Логика в вопросах и ответах - В.И. Курбатов

В. К У К А ТО В ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ Ростов-на-Дону «Феникс» 1997 ЕБК88 К 63 К 93 Курбатов В.И. Логика в вопроса и ответах. Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997 — 384с. Учебное пособие «Логика в вопросах и ответах» построено по принципу закрепления и усвоения материала стандартного курса логики. Обучающийся найдет здесь ответы ня вопросы по основ ным разделам курса логики. Пособие снабжено логическим спра вочником, который поможет свободно ориентироваться в терми нах. Кроме этого, в пособии имеются практические задания и пол ный комплекс логических задач с методами их решения. Среда них задачи шуточные, занимательные и такие, которые способствуют более серьезному усвоению материала, В числе практических мате риалов — логические игры, логические шарады и логические фоку сы. Предназначено для студентов колледжей, вузов и всех тех, кто хочет развить свое логическое мышление. ISBN 5 -8 5 8 8 0 -6 8 2 -5 ББК 812 © Курбатов В.И., 1997 © Оформление: изд-во «Феникс», 1997 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 1. ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 1.1. ЧТО ЗНАЧИТ ОПРЕДЕЛИТЬ ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ? Определение предмета любой науки, и логи ка здесь не исключение, предполагает решение нетривиальной познавательной задачи, получе ние ответов на ряд вопросов, среди которых сле дующие: A. Каков специфический объект изучения этой науки, отличающийся от объектов, изучаемых другими науками? Б. Какие цели ставит данная наука перед со бой, изучая этот объект? B. Какими средствами и методами она поль зуется для достижения этих целей? 1.2. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ЭТИМОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДМЕТА ЛОГИКИ? Известно, что этимология характеризует про исхождение слов и их родственные отношения к другим словам. Согласно этимологическому подходу следует прояснить происхождение сло ва «логика» и те смыслы, которые содержатся в ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 9f о ..■■■- ■и . •• нем. Слово «логика» восходит к древнегреческо му слову «logos», означавшему мысль, слово, по нятие, закон, рассуждение, учение, наука. Уже древние считали, что есть некая принудительная сила в нашей речи: сказав «А », мы вынуждены сказать «Б ». И человеческий разум, отыскивая в вещах необходимое и отбрасывая случайное, выявляет природу этой принудительности. Но вместе с этим этимологический подход показывает, что слово «логика» очень многознач но и не дает четких и точных ответов на постав ленные выше три вопроса. 1.3, КАКОЙ СМЫСЛ ВКЛАДЫВАЕТСЯ В ПОНЯТИЕ ЛОГИКИ КАК НАУКИ О ЗАКОНАХ МЫШЛЕНИЯ? В большинстве словарей, справочников, эн циклопедий и учебников логики ее предметом признается человеческое мышление, а сама ло гика определяется как наука о законах мышле ния, или наука о законах, которым подчиняет ся человеческое мышление. Иногда добавляет ся, что это наука о законах правильного м ы ш ления. Но логика изучает не только «правильное», но и «неправильное» мышление: логические ошибки, противоречия, парадоксы, софизмы и паралогизмы. К тому же, сам термин «мыш ле ние», или «законы мышления», является доста точно широким и не дает возможности опреде лить специфику логики по отношению к другим 9 ( ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 6 наукам, предмет исследования которых связан с изучением мыслительных процедур. Мышле ние, например, изучается и философией, в час тности ее разделом «теория познания» («гносео логия»). Психология интересуется также усло виями и причинами, обеспечивающими развитие и нормальное функционирование человеческого мышления. Физиология высшей нервной дея тельности раскрывает особенности функциони рования мозга, его механизмов и процессов. Ки бернетика тоже выявляет закономерности фун кционирования человеческого интеллекта. К это му ряду примыкают информатика, программи рование, исследования в области искусственно го интеллекта. Таким образом, определение предмета логики как науки о законах мышления не дает возможности выявить специфику объек та ее исследования. 1.4. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ИСТОРИЧЕСКИЙ МЕТОД В ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА ЛОГИКИі Так же, как и предмет любой другой науки, предмет логики от эпохи к эпохе менялся, тран сформировался, развивался- По определению «отца» логики — древнегреческого философа Аристотеля (384 — 322 гг. до н- э.), предметом этой науки был вывод одних умозаключений из других сообразно их логической форме. Великий немецкий философ Иммануил Кант (1724 — 1804) 7 ПРЕДМ ЕТ ЛОГИКИ противопоставил формальной логике трансцен дентальную* Если Аристотель соотносил сужде ния по их логической формуле (образно говоря, по структуре и количественным характеристи кам), то Кант ввел в оборот понятие «логическое содержание» (качество понятий).. Другой вели кий немецкий философ, Георг Вильгельм Фрид рих Гегель (1770 — 1831), разработал основы ди алектической логики, главной задачей которой было исследование развития человеческого мыш ления и познания* 1.5. В ЧЕМ РАЗЛИЧИЕ жСОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ» И ЖФОРМАЛЬНОЙ» ЛОГИКИ? « Содержательная » (тр ансценденталъная, диалектическая) логика как термин часто ис пользуется в качестве синонима высшей ступе ни логической науки, в то время как «формаль ная» логика трактуется как синоним ее низшей ступени, частной, подчиненной дисциплины* Для определения предмета логики важно не у с тановление соотношения «высший — низш ий», а концептуальное соотношение различных пред метных областей, средств и методов их изучения. Как бы ни называлась логика, она имеет от нош ение к познавательным мыслительны м процедурам. Принципиально они могут изучать ся с позиций двух подходов- Первый подход связан с тем, что его главной целью является Of Ц ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -------2----------------------------------------------8 изучение закономерностей становления и раз вития человеческого мышления и познания. Для этого изучаются понятия, их содержание, обусловленное уровнем развития науки и прак тики. Понятия рассматриваются как выраже ние таких противоречивых характеристик при роды, общества и человеческого мышления, как сущность и явление, причина и следствие, ка чество и количество, необходимость и случай ность и т. д. Это и составляет предмет диалек тической логики. Но, кроме этого, понятия могут изучаться с точки зрения их формы, структуры, вида. Это дает совсем иной, но также необходимый взгляд на природу человеческого мышления. Такой под ход — прерогатива так называемой формальной логики. 1.6. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ТЕРМИН «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИ К М Своим названием она обязана тому, что сре ди всех применяемых методов главным являет ся метод формализации — использование сим волов, знаков, формул, которые позволяют бо лее полно выявить содержание понятий посред ством уточнения представлений об их логичес кой форме. Большое распространение в логике получили математические методы. Поэтому ее также называют математической, или символи ческой логикой. 9 ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 9 f 1.7. СОВПАДАЕТ ЛИ ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ С ПРЕДМЕТОМ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ? Во многих специальных исследованиях в области формальной логики предмет этой дис циплины сводится к изучению теории формаль ного вывода. Тем самым, если все предыдущие подходы можно квалифицировать как слишком широкие, то данное определение представляет ся как слишком узкое, ибо кроме формального вывода логика интересуется и многими други ми познавательными задачами. В их число вхо дят выявление истинности суждений и поня тий, логического следствия и множество других проблем, имеющих далеко не формальный ха рактер. І Я . КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И ОДНОВРЕМЕННО РАЗДЕЛЫ ЛОГИКИ СЛЕДУЕТ ВЫДЕЛИТЬ? Условно можно выделить три основных эта па логики, которые одновременно можно трак товать и как ее основные разделы. Это прежде всего традиционная логика, принципы которой были сформулированы еще Аристотелем. Тради ционная логика практически не использует фор мализацию, аппарат математики, исчисления и занимается изучением логической связи умозак лючений, суждений, понятий и операций над ними. ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 10 Применение методов формализации и мате матических методов послужило причиной появ ления классической (символической, или мате матической) логики. Использование методов классической логики для анализа причинных от ношений, возможности, вероятности, отношений долженствования, временных, ценностных ха рактеристик и других подобных им модусов пол ожило начало неклассической (модальной, или философской) логике. С учетом всего вышесказанного можно за метить, что представление о предмете логики у с ложняется и не сводится к простой дефиниции (определению). 1.9. КАКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА ЛОГИКИ М ОЖ Н О НАЗВАТЬ КОНЦЕПТУАЛЬНЫМI Концептуальным следует называть такое оп ределение предмета логики, которое может трак товаться как удовлетворительное для основных разделов логики с учетом специфики методов ее анализа и которое дает определенные ответы на три вопроса, поставленных в самом начале главы. 1.10. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА? Всякая наука стремится выйти за пределы сущ ествую щ ей системы знаний, приобрести ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 9 Г 1I новое знание. Один из таких способов — опыт, или эмпирическое знание. Оно характеризует ся как знание непосредственное, т. е, такое, когда исследователь имеет возможность наблю дать свой объект, производить с ним те или иные операции. Само эмпирическое познание выражается в самой простейш ей форме — в виде наблюдения. Но одним наблюдением оно не исчерпывается и включает в себя также опи сания фактов, разные способы их систем ати зации, объяснения и т . п. Второй способ получения нового знания — рассуждение. Он связан с такими познаватель ными ситуациями, когда объект исследования не дан как материальная, физическая реаль ность. Это может быть математическое или фи зическое, социальное или философское понятое, идеальные объекты и т. п. Единственным спосо бом получения нового знания о таких предметах является мысленное моделирование, вывод, ана логии, заключения, т. е. рассуждения. Многие теоретические науки пользуются этим методом и как бы имеют свою собственную логику, которую правомерно назвать практичес кой логикой. 1.1 f. КАКОВ ПРЕДМЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ? Использование рассуждений как метода на учного познания в разных науках ставит вопрос J «• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ііі ■- - і — і" .......... 1* об изучении самих рассуждений, их формы, вида, структуры. Иными словами, требуется дать отчет в том, каковы те гарантии, которые позволяют с помощью рассуждений из верных предпосылок получать истинные заключения. Этим и занимается теоретическая логика, пред мет которой можно определить следующим обра зом: теоретическая логика изучает стандарты корректности разных рассуждений. . .... 2. МЫШЛЕНИЕ, ЛОГИКА, ЯЗЫК 2 . U В КАКОМ АСПЕКТЕ МЫШЛЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРЕДМЕТОМ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГИКИ? Мыслительные процедуры в отличие от чув ственного познания имеют абстрактно-обобщающий характер. В мышлении человек способен от влечься от случайных, несущественных черт, выделить главные, необходимые, сущностные. Абстрактное мышление выходит за пределы чув ственного опыта и путем рассуждений имеет воз можность выявить такие черты объективной ре альности, которые не были предметом чувствен ного познания. Логическое мышление как одна из форм абстрактного мышления позволяет ор ганизовать мыслительные процедуры таким об разом, чтобы, отталкиваясь от объективных дан- f0 МЫШЛЕНИЕ, ЛОГИКА, ЯЗЫК f ных чувственного познания» гарантированно по лучать правильные, корректные или истинные заключения. Согласно этому, логику в изучении мышле ния интересуют условия, принципы и правила организации мыслительных процедур, результа тивность которых выражается в системе рассуж дений, подчиняющихся требованиям выводи мости, доказуемости, логической корректности и истинности. 2.2. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ЛОГИКА КАК НОРМАТИВНАЯ НАУКА1 Логика выступает как нормативная наука, поскольку она изучает и формулирует нормы кор ректного рассуждения и мышления, т. е. неко торые стандарты, следуя которым, можно делать правильный вывод. 2.3. КАКИЕ ГРАНИ МЫШЛЕНИЯ ИЗУЧАЕТ ЛОГИКА? Человеческое мышление очень многогранно. Мышление может быть эвристическим (откры вающим новое), игровым, орудийным, имитаци онным, языковым и т. д. Мышление — не сино ним сознания, которое представляет собою пони мание, осмысление бытия человека. Мышление — рациональные процедуры осознания. Логика как раз и изучает рациональные, операционные процедуры и процессы мышления. *)в»f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ----- - I ■ I ■ ...... . ■■ 14 2.4. КАКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИМЕЕТ ЯЗЫК В ИЗУЧЕНИИ МЫШЛЕНИЯ? Мышление, выраженное в языке, есть по сути рассуждение. Поэтому язык может быть рассмотрен как средство для изучения мышле ния. Так ж е, как и мышление изучается разны ми науками, так и язык является предметом раз ных дисциплин: литературоведения, лингвисти ки, поэтики, филологии, этнографии и т. п. Для логики язык — это средство, с помощью которо го мыслительные процедуры могут быть пред ставлены в рассуждении. В отличие от других наук логику интересует не национальная специфика языка, она отвлека ется от его грамматической структуры, фонети ческих особенностей. Язык интересует логику как специфическое средство выражения рацио нальности мышления. 2 S . КАК МОЖНО КРАТКО ОПРЕДЕЛИТЬ ЯЗЫК1 Язык — это информационно-знаковая систе ма, служащая для целей коммуникации, пере дачи информации, трансляции опыта, обмена эмоциями и т. п. 15 МЫШЛЕНИЕ, ЛОГИКА, ЯЗЫ К f 2.6. СУЩ ЕСТВУЕТ ЛИ КАКАЯ-ТО ОСОБАЯ «ЛОГИКА* ЯЗЫКАt Элементы «логичности» (последовательнос ти, упорядоченности, определенности) заложе ны в природе языка, в его правилах граммати ки, пунктуации, в системе смыслов. 2.7. КАКИЕ БЫВАЮТ ЯЗЫКИ? Исходя из того, что выше было сказано о язы ке как средстве реконструкции мыслительных процедур, все языки подразделяются на ес тественные и искусственные. Естественный язык — это язык, который складывается стихийно, никем специально не создается и служит средством общения людей. Логика не ограничивается использованием только лишь естественного языка, поскольку пос ледний не вполне отвечает потребности системати чески, точно, корректно и непротиворечиво описы вать предмет познания. Этому не способствуют та кие черты естественного языка, как образность, многозначность, наличие отживших выражений (архаизмов), мегафор, гипербол. Многие выражения языка могут быть точно поняты только в контексте, с учетом произношения, способа выражения, ритма речи, фонетики. В естественном языке слишком много нюансов и аспектов, он является избыточно богатой системой для целей логического анализа. €f f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 16 Вместе с тем естественный язык не замкнут, он меняется, меняет строй своей лексики* Слова приобретают новые смыслы и значения, теряют старые. Это позволяет назвать его семантически открытой системой. Искусственный язык — это язык символов, формул, знаков, исчислений. Он отвлекается от конкретных особенностей слова и концентрирует свое внимание исключительно на его логическом смысле, структуре, логической форме. Поэтому такой язык называется формализованным. 2.8. ЧТО М О Ж ЕТ ДАТЬ ФОРМАЛИЗОВАННЫЙ ЯЗЫК? Абстрагируясь от конкретных слов, их грам матической формы, от конкретных выражений, искусственный язык ук ачи вает содержатель ную специфику. Но вместе с этим он приобрета ет обобщающую способность, не свойственную конкретным выражениям естественного языка. Он становится инструментом познания. 3. СТРУКТУРА И ПРАВИЛА КОРРЕКТНОГО РАССУЖДЕНИЯ 3.1. ЧТО ТАКОЕ ФРЕЙМ ЗНАНИЯГ Ф рейм — термин, ранее распространенный в психологии, а в настоящее время в психолин- СТРУКТУРА И ПРАВИЛА РАССУЖ ДЕНИЯ f 1/ I■■ ■—■■>■ I «в гвистике, теории искусственного интеллекта, методологии научного познания и в логике. Фрейм означает схему, сценарий, модель. Фрейм знания — элементы информации, становящие ся в речевом акте знанием. Они служат для обобщения информации, интерпретации, объяснения, кодирования и рас кодирования речевых сообщений. Обобщенно говоря, фреймы знания осуществляют логичес кое моделирование мысли в речи. 3.2. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ РАССУЖДЕНИЕМ? Рассуждение — это система речевых актов, каждый из которых в данной системе становит ся фреймом знания. 3.3 . КАКИЕ РАССУЖДЕНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ КОРРЕКТНЫМИ? Корректными можно называть такие рас суждения, в которых вывод осуществляется в соответствии с определенными правилами. Си нонимом корректного рассуждения служит пра вильное рассуждение. 3.4. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СУЖДЕНИЕМ? Суждение представляет собою единицу мыс лительного процесса, выраженную в языке. Одно и то же суждение может быть выражено разными 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ .................................... 18 предложениями, имеющими различную грамматическую структуру. Поэтому суждение состав ляет логический смысл предложения. 3.5, ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕМI Умозаключение — это система суждений, мыслительный процесс, в котором из одного или нескольких суждений делается некоторое за ключение. 3.6. В ЧЕМ СОСТО И Т ГЛАВНОЕ РАЗЛИЧИЕ РАССУЖДЕНИЯ И УМОЗАКЛЮЧЕНИЯі Рассуждение обычно имеет массовидный, естественный характер. Б отличие от этого умо заключение имеет логический характер. Если рассуждение представляет собою акт коммуни кации, состоящий в целесообразном, организо ванном преобразовании структур языкового мышления, то умозаключение — это процесс преобразования структур логического мышле ния. Это не означает, что рассуждения не связа ны с логическими структурами. Напротив, логи ка рассуждений — база логики; без логики рассуждений нет логики умозаключений. 3 J . КАКОВА СТРУКТУРА РАССУЖДЕНИЯ? Всякое рассуждение включает в себя следу ющие компоненты: посыяки (или допущения) и ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ 19 9 f заключение (или вывод). Посылки, или допуще ния, формулируют известную о б ъ е к т у инфор мацию об объекте. Заключение, или вывод, — ут верждение, которое делается на основе таких посылок. 3.8. ПАНОВЫ КРИТЕРИИ КОРРЕКТНОСТИ РАССУЖДЕНИЯ? Критерии корректности могут быть формаль ными и содержательными. Так, если А больше В, а В больше С, то можно сделать вывод, что А больше С. Этот вывод формально корректен, ког да мы его делаем не задаваясь вопросом о том , какие действительные значения имеют А , В и С. Если же на место этих букв будут подставлены, скажем, конкретные цифровые значения, то корректность станет содержательной. КАКИЕ РАЗДЕЛЫ ЛОГИКИ ИЗУЧАЮТ 'С ФОРАЛАЛЬНЫЕ И СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ' КОРРЕКТНОСТИ РАССУЖДЕНИЙ? Формальные критерии корректности изучаю тся логическим синтаксисом , а содержатель ные критерии корректности — логической се мантикой. 9 ( ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 20 4. ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ 4.1 . ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПО Д СЛОВОМ «ЗАКОН»? Под законом вообще понимают внутреннюю, необходимую и существенную связь явлений. Законы же мышления представляют собою oneрациональные директивы мышления. Логика изучает характер связи мыслей в про цессе рассуждения. Как выяснено выше, крите рии корректности или правильности могут быть формальными и содержательными. Следование этим критериям выявляет правила, которым под чиняются рассуждения. Это правила логичнос ти. Среди разнообразных правил есть основные и производные. Наряду с этим можно выделить такие правила, которые можно назвать всеобщи ми. Такие правила и принятб называть закона ми мышления. 4.2. ЧЕМ ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ОТЛИЧАЮТСЯ ОТ ЗАКОНОВ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ? Законы естествознания описывают связь явлений природы, которая многократно повторя ется в идентичных условиях. Законы мышления предписывают определенные способы Интеллек- ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ 4 1 - I . 4 1 И — - І . І Ц І . І - • • туальной деятельности. Законы логики — это законы правильного мышления и суждения че ловека о мире, а не законы самого мира. 4 3 . КАКОВО ПРОИСХОЖ ДЕНИЕ ЗАКОНОВ МЫШЛЕНИЯ Своим происхождением законы мышления обязаны рациональной активности субъекта. 4.4. В ЧЕМ ВЫРАЖАЮТСЯ ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ Г Законы мышления выражаются в правилах, нормах, принципах, предписаниях, рекомендаци ях, следуя которым человек мыслит и рассуждает логично. В логике выделяют следующие законы: закон тождества, закон противоречия, закон исклю ченного третьего, закон достаточного основания. 4.5. КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ ЗАКОН ТОЖДЕСТВАГ Самая общая формулировка имеет следую щий вид: «Л есть А » , или «Всякий предмет есть то, что он есть о. 4.6. КАКИЕ ПРЕДПИСАНИЯ ДЛЯ ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ СОДЕРЖ ИТ В СЕБЕ Э Т О Т ЗАКОНГ Закон тождества содержит в себе, по край ней мере, четыре предписания: а) требование сохранения мысленного со держания предмета рассуждения. Так, 9•• f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 22 если в одной из посылок рассуждения сформулирован какой-либо термин, то упомянутый закон обязывает нас при ис пользовании данного термина в других посылках сохранить тождество между ними; требование достигать определенности мысли в термине (слове, выражении). Это значит, что каждый употребленный в речи термин должен быть определен, при чем, корректным образом; в) требование различать формальное и содер жательное тождество; Г) требование проводить различие или уста навливать сходство между словами и вы ражениями, их значениями и смыслами. Сюда включаются характеристики сино нимии, омонимии, полисемии (сходство слов по значению, различие но значению одинаковых слов и многозначность слов). 4.7. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ЗАКОН ПРОТИВОРЕЧИЯ ? Закон противоречия выражает одну из са мых существенных особенностей логического мышления — непротиворечивость. Он содержит в себе запрещение мыслить и рассуждать проти воречиво, квалифицирует противоречие как серь езную логическую ошибку, несовместимую с ло гическим мышлением. ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ 23 ■— -- - і■ 9 Г ** Его можно сформулировать следующим обрадом: неверно, что вместе истинны некоторое ут верждение и его отрицание. Подобная формули ровка говорит о том, что уместнее было бы назвать данный закон законом непротиворечия (запре щения противоречия) или законом исключенно го противоречия. Однако в традиционной форму лировке заложен глубокий смысл; он обращает внимание на противоречие как явление и понуж дает исследовать механизмы возникновения ло гических ошибок, которые образуются в резуль тате нарушения этого закона. 4.8 . КАКИЕ ПРЕДПИСАНИЯ СОДЕРЖИТ В СЕБЕ Э ТО Т ЗАКОН І Этот закон включает, по крайней мере, пять предписаний: а) требование не допускать взаимоисключа ющие суждения в структуре одного рас суждения, вывода; б) побуждение определить критерий логичнос ти рассуждения как непротиворечивость; в) требование давать истинностные квали фикации суждений, используемые в рас суждении; г) требование выявлять явные и скрытые противоречия в структуре рассуждения; д) предписание, в соответствии с которым необходимо различать реальные и мни мые противоречия. f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 24 4.9. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕI Логическое противоречие есть соотношение взаимоисключающих суждений, взятых в одном контексте. Обобщенно говоря, логическое проти воречие — это взаимоисключение зафиксирован ных и выраженных в языке фрагментов знания, например: «Человек смертен и бессмертен». Вза имоисключающие утверждения образуют проти воречие. 4.Ю.ЧТО ОЗНАЧАЕТ ДИАЛЕКТИЧЕСКОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕf Это противоречие развивающегося (изменя ющегося) знания. С точки зрения теории диалек тики, такое противоречие является источником движения и развития. Оно указывает на то, что развитие предмета обусловлено взаимодействи ем взаимоисключающих тенденций, составляю щих его сущность. 4.11. КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО1 Он формулируется следующим образом: если есть два суждения, из которых одно оказывается отрицанием второго, то только одно из них явля ется истинным. 25 ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ 7 f 4.12 . ЧЕМ ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ОТЛИЧАЕТСЯ О Т ЗАКОНА ПРОТИВОРЕЧИЯ? Закон противоречия показывает, что взаимо исключающие суждения составляют логичес кую ошибку. Из этого следует, что если истинно А , то не истинно не-А, либо наоборот: неистин но А и истинно не-А. Это и составляет сущность закона исключенного третьего: третьего не дано, как не дано еще какого-либо Б, которое претен довало бы на выражение истины. Например: «Все планеты имеют форму шара» — суждение А . «Неверно, что все планеты имеют форму шара» — суждение не-А. Одно из них истинно, другое — ложно. Третьего не дано. 4.13. КАКИЕ ПРЕДПИСАНИЯ ВКЛЮЧАЮТСЯ В ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО? Можно выявить четыре основных предпи сания: а) необходимость формулировать альтернатив ность А и не-А и делать выбор между ними; б) запрет выбирать в качестве альтернативы какие-либо еще утверждения; в) требование устанавливать отношения про тивоположности между альтернативами таким образом, чтобы одна из них была отрицанием другой; г) соответствие универсальному приему ло- О f «« ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■и 1 ■— — ■ I I ... ■ гического мышления, согласно которому противоположное истине есть ложь. 4.14. КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ ЗАКО Н ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ? Данный закон формулируется следующим образом: всякое верное (истинное) утверждение должно быть достаточно обоснованным. Основная задача этого закона— доказатель ность логического мышления и рассуждения. Суждение может быть истинным или ложным, но на каком основании? Закон достаточного ос нования предписывает устанавливать истин ность каждого допущения в рассуждении» тре бует, чтобы ни одно суждение не считалось и с тинным без достаточных для этого оснований. 4 . 15. КАКИЕ ПРЕДПИСАНИЯ СОДЕРЖ И Т ЗАКОН ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ? Их, по крайней мере, четыре: а) все посылки рассуждения должны быть обоснованны; б) если какое-то суждение является обосно ванным, то допустимо использовать его в доказательстве; в) обоснованием является истинностная ха рактеристика суждения; г ) в обосновании суждений следует различать логическое и фактическое обоснование. * МЕТОДЫ ЛОГИКИ 27 5. М ЕТОДЫ ЛОГИКИ 5.1. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ТЕРМИН «МЕТОД»? Термин *метод» означает способ построения системы знания, совокупность приемов и опера ций практического и теоретического освоения действительности. Принято выделять экспериментальные, те оретические, эвристические и алгоритмические научные методы* По другим обоснованиям мож но выделить количественные и качественные ме тоды, В зависимости от степени обоснованности можно выделить статистические, вероятност ные, гипотетико-индуктивные и гипотетико-де дуктивные методы. По механизмам обобщения выделяют синтетические и аналитические, ин дуктивные и дедуктивные, методы идеализации, моделирования, генерализации, типологизации и классификации. 5.2. ЧТО ОЗНАЧАЕТ АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД? Суть этого метода заключается в следующем: а) основное содерясание логической теории определяется как база аксиоматизации; <ѵ •т ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 28 б) формулируются основные термины; в) в терминах основных понятий формули руются аксиомы, выражающие такие от ношения между базисными понятиями, которые безусловно верны и не требуют доказательства; г) формулируется система правил, позволя ющая преобразовывать исходные посту латы (аксиомы) корректным образом; д) осуществляется преобразование данных постулатов по указанным правилам, даю щее возможность из ограниченного числа аксиом получать множество производных положений — теорем. 5.3. КАКИЕ ПРЕИМУЩЕСТВА ИМЕЕТ АКСИОМАТИЧЕСКИ ПОСТРОЕННАЯ ТЕОРИЯ? Она имеет ряд отличительных особенностей; а) такая теория не является частным знани ем о конкретном предмете, а представля ет собою обобщенное знание; б) такая теория содержит в себе систему ал горитмов для решения множества част ных задач. 5.4. ЧТО ОЗНАЧАЕТ М ЕТОД ФОРМАЛИЗАЦИИ1 Метод формализации основывается на заме не естественного языка искусственным. Это язык формул, знаков, символов, исчислений. Он МЕТОДЫ ЛОГИКИ 29 9 f представляет собою логический метод выявле ния содержания мысли посредством уточнения ее логической формы* 5*5. КАКИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПРЕДЪЯВЛЯЮТСЯ К ФОРМАЛИЗОВАННОМУ ЯЗЫКУ? Можно сформулировать пять таких основных требований: а) все основные знаки и символы искусствен ного языка должны быть представлены в явном виде; б) должны быть выделены простые (несо ставные) и сложные (составные) символы; в) должны быть определены правила кор ректного построения сложных выраже ний из простых; г) должны быть заданы все правила преоб разования формул искусственного языка; д) должны быть заданы все правила интер претации формул искусственного языка. 5.6. КАКИЕ ВОПРОСЫ СТОЯТ ПЕРЕД ЛОГИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКОЙ? Семантика как раздел логики изучает с по мощью логически содержательных методов пути и способы интерпретации формальных логичес ких систем. В соответствии с правилами семан тики каждому выражению знаковой системы дается определенное истинностное значение. ЛОГИКА S ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 30 Основными понятиями логической семантики яв ляются понятия логического следствия, истиннос ти, ложности, выполнимости, общезначимости. 5.7. ЧТО ОЗНАЧАЕТ СИНТАКСИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА? Это предполагает рассмотрение способов пос троения формул логического исчисления, мето дов их преобразования. Причем, этот анализ осу ществляется без соотнесения с тем, что в дей ствительности эти формулы могут обозначать. Основные понятия логического синтаксиса — понятия вывода, доказательства, противоре чия и непротиворечивости. 5.8. ЧТО В ЛОГИКЕ ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ПОД ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ? Для ответа на этот вопрос нужно иметь в виду, что логические формулы имеют смысл тогда, когда есть некоторая предметная область, элементы которой могут быть поставлены в со ответствие с этими формулами. Эта предметная область также называется областью интерпрета ции. Она не должна быть пустой, т. е. в этой об ласти должен быть хотя бы один объект. Тогда иод интерпретацией будем понимать всякую систе му, состоящую из непустого множества (области интерпретации) и какого-либо соответствия, отно сящего каждому символу искусственного языка МЕТОДЫ ЛОГИКИ 31 9f какие-нибудь связи в данной области, или какуюв ябудь операцию, или какой-нибудь элемент. 5.9. КАК С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ ИНТЕРПРЕТАЦИИ понятия истинности и и выполнимости, ПОДХОДЯЩ ИЕ для М О Ж Н О ПРОЯСНИТЬ ФОРМ УЛ ИСКУССТВЕННОГО ЯЗЫКАг Пусть предметная область Д имеет ряд счет ных последовательностей, среди которых В = (Вр В2,... Вп). Тогда формула А , включающая в себя (А 1, А 2>... А п), выполнена в Д на последователь ности В, если и только если B ^ A j), В2(А2),.., В (А п) есть отношение, принадлежащее В. Дру гими словами, если существует взаимно одноз начное соответствие алфавита символов искус ственного языка и элементов предметной облас ти Д в виде множества отношений типа В (А ). И еще проще говоря, если в предметной области Д имеется хотя бы одна последовательность, в к о торой м огут быть семантически осмыслены структуры формализованного языка, 5.10. КАКИЕ ВЫВОДЫ М ОЖ НО СДЕЛАТЬ, ИСХОДЯ ИЗ ТАКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫПОЛНИМОСТИ? Представим эти выводы систематически: — Если выполнена формула А , то не выпол нено ее отрицание* — Формула А называет ся истинной (в этой интерпретации), если и только если она О / ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ____________________________________ 32 выполнена на любой последовательности данной предметной области. — Интерпретация называется моделью М множества формул Г, если каждая форму ла Г истинна в данной интерпретации. — Формула Л называется логически общез начимой (тавтологией), если она истинна в каждой интерпретации. — Формула Л называется логическим проти воречием (невыполнимой формулой), если она ложна в каждой интерпретации. 5.11. КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДСТВИЯ? Формула А логически влечет формулу В (т. е. формула В является логическим следствием фор мулы А), если в любой интерпретации В выполне на на всякой последовательности, на которой вы полнена формула А. Одним словом, если формула В принимает значение «истина» для тех же эле ментов предметной области Д (при подстановке их вместо элементов искусственного языка), для которых значение «истина» имеет формула А , то формула В логически следует из формулы А. Ло гическим примером, поясняющим понятие логи ческого следствия, является понятие корректно го рассуждения, определяемого как выведение ис тинного заключения из истинных посылок. В этом случае, следуя определению, можно сказать, что заключение логически следует из посылок. ПОНЯТИЕ 33 9 f 6 . ПОНЯТИЕ 6.1. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ПОНЯТИЕ КАЯ ФОРМА МЫШЛЕНИЯ? Природа понятия отлична от всех форм чув ственного воспроизведения предметов действи тельности, которые обычно характеризуются на глядной образностью. Понятие лишено нагляд ности. Это абстрактно-теоретическая форма от ражения действительности, в которой схватыва ются сущностные, необходимые, существенные признаки предметов. Понятие всегда обобщает, а это приводит к абстракциям, схематизму. 6.2. ЧТО ОЗНАЧАЕТ УТВЕРЖДЕНИЕ , ЧТО ПОНЯТИЕ ОТРАЖ АЕТ СУЩЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ п ред м ета ? Для ответа на этот вопрос прежде всего нуж но определить, что из себя представляют призна ки предмета, какие они бывают. Признаками на зываются черты сходства или различия предме тов. Сходные признаки называются общими. В них выражается тождество предметов в опреде ленном отношении. Признаки, по которым пред меты различаются, называются отличительными. 2. Зак Мі189 9f f «• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ —..... —...... — ■■ 34 Как в общих, так и в отличительных признаках могут фиксироваться существенные (необходи мые) и несущественные (случайные) свойства предметов. Существенные признаки, определя ющие характер, природу и направление разви тия предмета, взятые вместе, достаточны для выражения сущности предмета. Всякое понятие, претендующее на то, чтобы характеризовать сущность предмета, прежде всего отражает в себе его существенные признаки. Поэтому всякое понятие есть мысленное отражение в форме не посредственного единства общих существенных признаков предмета. 