O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI AXBOROTLASHTIRISH TEXNOLOGIYALARI KAFEDRASI « NAZARIY MEXANIKA» fanidan o’quv-uslubiy MAJMUA Matematika va mexanika ta’lim yo’nalishi talabalari uchun SAMARQAND-2010 1 «Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari. Statika 1- MA’RUZA aksiomalari » 1.1. « Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari. Statika aksiomalari » mavzusining texnologik modeli O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 ta O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) 1.Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek Ma’ruza rejasi olimlarining qo’shgan hissalari. 2.Statikaning asosiy tushuncha vaqoidalari. 3.Statika aksiomalari. O’quv mashg’ulotining maqsadi: Dinamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha tarixi. Mexanikaning asosiy qonunlari haqida tushuncha berish. Pedagogik vazifalar: O’quv faoliyati natijalari: Mexanika tarixidan tushunchalarni Fanning ahamiyati va mohiyatini tushunadi takrorlash Statika elementlarini va qoidalarini Statika elementlari va asosiy tushunchalari tushuntirish va ta’riflari yodlaydi, eslab qoladi, tasavvurga ega bo’ladi. Statika aksiomalarini tushuntiradi, Statika aksiomalarini yodlaydi, izohlashni izohlaydi, misollar keltiradi tushunadi, amaliyotda qo’llashga ko’nikma hosil qiladi O’qitish vositalari O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert O’qitish shakllari Frontal, kollektiv ish 2 O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan, guruxlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya. Monitoring va baholash og’zaki savollar, blis-so’rov 1.2. « Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari. Statika aksiomalari » mavzusining texnologik xaritasi Ish O’qituvchi faoliyatining mazmuni bosqich-lari Tinglovchi faoliyatining mazmuni 1.1. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi, 1-bosqich. Mavzuga kirish (20 min) pedagogning vazifasi va talabaning o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2. Baxolash mezonlari (1 – ilova). Tinglaydilar. Yozib oladilar. 1.3. Mavzuni jonlashtirish uchun «Blisso’rov» savollarini beradi. Blis-so’rov usulida natijasiga ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining Tinglaydilar. Yozib oladilar. tashxizini amalga usulida mavzu Aniqlashtiradilar, bo’yicha ma’lum bo’lgan tushunchalarni savollar beradilar. oshiradi (2-ilova). 1.4. Texnika-insert faollashtiradi. (3-ilova ). 3 2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 2 -bosqich. 2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar Asosiy bo’yicha tushuncha beradi. (4 - ilova). bo’lim 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar (50 min) Tinglaydilar. Javob beradilar Yozadilar. UMKga qaraydilar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar. takrorlanadi. 3.1. Mashg’ulot 3-bosqich. Yakunlovc hi (10 min) bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan Savollar beradilar. bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni UMKga qaraydilar. chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. UMKga qaraydilar. 3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Uy vazifalarini yozib oladilar 4 1-Ma’ruza. STATIKANING ASOSIY TUSHUNCHA VA QOIDALARI. STATIKA AKSIOMALARI Reja: 1. Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek olimlarining qo’shgan hissalari. 2.Statikaning asosiy tushuncha vaqoidalari. 3.Statika aksiomalari. Adabiyotlar: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12. Tayanch iboralar: mexanik harakat, absolyut qattiq jism, moddiy nuqta, massa, inertlik, kuch, radius-vektor, harakat miqdori statika aksiomalari . Belgilar: Ms - Muammoli savol Mt- Muammoli topshiriq Mv- Muammoli vaziyat Mm- Muammoli masala 5 1-ilova Baholash mezoni: Har bir savol javobiga - 2 ball Har bir qo’shimcha fikrga - 2 ball Har bir javoni to’ldirishiga - 1 ball 2-ilova Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari . 1. «Nazariy mexanika» fani deganda nimani tushunasiz? 2. Bu fanning ilm-fan-ishlab chiqarishdagi o’rni. 3. Nazariy mexanika fani elementlari qo’llaniladigan sohalarga aniq misol keltiring. 4. Bu fan qaysi fanlar bilan chambarchas bog’langan? 5. Bu fanning vazifasi nimadan iborat? 6.Ushbu fanni o’qigan talaba nimalarni bilishi kerak? 3-ilova Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar 1. Sharq olimlarining mexanika fani rivojiga qo’shgan hissalari 2. Mexanika fani asoschilari 3. Mexanika fani rivoji uyg’onish davrida 4. Fan rivojining zamonaviy bosqichi 5. Statika elementlari Kuch 6 Belgi Inertlik Moddiy nuqta Kuch birliklari 6. 1-qonun 7. 2-qonun 8. 3-qonun Insert jadvali qoidasi V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - yangi ma’lumot ? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) . 4-ilova 7 1. Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek olimlarining qo’shgan hissalari. Dinamika mexanikaning bo’limi bo’lib, unda moddiy jismlarning harakati unga ta`sir etuvchi kuchlarga bog’lab o’rganiladi. Dinamika mexanikaning ko’pgina amaliy masalalarini yechishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan umumiy bo’limi hisoblanadi. Buyuk Italian olimi Goliley (1564-1642) dinamikaning asoschisi hisoblanadi. U moddiy nuqtaning to’g’ri chiziqli noteks harakati uchun tezlik va tezlanish tushunchalarini kiritdi hamda jismlarning bo’shliqda erkin tushish qonunlarini yaratdi. Galiley dinamikning birinchi qonuni - inersiya qonuniga ta`rif berdi gorizontga burchak ostida otilgan jismlarning bo`shliqda parabola bo`ylab harakatlanishini aniqladi. Gollandiyalik olim Gyuygeus (1629-1695) inersiya momenti – tushunchasini kiritgan, tebrangichlar nazariyasini va soatni yaratgan. U egri chiziqli harakatdagi nuqta uchun tezlanishning momenti tushunchasini umumlashtirib, markazdan qochma kuchni kiritgan. Buyuk ingliz olimi, Nyuton (1643-1727) Galileyning dinamikaning yaratish sohasidagi ishlarini davom ettirdi. O`zining buyuk asari “philosophniae naturalis principia mathematika” da klassik mexanikaning qonunlariga ta`rif bergan va bu qonunlar asosida dinamikaning sistemali bayonini berdi. Nyuton butun olam tortilish qonunini yaratgan. Moddiy nuqta dinamikasidan mexanik sistema dinamikasiga o`tishni ta’minlovchi Nyuton tomonidan yaratilgan ta’sir va ansta’sir qonuni katta ahamiyatga ega. Dekartning harakat miqdorini saqlanishi haqidagi fikrini rivojlantirib, Nyuton harakat miqdorining o`zgarishini ta’sir etuvchi kuchga bog’liqligini aniqladi. XX asrning boshlarida nemes fizigi Albert Eynshteyn tomonidan yaratilgan relyativistik mexanika (nisbiylik nazariyasi) fazo, vaqt, massa va energiya haqidagi tasavvurkarni butunlay o’zgartirib yubordi. Lekin yorug’lik tezligidan kichik tezliklar uchun klassik mexanika qonunlari asosida olingan natijalar, relyativistik 8 mexanika qonunlari bilan olingan natijalar bilan mos keladi. Galiley-Nyuton qonunlari yordamida hozirgi zamon nazariya mexanikasining asosini tashkil etuvchi teoremalar isbotlandi va mexanika prinsiplari asoslandi. Kinetik energiyaning o’zgarish qonuni Ivan Bernulli (1667-1748) va Daniil Bernulli (1300-1782) lar tomonidan ta’riflangan. Harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema deyarli bir vaqtning o’zida (1746) Eyler va Daniil Bernulli tomonidan tariflangan. 1716 yil Peterbur fanlar akademiyasi akademigi Ya. German dinamika tenglamalarini statika tenglamalari ko’rinishiga keltiruvchi, umumiy metod, mexanika (kinetostatika metodi)ni kiritgan. 1737y Eyler (1707-1783) bu prinsipni umumlashtirdi va egiluvchi jismlarning tebranishiga qo’lladi. 1743y Dalamber (1717-1783) German Eyler prinsipini qo’llanilish sohasini kengaytirdi, yani bu prinsipni bog’langan jismlardan tashkil topgan murakkab sistemalarga qo’lladi. Bu prinsip Dalamber prinsipi (yoki nachala Dalambera) nomi bilan yuritiladi. Lagranj (1736-1813) German – Eyler - Dalamberprinsipini statikaning umumiy prinsipini mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi bilan birlashtirib, amaliyotda qo’lash uchun qulay bo’lgan ko’rinishga keltirdi. Mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi birinchi Stevin (1548-1620) tomonidan kiritilgan Galiley Stevinning og’ma tekislikdagi mulohazalarini davom etkazib mexanikaning oltin qoidasiga ta’rif bergan: kuchdan yutilsa tezlikdan yutqaziladi. Akademik M.V Ostrogradskiy (1548-1862) mumkin bo’lgan ko’chish prinsipini umumlashtirib, mexanikaning yangi masalalarini yechishga qo’llagan. Mexanik sistemaning umumlashgan koordinatalardagi tenglamalarini Lagranj tomonidan keltirib chiqarilgan. Lagranj tenglamalari mexanik sistema harakatini umumiy ko’rinishda ifodalaydi. Bu tenglamalar mexanik sistemaning amaliyotda muhim ahamiyatga ega bo’lgan kichik tebranishlarini o’rganishda qo’llaniladi. XX asrda mexanikaning rivojlanishida katta hissa qo’shgan o’zbek olimlari: M . T . O’razboyev, X. A. Raxmatulin, X. X. Usmonxodjayev, T. R. Rashidov,… 9 Statikaning asosiy aksiomalari Bu bobda statikaning asosiy tushunchalari, aksiomalari, bog‘lanishlar va ularning turlari, bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi va ularning muvozanat shartlari, markazga va o‘qqa nisbatan kuch hamda kuchlar sistemasining momenti, tekislikda kuchlar sistemasining xossalari, kuchning va kuchlar sistemasining nuqtaga hamda o`qqa nisbatan momentiga doir masalalarning yechimi keltirilgan. 1. Statikaning asosiy tushunchalari va aksiomalari √ Moddiy nuqta, mexanik sistema, qattiq jism, kuch, kuch-lar sistemasi va bog‘lanishlar. Statika bo‘limida kuchlar sistemasi ta’siridagi mexanik sistemaning yoki mexanik sistemaga qo‘yilgan kuchlar sistemasining muvozanat shartlari o‘rganiladi. Statikaning asosiy tusgunchalari: moddiy nuqta, mexanik sistema, qattiq jism va kuchlar hisoblanadi. Moddiy niqta deganda o‘lchamlari va shakli e’tiborga olinmaydigan va massasi bir nuqtaga joylashgan deb qaraladigan jism tushiniladi. Har bir nuqtasining harakati qolgan nuqtalarining holati va harakatiga bog‘liq bo‘lgan moddiy nuqtalar to‘plamiga mexa-nik sistema deyiladi. Ixtiyoriy ikkita nuqtasi orasidagi masofa o‘zgarmas va massasi uzluksiz taqsimlangan mexanik sistemaga absolyut qattiq jism deyiladi. Moddiy jismlarning o‘zaro ta’sirini xarakterlovchi kattalikka kuch deyiladi. Nazariy mexanikada kuch tushunchasi asosiy birlamchi tushuncha hisoblanadi. Kuch vektor kattalik bo‘lib, u o‘zining son qiymati (miqdori) yoki moduli, qo‘yilish nuqtasi va yo‘nalishi bilan xarakterlanadi. Kuch vektori bilan ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqqa, shu kuchning ta’sir chizig‘i deb ataladi. Kuchlar sistemasi deb qaralayotgan qattiq jismga yoki mexanik sistema nuqtalariga qo‘yilgan kuchlar to‘plamiga aytiladi. Bitta nuqtaga qo‘yilgan kuchlar sistemasini ham qarash mumkin. 10 Jismga ta’sir etuvchi F1 , F2 ,..., Fn kuchlar to‘plamiga kuchlar sistemasi deyiladi. Berilgan F1 , F2 ,..., Fn kuchlar sistemasi ta’siridan qattiq jism yoki mexanik sistema o‘zining tinch holatini yoki inersial harakatini o‘zgartirmasa, bunday sistemaga nolga ekvivalent yoki muvozanatlashgan kuchlar sistemasi deyiladi va quyidagicha yoziladi: F , F ,..., F ~ 0. F , F ,..., F kuchlar sistemasining ta’sirini boshqa bir 1 Qattiq jismga qo‘yilgan Q 1 , Q 2 ,..., Q k 1 n 2 n 2 kuchlar sistemasining ta’siri bilan almashtirish mumkin bo‘lsa, bunday kuchlar sistemalariga ekvivalent kuchlar sistemalari deyiladi va quyidagicha yoziladi: F 1 , F 2 ,..., F n ~ Q 1 , Q 2 ,..., Q k . Kuchlar sistemasining jismga ko‘rsatadigan ta’sirini bitta kuchning ta’siri bilan almashtirish mumkin bo‘lsa, bu kuch berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi deyiladi. F 1 , F 2 ,..., F n bilan belgilasak, u holda F 1 kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisini , F 2 ,..., F n ~ R R deb yoziladi. Statika aksiomalari: 1-aksioma (Ikki kuchning muvozanati haqidagi aksioma). Qattiq jismning ixtiyoriy ikkta nuqtasiga qo‘yilgan, miqdorlari teng va shu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan ikkita kuch muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi (1-shakl). Xususiy holda qattiq jismning bitta nuqtasiga qo‘yilgan, miqdorlari teng va bir to‘g‘ri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan ikkita kuch muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil etadi (2-shakl). F2 A B F1 O F1 1-shakl 2-shakl 11 F2 2-aksioma (Nolga ekvivalent kuchlar sistemasini qo‘shish yoki ayirish haqidagi aksioma). Qattiq jismga qo‘yilgan kuchlar sistemasiga nolga ekvivalent kuchlar sistemasi qo‘shilsa yoki ayrilsa, kuchlar sistemasining jismga ko‘rsatiladigan ta’siri o‘zgarmaydi, boshqacha aytganda dastlabki kuchlar sistemasiga ekvivalent kuchlar sistemasi hosil bo‘ladi. Natija. Qattiq jismning biror nugtasiga qo‘yilgan kuchni miqdori va yo‘nalishini o‘zgartirmasdan jismning kuch ta’sir chizig‘ida yotuvchi ixtiyoriy nuqtasiga ko‘chirganda kuchning jismga ko‘rsatadigan ta’siri o‘zgarmaydi. Isbot. Qattiq jismning biror A nuqtasiga F1 kuch qo‘yil-gan bo‘lsin. Jismning kuch ta’sir chiziqida yotgan ixtiyoriy B nuqtasiga shunday F2 , F2 ~ 0 sistemani qo‘yapmizki, bunda F1 F2 F2 va F1 F2, F1 F2 bo‘lsin (3-shakl). 2-aksiomaga asosan F1 ~ F1 , F2 , F2 , birinchi aksiomaga asosan F2 A F , F ~ 0 . 1 F2 B F1 2 Natijada 3-shakl F1 ~ F1 , F2 , F2 ~ F2 . 3-aksioma. Ikkita nolga ekvivalent kuchlar sistemasi o‘zaro ekvivalent boladi, ya’ni F , F ,..., F ~ 0, P , P ,..., P ~ 0 F , F ,..., F ~ P , P ,..., P . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 m 2 m 4-aksioma (Parallelogram aksiomasi). Qattiq jismning bitta nuqtasiga qo‘yilgan ikkita parallel bo‘lmagan kuchlar teng ta’sir etuvchisining moduli bu kuchlarga qurilgan parallelogram diagonaliga teng hamda shu diagonal bo‘ylab yo‘nal-gan bo‘ladi (4-shakl): F , F ~ R, 1 2 R F1 F2 , R F1 R F12 F22 2 F1 F2 cos , ^ F sin F 1 , F2 , sin R, ^ F1 2 R α F2 12 4-shakl F1 sin F1 , ^ F2 ^ . sin R, F2 R 5-aksioma (Ta’sir va aksta’sir prinsipi). Ikki qatiq jism-ning o‘zaro ta’siri miqdor jihatidan teng va bir to‘gri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan bo‘ladi (5-shakl). A B FA FB A B FA FB 5-shakl 6-aksioma (Qotish prinsipi). Qattiq bo‘lmagan jism ta’siridan muvozanatda bo‘lsa, jism kuchlar sistemasi qattiq holatga o‘tganda ham uning muvozanati buzilmaydi. Bog‘lanish aksiomasi. Erksiz qattiq jismga qo‘yilgan bog‘lanishlar ta’sirini bog‘lanish reaksiyalari bilan almashtirib jismni berilgan aktiv kuchlar va bog‘lanish reaksiyalari ta’siri-dagi erkin qattiq jism deb qarash mumkin. Аsоsiy birliklаr sistеmаsi. Mехаnik miqdоrlаrni o`lchоvi uchun uchtа аsоsiy birliklаrni kiritish еtаrli. Bulаrdаn ikkitаsi uzunlik vа vаqt birliklаri bo`lsа, uchinchi o`lchоv birligi sifаtidа mаssа yoki kuchning o`lchоv birligi tаnlаnаdi. Kuch vа mаssа o`zаrо dinаmikаning аsоsiy tеnglаmаsi kuch = mаssа x tеzlаnish bilаn bоg‘lаngаnligi uchun ulаrdаn bittаsini tаnlаsh еtаrli. Shuning uchun hаm ikkitа аsоsiy o`lchоv birliklаr sistеmаsini kiritish mumkin. а) Birinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsi. Bu sistеmаdа аsоsiy o`lchоv birliklаr: mаsоfа, vаqt vа mаssа; kuch hоsilаviy birlik hisоblаnаdi. Bundаy birliklаr sistеmаsigа fizik miqdоrlаrning хаlqаrо o`lchоv birliklаr sistеmаsi (SI) kirаdi. Bungа аsоsаn mехаnik miqdоrlаrning o`lchоv birliklаri: mеtr, kilоg-rаmm mаssа vа sеkund. 13 SI sistеmаsidа kuchning o`lchоv birligi sifаtidа 1kg mаssаgа 1m/sеk2 tеzlаnish bеruvchi kuch miqdоri qаbul qilingаn. Kuchning bu o`lchоv birligigа n’yutоn dеyilаdi. 2 1 N 1 kg 1 m / sek 1kg m / sek 2 . Birinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsigа fizikаdа kеng qo`llаnilаdigаn SGS sistеmаsi hаm kirаdi. Bu sistеmаning аsоsiy o`lchоv birliklаri: sаntimеtr, grаmm mаssа vа sеkund. Kuch birligi dinа. 1dinа = 10-5N. b) Ikkinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsi. Аsоsiy o`lchоv birliklаr: mаsоfа, vаqt vа kuch. Bu sistеmаgа tехnikаdа kеng tаrqаlgаn tехnik o`lchоv birliklаr sistеmаsi MKGS kirаdi. Bundа аsоsiy birliklаr: mеtr, kilоgrаmm kuch vа sеkund. Massаning o`lchоv birligi 1 kg sek 2 m . SI vа MKGS o`lchоv birliklаr sistеmаlаridа kuchning o`lchоv birliklаri quyidаgichа bоg‘lаngаn: 1kg kuch 9,81 N yoki 1 N 0,102 kg kuch . Nazorat savollari. 1. Nazariy mexanika fani nimani o’rgatadi? 2. Mexanika harakat deb nimaga aytiladi? 3. Mexanika so’zi qanday manoni bildiradi? 4. Mexanika so’zi kim tomonidan fanga kiritilgan? 5. Nazariy mexanika fanining rivojlanishiga ulkan hissa qo’shgan qanday olimlarni bilasiz? 6. Kuch deb nimaga aytiladi? 7. Statika deb nimaga aytiladi? 8. Kuchning jismga ta’siri qanday faktorlar bilan aniqlanadi? Xulosa Hozirgi zamon fan va texnikasi taraqqiyotida ,,Nazariy mexanika’’ fani muhim o’rin egallamoqda. Bu fan taraqqiyotning muhim richaglaridan biri. 14 Fanning rivojlanish tarixi uning ildizini chuqurroq o’rganishga ko’maklashish. Statika o’quv rejaning zaruriy qismi va boshqa fanlar bilan uzviy bog’liq. Statika tushunchalari, elementlari va aksiomalari masalaalrini yechish bilim olishning asosiy tayanchi Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi 2- Mavzu mavzusining texnologik modeli. Talabalar soni: 50 O’quv soati – 2 soat O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) Mavzu rejasi 1. Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi 2. Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari. 3. Uchta kuch haqidagi teorema. O`quv mashg`ulotning Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi va uning maqsadi muvozanat shartlari haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Kuch, kuchning ta’sir chizig’i va Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi statika aksomalarini takrorlash. haqida tushunchaga ega. Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar Muvozanat shartlarini eslab qoladi va haqida tushuncha berish. amaliyotga qo’llay oladi. Uchta kuch haqidagi teoremani Uchta kuch haqidagi teoremani yoddan isbotlash vamisollar keltirish. biladi vaunga misollar keltiradi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi, aqliy hujum. 15 O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. ,,Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi’’ mavzusining texnologik xaritasi Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. bosqich 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) (20min) 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 16 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 2-Ma’ruza Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi. Reja: 1. Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi 2.Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari. 3.Uchta kuch haqidagi teorema. Adabiyotlar: [1],190-196 sah, [5], 16-21 sah. Tayanch iboralar: Kuch, kuchlar sistemasi, teng ta’sir etuvchi kuch, ekvivalent kuchlar. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 17 1. Ekvivalent kuchlar sistemasi deb nimaga aytiladi? 2. Kuch deb nimaga aytiladi ? 3.Teng ta’sir etuvchi kuch deb nimaga aytiladi. 4. Kuchlar sistemasi qachon muvozanatda bo’ladi? 5. Kuchning ta’sir chizig’i debnimaga aytiladi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Kuch va uning birliklari. 2 Kuchlar sistemasi. 3 Teng ta’sir etuvchi kuch. 4 Ekvivalent kuchlar. 5 Kuchlar ko’pburchagi. 6 Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi. 7 Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanati. 8 Uchta kuch haqida teorema. Insert jadvali qoidasi 18 Belgi V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 19 2- Mavzu 1.Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi Ta’sir chiziqlari bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasiga bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi deyiladi. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasini teng ta’sir etuvchisini topamiz. Qattiq jismga ta’sir etuvchi bir nuqtada kesishuvchi F1, F2 ,..., Fn kuchlar sistemasi berilgan bo‘lsin. Avval parallelogram aksiomasidan foydalanib berilgan kuchlar sistemasining birinchi ikkitasining teng ta’sir etuvchisi-ni topamiz. Teng ta’sir etuvchining moduli R12 F1 F2 , R12 F12 F22 2 F 1F2Cos F1, ^ F2 ga teng, yo‘nalishi esa quyidagi munosabatlardan topiladi Endi R12 F F R12 2 1 . ^ sin F1 , ^ R12 sin F2 , R12 sin F1 , ^ F2 kuch bilan F3 kuchni yoki F1 , F2 , F3 kuchlarning teng ta’sir etuvchisini topamiz F , F ~ R 1 bu yerda 2 12 , R12 F1 F2 ; Shunga o‘xshash F2 R12 F2 F1 Fn F3 R123 F3 R Fn 13-shakl R12 , F3 ~ R123 , bu yerda va hokazo. R123 F1 F2 F3 , ... , F 123 (n-1 ) n ~R R bu yerda n R F1 F2 F3 ... Fn Fi (1.3.1) i 1 bo‘ladi. Shunday qilib, bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi bitta kuchga ekvivalent, ya’ni teng ta’sir etuvchiga ega. Bu teng ta’sir etuvchi berilgan sistemasi kuchlarining geometrik yig‘indisiga teng. 20 Bir nugtada kesishuvchi kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisini kuch ko‘pburchagini qurish usuli bilan ham topish mumkin. Buning uchun F1 kuchni kuchlar sistemasining markazi deb olib, F2 kuchni o‘z-o‘ziga parallel ravishda shunday ko‘chiramizki, F2 kuchning boshi F1 kuchning oxiri bilan ustma-ust tushsin. Xuddi shunday F3 kuchni o‘z-o‘ziga parallel ravishda ko‘chiramiz, natijada F3 kuchning boshi F2 kuchning oxiri bilan ustma-ust tushsin va hokazo, shu ishni davom ettirib, oxiri Fn kuchni kochirganimizda bu kuchining boshi Fn1 kuchning oxiri bilan ustma-ust tushsin. Kuchlar sistemasi markazidan chiqib Fn kuchning oxirini tutashtiruvchi R kuch berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi bo‘ladi. Shunday usul bilan qurilgan ko‘pburchakka kuch ko‘pburchagi deyiladi (13-shakl). Kuchlar sistemasi teng ta’sir etuvchisining moduli va yo‘nalishini analitik usul bilan ham topish mumkin. Geometriya kursidan bizga malumki, vektorlar yig‘indisi-ning koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari berilgan vektorlarning mos o‘qlardagi proeksiyalari yig‘indisiga teng, ya’ni n n Rx Fix , Ry Fiy , i 1 n Rz Fiz . i 1 i 1 Teng ta’sir etuvchining modili va yonalishi quyidagicha topiladi R Rx2 R y2 Rz2 , Ry R R cos( R, ^ x) x , cos( R, ^ y ) , cos( R, ^ z ) z . R R R 2. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari Teorema. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, yani n R Fi 0 . (1.3.2) i 1 To‘g‘ri burchakli Oxyz dekart koordinatalar sistemasini tanlab, (1.3.2) tenglamani koordinata o‘qlariga proyeksialaymiz, natijada uchta skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, ya’ni n n n i 1 i 1 i 1 Rx Fix 0 ; Rу Fiу 0 ; Rz Fiz 0 . (1.3.3) Muvozanatdagi qattiq jism erkin bo‘lmasa, bog‘lanishlar aksiomasidan foydalanib, bog‘lanishlarning jismga ko‘rsatadi-gan ta’sirini ularning reaksiya kuchi bilan almashtiramiz. Natijada avval ham aytilganidek, bunday jismni berilgan kuchlar va bog‘lanish reaksiya kuchlari ta’siridagi erkin jism deb qarash mumkin. (1.3.3) tenglamalardan foydalanib kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini quyidagicha ifodalash ham mumkin: bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi 21 muvozanatda bo‘lishi uchun berilgan kuchlarning mos koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari yig‘indisi alohida-alohida nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli. Agar qattiq jismga qo‘yilgan kuchlar sistemasi bir tekislikda joylashgan bo‘lsa, koordinata o‘qlaridan bittasini, masalan, z o‘qini kuchlar tekisligiga perpendikulyar qilib olish kerak. U holda (1.3.3) tenglamalarning uchinchisi aynan nolga teng bo‘ladi, ya’ni n F Rz iz 0. i 1 Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi: n Rx n F ix 0 ; Ry i 1 F iy 0 . (1.3.4) i 1 (1.3.4) tenglamalar sistemasi bir tekislikda joylashgan va bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini ifodalaydi. 3.Uch kuch haqidagi teorema. Bir tekislikda yotgan uchta kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lsa, ularning ta’sir chiziqlari bir nuqtada kesishadi. F1 A1 R12 F3 A3 O A2 F2 14-shakl Isbot. Bir tekislikda yotgan uchta F1 , F2 , F3 kuch muvozanatda bo‘lsin. Berilgan F1 va F2 kuchlarni ta’sir chiziqlari bo‘ylab kesishish nuqtasiga ko‘chirib, ularni parallelogram qoidasiga ko‘ra qo‘shamiz, natijada F , F , F ~ R 1 ga kelamiz, bu yerda 2 , F 12 3 ~ 0 3 R12 ~ F1 , F2 va aytilganidek R12 , F3 kuchlar muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi. 1-aksiomaga asosan bu ikki kuch bir to‘gri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan va demak F3 kuchining ta’sir chizig‘i ham O nuqtadan o‘tadi. 22 Nazorat savollari. 1.Qanday kuchlar sistemasiga bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi deyiladi? 2.Qanday ko`pburchakga kuch ko`pburchagi deyiladi? 3.Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining teng ta`sir etuvchisi qanday topiladi? 4.Kuch ko`pburchagida teng ta`sir etuvchisi qanday tasvirlanadi? 5.Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat tenglamalari qanday yoziladi? Xulosa Kesishuvchi kuchlar sistemasi amaliyotda ko`p uchraydi,shuning uchun ham uning fanda alohida o`rni bor.Mavzuni o`rganish jarayonida quyidagi natijalarga e`tibor berishimiz kerak: 1) Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanatda bo`lishi uchin uning teng ta`sir etuvchisi (t.t.e.) nolga teng bo`lishi zarur va etarlidir. 2) Yopiq kuchlar ko`pburchagida hamma kuchlar ko`pburchakning konturi bo`ylab bir tomonga yo`nalgan bo`ladi. 3) Xususiy hol . Ta`sir chiziqlari kesishuvchi uchta kuchlar sistemasi muvozanatda bo`ladi, agap kuchlar uchburchagi yopiq bo`lsa. 4) Muvozanat shartlari faqat bitta jismga ta`sir etuvchi kuchlar sistemasi uchun qo`llaniladi. 23 3-Ma’ruza Parallel kuchlar sistemasi. Reja: 1. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`yish. 2. Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`yish. 3.Parallel kuchlar sistemasi. Adabiyotlar: [1], 204-211 sah; [5], 27-29, 97-99 sah; [7], 40-43,68-73 sah. Tayanch iboralar: Parallel va antiparallel kuchlar, t.t.e. kuch, t.t.e.-ning moduli va yo`nalishi , kuchning ta`sir chizig`i,kuch yelkasi Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Teng ta’sir etuvchi (t.t.e.)deb nimaga aytiladi? 2. Bir nuqtaga qo`yilgan ikkita kuch nolga ekvivalent bo`ladimi? 3. T.T.E.-ning qo`yilgan nuqtasi qanday aniqlanadi? 4. Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi deb qaysi nuqtaga aytiladi? 24 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasi. 2 5 Qarama-qarshi tominlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasi. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasining T.T.E. Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan parallel kuchlar sistemasining t.t.e. Teng ta’sir etuvchining nuqtasi. 6 Ikkita parallel kuchlar t.t.e.-ning moduli 7 Ikkita antiparallel kuchlar t.t.e.-ning moduli 8 Parallel va antiparallel kuchlar t.t.e.-ning yo`nalishi. 9 Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi. 3 4 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 25 Belgi 3 mavzu Parallel kuchlar sistemasi 1.1“ Parallel kuchlar sistemai ” mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) Mavzu rejasi 1. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`shish. 2. Qarama-qarshi tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlani qo`shish. 3. Parallel kuchlar sistmasi. O’quv mashg’ulotining Parallel va antiparellel kuchlar sistemasi haqida maqsadi tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Kuch haqida Mavzuning ahamiyati va mohiyatini tushunadi. tushunchalarni takrorlash Parallel va antiparallel Parallel kuchlarni qo`shish qoidalarini yodlaydi va kuchlarni qo`shish eslab qoladi. qoidalarini tushuntiradi. Parallel kuchlar sistemasi Parallel kuchlar sistemasini amaliyotda qo`llashga t.t.e., qo`yilgan nuqtasi, ko`nikma hosil qiladi. yo`nalishini aniqlash O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 26 1.2. “ Parallel kuchlar sistemasi ” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni Tingloichi faoliyatining mazmuni 1.1. O’quv mashg’uloti savollarni tahlil qiladi va o’qo’v faoliyati natijalarini aytadi. 1.2. Tinglovchilarning mashg’ulotdagi faoliyatini baholash ko’rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi (1ilova). 1.3. Mavzu bo’yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4. Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimini tekshiradi va baholaydi.(3ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo’yicha maslahatlar beradi. Tinglaydilar. 3.1. Mavzu bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. Savollar beradilar 27 Tinglaydilar Topshiriqlar tanishadilar bilan Javob beradilar 2 ta mini guruxga ajraladilar. Topshiriqda keltirilgan savvollarga 1-2 javob tayorlaydi. UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiqlari va uy vazifalarini yozib oladilar. 3-Mavzu √ 1. Bir tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаlеl kuchlаr sistеmаsi. Absolyut qattiq jismning ikkita har xil nuqtalariga qo’yilgan ikkita P va Q pаrаllеl kuchlar sistemasini qaraymiz (41-shakl). Kuchlar qo’yilgan nuqtalarni A va B bilan belgilaymiz. A va B nuqtalarga miqdorlari teng hamda AB to’g’ri chiziq bo’ylab qarama-qarshi tomonga yo’nalgan S va S kuchlarni qo’yamiz. Bunday ikkita kuch muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi, ya’ni S ,S '~ 0 . A va B nuqtalarga qo’yilgan P , S va Q, S ' kuchlarni qo’shib, ularning teng ta’sir etuvchilari R1 va R2 larni hosil qilamiz. Ikkinchi aksiomaga asosan P, Q ~ P, Q , S, S ' va demak P , Q ~ R , R . 1 2 R1 va R2 kuchlarni ta’sir chiziqlari bo’ylab ularni O kesishish nuqtasiga ko’chiramiz (41-shakl). S Q S S O R2 P R1 A C B R1 P Q R S R2 41-shakl Keyin R1 va R2 kuchlarini AB to’g’ri chiziq va P , Q kuchlarga parallel P va S , Q va S ' tuzuvchilarga ajratamiz. Shunday qilib, bitta nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasiga ega bo’lamiz. S , S ' muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil qiladi, shuning uchun P , Q , S, S ' ~ P , Q . P va Q kuchlar P va Q kuchlarga parallel to’g’ri chiziq bo’ylab bir tоmоngа yo`nаlgаni uchun ularning tеng tа’sir etuvchisi R P Q bo’ladi. Demak, uning mоduli berilgan kuchlar modullari yig’indisigа tеng, ya’ni R PQ. Tеng tа’sir etuvchining yo’nalishi bеrilgаn kuchlаrga uchburchaklarning o’xshashligidan P S , OC AC 28 Q S' . OC SB (2.3.1) paralleldir. Mos Bu proporsiyalarni birinchisini ikkinchisiga bo’lib, quyidagini hosil qilamiz: P CB , bundan Q AC P Q . CB AC Oxirgi proporsiyadan quyidagi hosilaviy proporsiyaga kelamiz: PQ P Q , AC CB CB AC P Q R va AC CB AB bo’lgani uchun P Q R . CB AC AB (2.3.2) Shunday qilib, bir tоmоngа yo`nаlgаn ikkita parallel kuch teng ta’sir etuvchiga ega bo’lib, teng ta’sir etuvchining mоduli berilgan kuchlar modullari yig’indisigа tеng, yo’nalishi bеrilgаn kuchlаrga parallel va ular bilan bir xil bo’ladi. Teng ta’sir etuvchining ta’sir chizig’i AB kesmani berilgan kuchlarning modullariga nisbatan ichki ravishda teskari proportsional bo’laklarga ajratadi. Endi berilgan R kuchni ikkita parallel tuzuvchiga ajratish masalasini qaraymiz. Bu masalani cheksiz ko’p usullar bilan echish mumkin, ya’ni masala umumiy holda aniqmas masala hisoblanadi. Masala aniq masala bo’lishi uchun tuzuvchi kuchlardan A C B bittasini moduli va qo’yilish nuqtasi yoki ikkala tuzuvchining P Q ham qo’yilish nuqtasi berilishi R kerak. Masalan, C nuqtaga 42-shakl qo’yilgan R kuchni unga parallel shunday ikkita tuzuvchiga ajratilganki, ulardan biri A nuqtaga qo’yilgan bo’lib, moduli P ga teng. Ikkinchi qo’shiluvchining moduli Q va qo’yilish nuqtasi B quyidagi munosabatlardan topiladi (42-shakl): R PQ, P Q , CB AC bulardan Q R P, CB P AC . Q Endi R kuchni A va B nuqtalarga qo’yilgan ikkita parallel tuzuvchilarga ajratish talab etilsin. Tuzuvchi kuchlarning modullari quyidagi munosabatlardan topiladi: P R CB AC , Q R . AB AB 2. Qаrаmа-qаrshi tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаllеl kuchlar sistemasi. Qаrаmа-qаrshi tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаllеl kuchga antiparallel kuchlar deyiladi. A va B nuqtalarga qo’yilgan miqdorlari teng bo’lmagan ikkita antiparallel kuchlar berilgan bo’lsin (43-shakl). Moduli katta bo’lgan P Q kuchni ikkita R va Q ' tuzuvC A B chiga shunday ajratamizki, bu R Q kuchlardan bittasi Q ' ning P moduli Q ning moduliga 43-shakl teng va Q kuch bilan bir to’g’ri chiziq bo’ylab qаrаmа-qаrshi tоmоngа yo`nаlgаn bo’lsin, ya’ni Q Q ' , Q Q ' . U holda Q va Q ' kuchlar nol sistemani hosil qiladi, 29 ya’ni Q,Q' ~ 0 . R kuchning moduli va qo’yilish nuqtasi (2.3.1) va (2.3.2) formulalardan topiladi, ya’ni R PQ. (2.3.3) P Q R . BC AC AB (2.3.4) R kuch P, Q antiparallel kuchlarining teng ta’sir etuvchisi bo’ladi, ya’ni P, Q ~ R, Q , Q ' ~ R . Shunday qilib, ikkita antiparallel kuchlar sistemasi teng ta’sir etuvchiga ega bo’lib, uning moduli berilgan kuchlar modullari ayirmasiga teng, yo’nalishi berilgan kuchlarga parallel va katta kuch bilan bir xil bo’ladi. Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi AB kesmaning davomidagi C nuqtada bo’lib, AB kesmani tashqi ravishda kuchlar modullariga nisbatan teskari proportsional bo’laklarga ajratadi. MS:R=0 bo`lishi mumkinmi? c 30 3. Parallel kuchlar markazi √ Teng ta’sir etuvchiga keltiriladigan parallel kuchlar sistemasining markazi tushunchasini kiritaylik. Qattiq jismning A1 , A2 ,..., An nuqtalarga qo’yilgan F1 , F2 ,..., Fn parallel kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin. Avval bir tomonga yo’nalgan parallel kuchlarni qaraymiz (62-shakl). F1 va F2 ikkita kuchni qo’shamiz. A1 va A2 nuqtalarning koordinatalarini mos ravishda A1 x1 , y2 , z1 va A2 x1 , y2 , z1 bilan radius-vektorlarini esa r1 va r2 bilan belgilaymiz (62-shakl). F1 va F2 kuchlarning teng ta’sir etuvchisini R2 bilan belgilaymiz. U holda R2 kuchning moduli R2 P1 P2 . R2 kuchning qo’yilishi nuqtasini topamiz. 62-shaklga asosan A1C2 rc r1 , C2 A2 r2 rc (2.7.1) 2 z 2 A2 C2 A1 F1 F2 r2 R2 r1 rC2 rC3 An C3 A3 Fn R3 r3 F3 O y x 62-shakl Ikkinchi tomondan 1-§ dagi (2.1.2) formulaga asosan C2 nuqtaning holati quyidagi munosabatdan topiladi: A1C2 C 2 A2 . P2 P1 A1C2 , C2 A2 va A1 A2 vektorlar kolleniarligidan A1C2 C2 A2 P2 P1 yoki (2.7.1) munosabatlarga asosan rc2 r2 P2 r2 rc2 bundan P1 , P1r1 P2 r2 . rc2 P1 P2 (2.7.2) Endi R2 va F3 yoki F1 , F2 , F3 kuchlarni teng ta’sir etuvchisini qo’yilish nuqtalarini topamiz R2 , F3 ~ F1 , F2 ,..., Fn ~ R3 R2 va F3 bir tomonga yo’nalgan parallel kuchlar bo’lgani uchun ularning teng ta’sir etuvchisi R3 ham shu yo’nalishga ega va uning moduli quyidagicha topiladi: R3 R2 F3 F1 F2 F3 . Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi 31 R2 rc2 F3r3 rc3 R2 F2 formuladan topiladi. (2.7.2) formulaga asosan F1r1 F2 r2 F3 r3 . rc3 F1 F2 F3 (2.7.3) Endi to’la induksiya metodidan foydalanib, (2.7.3) formulani n ta kuch uchun ham o’rinli ekanligini isbot qilish mumkin. Buning uchun (2.7.3) formula k ta kuch uchun o’rinli deb k+1 ta kuch uchun ham o’rinli bo’lishini ko’ramiz. Faraz qilaylik, (2.7.3) formula k ta kuch uchun o’rinli, ya’ni k F1r1 F2 r2 ... Fk rk rck F1 F2 ... Fk Fr i i i 1 k (2.7.4) Fi i 1 bo’lsin. F1 , F2 ,..., Fk kuchlarining teng ta’sir etuvchisi Rk shu kuchlar bilan bir xil yo’nalgan bo’lib, uning moduli quyidagiga teng k Rk F1 F2 ... Fk Fi . i 1 Endi Rk va Fk 1 kuchlarini teng ta’sir etuvchisini topamiz. Rk va Fk 1 bir tomonga yo’nalgan parallel kuchlar ekanligidan teng ta’sir etuvchisi ular bilan bir xil yo’nalgan, moduli esa quyidagicha topiladi: Rk 1 Rk Fk 1 F1 F2 ... Fk 1 . Rk 1 kuchning qo’yilish nuqtasi (2.7.2) ko’ra Rk 1 Fk 1 rck 1 Rk 1 Fk 1 bo’ladi. (2.7.4) formulga asosan esa k 1 rck 1 Fr F r F2 r2 ... Fk 1rk 1 11 F1 F2 ... Fk 1 i i i 1 k 1 . F i F1 , F2 ,..., Fn i 1 parallel kuchlar Shunday qilib, bir tomonga yo’nalgan sistemasining teng ta’sir etuvchisining yo’nalaishi berilgan kuchlarning yo’nalishi bilan bir xil, moduli esa modullari yig’indisisga teng, ya’ni n R Fi . i 1 Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi n rc Fr i i i 1 n . (2.7.5) F i i 1 formula bilan topiladi. (2.7.5) tenglikning ikkala tomonini koordinatalar sistemasi proeksiyalab, parallel kuchlar markazining koordinatalarini topamiz 32 o’qlariga n n Fi xi xc i 1 n n Fi yi yc , i 1 n Fz i i , zc Fi Fi i 1 i 1 bu erda xi , yi , zi -lar Fi kuch qo’yilgan nuqtasining koordinatalari. i 1 n , (2.7.6) F i i 1 Berilgan kuchlarni qo’yilish nuqtalari atrofida bir xil burchakka burganda ularning teng ta’sir etuvchisi ham xuddi shunday burchakka o’sha yo’nalishda buriladi, ammo uning qo’yilish nuqtasi o’zgarmaydi. Demak, teng ta’sir etuvchi qo’yilish nuqtasining holati parallel kuchlar yo’nalishiga bog’liq bo’lmas ekan. Bu nuqtaning holati berilgan kuchlarning modullariga va qo’yilish nuqtalarining holatiga bog’liqdir. Agar bizga qarama-qarshi tomonga yo’nalgan parallel kuchlar sistemasi berilgan bo’lsa, ularni qarama-qarshi tomonga yo’nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasiga ajratamiz. Hosil bo’lgan kuchlar sistemalarini teng ta’sir etuvchilarini topamiz. Natijada R , R antiparallel kuchlar sistemasiga kelamiz. Bu ikki kuchni ham bitta teng ta’sir etuvchiga keltirish mumkin. Uning moduli va qo’yilish nuqtasi (2.1.3) va (2.1.4) formulalar bilan topiladi. Yuqorida keltirilgan formulalardan foydalanishda bir tomonga yo’nalgan kuchlarning modullari oldiga (+) ishorasini, ikkinchi tomonga yo’nalgan kuchlarning modullari oldiga (-) ishorasini qo’yish lozim. n (2.7.5) formuladagi Fr i i ifodaga parallel kuchlar sistemasining O nuqtaga i 1 n nisbatan statik momenti deyiladi. n Fi xi , i 1 n Fi yi , i 1 Fz i i miqdorlarga parallel i 1 kuchlar sistemasining mos ravishda (yz),(zx) va (xy) tekisliklarga nisbatan statik momentlari deyiladi. (2.7.5) va (2.7.6) lardan n F r i i rc Fi , n i 1 n Fi xi xc , i 1 i 1 n n Fi yi yc , i 1 Fz i i zc . i 1 munosabatlar kelib chiqadi. Nazorat savollari? 1) Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar t.t.e.-ning moduli nimaga teng? 2) T.T.E.qaysi nuqtadan o`tadi? 3) Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarning moduli nimaga teng? 4) Parallel kuchlar sistemasining og`rlik markazi qanday topiladi? 33 Xulosa Parallel kuchlar sistemasini o`rganish jarayonida biz quyidagi asosiy tushunchalarga duch keldik: bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`shish, qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`shish, fazoda jaylashgan n-ta parallel kuchlarni qo`shib, t.t.e.-ning qo`yilgan nuqtasini aniqlash. Bu nuqtaga parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi deyiladi. Demak, ushbu mavzuning asosiy natijasini qisqacha quyidagi ta’riflash mumkin: 1) Bir tomonga yo`nalgan parallel kuchlar sistemasi hech qachon muvozanatga kelolmaydi yoki biror juft kuchga kelmaydi.Bunday kuchlar sistemasi hamma vaqt t.t.e.-ga ega. 2) Parallel kuchlar sistemasining bosh vektori hamma vaqt kuchlarga paralleldir. 34 4-Ma’ruza Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti. Juft kuchlar nazariyasi. Reja: 1. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti. 2. Kuchning o`qqa nisbatan momenti 3.Juft kuchlar nazariyasi. Adabiyotlar: [1], 224-234 sah; [5], 29-35, 72-76 sah; [7], 26-37,43-48 sah. Tayanch iboralar: Kuchning algebraik momenti, kuch momenti-vektor, moment proeksiyalari, kuchning o`qqa nisbatan momenti, juft kuch, juftning yelkasi, juft momenti. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Kuchning ta’sir chizig`i nima? 2. Kuchning yelkasi deb nimaga aytiladi? 3. Kuchning algebraik momenti nimaga teng? 4. O`ng vint qoidasi nimadan iborat? 5. Juft kuch deb nimaga aytiladi? 6. Juftning momenti nimaga teng? 35 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Kuch va uning ta’sir chizig`i. 2 Kuchning markazga nisbatan momenti. 3 Kuch yelkasi. 4 Kuch momenti-vektor 5 Kuchning o`qqa nisbatan momenti. 6 O`ng vint qoidasi. 7 Juft kuchlar. 8 Juftning yelkasi. 9 Juft kuch momenti. 10 Juft momenti-vektor. 11 Ekvivalent juftlar. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 36 Belgi 4 mavzu Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti. Juft kuchlar nazariyasi. 1.1“ Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti. Juft kuchlar nazariyasi ” mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) Mavzu rejasi 1. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti. 2. Kuchning o`qqa nisbatan momenti. 3. Juft kuchlar nazariyasi. O’quv mashg’ulotining Juft kuchlar nazariyasi va kuch momenti haqida maqsadi tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: 1.Kuch, uning qo`yilish Kuch va uning momenti haqida tushunchalarni nuqtasi, yo`nalish biladi. Juft kuchlar va ularning momenti to`g`risida tushunchalarini takrorlash. yetarli bilimga ega. Ekvivalent juftlar haqida Juft kuchlar va ularning momenti to`g`risida yetarli 2.Kuchning nuqtaga va bilimga ega. o`qqa nisbatan momenti haqida tushuncha berish. 3. Juft kuchlar Ekvivalent juftlar haqida nazariyasining asosiy tasavvurga ega elementlarini tushuntirish. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov 37 baholash 1.2. “ parallel kuchlar sistemasi ” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni O`quv mashg`uloti 1mavzusi,savollarni va o`quv bosqich faoliyati natijalarini aytadi. Mavzuga 1.2. Baholash me’zonlari (2 ilova) kirish 1.3. Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1 ilova) 1.4. Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi (3 ilova) 22.1. Savol yuzasidan mini ma’ruza bosqich qiladi. Asosiy 2.2. Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tuchuncha beradi. (4 ilova) (50min) 2.3. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi.(5 ilova) 2.4. Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. Tingloichi faoliyatining mazmuni 1.1. 3bosqich Yakun lovchi (10min) Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar Tinglaydilar UMKga qaraydilar UMKga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMKga qaraydilar. Vazifalarni yozib oladilar. 1.Kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momenti. 38 Bir tekislikda yotadigan kuchlar sistemasi qaralganda kichning nuqtaga nisbatan momenti tushunchasidan foydalaniladi. Kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momenti deb kuch modulini kuch yelkasiga ko’payitmasining (+) yoki (-) ishorasi bilan olinganiga aytiladi va quyidagicha yozialdi: mom0 F M 0 F Fh . (1.5.1) Biror O nuqtadan kuch ta’sir chizig’igacha bo’lgan eng qisqa h masofaga kuch elkasi (25-shakl), O nuqtaga esa kuch markazi deyiladi. Agar kuch jismni O markaz atrofida soat mili harakati B F φ yo’nalishiga teskari yo’nalshida aylantirishga intilsa (+) ishora, A soat mili harakati yo’nalishida aylantirishga intilsa (-) ishora olinadi. Kuchning ta’sir chizig’i kuch markazidan o’tsa, kuchning O h bu markazga nisbatan algebraik momenti nolga teng. (1.5.1) 25-shakl formulaga asosan kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momentining son qiymati kuch vektori va O markazga qurilgan uchburchak yuzining ikki baravariga teng, ya’ni (1.5.2) M 0 F 2S OAB . a) Kuchning nuqtaga nisbatan moment vektori Fazoviy kuchlar sistemasi qaralganda kuchning nuqtaga nisbatan vektorli momenti tushunchasidan foydalaniladi. Kuchning O markazga nisbatan momenti deb shunday vektorga aytiladiki, bu vektor O nuqtaga qo’yilgan bo’lib, uning moduli kuch vektori va O nuqtaga qurilgan uchburchak yuzining ikki baravariga teng, yo’nalishi esa kuch vektori va O nuqta orqali o’tuvchi tekislikka perpendikulyar bo’lib, moment vektori uchidan qaralganda kuch jismni soat mili yo’nalishiga teskari yo’nalishda aylantirsa musbat, aks holda manfiy bo’ladi. Kuchning O nuqtaga nisbatan moment vektorini mom0 F yoki M 0 F deb belgilaymiz. Moment vektorining ta’rifiga asosan mom0 F M 0 F r F . (1.5.3) Haqiqatan ham, 26-shaklga asosan: M 0 F r F rF sin Fh 2 SOAB , F Fx , Fy , Fz B MF F z φ A r h O k (x,y,z) r j O y i x 39 26-shakl 27-shakl bu erda h rSin . (1.5.3) formuladagi r -kuch qo’yilgan nuqtaning O nuqtaga nisbatan radius-vektori. r F vektorning yo’nalishi, r va F vektorlar tekisligiga perpendikuliar. Demak moment vektorini (1.5.3) ko’rinishda yozish mumkin. Kuchni ta’sir chizig’i bo’ylab ko’chirilganda uning nuqtaga nisbatan momenti o’zgarmaydi. Kuchning ta’sir chizig’i kuch markazidan o’tsa, uning o’sha markazga nisbatan moment vektori nolga teng bo’ladi. Agar to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida F kuch o’zining Fx , Fy , Fz proektsiyalari bilan va kuch qo’yilgan nuqta (x,y,z) koordinatalari bilan berilgan bo’lsa (27-shakl), (1.5.3) formulani quyidagicha yozish mumkin: i j k (1.5.4) M 0 F r F x y z yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k , Fx Fy Fz bu erda i , j , k -lar koordinata o’qlarining birlik vektorlari. (1.5.4) munosabatlardan foydalanib M F moment vektorining proektsiyalari uchun M 0 x F yFz zFy , M 0 y F zFx xFz , M 0 z F xFy yFx . (1.5.5) formulalarni yozish mumkin. Moment vektorining moduli va yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagicha topiladi: M 0 F yFz zFy 2 zFx xFz 2 xFy yFx 2 ; M F cos M 0 ^ X x , M0 F cosM ^ Y M F , M F M F cosM ^ Z . M F y 0 (1.5.6) 0 z 0 0 b) Kuchlar sistemasining markazga nisbatan momenti F1, F2 ,..., Fn kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin (28-shakl). O markazga nisbatan bu sistema kuchlarining moment vektorlari yig’indisini M 0 deb belgilaymiz, ya’ni n n M 0 mom 0 F ri Fi . i 1 F1 F2 F1 F2 Fn A1 M0 A2 r1 rn O 28-shakl Fn i 1 M0 r r2 An O 29-shakl 40 (1.5.7) M 0 vektorga kuchlar sistemasining O markazga nisbatan bosh momenti deyiladi. Agar hamma kuchlar bitta nuqtaga qo’yilgan bo’lsa, u holda n n M 0 ri F ri Fi . i 1 (1.5.8) i 1 Demak, bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar yig’indisining biror O nuqtaga nisbatan momenti kuchlarning o’sha nuqtaga nisbatan momentlari yig’indisiga teng (Varinon teoremasi). Kuchning A nuqtaga nisbatan algebraik momentini analitik tarzda quyidagicha ham ifodalash mumkin (30-shakl) M A F x a Fy y b Fx , (1.5.9) bu erda x va y kuch qo’yilgan nuqtaning dekart koordinatalari, a va b A nuqtaning koordinatalari, Fx va Fy esa kuchning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari (30 shakl). Xususiy holda F kuchining momenti koordinatalar boshiga nisbatan hisoblansa, (1.5.9) quyidagi ko’rinishda yoziladi: M 0 F xFy yFx . (1.5.10) Endi bitta qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lgan qattiq jismning muvozanati haqidagi masalani qaraymiz. Agar bunday qattiq jism muvozanatda bo’lsa, qo’zg’almas nuqtaning reaktsiya kuchi jismga qo’yilgan aktiv kuchlarning teng ta’sir etuvchisi bilan muvozanatda bo’lishi kerak. Demak, aktiv kuchlarning teng ta’sir etuvchisining ta’sir chizig’i qo’zg’almas nuqtadan o’tishi kerak, aks holda jismning ag’darilishi yuz beradi. y Fy j F Fxi B A b O y a x x 30-shakl Agar moment markazi sifatida qattiq jismning qo’zg’almas nuqtasini olsak, reaktsiya kuchining momenti nolga teng va demak, aktiv kuchlar teng ta’sir etuvchisining momenti ham nolga teng bo’ladi. Bu holda Varinon teoremasiga asosan aktiv kuchlarning qo’zg’almas nuqtaga nisbatan algebraik momentlari yig’indisi nolga teng, ya’ni n M F 0 . 0 i (1.5.11) i 1 2. Kuchning o’qqa nisbatan momenti Kuchning o’qqa nisbatan momenti deb kuchning o’q ustida olingan ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentining shu o’qdagi proektsiyasiga aytiladi, ya’ni momx F r F x . (1.5.12) 41 F kuchning x o’qi ustida olingan biror O nuqtaga nisbatan momentining shu o’qdagi proektsiyasi O nuqtani tanlashga bog’liq emasligini ko’tsatamiz (31shakl). Haqiqatdan ham (1.5.12) tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: momx F r F x r F x 0 x 0 r F , bu erda x 0 - x o’qining birlik vektori. x 0 r ifodaning son qiymati (31-shakl) asosi x 0 va balandligi r sin x 0 , r d ga teng bo’lgan uchburchak yuzining ikki baravariga teng. Uchburchakning asosi ham balandligi ham o’zgarmas miqdorlar, demak r F x miqdor O nuqtani tanlashga bog’liq emas. Kuchning o’qqa nisbatan momenti ta’rifini boshqacha ko’rinishda ham berish mumkin: kuchning o’qqa nisbatan momenti deb kuchning shu o’qqa perpendikulyar tekislikdagi proektsiyasining o’q bilan tekislik kesishgan nuqtaga nisbatan algebraik momentiga aytiladi (32-shakl), ya’ni momx F mom0 F F1h1 (1.5.13) F M 0 F r F x x A F 1 r O x0 O F1 h1 zF r1 O1 x0 31-shakl 32-shakl (1.5.13) formuladagi (+) yoki (-) ishora quyidagicha tanlanadi: x o’qining musbat uchidan qaralganda F kuch tekislikni soat mili harakatiga teskari yo’nalishda aylantirsa (+) ishora, aks holda (-) ishora olinadi. Agar F kuchning ta’sir chizig’i x o’qini kesib o’tsa yoki parallel bo’lsa, kuchning shu o’qqa nisbatan momenti nolga teng bo’ladi. Agar ixtiyoriy O nuqta sifatida Oxyz koordinatalar sistemasining boshi tanlansa, kuchning o’qqa nisbat momenti ta’rifiga hamda (1.5.5) ga asosan kuchning koordinata o’qlariga nisbatan momentlari uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin: mom x F r F x yFz zFy , mom y F r F y zFx xFz , mom z F r F z xFy yFx . (1.5.14) 3.Juftlar nazariyasi Qattiq jismning ikkita har xil nuqtalariga qo’yilgan modullari teng va qaramaqarshi tomonga yo’nalgan ikki parallel kuchlar sistemasiga juft kuch deyiladi (44shakl). Kuchlarning ta’sir chiziqlari orasidagi masofaga juft elkasi deyiladi. 42 Juft kuch teng ta’sir etuvchiga ega emas. Buni teskaridan faraz qilib isbotlaymiz. Faraz qilaylik, F , F juft kuch R teng ta’sir F2 d etuvchiga ega bo’lsin. F , F kuchlar sistemasiga F 1 miqdori teng ta’sir etuvchining moduliga teng va bir to’g’ri chiziq bo’ylab qarama-qarshi tomonga yo’nalgan R 44-shakl kuchni qo’shamiz, natijada F , F , R muvozanatlashgan kuchlar sistemasi hosil bo’ladi, ya’ni F , F , R ~ 0, R R . Uch kuchning muvozanati haqidagi teoremaning zaruriy sharti bajarilmaydi. Demak F , F juft kuch teng ta’sir etuvchiga ega emas. Bundan juft kuch ta’siridagi jism muvozanatda bo’lmaydi degan xulosa kelib chiqadi. Juft kuch ta’siridagi jism aylanma harakat qiladi. Juftning jismga ko’rsatadigan ta’siri uning momenti bilan xarakterlanadi. Juftning algebraik momenti deb juftni tashkil qiluvchi kuchlardan birining moduli bilan juft elkasi ko’paytmasining (+) yoki (-) ishora bilan olinganiga aytiladi, ya’ni (2.2.1) M F , F mom F , F F1 d F2 d . Juft kuch yotgan tekislikka juft tekisligi deyiladi. Agar juft kuch juft tekisligini soat mili harakati yo’nalishiga qarama-qarshi yo’nalishda aylantirsa (2.2.1) formulada (+) ishora, soat mili harakati yo’nalishida aylantirsa (-) ishora olinadi (45a,b-shakl). Tekislikdagi juft kuchlar haqida teoremalar: 1-teorema. Juftning algebraik momenti ixtiyoriy markazga nisbatan juftni tashkil qiluvchi kuchlarning algebraik momentlari yig’indisiga teng. Isbot. Ixtiyoriy O nuqtani tanlaymiz (46-shakl). O nuqtaga nisbatan A va B nuqtalarning radius-vektorlarini r1 , r2 bilan F (+) A B F (-) a) b) 45-shakl AB F r2 r1 F r2 F r1 F belgilaymiz. U holda AB r2 r1 va F F bo’lgani uchun mom F , F AB F r1 F r2 F mom0 F mom0 F 2-teorema. Juftni o’z tekisligida bir holatdan boshqa bir holatga ko’chirganda juftning jismga ko’rsatadigan ta’siri F F B r2 r1 O 43 A 46-shakl o’zgarmaydi. F2 яя A B F1 F4 B1 F3 F6 C F4 K F1 A1 F2 R F5 R F5 D L 47-shakl Isbot. Yelkasi AB bo’lgan F1, F2 juft berilgan bo’lsin (47-shakl). Tekislikning A1 va B1 nuqtalariga miqdorlari teng va yo’nalishlari qarama-qarshi F3 , F4 va F5 , F6 kuchlarni qo’yamiz F3 F4 F5 F6 , bu erda AB A1B1 . F1 , F2 , F4 va F5 kuchlarning ta’sir chiziqlari bo’ylab K va L nuqtalarga ko’chiramiz. Natijada K va L nuqtalarga qo’yilgan F1 , F4 va F2 , F5 kuchlar sistemasiga ega bo’lamiz. F1 va F4 kuchlarni teng ta’sir etuvchisini R bilan F2 va F5 kuchlarni teng ta’sir etuvchisini R bilan belgilaymiz, ya’ni F1, F4 ~ R, F2 , F5 ~ R . F1 F2 , F4 F5 bo’lgani uchun R va R kuchlarning modullari teng va bir to’g’ri chiziq bo’ylab qarama-qarshi tomonga yo’nalgan. U holda F1, F4 , F2 , F5 ~ R, R ' ~ 0 . Natijada F1, F2 ~ F1, F2 , F3, F4 , F5 , F6 ~ F3 , F6 . Momentlari teng bo’lgan ikkita juftga ekvivalent juftlar deyiladi, ya’ni mom F , F mom P , P F , F ~ P, P . 3-teorema. Juftning momentini o’zgartirmasdan uning tashkil etuvchi kuchlarini va yelkasini har qancha o’zgartir-ganda ham juftning jismga ko’rsatadigan ta’siri o’zgarmaydi. Isbot. P1, P2 juft berilgan bo’lsin (48-shakl). P2 kuchni unga parallel ikkita tuzuvchiga ajratamiz, ya’ni P2 ~ Q, P2 Q . Kuchlardan bittasi A nuqtaga P2 ikkinchisi AB kesma yotgan to’g’ri P2 Q Q chiziq davomidagi C nuqtaga A B C qo’yilgan bo’lsin. A nuqtaga P1 qo’yilgan P va P2 Q kuchlar48-shakl ning teng ta’sir etuvchisi Q ning moduli 44 Q P1 P2 Q Q . Natijada elkasi AC bo’lgan yangi juftga ega bo’lamiz. AC elka quyidagi munosabatni qanoatlantiradi: Q P 2 bundan Q AC P2 AB . (2.2.2) AB AC (2.2.2) tenglikdagi Q AC ko’paytma Q, Q juft kuchning momentini, P2 AB ko’paytma esa P1, P2 juftning momentini ifodalaydi, ya’ni mom Q, Q mom P1 , P2 . 4-teorema. Bir tekislikda yotgan juft kuchlar sistemasi bitta juft kuchga ekvivalent bo’lib, uning momenti berilgan juft kuchlar momentlari yig’indisiga teng. Isbot. Bir tekislikda yotgan F1, F1, F2 , F2 ,..., Fn , Fn juft kuchlar berilgan bo’lsin (49-shakl). 3-teoremadan foydalanib, berilgan juft kuchlarning momentlarini o’zgartirmay bitta D elkaga keltiramiz. Natijada F , F , F , F ,..., F , F ~ Q , Q , Q , Q ,...,Q , Q . 1 1 2 n 2 F2 n 1 1 2 2 n n F1 d2 F2 F3 d1 F1 Fn d3 Q3 Q2 A Qn dn F3 Q1 Fn D Qn Q1 B Q2 Q3 49-shakl A va B nuqtalarga qo’yilgan kuchlarni qo’shib, R , R yangi juft kuchni hosil qilamiz. 49-shaklga asosan R R Q1 Q2 Q3 ... Q4 . R, R juftning momenti mom R, R R D Q1D Q2 D Q3 D ... Q4 D . 3-teoremaga asosan Q1D F1d1 mom F1 , F1 , Q2 D F2d 2 mom F2 , F2 , .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . Qn D Fn d n mom Fn , Fn . Bu tengliklarni hadma-had qo’shib, (2.2.3) ga asosan 45 (2.2.3) n mom R, R mom Fi , Fi . (2.2.4) i 1 ni topamiz. Nazorat savollari. 1) Kuchning nuqtaga nisbatan momentining ta’rifini ayting. 2) Kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momenti deb nimaga aytiladi? 3) Kuchning nuqtaga nisbatan vektorli momenti deb nimaga aytiladi? 4) Kuchnung o`qqa nisbatan momenti deb nimaga aytiladi? 5) Kuchning koordinata o’qlariga nisbatan momentini hisoblash formulalari qanday ifodalanadi? 6) Juft kuch deb nimaga aytiladi? 7) Juft kuchning momenti deb nimaga aytiladi? 8) Juft kuchning momenti haqidagi teoremani ayting. Xulosa Kuchning nuqtaga va o’qqa nisbatan momenti haqidagi tushuncha nazariy mexanikaning asosiy tushunchalardan biri bo’lib, amaliy masalalarda ko`p ishlatiladi.Kuchning nuqtaga nisbatan momenti bilan va bu nuqta orqali o`tuvchi o`qqa nisbatan kuch momenti orasidagi bog’lanish mavjudligini aniqladik.Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining o’qqa nisbatan bosh momentlari va o’qqa nisbatan bosh momentlari va ular orasidagi bog’lanish mavjudligini ko’rib o’tdik.Juft kuchlar tushunchasi ham asosiy tushunchalardan biri ekanligi ma’lum bo’ldi.Juft kuch momentining vektor miqdor ekanligi va uning fazodagi yo’nalishi haqidagi ma’lumotlar ayniqsa diqqatga sazovordir.Ekvivalent juftlar haqidagi 46 teoremalarning natijalari juft kuchlarning tabiati va xarakteristikasi haqida muhim tushunchalar ekanligi aniqlanadi. 5-Ma’ruza Fazodagi kuchlar sistemasi. Reja: 1. Kuchni berilgan markazga keltirish. 2. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirish. 3.Kuchalar sistemasining muvozanat shartlari. Adabiyotlar: [1], 234-257sah; [5], 80-93 sah; [7], 152-172 sah. Tayanch iboralar: Kuch, kuchlar sistemasi, kuchning ta’sir chizig`I, teng ta’sir etuvchi kuch (t.t.e.), bosh vektor, bosh moment, kuch momenti, juft kuch, juft kuch momenri. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball 47 Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Kuch deb nimaga aytiladi? Kuch momenti nima? 2. TTTeng ta’sir etuvchi deb nimaga aytiladi? 