» 0,6 .
е1 2
е1 2
7. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:
ymin (-1) = -
1
y¢
56
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
2
2
2
æ 1 - x 2 ö¢ -2 xе x 2 - (1 - x 2 ) × xе x 2 xе x 2 (-2 - 1 + x 2 )
y ¢¢ = ç 2 ÷ =
=
=
ç x 2÷
x2
x2
е
е
èе
ø
=
x ( x 2 - 3)
е
x2 2
.
Если y ¢¢ = 0 , то x( x 2 - 3) = 0 , откуда следует x1 = 0, x2 = - 3,
x3 = 3 .
–
+
- 3
–
+
3
0
y¢¢
y
Так как в точках x = ± 3, x = 0 вторая производная у" меняет знак, то при
этих значениях x на графике функции получаем точки перегиба, ординаты
которых:
y (± 3) = ±
3
32
» ±0,4, y (0) = 0 .
е
8. Ищем наклонные асимптоты y = kx + b :
f ( x)
1
= lim
= 0,
2
x ®±¥ x
x ®±¥ е x 2
x
1
b = lim ( f ( x ) - kx ) = lim
= lim
=0.
2
2
x ®±¥
x ®±¥ е x 2 x ®±¥ xе x 2
Получаем горизонтальную асимптоту y = 0 .
k = lim
Полученные данные позволяют построить график функции.
П р и м е р 3 . y = 3 x 2 ( x + 3) .
Решение.
1. Данная функция определена для всех x Î R .
2.Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось Ox при x = -3 и
x = 0 , а ось Oy - при у = 0.
57
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
3.Функция не является четной, нечетной, периодической.
4. Находим производную функции
(
)
(
)
x+2
¢ 1
f ¢( x) = ( x3 + 3 x 2 )1 3 = ( x3 + 3 x 2 )-2 3 × 3 x 2 + 6 x =
.
3
3 x ( x + 3) 2
f ¢( x) = 0 при x1 = -2 и не существует в точках x2 = -3, x3 = 0 . Эти точки
разбивают всю область определения функции на интервалы
(– ¥ ; –3), (– 3; –2), ( –2; 0), (0; + ¥ ). Внутри каждого из полученных интервалов сохраняется знак производной.
+
+
–3
+ y¢
–
–2
max
0
min
y
ymax = 3 4 , ymin = y (0) = 0 . В точке x2 = -3 функция не имеет экстремума,
так как в ее окрестности f ¢( x ) не меняет знака.
4. Находим вторую производную:
æ
ö¢
x
2
2
+
÷ =.
f ¢¢( x ) = ç
ç 3 x( x + 3)2 ÷
3 x 4 ( x + 3)5
è
ø
f ¢¢( x ) ¹ 0 для любого конечного х. Поэтому точками перегиба могут быть
только те точки кривой, в которых вторая производная не существует, т. е.
x2 = -3 и x3 = 0 . Определим знак у" в каждом из интервалов, на которые
найденные точки разбивают область определения функции: f ¢¢( x ) > 0 при
x Î (-¥; - 3) , кривая вогнута; f ¢¢( x ) < 0 при x Î (-3; 0) È (0; + ¥) , кривая выпукла. Так как в окрестности точки x2 = -3 вторая производная меняет знак,
то М(–3; 0) является точкой перегиба. Точка x3 = 0 не является точкой перегиба, так как в ее окрестности знак f"(x) не меняется.
6. Вертикальных асимптот нет, так как данная функция не имеет бесконечных разрывов. Ищем наклонные асимптоты y = kx + b :
3 x 2 ( x + 3)
3
f ( x)
k = lim
= lim
= lim 3 1 + = 1 ,
x
x
x ®±¥ x
x ®±¥
x ®±¥
b = lim
x ®±¥
( f ( x) - kx ) =
lim æç 3 x 2 ( x + 3) - x ö÷ =
ø
x ®±¥ è
58
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
x 2 ( x + 3) - x3
= lim
x ®±¥ 3 x 4 ( x + 3) 2 + x 3 x 2 ( x + 3) + x 2
= lim
3x2
x ®±¥ 3 x 4 ( x + 3)2 + x 3 x 2 ( x + 3) + x 2
3
= lim
= 1.
6 9 3
3
31+ +
+ 1+ +1
x x2
x
Получили уравнение наклонной асимптоты y = x + 1 .
x ®±¥
7. Прежде чем строить график функции, целесообразно установить угол
a , под которым кривая пересекает ось абсцисс в точках x2 = -3 и x3 = 0 . В
p
этих точках y ¢ = tg a = ¥ и a = . Так как в точке x3 = 0 функция достигает
2
нулевого минимума, то ее график не расположен ниже оси Ох в окрестности
этой точки. Точка x3 = 0 является точкой возврата графика функции.
8. По результатам исследования строим график функции.
201-210. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
3
y = 4 x - 3 x 2 в точке M 0 (1;1) .
Р е ш е н и е. Уравнение касательной кривой y = f ( x) в точке x0 имеет вид
y = f ( x0 ) + f ¢( x0 ) × ( x - x0 ) .
Уравнение нормали к кривой y = f ( x) в точке x0 имеет вид
y = f ( x0 ) -
1
( x - x0 ) .
f ¢( x0 )
Если f ¢( x0 ) = 0 , то уравнение нормали имеет вид x = x0 .
59
=
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
3
В данном случае f ( x) = 4 x - 3 x 2 и f ( x0 ) = y0 = 1 . Найдём
¢
2
2
3
f ¢( x) = çæ 4 x - 3 x 2 ö÷ = 4 - 3 × x -1 3 = 4 . Вычислим
3x
3
è
ø
f ¢( x0 ) = 4 -
2
3x
x =1
= 2 . Подставим в уравнение касательной, получим:
y = 1 + 2( x - 1) Þ y = 2 x - 1 или 2 x - y - 1 = 0 .
Подставим в уравнение нормали значения функции y = f ( x) и её производной в точке x0 = 1 , получим:
1
1
3
y = 1 - ( x - 1) Þ y = - x +
или x + 2 y - 3 = 0 .
2
2
2
Дифференциал функции
Пусть функция y = f ( x) имеет в точке x отличную от нуля производную
Dy
Dy
= f ¢( x) + a , где
= f ¢( x ) ¹ 0 . Тогда можно записать
Dx
Dx ® 0 Dx
a ® 0 при Dx ® 0 , или Dy = f ¢( x ) × Dx + a × Dx .
Таким образом, приращение функции Dy представляет собой сумму
двух слагаемых f ¢( x) × Dx и a × Dx , являющихся бесконечно малыми при
Dx ® 0 . Первое слагаемое f ¢( x) × Dx называется главной частью приращения функции Dy .
Дифференциалом функции y = f ( x) в точке x называется главная
часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy = f ¢( x) × Dx . Так как x ¢ = 1 , то dx = Dx ,
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому
dy = f ¢( x )dx .
Отбрасывая бесконечно малую a × Dx в приращении функции Dy , получаем приближённое равенство Dy » dy , причём это равенство тем точнее,
чем меньше Dx . Приближённое равенство можно записать в виде
f ( x + Dx) - f ( x ) » f ¢( x) × Dx или
f ( x + Dx) » f ( x ) + f ¢( x) × Dx .
Полученная формула используется для вычисления приближённых значений
функций.
lim
60
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
211-220. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
а) 3 84 , б) arctg 0,98 .
П р и м е р 1 . 3 84 .
Р е ш е н и е . Представим данную величину в виде 3 84 = 3 64 + 20 и введём
функцию y = 3 x , где x = x0 + Dx , где x0 = 64; Dx = 20 . Воспользуемся формулой y ( x0 + Dx ) » y ( x0 ) + y ¢( x0 ) × Dx . Получим: y ( x0 ) = 3 64 = 4,
20
1
1
1
= 4,42 .
. Вычислим 3 84 » 4 +
y¢ =
, y ¢(64) =
=
3 2
48
3
16
48
×
3 x
П р и м е р 2 . arctg 0,98 .
Р е ш е н и е . Аналогично предыдущему: y = arctg x, x0 = 1, Dx = -0,02,
y ( x0 ) = arctg1 =
p
1
, y¢ =
, y ¢(1) = 0,5.