6.3. КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОНЯТИЯ? Имеются две главные логические характе ристики понятия — его содержание и объем. Содержанием понятия называется мысленное отражение неизменных признаков определен ного класса предметов (или класса классов). Объ емом понятия называется мысленное отражение того класса предметов (или класса классов), не изменные признаки которых отражены в содер жании данного понятия. Примером этого будет понятие «треугольник». Его содержанием будет совокупность признаков, образующих эту гео метрическую фигуру, а объемом — множество геометрических фигур, которым свойственны эти признаки. ПОНЯТИЕ 35 9? 6.4. КАК ОБРАЗУЮ ТСЯ ПОНЯТИЯ? Анализ признаков предмета является пер вым этапом образования понятия. Под анализом понимается мысленное расчленение содержания предмета на составляющие признаки, свойства. Вторым этапом является сравнение. Это метод, позволяющий установить отношения сходства и различия по признакам между предметами. Да лее следует синтез — прием мысленного соеди нения признаков предметов, которые обобщают ся в некотором понятии. Абстрагирование поз воляет вычленить, выделить некоторые призна ки из их совокупности, отвлечься от отдельных признаков и сосредоточить внимание на чем-то одном. 6.5 . ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ РЕГИСТРИРУЮЩИМИ И НЕРЕГИСТРИРУЮЩИМИ п о н я т и я м и ? Если в содержании понятия имеются при знаки, отвечающие на вопросы «где?», «когда?», «какого типа?», такие понятия называют регис трирующими, а порою также закрытыми. Если такие вопросы поставить нельзя, понятие счита ется нерегистрирующим. Примером второго по нятия будет понятие «справедливость». 2* *}№•f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■ л—1 ' . . и— ■ . . іі — 36 6.6. ЧЕМ РАЗЛИЧАЮТСЯ ПУСТЫЕ И НЕПУСТЫЕ ПОНЯТИЯ? Они различаются в зависимости от того, соот ветствуют ли данному понятию какие-либо пред меты в мире или нет. В первом случае понятие является непустым, а во втором — пустым. По нятие «планета» является примером непустого понятия, а понятие «кентавр» является пустым. 6.7. ЧТО МОЖ НО СКАЗАТЬ О КОНКРЕТНЫХ И АБСТРАКТНЫХ ПОНЯТИЯХ? Конкретные понятия являются понятиями об отдельных предметах, а абстрактные понятия — понятиями об отношениях и свойствах. Если примером конкретного понятия может служить понятие «герой дня», то примером второго рода будет «мужество». 6.8 . В ЧЕМ СССТО И Т РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ АБСОЛЮТНЫМИ И ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ПОНЯТИЯМИt Относительное понятие имеет в своем содер жании признак, фиксирующий отношение одно го предмета к другому, а в содержании абсолют ного (безотносительного) понятия такой признак отсутствует. Так, «дерево» будет примером без относительного понятия, а «муж » — примером относительного понятая. ПОНЯТИЕ --------------- 37 9 f к» 6.9. ЧЕМ ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯt Примером отрицательности будет характе ристика того, что некоторый признак не присущ предмету, положительное же характеризует на личие некоторого признака* Примером отрица тельных понятий могут служить такие: «не жи вое существо», «не млекопитающее», В положи тельных понятиях определенный признак не отрицается, а утверждается. 6.10. КАКИЕ ЕЩ Е ВИДЫ ПОНЯТИЙ М О Ж Н О ВЫДЕЛИТЬf По разным основаниям нужно выделять еди ничные и общие понятия. Общие понятия име ют такой объем, в котором мыслится два и более предметов. Единичные понятия в своем объеме содержат только один предмет. Понятия, отра жающие группы однородных предметов, упоря доченных определенным образом, называются собирательными. Понятия, в объеме которых каждый предмет мыслится как элемент класса, называются разделительными. В качестве обще го понятия можно сформулировать понятие «кос монавт». Оно может интерпретироваться на множестве объектов (индивидов), удовлетворяю щих системе признаков, являющихся содержа нием этого понятия. Понятие «первый космонавт *7 J ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 38 Земли» является единичным понятием, т. е. в области его интерпретации только один объект (индивид): Юрий Гагарин. 6.11. КАК М ОЖ НО со о т н о си т ь понят ия П О ОБЪЕМУ? Можно выделить несколько типов отноше ний понятий по объему: а) совпадение объемов понятий, говорящее о том, что объем одного понятия равен объ ему другого понятия. Такие понятия на зываются равнообъемными или взаимоза меняемыми. Совпадение объемов понятий можно наблюдать на примере таких поня тий, как «студент» и «обучающийся в высшем учебном заведении»; б) включение объема одного понятия в объем другого понятия говорит о том, что объем одного понятия полностью содержится в объеме другого понятия. Так, понятие «человек» полностью включается в поня тие «живое сущ ество»; в) исключение объемов понятий характери зует такое отношение, когда у двух срав ниваемых понятий нет ни одного общего признака. Например, понятия «жизнь» и «смерть»; г) пересечение объемов понятий является примером частичного совпадения их объ емов. Пример такого частичного совпаде- ПОНЯТИЕ 39 It кия — соотношение понятий «студент» и «отличник». 6.12. КАКИЕ ОТНОШЕНИЯ М ЕЖ Д У ПОНЯТИЯМИ МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ ПО ИХ СОДЕРЖ АНИЮ ? Отношения между понятиями по содержанию можно характеризовать по следующим основаниям: а) сравнимые и несравнимые понятия. Не сравнимость понятий предполагает отсут ствие общих признаков. Сравнимые поня тия имеют общий род. Таким родом будет1, например, «геометрическая фигура». Но отношению к этому роду определяются сравнимы е понятия: «тр е у го л ь н и к », « ромб », « трапеция »; б) во множестве пар сравнимых понятий мож но выделять совместимые и несовместимые понятия. Понятия называются совмести мыми, если признаки, составляющие их содержание, могут принадлежать одним и тем же предметам. Обратная характеристи ка дает образец несовместимых понятий. 6. 13. КАКОВЫ ЯЗЫКОВЫЕ ФОРМЫ ВЫРАЖЕНИЯ ПОНЯТИЙ? Понятия, как и другие формы мышления, выражаются в языке, в разных словах и словосо четаниях. Слова и словосочетания, выражающие понятия, в логике называются именами. *ff II ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ --------- ------- ------------------------------------40 Имена бывают1простые, сложные и описатель ные (дескриптивные)* Например, имя «спидо метр» является простым, «ученый-лингвист» — сложным, а «прибор для измерения скорости» — описательным. 6.14. КАКОВЫ ПРИНЦИПЫ ИМЕНОВАНИЯ? Нужно учитывать три основных принципа именования: а) принцип однозначности, говорящий о том, что каждое выражение, употреблявмое в качестве имени, может быть именем только одного объекта; б) принцип предметности, который требует, чтобы языковые выражения говорили об объектах, на которые они указывают; в) принцип взаимозаменяемости, который означает, что имена, имеющие одно и то же предметное значение, могут быть взаимозаменимы в так называемых стандар тных контекстах. 7. СУЖДЕНИЕ 7 . 1. ЧТО ОЗНАЧАЕТ «СУЖДЕНИЕ» КАК ФОРМА МЫСЛИ И ЧЕМ ОНО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ПОНЯТИЯ? Понятия отражают существенные признаки предметов, но люди не мыслят и не рассуждают 41 СУЖДЕНИЕ V отдельными, изолированными понятиями. На иболее распространенной формой мышления яв ляется суждение. Логическая форма суждения выражает отношения между двумя или более по нятиями. Поэтому именно в суждении соверша ется элементарный логический акт мышления. 7.2, В ЧЕМ ВЫРАЖАЕТСЯ СУЖДЕНИЕ И ИАКОВА ЕГО ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМА? Суждение как форма мышления закрепля ется в языке и выражается с помощ ью предло жения, например, «Москва — столица Российс кой Федерации». В структуре любого суждения есть три необ ходимых компонента: субъект суждения, его предикат и логическая связка между ними. Субъ ект суждения выражает информацию о предме те суждения или то, что в нем говорится о пред мете. Сокращенно субъект суждения обознача ется латинской буквой «S» (от латинского слова subjectum). В приведенном выше примере «М ос ква» — субъект этого суждения. Вторым логическим элементом суждения является предикат. Он выражает признаки пред мета или то, что ему приписывается в данном суждении, что о нем говорится. Сокращенно предикат обозначается латинской буквой «Р» (от латинского слова praedicatum). Третьим элементом суждения является л о гическая связка, которая выражает отношения f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ «* іі ■■■■. ■» 42 между субъектом и предикатом. Логическая связка имеет две формы: она может быть утвер дительной и отрицательной. 7.3. ЧЕМ ОТЛИЧАЕТСЯ СУЖДЕНИЕ ОТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ? Предложение по отношению к суждению является языковой формой его выражения, а суждение составляет его логическую, смысловую суть. Отличие суждения от предложения можно провести по следующим основаниям; а) суждение отличается от предложения тем, что оно характеризует не граммати ческие, а смысловые, логические отноше ния между предметом суждения и тем, что о нем высказывается; б) одно и то же суждение можно выразить в разных грамматических формах одного естественного языка или же предложени ями разных естественных (националь ных) языков; в) суждение отличается от предложения так же и по своей логической структуре (ло гической форме). 7.4. КАК М О Ж Н О СУЖДЕНИЯ ПОДРАЗДЕЛЯТЬ ПО КАЧЕСТВУ? Суждения делят по качеству в зависимости от характера логической связки, объединяющей субъект и предикат суждения, на утвердительные 43 СУЖДЕНИЕ 9 f и отрицательные. В утвердительных связках нечто приписывается субъекту, в отрицательных — что-то отрицается как его признак. 7.5. КАК СУЖДЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ ПО КОЛИЧЕСТВУI По количеству суждения делятся ^ ед и н и ч ные, частные и общие. Единичные суждения ха рактеризуются тем, что объем субъекта состоит только из одного элемента (Гагарин — первый космонавт Земли). Частные суждения характери зуются тем, что содержание предиката относит ся только к части объема субъекта (Некоторые живые существа — млекопитающие). В общих суждениях предикат относится ко всем предме там того или иного класса (Все люди смертны). 7.6. КАК СОВМЕЩАЕТСЯ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И КАЧЕСТВЕННАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СУЖДЕНИЙі В этом аспекте выделяются четыре вида суж дений: а) общеутвердителъное суждение. Это суж дение является общим по количеству и ут вердительным по качеству. Его молено за писать следующим образом: «Все S есть Р» или сокращенно «S а Р », где буква «а» — первая буква латинского слова affirmo, что в переводе означает — утверждаю; б) общеотрицателъное суждение. Это сужде ние общее по количеству и отрицательное 9•Г • ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 44 по качеству. Его логическая структура — «Ни одно S не есть р », а логическая запись — «S ep »; в) частноутвердительное суждение. Это суждение частное по количеству и утвер дительное по качеству. Его логическая структура следующая: «Некоторое S есть Р », или «По крайней мере, одно S есть Р », а логическая запись — «S ІР »; г) частиоотрицателъное суждение. Это суж дение является частным по количеству и отрицательным по качеству. Его логичес кая структура следующая: «Некоторое S не есть Р », а логическая запись — «8оР ». 7.7. КАК СУЖДЕНИЯ СООТНОСЯТСЯ МЕЖ ДУ СОБОЙ? Любые суждения по своей логической фор ме могут быть сравнимыми и несравнимыми. Сравнимыми являются суждения, имеющие одинаковые термины и различающиеся по качес тву и количеству. Несравнимыми будут сужде ния, в которых различны субъекты и предика ты. Среди сравнимых суждений нужно разли чать совместимые и несовместимые. 7.8. ЧТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ПОД ЛОГИЧЕСКОЙ СОВМЕСТИМОСТЬЮ СУЖДЕНИЙ1 я Совместимость суждений предполагает три вида отношений: 45 СУЖ ДЕН И Е — — —■ •# а) эквивалентность (полная совместимость); б) субконтрарность (частичная совместимость); в) логическое подчинение (логическое следо вание), 7.9. ЧТО ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ ЛОГИЧЕСКАЯ НЕСОВМЕСТИМОСТЬ СУЖДЕНИЙ? Логическая несовместимость имеет две раз новидности; а) противоположность (контрарпость); б) логическое противоречие (контрадикторность). 7УW КАКОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИМЕЮТ ОТНОШЕНИЯ ПОДЧИНЕНИЯ, КОНТРАРНОСТИ , СУБКОНТРАРНОСТИ И КОНТРАДИКТОРНОСТИ? а) отношение подчинения частного сужде ния общему говорит о том, что из истин ности подчиняющего суждения следует истинность подчиненного суждения, т, е» если общее суждение являемся истинным, то и подчиненное ему частное суждение тоже будет истинным; б) отношение контрарности имеет место между общеутвердительным и общеотри цательным суждениями и предполагает, что данные суждения не могут быть од новременно истинными, но могут быть од новременно ложными; O f •4 ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ - - 4и в) отношение субконтрарности между частно утвердительным и частноотрицательным суждениями говорит о том, что оба этих суж дения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными; г) отношения контрадикторности устанав ливаются между соответственно общеут вердительным и частноотрицательным суждениями и между общеотрицатель ным и частноутвердительным суждения ми и характеризуются тем, что если одно из этих суждений истинно, то другое обя зательно ложное, а если одно ложное, то другое — истинное, 7,11. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ДЕЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ПО МОДАЛЬНОСТЯМ? Модальностями называются свойства, харак тер или модусы суждений, характеризующие их возможность, необходимость, допустимость и т. и. Таким образом, понятие «модальности» мож но определить как способ указания на характер осуществления того, о чем говорится в суждении. Этот характер может быть необходимым, воз можным, случайным, обязательным, определя емым в связи с условиями причинности, времен ной и иной обусловленности. Различаются алетические модальные суждения: «Необходимо S есть Р », «Возможно, S естьР »; деонтические мо дальные суждения, где в качестве модусов ис- 47 СУЖ ДЕНИЕ »— 9 1 •» пользуются такие модальности, как «обязатель но», «разрешено», «запрещено» и «безразлич н о»; аксиологические модальности — «хорош о», «п л охо»; іпемпоралъныемодальности — «рань ш е», «позже», «одновременно». Алетические мо дальности предназначены для объяснения суж дений, в которых речь идет о каузальной (при чинно-следственной зависимости). Деонтичес кие модальности характеризуют отношения д о лженствования, нормативной причинности, уре гулированности отношений с помощью правил и предписаний. Аксиологические, или ценност ные модальности — оценочный аспект должен ствования. Темпоральные модальности квалифи цируют временную упорядоченность явлений, отношений, свойств и действий. 7.12, КАКИЕ СУЖДЕНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ СЛОЖНЫМИ? Сложные суждения образуются из простых с помощью соединительных союзов. Ими служат конъюнкция (союз «и »), дизъюнкция (сою з « или » ), импл икация (связка типа « если... то...» ) и эквиваленция («тогда и только тогда, когда»). а). Соединительные, или конъюнктивные суждения — это суждения, полученные из двух других с помощью союза «и ». Соединительное суждение будет истинным в случае, если истинными являются обе его части. Так, если А — это одно простое суждение, а В — ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 48 другое, то соединительное суждение А и В будет иметь следующую истинностную квалификацию: А в истинно истинно ложно ложно истинно ЛОЖІЮ истинно ложно АиВ истинно ложно ложно ложно б). Разделительные суждения. Есть два типа разделительных суждений: исключающе-разделителъные и неисключающеразделительные. Первые образуются с помощью связки «либо,., либо». Их называют иногда аль тернативными суждениями. Суть союза «либо — либо» состоит в том, что он соединяет несовмес тимые друг с другом суждения. Неисключающие разделительные суждения получаются из любых двух суждений при помо щи логического союза «или». Истинная характеристика этих суждений: А истинно истинно ложно ложно В истинно ложно истинно ложно либо А , либо В ложно истинно истинно ложно А или В истинно истинно истинно ложно 49 к»• б). Условные(импликативные) суждения. Условным называется суждение, которое полу чается из двух других посредством логического со юза «если..., то». Примером этого будет1суждение формы: «если А, то В ». При этом А называется ан тецедентом суждения, а В — его консеквентом. Истинностную квалификацию такого сужде ния можно представить следующей таблицей: А В истинно истинно ложно ложно Если А, то В истинно ложно истинно ложно истинно ложно ложно истинно г). Суждения эквивалентности. Суждением эквивалентности называется суждение, которое получено из двух любых суж дений при помощи логического союза «тогда и только тогда, когда». Об истинностной квалификации суждения экви валентности можно судить по следующей таблице: А истинно истинно ложно ложно В А истинно ложно истинно ложно тогда и только тогда, когда В истинно ложно ложно истинно 9 f ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 50 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1 *ЧТО ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ? Определение — это логическая операция, посредством которой, во-первых, раскрывается содержание некоторого понятия, во-вторых, опи сывается или уточняется значение какого-то сло ва или термина и, в-третьих, некоторый предмет (объект) характеризуется таким способом, кото рый позволяет его отличать от других предметов* В научной практике чаще всего определение представляет такую познавательную операцию, с помощью которой значение неизвестного в дан ной научной теории термина определяется через значение уже известного. 8,2. КАК М О Ж Н О КВАЛИФИЦИРОВАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРОЦЕДУР МЫШЛЕНИЯ? Процедуру определения в широком смысле мож но квалифицировать как особого рода логический мысленный прием, позволяющий отыскать, уточ нить, эксплицировать, разъяснить значение поня тия (знакового выражения вообще) в том или ином языке (системе понятий, обозначений, символов) r t 'У 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ — — — I ■ ................................................................. I I ...................................... 9 / • • либо расширить принимаемый нами язык за счет введения нового понятия (знакового выражения). 8.3. НАН М О Ж Н О ПРЕДСТАВИТЬ СЕБЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ В ВИДЕ СУЖДЕНИЯ? Определение представляет собою формулиро вание суждения субъектно-предикатной струк туры, где на месте определяемого ( дефиниендума) — субъект суждения, а на месте предиката ( дефиниенса) — определяющее. Нужно иметь в виду, что определяемое — это значение терми на, которое требуется уточнить, а на месте опре деляющего — то, с помощью чего такое уточне ние осуществляется. Более точно говоря, определяемое — это вы ражение или понятие, смысл и значение кото рого неизвестны, и их требуется эксплициро вать, уточнить. Определяющее — это та логичес кая единица (некоторое выражение), смысл к о торой известен и служит для того, чтобы уточ нитъ то, что требуется в определяемом. 8.4. НАН РАЗЛИЧАЮТСЯ ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ? Двумя базовыми различиями видов определе ний являются, с одной стороны, различие между реальными и номинальными определениями, с другой — различие между явными и неявными определениями* Если определение отвечает на вопрос, какое понятие обозначается тем или f й« ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — ...... ... — .......... 52 иным именем, то это номинальное определение. Особенность номинального определения в том, что в нем раскрытие содержания понятия не свя зано с указанием на соответствие этого понятия с действительностью, т. е. на то, что понятие яв ляется не пустым. Языковой формой номинально го определения является имя. Так, «баба-яга» — имя и понятие. Реальное определение связано с указанием на предмет независимо от контекста его использования. Например, «Ведьма — персо наж русских народных сказок». Здесь сказки яв ляются реальным (в данном случае) контекстом. Явные и неявные определения различаются в зависимострі от своей структуры, реальные и номинальные определения — в зависимости от выполняемых определением функций, т. е. в за висимости от того, что определяется: значение понятия или сам предмет. Явные определен ия содержат прямое указание на сухцественные признаки определяемого поня тия; определяемое и определяющее в них выраже ны четко и однозначно. Точнее, в суждении, выра жающем явное определение, присутствует и субъ ект (определяемое), и предикат (определяющее). Например, «Дактиль —трехсложная стопа стихос ложения с ударением на первом слоге». Неявные определения не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установ лено через некоторый контекст. Так, примером неявного определения будет следующая харак- 53 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ч Г теристика: «Правилом вывода называется логи ческая операция, принимаемая в той или иной логической системе, позволяющая корректным образом преобразовывать одни логические фор мулы в другие». Номинальным называется определение, посредством которого формулируется в явной форме значение уже имеющ егося понятия и у с танавливается содержание вновь вводимого по нятия. Новое понятие вводится как сокращение для более сложного выражения. Это означает, что номинальное определение имеет дело с языковы ми объектами. Так, понятие дедукции можно номинально определить как выведение, исходя из этимологии значения этого слова. Реальное определение понятия дедукции связано с указа нием на те реальные логические процедуры, с помощью которых эксилицируется это понятие: доказательство, вывод, логическое следствие. Реальное определение специфицирует, т. е. дает однозначное отличие интересующего иссле дователя предмета (объекта) от других объектов в данной области исследования. Это означает, что ре альное определение имеет дело не со словами, тер минами и понятиями, а с реальными предметами. 8.5. М ОЖ Н О ЛИ РЕАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕВЕСТИ В НОМИНАЛЬНЫЕ И НАОБОРОТ? Если допустить, что мы можем поименовать все предметы, т. е. всем предметам дать имена и О f »і ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -------------------------------------------- ------------- 54 обозначения в строгом соответствии с теорией именования и обозначения, то такая процедура возможна. Например, если имеется реальное оп ределение типа «Треугольник есть геометричес кая фигура на плоскости, ограниченная тремя в з аимопересекающим ися линиями, сумма внут ренних углов которой есть 180 градусов», то дан ное определение можно сформулировать как но минальное: «Треугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимопересекающимися прямыми, с суммой внутренних углов 180 градусов». 8.6. КАКИЕ ЕЩ Е ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ МОЖ НО ИСПОЛЬЗОВАТЬТ В числе неявных определений нужно ука зать на контекстуальные определения и индук тивные определения. Первыми можно назвать такие определения, в которых использование того или иного термина (понятия, знакового вы ражения) выясняется в совокупности терминов и суждений, являющихся контекстом исследу емого термина. Такие определения используют ся тогда, когда смысл или значение неизвестно го термина выясняется из смысла прочитанного или использованного контекста, словаря, теории, системы базисных понятий. Индуктивными называются определения, которые позволяют из исходных объектов теории путем применения к ним конкретных определе- __ ОПРЕДЕЛЕНИЕ О f О5 ' л■ .... і аа ний получать новые объекты. Таковы определе ния натурального числа в математике. 8.7. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ АКСИОМАТИЧЕСКИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ? Если определения понятий даются посред ством исходных понятий некоторой теории че рез ее аксиомы, то мы имеем дело с аксиомати ческими определениями. Они, как правило, за даются таким образом, что в некоторой теории отдельные положения выбираются в качестве базисных, основополагающих. Такие положения называются аксиомами или постулатами. Их не требуется каждый раз заново доказывать. Из них с помощью заранее оговоренных правил вы водятся другие предложения, называемые тео ремами. 8.8. КАКОВА ОСОБЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ЧЕРЕЗ РОД И ВИДОВОЕ ОТЛИЧИЕ? Такое определение содержит в себе указание на класс предметов, среди которы х требуется выделить определяемый предмет, и на признак, посредством которого он выделяется из данного класса. Сущ ность рассматриваемого вида определе ния состоит в указании на ближайший род, ви дом которого выступает определяемое в данном случае понятие, и видообразующий признак, О f ;• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ --------------------------------------------------------------------------------- 56 которым, как известно, определяемый вид отли чается от других видов данного рода. Примером этого может быть определение типа «Астрономия — это наука о звездах». Здесь слово «наука» является ближайшим родом, а выраже ние «о звездах» — видообразующим признаком. Процесс определения через род и видовые от личия распадается как бы на два этапа. На первом происходит подведение определяемого понятия под более широкое по объему понятие. Причем, надо обратить внимание на то, чтобы выбирался не всякий род, а именно ближайший. На втором эта пе отыскивается признак, отличающий данное понятие от других понятий того же рода. Таким признаком служит видообразующий признак. 6.9. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ГЕНЕТИЧЕСКИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ? Генетическое определение представляет со бою разновидность определения через род и видо вые отличия. Им называется определение пред мета (понятия) путем указания на способ, каким образуется только данный предмет (понятие) и никакой другой. Пример подобного определения: «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полуокружности вокруг диаметра». 8.W . ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ОПЕРАЦИОНАЛЬНЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ? Операциональные определения являются разновидностью генетических. Отличие их в том, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 f 57 что в них дается алгоритм действий, которые необходимо осуществить, чтобы охарактеризо вать те или иные понятия. Так, чтобы начертить окружность, нужно закрепить нить в точке, на зываемой центром, и грифелем, закрепленным на нити на расстоянии от центра, называемом ра диусом, прочертить сплошную линию. 8.11. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ЧЕРЕЗ АБСТРАКЦИЮ ? Каука такова, что в ней часто используются идеальные или абстрактные объекты. Определе ния, связанные с выделением такого типа объ ектов через установление между ними отнош е ний равенства, равнозначности, тождества, по лучили название определений через абстракцию. Примером этого может быть определение от ношения равенства К: 1) отношение R рефлексивно в некоторой об ласти D; xR x; 2) отношение R симметрично в области D; из того, что xR x, следует, что yRx; 3) отношение R транзитивно в области D; из того, что xRy и eR x, следует, что xR z. 6.12. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ОСТЕНСИВНЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ? Собственно говоря, остенсиеное определение является внелогическим. Оно состоит в указании на предмет и его именовании (назывании). На пример: «Это стол». ^ f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 58 8.13. КАКИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПРЕДЪЯВЛЯЮТСЯ К ПРАВИЛЬНО (КОРРЕКТНО) СФОРМУЛИРОВАННЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЯМ} К числу таких требований можно отнести сле дующие: литературные* фактические и логические. Под литературными требованиями имеется в виду то, что определение должно быть как мож но более ясным, четким, исключающим метафо рические, фигуральные выражения. Иначе го воря, смысл слов, терминов и понятий, исполь зуемых в определениях, должен быть достаточ но ясным для того, кто их использует и кому они адресованы. Не являются определениями такие выражения: «Искусство — это школа жизни», «Вера — это эманация души». К фактическим требованиям нужно отнести то, что квалификация определяемого (дефиниендума) должна совершаться точно по существен ным признакам, а уточнение, экспликация и по яснение введенного термина в некоторый язык теории должны осуществляться через термины, значения и смыслы которых уже достаточно про яснены, более ясны и понятны, чем значение уточняемого понятия или термина. 8.14. КАКИЕ ТРЕБОВАНИЯ КОРРЕКТНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСЯТСЯ К ЛОГИЧЕСКИМ? К ним относятся следующие требования кор ректности определения как логической процедуры: 59 —. ... II I ..... ОПРЕДЕЛЕНИЕ ........ — 9 f aa 1 * Требование в заимозаменимости (соразмернос ти). Оно гласит, что в явных определениях определяемое и определяющее должны быть взаимозаменимы в любых стандартных кон текстах (по отношению к номинальным опре делениям). В реальных определениях речь идет о соразмерности, равнообъемности опре деляемого и определяющего. 2. Правило запрета порочного круга, говорящее о том, что дефиниендум и иные выражения, определенные посредством этого термина, не должны встречаться в дефиниенсе, т. е. опре деляющее, в свою очередь, не должно харак теризоваться через определяемое. 3. Определение не должно быть отрицательным: в определяющем должны указываться какието позитивные признаки, а не отсутствие та ковых. Так, определение типа «Пальма — это растение, не растущее на Северном полюсе», не является корректным. 4. Правило некреативности, которое требует, чтобы определение не создавало определяемый предмет. Конечно, можно попытаться дать определение понятию «снежный человек», но это не будет означать, что снежный человек существует. 8.15. К ЧЕМУ ПРИВОДИТ НАРУШЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ КОРРЕКТНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ? Нарушение этих требований, как правило, приводит к логическим ошибкам. Так, нарушение ^ f ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 60 *» ' ' " . правила соразмерности ведет к тому, что опреде ление будет либо узким, либо слишком широким. В слишком узком определении объем определяюще го уже объема определяемого. Нарушение второ го правила приводит к так называемому пороч ному кругу в доказательстве, когда неизвестное определяется через неизвестное, или какой-то термин определяется сам через себя. Наруше ние правила позитивности определения приво дит к тому, что определение становится отри цательным, не характеризующим никаких по зитивных отличительных признаков предмета. Соблюдение же правил определения соответ ствует правильному логическому мышлению. 9. ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ 9.1. ЧТО ОЗНАЧАЕТ ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ? Каждый вид предметов некоторого рода пред ставляет собой нечто особенное в общем, что за фиксировано в содержании понятия. Деление понятий в этом плане представляет собой выяв ление возможных различий в составе его объема. 9.2 . КАК РАЗЛИЧАЮТСЯ ПРИЗНАКИ ПРЕДМЕТОВ? Признаки предметов можно различать по форме, по степени сложности, по содержанию, ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ 9 f бі по частоте их проявления и т. п. Так, людей различают по возрасту, внешнему виду, проф ессии, национальности, вероисповеванию и т. д. То, что может быть признано признаком разли чения в одном подходе, в другом не является ос нованием различения, т. е. основанием деления понятий. 9 3 . ДЛЯ ЧЕГО ПРОИЗВОДИТСЯ ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙі Деление понятий производится с познава тельной целью для того, чтобы выявить и выде лить все возможные виды предметов и каждый раз по некоторому определенному основанию. А это, в свою очередь, необходимо для осуществле ния систематического обзора мыслимых в поня тии предметов. К тому же, деление понятия — один из существенных этапов его развития. Про исходит обобщение, конкретизация понятия, уточнение его содержания и формы. Выбор ос нования деления зависит от той познавательной задачи, в связи с которой возникает потребность в делении понятий. 9.4 . ЧТО ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ? В каждой операции деления нужно выде лять ег о основание, делимое понятие и члены де ления* Последние представляют собой видовые *7 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ •• —........................ ■ ■ - Ь2 понятия по отношению к исходному, выделен ные по данному основанию. Каждое деление понятия является разбие нием его объема, однако не каждое разбиение некоторого класса предметов представляет собою деление понятия. По характеру оснований молено различать два вида деления понятий: деление по видоизме нению признака и дихотомическое деление. Примером деления первого вида является следующий: «Фильмы бывают короткометраж ные, полнометражные, многосерийные». Примером дихотомического деления являет ся следующее: «Фильмы бывают игровые и до кументальные» . При делении понятий по видоизменению признака в качестве основания деления выби рается тот признак, по которому образуются ви довые понятия, причем каждое видовое поня тие обладает данным признаком в той или иной степени. При дихотомическом делении в качестве ос нования деления выбирается такое, которое определяет, обладают ли видовые понятия призна ком, выдвинутым в качестве основания, или не обладают. Иначе говоря, объем делимого поня тия делится на два противоречащих друг другу понятия: А и не-А. Далее возможно, что поня тие А делится вновь на два противоречащих клас са: В и не-В. И затем снова понятие В делится на противоречивые классы С и не-С. і і ■ I... і - ■ .и . ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ 63 If 9.5. КАКОВЫ ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ ПРОЦЕДУРЫ ДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ ? Дихотомическое деление — довольно простая процедура* Это является основным достоинством данного вида деления, которое часто используется в науке и практике. Но в этой процедуре есть и не достатки. Удобство и простота определяются тем, что легко осуществляется выполнение требования соразмерности. При этой логической процедуре члены деления просто исключают друг друга. Но дихотомическое деление предполагает прямой путь, по которому можно дойти до единичных по нятий, а при их получении деление заканчивает ся. Неудобство же связано с тем, что объем отри цательного члена деления более не раскрывается. 9.6. КАКОВЫ ТРЕБОВАНИЯ КОРРЕКТНОСТИ ДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ ? При проведении процедуры деления понятий необходимо выполнять пять основных правил: 1. Деление должно происходить по одному оп ределенному основанию. 2* Члены деления должны быть попарно несо вместимы* Это означает, что члены деления не должны иметь общих элементов или быть соподчиненными понятиями. 3. Деление должно быть соразмерным* Члены де ления как классы должны полностью исчерпы вать объем исходного понятия, т* е. совокупный 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ і . ■ і — ■ ■ іl ■ ■ ■ ■ ■ 04 объем членов деления должен быть равен объ ему делимого понятия. 4. Никакой из членов деления не может быть пустым классом. 5. Деление должно быть непрерывным, а все чле ны являться ближайшими видами объема ис ходного понятия, выделенными по выбран ному основанию. 