3. Bosh vektor nima? Bosh moment nima? 4. T.T.E.-ning momenti nimaga teng? 5. Juft kuch nima? Uning momenti nimaga teng? 6. Juft kuch jismga qanday ta’sir ko`rsatadi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar Belgi 1 Kuch uning ta’sir chizig`i. 2 Kuchlar sistemasi. 3 Teng ta’sir etuvchi kuch. 4 Bosh vektor. 5 Teng ta’sir etuvchining nuqtasi. 6 Kuchni berilgan markazga keltirish. 7 Juft kuch va uning momenti. 8 Fazodagi kuchlar sistemasini bir markazga keltirish. 9 Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar muvozanat shartlari. Tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar muvozanat shartlari. 10 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. 48 sistemasining sistemasining 5 mavzu Fazodagi kuchlar sistemasi. ? – tushunarsiz, 1.1. “Fazodagi kuchlar sistemasi” mavzusining texnologik modeli O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) Mavzu rejasi 1. Kuchni berilgan markazga keltirish. 2. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirish. 3. Kuchlar sistemasining muvozanat shartlari. O’quv mashg’ulotining Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi haqida maqsadi tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Kuchlar sistemasi va Kuchni berilgan markazga keltirish masalasini ularni qo`shish tushunadi. tushunchalarini takrorlash. Fazodagi kuchlar Fazodagi kuchlarni qo`shish haqida mufassal sistemasini qo`shish ma’lumotlarga ega bo`ladi. haqida tushuncha berish. Kuchlar sistemasining Muvozanat shartlarini yodlab qoladi va amalda muvozanat shartlari bilan qo`llay oladi. 49 tanishtirish. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “ Fazodagi kuchlar sistemsi ” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni O`quv mashg`uloti mavzusi , 1savollarni va o`quv faoliyati bosqich natijalarini aytadi. Mavzuga 1.2. Baholash me’zonlari. (2-ilova) kirish 1.3. Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1 ilova) 1.4. Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi (3 ilova) 22.1. Savol yuzasida mini ma’ruza qiladi. bosqich 2.2. Ma’ruza rejasining hamma savollar Asosiy bo`yicha tushuncha beradi. (4 ilova) bo’lim. 2.3. Ma’ruzada berilgan savollar (50min) yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 ilova) 2.4. Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 33.1. Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi bosqich xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha Yakun olingan bilimlarni qayerda ishlatish Tingloichi faoliyatining mazmuni 1.1. 50 Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar Tinglaydilar UMK ga qaraydilar UMK ga qaraydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. lovchi (10min) mumkinligini ma`lum qiladi. 3.2. Mavzu bo`yicha bilimlarni UMKga qaraydilar. chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3. Keyingi mavzu bo`yicha Vazifalarini yozib oladilar. tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 5-Mavzu √ 1. Kuchni berilgan markazga keltirish. Teorema. Qattiq jismning biror A nuqtasiga qo’yilgan ixtiyoriy kuch jismning boshqa bir B nuqtasiga qo’yilgan xuddi shunday kuchga va bitta juftga ekvivalent bo’lib, juftning momenti berilgan kuchning B nuqtaga nisbatan momentiga teng. Qattiq jismning biror A nuqtasiga qo’yilgan F kuch berilgan bo’lsin (110shakl). Qattiq jismning boshqa bir B nuqtasiga modullari berilgan kuchning moduliga teng va F F berilgan kuchga parallel to’g’ri B A chiziq bo’ylab qarama-qarshi F tomonga yo’nalgan ikkita F 110-shakl va F kuchlarni qo’yamiz. F , F ~ 0 bo’lgani uchun F ~ F , F , F . F va F kuchlar juftni hosil qilganligi sababli F ~ F va F , F , F , F juftning momenti berilgan F kuchning B nuqtaga nisbatan momentiga teng, ya’ni momF , F momB F . (5.4.1) 2. Kuchlar sistemasini berilgan markazga keltirish. Statikaning asosiy teoremasi (Puanso teoremasi). Qattiq jismga ta’sir etuvchi ixtiyoriy kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirish mumkin. Kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirishni kuchlar sistemasini berilgan markazga keltirish deyiladi. Qattiq jismga qo’yilgan ixtiyoriy F1 , F2 ,..., Fn kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin. Keltirish markazi sifatida qattiq jismning ixtiyoriy O nuqtasini tanlaymiz va berilgan kuchlarni shu O nuqtaga keltiramiz (111-shakl). F1 z F2 F3 51 F3 F2 F4 F1 F2 F1 O F4 y R F3 Fn Fn x 111-shakl Natijada F , F ,..., F ~ F , F ,..., F ; F , F , F , F ,...,F , F , 1 2 n 1 n 2 1 1 2 2 n n hosil bo’ladi Shunday qilib, berilgan n ta kuchlar sistemasi boshqa n ta O nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi va n ta F , F , F , F ,..., F , F 1 1 2 n 2 n juftlar sistemasi bilan almashtirildi. (5.4.1) formulaga asosan juftlarning momentlari quyidagiga teng: M i M Fi , Fi M 0 Fi i 1,2,..., n (5.4.2) O nuqtaga kesishuvchi F1, F2,..., Fn kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi R berilgan kuchlarning vektorli yig’indisiga teng, ya’ni F1, F2,..., Fn ~ R bu erda n R F1 F2 ... Fn Fi . i 1 F1, F2,..., Fn kesishuvchi kuchlar sistemasi uchun R kuch teng ta’sir etuvchi, F1 , F2 ,..., Fn berilgan kuchlar sistemasi uchun esa bosh vector hisoblanadi. Berilgan kuchlar sistemasi uchun bosh vektor deb kuchlarning vektorli yig’indisiga aytiladi. Bu vektor berilgan kuchlarga qurilgan kuch ko’pburchagining yopuvchisini ifodalaydi (111-shakl), ya’ni n R Fi . (5.4.3) i 1 Juftlarni qo’shish teoremasiga asosan F1, F1, F2 , F2 ,..., Fn , Fn juftlarni bitta , juft bilan almashtiramiz. Natijaviy juftning momenti M , M 0 ga bosh moment deyiladi. Bosh moment M 0 juftlar momentlarining vektorli yig’indisiga teng. (5.4.2) formulaga asosan n M 0 M 0 F1 M 0 F2 ... M 0 Fn M 0 Fi . (5.4.4) i 1 Indeksdagi O harf keltirish markazini bildiradi. Berilgan kuchlar sistemasining O nuqtaga nisbatan bosh momenti deb berilgan kuchlarning o’sha O nuqtaga nisbatan vektorli momentlari yig’indisiga aytiladi. Shunday qilib, statikaning quyidagi asosiy teoremasi isbotlandi: Qattiq jismga qo’yilgan ixtiyoriy kuchlar sistemasini shu kuchlar sistemasining bosh vektoriga 52 teng bo’lgan bitta kuchga va momenti kuchlar sistemasining bosh momentiga teng bo’lgan bitta juftga keltirish mumkin. Bu teoremani qisqacha quyidagicha ta’riflash ham mumkin: Har qanday kuchlar sistemasini bitta bosh vektorga va ixtiyoriy markazga nisbatan bitta bosh momentga keltirish mumkin, ya’ni F1, F2 ,..., Fn ~ R, M 0 . Ta’sir chiziqlari bir tekislikda yotuvchi kuchlar sistemasiga tekis kuchlar sistemasi deyiladi. Tekis kuchlar sistemasi uchun ham statikaning asosiy teoremasi o’rinli. Ixtiyoriy tekis kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirish mimkin. Tekis kuchlar sistemasining bosh vektori kuchlar tekisligida yotadi, keltirish markazi sifatida tekislikning biror O nuqtasi olinsa, kuchlar sistemasining bosh momenti M 0 kuchlar tekisligiga perpendikulyar bo’ladi. Bosh vektor va bosh momentni hisoblash formulalari Ixtiyoriy F1 , F2 ,..., Fn kuchlar sistemasining bosh vektori R shu kuchlarning vektorli yig’indisiga teng, ya’ni n R Fi . (5.5.1) i 1 Biror O markazga nisbatan bosh momenti berilgan kuchlarning o’sha markazga nisbatan vektorli momentlari yig’indisiga teng, ya’ni n M 0 M 0 Fi . (5.5.2) i 1 (5.5.1) tenglikning ikkala tomonini koordinata o’qlariga proeksiyalab, bosh vektorning proeksiyalari uchun quyidagi formulalarni hosil qilamiz: n n Rx Fix , i 1 n Rz Fiz . R y Fiy , i 1 (5.5.3) i 1 Bosh vektorning moduli va yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: R Rx2 Ry2 Rz2 ; R cos x, ^ R x , R R cos z , ^ R z . R R cos y , ^ R y , R (5.5.4) (5.5.3) tenglikning ikkala tomonini koordinata o’qlariga proeksiyalab, bosh momentning koordinata o’qlaridagi proeksiyalarini topamiz 53 n n M Ox M x M x Fi yi Fiz zi Fiy ; i 1 i 1 n M y M y Fi zi Fix xi Fiz ; n M Oy i 1 (5.5.5) i 1 n n M Oz M z M z Fi xi Fiy yi Fix . i 1 i 1 Bosh momentning moduli va yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagi formulalardan topiladi: M0 M M M ; M M y cos x, ^ M 0 x , cos y, ^ M 0 , M0 M0 M cos z , ^ M 0 z M0 2 x 2 y 2 z (5.5.6) Tekis kuchlar sistemasi berilgan bo’lsa, Oz o’qini kuchlar tekisligiga perpendikulyar qilib olamiz, Ox va Oy o’qlari kuchlar tekisligida yotadi. Bosh vektor Oxy tekisligida yotadi, shu sababli tekis kuchlar sistemasi uchun n n R x Fix , R y Fiy , i 1 R z 0; i 1 R R x2 R y2 , R cos x , ^ R x , R Ry . cos y , ^ R R (5.5.7) (5.5.7) Tekis kuchlar sistemasining bosh momenti bosh vektorga perpendikulyar va demak Oz o’qiga parallel bo’ladi. U holda M x 0, M y 0, n n (5.5.8) M 0 M z M z Fi M 0 Fi . i1 i1 3.Fazoda ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanat shartlari √ Kuchlar sistemasini bir markazga keltirish teoremasidan foydalanib, qattiq jismga ta’sir etuvchi kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirilishi mumkin. Fazoda kuchlar sistemasi muvozanatda bo’lishi uchun bosh vektor va bosh momentning nolga teng bo’lishi zarur va yetarli, ya’ni 54 n R Fi 0; i 1 n M 0 mom 0 Fi 0. (5.8.1) i 1 Bosh vektorning va bosh momentning nolga tengligidan ularning koordinata o’qlaridagi proeksiyalarining ham nolga tengligi kelib chiqadi. Shuning uchun (5.8.1) tenglamalarning koordinata o’qlariga proeksiylab, oltita skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilish mumkin, ya’ni n n n Rx Fix 0, R y Fiy 0, Rz Fiz 0 ; i 1 i 1 (5.8.2) i 1 n n M x mom x Fi yi Fiz zi Fiy 0 , i 1 i 1 n n M y mom y Fi zi Fix xi Fiz 0 , i 1 n (5.8.3) i 1 n M z mom z Fi xi Fiy yi Fix 0 . i 1 i 1 (5.8.2) va (5.8.3) tenglamalardan foydalanib, fazoda kuchlar sistemasinining muvozanat shartlarini boshqacha talqin qilish ham mumkin: fazoda kuchlar sistemasi muvozanatda bo’lishi uchun sistema kuchlarining koordinata o’qlaridagi proeksiyalari yig’indisi va koordinata o’qlariga nisbatan momentlari yig’indisi alohida-alohida nolga teng bo’lishi zarur va etarli. Nazorat savollari. 1) Kuchlarni bir markazga keltirish deganda nimani tushinasiz? 2) Kuchlar sistemasining teng ta`sir etuvchisi (t.t.e.) deb nimaga aytiladi? 3) T.T.E. bilan bosh vektorning nima farqi bor? 4) Kuchlar sistemasining invariantlari nima? 5) Kuchlar sistemasini keltirishni xususiy hollarini aytib bering. 6) T.T.E.-ning momenti haqidagi teoremani ta`riflang. 7) Fazodagi kuchlar sistemasining muvozanat tenglamalarini yozing. 8) Bosh vektor va bosh moment qanday hisoblanadi? Xulosa Fazoda ixtiyoriy yo`nalgan kuchlar sistemasini bir markazga keltirib qo`shish, bosh vektor va bosh momentni aniqlash va bu asosda mazkur kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini keltirib chiqarish nazariy mexanikaning asosiy masalalaridan biri bo`lib, amaliyotda ko`p ishlatiladi.Ushbu mavzuni o`rganish jarayonida bir qator xulosalarga ega bo`lamiz.Masalan, tekislikda ixtiyoriy yo`nalgan kuchlar sistemasi muvozanatda bo`lmasa, ularni yoki bitta bosh 55 vektorga yoki bir bosh momentga keltirish mumkin.Fazodagi kuchlar sistemasining muvozanat tenglamalari oltita bo`lib, tekislikda esa uchta bo`lar ekan. 6-Mavzu Asosiy tushunchalar.Nuqta harakatining berilish usullari. Nuqta tezligi. 1.1 ” Asosiy tushunchalar. Nuqta harakatining berilish usullari.Nuqta tezligi” mavzusining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) Mavzu rejasi 1. Asosiy tishinchalar. 2. Nuqta harakatining berilish usullari. 3. Nuqta tezligi. O`quv mashg`ulotning maqsadi: Nuqta harakatining tenglamasi va kinematik elementlari haqida tushunchqa berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqta harakatining berilish usullari Nuqta harakatining berilish usullarini bilan tanishtirish. biladi. 56 Kinematikaning asosiy tushunchalari Kinematika haqida asosiy tushunchalari haqida ma’lumot berish. haqida tasavvurga ega bo`ladi va eslab qoladi. To`g`ri va egri chiziqli harakatdagi Nuqta tezligini topishni biladi va nuqta tezligini topishni o`rgatish va amaliyotga qo`llay oladi, misollar amaliyotga tadbiq etish uchun echaoladi. ko`nikma hosil qilish. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “Asosiy tushunchalar. Nuqta harakatining berilish usullari.Nuqta tezligi” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich O’qituvchi faoliyatining mazmuni Tingloichi faoliyatining mazmuni 1.1 O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati Tinglaydilar. natijalarini aytadi. 1.2 Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.3 Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari Tinglaydilar mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4 Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Tinglaydilar. 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar Tinglaydilar. 57 Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhakama qiladilar. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 6-Ma’ruza Asosiy tushunchalar. Nuqta harakatining berilish usullari.Nuqta tezligi. Reja: 1. Asosiy tushunchalar. 2. Nuqta harakatining berilish usullari. 3. Nuqta tezligi. Adabiyotlar: [1,§ 5,§ 6], [7,8-bob], [5,8-bob] Tayanch iboralar: Nuqta, to`g`ri va egri chiziqli harakatlar, trayektoriya, harakat tenglamalari, ko`chish, nuqtaning tezligi, tezlik vektori, tezlik moduli, tezlik vektorining proyeksiyalari. Belgilar: 58 MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1.Geometrik nuqta deb nimaga aytiladi? 2.Nuqtaning trayektoriyasi nima? 3.Nuqtaning harakat qonuni deganda nimani tushunasiz? 4.Nuqtaning tezligi qanday topiladi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar 1 Geometrik nuqta.Moddiy nuqta. 2 Nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati. 3 Nuqtaning egri chiziqli harakati. 4 Nuqta harakatining berilish usullari. 5 Nuqta tezligi, uning moduli. 6 Nuqtaning tezlik vektori, uning yo`nalishi. 7 Tezlik vektorining proyeksiyalari. 8 Aylana bo`yicha harakat etuvch nuqtaning tezligi. 9 Burchak tezlik. 59 Belgi 10 Nuqtaning to`g`ri chiziqli tekis harakati. 11 Nuqtaning trayektoriyasi. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 60 1. Asosiy tushunchalar √ Moddiy ob’yektlarning yoki moddiy nuqtaning harakati fazoda vaqt o’tishi bilan sodir bo’ladi. Kinematika geometriyadan shu bilan farq qiladiki, kinematikada ob’yektlarning fazoda ko’chishida uni ko’chish vaqti ham e’tiborga olinadi. Demak, kinematikada ob’yektlarning ixtiyoriy paytdagi holati uning geometrik koordinatalaridan tashqari vaqtga ham bog’liq bo’lar ekan. Shuninig uchun ham kinematikani ba’zan to’tr o’lchovli fazodagi geometriya deb ham atash mumkin. To’rtinchi koordinata sifatida vaqt olinadi. Vaqt bu shunday o’zgaruvchiki, u fazoda ham va shu fazoda harakatlanuvchi ob’yektga ham bog’liq emas, ya’ni fazoni hamma joyida bir xil o’zgaradi. Moddiy ob’yektning harakati boshqa bir ob’yektga, ya’ni sanoq ob’yektiga nisbatan kuzatiladi. Sanoq ob’yektiga biror koordinalar sistemasini mahkamlab, moddiy ob’yektning harakati shu sanoq sistemasiga nisbatan o’rganiladi. Vaqtning harakatdan bog’liqmasligi shundan iboratki, har xil sanoq sistemalariga nisbatan harakatlanuvchi jismlar uchun vaqt bir xil o’zgaradi. Mexanik masalalarni yechishda vaqtning hisob boshi har safar kelishib olinadi. Texnik masalalarini yechishda, odatda, Yerga qo’zg’almas qilib mahkamlangan sanoq sistemasi olinadi. Yerga nisbatan qo’zg’almas bo’lgan sanoq sistemasiga asosiy yoki qo’zg’almas sanoq sistemasi deyiladi. Tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan jismning vaziyati vaqt o’tishi bilan o’zgarmasa, jism tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan tinch holatda deyiladi. Agar tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan vaqt o’tishi bilan jismning vaziyati o’zgarib tursa, jism shu sanoq sistemasiga nisbatan harakatda deyiladi. Tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan ixtiyoriy paytda jismning vaziyatini aniqlash mumkin bo’lsa, uning harakati shu sanoq sistemasiga nisbatan berilgan deyiladi. Qattiq jismning harakati uni tashkil qiluvchi nuqtalarning (zarrachalarining) harakati bilan aniqlanadi. Shuning uchun ham dastlab nuqta kinematikasi, undan keyin qattiq jism kinematikasi o’rganiladi. 61 Ko’chish va harakat kinematikaning asosiy tushunchalari hisoblanadi. Biror sanoq sistemasiga nisbatan nuqtaning t vaqt oralig’ida fazoda bir holatdan boshqa bir holatga ixtiyoriy ravishda o’tishiga uning ko’chishi deyiladi. Nuqtaning ko’chishi uning boshlang’ich va oxirgi holatlari hamda o’tgan t vaqt oralig’i bilan aniqlanadi. Qattiq jismning yoki moddiy nuqtaning holati fazoda maxsus parametrlar (koordinatalar) bilan aniqlanadi. Jismning harakati esa bu parametrlar bilan vaqt orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tenglamalar bilan beriladi. Kinematikaning asosiy masalasi: absolyut qattiq jismning (moddiy nuqtaning) berilgan harakat tenglamalariga qarab, uning barcha kinematik xarakteristikalarini (barcha nuqtalarning trayektoriyalari, tezliklari, tezlanishlari va h.k.) topishdan iborat. Nuqta kinematikasida harakatning berilish usullariga qarab, nuqtaning kinematik xarakteristikalarini topish o’rganiladi. Nuqta kinematikasida trayektoriya tushunchasi asosiy hisoblanadi. Trayektoriyaning ko’rinishiga qarab, nuqtaning harakati to’g’ri yoki egri chiziqli harakatlarga bo’linadi. √ 2. Nuqta harakatining berilish usullari. Nuqtaning harakati bir necha xil usullar bilan berilgan bo’lishi mumkin. Agar nuqtaning harakati biror usulda berilgan bo’lsa, tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan ixtiyoriy paytda nuqtaning holatini aniqlash mumkin. 2.1. Tabiiy usul. Biror sanoq sistemasiga nisbatan nuqtaning trayektoriyasi berilgan bo’lsa, uning harakati tabiiy usulda berilgan deyiladi. Nuqtaning trayektoriyasi Oxyz koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo’lsin (127-shakl). Trayektoriyaning biror O1 nuqtasini sanoq boshi deb qabul qilib, trayektoriya bo’ylab musbat O1M S yo’nalishini tanlaymiz. Nuqtaning boshlang’ich O1 holati bilan keyingi M holati orasidagi S yoy vaqtning funksiyasi ko’rinishida berilgan 62 bo’lsa, bu qonunga asosan nuqtaning ixtiyoriy paytda trayektoriya ustidagi holatini bir qiymatli aniqlash mumkin (127-shakl). Agar vaqtning har bir payti uchun nuqtaning holatini tasvirlovchi masofa aniqlangan bo’lsa, ya’ni z (6.2.1) S f(t) O1 bog’lanish berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati tabiiy usulda aniqlangan deyiladi. (6.2.1) S O tenglamaga x nuqtaning harakat tenglamasi deyiladi. M y 127-shakl Aniqlanishiga ko’ra S=f(t) funksiya qo’yidagi shartlarni qanoatlantiradi: bir qiymatli, chunki nuqta bir vaqtning o’zida fazoning turli joyida bo’la olmaydi; uzluksiz, bu degani harakat uzluksiz, ya’ni t vaqtning cheksiz kichik o’zgarishiga, S masofaning cheksiz kichik o’zgarishi mos keladi; differensiallanuvchi. Bu shartlarning zaruriyligi kinematika va dinamikaning asosiy talablaridan kelib chiqadi. Agar S=C=const bo’lsa, bu nuqtaning berilgan sanoq sistemasiga nisbatan tinch holatda ekanini bildiradi. 2.2. Koordinatalar usuli. Nuqtaning holati koordinatalar usulida berilgan bo’lishi uchun: sanoq ob’yektiga mahkamlangan biror koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanuvchi nuqtaning koordinatalari vaqtning funksiyasi ko’rinishida berilishi kerak. Uch o’lchovli fazoda nuqtaning holati q1,q2,q3 koordinatalar bilan aniqlanadi. Bu koordinatalarga egri chiziqli koordinatalar deyiladi. Demak, nuqtaning koordinatalari q1=q1(t), q2= q2(t), q3= q3(t) (6.2.2) tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati koordinatalar usulida berilgan hisoblanadi. Oldingi holdagidek, bu yerda ham hamma funksiyalar bir qiymatli, uzluksiz va differensiallanuvchi deb qaraladi. Agar nuqtaning holati to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida berilgan bo’lsa, nuqtaning ixtiyoriy paytidagi holati 63 x=x(t), y=y(t), z=z(t) (6.2.3) tenglamalar bilan aniqlanadi. (6.2.3) tenglamalar bir tomondan nuqtaning harakat qonunini ifodalaydi, ya’ni vaqtning ixtiyoriy paytida x,y,z koordinatalarni va demak M nuqtaning holatini aniqlash imkonini beradi, ikkinchi tomondan trayektoriyaning parametrik tenglamalarini ifodalaydi. Bu tenglamalardan t parametrni yo’qotish mumkin bo’lsa, qo’yidagi tenglamalar sistemalarini hosil qilamiz: ( x, y ) 0; ( y, z ) 0; ( x, z ) 0; ( x, z ) 0, ( x, z ) 0, ( y, z ) 0. (6.2.4) Bu sistemalarning har biri nuqta trayektoriyasini ikkita sirtning kesishishi ko’rinishida tasvirlaydi. Nuqta harakatini o’rganishda boshqa kooodinatalar sistemalaridan ham foydalanish mumkin. Masalan, silindrik, sferik va qutb koordinatalar sistemalari. 2.3. Vektor usuli. Nuqtaning ixtiyoriy paytdagi holatini biror markazga nisbatan uning radius-vektori bilan aniqlash mumkin bo’lsa, ya’ni nuqtaning holatini aniqlovchi radius-vektor t vaqtning funksiyasi ko’rinishda berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati vektor usulida berilgan deyiladi. Ta’rifga asosan biror O markazga nisbatan nuqtaning holatini aniqlovchi radius-vektor vaqtning funksiyasi bo’ladi, ya’ni r r t . (6.2.5) Agar nuqtaning dekart koordinatalari x,y,z bo’lsa, uning z koordinatalar boshiga nisbatan radius-vektorining M(x,y,z) r proyeksiyalari ham x,y,z bo’ladi, ya’ni r x i yj z k . y x 128-shakl (6.2.6) 3.Nuqta tezligi. √ 3.1. Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi. Agar nuqtaning harakat trayektoriyasi egri chiziqdan M z iborat bo’lsa, uning bunday harakatiga egri chiziqli harakat deyiladi. Nuqta harakatining r asosiy 64 M1 r1 O x y 131-shakl xarateristikalaridan biri uning tezligi hisoblanadi. Harakatlanuvchi nuqtaning qaralayotgan koordinatalar sistemasiga nisbatan t paytdagi M holati r radius vektor bilan, t+∆t paytdagi holati r1 radius-vektor bilan aniqlansin (131-shakl). ∆t vaqt oralig’ida harakatlanuvchi nuqtaning radius-vektori r r1 r ga o’zgarsin (131-shakl). * r t nisbatga nuqtaning ∆t vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlik deyiladi. Demak, nuqtaning o’rtacha tezligi r vector yo’nalishidagi, ya’ni harakat yo’nalishidagi vektor bo’lar ekan. O’rtacha tezlikning ∆t vaqt oralig’i nolga intilgandagi (ba’zan oniy tezlik deb ham ataladi) limitik holati nuqtaning ixtiyoriy t paytidagi tezlikni ifodalaydi, ya’ni r dr lim . t 0 t dt (6.4.1) Shunday qilib, nuqtaning ixtiyoriy paytidagi tezligi vektor kattalik bo’lib, nuqtaning radius-vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng. r vektorning t 0 dagi limitik holati trayektoriyaning urinmasi bilan ustma-ust t tushadi, demak, tezlik vektori trayektoriyaning urinmasi bo’ylab, harakat yo’nalishi tomonga qarab yo’nalgan vektordir. Tezlik vektorini quyidagicha almashtiramiz: dr dr ds dr S. dr ds dt ds dr (6.4.2) tenglikning o’ng tomonidagi ko’paytmani ds qaraymiz. S va r miqdorlar bir xil tartibli kichik (6.4.2) M r 0 r S miqdorlar ekanligidan lim r S O 1 bo’ladi (132-shakl). Demak, r / s miqdorning S 0 r1 M1 132-shakl (yoki) t 0 dagi limitik holati nuqtaning urinmasi bo’ylab yo’nalgan birlik vektorni ifodalaydi, ya’ni 65 r 0 , S 0 S t 0 lim bu yerda 0 -urinmaning musbat yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan birlik vektor. Shunday qilib, (6.4.2) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: S 0 . dS dt (6.4.3) miqdor tezlikning algebraik qiymati modulini bildiradi, yoki tezlik trayektoriyaning M nuqtasida o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasini bildiradi, ya’ni dS . dt (6.4.4) Nuqtaning radius-vektorini uning proyeksiyalari orqali yozamiz: r xi yj zk Tezlikning ta’rifiga asosan: dr dx dy dz i j k x i y j zk . dt dt dt dt (6.4.5) Tezlik vektorini kordinata o’qlaridagi proyeksiyalari orqali yozamiz: xi y j zk . (6.4.6) (6.4.5) va (6.4.6) ifodalarni solishtirib, tezlikning proyeksiyalari uchun quyidagi formulalarni hosil qilamiz: x dx x , dt y dy y , dt z dz z . dt (6.4.7) Shunday qilib, tezlikning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilalarga teng bo’lar ekan. Tezlik vektorining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari ma’lum bo’lsa, uning moduli va yo’nalishini topish mumkin: x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 ; y y x cos( , ^ x ) x , cos( ^ y ) , y y z cos( , ^ z ) z . 66 (6.4.8) Agar nuqtaning harakat trayektoriyasi to’g’ri chiziqdan iborat bo’lsa, bunday harakatga to’g’ri chiziqli harakat deyiladi. Nuqta to’g’ri chiziqli harakatda bo’lsa, koordinatalar o’qlaridan bittasini masalan, Ox o’qini harakat to’g’ri chizigi bo’ylab yo’naltiramiz. U holda tezlikning qolgan o’qlaridagi proyeksiyalari aynan nolga teng bo’ladi (133-shakl). Natijada nuqtaning tezligi uchun quyidagi formulani hosil qilamiz: x dx x , x . dt O Shunday qilib, to’g’ri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi masofadan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli M x x 133-shakl hosilaga teng ekan. Agar harakatning berilgan qismida dx tezlik va x koordinata bir xil ishoraga dt ega bo’lsa, nuqtaning bu holdagi harakatiga to’g’ri harakat deyiladi. Agar va x lar har xil ishorali bo’lsa nuqtaning bunday harakatiga teskari harakat deyiladi. Agar nuqtaning tezligi vaqtning biror paytida nolga teng bo’lsa, shu paytda x masofa o’zining statsionar qiymatiga ega bo’ladi. x o’zining maksimum yoki minimum qiymatiga erishgan paytda nuqtaning tezligi nolga teng bo’lib, shu payt tezlik o’zining yo’nalishini uzgartiradi va harakat agar teskari bo’lsa, to’g’ri harakatga o’tadi. Agar nuqtaning tezligi qandaydir vaqt oralig’ida nolga teng bo’lsa, shu vaqt oralig’ida x=const bo’lib, nuqta tinch holatda bo’ladi. Tezliknng o’lchov birligi: uzunlik . Tezlikning o’lchov birligi sifatida: vaqt sm/sek, m/sek, km/soat olinadi. Agar butun harakat davomida nuqtaninig tezligi o’zgarmas, ya’ni 0 const bo’lsa, nuqtaning bunday harakatiga to’g’ri chiziqli tekis harakat deyiladi. dx 0 . dt Bundan x x0 0t , 67 (6.4.9) bu yerda x0-nuqtaning boshlang’ich koordinatasi. (6.4.9) tenglama to’g’ri chiziqli tekis harakat tenglamasini ifodalaydi. 3.2. Aylana bo’ylab harakatlanayotgan nuqtaning tezligi Burchak tezlik. Nuqtaning R radiusli aylana bo’ylab quyidagiga teng bo’ladi: ω dS d R , dt dt (6.4.10) d dt (6.4.11) τ harakatini qaraymiz. Bu holda M nuqta tezligining son qiymati O ds M dφ bu yerda dS Rd . 134-shakl miqdorga R radiusning aylanish burchak tezligi deyiladi. Shunday qilib, aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqta tezligining miqdori quyidagicha topiladi: R . (6.4.12) Tezlik vektori aylana urinmasi bo’ylab, harakat yo’nalishi tomonga yo’nalgan bo’ladi. 68 Nazorat savollari 1.Kinematikaning asosiy tushunchalari nimaga 2.Nuqta kinematikasining asosiy masalasi nimalardan iborat? 3.Nuqtaning harakati qanday usullar orqali beriladi? 4.Nuqta tezligining moduli va yo`nalishi nday topiladi? 5.Aylana bo`ylab harakat etuvchi nuqtaning tezligi nimaga teng? Xulosa Hozirgi zamon nazariy mexanikasida nuqta kinematikasining elementlari, nuqta tezligini aniqlash masalasi asosiy o`rin egallaydi. Ushbu mavzu o`quv rejasinig muhim qismi bo`lib, mexanikaning boshqa bo`limlari bilan uzviy bog`langan. Nuqta kinematikasi tushunchalari, harakat trayektoriyasi, harakatning berilish usullari, tezlikni aniqlash amaliy masalalarni echishda keng tadbiq etiladi. Qayd etish joyizki, kinematikaning taraqqiyoti G.Galiley (1564-1642) va L.Eylerning (1707-1783) ilmiy ishlari bilan chambarchas bog`langan.Texnikaning taraqqiyoti (19-asrning boshlarida) natijasida kinematika alohida bo`limga aylanadi. 69 7-Mavzu Nuqtaning tezlanishi. Nuqtaning murakkab harakati. 1.1 ”Nuqtaning tezlanishi. Nuqtaning murakkab harakati” mavzusining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni:50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) Mavzu rejasi 4. Nuqtaning tezlanishi. 5. Normal va urinma tezlanishlar. 6. Nuqtaning murakkab harakati. O`quv mashg`ulotning maqsadi: Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi va uning muvozanat shartlari haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning tezlanishi,normal va urinma Nuqtaning tezligi va tezlanishini, tezlanishlari bilan tanishtirish. normal va urinma tezlanishlarini biladi. Nuqtaning murakkab harakati bilan Nuqtaning murakkab harakati haqida tanishtirish. tushunchalarga ega bo`ladi. Nuqta tezliklari va tezlanishlarini Nuqta tezliklarini qo`shish teoremasini qo`shish (koriolis th) teoremalarni biladi. isbotlash va ularni amalda qo`lashni Nuqta tezlanishlarini qo`shish haqida o`rgatish. Koriolis teoremasini biladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 70 1.2. “Nuqtaning tezlanishi. Nuqtaning murakkab harakati “ mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.5 O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.6 Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.7 Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.8 Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 71 Tingloichi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhakama qiladilar. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 7-Ma’ruza Nuqtaning tezlanishi. Nuqtaning murakkab harakati. Reja: 1. Nuqtaning tezlanishi 2. Normal va urinma tezlanishlar. 3. Nuqtaning murakkab harakati. Adabiyotlar: [1], 68-76,158-168 sah, [5], 130-147, 212-228 sah, [7], 3648,172-178 sah. Tayanch iboralar: Nuqta, trayektoriya, to`g`ri chiziqli harakat, egri chiziqli harakat, tezlik, tezlanish, normal va urinma tezlanishlar, nisbiy, ko`chirma tezlik, koriolis tezlanish. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Nuqtaning tezligi qanday topiladi? 2. Nuqtaning tezlanishi nima? 3. Normal tezlanish nimaga teng? 4. Urinma tezlanish nima? 5. Nisbiy, ko`chirma, absalyut tezlanishlar nima? 6. Koriolis tezlanishi nimaga teng? 72 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar 1 Nuqta trayektoriyasi. 2 Nuqtaning tezligi. 3 Nuqtaning tezlanishi. 4 Normal tezlanish. 5 Urinma tezlanish. 6 Nisbiy, ko`chirma tezliklar. 7 Absalyut tezlik. 8 Nisbiy, ko`chirma, absalyut tezlanishlar. 9 Koriolis tezlanishi. 10 Koriolis teoremasi. 11 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. - - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 73 Belgi √ 7-Mavzu. Nuqtaning tezlanishi. Nuqtaning murakkab harakati. 1.Nuqtaning tezlanishi. Moddiy nuqtaning harakat qonuni vektor yoki koordinata usulida berilgan bo’lsin, ya’ni r r (t ) yoki x=x(t), y=y(t), z=z(t). (6.6.1) Moddiy nuqta (6.6.1) qonun bo’yicha harakatlanib, vaqtning biror t paytida M holatda va tezligi (t ), t t paytda M 1 holatda va tezligi 1 1 (t t ) bo’lsin (140-shakl). vektorni o’z-o’ziga parallel ravishda M M W* r W 1 1 M r1 1 nuqtaga ko’chiramiz (140-shakl). U holda - = , 0 140-shakl bu yerda -tezlikning t vaqt oralig’ida erishgan orttirmasi. ning t ga nisbati nuqtaning t vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlanishi deyiladi va quyidagicha yoziladi: * W . t (6.6.2) W * o’rtacha tezlanishining t 0 dagi limitiga nuqtaning berilgan t paytdagi tezlanishi deyiladi, ya’ni d W lim , t 0 t dt (6.6.3) d d 2 r W 2 . dt dt (6.6.4) yoki tezlikning ta’rifiga asosan: Shunday qilib, nuqtaning tezlanishi vektor kattalik bo’lib, tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilaga yoki radius-vektordan olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng bo’lar ekan. W * yoki vektor M urinmani qaysi tomonida yotsa, W tezlanish vektori ham o’sha tomonda yotadi, shuning uchun u hamma vaqt trayektoriyaning botiq tomoniga qarab yo’nalgan bo’ladi. Nuqta trayektoriyasining M urinmasi va M1 nuqta orqali o’tuvchi tekislikning M1 nuqta M nuqtaga intilgandagi limitik holatiga trayektoriyaning M nuqtasidagi yopishma tekisligi deyiladi. Egri chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo’lsa, uning yopishma tekisligi egri chiziq tekisligining o’zi bo’ladi. 74 vektor yotgan tekisligining t 0 dagi t limitik tekisligida yotadi. Demak tezlanish vektori W yopishma tekislikda yotib, (6.6.3) tenglikka asosan W vektor trayektoriyaning botiq tomonga qarab yo’nalgan bo’ladi. Nuqta radius-vektorini quyidagi ko’rinishda yozamiz: r xi yj zk . Bu tenglikning ikkala tomonini ikki marta vaqt bo’yicha differensiallaymiz: d 2r d 2 x d 2 y d 2 z W 2 i 2 j 2 k. dt 2 dt dt dt Bundan d2x Wx 2 x; dt Wy d2y y ; dt 2 Wz d 2z z dt 2 (6.6.5) tezlanish vektorining moduli W Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 , (6.6.6) yo’naltiruvchi kosinuslari W W W cos(W , ^ x ) x , cos(W , ^ y ) y , cos(W , ^ z ) z . W W W (6.6.7) (6.6.5) tenglikka asosan, tezlanishning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda nuqta koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalarga teng bo’lar ekan. Agar nuqta to’g’ri chiziqli harakatda bo’lsa, koordinata o’qlaridan bittasini, masalan x o’qini harakat to’g’ri chizigi bo’ylab yo’naltiramiz u holda nuqta tezlanishining proyeksiyalari Wx x, W y 0, W z 0. bo’ladi. Tezlanish vektori x o’qi bo’ylab yo harakat yo’nalishi bilan bir xil yoki harakat yo’nalishiga qarama-qarshi yo’nalgan bo’ladi. Agar W vektorning yo’nalishi vektor bilan bir xil bo’lsa, harakat tezlashuvchan, qarama-qarshi yo’nalgan bo’lsa, harakat sekinlashuvchan bo’ladi. 2.Normal va urinma tezlanishlar. 75 2.1. Tabiiy uchyoq. Nuqta trayektoriyasining M va M1 nuqtalaridan o’tuvchi to’g’ri M1 chiziqning nuqta M nuqtaga intilgandagi limitik holatiga trayektoriyaning M nuqtasidagi urinmasi deyiladi. M nuqtada egri chiziq urinmasiga perpendikulyar to’g’ri chiziqqa egri chiziqning M nuqtadagi normali deyiladi. Bu ta’rifga asosan M nuqtada egri chiziqqa cheksiz ko’p normallar o’tkazish mumkin. Bu normallarning hammasi M nuqtadan o’tuvchi urinmaga perpendikulyar tekislikda yotadi. Bu tekislikka egri chiziqning M nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi. Egri chiziqning M nuqtasidagi yopishma tekisligida yotuvchi normaliga uning bosh normali deyiladi. Shunday qilib, M nuqtadagi yopishma tekislik bilan normal tekislik egri chiziqning bosh normali bo’ylab kesishar ekan. Egri chiziqning M nuqtasidan o’tuvchi yopishma tekislikka perpendikulyar bo’lgan normalga M nuqtadagi binormal deyiladi. Egri chiziqning M nuqtasidagi urinma bo’ylab yo’nalgan birlik vektorni 0 bilan, bosh normali bo’ylab yo’nalgan birlik vektorni n 0 bilan va M yopishma 0 tekislik n 0 0 M1 10 b0 binormal 10 142-shakl 141-shakl bo’ylab yo’nalgan birlik vektorni b 0 bilan belgilaymiz (141-shakl). Bu vektorlar orqali quyidagi tekisliklar o’tadi: ( 0 , n 0 ) yopishma tekislik, ( n 0 , b 0 ) normal tekislik va ( b 0 , 0 ) urinma tekislik. 0 , n 0 va b 0 vektorlar uchta o’zaro perpendkulyar to’g’ri burchakli uchyoqni hosil qiladi. Bu uchyoqqa tabiiy uchyoq deyiladi. Bu tabiiy uchyoq M nuqta bilan birgalikda harakatlanadi. Tabiiy uchyoqdan tashqil topgan koordinatalar sistemasiga tabiiy koordinatalar sistemasi deyiladi. 2.2. Egri chiziqning egriligi va egrilik radiusi. M nuqta trayektoriyasining bir-biriga juda yaqin M va M1 nuqtalaridan М va M 1 1 urinmalarini o’tkazamiz. Urinmalar orasidagi burchakni bilan, ММ 1 yoy uzunligini S bilan belgilaymiz (142-shakl). Quyidagi 76 k* S nisbatga egri chiziqning MM1 qismidagi o’rtacha egrili deyiladi. O’rtacha egrilikning S 0 dagi limitiga (agar mavjud bo’lsa) egri chiziqning M nuqtadagi egriligi deyiladi, ya’ni lim S 0 d lim k . S 0 S S dS (6.7.1) burchakka egri chiziqning siljish burchagi deyiladi. Siljish burchagi egri chiziqning har xil nuqtalarida har xil bo’ladi. Egri chiziqning berilgan nuqtasidagi egriligi, elementar siljish burchagini elementar yoy uzunligiga nisbatiga teng, ya’ni k= d . dS (6.7.2) R radiusli aylananing egriligini topamiz. (143-shakl).M M 1 va M nuqtalardagi urinmalar orasidagi siljish burchagi d , aylananing unga mos markaziy burchagiga teng, shuning d d M uchun dS Rd 143-shakl bo’ladi. U holda k d d 1 dS Rd R Demak, aylananing egriligi o’zgarmas bo’lib, aylana radiusiga teskari miqdor ekan. Ixtiyoriy egri chiziqning egriligi umuman olganda o’zgaruvchi miqdordir. Egri chiziqning berilgan nuqtasidagi egriligiga teskari miqdorga egri chiziqning shu nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va quyidagicha yoziladi: 1 dS k d (6.7.3) 2.3. Birlik vektorning differensiali. а 0 birlik vektorning differinsialini qaraymiz. Bu vektorni o’z-o’ziga skalyar ko’paytiramiz, ya’ni а0 а0 1. Tenglikning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz: da 0 0 0 da 0 a a 0 yoki dt dt a0 0 a (t t ) S a 0 da 0 0 2 a 0 . dt 144-shakl 77 Demak, birlik vektorning differensiali vektorning o’ziga perpendikulyar bo’lar ekan. 144-shakldagi S va a 0 miqdorlar bir xil tartibli cheksiz kichik miqdorlar bo’lgani uchun S a 0 . Bunga asosan: S a 0 a 0 (6.7.3) 144-shakldagi uchburchakdan: sin 0 2 . Bu tenglikning ikkala tomonini t ga bo’lib, t 0 nda ( а 2sin 2 2 2 , 0 ) limitiga o’tamiz: lim lim t 0 t t 0 t 2 a 0 sin bundan da 0 dt d dt yoki da 0 d (6.7.4) 2.4.Harakati tabiiy usulda berilgan nuqtaning tezlanishi. Agar nuqtaning harakati tabiiy usulda berilgan bo’lsa, (6.4.3) va (6.4.4) formulalarga asosan uning tezligi 0 0 , ko’rinishda tasvirlanadi, bu (6.8.1) S yerda tezlik W vektorining M o’qdagi proyeksiyasi. (6.8.1) tenglikning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz: d d 0 d 0 W . dt dt dt (6.8.2) qo’shiluvchi formulaning d 0 dt M (6.8.2) o’ng tomonidagi W Wn birinchi 146-shakl trayektoriyaning urinmasi bo’ylab yo’nalgan vektorni ifodalaydi, shuning uchun unga tezlanishning urinma (tangensial) tuzuvchisi deyiladi va quyidagicha yoziladi: 78 d 0 W dt (6.8.3) Ikkinchi qo’shiluvchini qaraymiz. Biz bilamizki, birlik vektorining W 0 d differensiali uning o’ziga perpendikulyar. d 0 Demak, vektor 0 vektorga perpendikulyar bo’lib, dt bu vektor n 0 bosh normal bo’ylab yo’nalgan va yopishma tekislikda yotadi. M 10 M 10 Wn 145-shakl (6.7.4) formulaga asosan d 0 d va d 0 d n 0 , natijada d 0 d 0 n , dt dt bu yerda d d dS dt dS dt d 1 dS , egri chiziqning M nuqtadagi egrilik radiusi. Shunday , dt dS d 0 qilib, trayektoriyaning bosh normali bo’ylab yo’nalgan vektorni ifodalaydi. dt Unga tezlanishning normal tuzuvchisi deyiladi va quyidagicha yoziladi: 2 Wn n 0 (6.8.4) (6.8.3) va (6.8.4) ifodalarga asosan (6.8.2) formula quyidagi ko’rinishga keladi: d 0 2 0 W W Wn n . dt (6.8.5) (6.8.3) va (6.8.4) formulalarga asosan tezlanish vektorning tabiiy koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari d d 2 S W 2 , dt dt 2 Wn , Wв 0 (6.8.6) bo’ladi. Tezlanish vektorining moduli quyidagicha topiladi: 2 2 2 d W W W . dt 2 2 n (6.8.7) W tezlanish vektori bilan bosh normal orasidagi burchak quyidagiga teng: tg 79 W Wn (6.8.8) Shunday qilib, agar nuqtaning harakati tabiiy usulda berilgan bo’lsa, (6.8.6), (6.8.7) va ] (6.8.8) formulalar yordamida nuqta tezlanishining proyeksiyalari, moduli va yo’nalishi topiladi. 3. Nuqtaning murakkab harakati 3.1. Asosiy ta’riflar. Vektorning absolyut va nisbiy hosilalalri. Ayrim holatlarda nuqtaning harakatini bir vaqtda ikkita koordinatalar sistemasiga nisbatan o’rganish maqsadga muvofiqdir (207-shakl). Bu koordinatalar sistemasidan bittasini qo’zg’almas (asosiy), ikkinchisini nuqta bilan birgalikda qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanuvchi deb qaraymiz. Nuqtaning harakatini har bir koordinatalar sistemasiga nisbatan o’rganish 1-bobda yoritilgan usullar bilan o’tkaziladi. Bu paragrafda ikkala koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanayotgan nuqtaning asosiy kinematik xarakteristikalari orasidagi munosabatlarni o’rganamiz. Bu munosabatlarni aniqlash muhim ahamiyatga ega, chunki ko’p hollarda nuqtaning O1 x1 y1 z1 qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatini ikkita oddiyroq harakatga ajratish mumkin: bittasi – harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan va ikkinchisi – nuqtanig harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi bilan birgalikda qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakat. Nuqtaning asosiy (qo’zg’almas) koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatiga murakkab yoki absolyut harakat va nuqtaning harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatini nisbiy harakat deb aytaladi. Nuqtaning absolyut va nisbiy harakatlari bilan nuqtaning harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi bilan birgalikdagi harakati o’rtasidagi munosabatlarni aniqlash quyidagi masalalarni echishga imkoniyat yaratadi: 80 1. Nuqtaning berilgan nisbiy harakati va harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi harakati orqali murakkab harakatini aniqlash; 2. Berilgan murakkab harakatni tarkibiy (yasovchi) harakatlarga ajratish. Ixtiyoriy ravishda harakatlanayotgan koordinatalar sistemasida aniqlangan vektordan hosila olish masalasini ko’rib chiqamiz. Shu maqsadda vektorning absolyut va nisbiy hosilasi tushunchalari kiritiladi. Asosiy koordinatalar sistemasi O1 x1 y2 z1 va ixtiyoriy ravishda harakatlanayotgan koordinatalar sistemasi Oxyz berilgan bo’lsin. Qandaydir a a (t ) vektor harakatlanuvchi koordinatalar sistemasida aniqlangan bo’lsin, ya’ni vektorning harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari t vaqtning funksiyalari bo’ladi. Agar ax , a y , az harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining birlik vektorlari i , j , k bo’lsa, u holda a (t ) vektorni quyidagicha yozish mumkin: a a x i a y j az k . (10.32.1) Endi a vektoridan harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan hosilasini (absolyut hosilasini) topish qoidasini topamiz. Harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining harakati tufayli i , j , k vektorlar o’z yo’nalishlarini o’zgartirib turadi, ya’ni t vaqtning funksiyalari bo’ladilar. (10.32.1) tenglikning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha hosila olib, a vektorning absolyut (to’la) hosilasini topamiz: da da x da y da z di dj dk i j k ax a y az dt dt dt dt dt dt dt (10.32.2) formulaning o’ng tomonidagi birinchi uchta qo’shiluvchi a vektorning harakatlanuvchi koordinatalar (10.32.2) z1 z sistemasiga k nisbatan o’zgarishini xarakterlaydi, shuning O i j y O1 81 x x1 207-shakl y1 uchun ular a vektorning nisbiy hosilasini ifodalaydi, ya’ni ~ d a dax da y daz i j k. dt dt dt dt (10.32.3) r formuladagi va r vektorlarni ketma-ket mos ravishda i , j , k vektorlar bilan almashtirib, quyidagi munosabatni topamiz: di i , dt dj j , dt dk k , dt bu yerda Oxyz koordinatalar sistemasining O nuqta atrofida aylanma harakat burchak tezligi (208-shakl). Bularni (10.32.2) formulaga qo’yamiz: ~ da d a (a x i a y j a z k ) , dt dt yoki ~ da d a a . dt dt (10.32.4) (10.32.4) formulaga Bur formulasi deyiladi. Shunday qilib, vektorning absolyut hosilasi shu vektorning nisbiy hosilasi va harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining burchak tezligi bilan shu vektorning vektorli ko’paytmasining yig’indisiga teng. Oxyz koordinatalar sistemasining harakati erkin qattiq jismning harakati kabi, uning O qutb bilan birgalikdagi ilgarilanma harakati va qutb atrofidagi aylanma harakatlaridan iborat. Agar Oxyz koordinatalar sistemasi faqat ilgarilanma harakat qilsa, Bur formulasiga asosan, a vektorning absolyut hosilasi uning nisbiy hosilasiga teng bo’ladi. Quyidagi xususiy hollarni ko’rib o’tamiz : 1. Agar a vektor harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan ~ o’zgarmas bo’lsa, uning nisbiy hosilasi d a / dt 0 bo’ladi va (10.32.4) formulaga asosan: 82 da a . dt Bu formula avval isbotlanganidek, moduli o’zgarmas vektorning hosilasini bildiradi. 2. Agar a vektor asosiy koordinatalar sistemasiga nisbatan qo’zg’almas bo’lsa, u holda da / dt 0 bo’lib, (10.32.4) formuladan: da ( a ) . dt 3. Agar a vektor burchak tezlik vektoriga kollinear bo’lsa, u holda a 0 va (10.32.4) formuladan quyidagi munosabat kelib chiqadi: ~ da d a . dt dt 3.2. Tezliklarni qo’shish haqidagi teorema. Bu yeda quyidagi masalana hal qilamiz: tanlab olingan koordinatalar sistemasiga nisbatan nuqta tezliklari orasidagi munosabatni aniqlaymiz. M nuqtaning O1 x1 y1 z asosiy koordinatalar sistemasiga nisbatan tezligini uning absolyut tezligi deb ataymiz. M nuqtaning Oxyz harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan r tezligi uning nisbiy tezligi deb aytiladi. Nuqtaning ko’chirma tezligi degan tushuncha kiritamiz. Nuqtaning e ko’chirma tezligi deb harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining shunday nuqtasining tezligiga aytiladiki, berilgan onda (momentda) u nuqta harakatlanayotgan nuqtaga mos kelsin. Agar r0 (t ) - harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi boshi bo’lgan O nuqta (qutb)ning qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan radius vektori, (t ) ixtiyoriy M nuqtaning harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan radius vektori, r (t ) - M nuqtaning qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan radius vektori bo’lsa, u holda 208-shaklga asosan r r0 . (10.33.1) 83 Harakatlanuvchi koordinatalar sistemasida nuqtaning koordinatalari x, y, z bo’lsa, u holda x i yj z k , bu yerda i , j , k -harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining birlik vektorlari. Ta’rifga asosan radius vektorning vaqt bo’yicha absolyut hosilasi nuqtaning absolyut tezligi bo’ladi. z z1 M r e r O1 x1 O r0 y y1 x 208-shakl Demak, (10.33.1) tenglikni vaqt bo’yicha differensiallab, nuqtaning absolyut tezligini topamiz dr dr0 d . dt dt dt (10.33.2) vektori harakatlanuvchi koordinatalat sistemasida aniqlanganligi uchun uning absolyut hosilasini topish uchun (10.32.4) formuladan foydalanamiz: ~ d d . dt dt (10.33.3) Bu yerda - harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining burchak tezligi, d x i y j zk dt ifoda bo’lsa, vektorining vaqt bo’yicha nisbiy hosilasidir. Ta’rifga asosan bu ifoda nuqtaning nisbiy tezligi bo’ladi, ya’ni r x i y j zk . (10.33.4) (10.33.3) va (10.33.4) ifodalarni (10.33.2) tenglamaga qo’yib,quyidagi munosabatni hosil qilamiz: 84 0 r , bu yerda dr0 0 dt (10.33.5) harakatlanuvchi koordinatalar boshining qo’zg’almas koordinatalar (asosiy) sistemasiga nisbatan tezligi. Nuqtaning e ko’chirma tezligini topish uchun uni harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga mahkamlaymiz, ya’ni (10.33.5) formulada r 0 ni qo’yamiz, u holda quyidagini hosil qilamiz: e 0 . (10.33.6) Bu formulani quyidagicha o’qish mumkin: Ozod qattiq jism (harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi)ning istalgan M nuqtasining tezligi ixtiyoriy ravishda tanlangan nuqtasi (qutb)ning tezligi bilan o’sha M nuqtaning qattiq jismning qutb atrofidagi aylanma harakatidagi tezligining geometric yig’indisiga teng. Shunday qilib, quyidagi tasdiqni isbotladik: e r . (10.33.7) Teorema. Moddiy nuqtaning absolyut tezligi k’ochirma va nisbiy tezliklarining geometric yig’indisiga teng. 3.3. Tezlanishlarni qo’shish haqidagi teoremasi (Koriolis teoremasi). Nuqtaning absolyut tezlanishini topish uchun, ya’ni uning asosiy koordinatalar sistemasiga nisbatan tezlanishini topish uchun (10.33.5) tenglikning ikkala tomonini vaqt buyicha differesiallaymiz: d d d d d Wa ( 0 ) r 0 dt dt dt dt dt . d d r . dt dt (10.34.1) r nisbiy tezlik vektorining absolyut hosilasini (10.32.4) formula orqali topamiz: ~ d r d r r . dt dt 85 (10.34.2) ~ d r Bu tenglamada dt ifoda r vektorning vaqt bo’yicha olingan nisbiy hosilasi bo’ladi, demak u nisbiy tezlanish Wr ni ifodalaydi, ya’ni nuqtaning harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan tezlanishi bo’ladi d~r Wr xi yj zk . dt (10.34.3) (10.33.3), (10.33.4), (10.34.2) va (10.34.3) tengliklardan foydalanib, (10.34.1) formulani quyidagi ko’rinishga keltiramiz: W W0 r ( ) Wr ( r ) (10.34.4) W0 ( ) Wr 2 r , bu yerda W0 0 - harakatlanuvchi koordinatalar sistemasi boshining tezlanishi, - uning burchak tezlanishi. We - ko’chirma tezlanishini topish uchun harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nuqtani mahkamlab qo’yamiz, ya’ni r 0, Wr 0 . Bu holda (10.34.4) formulaga asosan, quyidagi munosabatga ega bo’lamiz: We W0 ( ) , ya’ni ko’chirma tezlanish harakatlanuvchi (10.34.5) koordinatalar sistemasi bilan mahkamlangan ozod qattiq jism nuqtasining tezlanishidan iborat. Shunday qilib, quyidagi formulaga kelamiz: Wa We Wr 2 r , (10.34.6) 2 r ifoda bilan aniqlanadigan tezlanishga burilish yoki koriolis tezlanishi deb aytiladi va Wc orqali belgilanadi, ya’ni Wc 2 r . (10.34.7) Shunday qilib, quyidagi formulaga ega bo’lamiz: Wa We Wr Wc . (10.34.8) r va r lar uchun (10.33.1) formulani qo’llab quyidagi formulani hosil qilamiz: d 0 d d d r Wa ( ) . dt dt dt dt Bu yerda 86 d 0 W0 -harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining O nuqta bilan birgalikdagi dt d harakatining tezlanishi, -harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining dt d aylanma harakat burchak tezlanishi, -nisbiy harakat tezligi. (10.34.8) tenglik dt tezlanishlarini qo’shish teoremasini ifodalaydi. Koriolis teoremasi. Murakkab harakatdagi nuqtaning tezlanishi ko’chirma, nisbiy va koriolis tezlanishlarning geometrik yig’indisiga teng. (10.34.8) formula orqali nuqtaning tezlanishini topish uchun quyidagilarni hisobga olish talab etiladi: 1. Ko’chirma tezlanishni topishda qattiq jism nuqtasining tezlanishini topish qoidasiga rioya qilish kerak. 2. Wr nisbiy tezlanishni topish uchun harakatlanuvchi koordinatalar sistemasini qo’zg’almas deb qarab, VI-bobda tasvirlangan qoidadan foydalanish kerak. Wc 2 r Koriolis tezlanishning moduli Wc 2 r sin( , r ) (10.34.9) formula orqali aniqlanadi. va r vektorlarning vektorli ko’paytmasining yo’nalishiga qarab, Wc koriolis tezlanishning yo’nalishi aniqlanadi (208,a-shakl): Wc koriolis tezlanishi П tekisligiga perpendikulyar bo’ladi, Wc r 209-shakl yo’nalishi dan r ga eng qisqa o’tish soat milining aylanishiga teskari bo’lgan tomonga yo’nalgan bo’ladi. (10.34.9) formulaga asosan koriolis tezlanishi quyidagi hollarda nolga teng bo’ladi: 87 1. 0 , ya’ni harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining harakati ilgarilanma harakat bo’lsa. 2. Harakakatlanuvchi koordinatalar sistemasining burchak tezligi r nisbiy tezlikka parallel bo’lsa. 3. Nuqtaning r nisbiy tezligi nolga teng bo’lganda, ya’ni nuqta qo’zg’aluvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan tinch bo’lganda. Nazorat savollari. 1.Nuqtaning tezlanishi dekart koordinatalar sistemasida qanday topiladi? 2.Qanday tekislikka yopishma tekislik deyiladi? 3.Qanday tekislikka normal tekislik deyiladi? 4.Trayektoriyaning bosh normali deb nimaga aytiladi? 5.Nuqta trayektoriyasi qaysi tekislikda yotadi? 6.Tabiiy koordinatalar sistemasida nuqtaning tezlanishi qanday ifodalanadi? 7.Nuqtaning murakkab harakati deb qanday harakatga aytiladi? 8.Nuqtaning nisbiy, ko`chirma va absalyut tezliklarning ta’rifini bering. 9.Nuqta tezlanishining nisbiy, ko`chirma va koriolis tuzuvchilari qanday topiladi? Xulosa Nuqtaning tezlanishi nazariy mexanikaning boshqa tushunchalari bilan uzviy bog`liq bo`lib, fan va texnikaning amaliy masalalarida keng ishlatiladi. Tezlanish vektoring normal va urinma tuzuvchilari qo`zg`almas o`q atrofida aylanuvchi a.q.j.nuqtasining tezlanishi aniqlashda kerak bo`ladi. Nuqtaning murakkab harakati davomida jism (nuqta) bir necha harakatlarda qatnashadi. Masalan, harakatdagi eskalator bo`yicha ko`tarilayotgan (yoki tushayotgan) odamning harakati, daryoda suzayotgan qayiqning harakati va hokazo bunga misol bo`laoladi. 88 8-Ma’ruza Qattiq jismning ilgarilanma va qo`zg`almas o`q atrofidagi aylanma harakati. Reja: 1. Asosiy tushunchalar va ta’riflar. Mexanik sistema va qattiq jismning erkinlik darajasi. 2. Qattiq jismning ilgarilanma harakati. 3. Qattiq jismning qo`zg`almas o`q atrofidagi aylanma harakati. Adabiyotlar: [1],94-100 sah, [5], 147-160 sah,[7], 80-88 sah. Tayanch iboralar: Absolyut qattiq jism (a.q.j), mexanik sistema, bog`lanishlar, aylanma harakat, burchak tezlik, burchak tezlanish, erkinlik darajasi. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. A.Q.J. deb nimaga aytiladi? 2. Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 3. Aylanma harakardagi nuqtaning tezligi nimaga teng? 4. Burchak tezlik nima? 5. Burchak tezlanish nima? 89 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Mexanik sistema. 2 Absolyut qattiq jism. 3 A.Q.J.- ning aylanma harakati. 4 A.Q.J.- ning qo`zg`almas o`q atrofidagi aylanma harakati. 5 Burchak tezlik. 6 Burchak tezlanish. 7 Eyler formulasi. 8 Tekis aylanma harakat. 9 Tekis o`zgaruvchan aylanma harakat. 10 A.Q.J. nuqtasining tezligi. 11 Aylanma harakatdagi a.q.j. nuqtasining tezlanishi. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 90 Belgi 1. Asosiy tushunchalar va ta’riflar. Mexanik sistema va qattiq jismning erkinlik darajasi. Har bir nuqtasining harakati qolgan nuqtalarning holati va harakatiga bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar to’plamiga mexanik sistema deyiladi. Mexanik sistema n ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. Tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan har bir М nuqtasining fazodagi holati uchta х , y , z koordinatar bilan aniqlanadi, shuning uchun mexanik sistemaning o’sha sanoq sistemasiga nisbatan holati 3n ta. х1 , y1 , z y , x 2 , y 2 , z 2 ,...., x n , y n , z n koordinata bilan aniqlanadi. Sistema nuqtalarining holati va harakatiga chek qo’yuvchi sabablarga bog’lanishlar deyiladi. Sistema nuqtalarining faqat holatiga chek qo’yuvchi bog’lanishga geometrik yoki chekli bog’lanish deyiladi. Sistema nuqtalarining nafaqat holatiga, balki tezlikgiga ham chek qo’yuvchi bog’lanishga kinematik yoki differensial bog’lanish deyiladi. Bog’lanishlar analitik usulda sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va vaqt orasidagi bog’lanishini ifodalovchi tenglamalar bilan beriladi. Geometrik bog’lanish tenglamalarida sistema nuqtalarining koordinatalari va vaqt qatnashadi, ya’ni f x1 , y1 , z1 ,..., x n , y n , z n ; t 0 (7.17.1) Kinematik bog’lanish tenglamalarida sistema nuqtaarining koordinatalari va tezliklarining proyeksiyalari hamda vaqt qantashadi, ya’ni x1 , y1 , z1 ,..., x n , y n , z n , x1 , y1 , z1 ,..., x n , y n , z n ; t 0 (7.17.2) Sistemaga x ta geometrik boqg’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni f x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , z n ; t 0 1,2,...., k (7.17.3) 3n ta koordinata k ta tenglama bilan o’zaro bog’langan, demak o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soni 3n-k ga teng. Bu o’zaro bog’lanmagan koordinatalarga sistemasining umumlashgan koordinatalari deyiladi. O’zaro bog’lanmagan M2 koordinatalar soniga sistemaning erkinlik darajasi deyiladi. Ixtiyoriy ikkita nuqtasi orasidagi masofa o’zgarmas 1 2 M1 bo’lgan mexanik sisemaga absolyut qattiq jism yoki qattiq jism deyiladi. Qattiq jismning erkinlik darajasi oltiga teng. Masalan, qattiq jismning bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtasini olamiz (158-shakl). To’qqizta koordinata bu nuqtalar orasidagi masofaning o’zgarmasligini ifodalovchi uchta tenglama bilan bog’langan, ya’ni 91 M3 4 3 M4 158- shakl x2 x1 2 y2 y1 2 z 2 z1 2 1 cos t , x3 x1 2 y3 y1 2 z3 z1 2 2 cons t , x3 x2 2 y3 y2 2 z3 z 2 2 3 cons t. O’zaro bog’liq bo’lmagan koordinatalar soni 3336. Demak, uchta nuqtaning holati 6 ta koordinata bilan aniqlanadi. Agar bu nuqtalarga to’rtinchi М 4 nuqtani qo’shib olsak, 12 ta koordinata hosil bo’ladi. Har ikkitasini orasidagi masofani o’zgarmasligini ifodalovchi tenglamalar soni 6 ta, ya’ni М 1 М 2 , М 1М 3 , М 1М 4 , М 2 М 3 , М2М4, М 3 М 4 сons t . Demak 12 ta koordinatalar 6 ta tenglama bilan o’zaro bog’langan, o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soni 3 4 6 6 ga teng. Bundan shunday xulosa qilish mumkinki, fazoda qattiq jismning holati bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtasining holati bilan aniqlanadi. Qattiq jismning har qanday harakatini ikkita asosiy harakatga keltirish mumkin: ilgarilanma va aylanma harakatlar. 