2
4
1+ x
arctg 0,98 » p 4 - 0,5 × 0,2 = 0,77.
61
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 5.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5.
Неопределённый и определённый интегралы
221-230. Найти неопределённые интегралы
ò
221. а)
x3 + 6 x 2 + 10 x + 12
( x - 2)( x + 2)3
а)
а)
в)
ò
x2 - 6 x + 8
3
x +8
ctg 7 x
ò sin 2 7 x
ò
ò
dx ;
dx ;
dx
1 - x 2 arcsin 3 x
12 - 6 x
x3 - 6 x 2 + 13 x - 8
x( x - 2)3
arccos x
dx ;
1- x
б)
ò
г)
ò 5 - 4sin x + 2cos x .
dx
г) ò cos4 x dx .
ò ( x + 1)( x2 - 4 x + 13) dx ;
x2 + 3x - 6
x ln 2 x dx ;
ò
б) ò ( x 2 + 4) e 2 x dx ;
;
б) ò x arctg2 x dx ;
dx ;
г)
226. а) ò e3cos x + 2 sin x dx ;
в)
dx ;
г) ò sin 4 x dx .
3
225. а) ò e2 x -1x 2 dx ;
в)
1+ x
3
dx ;
ò ( x + 2)( x + 1)3
arcsin x
г) ò tg 4x dx .
dx ;
б)
2 x3 + 6 x 2 + 5 x
ò
б)
ò sin 3 2 x dx ;
в)
224.
dx ;
cos 2 x
а)
в)
223.
x -1
ò
в)
222.
3 ln 2 ( x - 1)
ò ( x + 1)( x2 + 6 x + 13)
б)
dx ;
г)
62
cos3 x
ò4
5
dx .
sin x
ò ln(2 x - 1) dx ;
dx
ò 3sin x + 4cos x .
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 5.
227.
2x + 1
x3 + 6 x 2 + 14 x + 10
ò
в)
( x + 1)( x + 2)
2x - 3
а) ò
228.
в)
3
x -1
3x + 4
230. а)
в)
dx ;
x ( x + 2)3
(arctg x)2 + 1
1+ x
ò
5
sin 4 x cos3 x dx .
б) ò x tg 2 x dx ;
x3 + 6 x 2 + 13 x + 8
ò
г)
dx ;
4 - x2
ò
г) ò cos4 x sin 2 x dx .
dx ;
б) ò x 2 cos2 x dx ;
x 2 + 3x + 2
а) ò
229.
3
dx ;
x2 + 9
ò
в)
б) ò x sin 2 x dx ;
ò 5 x2 + 2 dx ;
а)
2
dx ;
2 tg x + 3
ò sin 2 x + 2cos2 x dx .
г)
dx ;
3 x + 13
ò ( x - 1)( x2 + 2 x + 5) dx ;
æ
1 + x 2 ö÷ dx ;
ø
б)
ò ln çè x +
г)
ò 5 + 2sin x + 3cos x .
dx
231-240. Вычислить определённые интегралы с точностью до двух
знаков после запятой
6
231.
ò
а)
x2 - 9
x4
3
1
232.
4 - x2
ò
а)
x2
2
1
233.
а)
dx ;
б)
а)
ò
1 x
dx ;
x3 + 1
2
dx .
x 2 dx
б) ò
.
x
x
(
1)
1
2
2 ln 2
б)
0
234.
ex + 3
5
4 - x dx ;
3
ò
ex - 1
e
0
2
ò
ln 5 x
4 - x2
ò
б)
63
x
ln 2 e - 1
4
dx ;
dx
.
dx
ò 1 + 2x + 1 .
0
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 5.
2
235.
2 - x2
ò
а)
x4
1
1
236.
ò
а)
1
2
8
1 x
x dx
.
x
+
1
3
ò
б)
;
б)
;
2
б)
х +1
dx
ò
x
-x
ln 2 e - e
13
dх
2
;
ln 3
2
32
0 ( x + 3)
ò
e x - 1 dx .
ò
б)
0
dx
а) ò
а)
dx ;
(1 + x 2 )3
1
238.
ln 2
dx
3 x
3
237.
Êàô ÂèÏÌ
.
x +1
ò 3 2 x + 1 dx .
0
3
4
239.
а) ò
2
3
240.
0
x2 - 4
dx ;
x
2
x +9
0
ò
1 - ex
ln 3 1 + e
29
x3
а) ò
б)
dx ;
б)
x
dx .
3 ( x - 2) 2
ò
2
3
3 3 + ( x - 2)
dx .
241-250. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
¥
241.
ò x2 + 4 х + 5 ;
а)
1
¥
242.
а)
1
dх
б)
dx
б)
0
243.
а)
ò
4
¥
244. а)
245. а)
ò4
dх
х2 - 4х + 1
х dx
2 5
0
(16 + х )
¥
х3
ò3
0
2
( х + 8)
4
2 x dx
0 1- x
1
ò 2 x2 - 2 x + 1 ;
¥
ò
;
б)
б)
dx ;
б)
64
.
x dx
ò 1 - x4 .
0
2 33
ò
0
1
;
4
ln(2 - 3 x)
dx .
2 - 3x
ò
ln 2dx
1
dx
2
1 2 (1 - x)ln (1 - x )
ò
2
1 4 20 х - 9 х + 1
.
.
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 5.
¥
246.
а)
ò
0
¥
247. а)
4
¥
х3
ò
4
0 16 x + 1
¥
249.
а)
а)
ò
б)
13
3
;
б)
ò3
1
ln(3 x - 1)
dx .
3x - 1
dx
5
dx ;
dx
ò
б)
2
0 9x - 9x + 2
3
ò 16 x 4 - 1 dx ;
б)
ò
1
1
х
ò 16 x 4 + 1 dx ;
б)
0
.
(3 - x )
13
16 х
0
¥
250.
;
16 x - 1
1
248. а)
( x 2 + 4)3
х dx
ò
1
х dx
dx
2
.
.
х - 6х + 9
dx
ò 3 2 - 4x .
0
251. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной
уравнением в полярных координатах r = 3 cos 2j.
252. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 - x и
1
1
y=- x+2 .
2
2
253. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной паì х = 4(t - sin t );
раметрическими уравнениями í
( 0 £ t £ 2p ).
î y = 4(1 - cos t ).
254. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 x и
3
1
x+2 .
4
4
255. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной
уравнением в полярной системе координат r = 3(1 + cos j) .
y=
256. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 5 - x
3
и y = - x + 6.
4
257. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной
уравнением в полярных координатах r = 4sin 2j .
65
ÏÃÓ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 5.
Êàô ÂèÏÌ
258. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 x - 5 и
1
y = x.
2
259. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной паì х = 3cos t ;
раметрическими уравнениями í
( 0 £ t £ p ).
=
y
2sin
t
.
î
260. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 x - 3
1
и y = x + 1.
2
261. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением
y = х - x 2 - arccos x + 5, 1 9 £ x £ 1 .
262. Вычислить длину дуги линии, заданной параметрическими уравìï х = 2cos3 t;
нениями í
( 0 £ t £ 2p )..
3
ïî y = 2sin t.
263. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением
y = 1 - x 2 + arcsin x, 0 £ x £ 7 9 .
264. Вычислить длину дуги линии, заданной параметрическими уравìï х = et (cos t + sin t );
нениями í
( 0 £ t £ p ).
t
ïî y = e (cos t - sin t ),
265. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением
y = - ln cos x, 0 £ x £ p 6 .
266. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением в полярной
системе координат r = 5(1 - cos j), - p 3 £ j £ 0 .
267. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением
y = 1 - х 2 + arccos x, 0 £ x £ 8 9 .
268. Вычислить длину дуги линии, заданной параметрическими
ì х = 8(cos t + t sin t );
уравнениями í
( 0 £ t £ p 4 ).
=
y
8(sin
t
t
cos
t
).
î
269. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением
y = 1 - ln( x 2 - 1), 3 £ x £ 4 .