9.7. КАКИЕ ОШИБКИ ПРОЦЕДУРЫ ДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮТСЯ1 Эти возможные ошибки чаще всего связаны с нарушением тех или иных правил. Так, нару шение первого правила ведет к ошибке «смеше ние оснований». Нарушение второго правила при водит к тому, что члены деления не исключают друг друга. Нарушение третьего и четвертого правил называется несоразмерным делением. При этом деление может быть или слишком уз ким, или слишком широким. Нарушение пятого правила называется скачком в делении. Первая ошибка может быть проиллюстриро вана так: искусством являются балет, живопись, искусство общения. Вторая ошибка приводит к следующему делению понятий: «Дроби бывают десятичными, правильными, неправильными». Ошибка третьего рода связана с тем, что члены деления не исчерпывают объем делимого поня тия: «Войны бывают освободительными, спра ведливыми и мировыми». ТРАДИЦИОННАЯ 05 — . . . . ЛОГИКА - 9/ и • 10. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА: АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИЛЛОГИСТИКА 10.1 .К А К О Й ХАРАКТЕР ЛОГИЧЕСКОЙ СВЯЗИ М ЕЖ Д У ПОСЫЛКАМИ И ЗАКЛЮЧЕНИЯМИ ИЗУЧАЕТСЯ В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ? Известно, что одна из главных задач логики — изучение стандартов корректности разных рассуждений. Мышление человека, выражающееся последовательной связью суждений в рассужде ниях, имеет понятийный характер. В суждени ях устанавливается логическая связь между по нятиями, а некоторая последовательность таких суждений и образует рассуждения. Эта связь и может быть названа следованием, или выводи мостью. Иначе говоря, одно суждение, к которому приходят в результате рассуждения, следует из другого или других суждений, которые лежат в основе и оказываютсяисходными в рассуждении. Исходя из характера логической связи меж ду посылками (суждениями, в которых содер жится известная исследователю информация о предмете рассуждения), можно выделить, по крайней мере, три вида рассуждений: от общего к частному, от частного к общему и от частного к 3. Зак. і * 189 f 0 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 66 частному. Рассуждения первого типа называют ся дедуктивными. Именно они и изучаются в традиционной логике. о а I . ■ I I I I і ■ ..................... .... ■ — 10.2. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УМОЗАКЛЮЧЕН Ш М И В ЛОГИКЕ ? Умозаключениями принято называть логичес кие модели рассуждений. Среди них выделяются два вида: непосредственные и опосредованные. Непосредственные умозаключения содержат одно суждение в качестве посылки и одно в качестве заключения или вывода. Опосредованные умозак лючения содержат в себе более чем одну посылку. 10.3. КАКОВЫ РАЗНОВИДНОСТИ НЕПОСРЕДСТВЕННЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ? Среди них выделяются следующие: умозак лючения по логическому квадрату, умозаклю чения модальности, умозаключения превра щения, умозаключения обращения и умозак лючения по противопоставлению предикату. 10.4. ЧТО ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО ЛОГИЧЕСКОМУ КВАДРАТУ? В этом виде умозаключения также выделя ются разные виды. 1 „ Умозаключение противоречия основывается на законе исключенного третьего, согласно 67 ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА f которому если утверждение чего-либо истин но, то отрицание этого ложно, и наоборот. Умозаключение противоречия позволяет уста навливать отношения между суждениями типа А (общеутвердительные суждения) и О (частноутвер дительные суждения), Е (общеотрицательные суждения) и I (чаетноутвердительные суждения). Логические правила позволяют устанавли вать истинность разных суждений. Допустим, требуется установить истинность общеотрица тельного суждения. Это можно сделать, если удастся установить ложность частноутвердитель ного суждения. Истинность частноотрицательно го суждения устанавливается при выявлении ложности общеутвердительного суждения. Так, общеутвердительное суждение «Все люди смер тны» находится в отношении противоречия к частно отрицательному суждению «Некоторые люди бессмертны». 2. Умозаключение противоположности такте основано на логическом квадрате. Выводом такого умозаключения является ложное суж дение. Истинного вывода здесь быть не мо жет, так как противоположные суждения могут быть ложными одновременно. В умозаключениях этого типа делается вывод либо о ложности общего суждения, либо о ложнос ти единичного суждения. Используя тот же при мер, можно проиллюстрировать противополож ность между суждениями типа: «Все люди смерт ны» и «Ни один человек не является смертным». з* ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 68 3* Умозаключение подчинения позволяет полу чить истинные частноутвердительные или час тноотрицательные суждения. Они следуют из истинности соответственно общеутвердительных и общеотрицательных суждений. Из общсутвердительного суждения «Все люди смертны» по принципу подчинения следует, что «Сократ (будучичеловеком) смертен». 4. Умозаключение субконтрарности дает воз можность получить истинные частноутверди тельные или частноотрицательные сужде ния» Примером этого будут следующие суж дения: «Некоторые молодые люди являются студентами» и «Некоторые молодые люди не являются студентами»* W.5. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМИ МОДАЛЬНОСТИ? Под умозаключениями модальности подра зумеваются такие, в которых отношения между суждениями характеризуются некоторыми ло гическими модальностями, т. е. модусами необ ходимости и возможности. 10.6. КАКИЕ ПРИНЦИПЫ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ МОДАЛЬНОСТИ МОЖ НО ВЫДЕЛИТЬ? »* Можно выделить шесть основных принципов 1. Что необходимо, то действительно. 2. Что необходимо, то возможно. иУ - - .................—, ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА - О ? «■ 3. Что действительно, то возможно, 4. Что невозможно, то недействительно. 5. Что невозможно, то не необходимо. 6. Что не действительно, то не необходимо. * 10.7. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМИ ПРЕВРАЩЕНИЯ? Умозаключения превращения — это такие умозаключения, в которых изменение (превраще ние) качества суждений производится на основа нии того, что истинно суждение о принадлежнос ти субъекту либо данного предиката Р, либо про тиворечащего предикату не-Р. Примером этого может быть следующее: «Ртуть — металл» —эк вивалент суждению «Ртуть не есть неметалл». 10.8. ПО КАКИМ СХЕМАМ М ОЖ НО ПРОВОДИТЬ ПРЕВРАЩЕНИЯ СУЖДЕНИЙ? 1. 2. 3. 4. Таких схем четыре: Если S естьР, S не есть не-Р. Если S не есть Р, то S есть не-Р. Если S есть не-Р, то S не есть Р. Если S не есть не-Р, то S есть Р. 10.9. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УАЮЗАКЛЮЧЕНИЯМИ ОБРАЩЕНИЯі В умозаключениях этого типа в посылке вы раж ается зависимость между отнош ениями *} f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 70 субъекта к предикату и предиката к субъекту, т* е. зависимость между категорическими (атрибу тивными) суждениями одинакового качества, отличающимися местоположением субъекта и предиката. При этом то, что было предикатом, ста новится субъектом, а то, что было субъектом, — предикатом. В этих умозаключениях устанавли ваются соотношения, которые могут быть пояс нены следующими примерами: «Все католики — верующие», из чего следует, что «Некоторые верующие — католики» (SaP-» PiS); «Ни один атеист не является верующим» — «Ни один верующий не является атеистом» (Sep-> PeS); W .10. ПО КАКИМ СХЕМАМ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ОБРАЩЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ? Можно выделить три такие схемы: 1. Если ’Все S естьР ’, то ’Н екоторы е? есть S’. 2. Если ’Ни один S не есть Р ’, то ’Ни один Р не есть S’. 3. Если ’Некоторые S естьР’, то ’НекоторыеР есть S’. 10.1 U ЧТО ИЗУЧАЕТ СИЛЛОГИСТИКА? В силлогистике в основном изучаются опос редованные умозаключения по логическим схе мам, приведенным выше. Обоснование и разви тие силлогистики связано с именем древнегре ческого философа Аристотеля. В силлогистике выделяют ряд опосредствованных (опосредован- 71 ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА f ных) умозаключений, таких как простой кате горический силлогизм, сложные, сокращенные и сложносокращенные силлогизмы, условные, раз делительные и условно-разделительные силло гизмы. / 0 . 12. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ПРОСТЫМ КАТЕГОРИЧЕСКИМ СИЛЛОГИЗМОМ? Простым категорическим силлогизмом на зывается опосредованное умозаключение, посыл ки и заключение которого представляют собою категорические, атрибутивные суждения. Про стой категорический силлогизм включает в себя две посылки и заключение. 10.13. КАКИЕ ТЕРМИНЫ ВХОДЯТ В ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ? Термины, входящие в простой категоричес кий силлогизм, имеют особые названия. Термин, являющийся субъектом заключения, называет ся меньшим термином. Термин, являю щ ийся предикатом заклю чения, называется большим термином. Термин, присутствующий в обеих по сылках, называется средним термином. Он вы ступает в простом категорическом силлогизме в качестве посредника (опосредующего звена) между посылками и заключением. Меньший и O f И ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ --------- -------- ------- ----------------------------- ---------------- 72 больший термины силлогизма, называются так же крайними терминами. Посылка, которая содержит меньший тер мин, называется меньшей посылкой, а посылка, содержащая больший термин, называется боль шей посылкой. Так, в простом категорическом силлогизме, который имеет следующий вид: «Все планеты имеют форму шара» «Земля — пла нета» , «Следовательно, Зем ля имеет форму шара», «Имеют форму шара» — больший термин, «Планета» — средний и «Земля» — меньший. Больший термин обозначается буквой Р, средний термин обозначается буквой М, а мень ший термин — буквой S. 10.14. КАКОВА ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМА? Рассмотрим простой пример. Все планеты имеют форму шара. Земля — планета. Следовательно, Земля имеет форму шара. С учетом обозначений данный силлогизм имеет следующую логическую форму: М—Р S_— м S —Р В этой логической схеме черта отделяет по сылки от заключения и служит обозначением логического следования. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 73 *7 f 10. IS. НА ОСНОВЕ КАКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ВЫВОД ЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ ПОСЫЛОК В ПРОСТОМ КАТЕГОРИЧЕСКОМ СИЛЛОГИЗМЕt Можно назвать аксиомой простого категори ческого силлогизма следующий принцип, кото рый имеет две формулировки: 1* Все, что утверждается или отрицается отно сительно всех предметов класса, также утвер ждается или отрицается относительно к а ж дого предмета и любой части предметов этого класса. 2. Признак признака вещи есть признак самой вещи; то, что противоречит признаку вещи, противоречит самой вещи. 10.16. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ФИГУРОЙ ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМАI В зависимости от положения среднего тер мина в посылах можно выделить четыре основ ные схемы умозаключений, которые и назы ва ются фигурами простого категорического сил логизма. Первая фигура силлогизма: М Р ^ f 9С ЛОГИНА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ .... - .■ -■ 74 Вторая фигура силлогизма; Р S М м S Р Третья фигура силлогизма: М М Р S S Р Четвертая фигура силлогизма: Р М М S S Р 10.17. КАКИМ ПРАВИЛАМ ПОДЧИНЯЕТСЯ ПЕРВАЯ ФИГУРА СИЛЛОГИЗМАІ Нужно иметь в виду два основных правила первой фигуры: 1) Большая посылка должна быть общим сужде нием. 2) Меньшая посылка должна быть утвердитель ным суждением. 75 ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 10.18. КАКОВЫ ПРАВИЛА ВТОРОЙ ФРГУРЫ СИЛЛОГИЗМА! Таких правил тоже два: 1. Больш ая посылка должна быть общим суж дением. 2. Одна из посылок должна быть отрицательным суждением. 10.19. КАКОВЫ ПРАВИЛА ТРЕТЬЕЙ ФИГУРЫ СИЛЛОГИЗМА! Нужно указать, по крайней мере, на одно правило: меньшая посылка должна быть утвер дительным суждением. 10.20. КАКИЕ ПРАВИЛА ХАРАКТЕРНЫ ДЛЯ ЧЕТВЕРТОЙ ФИГУРЫ СИЛЛОГИЗМА? Таких правил три: 1. Если одна посылка отрицательная, то боль ш ая посылка — общее суждение. 2. Если большая посылка — утвердительное суждение, то меньшая — общее суждение. 3. Если меньшая посылка — утвердительное суж дение, то заключение — частное суждение. 10.21. КАКОВЫ ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМА? Известно семь таких правил: 1. В силлогизме должно быть три и только три термина. 9Г ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 76 •е 2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. 3. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен и в заключении. 4. Из двух посылок простого категорического силлогизма хотя бы одна должна быть обяза тельно утвердительным суждением, иными словами — из двух отрицательных посылок заключение с логической необходимостью не следует. 5. Если одна из посылок — частное суждение, то и заключение должно быть частным. 6. Если одна из посылок — отрицательное суж дение, то и заключение должно быть отрица тельным. 7. Одна из посылок простого категорического силлогизма должна быть общим суждением, другими словами — из двух частных сужде ний с логической необходимостью не следу ет никакого заключения. 10.22. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ М О Д УСО М СИЛЛОГИЗМА? В зависимости от логических схем рассуж дений (фигур простого категорического силло гизма) и характера суждений, входящих в качес тве посылок и заключений в умозаключения (общеутвердительных — А, частноутвердитель ных — I, общеотрицательных — Е, частноотри цательных — О), в зависимости от распределе ния терминов в посылках можно сформулировать ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 77 f более двухсот логических схем, модусов, из ко торых 19 модусов признаны корректными. Ими являются следующие: 1 фигура: ААА, ЛИ, ЕЛЕ, ЕЮ. 2 фигура: ЛЕЕ, Л 0 0 , ЕЛЕ, ЕЮ. 3 фигура: ААІ, ЕЛО, ІАІ, ОАО, АН, ЕЮ 4 фигура: ААІ, ЛЕЕ, ІАІ, ЕЛО, ЕЮ. 10.23. КА К ПРИНЯТО О БО ЗНАЧАТЬ И Н АЗЫ ВАТЬ М О Д У С Ы П РО С ТО ГО КАТЕГО РИ Ч ЕСКО ГО СИЛЛОГИЗМ А .? Принятые символические обозначения, в соответствии с которыми первая буква обознача ет первую посылку, вторая — вторую, а третья — заключение, для удобства запоминания обоз начаются следующими именами: 1 фигура — Barbara, Celarent, Darii, Ferio. 2 фигура — Cesare, Camestres, Festino, Baroco. 3 фигура — Darapti, Disarms, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison. 4 фигура — Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison. • ff ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ^ 78 Здесь каждое слово, напечатанное курсивом, означает отдельный модус, посылки и заключе ние которого легко определить, если взять глас ные буквы. Например, Barbara означает модус фигуры 1, в которой обе посылки и заключение суть ААА (т. е. все являются общеутвердитель ными суждениями). Celarent означает модус ЕАЕ, в котором первая посылка — общеотрицательное суждение, вторая посылка — общеутвер дительное суждение и заключение —общеотри цательное суждение. 10.24. КАКИМ ОБРАЗОМ ПРОВОДИТСЯ ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ СИЛЛОГИЗМОВ? Проверка силлогистического умозаключения сводится к установлению фигуры и модуса сил логизма, и в том случае, если этот модус совпа дает с правильным модусом данной фигуры, за ключение силлогизма с логической необходи мостью следует из посылок. Рассмотрим пример: Все адвокаты — юристы. Некоторые адвокаты — шахматисты. — Сле довательно, некоторые шахматисты — юристы. Установим фигуру силлогизма: М -Р ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 79 f Определим модус: АЛ. Это третья фигура, модус — Datisi. Этот модус является правильным модусом, следовательно, рассуждение, приведен ное выше, по этой фигуре силлогизма и данному модусу является корректным. А это означает, что заключение с логической необходимостью сле дует из посылок. СЕМ АІШ ІЧЕСКАЯ ТА БЛ И Ц А Д Л Я КОНЪЮ НКЦИИ А В Аа В и и и л и л л и л л л л СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТАБЛ И Ц А Д Л Я ДИ ЗЪ Ю Н КЦ И И АѵВ А В и и и и л и л и и л л л *}оеf ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ' і ... ■ і ■ 80 СЕМ АН ТИ ЧЕСКАЯ Т А Б Л И Ц А Д Л Я И М П Л И К А Ц И И А В А—>В и и и л и и л л л л и л СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТА Б Л И Ц А Д Л Я ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А В А нВ и и и л и л л и л л л и 11. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 11.1. ЧГО НАЗЫВАЕТСЯ СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ? Символическая логика — это современный этап в развитии формальной логики. Формиро вание этого этапа началось с середины прошлого столетия. Название «символическая» логика СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА *f f 81 ------- ------•• объясняется применением специальных форма лизованных языков. 11.2. В ЧЕМ ОСОБЕННОСТЬ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВт Формализованные языки являю тся искус ственными. Они строятся таким образом, что вмес то союзов типа *и\ ’и л и \ ’если... то...% ’неверно, что...* вводятся так называемые пропозициональ ные операторы, обозначаемые соответствующими символами. В результате высказывания представ ляются в формализованном языке в виде некото рых формул, для анализа истинностных характе ристик которых можно применять точные логи ческие, в том числе и математические методы. В силу этого символическую логику называют фор мальной логикой или математической логикой. 11.3. КАК СТРОИТСЯ СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА? Символическая логика представлена различ ными теориями, которые, в свою очередь, обра зуют различные дедуктивные системы, называ емые логическими исчислениями. Системы это го рода состоят, как правило, из двух частей: 1) семантическое (логически содержательное) ис следование отношении между высказываниями; 2) синтаксическое (логически формальное) опи сание принятых в системе правил вывода, методов построения доказательств. f •• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ' 82 11.4. В ЧЕМ ВЫРАЖАЕТСЯ ДЕДУКТИВНЫЙ ХАРАКТЕР ЛОГИЧЕСКИХ ИСЧИСЛЕНИЙ7 Дедуктивный характер логических исчисле ний состоит в том, что в них выделяются некото рые исходные постулаты (логические аксиомы, пра вила вывода, логические законы) и указываются способы выведения из них всех остальных, про изводных от них логических закономерностей, 11.5. ЧТО В ЛОГИКЕ НАЗЫВАЕТСЯ ТЕОРИЕЙ МОДЕЛЕЙ И ТЕОРИЕЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В СИАШОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕf В современной логической литературе семан тику принято называть теорией моделей, а логи ческий синтаксис — теорией доказательств. 12. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (пропозициональная логика или элементарная логика) 12. UHA БАЗЕ КАКОГО ЕСТЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА СТРОИТСЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ? *1 Логика высказываний — это раздел совре менной символической логики. Она строится на основе такого фрагмента естественного язы ка, который представлен множеством простых по вествовательных предложений. It ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 83 12.2. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ВЫСКАЗЫВАНИЕМ? СООТВЕТСТВУЕТ ЛИ ВЫСКАЗЫВАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЮ ЕСТЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА? ' Высказывание — не синоним простого по вествовательного предложения. Любое предло жение может иметь различную грамматическую форму. Высказывание же — это логический смысл предложения. Например, есть два пред ложения: «Два меньше трех» и «Три больше двух». Грамматически это разные (по своему строению) предложения естественного языка, но это одно и то же высказывание, ибо логический смысл в них один и тот же, смысл, который фик сирует отношение неравенства между двумя на туральными числами 2 и 3. 12.3. КАКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ (АТОМАРНЫМИ)? Элементарными (атомарными) называются такие высказывания, которые нельзя расчле нить на составные части без ущерба к выражае мому ими смыслу. 12.4. КАКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ СЛОЖНЫМИ? Сложные высказывания составляются из элементарных при помощи операторов (логичес ких союзов). *} f •в ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — ■■ ' ■ 84 12.5. В КАКОМ СМЫСЛЕ В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ УПОТРЕБЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ1 Под переменной (вернее, под предметной пе ременной) в символической логике понимается пустая ячейка, «окошечко», на место которого может быть подставлено любое значение терми на, имени, указание на предмет из выбранной предметной области или области интерпретации. 12.6. ЧТО ВКЛЮЧАЕТСЯ В ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? Язык логики высказываний — это искус ственный язы к, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний, их условий истинности, способов вывода одних высказываний из других. Алфавит языка логики высказываний содер жит три категории символов: 1. Пропозициональные буквы (пропозициональные переменные) р , q, г, s, t, pi, ql, rl, s i , tl, p 2, q2, и t . д . 2. Логические операторы: л ( V ) — конъюнкция; v (’или’) — дизъюнкция; 1 (’неверно, что...’) — отрицание; —> (’если... то... ’) — импликация; (’если и только если’) — эквиваленция. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 85 *7 ? 12.7. КАК ЗАПИСЫВАЮТСЯ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? Выражение ’Неверно, что А’ имеет вид: 1 А. Выражение ’А и В’ имеет вид: А л В. Выражение ’А или В’ имеет вид: А ѵ В. Выражение ’Если А, то В’ имеет вид: А - а В. Выражение ’А эквивалентно В’ имеет вид: А<^ В, 12.8. ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД СЕМАНТИЧЕСКИМИ ТАБЛИЦАМИ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? Семантические таблицы устанавливают отно шения истинности разных высказываний. Это видно при анализе соответствующих таблиц, в которых значение «истина» будет обозначаться буквой «и», а значение «ложь» будет обозначать ся буквой «л». СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ДЛЯ ОТРИЦАНИЯ А и л не-А л и ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 86 СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ДЛЯ ОТРИЦАНИЯ А В А еВ и и л л и л и л и л л и 12.9. ЧГО НАЗЫВАЕТСЯ В Х О Д О М И ВЫХОДОМ ФОРМУЛЫ1 Входом логической формулы, например, фор мулы А В является набор всех возможных ком бинаций истинностных значений переменных, составляющих эту формулу, а выходом формулы называется распределение истинностных значе ний этой формулы в соответствии с тем, какой логический оператор или какие логические опе раторы использовались. 12.10. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИСТИННОСТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ? Рассмотрим для примера логическую форму ла следующего вида: (А -> (В -> А) Прежде всего распишем интерпретации под пропозициональными переменными: ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ f (А -^ (В - А) и и и и л и л и л Теперь определим значение истинности, полу ченное с помощью соответствующих пропозицио нальных операторов, памятуя о том, что скачала выполняются лохліческие действия в скобках: ( А —» (В —» А). и ии и и лии л и л л л лил Для получения значения истинности всего высказывания сравним значение истинности антецедента А с уже полученными значениями истинности консеквента В —»А; А —» (В —»А) и и и и и и л и л л и и Итак, на выходе формулы, в результирующем У ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 88 ее действии она имеет во всех строках значение «истинно»* Такая формула называется общезна чимой или логической тавтологией. 11.11. КАКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВА НИЙ НАЗЫВАЮ ТСЯ ТОЖ ДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМИ ИЛИ ЛОГИЧЕСКИМИ ПРОТИВОРЕЧИЯМИ? Рассмотрим следующую логическую форму лу, где цифрами обозначен порядок логических операций, соответствующих следующим при нципам: а) сначала выполняются действия в скобках; б) затем действия более слабых логичес ких операций, субординация которых представ лена следующим образом в порядке убывания силы;,,, и; в) если формула включает в себя оди наковые операторы, то действия выполняются в обычном порядке слева направо. 4 ((А л ии ии иЛ иЛ лЛ л Л лЛ лЛ 5 В) и и и Л Л и Л и и и и и Л и Л и 3 6 2 1 С) л (А л 1(В А ІС)) и Л и Л и Л ЛИ Л Л и и и и ИЛ и Л и Л Л Л ЛИ Л Л и Л Л Л ИЛ и Л Л Л и Л ЛИ Л Л Л Л и и И Л и Л Л Л Л Л ЛИ Л Л Л Л Л Л ИЛ 89 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ ^ ? 1 ...... *я» На выходе формулы в действии 6 во всех стро ках имеется только значение «ложь». Такая фор мула называется тождественно ложной или ло гическим противоречием. 12.12. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ВЫПОЛНИМОЙ ФОРМУЛОЙ? Выполнимой формулой называется логичес кая формула, которая на выходе имеет хотя бы одно значение «истинно». 12.13. В ЧЕМ ВЫРАЖАЕТСЯ М ЕТОД СОКРАЩЕННЫХ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ? Метод полных семантических таблиц является надежным, но недостаточно эффективным из-за их громоздкости. Так, число строк значений истиннос ти на входе формулы определяется как 2 в степени п, где п — число переменных. Если формула вклю чает в себя три переменных, то число строк — 8, если 4 — 16, если 5 — 32 и т. д. Сокращенные таблицы позволяют избежать этой громоздкости. Проиллюс трируем это на примере сложного высказывания, разбирая ход рассуждений по шагам. Пусть для анализа представлена формула следующего вида: ((Л л В) —» С) —»(А —> (В -» С» л 1. Ход рассуждения называется рассуждени ем от противного, т„ е. допускается, что эта *f f U ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ------------------------------------------------------------------------ 90 формула не является истинной т. е. на выхо де она дает значение «ложь», что и обозначе но соответственно буквой «л», 2. Это высказывание, представляющее собой импликацию, может дать на выходе значение «ложь» только при одном условии, когда ан тецедент этого сложного высказывания яв ляется истинным, а консеквент — ложным. Это и отметим в распределении истинностных значений формулы: ((А л Б) —» С) —^ (А —^ (В —) С)) л и л 3. Теперь рассмотрим консеквент формулы, пос кольку анализ ее антецедента пока нам ниче го дать не может* Допущение же ложности консеквента предполагает, что его левая часть является истинной, а правая — ложной. Это и отметим в распределении истинностных значений: ((А л В) —> С) —) (А —» (В —> С)) л И Л И Л 4. Аналогичным образом рассмотрим подформу лу В С консеквента, получив соответствен но следующее распределение значений ис тинности: ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 91 ((А А •....... В) —» С) (А —>(В -> с » л и л и л и л *} f •• 5. Мы уже определили значения истинности А, В и С (А — истинно, В — истинно и С — ложно). 6. Подставим одно из полученных значений (на пример, С), продолжая рассмотрение антеце дента исходного высказывания: ((А а В) -> С) -> (А -» (В -> С)) и л л ил и л л 7. Поскольку ( А а В ) ^ С есть истинная импли кация, а С в ней ложно, то ясно, что А аВ не может быть истинным, т. е. ((А а В) —» С) —> (А (В —» О ) л и л л и л илл 8. Подставим значение А, известное из ее второ го вхождения в исходную формулу, в ее пер вое вхождение: ((А а В) —> С) —> (А —> (В —> О ) ил ил л и л и л л 9. Теперь рассмотрим формулу А а В. Известно, что она является ложной, а А истинно. Но f 9 * • ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ .................................................................................. и .— ■ і ............................... і і таблице истинности определим, что В в дан ном случае должно быть ложным: ((Ал В) -> С) -> <А-> (В-> С)) ИЛ Л И Л Л и л и л л В результате мы получили: В принимает зна чение как «истинно», так и «ложно», что проти воречит интерпретации. Следовательно, исход ное предположение о том, что данное высказы вание является ложным, представляется невер ным. Значит, эта формула является общезначи мой. Описание этой процедуры и ее объяснение, на первый взгляд, является достаточно громоз дким. Но на самом деле все ходы рассуждения, объединенные в одну логическую схему, явл я ются краткими и имеют следующий вид: ( (Ал В) -> С) (А -> (В С)) л И Л л л и л и л 93 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ f 12.14. КАКИЕ ТЕОРЕМЫ СЧИТАЮТСЯ ОСНОВНЫМИ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? Таких теорем несколько. Прежде всего это теорема о правиле отделения. Она звучит так: Если общезначимо высказывание (формула) А - » В ее общезначима А, то общезначима В* Пра вило отделения называют также правилом «Mo dus ропепв» (модус поненс). (Здесь не приводятся доказательства этих теорем, они излагаются в ряде учебников). Теорема о замене: Пусть А(в) означает формулу А с выделенным вхождением подформулы В в нее, а А (в)+ — фор мулу, которая получается из А заменой выделен ного вхождения В в А на формулу В -К Тогда, если В эквивалентно В+, то А (в) эквивалентно А (в)-К На основании этой теоремы вводится правило эквивалентностной (равносильной) замены, разре шающее в сложной формуле А выделенное вхожде ние подформулы В заменять равносильной форму лой. Правило замены позволяет в значительной сте пени упрощать сложные логические формулы и сво дить их к формулам с более простой структурой. 12.15 . ЧТО В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ НАЗЫВАЕТСЯ МЕТОДОМ ПРИВЕДЕНИЯ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕТ Чтобы ответить на этот вопрос, требуется неко торый список эквивалентностных преобразований, О I ЛОГИКА 8 ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ «• ---------------------- -------------------------------------------------- 94 причем И будет обозначать тождественно истин ную формулу, а Л — тождественно ложную. Вы сказывания, помещенные в этом списке, будем называть правилами или законами. 1 . А « -> В ( А —» В ) л ( В —> С ) 2 . А™ » В - о 1 А ѵ В 3. А ѵ В ^ В ѵ А -^ за к о н ы к ом м утати в н ости 4. А л В ^ В л А 5. ((А ѵ В ) ѵ С ) А ѵ (В ѵ С) законы !> (А л В ) л С ^ А л (В л С ) I а ссо ц и а т и в н о ст и 7. А ѵ (В л С )< -К А ѵ В )л (А ѵ С ) 8. 4 А ѵ (В л С )< -> (А л В )ѵ (А л С )( за к о н ы д и ст р и б у ти в н о сти 9. А ѵ А = А 1 0 . А л и<-> А 111 А ѵ и н и 1 2 . А л л <-> л 13. А ѵ 1 А ^ и 1 4 . А л 1 А < -> л 15 .1 1 А ^ А 1 6 .1 (А ѵ В )^ (І А л 1 В ) 17.1 (А л В) ІА V 1в — за к о н ы де М о р га н а 95 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ ■■ f *• 12.16. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ КОНЪЮНКТИВНОЙ НОРЛШІЬНОЙ ФОРМОЙ? Формула А сведена к в конъюнктивной нор мальной форме, если она имеет вид Вт В2..... Вгі, где п—1, а каж дая А :......Ап есть конъю нкция простых (элементарных) формул. 12Л7. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ДИЗЪЮНКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМОЙ? Формула А находится в дизъюнктивной нор мальной форме, если и только если она имеет вид Вх В2..... Вп и каж дая Аі — есть дизъю нкция элементарных формул. 12.18. ДЛЯ ЧЕГО ПРИМЕНЯЮТСЯ СВЕДЕНИЯ К КОНЪЮНКТИВНОЙ И ДИЗЪЮНКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ? Преобразование формулы в конъюнктивную нормальную форму помогает установить общез начимость сложного высказывания, а преобра зование в дизъюнктивную нормальную форму — выявить противоречивость сложного высказыва ния. ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ Й6 12.19. КАКОЙ АСПЕКТ ЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ В ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ? Логическая теория доказательств предпол агает построение строгих доказательств путем непротиворечивых преобразований исследуемых формул. Этот метод в логике высказываний яв ляется эквивалентным (равно-значным) выявле нию общезначимости формул. 12.20. КАК СТРОЯТСЯ ЛОГИЧЕСКИЕ ДОКАЗА ТЕЛЬСТВА? Логические доказательства в логике выска зываний строятся аксиоматическим методом. 12.21. ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ АКСИОМАМИ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? Эти аксиомы имеют следующий вид: А1 А —» (В -> А) А2 (А -> В) -> ((А - » (В АЗ А ч ( В ч ( А а В)) А4 (А л В) -> А А5 (А д В) -> В А6 А -> (А ѵ В) С)) -> (А -> С)) Л О ГИ КА ВЫ СКАЗЫ ВАНИЙ 97 ^ f А7 В ^ ( А ѵ В ) Л8 (А -> С )-> ((В -> С )-> ((А ѵ В )-> С )) А9 (А В) ((А -» 1 В) -> ІА ) А10 (А-> В) -» ((В -» А) (А <-> В)) А Н (А <-» В) —> (А —>В) А12 ( А « В ) - 4 ( В ч А) 12.22. КАКИЕ ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФОРМУЛ (ПРАВИЛА ВЫВОДА) ИСПОЛЬЗУЮ ТСЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ? В качестве единственного правила использу ется правило модус понеис, позволяющее от двух посылок вида А и А В перейти к заключению В. 12.23. ЧТО В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ НАЗЫВАЕТСЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ (НАТУРАЛЬНЫМ) ВЫВОДОМ? В ряде случаев затруднительным представ ляется осуществить строгое доказательство логи ческой формулы, основываясь на приведенном выше списке аксиом и правиле модус поненс. Тогда вводятся дополнительные правила вывода, которые и характеризуют систему натурального вывода. Эти правила имеют следующий вид: ІИ А, В ----------------------- в в еден и е к он ъ ю н к ц и и А лВ А. Зак. 189 f в» ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — — ------------- —і —— ---- ш АлВ А аВ уд ал ен и е к о н ъ ю н к ц и и 9 Г О П4 98 А В А В А ѵВ АѵВ А ѵ В, А -» С, В дизъюнкции 12.24и КАК ТОЧНО ОПРЕДЕЛИТЬ ПРЯМОЕ (СТРОГОЕ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО? Прямое доказательство формулы вида (АХ —»(А2 ~^вее. —»(Ап С) есть такой перечень формул, каждая из которых является: 1. Одной из формул списка Ап, принима емых в качестве допущения. 2. Формулой, полученной из других формул по одному из правил вывода. 3. Ранее доказанной формулой. Доказательство считается построенным, когда последняя формула в этом списке и есть та, которую нам требовалось доказать. ЛОГИ КА ВЫ СКА ЗЫ ВА Н И Й 99 ^ ? 12.25. КАКИМ ПРИМЕРОМ М О Ж НО Ш Л О БЫ ПРОИЛЛЮСТРИРОВАТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО? Докажем, например, формулу следующего вида: ((А -4 В) л (В -> С)) -* (А —» С) Доказательство: М А -> В )л (В -» С) — допущение 2. А —>В — удаление конъюнкции из первого до пущения 3. А -» С — допущение 4. В — модус поненс, допущения 2 и 3 5. В -» С — удаление конъюнкции, допущение! 6. С — модус поненс, допущение 4 и 5 12.26. КАКОВА ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОГИКИ ПРЕДИКАТОВ? Имеются такие рассуждения, истинность и выводимость которых не может быть установле на с помощью средств логики высказываний. Это такие высказывания, которые включают в себя выражение «все» и «некоторые». Например: Все люди смертны. Сократ — человек. Следователь но, Сократ смертен. Причина в том, что в логике высказываний сами высказывания не анализируются вглубь, с учетом их логической структуры. Они просто рассматриваются как атомарные структуры 4* ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -..... 100 логического языка, из которых с помощью про позициональных операторов образуются слож ные высказывания. Для анализа высказывании, истинность которых зависит от анализа логичес ких отношений единичности или всеобщности, и используется логика предикатов. Если в логи ке высказываний изучаются логические струк туры, предназначенные для описания свойств объектов, то в логике предикатов — такие логи ческие структуры, которые предназначены для описания отношений и функций. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ПО ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 1. Что значит определить предмет логики? 2. Что означает этимологический способ определепил предмета логики? 3. Какой смысл вкладывается в понятие логики как науки о законах мышления? 4. Что означает исторический метод в определе нии предмета логики? 