2.Qattiq jismning ilgarilanma harakati Tayanch iboralar: harakat, harakat tenglamasi, harakat trayektoriyasi, tezlik va tezlanish. Qattiq jismning harakati davomida unga mahkamlangan to’g’ri chiziq kesmasi ixtiyoriy paytida o’zining boshlang’ich holatiga paralleligicha qolsa, uning bunday harakatiga ilgarilanma harakat deyiladi. Ilgarilanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining trayektoriyalari umumiy holda parallel egri chiziqlar bo’lishi mumkin. Ilgarilanma harakat A z xossalarini quyidagi teorema bilan xarakterlash mumkin. B rB WB A Teorema. Ilgarilanma harakatdagi qattiq jism hamma nuqtalarining trayektoriyalari, A rA tezlik va tezlanishlari bir xil bo’ladi. Qattiq jismning ixtiyoriy ikkita A va B WA O x nuqtalarini harakatini qaraymiz (159-shakl). A y 159-shakl 159-shaklga asosan quyidagi munosabatga ega bo’lamiz: rB rA AB Qattiq jismning ta’rifiga asosan (7.18.1) AB vektorining moduli o’zgarmas, ilgarilanma harakatning ta’rifiga asosan bu vektorning yo’nalishi ham o’zgarmas bo’ladi. Ilgarilanma harakatning ta’rifidan yana shunday xulosa qilish mumkinki, A nuqtaning trayektoriyasini o’ziga parallel ravishda trayektoriyasi bilan ustma-ust tushadi. 92 АВ masofaga ko’chirsa, B nuqta (7.18.1) tenglikning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz, ya’ni drB drA d AB dt dt dt drB B, dt (7.18.2) drA d AB A . AB vektorning ham moduli, ham yo’nalishi o’zgarmas bo’lgani uchun 0. dt dt Natijada (7.18.2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi. B A (7.18.3) dA d B (7.18.3) tenglikning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallab, WB , WA dt dt larni e’tiborga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: WB W A (7.18.4) A va B nuqtalar qattiq jismning ixtiyoriy nuqtalari bo’lgani uchun (7.18.3) va (7.18.4) tengliklardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Qattiq jismning ilgarilanma harakati vaqtida uning hamma nuqtalarining trayektoriyalari, tezlik va tezlanishlari bir bo’ladi. Agar qattiq jism nuqtalarining tezliklari vaqtning faqat bitta paytida teng bo’lib, qolgan paytlarda teng bo’lmasa, jismning shu paytdagi harakatiga oniy ilgarilanma harakat deyiladi. Oniy ilgarilanma harakatdagi jism nuqtalarining tezlanishlari umumiy holda teng bo’lmasligi mumkin. Qattiq jismning ilgarilanma harakatini uning ixtiyoriy bitta nuqtasining harakati bilan to’lasincha xarakterlash mumkin. Jismning ilgarilanma harakati uning bitta nuqtasining harakat qonuni bilan beriladi, ya’ni x f1 t , y f 2 (t ), z f 3 t (7.18.5) (7.18.5) tenglamalar qattiq jismning ilgarilanma harakat tenglamalarini ifodalaydi. 3. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakati 1) Burchak tezlik va burchak tezlanish Qattiq jismning butun harakati davomida uning ikkita nuqtasi qo’zg’almasdan qolsa, uning bunday harakatiga qo’zg’almas o’q atrofida aylanma harakat deyiladi. Qo’zg’almas nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqqa aylanish o’qi deyiladi (160-shakl). A va B nuqtalar qattiq jismning qo’zg’almas nuqtalari bo’lsa, Oz o’q jismning aylanish o’qi bo’ladi. Qattiq jismning aylanish o’qi fazoda ixtiyoriy yo’nalishga ega bo’lishi mumkin. Aylanish o’qini ustida yotgan hamma nuqtalar qo’zg’almas bo’ladi. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi qattiq jism nuqtalarining trayektoriyalari aylanish o’qiga perpendikulyar tekisliklarda yotuvchi aylanalardan iborat bo’ladi. Bu aylanalarning markazlari aylanish o’qi ustida yotadi. 93 Qattiq jismning aylanish o’qi orqali qo’zg’almas П0 tekisligi va jismga z mahkamlangan П tekisliklarini o’tkazamiz. Boshlang’ich paytda bu tekisliklar ustma-ust tushsin. Aylanuvchi jismning ixtiyoriy t paytdagi holatini bu tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak bilan aniqlash mumkin. burchakka jismning aylanish burchagi deyiladi. A П Agar burchak t vaqtning ikki marta differensiallanuvchi E f t (7.19.1) funksiyasi ko’rinishida berilgan bo’lsa, qattiq jismning ixtiyoriy П0 O paytdagi holatini aniqlash mumkin. (7.19.1) tenglama qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakat tenglamasini ifodalaydi. 160-shakl Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi qattiq jismning erkinlik darajasi birga teng, chunki uning ixtiyoriy paytdagi holatini bitta aylanish burchagi bilan aniqlash mumkin. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatini xarakterlash uchun burchak tezlik va burchak tezlanish tushunchalarini kiritamiz. Qattiq jism t vaqt oralig’ida burchakka burrilsin (160-shakl). * t (7.19.2) miqdorga jismning t vaqt oralig’idagi o’rtacha burchak tezligi deyiladi. O’rtacha burchak tezlik * ning t 0 dagi limitiga qattiq jismning t paytidagi algebraik burchak tezligi deyiladi, ya’ni lim t 0 d t dt (7.19.3) Umuman olganda jismning burchak tezligi vaqtning differensiallanuvchi funksiyasi bo’lishi mumkin. Biror t vaqt oralig’ida jismning burchak tezligi miqdoriga o’zgarsin. * t (7.19.4) miqdorga jismning t vaqt oralig’idagi o’rtacha burchak tezlanishi deyiladi. * ning t 0 dagi limitiga jismning t paytdagi algebraik burchak tezlanishi deyiladi va quyidagicha yoziladi: lim t 0 d d 2 2 t dt dt (7.19.5) Burchak radianda o’lchansa, burchak tezlik va burchak tezlanishlarni o’lchamlari quyidagicha bo’ladi: бурчак / вакт рад / с c 1 бурчак /(вакт) 2 рад / с 2 c 2 94 Algebraik burchak tezlik va burchak tezlanishlar musbat ham, manfiy ham bo’lishi mumkin. Agar jism soat strelkasi yo’nalishida aylansa, 0 bo’ladi. Agar jismning aylanishi tezlanuvchan bo’lsa, 0 ; sekinlanuvchan bo’lsa, 0 bo’ladi. Agar 0, 0 bo’lsa, jismning harakati musbat yo’nalishidagi tezlanuvchan harakat; 0 va 0 bo’lsa, harakat musbat yo’nalishidagi sekinlanuchan harakat; 0 va 0 bo’lsa, harakat manfiy yo’nalishdagi tezlanuvchan harakat bo’ladi. va miqdorlarining ishoralari va miqdorlariga qarab jismning harakat yo’nalishini aniqlash mumkin, shuning uchun ham jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi vektor kattaliklar bo’ladi. burchak tezlik vektori jismning aylanish o’qi bo’ylab, bu vektor uchidan qaraganda jism soat strelkasiga qarama-qarshi yo’nalishida aylansa vektorning yo’nalishi musbat, soat strelkasi bo’yicha aylansa, ning yo’nalishi manfiy bo’ladi. Burchak tezlik va burchak tezlanish vektorlarining moduli algebraik burchak tezlik va algebraik burchak tezlanishlarning absolyut qiymatlariga teng. Burchak tezlik vektori aylanish o’qining ixtiyoriy nuqtaga qo’yilish mumkin, ya’ni bu vektor ozod vektor hisoblanadi (160-shakl). Burchak tezlanish vektori ham jismning aylanish o’qi bo’ylab yo’nalgan bo’lib, agar harakat tezlanuvchan bo’lsa, burchak tezlik vektori bilan bir xil, harakat sekinlanuvchan bo’lsa, burchak tezlik vektoriga qarama-qarshi yo’nalagan bo’ladi. Burchak tezlanish vektori aylanish o’qining ixtiyoriy nuqtasiga qo’yilgan bo’lishi mumkin, ya’ni burchak tezlanish vektori ham ozod vektor. Agar jismning butun harakati davomida сons t bo’lsa, uning bunday harakatiga tekis aylanma harakat deyiladi. Agar boshlang’ich (t=0) paytda 0 bo’lsa, tekis aylanma harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 0 t (7.19.6) Agar jismning butun harakati davomida cons t bo’lsa, uning bu holdagi harakatiga tekis o’zgaruvchan aylanma harakat deyiladi. Tekis harakat qonuni t2 0 0t 2 (7.19.7) ko’rinishida bo’ladi. 0 -jismning boshlang’ich burchag tezligi. Tekis o’zgaruvchan harakatda burchak tezligining o’zgarishi qonuni 0 t ko’rinishida bo’ladi. 2) Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi qattiq jism 95 (7.19.8) nuqtalarining tezlik va tezlanishlari Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi jism nuqtalari markazlari aylanish o’qida bo’lgan aylanalar bo’ylab harakatlanadi, shuning uchun ixtiyoriy N-nuqtasining tezligi aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqtaning tezligi kabi topiladi, ya’ni N O0 N , (7.19.9) bu yerda O0 N -jismning aylanish o’qidan N-nuqtagacha bo’lgan eng qisqa masofa (161-shakl). Jism nuqtalarining tezliklari trayektoriyalarining (aylanalarining) urinmalari bo’ylab yo’nalgan bo’ladi va demak aylanish radiusiga perpendikulyar bo’ladi. Ko’rsatish mumkinki, tezlik vektorining moduli va yo’nalishi N r vektorning moduli va yo’nalishi bilan bir xil bo’ladi. Haqiqatdan ham N vektor ham, r vektor ham va r (7.19.10) z vektorlar tekisligiga perpendikulyar va nuqta O trayektoriyasining urinmasi bo’ylab aylanish tomoniga qarab O0 yo’nalagan bo’ladi. r r sin( , r ) , y N x 161-shaklga asosan: r sin( , r ) O0 N . N r O Bunga asosan: r O0 N . 161-shakl Bunga asosan N va r vektorlarining modullari ham teng. O nuqta aylanish o’qining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin va r ON . U holda N mom N ( ) NO ON r r yoki N r (7.19.11) (7.19.11) formulaga Eyler formulasi deyiladi. Demak, r moduli va yo’nalishi bo’yicha N nuqta tezligini to’la aniqlaydi. O nuqtani Oxyz koordinatalar sistemasini boshi deb olib, Z o’qini aylanish o’qi bo’ylab yo’naltiramiz (161-shakl). U holda x y 0 , z va (7.19.11) formulani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: i j r o o . x y z 96 (7.19.12) Bundan x y , y x , z 0. (7.19.13) (7.19.13) formulalar jism nuqtalari tezliklarining koordinatalarini topish formulalarini ifodalaydi. (7.19.13) formulalarning ko’rinishi Oxyz koordinatalar sistemasi qo’zg’almas bo’lganda ham, jismga mahkamlangan bo’lganda ham o’zgarmaydi. Demak, tezlikning proyeksiyalari qo’zg’almas koordinatalar sistemasidan qo’zg’aluvchi koodinatalar sistemasiga o’tishiga nisbatan kovariant bo’lar ekan. (7.19.11) formulaning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz: d d d dr W ( r ) r . dt dt dt dt d dr ; larni e’tiborga olib, quyidagi formulani hosil qilamiz: dt dt W r . (7.19.14) (7.19.14) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchining moduli r r sin , r h ga teng, bu esa aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqta urinma tezlanishining moduli bilan bir xil. r vektorning z Wn W O0 h yo’nalishi ham urinma tezlanishining yo’nalishi bilan bir xil (161-shakl). Demak, r vektor N nuqtaning urinma N r O y tezlanishini ifodalaydi, ya’ni W r x (7.19.15) 162- shakl (7.19.14) tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchini qaraymiz: sin , . va vektorlar o’zaro perpendikulyar va h bo’lgani uchun yuqoridagi tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: h 2 . vektorning yo’nalishi normal tezlanishni yo’nalishiga parallel va N nuqtadan aylanish o’qiga qarab yo’nalgan, shuning uchun Wn h 2 , (7.19.16) bu yerda h vektor aylanish o’qidan N nuqtaga tomon yo’nalagan. Demak, (7.19.14) formula nuqtaning to’la tezlanishini ifodalaydi. 97 Urinma va normal tezlanishlarning modullari quyidagicha hisoblanadi: Wn h 2 . W h , (7.19.17) Tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan (162-shakl) x y 0 , r ( -algebraik burchak tezlanish) va Wn 2 O0 N deb olsak (7.19.15) va (7.19.16) formulalarga asosan: i j k (7.19.18) W r 2 O0 N o o 2 O0 N . x y z Bundan tezlanishning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: Wy x 2 y , Wx y 2 x , Wz 0 . (7.19.19) Bu formulalar ham qo’zg’almas koordinatalar sistemasidan o’zg’aluvchi koordinatalar sistemasiga o’tishga nisbatan kovariant. Nazorat savollari 1.Qattiq jismning qanday harakatiga ilgarilanma harakat deyiladi? 2.Ilgarilanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining tezlik tezlanishlari qanday bo`ladi? 3.Qattiq jismning qanday harakatiga qo`zg`almas o`q atrofida aylanma harakat deyiladi? 4.Aylanma harakatdagi qattiq jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi deganda nimani tushunasiz? 5.Burchak tezlik va burchak tezlanish vektorlari qanday yo`nalgan bo`ladi? 6.Qattiq jism nuqtasing tezligi qanday topiladi? 7.Qattiq jism nuqtasining tezlanishi nimaga teng? 8.Qattiq jism nuqtasining urinma, normal va to`la tezlanish vektorlari qanday yo`nalgan? Xulosa Mazkur ma’ruzada qattiq jismning eng oddiy harakatlaridan bo`lgan ilgarilanma a o`q atrofidagi aylanma harakatlari haqida to`la ma’lumot berildi; Bunday mexanik harakatlarni hayotimizda ko`p uchratamiz: mashina va mexanizmlar, osmon jismlarning harakatlarida va hokazo.Qo`zg`almas o`q atrofida aylanuvchi jism harakatini boshqa jismlarga uzatish (tishli g`ildirak, tasmalar yordamida) katta amaliy ahamiyatga ega.Shuning uchun ham ma’ruzada bayon qilingan nazariya mexanikaning ko`pgina amaliy masalalarini echishga imkon beradi. 98 99 9- mavzu Qattiq jismning tekis-parallel harakati 1.2 “ Qattiq jismning tekis-parallel harakati ” mavzusining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) Mavzu rejasi O`quv mashg`ulotning maqsadi 7. Asosiy tushunchalar va teoremalar. 8. Tekis shakl nuqtalarining tezliklari. 9. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari. Qattiq jismning tekis-parallel harakati haqida to`liq tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Qattiq jismning eng oddiy harakatlari Qattiq jismning eng oddiy harakatlarini tushunchasini takrorlash. tushunadi va ta’riflarni aytib beraoladi. Asosiy tushunchalar bilan tanishtirish Asosiy tushunchalarni biladi va hamda Shal va Dalamber teoremalarini teoremalarni isbotlab beraoladi. isbotlash. Tekis shakl nuqtasi tezligini topish Tekis shakl nuqtasi tezligini topishni bo`yicha tushuncha berish. biladi va amalda qo`llayoladi. Tekis shakl nuqtasining tezlanishini Tekis shakl nuqta tezlanishini topaoladi topish haqida mufassal ma’lumot va masalalar yechishda tadbiq etaoladi. berish. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 100 1.2. “Qattiq jismning tekis-parallel harakati” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.9 O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.10 Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.11 Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.12 Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 9-Ma’ruza 101 Tingloichi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhakama qiladilar. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. Qattiq jismning tekis-parallel harakati. Reja: 1. Asosiy tushunchalar va teoremalar. 2. Tekis shakl nuqtalarining tezliklari. 3. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari Adabiyotlar: [1],100-132 sah, [5], 160-188 sah,[7], 107-121 sah. Tayanch iboralar: Absolyut qattiq jism (a.q.j),ilgarilanma harakat, aylanma harakat, oniy aylanish markazi, tekis shakl, qutb, tekis shakl nuqtasining tezligi va tezlanishi. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Absolyut qattiq jism deb nimaga aytiladi? 2. Ilgarilanma harakat deb qanaqa harakatga aytiladi? 3. Aylanma harakat deb qanaqa harakatga aytiladi? 4. Aylanma harakatdagi nuqtaning tezligi nimaga teng? 5. Normal va urinma tezlanishlar nima? 6. Oniy aylanish markazi qanday topiladi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 102 № Asosiy tushunchalar 1 Absolyut qattiq jism (a.q.j.). 2 A.Q.J.-ning ilgarilanma harakati. 3 A.Q.J.-ning aylanma harakati. 4 Tekis shakl. 5 Qutb. 6 Oniy aylanish markazi. 7 Tezliklarning oniy markazi. 8 Tezlanishlarning oniy markazi. 9 Tekis shakl nuqtasining tezligi. 10 Tekis shakl nuqtasining tezlanishi. 11 Tezlanishlarning oniy markazi. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 1. Asosiy tushunchalar. 103 Belgi Qattiq jism nuqtalari biror qo’zg’almas tekislikka parallel tekisliklarda harakatlansa, uning bunday harakatiga tekis parallel harakat deyiladi. Bu ta’rifdan shunday xulosa qilish mumkinki, qattiq jismga qo’zg’almas tekislikka perpendikulyar qilib mahkamlangan ixtiyoriy to’g’ri chiziq kesmasi ilgarilanma harakat qiladi, ya’ni o’zo’ziga parallel kuchadi. Haqiqatdan ham, qattiq jismning qo’zg’almas tekislikka perpendikulyar AB kesmasi biror t vaqt oralig’ida AB holatga o’tsin. Qattiq jismning ta’rifiga asosan AB AB , AA va BB ko’chishlar esa qo’zg’almas tekislikka parallel bo’lishi kerak, bundan ABBA shakl parallelogramm ekani kelib chiqadi. Demak, ABII AB (168-shakl). Bundan shunday xulosa qilish mumkinki, qattiq jismning asosiy tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtalarining harakati uning bitta nuqtasining harakati bilan aniqlanadi. Butun jismning harakati qattiq jismni qo’zg’almas B tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan S kesimning B S o’z tekisligidagi harakati bilan aniqlandi. Shunday qilib, qattiq jismning tekis parallel harakati tekis shaklning o’z tekisligidagi harakatiga keltiriladi. A O’zgarmas tekis shaklning o’z tekisligidagi holati uning ikkita A nuqtasining holati bilan yoki ikkita nuqtasini tutashtiruvchi kesmaning holati bilan to’liq aniqlanadi. Tekis shaklning o’z tekisligidagi harakati ilgarilanma va 168-shakl aylanma harakatlardan iborat bo’ladi. Tekis shaklning ilgarilanma harakati deb shunday harakatga aytiladiki, uning harakat tekisligida yotgan ixtiyoriy to’g’ri chiziq kesmasi o’z-o’ziga parallel ko’chadi. Tekis shaklning o’z tekisligidagi harakati davomida uning aylanish markazi deb ataluvchi bitta nuqtasi qo’zg’almasdan qolsa, bunday harakatga aylanma harakat deyiladi. Qattiq jismning bunday harakati davomida nuqtalarining trayektoriyalari markazi qo’zg’almas nuqtada bo’lgan konsentrik aylanalardan iborat bo’ladi. Nuqtalarining tezlik va tezlanishlari aylanish markazigacha bo’lgan masofalarga proporsional bo’ladi, ya’ni bu yerda va lar Q OQ , (8.21.1) WQ OQ 2 4 , (8.21.2) aylanish burchak tezligi va burchak tezlanishi. Qattiq jismning aylanma harakatida nuqtalarning tezlanishlari OQ aylanish radiusidan bir xil qiymatga ega. U faqat va burchakka og’gan bo’ladi. Bu burchak hamma nuqtalar uchun larga bog’liq, ya’ni tg W 2. Wn (8.21.3) 1-teorema. Qattiq jismning o’z tekisligidagi har qanday chekli ko’chishini bir ilgarilanma ko’chish va ixtiyoriy markaz (qutb) atrofida bir marta burish bilan hosil qilish mumkin. Isbot. Tekis shaklning A1 B1 va A2 B2 kesmalar bilan aniqlangan ixtiyoriy ikkita П1 va П 2 holati berilgan bo’lsin (AB kesma П tekis shaklga mahkamlangan) (169-shakl). Ilgarilanma harakat bilan tekis shakl П1 holatdan П 3 holatga o’tsin, bu holda AB kesma A1 B1 holatdan A3 B2 holatga o’tadi va bu ko’chish B1B2 vektor bilan aniqlanadi (169-shakl). 104 Ilgarilanma harakat ta’rifiga asosan A3 B2 IIA1 B1 . Endi tekis shaklni B2 markaz atrofiga A3 B2 A2 o’tadi va П shakl П 3 holatdan ixtiyoriy markaz sifatida B2 A2 П2 A1 A2 B2 holatga burchakka buramiz, natijada A3 B2 kesma В1 П1 П3 П 2 holatga o’tadi. Biz B2 A3 nuqtani tanladik. Bu holda 169-shakl B1 B 2 vektor bilan, shaklning ilgarilanma ko’chishi aylanma ko’chishi esa A3 B2 A2 burchak bilan aniqlanadi. Agar qutb sifatida A nuqta olinganda edi shaklning ilgarilanma ko’chishi A1 A2 vektor bilan, aylanma ko’chishi B3 A2 B2 burchak bilan aniqlanar edi. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, B1 B2 A1 A2 , ya’ni ilgarilanma ko’chish qutbni o’zgartirishi bilan o’zgaradi, lekin chunki bu burchaklar parallel kesmalardan tashkil topgan. Demak, figuraning aylanma ko’chishi qutbni tanlanishiga bog’liq emas. Shunday qilib, ilgarilanma ko’chishi qutbni tanlanishi bilan o’zgarar ekan, uni tanlash yo’li bilan ilgarilanma ko’chishni yo’qotish ham mumkin. 2-teorema. Tekis shaklning o’z tekisligidagi ilgarilanma bo’lmagan har qanday chekli ko’chishini chekli aylanish markazi deb ataluvchi markaz atrofida bir marta burish bilan hosil qilish mumkin. Isbot. Tekis shaklning ixtiyoriy ikkita A1 B1 va A2 B2 kesmalar bilan aniqlangan П1 va П 2 holatlari П1 berilgan bo’lsin (170-shakl). В1 A2 П2 B2 Agar O chekli aylanish markazi mavjud bo’lsa, bu shunday nuqta bo’ladiki, bu nuqta A1 va A2 nuqtalardan bir xil uzoqlashgan bo’ladi, xudi shunday A1 B1 va B2 nuqtalardan ham bir xil uzoqlashgan bo’ladi (170-shakl), ya’ni O OA1 OA2 ; OB1 OB2 . Demak, O aylanish markazi 170-shakl A1 A2 va B1B2 kesmalar o’rtalaridan chiqarilgan perpendikulyarning kesishish nuqtasi bo’lar ekan. O nuqta aylanish markazi ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, A1B1 A2 B2 bo’lgani uchun A1OA2 B1OB2 . Demak, A1 B1 A1O A2O , B1O B2O , kesmasi O markaz atrofida A1OA2 B1OB2 burchakka burish bilan tekis A2 B2 holatga va demak shaklni П1 holatdan П 2 holatga o’tkazishi mumkin. Shuni aytish kerakki burchak A1 B1 va A2 B2 kesmalar orasidagi burchakka teng va bu burchak 1- teoremaga asosan qutbni tanlanishiga bog’liq emas. Isbotlangan ikkita teoremadan tekis shaklning o’z tekisligidagi harakati haqida quyidagi xulosaga kelish mumkin: 1) 1-teoremaga asosan tekis shaklning o’z tekisligidagi har qanday harakatini qutb deb ataluvchi nuqta bilan birgalikdaga chekli ilgarilanma ko’chishlari va qutb atrofidagi chekli burishlarining uzluksiz ketma-ketligidan iborat deb qarash mumkin. 105 2) 2-teoremaga asosan tekis shaklning har qanday ilgarilanma bo’lmagan elementar ko’chishini oniy aylanish markazi deb ataluvchi markaz atrofida bir marta elementar burchakka burish bilan hosil qilish mumkin. Bundan quyidagicha xulosa qilish mumkin: tekis shaklning o’z tekisligidagi ixtiyoriy ilgarilanma bo’lmagan harakatini oniy aylanish markazlari atrofidagi elementar burishlar ketma-ketligidan iborat deb qarash mumkin. Tekis shaklning harakati davomida oniy aylanish markazining holati qo’zg’almas tekislikda ham, shaklga mahkamlanga tekislikda ham uzluksiz o’zgarib boradi. A 1 2 A1 2 z P A3 3 2 An 1 n P O 172shakl Oniy aylanish markazi atrofidagi aylanma harakat burchak tezligi 171-shakl tezlanishi ga oniy burchak tezlik, burchak ga oniy burchak tezlanish deyiladi. Tezlik vektori aylanish radiuslariga perpendikulyar bo’ladi (aylanish radiusi nuqtadan aylanish markazigacha bo’lgan masofa) (171-shakl). Tekis shaklning oniy aylanish markazi P nuqtaning qaralayotgan ondagi tezligi nolga teng bo’ladi. Tekis shaklning oniy aylanish markazini topish uchun uning ikkita nuqtasi tezligining yo’nalishini bilish yetarli. Bu nuqtalar tezliklaridan chiqarilgan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi oniy aylanish markazi bo’ladi. Oniy aylanish markazining qo’zg’almas tekislikda qoldirgan iziga qo’zg’almas sentroida, shaklga 1 mahkamlangan tekislikda qoldirgan iziga qo’zg’aluvchi sentroida deyiladi (172-shakl). sentroida, 2 bilan qo’zg’aluvchi sentroidani belgilaymiz, oniy aylanish markazini P bilan belgilaymiz. Qaralayotgan onda oniy aylanish markazining qo’zg’almas tekislikdagi o’rni tekislikdagi o’rni 2 oniy aylanish markazi P bilan qo’zg’almas 1 bilan qo’zg’aluvchi bilan ustma-ust tushadi (172-shakl). Cheksiz kichik keyin oniy aylanish markazi boshqa nuqtaga o’tadi, 1 va 2 nuqtalar ajraladi. t vaqtdan D Qo’zg’almas sentorida qo’zg’almas O tekisligiga nisbatan qo’zg’amas egri chiziq d bo’ladi. Qo’zg’aluvchi sentroida shaklga mahkamlangan tekislikka nisbatan qo’zg’almas, O tekislikka nisbatan qo’zg’aluvchi tekislik bilan birgalikda qo’zg’aluvchi yegri 173-shakl chiziq bo’ladi. Qo’zg’aluvchi va qo’zg’almas sentroidalarning urunish nuqtasi qaralayotgna onda oniy aylanish markazi bo’ladi. Tekis shaklning harakati vaqtida qo’zg’aluvchi sentroida qo’zg’almas sentroida ustida sirpanmasdan yumalaydi va ularning urunish nuqtasi qaralayotgan onda oniy aylanish markazi bo’ladi. Masalan, D disk d to’g’ri chiziq bo’ylab sirpanmasdan yumalayotgan bo’lsa, d to’g’ri chiziq qo’zg’almas sentroida, D disk aylanasi qo’zg’aluvchi sentroida bo’ladi, ularning urunish nuqtasi oniy aylanish markazi bo’ladi. 2. Tekis shakl nuqtalarining tezliklari 106 Tekis shaklning harakatini A qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan qaraymiz. Shaklning qutb nuqtasi P va ixtiyoriy nuqtasi M ning A koordinatalar sistemasiga nisbatan holati P M va radius- P , M va r vektorlar orasida quyidagi munosabat o’rinli: vektorlar bilan aniqlansin (174-shakl). U holda M p r . (8.22.1) M Bu tenglikning ikala tomonini vaqt bo’yicha diferensiallaymiz: d M d p dr . (8.22.2) M dt dt dt PM r const bo’lgani uchun r vektor shaklining harakati vaqtida faqat A dr yo’nalishi bo’yicha o’zgaradli. Eyler formulasiga asosan r , bundan dt d M d P tashqari M , P . Natijada (8.22.2) tenglikdan quyidagi dt dt r P P 174-shakl formulaga kelamiz: M P r M P MP . yoki (8.22.3) Tezliklarni qo’shish teoremasiga asosan tekis shakl ixtiyoriy M nuqtasining tezligi qutb nuqtasining p tezligi, ya’ni ilgarilanma harakat tezligi bilan qutb atrofidagi aylanma harakat yig’indisiga teng. MP MP r tezliklarining vektor MP kesmaga perpendikulyar bo’lib, shaklning aylanish tomoniga qarab yo’nalgan bo’ladi (175-shakl) va moduli MP PM ga teng. Demak, tekis shakl birorta P nuqtasining tezligi va bu nuqta atrofida aylanma harakat burchak tezligi berilgan bo’lsa, uning ixtiyoriy nuqtasining tezligini topish mumkin (175-shakl). Tezliklarni topishning boshqa usuli quyidagi teoremadan kelib chiqadi. 1-teorema. Agar tekis shakl bitta nuqtasining tezligi va boshqa bitta nuqtasi tezligining yo’nalishi berilgan bo’lsa, oniy aylanish markazidan foydalanib, tekis shakl ixtiyoriy nuqtasining tezligini topish mumkin. Isbot. Tekis shakl bitta A nuqtasining tezligi va boshqa bitta B nuqtasi tezligining yo’nalishi berilgan bo’lsin (176-shakl). A va B nuqtalardan ularning tezliklariga perpendikuliar to’g’ri chiziqlar chizamiz. Bu to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi P shaklning oniy aylanish markazi bo’ladi. P nuqtaga nisbatan A nuqtaning tezligi quyidagicha bo’ladi (176-shakl): A PA . Bundan, oniy burchak tezlik ni topamiz: P M M MP M p p 175-shakl B A A 90 M P 176-shakl 107 A . PA (8.22.4) Endi ixtiyoriy M nuqtaning tezligini topamiz: M PM A M tezlikning yo’nalishi PM PM . PA (8.22.5) vektorga perpendikulyar bo’ladi. (8.22.5) tenglikdan ko’rinib turibdiki, tekis shakl nuqtalarining ixtiyoriy paytdagi tezligi oniy aylanish A A A A B B B p 177shakl markazidan nuqtagacha bo’lgan masofaga proporsional bo’lar ekan. Agar tekis shakl berilgan nuqtalarning tezliklari A va 178-shakl B lar parallel bo’lsa, yuqoridagi teorema ma’nosini yo’qotadi. Bunday holda quyidagi ikkita holdan bittasi o’rinli bo’ladi. 1) A II B bo’lib, A va B nuqtalar bitta umumiy perpendikulyarda yotmasin (177-shakl). Shakldan ko’rinib turibdiki bu holda oniy aylanish markazi cheksizlikda bo’ladi va (8.22.4) tenglikdan 0 . Demak, shakl bu holda oniy ilgarilanma harakatda bo’lar ekan. 2) A II B bo’lib, A va B nuqtalar bitta umumiy AB perpendikulyarda yotsin (178-shakl). Bu holda oniy aylanish markazini topish uchun A va B tezliklarning modullarini ham bilish kerak bo’ladi. A va B vektorlarning uchlari orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq bilan AB to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasi oniy aylanish markazi bo’ladi (178-shakl). (8.22.5) formuladan: A B . PA PB Demak, bu holda tekis shakl ixtiyoriy nuqtasining tezligini topish uchun ikkala A va B nuqtalar tezliklarining ham yo’nalishi, ham moduli berilgan bo’lishi kerak. Agar A B bo’lsa, bu holda yana tekis shakl oniy ilgarianma harakatda bo’ladi. 2-teorema. Tekis shakl o’zgarmas kesmasi uchlarining tezliklarini kesma yo’nalishidagi proeksiyalari o’zaro teng. Isbot. AB kesma uchlarining tezliklari A va B bo’lsin (179-shakl). A va B nuqtalardan ularning tezliklariga perpendikulyarchiziqlar chizamiz, ularning kesishish nuqtasi P oniy aylanish markazi bo’ladi. Agar AB kesmaning oniy aylanish burchak tezligi bo’lsa, A va B nuqtalarning tezliklari bo’ladi. Ularning AB kesmadagi proyeksiyalari quyidagicha bo’ladi: 108 A PA, B PB AA ( A ) AB A cos PA cos h, BB ( B ) AB B cos PB cos h, bu yerda h 179-shakldan ko’rinib turibdiki P nuqtadan AB kesmagacha bo’lgan A P masofa. Demak, ( A ) AB ( B ) AB . h A A B 3. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari B Tekis shakl ixtiyoriy M nuqtasining tezligi (8.22.3) formulaga asosan B quyidagicha topiladi: M P r , bu yerda 179-shakl r PM M nuqtaning P nuqtaga nisbatan radius-vektori (174-shakl). Bu tenglikning ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz: dr d M d P d ( r ) ( ) . dt dt dt dt (8.23.1) d miqdor shaklning burchak tezlanish vektori bo’lib, bu vektor shakl tekisligiga perpendikulyar yo’nalgan dt dr bo’ladi. r Eyler formulasi, r va r 0 larni e’tiborga olib, quyidagini hosil qilamiz: dt dr ( r ) ( r ) r ( ) 2 r . dt Natijada (8.23.1) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: ( ) WMP xr WM WP ( r ) 2 r . ( n) va WMP 2 r (8.23.2) (8.23.3) miqdorlar shaklning P nuqta atrofidagi aylanma harakatining urinma va markazga intilma (normal) tezlanishlarini ifodalaydi. Shunday qilib, (8.23.2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: ( ) ( n ) WM WP WMP WMP (8.23.4) yoki WM WP WMP , (8.23.5) ( ) ( n ) bu yerda WMP WMP WMP . Shunday qilib, tekis shakl ixtiyoriy nuqtasining tezlanishi qutb nuqtasining tezlanishi bilan qutb nuqtasi atrofidagi aylanma harakatlari tezlanishlarining geometrik yig’indisiga teng. ( ) WMP MP , ( n) WMP PM 2 , r va r PM bo’lgani uchun WMA PM 2 4 (8.23.6) bo’ladi. WMP vektor bilan PM radius orasidagi burchak quiydagicha topiladi: tg 109 ( ) WMP 2 . (n) WMP (8.23.7) Nazorat savollari 1.Qattiq jismning tekis-parallel harakati deb qanday harakatga aytiladi? 2.Aylanma harakatdagi nuqtaning tezligi nimaga teng? 3.Normal va urinma tezlanishlar qanday yo`naladi va ularning modullari nimaga teng? 4.A.Q.J. deb qanaqa jismga aytiladi? 5.Dalamber teoremasi nima haqda? 6.Shal teoremasi nima deydi? 7.Oniy aylanish markazi qaysi nuqtada joylashgan? 8.Tezliklarning oniy markazi qanday topiladi? 9.Tezlanishlarning oniy markazi qayerda joylashgan? 10.Tekis shakl nuqtasining tezligi nimaga teng? Xulosa Qattiq jismning tekis-parallel harakati mexanik harakatlarning bir turi bo`lib, amaliy masalalarda, fizik va texnikada ko`p uchraydi.Bunday harakat murakkab harakatlar qatoriga kiradi va uning kinematik xarakteristikalarini o`rganish amaliyotda o`ta muhim rol o`ynaydi.O`zgarmas tekis shaklning harakatini kinematik nuqtai nazardan qaraganda qo`zg`aluvchan tekislikning qo`zg`almas tekislikka nisbatan harakatini o`rganish kerak boladi.Bu masala nazariy mexanikaning asosiy masalalridan biri bo`lib, amaliyotga bevosita aloqasi mavjud. 10-Mavzu Nuqta dinamikasi. Asosiy tushunchalar. Nuqta harakatining differensiyal tenglamalari.Nuqta dinamikasining asosiy 110 masalalari. 1.1.Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakl Ma’ruza (axborotli dars) Mavzu rejasi O`quv mashg`ulotning maqsadi 1. Dinamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha tarixi. 2. Mexanikaning asosiy qonunlari. 3. Mexanik kattaliklar sistemasi. 4. Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari. 5. Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi. Nuqta dinamikasining asosiy qonunlari va ikkita asosiy masalasi haqida, nuqta harakatining differensial tenglamalari haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqta dinamikasining asosiy Nuqta dinamikasining asosiy qonunlari qonunlari haqida tushuncha berish. haqida tushunchaga ega. Nuqta harakatining differensial Nuqta harakatining differensial tenglamalari haqida ma’lumot berish. tenglamalarini eslab qoladi va amaliyotga qo`llay oladi. Nuqta dinemikasining asosiy Nuqta dinamikasining asosiy masalalari haqida tushuncha berish. masalalarini yoddan biladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi,aqliy hujum. O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “Nuqta dinamikasi. Nuqta harakatining differensial tenglamalari. Nuqta dinamikasining asosiy masalalari ” mavzusining texnologik xaritasi. Ish Tingloichi faoliyatining 111 bosqichlari 1bosqich (20min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1 O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2 Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.3 Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4 Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) Tinglaydilar. 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Tinglaydilar. 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar UMK ga qarydilar bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). UMK ga qarydilar 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar Har bir tayanch tushuncha va yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa iboralarni muhakama beradi. (5-ilva). qiladilar. 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 10-Ma’ruza Nuqta dinamikasi. Nuqta harakatining differensial tenglamalari. Nuqta dinamikasining asosiy masalalari. 112 Reja: 1. Dimamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha ta’rifi. 2. Mexanikaning asosiy qonunlari. 3. Mexanik kattaliklar sistemasi. 4. Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari. 5. Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi. Adabiyotlar: [1],319-324 sah, [5], 254-274 sah. Tayanch iboralar: Moddiy nuqta, Dinamika, harakat, kuch, tezlanish, massa, differensial tenglama, harakat integrallari, boshlang`ich shartlar , absolyut qattiq jism. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Moddiy nuqta deb nimaga aytiladi? 2. Kuch deb nimaga aytiladi? 3. Tezlanish deb nimaga aytiladi? 4. Massa deb nimaga aytiladi? 5. Nyutonning uchta qonunlarini ta’riflang? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 113 № Asosiy tushunchalar 1 Kuch va uning birliklari. 2 Moddiy nuqta, absolyut qattiq jism. 3 Dinamikaning asosiy qonunlari. 4 Differensial tenglama. 5 Harakat integrallari, boshlahg`ich shartlar. 6 Massa, uning o`lchov birligi. Og`irlik kuchi. 7 Absolyut qattiq jism. 8 Nuqta dinamikasining birinchi masalasi. 9 Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasi. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 1. Dinamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha tarixi. 114 Belgi Dinamika mexanikaning bo’limi bo’lib, unda moddiy jismlarning harakati unga ta`sir etuvchi kuchlarga bog’lab o’rganiladi. Dinamika mexanikaning ko’pgina amaliy masalalarini yechishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan umumiy bo’limi hisoblanadi. Buyuk Italian olimi Goliley (1564-1642) dinamikaning asoschisi hisoblanadi. U moddiy nuqtaning to’g’ri chiziqli noteks harakati uchun tezlik va tezlanish tushunchalarini kiritdi hamda jismlarning bo’shliqda erkin tushish qonunlarini yaratdi. Galiley dinamikning birinchi qonuni - inersiya qonuniga ta`rif berdi gorizontga burchak ostida otilgan jismlarning bo`shliqda parabola bo`ylab harakatlanishini aniqladi. Gollandiyalik olim Gyuygeus (1629-1695) inersiya momenti – tushunchasini kiritgan, tebrangichlar nazariyasini va soatni yaratgan. U egri chiziqli harakatdagi nuqta uchun tezlanishning momenti tushunchasini umumlashtirib, markazdan qochma kuchni kiritgan. Buyuk ingliz olimi, Nyuton (1643-1727) Galileyning dinamikaning yaratish sohasidagi ishlarini davom ettirdi. O`zining buyuk asari “philosophniae naturalis principia mathematika” da klassik mexanikaning qonunlariga ta`rif bergan va bu qonunlar asosida dinamikaning sistemali bayonini berdi. Nyuton butun olam tortilish qonunini yaratgan. Moddiy nuqta dinamikasidan mexanik sistema dinamikasiga o`tishni ta’minlovchi Nyuton tomonidan yaratilgan ta’sir va ansta’sir qonuni katta ahamiyatga ega. Dekartning harakat miqdorini saqlanishi haqidagi fikrini rivojlantirib, Nyuton harakat miqdorining o`zgarishini ta’sir etuvchi kuchga bog’liqligini aniqladi. XX asrning boshlarida nemes fizigi Albert Eynshteyn tomonidan yaratilgan relyativistik mexanika (nisbiylik nazariyasi) fazo, vaqt, massa va energiya haqidagi tasavvurkarni butunlay o’zgartirib yubordi. Lekin yorug’lik tezligidan kichik tezliklar uchun klassik mexanika qonunlari asosida olingan natijalar, relyativistik mexanika qonunlari bilan olingan natijalar bilan mos keladi. Galiley-Nyuton qonunlari yordamida hozirgi zamon nazariya mexanikasining asosini tashkil etuvchi teoremalar isbotlandi va mexanika prinsiplari asoslandi. Kinetik energiyaning o’zgarish qonuni Ivan Bernulli (1667-1748) va Daniil Bernulli (1300-1782) lar tomonidan ta’riflangan. Harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema deyarli bir vaqtning o’zida (1746) Eyler va Daniil Bernulli tomonidan tariflangan. 1716 yil Peterbur fanlar akademiyasi akademigi Ya. German dinamika tenglamalarini statika tenglamalari ko’rinishiga keltiruvchi, umumiy metod, mexanika (kinetostatika metodi)ni kiritgan. 1737y Eyler (1707-1783) bu prinsipni umumlashtirdi va egiluvchi jismlarning tebranishiga qo’lladi. 1743y Dalamber (1717-1783) German Eyler prinsipini qo’llanilish sohasini kengaytirdi, yani bu prinsipni bog’langan jismlardan tashkil topgan murakkab sistemalarga qo’lladi. Bu prinsip Dalamber prinsipi (yoki nachala Dalambera) nomi bilan yuritiladi. 115 Lagranj (1736-1813) German – Eyler - Dalamberprinsipini statikaning umumiy prinsipini mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi bilan birlashtirib, amaliyotda qo’lash uchun qulay bo’lgan ko’rinishga keltirdi. Mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi birinchi Stevin (1548-1620) tomonidan kiritilgan Galiley Stevinning og’ma tekislikdagi mulohazalarini davom etkazib mexanikaning oltin qoidasiga ta’rif bergan: kuchdan yutilsa tezlikdan yutqaziladi. Akademik M.V Ostrogradskiy (1548-1862) mumkin bo’lgan ko’chish prinsipini umumlashtirib, mexanikaning yangi masalalarini yechishga qo’llagan. Mexanik sistemaning umumlashgan koordinatalardagi tenglamalarini Lagranj tomonidan keltirib chiqarilgan. Lagranj tenglamalari mexanik sistema harakatini umumiy ko’rinishda ifodalaydi. Bu tenglamalar mexanik sistemaning amaliyotda muhim ahamiyatga ega bo’lgan kichik tebranishlarini o’rganishda qo’llaniladi. XX asrda mexanikaning rivojlanishida katta hissa qo’shgan o’zbek olimlari: M . T . O’razboyev, X. A. Raxmatulin, X. X. Usmonxodjayev, T. R. Rashidov,… 2.Mexanikaning asosiy qonunlari. (Galiley N`yuton qonunlari) Dinamika kinetikaning bir qismi bo`lib, unda moddiy jismlarning (yoki mexanik sistemaning) harakatini unga ta`sir etuvchi kuchga bog`lab o`rganiladi. Moddiy jismlarning harakati uni tashkil etuvchi nuqtalar (zarachalar)ning harakati bilan aniqlanadi. Bizga ma`lumki moddiy nuqta deganda o`lchamlari yetarlicha kichik va uni tashkil etuvchi zarralarning harakati bir – biridan deyarli farq qilmaydigan moddiy jism tushuniladi. Dinamikaning asosida N`yuton tomonidan birinchi bo`lib tartibga solingan qonunlar yotadi. 1-Irersiya qonuni. Moddiy nuqtaga (moddiy jismga) tashqaridan hech qanday ta`sir bo`lmasa, u o`zining tinch holatini yoki to`g`ri chiziqli tekis harakatini saqlaydi. Bu qonun Galiley tomonidan ta’riflangan bo`lib unga asosan har qanday jism agar unga hech qanday tashqi ta`sir bo`lmasa, u o`zining tinch holatida turadi yoki to`g`ri chiziqli tekis harakatini (o`zgarmas tezlikli harakatini) davom etirishini xarakterlaydi. Jismlarning bu xosasiga uning intertligi deyiladi. 2-kuch va tezlanishning proporsionallik qonuni. Moddiy nuqtaning tezlanishi unga ta`sir etuvchi kuch bilan bir xil yo`nalgan bo`ladi. Ikkinchi qonunni boshqacha ko`inishga ham ta`riflash mumkin: moddiy nuqta harakat miqdorining o`zgarishi unga ta`sir etuvchi kuchga proporsional bo`lib, yo`nalishi ta`sir etuvchi kuch yo`nalishida sodir bo`ladi. N`yutonning ta`rifiga ko`ra harakat miqdori nuqta massasi bilan tezligi ko`paymasiga teng. Natijada harakat miqdorining o`zgarishini harakat miqdoridan d m vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng, yani deb olish dt 116 mumkin. Proporsionallik koeffitsientini birga teng deb olib, ikkinchi qonunni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin: d m F dt yoki massani o`zgarmas deb olsak, d m F (2.1) dt d formulaga kelamiz. W dt Nuqtaning tezlanishi bo’lgani uchun (2.1) formuladan (2.2) F mW formulaga kelamiz. Moddiy nuqta massasi, tezlanishi va unga ta`sir etuvchi kuchlar orasidagi bo`g`lanishni ifodalovchi (2.2) tenglama klassik mexanikada katta ahamiyatga ega va unga dinamikaning asosiy tenglamasi deyiladi. 3. Ta`sir va aksta`sir qonuni. Har qanday ta`sirga miqdor jihatidan teng va qarama – qarshi tomonga yo`nalgan aksta`sir mos keladi. Jismlarning massasi ularning inertligini ifodalovchi o`lchov birligi hisoblanadi, yani jismlarning tashqi ta`sirga beriluvchanligini harakatlovchi kattalik. (2.2) formuladan massani quyidagi formula bilan aniqlash mumkin: F m . (2.3) N (2.3) formulani og`irligi G ga teng bo`lgan erkin tushayotgan moddiy nuqta uchun qo`llaymiz. G m , ( 2.4) g g-erkin tushish tezlanishi. Bundan moddiy nuqta massasining miqdori uning og`irligini erkin tushish tezlanishiga nisbatiga teng. G mg . (2.5) Yer sharining har xil nuqtalarida erkin tushish tezlanishi har xil bo`lgani uchun jismlarning og`irligi ularning massasidan shu bilan farq qiladiki og`irlik yer shari nuqtalarining joylashishga qarab o`zgaradi. 4. Kuchlar tag`irining o`zaro bog`liqmaslik qonuni. Moddiy nuqtaga bir vaqtning o`zida bir nechta kuch ta`sir etayotgan bo`lsa, nuqtaning har bir kuch ta`siridan erishadigan tizlanishi qolgan kuchlarning ta`siridan bog`liq bo`lmaydi va nuqtaning to`la tezlanishi alohida kuchlar ta`siridan erishilgan tezlanishlarining geometrik yig`indisiga teng. Moddiy nuqtaga F1 , F2 ,..., Fn kuchlar sistemasi ta`sir etayotgan bo`lsin. U holda bu qonunga asosan har bir kuch ta`siridan erishiladigan tezlanishlar (2.2) tenglamaga asosan quyidagicha topiladi. 117 mw2 F2 ,..., mwn Fn . mw1 F1 , (2.6) Hamma kuch bir vaqtda ta`sir etsa, bu kuchlar ta`siridan erishiladigan to`la tezlanish alohida kuchlar ta`siridan erishiladigan tezlanishlar yig`indisiga teng, ya`ni n w Fn (2.7) in (2.6) tengliklarni hadma – had qo`shib, (2.7) tenglikka asosan quyidagi tenglamani hosil qilamiz: n (2.8) mw1 w2 ...wn mw Fi i 1 Kuchlar ta`sirining o`zaro bog`liqmasligi degani bir nuqtaga qo`yilgan kuchlaning o`zaro bog`liqmasligi degani emas. Masalan ta`sir etuvchi kuchlar orasida bog`lanish reaksiyalari ham bo`lsa, bu kuchlar hamma vaqt aktiv kuchlardan bog`liq. 3. Mexanik kattaliklarning birliklar sistemasi. Mexanik kattaliklarni o`lchashda ikkita birliklar sistemasi qo`laniladi! Fizik va texnik birliklar sistemasi. Fizik fiziklar sistemasida asosiy birliklar sifatida uzunlik birligi, massa va vaqt birliklari qabul qilingan, kuch birligi hosilviy birlik sifatida topiladi. Dinamikaning asosiy tenglamasidan: Kuch massa tezlanish Kuch massa tezlanish Uzunlik massa bundan F L1 M 1T 2 . olinadi. vaqt 2 Bunday o`lchov birliklar sistemasiga SI xalqaro olchov birliklari: metr, kilogramm massa va sekund. Kuchning o`lchov birligi 1N 1kg 1m / sek 2 1kgm / sek 2 . Ikkinchi birliklar sistemasida asosiy birliklar sifatida uzunlik, kuch va vaqt qabul qilingan, massa hosilaviy birlik sifatida topiladi. Bunday birliklar sistemasiga texnikada ko`p tarqalgan MKGS (texnik birliklar sistemasi) sistemasi kiradi. Bunda asosiy birliklar: metr, kilogram kuch va sekund. Bu sistemada massaning o`lchov birligi kg , sek 2 1 , yani 1kg kuch ta`siridan 1m / sek 2 tezlanish oladigan massa m SI va MKGS sistemalarida kuch birliklari orasida quyidagi munosabatlar o`rinli: 1kg , massa 9,81N yoki 118 1N 0,102 kg , massa. Chekli yoki cheksiz sondagi moddiy nuqtalar to`plamiga moddiy nuqtalar sistemasi deyiladi. Moddiy nuqtalar sistemasi har bir nuqtasining harakati qolgan nuqtalarining holati va harakatiga bog`liq bo`lsa, bunday sistemaga mexanik sistema deyiladi. Qandaydir usul bilan o`zaro bog`langan moddiy jismlar to`plami ham mexanik sistemani hosil qiladi. Moddiy nuqtalar sistemasi nuqtalarining o`zaro joylashishi hamma vaqt o`zgarishsiz qolsa, bunday sistemaga absolyut qattiq jism deyiladi. Mexanik sistema yoki qatiq jism chekli yoki cheksiz sondagi moddiy nuqtalardan zarrachalardan tashkil topganligi uchun dinamikani o`rganishni moddiy nuqta dinamikasini o’rganishdan boshlash kerak bo’ladi. 4. Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari. Moddiy nuqta, massa, kuch, radius, vektor, trayektoriya, tezlik va tezlashish. Moddiy nuqtaning fazodagi holati biror koordinatalar sistemasida o’zining radius- vektori r bilan aniqlanadi. Nuqtaga ta’sir etuvchi F kuch nuqtaning holatiga, tezligiga va vaqtga bog’liq bo’lishi mumkin. Moddiy nuqtaga bir vaqtning o’zida bir necha kuchlar sistemasi F1 , F2 ,..., Fn ta’sir etayotgan bo’lsa, kuchlar ta’sirining bog’liqmaslik qonuniga asosan harakatni kuchlar sistemasining geometrik yig’indisi F Fi kuch ta’siridan hosil bo’ladigan harakat deb qarash mumkin. (1-shakl). Shunday qilib, umumiy holda dinamikaning asosiy tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: d 2 r dr (4.1) m 2 F r , ,t dt dt z Nuqta massasi, radius-vektori va ta`sir etuvchi M ( x; y ; z ) kuchlar orasidagi bog`lanishni ifodalovchi bu tenglama Fn nuqta harakat differensial tenglamasining vektor W ko’rinishini ifodalaydi. F2 (4.1) tenglama uchta skalyar tenglamalar F1 sistemasiga ekvivalent bo`ladi. Koordinatalar F z sistemasini tanlab (4.1) tenglamani tanlangan y O koordinatalar sistemasi o`qlariga proyesiyalab, har xil x ko`rinishdagi skalyar tenglamalar sistemasinihosil qilish y x mumkin. 1-shakl Masalan (4.1) tenglamani qo’zg’almas dekarat koordinatalar sistemasi o`q-lariga proyeksiyalaymiz: mx Fx , my F y , mz Fz , (4.2) Bu yerda x, y, z -lar tezlanishning koordinata o`qlaridagi proyeksiyalari, Fx , Fy , Fz -lar ta`sir etuvchi kuchni o`sha o`qlardagi proyeksiyalari. Agar moddiy nuqtaning harakati tabiiy koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralayotgan bo’lsa, (4.1) tenglamani tabiiy koordinatalar sistemasi o`qlariga proyeksiyalaymiz: 119 mw F , mwn Fn , mwb Fb , (4.3) Bu yerda F , Fn , Fb -lar kuchning urinma, bosh narmal va benormaldagi proyeksiyalari. Kinematikadan bizga ma’lumki: w d 2s , dt 2 2 2 1 ds wn , dt wb 0. ularni (4.3) tenglamamalarga qo`yamiz u holda 2 d 2S m dS m 2 F , (4.4) Fn , 0 Fb dt dt Bu erda -traektoriyaning berilgan nuqtasidagi egrilik radiusi. (4.4) tenglamalarning oxirgisidan ko’rish mumkinki, F -kuch urinma tekislikda yotadi. Agar nuqtaning harakati tekislikda qaralayotgan bo`lsa, qutb koordinatalaridan foydalanish mumkin. Buning uchun (4.1) tenglamani qutb koordinatalariga proyeksiyalaymiz: m d 2 mr r 2 Fr , r F (4.5) r dt Bu yerda Fr , F -lar kuchning radius-vektor yo`nalishi va ungaper pendikulyar yo`nalishlardagi proeksiyalari. (4.1) tenglamani ixtiyoriy egri c hiziqli koordinatalar sistemasi (silindirik, sferik va h.k ) o`qlariga proyeksiyalash ham mumkin. 5. Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi. Nuqta dinamikasi masalalarini nuqtaning harakat differensial tenglamalari yordamida yechiladi. 1. Nuqta dinamikasi birinchi masalasining yechimi. Nuqta dinamikasining birinchi masalasi nuqtaning massasi va harakat tenglamalarini bilgan holda unga ta’sir etuvchi kuchni topishdan iborat. Nuqtaning harakat tenglamalari dekarat koordinatalar sistemasida. x f1 t , y f 2 t z f 3 t (5.1) Ko`rinishda berilgan bo`lsin. (5.1) tenglamalardan vaqt bo`yicha ikki marta hosila olib, (4.2) tenglamalarga qo`yamiz va nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning proeksiyalarini topamiz ya`ni. FX mx, FY my, FZ mz, (5.2) Kuchning moduli F m x2 y2 z2 (5.3) 120 formuladan topiladi. Nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning yo`nalishi. x F Cos F , ^ x X , (5.4) F x2 y2 z2 ^ Fy y z Fz Cos F , ^ y , Cos F , z , 2 2 2 2 2 2 F F x y z x y z formulalardan topiladi. 2. Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasi moddiy nuqtaga ta`sir etuvchi F kuch, nuqtaning massasi m shuningdek nuqtaning boshlang`ich holati va boshlang`ich tezligi berilganda uning harakat qonunini topishdan iborat. Bu masalani to`g`ri burchakli dekarat koordinatalar sistemasiga yechamiz. Ushbu holda nuqtaga ta`sir etuvchi kuch nuqtaning holatiga, tezligiga, vaqtga va h.k. ga bog`liq bo`lishi mumkin. Biz kuchni nuqtaning holatiga, tezligiga va vaqtga bog`liq holi bilan chegaralanamiz. Bu holda nuqta harakat differensial tenglamalari (4.2) quyidagi ko`rinishda bo`ladi: d 2x m dt 2 FX t ; x, y, z , x, y , z d2y (5.5) m 2 FX t ; x, y , z, x, y , z dt 2 m d z F t ; x, y, z , x, y , z X dt 2 (5.2) tenglamalar x xt , y y t , z z t noma`lum funksiyalarga nisbatan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Bu tenglamalarni integrallaganda har bittasida ikkitadan, oltita integrallash o`zgarmalari qatnashadi, ya`ni x xt ; C1 , C2 , C3 ,...C6 , (5.6) y y t ; C1 , C 2 , C3 ,...C6 , z z t ; C , C , C ,...C . 1 2 3 6 (5.3) Tenglamalardagi Ci i 1,2,3,4,5,6 larning har bir qiymatiga bitta egri chiziq mos keladi ya`ni bu tenglamalar cheksiz ko`p egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Buning mexanik ma’nosi shundan iboratki nuqta bir vaqtning o`zida bir nechta egri chiziq bo`ylab harakatlanishi keak. Bunday bo`lishi mumkin emas. Bu aniqmaslikning ochish uchun nuqtaning boshlang`ich holati va boshlang`ich tezligini bilish kerak. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi teoremasiga asosan nuqtaning berilgan boshlang`ich tezlik bilan sodir bo`ladigan harakatga yagona egri chiziq mos keladi. Boshlang`ich t t 0 paytda nuqtaning koordinatalari va tezlikning boshlang`ich proyeksiyalari berilgan bo`lsin, ya`ni 121 t t 0 , x x0 , y y 0 , z z0 , x x 0 , y y 0 z z0 , (5.7) (5.7) Munosabatlarga boshlang’ich shartlar deyiladi. (5.6) tenglamalarning ikkala tomonlaridan vaqt bo’yicha bir marta hosila olamiz: x x t ; C1 , C 2 ,...C6 , (5.8) y y t ; C1 , C2 ,...C6 , z zt ; C , C ,...C . 1 2 6 (5.7) boshlang`ich shartlari (5.6) va (5.8) tenglamalarga qo`ysak Ci i 1,2,..., 6 o`zgarmaslarga nisbatan oltita algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini yechib, Ci i 1,2,..., 6 larning qiymatini topamiz ya`ni. Ci f i x0 , y 0 , z 0 , x 0 , y 0 , z 0 Ci i 1,2,..., 6 (5.9) O`zgarmaslarning topilgan qiymatlarini (5.6) umumiy yechimga qo`yib, masalaning berilgan boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz ya`ni. x 1 t ; x0 , y0 , z 0 , x 0 , y 0 , z0 ; (5.10) y 2 t ; x0 , y0 , z 0 , x 0 , y 0 , z0 ; z t ; x , y , z , x , y , z . 3 0 0 0 0 0 0 (5.10) tenglamalar nuqtaning berilgan boshlang`ich holatdan berilgan boshlang`ich tezlik bilan sodir bo`ladigan harakat tenglamalarini ifodalaydi. 122 Nazorat savollari. 1.Dinamikaning asosiy qonunlari qanday ta’riflanadi? 2.Kuch va massa nima? Ularning o`lchov birliklarini aytib bering. 3.Nuqta harakatining differensial tenglamalari qanday tuziladi? 4.Tezlanish nima? Uning o`lchov birligi qanday ifodalanadi? 5.Nuqta dinamikasining birinchi masalasi nima deydi? 6.Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasini ta’riflang. Xulosa Dinamika nazariy mexanikaning eng asosiy qismi bo`lib, moddiy jismlarning (umuman mexanik sistemaning ) harakatini o`rganadi; Dinamikaning asosiy qonuni Nyutonning ikkinchi qonuni hisoblanadi; Nuqta dinamikasining ikkita asosiy masalalari bor; Nuqta harakatining differensial tenglamalari harakatdagi nuqtaning koordinatalarini ta`sir etuvchi kuch bilan bog`laydi. Harakatning birinchi integrallarini aniqlash masalasi mexanikaning asosiy masalalaridan biridir. 123 Erkin moddiy nuqta dinamikasi. 11- mavzu 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Mavzu rejasi Ma’ruza (axborotli dars) 1. Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati . 2. Gorizontga burchak ostida otilgan jismning qarshiliksiz muhitdagi harakati. 3. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi harakati. O`quv mashg`ulotning maqsadi Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli va egri chiziqli harakati haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati To`g`ri chiziqli harakat va uning dinamik haqida tushuncha berish. xarakteristikasi haqidagi tushunchaga ega. Gorizontga qiya qilib otilgan jismning harakati haqida tushuncha berish. Gorizontga qiya otilgan jismning harakati haqida bilimga ega, uni amaliyotga qo`llay oladi. Nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi Jismning bir jinsli og`irlik maydonidagi muhitdagi erkin harakati to`g`risida erkin harakati haqida tushunchaga ega. tushuncha berish. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi, aqliy hujum. O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “ Erkin moddiy nuqta dinamikasi ” mavzusining texnologik xaritasi. 124 Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini bosqich aytadi. Mavzuga 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) kirish 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 125 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhakama qiladilar. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 11-Ma’ruza Erkin moddiy nuqta dinamikasi. Reja: 1. Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati. 2. Gorizontga burchak ostida otilgan jismning harakati. 3. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi harakati. Adabiyotlar: [1],350-367 sah, [7], 3-17 sah, [8], 2-14 sah. Tayanch iboralar: Moddiy nuqta, absolyut qattiq jism, massa, og`irlik, to`g`ri chiziqli harakat, egri chiziqli harakat, trayektoriya muhit qarshiligi, parabolik trayektoriya, xavfsizlik trayektoriyasi. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Moddiy nuqta deb nimaga aytiladi? 2. A.Q.J. deb nimaga aytiladi? 3. Massa nima? Og`irlik nima? Ular orasida qanday bog`lanish bor? 4. Trayektoriya deb nimaga aytildi? 5. Dinamikaning asosiy qonuni qanday ta’riflanadi? 126 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Moddiy nuqta. 2 Absolyut qattiq jism (a.q.j.). 3 Massa. 4 Og`irlik. 5 Erkin tushish tezlanishi. 6 Trayektoriya, parabolik trayektoriya. 7 Xavfsizlik parabolasi. 8 Dinamikaning asosiy tenglamasi. 9 Nuqta harakatining differensial tenglamalari. 10 To`g`ri chiziqli harakat. 11 Egri chiziqli harakat. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 127 Belgi 1. Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati. Faraz qilaylik moddiy nuqta to`g`ri chiziq bo`ylab harakatlansin. Nuqta harakatlanuvchi to`giri chiziqni x o`qi deb olamiz, u holda nuqtaning butun harakati davomida y z 0 bo`ladi. (4.2) tenglamaga asosan kuchning y va z o`qlaridgi proyeksiyalari aynan nolga teng bo`ladi, ya`ni Fy 0, Fz 0. (6.1) Demak nuqta to`g`ri chiziqli harakatda bo`lsa, unga ta`sir etuvchi kuchning ta`sir chizig`i hamma vaqt harakat to`g`ri chizig`i bilan ustma-ust tushadi. Lekin (6.1) shart harakatning to`g`ri chiziqli bo`lishi uchun yetarli emas. Masalan nuqta bir jinsli og`irlik kuchlari maydonida harakatlaganda, unga ta`sir etuvchi kuch hamma vaqt vertikal yo`nalishga ega, ya`ni Fx 0, Fz 0 lekin nuqta parabola bo`ylab harakatlanadi. Erkin moddiy nuqtaning harakati to`g`ri chiziqli bo`lishi uchun unga ta`sir etuvchi kuchning yo`nalishi o`zgarmas va uning boshlang`ich tezligi kuch bo`ylab yo`nalgan yoki nolga teng bo`lishi zarur va etarli Faraz qilaylik nuqta x o`qi bo`ylab harakatlansin, u holda. y z 0 va y z 0 Demak nuqtaning tezligi hamma vaqt x o`qi bo`ylab yo`nalgan va nuqtaning boshlang`ich tezligi ham x o`qi bo`ylab bo`ladi y z 0 bo`lgani uchun (4.2) tenglamalardan Fy Fz 0, demak nuqtaga ta`sir etuvchi kuch x o`qi bo`ylab yo`nalgan. Endi etarliligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik nuqtaga ta`sir etuvchi kuch x o`qi bo`ylab yo`nalgan bo`lsin. U holda harakat tenglamalaridan y 0, z 0 bundan y c1 , z c 2 . Agar nuqtaning boshlang`ich tezligi x o`qi bo`ylab yo`nalgan bo`lsa, y 0 c1 0, z 0 0 . natijada y 0, z 0. bundan y c3 , z c4 agar boshlang`ich paytda nuqta x o`qining ustida bo`lsa, y0 c3 0 z 0 c4 0 va demak y 0, z 0 bundan esa nuqtaning proyektoriyasi x o`qi bo`lmish kelib chiqadi. 1. Moddiy nuqtaning faqat vaqtdan bog`liq bo’lgan kuch ta`siridan to`g`ri chiziqli harakati. Bu holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi mx FX t yoki (6.2) dx dt (6.2) tenglamani bir marta integrallaymiz: 1 x S Fx t dt C1 . m X 128 Bu tenglamani ya`na bir marta integrallab, nuqtaning harakat tenglamasini topamiz, ya`ni 1 x S SFx t dt dt C1t C 2 , (6.3) m Bu yerda C1 ,C 2 lar boshlang`ich shartlardan topiladi. 