270. Вычислить длину дуги линии, заданной уравнением в полярной
системе координат r = 3(1 + sin j), - p 6 £ j £ 0 .
66
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Неопределённый и определённый интегралы
1. Неопределённый интеграл
Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) , если
F ¢( x) = f ( x) . Всякая функция вида F ( x) +С, где С – произвольная постоянная, также является первообразной для f ( x) , т.к. ( F ( x) +С)¢= f ( x) . Совокупность всех первообразных для функции f ( x) называется неопределённым интегралом и записывается в виде
ò f ( x)dx = F ( x) + C ,
где f ( x) – подынтегральная функция, С – произвольная постоянная.
Таблица неопределённых интегралов
1)
x n +1
+ C , n ¹ -1 ;
2) ò x dx =
n +1
dx
1
=- +C;
2б) ò
x
x2
n
ò dx = x + C ;
dx
ò x =2 x +C;
dx
3) ò
= ln x + C ;
x
2а)
ax
4) ò a dx =
+ C , (a > 0; a ¹ 1) ; 5) ò e x dx = e x + C ;
ln a
6) ò sin x dx = - cos x + C ;
7) ò cos x dx = sin x + C ;
x
8)
dx
ò sin 2 x = - ctg x + C ;
9)
dx
ò cos2 x = tg x + C ;
dx
1
x
=
+C;
arctg
ò x2 + a2 a
a
dx
1
x-a
1
x+a
= ln
+ C = - ln
+C;
11) ò
2a x - a
x 2 - a 2 2a x + a
dx
x
12) ò
= arcsin + C ;
a
a2 - x2
10)
13)
ò
dx
= ln x + x 2 ± a 2 + C ;
x2 ± a 2
dx
x
1
= ln tg + C = ln
- ctg x + C ;
14) ò
sin x
2
sin x
dx
1
æ x pö
15) ò
= ln tg ç + ÷ + C = ln
+ tg x + C .
cos x
cos x
è2 4ø
67
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Основные свойства неопределённого интеграла
1.
ò f ¢( x)dx = ò df ( x) = f ( x) + C ;
d ò f ( x )dx = d ( F ( x) + C ) = f ( x )dx ;
ò ( f1 ( x) ± f 2 ( x) ) dx = ò f1 ( x)dx ± ò f2 ( x)dx ;
3. ò kf ( x )dx = k ò f ( x)dx, k = const ;
4. Если ò f ( x)dx = F ( x) + C и u = j( x ) , то ò f (u )du = F (u ) + C .
2.
В частности,
1
ò f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C .
Основные методы интегрирования функций.
1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала.
Свойство 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А
именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой
независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией. Прежде, чем использовать тот
или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду
ò f (j( x)) j¢( x)dx = ò f (u )du , где u = j( x) .
В связи с этим полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов, а именно:
1
1
dx
1) dx = d (ax + b) , а¹0;
2) хdx = d ( x 2 ) ;
3)
= 2d ( х ) ;
a
2
х
dx
4)
= d (ln x) ;
5) e x dx = d (e x ) ;
x
6) sin x dx = - d (cos x ) ;
7) cos x dx = d (sin x) ;
dx
dx
8)
= d (tg x) ;
9)
= - d (ctg x ) ;
2
2
cos x
sin x
dx
dx
= d (arctg x) .
11)
10)
= d (arcsin x) ;
2
2
+
1
x
1- x
Пример 1.
dx
1 d (1 - 3 x)
1 du
1
ò 1 - 3x = - 3 ò 1 - 3x = u = 1 - 3x = - 3 ò u = - 3 2 u + C =
68
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2
1 - 3x + C .
3
Пример 2.
=-
u = 3x2 - 2
1 d (3 x 2 - 2) 5 d ( 3 x)
=
ò 3x2 - 2 dx = 3 ò 3x 2 - 2 - 3 ò 3x2 - 2 dx = t = 3x
2х - 5
=
dt
t- 2
1 du 5
1
5
1
1
= ln u ×
ln
+ C = ln 3 x 2 - 2 ò
ò
3 u
3
3 t2 - 2 3
3 2 2 t+ 2
-
5
2 6
ln
3x - 2
+C.
3x + 2
Пример 3.
arcsin x + x
arcsin x
x
dx = ò
dx + ò
dx = ò arcsin x d (arcsin x ) ò
2
2
2
1- x
1- x
1- x
u = arcsin x
1 d (1 - x 2 )
1 dt u 2 1
- ò
=
= ò udu - ò
=
- 2 t=
2
2
2
2
2
2
t
1
t
x
=
1- x
=
arcsin 2 x
- 1 - x2 + C .
2
1.2 Интегрирование подстановкой.
Полагая x = j(t ) , где t- новая переменная и j - непрерывно дифференцируемая функция, то будем иметь
ò f ( x)dx = ò f ( j(t ) ) j¢(t ) dt .
Функцию j(t ) стараются выбирать таким образом, чтобы интеграл, стоящий
в правой части приобрёл более удобный для интегрирования вид.
Пример 1.
t = x -1,
òx
x - 1 dx = тогда x = t 2 + 1 = ò (t 2 + 1) t × 2t dt = 2ò (t 4 + t 2 )dt =
и dx = 2t dt
5
3
2
2
2
2
2(3 x + 2)
= t 5 + t 3 + C = ( x - 1) 2 + ( x - 1) 2 + C =
( x - 1)3 + C .
5
3
5
3
15
69
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е п о д с т а н о в к и.
Пусть а >0, тогда:
1) Если интеграл содержит
a 2 - x 2 , то полагают x = a sin t , тогда
a 2 - x 2 = a cos t , dx = a cos t dt .
2) Если интеграл содержит
x 2 - a 2 = a tg t , dx =
x 2 - a 2 , то полагают x =
a sin t
cos2 t
a
, тогда
cos t
dt .
3) Если интеграл содержит x 2 + a 2 , то полагают x = a tg t , тогда
a
a
x2 + a 2 =
dt .
, dx =
2
cos t
cos t
Пример 2.
ò
=ò
x2 + 4
x
2
dx =
2
2
a = 2, x = 2 tg t ,
x2 + 4 =
x
tg t = , cos t =
2
2
×
2dt
2
=ò
2
x +4
dt
, sin t = tg t × cos t =
=ò
2
2
2dt
, dx =
,
cos t
cos2 t
sin 2 t + cos 2 t
2
x
=
x2 + 4
dt =
cos t × 4 tg t cos t
cos t × sin t
cos t × sin t
dt
cos t
1
d (sin t )
1
1
=ò
+ò
dt = ln tg t +
+ò
= ln tg t +
=.
2
2
cos t
cos
t
cos
t
sin
t
sin t
sin t
x + x2 + 4
= ln
2
x2 + 4
+C.
x
1.3 Интегрирование по частям
Если u = j( x ) и v = y( x) - дифференцируемые функции, то имеет место
формула интегрирования по частям: ò udv = uv - ò vdu .
В интегралах вида: ò P( x)e ax dx,
P ( x ) – многочлен, полагают u = P ( x) .
Пример 1.
ò (x
2
+ x) cos 2 xdx =
ò P( x)sin ax dx, ò P( x)cos ax dx , где
u = x 2 + x, du = (2 x + 1)dx
=
1
dv = cos 2 xdx, v = ò cos 2 xdx = sin 2 x
2
70
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
1
1
( x 2 + x)
= ( x + x) × sin 2 x - ò sin 2 x × (2 x + 1) dx =
sin 2 x 2
2
2
2
u = 2 x + 1, du = 2dx
1
- ò (2 x + 1)sin 2 xdx =
=
1
2
dv = sin 2 xdx, v = - cos 2 x
2
( x2 + x)
1æ 1
1
ö
sin 2 x - ç - cos 2 x × (2 x + 1) - ò - cos 2 x × 2 dx ÷ =
=
2
2è 2
2
ø
=
( x2 + x)
(2 x + 1)
1
( x2 + x)
sin 2 x +
cos 2 x - ò cos 2 xdx =
sin 2 x +
2
4
2
2
(2 x + 1)
1
(2 x 2 + 2 x - 1)
(2 x + 1)
cos 2 x - sin 2 x + C =
sin 2 x +
cos 2 x + C .