5. В чем различие «содержательной» и «формаль ной» логики? 6. Что означает термин «формальная логика»? 7. Совпадает ли предмет логики с предметом фор мальной логики? 8. Каковы основные этапы формирования логи ки и одновременно ее основные разделы? 9. Какое определение предмета логики можно назвать концептуальным? 10. Что представляет собой практическая логика? XI. Каков предмет теоретической логики? 12. В каком отношении мышление является предметом логики как науки? 13. Что означает логика как нормативная дис циплина? 14. Какие грани мышления изучает логика? 15. Какое значение имеет язы к в изучении ло гики? к о н тр о л ь н ы е Е0 О во п ро сы и задания ■ ■ ■■--* ■ — ™» ^ £ ез 16. В каком отношении интерес логики к языку отличает ее от других наук, тоже изучающих язы к? 17. Существует ли какая-либо особая «логика» языка? 18. Как можно кратко определить язык? 19. Какие бывают языки? 20. Что называется естественным языком? 21. Почему логика не ограничивается использо ванием только естественного языка? 22. Что называется искусственным языком? СТРУК ТУРА И ПРАВИЛА КО РРЕКТН О ГО РА ССУЖ Д ЕН И Я И М ЫШ ЛЕНИЯ 1. Что такое фрейм знания? 2. Чему служат фреймы знаний? 3. Что такое рассуждение? 4. Какие рассуждения называются корректны ми? 5. Что называется суждением? 6. Что называется умозаключением? 7. Какова структура рассуждения? 8. Какие можно указать критерии корректности рассуждения? 9. В каких разделах логики изучаются формаль ные и содержательные критерии корректнос ти рассуждений? 10. Что означает понятие «законы логики»? 11. Каково происхождение законов мышления? О f «в ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ - ______ - ________ ____ 104 12 . В чем выражаются законы логического мыш ления? 13. Чем законы логики отличаются от законов естествознания? 14. Как формулируется закон тождества? 15. Какие предписания для правильного мыш ления содержит в себе этот закон? 16. Что означает закон противоречия? 17. Как формулируется закон противоречия? 18. Что означает логическое противоречие? 19. Чем отличается логическое противоречие от диалектического ? 20. Как формулируется закон исключенного третьего? 21. Чем закон исключенного третьего отличает ся от закона противоречия? 22. Как формулируется закон достаточного осно вания? М ЕТОДЫ ЛОГИКИ 1. Что означает термин «метод»? 2. Какие методы используются в логике? 3. Что подразумевается под аксиоматическим методом? 4. Какие преимущества имеет аксиоматически построенная теория? 5. Что означает метод формализации? 6. Какие требования предъявляются к формали зованному языку? I UО КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ I ■ — ^ f f 19 7. Какие вопросы стоят перед логической семантикой? 8. Что означает синтаксический аспект логичес кого анализа? 9. Каковы основные понятия логического син таксиса? 10* Что в логике подразумевается под интерпре тацией? 11. Как определить понятие логического следст вия? 12. Как определить понятие общезначимой логи ческой формулы? 13. Что называется выполнимой логической фор мулой? 14. Что называется невыполнимой логической формулой? 15. Как понятие общезначимости связано с по нятием логического следствия? ПОНЯТИЕ 1. Что означает определение понятия как фор мы логического мышления? 2. Каковы основные логические характеристи ки понятия? 3. Как образуется понятие? 4. Что называется регистрирующими и нере гистрирующими понятиями? 5. Чем различаются пустые и непустые поня тия? Р ЯIS ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■ 1 06 6. Что можно сказать о конкретных и абстракт ных понятиях? 7. Б чем различие между абсолютными и отно сительными понятиями? 8. Как соотносятся понятия по объему? 9. Какие отношения можно выделить между по нятиями по их содержанию? 10. Каковы языковые формы выражения понятии? XI.Какие бывают имена? 12. Каковы принципы именования? 13.Определите содержание и объем следующих понятий: планеты Солнечной системы, Зем ля, Марс, Луна, парад планет, Юпитер, лет нее солнцестояние, Солнце. 14. Определите отношения между понятиями: а) каменный дом, трехэтажный дом; б) мать, бабушка, дочь, женщина, внучка, сестра; в) пожар, молния, стихийное бедствие, яв ление природы, цунами, землетрясение. СУЖДЕНИЕ 1. В чем выражается суждение? 2. Какова логическая форма суждения? 3. Чем суждение отличается от предложения? 4. Что означает количественная определенность суждений? 5. Что означает качественная определенность суждений? 107 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ІИIIIW I — і— К М ...Г— 1.ИІ1 II — м— Д М — UN ■ 9 f 6. Как можно совместить количественную и ка чественную характеристику суждений? 7. Как суждения соотносятся между собой? 8. Что подразумевается под логической совмес тимостью суждений? 9. Что включает в себя логическая несовмести мость суждений? 10* Какой логический смысл имеют понятия контраркости, субконтрарности, контрадикторности? 11. Что означает деление суждений по модаль ностям? 12. Какие суждения называются сложными? 13. ІСакие суждения называются соединительны ми? 14. Как можно квалифицировать с точки зрения истинности соединительные суждения? 15. Какие суждения называются разделительны ми? 16. Что называется условными суждениями? 17. Какова природа суждений эквивалентности? 18. Определите вид суждения: а) «Рукописи не горят» (М. Булгаков. «Мас тер и Маргарита»); б) «Некоторые лекарства опаснее самих болез ней» (Сенека); в) «Никакая причина не извиняет невежли вость» (Т. Г. Шевченко). 19. Определите вид и логическую форму слож ных высказываний: а) «Видеть несправедливость и молчать — 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ (08 это значит самому участвовать в ней» (Ж .-Ж . Руссо); б) «Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач» (В. М. Бех терев); в) «Если желаете себе несокрушимого памят ника, вложите свою душу в хорошую кни гу» (Б. Буаст). УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Что называется умозаключением? 2. Каковы условия истинности умозаключений? 3. Охарактеризуйте умозаклю чения обраще ния, превращ ения и противопоставления предикату. 4. Что из себя представляет опосредованное умо заключение? 5. Что называется дедуктивным умозаключени ем? 6. Что называется простым категорическим сил логизмом? 7. Сформулируйте правила простого категоричес кого силлогизма. 8. Что называется фигурой простого категори ческого силлогизма? 9. Охарактеризуйте четыре фигуры силлогизма. 10. Сформулируйте четыре фигуры простого к а тегорического силлогизма схематически. 109 . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 9£ 11. Что называется модусом простого категори ческого силлогизма? 12. Сформулируйте модусы первой фигуры сил логизма. 13. Сформулируйте модусы второй фигуры сил логизма. 14. Сформулируйте модусы третьей фигуры сил логизма. 15. Сформулируйте модусы четвертой фигуры силлогизма, 16с Что называется энтимемой? 17. Что такое полисиллогизм? 18. Какие бывают полисиллогизмы? 19. Что называется разделительным умозаклю чением? 20. Что называется эггихейремой? 21. Что называется условно-категорическим умо заключением? 22. Определите фигуру и модус простого катего рического силлогизма, приведя следующие рассуждения к стандартной форме: А, Есе металлы электропроводный Некото рые жидкости — металлы, —Некоторые жидкости — электропроводны. Б. Ни одна планета не светит собственным светом, Нептун — планета, —Следова тельно, Нептун не светит собственным светом. Б. Всякий простой категорический силло гизм имеет три термина. Данное ум о заключение не имеет трех терминов. — f л» ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■ ■■ ....... МО Значит, данное умозаключение не являет ся простым категорическим силлогизмом. Г. Все адвокаты — юристы. Некоторые ад вокаты — ш ахматисты. —Некоторые шахматисты — юристы. Д. Ни одна роза не является деревом. Все розы — растения. — Значит, некоторые растения не деревья. Е. Все квадраты — параллелограммы. Все па раллелограммы — четырехугольники. — Некоторые четырехугольники — квадраты. Ж . Все кашалоты — киты. Ни один кит не рыба. —Ни одна рыба не капіалот. .......... ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 1. Переведите следующие высказывания на язык логики высказывании: A. Если он сдаст экзамен по логике, то будет переведен на следующий курс. Б. Если портной починит рукав моего пиджа ка, то я пойду на лекцию или в кино. B. Если он сдаст экзамен весной, то не будет сдавать его осенью. 2. Разберите логически следующие софизмы: А. Нельзя войти в одну и ту ж е реку. Пока будешь входить, воды реки меняются, следовательно, река изменится. Это будет уже не та же самая река. Б. Я видел портрет кого-то. Кто-то изобрел 1 1 1 - КОНТРОЛЬНЫЕ в о п р о с ы И ЗАДАНИЯ ■ -------- - ■ -----------* ^ t *• колесо. Следовательно, я видел портрет изобретателя колеса. В. Всадник не может сойти е лошади* Если он сойдет с лошади, то это будет уж е не всадник. Следовательно, не всадник, а пеший сошел с лошади. Г. Сидящий встал. Он стал стоящим. Но это один и тот же человек. Следовательно, одно и то же, что сидящий, что стоящий* Д. Нельзя съесть яйцо натощак. После того как откусишь один раз, яйцо уже не бу дет съедено натощак. 3. Сформулируйте предложения, которые, со гласно законам дистрибутивности, будут рав носильны следующим: А, Я буду завтракать, и обедать, и ужинать. Б. Число «Пи» делится на 2 или на 5 и делит ся на 2 или на 3, 4* Совместимы ли следующие высказывания: Обвиняемые А, В и С дали следующие пока зания: А: — В виновен, а С невиновен. В: — А невиновен или С виновен* С: — Я невиновен, но хотя бы один из А и В виновен. Предположением должно быть допущение, что все показания правдивы* Определите, кто же все-таки виновен? 5* Три студента — Петров, Иванов и Сидоров по лучили на экзамене три различные оценки — 3, 4 и 5. На вопрос, какую оценку каждый из 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 112 них получил, последовало три ответа: а) Иванов получил 3; б) неверно, что Петров получил 3; в) Сидоров не получил 5. Известно, что только один из этих ответов верен. Какую оценку получил каждый студент? 6. Четыре студентки, Мария, Нина, Ольга и По лина, участвовали в спортивных соревновани ях и заняли четыре первых места. На вопрос о распределении мест последовало три раз ных ответа: а) Ольга первая, Полина вторая б) Ольга вторая, Полипа третья в) Мария вторая, Полина четвертая. В каждом ответе, по крайней мере, одна часть верна. Определите распределение мест. 7. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В про цессе расследования каждый из них сделал по два заявления. Браун: Я не делал этого. Джонс не делал этого. Джонс: Смит сделал это. Браун не делал этого, Смит: Я не делал этого. Браун сделал это. Было установлено далее, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий — раз солгал и раз сказал правду. Кто совершил преступление? 8. Разрешите предыдущую задачу при условии, что каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. 113 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗА Д А Н И Я ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА АРГУМЕНТАЦИИ 1* Дайте определение тезиса, аргументов, поля аргументации. 2. Сформулируйте требования, которые предъяв ляются к тезису. 3. Сформулируйте требования, которые предъяв ляются к аргументам. 4* Как по отношениям полей аргументации можно диагностировать процесс обмена аргументами? 5. Дайте определение аргументации. 6. Что может быть опорным положением? 7. Какова предметная область аргументации? 8. Чем различаются аргументация, аргументи рование и аргументативный процесс? 9. Какие правила следует учитывать в аргумен тации? 10. Охарактеризуйте субъектный уровень аргу ментации, 11. Охарактеризуйте деятельностный уровень аргументации* 12. Какие подуровни включаются в деятельност ный уровень? 13* Определите уровень гносеологического рас смотрения аргументации. 14. Дайте логическую характеристику аргумен тации. *?f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ к —... &14 15. Сформулируйте организационный, лингвис тический, прагматический и личностно-лсихологический подходы к аргументации. 16. Охарактеризуйте логические правила аргу ментации. 17. Сформулируйте лингвистические требования к аріументации. 18. В чем выражаются фактические правила? 19- Каковы позиционные правила аргумента ции? 20- Определите начало и конец рационально построенного спора. 21. Дайте характеристику уровней анализа ар гументации: а) методический аспект, б) теоретический аспект, в) концептуальный аспект, г) практически-организационный аспект, д) праксеологическии аспект22. Дайте характеристику таких видов аргумен тации, как речь, доклад, лекция, беседа. 23. Охарактеризуйте как вид аргументации дис куссию. 24. Определите полемику как вид аргументации. 25. Опишите диспут, дебаты и прения как раз новидности аргументации. 26. Сформулируйте основные тактические при емы аргументации. 27. В чем выражается моральный кодекс спора? 28. Охарактеризуйте деловой стиль аргумента ции. г КОНТРОЛЬНЫЕ ВО П РО СЫ И ЗА Д А Н И Я * ff 29. Найдите тезис, аргументы, укаж ите способ доказательства: А. «Страсти вводят нас в заблуждение, так как они сосредоточивают все наше внима ние на одной стороне рассматриваемого предмета и не дают нам возможности ис следовать его всесторонне» (К. Гельве ций). Б. «Смерть для человека — ничто, так как, когда мы существуем, смерть еще не при сутствует, а когда смерть присутствует, тогда мы не существуем» (Эпикур). Б. «Назойлив только глупец: умный человек сразу чувствует, приятно его общество или наскучило, и уходит за секунду до того, как станет ясно, что он — лишний» (Ж . Лабрюйер). 30. Определите, какие правила доказательства нарушены в следующем разговоре Алисы и Чеширского Кота: « — Вон там, — сказал Кот и махнул правой лапой, — живет Болванщик. А там, — и он мах нул левой, — Мартовский Заяц. Все равно, к кому ты пойдешь. Оба не в своем уме. — На что мне безумцы? — сказала Алиса. — Ничего не поделаешь, — возразил Кот. — Все мы здесь не в своем уме — и ты, и я. — Откуда вы знаете, что я не в своем уме? — спросила Алиса. — Конечно, не б своем, — ответил Кот. — Иначе как бы ты здесь оказалась? О f ее ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -----------------------------, ______ Н 6 Довод этот показался Алисе не совсем убедительным, но она не стала спорить, а только спро сила: — А откуда вы знаете, что Бы не в своем уме? — Начнем с того, что пес в своем уме. Соглас на? — Допустим, — согласилась Алиса. — Дальше, — сказал Кот. — Пес ворчит, ког да сердится, а когда доволен, виляет хвостом. Ну, а я ворчу, когда доволен, и виляю хвостом, когда сержусь. Следовательно, я не в своем уме» (Льюис Кэрролл, Алиса в Стране Чудес). ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ ДЛЯ РАЗМИНКИ Задача 1. Зоом ага зи н Продавец зоомагазина уверял покупателя* что купленный им попугай будет повторять каж дое услышанное им слово. Каково же было удив ление покупателя, когда он убедился, что попу гай нем как рыба. Тем не менее продавец не лгал. Объясните это. Задача 2. Бутылка Профессор Квибл утверждает, что может поставить бутылку в центре комнаты и вползти в нее. Верно ли это? Задача 3. П р е д ск а за т е л ь Знаменитый предсказатель Урия Фуллер ут верждает, что мелеет предсказать счет любого фут больного, бейсбольного и баскетбольного матча задолго до его начала. В чем секрет предсказания? Задача 4. Ф е н о м е н а л ь н а я скор о ст ь Фрэнк хвастался: «На прошлой неделе я вы ключил свет в своей комнате и успел добраться 1 19 ЗАДАЧИ ДЛЯ РАЗМИНКИ — ................................................ < — «Л до кровати прежде чем комната погрузилась в темноту* Между тем от кровати до вык лючателя — три метра, и никакими приспособлениями я не пользовался»* Как ему это удалось? Задача 5- Болтливая дама Некая дама, ехавшая в такси, была настоль ко болтлива, что довела шофера до полного ис ступления уже через пять минут после того, как села в такси и назвала адрес, по которому ее сле довало отвезти* Шофер, не выдержав, сказал: «Прошу прощения, но я не слышу ни одного ва шего слова, ибо я глухой, к ак телеграфный столб, и к тому ж е я забыл дома свой слуховой аппарат»* Услышав это, дама смолкла. Расплатив ш ись в конце поездки, она вдруг сообразила, что шофер вовсе не был глухим. К ак она дога далась? Задача 6 * Беглый преступник Беглый преступник, идя по безлюдной местнос ти, вдруг увидел, что навстречу ему едет маш и на, битком набитая полицейскими. Преступник бросился наутек, но прежде чем скрыться в лесу, 20 метров он бежал навстречу полицейским. Он хотел этим выразить свое презрение к ним или у него были на этот счет более основательные при чины? Какие? *7 ? • • ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ............................... — и . , і — - — і 120 Задача 7, Забытый н о м е р телефона Б одной компании как-то произошел следу ющий разговор: — Нужно срочно позвонить Везли, — сказа ла Мона» Однако номера телефона Везли никто из при сутствующих не помнил. Заглянули в телефон ный справочник, но безуспешно: справочник вышел до того, как Везли приобрел телефон. Друзьям не оставалось ничего, как общими уси лиями восстановить хотя бы отрывочные данные о номере его телефона. — Я хорошо помню, что вторая половина в номере его телефона в четыре раза больше пер вой, — заявила Кэти. — Шестизначные номера принято разбивать не на две, а на три части, — возразил Донован. — Я припоминаю, что в телефонном номере Вез ли две средние цифры, третья и четвертая, оди наковы. — Л я думаю, что вторая цифра вдвое больше первой, — заявила Сью. Наконец, очередь дошла до четвертого члена компании — Фрица. Ему удалось вспомнить, что в нужном номере третья цифра либо в 2 раза, либо на две единицы больше второй и какая-то из этих двух цифр, то ли вторая, то ли третья, — двойка, но какая именно, Фриц с уверенностью сказать не может. 121 „ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗА Д А Ч И Вот и все» что удалось вспомнить друзьям. Какой номер телефона у Везли? МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ РАССУЖ Д АТЬ ЛОГИЧНО! Зедече 1. Т о ч к а на карте Представим себе на карте Земли точку А. Движемся от нее строго на юг сто миль, затем строго на восток сто миль» потом строго на север сто миль и снова оказываемся в точке А. Сущес твует ли такая точка и где она находится? Существует ли точка В, для которой выпол няются аналогичные условия? Докажите также, что таких точек довольно много. Задача 2. Т р и д е р е в н и На одном острове есть три деревни: ГІравдино (ее жители говорят правду» только правду и ниче го» кроме правды), Кривдино (ее жители— отча янные лжецы) и деревня Середина-Наполовину (жители этой деревни говорят всегда половину правды, половину лжи, вернее» каждое их выска зывание состоит из двух таких половин). Три эти деревни обслуживает одна пожарная команда. Поздно ночью дежурного пожарника разбудил телефонный звонок. Взволнованный голос сообщил ему: — Приезжайте скорее» у нас пожар! — Откуда вы звоните? — осведомился *} f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ •I ™-------------- 12 2 пожарник. — Из деревни Середина-Наполовину, — последовал ответ, и связь прервалась. Что делать пожарнику, если иметь в виду отсут ствие связи и возможности прояснить ситуацию дру гим способом, кроме кате логическим рассуждением? Задача 3. К н и ж н ы й ч ер вь Иа книжной полке стоят два тома: первый и второй. Они стоят обычным способом: слева пер вый, справа второй, стоят корешками к нам. Тол щина первого тома 8 см без обложки, толщина второго тома — 11 см без обложки. Толщина каж дой обложки — 0,25 см. Книжный червь прогрыз норку от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Какова длина норки, если иметь в виду, что норка строго прямая? Задача 4. Го л л а н д с к и й б а н к В одном голландском банке к концу дпя фи нансовых операций оказалась 81 золотая монета достоинством по 20 гульденов каждая. Кассиру сообщили, что одна монета фальшивая и она ве сит на один грамм меньше, чем настоящая. В распоряжении кассира весы, с помощью кото рых можно уравновешивать грузы без гирек. Сколько минимально кассиру потребуется взвешиваний, чтобы отыскать фальшивую монету? 123 Задача 5. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗА Д А Ч И 9f Шахматы и д о м и н о Имеется обычная ш ахм атная доска, две крайние, противоположные по диагонали клет ки заняты. Имеется также 31 косточка домино, каждая из которых закрывает ровно ДЕе клетки. Можно ли этими косточками домино закрыть оставшиеся клетки шахматной доски при усло вии, что косточки домино нельзя расчленять, ставить на ребро и накладывать друг па друга? Задача А н г л и й с к и й пут еш ест венник Один английский путешественник оказался в незнакомой стране, населенной двумя племе нами: лжецами и правдолюбцами. Он повстречал двух аборигенов, представляющих два этих, пле мени: короткого и длинного. Он спросил длин ного: «Вы всегда говорите правду? » Длинный по нял вопрос, но ответил на своем языке: «Бамбардия кургуду!» Короткий при этом пояснил: «Он сказал «Да», но он отчаянный лжец». Кто есть кто? Задача 7. Б уддийский м онах Однажды рано утром один буддийский монах начал подъем на высокую гору. Он шел весь день с разной скоростью, уставал, отдыхал и обозревал окрестности. К вечеру он поднялся на вершину. f ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 124 После нескольких дней молитв, поста и раз мышлений о смысле жизни он так же рано ут ром начал спуск по пути подъема. Спускался он тоже с неравномерной скоростью и закончил спуск к обеду. Докажите, что на пути подъема и спуска есть точка, которую монах проходил в одно и то же время суток. ЗАДАЧИ-ШУТКИ Задача 1. Д е л е ж Разделите пять яблок между пятью лицами так, чтобы каж ды я получил по яблоку и одно яблоко осталось у вас Задача 2. С к о л ь к о кошек? В комнате четыре угла. В каждом углу си дит кошка. Напротив каждой кошки по три кош ки. ІТа хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате? Задача 3. Порт ной Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от ко торого он отрезает ежедневно по два метра. По исте чении скольких дней он отрежет последний кусок? 125 " ..... ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 7 Г *в Задача 4. Число 666 Число 6 6 6 нужно увеличить е полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий. Как это сделать? я Задача 5, Д робь Может ли дробь, в которой числитель мень ше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя? Задача Н ан ра зрубит ь гто,ла:ову? Как двумя ударами топора разрубить подко ву на шесть частей, не перемещая частей после удара? Задача 7, Что с к а з а л старин 3 Два молодых казака, оба лихих наездника, часто бились об заклад между собою, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победи телем, И это, наконец, им надоело, — Бот что, — сказал Григории, — давай спо рить наоборот. Пусть заклад достанется тому, чей конь придет в назначенное место не первым, а вторым, — Ладно, — согласился Михаил. К азаки вы ехали на своих кон ях в степъ. Зрителей собралось множество; всем хотелось У ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 126 посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать, хлопая в ладоши: — Раз! Два! Три... Спорщики, конечно, ни с места. Зрители ста ли смеяться, судить да рядить и порешили, что такой спор невозможен и что спорщики просто ят на месте, как говорится, до скончания века. Тут к толпе подошел седой старик, видавший на своем веку разные виды. — В чем дело? — спросил он. Ему объяснили условия спора. — Эге ж! — говорит старик, — вот я им сей час шепну такое слово, что поскачут как ошпа ренные... Й действительно, подошел старик к казакам, сказал им что-то, и сразу казаки понеслись по степи во весь опор, стараясь обогнать друг дру га, но заклад все же выиграл тот, чья лошадь пришла второй. Что же сказал казакам старик? ЗАДАЧИ НА ЛОГИКУ СЧЕТА Задача 1. Рейс через океен Каждый день роЕно в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в о Нью-Йорк, и в то же самое время пароход той же •д' компании отправляется из Ныо-Иорка в Гавр. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 9 f 1c l ......... ■■ Переезд в том и другом направлении совершает ся ровно за семь дней. Сколько судов своей ком пании, идущих в противоположном направле нии, встречает пароход на пути из Гавра в НьюИорк? ■— ■ ' " I I ' ' и Задача 2. Продажа яблок Фермер привез на рынок корзину яблок. Пер вому покупателю он продал половину всех яблок и еще пол-яблока, второму — половину остатка и еще пол-яблока, третьему — половину остатка и еще пол-яблока и т . п. Когда ж е пришел ш ес той покупатель и купил у него половину остав шихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у пего, как и у остальных покупателей, все ябло ки целые и что фермер продал все свои яблоки. Сколько яблок привез фермер на рынок? Задаче 3. Гусени ц а В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала вползать на дерево. В течение всего дня, т. е. до 18 часов, она вползла на высоту 5 метров, а в течение ночи спустилась на 2 м. В какой день и час она вползет на высоту 9 м? Задача 4. В ел о си п ед и ст ы и м у ха Два города, А и В, находятся н а расстоя нии 300 км друг от друга. Из этих городов f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 128 одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста и мчатся, не останавлива ясь, со скоростью 50 км в час. Но одновремен но с первым велосипедистом из города А выле тает муха, пролетающая в час 100 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит на встречу второму, выехавш ему из города В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к ве лосипедисту А. Повстречав его, она летит обрат но навстречу велосипедисту В, и так продолжа ла она свои полеты вперед и назад до тех пор, пока оба велосипедиста не встретились. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедис тов на ш апку. Сколько километров пролетела муха? Задача 5. Собака и два путешественника Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном и том же направлении. Первый находится на 8 км впереди другого и идет со ско ростью 4 км в час, второй делает по 6 км в час. У одного из путешественников есть собака, кото рая именно в тот же момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала от своего хозяина к другому путешественнику со скоростью 15 км в час. Затем она вернулась к хозяину и опять по бежала к другому путешественнику. Так она бе гала от одного к другому до тех пор, пока путе шественники не встретились. Какой путь пробе жала собака? ЛОГИЧЕСКИЕ ЗА Д А Ч И 9? Задача 6. Странное число Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту его последнюю цифру переставить на первое место, то число удвоится. Какое это число? Задача 7. Еще одно странное число Нужно найти число, которое, будучи разде лено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится без остатка. Какое это число? Задача 8. Сбор яблок Н а расстоянии метра одно от другого л е ж ат в ряд сто яблок, и на расстоянии метра же от первого яблока садовник принес и поставил корзину. Спрашивается, какой длины путь со верш ит он, если возьмется собирать эти ябло к и так, чтобы брать их последовательно одно за другим и каж дое отдельно относить в кор зину, которая все время стоит на одном и том же месте? Задача 9. Бой часов Сколько ударов в сутки делают часы с боем? 5. Зэк. № 189 / ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ Задача 1* Б о ч о н о к 130 кваса Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней» а вместе с женой выпивает тот же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать» за сколько дней жена одна выпивает тот же бочонок кваса. Задача В ж аркий день В жаркий день шесть косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов выпьют такой же бочонок кваса за 1 час и заЗ часа. Задача 3. Н а охоте Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и рас стояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за б скачков ?ДВ задаче подразу мевается» что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой). Задача 4, Как разделить орекнЪ Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов* Разделите их на дво части так» чтобы меньшая ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ * Jf 1ОI ■■■■■■■■■■ ■ 1 —"■ ■— О9 часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы боль шей части, уменьшенной б 3 раза». Как разделить орехи? Зздгча 5. С к в о р ц ы Летели скворцы и решили отдохнуть на де ревьях. Когда сели они но одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дех^ево осталось незанятым. Сколько было скворцов и сколько было де ревьев? Задача 6. К о м у пасти овецЗ У пятерых крестьян — Ивана, Петра, Яко ва, Михаила и Герасима —было 10 овец. Не мог ли они найти петуха, чтобы пасти овец, и гово рит Иван оста льным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди —по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец». По скольку дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана, Михаил имеет овец в два раза больше, чем Я к о б , а Гера сим — вч етверо меньше, чем Петр? Задача 7. И з М осквы в В ол огд у Послан человек из Москвы в Вологду, и ве лено ему было в своем хождении совершатъ во 5* *} f * 0 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ - ----------- . .. — . .. ------------- г . і . . . . I ! ) і всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему был послан второй человек, и приказа но было ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит пер вого? ЗАДАЧИ ЗАГАДКИ Задача 1, Н сза Один человек купил трех коз, заплатил три рубля. Спрашивается: почем каждая коза пошла? Задача 2. Одним м еш ком — дэз м еш ка Как можно одним мешком пшеницы, смолов ши ее, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пше ница? Задача 3. ААного л и г в о з д е й найдут ? Двое пошли и три гвоздя нашли. Следом чет веро идут, много ли гвоздей найдут? Задача 4. Сколько утсж? Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и д Б е впереди, одна м е л еду двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАД АЧИ 133 Задача 5. Что это такое* Что это такое: две ноги сидели на трех, а ког да пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? Задача 6. В о з м о ж н о л и такоеі Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а в ходьбе только четыре? Задача 7. Д ва отца и д в а сы на Два отца и два сына поймали трех зайцев, а досталось каждому по одному зайцу. Спрашива ется, как это могло случиться? Задача 8. К а к это м о г л о быть*. У одного старика спросили, сколько ему лет* Он ответил, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло бытъ? ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ СИТУАЦИИ Ситуация 1. В о л к , к о з а и капуста Крестьянину нужно через речку перевезти вв ЛОГИКА E ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -............. 13 4 водка, козу и капусту. В лодке может поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Если оставить волка с козой без че ловека, то волк съест козу; если оставить козу и капусту, то коза съест капусту. В присутствии же человека коза не может съесть капусту, а волк — козу. Крестьянин все-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал? Ситуация, 2. Ры цари и о р уж ен о сц ы Три рыцаря, каждый в сопровождении ору женосца, съехались на берегу реки и хотят пе реправиться на другой берег. Есть лодка, кото рая может вместить только двух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что, оказавшись от дельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей? Ситуация 3. Разделить квас поровну Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них только два пустых бочонка, в один из кото рых входит 5 ведер, а в другой — 3 ведра. Спра шивается, как они могут разделить квас, поль зуясь только этими тремя бочонками? г 1 о CL> ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — — — I - I i rr . m 9 f . # и Ситуация 4L Р а з д е л и ть б о ч к и и м е д Три человека должны разделить между со бой 21 бочонок, среди которых 7 бочонков пол ных медом наполовину, и 7 пустых. Могут ли они разделить бочонки и мед так, чтобы каждый из них имел одинаковое количество меда и одинаковсх? количество бочонков? (Предполагается, что все бочонки одинаковые и переливать мед из од ного бочонка в другой не разрешается,) Ситуация 5. Д е в и ч ь я х и т р о с т ь Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, раз местила и х б 8 комнатах своего дома так, как, по казано на рисунке. 2 3 3 2 2 3 3 2 По вечерам золотошвея обходила дом и про веряла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гос ти приехали 4 подружки и, заговорившись, ос тались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером золо тошвея насчитала в комнатах на каждой стороне f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ О<9 ---- 136 дома опять по семг» девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех под ружек и дома не ночевали. Оставшиеся 16 деву шек разместились так, что опять вечером золо тошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки по комнатам в двух последних случаях? С и т у а ц и й &. Во врем я шторма Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товара ми, которые везли два купца. Купцы были в не решительности: каждому было ясалъ выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят е с ѳ 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока ке выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палу бе тюков оказались с товарами этого купца. Как были расставлены тюки? ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ Задача і . П раздничны й И НЕПРАКТИЧНЫЕ окорок Три соседки сложились по 15 тысяч рублей и купили окорок (без кожи, сала и костей). Одна _ І о / — ■ I ш ш f ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ I — 1 — ■ ■ in — fc ф из них разделила окорок па три части, уверяя, что части равны по весу. Другая заявила, что до веряет только весам в магазине на углу; там при взвешивании оказалось, что якобы равные час ти после пересчета стоимости соответствуют 14,15 и 16 тысячам рублей. Третья участница проверила на домашних весах, которые тоже дали иной результат. Возник спор, ибо первая настаивала, что она разделила окорок на равные части, другая признавала только магазинные весы, а третья — свои. Как можно успокоить спо рящих и разделить куски (не разрезая их боль ше) так, чтобы каждая хозяйка получила окорок стоимостью в 15 тысяч рублей при пересчете его стоимости по тем весам, которым она доверяет? Задача 2. В зв е ш и в а н и я Имеется пять предметов различного веса, ко торые нужно упорядочить по убыванию веса, пользуясь чашечными весами без гирь, с помощью которых можно сравнитъ веса любых двух пред метов. Какое наименьшее число взвешиваний нужно произвести, чтобы решить эту задачу? Задача 3. К о г д а е г о д е н ь р о ж д е н и я t В день рождения Быкова собрались его род ственники и друзья. Кроме сестры хозяина Маши и ее брата Пет ра, присутствовал известный путешественник ef f о * ЛОГИНА і ВВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ і і... ____— — 1 3н Петрашкевич и много других друзей Быкова. Кто-то спросил Петрашкевича, что он делал год назад. Тот взял блокнот и со свойственной ему педантичностью написал на нем: «Точно год на зад я вышел из палатки на восходе солнца, по шел прямо на юг, СЕернул на запад и через не сколько часов, ничего не подстрелив, повернул на север. Своих собственных следов я не пересе кал и, идя все время на север, вышел к палат ке». Когда день рождения Быкова? Задача 4. Снольно лет Софье Петровне! Наша знакомая, Софья Петровна, еще не ста ра, ибо родилась после первой мировой войны, но она не любит прямо отвечать на вопрос —сколь ко ей лет. Когда ее спросили 27 июля 1950 года, сколь ко ей лет, она ответила: мне всего один год, так как я отмечаю день своего рождения только тог да, когда он совпадает с днем недели, в который я родилась, а такой день рождения я отмечала всего только один раз. Сколько лі>т Софье Петровне? Задача 5. Сколько рыб в пруду ? Один ихтиолог хотел определить, сколько рыб в пруду, годных для отлова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, обнаружил 30 рыб, отме- 1 t> \ ) —— —! -і , . ЛОГИ' ВЕСКИЕ ЗАДАЧИ . .... . і — ■ — 9 Г е« тил каждую из них меткой и бросил обратно в пруд. На другой день он забросил ту ж е самую сеть и поймал 40 рыб, на двух из которых были его метки. Как по этим данным он приблизитель но вычислил количество рыб в пруду? ПЕРЕПРАВЫ, РАЗЪЕЗДЫ, ПОГОНИ Задача 1. П ереправа ч ер ез р ов Четырехугольное поле окружено рвом, ши рина которого Есюду одинакова (I рис.). Даны две доски, длина каждой из которых равна точно ширине рва. Требуется с помощью этих досок устроить переход через ров. Поле Ров Рітс. 1 t ав ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ і. ■ ----- МО Задача 2. Оград солдат Отрад солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться* Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир заме чает двух мальчиков, которые катаются на лод ке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней можізт переправиться только один солдат или двое мальчиков — не больше! Однако он устроил так, что все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано? Задача 3. П е р е п р а в а ч е р е з р е к у с ост ровом Четыре рыцаря с оруженосцами должны пе реправиться через реку на лодке без гребца, кото рая вмещает только двух человек. Посреди реки есть остров, на котором молено высаживаться. Спрашивается, как совершить эту перепра ву так, чтобы ни на берегах, ни на острове, ни в лодке ни один оруженосец не находился в общес тве чужих рыцарей без своего хозяина? Задача 4. Н а ж е л е з н о д о р о ж н о м станции Поезд Б приближается к железнодорожной станции, но его нагоняет быстроидущий поезд А, который необходимо пропустить вперед. У станции от главного пути отходит боковая вет ка, куда можно отвести па время Батоны с глав- ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ «ш кого пути, но ветка настолько короткая, что на ней не помещается весь поезд Б. Спрашивается, как все таки пропустить по езд А вперед? 