2. Moddiy nuqtaning faqat holatdan bog`liq bo’lgan kuch ta`siridagi to`g`ri chiziqli harakati. Bu holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi. mx Fx x (6.4) ko’rinishda bo’ladi. d d dx d x dt dx dt dx ni etiborga olib (6.4) tenglamani quyidagi ko`rinishda yozamiz: 1 d Fx x dx. m Buni integrllaymiz: 2 2 S Fx x dx C1 , m bundan, 2 S Fx x dx C1 , m yoki, dx 2 dx Fx x dx dt . S dt m 2 SFx x dx C1 m Bundan dx t S C2 . 2 SFx x dx C1 m Bu tenglamani x ga nisbatan echib, x ni vaqtni va integrallash o`zgarmaslarini funksiya ko`rinihida topamiz ya`ni, x t , c1c2 (6.5) 3. Moddiy nuqtaning faqat tezlikdan bog`liq bo`lgan kuch ta`siridagi to`g`ri chiziqli harakati. Bu holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: mx Fx x (6.6) d d 1 x, x ni etiborga olib, (6.6) tenglamani dt dt Fx m ko`rinishda yozamiz. Oxirgi tenglamadan: 129 d 1 S F C1 m t. (6.7) x Bu tenglamani x ga nisbatan yechib, ya`na bir marta integrallaymiz, natijada quyidagi tenglamani hosil qilamiz: x S f t , c1 dt C 2 . (6.8) Agar (6.7) tenglamani x ga nisbatan yechish mumkin bo’lmasa, oddiy differensial tenglamalar kursidan ma`lum bo`lgan metodlar bilan integrallash kerak. 4. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi erkin tushishi. H y Og`irliga P ga teng moddiy nuqtaning. Yer sirtidan (gorizontal tekislikdan) H balandlikdan qarshiliksiz muhitda erkin tushishini qaraymiz. Nuqtaning boshlang`ich holatini koordinatalar boshi deb olib, u o`qini vertikal pastga yo`naltiramiz (2-shakl). Agar nuqtaning boshlang`ich tezlig nolga teng bo`lsa, u holda boshlang`inch shartlar quyidagicha bo`ladi: O t o; y 0 0, y 0 0, (6.9) Bu to`g`ri chiziqli harakatning differensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi: M my p mg y g , Bu yerda g erkin tushish tezlanishi. P Yuqoridagi tengalamani ikki marta integrallaymiz: 2 y gt C1 , y g t C1t C2 (6.10) 2 y 2-shakl Bu tenglamalarga (6.9) boshlang`ich shartlarni qo’yib, C1 va C 2 larni topamiz, ya`ni C1 0, C 2 0. C1 va C 2 larni topilgan qiymatlarini (6.10) tenglamarga qo`yamiz: y gt , (6.11) Y gt 2 / 2 (6.12) Moddiy nuqtaning (6.11) va (6.12) tenglamalar bilan aniqlangan erkin tushish qonunini birinchi bo`lib Galiley tajriba yo`li bilan topgan. Nuqtaning harakat vaqti t H gat eng bo`lsin, ya`ni t t H bo`lsin. U holda (6.11) va (6.12) tenglamalardan: tH 2H , g H 2 gH (6.13) 2. Gorizontga burchak ostiga otilgan jismning qarshiliksiz muhitdagi harakati. Gorizontga biror burchak ostida 0 boshlang`ich tezlik bilan otilgan jismning qarshiliksiz muhitdagi harakatini qaraymiz. 130 Koordinata boshini nuqtaning boshlang`ich holatiga joylashtirib, x o`qini gorizont bo`ylab o`ng tomonga, y o`qini vertikal bo`ylab yuqoriga o`naltiramiz (3-shakl). Nuqta Oxy vertikal tekislikda harakatlanadi. Boshlang`ich shartlar quyidagicha bo`ladi: y t 0; x0 0, y 0 0, x 0 0 x 0 cos , 0 y 0 0 y 0 sm . (7.1) O P M1 M 3-shakl x Moddiy nuqta bir jinsli og`irlik kuchlari maydonida harakatlanadi. Nuqtaning harakat differensial tenglamalarini, (4.2) tenglamalarni tuzamiz x Fix 0, my Fiy mg m i i Bu tenglamalarning ikkala tomonini m ga bo`lib, quyidagi tenglamalarni hosil qilamiz: x 0, y g . (7.2) tenglamalarni vaqt bo`yicha ikki marta itegrallaymiz: x C1 , y gt C 2 ; gt z x C1t C3, y C2 t C 4 . . 2 (7.1) boshlang`ich shartlarni (7.3) tenglamalarga qo`yib, o`zgarmaslarni topamiz, ya`ni C1 0 cos , C 2 0 sin , C3 0 , C 4 0 . Natijada: x 0 cos , x 0 t cos ; y 0 sin gt , y 0 t sin gt 2 / 2. (7.3) Ci i 1,2,3,4. (7.4) (7.5) (7.4) tenglamalardan ko`rinib turibtiki, nuqta tezligining x o`qidagi proyeksiyasi o`zgarmas, ko`chish esa chiziqli qonun bilan, ya`ni tekis harakat qonuni bilan o`zgarar ekan. (7.5) tenglamalardan shuni aytish mumkinki nuqta tezligining y o`qidagi proyeksiyasi chiziqli qonun bilan ko`chishi esa tekis o`zgaruvchi harakat qonuni bilan sodir bolar ekan. Jism yuqoriga harakatlanganda uning tezligi bilan erkin tushishi tezlanishi qarama-qarshi yo`nalganligi uchun harakat sekinlanuvchan, pastga qarab harakatlaganda nuqta tezligi va erkin tushishi tezlanishi bir xil yo`nalganligi uchun harakat tezlanuvchan bo`ladi. x 0 t cos , y 0 t sin gt 2 / 2. Tenglamalardan vaqt t ni yo’qotib, traektoriya tenglamasini topamiz: 2 y xtg gx 2 / 2 0 cos 2 . (7.6) 131 (7.6) tenglamadan ko’rinib turibdiki nuqtaning harakat trayektoriyasi shoxlari pastga qaragan paraboladan iborat bo’kar ekan. Endi jismning uchish uzoqligini, eng katta ko’tarilish balandligini va uchish vaqtini topamiz: Nuqta yerga tushganda x o`qini ustida, ya`ni M nuqtada bo`ladi va y M 0 . Buni (7.5) tenglamalarini ikkinchisiga qo`yib hosil bo`lgan. 0 t sin gt 2 / 2 0 tenglamadan t ni topamiz. t1 0, t M 2 0 sin / g . t1 0, nuqtaning boshlang`ich holatiga, t M nuqtaning yerga tushgan holatiga mos keladi. t M ning topilgan qiymatini (7.4) tenglamalarni ikkinchisiga qo`yib, uchish masofasini topamiz: 2 0 L x M 0 cos 2 0 sin / 2 sin 2 . (7.7) 2 (7.7) formuladan ko’rinib turibtiki nuqtaning uchish uzoqligi 0 boshlang`ich tezlik o`zgarmaganda otish buchagi dan bog`liq bo`lar ekan. Nuqtaning eng katta uchish uzoqligi sin 2 1 holiga mos keladi, bundan 45 . Demak garizontga 45 burchak ostida otilganda eng katta uzoqlikka uchar ekan. Endi nuqtaning ko`tarilish balandligini topamiz. Nuqta eng katta balandlikka ko`tarilganda, ya`ni M 1 holatda tezlikning y o`qdagi proeksiyasi nolga teng bo`ladi ya`ni. 1 y Y1 0 sin gt1 0, Bundan: t1 0 sin / g . t1 ning bu qiymatini (7.5) tenglamalarni ikkinchisiga qo`yib, nuqtaning ko`tarilish balandligini topamiz: 2 0 H Y1 sin 2 2g Nuqtaning eng katta ko`tarilish balandligi sin 1 ga mos keladi, bundan 90 . Demak otish burchagi 90 . Bo’lganda 0 boshlang`ich tezlik bilan otilgan jism eng katta balandlikka ko`tarilar ekan. 3. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi tushishi. Og`irligi ga teng bo`lgan jismning (moddiy nuqta) qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi tushishini qaraymiz. M nuqta og`irlik va qarshilik kuchi ta`siridan tushishini qaraymiz. O nuqtani koordinatalar boshi deb y o`qini vertikal pastga (4-shakl). U holda boshlang`ich shartlar qo`ydagicha bo`ladi: 132 t 0; y 0 0, y 0 0, (8.1) Muhitning qarshilik kuchi jismning o`lchamlariga va shakliga, muhitning xossalariga va jismning tezligiga bog`liq. Tajribalar shuni ko`rsatdiki kichik tezliklar uchun muhitning qarshilik kuchini tezlikning birinchi darajasiga proporsional deb olish mumkin. Tovish tezligiga yaqin tezliklar uchun qarshilik kuchini tezlikning kvadratiga proporsional deb olish mumkin. Tovish tezligidan yuqori tezliklar uchun muhitning qarshilik kuchi murakkab xaraktrda bo`ladi. Ayrodinamikada muhitning qarshilik kuchi 1 R C x SV 2 2 ko`rinishda olinadi. -havoning zichligi, S -jismning uning tezligiga perpendikulyar tekislikdagi proyeksiyasining yuzi, C X - jismning shakliga bog`liq bo`lgan o`lchovsiz koeffisient. Tovish tezligidan kichik tezliklar uchun C X koeffisientini o`zgarmas deb olish mumkin. Jismning og`irlik va muhitning qarshilik kuchlari ta`sirida pastga tushishida qarshilik kuchini tezlikning birinchi darajasiga proporsional deb O olish mumkin, ya`ni y R R , (8.2) Bu yerda -proporsional koeffisienti. M Jisnmning Oy o`qiga nisbatan harakat differensial tenglamasini tuzamiz: y P R mg mk , m bu yerda mk deb olingan.Yuqoridagi tenglamadan. P 4-shakl y Y g k tengalamani hosil qilamiz: dy y , Y dt larni e`tiborga olib, yuqoridagi tenglamani quyidagi ko`rinishda yozamiz. d d g k dt. dz g k Bu tenglamani integrallaymiz: ln g k kt C1. Boshlang`ich shartlardan foydalanib C1 o`zgarmasni topamiz, ya`ni C1 ln g . Buni yuqoridagi tenglamaga qo`yamiz, natijada: g k kt. ln g 133 Bu tenglamadan tezlikni topamiz, ya`ni g 1 e kt (8.3) k g t bunda e kt 0, demak jismning tushish tezligi o`sib g / k ga k intiladi, ya`ni k g / k. Bundan shunday xulosa qilish mumkinki, ma`lum vaqtdan keyin nuqta tekis harakat qila boshlaydi. Tezlik k g / k bo`lganida qarshilik kuchi jismning og`irlik kuchiga teng bo`ladi, ya`ni R mk k mkg / k P. (8.3) tenglamani quyidagi ko`rinishda yozib olamiz: dy g g 1 e kt yoki dy 1 e kt dt. dt k k bundan: g g t 2 e kt C 2 k k Boshlang`ich shartlardan foydalanib, C 2 ni topamiz, ya`ni C2 g / k 2 . C 2 ning topilgan qiymatini yuqoridagi tenglamaga qo`yib, nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi harakat tenglamasini topamiz: g g y t 2 1 e kt . (8.4) k k y Nazorat savollari. 1. Moddiy nuqta deb nimaga aytiladi? 134 2. Massa nima? Og`irlik nima? 3. Erkin tushish tezlanishi nimaga teng. 4. Dinamikaning asosiy tenglamasi qanday yoziladi? 5. Nuqta harakatining differensiyal tenglamalari qanday yoziladi? 6. To`g`ri chiziqli harakat deb qanday harakatga aytiladi? 7. Egri chiziqli harakat nima? 8. Xavfsizlik parabolasi deb nimaga aytiladi? Xulosa Erkin moddiy nuqta dinamikasi mexanikaning asosiy bo`limlardan biri hisoblanadi va uning amaliyotdagi o`rni katta ahamiyatga ega. Dinamikaning asosiy tenglamasi I.Nyutonning ikkinchi qonunidir. Harakatning differensial tenglamalari yordamida moddiy nuqtaning dinamik xarakteristikalarini aniqlash mumkin. Xavfsizlik parabolasi tushunchasi ballistikaning asosiy tushunchalaridan biridir. 135 Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari. 12- mavzu 1.1.Mavzusining texnologik modeli. O`quv soati -2 soat Talabalar soni: 50 ta O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) 4. Nuqta harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema. Mavzu rejasi 5. Nuqta harakat miqdori momentini o`zgarishi haqidagi teorema. 6. Kuchning ishi. Kuch maydoni. Potensial enersiya. 7. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema. O`quv mashg`ulotning Moddiy nuqta dinamikasining umumiy teoremalari va maqsadi ularning nazariy mexanikada tutgan o`rni haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning harakat miqdori, harakat Nuqtaning harakat miqdori, harakat miqdorining momenti va kinetik miqdorining momenti, kinetik energiyasi energiyasi haqida tushuncha berish. haqidagi tushunchalarni eslab qoladilar. Nuqta dinamikasining umumiy Nuqta dinamikasining uchta umumiy teoremalari haqida tushuncha berish. teoremalarini yodlab qoladi. Kuchning ishi, kuch maydoni, Kuchning ishi, kuch funksiyasi, kuch maydoni, potensial va kinetik energiya haqida potensial va kinetik energiyalar, to`la energiya, tushuncha berish. energiyaning saqlanish qonuni haqida bilimga ega. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi, aqliy hujum. O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 136 1.2. “ Erkin moddiy nuqta dinamikasi ” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. bosqich 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) (20min) 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 33.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi bosqich xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha Yakun olingan bilimlarni qayerda ishlatish lovchi mumkinligi ma’lum qiladi. (10min) 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 12-Ma’ruza Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari. Reja: 137 1. Nuqta harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema. 2. Nuqta harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teorema. 3. Kuchning ishi. Kuch maydoni. Potensial energiya. 4. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema. Adabiyotlar: [1],324-350 sah, [5], 352-420 sah. Tayanch iboralar: Moddiy nuqta, nuqtaning harakat miqdori, nuqta harakat miqdorining momenti, nuqtanik kinetik energiyasi, kuch maydoni, kuch funksiyasi, potensial energiya, kinetik energiya. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Nuqtaning harakat miqdori deb nimaga aytiladi? 2. Nuqta harakat miqdorining momenti deb nimaga aytiladi? 3. Potensial energiya, kinetik energiya ta’rifini bering. 4. Kuch funksiyasi nima? Potensialli kuch maydoni nima? 5. To`la energiya nimaga teng? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 138 № Asosiy tushunchalar 1 Moddiy nuqta. 2 Moddiy nuqtaning harakat miqdori. 3 Moddiy nuqtaning harakat miqdorining momenti. 4 Nuqtaning kinetik energiyasi. 5 Kuchning elementar va to`la ishi. 6 Potensialli kuch maydoni. 7 Potensial energiya. 8 To`la energiya. Energiyaning saqlanish qonuni. 9 Nuqta harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema. 10 Nuqta harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teorema. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema. 11 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 12-Mavzu. Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari. 139 Belgi Ushbu bobda nuqta dinamikasining umumiy teoremalari: harakat miqdori, harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teorema. Kuchning ishi, kuch maydoni, potensialli kuch, kinetik energiyaning o’zgarishi haqidagi teorema va energiya integrali tushunchalari o’rganiladi. Dinamikaning umumiy teoremalaridan asosiy qonuning (ikkinchi qonun) natijasi sifatida hosil qilinadi. Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning xarakteriga qarab ko’p hollarda bu teoremalar yordamida harakatning birinchi integrallarini hosil qilish mumkin. 1. Nuqta harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. Moddiy nuqta, massa, kuch tezlik, tezlanish, harakat miqdori,harakat miqdori momenti, kuchning ishi, quvvat, kinetika va potensial energiya. Nuqtaning massasi bilan tezligining ko’paytmasi m ga nuqta harakat miqdori deyiladi. Nuqta tezligi vektor kattalik bo’lgani uchun uning harakat miqdori ham vektor kattalik hisoblanadi. Dinamikaning asosiy tenglamasini olamiz: (14.1) mw F Bu yerda m nuqta massasi, w - tezlanishi, F - unga ta’sir etuvchi kuch. Nuqtaning massasi o’zgarmas miqdor va w d t bo’lgani uchun (14.1) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: d m F , dt bundan d m F dt . (14.2) Kuchning elementar vaqt oralig’iga ko’payitmasiga kuchning elementar imnulsi deyiladi. (14.2) tenglama nuqta harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremaning differensial ko’rinishini ifodalaydi. Teorema. Moddiy nuqta harakat miqdorining defferensial unga ta’sir etuvchi kuchning elementar impulsiga teng. Endi moddiy nuqtaning harakatini chekli vaqt oralig’ida qaraymiz. Nuqtaning t 0 paytdagi tezligi 0 ixtiyoriy t paytdagi tezligi bo’lsin. (14.2) tenglamaning ikkala tomonini o; t vaqt oralig’ida integrallaymiz: t m m0 S Fdt , yoki m m0 S , 0 Bu yerda t S S Fdt (14.3) 0 140 S miqdorga nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning o; t vaqt oralig’idagi to’la impulsi deyiladi. (14.3) tenglama nuqta harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremaning chekli ko’rinishi yoki integral ko’rinishini ifodalaydi. Teorema. Nuqta harakat miqdorining chekli vaqt oralig’ida o’zgarishi, nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning shu vaqt oralig’idagi to’la impulsi deyiladi. Moddiy nuqtaning harakatini dekart koordinatalar sistemasida qaraymiz. U holda r xi yj zk ; xi yj zk ; F FX i Fy j Fz k , bu yerda x, y, z -nuqtaning koordinatalari, x , y , z -nuqta tezligining proyeksiyalari, Fx , Fy , Fz -kuchning proyeksiyalari, i , j , k -koordinata o’qlarining birlik vektorlari. (14.3)tenglamaning dekart koordinatalar sistemasi o’qlariga proyeksiyalab, uchta skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: t t 0 0 mx mx0 S FX dt ; my my 0 S FY dt ; t mz mz0 S Fz dt , (14.4) 0 Bu yerda X 0 , Y0 , Z 0 va X , Y , Z - nuqta tezligi proyeksiyalarining mos ravishda boshlang’ich va keyingi paytlardagi qiymati. Biz bilamizki nuqtaga ta’sir etuvchi F kuch nuqta koordinatalarining tezligining va vaqtining funksiyasi bo’lishi mumkin, ya’ni F F x, y, z , x, y , z; t Agar nuqtaga ta’sir etuvchi F kuch faqat vaqt t ning funksiyasi bo’lsa, (14.4) tenglamalarning o’ng tomonidagi integrallarni hisoblash mumkin va bu tenglamalardan birinchi integrallarni hosil qilish mumkin, ya’ni mx mx 0 S1 t ; my my 0 S 2 t ; mz mz 0 S 3 t (14.5) Bu yerda t S1 t S FX dt , t t 0 0 S 2 t S FY dt , S 3 t S FZ dt , 0 (14.5) tenglamalarni ya’na bir marta integrallab, nuqtaning harakat tenglamalarini hosil qilish mumkin: 1 t 1 t X X 0 X 0 t S S1 t dt Y Y0 Y0 t S S 2 t dt m 0 m 0 t 1 Z Z 0 Z 0 t S S 3 t dt . m 0 Bu yerda X 0 , Y0 , Z 0 nuqtaning t 0 boshlang’ich paytdagi koordinatalari. Agar kuch juda kichik vaqt oraligida ta’sir etsa, u holda (14.3) dan m m0 S Fdt. t Integralning o’rta qiymati haqidagi teoremaga asosan: * yoki F dt F S 0 141 1 F * S Fdt 0 Bunga asosan yuqoridagi tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: m m 0 F * Faraz qilaylikcheksiz kichik vaqt oralig’ida harakat miqdori chekli miq dorga o’zgarsin F * miqdor chekli bo’lishi uchun cheksiz kichik bo’lganda F * cheksiz katta bo’lishi zarur: demak cheksiz katta kuch nuqtaning harakat miqdorini cheksiz kichik vaqt oralig’ida chekli miqdorga o’zgartirar ekan. Bunday kuchga zarbali kuch deyiladi. Moddiy nuqta harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema ba’zi hollarda harakatning birinchi integralini, ya’ni tenglamaning tartibini bitaga pasaytiradi. 1) nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning teng ta’sir etuvchisi nolga teng bo’lsin, ya’ni F 0 u holda (14.2)yenglamadan quyidagi tenglikni hosil qilamiz: (14.6) C Tezlikning nolga tengligidan uning proyeksiyalari nolga tengligi kelib chiqadi, ya’ni X C1 , Y C 2 , Z C3 , (14.7) Demak erkin moddiy nuqtaga hej qanday kuch ta’sir etmasa, Y to’g’ri chiziqli tekis harakat qiladi yoki o’z ipersiyasi bilan harakatlanadi. 1)Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning yo’nalishi o’zgarmas bo’lsin. Z o’qini kuch yo’nalishiga paralel qilib olamiz, u holda FX 0, FY 0, va (14.2) tenglamadan quyidagi ikkita birinchi integral hosil bo’ladi. X C1 , Y C 2 (14.8) (14.8) integrallar shuni bildiradiki, bu holda nuqtaning traektoriyasi Z o’qiga paralel yoki ta’sir etuvchi kuchga paralel tekislikda yotuvchi egri chiziqdan iborat bo’ladi. Haqiqatan ham (14.8) tengliklardan: C1Y c2 x yoki C1Y c2 x 0 Bundan C1Y C 2 X Const (14.9) tenglama Z o’qiga shuningdek ta’sir etvchi kuchga paralel tekisliklikning tenglamasini ifodalaydi. 142 2. Nuqta harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teorema. Dinamikaning asosiy tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozamiz: d m F, (15.1) dt bu yerda F - nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning teng ta’sir etuvchisi. (15.1) tenglamaning quyidagicha almashtiramiz: ikkala tomonini d d d dr r xm r xm xm r xm , (15.2) dt dt dt dt bu yerda dr xm xm 0 chunki 0. d Natijada (15.2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: d r xm r F dt z M (15.3) tenglikka kiruvchi r x m miqdor nuqta harakat miqdorining markazga nisbatan momenti, O r F miqdor nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning o’sha m F markazga nisbatan momenti. r (15.3) tenglik nuqta harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teoremani y O ifodalaydi. 35-shakl Teorema. Biror markazga nisbatan nuqta x harakat miqdori momentidan vaqt bo’yicha olingan hosila nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning o’sha markazga nisbatan momentiga teng. Moddiy nuqtaning koordinatalari yoki r vektorning proeksiyalari x, y , z; tezlikning proyeksiyalari x x , Y y z z va ta’sir etuvchi kuchning proyeksiyalari FX , FY , FZ lardan foydalanib, (15.3) tenglikni koordinata o’qlariga proyeksiyalasak, uchta skalyar tenglamalarga ega bo’lamiz: d m yz zy yFZ zFY mom x F ; dt d m zx xz zFX xFX mom y F ; (15.4) dt d m xy yx xFyY yFx mom x F dt Endi ba’zi xususiy hollarni qaraymiz: 1.faraz qilaylik nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar teng ta’sir etuvchisining biror O markazga nisbatan momenti nolga teng bo’lsin, ya’ni n r xF mom 0 Fi 0. bunday hol nuqtaga ta’sir etuvchi kuch 0 1 143 yoki F 0 yoki F kuch markaziy bo’lganda o’rinli bo’ladi. Kuchning ta’sir chizig’i hamma vaqt bitta O nuqtadan o’taversa, bunday kuchga markaziy kuch deyiladi. O nuqtaga kuch markazi deyiladi. Bu holda kuch markaziga nisbatan (15.3) dan quyidagini hosil qilamiz: d r xm 0 dt bundan (15.5) r xm c onst Demak nuqtaga ta’sir etuvchi kuch markaziy bo’lsa, kuch markaziga nisbatan nuqta harakat miqdorining momenti o’zgarmas bo’lar ekan. (15.5) tenglamaning ikkala tomonini m ga bo’lib quyidagi ko’rinishda yozamiz: r c, (15.6) c -o’zgarmas vektor. (15.6) tenglikni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: yz zy c1 , (15.6) zx xz c2 , xy yx c , 3 Shunday qilib, nuqtaga ta’sir etuvchi kuch markaziy bo’lsa, harakat miqdori teoremasi nuqta harakat tenglamalarining bitta vektor ko’rinishdagi yoki uchta skalyar ko’rinishdagi birinchi integrallarini berar ekan. Vektorlar algebrasidan bizga ma’lumki r vektor r va vektorlar orqali o’tuvchi tekislikka perpendikulyar. r vektor o’zgarmas demak r va vektorlar hamma vaqt bitta tekislikda yotadi. Bundan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar nuqtaga ta’sir etuvchi kuch markaziy bo’lsa, nuqtaning harakat trayektoriyasi tekis egri chiziqdan iborat bo’lar ekan. Bu tasdiqni boshqacha ham isbot qilish mumkin. (15.6) tenglamalarning ikkala tomonini mos ravishda x, y, z larga ko’paytirib qo’shamiz, natijada quyidagi munosabatni hosil qilamiz: C1 x C2 y C3 z 0. Bu tenglama kuch markazi O nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasini ifodalaydi. x, y, z lar nuqtaning koordinatalari, demak nuqta traektoriyasi tekis egri chiziqdan iborat. Kinametika kursidan bizga ma’lumki tezlikning momenti ikkilangan sentorial tezlikka teng, ya’ni d mom0 r 2 c Const (15.7) dt (15.7) tenglamani integrallaymiz: c t 0. 2 Demak nuqtaning radius- vektori chizgan sektor yuzasi vaqtga propersional ravishda o’zar ekan. Bu hodasa yuzalar qonunini ifodalaydi, yani nuqtaga ta’sir 144 etuvchi kuch markaziy bo’lsa, nuqtaning radius-vektori teng vaqtlar oralig’ida teng yuzlar chizar ekan. 2) nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar teng ta’sir etuvchisining biror o’qa nisbatan masalan x o’qiga nisbatan momenti nolga teng, ya’ni mom x F 0 (15.6) tenglamalarning birinchisidan y zy c1 (15.8) tenglamani hosil qilamiz. Bu holda kinetik moment teoremasi skalyar ko’rinishdagi bitta birinchi integralni beradi. Moddiy nuqta harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, yechiladigan masalalarga doir uslubiy tavsiyalar. Harakat miqdori momentidan foydalanib, masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1.Tegishli koordinatalar sistemasi tanlanadi. 2.Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar (aktiv va passiv) shaklda tasvirlab olinadi. 3. Anuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning tegishli o’qlarga nisbatan momentlari yig’indisi topiladi. 4.Harakat miqdorining kordinata o’qlariga nisbatan momentlari topiladi. 5.Topilgan miqdorlar (15.4) tenglamalarga qo’yilib skalyar tenglamalar sistemasi hosil qilinadi. 6. Hosil qilingan tenglamalar sistemasidan so’ralgan noma’lumlar toiladi. 7.Agar nuqtaga ta’sir etuvchi kuch markaziy bo’lsa, (15.6) tenglamalardan foydalaniladi. 8. Ta’sir etuvchi kuchning biror o’qqa nisbatan momenti nolga teng bo’lsa, (15.8) tenglamadan foydalaniladi. 3. Kuchning ishi. Kuch maydoni. Potensial energiya. Kuch, massa, tezlik, tezlashish, kinetik va potensial energiya, to’la mexanik energiya. 1. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi F kuchning moduli ham yo’nalishi o’zagaruvchi bo’lishi mumkin. Moddiy nuqta ixtiyoriy F kuch ta’siridan C egri chiziq bo’ylab 1 holatdan 2 holatga ko’chsin (38- shakl). 1 2 yoyni n ta ixtiyoriy bo’lakchalarga ajratamiz. Ixtiyoriy k bo’lakchaning uzunligini S k bilan belgilaymiz. n etarlicha katta bo’lganda S k yoyni to’g’ri chiziqli kesmasi bilan almashtirish mumkin. Nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab ko`chganda unga ta’sir etuvchi F kuchning bajargan ishi quyidagicha hisoblanadi. (38a-shakl). d Ak Fk S k Cos k , 145 (16.1) Bu yerda - ko`chish bilan kuch orasidagi burchak. Bu tenglikni skalyar ko`payitma ko`rinishida ham yozish mumkin. Fk MK a) M dk M k 1 M2 dr C dk F M C M S k b) M1 F B c) B 38-shakl Moddiy nuqtaning 1 2 ko`chishda unga ta’sir etuvchi F kuchning bajargan ishi Fk S k Cos elementar ishlar yig`indisiga teng ya`ni n A1, 2 Fk S k Cos k . k 1 Bo`lakchalarning soni cheksiz oshganda ularning uzunliklari cheksiz kamayadi deb bajarilgan ishning aniq qiymatini yuqoridagi tenglikda o`tib topamiz, ya`ni n A1, 2 Fk S k Cos k . Lim n k 1 S k 0 Yuqoridagi munosabat 1 2 yoy bo`yicha olingan integralni ifodalaydi va quyidagicha yoziladi: A1,2 S FCosdS. (16.3) 12 Nuqtaga ta`sir etuvchi F kuchning cheksiz ko`chishda bajargan ishiga elementar ish deyiladi va quyidagicha yoziladi: 4. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema. 1. Nuqta massasi bilan uning tezligi kvadrati ko`payitmasi yarmiga nuqtaning kinetik energiyasi deyiladi. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishini qaraymiz. Buning uchun dinamikaning asosiy tenglamasini olamiz 146 d m F, dt bu erda F - nuqtaga ta`sir etuvchi hamma kuchlarning teng ta`sir etuvchisi, m nuqtaning massasi. Bu tenglikning ikkala tarafini dr ga skalyar ko`paytiramiz, ya`ni d m dr F dr d A. (17.1) dt (17.1) tenglikning o`n tomoni F kuchning d A elementar ishini ifodalaydi, chap tomoning ko`rinishini o`zgartiramiz: m 2 d dr . m dr m d m d d dt dt 2 Bularga asosan (17.1) tenglik quyidagi ko`rinishga keladi: m 2 d A F dr . (17.2) d 2 (17.2) tenglik kinetik energiya bilan elementar ish orasidagi differensial bog`lanishni ifodalaydi yoki nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremaning differensial ko`rinishini ifodalaydi: Teorema. Nuqta kinetik energiyasining differensiali nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning elementar ishiga teng. (17.2) tenglikning ikkala tomonini dt ga bo`lib, (16.10) va (16.11) ifodalarni etiborga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: d m 2 N, (17.3) dt 2 ya`ni nuqta kinetik energiyasining hosilasi nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning quvvatiga teng. Endi nuqtaning chekli ko`chishida uning kinetik energiyasining o`zgarishini qaraymiz. Nuqta boshlang`ich t t 0 paytda 0 holatda bo`lib, tezligi 0 bo`lsin, ixtiyoriy t paytda holatga ko`chib, tezligi bo`lsin (44-shakl). U holda (17.2) tenglikning chap tomonidan 0 , , o`ng tomonini F M 0 ko`chish bo`yiga integrallaymiz, natijada 2 m 2 m 0 (17.4) S F dr 2 2 0 0 M0 yoki 44-shakl 2 m 2 m0 A . (17.5) 2 2 0 (17.5) nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremani chekli yoki integral ko`rinishini ifodalaydi. 147 Teorema. Nuqtaning bir holatdan boshqa holatga ko`chishida kinetik energiyasining o`zgarishi unga ta`sir etuvchi kuchning ko`chishda bajargan to`la ishiga teng. 2. Energiya integrali. Nuqtaga ta`sir etuvchi hamma kuchlar potensialli bo`lsin, u holda teng ta`sir etuvchi kuchning elementar ishi F dr du d bo`ladi va (17.2) tenglik quyidagi ko`rinishga keladi m 2 d, d 2 bundan (17.6) 2 m x , y , z h, 2 bu yerda h integrallash o`zgarmasi va u boshlang`ich shartlardan topiladi, ya`ni 2 m0 h x0 , y 0 , z 0 , (17.7) 2 ya`ni h o`zgarmas nuqtaning boshlang`ich to`la mexanik energiyasiga teng. (17.6) integral nuqtaga ta`sir etuvchi kuchlar faqat potensialli bo`lgan holdagina o`rinli. Agar nuqtaga ta`sir etuvchi kuchlardan bittasi potensialli bo`lmasa ham (17.6) tenglik bajarilmaydi. Masalan, qarshilik kuchi to`la mexanik energiyaga qanday ta`sir ko`rsatishini qaraymiz. Faraz qilaylik moddiy nuqtaga potensialli kuchlar bilan birga Fk qarshilik kuchi ham ta`sir etsin. Potensialli kuchlarning bajargan ishi d ga teng, Fk kuchining bajargan ishi Fk dr ga teng. U holda (17.2) tenglik quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi: m 2 d Fk dr . d 2 Bundan d m 2 Fk1 . dt 2 Qarshilik kuchi bilan nuqtaning tezligi M orasidagi burchak 180 ga teng shuning uchun Fk Fk1Cos180 Fk. F Fk Natijada 45-shakl d m 2 (17.8) Fk1 0 dt 2 To`la energiyaning vaqt bo`yicha hosilasi manfiy, demak qarshilik kuchi ta`siridan nuqtaning to`la mexanik energiyasi kamayadi yoki energiyaning sochilishi sodir bo`ladi. Qarshilik kuchining quvvati Fk Fk1 to`la mexanik energiyaning kamayishini xarakterlaydi. Agar qarshilik kuchining moduli bx (chiziqli qavushqoq) bo`lsa 148 bx 2 2 Fk1 bx 2 . 2 bx 2 bo`ladi. miqdorga Releyning diesinativ funksiyasi deyiladi va energiyaning 2 sochilish o`lchovini bildiradi. Nazorat savollari 1. Moddiy nuqta va uning massasi tushunchalarini ta’riflang. 2. Nuqtaning harakat miqdori deb nimaga aytiladi? 3. Nuqta harakat miqdorining momenti nimaga teng? 4. Nuqtaning kinetik energiyasi deb nimaga aytiladi? 5. Kuchning elementlar va to`la ishi nimaga teng? 6. Potensiyalli kuch maydoni ta’rifini bering? 7. Potensiyal energiya deb nimaga aytiladi? 8. To`la energiya nimaga teng? 9. Nuqta harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremani ta’riflang? 10. Nuqta kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema qanday yoziladi? 11. Nuqta harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teorema nima deydi? Xulosa Moddiy nuqtaning harakat miqdori, harakat miqdorining momenti, kinetik energiyasi tushunchalari mexanikaning asosiy tishinchalaridir. Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari Nyutonning ikkinchi qonunidan kelib chiqadi. Potensiyalli kuch maydonida nuqtaning to`la mexanik energiyasi o`zgarmasdir. 149 Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli tebranma harakati. 13- Mavzu O’quv soati – 2 soat O’quv mashg’ulot shakli Mavzu rejasi Talabalar soni: 50 ta Ma’ruza (axborotli dars) 1. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar va tebranma harakat turlari. 2. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranishi. 3. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi erkin tebranishi. 4. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. O`quv mashg`ulotning Moddiy nuqtaning garmonik tebranma harakati, maqsadi so`nuvchi tebranma harakati va majburiy tebranma harakatlari haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning garmonik tebranma Garmonik tebranma harakat haqida harakati haqida tushuncha berish. tushunchaga ega. Nuqtaning so`nuvchi tebranma Nuqtaning so`nuvchi tebranma harakati harakati haqida tushuncha berish. tushunchasini eslab qoladi. Nuqtaning majburiy tebranma Nuqtaning majburiy tebranma harakati harakati haqida mufassal ma’lunot haqida bilimga ega va uni amaliyotga berish. qo`llay oladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “ Moddiy nuqtaning tebranma harakati ” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 150 Tingloichi faoliyatining Mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. bosqich 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) (20min) 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 151 Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 13-Ma’ruza Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli tebranma harakati. Reja: 1. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar va tebranma harakat turlari. 2. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranishi. 3. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi erkin tebranishi. 4. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. Adabiyotlar: [1],359-378 sah, [5], 283-302 sah. [7], 3-bob. Tayanch iboralar: Qaytaruvchi kuch, markaziy kuch , bikrlik koeffitsiyenti,tebranishlar fazasi, takrorlik, doiraviy chastota, faza, tebranish dekrementi, xos tebranishlar, majburiy tebranishlar. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Qaytaruvchi kuch deb nimaga aytiladi? 2. Garmonik tebranma harakat deb nimaga aytiladi? 3. Tebranishlar fazasi deb nimani tushunasiz? 4. Tebranishlar amplitudasi nima? 5. Tebranishlar davri nima? 6. Rezonans hodisasi qachon ro`y beradi? 152 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar 1 Moddiy nuqta. 2 Markaziy kuch. 3 Qaytaruvchi kuch. 4 Garmonik tebranma harakat. 5 Tebranishlar amplitudasi. 6 Tebranishlar chastotasi. 7 Doiraviy chastota, faza. 8 Tebranishlar davri. 9 Tebranma harakat grafigi. 10 So`nuvchi tebranma harakat. 11 Tebranishlar dekrementi. 12 Uyg`otuvchi kuch. 13 Rezonans hodisasi. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 153 Belgi 13-Mavzu. Moddiy nuqtaning to’g’ri chiziqli tebranma harakati. Bu bobda moddiy nuqtaning to’g’richiziqli tebranma harakatlari qaraladi: moddiy nuqtaning qarshiliksiz va qarshilik ko’rsatuvchi muhitdagi erkin va majburiy tebranishlari 1. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar va tebranma harakat turlari Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlardan muhim ahamiyatga ega bo’lgan kuch bu nuqtaning hamma vaqt muvozanat holatiga qaytaruvchi kuch hisoblanadi. Bu kuchga tiklovchi kuch deyiladi. Elastalik kuchlari bunga misol bo’ladi. Tiklovchi kuch nuqtaning muvozanat holatdan og’ishiga bog’liq, ya’ni nuqtaning holatiga bog’liq va hamma vaqt muvozanatni aniqlovchi nuqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi. Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlardan yana bir turi, nuqtaning tezligiga bog’liq bo’lgan kuch, bu kuchga qarshilik kuchi deyiladi. Bunday kuchlarga havoning qarshilik kuchi, sirtning ishqalanish kuchi va h.k. lar kiradi. Yana bir tur kuchlarga nuqtaga tashqaridan ta’sir etuvchi va vaqtning funksiyasi bo’lgan kuchlar kiradi. Bu kuch nuqtani muvozanat holatdan chiqarishga harakat qiladi, shuning uchin ham bu kuchga uyg’otuvchi kuch yoki majburlovchi kuch deyiladi. Bu bobda yuqorida bayon qilingan kuchlar yoki ularning birgalikdagi ta’sir natijasida hosil bo’ladigan tebranishlar o’rganiladi. Agar nuqtaning tebranishi faqat tiklovchi kuch ta’siridan sodir bo’lsa, bunday tebranishga erkin tebranish deyiladi. Nuqtaning tebranishi tiklovchi va qarshilik kuchlari ta’sieridan hosil bo’lsa, bunday tebranishga erkin so’ruvchi tebranish deyiladi. Nuqtaning tebranishi tiklovchi va uyg’otuvchi kuchlar tasiridan hosil bo’lsa, bunday tebranishga qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranish deyiladi. Agar nuqtaga tilovchi va uyg’otuvchi kuchlar bilan birga qarshilik kuchi ham ta’ir etayotgan bo’lsa, nuqtaning bundy holdagi harkatiga qarshilik ko’rsatuvchi muhitdagi majburiy tebranish deyiladi. 2. Nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi erkin tebralishi. Moddiy nuqta faqat tiklovchi kuch ta`siridan M O F harakatlansa, uning bunday harakatiga erkin (garmonik) x x tebranma harakat deyiladi (12-shakl).Biz tiklovchi kuchning masofaning chiziqli funksiyasi, ya`ni 12-shakl masofaga propersional bo’lgan holini qarash bilan chegaralanamiz. Tiklovchi kuchning x o’qidagi proeksiyasi quyidagicha bo’ladi. Fx CX , (11.1 Bu yerda c -propersionallik koeffisienti. Nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: mx cx 154 C / m k 2 belgilashni kiritib, yuqoridagi tenglamni quyidagi ko’rinishda yozamiz: x k 2 x 0 (11.2) (11.2) tenglama moddiy nuqtaning tiklovchi kuch ta’siridagi harakat differensial tenglamasini yoki erkin tebranma harakat differensial tenglamasini ifodalaydi. (11.2) tenglamaning umumiy yechimi. x C1Coskt C 2 Sinkt (11.3) Ko’rinishda bo’ladi. k (11.2) tenglamaning 2 k 2 0 xarakteristik tenglamasining ildizlari. C1, C 2, lar integrallash o’zgarmaslari. (11.3) yechimni boshqacha ko’rinishda ham ta’svirlash mumkin: X aSin(kt ), (11.4) Bu yerda: C 2 a C1 C22 , tg 1 . (11.5) C2 a va yoki integrallash o`zgarmaslari nuqtaning boshlang`ich holati va boshlang`ich tezligi, ya`ni boshlang`ich shartlardan topiladi. (11.4) tenglamadan ko`rinib turibdiki nuqtaning tiklovchi kuch ta`siridagi sinus oida da (yoki kosinus oida ) qonuni bilan sodir bo`lar ekan. Bunday harakatga erkin tebranma harakat, yoki garmonil tebranma harakat deyiladi. kt argumentga tebranish fazasi, ga boshlang`ich faza deyiladi. k nuqtaning 2 davrdagi tebranishlar sonini ifodalaydi, unga tebranishning doiraviy chastotasi deyiladi. k tebranish chastotasi boshlang`ich shartlardan bog`liq emas. Faqat sistema parametlari bilan aniqlanadi. Shu bois bazan k ga sistemaning xususiy chastotasi ham deyiladi. Tebranish amplitudasi va boshlang`ich fazasi boshlang`ich shartlardan topiladi. Nuqtaning boshlang`ich paytdagi holati va boshlang`ich tezligi berilgan bo`lsin, ya`ni t 0, x x0 , x x 0 , (11.6) (11.4) dan nuqtaning tezligini topamiz: x akCos (kt ) (11.7) (11.6) boshlang`ich shartlarni (11.5) va (11.7) tenglamalarga qo`yamiz: x0 aSin x 0 akCos Bulardan: 2 kx x0 2 tg 0 (11.8) a x0 2 , X 0 k Sinus 2 davrli davriy funksiya bo’lgani uchun (11.4) dan. 2 m x k t T kt 2t T 2 . (11.9) T k c a x0 T ga tebranish davri deyiladi. Demak tebranish davri boshlang`ich shartlardan bog`liq ekan. Tebranishning bu a t xossasiga izoxron izoxronlik xodisasi deyiladi. Quyida bir nechta masalalar qaraymiz: 155 13shakl 1- masala. Massasi m bo`lgan yuk vertikal prujinaga osilgan (14shakl). Yukning og`irlik kuchi va tiklovchi kuch (prujinaning elastnlik kuchi)lari ta`siridan hosil bo`ladigan harakat differensial tenglamasi tuzilsin. Yechish. Yuk osilgan prujinaning uzunligini l0 bilan belgilaymiz. Prujinaga yukni osib sekin qo`ysak prujina ma`lum masofaga cho’zilib to`xtaydi, bu cho`zilishga prujinaning statik cho`zilishi yoki yukning sitatik ta`siridan cho`zilishi deyiladi. Bu deformatsiyani ct bilan. Yukning bu holatiga uning muvozanat holati deyiladi. Koordinatalar boshini yukning muvozanat holatida olib, x o’qini vertikal pastga yo`naltiramiz. Guk qonuniga asosan uncha katta bo`lmagan ko’chishlar uchun elastiklik kuchi prujinaning A defermatsiyasi / ct x / ga teng deb olish mumkin, shuning uchun. 0 F C / ct x /, bu yerda ct - statik deformatsiya, x -dinamik ta`sir tufayli hosil bo`ladigan deformatsiya. c propersionallik koeffiensiyenti, unga O1 prujinaning bikirligi, deyiladi. Elastiklik kuchining x o`qidagi proyeksiyasi Fx c ct x ga teng. Yukning harakat O F differensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi. x mx mg F ct F H . F ct -elastiklik kuchining statik deformatsiya holatidagi qiymati mg ct mg - og`irlik kuch muvozanatlashadi, ya`ni mg F 0, F H cx. Natijada yuqoridagi tenglama quyidagi ko`rinishga 14-shakl x keladi: mx cx yoki x k 2 x 0, bu yerda k 2 s / m Agar koordinatalar boshini O1 nuqtani olsak Fx cx bo`ladi va nuqtaning harakat difererensial tenglamasi. mx mg cx yoki x k 2 x g , ko’rinishda bo’ladi. Agar koordinatalar boshini qo`zg`almas A nuqtada olsak Fx c ( x l0 ) bo’ladi va nuqtaning harakat differensial tenglamasi. mx mg c x l0 yoki x k 2 x g k 2l 0 Koordinatalar sistemasini qulay qilib tanlash masalaning yechilishini ancha osonlashtiradi. 2-Masala. Massasi 2kg bo`lgan jism silliq gorizontal tekislikda harakatlanadi. Prujinaning bir uchi qo`zg`almas qilib mahxamlangan. Boshlang`ich paytda jism muvozanat holatdan 2 sm ga o`ng tomonga siljitib 30 sm / c boshlang`ich tezlik H bilan qoyib yuborilgan. Prujinaning bikirlik koeferisienti 2 . Prujina massasini sm hisobga olmay, jismning keyingi harakat tenglamasi topilsin. 156 N x a) b) x F M O x mg 15-shakl Yechish. Koordinatalar boshini yukni muvozanat holati O nuqtada olib, x o’qini gorizont bo`ylab o`ng tomonga yo`naltiramiz. U holda boshlang`ich shartlar quyidagicha bo`ladi. t 0, x0 2 sm, x 0 30 sm / c (a) Nuqtaga ta`sir etuvchi kuchlar: F - elastiklik kuchi, mg - og`irlik kuchi, N tekislikning normal reaksiyasi. Tekislik gorizontal bo`lgani uchun N mg 0. Elastiklik kuchning x o`qidagi proeksiyasi Fx cx. Nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi: c (b) mx cx yoki x k 2 x 0, k 2 . m (b) tenglamaning umumiy yechimi x C1Coskt C2 Sinkt . Bu tenglamadan: x kC1 Sinkt kC2 Coskt. M CM c 2 1 1 100 10 . (g) m 2kg c c (a) boshlang`ich shartlarni (b) va (g) tenglamalarga qo`yib, C1, va C2, larni topamiz : sm 2 sm C1 , 30 kC2 C1 2 sm, C2 3sm c Bularni (b) tenglamaga qo`yib nuqtaning harakat tenglamasini topamiz: x 2Cos10t 3Sin10 13Sin 10t . k Tebranish amplitudasi a 13 3,6 sm, 2 tg 3330. 3 3-masala. Massasi 5kg bo`lgan jism vertikal bilan 30 li burchak tashkil qiluvchi qiya tekislikda turgan jismga bekirligi C 98 H / M bo`lgan prujina birik-tirilgan. Prujina tekislikka paralel. Boshlang`ich paytda jism cho`zilmagan prujina uchiga ulanib unga qiya tekislik bo`ylab pastga yo`nalgan Tebranishning boshlang`ich fazasi 157 0 6,2m / s boshlan-g`ich tezlik berilgan bo`lsa, jismning harakat tenglamasi topilsin. Koordinatalar boshi yukning statik muvozanat holatida olinsin (16-shakl). Qiya tekislik silliq deb olinsin, ya`ni ishqalanish kuchi hisobga olinmasin. 0 N W b) a) P2 x F O M P1 P 16-shakl Yechish. Koordinatalar sistemasi va nuqtaga ta`sir etuvchi kuchlar 16bshaklda tasvirlangan. 16b-shaklga hisob sixemasi deyiladi. 16b -shaklda tasvir-langan N va P kuchlar muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi, ya`ni N P1 0 . Natijada qolgan kuchlarning x o`qidagi proyeksiyalari: Px P2 mgSin , Fx cl ct cx, Px cl ct 0. Nuqtaning harakat differensial tenglamasi: mx cx yoki x k 2 x 0, Bu yerda: c 98H / M 1 1 k2 19,5 2 , k 4,42 . c m 5kg c Boshlang`ich shartlar: t 0; x0 l ct 0,5M , x 0 6,2 m / s (a) tenglamaning umumiy yechimi: x ACoskt BSinkt, x kASinkt BkCoskt. (a) (b) (v) (g) (v) boshlang`ich shartlarni (g) tenglamalatga qo`yib, A va B larni topamiz: A 5 M M /c 5 A 6,2 6,2M / c B 1,44 M . 1 k 6,2 M / c Bk 4,42 c A va B larni topilgan qiymatlarini (g) tenglamalarning birinchisiga qo’yib, nuqtaning harakat tenglamasinini topamiz: 158 X 1,44 Sin 4,42t 5Cos 4,42t M . 4-masala (I.V.Metcherskiy 32.4). Bir -biriga paralel qo`shilgan ikkita prujinaga osilgan m massali yukning erkin tebranishlari davri va bu ikkala prujinaga envivalent bo`lgan prujinaning bikirleng koedisienti topilsin. Yuk shunday joylashganki, bikirlik koefunsientlar c1 va c2 bo`lgan ikkala prujina ham bir xil uzunlikka cho`zildi (17-shakl). Yechish. Yuk ta`sir etuvchi kuchlar: prujinalarning elastcheklik kuchlari F1 , F2 va og`irlik kuchi P. C1 a) F1 C2 d1 b) d2 F O d1 x Q F2 d2 P2 17-shakl Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatida olib, x o`qini vertikal pastga yo`naltiramiz. Hisob sxemasi 17b - shaklda ta`svirlangan. Ikkita prujinaga ekvavalent prujinaning bikirligni c bilan belgilaymiz va ekastiklik kuchini F bilan belgilaymiz. U holda F F1 F2 , P F ct 0. F ct Cl ct . Ikkala prujina ham bir xil masofaga cho`zilgani uchun F ct c1 Lct c1 c2 l ct ikkinchi tomondan F ct Cl ct Bullardan c c1 c2 . Ikki parallel kuchning teng ta`sir etuvchisini qo`yilish nuqtasi quyidagi proporsiyadan topiladi: cl cl F1 F2 c d 1 ct 2 ct 1 2 . d 2 d1 d2 d1 c 2 d1 Xususiy tebranish chastotasi: c c2 m , k 1 , tebranish davri T 2 c1 c2 m Ekvivalent prujinaning bikirligi c c1 c2 . 3. Nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi erkin tebranishi 159 Moddiy nuqtaning masofaga proporsional bo`lgan F tiklovchi kuch va nuqta tezligiga bog`liq bo`lgan qarshilik kuchlari ta`siridagi harakatini qaraymiz. Muhitning qarshilik kuchini nuqta tezligiga proporsional va tezlikka qarama-qarshi yo`nalgan deb olamiz, ya`ni R (18-shakl). O R F M Koordinatalar boshi O nuqtani yukning x x muvozanat holatida olib, x o`qini trayektoriya bo`ylab yo`naltiramiz. 18-shakl Tiklovchi kuchning dinamik qiymati: F c x. Bu holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: mx cx x, yoki x 2 h x k 2 x 0, (11.1) bu yerda c 2h , k2 . m m (11.1) tenglama moddiy nuqtaning qarshilik va tiklovchi kuchlar ta`siridagi harakat differensial tenglamasini ifodalaydi. (11.1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi va uning ildizlari quyidagicha bo`ladi: 2 2h k 2 0, 1 h h 2 k 2 , 2 h h 2 k 2 . (11.2) c miqdor nuqtaning xususiy tebranish chastotasi muhitning m qarshilik koerdisiendan katta bo`lsin, ya`ni k n . U holda h 2 k 2 0, bo`ladi. k12 k 2 h 2 belgilashni kiritsak, xarakteristik tenglamaning ildizlari. 1 h ik1 , 2 h ik1 Ko`rinishda bo`ladi. Bu holda (11.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: x e ht C1Cosk1t C 2 Sink1t , (11.3) yoki x ae ht Sin k1t . (11.4) C1 va C 2 yoki a, va integrallash o`zgarmaslari boshlang`ich shartlardan topiladi. Boshlang`ich shartlar t 0; x x0 , 0 x 0 (11.5) Ko`rinishda berilgan bo`lsin. (11.4) dan vaqt bo`yicha bir marta hosila olamiz: x ea ht hSin (k1t k1Cos (k1t ) . (11.6) (11.5) boshlang`ich shartlarni (11.4) va (11.6) tenglamalarga qo`yamiz: k 160 x0 aSin x 0 hx0 2 2 (11.7) A x0 , k1 x 0 h Sin k1a Cos x0 k1 tg . (11.8) x 0 hx0 (11.4) formuladan ko`rinib turibdiki moddiy nuqtaning harakati davriy takrorlanuvchi harakat, ya`ni tebranma harakatdan iborat bo`ladi. Vaqtning ixtiyoriy paytida x ae ht tengsizlik o`rinli, ya`ni x koordinata x o`qiga nisbatan simmetrik bo`lgan x ae ht va x ae ht egri chiziqlar orasida bo`lar ekan. ae ht ga tebranish amplitudasi deyiladi. Tebranish amplitudasi vaqt o`tishi bilan cheksiz kamayadi. Bunday ko`rinishdagi tebranishga so`nuvchi tebranish deyiladi. (19-shakl). k1 k 2 h 2 (11.9) ga so`nuvchi tebranish chastotasi deyiladi. Nuqtaning bir tomonga qarab ketma-ket ikki marta og`ishlari orasidagi o`tgan davrga tebranish davri deyiladi. So`nuvchi tebranish davri 2 2 T1 . (11.10) 2 2 k1 k h Buni boshqacha ko`rinishda ham tasvirlash mumkin: 2 T (11.11) T1 , 2 2 k 1 h / k 1 h / k bu yerda T 2 / k xususiy tebranish davri. Moddiy nuqtaning muvozanat holatdan ketma- x T2 T1 ket og`ishlari ketma-ketligi Ai ni qaraymiz. x0 Ai ae hti Sin kti , A i 1 ae h ( t i T1 / 2 ) . x ae ht O h ( t i T1 / 2 ) Ai 1 ae (11.12) e hT1 / 2 . hti x ae ht Ai ae Ai 1 / Ai nisbat o`zgarmas va birdan kichik ti 19-shakl bo`lgani uchun Ai amplitudalar ketma-ketligi maxraj d 5e hT1 / 2 ga teng bo`lgan kamatuvchi geometrik progressiyani tashkil qilar ekan. hT1 / 2 . d e miqdorga tebranish dekrementi deyiladi. D ln d hT1 / 2 miqdorga logariflik dekrement deyiladi. 2- hol. Muhitning qarshilik koeffisiyenti, xususiy tebranish chastodasidan katta bo`lsin ya`ni h k . Bu holda xarakteristik tenglamaning ikkala ildizi ham haqiqiy manfiy bo`ladi, ya`ni 161 t 2 h h 2 k 2 , 1 h h 2 k 2 , Bu holda (11.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko`rinishda bo`ladi. * * x e ht Ae k t e k t , (11.13) Bu yerda k * h 2 k 2 , (11.13) yechishni boshqacha ko`rinishda yozish ham mumkin x e ht C1Cosk *t C 2 Sink *t , (11.14) bu yerda C1 C2 C C2 , B 1 , 2 2 A va B larni quyidagi ko`rinishda A aSin , B aCos almashtirib (11.14) yechimni quyidagicha ko`rinishda ham tasvirlash mumkin: x ae ht Sink *t (11.15) (11.15) tenglamadan ko`rinib turibdiki bu holda nuqtaning harakati tebranma bo`lmaydi, chunki giperbolik sinus davriy funksiya emas. Boshlang`ich tezlikning yo`nalishiga qarab, nuqtaning harakati 20-rasmlarda tasvirlangan egri A x a) x0 O x 0 x b) x0 0 x x Boshlangich tezlik yetarlicha katta bo’lgan hol x0 c t O O t Boshlang’ich tezlik kichik bo’lgan hol t 20-shakl chiziqlarning bari bo`yicha sodir bo`ladi. 3-hol. Muhitning ishqalanish koeffisienti xususiy tebranish chastotasiga teng bo`lsin, ya`ni h k . Bu holda xarakteristik tenglamaning ildizlari. 1 2 h . Bo`ladi. (11.1) tenglamaning umumiy yechimi x e ht C1t C 2 (11.16) Ko`rinishda bo`ladi. (11.16) dan nuqtaning tezligini topamiz: x he ht C1t C 2 e ht C1 (11.17) (11.15) boshlang`ich shartlarni (11.16) va (11.17) tenglamalarga qo`yib, C1 va C 2 larni topamiz, ya`ni C2 x0 , C1 x 0 hx0 . Bularni (11.16) ga qo`yib, nuqtaning berilgan boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi harakat tenglamasini topamiz: 162 x e ht x0 x0 hx0 t . (11.18) (11.18) yechimdan ko`rinib turibdiki nuqtaning harakati bu holda ham davriy bo`lmaydi, ya`ni nuqta o`zining muvozanat holatiga asimptotik ravishda intiladi. Quyida moddiy nuqtaning so`nuvchi tebranma harakatiga doir bir nechta masalalar qaraymiz. 5- masala (I.V.Metcherskiy 32.66). Massasi 5kg bo`lgan jism bikirlik koeffisienti 2 kH / m ga teng prujinaga osilgan. Muhitning qarshilik kuchi tezlikka proporsional. To`rt marta tebranishdan keyin amplituda 12-marta kichraydi. Yukni cho`zilmagan prujina uchiga ilib, boshlang`ich tezliksiz qo`yib yuborilgan bo`lsa, jismning harakat tenglamasi topilsin. Yechish. Masalaning shartiga ko`ra: T0 12. Tb hT Maxraji e ga teng bo`lgan geometrik propressiyaning n - hadini topish formulasiga asosan: hT A8 A0 e 2 8 hT 8 A0 e 2 Bundan A A hT hT 8 Lu 8 8 Lu 0 Lu12, 2 A0 2 A8 bundan hT ln 12 0,31 2 8 (11.10) formulaga asosan: 2 T k 2 h2 (a) va (b) formulalardan: 0,622 h2 T 0,62 . h (b) 2 4 2 0,62 k 2 2 2 h 2 , 2 k h2 4 0,62 c 2000 H / M 1 k 400 2 , m 5kg c 2 Bularga asosan. (a) (a) 1 h 2 1,97 . c formuladan tebranish davri. T 0 , 315 c . 163 4 2 39,44. Tebranishning logarifmik dekrementi: hT d 0,31. 2 Endi so`nuvchi tebranish chastotasini topamiz: 1 k1 k 2 h 2 400 3,82 19,9 . c (11. 3) formuladan foydalanib, so`nuvchi tebranma harakat tenglamasini yozamiz: x e 1,97 t ACos k1t BSin k1t . (b) Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatiga olamiz. U holda boshlang`ich shartlar quyidagicha bo`ladi: t 0; x0 ct , x 0 0. mg 5kg 9,8 M / c 2 ct 2,45cm. (g) c 2000H / M (b) dan vaqt bo`yicha hosila olamiz: x 1,97e 1,97 t ACos k1t BSin k1t e 1,97t k1 A Sin k1t k1 B Cos k1 t . (d) (g) boshlang`ich shartlarni (v) va (d) tenglamalarga qo`yiib A va B larni topamiz: A 2,45cm 2,45eM A 1,97 A 0 1,97 A 19,9 B B 19,9 0,242cm. Bularni (b) tenglamaga qo`yib, yukning harakat tenglamasini topamiz, ya`ni X e 1,97t 2,45 Cos19, 9t 0,142 Sin19, 9 t cm. 6- masala (I.V.Metcherskiy 32. 74). Sharnir bilan O nuqtaga biriktirilgan sterjen uchidagi og`ir A nuqta kichik tebranishlarining differensial tenglamasi tuzilsin, shuningdek so`nuvchi tebranishlar chastotasi topilsin. Muhitning qarshilik kuchi tezlikning birinchi darajasiga proporsional, proporsionallik koefisiyenti . A nuqtaning og`irligi P prujinaning bikirlik koefisiyenti c , sterjen uzunligi , masofa OB b. Sterjening massasi, massasi hisobga olinmasin. Muvozanat holatida sterjen gorizontal joylashgan, koeffisientning qanday qiymatida operiodik bo`ladi (21a-shakl). y F a) b) b J R A B yB 21-shakl Yechish. Hisob sxemasi 21b -shaklda tasvirlangan. 164 y x yA yB b b yB y A , yA b y A , cb Elastiklik va qarshilik kuchlari: F cy B y A , b R y B y A . O nuqtaga nisbatan moment tenglamasini tuzamiz: p J bR bF 0, J my y g Natijada p b2 Cb 2 P b2 b2 y 2 y C 2 y 0 y y y 0 yoki g g (a) tenglamaning xarakteristik tenglamasi: b2 p 2 Cb 2 g b2 C g b2 2 0. C 0 yoki P 2 P g Xususiy tebranish chastotasi va ishqalanish koeffisientlari: 21b-shakldan: k2 cgb 2 , p 2 h y B cgb 2 . 2 p 2 (a) (b) (v) So`nuvchi tebranish chastotasi: 2 cgb 2 2 g 2 b 4 b cg g b k1 k h p 2 4 p 24 p 2 p 2 va 3 hollarga asosan h k bo`lganda harakat perepodik bo`ladi. (b) formulalarga asosan: 7 - masala (I. V. Metcherskiy 32. 68). 4,9 H kuch bilan 10 sm ga cho`ziladigan prujinaga osilgan va massasi 1,96kg bo`lgan jism harakat vaqtida tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo`lgan qarshilikka uchraydi va bu qarshilik 1M / c tezlikda 1/ 9,6 H ga teng. Boshlang`ich paytda prujina muvozanat holatidan 5cm ga cho`zilgan va jism boshlang`ich tezliksiz harakatga keltirilgan. Jismning harakat qonuni aniqlansin. Yechish. 4,9 H kuch prujinani 10 sm ga cho`zsa, 1sm cho`zish uchun 4,9 H H H 0,49 , ya’ni c 49 . 10cm cm M R , 1M / c bo’lganda R 1,96H kg M C kg 1 / 9,6 H 1M / c 1 / 9,6 2 ; 1 / 9,6 C M c Jismning harakat differensial tenglamasi 2 2 165 1 h h 2 k 2 , 2 h h 2 k 2 . kg c H M 19,6 1 C 49, 25 , k2 25, k 5. gm 2 19,6 kg c m 1,96 kg Xarakteristik tenglamaning ikkala ildizi ham bir xil va x1, 2 5. U holda nuqtaning harakat tenglamasi quyidagicha bo`ladi: x e 5t C1t C2 . (a) h x 5e 5t C1t C 2 ae 5t . (b) Boshlang`ich shartlar: t 0; x0 5cm, x 0 04. Bularni (a) va (b) tenglamalarga qo`yamiz: C 2 5cm; 5 C2 ; 0 5C 2 C1 C1 5C2 25cm. Natijada x e 5t 25t 5cm 5e 5t 5t 1cm. Harakat davriy bo`lmas ekan. 4. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. Massa, kuch, bikirlik, tezlik, tezlanish, ampletuda, tebranish chastotasi, tebranish davri, tebranish fazasi, rezonans, bieniya. Moddiy nuqtaning tiklovchi kuch va uyg`otuvchi kuchlar ta`siridagi harakatini qaraymiz. Uyg`otuvchi kuch umumiy holda vaqtning ixtiyoriy funksiyasi bo`lishi mumkin. Bu paragrafda uyg`otuvchi kuchning praktikada muhim ahamiyatga ega bo`lgan oddiy holini qarash bilan chegaralanamiz. Uyg`otuvchi kuch vaqtning garmonik funksiyasi ko`rinishida berilgan bo`lsin, ya`ni HSin pt . Uyg`otuvchi kuch amplitudasi, - uyg`otuvchi kuch chastotasi, boshlang`ich fazasi. Fx Cx, Qx H Sin p t . M Q F Nuqtaning harakat differensial tenglamasi O x x quyidagi ko`rinishda bo`ladi: x cx H Sin p t m 22-shakl yoki x k 2 x H 0 Sin pt , bu yerda (12.1) 166 c H H0 . , m M 12.1) tenglamaning umumiy yechimi unga mos x k 2 x 0 (12.2) Birjenili tenglamaning umumiy yechimi va (12.1) tenglamaning birorta xususiy yechimlari yig`indisiga teng. (12.2) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo`ladi: x1 aSin kt , (12.3) bu yerda a va lar integrallash o’zgarmaslari. (12.1) tenglamaning xususiy yechimini x2 ASin pt ko’rinishda axtaramiz. A noma’lum son. x2 va x2 larni (12.1) tenglamag qo’yib, A ni topamiz: Ap 2 Sin pt Ak 2 Sin pt H 0 Sin pt yoki k 2 p 2 ASin pt H 0 Sin pt . Bundan H A 2 0 2 . k p Natijada xususiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi: H x2 2 0 2 Sin pt . (12.4) k p Shunday qilib, (12.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda tasvirlanadi: H x aSinkt 2 0 2 Sin pt . (12.5) k p (12.5) tenglama ikkita garmonik tebranma yig’indisini ifodalaydi: k xususiy chastotali garmonik tebranma harakat va chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasiga teng bo’lgan garmonik tebranma harakatlar. a va lar boshlang’ich shartlardan topiladigan shartlar. Majburiy tebranish amplitudasi quyidagiga teng: H (12.6) A 2 0 2 . k p k2 Ikkita hol uchun (12.4) formulani (12.6) dan foydalanib, yozamiz: k p - xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasidan katta bo’lgan holda x2 ASin pt . ( k p ) k p - xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasidan kichik bo’lgan holda x2 ASin pt ASin pt . k p Bulardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: p k bo’lgan holda majburiy 167 tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasi bilan bir xil bo’ladi, p k bo’lgan holda majburiy tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasida masofaga siljigan bo’ladi: (12.6) formulani p / k almashtirib olib, quyidagi ko’rinishga keltiramiz: H xsT H (12.7) A 2 0 2 , k 1 c 1 2 1 2 bu yerda m xcT -nuqtaning muvozanat holatdan statik og’ishi, ya’ni nuqtaning c uyg’otuvchi kuch eng katta qiymatga ega bo’lgan paytdagi og’ishi quyidagi belgilashni kiritamiz: A 1 . x sT 1 2 - miqdorga dinamikning koeffisienti deyiladi. miqdor tebranish amplitudasining statik og’ishidan necha marta kattaligini aniqlaydi. 23-shaklda ning ga bog’liqlik grafigi tasvirlangan. Grafikdan ko’rinib turibdiki, p 1 bo’lganda dinamiklik koeffisiyenti tez k o’sib ketadi. (12.5) ning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha hosila olamiz: H x akCoskt 2 0 2 Cos pt . (12.8) k p Boshlang’ich shartlar t 0; x x0 , x x 0 . ko’rinishda berilgan bo’lsin. Berilgan boshlang’ich shartlarni (12.5) va (12.8) tenglamalarga qo’yamiz: H H0 aSin x0 2 0 2 Sin x0 aSin 2 Sin k k 2 (12.9) x H0 H0 aSin 0 Sin x0 aSin 2 Sin . k k (k 2 2 ) k 2 (12.5) yechimni quyidagi ko’rinishda yozamiz: x H H x x0Coskt 0 Sinkt 2 0 2 SinCoskt CosSinkt 2 0 2 Sin pt . k k p k k p x 2 P A * (t ) 0 t 1 2 Pk 0 24-shakl 1 168 23-shakl P/k H0 Sin Cos kt Cos Sin kt . qo`shiluvchi xususiy 2 k p k chastotali tebranishni ifodalaydi, demak hat x0 0 x 0 0. boshlang`ich shartlarda ham nuqta xususiy chastotali tebranishda ishtirok etar ekan. Bu tebranishlar amplitudasi boshlang`ich shartlardan bog`liq emas. Endi uyg`otuvchi kuch chastotasi xususiy chastotaga juda yaqin bo`lgan holni qaraymiz ( k ). U holda x0 0 va x 0 0. boshlang`ich shartlar uchun (12.10) (12.10) yechimdagi 2 yechimni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin ( / k 1, lekin k 2 2 0 ): H x 2 0 2 Sin pt Sinkt k yoki x2 H0 k k Sin tCos t , 2 k 2 2 2 (12.11) yechimda t 0; ya`ni k 2 (12.11) 2 4 , , … bo`lganda x0 0 . Bo`ladi, k k 2 , davr bilan nuqta o`zining muvozanat holatiga qaytadi. Uzunligi k 2 , ga teng bo`lgan vaqt oralig`ida tebranish o`sib kamayadi (24-shakl). k Bunday harakat--ga biyeniya hodisasi deyiladi. Biyeniya holida tebranish uyg`otuvchi kuch chas-totasi bilan sodir bo`ladi. Tebranish amplitudasi H k A* t 2 2 0 2 Sin t k 2 davriy ravishda sekin o`zgaradi (24-shakl). Endi xususiy tebranish chastotasi uyg`otuvchi kuch chastotasiga teng bo`lgan holni qaraymiz, ya`ni k . Bu holda (12.1) tenglamaning xususiy yechimini X AtSin pt (12.12) ko`rinishda axtaramiz. (12.12) yechimni (12.1) tenglamaga qo`yib, quyidagi munosabatni hosil qilamiz: 2 ACos pt H 0 Sin pt Quyidagicha belgilash kiritamiz: t p t , natijada 2 A Cos H 0 Sin , yoki 2 A Cos H 0 Sin Cos H 0Cos Sin . Bu tenglik H 0Cos 0, H 0 Sin 2 A 169 shartlarda ayniyatga aylanadi. Bunda Cos 0, A H 0 / 2 , 2. Shunday qilib H t x2 0 Cos pt . 