+
4
4
4
4
В интегралах вида: ò P( x)ln x dx,
ò P( x)arcsin x dx, ò P( x)arctg x dx ,
где Р(х) –степенная функция, полагают u = ln x , либо u = arcsin x , либо
u = arctg x .
Пример 2.
ò
x arcsin 2 x
1 - 4x
u = arcsin 2 x, du =
=
dv =
xdx
1 - 4x
2
,v= ò
2
dx =
2dx
1 - 4 x2
1 d (1 - 4 x 2 )
1
=- ò
= - 1 - 4x2
8
4
1 - 4 x2
1 - 4x2
xdx
=
1
2dx
æ 1
ö
1 - 4 x 2 ÷ - ò - 1 - 4 x2 ×
=
2
4
è 4
ø
1 - 4x
1
1
1
x
=1 - 4 x 2 × arcsin 2 x + ò dx = 1 - 4 x 2 × arcsin 2 x + + C .
4
2
4
2
= arcsin 2 x × ç -
Пример 3.
ò ln( x
2
+ 1)dx =
u = ln( x 2 + 1), du =
dv = dx,
2 xdx
x 2 + 1 = x ln( x 2 + 1) v = ò dx = x
71
ÏÃÓ
-ò x ×
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2 xdx
2
x +1
x2
2
= x ln( x + 1) - 2ò
x2 + 1
2
= x ln( x + 1) - 2
dx + 2
2
òx
+1
2
2
x +1
dx = x ln( x + 1) - 2ò
dx
ò x2 + 1 =x ln( x
2
( x 2 + 1) - 1
2
x +1
dx =
+ 1) - 2 x + 2arctg x + C .
1.4 Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части
сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
P( x)
, где P ( x) и Q ( x) - многочлены, причём степень числителя ниже степени
Q ( x)
знаменателя. Знаменатель правильной дроби может быть разложен на множители и представлен в виде
Q( x) = an ( x - x1 ) k1 ...( x - xr ) kr ( x 2 + p1x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,
где x1 ,... xr - действительные корни (простые или кратные), а каждый квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант, т.е. D = p 2 - 4q < 0 .
P ( x)
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь
, знаменаQ ( x)
тель которой разложен на множители
Q( x) = an ( x - x1 ) k1 ( x - x2 ) k2 ...( x 2 + p1x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей
суммы простейших дробей:
Ak1
Bk2
A1
A2
B1
B2
P( x)
=
+
+ ... +
+
+
+ ... +
+ ...
Q ( x) x - x1 ( x - x1 )2
( x - x1 )k1 x - x2 ( x - x2 )2
( x - x2 )k2
... +
C1 x + D1
2
x + p1 x + q1
+
2
C2 x + D2
( x + p1 x + q1 )
2
+ ... +
Cl1 x + Dl1
2
l1
+ ...
( x + p1 x + q1 )
M ls x + N ls
M1 x + N1
M 2 x + N2
+
+ ... +
... +
,
2
2
2
ls
2
x + ps x + qs ( x + ps x + qs )
( x + ps x + qs )
где A1 , A2 ..., B1 , B2 ..., C1 , D1..., M1, N1... - некоторые действительные коэффициенты.
Пример 1.
ò
3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
( x - 1)( x + 1)3
dx
72
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, имеет
два корня: простой x1 = 1 и кратный x2 = -1 (кратность которого k2 = 3 ), поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид
3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
A
В
С
D
+
+
+
=
x - 1 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)3
( x - 1)( x + 1)3
Приведём правую часть к общему знаменателю
=
=
A( х + 1)3 + В ( х - 1)( x + 1) 2 + С ( x - 1)( x + 1) + D( x - 1)
( x - 1)( x + 1)3
Приравняем числители исходной и полученной дробей
3 х3 + 9 х 2 + 10 х + 2 = А( х + 1)3 + В( х - 1)( x + 1) 2 + С ( x - 1)( x + 1) + D( x - 1)
при х = 1 получим 24 = 8A , отсюда следует, что А=3;
при х = -1 получим -2 = -2D Þ D =1.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов В и С применим
метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем коэффициенты
при x3 и при x 0 ( или положим x = 0 ) слева и справа от знака равенства
х3 3 = А + В Þ В = 3 - А = 0;
х 0 2 = А - В - С - D Þ C = A - B - D - 2 = 0.
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь может
быть представлена в виде
3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
( x - 1)( x + 1)3
=
3
1
+
x - 1 ( x + 1)3
и, следовательно,
ò
3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
( x - 1)( x + 1)3
Пример 2.
dx = = ò
3
1
1
dx + ò
dx = 3ln x - 1 +C.
3
2
( x - 1)
( х + 1)
2( x + 1)
2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
ò ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3) dx
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла, имеет действительный кратный корень x = -2 (кратность которого k1 = 2 ), квадратный трёхчлен х 2 + 2 х + 3 имеет D = -8 < 0 , поэтому разложение дроби на
простейшие имеет вид
2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
A
B
Mx + N
+
+
=
( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3) x + 2 ( x + 2)2 x 2 + 2 x + 3
Приведём правую часть к общему знаменателю
=
73
ÏÃÓ
=
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В( х 2 + 2 х + 3) + Mx( x + 2) 2 + N ( x + 2) 2
( x + 2)2 ( х 2 + 2 х + 3)
Приравняем числители исходной и полученной дробей
2 х3 + 11х 2 + 16 х + 10 = A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В ( х 2 + 2 х + 3) +
+ Mx( x + 2)2 + N ( x + 2) 2 .
при х = -2 получим 6 = 3B , отсюда следует, что В =2.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов А, М и N
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем коэффициенты при x3 , x 2 , x 0 слева и справа от знака равенства
х3 2 = А + M ;
x 2 11 = 4 A + B + 4 M + N Þ 4 A + 4 M + N = 9;
х 0 10 = 6 А + 3В + 4 N Þ 6 А + 4 N = 4.
ì A + M = 2,
ï
Решая систему уравнений í 4( A + M ) + N = 9, найдём N = 1,
ï6 A + 4 N = 4
î
A = 0, M = 2.
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3)
=
2
+
( x + 2)2
2x + 1
x2 + 2x + 3
и, следовательно,
2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
ò ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3)
2
ò ( x + 2) 2
dx = -
2x + 1
ò x2 + 2x + 3
=ò
dx = ò
2
( x + 2)
2
dx + ò
2x + 1
2
x + 2x + 3
dx (=)
2
;
х+2
dx =
х 2 + 2 х + 3 = ( х + 1)2 + 2
2
(2 x + 2)dx = d ( x + 2 x + 3)
(2 x + 2) dx
x2 + 2 x + 3
-ò
dx
( x + 1) 2 + 2
=ò
=ò
2x + 2 - 1
2
x + 2x + 3
d ( x 2 + 2 x + 3)
x2 + 2x + 3
1
( x + 1)
= ln х 2 + 2 х + 3 arctg
+C;
2
2
74
-
dx =
1
( x + 1)
arctg
=
2
2
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
(=) -
x +1
2
1
+ ln х 2 + 2 х + 3 arctg
+ C.
x+2
2
2
1.5 Интегрирование тригонометрических функций.
Интегралы вида
ò sin
m
x cos n x dx .
1) Если m = 2к+1 – нечётное положительное число, то полагают
m
n
2k
n
ò sin x cos x dx = - ò sin x cos x d (cos x) =
= - ò (1 - cos2 x )k cosn x d (cos x) = cos x = t = - ò (1 - t 2 )k t n dt
, т.е. инте-
грал сводится к интегрированию степенной функции относительно cos x .
Аналогично поступают, если n – нечётное положительное число.
Пример 1.
ò
4 cos x × sin5 x dx =
= - ò 4 cos x × sin 4 x d (cos x) = - ò 4 cos x (sin 2 x) 2 d (cos x) =
= - ò 4 cos x (1 - cos2 x)2 d (cos x) = cos x = t = - ò t1 4 (1 - t 2 ) 2 dt =
4t 5 4
4t13 4 4t 21 4
= - ò (t - 2t
+t
+2
+C=
)dt = 5
13
21
2 ö
2
æ2 4
æ2 4
ö
4
= -2t 5 4 ç - t 2 + t 4 ÷ = -2 cos5 x ç - cos 2 x + cos4 x ÷ + C .