141 Задача 5. Рззьезд шести пароходов По каналу один за другим идут три парохо да" А, Б и В. Навстречу им показались еще три парохода: Г, Д и Е, Канал такой ширины, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в кана ле с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только один пароход* Могут ли пароходы разъехаться так, чтобы продолжить свой путь по-прежнему? ЛОГИКА И ФИНАНСЫ Задача С Одно и то ж©? Некто подошел к окошечку кассы, чтобы по лучить зарплату о — Мелких денег нет, поэтому (І) МНЕ ПРИДЕТ СЯ ВЫДАТЬ ПРИЧИТАЮЩУЮСЯ ВАМ СУММУ НАИМЕНЬШ ИМ ЧИСЛОМ КУ ПЮР, — сказал ему кассир. — Что верно, то верно, — подтвердил получа тель, пересчитывая полученные деньги. — (2) НИ ОДНУ КУПЮРУ НЕЛЬЗЯ РАЗМЕ НЯТЬ ДРУГИМИ. 9 I і. ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ __________ ___ __________________________ _ 142 Означают ли утверждения (I) и (2), выделен ные заглавными буквами, одно и то же? Задача 2. ((Эксшоаінзя» в ы п ла та В Берендеевом царстве принята довольно сложная денежная система. Основной денежной единицей является берендеевская гривна* В об ращении находятся золотые монеты достоинст вом 1, 2, 8 и ІО гривен. Монет более крупного достоинства, ке существует. Подданному Берендеева царства купцу Каз начееву понадобилось снять со своего счета 25 гривен. Не ж елая до отказа набивать свой ко шелек, он решил, что удобнее всего обойтись ми нимальным количеством монет и обратился к банкиру со следующей просьбой: — Не откажите ли вы мне в любезности вы платить мне 25 гривен монетами покрупнее. Ра зумеется, было бы лучше всего, если бы вы вы платили мне причитающуюся сумму монетами самого большого достоинства, какое только воз можно. Как, по-ваш ему, может ли быть уверен ность в том, что при выплате купцу 25 гривен «монетами самого большого достоинства, какое только возможно», число монет окажется н а именьшим? 9 f 143 ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ* ВМЕСТО МЕЛКИХ ДОЛЕЙ КРУПНЫЕ Разделить поровну пять пряников между шестью мальчиками, не разрезая ни одного пря ника на шесть равных частей. Подобных задач можно, конечно, придумать сколько угодно. Так, например, в данной задаче вместо чисел 5 и 6 могут быть поставлены следу ющие числа: 7 на б, 7 на ІО, 9 на 10,11 на 10, 13 на 10, 7 на 12,11 на 1 2 ,1 3 на 1 2 ,9 на 14, И н а 14, 13 на 14, 15 на 14,17 на 14 и т. д. Во всех задачах подобного рода требуется мелкие доли перевести в более крупные. Разнообразить задачи можно всячески, предлагая, например, такие вопросы: Можно ли пять л истов бумаги разделить меж ду восемью учениками, не деля ни одного листа на восьмые доли? Такие задачи очень полезны для отчетливо го и быстрого понимания смысла дробей. кто ПРАВ» Два лесоруба, Никита и Павел, работали вмес те в лесу и сели завтракать. У Никиты было 4 * З а д а ч и д а ю т ся п о к н .; И г н а т ь ев Е.И* В ц а р ст в е с м е к а л к и . ГѵР, 1 9 8 2 . *9 f « ■ ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ II N.. I 144 лепешки, у Павла — 7. Тут к ним подошел охот ник— Вот, братцы, заблудился в лесу, до дерев ни далеко, а есть очень хочется, поделитесь со мною хлебом-солью! — Ну, что ж, садись, чем богаты, тем и рады, — сказали Н икита и Павел- 11 лепешек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашел гривенник и копейку и сказал: — Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушел, а лесорубы заспорили. Н и кита говорит: — По-моему, деньги надо разделить поровну! А Павел ему возражает: — З а 11 лепешек 11 копеек. И на лепешку приходится по копейке. V тебя было 4 лепешки, тебе 4 копейки, у меня 7 лепешек, мне 7 копеек! Кто из них сделал правильный расчет? СПОР Трое крестьян, Иван, Петр и Николай, за вы полненную работу получили мешок зерна. На беду под рукой не оказалось мерки и пришлось делить зерно «на глазок». Старший среди кресть ян, Иван, рассыпал зерно на три кучи, как он считал, поровну: — Первую кучу возьми ты, Петр, вторая до станется Николаю, а третья — мне. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 14ог - ■ . ..— ■ ■ 9««f — Я не согласен на это, — возразил Н ико лай, — моя куча зерна ведь самая маленькая. Поспорили крестьяне. Чуть до ссоры не до» шло. Пересыпают зерно из одной кучи в другую, из другой в третью и ни как к согласию не при дут, обязательно кто-нибудь недоволен. — Будь мы вдвоем, я да Петр, — вскричал в сердцах Иван, — я бы мигом разделил. Рассы пал бы зерно на две равные кучи и предложил бы Петру выбрать любую, а оставшуюся взял бы себе. Оба мы были бы довольны. А тут не знаю как быть. Задумались крестьяне, как же разделить зер но, чтоб все были довольны, чтоб каждый был уверен, что по лучил не меньше трети. И приду мали. Придумайте и вы. ■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ і.. ДЕЛЕЖ МЕЖДУ ТРЕМЯ Три купца должны поделить между собой 21 бочонок, из которых 7 бочонков полных ква са, 7 заполненных наполовину и 7 пустых. Спра шивается, как они могут поделиться так, чтобы каждый имел одинаковое количество кваса и оди наковое количество бочонков, причем переливать квас из бочонка в бочонок нельзя. ДЕЛЕЖ МЕЖДУ ДВУМЯ Двое должны разделить поровну 8 ведер ква са, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 146 у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой — 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками? ДЕЛЕЖ ПОПОЛАМ Как быть, если в условии предшествующей задачи полный бочонок 16-ведерный, а пустые — 11- и 6-ведерные? ДЕЛЕЖ КВАСА Имеются три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержит ся соответственно 4 и 6 ведер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, раз делить квас поровну. СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ КАК ГУСЬ С АИСТОМ ЗАДАЧУ РЕШАЛИ Летела стая гусей, а. навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А пе редний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если б нас было еще столько, да еще полстолъко, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь,,. Вот к рас считай-ка, сколько нас?» ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ I4 / —---------- ----—---- ---------—-----------------в■ I I Полетел одинокий гусь дальше и задумался. В самом деле, сколько ж е товарищей-гусей он встретил? Думал он, думал и с какой стороны ни принимался, никак не мог задачи решить. Вот увидел гусь на берегу пруда аиста: ходит длин ноногий и лягушек ищет. Аист —птица важ ная и пользуется среди других птиц славой матема тика: по целым часам иногда неподвижно на од ной ноге стоит и все думает, видно, задачи реша ет. Обрадовался гусь, слетел в пруд, подплыл к аисту и рассказал ему, к а к он стаю товарищей встретил и какую ему гусь-вожак загадку задал, а он никак этой задачи решить не может. — Гм!.. — откашлялся аист, — попробуем ре шить. Только будь внимателен и старайся по нять. Слышишь? — Слушаю и постараюсь! — ответил гусь. — Ну вот. Как тебе сказали? Если бы к встречным гусям прибавить еще столько, да еще полетольшу да четверть столько, да тебя, гуся, то было бы сто? Так? — Так! — ответил гусь. — Теперь смотри, — сказал аист. — Вот что я тебе начерчу здесь на прибрежном песке. Аист согнул шею и клювом провел черту, рядом такую же черту, потом половину такой же черты, затем четверть черты, да еще маленькую черточку, почти точку. Получилось то, что пока зано на рис. 2. Гусь подплыл к самому берегу, вышел, перева ливаясь на песок, смотрел, но ничего не понимал. *9 Р ее л оги ка ■ а в о п р о с а х и о твета х 148 Р ис. 2 — Понимаешь? — спросил аист. — Нет еще! — ответил уныло гусь. — Эх, ты! Ну, вот смотри; как тебе сказали, — стая, да еще стая, да половина стаи, да чет верть стаи, да ты, гусь, — так я и нарисовал: чер ту, да еще черту, да полчерты, да и четверть этой черты, да еще маленькую черточку, т* е. тебя. Понял? — Понял! — весело проговорил гусь. — Если к встреченной тобою стае прибавить еще стаю, да полетай, да четверть стаи, да тебя, гуся, то сколько получится? — Сто гусей! — А без тебя сколько, значит, будет? — Девяносто девять. — Хорошо! Откинем на нашем чертеже чер точку, изображающую тебя, гуся, и обозначим, что остается 99 гусей. Аист носом изобразил на песке то, что пока зано на рис. 3. Рис.3 — Теперь сообрази-ка, — продолжал аист, — четверть стаи да полетай — сколько это будет четвертей? 14У ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ■ ■ »■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ і Гусь задумался, посмотрел па линии на пес ке и сказал: — Линия, изображающая полетай, вдвое больше, чем линия четверти стаи, т. е. в полови не заключается две четверти. Значит, половина да четверть стаи — это все равно, что три четвер ти стаи! — Молодец! — похвалил гуся аист. — Ну, а в целой стае сколько четвертей? — Конечно, четыре! — ответил гусь. — Так! Но мы имеем здесь стаю, да еще стаю, да полетай, да четверть стаи, и это составит 99 гусей. Значит, если перевести все на четверти, то сколько всего четвертей будет? Гусь подумал и ответил: — Стая — это все равно что 4 четверти стаи, да еще стая — еще 4 четверти стаи, всего 8 чет вертей; да в половине стаи 2 четверти: всего 10 четвертей; да еще четверть стаи: всего 11 четвер тей стаи, и это составит 99 гусей. — Так! — Сказал аист. — Теперь скажи, что же ты, в конце концов, получил? — Я получил, — ответил гусь, — что в один надцати четвертях встреченной мною стаи за ключается 99 гусей. — А, значит, в одной четверти стаи сколько гусей? Гусь поделил 99 на 11 и ответил: — Е четверти стаи — 9 гусей. — Ну, а в целой стае сколько? — В целой заключается четыре четверти... Я ? «» ЛОГИКА S ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ і .. і і -- - 1 Г)о встретил 36 гусей —радостно воскликнул гусь. — Вот то-то и око! — важно промолвил аист. — Сам, небось, не мог дойти!.. Эх, ты... гусь!.. КРЕСТЬЯНИН И ЧЕРТ Идет крестьянин и плачется: «Эх-ма! Ж изнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает, что на всякие свои деньги они еще день ги получают? Право, хоть бы кто помочь мне за хотел». Только успел это сказать, как глядь, а перед ним черт стоит. — Что ж, — говорит, — если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку? — Вижу! — говорит крестьянин, а сам заро бел. — Ну, так стоит тебе перейти только через мост — у тебя будет вдвое больше денег, чем есть. Перейдетъ назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до этого перехода. — Ой ли? — говорит крестьянин. — Верное слово! — уверяет черт. — Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен. ^ г ЛОГИЧЕСКИЕ З А Д А Ч И *f f — Ну, что же, это не беда! — говорит кресть янин. — Раз деньги все будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каж ды й раз не дать? Ну-ка, попробуем! Перешел он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бро сил он 24 копейки черту и перешел через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим. Отсчитал он 24 копейки, отдал чер ту и перешел через мост в третий раз. Денег ста ло снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнехонько 24 копейки, которые по уговоруи.. он должен был отдать черту. Отдал он их и ос тался без копейки. Сколько же у крестьянина было денег сна чала? КРЕСТЬЯНЕ И КАРТОФЕЛЬ Ш ли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать* Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сва рила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Про снулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснул ся другой; ему невдомек было, что один из това рищей уж е съел свою долю, поэтому он сосчи тал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий: 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ в« --152 полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофе лин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну. ДВА ПАСТУХА Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тог да у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец? НЕДОУМЕНИЕ КРЕСТЬЯНОК Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 коп. 2 яблока, а другая за 2 коп. 3 яблока. У каждой в корзине было по 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 коп., а вторая 20 коп. Обе вмес те они должны были выручить 35 коп. Сообра зив это, крестьянки, чтобы не ссориться да не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сооб ща, причем они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за j ЛОГИЧЕСКИЕ З А Д А Ч И 9/ 2 копейки, то чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копеііки!» Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и на чали продавать по 3 копейки за 5 яблок. Распро дали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, т. е. на копейку боль ше, чем думали выручить! Крестьянки задума лись: откуда ваялась «лишняя» копейка и кому из них следует ее получить? И к ак , вообще, им поделить теперь все вырученные деньги? И в са мом деле, как это вышло? Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку. У каждой из них было тоже по 30 яблок, но про давали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была, значит, выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые тор говки: если я продаю за одну копейку пару яб лок, а ты за копейку продаешь 3 яблока, то, зна чит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки. Сложи ли они яблоки вместе, распродали их по 2 копей ки за каждые 5 ш тук, и вдруг... оказалось, что они выручили всего 24 копейки, значит, недо выручили целую копейку. f *« *f ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ____________ ______ _______ I 54 Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придется этой копейкой поплатиться? НАХОДКА Четверо крестьян — Сидор, Карп, Пахом и Фока — возвращались из города и говорили, что ничего не заработали. — Эх! — сказал Сидор, — если бы мне найти кошель с деньгами, я бы взял себе только третью часть, а остальные с кошелем даже отдал бы вам. — А я, — молвил Карп, — поделил бы меж ду всеми нами поровну. — Я доволен был бы всего пятой частью, — отозвался Пахом. — С меня же довольно бы и шестой части, — сказал Фока. — Да что толковать... Статочное ли дело — деньги на дороге найти! Кто это их для нас бросит? Вдруг и на самом деле видят на дороге коше лек, подняли его и решили поделить деньги так, как каж дый только что говорил, т. е. Сидор по лучит треть, Карп — четверть, Пахом — пятую, а Фока —шестую часть найденных денег. Открыли кошелек и нашли в нем 8 кредит ных билетов: одіш в 3 рубля, а остальные рубле вые, пятирублевые и десятирублевые. Но ни один крестьянин не мог взять своей части без размена. Поэтому решили ждать, не разменяет ли кто из проезжих. , _ _ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1 5 5 ------ ------ ----------- ---------------------------- —---------------- *f f 4* Скачет верховой; крестьяне останавливают его. — Так и так, — рассказывают они, — на шли кошелек с деньгами; деньги хотим разде лить так-то. Будь такой добрый, разменяй нам рубль! — Рубля я вам не разменяю, а давайте мне кошелек с деньгами: я положу туда свою рублев ку и из всех денег выдам каждому его долю, а кошелек мне. Крестьяне с радостью согласились. Верховой сложил все деньги вместе, выдал первому 1/3, второму 1/4, третьему і /5 , четвертому 1/6 всех денег, а кошелек спрятал себе за пазуху. — Ну, спасибо вам, братцы, большое: и вам хорошо, и мне хорошо! — и ускакал. Задумались мужики. — За что же он нас поблагодарил? — Ребята, сколько у нас всего бумажек? — спросил Карп. Сосчитали — оказалось 8. — А где же трехрублевка? У кого она? —- Ни у кого нет! — Как же так, ребята? Верховой то, значит, надул нас? Давай считать, на сколько он обидел каждого... Прикинули в уме. — Кет, братцы, я получил больше, чем мне следовало! — сказал Сидор. — И я получил на 25 коп. больше, — сказал Карп. — Как же так? Всем дал больше, чем нужно, *)f ■« ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -■ (56 а трехрублевку увез! Ишь ты, как ловко нас обо шел! — решили крестьяне* Сколько денег нашли крестьяне? Обманул ли их верховой? Какие бумажки дал он каждому? ДЕЛЕЖ ВЕРБЛЮДОВ Старик, имевший трех сыновей, распоря дился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, что бы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший — девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 вер блюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число/ 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. Б недоумении, как им быть, братья обрати лись к мудрецу. Тот приехал к ним на собствен ном Еерблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал? СКОЛЬКО ВОДЫ В БОЧКЕ? В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание: — Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно на половину, ни больше, ни меньше. Но смотри, пал кой, веревкой или чем-либо другим для измере ния не пользуйся. Работник справился с заданием. Как он это сделал? 157 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ в 9 Расстановка часовы х Вдоль стен квадратного бас тиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рис.25, по 5 человек с каждой стороны. Затем пришел полковник и, не Рис. 4 довольный размещением часо вых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны было их по 6. Вслед за полковником пришел генерал, рассердил ся на полковника за его распоряжение и размес тил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях? О БМ Д К ¥Ш Й ХОЗЯИН со Первоі іа чальное Хозяин устроил в своем расположение погребе шкаф в форме квадрата бутылок с девятью отделениями Среднее 6 9 6 (внутри) отделение он оставил свободным для пустых буты 9 лок, а в остальных расположил 60 бутылок масла так, что в 6 6 каждом угловом отделении их Рис» 5 было по 6, а в каждом из средних по 9» Таким образом, на каждой стороне квад рата было по 21 бутылке (рис. 5). Слуга подметил, О) $ ЛОГИКА l&ВОПРОСАХ И СТЕШТАХ ■и - -■ ■- ...... I 5 S что хозяин проверяет число бутылок, только счи тая бутылки по сторонам квадрата и следя за тем, чтобы на каждой стороне квадрата было по 21 бу тылке. Тогда слуга унес сначала 4 бутылки, а ос тальные расставил так, что вновь получилось по 21 на каждой стороне. Хозяин пересчитал бутыл ки своим обычным способом к подумал, что бу тылок остается то же число и что слуга только переставил их. Слуга воспользовался оплош ностью хозяина и снова унес 4 бутылки, расста вив остальные так, что на каждой стороне квад рата выходило опять по 21 бутылке. Так он пов торял, пока было возможно. Спрашивается, сколько раз он брал бутылки и сколько всего бу тылок он унес? СКАЗКА ОБ ИВАНЕ ЦАРЕВИЧЕ И КОЩЕЕ БЕССМЕРТНОМ, УМЕВШЕМ СЧИТАТЬ ТОЛЬКО ДО ДЕСЯТИ Из этой сказки мы приведем только отрывки. Сказка очень занимательна, по нас интересуют возникающие в ней математические задачи. «В некотором царстве, в некотором государ стве жил-был Кван-цареЕич. У него было три сес тры: одна Марья-царевна, другая Ольга-царевка, третья Акна-царевна. Отец и мать у них умерли. Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей медного, серебряного и золотого царств, остался один. Целый год ж ил без сестер, и сде лалось ему скучно. Решил он идти искать сест риц, проведать их». 159 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Далее сказка рассказывает, как повстречал Иван-царевич Елену Прекрасную, как полюби ли они друг друга, как похитил ее Кощей Бес смертный и решил сделать женой своей* Отказа лась Елена Прекрасная быть женой Кощ ея, и в злобе превратил он ее в тонкую белую березку. «Иваи-царевич собрал воинов и поехал искать свою любимую. Долго странствовал он, пока при ехал к избушке бабы-яги. Рассказал он ей, куда и зачем путь держит. Баба-яга давно враждовала с Кощеем, согласилась она помочь Ивану-царевичу: — Чтобы снять чары Кощеевы, нужно со брать у ворот его дворца царей трех царств: мед ного, серебряного и золотого. Ровно в полночь до лжны они и ты вместе с ними произнести волшеб ное слово. Тогда чары спадут, и Кощей бессилен будет что- либо сделать. Черный ворон подслуш ал этот разговор бабы-яги с Иваном-царевичем и рассказал обо всем Кощею. Прощаясь с Иваном-царевичем, дала ему баба-яга волшебное кольцо. — Оно приведет к Кащею. А коль нужно бу дет тебе, Иван-царевич, какой запор отпереть или замкнуть накрепко, проси кольцо о том. Мигом исполнит. Кощей Бессмертный подстерег Иваяа-царевича, схватил его и бросил вместе с воинами в глу бокое темное подземелье. — Не видать тебе, Иваш ка, Елены Прекрас ной, как своих ушей». 9 f * (В ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 160 Далее в сказке следует описание подземелья. В квадратной пещере было 8 погребов, располо женных вдоль стен (мы изобразили их условно на рис.6 в виде маленьких квад ратиков). Погреба сообщались между собой, а все подзе мелье, имевшее один выход, накрепко запиралось семью замками. Всех воинов вместе с Иваном-царевичем было 24, и Кощей разместил их в вос РНс,6 ьми погребах поровну. К аж дый вечер приходил он в под земелье, издевался над Иваном-царевичем и пе ресчитывал своих пленников. Считать Кощей мог только до десяти, поэтому он проверял число уз ников, находящихся в трех погребах вдоль каж дой стены подземелья, находил всюду 9 человек и успокаивался. Трудности не сломили Ивана-царевича. С помощью волшебного кольца отпер он все 7 запоров и отправил трех своих воинов гон цами к царям медного, серебряного и золотого царств. А чтобы Кощей ничего не заподозрил, Иван-царевич рассадил оставшихся воинов по пог ребам иначе, сохранив вдоль каждой стены под земелья по 9 человек. Как всегда, вечером при шел Кощей, поворчал, что воины не сидят спокой но на месте. Пересчитал их вдоль каждой стены и ничего не заподозрил. Спустя некоторое время гонцы добрались до царей медного, серебряного и золотого царств, рассказали им всю историю и , _ „ 161 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ------------------------------------------------------------- -------- О f »» вместе с ними вернулись в подземелье Кощеева дворца. Как раз в этот момент Кощей решил ос мотреть подземелье. Иван-царевич рассадил всех своих воинов и трех прибывших царей так, что опять в погребах вдоль каждой стены сидело по 9 человек. И опять ему удалось обмануть Кощея. После этого в сказке повествуется, как ровно в полночь 3 царя вместе с Иваном-царевичем подо шли к воротам Кощеева дворца и произнесли во лшебное слово, как слали чары с Елены Прекрас ной, как удалось им всем выбраться из Кощеева царства и, наконец, о свадьбе Ивана-царевича и Елены Прекрасной. Сказка кончилась, но остался вопрос: к ак рассаживал узников Иван-царевич? ЗА ГРИБАМИ Дедушка пошел с четырьмя внучатами в лес за грибами. В лесу разошлись в разные стороны и стали искать грибы. Через полчаса дедушка сел под дерево отдохнуть и пересчитал все грибы: их ока залось 45 штук. Тут прибежали к нему внучата, все с пустыми руками, ни один ничего не нашел. — Дедушка! — просит один внук, — дай мне своих грибов, чтобы кузовок не был пустой. Авось, с твоей легкой руки много грибов наберу. — И мне, дедушка! — И мне дай! Дед дал каждому и раздал таким образом де тям все свои грибы. Все снова разбрелись в разные 6 . & ж . Jsf* tS9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 162 стороны, и случилось следующее. Один мальчик нашел еще 2 гриба, другой 2 потерял, третий на шел еще столько, сколько получил от деда, а чет вертый потерял половину полученных от деда. Когда дети пришли домой и подсчитали свои гри бы, то оказалось у всех поровну. Сколько каждый получил от дедушки грибов и сколько было у каждого, когда они пришли домой? СКОЛЬКО БЫЛО* Ж енщ ина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню этого, — ска зала женщина, — знаю только хорошо, что ког да я перекладывала яйца по 2, то осталось одно яйцо. Точно так же всегда оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и но 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Сколько было яиц? ЧАСЫ ПОСТАВЛЕНЫ ВЕРНО Двое приятелей, Петр и Иван, живут в одном городе и не очень далеко друг от друга. У каждо го из них дома имеются только стенные часы. Однажды Петр забыл завести свои часы, и они ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1b*> остановились. «Пойду-ка я в гости к Ивану, за одно и посмотрю, который час», — решил Петр. Отправившись в гости и просидев у Ивана неко торое время, Петр вернулся домой и верно вы ставил свои стенные часы. Смогли бы вы сделать так же? - i n ■■ I ■ - I I ■ ■ ■■ и § v ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАПИСИ В памятной книжке найдена запись, воспро изведенная на рис,7. Эта запись оказалась зали тою в некоторых местах чернилами так, что не льзя разобрать ни числа проданных кусков, ни первых трех цифр полученной суммы. Спраши вается, можно ли по сохранившимся данным уз нать число проданных кусков и всю вырученную сумму? З а продажу Ф кусков сукна по 49 руб.Зб коп. каждый кусок получено Ф у руб.2 3 коп . Ркс.7 ХИТРЕЦЫ В трактире стояло четыре стола, по одному вдоль каждой стены. Проголодавшиеся возвра щавшиеся с маневров солдаты в числе 21 челове ка остановились там пообедать и пригласили к 6* *) f as ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — ■ —. — .... обеду хозяина. Расселись все так: за три стола сели солдаты — по 7 за каждый стол, а за чет вертый стол сел хозяин (на рис. 8 солдаты и хозяин изображе ны черточками). Солдаты уго ворились с хозяином, что пла тить по счету будет тот, кто ос танется последним при следу ющем условии: считая по кругу (по часовой стрел ке) всех, в том числе и хозяина, освобождать от уплаты каждого седьмого. Каждый освобожден ный тотчас уходил из трактира и в дальнейшем в счете не участвовал. А последним остался хозя ин. С кого начали счет? « С кого нужно было бы начать, если бы солдат было только по 4 за каждым из трех столов? СПОР КУЧЕРА С ПАССАЖИРОМ На постоялом дворе нетерпеливый проез жий, увидя кучера, спросил: — Не пора ли запрягать? — Что вы! — ответил кучер. — Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой... — А сколько в карету впрягается лошадей? — Пять. — Сколько времени полагается на запряж ку лошадей? — Да минуты две — не больше. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ I ПО ■■■ ■ — ■" f $в — Ой ли? — усомнился проезжий. — П ять лошадей запрячь за 2 минуты. Что-то очень уж скоро... — И очень просто, — отвечал кучер. — Вы ведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца валь ков на крюки, приструнить двух средних лош а дей к дышалу, взял вож ж и в руки, сел на козлы — и готово... Поезжай! Дело знакомое... - Н у , хорошо! — заметил пассажир. — До пустим, что таким образом можно запрячь и от прячь лошадей хоть двадцать раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место дру гой, да еще всех, то уж этого никогда не сделать не только в пол, но и в два часа. — Тоже пустячное дело! — расхвастался ку чер. — Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше. Одну лошадь поставил на мес то другой и готово! Минутное дело! — Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, —сказал пассажир, — а всеми способами, каким и только можно пере прячь пять лошадей, считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь. Самолюбие кучера было несколько задето. — Конечно, всех лошадей и всеми способами перепрягу не больше как за час. — Я дал бы сто рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час!-— сказал пассажир. — А я при своей бедности заплачу за ваш 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 166 проезд в карете, если этого не сделаю, — отве тил кучер. Так и условились. Каков был результат спо ра? л КТО НА КОМ ЖЕНАТ? Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, при шли на рынок с женами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Тре буется узнать это на основании следующих дан ных: каждый из этих шести человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кро ме того, Иван купил на 9 предметов больше Ека терины, а Петр — на 7 предметов больше Марии. ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ОТГАДАТЬ С Л О В О * Игра «отгадать слово» впервые появилась на свет в конце 60-х годов, почти одновременно с «быками и коровами», и до сих гюр пользуется большой популярностью, в нее охотно играют школьники, студенты, научные сотрудники. Действительно, как мы сейчас увидим, эта увлекательная игра значительно богаче и глуб же большинства известных словесных игр, в том числе «балды». Для успеха в ней важен не толь ко большой запас слов, лексикон играющих, но и умение логически рассуждать. Игра «отгадать слово» представляет собой как бы смесь словес ной игры с математической. Играют двое. Один игрок задумывает слово из пяти букв, а другой должен его отгадать. С этой целью он называет одно за другим слова, состоящие из произвольного числа букв, на каж дое из которых партнер в ответ сообщает число, означающее, сколько раз буквы задуманного сло ва входят в названное; при этом каж дая буква задуманного слова учитывается в ответе столько раз, сколько она содержится в названном. * И гр ы д а н ы п о к н .: Ги к Е . И . З а н и м а тел ь н ы е м а т ем а т и ч е с к и е и гр ы . М ., 1 9 8 7 . 1 ОУ III " ■ —■■ ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ...........' ' 9 f 90 Приведем пример. Пусть наш воображ ае мый партнер задумал слово КОЛБА, а мы своим ходом назвали слово ОБОРОНА. Тогда он должен ответить числом 5. В самом деле, буквы К и Л задуманного слова не входят в названное (или иначе — входят 0 раз), буква О входит 3 раза, буквы А и Б — по 1 разу. Итого: О 4- 0 4- 3 + 1 -41 = 5. Называя некоторое слово и получая на него ответ, мы всякий раз делаем определенные вы воды относительно задуманного слова. Так, от вет противника 5 на слово ОБОРОНА означает, что задуманное слово, пока не известное нам, обя зательно содержит букву О (в противном случае максимальный ответ был бы равен 4), а также две буквы из четырех Б, Р, Н, А. Рассмотрим дру гие возможности. Ответ 0 свидетельствовал бы о том, что б отгадываемом слове нет ни одной из пяти букв, входящих в слово ОБОРОНА; ответ 1 и 2 — что в нем содержится соответственно одна или две буквы из четырех —Б, Р, Н, А и нет бук вы О; ответ 3 — что в нем есть О и нет Б, Р, Н, А или, наоборот, есть три из этих четырех букв и нет О; наконец, при ответе 4 делаем вывод, что задуманное слово содержит букву О и одну букву из четырех остальных или все эти четыре буквы вместе, но тогда отсутствует О. Извлекая на каждом ходу ту или иную ин формацию о задуманном слове противника, мы делаем следующий ход и т* д., пока не получим ответ «отгадал». *7 f ЛОГИКА 6 ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 170 Естественно, слова задумывают оба игрока, причем они стараются выбрать их потруднее для отгадывания. Побеждает тот, кто отгадывает слово противника, то есть получает ответ «отга дал», за меньшее число ходов. Как и в большинстве игр в слова, и задуман ное слово, и «ходы» должны быть существитель ными нарицательными в единственном числе. Чтобы избежать лишних споров, лучше всего сразу договориться о том, какие разрешается использовать словари. Очевидно, игра «отгадать слово», как и «быки и коровы», является тестовой. Выбор слов-ходов, приводящих к цели, по существу, есть тест для отгадывания задуманного противником слова (шифра), и задача игрока состоит в том, чтобы пос троить тест как можно короче. Конечно, игру лег ко обобщить, разрешая задумывать слова другой длины, однако длина «пять» является оптималь ной (подобно четырем цифрам в «быках и коро вах»— разнообразие пятибуквенных слов очень велико, и отгадывать их совсем не просто). Делать ходы (называть тестовые слова) не обязательно по очереди, важно лишь общее чис ло ходов. При большом количестве партий в каж дой из них можно учитывать не только то, кто р ан ьте отгадал слово, но и на сколько ходов быс трее. Для того чтобы лучше ознакомиться с иг рой, почувствовать ее тонкости, разберем несколь ко партий, т. е., выражаясь шахматным языком, прокомментируем их. Всюду предполагается, что t7 t логические ИГРЫ ee слово задумывает наш партнер, и нам надо его отгадать. Рядом с называемыми словами указы ваются ответы противника на ник. - « ■■ HI I чт J J V J J J 'I V J ■ ■— ■- ■- ■== . ПАРТИ Я 1 1. ПЕРЕВАЛ! В начале игры, по-видимому, имеет смысл хо дить словами, в которых побольше гласных — глас ных в алфавите меньше, чем согласных, и, значит, есть шансы быстрее отгадать их. Для выявления одной конкретной буквы лучше всего сыграть сло вом с большим числом ее вхождений. Например; на слоЕО ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ ответ, мень ший семи, означает, что буквы О в задуманном сло ве нет, в ответ 7 или больше, что она почти навер няка в нем есть. Конечно, вопрос о букве О решает и ход ОКО (или БОБ), но он дает нам намного мень ше информации об остальных буквах. В данной партии первый ход позволяет сде лать следующий вывод: либо в задуманном слове есть буква Е и нет букв Н , Р , В, Л, либо есть две буквы из этой пятерки, но нет Е. Цель второго хода —разобраться в ситуации. 