2 (12.1) tenglamaning umumiy yechimi H 0t Cos pt 2 (12.13) majburiy tebranma harakat amplitudasi vaqtga nisbatan chiziqli qonun bilan cheksiz o`sadi (25shakl). Bunday hodisaga rezonais hodisasi deyiladi. Quyida nuqtaning majburiy tebranishiga doir Masalalar qaraymiz. 8- masala. Massasi m ga teng bo`lgan yuk bikirligi C ga teng bo`lgan prujinaning quyi B uchiga ilingan, prujinaning yuqori uchi A aSint qonuniga asosan ko`chadi (26-shakl). m 0,4kg , C 39,2 H / m, Sin 1 demak (12.13) X a Sin p t (12.14) x x H 0t 2P t O x H 0t 2P 25-shakl 7c 1 , a 2cm deb olib, yukning majburiy tebranishi aniqlansin. Yechish. Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatiga olamiz. U holda prujinaning dinamik defarmatsiyasi x aSin t ga teng bo`ladi. Prujinaning elastiklik kuchi quyidagiga teng bo`ladi: FX c x Sinpt . A O Statik muvozanat holatida prujinaning elastiklik kuchi yukning og`irlik kuchi bilan muvozanatlashadi, ya`ni x cT c mg 0, F -prujinaning statik defarmatsiyasi. Q CaSint M cT X Yukning harakat differensial tenglamasi quyidagi Q B ko`rinishda bo`ladi: x M mx cx caSint yoki 26-shakl 2 x k x H 0 Sint , (12.4) formulaga asosan yukning majburiy tebranishi quyidagicha bo`ladi: H0 Sint , 0. k2 2 Bunga berilganlarni qo`yamiz: x 170 H M H M H0 ca 39,2 2cm c 39,2 1 4cm, k 2 98 2 2 2 2 m(k ) m(k ) 0,4kg (98 49) 1 m 0,4kg c 2 c Natijada x 4 Sin 7tcm. 9-masala (I.V.Metcherskiy 32.8). Q cx tiklovchi kuch va F F0 e T kuch ta`sir etayotgan m massasi nuqtaning to`g`ri chiziqli harakatini, boshlang`ich paytda nuqta uzining muvozanat holatida teng turgan deb toping. Yechish. Nuqtaga ta`sir etayotgan kuchlar: F1 O M F F1 T elastiklik kuchi, F F0 e uyg'otuvchi kuch, mg x og`irlik kuchi. mg Kuchlarning x o’qidagi proeksiyalari: 27-shakl T F1 X cx , F1 F0 e , (mg ) X 0. Nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz: F mx cx F0 et yoki x K 2 x 0 e t . (a) m (a) tenglamaning umumiy yechimi X X 1 X 2 , ya’ni (a) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va (a) tenglamaning birorta xususiy yechimlari yig’indisidan iborat. x1 ACoskt BSinkt , (b) c bu yerda k 2 . Xususiy yechimni quyidagi ko’rinishda axtaramiz: m x2 Ce t x2 2Ce t . Buni (a) tenglamaga qo’yamiz: F F0 C K 2 2 e t 0 e t C . 2 m mk 2 Natijada F0 x2 e t . 2 2 mk (a) tenglamaning umumiy yechimi: F0 x ACoskt Sinkt e t . (v) 2 2 mk Boshlang’ich shartlar: t 0; x0 0 , x 0 0 x AkSinkt kCoskt F0 e t . 2 2 mk 171 Nazorat savollari 1. Markaziy kuch deb nimaga aytiladi? 2. Qaytaruvchi kuch deb qanaqa kuchga aytiladi? 3. Garmonik tebranma harakatni ta’riflang. 4. Garmonik tebranma harakatning differensiyal tenglamasi qanday ko`rinishda yoziladi? 5. Garmonik tebranma harakat qonuniqanday bo`ladi? 6. So`nuvchi tebranma harakatni ta’riflab bering. 7. Majburiy tebranma harakatning differensial tenglamasini yozib ko`rsating. 8. Rezonans deb nimaga aytiladi? Xulosa Qaytaruvchi kuch ta’siri ostida qarshiliksiz muhitda harakatlanuvchi nuqta garmonik tebranma harakatda bo`ladi. Garmonik tebranma harakatning davri amplitudaga bog`liq emas, shuning uchun bunday tebranma harakatga izoxron deyiladi. Muhitning qarshiligi mavjud holda tebranma harakat so`nuvchi bo`ladi. Nuqtaning xos tebranishlari chastotasi bilan uyg`otuvchi kuchning chastotasi o`zaro teng bo`lib qolsa, rezonans hodisasi ro`y beradi. 172 Rezonans rejimi jarayonida tebranishlar amplitudasi cheksiz o`sib boradi. 14- mavzu Nuqtaning majburiy tebranma harakati 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot Ma’ruza (axborotli dars) shakli Mavzu rejasi 1. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. 2. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi majburiy tebranma harakati O`quv mashg`ulotning Moddiy nuqtaning uyg`otuvchi kuch ta’siridagi majburiy maqsadi tebranma harakati va uning natijasida yuzaga keladigan rezonans hodisasi haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning majburiy tebranma Nuqtaning majburiy tebranma harakati harakati haqida tushuncha berish. haqida tushunchaga ega. Nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi Qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi muhitdagi majburiy tebranma majburiy tebranma harakat haqida harakati haqida tushuncha berish. tasavvurlari bor. Rezonans hodisasi mohiyatini Rezonans hodisasi haqida tasavvurga ega ochib berish. va uni eslab qoladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. 173 O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “Nuqtaning majburiy tebranma harakati” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 174 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 14-Ma’ruza Nuqtaning majburiy tebranma harakati . Reja: 1. Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. 2. Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi majburiy tebranma harakati. Adabiyotlar: [1],359-378 sah, [5], 283-302 sah. Tayanch iboralar: Markaziy kuch, qaytaruvchi kuch, uyg`otuvchi kuch, garmonik uyg`otuvchim kuch, xos tebranishlar, majburiy tebranishlar, tebranish amplitudasi, tebranish davri, rezonans. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball 175 Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Qaytaruvchi kuch deb nimaga aytiladi? 2. Uyg`otuvchi kuch deb qanaqa kuchga aytiladi? 3. Xos tebranishlar nima? 4. Majburiy tebranishlar deb nimaga aytiladi? 5. Rezonans hodisasi nima va u qachon yuzaga keladi Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Qaytaruvchi kuch. 2 Uyg`otuvchi kuch. 3 Nuqtaning xos tebranishlari. 4 Nuqtaning majburiy tebranishlari. 5 Majburiy tebranishlarning amplitudasi. 6 Majburiy tebranishlarning davri. 7 Garmonik uyg`otuvchi kuch. 8 Uyg`otuvchi kuchning chastotasi. 9 Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi. 10 Majburiy tebranishlarning qonuni. Insert jadvali qoidasi. 176 Belgi V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 14-Mavzu. Nuqtaning majburiy tebranma harakati. 1.Moddiy nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi majburiy tebranma harakati. Moddiy nuqtaning tiklovchi kuch va uyg`otuvchi kuchlar ta`siridagi hara-katini qaraymiz. Uyg`otuvchi kuch umumiy holda vaqtning ixtiyoriy funksiyasi bo`lishi mumkin. Bu paragrafda uyg`otuvchi kuchning praktikada muhim ahamiyatga ega bo`lgan oddiy holini qarash bilan chegaralanamiz. Uyg`otuvchi kuch vaqtning garmonik funksiyasi ko`rinishida berilgan bo`lsin, ya`ni HSin pt . Uyg`otuvchi kuch amplitudasi, - uyg`otuvchi kuch chastotasi, boshlang`ich fazasi. Fx Cx, Qx H Sin p t . M Q F Nuqtaning harakat differensial tenglamasi O x x quyidagi ko`rinishda bo`ladi: x cx H Sin p t m 22-shakl yoki x k 2 x H 0 Sin pt , (12.1) bu yerda c H H0 . k2 , m M 12.1) tenglamaning umumiy yechimi unga mos x k 2 x 0 (12.2) Birjenili tenglamaning umumiy yechimi va (12.1) tenglamaning birorta xususiy yechimlari yig`indisiga teng. (12.2) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo`ladi: x1 aSin kt , (12.3) bu yerda a va lar integrallash o’zgarmaslari. (12.1) tenglamaning xususiy yechimini x2 ASin pt 177 ko’rinishda axtaramiz. A noma’lum son. x2 va x2 larni (12.1) tenglamag qo’yib, A ni topamiz: Ap 2 Sin pt Ak 2 Sin pt H 0 Sin pt yoki k 2 p 2 ASin pt H 0 Sin pt . Bundan H A 2 0 2 . k p Natijada xususiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi: H0 Sin pt . (12.4) k p2 Shunday qilib, (12.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda tasvirlanadi: H x aSinkt 2 0 2 Sin pt . (12.5) k p (12.5) tenglama ikkita garmonik tebranma yig’indisini ifodalaydi: k xususiy chastotali garmonik tebranma harakat va chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasiga teng bo’lgan garmonik tebranma harakatlar. a va lar boshlang’ich shartlardan topiladigan shartlar. Majburiy tebranish amplitudasi quyidagiga teng: H (12.6) A 2 0 2 . k p x2 2 Ikkita hol uchun (12.4) formulani (12.6) dan foydalanib, yozamiz: k p - xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasidan katta bo’lgan holda x2 ASin pt . ( k p ) k p - xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasidan kichik bo’lgan holda x2 ASin pt ASin pt . k p Bulardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: p k bo’lgan holda majburiy tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasi bilan bir xil bo’ladi, p k bo’lgan holda majburiy tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasida masofaga siljigan bo’ladi: (12.6) formulani p / k almashtirib olib, quyidagi ko’rinishga keltiramiz: H xsT H (12.7) A 2 0 2 , k 1 c 1 2 1 2 bu yerda m xcT -nuqtaning muvozanat holatdan statik og’ishi, ya’ni nuqtaning c uyg’otuvchi kuch eng katta qiymatga ega bo’lgan paytdagi og’ishi quyidagi belgilashni kiritamiz: 178 A 1 . x sT 1 2 - miqdorga dinamikning koeffisienti deyiladi. miqdor tebranish amplitudasining statik og’ishidan necha marta kattaligini aniqlaydi. 23-shaklda ning ga bog’liqlik grafigi tasvirlangan. Grafikdan ko’rinib turibdiki, p 1 bo’lganda k dinamiklik koeffisiyenti tez o’sib ketadi. (12.5) ning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha hosila olamiz: x akCoskt 1 0 H0 Cos pt . k p2 2 1 P/k 23-shakl (12.8) Boshlang’ich shartlar t 0; x x0 , x x 0 . ko’rinishda berilgan bo’lsin. Berilgan boshlang’ich shartlarni (12.5) va (12.8) tenglamalarga qo’yamiz: H H0 aSin x0 2 0 2 Sin x0 aSin 2 Sin k k 2 (12.9) x H0 H0 aSin 0 Sin x0 aSin 2 Sin . k k (k 2 2 ) k 2 (12.5) yechimni quyidagi ko’rinishda yozamiz: x 0 H H Sinkt 2 0 2 SinCoskt CosSinkt 2 0 2 Sin pt . k k p k k p H (12.10) yechimdagi 2 0 2 Sin Cos kt Cos Sin kt . qo`shiluvchi xususiy k p k chastotali tebranishni ifodalaydi, demak hat x0 0 x 0 0. boshlang`ich shartlarda ham nuqta xususiy chastotali tebranishda ishtirok etar ekan. Bu tebranishlar amplitudasi boshlang`ich shartlardan bog`liq emas. Endi uyg`otuvchi kuch chastotasi xususiy chastotaga juda yaqin bo`lgan holni qaraymiz ( k ). U holda x0 0 va x 0 0. boshlang`ich shartlar uchun (12.10) x x0Coskt yechimni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin ( / k 1, lekin k 2 2 0 ): H x 2 0 2 Sin pt Sinkt k yoki H k k k x 2 2 0 2 Sin tCos t , (12.11) k 2 2 2 179 (12.11) yechimda t 0; 2 , k x 4 2 , … bo`lganda x0 0 . P k A * (t ) 2 Bo`ladi, ya`ni , davr bilan 0 k t nuqta o`zining muvozanat holatiga 2 qaytadi. Uzunligi , ga teng 2 k Pk bo`lgan vaqt oralig`ida tebranish o`sib 24-shakl kamayadi (24-shakl). Bunday harakat--ga biyeniya hodisasi deyiladi. Biyeniya holida tebranish uyg`otuvchi kuch chas-totasi bilan sodir bo`ladi. Tebranish amplitudasi H k A* t 2 2 0 2 Sin t k 2 davriy ravishda sekin o`zgaradi (24-shakl). Endi xususiy tebranish chastotasi uyg`otuvchi kuch chastotasiga teng bo`lgan holni qaraymiz, ya`ni k . Bu holda (12.1) tenglamaning xususiy yechimini X AtSin pt (12.12) ko`rinishda axtaramiz. (12.12) yechimni (12.1) tenglamaga qo`yib, quyidagi munosabatni hosil qilamiz: 2 ACos pt H 0 Sin pt Quyidagicha belgilash kiritamiz: t p t , natijada 2 A Cos H 0 Sin , yoki 2 A Cos H 0 Sin Cos H 0Cos Sin . Bu tenglik H 0Cos 0, H 0 Sin 2 A shartlarda ayniyatga aylanadi. Bunda Cos 0, Sin 1 demak A H 0 / 2 , 2. Shunday qilib H t x2 0 Cos pt . (12.13) 2 (12.1) tenglamaning umumiy yechimi H t X a Sin p t 0 Cos pt (12.14) 2 180 (12.13) majburiy tebranma harakat amplitudasi vaqtga nisbatan chiziqli qonun bilan cheksiz o`sadi (25shakl). Bunday hodisaga rezonais hodisasi deyiladi. Quyida nuqtaning majburiy tebranishiga doir Masalalar qaraymiz. 8- masala. Massasi m ga teng bo`lgan yuk bikirligi C ga teng bo`lgan prujinaning quyi B uchiga ilingan, prujinaning yuqori uchi A aSint qonuniga asosan ko`chadi (26-shakl). m 0,4kg , C 39,2 H / m, x x H 0t 2P t O x H 0t 2P 25-shakl 7c 1 , a 2cm deb olib, yukning majburiy tebranishi aniqlansin. Yechish. Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatiga olamiz. U holda prujinaning dinamik defarmatsiyasi x aSin t ga teng bo`ladi. Prujinaning elastiklik kuchi quyidagiga teng bo`ladi: FX c x Sinpt . A O Statik muvozanat holatida prujinaning elastiklik kuchi yukning og`irlik kuchi bilan muvozanatlashadi, ya`ni x cT c mg 0, F -prujinaning statik defarmatsiyasi. Q CaSint M X cT Yukning harakat differensial tenglamasi quyidagi Q B ko`rinishda bo`ladi: x M mx cx caSint yoki 26-shakl 2 x k x H 0 Sint , (12.4) formulaga asosan yukning majburiy tebranishi quyidagicha bo`ladi: H x 2 0 2 Sint , 0. k Bunga berilganlarni qo`yamiz: H M H M H0 ca 39,2 2cm c 39,2 1 4cm, k 2 98 2 2 2 2 m(k ) m(k ) 0,4kg (98 49) 1 m 0,4kg c 2 c Natijada x 4 Sin 7tcm. 9-masala (I.V.Metcherskiy 32.8). Q cx tiklovchi kuch va F F0 e T kuch ta`sir etayotgan m massasi nuqtaning to`g`ri chiziqli harakatini, boshlang`ich paytda nuqta uzining muvozanat holatida teng turgan deb toping. Yechish. Nuqtaga ta`sir etayotgan kuchlar: F1 O M F F1 elastiklik kuchi, F F0 e T uyg'otuvchi kuch, mg x og`irlik kuchi. mg Kuchlarning x o’qidagi proeksiyalari: 27-shakl 181 F1 X cx , F1 F0 e T , (mg ) X 0. Nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz: F mx cx F0 et yoki x K 2 x 0 e t . (a) m (b) tenglamaning umumiy yechimi X X 1 X 2 , ya’ni (a) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va (a) tenglamaning birorta xususiy yechimlari yig’indisidan iborat. x1 ACoskt BSinkt , (b) c bu yerda k 2 . Xususiy yechimni quyidagi ko’rinishda axtaramiz: m x2 Ce t x2 2Ce t . Buni (a) tenglamaga qo’yamiz: F F0 C K 2 2 e t 0 e t C . m mk 2 2 Natijada F0 x2 e t . 2 2 mk (b) tenglamaning umumiy yechimi: F0 x ACoskt Sinkt e t . (v) 2 2 mk Boshlang’ich shartlar: t 0; x0 0 , x 0 0 F0 e t . (g) 2 2 mk Boshlang’ich shartlarni (v) va (g) tenglamalarga qo’yib, A va larni topamiz: F0 F0 A , , 2 2 mk mk k 2 2 Natijada nuqtaning harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi: F0 t x ( e Sinkt Coskt ). mk 2 2 k 10- masala. Massasi m 0,4kg bo’lgan yuk, bikirligi C 19,6 H cm bo’lgan prujinaga osilgan bo’lib, unga S 20 Sin 70 t H kuch ta’sir etadi. Boshlang’ich paytda x0 4 sm , 0 k 0 sm s . Koordinata boshi yukning statik muvozanat holatida olingan. Yukning harakat tenglamasi topilsin. Yechish. Yukning harakat defferensial tenglamasi. mx Cx 20 Sin 7et yoki x k 2 x H 0 Sin70t , x AkSinkt kCoskt bu yerda k 2 CM c 19,6 1 4900 2 , m 0,4kg c H0 182 20 N 50 m s 2 0,4kg Demak xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasiga teng, ya’ni 1 k 70 . Bu holda (a) tenglamaning xususiy yechimi (12.13) ko’rinishida c olinadi, ya’ni 2 H 0t 50 M c x2 Cost tCos 70t 35,8tCos 70 1 2 2 70 c (a) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi. x ACoskt Sinkt 35,8tCos70t , Bundan x kASinkt kCoskt 2506 Sin70t 35,8Cos70t. Bularga x 0 4 sm , x 0 10 larni topamiz: A 4cm, M boshlang’ich shartlarni qo’yib A va c B 0,65 SM C . Natijada X 4Cos 70t 0,65Sin70t 35,8Cos 70t SM . Nazorat savollari. 1. Uyg`otuvchi kuch deb nimaga aytiladi? 2. Uyg`otuvchi kuchning chastotasi nima? 3. Xos tebranishlar deb nimaga aytiladi? 4. Xos tebranishlarning differensial tenglamasi qanday ko`rinishda yoziladi? 5. Majburiy tebranishlar nima? 6. Majburiy tebranishlar amplitudasi nimaga teng? 7. Rezonans hodisasi qaysi hollarda ro`y beradi? Xulosa Markaziy qaytaruvchi kuch bilan birgalikda uyg`otuvchi kuch ta’siri natijasida moddiy nuqta majburiy tebranma harakatda bo`ladi. Majburiy tebranishlarning amplitudasi cheksiz o`sib boradi. Uyg`otuvchi kuchning chastotasi xos tebranishlar chastotasiga teng bo`lib qolsa, rezonans hodisasi yuz beradi. 183 Rezonans hodisasi radiotexnikada, akustikada, inshootlarning dinamik raschetdida muhim rol o`ynaydi. 184 15- mavzu Nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati. 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot Ma’ruza (axborotli dars) shakli Mavzu rejasi 1. Yuzalar qonuni. Markaziy kuch ta’sirida harakatlanuvchi nuqtaning tezligi va harakat differensial tenglamalari. 2. Moddiy nuqtaning Nyuton tortish kuchi maydanidagi harakati. Trayektoriyani aniqlash. O`quv mashg`ulotning Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati maqsadi va kosmik parvozlar dinamikasi haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Yuzalar qonuni va Bine formulalari Yuzalar qonuni mohiyati va Bine haqida tushuncha berish. formulalarini eslab qoladilar. Nuqtaning Nyuton tortish kuchi Nyuton tortish kuchi maydonidagi harakat maydonidagi harakati haqida va trayektoriyaning ko`rinishlari tushuncha berish. yetarli bilimga ega. Kosmik parvozlar dinamikasi haqida Kosmik parvozlar dinamikasining asoslari tushuncha berish. haqida tasavvurga ega. haqida O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.2. “Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati” mavzusining texnologik xaritasi. 185 Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 15-Ma’ruza 186 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati. Reja: 1. Yuzalar qonuni. Markaziy kuch ta’sirida harakatlanuvchi nuqtaning tezligi va harakat differensial tenglamalari. 2. Moddiy nuqtaning Nyuton tortish kuchi maydonidagi harakati. Trayektoriyani aniqlash. Adabiyotlar: [1],383-403 sah, [5], 380-393 sah. Tayanch iboralar: Markaziy kuch, tezlik, tezlanish, yuzalar integrali, trayektoriya, konus kesimlari, birinchi kosmik tezlik, ikkinchi kosmik tezlik, elliptik orbita. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Markaziy kuch deb nimaga aytiladi? 2. Radial tezlik deb nimaga aytiladi? 3. Transversal tezlik deb nimaga aytiladi? 4. Nyuton tortish kuchi maydoni qanaqa maydon? 5. Konus kesimlari qanaqa egri chiziqlardan iborat? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 187 № Asosiy tushunchalar 1 Osmon jismlari. 2 Yuzalar qonuni (integrali). 3 Radial tezlik. 4 Transversal tezlik. 5 Bine formulalari. 6 Nyuton tortish kuchi maydoni. 7 Elliptik orbitalar. 8 Birinchi kosmik tezlik. 9 Ikkinchi kosmik tezlik. 10 Ikki jism masalasi. 11 Kepler qonunlari. Belgi Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 1. Yuzalar qonuni. Markaziy kuchlar ta`sirida harakatlanuvchi moddiy nuqtaning tezligi va harakat 188 differensial tenglamalari Moddiy nuqta, tezlik, tezlanish, harakat miqdori momenti, kuch momenti , trayektoriya va h .k 1.Yuzalar qonuni. Agar moddiy nuqtaga ta`sir etuvchi kuch markaziy bo`lsa, va koordinatalar boshi kuch markazida olinsa, u holda r F 0. U holda harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teorema d r m r F dt quyidagi birinchi integralni beradi: r c Cons t. (4.19.1) Bundan shunday xulosa kelib chiqadiki, markaziy kuch ta`sirida harakatlanuvchi nuqtaning harakat trayektoriyasi tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, nuqta yuzalar qonuni asosida harakatlanadi, ya`ni nuqtaning radius-vektori teng vaqtlar oralig`ida teng yuzalar chizadi. (4.19.1) tenglikdan yuzalar qonunini quyidagicha ifodalash mumkin: d r 2 C, (4.19.2) dt d Bu yerda nuqtaning sektorial tezligi, C o`zgarmasga yuzalar doimiysi dt deyiladi. C ning qiymati boshlang`ich shartlardan topiladi. Boshlang`ich paytda r r0 va 0 bo`lsa, u holda C mom0 0 r00 Sin r0 , 0 . (4.19.3) Moddiy nuqtaning harakat trayektoriyasi tekis egri chiziqdan iborat bo`l gani uchun qutb koordinatalari r va lardan foydalanish mumkin. Kinematika bo`limida biz ko`rgan ediki d 1 2 d r . dt 2 dt Bunga asosan yuzalar qonunini ifodalovchi (4.1.2) tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: d r2 C. (4.19.4) dt 2. Markaziy kuch ta`sirida harakatlanuvchi moddiy nuqtaning tezligi. Bizga ma`lumki nuqtaning tezligi qutb koordinatalarida quyidagicha ifodalanadi: 2 2 dr d r2 . dt dt 2 (4.19.5) 189 Nuqta tezligining qutb o`qlaridagi prayeksiyalari dr d r , r (4.19.6) dt dt larni almashtiramiz. Buning uchun (4. 19. 4) tenglikdan foydalanib vaqt t ni yo`qotamiz: dr dr d C dr d C r 2 , p r . dt d dt r d dt r Yangi o`zgaruvchi kiritamiz, ya`ni 1 u . (4.19.7) r Bundan du 1 dr 2 . (4.19.8) d r d Natijada tezlikning proyeksiyalari quyidagi ko`rinishga keladi: du r , cu. (4.19.9) d Shunday qilib nuqta tezligi uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz: 2 2 2 du (4.19.10) C u 2 . d 3. Markaziy kuchlar maydonida harakatlanuvchi nuqtaning harakat differensial tenglamalari. Markaziy kuchni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin: r F Fr , (4.19.11) r bu yerda Fr kuchning radius – vektordagi proyeksiyasi. Kinematika bo`limidan bizga ma`lumki nuqta tezlanishining radial tuzuvchisi wr r r 2 ko`rinishda bo`ladi. Dinamikaning asosiy tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozamiz: r mw Fr . r Bu tenglamani radius – vektorga proyeksiyalaymiz: mr r 2 Fr . (4.19.12) (4. 19. 4) tenglamadan foydalanib, (4.18.12) tenglamani quyidagi ko`rinishda yozamiz: C2 1 r 3 Fr . (4.19.13) r m Nuqtaning harakat tenglamasini qutb koordinatalarida ifodalash uchun (4.18.13) tenglamada t o`zgaruvchini yo`qotamiz. (4.18.4) tenglamalarga asosan: d C 1 2 Cu 2 , u , dt r r 190 d 2 r d dr d C dr d 1 du d du 2 Cu 2 2 C 2 dt dt dt dt r d dt u d dt d d 2u d d 2u C 2 C 2u 2 . d dt d 2 Bularga asosan (4.18.13) tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: d 2u 1 2 3 C 2u 2 C u Fr . d 2 m bundan 2 2 2d u (4.19.14) mC u 2 u Fr . d (4.19.14) tenglamaga Bine tenglamasi deyiladi. Umumiy holda nuqtaga ta`sir etuvchi kuch du F F r , , r , , t yoki Fr Fn u, , , t . (4.19.14) tenglama d (4.19.4) tenglama bilan birgalikda ikkita differensial tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu tenglamalar sistemasini yechib, u va ni yoki r va ni vaqtning funksiyasi ko`rinishida topish mumkin, ya`ni markaziy kuch ta`sirida harakatlanuvchi nuqtaning harakat tenglamalarini topish mumkin. Olingan tenglamalar Quyosh tortish maydonida yoki planetalar tortish Maydonidagi harakatlarni o`rganishda, shuningdek osmon mexanikasida, raketalar dinamikasida va kosmonavtikada katta ahamiyatga ega. Agar moddiy nuqta r a Cons t aylana bo`ylab harakatlansa, ( a aylana radiusi) unga ta`sir etuvchi markaziy kuchni topamiz. (4.19.14) Bine formulasiga r ning bu qiymatini qo`yamiz: mC 2 2 3 Fr mC u 3 . a Demak ta`sir etuvchi kuchning moduli o`zgarmas bo`lar ekan (4.18.10) formuladan foydalanib, nuqtaning tezligini topamiz: C CU . a Bundan C ni topib, yuqoridagi formulaga qo`yamiz: m 2 Fr . a Shunday qilib, m massali moddiy nuqtaning a radiusli aylana bo`ylab harakati m 2 0 o`zgarmas tezlikli, o`zgarmas tortuvchi kuch ta`siridan sodir a bo`lar ekan. 4. Planetalar harakati. Butun olam tortilish qonuni. Osmon mexanikasining asosida Keplerning (1571-1630) uchta qonuni yotadi. Bu qonunlarni quyida bayon qilamiz: 191 1) Hamma planetalar Quyosh atrofida tekis orbitalar bo`ylab yuzalar qonuni asosida harakatlanadi. 2) Planetalar orbitalari konus kesimlardan iborat bo`lib, fokuslaridan birida Quyosh yozadi. 3) Planetaning Quyosh atrofida aylanish yulduz vaqtining kvadrati orbita katta yarim o`qining kubiga proporsional. Kepler qonunlari asosida Nyuton Quyosh atrofida harakatlanuvchi planetalarga ta`sir etuvchi kuchning o`zgarish qonunini topgan, undan keyin butun olam tortilish qonunini yaratgan. Keplerning birinchi qonunidan planetaga ta`sir etuvchi kuch markaziy bo`lib, uning yo`nalishi Quyoshdan o`tadi. Ikinchi qonundan planetaga ta`sir etuvchi kuch Quyoshga tortuvchi bo`lib, masofaning kvadratiga teskari proporsional. Bizga ma`lumki konus kesimlarning qutb koordinatalaridagi tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: p 1 eCos r yoki u , (4.19.15) 1 eCos p bu yerda e trayektoriya ekssentrisiteti, parametr. Agar trayektoriya ellins b2 p , bo`lsa, a bu yerda a va b lar ellinsning katta va kichik yarim o`qlari. u ning (4.19.15) ifodasini (4.19.14) Bine formulasiga qo`yib ta`sir etuvchi kuchni topamiz: mc 2u 2 eCos 1 eCos Fr , p bundan c 2 mu 2 Fr . Quyidagicha belgilash kiritamiz: c2 (4.19.16) . p 1 u bo`lgani uchun kuchni quyidagi ko`rinishda ta`svirlash mumkin: r m Fr . (4.19.17) r Shunday qilib, nuqtaga ta`sir etuvchi kuch tortuvchi bo`lib, markazgacha bo`lgan masofa kvadratiga teskari proporsional ravishda o`zgarar ekan. ga Gauss doimiysi deyiladi. Keplerning uchinchi qonuniga asosan: a3 Cons t yoki T2 4 2 a 3 Cons t . T2 192 (4.19.18) Agar nuqta trayektoriyasi ellinsdan iborat bo`lsa, radius-vektor to`la bir marta aylanganda u ellins yuzasini chizadi.Ellinsning yuzi a b bo`lgani uchun yuza doimiysini quyidagicha olish mumkin: 2 a b 4 2 a 2b 2 C va C2 . T T2 b2 p dan foydalanib, quyidagi tenglikni yozamiz: a 4 2 a 3 p 2 C , T2 bundan C 2 4 2 a 3 . p T2 C2 bo`lgani uchun (4.19.18) ga asosan: p 4 2 a 3 Cons t . (4.19.19) T2 Shunday qilib koeffisient Quyosh atrofida harakatlanuvchi hamma jismlar uchun bir xil, faqat Quyosh massasidan bog`liq bo`ladi. Yer tortish maydonida harakatlanuvchi jismlar uchun o`zining Gauss doimiysi mavjud. Uni bilan belgilaymiz. Quyosh yerni m F1 2 (4.19.20) r kuch bilan tortadi. O`z navbatida yer Quyoshni M F2 2 (4.19.21) r kuch bilan tortadi. m va M mos ravishda yer va Quyoshning massasi.Ta`sir va aks ta`sir qonuniga asosan: m M 2 , F1 F2 yoki r2 r bundan Cons t , M m Demak ixtiyoriy planetaning Gauss doimiysining shu planeta massasiga nisbat o`zgarmas va hamma planetalar uchun bir xil bo`lar ekan. Bu o`zgarmasga gravitasiya doimiysi deyiladi va f bilan belgilaymiz, ya`ni f. M m Bundan fM , fm. va larning bu qiymatlarini (4.19.20) va (4.19.21) larga qo`yamiz va F1 F2 F belgilash kiritib quyidagi tenglikni hosil qilamiz: 193 Mm (4.19.22) r2 Bu formula butun olam tortilish qonunini ifodalaydi: ikki jismning o`zaro tortish kuchi ular massalari ko`payitmasiga to`g`ri proporsional va oralaridagi masofa kvadratiga teskari proporsional. Gravitasiya doimiysining o`lchov birligi: M L L2 L3 f 2 2 2 . T M MT CU sistemasida f 6,673 10 11 M 3 kg sek 2 Planetaning moddiy nuqtaga ta`sir etuvchi Nyuton tortish kuchini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin mM r F f 2 , (4.19.23) r r Bu yerda f gravitasiya doimiysi, m moddiy nuqtaning massasi, M planetaning massasi, r planeta markazidan moddiy nuqtagacha bo`lgan masofa. Yer sirtida r R yer radiusi bu kuch mg ga teng, g erkin tushish tezlanishi. Shunday qilib r R bo`lganda (4.19.23) tenglikdan: f mM mg bundan f M gR 2 , 2 R natijada (4.19.23) formula quyidagi ko`rinishga keladi: mgR 2 r F 2 . (4.19.24) r r Bine formulasiga asosan bu holda Fr mgR 2u 2 . Moddiy nuqta Yer sirtidan uncha katta bo`lmagan masofada harakatlansa, unga boshqa planetalar tomonidan ta`sir etuvchi kuchlarni etiborga olmaslik mumkin va nuqtaga faqat (4.19.24) kuch ta`sir etadi deb qarash mumkin. Bu holda nuqtaning harakat differensial tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin: d 2u 1 (4.19.25) u , 2 d p bu yerda p 4 c 2 gR 2 Cons t. F f 2. Moddiy nuqtaning Nyuton tortish maydonidagi harakati. Trayektoriyani aniqlash Moddiy nuqta harakatining asosiy diferensial tenglamasi (4.19.24) ning umumiy yechimini quyidagi ko`rinishda axtaramiz: u 1 a Cos , (4.20.1) 194 bu yerda a va lar integrallash o`zgarmaslari. u 1 r ga asosan (4.20.1) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz: p r , (4.20.2) 1 e Cos bu yerda c ap o`zgarmas miqdor. Tahlilni soddalashtirish uchun yangi o`zgaruvchi kiritamiz. Endi burchak fiksirlangan boshlang`ich Ox yo`nalishdan emas balki burchakka burilgan Ox1 yo`nalishga nisbatan hisoblanadi (53-shakl). Lekin bu almashtirish bilan trayektoriyaning ko`rinishi o`zgarmaydi. Natijada (4.20.3) tenglamaning ko`rinishi quyidagicha bo`ladi: p r (4.20.3) 1 e Cos Analitik geometriya kursidan ma`lumki (4.20.3) tenglama konus kesimni tenglamasini ifodalaydi. Trayektoriyaning tipi ekssentrisitet e ning qiymati bilan aniqlanadi. e ekssentrisitetni qiymatini boshlang`ich shartlardan bog`lab topamiz. Boshlang`ich vaqt sifatida moddiy nuqtaning x1 o`qdan o`tish vaqtini olamiz, ya`ni t 0, 0. (4.20.3) formuladan dr p e Sin . d 1 e Cos 2 Bunga asosan nuqtaning radius-vektori 0 da ekstremumga erishadi. Bu shuni bildiradiki 0 bo`lganda ixtiyoriy e uchun nuqtaning tezligi uning boshlang`ich holatini aniqlovchi r0 radius-vektorga perpendikulyar bo`ladi transversal tezlik uchun r larni etiborga olib, yuza integralini quyidagi ko`rinishda yozamiz: 1 r p C . 2 Aytaylik 0 bo`lganda r r0 , 0 bo`lsin. Bu boshlang`ich shartlar uchun (4.20.3) dan: p r0 . 1 e Bundan p e 1. (4.20.4) r0 1 Qaralayotgan boshlang`ich shartlar uchun 0 , u holda C r0 0 va 2 2 2 p 4 C gR larni etiborga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: 195 2 r e 0 02 1. (4.22.5) gR (4.20.5) formula nuqtaning boshlang`ich tezligiga qarab trayektoriyaning ko`rinishini topish imkonini beradi. Elliptik trayektoriya uchun e 1. Bunga asosan (4.20.4) formuladan: 0 2 g R 2 r0 . Xususiy holda e 0 bo`lsa, trayektoriya aylanadan iborat bo`ladi va nuqtaning boshlang`ich tezligi quyidagiga teng bo`ladi: 1 0 g R 2 r0 . Bu tezlikka aylana bo`ylab harakat tezligi deyialdi. Aylana bo`ylab harakat tezligi yer sirtiga yaqin harakatlar uchun r0 R birinchi kasmik tezlik deyiladi va u quyidagiga teng: 1 gR 7,9 km s . Parabolik trayektoriya uchun e 1. (4.20.4) formulaga asosan: 2 0 2 g R 2 r0 . 2 tezlikka parabolik tezlik deyiladi. Agar nuqtaga Yer sirtiga yaqin nuqtadan boshlang`ich tezlik berilsa, 2 tezlik 2 2 gR 11,2 km s ga teng bo`ladi. Agar nuqtaga 0 2 boshlang`ich tezlik berilsa nuqta Yerdan cheksiz uzoqlashadi. Giperbolik trayektoriya uchun e 1. Bu holga quyidagi boshlang`ich tezlik mos keladi: 0 2 g R 2 r 0 . Moddiy nuqta trayektoriyasining tortuvchi markazga eng yaqin nuqtasiga perisentr (yerning sun`iy yo`ldoshlari uchun-perigey) deyiladi. 54–shaklda e 0 bo`lganda barcha mumkin bo`lgan trayektoriyalar tasvirlangan. Hamma trayektoriyalar uchun O markazdan perisentrgacha bo`lgan masofa bir xil. Bu masofa (4.20.3) formulaga asosan p rmin r0 1 e ga teng. (4.20.3) tenglamadan 1 e Cos , p (4.20.6) du e Sin . d p (4.20.7) u bundan 196 Boshlang`ich paytda nuqta M 0 holatda va tortuvchi markazdan r0 masofada bo`lib, 0 boshlang`ich tezlikka ega bo`lsin (55-shakl). PO M 0 0 burchak P perisentrning M 0 nuqtaga nisbatan holatini aniqlaydi. (4.19.10) fordu muladan foydalanib, ning boshlang`ich qiymatini topib, quyidagi boshlang`ich d shartlarga ega bo`lamiz: 0 ; 1 u u0 , r0 2 du 2 02 u0 . c d 0 (4.20.8) r0 , 0 va demak dr0 , d 0 larni ishoralari bir xil bo`lishi uchun ildiz du (4.19.8) formuladan 0 bo`lishi kerak. d 0 (4.20.8) boshlang`ich shartlarni (4.20.6) va (4.20.7) tenglamalarga qo`yib, quyidagilarni olamiz: 1 e Cos 0 1 e 2 2 u0 , 0 c 2u0 Sin 0 . p c Bu yerda p ni (4.19.16) dan foydalanib almashtiramiz, natijada oldida (-) ishora olinadi. c c2 2 2 2 (4.20.9) eSin 0 0 c u 0 , eCos 0 u 0 1. Bu tengliklarni avval birini ikkinchisiga hadma-had bo`lib, keyin kvadratga ko`tarib qo`shib, quyidagilarni topamiz: 2 2 c 0 c 2 u 0 tg 0 , c 2u 0 (4.20.10) c2 2 (4.20.11) 0 2 u 0 . 2 Bu formulaga kiruvchi yuza doimiysi c (4.19.3) formuladan topiladi (4.20.10) formuladan perisentrning nuqtani boshlang`ich r0 radius-vektorga nisbatan holatini aniqlovchi 0 burchak topiladi. Trayektoriya eksentrisiteti e (4.20.11) formuladan topiladi. Bu formuladan ko`rinib tiribdiki e ning qiymati e 1 2 (4.20.12) r0 ning ishorasidan bog`liq. Bu miqdorni fizik ma`nosini aniqlaymiz.Markaziy kuchlar maydonida potensial energiya avval ko`rganimizdek m r formula bilan topiladi. Nuqtaning to`la boshlang`ich energiyasini hisoblaymiz: 2 2 h 0 2 u 0 0 197 2 2 m 0 m 0 m m 2 2 . 0 0 0 2 2 r0 2 r0 Demak, h to`la boshlang`ich energiyaga proporsional bo`lar ekan. Shuning uchun nuqta trayektoriyasining ko`rinishi boshlang`ich to`la energiya ishorasiga 2 2 bog`liq: agar h 0, ya`ni 0 , bu holda e 1, trayektoriya elliks; agar r0 2 2 ya`ni 0 , bu holda e 1, trayektoriya giperbola. r0 Bularga asosan nuqta tortuvchi markazdan cheksiz uzoqlashishi uchun unga 2 2 2 n tezlikdan kam bo`lmagan tezlik berish kerak. h 0, ya`ni 0 , r0 r0 bu holda e 1, trayektoriya parabola; agar h 0, Nazorat savollari. 1. Markaziy kuch deb qanday kuchga aytiladi? 2. Yuzalar qonuni qanday ta’riflanadi? 3. Radial va transversal tezliklar deb nimaga aytiladi? 4. Bine formulalari qanday ko`rinishda yoziladi? 5. Binening ikkinchi formulasi nimani ifodalaydi? 6. Kepler qonunlarini ta’riflang? 7. Kosmik tezliklar necha xil bo`ladi? 8. Ikkinchi jism masalasi nimadan iborat? Xulosa Markaziy kuch ta’siri ostida harakatlanayotgan jismning (nuqtaning) trayektoriyalari konus kesimlaridan iborat . Quyosh sistemasidagi planetalarning harakati yuzalar qonuniga bo`ysunadi. Nyuton tortish kuchi maydonida harakatlanayotgan jismlarning orbitalari ellips, parabola va giperboladan iborat. Markaziy kuch maydonidagi nuqta dinamikasi hozirgi zamon kosmik parvozlar dinamikasining asosini tashlik etadi. Keplerning umumlashgan uchinchi qonuni taqribiy xarakterga ega. 198 16- avzu Moddiy nuqtaning nisbiy harakati. 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 ta O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) 1. Nisbiy harakat haqida tushuncha. 2. Moddiy nuqtaning nisbiy hrakat differensial tenglamalari. Mavzu rejasi 3. Nisbiy harakat turlari. 4. Nisbiy muvozanat, tenglamasi. Og`irlik kuchi. 5. Erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishi. 6. Adabiyotlar. O`quv mashg`ulotning Moddiy nuqtaning nisbiy harakati, uning turlari, nisbiy harakat maqsadi differensial tenglamalari va ularni itegrallash haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nisbiy harakat dinamikasi haqida dastlabki Nisbiy harakat dinamikasi va uning vazifalari ma`lumotlar berish. haqida tushunchalari bor. Nuqta nisbiy harakatining differensial Nuqta teglamalarini keltirib chiqarish. tenglamalari keltirib chiqarishni biladi va ularni nisbiy harakatining differensial eslab qoladi. Nisbiy harakat turlari, nisbiy muvozant va Nisbiy harakat turlari, nisbiy muvozanat, erkin erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishi tushuvchi jismning shimol tomonga og`ishi haqida tushuncha berish. haqida tushunchalari bor. O’qitish vositari O’UM, ma’ruza matni, kompyuter saydlari,doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal, kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan, guruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar, blis-so’rov boholash 199 1.2. “Moddiy nuqtaning nisbiy harakati” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 200 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 16-Ma’ruza Moddiy nuqtaning nisbiy harakati. Reja: 1. Nisbiy harakat haqida tushuncha. 2. Moddiy nuqtaning nisbiy harakat differensial tenglamalari. 3. Nisbiy harakat turlari. 4. Nisbiy muvozanat. 5. Erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishi Adabiyotlar: [1], 438-452 sah, [5], 324-333 sah. Tayanch iboralar: Moddiy nuqta, inersiya va noinersial sanoq sistemalar, nuqtaning nisbiy tezligi, nisbiy tezlanish, absolyut tezlik va tezlanish, ko`chirma inersiya kuchi, koriolis inersiya kuchi, nisbiy muvozanat. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – 2 ball Har bir qo’shimcha fikrga –2 ball Har bir javobni to’ldirishga –1 ball 201 Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1. Inersial sanoq sistemasi deb nimaga aytiladi? 2. Noinersial sanoq sistemasi deb nimaga aytiladi? 3. Absolyut tezlik, nisbiy tezlik nima? 4. Absolyut tezlanish deb qanday tezlanishaga aytiladi? 5. Inersiya kuchi deb nimaga aytiladi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring № Asosiy tushunchalar 1 Inersiya va noinersial sanoq sistemalari 2 Nisbiy, ko`chirma va absolyut tezlanishlar 3 Koriolis teoremasi 4 Nisbiy harakat 5 Nisbiy harakatning differensial tenglamalari 6 Nisbiy harakat turlari 7 Nisbiy muvozanat 8 Inersiya kuchlari 9 Dalamber prinsipi 10 Erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishi 11 202 Belgi Insert jadvali qoidasi. V- avval olgan bilimlarga to`g`ri keladi. + - yangi ma`lumot - - olgan bilimiga qarama-qarshi ? - tushunarsiz 1. Nisbiy harakat haqida tushuncha. Klassik mexanikaning qonunlari va ular asosida kelib chiqadigan tenglamalar moddiy nuqtaning inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan harakati uchun o’rinli. Inersiya prinsipi bajariladigan sanoq sistemasiga inersiyal sanoq sistemasi deyiladi. Ko’p hollarda dinamika masalalarini u yoki bu noinersiyal sanoq sistemasiga nisbatan tahlil qilishga keltiriladi. Biror inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqli tekis harakat qiluvchi sanoq sistemasi ham inersiyal bo’ladi. Agar qaralayotgan sanoq sistemasi inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan to`g`ri chiziqli tekis harakat qilsa, bunday sanoq sistemasiga noinersial sanoq sistemasi deyiladi. Bunday sistemaga nisbatan dinamikaning asosiy qonunlari, xususan inersiya qonuni o`rinli bo`lmaydi. Dinamika tenglamalarini noinersial sistemaga qarash uchun inersial kuchlari nurlari kiritiladi. Ushbu bobga moddiy nuqtaning noinersial sanoq sitemasiga nisbatan harakati o`rganiladi. 2. Moddiy nuqtaning nisbiy harakat differensiyal tenglamalari. Moddiy nuqta, radius-vektor, tezlik, texlanish,ko’chirma, nisbiy va absolyut tezlik, ko’chirma, nisbiy va absolyut tezlanish, massa, kuch va inersiya kuchi. Moddiy nuqtaning harakatini A inersiyal sanoq sistemasi va inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan ixtiyoriy harakatqiluvchi OXY noinersiyal sanoq sistemalariga nisbatan qaraymiz ( 65-shakl ). Z M x, y, z R F Y 203 O (65-shakl) Moddiy nuqtaning A koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatiga uning murakkab harakati yoki absolyut harakatiga deyiladi. OXYZ koordinatalar sistemasining moddiy nuqta bilan birgalikda A koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatiga nuqtaning ko’chirma harakati deyiladi. Moddiy nuqtaning OXYZ qo’zg’aluvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatiga uning nisbiy harakati deyiladi. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar va OXYZ koordinatalar sistemasining harakati berilgan deb nisbiy harakatining asosiy tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Nuqtaning absolyut harakati uchun dinamikaning asosiy tenglamasi qu’yidagi ko’rinishda bo’ladi: mw F R bu erda F -nuqtaga ta’sir etuvchi aktiv kuchlarning teng ta’sir etuvchisi, R bog’lanish reaksiyalarning teng ta’sir etuvchisi, m-moddiy nuqtaning massasi, W nuqtaning tezlanishi. Koriolis teoremasiga asosan moddiy nuqtaning absolyut tezlanishi ko’chirma, nisbiy va koriolis tezlanishlari yig’indisiga teng, ya’ni W We WR WK . Buni (5.25.1) tenglamaga qo’yamiz: mW E mW R mW K F R Bundan nisbiy harakat uchun q’uyidagi tenglamani hosil qilamiz: mW R F R ( mW E ) ( mW K ). (5.25.2) Quyidagi belgilashlarni keltiramiz: J e mWe , J K mW K . J e va J K -vektorlar mos ravishda We va WK tezlanishlariga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lib, modullari moddiy nuqta massasi bilan ko’chirma va koriolis tezlanishlari moddullari ko’paytmasiga teng. Bu vektorlarga mos ravishda ko’chirma va koriolis inersiya kuchlari deyiladi. Bularni (5.25.2) ga qo’yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: mWR F R J e J K (5.25.3) (5.25.3) tenglama moddiy nuqta dinamikasining asosiy tenglamasini ifodalaydi. 204 (5.25.3) tenglamadan quyidagi xulosani hosil qilamiz: Moddiy nuqta harakat differensiyal tenglamasini tuzish uchun nuqtaga ta’sir etuvchi aktiv kuchlar va bog’lanishlar reaksiyalari qatoriga ko’chirma va koriolis inersiya kuchlarni qo’shib olish kerak. Ko’chirma va koriolis inersiya kuchlarning odatdagi kuchlardan farqi shundaki, odatdagi kuchlar noinersiyal sanoq sistemasini tenglashishdan bog’liq emas, ko’chirma va koriolis inersiya kuchlari noinersiyal sanoq sistemasini tanlashish bilan aniqlanadi. (5.25.3) tenglamaning ikkala tomonini qo’zg’atuvchi koordinatalar sistemasi o’qlariga proeksiyalab, moddiy nuqtaning harakat differensiyal tenglamalarini hosil qilamiz, ya’ni mX FX R X J EX J KX mY FY FY J EY J KY mZ F R J J Z Z EZ KY (5.25.3) yoki (5.25.4) tenglamalardan ko’rinib turibdiki moddiy nuqtaning noinersiyal sanoq sistemasiga nisbatan harakat differensiyal tenglamalari J E va J K kuchlarni kiritishi bilan xuddi inersiyal sanoq sistemasidagidek bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda qo’zg’aluvchi koordinatalar sistemasi harakatining nisbiy harakatiga ko’rsatadigan ta’siri J E , J K kuchlarni kiritilishi bilan hisobga olinadi. Agar qo’g’atuvchi koordinatalar sistemasi A inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqli tekis harakat qilsa , W E 0 va W K 2( 2 ) 0 bo’lib, (5.25.3) tenglama (5.25.1) ko’rinishda keladi. Demak, inersiyal sanoq sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqli tekis harakat qiluvchi har qanday sanoq sistemasi inersiyal bo’ladi. Ko’chirma harakat turiga qarab, moddiy nuqta nisbiy harakatning qo’yidagi hollarini qaraymiz. 3. Nisbiy harakat turlari. 1. Ko’chirma harakat notekis aylanma harakatdan iborat bo’lsin (66-shakl). Bu holda ko’chirma tezlanish aylanma va markazga intilma tezlanishlarning geometrik yig’indisidan iborat bo’ladi, ya’ni WE W E WE K Mos ravishda ko’chirma inersiya kuchiham ikkita tuzuvchidan iborat bo’ladi: J E mW E aylanma inersiya kuchi, J E mW E -markazdan qochma inersiya kuchi. Shunday qilib: JE JE JE 205 66-shakl Bunga asosan (5.25.3) tenglama qo’yidagi ko’rinishga keladi: mW R F R J E J E J K Urinma va normal tezlanishlarning modullari qo’yidagicha topiladi: WE MK E ,WE MK E 2 Bu yerda E va E lar burchak tezlik va burchak tezlanishlarning algebraik qiymati, MK-nuqtadan aylanish o’qigacha bo’lgan masofa. Urinma ko’chirma inersiya kuchi WE tezlanishga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lib, moduli quyidagiga teng: J E m WE mMK E Markazdan qochma inersiya kuchining yo’nalishi markazga intilma tezlanishga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lib, moduli quyidagicha topiladi: 2 J E mW E mMK E Koriolis tezlanishi WK 2( e r ) bo`lgani uchun uning moduli WK 2E R sin(E R ) Koriolis inersiya kuchi koriolis tezlanishiga qarama-qarshi yo`nalgan bo`lib, moduli quyidagicha topiladi: J k 2m we v r sm (we , v r ). Korikoles inersiya kuchi we va v r vektorlarining har biriga perpendikulyar va demak, ko`chirma aylanish o`qiga ham perpendikulyar bo`ladi. 2. Ko`chirma harakat qo`zg`almas o`q atrofida tekis aylanma harakat bo`lsin (66-shakl). Bu holda Ee o va J eE o bo`lib, bu holda nisbiy harakat dinamikasining asosiy tenglamasi quyidagicha bo`ladi: mwr F R J ew J k (5.25.6) 3. ko`chirma harakat ilgarilma egri chiziqli notekis harakat bo`lsin. Bu holda we o va J e o bo`lib, nisbiy harakat dinamikasining asosiy tenglamasi mwr F R J e (5.25.7) ko`rinishda bo`ladi. Ko`chirma harakat ilgarilma egri chiziqli notekis harakat bo`lgani uchun J e J e J en , Bu yerda J e m dve dt va J en mv 2 p 4. Ko`chirma harakat ilgarilma to`g`ri chiziqli tekis harakat bo`lsin. Bu holda We o va J e o bo`lib, (5.25.7) tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: (5.25.8) m wr F R (5.25.8) tenglama moddiy nuqtaning absolyut harakat differensial tenglamasi(5.25.1) tenglama bilan bir xil, ya`ni bu holda Oxyz sanoq sistemasi ham inersial bo`lar ekan. 4. Nisbiy muvozanat tenglamasi. Og’irlik kuchi. 206 Moddiy nuqta unga ta’sir etuvchi kuchlar ta’siridan nisbiy muvozanat holatida bo’lsin, ya’ni nuqta qo’zg’aluvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanmasin.Nuqta nisbiy harakatda ishtirok etmasa, uning absolyut tezlanishi ko’chirma tezlanishga teng, ya’ni W W E bo’ladi. U holda (5.25.1) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi. yoki mW E F R F R mW E 0 bundan F R J E 0 (5.25.1) tenglamadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: moddiy nuqta nisbiy muvozanatda bo’lsa, unga ta’sir etuvchi aktiv kuchlar, bog’lanish reaksiyalari va inersiya kuchlarning geometrik yig’indisi nolga teng bo’ladi. Masalan, yer sirtida nisbiy muvozanatda turgan jismni nuqtani qaraymiz (67-shakl). Nuqtaning nisbiy muvozanat sharti (5.25.1) tenglikka asosan qo’yidagicha bo’ladi: P N JE 0 Bu yerda P -yer tortish kuchi; N -bog’lanish reaksiyasi; J E -yerning o’z o’qi atrofida tekis aylanishi natijasida hosil bo’ladigan markazdan qochma inersiya kichi. J E kuchning moduli qo’yidagicha teng: J E mMK E2 Bu yerda 2 rad -yerning aylanish burchak tezligi. 24 3600 sek Jismning sirtga ko’rsatadigan bosim kuchi G N ya’ni G P J E ifodalanadi. Yerning tortish kuchi F bilan ko’chirma inersiya kuchi J E larni teng ta’sir etuvchi G kuch jismning og’rlik kuchini ifodalaydi. E Markazdan qochma inersiya kuchining moduli og’irlik kuchining moduliga nisbatan juda kichik. Ular modullarning nisbatini topamiz: J E mMK E2 OM E2 R E2 cos cos G mg g g bu yerda R-yer sharining radiusi, -M nuqtani aniqlovchi tenglik. J E nisbat ekvatorda eng katta qiymatga ega bo’ladi, ya’ni G 0 , R 6370km , g 9.78m / s , J E / G 0.00346 yoki J E / G 1 / 290 . Demak, og’irlik kuchining moduli tortish kuchi P ning modulidan kichik miqdorga farq qiladi va vertikal bilan P kuchi juda kichik burchak tashkil qiladi. Og’irlik kuchi qutbda eng katta, ekvatorda eng kichik qiymatga ega bo’ladi. P tortish kuchi qutbda eng katta miqdorga ega; J E -ko’chirma inersiya kuchining moduli nolga teng. Erkin tushish tezlanishi ekvatorda 983 sm/s, qutbda 978sm/s ga teng. 5. Erkin tushuvchi jismning shimolga og’ishi. Berilgan balandlikdan yer sirtiga erkin tushayotgan moddiy nuqtaning yerga mahkamlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan qaraymiz. Bu koordinatalar sistemasining boshini nuqtaning boshlang’ich holati M 0 bilan bitta vertikalga 207 joylashtiramiz (68-shakl). Z o’qini yer markazidan chiquvchi vertikal bo’ylab yuqoriga yo’naltiramiz, X o’qini meridian bo’ylab janubga yo’naltiramiz, Y o’qini XOZ meridian tekisligiga perpendikulyar qilib, sharqqa yo’naltiramiz. U holda moddiy nuqtaning nisbiy harakati uchun boshlang’ich shartlar qo’yidagicha bo’ladi: t 0 0; x 0 0; y 0 0; z 0 H ; x 0 0; y 0 0; z 0 0. Agar muhitning qarshiligi hisobga olinmasa, nuqtaga faqat Yerning toryish kuchi P ta’sir qiladi. Bu holda nisbiy harakat dinamikasining asosiy tenglamasi (5.25.6) qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi: mW z P J E J K (5.25.6) Bu holda ko’chirma harakat tekis aylanma harakatdan iborat. Yerning tortish kuchi P bilan J E markazdan qochma inersiya kuchlarning teng ta’sir etuvchisi jismning G og’irlik kuchiga teng. U holda (5.27.2) tenglama qo’yidagi ko’rinishga keladi: (5.27.3) mW R G J K Koriolis inersiya tezlanishi W K 2( E R ) g’arbga qarab yo’nalgan bo’lib, E va R yotgan meridian tekisligiga perpendikulyar bo’ladi. Koriolis inersiya kuchi esa shu tekislikka perpendikulyar bo’lib, sharqa yo’naladi, ya’ni u o’qini musbat yo’nalishi bilan bir xil yo’nalgan bo’ladi. Bu kachning moduli J K 2m E R cos ga teng. -M nuqta joylashgan kenglik. Nuqtaning harakati vaqtida R -nisbiy tezlikning Z vertikaldan og’ishi juda kichik deb, (5.27.3) tenglamani koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: mX 0; mY J K 2m E R cos ; mZ G mg. (5.27.4) Birinchi tenglamadan: X C1 , X C1 C 2 . (5.27.4) boshlang’ich shartlardan: С1 С 2 0 . Nuqtaning X o’qi bo’ylab, harakat tenglamasi X 0 (5.27.5) bo’ladi. Demak, nuqta faqat ZOY tekisligida harakat qilar ekan Uchinchi tenglamani integrallaym 2 gt Z g ; Z gt C 3 , Z C3t C 4 . 2 Boshlang’ich shartlardan: C3 0, C 4 H . Moddiy nuqtaning Z o’qi bo’ylab, harakat tenglamasi qo’yidagicha bo’ladi: gt 2 Z gt , Z H . (5.27.6) 2 Nuqtaning R nisbiy tezligining yo’nalishi Z vertikaldan juda kichik farq qilgani uchun yetarlicha aniqlik bilan R Z Z gt deb olish mumkin. Natijada (5.27.4) tenglamalarning ikkinchisini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin. mY 2m E gt cos 208 Bu tenglamani integrallab, quyidagini hosil qilamiz: Y E gt 2 cos C 5 ; 1 Y E gt 3 cos C 5 t C 6 . 3 Berilgan boshlang’ich shartlardan integrallash o’zgarmaslarni topamiz: С 5 С 6 0 . Natijada nuqtaning Y o’qi bo’ylab harakat tenglamasini topamiz, ya’ni 1 Y E gt 3 cos . (5.27.7) 3 Nuqta yerda kelib tushganda Z 0 deb, (5.27.6) tenglamadan uning tushish Y E gt 2 cos ; vaqtini topamiz: gt12 H, 2 t1 2H . g Buni (5.27.7) ga qo’yib, Ymax ni topamiz, ya’ni Ymax 1 8 H 3 cos 2 2 H cos E g H E . 3 3 3 g g (5.27.8) (5.27.8) formula yordamida nuqtaning tushish balandligi va kengligini bilgan holda uning sharqqa maksimal og’ishini topish mumkin. Nazorat savollari. 1. Inersiya va noinersial sanoq sistemalari deb qanday sistemalarga aytiladi? 2. Nuqtaning nisbiy harakati deb nimaga aytiladi? 3. Nisbiy harakat turlari haqida nimalarni bilasiz? 4. Dalamber prinsipi qanday ta`riflanadi? 5. Koriolis teoremasi nima deydi? 6. Inersiya kuchlarining turlarini ta`riflang 7. Nisbiy muvozanat turlari haqida nimalarni bilasiz? 8. Erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishini tushuntirib bering. XULOSA Moddiy nuqtaning nisbiy harakati haqidagi tushuncha mexanikaning asosiy ideyalariga asoslangan. Inersial sanoq sistemasiga nisbatan muntazam ilgarilanma va to`g`ri chiziqli harakat etuvchi har qanday sanoq sistemasi ham inersial bo`ladi. 209 Sanoq sistemasi muvozanat holatida yoki muntazam to`g`ri chiziqli ilgarilanma harakatda ekanligini tajribalar orqali aniqlab bo`lmaydi (Galiley-Nyutonning nisbiylik prinsipi ). Bo`shliqda erkin tushayotgan har qanday og`ir jism albatta vertikaldan og`ib ketadi. Klassik mexanikaning birinchi va ikkinchi qonunlari faqat inersial sanoq sistemalarida harakat etuvchi jismlar uchun o`rinli bo`ladi. 210 17- mavzu Mexanik sistema dinamikasiga kirish.Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) 3. Mexanik sistema.Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlarning tavsifi. Mavzu rejasi 4. Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. O`quv mashg`ulotning 5. Bog’lanishdagi mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. Mexanik sistema dinamikasining asosiy tushunchalari va sistema harakatining differensiyal tenglamalari haqida tushuncha berish. maqsadi Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Mexanik sistema dinamikasi haqida Mexanik sistema dinamikasining asosiy dastlabki ma’lumotlar berish. tushunchalari va sistema harakatining differensiyal tenglamalari haqida tushunch berish. Mexanik sistema harakatining Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalarini keltirib differensiyal chiqarish va uni mustahkamlash. tasavvurga ega va ularni eslab qoladi. Bog’lanishdagi mexanik sistema Bog’lanishdagi mexanik sistema haqida tushuncha berish. dinamikasining asosiy tushunchalari va tenglamalari haqida vazifalarini biladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 211 1.2. “Mexanik sistema dinamikasiniga kirish. Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 17-Ma’ruza 212 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. Mexanik sistema dinamikasiga kirish. Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. Reja: 1. Mexanik sistema.Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlarning tavsifi. 2. Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. 3. Bog’lanishdagi mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. Adabiyotlar: [1],7-24 sah, [5], 333-345 sah. Tayanch iboralar: Mexanik sistema, absolyut qattiq jism, bog’lanishlar, golonom sistema, sistemaning erkinlik darajasi, asosiy dinamik miqdorlar, ichki va tashqi kuchlar. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1.Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 2.Ichki va tashqi kuchlar deb qanday kuchlarga aytiladi? 3.Sistemaning massalar markazi qanday topiladi? 4.Sistemaning harakat miqdori nimaga teng? 5.Sistemaning kinetik momenti deb nimaga aytiladi? 6.Sistemaning kinetik energiyasi qanday ifodalanadi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 213 № Asosiy tushunchalar 1 Mexanik sistema. 2 Absolyut qattiq jism. 3 Ichki va tashqi kuchlar. 4 Bog’lanishlar va ularning turlari. 5 Golonom va nogolonom mexanik sistemalar. 6 Sistemaning erkinlik darajasi. 7 Sistemaning harakat miqdori. 8 Sistemaning kinetik momenti. 9 Sistemaning kinetik energiyasi. 10 Kyonig teoremasi. 11 Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 214 Belgi 1.Mexanik sistema. Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar. Bir-biri bilan ma’lum munosabatda bog`langan hamda har bir nuqtasining harakati boshqa nuqtalarning holati va harakatiga bog`liq bo`lgan moddiy nuqtalar to`plami mexanik sistema deyiladi. Istalgan mashina yoki mexanizm mexanik sistemaga misol bo`la oladi, chunki mashina va mexanizmlarning qismlari bir-biri bilan sharnirlar, sterjenlar, tasmalar yoki tishli g`ildiraklar vositasida bog`langan bo`ladi. Bu holda sistema nuqtalariga bog`lanishlar orqali beriladigan taranglik kuchlari yoki o`zaro bosim kuchlari ta’sir etadi. Agar mexanik sistemani tashkil etuvchi nuqtalar orasidagi masofalar doimo o`zgarmasdan qolsa, bunday mexanik sistema o`zgarmas mexanik sistema deyiladi. Masalan, absolyut qattiq jismni o`zgarmas mexanik sistema nuqtalarining to`plamidan iborat deb qarash mumkin. Agar mexanik sistemaning barcha nuqtalari erkin bo`lsa, u holda sistemani tashkil etuvchi nuqtalar orasidagi bog`lanishlar mazkur nuqtalarning o`zaro ta’sir kuchidan iborat bo`ladi. Bunda biz erkin nuqtalardan tashkil topgan mexanik sistemaga ega bo`lamiz. Masalan, Quyosh sistemasini bunday sistemaga misol qilib ko`rsatish mumkin, chunki Quyosh va planetalar o`zaro butun dunyo tortilish kuchi ta’sirida bo`ladi. Agar mexanik sistema nuqtalariga bog`lanishlar qo`yilgan bo`lsa, sistema bog`lanishdagi sistema deyiladi. Bunday sistemaga misol tariqasida uzunligi o`zgarmas bo`lgan sterjen bilan biriktirilgan ikki moddiy nuqtani olish mumkin. Berilgan mexanik sistema nuqtalarga ta’sir etuvchi kuchlar ichki va tashqi kuchlarga ajratiladi. Mexanik sistemani tashkil etuvchi nuqtalarning o`zaro ta’sir kuchlari ichki kuchlar deyiladi. Ichki kuchlar, odatda, F i bilan belgilanadi. Mexanik sistema nuqtalariga bu sistemaga kirmaydigan nuqta yoki jismlarning ta’sir kuchlari tashqi kuchlar deyiladi. Tashqi kuchlar F e bilan belgilanadi. Masalan, avtomabilni mexanik sistema deb qarasak, dvigatel silindrlarida hosil bo`ladigan gazlarning porshenga bosim kuchlari, porshenning shatunga, 215 shatunning tirsakli valga ta’sir kuchlari va hokazo kuchlar ichki kuchlardir; avtomabil og`irligi, avtomabil g`ildiraklari bilan yer sirti orasidagi ishqalanish kuchi, havoning qarshilik kuchi va boshqalar tashqi kuchlardir. Bog`lanishdagi mexanik sistema nuqtalarga ta’sir etuvchi kuchlar bog`lanish reaksiya kuchlariga va aktiv kuchlarga ajratiladi. Bu kuchlar o`z navbatida ichki va tashqi kuchlar bo`lishi mumkin. Ichki kuchlarning asosiy xossalari bilan tanishamiz. 