Кафедра математических и естественно-научных дисциплин Рейтинговая работа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика Задание/вариант № 2 Выполнена обучающимся группы УЗДт 30.2/Б1-18 Преподаватель Москва – 2020 г. Оглавление Задание 1 .................................................................................................................. 3 Задание 2 .................................................................................................................. 4 Литература ............................................................................................................ 5 2 Задание 1 В магазин поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 45% и третьей – 35% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, и для третьей – 4%. Чему равна вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на ПЕРВОЙ фабрике? Шаг 1. Рассчитаем вероятность поступления продукции с каждой фабрики: 𝑃(𝐻1 ) = 0,2 – продукция поступила с 1-ой фабрики 𝑃(𝐻2 ) = 0,45 - продукция поступила со 2-ой фабрики 𝑃(𝐻3 ) = 0,35 - продукция поступила с 3-ей фабрики Шаг 2. Рассчитаем вероятность нестандартной продукции на каждой фабрике: 𝑃Н1 (А) = 0,03 – вероятность нестандартных изделий на 1-ой фабрике 𝑃Н2 (А) = 0,02 - вероятность нестандартных изделий на 2-ой фабрике 𝑃Н3 (А) = 0,04 - вероятность нестандартных изделий на 3-ей фабрике Шаг 3. Рассчитаем полную вероятность. Формула полной вероятности: 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 ) ∗ 𝑃𝐻1 (𝐴), Подставим значения в формулу – получаем: 𝑃(𝐴) = 0,2 ∗ 0,03 + 0,45 ∗ 0,02 + 0,35 ∗ 0,04 = 0,006 + 0,009 + 0,014 = 0,029 Шаг 4. По формуле Бейеса рассчитаем вероятность того, что нестандартное изделие произведено на первой фабрике. 3 Формула Бейеса: 𝑃𝐴 (𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐻𝑖 ) ∗ 𝑃𝐻𝑖 (𝐴) 𝑃(𝐴) Подставим значения в формулу – получаем: 𝑃𝐴 (𝐻𝑖 ) = 0,2 ∗ 0,03 ≈ 0,2069 0,029 Ответ: 𝑃𝐴 (𝐻𝑖 ) ≈ 0,2069 Задание 2 Значение X 1 2 3 4 5 Вероятность 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле: 2 𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 − 𝑀(𝑋)) В данном случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной, поэтому формула принимает вид: 𝑛 𝑛 𝐷(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖2 ∗ 𝑝𝑖 − (∑ 𝑥𝑖 ∗ 𝑝𝑖 )2 𝑖=1 𝑖=1 Подставим значения в формулу и получим: 𝐷(𝑋) = (1 ∗ 0,1 + 22 ∗ 0,2 + 32 ∗ 0,3 + 42 ∗ 0,3 + 52 ∗ 0,1) − (1 ∗ 0,1 + 2 ∗ 0,2 + 3 ∗ 0,3 + 4 ∗ 0,3 + 5 ∗ 0,1)2 = 10,9 − (3,1)2 = 10,9 − 9,61 = 1,29 Ответ: 𝐷(𝑋)=1,29 4 Литература 1. Онлайн учебник по теории вероятности, режим доступа свободный, URL: https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par16 (дата обращения 23.05.2020) 2. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – 2-е изд. – Москва : Дашков и К°, 2016. – 472 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=453249 (дата обращения: 22.05.2020). – Библиогр.: с. 433-434. – ISBN 978-5-39402108-4. – Текст : электронный. 3. Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов ; ред. А.И. Кибзун. – 3-е изд., перераб. и доп. – Москва : Физматлит, 2007. – 232 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=69320 (дата обращения: 20.05.2020). – ISBN 978-5-9221-0836-2. – Текст : электронный. 4. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций : [16+] / авт.-сост. Е.О. Тарасенко, И.В. Зайцева, П.К. Корнеев, А.В. Гладков и др. – Ставрополь : Северо-Кавказский Федеральный университет (СКФУ), 2018. – 229 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=562680 (дата обращения: 20.05.2020). – Библиогр. в кн. – Текст : электронный. 5