2. СВАЛКА О Ответ 0 всегда приятен. Он дает возмож ность выбросить из рассмотрения целый ряд ■f f •• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ _________________________________________ 172 букв. В данном случае после второго хода мы видим, что б задуманном слове нет букв В, А, Л (и, конечно, С и К), и, значит, с учетом первого хода оно содержит либо Е, либо одновременно ПиР. 3. поп о Итак, второй вариант отпадает, буквы П, а вместе с ней и Р в слове нет, а есть Е. 4. ФАКУЛЬТАТИВ 4 Так как мы уже знаем, что букв А, К, Л, В в слове нет, то последний ход и ответ на него озна чает, что фактически нам надо проанализировать следующую ситуацию с фиктивным словом-хо дом: ФУЪТТИ 4. Предположим, что в задуманном слове нет Т, тогда оно содержит все четыре оставшиеся бук вы, то есть Ф, У, Ь, И. Поскольку буква Е уже найдена раньше, искомое слово должно состоять из букв Ф, У, Ь, И, Е. Но из этих букв собрать слово невозможно (это уже не логический ана лиз, а чисто словесный). Таким образом, в заду манном слове обязательно присутствует буква Т, кроме того, в нем есть Е и две буквы из четырех Ф, У, Ь, И. Очередными ходами мы могли бы опреде лить две эти буквы и недостающую пятую. Од нако сначала попробуем извлечь побольше ин- ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 7 Г 17о —---- — ' ■1■■ ■— ——— — ' -■ •t формации, не делая ходов, а только основыва ясь на полученных ответах (самое тонкое место партии!). Две буквы из четырех можно выбрать шестью способами, С^= 6. Добавляя к каж дой паре уже известные буквы Е и Т, получаем шесть возможных комбинаций: 1) Ф , У, Е, Т; 2) Ф, Ь, Е, Т; 3) Ф, И, Е, Т; 4) У, Ь, Е, Т; 5) У, И, Е, Т; 6) Ь, И, Е, Т. Внимательный анализ показывает, что пос ледние три комбинации при любом добавлении пятой буквы не могут образовать никакого сло ва. Что же касается первых трех комбинаций, то, добавляя к первой из них букву Б, ко второй Н или к третьей Ш, получаем три возможных слова: БУФЕТ, НЕФТЬ, ФЕТИШ. Конечно, ана лиз требует большого перебора вариантов, но зато мы не сделали ни одного лишнего хода! Итак, нам осталось выяснить, какая из трех букв — Б, Н, Ш —входит в задуманное слово. Попытаемся справиться с этой задачей за один ход. Для этого используем такой прием: подбе рем слово, в котором одна из этих букв не содер ж ится вовсе, а две другие содержатся, но в раз ном количестве. Следующий ход удовлетворяет этим требованиям. 5. БАНАН 1 Ответ показывает, что в слове есть буква Б, и следующий ход заканчивает игру. £ ■• ЛОГИНА В ВОПРОСАХ - ИОТВЕТАХ 174 6. БУФЕТ Отгадал При ответе на пятом ходу О задуманным ока залось бы слово ФЕТИШ, а при ответе 2 — НЕФТЬ. Кстати, неточным был бы, например, пятый ход СНОБ, так как при ответе 1 мы не смогли бы решить, какая из двух букв, Н или Б, входит в задуманное слово. ПАРТИЯ 2 1. КАРЕЛ 3 2. КРЕОЛ 2 Поскольку четыре буквы у этих двух слов общие, а ответы разные, делаем вывод, что бук ва А в искомом слове есть, а буквы О нет. Кроме того, из ответа на второй ход следует, что из че тырех букв К, Р, Е, Л в искомом слове содержат ся две. Шесть возможных вариантов запишем следующим образом: 1) А, К, Р (Е, Л, О); 2) А, К, Е (Р, Л, О); 3) А, К, Л (Р, Е, О); 4) А, Р, Е (К, Л, О); 5) А, Р, Л (К, Е, О); (1) 6) А, Е, Л (К, Р, О). Здесь перед скобками записаны буквы, кото рые искомое слово может содержать, а внутри ско бок буквы, которых при этом в слове точно нет. ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 175 II 3. БЕКОН 3 Три буквы из четырех (буквы О в слове нет) можно выбрать четырьмя способами (CJ = 4): 1) Б ,Е ,К 2) Б, Е, Н 3) Б, К, Н 4) Е, К, Н (О, Н); (К, О); (Е, О); (2) (Б, О). Комбинируя шесть вариантов (1) с четырьмя вариантами (2), получаем 6x4= 24 комбинации. Однако не все они «совместны». Так, несовместны ми являются первые возможности в (1) и (2). С од ной стороны, буква Е содержится в искомом слове — первый вариант в (2), а с другой — нет — пер вый вариант в (1). Анализ показывает, что из 24 вариантов совместными являются только шесть: 1) К, А , Р , Б , Н {Е , Л , О); 2) К , А , Е , Б (Р , Л , О , Н ); 3) К , А , Е , Н , (Б , Р , Л , О); 4) К , А , Л , Б , К (Р , Е ,"0 ); 5} А , Р , Е , Б , Н ( К , Л , О); 6) А , Е , Л , Б , Н (К , Р> О). 4. АБРИС 1 Учитывая, что в искомом слове есть А, нахо дим, что в нем нет Б, и, значит, из последней подборки, содержащей шесть слов, остается только третья возможность — искомое слово со держит четыре буквы К, А, Е, Н. *} f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ^ ^^ 5с БРО Ш Ь 1 Букв Б, Р, О в задуманном слове нет, и мы получаем, что в нем есть Ш или Ь. Итак, имеем две возможные пятерки букв: К, А, Е, Н, Ь или К, А, Е, Н, Ш. Из первой пятерки слова образо вать нельзя, а из второй можно — КАШНЕ. Сле дующий ход завершает партию. 6. К А Ш Н Е О тгад ал Заметим, что идея разыграть вторую партию возникла в связи со следующим упражнением, приведенным однажды в журнале «Наука и жизнь». Найти слово, которое состоит из пяти разных букв, содержащихся в указанном коли честве в таких шести словах: АБРИС БРОШЬ БАРИН КРЕОЛ БЕКОН КАРЕЛ 1 1 2 2 3 3 Бот решение упражнения, приведенное в журнале. Слова БАРИН и АБРИС имеют 4 общие буквы, при этом БАРИН содержит 2 буквы заду манного слова, а АБРИС — одну. Из этого следу ет, что Н входит в него, а С — нет. Аналогично, 17_ \і і .. . . . .... ■— ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ... 7 f «a сравнивая слова КАРЕЛ И КРЕОЛ, находим, что А входит в задуманное слово, а О — нет. Из слова АБРИС по условию в искомое слово входит ровно одна буква. Поскольку, как мы установили, оно содержит А, то букв Б, Р , И, С в нем нет. Так как в слове нет букв Б, Р, О, из слова БЕКОН в него обязательно входят Е, К, Н, а из слова БРОШЬ — Ш или Ь. Итак, пятью буквами задуманного сло ва являются либо Н, А, Е, К, Ш, либо Н, А, Е, К, Ь. Из второго набора слова не получится, а пер вый дает слово КАШНЕ, которое и требовалось найти. Во второй партии мы специально играли теми же словами, что и в данном упражнении. Партия, надо сказать, получилась д о е о л ь н о «на пряженной», но зато мы обошлись без слова БА РИН, то есть сэкономили целый ход, что для этой игры не так мало. Наш пятый ход был, вообще говоря, неточен. Действительно, при ответе 0 вы яснилось бы, что в слове нет ни ІН, ни Ь, однако оно может содержать П и Д (ПЕНКА, ДЕКАН). Легко придумать слово, расшифровывающее сра зу 3 буквы — Ш, П, Д, например ДЕДУШКА. ПАРТИ Я 3 1. ПЕРЕВОД 6 В искомом слове точно есть буква Е (без нее максимальный ответ 5), а также 4 буквы из пяти П, Р, В, О, Д. Итак, имеем 5 возможностей: 1)Е, *7 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 178 П, Р, В, О; 2)Е, П, Р, В, Д; 3) Е, П, Р, О, Д; 4) Е, П, В, О, Д; 5)Е, Р ? В, О, Д. Однако слово удается составить только из последней комбинации букв — ВЕДРО. Фактически партия продолжалась всего один ход! 2. ВЕДРО Отгадал Стоит отметить, что, если пять букв уже на йдены, это еще не означает окончания партии. Ведь не исключено, что из этой пятерки букв можно составить не одно слово, а несколько. Сло ва, образованные из одних и тех же букв, назы ваются анаграммами, а набор таких слов — бло ком анаграмм. Если, определив 5 букв, мы «на толкнулись» на такой блок, придется сделать до полнительные ходы, чтобы выяснить, какое именно слово задумано. П АРТИ Я 4 1. ТАПОК 5 2. КАПОТ 5 3. ПОКАТ 5 4. ТОПКА Отгадал В последнем примере, который можно счи тать эндшпилем некоторой более длинной пар тии, определив на первом же ходу все пять букв задуманного слова, мы затем сделали еще три 17У ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ -------------------------------------------------- -------------- O f хода, чтобы найти само слово, то есть дела сло жились не самым лучшим образом. Может показаться, что загадывать словаанаграммы выгодно, поскольку даже при отга дывании всех букв нашего слова дальнейшие действия партнеру придется вести наобум — от него уж е ничего не зависит. Но надо учесть, что чем больше слов в блоке анаграмм, тем меньше используется редких букв и, значит, тем лег че найти пятерку букв. Блок пятибуквенны х анаграмм (нас интересуют сейчас только такие) может содержать от двух слов до шести. Вот уни кальный набор анаграмм, состоящий из шести слов (единственный в русском языке): АВТОР, ТОВАР, ТАВРО, ОТВАР, РВОТА, ВТОРА. Под робнее об анаграммах мы поговорим в следующей главе. В игре «отгадать слово» возникают интерес ные и оригинальные задачи со словами. Рассмот рим 10 таких задач, решение большинства кото рых нам не известно. По правилам игры ходы представляют собой слова русского язы ка (как уже говорилось, существительные нарицатель ные в единственном числе). А что изменится, если снять это ограничение, то есть разрешить делать ходы, так сказать, абстрактными слова ми — состоящими из произвольного набора букв? Может показаться, что таксе изменение правил не имеет особого значения, однако из решения следующей задачи следует, что игра при этом «вырождается». *} f •• ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ - - - 180 Задача 1. За сколько ходов можно угадать слово (или 5 букв анаграммы), если разрешается ходить «абстрактными» словами? Эта задача носит чисто математический характер, и ответ на нее довольно неожиданный — требуется всего один ход! Он может быть, например, таким: Л Б ............Б В ........... В . . . . Я ........... Я 10 Р а з I П2 р а з . І О 32 р а з Данное «слово» содержит все 32 буквы ал фавита, причем букву А —Іраз (10°), букву Б — 10 раз (ІО1) и т. д., букву Я — ІО32 раз. Ответ на ход, сделанный таким словом, позволяет сразу определить 5 букв. Действительно, если в заду манном слове есть буква А, то последней цифрой ответа будет 1, если же А в нем нет, то на втором месте справа (количество десятков) стоит 1, в противном случае — 0. Если слово содержит В, то на третьем месте справа (количество сотен) стоит 1, в противном случае — 0 и т. д. Таким образом, число, которое мы получим в ответ на наш ход, состоит из многих нулей (28, если в слове есть буква Я) и равно пяти единиц, кото рые и определяют пять нужных букв. Приведем пример. Пусть в ответ на наше аб страктное слово получено число 100 101 011. Это значит, что в задуманном числе имеются буквы: Iо I ' ■' ■— ' і - ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ................. ............. 9 Г •• А (1 на правом конце), Б (1 на втором месте спра ва), Г (1 на четвертом месте справа), Е (1 на шес том месте справа) и 3 (1 на девятом месте справа). Итак, задумано слово ЗАБЕГ. «Волшебное» сло во имеет астрономическую длину, но в данной задаче важно лишь само существование универ сального хода. Проведем параллель между этой словесной игрой числовой игрой «быки и коро вы». В обеих тестовых играх требуется отгадать, что задумал противник: в одном случае какое число, в другом — какое слово; при этом на каж дом ходу извлекается некоторая информация о задуманном числе или слове. В каждой игре су ществуют свои ограничения, которые и придают ей творческий характер. В «быках и коровах» ходами служат произвольные наборы из 4 цифр, а в «отгадай слово» — наборы букв произвольной длины, но обязательно слова русского языка. Конечно, «быки и коровы» — чисто логическая игра, а «отгадай слово» — все-таки игра словес ная. Можно сделать гибрид из этих двух игр, ис пользуя как для шифра, так и для ходов слова, содержащие одинаковое число разных букв, а от веты давать в виде «быков и коров». Но, кажет ся, такой гибрид менее интересен, чем каждая из двух игр в отдельности. Вернемся к обычному варианту игры «отга дай слово». Часто в процессе отгадывания воз никает необходимость определить, содержится ли б слове та или иная конкретная буква. В связи с этим любопытна следующая задача. f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ! 82 Задача 2 Для каких букв алфавита можно определить за один ход, содержатся они в задуманном слове или нет? Здесь предполагается, что никакой инфор мацией о задуманном слове мы пока не распола гаем. И тем не менее почти две трети алфавита — 20 букв из 33 — требуют всего одного хода для выяснения вопроса об их наличии (см. табл, на с. 184—185). Идея очень проста — «подозри тельная» буква долж на вы деляться числом вхождений в тестовое слово. Проще всего ис пользовать трехбуквенные слова с двумя оди наковыми буквами. Получая ответ на такой ход, мы сразу определяем, есть ли две эти буквы в задуманном слове или нет. Пусть сделан первый ход ДЕД. Если ответ 0, то в задуманном слове нет ни Д, ни Е. Если ответ 1, то есть Е и нет Д, если ответ 2, то есть Д и нет Е, наконец, если ответ 3, то есть и Д, и Е. Всего трехбуквенными словами такого вида удается определить 10 букв. Еще для 10 исполь зуются слова большей длины. Девять искомых тестовых слов устроены так: они содержат подо зреваемую букву и еще две пары других букв. В результате нечетный ответ (1,3 или 5) свидетель ствует о наличии данной буквы в задуманном слове, а четный (0,2 или 4) — об ее отсутствии. Для отгадывания буквы А тот же прием потре t ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ Оf бовал семибуквенного слова (в нем три пары посторонних букв)* Можно использовать и более короткое пятибуквенное слово АТАКА. Здесь идея отгадывания несколько иная —ответ 3 и больше говорит о том, что буква А есть, а мень ший ответ, что нет. Конечно, пятибуквенное сло во, которое служит для разгадки одной из своих букв, может не помочь для определения других его букв. Так, если ответом на ход ДОВОД слу жит число 2, то мы знаем, что в задуманном сло ве нет В, а есть Д или О, но какая именно из этих букв — не известно. Другое дело, если бы какоенибудь пятибуквенное слово содержало только 2 буквы (одну — 2 раза, а другую — 3), тогда они определялись бы сразу, однако такого слова нам найти не удалось. Даже если все буквы слова имеют разное чис ло вхождений, оно тем не менее может оказать ся непригодным для определения каждой из них. Так, слово БАОБАБ содержит три буквы в разном количестве, но при неудачном для нас от вете на него мы не сможем точно сказать, какая из его букв содержится в задуманном слове. Дей ствительно, ответ 0 говорит о том, что в слове нет букв А, Б, и 0, ответ 1 — что в слове есть О, но нет А и Б ответ 2 — что в слове есть А, но нет Б и О, однако ответ 3 не вносит полной ясности — из него следует, что либо в слове есть Б и нет А и О, либо, наоборот, нет Б и есть А и О. Цель может быть достигнута, если три буквы, которые мы хотим разгадать, содержатся в слове-ходе в таких *} f •• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — 184 количествах: 1,2,4 или 2,3,4. Однако существу ют ли такие слова в русском языке, нам тоже не известно. Задача 3 Для каждой буквы алфавита ответить на сле дующий вопрос: за какое наименьшее число хо дов можно точно определить, содержится ли эта буква в задуманном слове или нет? Оказывается, что любую букву (исключая Ъ) можно найти не более чем за два хода! Необходи мую пару слов для отгадывания 12 букв можно образовать так: одно слово составить из букв вто рого слова с добавлением искомой буквы. Одина ковые ответы на эти слова покажут, что в заду манном слове данной буквы нет, а разные — что **_ есть. Например, одинаковые ответы на ходы РАИ и АР означают, что буквы И в задуманном слове нет, а разные (они могут отличаться только на 1) — что есть. Всего данным приемом определяет ся 12 букв (см. табл. ). Для Ъ удалось найти только трехходовое решение. Интересно, что если буквы Е и Е не раз личать, то и для Ъ достаточно двух слов — МО ПЕД, ПОДЪЕМ. Каждый читатель может соста вить свою собственную таблицу, позволяющую отгадывать буквы алфавита. Для букв, которые отгадываются только за два хода, можно поста вить задачу нахождения такой пары слов (реша ющих вопрос о наличии букв), сумма чисел букв • #> ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 185 --------------------------— -------------- — — ;; § которых минимальна. Н а практике, конечно, редко стремятся найти какую-то одну определен ную букву задуманного слова. В процессе игры возникают различные ситуации, и не стоит гнаться за одной буквой, а лучше попытаться извлечь больше информации о задуманном слове противника. ТА Б Л И Ц А А Б В Г Д Е Е Ж 3 и й к л м н о п РОТАТОР БОБ ДОВОД НАГАН ДЕД ДЕД ЕЛКА, ЛАК Ж АР, АР КАЗАК МИМ РАЙ, АР ОКО ШАЛАШ МИМ КОКОН ч око поп ю я р с т У ф X ц ТРАТА кокос ПОТОП ПУП ТОРФ, ТОР ДОХОД ЦЕЛЬ, ЕЛЬ ЧЕСТЬ, СЕТЬ ш шиш щ Щ ЕЛЬ, ЕЛЬ ъ ВЪЕЗД, ЗЕВ, ы ь э ДЕД ДЫРА, ДАР КОНЬ, КОН ЭРА, АР ЮБКА, БАК ЯБЕДА, БЕДА В третьей партии, сыграв словом из семи букв, мы сразу отгадали задуманное слово, хотя П 1У ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 186 при этом пришлось провести определенный ана лиз. В следующем примере определить задуман ное слово по семибуквенному ходу совсем легко. ^ ПАРАПЕТ 7 Полученный ответ сразу дает нам 5 букв: П, А, Р, Е, Т и вместе с ними слово ПАТЕР. Теперь можно сформулировать такую инте ресную задачу. Задача 4 Придумать как можно более длинное слово* которое на первом же ходу (при удачном для нас ответе противника) позволит отгадать задуман ное слово. Поскольку семибуквенное тестовое слово мы уже знаем, искать следует слова из 8, 9 и более букв. Задача 5 Придумать к ак можно более короткое сло во, которое на первом же ходу (при удачном от вете противника) позволит отгадать задуманное слово. Эта задача как бы противоположна задаче 4 и напоминает «балду». Действительно, сыграв на первом ходу коротким словом, мы должны от гадать три или четыре буквы, которые затем од- 187 ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 9 Г ...... — ——«s нозиачно дополняются до задуманного слова. Задачи 4 и 5 связаны с отгадыванием слова за один ход. Предположим теперь, что первым хо дом отгаданы четыре его буквы. Пусть, напри мер, партия начата ходом 1- АТЛЕТ 5 Ответ показывает, что в задуманном слове есть буквы А, Т, Л, Е. Осталось определить п я тую букву. Разумеется, не очень эффективно ис пользовать для этой цели наш у таблицу. Ана лиз показывает, что из 29 остальных букв алфа вита вместе с четырьмя найденными слово мо гут образовывать только восемь: Б (БАЛЕТ), В (ВАЛЕТ, анаграмма ВЕТЛА), М (МЕТЛА), Н (ЛЕНТА), П ( ЛЕПТА), Р (ТАЛЕР), У (АЛЕУТ), Ф (ЛАФЕТ). Возникает следующая задача. Задача 6 Придумать такой первый ход, после которо го четыре буквы задуманного слова определяют ся сразу, а для пятой остается как можно боль ше возможностей (может быть, восемь - это ре корд?). В приведенном примере (тем более если воз можностей больше восемь) не удается определить одним ходом, какая из букв является искомой. В связи с этим получаем еще одну задачу. 9 f • • ЛОГИКА В ВОПРОСАХ і .1. і .і И ОТВЕТАХ . ............................ 188 Задача 7 Какое максимальное число букв можно рас познать одним ходом, то есть определить, какая именно (ровно одна) из этих букв входит в заду манное слово? Для решения этой задачи нужно найти та кое слово, в которое одна из «подозрительных» букв не входит совсем, вторая входит 1 раз, третья 2, четвертая — 3 раза и т . д., как можно больше. В отличие от предыдущих задач пред полагается, что четыре остальные буквы заду манного слова нам уже известны. Пусть, напри мер, надо определить, какая из четырех букв У, Е, Н, О входит в задуманное слово. Тогда задачу решает слово ДЛИННОШЕЕЕ, в которое У не входит, О входит 1 раз, Н — 2 раза, Е — 3 раза. По ответу на это слово мы сразу определим недо стающую пятую букву (зная, конечно, информа цию о вхождении в задуманное слово букв Д, Л, И, Ш). Буквы У, О, Н, Е в последнем примере выбраны не случайно. Предположим, что в игре сделан такой первый ход: 1. КАБАЛА 6 Из ответа следует, что задуманное слово со держит четыре буквы К, А, Б, Л. Какая ж е бук ва пятая? Анализ показывает, что найденные I оJ - — ... .. ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ . . - — 9 Г »* буквы можно дополнитъ до слова пятью способа ми: БУЛКА, КОЛБА (или БОКАЛ), БЕЛКА, БАЛЫК. Итак, надо выяснить, какая из букв У, О, Н, Е, Ы — пятая в искомом слове, и мы при шли к рассмотренному примеру* Если на второй ход ДЛИННОШЕЕЕ мы получим ответ 1, то ис комой будет буква У или Ы (так как есть вхож дение Л, то букв О, Н, Е в слове нет), и задумано слово БУЛКА или БАЛЫК. Сделав ход любым из них, мы определим по ответу искомое слово (хотя ответ «отгадал» можем получить только на следующем ходу). Если ответ на второй ход — 2, то получаем букву О, и еще один ход понадобит ся, чтобы разобраться с анаграммами (КОЛБА или БОКАЛ). При ответе 3 имеем букву Н и сло во БЛАНК, наконец, при ответе 4 — букву Е и слово БЕЛКА. В примере с первым ходом АТЛЕТ мы име ли сразу семь возможных пятых букв, и, по-ви димому, их можно распознать не менее чем за три хода. В примере с первым ходом КАБАЛА у нас пять возможных пятых букв, но первым же хо дом мы почти полностью выяснили ситуацию — либо это одна из трех букв О, И, Е, либо одна из букв У, Ы. Возникает следующая задача. Задача 8 Придумать партию, в которой на первом ходу отгадываются четыре буквы задуманного слова, при этом для пятой остается как можно больше f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 190 возможностей, и все они распознаются на втором ходу (в задаче 6 это не обязательно). В отличие от задачи 7 здесь требуется не про сто распознать за один ход как можно больше букв, а сделать это так, чтобы соответствующий набор букв возник как бы в процессе игры после первого хода. Предположим теперь, что мы догадались, какое слово задумал противник, назовем его сло вом-гипотезой. Будем считать, что самим этим словом ходить нельзя. Тогда получаем еще одну задачу. Задача 9 Д л я р = 2,3... придумать такое слово-гипоте зу, для которого не существует стратегии, поз воляющей убедиться в правильности гипотезы быстрее чем за р ходов. Задача легко решается для значений р= 2,3, 4 , 5 . Действительно, в этих случаях в качестве «гипотезы» можно взять анаграмму, порождаю щую блок из (р-Ы)-го слова. Например, анаграмма АВТОР, как мы зна ем, с гарантией определяется только после пяти ходов, сделанных остальными пятью словами ее блока (состоящего из шести слов). При меньшем числе ходов мы еще не можем быть уверены, что задумано слово АВТОР. Для больших значений р блоки из (р-Ы)-й анаграммы не известны, и за дача усложняется. 191 Л ОГИ ЧЕСКИ Е ИГРЫ При желании молено придумать и другие за дачи и упражнения для увлекательной игры «от гадать слово». По-видимому, многие из них вряд ли удастся решить без привлечения компьютера к словарю русского языка. Во всяком случае, про последнюю задачу это можно сказать с уверен ностью. Задача 10 Какое минимальное число ходов достаточ но сделать, чтобы наверняка отгадать заду манное слово противника, к ак и м бы оно ни было? Опыт игры показывает, что при тонких и внимательных действиях задуманное слово уда ется определить, как правило, за 5—7 ходов, но доказать этот факт мы не беремся. МОРСКОЙ БОЙ Не каждому читателю приходилось играть в «быки и коровы» или «отгадать слово», но чело века, который ни разу в жизни не сражался в «мор ской бой», наверное, не найти. Несмотря на внеш нюю простоту, эта популярная игра и ее различ ные модификации содержат немало тонкостей. Классический морской бой. Начнем с само го популярного варианта морского боя, распрос траненного во многих странах. Каждый из двух *7 f •• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ............. I — ............... І.ІІІ. I , — . 1. ■■ щ щ . I Ул игроков рисует на клетчатом листе бумаги две до ски размером 10x10. Н а первой из них он рас ставляет свои корабли, а на второй разгадывает расположение кораблей противника. В состав флотилии входят десять кораблей: один линкор (корабль 4x1), два крейсера (3x1), три эсмин ца (2x1) и четыре катера (1x1). Корабли могут занимать любые поля доски, но не должны ка саться друг друга ни сторонами, ни углами. После размещения флота игроки начинают по очереди стрелять по неприятельской терри тории, то есть называть поля доски — аЗ, 67, п9 и т. д. (горизонтали доски будем обозначать чис лами от 1 до 10, а вертикали — русскими буква ми от а до к — см. рис. 14 и 15). После каждого выстрела игрок получает от партнера следующую информацию: «попал», если выстрел пришелся по полю с кораблем; «убил», если это последнее поле корабля (по другим полям, занятым им, попадание произошло раньше); и, наконец, «мимо», если поле пустое. В первых двух случа ях игрок производит еще один выстрел, и так до первого промаха, после чего очередь хода пере дается партнеру. Побеждает тот, кто первым по топит все десять кораблей противника. Таким образом, в данной тестовой игре шиф ром служит набор прямоугольников, расположен ных на доске, а самим тестом — удары по ней. Обычно выстрел в морское бое обозначается точ кой, а при попадании в корабль точка превраща ется в крестик (сам потопленный корабль обво- ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 193 9 ? дится прямоугольником). Конечно, точки ставят ся и на те поля, про которые уж е точно извест но, что они не могут входить в состав ни одного из кораблей (лежат наискосок от «подбитых» полей или окружают потопленный корабль). Мономино Домино П рям ое тримино Прямоуголъ ное Прямое Квадратное тримино тетрамино тетрамино Т-тетрамино Косое Ы тетрамино тетрамино Рис. 9 Р азли чны е доски и корабли. Очевидно, фор ма доски в морском бое, вид кораблей и состав фло тилии особого значения не имеют. Так, шахма тисты, возможно, предпочтут играть на доске 8x8. Заметим, что в терминах игры «полимино» наши корабли имеют такие названия: катер — мономи но, эсминец — домино, крейсер — прямое три мино, линкор — прямое тетрамино (рис.9). В 7. Зак. 189 <7 f о» ЛОГИКА 5 ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■■ 11*4 качестве кораблей в этой игре можно использо вать и другие виды полимино. На рис.9 представ лены все девять кораблей» содержащих не более четырех клеток. Сражение можно вести не только на море, но и на суше. Для этого доску следует разбить на две части — морскую и береговую. Противники получают в свое распоряжение три вида боевых средств — флот (корабли могут располагаться только в мере)» сухопутные войска (размещают ся на суше) и самолеты, которые находятся как в море, так и на суше. Можно, например, исполь зовать для игры 20 боевых единиц: во флотилию включить десять кораблей обычного морского боя, в сухопутные войска — два квадратных, два косых, два Т- и два L-тетрамино и, наконец, два прямоугольных тримино превратить в самолеты. Одно из расположений всех видов войск на до ске 20x15 представлено на рис. 11 (береговая часть доски на рисунке заштрихована). Как и положено, флот находится в море, а сухопутные войска дислоцированы на суше, один самолет ле тает над морем, другой охраняет берег. а ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ Р и с . 3.0 Вот еще одна разновидность морского боя. Игра протекает на шахматных досках 8x8; каж дый кз двух игроков разбивает свою доску на че тыре части произвольной формы, состоящие из одинакового количества полей — по 16 каждая. На рис. 10 даны четыре варианта разбиения до ски* Ход состоит из четырех одновременных вы стрелов по полям доски, образующим произволь ный квадрат 2x2, например 6 5 ,6 6 , в5, вб (на рис. 10 его поля помечены крестиками). Обстрелива емый игрок сообщает номера частей, в которые произошло попадание, не указывая при этом, какие поля каким частям принадлежат. Для на ших квадратов ответы будут такие: 2,2, 2, 3 — рис. 10а; 1, 1, 2, 2 — рис. 106; 2 , 2, 3, 4 — рис. ІѲв; 2, 2, 3, 3 — рис. Юг. После каждого хода партнеры делают определенные выводы о воз можном разбиении доски и на их основании вы бирают следующий ход. Побеждает игрок, кото рый первым определяет, на какие четыре части разбил противник свою доску. 7* *7 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 196 Р исД І Стратегия игры в морской бой. Вернемся к обычному морскому бою на доске 10x10. Конеч но, успех здесь, как и в предыдущих тестовых играх, в какой-то мере зависит от везения. Мож но беспорядочно наносить удары по неприятель ской территории и при этом без промаха уничто жить все его корабли. Но вряд ли на это стоит рассчитывать. Если говорить об искусстве игры в морской бой, возникают два вопроса: 1) как стрелять, чтобы повысить вероятность по падания в неприятельские корабли; 2) х^ак расставлять собственные корабли, чтобы противнику было труднее их потопить? X X X X X X X X X X X X X X X X X. г X X X1і ' X м X L.Г[ X ЛОГИЧЕСКИЕ! ИГРЫ 197 ..» ^ ‘Лй f % X. X х ! Р ис, 13 Предположим, мы хотим попасть в непри ятельский линкор. Если стрелять последова тельно, сначала по полям первой горизонтали (слева направо), затем по полям второй и т. д ., не исключено, что мы обнаружим его только после 97-го удара (если корабль занимает поля с жІО по кІО). Однако, стреляя по полям, обозна ченным крестиками на рис. 12а или 126, мы на верняка попадем в линкор не позднее 24-го удара (24 крестика следуют друг за другом через три поля вдоль каждой вертикали и горизонтали). Рассмотрим более общин случай. Предпо-ложим, что на доске пхп расположен один-единственныя корабль к х 1 (к-мино), Совокупность выстре лов, гарантирующих нам попадание в этот корабль, назовем стратегией. Стратегию, содержащую ми нимальное число выстрелов, назовем оптималь ной; число выстрелов в ней обозначим через s(n,k). Очевидно, s (4,4) = 4; все семь оптимальных стратегий для доски 4x4 представлены на рис. 6 (стратегии, которые совпадают при поворотах *}f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 198 и зеркальных отражениях доски, мы не различа ем). Сдвигая все выстрелы на четыре поля по вер тикали и горизонтали, получаем семь стратегий на доске 10 х 10. Однако только две из них явля ются оптимальными (рис. 12а и 126 сравните с рис. 13а и 136), причем s (10,4) “ 24. Ясно, что для попадания в корабль к х 1, рас положенный на доске пхи, выстрелы должны отстоять друг от друга на к полей по вертикали и горизонтали. Это означает, что на каждой линии содержится примерно по n/к выстрелов опти мальней стратегии, и мы получаем приближен ную формулу s(n, k W k Опытные игроки обычно действуют следую щим образом. Сначала, пользуясь одной из стра тегий на рис, 12, обнаруживают единственный линкор противника. Когда с ним будет поконче но, принимаются за поиск крейсеров. Теперь удары наносятся не через три поля по вертика лям и горизонталям, а через два. Потопив оба крейсера, переходят к эсминцам. Когда непотоп ленными останутся одни катера, выбор полей ударов уже не будет иметь никакого значения, и приходится полагаться только на случай. Конеч но, «легкие» корабли могут быть обнаружены и при охоте за «тяжелыми». Итак, труднее всего обстоит дело с катерами, для нахождения которых нельзя придумать эф- „_ л ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 199 — ------------ ---------- — ——----фективной стратегии. Поэтому при размещении собственной флотилии надо располагать все крупные корабли поплотнее, представляя про тивнику для поиска катеров к ак можно больше свободной территории. Наиболее выгодное в этом смысле размещение показано на рис Л 4. Если даже соперник потопил все шесть наш их круп ных кораблей, для обнаружения катеров у него имеется территория наибольшей площади — це лых 60 полей (на рисунке справа от черты). а) 10 т " Г 9 X S X 7 С S 4 3 2 1 я 6 в F ■ * ч . , к X X X + * * * + XX Л t ж 3 и к ; 10 _ * 9 , + * У + * 7 X X |х X X 6 S X 4 X * , X 3 ? X 1 а 0 в г л Q ж 3 1! і; Р и с .1 5 Р и с .1 6 б) J •9 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -200 Напряженный бой. Рассмотрим интересный «эндшпиль», б котором одна неточность сразу решает исход боя. На рис. 15 изображено положение, возникшее в процессе игры. К данному моменту обе флоти лии — и наша (рис. 15а) и противника (рис. 156) пострадали одинаково. У обеих потоплены лин кор, один крейсер и один эсминец, продолжают сражение по одному крейсеру, по два эсминца и все четыре катера. Расположение наших кораб лей противнику уже известно (на рис. 15, а они обведены), и при своем ходе он разгромит их без промаха. К счастью, ход наш, и судьба партии в наших руках. Мы должны потопить один за другим все семь его кораблей, сосредоточенных в квадрате 5 x 5 . Для нахождения победной комбинации в этой напряженной схватке требуется прежде всего провести логический анализ ситуации. Р и с .1 7 По правилам любые два корабля отстоят друг от друга не меньше, чем на одно поле. Окружим каждый корабль каймой шириной в полполя (рис. 16), полученный прямоугольник назовем 2 ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 7Г достройкой этого корабля. Найдем теперь пло щадь достроек всех семи кораблей, которые пред стоит потопить. Достройка катера — 4 клетки (2 х 2), эсминца — 6 клеток (3 х 2) и крейсера — 8 клеток (4 х 2). Общая площадь достроек состав ляет 36 клеток. Но площадь достройки доски (до ска с каймой в полполя) также 36 клеток, из чего следует, что угловые поля доски 5 x 5 обязатель но заняты кораблями (иначе угловая площадь достройки доски «пропадает»). Переберем все возможные расположения кораблей. Их всего пять (рис. 17а — д), повороты и зеркальные от раж ения доски не учитываются. Проведенный анализ позволяет эффектно завершить игру* Первые четыре выстрела следу ет произвести по углам доски 5 x 5 . Как мы убе дились, все они достигают цели. Если при этом три катера будут потоплены (рис. 17а), то распо ложение остальных кораблей определяется од нозначно. Пусть потоплен только один катер (рис. 176, в). Так как достройки кораблей плот но покрывают достройку доски, пятый и шестой выстрелы можно без риска произвести по полям аЗ и е і, отстоящим на два поля от углового, за нятого потопленным катером. От результатов этих двух выстрелов зависит, какой из случаев — «б» или «в» — имеет место. Если выстрелы по углам привели к потоплению двух катеров (рис. 17г, д), то удары по полям аЗ и в5 позволят сразу выяснить, какой из двух вариантов избрал про тивник. ЛОГИНА Е ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 204 различные вариации. Теория тестов представля ет собой один из современных разделов киберне тики, и ею занимаются многие математики. Под тестом понимается некоторый эксперимент, поз воляющий получить полную информацию об ана лизируемом объекте. Поскольку эксперимент всегда требует определенных затрат на его прове дение, необходимо, чтобы он был как можно про ще, дешевле. В этом смысле описанные нами игры являются типично тестовыми. Далее, обсуждая последний вариант морского боя, мы для удобст ва воспользуемся «тестовой» терминологией. По-прежнему будем называть множество выстрелов, которые одновременно производятся по полям доски, залпом. Если залп достигает цели — при любых ответах противника позволяет одноз начно определить расположение всех его кораб лей, мы называем его тестовым. Соответствую щие выстрелы и поля, по которым они произво дятся, такж е будут тестовыми. Описанная игра, хотя и является на редкость короткой (опа длится всего один ход!), весьма оригинальна и необычна. Дело в том, что «сла бый» залп, содержащий мало выстрелов, связан с риском, что мы не сможем однозначно опреде лить расположение всех кораблей противника. В то ж е время при «сильном» залпе, когда число выстрелов велико и любой ответ противника га рантирует нам расшифровку всех его кораблей, есть риск, что мы просто-напросто проиграем по числу выстрелов в залпе. Кстати, в этой игре, как ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ^ I/ «№ промахов. При обычной флотилии из десяти ко раблей первый ход состоит из десяти выстрелов. Если один или несколько кораблей потоплены, то число выстрелов уменьшается. Когда все ко рабли пойдут на дно, игрок лишается права хода (О выстрелов), но оно ему б о л ь ш е не нужно — бой закончился его поражением. Рассмотрим еще одну интересную модифика цию морского боя на произвольной квадратной доске. В ней также разрешается производить се рии выстрелов. Будем считать, что флотилии обо их партнеров состоят из кораблей одного типа: катеров, эсминцев, крейсеров, линкоров или во обще кораблей к х 1 (к-мино) па доске п х п (/с<н). Число «к» оговаривается до начала игры. Игрок может расставлять на доске любое колргчестЕО кораблей, быть может, ни одного, не сообщая это число противнику. Игра состоит всего из одного хода, который заключается в одновременном производстве вы стрелов по ряду полей доски (залп выстрелов). При этом игрок получает информацию о каждом поле доски — попадание или промах (о потопле ниях сообщений не делается). Проанализировав ответы противника, он должен однозначно опре делить расположение всей его флотилии. Побе дителем становится игрок, залп которого содер жит меньше выстрелов. Тестовой залп. Из трех тестовых игр («быки и коровы», «отгадать слово», морской бой) бли же всего к математике лежит морской бой и его и — CPW « яш и й а я - -Ѵ-Ѵ.