21 ø
21
è 5 13
è 5 13
ø
14
94
Пример 2.
17 4
ò ctg
3
2x dx =
cos3 2 x
1 cos 2 2 x d (sin 2 x ) 1 (1 - sin 2 2 x) d (sin 2 x)
=ò
dx = ò
= ò
=
2
2
sin 3 2 x
sin 3 2 x
sin 3 2 x
1 (1 - t 2 )dt 1 dt 1 t 2 dt
1
1 dt
=
=
=
ò
3
3 2ò 3
2 2ò t
2ò
2
t
t
t
4t
1
1
1
1
=- ln t + C = - ln sin 2 x + C .
4t 2 2
4sin 2 2 x 2
= sin 2 x = t =
75
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2) Если m и n – чётные положительные числа, то подынтегральное
выражение преобразуют с помощью формул
1
1
1
sin 2 x = (1 - cos 2 x), cos2 x = (1 + cos 2 x), sin x × cos x = sin 2 x.
2
2
2
Пример 3.
ò cos
2
3 x × sin 4 3x dx =
sin 2 6 x 1 - cos6 x
= ò (cos3 x × sin 3 x) sin 3 x dx = ò
×
dx =
4
2
1
1 1 - cos12 x
1
= ò (sin 2 6 x - sin 2 6 x × cos6 x )dx = ò
dx - ò sin 2 6 x d (sin 6 x) =
8
8
2
48
2
2
1
1
1 sin 3 6 x x sin12 x sin 3 6 x
= ò dx - ò cos12 x dx - ×
=
+C.
16
16
48
3
16
192
144
3) Если m и n – чётные числа, но одно из них отрицательное, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции относительно tg x или
ctg x .
Пример 4.
1
1 3
dx
dx
2
(1
tg
)
(tg
)
tg
tg x + C .
=
×
=
+
x
d
x
=
x
+
ò cos 4 x ò cos2 x cos2 x ò
3
Интегралы вида
ò R(sin x, cos x) dx .
x
1) С помощью подстановки tg = t , откуда
2
sin x =
2t
, cos x =
1 - t2
, dx =
2dt
1 + t2
1 + t2
1 + t2
интеграл приводится к интегралу от рациональной функции относительно
переменной t.
Пример 1.
2dt
2dt
dx
1 + t2
1 + t2
=
=
=
ò cos x + 2sin x + 3 ò 1 - t 2
ò
2
2
2t
1 - t + 4t + 3 + 3t
+2
+3
1 + t2
1 + t2
1 + t2
dt
dt
2dt
=ò
=ò
=ò
= arctg(t + 1) + C =
2
2
2
2t + 4t + 4
(t + 1) + 1
t + 2t + 2
æ x
ö
= arctg ç tg + 1 ÷ + C .
è 2 ø
76
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2) Если R (- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x ) , то для приведения интеграла к
рациональному виду можно применить подстановку tg x = t , тогда
sin x =
t
1+ t
2
1
, cos x =
1+ t
2
, dx =
dt
1 + t2
.
Пример 2.
dt
2
dt (1 + t 2 )
dt
t
1
+
=ò
=ò
=
ò 1 + 3sin 2 x = ò
t2
(1 + t 2 )(1 + t 2 + 3t 2 )
1 + 4t 2
1+ 3
1 + t2
1 d (2t )
1
1
= ò
= arctg2t + C = arctg(2 tg x ) + C .
2 1 + (2t )2 2
2
dx
Но можно обойтись и без подстановки.
Пример 3.
dx
dx
=
ò sin 2 x + 3sin x cos x - cos2 x ò cos 2 x × (tg 2 x + 3tg x - 1) =
=ò
=
d (tg x )
(tg 2 x + 3tg x - 1)
=ò
dt
t 2 + 3t - 1
=ò
dt
(t + 3 2) 2 - 13 4
=
1
1
2 tg x + 3 - 13
t + 3 2 - 13 2
ln
ln
=
+C.
13 t + 3 2 + 13 2
13 2 tg x + 3 + 13
2. Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a, b] определена функция f ( x) . Разобьём отрезок [a,
b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . На каждом интервале
( xi -1 , xi ) возьмём произвольную точку xi и составим сумму
Dxi = xi - xi -1 . Сумма, вида
n
å f (xi )Dxi
n
å f (xi )Dxi , где
i =1
называется интегральной суммой, а
i =1
её предел при max Dxi ® 0 , если он существует и конечен, называется определённым интегралом от функции f ( x) в пределах от a до b и обозначается
b
n
å f (xi )Dxi .
ò f ( x)dx = maxlim
Dx ® 0
a
i
i =1
77
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Функция f ( x) в этом случае называется интегрируемой на [a, b].
Пусть f ( x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует
ò f ( x)dx = F ( x) + C
неопределённый интеграл
и имеет место формула
b
b
ò f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x) a ,
a
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если f ( x ) ³ 0 на [a, b], то геометрически определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
у = f ( x) , осью Ох и прямыми x = a , x = b .
Примеры
вычисления определённых
интегралов
Пример 1.
6
ò
2 3x
dx
2
2
x -9
. Заданный интеграл берётся с помощью тригономет-
a
, где а =3.
cos t
3
3sin t
x=
dt
, dx =
cos t
cos 2 t
рической подстановки (см. 1.2) x =
6
ò
2 3x
p3
=
ò
p6
=
dx
2
2
x -9
sin t
1
dt =
9tg t
9
p3
ò
p6
=
x 2 - 9 = 3tg t ,
3
p
Þt =
x = 2 3 Þ cos t =
2
6
1
p
x = 6 Þ cos t = Þ t =
2
3
sin t × cos t
1
dt =
sin t
9
p3
ò
p6
p3
=
78
2
p 6 cos t × 9 × 3tg t
sin t p 3
=
cos t dt =
9 p6
1
1 3 1
3 -1
- )=
= 0,04 .
(sin p 3 - sin p 6) = (
9
9 2 2
8
ò
3sin t × cos2 t
dt =
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
x + 1 = t2, x = t2 -1
dx = 2tdt ,
8
x +1 +1
Пример 2. ò
dx =
1
1
x
+
x = 3Þt = 2
3
x = 8Þt = 3
3 2
3
3
3
2
3
2
2
2
3
=ò
2
t +1
2tdt =
t -1
t +t
t2 -1 + t + 1
t2 -1
t +1
= 2ò
dt = 2 ò
dt = 2 ò
dt + 2 ò
dt =
t -1
t -1
t -1
t -1
3
3
3
3
2
2
2
2
(t - 1)(t + 1)
t -1+ 2
t -1
dt
= 2ò
dt + 2 ò
dt = 2 ò (t + 1)dt + 2ò
dt + 4ò
=
t -1
t -1
t -1
t -1
2
3
æ t2
ö3 3
4
æ9
ö
= 2 ç + t ÷ + 2 ò dt + 4ln t - 1 = 2 ç + 3 - - 2 ÷ + 2 + 4ln 2 - 4ln1 =
ç2
÷2
2
2
è2
ø
è
ø
2
= 9 + 4ln 2 = 9 + 4 × 0,693 = 11,77 .
Пример 3.
ln 3
e x = t , dt = e x dx
dx
3
3
3
dt
dt
dt
ò e x + 4 = x = 0 Þ t = e = 1 = ò t (t + 4) = ò t 2 + 4t = ò (t + 2)2 - 4 =
0
1
1
1
x = ln 3 Þ t = 3
0
1 t +2-2 3 1
1 ö 1 15
t 3 1æ 3
= ln
= ln
= ç ln - ln ÷ = ln » 0,19 .
4 t + 2 + 2 1 4 t + 4 1 4è 7
5ø 4 7
¥
2.1 Несобственные интегралы
1. Несобственным интегралом по бесконечному промежутку
ò f ( x)dx называется
a
Таким образом,
b
lim
b ®¥
ò f ( x)dx , если этот предел существует и конечен.
a
¥
b
a
a
ò f ( x)dx = blim
ò f ( x)dx .