1. Dinamikaning uchinchi qonuniga ko`ra mexanik sistemaning har qanday ikki nuqtasi (masalan M 1 va M 2 nuqtalari) miqdor jihatdan teng va bir chiziq bo`ylab qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan F i1 va F2i kuchlar bilan bir-biriga ta’sir etadi (186-rasm). Bu kuchlarning geometrik yig`indisi nolga teng: F2i M2 F1i M1 h 0 F1i F2i 0 Shu sababli N ta nuqtadan tashkil topgan mexanik sistema uchun quyidagi munosabat o`rinli bo`ladi: N R i Fki 0 (19.1) k 1 demak, sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi ichki kuchlarning geometrik yig`indisi (bosh vektori) nolga teng bo`ladi. Bundan buyon yig`indi chegarasini tushurib yozamiz va k ni 1 dan N gacha qiymatlarni oladi, deb hisoblaymiz. (19.1) ni biror Ox o`qqa proeksiyalasak X i k 0, (19.2) ya’ni ichki kuchlarning ixtiyoriy o`qdagi proeksiyalari yig`indisi nolga teng bo`ladi. 216 2. F i1 va F2i kuchlarning biron O nuqtaga nuqtaga nisbatan momentlarini topamiz. 186- rasmdan M o F i 1 M o Fki 0, Bo`lishini ko`ramiz, chunki ikkala kuchning yelkasi bir xil bo`lib, moment vektorlari qarama-qarshi yo`nalgan. U holda butun sistema uchun quyidagini yoza olamiz: M oi M o Fki , (19.3) Bunda M oi ichki kuchlarning O markazga nisbatan bosh momentini ifodalaydi. (19.3) ni ixtiyoriy Ox o`qqa proeksiyalaymiz: M F ox i k 0. (19.3) va (19.4) lardan ko`ramizki, ichki kuchlarning ixtiyoriy nuqtaga nisbatan xisoblangan momentlarining geometrik yig`indisi yoki ixtiyoriy o`qqa nisbatan momentlarining yig`indisi nolga teng bo`ladi. (19.2) va (19.4) ifodalar fazoda ixtiyoriy vaziyatda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanat tenglamalariga o`xshasa-da, ichki kuchlar muvozanatlashmaydi. Chunki ular sistemaning turli nuqtalariga qo`yilganligi tufayli mazkur kuchlar ta’sirida sistemaning nuqtalari bir-biriga nisbatan harakatlanadi. O`zgarmas mexanik sistema yoki qattiq jism qaralayotganda ichki kuchlar muvozanatlashuvchi kuchlar sistemasini tashkil etadi. 217 2. Mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari Mexanik sistema N ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan bo`lsin. Bu sistemaning ixtiyoriy M k nuqtasini olib, massasini mk bilan, unga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilarini mos ravishda Fke , Fki bilan belgilaymiz (187-rasm). U holda sistema nuqtalari harakatining differensial tenglamalari Nyutonning ikkinchi qonuniga binoan quyidagicha yoziladi: z M k xk , y k , z k Fki Fke rk 0 y x mk k Fke Fki k 1, N . (19.5) (19.5) ni Dekart koordinata o`qlariga proeksiyalab quyidagi 3N ta tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz: mk xk X ke X ki ; mk yk Yke Yki ; k 1 mk z k Z ke Z ki . Bu tenglamalar sistemasi mexanik sistema harakatining Dekart koordinata o`qlaridagi differensial tenglamalari deyiladi. Bu tenglamalarning o`ng tomoni umumiy holda t vaqtga hamda sistemani tashkil qiluvchi barcha nuqtalarning koordinatalarining vaqt bo`yicha hosilasiga bog`liq bo`ladi. Bu tenglamalar sistemasining, umumiy holda, mexanik sistema hatto bitta nuqtadan tashkil topganda ham aniq yechimi topilmagan. Lekin hozirgi zamon elektron 218 hisoblash mashinalarni qo`llab bu tenglamalarning taqribiy yechimini juda katta aniqlik bilan topish mumkin. Ko`pincha (19.6) tenglamalarda qatnashuvchi ichki kuchlar ham noma’lum bo`ladi, shu sababli masalani yechish murakkablashadi. 3. Bog`lanishdagi mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari Agar sistema nuqtalariga bog`lanishlar qo`yilgan bo`lsa, u holda bog`lanishlardan bo`shatish haqidagi aksiomaga ko`ra, ta’sir etayotgan Fk aktiv kuchlar qatoriga N k bog`lanish reaksiya kuchlarini ham qo`shish kerak. Natijada mexanik sistemani Fk aktiv kuchlar va N k reaksiya kuchlari ta’siridagi erkin mexanik sistema deb qaraladi. Bunday sistema harakatning differensial tenglamalari Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan quyidagicha yoziladi: rc const , ya’ni sistema harakatlanganda sistemaning massalar markazi tinch holatda qoladi. Faraz qilaylik, sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning bosh vektori noldan farqli bo`lib, uning biror o`qdagi proeksiyasi nolga teng bo`lsin: R xe X e 0. U holda (21.4) tenglamalarning birinchisidan xc 0 x c const kelib chiqadi. Demak, sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning biror o`qdagi proeksiyalarining algebraik yig`indisi nolga teng bo`lsa , sistema massalar markazi tezligining shu o`qdagi proeksiyasi o`zgarmas bo`ladi. Xususan, agar boshlang`ich paytda xc vcxo 0 bo`lsa, sistemaning harakati davomida vcx 0 bo`ladi, ya’ni bu holda sistema massalar markazining koordinatasi xc o`zgarmay qoladi: xc x co const . 219 Olingan natijalar sistema massalar markazi harakatining saqlanish qonunini ifodalaydi. Sistema massalar markazi harakatining saqlanish qonunini qo`llashga oid bir necha misollar keltiramiz. 1. Havoning qarshiligini hisobga olmay, gorizontga nisbatan qiyalatib v0 boshlang`ich tezlik bilan otilgan to`p o`qining og`irlik kuchi ta’siridagi harakatini tekshiramiz. O`q uchib ketayotganda havoda yorilsa, uning bo`laklari turli tomonga uchib ketadi, lekin bo`laklarning birortasi yerga borib tushguncha ularning massalar markazi ilgarigi harakatini davom ettiradi. Bo`lakchalardan birortasi yerga tushgandan so`ng, sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarga Yerning reaksiya kuchi ham qo`shilib, o`q massalar markazining harakatini o`zgartiradi. O`q yorilganda hosil bo`ladigan kuchlar mohiyati bo`yicha ichki kuchlardan iborat bo`lgani uchun ular o`q massalar markazining harakatini o`zgartira olmaydi. 2. gorizontal Absolyut silliq gorizontal tekislik ustida turgan odam o`zicha yo`nalishda harakat qila olmaydi. Chunki odamning og`irligi va gorizontal silliq tekislikning normal reaksiyasi tashqi kuchlar bo`lib, bu ikkala kuch vertikal yo`nalgani sababli ularning gorizontal o`qdagi proeksiyalari yig`indisi nolga teng. Agar odam boshlang`ich paytda tich holatda bo`lsa, massalar markazi harakatining saqlanish qonunida ko`ra u, o`z gavdasining massa markaziga gorizontal ko`chish bera olmaydi. Masalan, odam o`ng oyog`ini oldinga ko`targanda uning chap oyog`i orqaga suriladi va massalar markazi o`z joyida qoladi. Odamning oyoq kiyimi bilan gorizontal tekislik orasida sirpanishdagi ishqalanish mavjud bo`lganda, odam chap oyog`ining orqaga ketishiga qarshilik ko`rsatadigan va oldinga yo`nalgan ishqalanish kuchi ta’sir etadi. Bunda ishqalanish kuchi tashqi kuch bo`lib, odamning oldinga harakat qilishiga imkon beradi. 3. Parovoz, avtomobil va shunga o`xshash sistemalarning gorizontal yo`nalishdagi harakatini ham shunday tushuntirish mumkin. Dvigateldagi gazning porshenga bosimi avtomobilga nisbatan ichki kuch bo`lganligi tufayli avtomobilning massalar markazini harakatlantira olmaydi. Dvigateldan yetakchi 220 g`ildiraklarga aylantiruvchi moment uzatilishi hisobiga yetakchi g`ildirak aylanadi. Avtomobil o`ngga harakatlanganda yetakchi g`ildirakning tekislikka tegib nuqtasi chapga siljishga intiladi. U holda g`ildirakka o`ng tomonga yo`nalgan ishqalanish kuchi ta’sir etadi. Bu kuch tashqi kuch bo`lib, avtomobil massalar markazining o`ng tomonga siljishiga imkon beradi. Agar ishqalanish kuchi bo`lmasa, yoki bu kuch yetaklanuvchi g`ildirakning qarshiligini yenga olmasa, avtomobil harakatlana olmaydi. Bunda yetakchi g`ildirak aylansa-da avtomobil joyidan qo`zg`almaydi. Izoh. Yetaklanuvchi g`ildirakka aylantiruvchi moment ta’sir qilmasdan, balki uning o`qiga qo`yilgan kuch ta’sir qiladi. Bu kuch ta’sirida hamma g`ildiraklar va ular bilan birga g`ildirakning tekislikka tegib turgan nuqtasi ham avtomobil bilan birgalikda o`ng tomonga siljiydi. Bunda g`ildirakka orqaga yo`nalgan ishqalanish kuchi ta’sir etadi. Bu kuch tashqi kuch bo`lib, g`ildirak harakatini to`xtatishga intiladi. 221 Nazorat savollari 1. Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 2. Bog’lanishlar nima? Ularning qanday turlarini bilasiz? 3. Golonom va nogolonom sistemalar deb nimaga aytiladi? 4. Ichki va tashqi kuchlar kuchlar ta’rifini bering. 5. Sistemaning harakat miqdori nimaga teng? 6. Sistemaning kinetik momenti nimaga teng? 7. Sistemaning kinetik energiyasi qanday ifodalanadi? 8. Sistema harakatining differensiyal tenglamalari qanday yoziladi? Xulosa Mexanik sistemaning harakati tashqi va ichki kuchlarga bog’liq bo’ladi. Har qanday ichki kuchga qarama-qarshi yo’nalgan boshqa kuch mos keladi (miqdor jihatdan o’zaro teng). Demak: 1)Barcha ichki kuchlarning bosh vektori nolga teng. 2)Barcha ichki kuchlarning ixtiyoriy markazga va koordinata o’qlariga nisbatan bosh momentlari nolga teng bo’ladi. Sistemaning massalar markazi tushunchasi og’irlik markaziga nisbatan umumiyroq tushunchadir. O’girlik markazi tushunchasi Yerning tortish kuchi maydonida joylashgan mexanik sistemaga nisbatan o’rinlidir. 222 18- mavzu Sistema dinamikasining umumiy teoremalari. 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars) Mavzu rejasi 6. Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. 7. Sistema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teorema. 8. Sistema kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema. O`quv mashg`ulotning Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari va uning maqsadi nazariy hamda amaliy ahamiyati haqida tushuncha berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Sistema harakat miqdorining Sistemaning harakat miqdori haqida va o’zgarishi haqida tushunch berish. uning o’zgarish qonunlari to’g’risida yetarlibilimga ega. Sistema kinetik momentining Sistemaning kinetik momenti va uning o’zgarishi haqidagi teoremaga o’zgarishi haqida tushunchaga ega. tushuncha berish. Sistema kinetik energiyasining Sistemaning kinetik energiyasi to’risida o’zgarishi haqida tushuncha berish. Kyoning teoremasini eslab qoladi. Kinetik energiyaning o’zgarishi haqidagi teorema haqida tushunchaga ega. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 223 1.2. “Sistema dinamikasining umumiy teoremalari” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 224 Tingloichi faoliyatining Mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 18-Ma’ruza Sistema dinamikasining umumiy teoremalari. Reja: 1. Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. 2. Sistema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teorema. 3. Sistema kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema. Adabiyotlar: [1], 24-46 sah, [5], 352-412 sah, [8], 121-130 sah. Tayanch iboralar: Mexanik sistema, absolyut qattiq jism, ichki va tashqi kuchlar, sistemaning harakat miqdori, sistemaning kinetik momenti, sistemaning kinetik energiyasi. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to’ldirishga – ball Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 1.Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 2.Ichki va tashqi kuchlar qanday kuchlar? 3.Massalar markazi deb qaysi nuqtaga aytiladi? 4.Tashqi va ichki kuchlarning bajargan ishi qanday topiladi? 5.Kyonig teoremasini ta’riflang? 6.Energiya integrali deb nimaga aytiladi? 225 Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar 1 Mexanik sistema. 2 Ichki va tashqi kuchlar. 3 Ichki va tashqi kuchlarning bajargan ishi. 4 Sistemaning harakat miqdori. 5 Sistemaning kinetik momenti. 6 Sistemaning kinetik energiyasi. 7 10 Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. Sistema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teorema. Sistema kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema. Sistemaning potensiyal energiyasi. 11 Sistemaning to’la energiyasi. 12 Energiyaning saqlanish qonuni. 8 9 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 226 Belgi 18- Ma’ruza Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari. 1.Sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema. Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin. Sistemaning ixtiyoriy M k nuqtasiga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilari mos ravishda Fke , Fki bo`lsin. U holda sistema nuqtalari harakatining differensial tenglamalari quyidagicha yoziladi: d mk v k Fke Fki , k 1, N dt (21.14) tenglamalar sistemasini qo`shamiz: d m k v k Fke Fki , dt Bunda m v k k K - sistemaning harakat miqdori; e k F R e - tashqi kuchlarning bosh vektori. Ichki kuchlarning xossasiga ko`ra i k F 0 Natijada (21.15) ni quyidagicha yozish mumkin: dK R e. dt (21.16) tenglama sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: sistema harakat miqdorining vaqt bo`yicha birinchi xosilasi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarnining bosh vektoriga teng. (21.16) ni Dekart koordinata o`qlariga proeksiyalab,sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremani skalyar ko`rinishda yozamiz: dK x Rxe dt dK y R ye dt dK z R ze dt (21.17) Ya’ni, sistema harakat miqdorining biror o`qdagi proeksiyasidan vaqt bo`yicha olingan hosila, sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar bosh vektorning mazkur o`qdagi proeksiyasiga teng. 227 Sistema harakat miqdorining chekli vaqt ichida o`zgarishini aniqlash uchun (21.16) ni dt ga ko`paytirib, integrallaymiz: i K K 0 R e dt 0 yoki (21.18) K K0 S e. Bunda K 0 bilan t 0 boshlang`ich paytdagi, K bilan ixtiyoriy t vaqtdagi t sistemaning harakat miqdori belgilangan: S e R e dt t vaqt ichida sistemaga ta’sir 0 etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining impulsi. (21.18) ifoda chekli vaqt ichida sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqida gi teoremani ifodalaydi: sistema harakat miqdorining chekli vaqt ichida o`zgarishi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining shu vaqt ichidagi impulsiga teng. (21.18) ni Dekart koordinata o`qlariga proeksiyalab quyidagini yozamiz: K x K 0 x S xe , K y K 0 y S ye , K z K 0 z S ze , (21.19) Sistema harakat miqdorinining o`zgarishi haqidagi teorema bilan sistema massalar markazining harakati haqidagi teoremalar orasidagi munosabatni aniqlaymiz. Buning uchun (21.6) ni (21.16) ga qo`yamiz: d Mvc R e dt yoki M wc R e Bu munosabat sistema massalar markazi harakati haqidagi teoremani ifodalashi bizga ma’lum. Shunday qilib, umuman olganda, sistema massalar markazining harakati haqidagi teorema va sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema bitta teoremaning ikki xil ko`rinishi ifodalaydi. Qattiq jismning harakatini 228 o`rganishda bu teoremalarning istalgan birortasidan foydalanish mumkin. Bunda ko`pincha, massalar markazining harakati haqidagi teoremadan foydalaniladi. Biroq, tutash muhit (suyuqlik yoki gazlar) uchun butun sistemaning massalar markazi tushunchasi amalda o`z ma’nosini yuqotadi. Shu sababli, bu holda masalalar yechganda sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremadan foydalanish maqsadga muvofiq bo`ladi. Sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremadan zarba nazariyasida, raketalar harakatini o`rganishda va boshqa bir qator amaliy masalalarni yechishda ham samarali foydalanish mumkin. 2.Sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teorema Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin. Sistemaning biror ixtiyoriy M k nuqtasini olib, unga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlar teng ta’sir etuvchilarini mos ravishda Fke , Fki bilan belgilaymiz (211-rasm). Moddiy nuqta uchun chiqarilgan harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teoremani mexanik sistemaning har bir nuqtasi uchun qo`llab quyidagiga ega bo`lamiz: dl ok M o Fke M o Fki , k 1,2,...N , dt Bu yerda l ok r m k v k – nuqta harakat miqdorining O markazga nisbatan momenti. Bu ifodalarni qo`shamiz: d l ok M o Fke M o Fki . dt Ichki kuchlarning xossasiga ko`ra M F 0. o i k U holda (21.34) ga muvofiq (21.47) ni ushbu ko`rinishda yozamiz: dLo M o Fke . dt yoki dLo M oe , dt 229 Bu yerda M oe M o Fke rk Fke – sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi O tashqi kuchlarnintg O markazga nisbatan bosh momenti. (21.48) ifoda sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: mexanik sistemaning biror qo`zg`almas markazga nisbatan kinetik momentining vaqt bo`yicha xosilasi sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning shu markazga nisbatan bosh momentiga teng. (21.48) ifodaning har z ikkala tomonini x, y, z o`qlarga M 0e proeksiyalaymiz: M0 dLx M x Fke , dt dL y e M y Fk , dt dLz e M z Fk . dt rk mk v k Fki Fke o (21.49) y x Demak, mexanik sistemaning biror qo`zg`almas o`qqa nisbatan kinetik momentidan vaqt bo`yicha olingan hosila sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlaning shu o`qqa nisbatan momentlarining yig`indisiga teng. Sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teoremadan qattiq jismning aylanma harakatini o`rganishda, giroskoplar nazariyasida keng foydalaniladi. Bu teoremaning afzalligi shundan iboratki, sistema harakat miqdorining o`zgarishida oid teoremadagidek , oldindan noma’lum bo`lgan ichki kuchlar qatnashmaydi. 3.Sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema Mexanik sistema N ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan bo`lsin. Sistemaning har bir nuqtasiga aktiv kuchlardan tashqari, bog`lanish reaksiya kuchlarini ham qo`yamiz va sistema nuqtalariga qo`yilgan kuchlarni ichki va tashqi kuchlardan iborat ikki guruhga ajratamiz. Sistemaning M k nuqtasiga ta’sir etayotgan tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilari mos 230 ravishda Fke , Fki bo`lsin. U holda sistemaning har bir nuqtasini Fke vaFki kuchlar ta’siridagi erkin nuqta deb qarash mumkin. Binobarin, (21.100) ga asosan sistemaning har bir nuqtasi kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremaning differensialli ifodasi quyidagicha yoziladi: m v2 d k k dAke dAki , 2 k 1,2,....., N , (21.107) Bunda, dAke va dAki – mos ravishda, sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlarning elementar ishlari. (21.107) ifodani hadlab qo`shamiz: m v2 d k k dAke dAki 2 yoki dT dAke dAki , Bunda – T mk v k2 sistemaning kinetik energiyasi. (21.108) tenglama sistema 2 kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremaning differensialli ifodasidi: sistema kinetik energiyasining differensiali sistemaga ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlar elementar ishlarining yig`indisiga teng. (21.108) ni integrallab sistema nuqtalarining chekli ko`chishlarida kinetik energiyasining o`zgarishiga oid teoremaga ega bo`lamiz. T T0 Ake Aki (21.109) Bunda: T0 va T –mos ravishda sistemaning sistemaning boshlang`ich va istalgan paytdagi kinetik energiyalari; Ake –sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning ishi; Aki –ichki kuchlatning chekli qo`shishdagi ishlari. (21.109) munosabat sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: sistemaning holatdan ikkinchi holatga ko`chishida kinetik energiyasining o`zgarishi sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi barcha tashqi va ichki kuchlarning mos ko`chishlardagi ishlarining yig`indisiga teng. (21.108) va (21.109) dan ko`ramizki sistema dinamikasining boshqa umumiy teoremalarida farqli ravishda, sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremada ichki kuchlar ham qatnashadi. 231 O`zgarmas mexanik sistema uchun (yoki absolyut qattiq jism uchun) ichki kuchlar bajargan ishlarning yig`indisi nolga teng bo`ladi. Bu holda (21.109) quyidagicha yoziladi T T0 Ake . (21.110) Ya’ni o`zgarmas mexanik sistema (yoki absolyut qattiq jism) bir holatdan ikkinchi holatga ko`chishida kinetik energiyasining o`zgarishi mazkur sistema (yoki qattiq jism) nuqtalariga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning mos ko`chishlaridagi ishlarining yig`indisiga teng. Agar mexanik sistemani tashkil qiluvchi nuqtalar qo`zg`almas silliq sirtlar ustida harakatlansa, bog`lanish reaksiya kuchlari mazkur sirtlarga o`tkazilgan normal bo`yicha yo`nalgani uchun sistema nuqtalarining har qanday ko`chishida bog`lanish reaksiya kuchlarining ishi nolga teng bo`ladi va (21.109) da bog`lanish reaksiya kuchlari qatnashmaydi. 232 Nazorat savollari. 1. Sitemaning harakat miqdori deb nimaga aytiladi? 2. Sistemaning kinetik momenti deb nimaga aytiladi? 3. Sistemaning kinetik energiyasi nimaga teng? 4. Tashqi va ichki kuchlarning bajargan ishi nimaga teng? 5. Sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema nima deydi? 6. Sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teoremani ta`riflang? 7. Sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema qanday ta`riflanadi? Xulosa Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari harakat tenglamalarining bevosita natijasi bo`lib, sistemaga ta`sir etuvchi kuchlar bilan dinamik miqdorlar orasidagi bog`lanishni aniqlab beradi. Sistema dinamikasining umumiy teoremalaridan ba`zi hollarda harakatning birinchi integrallarini aniqlash mumkin. Ushbu inegrallar sistemaning harakatini aniqlashda yetakchi rol o`ynaydi, va demak, amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyetga ega. 233 19- mavzu Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining umumiy formulalari. 1.1. Mavzuning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 ta O’quv mashg’ulot Ma’ruza (axborotli dars) shakli 1.Sistemaning massalar markazi va uning koordinatalari. 2. Sistemaning inersiya momentlari.Inersiya Mavzu rejasi momentlarining umumiy formulalari. 3.Jismning parallel o`qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblash. Gyugens-Shtayner teoremasi. O`quv mashg`ulotning Absolyut qattiq jism dinamikasida katta ahamiyatga ega maqsadi bo`lgan massalar geometriyasi haqida ma`lumot berish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Sistemaning massalar markazi Sistemaning massalar markazi va uning haqida tushuncha berish. koordinatalarini topish haqida tushunchaga ega. Sistemaning inersiya momentlari Sistemaning inersiya momentlari haqida haqida tushuncha berish. yaxshi bilimga ega. Gyugens-Shtayner teoremasini Gyugens-Shtayner teoremasini eslab isbotlab berish. qoladi. O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,mokpyuter saydlari,doska O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish. O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar, blis-so’rov baholash 234 1.2. “Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining umumiy formulalari ” mavzusining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 1savollarni va o`quv faoliyati natijalarini Mavzuga aytadi. kirish 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) bosqich 1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha (20min) ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). 2bosqich 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Asosiy 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’lim. bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). (50min) 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. 19-Ma’ruza 235 Tingloichi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining umimiy formulalari. Reja: 4. Sistemaning massalar markazi va uning umumiy formulalari. 5. Sistemaning inersiya momentlari. Inersiya momentlarining umumiy formulalari. 6. Jismning parallel o`qlarga nisbatan inersiya momemtlarini hisoblash. Gyugens-Shtayner teoremasi. Adabiyotlar: [1], 128-147 sah, [5], 333-352 sah. Tayanch iboralar: Mexanik sistema, massalar markazi, inersiya momentlari, birinchi va ikkinchi darajali inersiya momentlari, o`qqa nisbatan inersiya momenti. Belgilar: MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat, MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala Baholash mezoni : Har bir savol javobiga – ball Har bir qo’shimcha fikrga – ball Har bir javobni to`ldirishga- ball Mavzuni jonlantirish uchun blis- so`rov savollari 1.Mexanik sistema nima? 2.Absolyut qattiq jism deb nimaga aytiladi? 3.Massalar markazi qanday aniqlanadi? 4.Sistemaning inersiya momentlari deb nimaga aytiladi? 5.O’qqa nisbatan inersiya momenti qanday aniqlanadi? Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 236 № Asosiy tushunchalar 1 Mexanik sistema. 2 Absolyut qattiq jism. 3 Sistemaning inersiya momentlari. 4 Birinchi darajali momentlar. 5 Ikkinchi darajali momentlar. 6 O`qqa nisbatan inersiya momenti. 7 Qattiq jismning inersiya momenti. 8 Gyugens-Shteyner teoremasi. 9 10 Insert jadvali qoidasi. V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - Yangi ma’lumot. – - olgan bilimiga qarama-qarshi. ? – tushunarsiz, 237 Belgi Mavzu: Massalar geometriyasi Tayanch iboralari: massa, readus-vektor, absolyut qattiq jism, statik moment, inersiya momenti, inersiya radiusi, inersiya tenzori vainertsiya ellipoidi. Reja 1. 2. 3. 4. 5. 6. Massalar taqsimoti; Birinchi darajali momentlar; Ikkinchi darajali momentlar; O’qqa nisbatan inersiya momenti; Parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya momenti; Bir nuqtadan chiquvchi to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya mopmenti; 7. Inersiya tenzori. Inersiya ellipsoidi. 1. Massalar taqsimoti. Absolyut qattiq jism dinamikasida massalar taqsimoti muhum ahamiyatga ega. Massalar taqsimotini xarakterlovchi kattalikka moment deyiladi. Moment sistema nuqtalari massalarini ular koordinatalarining bir jinsli funksiyalari ko’payitmalari yig’indisini ifodalaydi, ya’ni mi xi y i z i i ko’rinishda bo’ladi. n ga moment darajasi deyiladi. Agar sistema massasi uzluksiz taqsimlangan va jism zichligi koordinatalarning bir jinsli funksiyasi bo’lsa, moment hajm integral ko’rinishida ifodalanadi, ya’ni ( x, y, z) x y z dxdydz (V ) Agar jism bir jinsli bo’lsa ya’ni jismning zichligi koordinatalardan bog’liq bo’lmasa , moment quydagi ko’rinishda ifodalanadi: x y z dxdydz . (V ) Bu hplda moment zichlikning faqat koordinatalarning funksiyasidan hajm bo’yicha olingan integralning ko’paytmasini ifodalaydi. Bu integral geometrik miqdor bo’lgani uchun n-darajali geometrik moment deyiladi. Shunday qilib bir jisnsli bolgan holda moment zichlik bilan geometrik moment ko’payitmasiga teng. Texnikada odatda birinchi va ikkinchi darajali momentlar kuzatiladi, yuqori darajali momentlar mustahkamlik nazariyasida ba’zan qo’laniladi. 2. Birinchi darajali momentlar. m r i i ( ri mi massalar zarrachaning radius i –vektor) ko’rinishda ifodalangan miqdorlarga statik momentlar yoki birinchi darajali momrntlar deyiladi.Bu ifodaga sistemaning O markazga nisbatan statik momenti deyiladi. Biz ma’lumki 238 m r Mr i i c i bu yerda M butun sistemaning massasi, rc -massalar markazining radiusvektori. Agar O markaz massalar markazi bilan ustma-ust tushsa, m r i i statik i moment nolga teng bo’ladi. Statik momentni quyidagi ko’rinishda yozamiz: m r m x i m y j m z k . m x , m y , m z miqdorlar mos ravishda yz, zx, xy i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i tekisliklariga i nisbatan statik momentini ifodalaydi. m x Mx , m y My , m z Mz , i i c i i i c i i i c i bu yerda x c , y c , z c lar massalar markazining koordinatalari. Statik momentning o’lchavi massa o’lchovi bilan uzluksiz o’lchovli ko’payitmasiga teng. Agar O markaz sistema massalar markazi bilan ustma –ust tushsa, koordinatalar tekisliklariga nisbatan statik momentlar nolga teng bo’ladi. 3. Ikkinchi darajali momentlar. Quyidagi ko’rinishdagi darajali momentlar deyiladi: m x , J m y , J m z J m y z , J m z x , J m x y ; m ( y z ), J m ( z x ), J m (x J m (y z x ) m r , J yz i 2 i zx 2 i i xy i yz i i i zx i i i xy i i 2 i 2 i yy 2 i 2 i zz i i i i 2 i i i i i 0 ; i i i 2 i i i J xx miqdorlarga ikkinchi 2 i y i2 ) ; i 2 i i 2 i 2 i i i Ulardan birinchi uchtasi mos ravishda yz, zx, xy tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari, ikkinchi uchtasi markazdan qochma momentlar yoki inersiyalar ko’paytmasini, uchinchi uchtasi mos ravishda x,y,z o’qlariga nisbatan inersiya momentlarini va oxirgisi O nuqtaga nisbatan inersiya momentini ifodalaydi. 1)Ikkinchi darajali momentning o’lchovi massa o’lchovi bilan uzunlik o’lchovi ko’paytmasiga, teng. Bu miqdorning o’lchov birligi: SI sistemasida kg m2 texnik o’lchov birliklar sistemasida 1kg m sek2 . 2) Uchta o’zaro perpendikulyar tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari yig’indisi markazga nisbatan inersiya momenttiga teng, ya’ni J yz J zx J xy J 0 . 3)Uchta o’zaro perpendikuliar o’qlarga nisbatan inersiya momentlari yig’indisi markazga nisbatan inersiya momentining ikkilanganiga teng, ya’ni J xx J yy J zz 2J 0 . 239 4)Ikkita o’qqa nisbatan inersiya momentlari yig’indisi uchunchisidan hamma vaqt katta, ya’ni J xx J yy J zz , J zz J yy J xx , J xx J zz J yy Haqiqatan ham m (y i 2 i z i2 ) i bundan m (y i i 2 i m (z i 2 i xi2 ) i 2 i z ) m (z i 2 i m (x i 2 i m z y i2 ) 2 i 2 i x ) i m (x i 2 i 2 i i , i 2 i y ) va h.k. i 4. O’qqa nisbatan inersiya momenti. Sistemaning (qattiq jismning ) o’qqa nisbatan masalan, x o’qiga nisbatan inersiya momenti deb sistema nuqtalari masalarining shu nuqtalardan aylanish o’qigacha bo’lgan masofalar kvadratlari ko’paytmalari yig’indisiga, ya’ni mi hi2 ga aytiladi. Agar sitema tutash i to’ldirilgan qattiq jismdan iborat bo’lsa, jism elementar zarrajasining massasi dV ga teng bo’ladi ( -jism zichligi , dv- elementar hajm ) shuning uchun x o’qiga nisbatan inersiya momenti jismning butun hajmi bo’yicha olingan hajm integrali orqali ifodalanadi,ya’ni J xx h dV ( x, y, z)( y 2 2 z 2 )dxdydz (V ) Agar jism bir jinsli bo’lsa, ( =const) yuqoridagi formula quyidagi ko’rinishga keladi: J xx h 2 dV , v bu yerda 2 h dV hajmning geometrik inersiya momenti. v Agar jism qalinligi b ga teng bo’lgan yupqa plastinkadan iborat bo’lsa, dv bd (bu yerda d plastinkaning elementar yuzasi) bo’lib, plastinkaning x o’qiga nisbatan inersiy momenti quydagicha topiladi. J xx h 2 dl , v bu yerda b -sirtning zichligi. Agar jism ko’ndalang kesm yuzasi bo’lgan ingichka sterjndan iborat bo’lsin. U holda elementar hajmni dv dt ko’rinishda ifodalash mumkin, dl- elementar uzunlik. Bu holda sterjnning x o’qiga nisbatat inersiya momenti quydagicha hisoblanadi: J xx b h 2 d , v bu yerda - chiziqli zichlik. Sistemaning biror x o’qqa nisbatan inersiya momentini quydagicha korinishda ham tasvirlash mumkin: 240 J xx m h 2 i i M xx2 , i bu yerda M- butun sistema massasi, xx -miqdorga sistemaning x o’qiga nisbatan inersiya radiusi deyiladi. xx - massasi butun sistema massasiga teng bo’lgan shunday nuqtagacha bo’lgan, masofa bo’lib, bu nuqtaning x o’qiga nisbatan inersiya momenti butun sistemaning x o’qiga nisbatan inersiya momentiga teng. Yuqorida tenglikdan: xx J xx M . Ba’zi oddiy jismlarning inersiya momentlarini qaraymiz: 1) Bir jinsli ingichka xalqa. Xalqaning massasi M va radiusi R bo’lsin. Xalqa markazidan xalqa tekisligiga perpendikulyar Cx o’qini o’tkazamiz (3-rasm). U holda xalqaning ixtiyoriy nuqtasi Uchun hi R va J x mi hi2 mi R 2 MR 2 (14) i i Xuddi shunday formulani yupqa dekartli silindrik qobiq uhun ham hosil qilish mumkin 2) Bir jinsli doiraviy pilastinka. Plastinkanig massasi M, radusi R bo’lsin. Plastinkani ingichka konsentrik xalqalarga ajratamiz (1-rasm). Eni ri va radusi ri bo’lgan halqaning yuzi 2ri ri va massasi formulaga asosan bu M 2ri ri R 2 xalqaning plastinka bo’ladi. U holda (14) markazidan uning tekisligiga perpendikuliar bo’lib o’tuvchi Cx o’qqa nisbatan inersiya momenti ( M 2ri ri ) ri 2 2 R ga teng. ri R C C ri R 2-rasm 1-rasm Bu miqdorlarni yig’ib ri 0 n da limitga o’tsak plastinkaning inersuya momenti uchun quyidagi firmulani hosil qilamiz: 2M Jl 2 R R 0 2M R 4 r dr 2 R 4 3 241 va demak Jl 1 MR 2 2 (15) Xuddi shunday formulani massasi M va radiusi R bo’lgan bir jinsli silindr uchun ham hosil qilish mumkin. x x C h h 3-rasm 3. Bir jinsli ingichka sterjn. Sterjen massasi M, uzunligi l bo’lsin (2-rasm). Sterjnning uning bir uchidan unga perpendikuliar bo’lib o’tuvchi Ax o’qqa nisbatan momentini hisoblaymiz. Sterjnning hi uzunlikdagi bo’lakchasining massasi Jx m h 2 i i yoki Jx i M hi ga teng. l Ml h h 2 i i i bu tenglikda hi 0 n da limitga o’tib quyidagi formulani hosil qilamiz M Jl l l 0 M l3 h dh l 3 2 (16) 5. Parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya momenti. Gyugens (Shteyner) teoremasi O’qqa nisbatan inersuya momentining ta’rifidan ko’rinib turibdiki, x o’qqa nisbatan inersiya momenti o’qning x holatiga bog’liq, ta’ni o’qning holati hi hi M ( xi , y i , z i ) o’zgarishi bilan inersiya momentining qiymati o’zgardi. Shu maqsad bilan parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan d inersiya momentlari orasidagi C ( xi , y i , z i ) bog’lanishni topamiz. z O’qlari o’zaro parallel bo’lgan y Cxyz va boshi sistema massalar markazida bo’lgan C x y z koordinatalar sistemalarini plamiz (4-rasm). Sistemaning x o’qiga nisbatan inersiya z momentini olamiz. y J xx 4-rasm m h m (y 2 i i i 242 i ш 2 i z i2 ) . (1) Sistema massalar markazining Oxyz koordinatalar sistemasiga nisbatan koordinatalari x c , y c , z c bo’lsin. U holda y i y i' y c O z i z i' z c lar M nuqtaning C x y z koordinatalar sistemasiga nisbatan bu yerda xi' , y i' , z i' inersiya momenti. Bularni (1) tenglikka qo’yamiz: J xx m ( y y ) i ' i c 2 ( z i' z c ) 2 ш m ( y i i 2 zi 2 ) i m (y i m (y y 2 c z c2 ) 2 i i ' i c z i' z c ) i (2) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchi sistemaning o’qqa nisbatan inersiya momentini ifodalaydi, ya’ni J xx mi ( y i2 z i2 ) . x ш Ikkinchi qo’shiluvchini qaraymiz: m (y i 2 с z с2 ) ( y c2 z c2 ) i m Md 2 i i bu yerda M- butun sistema massasi, d- x va x o’qlar orasidagi masofa. Endi uchinchi qo’shiluvchini qaraymiz. m (y y i ' с c z с' z c ) y c i m y z m z i i c i i i i bu yerda m y 0 i m z 0 i i i i i Shunday qilib J xx J xx Md 2 . (3) (1) tenglik Gyugens (Shteyner) teiremasini ifodalaydi. Teorema. Sistemaning biror o’qqa nisbatan inersiya momenti shu o’qqa parallel va sistema massalar markazidan o’tuvchi o’qqa nisbatan inersiya momenti bilan butun sistema massasining o’qlar orasidagi masofa kvadratiga ko’payitmasi yig’indisiga teng. Agar x va x o’qlarga nisbatan inersiya radiuslarini kiritsak, u holda xx2 x2x d 2 (4) (3) yoki (4) tengliklardan shunday xulosa kelib chiqadiki, parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya momentlari orasida sistema massalar markazidan o’tuvchi o’qqa nisbatan inersiya momenti eng kichik bo’lar ekan. Gyugens teoremasidan foydalanib, parallel to’g’ri chiziqlar dastasining birorta o’qiga nisbatan inersiya momenti ma’lum bo’lsa, dastaning ixtiyoriy o’qiga nisbatan inersiya momentini topish mumkin. Faraz qilaylik dastaning 1 o’qiga nisbatan inersiya momenti J1 bo’lsin, u holda Gyugens teoremasiga asosan: J1 =Jc +Md2 , (5) bu yerda J c -1 o’qqa parallel va sistema markazidan o’tuvchi o’qqa nisbatan inersiya momenti, d1 –massalar markazidan o’tuvchi o’q bilan 1 o’q orasidagi 243 masofa. 1 o’qqa parallel 2 o’qqa nisbatan inersiya momenti uchun Gyugens teoremasini yizamiz: J1 =Jc +M d 22 (6) (5) va (6) tengliklardan quyidagi munosabatni hosil qilamiz: J1 =Jc +M d 22 d12 (7) Gyugens teoremasi nafaqat o’qqa nisbatan inersiya momenti balki barcha ikkinchi darajali momentlar o’rinli bo’ladi, ya’ni 2 mi xi2 mi x i 2 Mxc va h.k. m y z m yz My z va h.k. m ( x y z ) m ( x y z ) Mx i i i i i i i i i c c i i 2 i 2 i 2 i i 2 i i 2 i 2 i 2 c y c2 z c2 ) . i 6. Bir nuqtadan chiquvchi to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya momenti Sistemaning O nuqtadan o’tuvchi l o’qqa nisbatan inersiya momentini topamiz. l o’qning Oxyz koordinatalar sistemasi o’qlariga nisbatan yo’nalishi uning yo’naltiruvchi kosinuslari , , lar bilan aniqlanadi. Albatta sistemaning l o’qiga nisbatan inersiya momenti yo’naltiruvchikosinuslarning funksiyasi bo’ladi. O’qqa nisbatan inersiya mometining ta’rifiga asosan: Jl m h 2 i i i bu yerda hi -mi massali nuqtadan l o’qigacha bo’lgan masofa. Mi nuqtaning O nuqtaga nisbatan radiusi OM i ri hamda r xi i y i j z i k . U holda r l 0 x i y i z i ri cos i z M i ( xi , y i , z i ri hi l o y x 5-rasm bu yerda i ri va l0 lar orasida burchak. hi ri sin i bo’lgani uchun 244 Jl m h m r 2 i i i i i 2 sin 2 i ш 2 2 2 1 m r i 2 i (ri cos i ) 2 . ш munosabatdan fiydalanib quyidagi munosabatni hosil qilamiz: Jl m ( x i 2 i y i2 z i2 )( 2 2 2 ) ( xi y i z i ) 2 ш yoki J l m ( y i 2 i z i2 ) 2 ( z i2 xi2 ) 2 ( y i2 xi2 ) 2 2 xi y i 2 y i zi 2 zi y i ш Endi quyidagi belgilashlarni kiritamiz: m (y m (z J xx i 2 i z i2 ); i J yy 2 i i m y z ; m x z ; J yz i i i i i i i xi2 ); J yz i i J xx mi ( xi2 y i2 ); J xy mi xi y i i i U holda inersiya momenti uchun quydagi ifodani hosil qilamiz J l J xx 2 J yy 2 J zz 2 2 J yz 2 J xz 2 J xy . (8) 7.Inersiya tenzor. Inersiya ellipsoidi. (8) tenglikdan O nuqtadan o’tuvchi ixtiyoriy o’qqa nisbatan inersiya momentini topish uchun oltita J xx , J yy , J zz , J yz , J zx , J xy nuqtalarni va o’qning yo’naltiruvchi kosinuslar , , larni bilishi yetarli. Bu miqdorlarni quydagi simmetrik matrisa ko’rinishida yozish mumkin: J xx J xy J xz ( J ) J yx J yy J yz J zx J zy J zz (9) (J) matiritsaga inersiya tenzori deyiladi. (9) matiritsaning diaganal bo’ylab joylashgan elementlari o’qlarga nisbatini inersiya momentlarini ifodalaydi , qolgan elemetlari inersiyalar ko’paytmasining – ishora bilan olingan ifodalari. (J) tenzori biror a vektorga ta’sir etirsak, proeksiyalar a vektor komponentalarining chioziqli funksiyalari bilan b vektorni beradi. b vektor a vektorning chiziqli vektor – funksiyasini ifodalaydi. Bu operat siya a vektorni (J) tenzorga ko’paytmasini ifodalaydi va quydagicha yoziladi: b a (J ). b vektorning proyeksiyalari quyidagicha topiladi: bx J xx a x J xy a y J xz a z ; b y J yx a x J zy a y J zz a z ; bz J zx a x J zy a y J zz a z . (J) tenzordan foydalanib, (8) formulani quydagicha almashtirish mumkin. l 0 o’qining l birlik vektorni olamiz: l 0 i j k ; uholda l 0 ( y ) ( J xx J xy J xz )i ( J yx J yy J yz ) j ( J xz J zy J zz )k . l 0 ( J ) vektorni l 0 vektorga skaliar ko’paytiramiz: 245 l 0 ( y )l 0 J xx 2 Y yy 2 J zz 2 2 J yz 2 J zx 2 J xy . (10) J xy J yx ; J yz J zy ; J zx J xz bo’lgani uchun (10) ifoda , , larga nisbatan kvadratik formani ifodalaydi. l o’qini ustida ixtiyoriy A nuqtani olamiz, u holda A nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo’ladi: x R , y R , z R , OA=R. Bulardan , , larning qiymatlrini (8) ifodaga qo’yamiz va quyidagi ifodani hosil qilamiz: J l R 2 J xx x 2 J yy Y 2 J zz Z 2 2 J yz yz 2Yzx zx 2 J xy xy. (11) R ni shunday tanlaymizki z Jl R2 k 2 yoki R k , Jl (12) R bu yerda k o’zgarmas miqdor. U holda J xx x 2 J yy y 2 J zz z 2 2 J yz yz 2 J zx zx 2 J xy xy k 2 . A(x,y,z) 0 y (13) Demak A nuqta geometirik o’rni (13) tenglama bilan aniqlanadigan 2- x 6rasm tartibli sirtni ifodalaydi. J l musbat aniqlangan miqdor va nolga teng emas shuning uchun R chekli va demak (13) sirt cheksi uzoqlashgan nuqtaga ega emas. Demak bu sirt ellipsoid bo’ladi. Bu elepsoidga O nuqtaga nisbatan inersiya illipsoidi deyiladi. k 2 ning har hil qiymatlari uchun o’xshash ellipsoidlar hosil bo’ladi. Shunday qilib jismning har bir O nuqtasiga to’la aniqlangan bitta ellipsoid mos keladi. Agar O nuqta jismning massalar markazi bilan ustma-ust tushsa, u holda bu nuqta uchun qurulgann ellipsoidga markaziy ellipsoid deyiladi. Inersiy ellipsoidining bosh o’qlariga O nuqta uchun jismning bosh inersiyasi o’qlari deyiladi. 246 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Nazorat savollari. Sistemaning massalar markazi qanday topiladi? Sistemaning inersiya momentlari deb nimaga aytiladi? Birinchi darajali momentlar deb nimaga aytiladi? Ikkinchi darajali momentlar deb nimaga aytiladi? O’qqa nisbatan inersiya momentlar deb nimaga aytiladi? Inersiya radiusi nima? Gyugens-Shteyner teoremasini ta’riflang? Xulosa Massalar geometriyasi absolyut qattiq jism dinamikasida muhim rol o’ynaydi. Jism massasining taqsimlanishini xarakterlovchi miqdorlarga momentlar deb aytiladi. Mexanikada asosan birinchi va ikkinchi darajali momentlar uchraydi, yuqori darajali momentlar boshqa fanlarda uchraydi. O’qqa nisbatan inersiya momenti o’qning joylashgan holatiga bog’liq, ushbu bog’lanish Gyugens-Shteyner teoremasi yordamida aniqlanadi. Gyugens-Shteyner teoremasi barcha ikkinchi darajali momentlarga tadbiq etilishi mumkin. Asosiy adabiyotlar 1. Н.Н.Бухгольц. Основной курс теоретической механики. –М.: «Наука», I.II. части, 1976 г. 2. Лойцянский Л.Г. Лурье А.И. Курс теоритической механики. – М.: «Наука», Том I,II. 3. Кильчевский Н.А. Курс теоритической механики.– М.: «Наука», 1977 г. 4. Бутенин Н.В., Лунц Я.П., Меркин Д.Р. Курс теоритической механики. – М.: «Наука», 1985 г. 5. Уразбоев М.Т., Назарий механика асосий курси. - Т.: «Ўқитувчи» 1961 й. 6. Рашидов Т.Р., Шозиётов Ш., Муминов К.Б. Назарий механика асослари. – Т.: 1990 й. 7. Шоҳайдарова П. ва б. Назарий механика. – Т.: 1990 й. 8. Мешчерский И.В. Назарий механикадан масалалар тўплами. –Т.: «Ўқитувчи» 1985 й. 9. Яблонский А.А. Сборник курсовых работ по теоритической механике. – М.: «Наука» 1985 г. 10. Дўсматов О.М., Тилавов А. Назарий механика. – Самарқанд -2001 й. 11. Тўраев Х.Т., Тилавов А. Назарий механика. – Самарқанд -2006 й. 247 «NAZARIY MEXANIKA» FANIDAN AMALIYOT VA LABORATORIYA MASHG’ULOTLARIDA O’QITISH TEXNOLOGIYALARI 248 1-amaliy mashg’ulot Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi. 1.3. ”Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi” mavzusidagi amaliyot mashg’ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25ta O’quv mashg’ulot shakli Individual topshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg’ulot 1.Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasiga doir asosiy tushunchalarni takrorlash va mustahkamlash. Amaliyot rejasi 2.Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish.Uslubiy tavsiyalar. 3.Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4.Mustaqil ish uchun savollar va topshiriqlar. 5.Adabiyotlar. O`quv mashg`ulotning Mavzuga doir masalalar yechish, mavjud metodlardan maqsadi samarali foydalanish ko’nikmalarini hosil qilish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Mavzuga doir asosiy tushunchalarni mustahkamlash. Masalalar yechish bo’yicha uslubiy Qo’yilgan savollarga javob berdilar, masala shartida berilgan kuchlarni shaklda to’g’ri yo’naltiraoladilar. Muvozanat tenglamalarini tuzib, ulardan ko’rsatmalarni o’rganish va ulardan tegishli noma’lumlarni aniqlaydilar. samarali foydalanish. O’qitish vositari Ma’ruza matni, kompyuter slaydlari, doska ekspert varaqlari, grafiklardan foydalanish. O’qitish usullari- Amaliy mashg’ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Individual, guruh O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan taminlangan,guruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar, blis-so’rov baholash 249 1.4. “Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi” mavzusidagi amaliyot mashg’ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1.O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg’ulotidagi faoliyatini baholash ko’rsatkichlari va mezonlari bilan tanishtiradi (1-ilova) 1.3. Mavzu bo’yicha tayorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova) 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlashtiradi. Tingloichi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajradilar. 2.1.Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Echimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2.Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish boyicha maslahatlar beradi. 3.1.Mavzu bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2.Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. 250 Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayorlaydi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 1-amaliy mashg’ulot 1. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari Teorema. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, yani n R Fi 0 . (1.3.2) i 1 To‘g‘ri burchakli Oxyz dekart koordinatalar sistemasini tanlab, (1.3.2) tenglamani koordinata o‘qlariga proyeksialaymiz, natijada uchta skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, ya’ni n n n i 1 i 1 i 1 Rx Fix 0 ; Rу Fiу 0 ; Rz Fiz 0 . (1.3.3) Muvozanatdagi qattiq jism erkin bo‘lmasa, bog‘lanishlar aksiomasidan foydalanib, bog‘lanishlarning jismga ko‘rsatadi-gan ta’sirini ularning reaksiya kuchi bilan almashtiramiz. Natijada avval ham aytilganidek, bunday jismni berilgan kuchlar va bog‘lanish reaksiya kuchlari ta’siridagi erkin jism deb qarash mumkin. (1.3.3) tenglamalardan foydalanib kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini quyidagicha ifodalash ham mumkin: bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun berilgan kuchlarning mos koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari yig‘indisi alohida-alohida nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli. Agar qattiq jismga qo‘yilgan kuchlar sistemasi bir tekislikda joylashgan bo‘lsa, koordinata o‘qlaridan bittasini, masalan, z o‘qini kuchlar tekisligiga perpendikulyar qilib olish kerak. U holda (1.3.3) tenglamalarning uchinchisi aynan nolga teng bo‘ladi, ya’ni n R z Fiz 0. i 1 Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi: n Rx n F ix 0 ; i 1 Ry F iy 0 . (1.3.4) i 1 (1.3.4) tenglamalar sistemasi bir tekislikda joylashgan va bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini ifodalaydi. 2. Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanatiga doir namunaviy masalalarni yechish. Uslubiy tavsiyalar Tekislikda kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanatiga oid masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi. 1. Muvozanati tekshirilayotgan qattiq jismni ajratib, unga ta’sir etuvchi aktiv kuchlar shaklda tasvirlab olinishi kerak. 2. Qaralayotgan qattiq jism erkin bo‘lmasa bog‘lanish aksiomasidan foydalanib, unga qo‘yilgan bog‘lanish reaksiyalarini ham tasvirlab olish zarur (albatta, bog‘lanish turiga e’tibor berish talab etiladi). 251 3. Masalani geometrik usulda yechish uchun qattiq jismga ta’sir etuvchi kuchlar sistemasiga mos kuch ko‘pburchagi yasalib keyin bu ko‘pburchakdan no‘malum miqdor topiladi. 4. Masalani analitik usulda yechish uchun mos koordinatalar sistemasini tanlash kerak (ko‘p hollarda koordinatalar sistemasining boshi sifatida kuch markazi olinadi). 5. Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan (1.3.4) tenglamalar sistemasi tuziladi. 6. Tuzilgan tenglamalar sistemasi birgalikda yechilib, izlanayotgan no‘malum miqdorlar topiladi. Ushbu uslubiy tavsiyalar asosida quyida mavzuga doir ayrim masalalarni yechib ko‘rsatamiz. 4.1-masala (И.B.Мешчерский 2.12.). Tog‘larda qurilgan temir yo‘lda, yo‘lning dara ichidagi bir qismi shaklda ko‘rsatil-gandek osilgan. AB osmaga P=500kN kuch ta’sir qiladi, deb hisoblab, AC va AD sterjenlardagi zo‘riqishlar aniqlansin (15-shakl). Yechish. Masalani avval analitik usul bilan yechamiz. Bu-ning uchun tegishli koordinatalar sistemasini tanlaymiz. Koordinatalar sistemasining boshi sifatida A nuqtani olamiz (16-shakl). A y S1 C 6,4m S2 D 11,65m B 11,65m S2 S1 α P α x P 15-shakl 16-shakl (1.3.3) muvozanat tenglamalarini tuzamiz 3 F ix S1 cos S2 cos 0, i 1 (a) 3 F iy S1 sin S2 sin P 0. i 1 sinα va cosα larni topamiz tg 6, 4 tg 0,549; sin 0,47 , 11,65 1 tg 2 1 cos 0,88 . 1 tg 2 Topilganlarni (a) tenglamalarga qo‘yamiz S1 S2 , 0,48S1 0,48S1 P. Bulardan S1 S2 532kN . Javob: AC va AD sterjenlarning har biri 532kNga teng kuch bilan siqilar ekan. 252 Endi masalani kuch uchburchagidan foydalanib yechaylik. Kuchlarning o‘zo‘ziga parallel ko‘chirib uchburchak yasaymiz (17-shakl). S2 Sinuslar teoremasiga asosan 90-α P S S 1 2 . sin 2 cos cos α P Bundan S1 S 2 P 532kN . sin S1 90-α 17-shakl 4.2-masala (Мешчерский 2.18.). Bir-biriga tik bo‘lgan ikkita silliq AB va BC og‘ma tekisliklarda og‘irligi 60N bo‘lgan bir jinsli shar turibdi. BC tekislik bilan gorizontal tekislik orasidagi burchak 600. Sharning har qaysi tekislikka ko‘rsatadigan bosimi aniqlansin (18-shakl). x y C 600 N α β A O N D P N E 300 N 600 P B 18-shakl 19-shakl Yechish. Koordinatalar sistemasi boshini shar markazi O nuqtada olib, koordinata o‘qlarini shaklda korsatilganday yonaltiramiz. (1.3.3) muvozanat tenglamalarini tuzamiz E D E D 3 3 F ix N D P cos 0, i 1 F iy N E P cos 0 . (a) i 1 Shaklga asosan: 600 , 300 . (a) tenglamalardan 3 52 N , 2 1 N E P cos 600 60 N 30 N . 2 N D P cos 30 0 60 N Endi masalani geometrik usul bilan yechamiz. Kuchlarni o‘z-o‘ziga parallel ravishda ko‘chirib, kuch uchburchagini tuzsak (19-shakl), bu uchburchakdan NE P ND . 0 0 sin 30 sin 90 sin 600 Shunday qilib 1 30 N , 2 3 N D P sin 600 60 N 52 N . 2 N E P sin 300 60 N 4.3-masala (Мешчерский 2.25). Og‘irligi 160N, uzunligi 1,2m bo‘lgan bir jinsli AB sterjen ikkita AC va CB troslar bilan C nuqtaga osib qo‘yilgan. Ikkala trosning uzunligi 1m dan. Troslardagi taranglik kuchlari aniqlansin. (20-shakl) 253 S2 y α C S1 α α S2 x γ S1 A P S2 α α S1 α B 20-shakl 21-shakl Berilgan: P=160N, AB=1,2m, AC=BC=1m. Topish kerak: S1, S2. Echish. Koordinatalar sisemasini shaklda ko‘rsatilgan-dek qilib tanlaymiz. Tanlagan Cxy koordinatalar sistemasiga nisbatan (1.4.3) muvozanat tenglamalarini tuzamiz P 3 F ix S1 cos S 2 cos 0, (a) i 1 3 F iy S1 sin S 2 sin P 0 . i 1 Shakldan cos AB / 2 3 4 , sin . AC 5 5 (a) tenglamalardan S1 S 2 , 4 4 5 S1 5 S1 P , 5 5 S1 P 160 N 100 N . 8 8 Endi masalani kuch uchburchagidan foydalanib yechamiz (21-shakl). S1 S P 2 , 1800 2 , sin sin sin 4 3 24 sin sin 1800 2 sin 2 2 sin cos 2 . 5 5 25 Natijada S1 S 2 sin 4 25 5 P 160 N 160 N 100 N sin 5 24 6 . 4.4-masala (И.В.Мешчерский 2.20). Og‘irligi 20N bo‘l-gan bir jinsli shar silliq og‘ma tekislik ustida tros yordamida ushlab turiladi. Bu tros tekislikdan yuqoriroqda mahkamlangan prujinali taroziga bog‘langan. Prujinali tarozining ko‘rsatishi 10N ga teng. Gorizont bilan tekislik orasidagi burchak 300. Vertikal bilan tros orasidagi α burchak va sharning tekislikka ko‘rsatadigan bosimi aniqlansin. Prujinali tarozining og‘irligi hisobga olinmasin. Berilgan: P=20N, F=10N, 300 . Topish kerak: α, Q. Yechish: Avval ta’sir etuvchi y α kuchlarni shaklda tasvirlab olamiz. F Q Koordinatalar sistemasini shaklda ko‘rsatilganidek qilib tanO x laymiz. Koordinatalar sistemasining boshi sifatida kuchlarning ta’sir 300 P 22-shakl 254 chiziqlari kesishish nuqtasini olish qulay. Muvozanat tenglamalarini tuzamiz 3 Fix F cos( 90 0 ) Q cos 60 0 0 , i 1 n F iy F cos Q cos 30 0 P 0 . i 1 Bundan 1 Q 2F sin ; 2(P F cos) F sin 2 Q 0; 2F sin ; 2(P F cos ) 3 , F cos 3 Q P, Q 3 2 3F sin F cos P; 2 F sin( ) P; arctg sin( 30 0 ) P 20 1; 2 F 2 10 1 300 ; 3 α+300=900, α=600. Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz: Q=2Fsin600=2·10 Javob: α=600; Q=17,3N. 3 10 1,73 N 17,3 N . 2 3.Darsda mustaqil echish uchun masala va topshiriqlar 1. F1 3i 5 j , F2 i 2 j kuchlar teng ta’sir etuvchisining moduli va yo‘nalishi topilsin. 2. Gorizontal tekislik ustida turgan sharning tekislikka ko‘rsatadigan bosimi topilsin. Sharning og‘irligi P ga teng bo‘lib, uning markaziga qo‘yilgan. 3. Og‘irligi P ga teng bo‘lgan yuk bir xil uzunlikdagi ikkita cho‘zilmaydigan arqonga osilgan holatda muvozanatda turadi. Arqonlar o‘zaro 600 li burchak tashkil qiladi. Arqonlarning tortilish kuchlari topilsin. 4. F 3i 4 j kuch vektori bilan Oy koordinata o‘qi orasidagi burchak kosinusi topilsin. 5. Uchta kesishuvchi kuch proeksiyalari bilan berilgan: F1x 10 N ; F1y 2N; F2 x 4 N; F2 y 3N ; F3x 6N; F3 y 5N Kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘ladimi? 6. Shaklda tasvirlangan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi topilsin; F1 F3 3 N , F2 3 . F1 F2 300 F2 600 F3 300 F3 600 F1 6-masala 7-masala 7. Shaklda tasvirlangan kuchlar sistemasi muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi. F2 15N bo‘lsa, F1 va F2 kuchlarining modullari topilsin. 255 8. Iplarning tortilish kuchlari F1 120N , F2 80N va burchaklar 450 , 300 bo‘lsa, AB balkaning G og‘irligi topilsin. 9. Yuk A,B va C nuqtalarda sharnirlar vositasida biriktirilgan AC va BC sterjenlarda ushlab turiladi. BC sterjenning tortilish kuchi F2 45N va 600 bo‘lsa, AC sterjenlarning siqilish kuchi va yukning og‘irlik kuchi topilsin. α F1 F2 β F2 α F1 G 8-masala 9-masala 10. Og‘irligi 12N bo‘lgan bir jinsli shar arqon yordamida silliq og‘ma tekislikda muvozanatda ushlab turiladi. 600 bo‘lsa, sharning tekislikka ko‘rsatadigan bosimi topilsin. B α С 1 A α A α β B 10-masala 11-masala 11. Og‘irligi etiborga olinmaydigan AC va BC sterjenlar o‘zaro va gorizontal tekislikka sharnirlar vositasida biriktirilgan. C sharnirga 1 yuk osilgan. AC sterjenning zo‘riqishi 45N va 300 , 600 bo‘lsa, BC sterjen reaksiyasi topilsin. 4.Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Qanday kuchlar sistemasiga bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi deyiladi? 2. Qanday ko‘pburchakka kuch ko‘pburchagi deyiladi? 3. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining teng ta’sir e’tuvchisi qanday topiladi? 4. Kuch ko‘pburchagida teng ta’sir e’tuvchi qanday tasvirlanadi? 5. Kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi qanday hisoblanadi? 6. Teng ta’sir etuvchining proeksiyalari qanday hisoblanadi? 7.[ ] dagi 2.8, 2.11, 2.19, 2.21, 2.23, 2.24 masalarni yeching. 256 2-amaliy mashg’ulot Parallel kuchlar sistemasi. 1.3 “Parallel kuchlar sistemasi” mavzusidagi amaliyot mashg’ulotning texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25ta O`quv mashg`lot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot rejasi 1. Parrellel kuchlar sistemasiga doir asosiy tushunchani takrorlash va mustahkamlash (savollar) 2. Mavzuga doir masalalar yechish. 3. Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4. Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 5. Adabiyotlar. O`quv mashg`ulotning maqsadi Mavzuga doir masalalar yechish ; mavjud uslubiy tavsiyalardan samarali foydalanish ko`nikmalarini hosil qilish. Pedagagik vazifalar: O’quv faoliyati natijalari: Mavzuga doir asosiy tushunchalarni Qo`yilgan savollarga javob beradilar. mustahkamlash. Masalalar yechish Masalalar yechish bo`yicha mavjud bo`yicha uslubiy ko`rsatmalar bilan metodlar haqida to`liq tushunchaga ega. tanishtirish va ulardan samarali Masala shartida berilgan kuchlarni foydalanish. to`g`ri yo`naltirib, muvozanat tenglamalarini tuza oladilar. Chiziqli tenglamalar ko`rinishidagi muvozanat tenglamalarini yecha oladilar. O’qitish vositalari Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, grafiklardan foydalanish 257 O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov baholash 1.4. “Parallel kuchlar sitemasi” mavzudagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.13 O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.14 Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1ilova). 1.15 Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.16 Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. 258 Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 2-amaliy mashg’ulot 1. Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanat shartlari Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanat shartlari quyidagi tenglamalar bilan ifodalanadi: n Fiy 0, i 1 n M F 0. 0 i i 1 (2.3.1) Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasi muvozanatda bo’lishi uchun kuchlarning shu kuchlarga perpendikulyar bo’lmagan o’qdagi proektsiyalari yig’indisi va kuchlar tekisligidagi ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentlari yig’indisi nolga teng bo’lishi zarur va etarli. Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini boshqacha ko’rinishdagi tenglamalar bilan ham berish mumkin, ya’ni n M A i 1 n M i 1 B F 0, i Fi 0. (2.3.2) Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanatda bo’lishi uchun kuchlar sistemasining shu kuchlarga perpendikulyar to’g’ri chiziq ustidagi ixtiyoriy ikkita nuqtaga nisbatan algebraic momentlari yig’indisi alohida-alohida nolga teng bo’lishi zarur va etarli. 2. Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanatiga doir namunaviy masalalarni yechish. Uslubiy tavsiyalar Bir tekislikda yotgan parallel kuchlar sistemasining muvozanatiga doir masalalarni yechish bo’yicha quyidagi uslubiy tavsiyalarni berish mumkin: 1. Qaralayotgan qurilmaning qaysi qismini muvozanati tekshirilayotganini aniqlash kerak. 