ШШт г т ш Г. г М П — - — r 9f ! • ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ __________________________________________ _ 204 различные вариации. Теория тестов представля ет собой один из современных разделов киберне тики, и ею занимаются многие математики. Под тестом понимается некоторый эксперимент, поз воляющий получить полную информацию об ана лизируемом объекте. Поскольку эксперимент всегда требует определенных затрат на его прове дение, необходимо, чтобы он был как можно про ще, дешевле. В этом смысле описанные нами игры являются типично тестовыми. Далее, обсуждая последний вариант морского боя, мы для удобст ва воспользуемся «тестовой» терминологией. По-прежнему будем называть множество выстрелов, которые одновременно производятся по полям доски, залпом. Если залп достигает цели — при любых ответах противника позволяет одноз начно определить расположение всех его кораб лей, мы называем его тестовым. Соответствую щие выстрелы и поля, по которым они произво дятся, такж е будут тестовыми. Описанная игра, хотя и является на редкость короткой (она длится всего один ход!), весьма оригинальна и необычна. Дело в том, что «сла бый» залп, содержащий мало выстрелов, связан с риском, что мы не сможем однозначно опреде лить расположение всех кораблей противника. В то же время при «сильном» залпе, когда число выстрелов велико и любой ответ противника га рантирует нам расшифровку всех его кораблей, есть риск, что мы просто-напросто проиграем по числу выстрелов в залпе. Кстати, в этой игре, как ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 205 ---------------------- -------------------------------------------------- *} я II мы видим, очень важ на очередь хода, поэтому играть надо одну партию «белыми» и одну — «черными». Можно придать игре более строгий характер, исключив из нее элемент блефа. А именно пот ребуем, чтобы залп каждого игрока был тесто вым, то есть обеспечивал однозначное распозна вание всех кораблей противника при любом от вете. Далее мы будем рассматривать только т а кой вариант игры. Очевидно, чтобы стать непобедимым в послед нем варианте морского боя, достаточно для лю бых значений п и к решить следующую задачу. По какому минимальному числу" полей доски п х п следует произвести тестовый залп, чтобы при любых ответах противника можно было од нозначно определить расположение всех его ко раблей к х 1 (а значит, и их число)? Залп, который требуется найти в этой задаче, назовем минимальным тестовым залпом, а число тестовых выстрелов в нем обозначим через t(n, к). Рассмотрим сначала простейший случай, ког да игроки расставляют на своих досках только катера (тс—X), Очевидно, t(n, 1) = п2. Если хотя бы одно поле доски не входит в тестовый залп, то при ответе «промах» на все тестовые выстрелы мы не сможем решить, находится катер на этом поле или нет. Если к>1, то задача становится довольно сложной. Во всяком случае, автору известны ре шения только для крайних случаев: 2 и к= п в *7 f в* ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ------ 206 В следующем пункте мы сформулируем их в виде двух отдельных задач. М ин им ал ьны й тестовый з а л п . Задача 1. На доске n х п расположено некоторое ко личество эсминцев (кораблей 2x1), которым, как обычно, запрещено касаться друг друга. Каково наименьшее число полей, по которым надо выстрелить, чтобы после сообщения про тивником результатов залпа можно было одноз начно определить расположение всех его эсмин цев? Приближенный ответ такой: 1(п, 2)~ 4/5п2, и, значит, минимальный тестовый залп должен быть произведен примерно по 4 /5 площади до ски. Для обычной доски (10x10) ответ точный: t(10,2) = 4 /5 x 1 02 = 80. Минимальный тестовый залп для этого случая приведен на рис. 18, при чем тестовыми здесь являются все поля доски, кроме заштрихованных. С " Т В Г Гг_ 1 IS ш 1 d U г X I к --S7 j i I __ L Щ ш .ш р ' Щг Рис. 18 1 i_ Г j -.k I T 1 |Д" £ \ ) I ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ I I I ..................................................... . ii i i I ■ * ................................................................................... 9 f a. t Задача 2. На доске n x n размещено некоторое количес тво кораблей n x l, которые не касаются друг дру га, Каково минимальное число полей, по которым надо одновременно произвести выстрелы, чтобы после сообщения противником результатов это го залпа можно было однозначно определить рас положение всех его кораблей? Докажем, что для обычной доски 10 х 10 ми нимальный тестовый залп состоит из 14 выстре лов* Д ля этого достаточно установить, что, вопервых, набор полей, отмеченных на рис. 19 крестиками, является тестовым и, во-вторых, что меньшим числом выстрелов не обойтись. X X X X X X X X X X X X X >' J X Рис.19 Убедимся, что залп на рис. 19 тестовый* Рас смотрим последовательно, одну за другой, все горизонтали доски* Пусть по данной горизонта ли произведены два выстрела. Если один из них или оба привели к промаху, то корабля на этой *} f ©• . ЛОГИКАБ ВОПРОСАХИ ОТВЕТАХ ----„, 208 горизонтали нет. Если оба выстрела попали в цель, то горизонтальный корабль есть — в противном случае мы имели бы два вертикальных корабля с общей границей, что невозможно. Рассмотрим те перь горизонталь с одним тестовым полем. Если вы стрел по нему дал промах, корабля на горизонтали нет. Если произошло попадание, то следует посмот реть па тестовое поле, соседнее с данным по верти кали. В случае промаха по нему корабль является горизонтальным, а при попадании — вертикаль ным. Таким образом, при любых ответах против ника мы однозначно определяем расположение всех его кораблей 1 0 x 1 (их не больше пяти, при чем, только вертикальные или только горизонталь ные). Осталось показать, что наш тестовый залп минимальный. Предположим противное, пусть 1(10,10)<13. Поскольку каждая горизонталь доски содержит хотя бы одно тестовое поле (иначе при всех промахах мы не сможем определить, занята данная горизонталь кораблем или нет), а всего та ких полей не больше тринадцато, то минимум семь горизонталей содержат ровно одно тестовое поле; все эти поля назовем одинокими (по горизоіггали). Кроме них, имеется не более 13 — 7 = 6 тестовых полей, занимающих максимум 6 вертикалей. Ос тавшиеся четыре вертикали (или больше) могут содержать только одинокие (по горизонтали) поля, причем не более семи. Это означает, что, по мень шей мере, одна вертикаль доски содержит ровно одно тестовое поле, причем, оно является одино ки м (по горизонтали)* ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 9 ? .......... ... ...... ................ * —............ 00 Таким образом, мы нашли тестовое поле, оди нокое как по горизонтали, так и по вертикали. Если тестовый залп приводит к попаданию в это поле и промаху по остальным, мы не сможем оп ределить, какой именно корабль (горизонталь ный или вертикальный) проходит через него. Итак, наш залп не является тестовым — проти воречие. Б общем случае метод построения минималь ного тестового залпа для обнаружения кораблей п х 1 вытекает из рис. 19. На три тестовых поля каждого из выделенных на нем квадратов 3 x 3 приходится еще по одному, четвертому (для до ски 10 х 10 необходимо взять еще два поля в пра вом верхнем углу). Таким образом, имеем при ближенную формулу t(n, n)~ Q п. Точный ответ о зависит от остатка, который получится при де лении п на 3 и компактно записывается следую^ г 4п + 2 "I щим образом: t(n , п) = | — „ — J , где квадрат ные скобки означают целую часть числа. Д ля п = 10 снова получаем t = 10. Рис* 20 9 f *» ЛОГИКА 6 ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ........................... 2 ! 1.1 Последнюю задачу о минимальном тестовом залпе Е. Гик предложил для задачника «Кван та» . Однако когда он раскрыл свежий номер жур нала, то неожиданно обнаружил, что условие, по которому корабли не должны касаться друг дру га, в тексте опущено, и получилась совсем дру гая задача! В частности, если вся доска заполне на кораблями, то никаким числом выстрелов не возможно распознать, какие п кораблей разме щены на доске п х п —вертикальные или гори зонтальные, Впрочем, если такое плотное распо ложение кораблей запретить, то новая задача имеет решение. Число выстрелов на этот раз при дется увеличить — минимальный тестовый залп следует произвести по (2п — 1) полям, например, так, как показано на рис. 20. Редактор задачни ка «Кванта» Н. Васильев, который «вынужден» был решать новую задачу, рожденную благода ря опечатке в журнале, попутно нашел и более эффектное решение первоначальной задачи — о кораблях, которые не должны касаться друг дру га. Приведем его. Пусть по-прежнему t = t ( n , n) — число по лей, по которым наносятся выстрелы минималь ного тестового залпа, через А обозначим само 4 п. Очевид множество полей. Докажем, что 3 но, каж дая линия доски содержит хотя бы одно поле из А, и на одной горизонтали или вертика ли с ним имеется еще не меньше одного такого ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 21 I 9 Г 1■ •• поля. Расставим на полях А синие и красные еди ницы и двойки следующим образом. Если на горизонтали более одного поля из А, то поставим на каждом из них красную двойку. Проделаем такую ж е процедуру с вертикалями доски и запишем на полях А синие единицы и двойки. В результате на каждом поле А будут записаны либо единица с двойкой, либо две еди ницы, и, значит, сумма р всех написанных чи сел не больше 3t. Поскольку на каж дой линии доски мы записали «цветные» числа с суммой не меньше чем 2, т о р > 4п. Итак, 3t > р >4п, откуда t > 4п . Если п делится на 3, то точный ответ, 3 4п как мы знаем, t = — . О г4п+21 [ n r Вы, наверное, обратили внимание на то, что тестовый залп в последнем варианте морского боя аналогичен стратегии в классической игре. Од нако, если стратегия гарантирует только попа дание в единственный на доске корабль k х 1, то тестовый залп позволяет однозначно определить расположение всей флотилии кораблей. Исполь зуя некоторую стратегию в обычном морском бос и попав в цель, мы потопим корабль. Что же ка сается тестового залпа, то независимо от успеха отдельных выстрелов необходимо произвести их Общая формула: t(n, п) = *7 f •V ЛОГИНА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ------ 212 все до единого. Аналогом оптимальной страте гии служит минимальный тестовый залп. Ж е лающие еще глубже развить теорию этой игры могут исследовать ее для других значений к, а именно 2 < к < п. ИГРЫ СО СЛОВАМИ Рассмотренная ранее тестовая игра «отгадать слоео» — одна из многих десятков известных сло весных игр, хотя и выделяется среди них свои ми логическими и комбинаторными свойствами. Игры и развлечения со словами по своей по пулярности занимают одно из лидирующих мест среди других видов досуга. Кто из нас не увле кался в часы отдыха разгадыванием кроссвор дов, чайнвордов, шарад, ребусов, криптограмм и других головоломок со словами? Словесные игры расширяют эрудицию, раз вивают культуру речи и кругозор, учат работать со словарями. Немалое значение имеют они и для развития мышления и речи, поэтому часто ис пользуются воспитателями. Такие игры дают воз можность не только потренировать память и про явить эрудицию, но и глубже проникнуть в тон кости языка, разобраться в структуре словообра зования. Не случайно игры и развлечения со сло вами можно найти в замечательной «Книге о язы ке», принадлежащей перу известного американ ского популяризатора-филолога Ф. Фолсома. Q ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЪ! О £ Кроссворды, Читая эту главу, читатель, воз можно, упрекнет автора в том, что некоторые' словесные развлечения, в том числе кроссворды, отнесены к играм, хотя их следовало бы назвать головоломками. Но это не всегда так, взять хотя бы «балду» —настоящая игра с несколькими участниками. Что же касается кроссворда... Вот сообщение, которое заставит отнестись к нему несколько иначе. «Очередной чемпионат Великобритании по решению кроссвордов состоялся в Лондоне. В нем приняли участие 18 лучших специалистов со всех концов страны. Им было предложено поломать голову над четырьмя исключительно сложными заданиями. Первым с этой задачей справился Д. Сейкс, которому потребовалось все го 37,5 минуты, чтобы в шестой раз завоевать ти тул чемпиона Англии». Заметим, что при составлении кроссвордов установлено немало забавных рекордов. Италь янец Г. Далмас придумал кроссворд, в котором насчитывается 52 тысячи клеточек. Его размер — 2 х 2,6 метра, общая площадь более 5 квадрат ных метров. Всего в кроссворде 12 тысяч слов, самое большое состоит из двадцати одной буквы. Кроссворд французов Ж . Луизе и Г. Брути со держит 50 тысяч квадратиков, образующих гигантскую геометрическую фигуру, и 18 тысяч слов. Наконец, рекордный кроссворд Р. Букаэрта включает в себя 25283 слова, он заполняет лен ту длиною 12 метров. Рекордсмен создавал свое *7 f шт ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ . ............ —— —— ......... .. I ^ i t детище в течение четырех лет. Интересно, на шелся ли хоть один смельчак, который взялся за его разгадку? Наборщик. Это одна из самых распростра ненных игр. Берется произвольное слово, и из его букв составляются (набираются) другие сло ва. Как обычно, используются только имена су ществительные, нарицательные в исходной фор ме: в единственном числе, именительном паде же — и никаких ласкательно-уменьшительных. Выигрывает тот, у кого окажется больше слов. Впрочем, часто учитывают и оригинальность слов, количество букв в них. Например, если иг рают четверо, слово, найденное одним участни ком, оценивается в 3 очка, двумя — 2 очка, тре мя — І очко, а если оно записано всеми, то про сто вычеркивается (0 очков). От играющих в «наборщика», помимо эруди ции и большого запаса слов, требуются комбина торные навыки — ведь приходится производить немалый перебор букв и слов. Может быть, поэ тому в соревнованиях между «физиками и лири ками» первые побеждают чаще... Мастера словесных игр знают много важных секретов, и одно из их основных оружий — анаг раммы. Как уже говорилось в первой главе, слово, составленное из всех букв данного слова, называет ся его анаграммой. Два или более слов, образован ных из одних к тех же букв, дают блок анаграмм. Приведем несколько примеров: КОЛБА — БОКАЛ — блок из двух пятибуквенкых анаграмм; ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ^ 1 t) r .1■■■■■■ — — UUPI IHHWi !■■■■■■■.■■» I------- 9 (0 If ПРИКАЗ — КАПРИЗ — блок из двух шестибуквекиых анаграмм; КАРТА — КАРАТ — КАТАР — блок из трех пятибуквенных анаграмм; КЛО УН — КОЛУН — УКЛОН — КУЛОН — блок из четырех пятибуквенных анаграмм. Разумеется» опытные игроки» обнаружив одно слово из блока анаграмм, не задумываясь, выписывают и все остальные, чем немало удив ляют неискушенных «наборщиков». ЭВМ и анаграммы . Составление анаграмм сама по себе интересная словесная игра. Здесь имеется немало вопросов» на которые пока не найдено ответов. Неизвестно» например, сколь ко всего в русском языке анаграмм, сколько бло ков, содержащих то или иное количество слов, и т , д. «Теория» анаграмм заинтересовала про граммистов» создателей программы «Каисса» — первой чемпионки мира по ш ахматам среди ЭВМ. Однажды» когда «Каисса» была на отды хе» ее авторы реш или написать программу для «вычисления» анаграмм. В память ЭВМ был введен (не в полном объеме) 4-томный «Толко вый словарь русского языка» Д. Ушакова. Про читав его, компьютер обнаружил около 1000 анаграмм и попутно установил ряд любопытных рекордов. И раньше были известны анаграммы с чис лом букв, большим шести. Вот несколько к р а сивых примеров: МАТЕРИК — МЕТРИКА, МОШКАРА - РОМАШКА, РОТОНДА — ТОР НАДО (7 букв), АПЕЛЬСИН — СПАНИЕЛЬ, * ff ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ «м і 216 НОРМАТИВ — МИНОТАВР, ХОРИСТКА — АК РОСТИХ (8 букв), ВЕРТИКАЛЬ — КИЛЬВА ТЕР, ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОТЕРМИЯ, СТАЦИО НАР — СОРАТНИЦА (9 букв), МОНОГРАММА — НОМОГРАММА, ГРАФОЛОГИЯ — ГОЛОГ РАФИЯ, ДОЗРЕВАНИЕ — РАЗДВОЕНИЕ (10 букв). Машине удалось продвинуться дальше. Сна чала она увеличила рекорд на одну букву: РАТИ ФИКАЦИЯ - ТАРИФИКАЦИЯ, а затем довела его до пятнадцати букв: СТАРОРЕЖИМНОСТЬ — НЕРАСТОРЖИМОСТЬ! Как ЭВМ находит анаграммы? Конечно, если брать одно слово за другим и в каждом из них переставлять буквы всеми возможными способа ми, это будет долгая и кропотливая работа даже для мощного компьютера. Алгоритм, которым пользовалась ЭВМ, заключается в следующем. Скачала весь введенный в нее словарь переводит ся на другой «язык», в каждом слове которого буквы расположены в алфавитном порядке. На пример, КОРШУН теперь читается как КНОРУШ , и в это же буквосочетание превращается ШНУРОК, Полученный «словарь» уже сам запи сывается в алфавитном порядке, и, очевидно, набор одинаковых слов, расположенных в нем по соседству, дает нам некоторый блок анаграмм в настоящем словаре. Так, обнаружив в новом «языке» два раза подряд КНОРУШ, обратным переводом мы найдем блок анаграмм ШНУРОК — КОРШУН. ZI / ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ П! ■■ Компьютер увлекся и другими словесными играми, установив несколько оригинальных ре кордов. Из какого наибольшего числа различных букв может состоять слово? Машина написала два слова из 14 букв: ЗВУКОСНИМАТЕЛЬ И РА З ГИЛЬДЯЙСТВО. Два самых длинных слова, в которых глас ные чередуются с согласны м и, по мнению компьютера, также содержат по 14 букв: ВЕЛИ КОМУЧЕНИЦА И СОЛОМОВОЛОКУША. Ко нечно, эти рекорды нельзя считать абсолютны ми, так как был исследован лишь один словарь, да и тот не в полном объеме. Если ввести в ЭВМ какой-нибудь другой словарь (Даля, Ожегова и т. д.) или энциклопедию, то, возможно, будут установлены новые рекорды в тех или иных сло весных играх. Вернемся к анаграммам. Как мы знаем, ре кордный блок пятибуквенных анаграмм содер жит шесть слов: АВТОР — ВТОРА — ОТВАР — РВОТА —ТАВРО — ТОВАР. Он часто встреча ется в «наборщике», получается, скажем, из сло ва ЛЕКАРСТВО. Это весьма плодотворное для игры слово содержит и другие блоки анаграмм, например, стандартный набор из четырех слов: РОСТ — СОРТ — ТОРС — ТРОС, а также краси вые шестибуквенные анаграммы: ВЕКТОР — КОРВЕТ, КОРСЕТ —СЕКТОР. Замечу, кстати, что один мастер игры в «наборщика» превратил ЛЕКАРСТВО в 180 слов. Попробуйте побить этот рекорд. * ff •а ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ___ ■ Zlo Открытые еще в III веке до нашей эры гре ческим грамматиком и поэтом Ликсфроном анаграммы до сих пор привлекают внимание языковедов, поэтов и просто любителей словесных развлечений. Коллекция В. Капранова на считывает 526 анаграмм, использующих 1119 слов. Выше мы привели анаграммы, содержащие число букв от 4 до 11 и 15 (рекорд). Приведем интересные примеры с «промежуточным» чис лом букв: ВЫБОРОЧНОСТЬ — ОБРЫВОЧ НОСТЬ, УТОНЧЕННОСТЬ - УТОЧНЕНКОСТЬ (12 букв), ПЕРЕМАЛЫВАНИЕ -- ПЕРЕЛАМЫ ВАНИЕ (13 букв); ОГРАНИЧЕННОСТЬ — НЕ ОРГАНИЧНОСТЬ (14 букв). Если отойти от канонических правил и не связы вать себя грамматическими рамками, можно придумать множество самых необыч ных анаграмм. Приведем наиболее забавные примеры: СХЕМА СМЕХА, ФИАЛКА КАЛИ ФА, УЖ ИМ КА МУЖИКА, РЕКЛАМА МАК ЛЕРА, ЦИТАТА ТАЦИТА, ЗАПОНКА НАПО КАЗ, АПОСТОЛ ПОЛОСАТ, ВОЛОКИТА К И ТОЛОВА. Газета «Советская Россия» часто проводит различные словесные конкурсы, инициатором которых выступает М. Крушинский. В одном из них подлинным виртуозом игры в анаграммы показал себя Д. Авалиани, составивший целые фразы из анаграмм. Вот некоторые из его открытий: ВИЖУ ЗВЕРЕЙ — ЖИВУ РЕЗВЕЙ; ИНОК ВЯЗНЕТ, КОНИ ЗВЕНЯТ; УВИДИМСЯ — УДИ1кг ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ВИМСЯ, ОТСПОРЙМСЯ — ОПРОСТИМСЯ; СЛЕПО ТОПЧУТ — ПОСЛЕ ПОЧТУТ. Палиндромы. Перевертыши, или палиндро мы — это слова, которые читаются одинаково слева направо и справа налево: ПОП, ДОВОД, ДОХОД, ПОТОП, ТОПОТ, НАГАН, ЗАКАЗ, КА ЗАК, ШАЛАШ. Многие любители словесных развлечений увлекаются составлением предло жений, а то и маленьких рассказов шіи стихов, которые одинаково читаются в обе стороны. Вот несколько смешных фраз-палиндромов: «Арген тина манит негра», «Торт с кофе не фокстрот», «Я и ты будем в меду бытия», «Я не мил — и не женили меня», «Укроп наворован? Порку! А ре мень — не мера», «Лилипут сома на мосту пи лил» , «Ах, у печали мерило, но лире мила чепу ха!». А вот двустишие Д. Авалиани, в котором безупречный гомеровский гекзаметр сочетается с прямым обращением к великому эллину: «Море могуче. В тон ему, шумен, отвечу Го мером: Море, веру буди — ярок, скор, я иду бу ре вером... » Палиндромы придумывали многие поэты. Забавный перевертыш «А роза упала на лапу Азора» принадлежит великому русскому поэту А. Фету, другой знаменитый поэт Г. Державин сказал: «Я иду с мечем, судия», а замечательный русский поэт В. Хлебников, кстати, увлекав шийся математикой, написал целое стихотворе ние «Перевертень», где все строчки можно про читать в обратном порядке. •f f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ......... —— и, ..... 220 Каркас. Известна старинная головоломка, в которой надо найти набор слов, использующий все 33 буквы алфавита, причем по одному разу каждую. Вот набор из девяти слов: БЫ К, ВЯЗ, ГНОЙ, ДИЧЬ, ПЛЮЩ, СЪЕМ, ЦЕХ, ШУРФ, ЭТАЖ. Существует ли набор, состоящий из меньшего числа слов, не известно. Задаче мож но придать более увлекательную форму, если потребовать, чтобы слова образовали осмыслен ную фразу. Интересную игру на составление слов «кар кас» придумал один из создателей «Каиссы» и автор машинной программы поиска анаграмм А. Битман. Играющие фиксируют несколько согласных, а гласные (а также й, ь, ъ) подбирают произволь но, в любом количестве. Иначе говоря, составлен ные слова натягиваются на каркас из данных согласных букв (при этом должен быть исполь зован весь набор согласных, которые можно пе реставлять в любом порядке). Пусть, например, выбраны буквы К, Н, Т. Тогда нас устраивают такие слова: КАНТ, ТАНК, КНУТ, КАНАТ, НАКАТ, ТКАНЬ, ТОНИКА, НЫТИК, ОКТАН, НИТКА и т. д. Побеждает тот, кто натянет на каркас больше слов. В основе игры, по мнению ее изобретателя, лежит свойство согласных как бы образовывать скелет слова. Если вычеркнуть из текста все глас ные (но разумеется, не менять порядок соглас ных), часто его смысл может быть восстановлен. •• ........ ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 9 f ZZ 1 Так, изречение «Волга впадает в Каспийское море» легко прочесть и в сокращенном виде: «Влг впдт в Кспск мр». В русском языке нет существительных, со стоящих только из гласных. Но уже с одной со гласной можно успешно играть в «каркас». Н а пример, на букву Л натягиваются слова: АЛОЭ, ЛУЛ, ЕЛЕЙ, ЕЛЬ, И Л , ИЮ ЛЬ, ЛЕЯ, ЛЬЕ, УЛЕЙ, ЭЛЬ, ЮЛА, ЯЛ. Если использовать Л больше одного раза, число слов возрастает: АЛ ЛЕЯ, ЛИЛИЯ и т. д. Чтобы игра протекала веселее, Ю. Фокин предложил придумывать фразы, используя вся кий раз только одну согласную, например: «Боб би, убей боя и бей бабу у баобаба», «Алло! Элла, у Аллы лилия алая? А у Лили алоэ? » «У Юры аэра рий — рай!». Метаграммы и цепочки слое . Какие еще развлечения со словами пользуются популяр ностью? О кроссворде уж е шла речь выше. Его младший брат — чайнворд, в кем слова не пере секаются, а располагаются друг за другом — ко нец предыдущего служит началом следующего. В ребусах нужно отгадывать слова или фразы, которые изображаются комбинацией условных значков, фигур, цифр. В шарадах слова разбива ются на части, имеющие самостоятельное значе ние (виноград = вино + град). Арифмогриф и криптограмма — это задачи на отгадывание слов или текстов, где буквы зашифрованы цифрами. Словарный запас и быстроту реакции развивают ■ ■ ■■■ -1 ■ I " J i l l - I - — MTW HW ■ f ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 222 игры, в которых надо придумывать рифмы, си нонимы, антонимы или омонимы. Большая изобретательность требуется в игре «цепочки слов», основанной на словах-метаграм мах. Метаграмма данного слова получается заме ной одной из его букв на другую. Игра заключа ется в нахождении цепочки метаграмм, соеди няющей два заданных слова. Так, КОЗА — ПОЗА — ПОЛА — ПОЛК — ВОЛК; КОЗА — ЛОЗА — ЛУЗА — ЛУПА — ЛИПА — ЛИСА; КОЗА — КОРА — КАРА — ФАРА — ФАРС —БАРС. Как мы видим, каждое слово цепочки полу чается из предыдущего заменой ровно одной бук вы. Выигрывает тот, чья цепочка короче. Изо брел эту увлекательную игру Л. Кэролл, автор «Алисы в Стране Чудес» и один из классиков за нимательной математики. Для тренировки можно играть и в более про стую игру, соревнуясь в количестве метаграмм для того или иного слова. Так, ДОМ порождает девять метаграмм: КОМ, ЛОМ, РОМ, СОМ, ТОМ, ДЫМ, ДОГ, ДОК, ДОЛ. А слово КОЧКА дает целых 11 метаграмм: БОЧКА, ДОЧКА, МОЧКА, НОЧКА, ПОЧКА, ТОЧКА, КАЧКА, КИЧКА, КУЧКА, КОРКА, КОШКА. Каков рекорд‘ч исла метаграмм, образован ных из одного слова, не известно. При нахождении цепочек метаграмм инте ресны такие пары исходных слов, которые пред ставляют собой антонимы или какие-нибудь про тивопоставления. В самых популярных ценоч- 2.2.<S ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ I ii ■ 1 ............................................................ I ■ I I . I , tjf a e как МУХА превращается в СЛОНА. Вот одна из них, где цель достигается за 16 ходов: МУХА — МУРА — ТУРА — ТАРА — КАРА — КАРЕ — КАФЕ — КАФР — КАЮР — КАЮК — КРЮК — УРЮК — УРОК — СРОК — СТОК — СТОН — СЛОН. Кто придумает цепочку короче? За 17 ходов НОЧЬ «меняется» на ДЕНЬ, за 11 ходов РЕКА «впадает» в МОРЕ и за 13 ходов, если есть ТЕСТО, получается БУЛКА. Попро буйте улучшить и эти рекорды. Интересны и многократные превращения. В следующей цепочке МИГ дает ЧАС, который, в свою очередь, переходит в ГОД, затем возникает ВЕК и в конце концов наступает ЭРА. Это уди вительное путешествие во времени занимает 17 ходов: МИГ — МАГ — МАЙ —ЧАЙ — ЧАС — ЧАД — ГАД — ГОД — ГИД — ВИД — ВИС — ВЕС —ВЕК — БЕК — БОК — БОА — БРА — ЭРА. Конечно, если не ставить промежуточные цели, переход можно осуществить быстрее (за 6 ходов): МИГ — МИР — МОР — БОР — БОА — БРА — ЭРА. Устраивать состязания, у кого короче цепоч ка метаграмм, не столь интересно, если заранее знать, существует ли хоть одна из них. А ведь даже многие короткие слова не имеют метаграмм, о цепочках и говорить не приходится. А. Гервер предложил более увлекательные правила игры в «цепочки слов». На каждом шаге вновь меняется одна буква слова, ко теперь разрешается также произвольно менять порядок всех букв, 9 f «а ЛОГИКА S ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ —__ _______________________ ________________________ ___ 2 2 4 Сложность образования метаграмм состоит в преобразовании гласных в согласные и наоборот* Вот почему так долго МУХА превращалась в СЛО НА. На месте двух гласных появились соглас ные, а одна согласная сменилась гласной. При новых правилах такой проблемы не возникает. Автор модифицированной игры в «цепочки слов» сделал из МУХИ СЛОНА всего за пять ходов, а из КОЗЫ ВОЛКА за три: МУХА —ХУЛА — ЛУНА — ЛУНЬ — НОЛЬ — СЛОН; КОЗА — КОСА — ВОСК —ВОЛК. Вторая цепочка, очевидно, является рекорд ной, так как три новые буквы быстрее чем за три хода появиться не могут. В классическом превра щении МУХА — СЛОН слова состоят из разных букв, и поэтому можно надеяться на цепочку из четырех переходов, но не меньше... Здесь автор позволит себе небольшое отступ ление. После выхода в свет первого издания кни ги я получил от читателей множество писем, в которых обсуждались различные игры, предла гались новые, уточнялись те или иные решения, устанавливались рекорды. Очевидно, наиболее интересные соображения читателей были учте ны при работе над вторым изданием. Что каса ется последней игры, Ю. Фокиным был установ лен абсолютный рекорд: МУХА — ХЛАМ — ХОЛМ —СЛОМ — СЛОН, причем из цепочки исключено числительное НОЛЬ. Ассоциации. Идее игры в «цепочки слов» можно придать несколько иной вид. Два слова или 225 ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ftо понятия будем считать ассоциативно связанны ми, если между ними есть что-то общее — смыс ловая, логическая или какая-то иная связь. В игре «ассоциации» требуется найти кратчайшую цепочку ассоциативных переходов между двумя данными словами. Два весьма отдаленных понятия иногда уда ется связать между собой всего за несколько пе реходов. Возьмем, к примеру, слова НЕБО и и ЧАИ. Следующая последовательность ассоциа ций решает задачу за 4 шага: НЕБО — ЗЕМЛЯ — ВОДА — ПИТЬЕ — ЧАЙ. В данном ряду слов ассоциативность соседей не вызывает сомнения. Но ассоциация, конечно, не столь точное поня тие, как метаграмма, и поэтому в игре не исклю чены споры, которые лучше всего решать голо сованием. Любопытно, что ассоциативные переходы слов исследовались психологами, в частности, построение различных ассоциативных цепочек моделировалось на ЭВМ. Количество переходов в цепочке может служить мерой «смыслового рас стояния» между понятиями. Многочисленные опыты, проведенные учеными, позволили вы двинуть неожиданную гипотезу: для любых двух слов (понятий) существует ассоциативная цепоч ка, состоящая не более чем из 7 слов. Иначе го воря, два произвольных понятия, даже весьма отдаленных друг от друга, имеют тесную связь — смысловое расстояние между ними составля ет не более 6 шагов. 8 . Зак. № 189 f ЛОГИКА Б ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ 226 Балда. В этой, пожалуй, самой популярной словеснсй игре можно обойтись даже без каран даша и бумаги, а играть, как говорят шахматис ты, вслепую. Первый игрок называет произволь ную букву, второй добавляет букву слева или справа, имея в виду некоторое слово. Следующий игрок (или снова первый, если играют двое) так же приписывает букву одной из сторон, имея в виду свое слово, и т. д. Тот, кто очередным хо дом вынужден закончить слово либо вообще не может приписать никакой буквы ( потому что не догадывается, как уже написанные буквы про должить до слова), проигрывает кон и в наказа ние получает «б». При вторичном проигрыше «б» превращается в «ба», затем в «бал» и в конце кон цов кто-то первым становится балдой. Хотя, рас сказывая об игре «отгадать слово», мы несколь ко снисходительно отозвались о «балде», в не которых ситуациях более удачного словесного развлечения не придумаешь. Когда я прогулива юсь по лесу со своим маленьким сыном к он гово рит: «Папа, сыграем во что-нибудь», ничего бо лее подходящего, чем «балда», в голову не прихо дит, — игра в «города» исчерпывается сли тком быстро. Па первый взгляд занятие это бесхит ростное, но и в «балде» есть свои мастера. А иног да искусство игры приобретает решающее зна чение.,.. В книге М. Мироновой и А. Менакера «В своем репертуаре» Александр Семенович рас сказывал о том, как страстно увлекались «бал дой» в довоенные годы артисты Театра эстрады ££ і —■■ ■ ■ ■" ■ ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ 9 f е& и миниатюр. Ш утили тогда, что все они просто обалдели. Порой артисты так заигрывались, что опаздывали на сцену. Когда Менакер впервые попал в театр, его больше всего поразила удиви тельная находчивость Марии Владимировны, которая никогда не проигрывала в «балду» (толь ко Рина Зеленая могла с ней соревноваться). По пытка раскрытъ секрет ее непобедимости приве ла в конце концов к созданию замечательного семейного и эстрадного дуэта! Буквы в игре принято приписывать с краю, хотя ничто не мешает вставлять их и внутри «по луфабриката». Кстати, именно так играют в «ан тибалду» . Б этой игре все наоборот — каждый из двух участников стремится закончить слово, при чем сделать это как можно большее число раз. В тот момент, когда противники не видят продол жения последнего слова, игра прерывается и идет подсчет очков. Вернемся к нормальной «балде». Игра эта словесная, но присутствие в ней комбинаторных и логических элементов не вызывает сомнения. Не случайно известный советский математик по койный профессор Г. Шилов и математик Б. Бер ман увлекались игрой и написали о ней целое исследование. Мастера игры умеют выкручиваться из са мых трудных ситуаций. Вместо того чтобы закон читъ слово, намеченное партнером, они находят неожиданный ход, к слову добавляется пристав ка или суффикс, и оно меняет свое «направление». в * ff ЛОГИНА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ ^^ Большую роль играет знание выигрываю щих буквосочетаний. Пусть, например, вы кача ли игру буквой Б, а ваш партнер мгновенно отве тил БШ. Вы мучительно ищете слово, в котором рядом стоят буквы Б и Ш, а он такое слово, да еще заканчивающееся ка вас, знает заранее — ОБШИВКА. Шилов и Берман ввели термин « разрешимое двубуквенное сочетание» — пара букв, которую можно дополнить до некоторого слова. В качест ве примера они привели партию, состоящую все го из двух ходов. 1-й игрок: Г; 2-й игрок: ГЗ (имея в виду ЗИГ ЗАГ); 1-й игрок сдался, так как ке нашел про должения. Зтот пример показывает, как важно владеть набором разрешимых сочетаний. Из 33 букв ал фавита составляется 33 х 32 = 1056 пар, но мно гие из них неразрешимы по правилам русского _ е_* _ язы ка — ГИ, ОЪ, Ж Ы и т. д. Авторы введенного термина обнаружили 801 «разрешение», а также составили список дву буквенных сочетаний, для которых пока не найдены допустимые слова. Вопрос о существовании «разрешений» име ет скорее теоретический интерес. Так, если бы в приведенном примере первый игрок «вычислил» слово ЗИГЗАГ, он бы выиграл партию, потому что оно заканчивается на втором игроке. Даже если допустимое Слово устраивает нас, не исклю чен риск, что найдется другое слово, которое мы будем вынуждены закончить. Иное дело, если ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ •• двубуквенное сочетание имеет единственное раз решение. Убедившись, что это слово безопасно для нас, можно смело называть вторую букву пары — победа гарантирована* Конечно, устано вить единственность разреш ения еще сложнее, чем его существование. Королевская балда. Обычная игра в балду допускает различные обобщения. Об одном из них — антибалде — мы уже упоминали. Иногда играют, приписывая буквы не только слева и справа, но и сверху, снизу, по диагонали и т. д. Если традиционная игра как бы линейна, то те перь получается плоский вариант. Интересную разновидность такой игры 3. Иодковский пред ложил назвать королевской балдой. В квадрате 5 х 5 по средней горизонтали за писывается произвольное пятибуквенное слово. Далее игроки но очереди вписывают по одной букве в любую пустую клетку «доски», соседнюю с одной или несколькими клетками (іюлями), где уже есть буквы. Из написанных букв (не обяза тельно всех) должно образовываться новое сло во, которое читается, как серия ходов ш ахмат ного короля по доске. Цепочка букв, из которых складывается слово, является неразрывной и несамопересекающейся, то есть одну и ту же клетку король не должен проходить дважды. За каждую букву образованного на д з е н с м ходу слова начисляется очко. После составления двадцати слов (число свободных клеток доски) игра заканчивается, и ведется подсчет очков. f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 230 В этой игре от простой «балды» взят основ ной принцип —добавление одной буквы, а от шахмат — образование слов ходом короля. За бавный гибрид шахматной игры и словесной! Играть в королевскую балду можно вдвоем, вчетвером или впятером, так как число 20 делит ся без остатка на 2, 4, 5 и, значит, у соперников будет поровну слов. Для игры втроем квадрат должен быть побольше — б х 6, а первоначаль ное слое о шестибуквенным, в этом случае у каж дого участника на финише будет по 10 слов. Ра зумеется, для победы на каждом ходу следует придумывать слова подлиннее, используя как можно больше ранее записанных букв. В отличие от обычной в королевскую балду интересно играть и одному. Задача состоит в том, чтобы, приписывая букву за буквой, набрать как можно больше очков. Рекордная «партия» показана на рис. 21. Исходное слоео «ересь», номера ходов указаны на полях квадрата. Вот те 20 слов, которые появляются в процессе игры (выделены буквы, добавленные при образова нии этих слов): 1. Север. 2. Весть. 3. Отсев. 4. Верность. 5. Соверен. 6. Мерность. 7. Временность. 8. Со временность. 9. Уверенность. 10. Суверенность. 11. Бренность. 12. Беременность. 13. Своевре менность. 14. Доверенность. 15. Тостер. 16. До стоверность. 17. Удостоверенкость. 18. Осовремененность. 19. Мертвенность. 