®¥
+¥
b
Аналогично определяются интегралы
ò
-¥
79
f ( x )dx и
ò
-¥
f ( x )dx .
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2. Если f ( x) непрерывна при всех значениях х Î [a, b], кроме точки с,
в которой f ( x) имеет разрыв второго рода, то
c -e
b
lim ò
ò f ( x)dx = e®
0
a
f ( x )dx + lim
d® 0
a
b
ò
f ( x)dx ,
c +d
если эти пределы существуют и конечны. В этом случае интеграл
b
ò f ( x)dx
называется несобственным интегралом от неограниченной функ-
a
ции.
Если приведённые выше пределы конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся, если нет, – то расходятся.
П р и м е р ы . Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.
¥
b
b
1 d (2 x 4 + 1)
1
1) ò
= lim ò
= lim ò (2 x 4 + 1)-5 6 d (2 x 4 + 1) =
4
5 b ®¥ 8 6
4
5 b ®¥ 8
6
0 (2 x + 1)
0 (2 x + 1)
0
1
= lim
8 b ®¥
x3dx
5
- +1
(2 x + 1) 6 b
4
5
- +1
6
интеграл расходится.
¥
dx
1
lim
=
0 8 b ®¥
b
1
(2b + 1) 6
4
1
6
dx
1
1
lim 6(2b 4 + 1) 6 = ¥ , т.е. данный
=
8 b ®¥
b
dx
1
2) ò
= lim ò
= lim ò
=
2
2
3
9
9
2
2
b
b
®¥
®¥
0 2x + 6х + 6
0 2( x + 3 x + 3)
0 x + 2× x + - + 3
2
4 4
3ö
æ
x + ÷×2 b
b
ç
dx
1
1 1
2ø
= lim ×
=
= lim ò
arctg è
2
2
b ®¥ 2 æ
b
®¥
0
3
3
0 x+ 3ö + 3
ç
÷
2
2ø
4
è
1
2x + 3 b
1
2b + 3
3
1 p p
= lim
= lim
arctg
(arctg
- arctg
)=
( - )=
b ®¥ 3
3 0 b ®¥ 3
3
3
3 2 3
=
p
6 3
=
p 3
.
18
Предел равен конечному числу, значит, интеграл сходится.
80
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
2
3)
ò
x 2 dx
6
(=)
64 - x
При x = 2 знаменатель подынтегральной функции равен нулю, следовательно, в этой точке функция имеет разрыв II рода. Поэтому заданный
интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции.
0
2 -e
(=) lim
e® 0
1
= lim
e® 0 3
ò
0
2 -e
ò
0
x 2 dx
64 - x
6
= lim
e® 0
2 -e
ò
0
x 2 dx
2 -e
1
= lim
ò
64 - ( x3 ) 2 e® 0 3 0
3x 2 dx
3 2
64 - ( x )
=
ö
1
1æ
(2 - e)3
x3 2 -e
= lim arcsin
= lim ç arcsin
- 0÷ =
÷
8 0 e®0 3 çè
8
64 - ( x3 )2 e® 0 3
ø
d ( x3 )
1
23 1
p
= arcsin
= arcsin1 = , т.е. интеграл сходится.
3
8 3
6
Признаки сходимости несобственных
и н т е г р а л о в.
1. Пусть для всех x ³ a справедливо неравенство 0 £ f ( x ) £ g ( x) .
¥
¥
a
a
ò g ( x)dx сходится, то сходится и интеграл ò f ( x)dx ;
Тогда: если интеграл
если интеграл
¥
¥
a
a
ò f ( x)dx расходится, то расходится и ò g ( x)dx .
f ( x)
= A , где А – конечное число ¹ 0, то интегралы
x ®¥ g ( x)
2. Пусть lim
¥
ò g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a
¥
3. Если сходится
ò
¥
f ( x) dx , то сходится и
a
ò f ( x)dx (последний инте-
a
грал называется в этом случае абсолютно сходящимся).
81
и
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне¥
ние, обычно используют интеграл вида
1
ò x p dx , который сходится при
p >1
a
и расходится при p £ 1 .
+¥
П р и м е р . Исследовать на сходимость интеграл
ò
x +1
1
x
3
dx .
æ 1ö
x ç1 + ÷
+¥
1
x +1
1
xø
è
При x ® +¥ имеем
=
~
. Так как интеграл ò
dx
32
12
12
3
x
x
x
x
1
расходится ( p = 1 2 < 1) , то и заданный интеграл также расходится.
Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам сходимости 1–3.
2.2 Вычисление площадей плоских фигур
1. Если заданная фигура ограничена графиками функций у = f1 ( x ) ,
у = f 2 ( x ) и прямыми x = a , x = b , причём f1 ( x) £ f 2 ( x) при
всех x Î [a, b] ,
b
то площадь фигуры равна S = ò ( f 2 ( x) - f1 ( x ))dx .
a
2. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = j(t ), y = y (t ) , то площадь криволинейной трапеции
b
S = ò y (t ) × j¢(t )dt , где a и b определяются из уравнений j(a)=а, j(b)=b.
a
3. Если фигура ограничена линией, заданной уравнением в полярной
системе координат r = r(j) и двумя лучами j = j1 и j = j2 , то её площадь
выражается интегралом
1
S=
2
j2
ò (r(j))
2
dj.
j1
П р и м е р 1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1
y = 3 x -1 и y = x + 2 .
2
82
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
Р е ш е н и е . Находим точки пеó
ресечения данных кривых:
15
1
у=3 х - 1
3 x - 1 = x + 2 . Возводим обе части
2
уравнения в квадрат, получаем квадрату=0,5х+2
ное уравнение и находим его корни:
3
1 2
1 2
9( x - 1) = x + 2 x + 4,
x - 7 x + 13 = 0, D =2 49 - 13 = 36,
4
4
26
õ
7±6
= 2(7 ± 6), x1 = 2, x2 = 26.
1
2×
4
Строим фигуру и вычисляем её площадь.
x1,2 =
S=
26
ò (3
х - 1 - 0,5 х - 2) dx =
2
26
( х - 1)3 2 × 2 26
х 2 26
=3
- 0,5
- 2х = 2×125 – 2 – 169 + 1– 52 + 4=32.
3
2 2
2
2
П р и м е р 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданì х = 32cos3 t ;
ï
ï
ной параметрическими уравнениями í y = 2sin 3 t ;
ï
ïî х = 12 3, ( х ³ 12 3).
Р е ш е н и е . Здесь j(t ) = 32cos3 t , y (t ) = 2sin 3 t . Строим фигуру и вычисляем площадь заштрихованной части, для чего находим пределы интегрирования
3 3
3
p
из уравнения
32cos3 t = 12 3, cos3 t =
, cos t =
, t=± ,
8
2
6
32cos3 t = 32, cos3 t = 1, cos t = 1, t = 0 . Так как область симметрична относительно оси Ох , находим площадь только верхней её части S1 , тогда вся
площадь фигуры будет равна
у
S = 2 S1 .
3
Находим производную
j¢(t ) = -96cos 2 t sin t и вычисляем S1 :
12 3
83
32
х
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
0
S1 = -
ò
2sin 3 t × 96cos 2 t sin t dt =
p6
p6
=192
ò
ò
p6
2
sin t × cos t dt = 192
0
p6
= 24
4
ò
2
(sin t × cos t ) sin t dt = 192
0
2
p6
2
(sin 2t - sin 2t × cos 2t ) dt = 24
0
= 12t
2
ò
0
1 - cos 4t
dt - 12
2
p6
ò
sin 2 2t 1 - cos 2t
×
dt =
4
2
ò
sin 2 2t d (sin 2t ) =
0
p6
0
p6
p6
p
2p
p
1
sin 3 2t p 6
- 4sin 3 =
- 12 × sin 4t
- 12
= 12 - 3sin
6
3
3
4
3
0
0
0
= 2p - 3
3
3 3
3 3 3 3
-4
= 2p = 2p - 3 3.
2
8
2
2
Следовательно, S = 4p - 6 3 » 2,17.