2. Koordinatalar sistemasi o’qlaridan bittasini kuchlarga parallel qilib tanlash maqsadga muvofiq. 3. Qurilmaga ta’sir etuvchi aktiv kuchlar va bog’lanish reaksiyalari shaklda tasvirlab olinadi. 4. Moment markazi yoki moment markazlari tanlanib (2.3.1) tenglamalar sistemasi yoki (2.3.2) tenglamalr sistemasi tuziladi. 5. Tuzilgan tenglamarni birgalikda yechib, izlanayotgan noma’lumlar topiladi. Berilgan uslubiy tavsiyalar asosida quyida parallel kuchlar sistemasining muvozanatiga doir masalalarni yechib ko’rsatamiz. 4.1-masala (О.Э.Кепе 2.3.3). AE sterjen A nuqtada sharnir vositasida biriktirilgan va CD vertikal sterjenga tirkalgan. Agar AB 1m, BC CE 2m, F1 kN , F2 4kN bo’lsa, CD sterjendagi S zo’riqish kN da topilsin (50-shakl). 259 Yechish. A sharnirning reaksiyasini koordinata o’qlari bo’ylab yo’nalgan x A , y A tuzuvchilarga ajratamiz. Uchta noma’lum reaksiya kuchi mavjud, bu noma’lumlarni topish uchun uchta tenglama kerak bo’ladi. Berilgan: AB 1m, BC CE 2m, F1 kN , F2 4kN . Topish kerak: S. YA y F1 A B F2 XA C E x S 50-shakl Yechish. Topish kerak bo’lgan S noma’lum reaksiyani A nuqtaga nisbatan bitta moment tenglamasidan topish mumkin, ya’ni 5 momA Fi 0 . (a) i 1 x A va y A kuchlarning ta’sir chiziqlari A nuqtadan o’tadi. Shuning uchun bu kuchlarning A niqtaga nisbatan momentlari nolga teng. AB F1 AC S AE F2 0 yoki 3m S 1m 2kN 5 4kN . Bundan S 7,33kN . 4.2-masala (Mешчерский 3.12). Uzunligi 4m, og’irligi 5kN bo’lgan bir jinsli gorizontal balka qalinligi 0,5 m bo’lgan devorga shunday qilib o’rnatilganki, u A va B nuqtalarda devorga tiralib turadi. Balkaning erkin uchiga og’irligi 40kN bo’lgan P yuk osilgan. A va B nuqtalardagi reaktsiya kuchlari topilsin (51-shakl). Berilgan: BC 4m, AB 0,5m, P 40kN , Q 4kN . Topish kerak: RA , RB reaksiya kuchlarini. Yechish. Koordinatalar sistemasini shaklda ko’rsatilganday qilib tanlab, y o’qiga nisbatan proektsiyalar tenglamasini va A nuqtaga nisbatan moment tenglamasini tuzamiz, yani 4 Fiy RA RB Q P 0, i 1 4 mom A Fi AC P AD Q AB RB 0. i 1 Bu tenglamarga berilganlarni qo’yamiz RA RB 4kN 40kN , 0,5mRB 3,5m 40kN 1,5 4kN . Bu tenglamalarning ikkinchisidan RB 295kN , birinchisidan RA 340kN . Javob: RA 340kN , RB 295kN . 260 (a) 4.3-masala (О.Э.Кепе 2.3.13). Og’irligi 340N bo’lgan bir jinsli AB balkani gorizontal holatda muvozanatda ushlab turuv-chi 1 yukning og’irligi topilsin (52shakl). y 1 RA Q Q A C B x 52-shakl Yechish. Yukning Q og’irlik kuchini arqon bo’ylab B nuqtaga ko’chiramiz, bu kuch vertikal yuqoriga yo’nalgan bo’ladi. Q kuchning modulini topish uchun A nuqtaga nisbatan moment tenglmasini tuzamiz, ya’ni 3 momA Fi AC P AB Q 0 . i 1 1 2 Balka bir jinsli bo’lgani uchun AC AB . Natijada yuqoridagi tenglamalardan: Q 1 P, yoki Q 170 N . 2 4.4-masala (И.В.Mешчерский 3.5). AB transmission valga P1 3kN , P2 5kN , P3 2kN bo’lgan uchta shkiv o’rnatilgan. O’lchamlar shaklda ko’rsatilgan. A podshipnikning reaksiyasi B podshipnik reaksiyasiga teng bo’lishi uchun P2 og’irlikdagi shkivni B podshipnikdan qanday x masofada o’rnatish kerak? Valning og’irligi e’tiborga olinmasin(53-shakl). Berilgan: P1 3kN , P2 5kN , P3 2kN . Topish kerak: x. y 300sm 95sm 95sm RA A C D P1 E x RB B P3 Yechish. Koordinatalar sistemasini shaklda ko’rsatilganday qilib tanlaymiz. y o’qiga nisbatan proeksiyalar tenglamasini va B nuqtaga nisbatan moment tenglamalarini tuzamiz, ya’ni 5 Fiy RA P1 P2 P3 RB 0, i 1 mom F B i BE P3 BD P2 BC P1 BA RA 0. (a) 5 i 1 RA RB bo’lgani uchun (a) tenglamalarning birinchisidan RA RB 5kN , ikkinchisini quyidagi ko’rinishda yozsak: 261 95sm 2kN x 5kN 205sm 3kN 30sm 5kN 0 , bundan x 135sm . 4.5-masala (И.В.Mешчерский 3.15). Gorizontal konsol balkaga momenti M 6kN m bo’lgan juft kuch, uning C nuqtasiga esa vertikal P 2kN yuk ta’sir qiladi. Balkaning AB oralig’i 3,5m, konsolning chiqib turgan qismi BC=0,5m. Tayanchlardagi reaksiyalar topilsin (54-shakl). Berilgan: M 6kN m , P 2kN , AB=3,5m, BC=0,5m. Topish kerak: RA , RB . y RA RB P M A B C x 54-shakl Yechish. R A va RB noma’lum reaksiyalarni topish uchun y o’qiga nisbatan proeksiyalar tenglamasini va A nuqtaga nisbatan moment tenglamasini tuzamiz, ya’ni 3 Fiy RA RB P 0, i 1 mom A Fi AB RB AC P M 0. 4 (a) i 1 (a) tenglamalarning ikkinchisidan RB 1 AC P M 1 4m 2kN 6kNm , RB 4kN , AB 3,5m birinchisidan RA P RB 2kN . Javob: RA 2kN vertikal bo’ylab pastga, RB 4kN esa vertikal bo’ylab yuqoriga yo’nalgan. 4.6-mаsаlа (И.В.Mешчерский 3.17). Uzunligi 10m bo`lgаn АB bаlkа ustigа yuk ko`tаrаdigаn krаn uchun yo`l sоlingаn. Krаnning оg’irligi 50kN bo`lib, uning оg’irlik mаrkаzi CD o`qdа yotаdi. R yukning оg’irligi 10kN, АB bаlkаning оg’irligi 30kN; krаnning KL qulоchi uzunligi 4m, АC=3m. Krаnning DL strеlаsi bаlkа bilаn bir vеrtikаl tеkislikdа bo`lgаn hоl uchun А vа B nuqtаlаrdаgi tаyanch rеаksiyalаri tоpilsin (55-shakl). Bеrilgаn: АB=10m, G=50kN, P=10kN, Q=30kN, KL=4m, АC=3m. Tоpish kеrаk: RA, RB tayanch reaksiya kuchlarini. K 4m L D y RA 3m 10m P C 262 RB A B Q G x 55-shakl Yеchish. Kооrdinаtаlаr sistеmаsini 55-shakldа ko`rsа-tilgаndеk tаnlаymiz. Mаsаlаni (2.3.1) tеnglаmаlаrdаn fоydаlаnib еchаmiz. Ахy kооrdinаtаlаr sistеmаsigа nisbаtаn prоеksiya tеnglаmаsini vа А nuqtаgа nisbаtаn mоmеnt tеnglаmаsini tuzаmiz 5 Fiy RA G Q P RB 0; i 1 5 mom F ACG 1 ABQ AC KL P ABR 0. A i B 2 n 1 Bu tеnglаmаgа bеrilgаn miqdоrlаrni qo`yamiz, nаtijаdа RA 50kN 30kN 10kN RB 0; 3m 30kN 5m 30kN 7m 10kN 10m RB 0. Bu tеnglаmаlаr sistеmаsini еchib, nоmа’lumlаrni tоpаmiz, ya’ni RB=37kN; RA=53kN. 3.Darsa mustaqil yechish uchun masala va topshiriqlar. 1. А shаrnirgа mаhkаmlаngаn BC brusgа vеrtikаl F1=4kN vа F2 kuchlаr tа’sir etаdi. Brus gоrizоntаl hоlаtdа muvоzаnаtdа turishi uchun F2 kuchning miqdоri qаndаy bo`lishi kеrаk. АC=2m, АB=6m. 2. АЕ bаlkа А nuqtаdа shаrnir vоsitаsidа mаhkаmlаngаn vа CD vеrtikаl stеrjеngа suyalgаn. АB=1m, BC=CЕ=2m vа F1=2kN, F2=4kN bo`lsа, CD stеrjеnning zo`riqishini tоping. F1 F2 B A C F1 A B 1-mаsаlа F2 C E D 2-mаsаlа 3. АB bаlkаgа vеrtikаl F1=1 kN, F2=2 kN vа F3=3 kN kuchlаr tа’sir etаdi. AC=CD=DE=1m, BE=2m bo`lsа, B tаyanchning rеаksiyasini tоping. 4. АDB rоmgа vеrtikаl F1=9 kN vа F2=4 kN kuchlаr tа’sir etаdi. B tаyanch rеаksiyasini tоping. АC=2,5m, АB=6m. A F1 F3 C D F1 F2 E B D F2 A 263 C B 3-mаsаlа 4-mаsаlа 5. Оg’irligi 340m bo`lgаn АB bаlkа gоrizоntаl hоlаtdа muvоzаtnаdа bo`lishi uchun 1 yukning оg’irligi qаndаy bo`lishi kеrаk? Bаlkа bir jinsli. 6. F , F juft kuchni tashkil qiluvchi kuchlarning proeksiyalari Fx Fx 7,5 N , Fy Fy 2,5 N berilgan, kuchlar qo’yilish nuqtalarining koordinatalari; x1 0,1m , y1 0,15m , x2 0,015m , y2 0,02m . Juftning momenti topilsin. y y1 1 A B Plitaga y2 F O x2 6-mаsаlа 5-mаsаlа 7. F uni x1 yotuvchi ikkita juft kuch ta’sir qiladi. F 8 N , Q 5 N , AB 0,25, CD 0,20m va 600 , 600 bo’lsa, juftlar momentlari yig’indisi topilsin. 8. Bir tekislikda yotgan va muvozanatlashgan uchta juft berilgan M 1 510 Nm, M 2 120Nm bo’lsa, M 3 moment topilsin. F tekisligida x Q M1 M2 Q α F 7-masala 8-masala 264 M3 4.Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Bir tomonga yo’nalgan ikki parallel kuch teng ta’sir etuvchisining moduli nimaga teng? 2. Bir tomonga yo’nalgan ikki parallel kuch teng ta’sir etuvchisining ta’sir chizig’i qaysi nuqtadan o’tadi? 3. Qarama-qarshi tomonga yo’nalgan ikki parallel kuch teng ta’sir etuvchisining moduli nimaga teng? 4. Juft kuch deb nimaga aytiladi? 5. Juftning moment vektori deb qanday vektorga aytiladi? 6. Juftning algebraik momenti deb nimaga aytiladi? 7. Juft kuch haqidagi teoremalarni tushintirib bering? 8.[ ] dan 3.2, 3.3, 3.7, 3.12, 3.14, 3.19, 3.21 masallarni yeching. 1. “Parallel kuchlar sitemasi” mavzusiga doir asosiy tushunchalarni takrorlash va mustahkamlash uchun SAVOLLAR. 1.Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchning moduli nimaga teng? 2.Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchning t.t.e. qaysi nuqtadan o`tadi? 3.Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchning t.t.e. qaysi tomonga yo`naladi? 4.Kuchning nuqtaga nisbatan algebrik momenti nimaga teng? 5.Parallel kuchlar sistemasi qachon muvozanatda bo`ladi? 6.Parallel kuchlar sistemasi muvozanat shartlarining turli ko`rinishlarini aytib bering? 7.Taqsimlangan kuchning momenti qanday topiladi? 265 “Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi ” 3- amaliy mashg`ulot 1.3. “Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi ” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25 ta O’quv mashg’ulot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot 1. Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar rejasi sistemasiga doir asosiy tushunchalarni takrorlash. 2. Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 3. Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4. Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. O`quv mashg`ulotning maqsadi: Mavzuga doir masalalar yechish; mavjud metodlardan samarali foydalanish ko`nikmalarini shakllantirish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Mavzuga doir asosiy tushunchalarni Qo`yilgan savollarga javob beradilar. mustahkamlash. Masalalar yechish Masala shartida berilgan kuchlar va bo`yicha uslubiy ko`rsatmalar bilan bog`lanish reaksiyalarini shaklda to`g`ri tanishtirish va ulardan samarali yo`naltiradilar. foydalanish Muvozanat tenglamalarini tuzib, ulardan tegishli namunalarni aniqlaydilar. O’qitish vositari Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, grafiklardan foydalanish O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak 266 O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va baholash Og`zaki savollar, blis-so`rov 1.4. “Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi” mavzudagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1. O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1-ilova). 1.3.Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. 267 Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 1. Tеkislikdа iхtiyoriy rаvishdа joylashgan kuchlаr sistеmаsining muvozanat shartlari. Tеkislikdа iхtiyoriy rаvishdа yo`nаlgаn kuchlаr sistеmаsi muvоzаnаtdа bo`lishi uchun kuchlаrning bоsh vеktоri va tеkislikning iхtiyoriy nuqtаsigа nisbаtаn bоsh mоmеnti nоlgа tеng, ya’ni n Fi 0; i 1 n mom 0 F 0. i i 1 (2.5.1) bo`lishi zаrur vа еtаrli. (2.5.1) tеnglаmаlаrni tekislikda dekart kооrdinаtаlar sistemasi o`qlаrigа prоеksiyalаb, quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаsiniga kelamiz: n Fix 0; i 1 n Fiy 0; i 1 n mom0 Fi 0. i 1 (2.5.2) (2.5.2) munosabatlаr tеkislikdа ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlаr sistеmаsining muvоzаnаt shаrtlаrini ifоdаlаydi. Tеkislikdа ixtiyoriy yo’nalgan kuchlаr sistеmаsi muvоzаnаtda bo’lishi uchun kuchlar sistemasining koordinata o’qlaridagi proeksiyalari yig’indisi va tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaga nisbatan algebraik momentlari yig’indisi alohida-alohida nolga teng bo’lishi zarur va etarli. Tеkislikdа ixtiyoriy ravishda yo’nalgan kuchlаr sistеmаsi-ning muvоzаnаt shartlarini yana boshqacha ko’rinishda ham berish mumkin: Bir tеkislikdа ixtiyoriy yo’nalgan kuchlаr sistеmаsi muvоzаnаtda bo’lishi uchun kuchlаr sistеmаsining bir to`g’ri chiziqdа yotmаydigаn iхtiyoriy uchtа A,B va C nuqtаlargа nisbаtаn algebraik mоmеntlаri yig’indisi аlоhidа-аlоhidа nоlgа tеng, ya’ni n mom A Fi 0; i 1 n mom B Fi 0; i 1 n momC Fi 0. (2.5.3) i 1 bo`lishi zаrur vа еtаrli. Tеkislikdа ixtiyoriy ravishda yo’nalgan kuchlаr sistеmаsining uchinchi xil muvоzаnаt shartlarini ham berish mumkin: Tеkislikdа ixtiyoriy ravishda yo’nalgan kuchlаr sistеmаsi muvоzаnаtdа bo`lishi uchun kuchlаr sistеmаsining tеkislikdаgi iхtiyoriy ikkitа A va B nuqtаgа nisbаtаn olingan аlgеbrаik mоmеntlаri yig’indisi hаmda kuchlar sistemasining shu nuqtаlаrdаn o`tuvchi to`g’ri chiziqqа pеrpеndikulyar bo`lmаgаn o`qdagi prоеksiyalаri yig’indisi nоlgа tеng bo`lishi zаrur vа еtаrli, ya’ni n mom F 0 ; A i momB Fi 0; n i 1 i 1 n F i 0, i 1 bu erda ℓ - АB to`g’ri chiziqqа pеrpеndikulyar bo’lmagan o’q. 268 (2.5.4) 2. Tеkislikdа iхtiyoriy rаvishdа joylashgan kuchlаr sistеmаsining muvozanat shartiga doir namunaviy mаsаlаlаrni yеchish.Uslubiy tаvsiyalаr. 1. Kооrdinаtаlаr sistеmаsi o’qlarini kuchlаrning prоеksiyalаrini hisоblаshgа qulаy qilib tаnlаsh kеrаk. 2. Mоmеnt mаrkаzi sifаtidа ikkitа va undan ortiq nоmа’lum rеаksiya kuchlari kеsishgаn nuqtаni оlish maqsadga muvofiq. 3. Tanlangan koordinatalar sistemasi vа mоmеnt markaziga nisbatan (2.5.2) tenglamalar sistemasini tuzish lozim. 4.Tekislikda bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani tanlab, (2.5.3) tenglamalar sistemasi tuziladi. 5. Tekislikda A va B nuqtalarni va AB to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lmagan ℓ o’qni tanlab, (2.5.4) tenglamalar sistemasi tuziladi. 6. Tuzilgan tenglamalar sistemasini yechib, izlanayotgan noma’lumlar topiladi. Berilgan uslubiy tavsiyalar asosida quyida Tеkislikdа iхtiyoriy rаvishdа joylashgan kuchlаr sistеmаsining muvozanat shartlarga doir masalalarni yechib ko’rsatamiz. 6.1-masala (О.Э.Кепе 2.4.20). Og’irligi 346N bo’lgan AB bir jinsli balkani gorizontal holatda muvozanatda ushlab turuvchi 1 yukning og’irligi topilsin (56shakl). Yechish. Noma’lum kuchlar uchta, ularni topish uchun uchta tenglama tuzish kerak bo’ladi. y Ammo masalaning shartiga y Q Q 60 ko’ra bitta Q kuchni topish A x Q B Q talab qilingan. A nuqtani mo56-shakl P ment markazi qilib olsak, tuzilgan moment tenglamasida faqat bitta Q noma’lum qatnashadi, ya’ni A 1 0 2 A тот F P Q1 0 . A i 2 i 1 5 (a) x A , y A va Q2 kuchlarning ta’sir chiziqlari A nuqtadan o’tadi, shuning uchun ularni A nuqtaga nisbatan momentlari nolga teng. Shaklga asosan Q1 QCos 300 3 Q. 2 Buni (a) tenglamaga qo’yamiz, natijada Q 1 1 P 346 N 200 N . 3 3 Javob: Q 200 N . 6.2-masala (О.Э.Кепе 2.4.15). Og’irligi 100kN bo’lgan bir jinsli brusning bir uchi A sharnir yordamida mahkamlangan, ikkinchi uchi silliq devorga tayanib muvozanatda turadi. Agar 600 bo’lsa, brusning devorga ko’rsatadigan bosimi topilsin (57-shakl). Berilgan: P 100kN , 600. Topish kerak: N. 269 B N Yechish. Masalada uchta α y noma’lum miqdor qatnashadi. h Ularni topish uchun uchta tengh1 lama kerak bo’ladi. Lekin masaP y A x laning shartiga ko’ra bitta N x reaksiyani topish kerak. Shu57-shakl ning uchun A nuqtani moment markazi deb olib, momentlar tenglamasini tuzsak, hosil bo’lgan tenglamada faqat bitta N noma’lum reaksiya qatnashadi, ya’ni A A 4 тотА Fi hP h1N 0 . (a) i 1 Shakldan h1 Cos 600 , h Sin600 . 2 Bularni (a) tenglamaga qo’yamiz P yoki Sin600 NABCos 600 0 2 3 1 P N 0, bundan 4 2 N 3 P 86,6kN . 2 Javob: N 86,6kN . 6.3-mаsаlа. (И.В.Mешчерский 4.11) Ko`prikning qismlаrini yig’ishdа ko`prik fеrmаsining birоr АBC qismini rаsmdа ko`rsаtilgаndеk uchtа аrqоn bilаn ko`tаrishgа to`g’ri kеldi. y Fеrmа shu qismining оg’irligi 42kN, оg’irlik mаrkаzi D nuqtаdа. T1 T3 T2 Mаsоfаlаr tеgishlichа: АD=4m, A D 600 B F C 450 BD=2m, BF=1m. Аgаr АC to`g’ri chiziq gоrizоntаl bo`lsа, аrqоn4m 2m 1m lаrdаgi tаrаnglik kuchlаri qаnchа bo`lаdi. P E Bеrilgаn: R=42kN, АD=4m, 58-shakl BD=2m, BF=1m; Tоpish kеrаk: T1, T2, T3. Еchish. Kооrdinаtаlаr sistеmаsini rаsmdа ko`rsаtilgаndеk tаnlаymiz vа (2.5.2) tеnglаmаlаr sistеmаsini tuzаmiz n F ix T2 cos 600 T3 cos 450 0, i 1 n F iy T1 T2 cos 300 T3 cos 450 P 0, i 1 momA ( Fi ) 4P 6T2 cos 300 (7 3 )T3 cos 450 0. EFC n i 1 EFB uchburchаkdаn EF= 3 , shuning uchun AC=7+ 3 . 270 uchburchаkdаn EF=FC, T2 2T3 0 , 2T1 3T2 2T3 2 P , 4 42 6 3 T 7 3 2 2 2 2T3 0 . Bu tеnglаmаlаrdan T1=18kN, T2=17,7kN, T3=12,4kN. 6.4-masala (И.В.Мешчерский 4.22). Arka shaklidagi fermaning A nuqtasi qo’zg’almas sharnirli tayanchda va B nuqtasi gorizont bilan 300 burchak tashkil qilgan silliq tekislikdagi qo’zg’aluvchi tayanchda turadi. Oraliq AB=20m. Fermaning ustidagi qori bilan birgalikda og’irligi 100kN va u AB oraliqning o’rtasidan yuqoridagi C nuqtaga qo’yilgan. Shamol bosimining teng ta’sir etuvchisi F 20kN bo’lib, AB ga parallel holda yo’nalgan, uning ta’sir chizig’i AB dan 4m uzoqlikda. Tayanchlardagi reaksiyalar topilsin (59-shakl). Berilgan: 300 , 20 M , P 100kN , F 20kN , h 4m . Topish kerak: x A , y A , N B . NB y C F yA h B A P α xA 59-shakl Yechish. Koordinatalar sistemasini shaklda ko’rsatil-ganday qilib tanlaymiz. Tanlangan koordinalar sistemasiga nisbatan proeksiyalar tenglamalarini va B nuqtani markaz qilib olib, moment tenglamasini, ya’ni (2.5.2) ni tuzamiz 5 F ix N B cos 900 F x A 0, i 1 5 F iy N B cos P y A 0, (a) i 1 5 AB mom F 2 P ABy B i A hF 0 . i 1 (a) tenglamalarga berilganlarni qo’yib, quyidagilarni hosil qilamiz: 1 3 N B P y A 0, N B F x A 0, 2 2 10 P 20 y 4 F 0. A (b) tenglamalarning oxirgisidan yA 1 10m 100kN 4m 20kN , 20m yoki у А 46kN . Buni ikkinchi tenglamaga qo’yib, N B ni topamiz 271 (b) 3 N B P y A; 2 3 N B 100kN 46kN , 2 bundan N B 62,4kN . (b) tenglamalarning birinchisidan 1 N B F; x A 11,2kN . 2 Javob: xA 11,2kN , y A 46kN , N B 62,4kN . xA 6.5-masala (И.В.Мешчерский 4.10). Og’irligi 100N bo’lgan bir jinsli AB sterjenning bir uchi gorizontal silliq polga, ikkinchi uchi esa gorizontga nisbatan 300 burchak tashkil qiluvchi silliq qiya tekislikka tayangan. Sterjenning B uchini C blokdan o’tgan va P yuk osilgan arqon ushlab turadi. Arqonning BC qismi qiya tekislikka parallel. Blokdagi ishqalanishni hisobga olmay, arqonga osilgan P yukning og’irligi, pol bilan qiya tekislikka tushadigan N A va N B bosimlar topilsin (60-shakl). y C h P N B P N N 30 α A B x α Q N a) P α 60-shakl A Q Berilgan: Q 100N , 300 . Topish kerak: P, N A , N B . Yechish. AB sterjenning muvozanatini tekshiramiz. P kuchni arqon bo’ylab B nuqtaga ko’chiramiz. B nuqtani koordinatalar boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini shaklda ko’rsatilganday qilibtanlaymiz. A va B tayanch reaksiyalarini qo’yamiz, natijada sterjen P, Q, N A va N B kuchlar ta’sirida muvozanatda turadi. Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan proeksiya tenglamalarini va B nuqtaga nisbatan moment tenglamasini, ya’ni (2.5.2) tenglamalarni tuzamiz B B B 0 A 4 F ix PCos300 N B Cos600 0; i 1 4 F iy PCos 60 0 N B Cos 30 0 Q N A 0; (a) i 1 4 h mom F 2 Q hN B i A 0, i 1 yoki 1 3 1 P 0, N A Q, NB 2 2 2 1 P 3 N Q N 0. B A 2 2 (b) (b) tenglamalarning uchinchisidan: N A 50 N . Birinchi tenglamadan N B 3P , buni ikkinchi tenglamaga qo’yamiz (c) 272 1 3 P P Q NA 0, 2 2 bundan 2 P Q N A yoki P 25N . P ning bu qiymatini (c) ga qo’ysak N B 25 3 N 43,3N . Endi masalani (2.5.3) tenglamalardan foydalanib yechamiz. Moment markazlari sifatida B,D va E nuqtalarni olamiz (61-shakl). 4 h mom F 2 Q hN B i 1 4 i 0, A h mom F Q 0, D i BD P 2 i 1 4 h mom E Fi BE N B cos 30 0 BE P cos 60 0 Q 0. 2 i 1 (d) D 300 Shaklga asosan BE=h; y h P Bularni (d) tenglamalarga qo’yamiz α NB NA α B Q E x A 61-shakl 1 1 N Q, 2 P Q 0, A 2 2 1 3 N Q 0, 3 N P Q 0. B 2 2 Bularning birinchisidan N A 50N , ikkinchisidan P 25N , uchinchisidan esa N B 43,3N kelib chiqadi. Javob: N A 50N , N B 43,3N , P 25N . 3.Darsda mustagil yechish uchun masala va topshiriqlar. 1. Uzunligi =3m bo`lgаn bаlkаgа mоmеntlаri M1=2kNm, M2=8kNm bo`lgаn juft kuchlаr tа’sir etаdi. V tаyanchni rеаksiyasini tоping. A M1 M2 B A ℓ F1 B 0 45 0 60 F2 D C 1-mаsаlа 2-mаsаlа 2. F1 =84,6N, F2 =208N bo`lsа, D tаyanchning rеаksiyasini tоping. АB=1m, BC=3m, CD=2m. 3. АB bаlkаning оg’irligi 346N, uni gоrizоntаl hоlаtdа muvоzаnаtdа ushlаb turuvchi 1 yukning оg’irligini tоping. АB bаlkа bir jinsli dеb оlinsin. 273 C 1 60o A B A α ℓ x B R 3-mаsаlа 4-mаsаlа 4. Krаn gоrizоntаl bаlkаsining uzunligi gа tеng, uning bir uchi shаrnir yordаmidа mаhkаmlаngаn ikkinchi B uchi gоrizоnt bilаn α burchаk hоsil qiluvchi BC tоrtqich vоsitаsidа, dеvоrgа tоrtilib turаdi. Bаlkа ustidа оg’irligi R bo`lgаn yuk siljiy оlаdi. Yukning hоlаti А shаrnirgаchа bo`lgаn o`zgаruvchi mаsоfаgа qаrаb аniqlаnаdi. BC tоrtqichning tоrtilish kuchi T yuk hоlаtining o`zgаrishigа qаrаb аniqlаnsin. Bаlkаning оg’irligi hisоbgа оlinmаsin. 5. Оg’irligi R bo`lgаn bir jinsli АB bаlkа vеrtikаl tеkislikdа jоylаshgаn silliq CD vа DЕ оg’mа to`g’ri chiziqlаrgа tirаlib turаdi. Bu to`g’ri chiziqlаrdаn birinchisi gоrizоnt bilаn α burchаk, ikkinchisi 900-α burchаk hоsil qilаdi. Muvоzаnаt hоlаtidа bаlkаning gоrizоnt bilаn tаshkil qilgаn burchаgi θ hаmdа tаyanchlаrgа ko`rsаtilgаn bоsimi tоpilsin. C B 300 θ D α B 90-α A C 5-mаsаlа 6-mаsаlа 6. Оg’irligi 600N, uzunligi 4m bo`lgаn bir jinsli bаlkа bir uchi bilаn silliq pоlgа vа оrаliqdаgi B nuqtаsi bilan bаlаndligi 3m bo`lgаn stоlbаning uchigа tirаlgаn, bаlkа vеrtikаl bilаn 300 burchаk tаshkil etаdi. Bаlkаni pоl bo`ylаb tоrtilgаn АC аrqоn shu hоlаtdа ushlаb turаdi, Ishqаlаnishni hisоbgа оlmаy, аrqоnning tоrtilish kuchi Т stоlbаning rеаksiyasi RB vа pоl rеаksiyasi RC tоpilsin. 7. Оg’irligi 200N bo`lgаn bir jinsli АB bаlkа gоrizоntаl silliq pоlgа B nuqtаdа 0 60 burchаk оstidа tirаlib turаdi, bundаn tаshqаri uni ikkitа C vа D tаyanchlаr ushlаb turаdi. B, C vа D tаyanchlаrdаgi rеаksiyalаr tоpilsin: АB=3m, CB=0,5m, BD=1m. A B D α C 600 B A 274 7-mаsаlа 8-mаsаlа 8. Оg’irligi 100kN bo`lgаn bir jinsli brusning B uchi silliq dеvоrgа tаyangаn, ikkinchi uchi А shаrnirgа mаhkаmlаngаn. α=600 bo`lsа, brusning dеvоrgа bеrаdigаn bоsimini аniqlаng. 9. Оg’irligi 100N bo`lgаn bir jinsli АB stеrjеnning bir uchi gоrizоntаl silliq pоlgа, ikkinchi uchi esа gоrizоntgа nisbаtаn 300 burchаk tаshkil qiluvchi silliq qiya tеkislikkа tаyangаn. Stеrjеnning B uchini C bоltdаn o`tgаn vа R yuk оsilgаn аrqоn ushlаb turаdi. Аrqоnning BC qismi qiya tеkislikkа pаrаllеl. Blоkdаgi ishqаlаnishni hisоbgа оlmаy, аrqоngа оsilgаn R yukning оg’irligi, pоl bilаn qiya tеkislikkа tushаdigаn NA vа NB bоsimlаr tоpilsin. 10. Bir tоmоngа nishаb bo`lgаn tоmning strоpilаsi АB brusdаn ibоrаt bo`lib, uning yuqоrigi B uchi silliq tаyanchdа erkin hоlаtdа yotаdi, pаstki А uchi esа dеvоrgа tirаlib turаdi. Tоmning qiyaligi tgα=0,5; АB brusgа uning o`rtаsigа qo`yilgаn 9kN li vеrtikаl kuch tа’sir qilаdi. А vа B nuqtаlаrdаgi tаyanch rеаksiyalаri аniqlаnsin. B y C B 300 A A α P 9-mаsаlа 10-mаsаlа 275 x Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Tekislikda kuchlar sistemasining birinchi xil muvozanat tenglamalarini tushintirish. 2. Tekislikda kuchlar sistemasining ikkinchi xil muvozanat tenglamalarini yozib tushintiring. 3. Tekislikda kuchlar sistemasining uchinchi xil muvozanat tenglamalarining mohiyatini tushintiring. 4. [ ] dan 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, 4.12, 4.14, 4.16, 4.18, 4.20, 4.24 masallarni yeching. 1. “Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi” mavzusini takrorlash va mustahkamlash uchun SAVOLLAR. 1. Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasini bir markazga keltirib qo`yish natijasida nimalar hosil bo`ladi? 2. Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi muvozanat shartlarining turli xillarini ta`riflang? 3. Juft kuchni nima bilan muvozanatga keltirish mumkin? 4. Tekislikda ixtiyoriy ravishda yo`nalgan kuchlar sistemasi bosh vektori va bosh momenti keltirish markazini tanlashga bog`liq bo`ladimi? 5. Tekislikning qaysi nuqtalariga nisbatan kuch momenti bir xil qiymatga ega bo`ladi? 276 4- amaliy mashg`ulot “Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi” 1.3. “Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv Talabalar soni: 25 ta soati – 2 soat O’quv Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot mashg’ ulot shakli Amaliy 1. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasiga doir asosiy ot tushunchalarni takrorlash. rejasi 1. 277 O`quv mashg` Mavzuga doir masalalar yechish; mavjud metodlardan samarali foydalanish ko`nikmalarini shakllantirish. ulotnin g 278 maqsad i: Pedagagik vazifalari: Mavzuga doir asosiy O’quv faoliyati natijalari: Qo`yilgan savollarga javob beradilar. tushunchalarni Koordinatalar sistemasini qulay tanlab oladilar. mustahkamlash. Ta`sir etuvchi kuchlarni to`g`ri tasvirlaydilar Masalalar yechish Bog`lanishlarning reaksiya kuchlarini shaklda to`g`ri bo`yicha uslubiy tasvirlay oladilar. ko`rsatmalarni Muvozanat tenglamalarini tuza oladilar va hosil bo`lgan o`zgartirish va sistemani yecha oldilar mustahkamlash. Muvozanat tenglamalarini tuzishga doir bilimlarni mustahkamlash. O’qitis Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, h grafiklardan foydalanish vositar i O’qitis Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, suhbat, guruhlarda h ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak usullar i texnik asi O’qitis Indivudal, guruh h shakll 279 ari O’qitis Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya h sharoit i Monit Og`zaki savollar, blis-so`rov oging va bahola sh “Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi” mavzudagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1. O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1-ilova). 1.3.Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 280 Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 4-amaliy mashg’ulot 1. Fazoda ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanat shartlari Kuchlar sistemasini bir markazga keltirish teoremasidan foydalanib, qattiq jismga ta’sir etuvchi kuchlar sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirilishi mumkin. Fazoda kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun bosh vektor va bosh momentning nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni n R Fi 0; i 1 n M 0 mom0 Fi 0. (5.8.1) i 1 Bosh vektorning va bosh momentning nolga tengligidan ularning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalarining ham nolga tengligi kelib chiqadi. Shuning uchun (5.8.1) tenglamalarning koordinata o‘qlariga proeksiylab, oltita skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilish mumkin, ya’ni n n n Rx Fix 0, R y Fiy 0, Rz Fiz 0 ; i 1 i 1 (5.8.2) i 1 n n M x momx Fi yi Fiz z i Fiy 0 , i 1 i 1 n n M y momy Fi zi Fix xi Fiz 0 , i 1 n (5.8.3) i 1 n M z momz Fi xi Fiy yi Fix 0 . i 1 i 1 (5.8.2) va (5.8.3) tenglamalardan foydalanib, fazoda kuchlar sistemasinining muvozanat shartlarini boshqacha talqin qilish ham mumkin: fazoda kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun sistema kuchlarining koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari yig‘indisi va koordinata o‘qlariga nisbatan momentlari yig‘indisi alohida-alohida nolga teng bo‘lishi zarur va etarli. 2. Fazoda ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatiga doir namunaviy masalalarni yechish.Uslubiy tavsiyalar 281 Fazoda ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatiga doir masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi. 1. Kооrdinаtаlаr sistеmаsi bоshini ilоji bоrichа ko‘prоq nоmа’lum rеаksiya kuchlаrining tа’sir chiziqlаri kеsishgаn nuqtаdа оlish, kооrdinаtа o‘qlаri yo‘nаlishini kuchlаr mоmеntlаrini hisоblаshgа qulаy qilib tаnlаsh kеrаk. 2. Qаttiq jismgа tа’sir etаyotgаn аktiv kuchlаrni shaklgа kооrdinаt o‘qlаrigа pаrаllеl tuzuvchilаrgа аjrаtib qo‘yish kеrаk. 3. Bоg‘lаnish аksiоmаsidаn fоydаlаnib, bоg‘lаnish rеаksiyalаri shaklgа qo‘yib оlinadi. 4. Tаnlаngаn kооrdinаtаlаr sistеmаsigа nisbаtаn (5.8.2) va (5.8.3) muvоzаnаt tеnglаmаlаrini tuzish lozim. 5. Tuzilgаn muvоzаnаt tеnglаmаlаrini yеchib, nоmа’lum-lаrni tоpish kеrаk. Tоpilgаn nоmа’lumning ishоrаsigа qаrаb, ulаrning hаqiqiy yo‘nаlishi аniqlаnаdi. 2.1-mаsаlа. (И.В.Mешчерский 8.7). Yorug‘lik mаshinа-si lyukining qоpqоg‘ini FG tirgаk gоrizоntаl hоlаtdа ushlаb turаdi, bu tirgаk shu qоpqоq o‘qidаn EF=1,5m mаsоfаdаgi F nuqtаdа qоpqоqqа tirаlgаn. Qоpqоqning оg‘irligi P=180N; uning bo‘yi CD=2,3m, eni CЕ=0,75m; А vа B shаrnirlаr bilаn qоpqоq chеtlаri оrаsidаgi mаsоfа АЕ=BS=0,15m. А vа B shаrnirlаr rеаksiyasi hаmdа FG tirgаkdаgi C zo‘riqish tоpilsin. Bеrilgаn: P=180N; z z CD=2,3m, CЕ=0,75m, C D АЕ=BS=0,15m, ЕF=1,5m. z B y Tоpish kеrаk: yA, zA, s y y yB, zB, S. A Kооrdinаtаlаr sisE tеmаcini shakldа ko‘rsаtil x F gаndаy tаnlаymiz. Qоpqоqqа P S tа’sir etuvchi аktiv kuchlаrni G 119-shakl vа bоg‘lаnish rеаksiyalаrini shakldа tаsvirlаymiz. Tаnlаngаn kооrdinаtаlаr sistеmаsi-gа nisbаtаn (5.8.2) va (5.8.3) tеnglаmаlаr sistеmаsini tuzаmiz B A B A 6 6 F ix F 0; iy i 1 YA YB 0; i 1 6 F iz Z A Z B S P 0; i 1 6 6 CD P EF S 0; 2 i 1 i 1 6 6 AB momy (Fi ) (zi Fix xi Fiz ) AB ZB 2 P AE S 0; i1 i1 mom x ( Fi ) ( yi Fiz zi Fiy ) 6 mom z ( Fi ) i 1 6 (x F i iy y i Fix ) AB Y B 0 . i 1 Bu tеnglаmаlаrning birinchi vа охirgisidаn yB=yА=0, uchinchidаn CD 2 ,3 M S P 180 N 138 N , 2 EF 2 1,5 to‘rtinchi vа ikkinchisidаn 282 1 AE P S 90 N 46 N 136 N , 2 AB z A P Z B S (180 136 138 ) N 94 N . zB 2.2-mаsаlа. (И.В. Mешчерский 8.15). y z Ishchi, shakldа sхеmа tаrzidа ko‘rsаtilgаn chig‘iriq yordаmidа B X Q=800N yukni ushlаb turаdi. B Q Bаrаbаn rаdiusi R=5cm, dаstа D uzunligi АK=40sm, АС=СB=50sm. C АK dаstаning gоrizоntаl P hоlаtidа dаstаgа tushаdiP z gаn P bоsim vа chig‘iriq K x X o‘qining А vа B tаyanchlаrigа A Q tushirаdigаn bоsimlаri аniqlаnsin. 120-shakl P kuch vеrtikаl. Bеrilgаn: Q=800N, R=5sm, AK=40sm, AC=CB=50sm. Tоpish kеrаk: R, xА, zА, xB, zB. Yеchish. Kооrdinаtаlаr sistеmаsini shakldа ko‘rsаtilgаndеk tаnlаymiz vа bu sistеmаgа nisbаtаn (5.8.3) muvоzаnаt tеnglаmаlаrini tuzаmiz B B A A 6 Fix X A X B Q 0; i1 6 Fiy 0; i1 6 Fiz Z A P Z B 0; i1 n ( yi Fiz z i Fiy ) AB Z B 0; i 1 6 ( z i Fix xi Fiz ) AK P R Q 0; i 1 6 ( xi Fiy yi Fix ) AC Q AB X B 0. i 1 Bu tеnglаmаlаrning to‘rtinchisidаn zB=0, bеshinchi vа оltinchisidаn xB=-400N, P=100N, birinchi vа ikkinchisidаn zA=100N, xА=-Q-xB=-400N. 2.3-masala (И.В.Мешчерский 8.24). Og‘irligi 200N bo‘lgan bir jinsli to‘g‘ri burchakli rom A sharli sharnir va B xalqa yordami bilan devorga biriktirilgan bo‘lib, uni CE arqon gorizontal holda ushlab turadi, arqon devorning A bilan bir vertikaldagi E nuqtatasiga qoqilgan mixga va romning C nuqtasiga bog‘langan; ECA BAC 300 . Arqondagi tortilish kuchi va tayanchlardagi reaksiyalar aniqlansin (121-shakl). Berilgan: P=200, ECA BAC 300 . Topish kerak: xA , y A , z A , xB , zB , T . Yechish. Koordinatalar sistemasi 121-shaklda tasvirlangan. Bog‘lanish reaksiyalarini shaklda ko‘rsatilganday qilib olamiz. z E 283 zA zB A xA 30 0 B yA xB F 600 D y T C x 121-shakl (5.8.2) va (5.8.3) tenglamalar sistemasini tuzamiz P 7 Rx Fix x A xB T cos 300 cos 600 0 , i 1 7 R y Fiy y A T cos 300 cos 300 0 , (a) i 1 7 Rz Fiz z A z B T cos 600 P 0 ; i 1 n b P bT cos 600 b zB 0 2 n a M y zi Fix xi Fiz P aT cos 600 0 2 i 1 M x yi Fiz zi Fiy i 1 (b) n M z xi Fiy yi Fix bxB 0 , i 1 bu erda a va b lar romning o‘lchamlari. Tenglamalarni sodda holga keltirib yozamiz 3 T 0; x A xB 2 1 z A z B T P 0; 2 1 1 2 T 2 P 0; 3 y A T 0; 4 1 1 z B T P 0; 2 2 (c) xB 0. Bu sistemani yechib, noma’lumlarni topamiz 1 T P 200 N , z B P T 0, 2 1 3 z A P z B T 100 N , y A T 150 N , 2 4 xB 0, xA 3 T x B 86,6 N . 4 2.4-masala (И.В.Мешчерский 8.30). AB sterjenni ikkita gorizontal AD va BC arqonlar qiya holda ushlab turadi. Bunda sterjen A nuqtaga vertikal devorga, B nuqtaga esa gorizontal polda tiralgan. D nuqta ham vertikal devorda yotadi. A va C nuqtalar bir vertikal chiziqda yotadi. Sterjenning og‘irligi 8N. A va B nuqtalardagi ishqalanishni hisobga olmaymiz. Sterjenning muvozanat holatda qolish mumkinligi tekshirilsin va arqonlarning TA va TB tortilish kuchlari hamda tayanch tekisliklarning reaksiyalari aniqlansin: ABC BCE 600 (122-shakl). 284 Berilgan: P 8 , ABC BCE 600 . Topish kerak: TA , TB , RA , RB . Yechish. Koordinatalar sistemasini 122-shaklda ko‘r-satilganday qilib tanlaymiz. AB sterjenning uzunligini ℓ bilan belgilaymiz. Kuchlar qo‘yilish nuqtalarining koordinatalari va koordinata o‘qlaridagi proeksiyalarini hisoblaymiz. z D T A R E E R A A B 600 TA C y P x 122-shakl P kuchining qo‘yilish nuqtasining koordinatalari: 1 xE cos 600 cos 600 ; 2 8 3 y E cos 600 cos 300 ; 2 8 3 z E sin 600 ; proeksiyalari (0;0;-P) bo‘ladi. TA va RA kuchlari qo‘yilish 2 4 nuqtasining koordinatalari: 3 x A 0; y A 0; z A sin 600 ; 2 R A 0; RA ;0 , TA TA ;0;0 larga teng. TB va RB kuchlari qo‘yilish proeksiyalari nuqtasining koordinatalari: 1 xB cos 600 cos 600 , 4 3 y B cos 600 cos 300 , z B 0 , 4 1 3 proeksiyalari: RB 0;0; RB , TB TB ; TB ;0 bo‘ladi. 2 2 Endi (5.8.2) va (5.8.3) muvozanat tenglamalarini tuzamiz: 5 5 1 Fix TA TB 0 , 2 i 1 F iy RA i 1 3 TB 0 , 2 5 F iz P RB 0 , i 1 5 y F i iz zi Fiy i 1 5 z F i i 1 ix 3 3 3 R A P RB 0 , 2 8 4 1 3 1 xi Fiz P TA RB 0 , 4 2 4 285 (a) n x F i iy yi Fix 0 . i 1 (a) tenglamalarni yechib, noma’lumlarni topamiz RB P 8 H , TA 1 4 3 RA 1 2 RB P 2 H , 4 RB P 1,15N , TB 2TA 2,3N . 2.5-masala (И.В.Мешчерский 8.28). ABCD kvadrat plitaning BD tomoni bo‘ylab gorizontal P kuch ta’sir qilsa, uni ushlab turadigan oltita tayanch sterjenlardagi zo‘riqishlar aniqlansin. O‘lchamlar shaklda ko‘rsatilgan (123-shakl). Yechish. Uchlari sharnir bilan biriktirilgan og‘irligi hisobga olinmaydigan sterjenlarning reaksiya kuchlari shu sterjenlar bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Reaksiya kuchlarini shaklda tasvirlab olamiz. Koordintalar sistemasini shaklda ko‘rsatilganday qilib tanlaymiz. z S3 S4 P S6 S4 3 a 4 5 S1 S2 2 y a 1 a x 123-shakl Muvozanat tenglamalarini tuzamiz 8 F ix S 2 cos 450 S5 cos 450 0 , i 1 8 F iy P S 4 cos 450 0 , i 1 8 F iz S1 S 2 cos 450 S3 S 4 cos 450 S5 cos 450 S 6 0, i1 mom F x i S1a S2 a cos 450 P a 0 , 8 i 1 momy Fi S1a S6a 0 , 8 8 mom F S a cos45 i 1 z i 0 2 Pa 0. i 1 Bu tenglamalar sistemasini yechib, noma’lumlarni topamiz 2 S 2 2 P, S 4 2 P , 2 S5 2 P, S6 2 P, S3 P . S 2 2 P, S1 P 3.Darsda mustaqil yechish uchun masala va topshiriqlar 1. АB аylаnish o‘qi vеrtikаl bo‘lgаn to‘g‘ri burchаkli eshik CАD=600 burchаkkа оchilgаn, uni shu vаziyatdа ikki аrqоn ushlаb turаdi. CD аrqоn blоkdаn o‘tkаzilgаn bo‘lib, uni P=320N yuk tоrtib turаdi, ikkinchisi EF аrqоn pоlning F 286 nuq-tаsigа bоg‘lаngаn. Eshikning оg‘irligi 640N; uning eni AD=AC=1,8m; bаlаndligi АB=2,4m. Blоkdаgi ishqаlаnishni hisоbgа оlmаy, EF аrqоnning tоrtilish kuchi T hаmdа А nuqtаdаgi silindrik shаrnirning vа B nuqtаdаgi pоdshipnikning rеаksiyalаri аniqlаnsin. z A D C 6 P 1 5 2 4 B 3 y x 60 F 0 E 1-mаsаlа 2-mаsаlа 2. To‘g‘ri burchаkli pаrаllеlеpipеd shаklidаgi bir jinsli gоrizоntаl plitа оltitа to‘g‘ri chiziqli stеrjеnlаr bilаn qo‘zg‘аlmаs qilib еrgа biriktirilgаn; plitаning оg‘irligi R gа tеng. Аgаr stеrjеnlаrning uchlаri plitа vа qo‘zg‘аlmаs аsоslаrgа shаrnirlаr bilаn biriktirilgаn bo‘lsа, plitаning оg‘irligi tа’siridа stеrjеnlаrdа hоsil bo‘lаdigаn zo‘riqishlаrni аniqlаng. z z yA Q A a zA α O A r F M y a C B 3-mаsаlа 4-mаsаlа 3. Shkivgа qo‘yilgаn F=2Q=120N kuchlаr mоmеnti M=18Nm gа tеng bo‘lgаn juft kuch bilаn muvоzаnаtlаshаdi. Ох o‘qigа nisbаtаn mоmеntlаr tеnglаmаsini tuzib, А pоdshipnikning y A rеаksiyasini аniqlаng. 4. Bir jinsli kvаdrаt rоm G=140N оg‘irlik kuchi vа bоg‘lа-nishlаr rеаksiyalаri tа’siridа gоrizоntаl hоlаtdа ushlаb turilаdi. ОB o‘qqа nisbаtаn mоmеntlаr tеnglаmаsini tuzib, А shаrnirning z A rеаksiyasini tоping. Rоmning tоmоnlаri a =0,5m vа α=600. 5. Оg‘irligi G=30N bo‘lgаn bir jinsli ОАBC plitа О va А shаrnirlаr hаmda BD trоs bilаn gоrizоntаl hоlаtdа ushlаb turilа-di. Аgаr α=600; a =2m bo‘lsа, trоsning tоrtilish kuchini tоping. z z B 3α 287 D A α F A y 3a C G y O B 1,5a y 3a G x 3a 5-mаsаlа 6-mаsаlа 6. Оg‘irligi G=11kN bo‘lgаn jism bоg‘lаnishlаr vа F=3kN kuch tа’siridа muvоzаnаtdа turаdi. Ох o‘qigа nisbаtаn mо-mеntlаr tеnglаmаsini tuzib, АB trоsning tоrtilish kuchini tоping. a =0,2m. z B C q A P B 3 a A 5 G D O F 6 y 4 D 2 a 1 α a 7-mаsаlа 8-mаsаlа 7. Figurаli OABD bаlkа muvоzаnаt hоlаtdа turаdi. Bаlkа-gа F=1t to‘plаngаn kuch vа q=2t/m tаqsimlаngаn kuch tа’sir qilаdi. Аgаr ОА=1,7m, АB=2m, BD=3,4m vа BD||Ox bo‘lsа, О nuqtаlаrdаgi bоg‘lаnishning Oz o‘qi bo‘ylаb yo‘nаlgаn tuzuvchisini tоping. 8. ABCD kvаdrаt plitаning BD tоmоni bo‘ylаb gоrizоntаl P kuch tа’sir qilsа, uni ushlаb turаdigаn оltitа tаyanch stеrjеnlаrdаgi zo‘riqishlаr аniqlаnsin. O‘lchоvlаr shаkldа ko‘rsа-tilgаn. x 288 4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Fazoda ixtiyoriy ravishda joylashgan kuchlar sistemasi nechta muvozanat tenglamalariga ega? 2. Kuchlar sistemasining bosh vektori qanday hisoblanadi? 3. Kuchlar sistemasining bosh momenti qanday hisoblanadi? 4. Fazoda juftlar sistemasining muvozanat tenglamalari qanday ko‘rinishda bo‘ladi? 5. [ 6]dan 8.2,8.4,8.6,8.8, 8.10,8.12, 8.14, 8.22, 8.26, 8.32 masalarni yeching. 1. “Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi” mavzusini takrorlash va mustahkamlashga doir SAVOLLAR. 1. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini biror markazga keltirib qo`shish qanday usul orqali bajariladi? 2. Fazodagi kuchlar sistemasini biror markazga keltirish natijasida nimalarga ega bo`lamiz? 3. Fazodagi kuchlar sistemasining bosh vektori qanday topiladi? 4. Fazodagi kuchlar sistemasining bosh momenti qanday aniqlanadi? 5. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining skalyar ko`rinishdagi muvozanat tenglamalari nechta bo`ladi? 6. Dinamavint hodisasi qaysi hollarda vujudga keladi? 289 5-amaliy mashg`ulot “Nuqta harakatining berilish usullari. Nuqta tezligi.” 1.3. “Nuqta harakatining berilish usullari. Nuqta tezligi.” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25 ta O’quv mashg’ulot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot 1. Mavzuga doir asosiy tushunchalarni takrorlash. rejasi 2. Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 3. Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4. Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 5. Adabiyotlar O`quv mashg`ulotning maqsadi: Mavzuga doir masalalar yechish; masalalar yechishda uslubiy tavsiyalardan samarali foydalanish ko`nikmalarini hosil qilish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Mavzuga doir asosiy tushunchalarni Qo`yilgan savollarga javob beradilar. mustahkamlash. Harakatning kinematik Masalalar yechish bo`yicha uslubiy xarakteristikalarini biladilar. tavsiyalarni o`rganish. Harakatni qanday usulda berilganligini Harakatni qanday usulda berilganligini aniqlaydilar. va uni topish usullarini o`zlashtirish. Nuqtaning traektoriyasini aniqlay Harakat bir usulda berilgan bo`lsa, oladilar. boshqa usulga o`tish yo`llarini bilish va Nuqta tezligining moduli, yo`nalishini mustahkamlash. turli koordinatalar sistemasida topa oladilar. O’qitish vositari Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, 290 grafiklardan foydalanish O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va baholash Og`zaki savollar, blis-so`rov 1.4.“ Nuqta harakatining berilish usullari. Nuqta tezligi” mavzudagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1. O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1-ilova). 1.3.Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. 291 Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 5-amaliy mashg’ulot 1. Nuqta harakatining berilish usullari Nuqtaning harakati bir necha xil usullar bilan berilgan bo’lishi mumkin. Agar nuqtaning harakati biror usulda berilgan bo’lsa, tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan ixtiyoriy paytda nuqtaning holatini aniqlash mumkin. 2.1. Tabiiy usul. Biror sanoq sistemasiga nisbatan nuqtaning trayektoriyasi berilgan bo’lsa, uning harakati tabiiy usulda berilgan deyiladi. Nuqtaning trayektoriyasi Oxyz koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo’lsin (127-shakl). Trayektoriyaning biror O1 nuqtasini sanoq boshi deb qabul qilib, trayektoriya bo’ylab musbat O1M S yo’nalishini tanlaymiz. Nuqtaning boshlang’ich O1 holati bilan keyingi M holati orasidagi S yoy vaqtning funksiyasi ko’rinishida berilgan bo’lsa, bu qonunga asosan nuqtaning ixtiyoriy paytda trayektoriya ustidagi holatini bir qiymatli aniqlash mumkin (127-shakl). Agar vaqtning har bir payti uchun nuqtaning holatini tasvirlovchi masofa aniqlangan bo’lsa, ya’ni z (6.2.1) S f(t) O1 bog’lanish berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati tabiiy usulda aniqlangan deyiladi. (6.2.1) S O tenglamaga x nuqtaning harakat tenglamasi deyiladi. M y 127-shakl Aniqlanishiga ko’ra S=f(t) funksiya qo’yidagi shartlarni qanoatlantiradi: bir qiymatli, chunki nuqta bir vaqtning o’zida fazoning turli joyida bo’la olmaydi; uzluksiz, bu degani harakat uzluksiz, ya’ni t vaqtning cheksiz kichik o’zgarishiga, S masofaning cheksiz kichik o’zgarishi mos keladi; differensiallanuvchi. Bu shartlarning zaruriyligi kinematika va dinamikaning asosiy talablaridan kelib chiqadi. Agar S=C=const bo’lsa, bu nuqtaning berilgan sanoq sistemasiga nisbatan tinch holatda ekanini bildiradi. 2.2. Koordinatalar usuli. Nuqtaning holati koordinatalar usulida berilgan bo’lishi uchun: sanoq ob’yektiga mahkamlangan biror koordinatalar sistemasiga 292 nisbatan harakatlanuvchi nuqtaning koordinatalari vaqtning funksiyasi ko’rinishida berilishi kerak. Uch o’lchovli fazoda nuqtaning holati q1,q2,q3 koordinatalar bilan aniqlanadi. Bu koordinatalarga egri chiziqli koordinatalar deyiladi. Demak, nuqtaning koordinatalari q1=q1(t), q2= q2(t), q3= q3(t) (6.2.2) tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati koordinatalar usulida berilgan hisoblanadi. Oldingi holdagidek, bu yerda ham hamma funksiyalar bir qiymatli, uzluksiz va differensiallanuvchi deb qaraladi. Agar nuqtaning holati to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida berilgan bo’lsa, nuqtaning ixtiyoriy paytidagi holati x=x(t), y=y(t), z=z(t) (6.2.3) tenglamalar bilan aniqlanadi. (6.2.3) tenglamalar bir tomondan nuqtaning harakat qonunini ifodalaydi, ya’ni vaqtning ixtiyoriy paytida x,y,z koordinatalarni va demak M nuqtaning holatini aniqlash imkonini beradi, ikkinchi tomondan trayektoriyaning parametrik tenglamalarini ifodalaydi. Bu tenglamalardan t parametrni yo’qotish mumkin bo’lsa, qo’yidagi tenglamalar sistemalarini hosil qilamiz: ( x, y ) 0; ( y, z ) 0; ( x, z ) 0; ( x, z ) 0, ( x, z ) 0, ( y, z ) 0. (6.2.4) Bu sistemalarning har biri nuqta trayektoriyasini ikkita sirtning kesishishi ko’rinishida tasvirlaydi. Nuqta harakatini o’rganishda boshqa kooodinatalar sistemalaridan ham foydalanish mumkin. Masalan, silindrik, sferik va qutb koordinatalar sistemalari. 2.3. Vektor usuli. Nuqtaning ixtiyoriy paytdagi holatini biror markazga nisbatan uning radius-vektori bilan aniqlash mumkin bo’lsa, ya’ni nuqtaning holatini aniqlovchi radius-vektor t vaqtning funksiyasi ko’rinishda berilgan bo’lsa, nuqtaning harakati vektor usulida berilgan deyiladi. Ta’rifga asosan biror O 293 markazga nisbatan nuqtaning holatini aniqlovchi radius-vektor vaqtning funksiyasi bo’ladi, ya’ni r r t . (6.2.5) Agar nuqtaning dekart koordinatalari x,y,z bo’lsa, uning z koordinatalar boshiga nisbatan radius-vektorining r proyeksiyalari ham x,y,z bo’ladi, ya’ni M(x,y,z) r x i yj z k . y x (6.2.6) 128-shakl Agar nuqta tekislikda harakatlansa, uning harakati vektor usulda r r (t ) x(t )i y (t ) j (6.2.7) ko’rinishida yoziladi. Agar nuqtaning harakati koordinatalar usulda berilgan bo’lsa, harakatni vektor usuliga o’tkazish mumkin va aksincha. Agar nuqtaning harakati koordinatalar usulda berilgan bo’lsa, ya’ni (6.2.3) tenglamalar berilgan bo’lsa, uning radiusvektori qo’yidagicha topiladi: r r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t ) k . Agar nuqtaning harakati dekart koordinatalarida berilgan bo’lsa, undan nuqta harakatining tabiiy tenglamasiga ham o’tish mumkin. Nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni differensial ko’rinishda qo’yidagicha yoziladi: dS dx 2 dy 2 dz 2 , bundan, t t 2 2 2 S dx dy dz 0 xt 2 yt 2 zt 2 dt . (6.2.8) 0 Mexanikada vaqt bo’yicha hosilalarni qo’yidagicha yozish kiritilgan. Masalan, x(t) funksiyadan birinchi tartibli hosilani x t , ikkinchi tartibli hosila xt va hokazo ko'rinishda yoziladi. 2. Nuqtaning traektoriya bo’ylab harakat qonuniga doir namunaviy masalalarni yechish. Uslubiy tavsiyalar. 294 Nuqtaning harakat tenglamalariga doir masalalarni qo’yidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1. Masalani yechish uchun tegishli koordinatalar sistemasini tanlash kerak. 2. Berilgan shartlardan foydalanib, tanlangan koordinalar sistemasiga nisbatan nuqtaning harakat tenglamalari tuziladi. 3. Nuqtaning tuzilgan harakat tenglamalariga qarab, ya’ni (6.2.4) va (6.2.8) tenglamalaridan foydalanib, (6.2.4) trayektoriya tenglamalari topiladi. 1-masala (И.В. Мешчерский 10.4). Nuqta harakatining berilgan x=3sin t, y=3cos t tenglamalariga qarab uning trayektoriya tenglamasi topilsin; shuningdek, masofani nuqtaning boshlang’ich holatidan hisoblab, uning trayektoriya bo’ylab harakatlanish qonuni ko’rsatilsin. Yechish. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalaridan t parametrlarini yo’qotib, uning trayektoriya tenglamasini topamiz, ya’ni x2+y2=9. y S Demak, nuqta trayektoriyasi markazi koordinatalar r boshida va radiusi 3 ga teng bo’lgan aylana bo’lar ekan O x (129-shakl). Endi nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakatlanish 129-shakl qonunini topamiz. Buning uchun (6.2.8) formuladan foydalanamiz. Berilgan harakat tenglamalariga asosan: x 3 cos t , y 3sin t . Buni (6.2.8) formulaga qo’yamiz: t S 9(cos2 t sin 2 t ) dt 3t C , 0 bu yerda С berilgan boshlang’ich shartlardan topiladi. Masalan: t=0 bo’lganda S0=0 deb olinsa, С=0 bo’ladi, natijada nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakatlanish tenglamasi qo’yidagi ko’rinishga keladi: S=3t. 295 2-masala (И.В.Мешчерский 10.14). Snaryadning harakati x 0t cos , y 0t sin gt 2 2 tenglamalar bilan berilgan, bu yerda 0 snaryadning boshlang’ich tezligi, α- x o’qi bilan 0 orasidagi burchak, g-og’irlik kuchining tezlanishi. Snaryadning harakat trayektoriyasi, H-balandlik, L-uchish uzoqligi va T uchish vaqti aniqlansin. Yechish. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalaridan t ni yo’qotib, uning trayektoriya tenglamasini topamiz. Tenglamalarning birinchisidan: t x . 0 cos Buni tenglamalarning ikkinchisiga qo’yamiz: y tg x g x2 . 2 cos 2 2 0 Demak, snaryadning harakat trayektoriyasi paraboladan iborat ekan. Endi H balandlikni topamiz. Nuqta parabola bo’ylab eng katta balandlikka ko’tarilganda y koordinata o’zining eng katta qiymatiga erishadi. Harakat tenglamalarning ikkinchisining birinchi tartibli y hosilasini nolga tenglashtiramiz: y 0 sin gt 0 . H Bundan: O t 0 sin . g 0 α L x 130-shakl Shoxlari pastga qaragan parabolada y faqat eng katta qiymatga ega, shuning uchun H ymax 02 sin 2 . 2g Endi uchish masofasini topamiz. Nuqta Yerga kelib tushganda uning y koordinatasi nolga teng bo’ladi, ya’ni y 0 sin t gt 2 0. 2 Bundan t1 0; t2 2 0 sin . g 296 t1-nuqtaning boshlang’ich holatiga, t2-nuqtaning uchish vaqtini ifodalaydi. Demak, T 2 0 sin . g T ning bu qiymatini harakat tenglamalarining birinchisiga qo’yib, nuqtaning uchish masofasini topamiz, ya’ni L хmax 02 2 2 cos sin 0 sin 2 . g g 3-masala (И.В. Мешчерский 10.21). Nuqtaning dekart koordinatalari sistemasida berilgan x R cos 2 kt R kt , y sin kt , z R sin 2 2 2 harakat tenglamalariga asosan uning trayektoriyasi va sferik kordinatalar sistemasidagi harakat tenglamalari topilsin. Yechish. Nuqtaning trayektoriya tenglamasini topamiz. Harakat tenglamalarining birinchi va ikkitasidan: R R 2 x 2 2 cos kt R R2 x y2 . 2 4 y R sin kt 2 Harakat tenglamalarining uchinchisidan: sin kt z . 2 R Buni birinchi ikkita tenglamaga qo’yamiz: kt R 2 z 2 x R1 sin 2 , 2 R y Rsin kt kt z R2 z 2 cos . 2 2 R Bu tenglamalarning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib qo’shamiz, natijada x2 y2 z2 R2 tenglamani hosil qilamiz. Demak nuqta traektoriyasi 2 R2 R 2 x y z R sfera va x y 2 4 2 2 2 2 silindrlarning kesishish chizig’idan iborat bo’lar ekan. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalarini qo’yidagi ko’rinishda yozamiz: 297 x R cos kt kt kt kt kt cos , y R cos sin , z R sin . 2 2 2 2 2 Bu tenglamalarni nuqtaning sferik koordinatalari bilan dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish tenglamalari bilan solishtirib, qo’yidagi tenglamalarga kelamiz: r R, kt kt , . 2 2 3.Darsda mustaqil yechish uchun masala va topshiriqlar 1.Nuqtaning harakat tenglamasi r 3ti 4tj ko’rinishida berilgan. r 5m bo’lgan paytda nuqtaning y koordinatasi topilsin. 2. Nuqtaning harakat tenglamalari x=3t, y=t2 ko’rinishida berilgan. t=2c bo’lgan paytda koordinatalar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofa topilsin. 3. Nuqtaning harakat tenglamalari x=cost, y=2sint ko’rinishida berilgan. t=2,5c bo’lgan paytda nuqtadan koordinatalar boshigacha bo’lgan masofa topilsin. 4. Nuqtaning harakat tenglamalari x=2t, y=t ko’rinishida berilgan. Koordinatalar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofa 10 m ga yetgan vaqt t topilsin. 5. A nuqtaning harakat tenglamalari x=2cost, y=3sint ko’rinishida berilgan. t=1,5c bo’lgan paytda nuqtaning radius-vektori OA bilan Ox o’qi orasidagi burchak topilsin. 6. Nuqtaning harakati x=5cos5t2, y=5sin5t2 tenglamalar bilan berilgan. Nuqtaning trayektoriya tenglamasi shuningdek, masofani nuqtaning boshlang’ich holatidan hisoblab, uning trayektoriya bo’ylab harakatlanish qonuni topilsin. 7. Nuqtaning turli chastotali o’zaro perpendikulyar tebranishlari x=asin2ωt, y a sin t tenglamalar bilan berilgan. Trayektoriya tenglamasi topilsin. 8. Nuqta x=acoskt, y=asinkt, z=vt vint chizig’i bo’ylab harakatlanadi. Nuqta harakatining tenglamalari silindrik koordinatalarda aniqlansin. 4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Kinematikaning asosiy tushunchalari nimalar? 2. Nuqta kinematikasining asosiy masalasi nimalardan iborat? 298 3. Nuqtaning harakati qanday usullar bilan berilishi mumkin? 4. Bir koordinatalar sistemasidan boshqasiga qanday o’tiladi? 5. [ ] dan 10.2, 10.4,10.6, 10.8, 10.10, 10.12, 10.16, 10.18, 10.20 masalani yeching Nuqtaning tezligi 1. Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi Agar nuqtaning harakat trayektoriyasi egri chiziqdan iborat bo’lsa, uning bunday harakatiga egri chiziqli harakat deyiladi. Nuqta harakatining asosiy xarateristikalaridan biri uning tezligi hisoblanadi. Harakatlanuvchi nuqtaning qaralayotgan koordinatalar sistemasiga nisbatan t paytdagi M holati r radius vektor bilan, t+∆t paytdagi holati r1 radius-vektor bilan M z aniqlansin (131-shakl). ∆t vaqt oralig’ida harakatlanuvchi r nuqtaning radius-vektori r r1 r ga o’zgarsin (131shakl). M1 r1 O * r t x y 131-shakl nisbatga nuqtaning ∆t vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlik deyiladi. Demak, nuqtaning o’rtacha tezligi r vector yo’nalishidagi, ya’ni harakat yo’nalishidagi vektor bo’lar ekan. O’rtacha tezlikning ∆t vaqt oralig’i nolga intilgandagi (ba’zan oniy tezlik deb ham ataladi) limitik holati nuqtaning ixtiyoriy t paytidagi tezlikni ifodalaydi, ya’ni r dr lim . t 0 t dt (6.4.1) Shunday qilib, nuqtaning ixtiyoriy paytidagi tezligi vektor kattalik bo’lib, nuqtaning radius-vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng. r vektorning t 0 dagi limitik holati trayektoriyaning urinmasi bilan ustma-ust t tushadi, demak, tezlik vektori trayektoriyaning urinmasi bo’ylab, harakat yo’nalishi tomonga qarab yo’nalgan vektordir. Tezlik vektorini quyidagicha almashtiramiz: 299 dr dr ds dr S. dr ds dt ds dr (6.4.2) tenglikning o’ng tomonidagi ko’paytmani ds qaraymiz. S va r miqdorlar bir xil tartibli kichik (6.4.2) M lim r S r r miqdorlar ekanligidan r1 O 1 bo’ladi (132-shakl). Demak, r / s miqdorning S 0 0 S M1 132-shakl (yoki) t 0 dagi limitik holati nuqtaning urinmasi bo’ylab yo’nalgan birlik vektorni ifodalaydi, ya’ni r 0 lim , S 0 S t 0 bu yerda 0 -urinmaning musbat yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan birlik vektor. Shunday qilib, (6.4.2) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: S 0 . dS dt (6.4.3) miqdor tezlikning algebraik qiymati modulini bildiradi, yoki tezlik trayektoriyaning M nuqtasida o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasini bildiradi, ya’ni dS . dt (6.4.4) Nuqtaning radius-vektorini uning proyeksiyalari orqali yozamiz: r xi yj zk Tezlikning ta’rifiga asosan: dr dx dy dz i j k x i y j zk . dt dt dt dt (6.4.5) Tezlik vektorini kordinata o’qlaridagi proyeksiyalari orqali yozamiz: xi y j zk . (6.4.6) (6.4.5) va (6.4.6) ifodalarni solishtirib, tezlikning proyeksiyalari uchun quyidagi formulalarni hosil qilamiz: 300 x dx x , dt y dy y , dt z dz z . dt (6.4.7) Shunday qilib, tezlikning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilalarga teng bo’lar ekan. Tezlik vektorining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari ma’lum bo’lsa, uning moduli va yo’nalishini topish mumkin: x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 ; y y x cos( , ^ x ) x , cos( ^ y ) , y y (6.4.8) z cos( , ^ z ) z . Agar nuqtaning harakat trayektoriyasi to’g’ri chiziqdan iborat bo’lsa, bunday harakatga to’g’ri chiziqli harakat deyiladi. Nuqta to’g’ri chiziqli harakatda bo’lsa, koordinatalar o’qlaridan bittasini masalan, Ox o’qini harakat to’g’ri chizigi bo’ylab yo’naltiramiz. U holda tezlikning qolgan o’qlaridagi proyeksiyalari aynan nolga teng bo’ladi (133-shakl). Natijada nuqtaning tezligi uchun quyidagi formulani hosil qilamiz: x dx x , x . dt O Shunday qilib, to’g’ri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi masofadan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli M x x 133-shakl hosilaga teng ekan. Agar harakatning berilgan qismida dx tezlik va x koordinata bir xil ishoraga dt ega bo’lsa, nuqtaning bu holdagi harakatiga to’g’ri harakat deyiladi. Agar va x lar har xil ishorali bo’lsa nuqtaning bunday harakatiga teskari harakat deyiladi. Agar nuqtaning tezligi vaqtning biror paytida nolga teng bo’lsa, shu paytda x masofa o’zining statsionar qiymatiga ega bo’ladi. x o’zining maksimum yoki minimum qiymatiga erishgan paytda nuqtaning tezligi nolga teng bo’lib, shu payt 301 tezlik o’zining yo’nalishini uzgartiradi va harakat agar teskari bo’lsa, to’g’ri harakatga o’tadi. Agar nuqtaning tezligi qandaydir vaqt oralig’ida nolga teng bo’lsa, shu vaqt oralig’ida x=const bo’lib, nuqta tinch holatda bo’ladi. uzunlik . Tezlikning o’lchov birligi sifatida: vaqt Tezliknng o’lchov birligi: sm/sek, m/sek, km/soat olinadi. Agar butun harakat davomida nuqtaninig tezligi o’zgarmas, ya’ni 0 const bo’lsa, nuqtaning bunday harakatiga to’g’ri chiziqli tekis harakat deyiladi. dx 0 . dt Bundan x x0 0t , (6.4.9) bu yerda x0-nuqtaning boshlang’ich koordinatasi. (6.4.9) tenglama to’g’ri chiziqli tekis harakat tenglamasini ifodalaydi. 2. Aylana bo’ylab harakatlanayotgan nuqtaning tezligi Burchak tezlik. Nuqtaning R radiusli aylana bo’ylab quyidagiga teng bo’ladi: ω dS d R , dt dt (6.4.10) d dt (6.4.11) τ harakatini qaraymiz. Bu holda M nuqta tezligining son qiymati O ds M dφ bu yerda dS Rd . 134-shakl miqdorga R radiusning aylanish burchak tezligi deyiladi. Shunday qilib, aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqta tezligining miqdori quyidagicha topiladi: R . (6.4.12) Tezlik vektori aylana urinmasi bo’ylab, harakat yo’nalishi tomonga yo’nalgan bo’ladi. 302 Nuqta tezligini topishga doir namunaviy masalalarni yechish. Uslubiy tavsiyalar. Nuqta tezligini topishga doir masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1. Masalalarni yechish uchun tegishli koordinatalar sistemasi tanlanadi. 2. Masalaning berilgan shartlaridan foydalanib, nuqtaning harakat tenglamalari tuziladi. 3. Harakatning berilish usuliga qarab, tegishli formulalardan foydalanib, nuqtaning tezligi topiladi. 1-masala. (И.В.Мешчерский 11.3). Nuqta x=2cost, y=4cos2t (x,y- santimetrlar, t-sekundlar hisobida) tenglamalarga muvofiq lissaju figurasini chizadi. Nuqta Oy o’qida bo’lganida tezligining miqdori bilan yo’nalishi topilsin. Yechish. Nuqta Oy o’qida bo’lgan paytda x=0 bo’ladi. Berilgan tenglamalardan: cos t 0; t n, n ЄZ. 2 Endi tezlikning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: x x 2 sin t , 1) t y y 8 sin 2t ; 2n , n Z bo’lgan paytlar uchun 2 x 2 sm , y 0, s x2 y2 2sm / s ; 2 cos( x, ^ ) x 1, 2 2) t 4 sin 2 t 64 sin 2 2t cos( y, ^ ) y 0 . 3 2n, n Z bo’lgan paytlar uchun 2 x 2 sm , s cos( x, ^ ) y 0, 2 sm . s cos( y, ^ ) y 0 . x 2 1, 2 2-masala. Vertikal yuqoriga otilgan M nuqta qarshiliksiz muhitda quyidagi tenglamaga muvofiq harakatlanadi: 303 x 0t gt 2 , 2 (a) bu yerda 0 va g-o’zgarmas koeffisientlar. Nuqtaning tezligi, eng katta ko’tarilish balandligi va eng katta balandlikka ko’tarilishga ketgan vaqt topilsin. Yechish. Tezlikning vertikal o’qdagi proyeksiyasini topamiz: x dx 0 gt . dt (b) (b) tenglamadan ko’rish mumkinki, t=0, x 0 . Demak 0 tezlikning boshlang’ich paytdagi proyeksiyasini qiymatini ifodalar ekan. Nuqta eng katta balandlikka chiqqan paytda uning tezligi nolga teng bo’ladi, ya’ni x 0 gt 0 . Bundan Т 0 . g Eng katta balandlikni topish uchun T ning topilgan qiymatini nuqtaning berilgan harakat tenglamasiga qo’yamiz: H 0 0 g 02 02 . g 2 g 2 2g 3-masala. M moddiy nuqta 0 boshlang’ich tezlik bilan vertikal yuqoriga otildi. M nuqta eng katta balandlikka ko’tarilib, qaytishda yo’lning o’rtasida uchrashishi uchun birinchi nuqta otilgan joydan ikkinchi M1 nuqtani qanday 1 0 boshlang’ich tezlik bilan otilish kerak. Yechish. Vertikal yuqoriga otilgan nuqta qarshiliksiz muhitda quyidagi tenglamaga muvofiq harakat qiladi: x 0t gt 2 , 2 bu yerda 0 nuqtaning boshlang’ich tezligi, g-erkin tushish tezlanishi. Oldingi masalada birinchi nuqtaning eng katta balandligi topilgan edi, ya’ni 304 Н 02 2g (a) Yuqoridan pastga vertikal harakatlanadigan birinchi nuqta uchun boshlang’ich tezlik nolga teng, ya’ni 0 0. Uning harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi: g t12 x1 . 2 (b) 1 boshlang’ich tezlik bilan yuqoriga vertikal otilgan nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi: x2 1t 2 dt 22 . 2 Masalaning shartiga ko’ra (c) (b) va (c) tenglamalarga asosan: gt12 gt 2 1t2 2 . 2 2 (d) 02 gt12 t1 0 4g 2 g 2 (e) (b) tenglamadan: Masalaning shartiga ko’ra t1=t2. Bunga asosan (e) ni (d) ga qo’yamiz: 02 2 1 0 0 ; 4g g 2 4g Bundan: 1 0 . 2 4-masala (И.В.Мешчерский 11.4). OA krivoship o’zgarmas burchak tezlik bilan aylanadi. Krivoship-polzunli mexanizm shatuni o’rtasidagi M nuqtaning tezligi va polzunning tezligi vaqt funksiyasi sifatida topilsin; OA=AB=a. Yechish. M nuqtaning va B polzunning koordinatalarini topamiz. ∆OAB teng yonli bo’lgani uchun B , CD=DB. Shaklga asosan: y A OA xM AO cos cos , 2 M O 305 B C 138-shakl ym OA sin 2 yoki 3 xM a cos t , 2 1 y M a sin t. 2 (a) (a) tenglamalardan: . Mx 3 xM a sin t , 2 My y M 1 a cos t. 2 Endi tezlikning modulini topamiz: a 2 2 M Mx My 8 sin 2 t 1. 2 Xuddi shunday xB 2a cos t yB 0 Bx x B 2a sin t By 0 B nuqta tezligining moduli 2 2 В Вx Вy 2a sin t . 5-masala (И.В.Мешчерский 11.9). Radiusi R=1m bo’lgan elektrovoz g’ildiragining o’qidan a=0,5m narida yotuvchi nuqtasining harakat tenglamalari va trayektoriyasi aniqlansin. G’ildirak gorizontal va to’g’ri chiziqli yo’lda sirganmasdan g’ildirab boradi; g’ildirak o’qinig tezligi 10m / s . Ox o’q rels bilan ustma-ust tushadi, Oy o’q nuqtaning boshlang’ich pastki holatidagi radiusga mos keladi. Shuningdek, g’ildirakning shu nuqta yotgan diametri gorizotal va vertikal holatni egallagan paytlarda nuqta tezligining qancha bo’lishi aniqlansin. Yechish. Boshlang’ich paytda g’ildirak bilan relsning urinish nuqtasining koordinatalar boshi deb olib, x o’qni rels bo’ylab, y o’qini vertikal bo’ylab yo’naltiramiz. G’ildirak Q nuqtasining ixtiyoriy t paytdagi holatini aniqlaymiz. G’ildirak markazi gorizantal to’g’ri chiziq bo’ylab tekis harakat qilgani uchun С0С 0t 10t CA||C0O bo’lganligidan t vaqt ichida g’ildirakning o’z o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan burchakni QCA bilan belgilaymiz. 306 Q nuqtaning koordinatalarini topamiz: xQ=OB, yQ=QB bo’ladi. OB=OA-BA=S0S-SE, QB=QE+EB, yoki xQ 10t CE , yQ R QE . QEC dan: QE a sin( 90 0 ) a cos , y EC a cos( 90 0 ) a sin Q Bularga asosan C0 E xQ 10t a sin , C (a) yQ R a cos X B A O 139-shakl Endi burchakni t ning funksiyasi ko’rinishida topamiz. G’ildirak yo’lda sirganmasdan yumalagani sababli. OA R OA=C0C=10t. Natijada R 10t 10t 10t . R Buni (a) tenglamalariga qo’yib, nuqtaning harakat tenglamalarini topamiz: xQ=10t-0,5sin10t, yQ=1-0,5cos10t. Endi nuqta gorizontal va vertikal diametrda yotgan holatlar uchun tezliklarni topamiz: 1. Nuqta gorizontal diametrlarda yotgan holda: ; 2 3 2 bo’ladi. (b) tenglamalardan vaqt bo’yicha hosilalarni olib, tezlikning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz, ya’ni x x Q 10 5 cos 10t , 10t bo’lgan paytda 2 307 y y Q 5 sin 10t. x 10m / s , y 5m / s . Tezlikning moduli x2 y2 11,18m / s ga teng ekani kelib chiqadi. 3 bo’lgan paytda 2 x 10m / s , y 5m / s va x2 y2 11,18m / s . 2) Nuqta vertikal diametrda yotgan holda: 0; bo’ladi. 0 bo’lgan paytda: x 5m / s , y 0, x2 y2 5m / s . bo’lgan paytda: x 15m / s , y 0 6-masala (И.В.Мешчерский ht va 15m / s . 11.12). Nuqta bir vaqtning o’zida ht x Aye cos(kt ) , y Ae sin( kt ) tenglamalarga asosan o’zaro perpendikulyar so’nuvchi tebranishlarda ishtirok etadi. Nuqta tezligining dekart va qutb koordinatalaridagi proyeksiyalari va shuningdek, nuqta tezligining moduli aniqlansin. Yechish. Nuqta tezligining dekart koordinatalari o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: x x Ahe ht cos(kt ) Ake ht sin( kt ) Ae ht (h cos(kt ) k sin( kt )), y y Ahe ht sin( kt ) Ake ht cos(kt ) Ae ht (k cos(kt ) h sin( kt )). Berilgan tenglamalardan: r x 2 y 2 Ae ht , kt Endi tezlikning qutb koordinatalaridagi proyeksiyalarini topamiz: 308 r Ake ht . r r Ahe ht , Tezlikning moduli: r 2 r 2 2 h 2 k 2 Ae hz r h 2 k 2 . 3.Darsda mustaqil yechish uchun masala va topshiriqlar 1. Nuqta x 2 cos t , y 4 cos 2t (x, y-santimetrlar, t-sekundlar hisobida) tenglamalarga muvofiq lissaju figurasini chizadi. Nuqta Oy o’qda bo’lganida tezlikning miqdori bilan yo’nalishi topilsin. 2. OA krivoship o’zgarmas burchak tezlik bilan aylanadi. Krivoshippolzunli mexanizm shatunining o’rtasidagi M nuqta va polzunning tezligi vaqt funksiyasi sifatida topilsin; OA AB a . 3. O’qi gorizont bilan 300 burchak tashkil y A qilgan to’pdan 500 m/s tezlik bilan snaryad otiladi. Snaryad faqat g=9,81 m/s2 og’irlik kuchi M tezlanishiga ega deb faraz qilib, uning tezlik B x 2-masala godografi va godograf chizuvchi nuqtaning tezligi topilsin. 4. M nuqtaning harakat tenglamalari silindrik koordinatalar sistemasida r a, kt , z vt ko’rinishga ega. M nuqta tezligining silindrik koordinatalar sistemasidagi proyeksiyalari, tezlik godografini chizuvchi M1 nuqtaning harakat tenglamalari va M1 nuqta tezligining proyeksiyalari topilsin. 5. M nuqta aylana bo’ylab r 2a cos kt kt , 2 2 tenglamalarga asosan harakatlanadi ( r , -qutb koordinatalri). M nuqta tezligining qutb koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari, tezlik godografini chizuvchi M1 nuqta harakat tenglamalari va M1 nuqta tezligining proyeksiyalari topilsin. 6. Nuqtaning to’la tezligi 20 m/s, radial tezligi 10 m/s bo’lsa, uning transversal tezligini toping. 7. Nuqtaning harakat tenglamalari t , r t 2 ko’rinishda berilgan. 180 0 bo’lgan paytda nuqtaning qutb radiusini toping. 309 8. Nuqtaning harakati qutb koordinatalarida berilgan: t 2 , r 0,5t 2 . Qutb burchagi 2,25 rad. bo’lgan paytda nuqtaning radial tezligini toping. 9. Nuqtaning harakati 2t , r t 3 tenglamalar bilan berilgan. t=2c bo’lgan paytda nuqta tezligining modulini toping. 10. 0,3t. Nuqta tekislikda harakatlanadi. Nuqtaning qutb burchagi dr 0, 4m / s va t0 0, r0 0 bo’lsa, qutb burchagi 3 rad. ga yetgan paytda dt qutb radiusini toping. 11. Nuqtaning harakat tenglamalari x t 2 , y sin t , z cos t ko’rinishida berilgan. t 1c bo’lgan paytda nuqta tezligining moduli topilsin. 12. Nuqtaning tezligi 0,2t tenglama bilan berilgan. t0 0 da S 0 0 bo’lsa, nuqtaning t=10c bo’lgan paytdagi S egri chiziqli koordinatasini toping. 13. Nuqtaning harakati x 3t 2 , y 4t 2 tenglamalar bilan berilgan. t0 0 da S 0 0 bo’lib, nuqta koordinataning musbat yo’nalishi bo’ylab harakatlanadi deb olib, egri chiziqli koordinata S 110 m bo’ladigan t vaqtni toping. 14. Nuqtaning harakati x 3 cos t , y 3 sin t tenglamalar bilan berilgan. t0 0 da S 0 0 deb olib, nuqtaning egri chiziqli koordinatasi S 7 m bo’ladigan t vaqtni toping. 15. Nuqtaning harakat tenglamalari x 2t , y 3t , z 5t ko’rinishda berilgan. t0 0 da S 0 14 m deb olib, t 10c bo’lgan paytda nuqtaning S egri chiziqli koordinatasini va tezligini toping. 310 4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Nuqta tezligi qanday aniqlanadi? 2. Nuqta tezligining dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi preksiyalari, yo’nalishi va moduli qanday topiladi? 3. Tabiiy koordinatalar sistemasida nuqta tezligi qanday topiladi? 4. Qutb koordinatalar sistemasida nuqta tezligining proyeksiyalari va moduli qanday topiladi? 5. Nuqtaning sektorial tezligi deganda nimani tushunasiz? 6. [ ]dan 11.2, 11.6, 11.8, 11.10, 11.14, 11.16, 11.18, 11.20 masalarni yeching. Topshiriq D-2. variant-11 Mavzu: O`zaruvchan kuchlar ta`siri ostida bo`lgan moddiy nuqta harakati differensial tenglamalarni integrallash: Masala: Ushbu P Xi Yj ZK ko`rinishdagi o`zgaruvchan kuchlar ta`siri ostida bo`lgan moddiy nuqtaning harakat qonunini aniqlang? Bu yerda X,Y,Z- P kuchning o`qlardagi proeksiyasi. i , j , k ortlar, ya`ni birlik vektorlar. x, y, z- nuqtaning koordinatalari. g- erkin tushish tezlanishi. f- ishqalanish koeffesienti. 311 6-amaliy mashg`ulot “Nuqtaning tezlanishi” ~ Q - jism og`irligi 1.3. “Nuqtaning tezlanishi” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25 ta O’quv mashg’ulot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot 1.Nuqtaning tezlanishimavzusiga rejasi tushunchalarni takrorlash. doir asosiy 2.Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 3.Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4.Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 5. Adabiyotlar O`quv mashg`ulotning maqsadi: Mavzuga doir masalalar yechishda mavjud uslubiy tavsiyalardan samarali foydalanish va kerakli ko`nikmalarni hosil qilish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning tezlanishini topishga doir Qo`yilgan savollarga javob beradilar. asosiy tushunchalarni takrorlash. Nuqtaning tezlanishini topishga doir Masalalar yechish bo`yicha uslubiy asosiy formulalarni biladilar. tavsiyalarni o`rganish. Masalalar yechish bo`yicha tegishli Nuqta tezlanishini topishga doir uslubiy tavsiyalardan yaxshi foydalana bilimlarni mustahkamlash. oladilar. Normal va urinma tezlanishlarni topish, Nuqta tezlanishining tabiiy ko`nikmalarni hosil qilish. koordinatalardagi ifodasi haqida 312 tushunchalarga ega. O’qitish vositari Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, grafiklardan foydalanish O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va baholash Og`zaki savollar, blis-so`rov 1.4.“Nuqtaning tezlanishi” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1. O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1-ilova). 1.3.Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 313 Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 6-amaliy mashg’ulot 2. Nuqta tezlanishini topishga doir namunaviy masalalarni yechish.Uslubiy tavsiyalar. Nuqta tezlanishini topishga doir masalalarni qo’yidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1. Nuqtaning harakat qonunini berilishiga qarab tegishli koordinatalar sistemasini tanlash kerak. 2. Nuqtaning harakati koordinatalar (dekart koordinatalari) usulida berilgan bo’lsa, tegishli formulalardan foydalanib, tezlanishning proyeksiyalari, moduli va yo’nalishi topadi. 3. Nuqtaning harakati tabiiy usulda berilgan bo’lsa, tegishli formuladan foydalanib tezlanishning proyeksiyalari, moduli va yo’nalishi topiladi. 4. Agar nuqtaning harakati qutb koordinatalarida berilgan bo’lsa, tezlanishning proyeksiyalari va moduli (6.11.10) va (6.11.11) formulalardan foydalanib topiladi. 1-masala. Nuqta x=cos 4t, y=sin4t, z=2t tenglamalarga asosan harakat qiladi, 2 bunda uzunlik birligi uchun metr, vaqt sekundda olingan. t c bo’lgan paytda nuqta tezlanishining proeksiyalari, moduli va yo’nalishlari topilsin. Yechish. Nuqtaning harakati dekart koordinatalarida berilgan. Tezlanishning proyeksiyalarini vaqtning funksiyasi ko’rinishida topamiz: Wx 16cos4t; W y 16sin 4t ; W z 0 W Wx2 W y2 Wz2 16cos 2 16sin 4t 2 16m / s 2 314 (a) (b) W 16cos 4t cos(W ,^ x) x cos 4t ; W 16 W y 16sin 4t cos(W ,^ y ) sin 4t; W 16 (c) W 0 cos(W ,^ z ) z 0 . W 16 2 (a), (b) va (c) formulalarga t c ni qo’yib, nuqta tezlanishining proyeksiyalari, moduli va yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz: Wx 16 cos 2 16m / s 2 , W z 16 sin 2 0 , W z 0; W 16 м с 2 ; cos(W ,^ x) 1; cos(W ,^ y ) 0; cos(W , ^ z ) 0. 2-masala. M nuqta r radiusli aylana bo’ylab W a const urinma tezlanish bilan harakatlanadi. Nuqta boshlang’ich paytda M0 holatda bo’lib, tezligi nolga teng. Vaqtning qaysi paytida normal tezlanishning miqdori urinma tezlanish miqdoriga teng bo’ladi, bu vaqt oraligida nuqta bosib o’tgan yoy uzunligi topilsin. Yechish. Nuqtaning urinma tezlanishini topish formulasiiga asosan: W d . dt (a) Agar W a const bo’lsa, (a) tenglamadan: (b) W t C , bu yerda C integrallash o’zgarmasi bo’lib, u t=0, 0 boshlang’ich shartdan topiladi, ya’ni C=0. Natijada at . (c) Nuqtaning normal tezlanishi qo’yidagi formula bilan topiladi: Wп 2 a 2t 2 . r Normal va urima tezlanishlarining miqdorlari teng bo’lgan vaqtni topish uchun ularning miqdorlarini tenglashtiramiz, ya’ni a 2t 2 a. r Bundan t1 r . a 315 Nuqta tezligini qo’yidagi ko’rinishda yozamiz: dS at . dt Buni integrallab at 2 S C1 2 ni topamiz. C1 o’zgarmasni t=0; S=0 boshlang’ich shartdan topamiz, ya’ni C1=0. Natijada S at 2 . 2 Bu tenglamaga t=t1 ni qo’yib, o’tilgan yoy uzunlini topamiz, ya’ni S a 2 ar r t1 . 2 2a 2 3-masala (O.E.Kepe 7.4.5). OA=15sm bo’lsa, t=5c bo’lgan paytda B nuqtaning tezlanishi topilsin, burchakning o’zgarish qonuni 4t (151-shakl). Yechish. B nuqta hamma vaqt Ox o’qi bo’ylab x A harakatlanadi. Kulisaning hamma nuqtalari bir xil tezlanish bilan O harakatlanadi, shuning uchun C nuqtaning tezlanishini B C Wn x topish yetarli. Koordinatalar sistemasi 151-shaklda ko’rsatilgan. C nuqtaning x koordinatasini 151-shakl topamiz.151-shakldan: xC OC OA sin yoki xC 15 sin 4tsm Bundan ikki marta hosila olib, C nuqtaning yoki B nuqtaning tezlanishini topamiz: WC WB 240 sin 4t . Bunga t 5s ni qo’yamiz: WB 240sin1146 0 240sin 66 0 219 sm m 2,19 2 . 2 s s B nuqtaning tezlanishi 0 nuqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi. 316 4-masala (O.E.Kepe 7.4.7). OA krivoshipning holati 2t burchak bilan aniqlanadi. OA=1m bo’lsa, t=1s bo’lgan paytda A nuqta tezlanishining x o’qidagi proyeksiyasi topilsin (152-shakl). Yechish. Koordinatalar sistemasi 152-shaklda ko’rsatilgan. A nuqtaning x koordinatasini topamiz. 152-shakldan: x ОВ ОА cos(180 0 ) ОА cos . yoki x -cos2t Bundan t bo’yicha ikki marta hosila olib, tezlanishning x o’qidagi proyeksiyasini topamiz, ya’ni Wx x 4 cos 2t (a) y A t=1s ni (a) formulaga qo’yamiz: Wx 4 cos 2 1 4 cos1150 4 sin 250 1,66m / s. 5-masala. M nuqta S=ae kt B O tenglamaga muvofiq x 152-shakl harakatlanadi. Nuqtaning to’la tezlanishi bilan bosh normal orasidagi burchak o’zgarmas va 30 0 ga teng. M Nuqtaning tezligi, urinma, normal va to’la tezlanishi W hamda trayektoriyaning egrilik radiusi topilsin (153 W shakl). W Yechish. Berilgan harakat tenglamasidan foydalanib, tezlikning urinmadagi proyeksiyasini topamiz, ya’ni 153-shakl dS ake kt kS . dt Nuqtaning urinma tezlanishi qo’yidagiga teng: W d ak 2 e kt k 2 S . dt Trayektoriyaning bosh normali bilan to’la tezlanishi orasida burchak 30 0 bo’lgani uchun tezlanishining moduli qo’yidagi tenglikdan topiladi: W cos(90 0 ) W , bundan 317 W W 2k 2 S . 0 sin 30 Nuqtaning normal tezlanishini topamiz: Wn W 2 W2 3k 2 S . Trayektoriyaning egrilik radiusi qo’yidagi formuladan topiladi: 2 k 2S 2 3 3 kt S ae . 2 Wn 3 3 3k S Demak nuqta proyeksiyasining egrilik radiusi vaqt y o’tishi bilan cheksiz o’sadi. M W 6-masala (И.В.Мешчерский 12.17). Ox gorizontal o’q bo’ylab sirpanmasdan yumalovchi g’ildirak nuqtasi O tezlanishining miqdori trayektoriyasining va egrilik yo’nalishi radiusi x A hamda topilsin; C 154-shakl nuqta qo’yidagi tenglamalarga asosan sikloida chizadi: х 20 t sin 20t , y 1 cos 20t (t-sekundlar, x,y-metrlar hisobida). Shuningdek, t=0 bo’lganda egrilik radiusi aniqlansin (154-shakl). Yechish. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalaridan vaqt bo’yicha ikki marta hosila olib, nuqta tezlanishning proyeksiyalarini topamiz, ya’ni W y y 400 cos 20t. Wx x 400sin 20t , Tezlanishning moduli W W x2 W y2 400 m / s 2 Endi tezlanishning yo’nalishini topamiz: W 400sin 20t cos(W ,^ x ) x sin 20t , W 400 W 400cos 20t cos(W ,^ y ) x cos 20t , W 400 Demak tezlanish vektori MC bo’ylab C markazga yo’nalgan. Endi egrilik radiusini topamiz. Buning uchun W ni topamiz: W d , dt x x 20 20 cos 20 t , 318 y 20 sin 20t. x2 y2 800(1 cos 20t ) 40 sin 10t. W d 400 cos10 t , dt Wn W 2 W2 400 sin 10 t. Normal tezlanishni topish formulasidan: 2 1600 sin 2 10t 4 sin 10 t. Wn 400 sin 10t t=0 bo’lganda 0 . 7-masala (И.В.Мешчерский 12.25). Nuqta x=2cos4t, y=2sin4t, z=2t tenglamalar bilan ifodalangan vint harakatini qiladi, bunda uzunlik birligi uchun metr olingan. Trayektoriyaning egrilik radiusi aniqlansin. Yechish. Berilgan tenglamalardan foydalanib, nuqta tezligi va tezlanishning modullarini topamiz: x x 8 sin 4t; y y 8 cos 4t , z 2. x2 y2 z2 64 sin 2 4t 64 cos2 4t 4 68m / s. W x x 32 cos 4t , W y 32 sin 4t , Wz 0 , W W x2 W y2 W z2 32 м с . 68 м d сonst bo’lgani uchun W 0. с dt Demak, nuqtaning to’la tezlanishi normal tezlanishga teng bo’lar ekan, ya’ni W n W 32 м с 2 . Normal tezlanishni topish formulasidan foydalanib, trayektoriyaning egrilik radiusini topamiz, ya’ni м2 2 с 2 17 м 2 1 м. Wn 32 м с 2 8 8 68 8-masala (И.В.Мешчерский 12.26). Nuqta harakati qutb koordinatalarida r ae kt va kt tenglamalar bilan berilgan, bunda a va k berilgan o’zgarmas miqdorlar. Nuqtaning trayektoriya tenglamasi, tezligi, tezlanishi va trayektoriyasining egrilik radiusi uning radius-vektori r ning funksiyasi sifatida aniqlansin. 319 Yechish. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalariga asosan, nuqta rayektoriyasi r ae logarifmik spiraldan iborat. Nuqtaning tezligini topamiz. Buning uchun tezlikning qutb koordinatalaridagi proyeksilarini topamiz: r dr ake kt ; dt r akekt , r2 2 2ake kt 2kr . Endi nuqta tezlanishini topamiz: Buning uchun Wr va W larni topamiz: Wr r r 2 ; Wr ak 2 e kt ak 2e kt 0, W r 2r 2ak 2e kt 2k 2 r, W Wr2 W2 2k 2 r . Nuqta trayektoriyasining egrilik radiusini topamiz: W d 2kr 2 k 2 ae kt 2k 2 r3 , dt Wn W 2 W2 4k 4 r 2 2k 4 r 2 2k 2 r. Normal tezlanishni topish formulasiga asosan: 2 2k 2 r 2 2r . Wn 2k 2 r 3. Darsda mustaqil yechish uchun masala va topshiriqlar. 1. Poyezd 72 km/soat tezlik bilan harakat qiladi, tormoz qilinganda u 0,4 m/s2 ga teng sekinlasha oladi. Poyezdning stansiyaga kelmasdan qancha vaqt oldin va stansiyadan qancha narida tormozlay boshlash kerakligi topilsin. 2. Nuqta tezligining proyeksiyalari quyidagi tenglamalar bilan berilgan: x 0,2t 2 , y 3m / s. t 2,5s bo’lgan paytda nuqtaning urinma tezlanishini toping. 3. Nuqtaning tezligi dekart koordinatalar sistemasida quyidagi ko’rinishda berilgan: 1,5i 1,5tj 0,5t 2 k . t 2c bo’lgan paytda nuqtaning urinma tezlanishi topilsin. 320 4. Nuqta tezlanishining proyeksiyalari quyidagi ifodalar bilan berilgan: Wx 0,8tm / s 2 , Wy 0,8m / s 2 . Agar t0 0 paytda 0 0 bo’lsa, t 2s bo’lganda nuqtaning urinma tezlanishini toping. 5. Nuqta radiusi r 7m bo’lgan aylana bo’ylab s 0,3t 2 qonunga asosan harakatlanadi. Wn 1,5 m / s 2 bo’ladigan vaqtni toping. 6. Nuqta r 20m radiusli aylana bo’ylab e t tezlik bilan harakat qiladi. Wn 3m / s 2 bo’ladigan vaqtni toping. 2 7. Polzun to’g’ri chiziqli yunaltiruvchi bo’ylab Wx 2 sin tm / s 2 tezlanish bilan harakat qiladi. Agar polzunning boshlang’ich tezligi 0 2 m / s , x boshlang’ich holati esa polzunning koordinata boshi deb qabul qilingan o’rta holatiga to’g’ri kelsa, polzun harakatining tenglamasi topilsin. 8. Poyezdning boshlang’ich tezligi 54 km/soat bo’lib, birinchi 30s da u 600m yo’l bosadi. Poyezd radiusi R=1km bo’lgan aylanma yulda tekis o’zgaruvchan harakat qiladi deb hisoblab, uning 30s oxiridagi tezligi va tezlanishi aniqlansin. 9. Radiusi R=800m bo’lgan aylana yoyi bo’ylab poyezd tekis sekinlashuvchan harakat qiladi va s=800m yo’l bosadi. Uning boshlang’ich tezligi 0 54km / soat va oxirgi tezligi 18km / soat . Poyezdning yoy boshidagi va oxiridagi to’la tezlanishi, shuningdek shu yoy bo’ylab qancha vaqt harakatlanishi aniqlansin. 10. Nuqta s g ( at e at ) qonunga muvofiq to’g’ri chiziqli harakat qiladi, bunda 2 a a va g-o’zgarmas miqdorlar. Nuqtaning boshlang’ich tezligi, shuningdek, uning tezlanishi tezlikning funksiyasi sifatida aniqlansin. 11. Ishga tushirish davrida dizel x 75 cos 4t 2 , y 75 sin 4t 2 (x,y-santimetrlar, krivoshipi t-sekundlar palesning hisobida) harakati ko’rinishdagi tenglamalar bilan berilgan. Palesning tezligi, urinma va normal tezlanishi topilsin. 12. x a sin 2t , y sin t tenglamalarga muvofiq lissaju shaklini chizuvchi nuqta trayektoriyasining x=y=0 holatidagi egrilik radiusi topilsin. 321 1 3 13. Agar r 60 sm, MB , 4 t (t-sekundlar hisobida) bo’lsa, krivoship-polzun A mexanizmi shatunidagi M nuqtaning trayektoriyasi topilsin, tezlanishi va trayektoriyasining egrilik radiusi M B O 13-masala aniqlansin. AB , OA r . 14. M nuqta vint chizig’i bo’ylab harakatlanadi. Silindrik koordinalar sistemasida uning harakat tenglamalari r a, kt , z yt ko’rinishga ega. Nuqta tezlanishining silindrik koordinatalar sistemasi o’qlardagi proyeksiyalari hamda tezlanishning urinma, normal tashkil etuvchilari va vint chizig’ining egrilik radiusi topilsil. 322 4.Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Nuqtaning tezlanishi dekart koodinatalar sistemasida qanday topiladi? 2. Qanday tekislikka yopishma tekislik deyiladi? 3. Qanday tekislikka normal tekislik deyiladi? 4. Trayektoriyaning bosh normali qaysi tekisliklarning kesishish chizig’idan iborat? 5. Nuqta trayektoriyasi qaysi tekislikda yotadi? 6. Egri chiziqning egriligi yoki egrilik radiusi qanday topiladi? 7. Tabiiy koordinatalar sistemasida nuqtaning tezlanishi qanday topildai? 8. Nuqta tezlanishining radial va transversal tuzuvchilari qanday topiladi? 9. Nuqtaning tezlanishi qutb koordinatalar sistemasida qanday topiladi? 10. [6]dan 12.2, 12.4, 12.6, 12.8, 12.10, 12.12, 12.14, 12.16, 12.20, 12.24 masalarni yeching. 1. “Nuqta tezlanishi” mavzusini takrorlash va mustahkamlashga doir SAVOLLAR. 1. Nuqtaning tezligi deb nimaga aytiladi? 2. Nuqtaning tezlanishi deb nimaga aytiladi? 3. Nuqta tezlanishining vektorli ifodasi qanday yoziladi? 4. Nuqta tezlanishining dekart o`qlaridagi proeksiyalari qanday ifodalanadi? 5. Nuqta tezlanishinig moduli nimaga teng? 6. Tezlanish vektorining yo`nalishi qanday aniqlanadi? 7. Normal tezlanish deb nimaga aytiladi? 8. Urinma tezlanish deb nimaga aytiladi? 9. Aylana bo`ylab harakat etuvchi nuqtaning tezlanishi nimaga teng? 10. Nuqtaning tezlanishi qutb bo`ylab koordinatalarida qanday ifodalanadi? 323 7-amaliy mashg`ulot “Nuqtaning tezlanishi” 1.3. “Nuqtaning tezlanishi” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25 ta O’quv mashg’ulot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot 1.Nuqtaning tezlanishimavzusiga rejasi tushunchalarni takrorlash. doir asosiy 2.Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 3.Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 4.Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 5. Adabiyotlar O`quv mashg`ulotning maqsadi: Mavzuga doir masalalar yechishda mavjud uslubiy tavsiyalardan samarali foydalanish va kerakli ko`nikmalarni hosil qilish. Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari: Nuqtaning tezlanishini topishga doir Qo`yilgan savollarga javob beradilar. asosiy tushunchalarni takrorlash. Nuqtaning tezlanishini topishga doir Masalalar yechish bo`yicha uslubiy asosiy formulalarni biladilar. tavsiyalarni o`rganish. Masalalar yechish bo`yicha tegishli Nuqta tezlanishini topishga doir uslubiy tavsiyalardan yaxshi foydalana bilimlarni mustahkamlash. oladilar. Normal va urinma tezlanishlarni topish, Nuqta tezlanishining tabiiy ko`nikmalarni hosil qilish. koordinatalardagi ifodasi haqida tushunchalarga ega. O’qitish vositari Ma’ruza matni,kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, 324 grafiklardan foydalanish O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va baholash Og`zaki savollar, blis-so`rov 1.2. “Qattiq jismning ilgarilanma va qo`zg`almas o`q atrofidagi aylanma harakati” mavzusining texnalogik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.5 O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.6 Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.7 Pinbord usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1-ilova). 1.8 Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi. (3-ilova). Tingloichi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Tinglaydilar. 2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. Tinglaydilar. 2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar UMK ga qarydilar bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). UMK ga qarydilar 2.3 Ma’ruzada berilgan savollar Har bir tayanch tushuncha va yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa iboralarni muhakama beradi. (5-ilva). qiladilar. 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. 325 3bosqich Yakun lovchi (10min) 3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar Vazifalarni yozib oladilar. 7-amaliy mashg’ulot 2. Qattiq jismning ilgarilanma va qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatiga doir namunaviy masalalar yechish. Uslubiy tavsiyalar. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatiga doir masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: Birinchi tur masalalar – qattiq jismning aylanma harakat tenglamasi berilganda uning burchak tezligi, burchak tezlanishi, nuqtalarning chiziqli tezlik va tezlanishlarini topish. 1. Koordinatalar sistemasini shunday tanlash kerakki, o’qlarning bittasi, masalan, Z o’qi jismning aylanishi o’qi bilan ustma-ust tushsin. 2. Burchakning o’zgarish qonunidan foydalanib, burchak tezlik va burchak tezlanishlarning aylanish o’qidagi proyeksiyalari topiladi. 3. Burchak tezlik va burchak tezlanishlarni topilgan qiymatlaridan foydalanib, jism nuqtalarining chiziqli tezligi, normal va urinma tezlanishlari topiladi. 4. Urinma va normal tezlanishlar topilgandan keyin jism nuqtalarining to’la tezlanishlari topiladi. Ikkinchi tur masalalarda aylanma harakat burchak tezligi yoki burchak tezlanishi berilganda, jismning harakat tenglamasi, nuqtalarning tezlik va tezlanishlarini topish. 326 1. Burchak tezlanishni ifodalovchi differensial tenglamani integrallab, jismning burchak tezligi topiladi. Integrallash o’zgarmaslari boshlang’ich shartlardan topiladi. 2. Burchak tezlikni ifodalovchi differensial tenglamani integrallab, jismning aylanma harakat tenglamasi topiladi. 3. Burchak tezlik va burchak tezlanishlarning berilgan qiymatlaridan foydalanib, jism nuqtalarining tezliklari, urinma va normal tezlanishlari topiladi. 4. Urinma va normal tezlanishlarning topilgan qiymatlaridan foydalanib, jism nuqtalarining to’la tezlanishlari topiladi. 1-masala. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi maxovikning aylanish o’qidan r 0,3 m masofadagi nuqtasi S 3t t 3 qonunga muvofiq harakat qiladi. (S- metrda, t-ssekundda). t1 3c bo’lgan paytda maxovikning burchak tezligi va burchak tezlanishi topilsin. Yechish. r radiusli aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqta tezligining modulini dS dt tenglamalardan foydalanib topamiz: dS d 3t t 3 3 3t 2 . dt dt (a) Nuqtaning urinma tezlanishining modulini W d dt formuladan foydalanib topamiz: W d 3 3t 2 6t dt (b) Nuqta tezligi va urinma tezlanishlari modullarini burchak tezlik va burchak tezlanishlar orqali ifodalaymiz, ya’ni r , W r . Bu formulalardan , r 327 W . r (a) va (b) tengliklarga asosan: 3 1 t2 10 1 t 2 , 0,3 6t 20t 0,3 t=3 c bo’lgan paytda 1 1 101 9 100 , c c 20 3 1 1 60 2 . 2 c c 2-masala. Elektromotor ishga tushirilganda uning r=0,4 radiusli rotori 0,3t 2 qonunga muvofiq harakatlanadi ( радиана, t секундда ). T=10c bo’lgan paytda rotorning burilish burchagi , burchak tezligi, burchak tezlanishi, shuningdek rotor gardishidagi nuqtaning tezligi, normal va urinma tezlanishlari topilsin. Yechish. t1=10c ni harakat tenglamasiga qo’yib, burilish burchagini topamiz: t1 10c; 0,3 10 2 30 rad Harakat tenglamasidan tegishli hosilalarini olib, burchak tezlik va burchak tezlanishlarini topamiz, ya’ni d 0,6t; dt t1 10c; d d 2 рад 2 0,6 2 0,6с 2 ; dt dt с 0,6 10 6 рад 6с 1 с Rotor gardishidagi nuqtaning tezligi: 1 r 0,4 м 6 2, 4 м . с c Nuqtaning normal va urinma tezlanishlari: м2 2 5,76 с 2 Wn 14,4 м 2 , с r 0,4 м 1 Wn r 0,4 м 0,6 2 0, 24 м 2 . с с 3-masala. Markazdan qochma regulyator vali n 240 мин 1 chastota bilan aylanadi. A sharlar markazlarining normal tezlanishlari topilsin (163-shakl). l=0,4 m, qolgan o’lchamlar shaklda ko’rsatilgan. 328 Yechish. Qattiq jismning aylanish chastotasi berilganda uning burchak tezligi quyidagi formuladan topiladi: b=0,2m 300 n с 1 . 30 h A A Bunga asosan: 240 8с 1 30 Normal tezlanishni (7.19.17) formuladan foydalanib topamiz, ya’ni 163-shakl W n h 2 , bu yerda h-A shardan aylanish o’qigacha bulgan masofa. 163-shaklga asosan: h (0,2 0,1) M 0,3 м Natijada Wn 0,3 м 8с 1 2 189,3 м . с2 4-masala (И.В. Мешчерский 13.8). Motor o’chirilgan paytda 40 рад с ga to’g’ri keladigan burchak tezlik bilan aylanayotgan samolyot propelleri to’xtaguncha 80 marta aylanadi. Propeller aylanishini tekis sekinlashuvchan deb hisoblab, motor o’chirilganda propeller to’xtagunicha qancha vaqt o’tishi topilsin. Yechish. Tekis sekinlashuvchan aylanma harakatda burchak tezlikni va burchakni o’zgarish qonunlarini olamiz, ya’ni 0 t , 0 t t2 . 2 Motor to’xtaganda: 0; . 80 2 160 , 0 40 рад . Bularni с yuqorida keltirgan tenglamalarga qo’yamiz: 0 40 t; t2 160 40 t 2 t 40 ; 329 160 40t 40 t 2 Bundan: t=8c. 5-masala (И.В. Мешчерский 14.3). Tinch holatdagi A shkivli stanok elektromotorning uzluksiz tasma bilan harakatga keltiriladi; shkivlarning radiuslari r1 75cм, r2 30cм; elektromotorning harakatga keltirilgandan keyin burchak tezlanishi 0,4 рад 2 . Tasmaning shkivlar bo’ylab sirg’anishini hisobga olmay, с stanok qancha vaqtdan keyin 10 рад с ga teng burchak tezlikka ega bo’lishi aniqlansin (164-shakl). Yechish. A va B shkivlar gardishlaridagi nuqtalarning urinma tezlanishlarini (7.19.17) formuladan foydalanib topamiz: WB r1 B , ( ) W A r2 A A B 2r1 2r2 164-shakl Tasma shkivlar bo’ylab sirg’anmaydi, shuning uchun WB W A bo’ladi. Bu munosabatdan: r2 A r1 B bundan A r1 B рад 2 с r2 A shkiv tekis tezlanuvchan harakat qiladi, shuning uchun uning burchak tezligi (7.19.4) formulaga asosan quyidagicha hisoblanadi: А АО Аt . A shkivning boshlang’ich burchak tezligi АО 0, t T A 10 рад с ga teng. Bularni yuqoridagi tenglamaga qo’yamiz: 10 рад рад 2 T с с Bundan Т 10с 330 paytda 6-masala. Radiusi R=10 cm bo’lgan A val unga osilgan P tosh bilan aylantiriladi. Toshning harakati x 100t 2 tenglama bilan ifodalanadi, bunda xtoshdan qo’zg’almas OO1 gorizontgacha bo’lgan santimetrlar hisobida ifodalangan masofa, t-vaqt (sekundlar hisobida). T paytda valning burchak tezligi va burchak tezlanishi , shuningdek, val sirtidagi nuqtaning to’la tezlanishi W aniqlansin. Yechish. O1 Masofaning o’zgarish qonunidan W foydalanib, P toshning tezligini topamiz, ya’ni P Wn x O A dx см 200t dt сек P toshning tezligi baraban chetidagi nuqtalar tezligi bilan bir xil bo’lgani uchun bu tezlikni baraban P nuqtasining tezligi deb topamiz, ya’ni x R . 165-shakl Bundan рад 20t . сек Endi P toshning tezlanishini topamiz: W d cм 200 . dt сек 2 P toshning tezlanishi baraban chetidagi nuqtalarning urinma tezlanishi bo’ladi, ya’ni W W 200 cм , сек 2 W R . Bulardan: 20 рад сек 2 . (7.19.17) formulalardan foydalanib, normal tezlanishini topamiz: Wn R 2 , bundan Wn 400t 2 рад . сек 2 Endi to’la tezlanish modulini topamiz: W Wn2 W2 200 1 400 t 4 cм 331 с2 . 7-masala (И.В. Мешчерский 14.14). Markazlashtirilmagan krivoshippolzunli mexanizm porshinining harakat tenglamasi yozilsin; krivoshipning aylanish o’qidan yo’naltiruvchi lineykagacha bo’lgan masofa h ga, krivoship uzunlig r ga, shatun uzunligi l ga teng; Cx o’q polzun yo’naltiruvchisi bo’ylab yo’nalgan. Masofalar polzunning chetki o’ng holatidan boshlab hisoblanadi (166shakl). Yechish. 166-shaklga asosan: X=OE-OD. (a) OE masofani COB uchburchakdan topamiz: OE r l 2 h 2 (b) 166 a-shakl mexanizmning ixtiyoriy paytidagi vaziyatiga mos, 166 b-shakl mexanizmining boshlang’ich holatiga mos. 166-shakldan: OD OA1 A1 B, A1B l 2 ( AA1 ) 2 , AA1 r sin h; OA1 r cos Demak 2 OD r cos l 2 h r sin (c) (b) va (c) larni (a) tenglamaga qo’yamiz: х r l 2 h 2 l 2 h r sin 2 r cos , yoki 2 2 l 2 h 2 h l x r 1 sin cos r r r r A r O h h C 8-masala (И.В. Мешчерский 14.7). B A1 Yarim o’qlari a va b bo’lgan bir juft elliptik x a tishli g’ildiraklarning aylanma harakatini uzatish qonuni chiqarilsin. I g’ildirakning O burchak tezligi 1 сonst . O’qlar orasidagi A C B S masofa O1O2 2a; -aylanish o’qlarini O tutashtiruvchi to’g’ri chiziq bilan I elliptik g’ildirakning katta o’qi orasidagi burchak. O’qlar ellipslarining fokuslari orqali o’tadi (167-shakl). 332 A1 D 166-shakl b) E x Yechish. M nuqta har ikki g’ildirakka ham tegishli bo’lgani uchun r11 r22 . bo’ladi. Bundan 2 r1 1 . r2 167-shaklga asosan: r22 4a 2 4ar1 r12 , 2 M1 (b) 2 r2 r1 4c 2 4cr1 cos I O1 (c) 2 2 1 O1 2 Ellipsning xossalariga asosan с а в . N1 r1 r2 (b) va (c) tengliklardan: N2 2 M2 O2 M 2 O2 167-shakl 2 4 а 2 4аr1 r1 r1 4c 2 4cr1 cos . Bundan а 2 аr1 c 2 cr1 cos r1 a2 c2 . a c cos Buni (c) ga quyib, r2 ni topamiz: r2 a 2 2a c cos c 2 . a c cos r1 ва r2 larni topilgan qiymatlarini (a) tenglamaga quyamiz: 2 a2 c2 1 . a 2 2a c cos c 2 3. Darsda mustaqil yechish uchun masala va M topshiriqlar 1. Tinch holatda turgan jism tekis tezlanish bilan aylana 2 d boshlab, birinchi 2 minutda 3600 marta aylanadi. Burchak tezlanishi aniqlansin. 1 2. Tinch holatda turgan maxovik tekis tezlanish bilan aylana boshlaydi; birinchi 5 sekundda u 12,5 marta 3-masala aylanadi. Shu 5c o’tgandan so’ng uning burchak tezligi qancha bo’ladi? 333 3. 1 yuk lebyodka yordamida ko’tariladi, 2 baraban 5 2t 3 qonunga asosan aylanadi. Agar barabanning diametri d 0,6m bo’lsa, t 1c bo’lganda baraban M nuqtasining tezligini toping. 4. Soat balansirining burchak tezligi sin 4t qonun bilan o’zgaradi. T 0,125c bo’lgan paytda balansirning aylanish o’qidan h 6mm masofadagi nuqtalarning tezligini sm/c larda aniqlang. 5. Aylanish o’qidan r 0,2m masofadagi nuqtalarning tezligi 4t 2 qonun bilan o’zgaradi. t 2c bo’lgan paytda jismning burchak M tezlanishini toping. 6. Jism qo’zg’almas o’q atrofida 2t 2 qonunga muvofiq Wn R aylanadi. t 2c bo’lgan paytda aylanish o’qidan r 0,2m masofadagi nuqtalarning normal tezlanishini toping. 7-masala 7. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi disk M nuqtasining normal tezlanishi WMn 6,4m / c 2 . Agar diskning radiusi R 0,4m bo’lsa, uning burchak tezligini toping. 8. Jism qo’zg’almas o’q atrofida 2t 2 qonunga asosan aylanadi. Jismning aylanish o’qidan r 0,2m masofadagi nuqtalarning t 2c paytdagi urinma tezlanishini toping. 9. Jismning burchak tezligi 2t 2 qonunga asosan o’zgaradi. t 2c bo’lgan paytda, jismning aylanish o’qidan r 0,2m masofadagi nuqtalarning urinma tezlanishini toping. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi disk M nuqtasining tezlanishi WM 4m / c 2 . Agar diskning radiusi R 0,5m va 600 bo’lsa, diskning burchak tezligini toping. 10. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi disk M nuqtasining tezlanishi WM 8m / c 2 . Agar diskning radiusi R 0,4m va 300 bo’lsa, diskning burchak tezlanishini toping. 11. Diametri D1 360mm bo’lgan I tishli g’ildirakning burchak tezligi 10 / 3rad / s ga teng. I g’ildirak bilan ichki biriktirilgan va burchak tezligi unga 334 qaraganda uch marta katta bo’lgan II tishli g’ildirakning diametri qanchaga teng bo’lishi kerak? M M R WM R WM 11-masala 10-masala 13. Strelkali indikator mexanizmida harakat o’lchov shtiftining 1 reykasidan 2 shesternyaga uzatiladi; 2 shesternyaning o’qiga 3 tishli g’ildirak o’rnatilgan. 3 g’ildirak esa strelka biriktirilgan 4 shesternya bilan tishlashadi. Agar shtiftning harakati 4 O1 O2 O1 x a sin kt O2 3 II 12-masala r 2 1 13-masala tenglama bilan berilgan r2 14-masala bo’lsa va tishli g’ildiraklarning radiuslari mos ravishda r2 , r3 va r4 bo’lsa, strelkaning burchak tezligi aniqlansin. 14. Radiusi r 10sm bo’lgan tishli konus shaklidagi O1 g’ildirakning qancha vaqtdan keiyn 144 rad / c ga teng burchak tezligiga ega bo’lishi aniqlansin; tinch harakatdagi bu g’ildirakni radiusi r2 15sm ga teng va 4 rad burchak tezlanishiga c2 ega bo’lib, tekis tezlanish bilan aylanadigan konus shaklidagi O2 g’ildirak aylantiradi. 335 15. Friksion uzatmaning I yetakchi vali 20rad / c burchak tezlik bilan aylanadi va harakat vaqtida shunday siljiydiki (yo’nalishi strelka bilan A I r B II R d 15-masala ko’rsatilgan), oraliq d=(10-0,5t) sm (t-sekundlar hisobida) qonunga muvofiq o’zgaradi. 1) II valning burchak tezlanishi d oraliq funksiyasi sifatida aniqlansin; 2) Friksion g’ildirakning radiuslarini r=5sm, R=15sm, deb olib, d=r bo’lgan paytda B g’ildirak gardishidagi nuqtaning to’la tezlanishi topilsin 336 4. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Qattiq jismning qanday harakatiga uning ilgarilanma harakati deyiladi? 2. Ilgarilanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining tezlik va tezlanishlari qanday bo’ladi? 3. Oniy ilgarilanma harakat deganda qanday harakatni tushunasiz? 4. Qattiq jismning qanday harakatiga qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakat deyiladi? 5. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi qattiq jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi deganda nimani tushunasiz? 6. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi jismning burchak tezlik va burchak tezlanish vektorlari qanday yo’nalgan bo’ladi? 7. Qattiq jismning qanday harakatiga tekis aylanma harakat deyiladi? 8. Qattiq jismning qanday harakatiga tekis o’zgaruvchan harakat deyiladi? 9. Qattiq jism nuqtalarining tezliklari qanday topiladi? 10. Qattiq jism nuqtalarining urinma va normal tezlanishlari qanday topiladi? 11. Qattiq jism nuqtalarining urinma va normal tezlanishlari qanday yo’nalgan bo’ladi? 12. Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi jism nuqtalarining to’la tezlanishi qanday topiladi? 13. [6]dan 13.2, 13.4, 13.6, 13.10, 14.2, 14.4, 14.6, 14.8, 14.10 masalarni yeching. 337 8- amaliy mashg`ulot “Qattiq jismning tekis parallel harakati” 1.3. “Qattiq jismning tekis parallel harakati” mavzusidagi amaliyot mashg`ulotining texnologik modeli. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 25 ta O’quv mashg’ulot shakli Individual tipshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg`lot Amaliyot 5. Mavzuga doir asosiy tushunchalarni takrorlash. rejasi 6. Mavzuga doir namunaviy masalalar yechish 7. Darsda mustaqil yechish uchun masalalar. 8. Mustaqil ish uchun savol va topshiriqlar. 9. Adabiyotlar O`quv mashg`ulotning maqsadi: Pedagagik vazifalari: Mavzuga doir masalalar yechish. Masalalar yechishda uslubiy tavsiyalardan samarali foydalanish ko`nikmalarini hosil qilish O’quv faoliyati natijalari: Mavzuga doir asosiy tushunchalarni Qo`yilgan savollarga javob beradilar. takrorlash va mustahkamlash; Mavzuga doir masalalar yechishda Maslalar yechish bo`yicha uslubiy uslubiy tavsiyalardan samarali tavsiyalardan samarali foydalanish; foydalana oladilar; Qattiq jismning tekis parallel Qattq jismning tekis parallel harakati harakatining knematik haqida yetarli darajada tushunchalarga xarakteristikalarini aniqlash. ega; Tekis parallel harakatdagi jism nuqtalarining texlik va tezlanishlarini aniqlay oladilar, tezliklar va tezlanishlar oniy markazlarini topa oladilar. O’qitish vositari Ma’ruza matni, kompyuter saydlari, doska ekspert varaqlari, grafiklardan foydalanish O’qitish usullari Amaliy mashg`ulot, topshiriqlar, amaliy ishlash usuli, 338 texnikasi suhbat, guruhlarda ishlash usuli. Baxs munozara usuli. Charxpalak O’qitish shakllari Indivudal, guruh O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya Monitoging va baholash Og`zaki savollar, blis-so`rov 1.4. “Qattiq jismning tekis parallel harakati” mavzudagi amaliyot mashg`ulotining texnologik xaritasi. Ish bosqichlari 1bosqich (20min) 2bosqich Asosiy bo’lim. (50min) 3bosqich Yakun lovchi (10min) O’qituvchi faoliyatining mazmuni 1.1. O`quv mashg`uloti savollarni tahlil qiladi va o`quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.2.Tinglovchilarning mashg`ulotdagi faoliyatini baholash ko`rsatgichlari va mezonlari bilan tanishtiradi(1-ilova). 1.3.Mavzu bo`yicha tayyorlangan topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4.Savollar berib suhbat tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil etadi. Yechimni tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo`yicha maslahatlar beradi. 3.1. Mavzu bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar beradi. Tinglovchi faoliyatining mazmuni Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob beradilar 2 ta mini guruhga ajratadilar. Topshiriqda keltirilgan savollarga 1-2 javob tayyorlaydi. Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiriqlari va uy vazifalarni yozib oladilar. 2. Qattiq jismning tekis parellel harakatiga doir namunaviy masalalarni 339 yechish. Uslubiy tavsiyalar. Qattiq jismning tekis parellel harakatiga doir masalalarni quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1. Ikkita koordinatalar sistemasi tanlanadi: qo’zg’almas hamda tekis shaklga mahkamlangan koordinatalar sistemasi: 2. Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan tekis shaklning harakat tenglamalari tuziladi. 3. Tuzilgan tenglamalardan foydalanib, tekis shakl nuqtalarining tezlik va tezlanishlari topiladi. 4. Tekis shakl oniy aylanish markazi yuqorida bayon qilingan usullardan foydalanib topiladi va oniy markazdan foydalanib, nuqtalaring tezliklari topiladi. 5. Tekis shakl bitta nuqtasining tezlanishi va bu nuqta atrofidagi aylanma harakat burchak tezligi va burchak tezlanishi berilgan bo’lsa, tezlanishlar oniy markazi topiladi. 6. Tezlanishlar oniy markazigdan foydalanib, tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari topiladi. 2.1.Harakat tenglamalariga oid masalalar 1-masala. (И.В. Мешчерский). AB sterjenning A uchi o’zgarmas tezlik bilan to’g’ri chiziqli yo’naluvchida sirpanadi va bunda sterjen harakat vaqtida D shkiftga tayanadi. Sterjen va uning B uchi harakat tenglamalari yozilsin. Sterjen uzunligi ga teng; shkif to’g’ri chiziqli B yo’naltiruvchidan H balandlikda o’rnatilgan. y Harakatning boshlanishida sterjenning A uchi D qo’zg’almas koordinatalar sistemasi boshi O H nuqta bilan ustma-ust tushadi; OC a . A nuqta qutb deb olinsin (184-shakl). A O Yechish. Berilganlar shaklda ko’rsatilgan. Sterjenning A qutb atrofida aylanish burchagini 340 a 184-shakl C E x bilan belgilaymiz. A nuqta x o’qi bo’ylab to’g’ri chiziqli harakat qilgani uchun hamma vaqt y a 0 . Endi x A koordinatasini topamiz. Shakldan va A nuqta tezlik bilan tekis harakat qilgani uchun x A OA t bo’ladi. Shakldan: H tg ; AC tg AC a t ; H H bundan arctg . a t a t B nuqtaning koordinatalarini topamiz: cos AE cos , OA t; xB OA AE , 1 1 tg 2 a t (a t ) 2 H 2 , natijada xB t a t , H 2 ( a t ) 2 y B BE sin H 2 H ( a t ) 2 . 2-masala (И.В. Мешчерский 15.7). To’g’ri chiziqli yo’naltiruvchi bo’ylab sirpanuvchi A va B nuqtalar uzunlikdagi AB sterjen bilan biriktirilgan. A mufta A o’zgarmas tezlik bilan harakatlanadi. A muftani O nuqtadan harakatlana boshlaydi deb hisoblab, AB sterjenning harakat tenglamalari yozilsin. Qutb uchun A nuqta olinsin. BOA burchak ga teng (185-shakl). Yechish. A nuqtaning x A , y A koordinatalarini sistemasini shaklda ko’rsatilganday qilib tanlaymiz. topamiz. Koordinatalar y A C Shakldan: x A OA cos ; y A OA sin yA harakat qilgani uchun OA At va demak x A At cos ; B A nuqta A o’zgarmas tezlik bilan tekis xA O 185-shakl y A At sin . 341 x Endi burchakni topamiz: BC sin ; AB natijada sin arcsin At sin , BC y A At sin , bundan y At sin . C 3-masala (И.В. Мешчерский 15.2). Radiusi R bo’lgan g’ildirak gorizontal to’g’ri chiziq bo’ylab O sirpanmasdan g’ildiraydi. G’ildirak markazi C ning x 186-shakl tezligi o’zgarmas va ga teng. G’ildirak bilan bog’langan y o’q boshlang’ich paytda vertikal bo’ylab, qo’zg’almas o’q shu paytda g’ildirakning C markazi orqali o’tadi. G’ildirakning harakat tenglamalari aniqlansin. C nuqta qutb deb olinsin (186-shakl). Yechish. Koordinatalar sistemasini shaklda ko’rsatilganday qilib tanlaymiz. G’ildirakning C markazi o’qiga parallel to’g’ri chiziq buylab o’zgarmas tezlik bilan tekis harakat qilgani uchun uning koordinatasi o’zgarmas va R ga teng, ya’ni C R . koordinatasi esa quyidagiga teng: C t . Endi burchakni topamiz. G’ildirak burchakka burilganda uning chetidagi nuqtalar R ga teng yoy chizadi va g’ildirak markazining t ko’chishiga teng bo’ladi, ya’ni R t , bundan t. R 3. Darsda mustaqil yechish uchun masalalar 4-masala (И.В. Мешчерский 16.5.). Har birining radiusi r bo’lgan ikkita bir xil disk A silindrik sharnir vositasida birlashtirilgan. I disk O qo’zg’almas gorizantal o’q atrofida (t ) qonunga binoan aylanadi. II disk A gorizantal o’q atrofida (t ) qonunga asosan aylanadi. O va A o’qlar rasm tekisligiga 342 perpendikulyar. va burchaklar vertikaldan soat strelkasi harakatiga teskari yo’nalishda hisoblanadi. II disk C markazining tezligi topilsin (187-shakl). Yechish. Shakldan foydalanib, C nuqtaning koordinatalarini topamiz: xc r sin r sin , y (a) yc r cos r cos . I (a) tenglamalar C nuqtaning Oxy koordinatalar O sistemasiga nisbatan harakat tenglamalarini ifodalaydi. r A r B II (a) tenglamalardan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosilalarni olib, C nuqta tezligining proyeksiyalarini C 187-shakl topamiz, ya’ni cx xc r ( cos cos ), cy y c r ( sin sin ). C nuqta tezligining modulini topamiz: c xc2 y c2 2 2 2 cos( ) . 5-masala (И.В. Мешчерский 16.10.). AB to’g’ri chiziq rasm tekisligida shunday harakatlanadiki, uning A uchi hamma vaqt CAD yarim aylanada turadi, to’g’ri chiziqning o’zi B B C esa hamisha CD diametrning qo’zg’almas C nuqtasidan o’tadi. OA radius CD ga tik bo’lgan paytda to’g’ri chiziqning C nuqtaga mos kelgan A O D A 188-shakl nuqtasining c tezligi aniqlansin; A nuqtaning shu paytdagi tezligi 4 m/c ga teng. Yechish. A nuqtaning tezligi aylana radiusiga perpendikulyar bo’lib, harakat yo’nalishi tomonga yo’nalgan bo’ladi. B nuqtaning tezligi esa AB sterjen bo’ylab yo’nalgan bo’ladi. Proyeksiyalar haqidagi teoremaga asosan, A va B nuqtalarning AB to’g’ri chiziqdagi proyeksiyalari teng bo’lishi kerak, ya’ni пр AB A пр AB B 2m m m пр AB A A cos 450 4 2 2 2,83 . 2 c c c пр AB A B . 343 x Demak, B 2,83 m . c 6-masala (И.В. Мешчерский 16.15). Krivoship mexanizmida krivoship uzunligi OA=40 sm, shatun uzunligi AB=2m; krivoship 6 рад burchak tezlik с A II O bilan bir tekis aylanadi. AOB burchak III M I turlicha: O; ; , 3 2 ga teng bo’lgan 2 B 189-masala IV hollar uchun shatunning burchak tezligi va shatun o’rtasidagi M nuqta tezligining qancha bo’lishi topilsin (189-shakl). Yechish. I holat uchun a) shaklda tasvirlangan sxema mos keladi. A I. O A M B M II. B M A a) A O A M III. M B B B B B O M B O A IV. A M M A Bu holda shaklning oniy aylanish markazi B nuqta bo’ladi. A nuqtasining tezligini topamiz: A OA , oniy aylanish markaziga nisbatan A AB B . Bu ikki tengliklardan: 344 B OA 1 6 рад . AB 5 5 с B oniy aylanish markaziga nisbatan M nuqtaning tezligini topamiz: 1 рад см M BM B 100см 6 377 . 5 с с II hol uchun . Bu holda A tezlik bilan B tezliklar parallel. Demak, 2 AB shatun ilgarilanma harakat qilar ekan. Shuning uchun uning hamma nuqtalarinig tezliklari bir xil bo’ladi, ya’ni M A OA 40 6 см см 754 . с с Shakl ilgarilanma harakatda bo’lagni uchun uning oniy aylanish burchak tezligi P 0 . III. Bu holga . Bu holda shakl B nuqtasining tezligi nolga teng va oniy aylanish markazi B nuqtada bo’ladi. A nuqtaning tezligini topamiz: A OA , oniy aylanish markaziga nisbatan: A AB B . Bulardan: B OA 6 рад . AB 5 с M nuqtaning tezligini topamiz: 1 рад см M BM B 100см 377 . 5 с с IV. 3 . Bu holda ham AB shatun ilgarilanma harakatda bo’lgani uchun 2 oniy burchak tezligi nolga teng. M A OA 40см 6 см см 754 . с с 7-masala (И.В. Мешчерский 16.21). Shatunli ABCD to’rt zvenolikda yetakchi AB krivoship 6 рад o’zgarmas burchak tezlik bilan aylanadi. AB с krivoship bilan BC sterjen bir to’g’ri chiziqda yotgan paytda CD krivoship va BC sterjenning oniy burchak tezliklari topilsin; BC 3 AB (190-shakl). 345 C B BC B a) 0 0 b) A D B A 190-shakl Yechish. Qaralayotgan holda B nuqta tezligidan chiqarilgan perpendikulyar C nuqtadan o’tadi, demak, C nuqta shaklning oniy aylanish markazi bo’ladi. A doimiy aylanish markaziga nisbatan B nuqtaning tezligini topamiz: B AB 0 AB AB BC 0 0 B BC BC BC 3 AB yoki 1 рад рад BC 6 2 . 3 с с Qaralayotgan onda C nuqtaga nisbatan DC sterjen tinch holatda bo’ladi, shuning uchun CD 0 . 8-masala. (И.В. Мешчерский 16.32.). Rasmda harakatlarni qo’shadigan mexanizm tasvirlangan. O’zaro parallel ikkita 1- va 2-reykalar 1 va 2 o’zgarmas tezliklar bilan bir tomonga harakatlanadi. Reykalar orasida r radiusli, reykalar bo’ylab sirpanmay dumalaydigan disk qisilgan. Diskning C o’qiga mahkamlangan 3 reykaning tezligi 1 va 2 reykalar tezliklari yig’indisining yarimiga tengligi ko’rsatilsin. Shuningdek, diskning burchak tezligi topilsin (191-shakl). Yechish. Masalani yechish 1 uchun sxema 191a-shaklda 1 1 B O 3 O 0 2 A b) a) 2 2 346 P P 191-shakl rasmda 0 C tasvirlangan. Uchburchaklar o’xshashligidan: 1 PB , 2 PA PB PA 2r , 1 PA 2r , 2 PA PB 1 , PA 2 PB 1 PA , 2 1 PA PA 2r 2 bundan PA 2r 2 , 1 2 a) Shakldan: v1 PB P P PB PA 2r 1 . PB 2 r 2 2r 2 . 2r 1 2 1 2 Natijada P 1 : 2r 1 1 . 1 2 2r 2.3. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlarini topishga doir masalalar 9-masala. (И.В. Мешчерский 18.4.). 4-masalaning shartlari bajarilganda II disk C va B nuqtalarining tezlanishlari topilsin. Yechish. 4-masalada C nuqtaning harakat tenglamalari tuzilgan, usha tenglamalardan tezlanishning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: WCX xC r ( cos 2 sin cos 2 sin ), Wcy yC r (sin 2 cos sin 2 cos ). B nuqta tezlanishini topish uchun 4-masala shaklidan foydalanib, harakat tenglamalarini tuzamiz. xB r sin r sin r cos , y B r cos r cos r sin . Bu tenglamalardan tezlanishning proyeksiyalarini topamiz, ya’ni WBX xB r cos 2 sin 2 cos( ) 2 2 sin ( ), 4 4 WBY yB r sin 2 cos 2 sin( ) 2 2co s ( ). 4 4 To’la tezlanishi 347 2 WB WBX WBy2 xB2 yB2 formula bilan topiladi. 10-masala (И.В. Мешчерский 18.20.). Mustahkam biriktirilgan AME y P A A O WM C (n ) WMA B ( ) WMA N M B 192-shakl to’g’ri burchak shaklidagi mexanizm shunday harakatlalanadiki, bunda A nuqta har doim Oy qo’zg’almas o’qda qoladi, boshqa ME tomoni esa, aylanuvchi B sharnir orqali o’tadi. Masofa MA OB a . A nuqtaning A tezligi o’zgarmas. M nuqtaning tezlanishi burchakning funksiyasi sifatida aniqlansin (192-shakl). Yechish. Tekis mexanizmning A va B nuqtalarining tezliklaridan perpendikulyar chiqarib, P oniy aylanish markazini topamiz. Bu markazga nisbatan: A AP bundan A . AP (a) Shakldan: cos ON CP MB , AP AP bundan a sin , 1 sin cos AP MB , cos NB OB ON MB a cos ) MB , NB 1 sin AP (b) a , 1 sin a . 1 sin Burchak tezlikdan vaqt bo’yicha bir marta hosila olib burchak tezlanishini topamiz: A (1 sin ) ( A ) 2 cos (1 sin ) . a a 348 Shaklning A nuqtasi vertikal to’g’ri chiziq bo’ylab o’zgarmas tezlik bilan harakatlangani uchun uning tezlanishi nolga teng, shuning uchun tezlanishlar oniy (n ) ( ) markazi deb A nuqtani olamiz. Shu A nuqtaga nisbatan M nuqtaning WMA , WMA , W A tezlanishlarini topamiz. ( n) WMA AM 2 a ( n) MA W A2 (1 sin ) 2 A2 (1 sin ) 2 , 2 a a A2 cos2 (1 sin ) 2 A2 AM a cos2 (1 sin ) 2 . 2 a a To’la tezlanishni topamiz: 2 2 (n) ( ) W (WMA (WMA 3 A2 2 (1 sin ) 2 . a Endi tezlanishning yo’nalishini topamiz: sin 2 cos sin 1 tg cos (1 sin ) 2 2 2 2 2. tg 2 2 (1 sin ) (cos sin ) 2 cos sin 1 tg 2 2 2 2 2 cos 2 yoki tg tg ( ) 4 2 bundan . 4 2 11-masala (И.В. Мешчерский 18.23). G’ildirak vertikal tekislikda og’ma to’g’ri chiziqli yo’lda sirg’anmay g’ildiraydi. Ikkita o’zaro perendikulyar diametrlardan biri relsga parallel bo’lgan paytda ular uchlarining tezlanishlari topilsin; shu paytda g’ildirak markazining tezligi 0 1m / c , tezlanishi W0 3 м / с 2 ; g’ildirak radiusi R 0,5 м (193-shakl). Yechish. Masalani tezlanishlar oniy markazidan foydalanib yechamiz. G’ildirakning oniy aylanish markazi uning rels bilan urunish nuqtasi M 1 nuqtada bo’ladi. O nuqtani qutb deb olsak, g’ildirakning aylanish burchak tezgligi 349 M3 M4 a) O 0 M4 W0 W1 M2 W4 W3 O Q M1 M1 M3 W2 b) M2 193-shakl 0 1м / с 1 2 . R 0,5 с (a) bo’ladi. G’ildirak markazining tezlanishi qutb nuqtaga nisbatan urinma tezlanishni beradi, shuning uchun W0 3 м / с 2 1 6 2 . R 0,5 с (b) Endi burchakni topamiz: tg 6 3 . 2 4 2 O nuqta tezlanishining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qiluvchi yarim to’g’ri chiziqni olamiz va bu yarim to’g’ri chiziqda O nuqtadan boshlab uzunligi OQ W0 2 4 ga teng kesmani ajratamiz. Q nuqta tezlanishlar oniy markazi bo’ladi. 3м / с 2 3 OQ м. 1 36 16 с2 2 13 (b) OQM1 dan QM 1 masofani topamiz: QM 1 R 2 OQ 2 2 OQ R cos(900 ) 350 1 9 3 1 2 sin , 4 52 2 13 2 tg sin 2 3 2 1 tg 1 9 4 3 . 13 Natijada, QM 1 22 9 1 м. 55 26 13 Q markazga nisbatan M 1 nuqtaning tezlanishi quyidagicha hisoblanadi. W1 QM 1 2 4 . Demak, W1 1 м 36 16 2 2 м / с 2 . с 13 W1 tezlanish M 1Q kesma bilan burchak tashkil qiladi. Endi QM 2 masofani topamiz: QM 2 1 9 1 3 2 cos , 4 52 2 2 13 cos QM 2 1 1 tg 2 2 , 13 22 3 10 52 13 52 Natijada, W2 QM 2 2 4 10 52 3,16 м / с 2 . 52 Xuddi shunday QM 3 1 9 1 3 22 3 10 2 cos(90 0 ) sin м, 4 52 2 2 13 52 2 13 13 W3 QM 3 2 4 QM 4 10 м 52 2 6,32 м / с 2 . с 13 22 1 3 22 3 22 3 34 2 cos(180 0 ) cos м, 52 2 2 13 52 2 13 52 13 52 351 W4 QM 4 2 4 34 м 52 2 5,83 м / с 2 с 52 2. Masalalar yechishga doir uslubiy tavsiyalar. 1. Moddiy nuqta dinamikasining birinchi masalasini quyidagi tartibda yechish tavsiya etiladi: 1. Masalani yechish uchun mos koordinatalar sistemasi tanlanadi. 2. Berilgan kuchlar shaklda tasvirlab olinadi. 3. Nuqtaning berilgan harakat tenglamalaridan tezlanishning proyeksiyalari topiladi. 4. Agar nuqtaning harakat tenglamalari berilmagan bo`lsa, masalaning shartlaridan foydalanib, hatakat tenglamalari tuziladi. 5. (5.2), (5.3) va (5.4) formulalardan foydalanib kuchni mos o’qlardagi proeksiyalari, moduli va yo`nalishi topiladi. 1.“Qattiq jismning tekis parallel harakati”mavzusiga doir asosiy tushunchalarni takrorlash va mustahkamlashga doir SAVOLLAR. 1. Qattiq jismning qanday harakatiga tekis parallel harakat deyiladi? Misollar keltiring. 2. Oniy aylanish markazi deb qanaqa nuqtaga aytiladi? 3. Tekis shaklning qaysi nuqtasiga tezliklarning oniy markazi deyiladi? 4. Tekis shakl nuqtasining tezligi qanday aniqlanadi? 5. Tekis shakl nuqtasi tezligini aniqlashga doir qanday usullarni bilasiz? 6. Tekis shakl nuqtasining tezlanishi qanday aniqlanadi? 7. Tezlanishlarning oniy markazi qanday aniqlanadi? 8. Qo`zg`aluvchan va qo`zg`almas sentroidalar deb nimaga aytiladi? 352 353