П р и м е р 3 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
r = 1 + 2 cos j .
Р е ш е н и е . Найдём пределы интегрирования из условия r(j) ³ 0.
1
3p
3p
.
, £j£
4
4
2
Но так как фигура расположена симметрично относительно полярной оси в
силу чётности функции cosj , достаточно вычислить половину её площади
S1 :
Следовательно, 1 + 2 cos j ³ 0, cos j ³ -
S1 =
1
4
3p
4
ò (1 +
2 cos j) 2 d j =
0
3p
4
3p
4
1
4
3p
4
ò (1 + 2
2 cos j + 2cos 2 j) d j =
0
1
1 (1 + cos 2j)
dj =
= (j + 2 2 sin j) + ò
4
2
2
0
0
3p
ö 4
1 æ 3p
3p ö
+ 2 2 sin ÷ +
ç
4è 4
4 ø
1æ
1
1 æ 3p
2 3p 1
3p ö 1 æ 3p
1ö
+ ç j + sin 2j ÷ = ç
+2 2×
+ + sin ÷ = ç
+2- ÷=
4è
2
2
4 2
2 ø 4è 2
2ø
ø 0 4è 4
84
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
3(p + 1)
1 æ 3p 3 ö 3(p + 1)
= ç + ÷=
. Следовательно, S = 2 S1 =
@ 3,1.
4
4è 2 2ø
8
2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой.
1. Пусть дуга AB плоской кривой задана уравнением y = f ( x) , где
f ( x) – непрерывно дифференцируемая функция.
Тогда длина дуги
AB находится по формуле
ó
A
a
b
B
l = ò 1 + ( y ¢( x))2 dx .
l
a
b
0
õ
2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
x = j(t ), y = y (t ) , где j(t ), y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции, то
длина дуги l вычисляется по формуле
b
l=
ò
( x¢(t )) 2 + ( y ¢(t )) 2 dt ,
a
где a, b – значения параметра t , соответствующие концам дуги А и В.
3. Если гладкая кривая заданна уравнением в полярной системе координат r = r(j) , то длина дуги l вычисляется по формуле
l=
j2
ò
(r(j))2 + (r¢(j)) 2 d j ,
j1
где j1 и j2 соответствуют концам дуги.
П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой y = ln sin x,
b
p
p
£j£ .
3
2
Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле l = ò 1 + ( y ¢( x))2 dx ,
a
где a =
p
p
, b= ,
3
2
y¢ =
cos x
cos 2 x
1
=
.
, 1 + ( y ¢) 2 = 1 +
2
2
sin x
sin x sin x
85
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
p2
p2
1
x p2
Следовательно, l = ò
=
dx = ò
dx = ln tg
2
sin x
2 p3
sin
x
p3
p3
= ln tg
1
p
p
1
- ln tg = ln1 - ln
= ln 3 @ 0,55 .
4
6
3
П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
ì х = 4(2cos t - cos 2t );
( 0 £ t £ p ).
í
î y = 4(2sin t - sin 2t ).
Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле
b
l = ò ( x¢(t )) 2 + ( y ¢(t )) 2 dt ,
a
где a = 0, b = p,
x¢(t ) = 4( -2sin t + 2sin 2t ) = 8(- sin t + sin 2t ),
y ¢(t ) = 4(2cos t - 2cos 2t ) = 8(cos t - cos 2t ),
( x¢)2 + ( y ¢)2 = 64(sin 2 t - 2sin t sin 2t + sin 2 2t + cos 2 t - 2cos t cos 2t +
+ cos2 2t ) = 64(2 - 2(cos 2t cos t + sin 2t sin t )) = 128(1 - cos t ) =
t
t
= 128 × 2sin 2 = 256sin 2 .
2
2
Следовательно,
p
l = ò 256sin
0
p
t
t p
p
dt = ò 16sin dt = -16 × 2cos
= - 32cos + 32cos 0 =
2
2
20
2
2 t
0
=32.
П р и м е р 3 . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
p
полярных координатах r = 3e3j 4 , 0 £ j £ .
3
Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле
l=
j2
ò
(r(j))2 + (r¢(j)) 2 d j ,
j1
где
j1 = 0, j2 =
3
p
, r¢(j) = 3 × e3j 4 ,
3
4
86
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 5.
81
81 ö 225 3j 2
æ
e
r2 + (r¢)2 = 9e3j 2 + e3j 2 = e3j 2 ç 9 + ÷ =
.
16
16 ø 16
è
Следовательно,
p3
l=
ò
0
225 3j 2
e
dj =
16
p3
15 3j 4
15 4 3j 4 p 3
= 5e p 4 - 5 @ 5,97.
ò 4 e dj = 4 × 3 e
0
0
87
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ïðèëîæåíèå
ПРИЛОЖЕНИЕ
Формулы сокращённого умножения.
a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) ;
( a + b )3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
( a - b )3 = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3
или
или
a3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) ;
( a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b2 ;
( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) ;
( a - b )3 = a3 - b3 - 3ab ( a - b ) ;
a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b2 ) ;
a x 2 + bx + c = a( x - x1 )( x - x2 ) ,
где x1 и x2 - корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находятся по формулам
ì
-b ± D
, если D > 0;
ï x1,2 =
2a
ï
b
ï
í x1 = x2 = - , если D = 0;
2a
ï
ïнет действительных корней, если D < 0, где D = b 2 - 4ac .
ï
î
Основные формулы тригонометрии
1. Знаки тригонометрических функций по четвертям
Знаки cos a .
Знаки sin a .
+
+
_
_
Знаки tg a и ctg a .
–
+
_
+
–
+
+
–
2. Формулы приведения
b
-a
p 2 -a
p 2 +a
p-a
p+a
3p 2 - a
3p 2 + a
2p - a
2p + a
sin b
– sin a
cos a
cosb
cos a
sin a
cos a
sin a
– sin a
– cos a
– cos a
– sin a
sin a
– sin a
– cos a
– cos a
– sin a
sin a
cos a
cos a
88
tg b
ctg b
– tg a
ctg a
– ctg a
tg a
– ctg a
– tg a
tg a
ctg a
– tg a
– ctg a
ctg a
tg a
– ctg a
– tg a
tg a
– tg a
– ctg a
ctg a
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ïðèëîæåíèå
3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла
sin a
cos a
1
1
tg a =
;
ctg a =
;
sec a =
;
cosec a =
;
cos a
sin a
cos a
sin a
sin 2 a + cos 2 a = 1 ;
tg a × ctg a = 1 ; 1 + tg 2 a =
1
cos 2 a
; 1 + ctg 2 a =
4. Значения тригонометрических функций основных углов
a
tg a
cos a
sin a
0
0
1
0
30o = p 6
12
3 2
3 3
45o = p 4
2 2
2 2
1
60o = p 3
3 2
12
90o = p 2
1
sin 2 a
.
ctg a
–
3
1
3
0
1
–
3 3
0
120o = 2p 3
3 2
–1 2
135o = 3p 4
2 2
– 2 2
–1
–1
150o = 5p 6
12
– 3 2
– 3 3
– 3
180o = p
0
–1
0
–
270o = 3p 2
–1
0
–
0
360o = 2p
0
1
0
–
5. Формулы сложения
sin(a + b) = sin a × cos b + cos a × sin b ;
cos(a + b) = cos a × cos b - sin a × sin b ;
tg a + tg b
tg(a + b) =
;
1 - tg a × tg b
–
3
– 3 3
sin(a - b) = sin a × cos b - cos a × sin b ;
cos(a - b) = cos a × cos b + sin a × sin b ;
tg a - tg b
tg(a - b) =
.
1 + tg a × tg b
6. Тригонометрические функции двойного угла
sin 2a = 2sin a × cos a ;
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a ;
2 tg a
tg 2a =
;
1 - tg 2 a
89
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ïðèëîæåíèå
7. Тригонометрические функции половинного угла
a 1 - cos a
a 1 + cos a
a 1 - cos a
=
; cos 2 =
; tg 2 =
;
2
2
2
2
2 1 + cos a
8. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
a+b
a-b
a+b
a -b
sin a + sin b = 2sin
× cos
;
sin a - sin b = 2 cos
× sin
;
2
2
2
2
a +b
a-b
a+b
a -b
cos a + cos b = 2 cos
× cos
;
cos a - cos b = -2sin
× sin
;
2
2
2
2
9. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму
1
1
sin a × cos b = [sin(a + b) + sin(a - b) ] ;
cos a × cos b = [cos(a + b) + cos(a - b) ] ;
2
2
1
sin a × sin b = [ cos(a - b) - cos(a + b) ] .
2
10. Формулы понижения степени
1 + cos 2a
1 - cos 2a
cos 2 a =
; sin 2 a =
или 1 + cos 2a = 2 cos 2 a ; 1 - cos 2a = 2sin 2 a .
2
2
sin 2
Логарифмы
Основные формулы
Запись c = log a b ( a > 0, a ¹ 1, b > 0) равнозначна записи a c = b .
Основное логарифмическое тождество
a log a b = b .
Формулы логарифмирования:
log a a = 1,
log a 1 = 0,
x
log a ( xy ) = log a x + log a y , log a = log a x - log a y ,
y
log a x p = p log a x, p ¹ 2n; log a x 2n = 2n log a x .
Формулы перехода от одного основания к другому:
log c b
,
log c a
n
bn = log a b,
m
log a b =
log am
1
,
logb a
1
b = log a b,
m
log a b =
log am
90
log a b × logb a = 1,
log an b n = log a b.
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Ïðèëîæåíèå
Таблица производных
f ¢( x)
f ( x)
1.
c
0
2.
x
1
un
nu n -1 × u ¢
3.
4.
5.
1
u
2 u
1
u
-
1
u
2
- sin u × u ¢
cosu
11.
1
tg u
12.
× u¢
× u¢
au
au × ln a × u ¢
7.
еu
eu × u ¢
8.
log a u
9.
ln u
1
× u¢
u ln a
1
× u¢
u
10.
sin u
cos u × u ¢
6.
f ¢( x)
f ( x)
13.
ctg u
14.
arcsin u
arccosu
15.
× u¢
cos2 u
1
- 2 × u¢
sin u
1
× u¢
1 - u2
-
ò
2а)
dx = x + C ;
ò
dx
x
arctg u
17.
arcctg u
× u¢
1 + u2
1
× u¢
1 + u2
18.
sh u
ch u × u ¢
19.
ch u
sh u × u ¢
ò
x n+1
+ C , n ¹ -1 ;
n +1
dx
1
=
+C ;
x
x2
x n dx =
ò
2б)
dx
= ln x + C ;
x
ax
4) a x dx =
+ C , (a > 0; a ¹ 1) ;
ln a
6) sin x dx = - cos x + C ;
3)
ò
ò
ò
ò
dx
8) ò 2 = - ctg x + C ;
sin x
dx
1
x
dx
1
x-a
× u¢
16.
2)
= 2 x +C;
1 - u2
1
Таблица неопределённых интегралов
1)
1
5) e x dx = e x + C ;
ò
dx
= tg x + C ;
9) ò
cos 2 x
7) cos x dx = sin x + C ;
10)
ò x 2 + a 2 = a arctg a + C ;
11)
ò x 2 - a 2 = 2a ln x + a + C = - 2a ln x - a + C ;
1
91
x+a
ÏÃÓ
Ïðèëîæåíèå
ò
12)
13)
ò
14)
ò
15)
ò
dx
a2 - x2
dx
2
2
= arcsin
x
+C;
a
= ln x + x 2 ± a 2 + C ;
x ±a
dx
x
1
= ln tg + C = ln
- ctg x + C ;
sin x
2
sin x
dx
1
æ x pö
= ln tg ç + ÷ + C = ln
+ tg x + C .
cos x
cos x
è2 4ø
92
Êàô ÂèÏÌ
ÏÃÓ
Êàô ÂèÏÌ
Òàáëèöû âàðèàíòîâ è íîìåðîâ çàäàíèé äëÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò
Таблицы вариантов
№
варианта1
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
Номера задач для контрольных работ в I семестре
К. р. № 1
К. р. № 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
23
34
45
56
67
78
89 100 101 112
11
24
35
46
57
68
79
90
99 102 113
20
25
36
47
58
69
80
81
98 103 114
19
26
37
48
59
70
79
82
97 104 115
18
27
38
49
60
61
78
83
96 105 116
17
28
39
50
51
62
77
84
95 106 117
16
29
40
41
52
63
75
85
94 107 118
15
30
31
42
53
64
76
86
93 108 119
14
21
32
43
54
65
74
87
92 109 120
13
22
33
44
55
66
73
88
91 110 111
11
24
35
46
56
67
72
89 100 109 112
20
25
36
47
57
68
71
90
91 108 113
19
26
37
48
58
69
80
89
92 107 114
18
27
38
49
59
70
71
88
93 106 115
17
28
39
50
60
62
72
87
94 105 116
16
29
40
45
51
63
73
86
95 104 117
15
30
34
46
52
64
74
85
96 103 118
14
23
35
47
53
65
75
84
97 102 119
13
24
36
48
54
66
76
83
98 101 120
12
25
37
49
55
67
77
82
99 102 119
20
26
38
50
56
68
78
81 100 103 118
19
27
39
41
57
69
79
90
99 104 117
18
29
33
42
58
70
80
81
98 105 116
17
28
32
43
59
61
79
82
97 106 115
16
21
31
44
60
62
78
83
96 107 114
15
22
40
45
51
63
77
84
95 108 113
14
30
36
46
52
64
76
85
94 109 112
13
29
37
47
53
65
75
86
93 110 111
12
28
39
48
54
66
74
87
92 101 120
11
27
38
49
55
67
73
88
91 102 119
Номер варианта определяется по двум последним цифрам зачетной книжки. Если предпоследняя цифра 3, 4 или 5, то из неё надо вычесть 3. Если предпоследняя цифра 6, 7
или 8, то из неё надо вычесть 6. Если же предпоследняя цифра 9, то из неё надо вычесть
9. Например, если две последние цифры 56, то вариант 26; если две последние цифры 75,
то вариант 15; если две последние цифры 98, то вариант 08.
1
93
ÏÃÓ
№
вариан
та
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Êàô ÂèÏÌ
Òàáëèöû âàðèàíòîâ è íîìåðîâ çàäàíèé äëÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò
Номера задач для контрольных работ во II семестре
К. р. № 3
1
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
122
123
124
125
126
127
128
129
130
121
123
124
125
126
127
128
129
130
122
123
2
132
133
134
135
136
137
138
139
140
131
133
134
135
136
137
138
139
140
132
134
135
136
137
138
139
140
131
133
134
135
3
143
144
145
146
147
148
149
150
141
142
149
148
147
146
145
144
143
142
141
150
149
148
147
146
145
144
143
142
141
150
4
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
К. р. № 4
5
162
163
164
165
166
167
168
169
170
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
162
163
164
165
166
167
168
169
170
161
162
6
173
174
175
176
177
178
179
180
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
172
173
174
175
176
177
178
179
180
171
172
173
7
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
182
183
184
185
186
187
188
189
190
181
183
184
185
186
187
188
189
190
182
183
94
8
9
192 205
193 206
19 207
195 208
196 209
197 210
198 201
199 202
200 203
199 204
198 205
197 206
196 207
195 208
194 209
193 210
192 205
191 206
192 207
193 208
194 209
195 210
196 201
197 202
198 203
199 204
200 205
199 206
198 207
197 208
К. р. № 5
10
213
214
215
216
217
218
219
220
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
213
214
215
216
217
218
219
220
211
212
213
214
11
224
225
226
227
228
229
230
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
229
228
227
226
225
224
223
222
221
222
223
224
225
12
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
239
238
237
236
235
234
233
232
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
231
232
13
242
243
244
245
246
247
248
249
250
249
248
247
246
245
244
243
242
241
250
249
248
247
246
245
244
243
242
241
250
249
14
253
254
255
256
257
258
259
260
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
259
258
257
256
255
254
253
252
251
253
254
255
15
265
266
267
268
269
270
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
269
268
267
266
265
264
263
262
261
270
265
266
267
268