20. Устремлен ность. ЛОГИЧЕСКИЕ ИГ РЫ 231 sa ж E1S “н Г ~|н, Дд ГК н4 р лг, £J'w 'Sk eZ. р 'д Е щ fЪ о6 т Я. М г> Big . % Рис= 21 Итого 210 очков, полученных в результате сложения длин всех слов» Немало пришлось королю потрудиться 7 побродить по доске, чтобы набрать эту сумму. На рисунке изображен его последний маршрут, сделанный на 20-м ходу. Как мы видим, образованное слово (как, очевид но, и все предыдущие) отвечает Беем необходи мым условиям. Словесное лото. В наш бурный век* когда времени для общения остается так мало, клас сическое числовое лото можно рекомендовать как хорошее средство для дружеских встреч. Запол няя неспешно числовые карточки бочонками лото, можно обсудить какой-нибудь интересный вопрос, как это делали герои чеховских пьес» Но *f f ІІ ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ „ _______________ ,______—____ ____ _________ __ 232 как интеллектуальное занятие лото не самый лучший объект, здесь не надо напрягаться, ло мать голову, Другое дело, словесное лото. Как и в королевской балде, на листе бумаги рисуется квадрат, например 6 x 6 . В процессе игры его клетки заполняются буквами так, чтобы при чте нии по вертикали и горизонтали можно было про читать побольше слов. При своем ходе игрок про износит любую букву, и все участники записы вают ее в пустые клетки квадрата. Игра продол жается до заполнения всего квадрата, после чего подсчитываются очки. Чтобы поощрить более длинные слова, можно ввести такую шкалу: за слово из шести букв начислять 2 0 о чк о е , и з п я ти — 10, из четырех — 5, из трех — 2 очка. Дву буквенные слова и слова, являющиеся частями более длинных слов, не учитываются. Эрудит. Игра «эрудит» — ее предшествен ник американский «скрэбл» — пожалуй, одна из самых интересных игр в слоиа, сочетающая в себе логические и комбинаторные моменты с эле ментами кроссворда и далее домино. Игра ведется на доске 15x15. «Базар» содер ж ит 131 фиш ку, на которых изображены бук вы и (уценивающие их числа. Как и е домино, каж ды й игрок берет по семь фишек и держит их в тайне от партнеров. За один ход можно со ставить несколько слое из фишек, имеющихся на руках и расположенных на доске. Новое сло во нельзя образовывать без завязки со старыми, то есть оно должно получаться из написанного ЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ О 9 233 --- -------------------------------- — Vi слова плюс одна или несколько новых букв. Та ким образом, все слова пересекаются, к ак в кроссворде. После сделанного хода игрок, как в домино, дополняет из базара свой запас фишек до семи. За каждое новое слово начисляется столько очков, сколько записано на буквах, входящих в его состав. На доске имеется ряд цветных пол ей, которые меняют оценку. Очки букве, зани мающей зеленое поле, удваиваются, желтое — утраиваются. Если одна из букв на синем поле, удваивается сумма очков всего слова, а если на красном — утраивается* Игра продолжается либо до определенного числа очков, например 200?либо до полного опустошения базара* Мы не приводим здесь рисунка разукрашенной доски, потому что комплект игры продается в магази* нах игрушек и Еряд ли вы бу/цѵге делать доску и фишки самостоятельно. Любопытно, что при разработке «эрудита» не обошлось без математического вмешательства! При решении вопросов о том, сколько фипіек с той или иной буквой должно быть на базаре и какие цены назначить буквам, необходимо было пронести частотный анализ русского языка. Ма териалом для такого исследования служат раз личные тексты, на основании которых судят о частоте повторяемости отдельных букв. Сущес твует много работ на эту тему, даже созданы спе циальные частотные словари. Однако воспользо ваться ими для «эрудита» не так просто. Ведь, ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ ей 234 помимо частоты букв, надо учитывать их положе ние в слове — одни булевы чаще встречаются в начале слов, другие — в конце. Кроме того, у нас допускаются лиш ь существительные в един ственном числе и именительном падеже. Распре деление же букв в них отличается от распреде ления букв в других частях речи, которыми не разрешается пользоваться в игре. Все эти нюан сы были учтены при создании «эрудита». ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ ФОКУСЫ С КАРТАМИ* ПЯТЬ КУЧЕК КАРТ Показывающий усаживается за стол вместе с четырьмя зрителями. Он сдает каждому (вклю чая себя) по пять карт, предлагает всем посмот реть их и одну задумать. Затем собирает карты, раскладывает их на столе в пять кучек и просит кого-нибудь указать ему одну из них. Далее бе рет эту кучку в руки, раскрывает карты веером, лицевой стороной к зрителям, и спрашивает, видйт ли кто-нибудь из них задуманную карту. Если да, то показывающих! (так и не заглянув ни разу в карты) сразу ж е ее вытаскивает. Эта про цедура повторяется с каждой из кучек, пока Есе задуманные карты не будут обнаружены. В не которых кучках задуманных карт может вовсе не оказаться, в других ж е их может быть две и более, но в любом случае карты отгадываются показывающим безошибочно. ^ Л о ги ч еск и е ф окусы д а н ы по книге: М . Г арднер. М атем а т и ч еск и е ч у д еса и т ай н ы . М ., 1 9 8 6 г . 237 ЛСГЖЕСКИЕООКІ'СЫ ------ --------------------------------------- — ----------------- *}& Si Объясняется этот фокус просто. Пятерки карт нужно собирать начиная от первого зрите ля, сидящего слева от вас, и далее по часовой стрелке (карты держат лицевой стороной в:низу), карты показывающего будут при этом последни ми и окажутся сверху пачки. Затем все карты раскладываются в кучки по пять карт б каждой. Любая из кучек может быть открыта зрителям. Теперь, если задуманную карту видит зритель номер два, то эта карта будет второй, считая сверху кучки. Если с б о ю карту видит четвертый зритель, она будет четвертой в кучке. Иными словами, местоположение задуманной карты в кучке будет соответствовать номеру зрителя, считая слева направо вокруг стола (т* е. по ча совой стрелке). Это правило имеет силу для лю бой кучки. После небольшого размыш ления становит ся ясным, что в рассматриваемом фокусе, при меняется один и тот же принцип с пересечени ем рядов. Однако в последнем варианте «пру жинка» замаскирована гораздо лучше, благода ря чему получается значительно больший внеш ний эффект. На ближайш их страницах мы остановимся на тех фокусах, которые могут показаться бо лее оригинальными или занимательными; при этом мы постараемся проиллюстрировать как можно больше математических принципов, на которых они могут быть основаны. *7 ^ Й с ЛОГИКА R ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ™ 1™ ■■■ ■■■■■■ — — м I ... ■ — — — ■ 238 КА.Р ТЫ КАК СЧЕТНЫЕ ЕДИНИЦЫ Здесь мы рассмотрим только те фокусы, в которых карты используются как однородные предіяеты независимо от того, что изображено на их лицевой стороне. Собственно, здесь нам подошел бы любой набор небольших предметов, например камешков, спичек или монет, однако лучше всего воспользоваться все-таки картами, потому что их удобнее и держать в руках и счи тать. Угадывание числа карт, снятых с колоды Показывающий просит кого-нибудь из зри телей снять небольшую пачку карт сверху коло ды, после чего сам тоже снимает пачку, но с не сколько большим количеством карт. Затем он пересчитывает свои карты. Допустим, их двад цать. Тогда он заявляет: «У меня больше, чем у Еас, на четыре карты и еще столько, чтобы до считать до шестнадцати». Зритель считает свои карты. Допустим, их одиннадцать. Тогда пока зывающий выкладывает свои карты по одной на стол, считая при этом до одиннадцати. Затем в соответствии со сделанным им утверждением откладывает четыре карты в сторону и продол жает класть карты, считая далее: 12, 13, 14, 15, 16. Шестнадцатая карта будет последней, как он и предсказывал. і о У ■ ■■■■ > I ■■ — — ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К УСЫ ■■■■— ■— . ■■ — i ■■■■ 9 f в& Фокус можно повторять снова и снова, при чем число откладываемых в сторону карт нужно все время менять, например, один раз их может быть три, другой — пять и т. д. При этом каж ет ся непонятным, как показывающий может уга дать разницу в числе карт, не зная числа карт, взятых зрителем* Объяснение. В этом тоже несложном фоку се показывающему совсем не нужно знать чис ла карт, имеющихся на руках у зрителя, но он должен быть уверен, что взял карт больше, чем зритель. Показывающий считает свои карты; в нашем примере их двадцать. Затем произвольно берет какое-нибудь небольшое число, скажем четыре, и отнимает его от 20; получается 16. За тем показывающий говорит; «У меня больше, чем у вас, на четыре карты и еще столько, чтобы до считать до шестнадцати». ІСарты пересчитыва ются, как это объяснялось выше, и утверждение оказывается справедливым. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЙ КАРТ Фокус с четырьмя картами Колода карт тасуется зрителем. Показываю щий кладет ее в карман и просит кого-либо из присутствующих назвать вслух любую карту. Предположим, что будет названа дама пик. Тог да он опускает руку в карман и достает какую-то * ff ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ карту пиковой масти; это, поясняет он, указыва ет масть названной карты. Затем он вытаскивает четверку и восьмерку, что дает в сумме 12 — чис ловое значение дамы. Объяснение, Перед демонстрацией этого фо куса показывающий вынимает из колоды трефо вого туза, двойку черв, четверку пик и восьмер ку бубен. Затем прячет эти карты в карман, за поминая их порядок. Перетасованная зрителем колода тоже опускается в карман, причем так, чтобы отобранные четыре карты оказались свех)ху колоды. Присутствующие и не подозревают о том, что при тасовании колоды четыре карты уже были в кармане показывающего. Числовые значения отложенных четырех карт образуют ряд чисел (1, 2, 4, 8), каждое из которых вдвое больше предыдущего, а е этом слу чае, как известно, можно, комбинируя их раз личными способами, получить в сумме любое целое число от 1 до 15. Карта требуемой масти вытаскивается пер вой. Если она должна участвовать в комбинации карт, дающих в сумме нужное число, тогда ее включают в общий счет Еместе с одной или не сколькими картами, которые вытаскиваются из кармана дополнительно. В противном случае пер вая карта откладывается в сторону, а из кармана вынимается одна или несколько карт, необходи мых для получения нужного числа. При показе нашего фокуса случайно может быть названа и одна из четырех отобранных (>/. J Ф О К У С Ы С КАРТАМ И *f f карт. В этом случае показывающий вытаскивает из кармана сразу ее — настоящее «волшебство»! Встреченный нами в этом фокусе ряд чисел, из которых каждое последующее вдвое больше предыдущего, применяется и во многих других математических фокусах. Удивительное предсказание Кто-нибудь из зрителей тасует колоду карт и кладет ее на стол. Показывающий пишет на звание карты на листке бумаги и, не показывая никому написанного, переворачивает листок над писью вниз. После этого на столе раскладываются 12 карт лицевой стороной вниз. Кого-нибудь из присут ствующих просят указать четыре из них. Эти карты тут же открываются, а оставшиеся восемь карт собираются и кладутся под колоду. Предположим, что были открыты тройка, шестерка, десятка и король. Показывающий го ворит, что на каждую из этих четырех карт он будет укладывать карты из колоды до тех пор, пока не досчитает до десяти, начиная с числа, следующего за числовым значением данной кар ты. Так, например, на тройку придется положить семь карт, произнося при этом: "4, 5, 6, 7, 8, 9, 10"; на шестерку нужно будет уложить четыре карты; на десятку класть ничего не придется; фигурной карте в этом фокусе также приписы вается числовое значение 10. 1С5!Ci ЛОГИ КА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 242 Затем числовые значения карт складываются; Я + 6 + 10 + 10 —29 Остаток колоды передается зрителю, и его просят отсчитать 29 карт. Последняя из них от крывается. Листок с предсказанной заранее кар той переворачивается, и написанное читается вслух. Конечно, там будет название только что открытой карты! Объяснение . После того как колода будет перетасована, показывающий должен незаметно посмотреть, какая карта лежит внизу колоды. Именно эту карту он и предсказывает. Все осталь ное выходит само собой. После того как восемь из двенадцати карт будут собраны и положены под колоду, замеченная карта окажется по порядку сороковой. Если все операции, о которых гово рилось выше, были выполнены правильно, мы неизменно будем приходить к этой карте. То об стоятельство, что колода вначале тасуется, дела ет этот фокус особенно эффектным. Интересно заметить, что в описанном фо кусе, к а к и в других, основанных на том же принципе, показывающий может разрешить зри телю приписывать любые числовые значения ва летам, дамам и королям. Например, зритель мо жет пожелать считать каж ды й валет тройкой, даму — семеркой, а короля — четверкой. Это никак не скажется на показе фокуса и может придать ему больше «таинственности». Фокус, собственно, требует только одного: чтобы в колоде было 52 карты; какие это будут ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ — '■ — —— ■■— ■- —— ^ Iг, f т карты, не играет ни малейшей роли. Если все они будут двойками, фокус тоже получится. Это оз начает, что зритель может приписать любой кар те новое значение, какое ему вздумается, при чем, это не повлияет на успех фокуса. Фокус с задуманной картой Несколько лет назад было предложено уди вительное усовершенствование этого фокуса. Перетасовав колоду, показывающий выкладыва ет кучку в девять карт лицевой стороной вниз. Зритель выбирает одну из этих карт, запомина ет ее и кладет на верх кучки. Оставшаяся часть колоды кладется на кучку, и таким образом за меченная карта оказывается девятой снизу. Теперь показывающий берет колоду и начи нает выкладывать карты по одной в кучку лице вой стороной кверху, считая при этом вслух в обратном порядке от 10 до 1. Если числовое зна чение положенной карты случайно совпадает с называемой цифрой (например, появилась чет верка в то время, когда он произнес: «четыре»), то откладывание карт в эту кучку прекращается и начинается откладывание следующей кучки. Если же такого совпадения появляющейся кар ты и произносимого числа не произошло, то отсчитывание заканчивается на цифре 1 и кучка «бьется», т. е. накрывается следующей по по рядку картой (лицевой стороной вниз), взятой сверху колоды. ЛОГИНА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ ^^ ^ Так выкладываются четыре кучки, после чего числовые значения «непобитых» (открытых карт, лежащ их сверху кучек, складываются. Отсчитав теперь из колоды это число карт, зри тель обнаруживает под последней из них выбран ную им карту. Этот вариант фокуса гораздо эф фектнее прежнего, так как выбор карт, входя щих в сумму, каж ется совершенно случайным, а «принцип компенсации», на котором основан фокус, скрыт значительно глубже. Циклическое число Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточ ные фокусы. В качестве примера приведем сле дующий фокус. Он основан на том, что если ум ножить «циклическое число» 142857 на любое целое число от 2 до б, то получится число, состав ленное из тех же цифр с круговой (циклической) их перестановкой. Фокус состоит в следующем. Зрителю дают ся пять карт красной масти, имеющие числовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты; при этом показы вающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет порядок неизменным. (Этого можно легко добиться, дважды перекладывая ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ вв карты по одной с одной стороны колоды на дру гую. Быстрое выполнение этой операции созда ет полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное, оставляя тактім образом первоначальный порядок неизменным. Показывающий раскладывает на столе кар ты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя чис ло 142857. Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под ря дом, разложенным показывающим. С помощью карандаша и бумаги зритель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им кар ты. Пока он занят этим делом, показывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д. «Снимает» их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу). После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестиз начное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения, найденным зрителем. Объяснение . Карты черной масти показыва ющий собирает, не нарушая порядка, в котором они были разложены. Допустим, что зритель ум ножал н а т е число на 6; тогда произведение до лжно оканчиваться двойкой, так как шесть раз по семь (это последняя цифра множимого) будет со рок два. Если снять так, чтобы двойка оказалась 245 V F іі ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ------------ -------------------- ---------------------------- -- л л 246 низу, то после того как карты будут разложены б ряд, она окажется последней картой, и изобра жаемое картами число совпадет с ответом, полу ченным зрителем. Циклическое число 142857 является обратт ным по отношению к простому числу 7 в том смысле, что оно получается от деления 1 на 7. Выполняя это деление, мы получаем бесконеч ную периодическую дробь с периодом, совпада ющим с нашим циклическим числом. Другие, большие, циклические числа также можно полу чить путем деления единицы на большие про стые числа. б О тсутствую щ ая карта Пока показывающий стоит спиной к зрите лям, кто-нибудь из них вынимает карту из коло ды, кладет ее в карман и тасует колоду. Затем показывающий поворачивается, берет колоду и начинает выкладывать карты по одной лицевой стороной кверху. После того как выйдут все кар ты, он называет недостающую. Объяснение . Числовое значение недостаю щей карты можно установить, подсчитав в уме сумму числовых значений карт, выложенных на стол. При этом валетам приписывают значение 11, дамам 12. Королей можно считать нулями и не учитывать вовсе. Без королей сумма числовых значений всех карт в полной колоде равна 312. Поэтому, чтобы найти числовое значение отсут- 247 ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы ствующей карты, нужно из 812 отнять сумму числоеых значений 51 карты . Если эта послед няя сумма окажется равной 312, то недостающая карта — король* При показе этого фокуса важно владеть ме тодами быстрого счета. Так, например, очевид но, что, прибавляя 11, удобно сначала прибавитъ 10, а затем еще единицу, а для прибавления 12 сначала прибавляете 10, а затем двойку* Даль нейшего увеличения быстроты счета можно до стичь путем «отбрасывания двадцаток», т. е, счи тая по модулю 20, Иначе говоря, как только сум ма превзойдет 20, отбросьте это число и держите в памяти только остаток. После того как будет положена последняя карта, вам придется запом нить небольшое число от 0 до 12 включительно. Отнимите это число от 12, и вы получите числе вое значение отсутствующей карты. Если послед ней суммой окажется 12, то недостающая карта — король. Нам кажется, что исключение «двад цаток» — лучший способ убыстрения счета. Од нако многие предпочитают в этом случае отбра сывать 13. Тогда, например, складывая 7 и 8 и отбрасывая 13, вы запоминаете 2. Вместо добав ления 11 (в случае валета) и последующего от брасывания 13 проще, ничего не добавляя, вы честь 2. В случае дамы отбросьте X. Ясно, что ко ролей принимать во внимание не нужно. Закон чив подсчет, отнимите последнюю цифру от 13 и вы получите числовое значение спрятанной кар ты. После того как оно найдено, можно, конечно, ■I f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ______ 248 сдавая карты вторично, узнать масть отсутствую щей карты» Однако при этом сразу раскрывается секрет фокуса. Как ж е определить масть карты при первой раскладке, одновременно с ее число вым значением? Один из способов — правда, трудный, если вы не владеете техникой быстрого счета в уме, — это одновременное запоминание суммарного числа для масти и такого же числа для числово го значения карты. Припишем, например, кар там пиковой масти числовое значение 1, трефо вой — 2, червонной — 3, бубновой — нуль (и в расчет их не принимаем). При сложении отбра сываются десятки, и в итоге получается одно из че тырех чисел: 5, 6, 7 или 8. Отнимая его от восьми, вы найдете масть спрятанной карты. Вот другой метод прослеживания сумм чис ловых значений карт и числовых значений мас тей. Установим какой-нибудь порядок мастей, скажем, пики, червы, трефы, бубны. Прежде чем открыть первую карту, скажем про себя: О — О — 0 — 0. Ес ли первой картой окажется, на пример, семерка черв, произнесите про себя 0 — 7 —0 — 0. Если следующей картой будет, ска жем, пятерка бубен, счет изменяется на 0 — 7 — 0 — 5. Другими словами, приходится держать в памяти изменяющуюся сумму по всем четырем мастям. Если из колоды изъята только одна кар та, то при подсчете всех четырех изменяющих ся сумм необходимо включать королей* Сумма числовых значений карт для каждой из четырех СВ 11 1 .............ни м ни. ............... 249 ~ ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы 9 f мастей должна быть в этом случае равна 91. Но так как одна карта спрятана, сумма для соответ ствующей масти будет меньшей. Так, если вы закончили счетом 91 — 91 — 90 — 91, то это зна чит, что отсутствует туз треф. Отбрасывая двад цатки, молено, как к раньше, облегчить себе под счет. При этом для получения числового значе ния отсутствующей карты последнюю найден ную сумму нужно отнять от 11; если же она боль ше 11, то ее следует отнять от 31. (Впрочем, мож но просто запомнить, что конечные суммы 20,19 и 18 отвечают соответственно валету7, даме и ко ролю.) Преимущество этого способа состоит в том, что удалятъ можно не одну карту, а сразу четыре — по одной каждой масти, при этом отгадать че тыре карты будет не труднее, чем одну. В этом варианте королей можно не учитывать, так как заранее известно, что отсутствует по одной кар іе каждой масти. Конечной суммой для каждой масти теперь будет 78. (Короли не учитываются!) Отбросив три раза по 20, получим 18. Таким образом, конечная цепочка 7—16— 13—18 укажет, что отсутствуют следующие кар ты: валет пик, двойка черв, пятерка треф и ко роль бубен. Однако удерживать в памяти 4 меня ющиеся цифры нелегко. Чтобы обойти эту труд ность, мы рекомендуем пользоваться в качестве «секретного» счетного приспособления... нога ми. Если при раскладке карт вы сидите за сто лом и ваши ноги скрыты от присутствующих, то *«в }f ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ - 250 ■ маловероятно, что небольшие шевеления ими, которые здесь потребуются, будут кем-либо замечены. В начале фокуса поставьте ноги так, чтобы подошвы ботинок прилегали к полу. Сда вая карту на стол, поднимайте или опускайте нос ки ботинок по следующей системе. Появление карты пиковой масти отмечайте приподнимани ем или опусканием носка левого ботинка. Точ нее говоря, с появлением первой такой карты приподнимайте носок, второй — опускайте, третьей — снова приподымайте, и т. д. Если кар та червонной масти, то приподымайте или опус кайте носок правого ботинка. Если карта окажет ся трефовой, то меняйте одновременно положе ние обоих носков. При появлении бубновой кар ты вообще не меняйте положения носков. После того как положена последняя карта, вы так уз наете масть отсутствующей карты: если левый носок на полу — карта красной масти, если при поднят -— черной, если правый носок на полу, карта будет пиковой или бубновой масти. Если правый носок приподнят — трефовой или чер вонной. Имея в виду вышесказанное, легко уз нать масть спрятанной карты. Так, ес ли оба нос ка на полу, карта будет бубновой масти. Если оба носка приподняты — трефовой масти, если при поднят один левый носок — пиковой, а если при поднят один правый — червонной. В качестве простейшего счетного приспособ ления при нахождении числовых значений карт можно использовать пальцы рук. Показывающий 0_ „ ZО 1 ■ 1 1 1 ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У СЫ 1 1 О f в■ при этом держит руки на коленях, а карты (мед ленно) сдаются кем-нибудь из присутствующих. Пальцы перенумеровываются слева направо от 1 до 10. При появлении карты приподнимается или опускается соответствующий палец. Валеты отмечаются перемещением левой руки вперед по ноге или назад, дамы — такими же движениями правой руки. Короли не принимаются во внима ние. За мастями можно следить, двигая носка ми ботинок так, как это объяснялось выше. Поль зуясь пальцами, как счетным приспособлением, можно находить числовые значения не только одной, но и нескольких вынутых из колоды карт, при условии, что эти значения не совпадают друг с другом. Для этого нужно лиш ь отметить, ка кие пальцы будут приподняты при окончании раскладки (или какая рука продвинута вперед). Конечно, при этом нужно знать, сколько было спрятано карт, так как определить, что отсутству ет король, можно только, не принимая во внима ние при подсчетах одной карты. Ф О К У С Ы О СН О ВАНН Ы Е Н А РАЗЛИЧИИ ЦВЕТОВ И М АСТЕЙ Ф О КУС С КОРОЛЯМИ И ДАМАМИ Из колоды выбирают королей и дам и раскла дывают их в две кучки: короли отдельно, дамы от дельно. Кучки переворачивают лицевой стороной f ЛОГИКА В ВО ПРО САХ И ОТВЕТАХ 252 вниз и укладывают одна на другую. Зрителя про сят «снять» нашу колоду из 8 карт один или не сколько раз. Показывающий убирает кучку за спину и тут же открывает перед зрителями две карты. Оказывается, что это король и дама од ной масти. С остальными тремя парами можно продемонстрировать то же самое. Обър&нение. Показывающему следует поза ботиться лишь о том, чтобы в двух первоначаль ных кучках последовательность мастей была оди наковой. «Снятие» этой последовательности не нарушит. За спиной показывающий только раз деляет кучку строго пополам и получает нужные пары, беря в каждой половине верхнюю карту. В этой паре всегда окажутся король и дама оди наковой масти. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИЦЕВОЙ И ОБРАТНОЙ СТОРОН КАРТ СОПОСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА КАРТ ЧЕРНОЙ И КРАСНОЙ МАСТИ Из колоды выбирают 10 карт: пять красных и пять черных. Карты какого-нибудь одного цве та переворачиваются, и все 10 карт тщательно та суются зрителем. На мгновение показывающий убирает карты за спину. Затем он протягивает руки вперед, держа в каждой из них по пять ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы карт, которые тут же раскладываются ка столе. Число открытых карт в каждой пятерке оказы вается одинаковым, и эти карты будут различ ного цвета. Например, если в одной пятерке ока жутся три красные карты , то в другой пятерке будут открытыми три черные карты. Фокус мож но повторять сколько угодно раз, и он будет всег да удаваться. Объяснение. Нетрудно сообразить, что сре ди карт одной пятерки будет открытых карт (а они одного цвета, например, черного) столько же, сколько закрытых (красных) в другой пятерке. За спиной следует просто разделить пачку пополам и прежде чем показать карты зрителям, перевернуть одну из половин. Таким образом, благодаря тому, что карты перевернуты, число открытых карт в каждой пятерке будет одина ковым, и эти карты будут разного цвета. В этом фокусе, конечно, нужно только, чтобы половина их была красной, а половина — черной. Ф О К У С С ПЕРЕВЕРТЫВАНИЕМ КАРТ Показывающий передает зрителю пачку в 18 карт и просит его проделать над ними под столом так, чтобы никто не видел, следующие операции: перевернуть верхнюю пару карт (т. е. две верх ние карты, взятые вместе) и «снять» пачку, еще раз перевернуть верхнюю пару карт и снова снять. Так зритель может продолжать, сколько ему заблагорассудится. Ясно, что в результате ^ f ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 254 этих действий карты перемещаются совершен но непредвиденным образом, причем ни число, ни положение открытых карт в колоде показы вающему не могут быть известны, Затем показывающий, усевшись на противо положной от зрителя стороне стола, протягива ет под столом руку и берет пачку. Оставляя руки под столом (так что никто, включая самого пока зывающего, не может видеть его действий над картами), он объявляет, что сейчас вынет пачку и в ней окажется столько-то открытых карт. Он называет число. Карты вынимаются из-под сто ла и раскладываются. Названное число оказыва ется правильным. Объяснение . Фокус получается совершенно автоматически. Для того чтобы он вышел, нуж но лишь, спрятав карты под стол, пройтись по ним, переворачивая каждую вторую карту. Пос ле этого объявляется, что в пачке находится 9 открытых карт (т. о. число, равное половине чис ла взятых карт). Фокус всегда получится, если для него брать любое четное число карт. Ф О К У С Ы ЗАВИСЯЩ ИЕ О Т ПЕРВ О НАЧ АЛЬН ОГО Р А С П О ЛО Ж Е Н И Я КАРТ В К О Л О Д Е Ф О К У С С ЧЕТЫРЬМЯ ТУЗАМИ Показывающий просит кого-нибудь назвать число между 10 и 20 и откладывает одну за дру- ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы f e U U ■■■■ — ММ— I. ■■ — 9F ■■ гой это число карт в кучку. Затем он находит сум му цифр названного числа, снимает с верху куч ки число карт, равное этой сумме, и кладет их обратно на верх колоды. Карта, оказавш аяся в кучке верхней, откладывается в сторону лице вой стороной вниз, а все остальные карты кучки возвращаются па верх колоды. Снова показыва ющий просит назвать любое число между 10 и 20 и проделывает то же самое вторично. Так третий и четвертый раз, пока этим способом не будут отобраны четыре карты. Эти четыре карты от крываются — и все они оказываются тузами! Объяснение. Перед началом фокуса тузы нужно положить на 9-е, 10-е, 11-е и 12-е места сверху. Далее фокус получается автоматически. «М А Н Х ЕТТЕН С К И Е Ч УД ЕСА » Зрителя просят снять колоду примерно по середине, взяв себе любую половину, и пересчи тать в ней карты. Допустим, их 24. Два плюс че тыре дает шесть. Зритель замечает в своей полуколоде 6-ю карту снизу, кладет эту полуколоду на другую и, подравняв карты, вручает их пока зывающему, Последний начинает сдавать карты по одной на стол, произнося при этом побуквен но фразу «М-а-н-х-е-т-т-е-н-с-к-и-е ч-у-д-е-с-а» {«The Magic of M anhattan»), причем так, чтобы на каждую положенную карту приходилось по одной букве. Вместе с последней буквой появит ся замеченная карта. *7 f О If ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ I 1■ ■■ ■ ІПІ. ^ Г) Объяснения. В результате описанной проце дуры выбранная карта всегда оказывается па 19-м месте сверху. Поэтому любая девятиадцатибуквенная фраза, например «П-о-р-а-з-и-т-е-л-ьн-ы-е ф-о-к-у-с-ы», приводит к нужной карте. СКОЛЬКО ПЕРЕЛОЖЕНО КАРП Пачку в 13 карт снимают несколько раз и передают зрителю. Показывающий поворачива ется спиной к зрителям и просит переложить по одной любое число карт — от одной до 30 вклю чительно —снизу пачки наверх. Показывающий поворачивается лицом к зрителям, берет пачку, разворачивает ее веером лицевой стороной вниз и, не задумываясь, вытаскивает карту. Карта открывается, и все видят, что ее числовое значе ние равно числу переложенных карт. Этот фокус можно повторять сколько угодно раз, Обіуяснение. Для демонстрации этого фокуса специально выбирают 13 карт так, чтобы на каждое целое число от 1 до 13 приходилась одна карта с со ответствующим числовым значением, Их распола гают в порядке убывания числовой величины, на чиная с короля и кончая тузом. Показывающий снимает пачку несколько раз и передает ее зрите лю, незаметно посмотрев на нижнюю карту. Допус тим, это была четверка. После того как карты будут1 переложены, показывающий отсчитывает сверху 4 карты и последнюю из них открывает. Ее число вое значение укажет число переложенных карт. 257 ЛОГИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ *7 f Ф ОНУ С С НАХОЖДЕНИЕМ НАРТЫ Колода карт тасуется. Показывающий бегло ее просматривает, кладет лицевой стороной вниз и называет одну карту. Допустим, это двойка червей. Теперь кто-нибудь называет число от 1 до 26. Показывающий отсчитывает по одной это число карт и открывает верхнюю карту положен ной им кучки. Но это не двойка червей! Показывающий принимает озадаченный вид и высказывает предположение, что карта, может быть, осталась в нижней половине колоды. Не верная карта поворачивается лицевой стороной вниз и кладется на эту полуколоду, а сверху по мещаются остальные карты из кучки, оставшей ся на столе. Зрителя просят назвать еще одно число, на этот раз от 26 до 52. Это число карт сно ва сдается. И опять-таки оказывается, что верх няя карта в кучке — не двойка червей! Опять неверная карта переворачивается и кладется на нижнюю часть колоды, а карты, взя тые со стола, помещают сверху. Теперь показы вающий высказывает предположение, что двой ка червей найдется, если от второго числа отнять первое. Производится вычитание, и отсчитыва ется число карт, равное разности, следующая карта открывается, и на этот раз она оказывает ся двойкой червей! Объяснение. Бегло просмотрев карты, показы вающий просто называет верхнюю карту колоды. 9. Зак. ,№189 О ? і ' ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ _ л „ ------------- -------------------- 2 5 8 После двух отсчетов карта автоматически оказы вается в положении, следующем за указываемым разностью двух чисел, названных зрителем. Ф ОКУСЫ С МЕЛКИМИ ПРЕДМЕТАМИ Пожалуй, почти каждый мелкий предмет, так или иначе связанный с числами или счетом, использовался для показа фокусов математичес кого характера или для математических головоломок и задач. Самая большая группа таких фо кусов — фокусы с игральными картами — была нами рассмотрена выше. В настоящей и после дующих главах мы рассмотрим математические фокусы с другими мелкими предметами. Не ста раясь сделать изложение исчерпывающим, мы лишь проиллюстрируем различные принципы, на которых они основаны. ИГРАЛЬНЫЕ КОСТИ Игральные кости известны так же давно, как и игральные карты, а история зарождения этой игры так же неясна. И все же с удивлением при ходится отметить, что самые ранние из извест ных игральных костей Древней Греции, Египта и Востока имеют точно такой же вид, как и совре менные, т. е. кубик с цифрами от единицы до шестерки, нанесенными на его грани и располо женными таким образом, что сумма их па проти- ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ 9 f fc&y 1 — — ■ 1■ '■■■■ 1 ■ — —* Об воположных гранях равна семи. Однако кубическая форма игральной кости объясняется тем, что только правильный многогранник обеспечивает полное равноправие всех граней, а из пяти сущее твуюіцих в природе правильных многогранников куб обладает явным преимуществом как атрибут игры: его легче всего изготовить, и, кроме того, он единственный из них, который перекатывает ся легко, но не слишком (тетраэдр перекатывать труднее, а октаэдр, икосаэдр и додекаэдр настоль ко близки по своей форме к шару, что быстро ука тываются). Поскольку куб имеет шесть граней, то нанесение на них шести первых целых чисел напрашивается само собой, а расположение их с суммой — семеркой — представляется наиболее простым и симметричным. И это является, меж ду прочим, единственным способом такого их по парно противоположного расположения, чтобы суммы всех нар были одинаковы. Именно этот «принцип семерки» лежит в ос нове большинства математических фокусов с иг ральными костями. В лучших из таких фокусов упомянутый принцип применяется настолько тонко, что о нем никто и не подозревает. В качес тве примера рассмотрим один очень старый фокус. УГАДЫВАНИЕ СУММЫ Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить 9* 91 ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ 260 три выпавших числа, взять любую кость и при бавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выкавшее число опять прибавить к сум ме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоим образом не может быть из вестно, какую из трех костей бросали дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму. Объяснение . Прежде чем собрать кости, по казывающий складывает числа, обращенные кверху. Добавив к полученной сумме семерку, он находит конечную сумму. Вот еще один остроумный фокус, основанный на принципе семерки. Показывающий, повер нувшись спиной к зрителям, просит их составить столбиком три игральные кости, затем сложить числа на двух соприкасающихся гранях верхней и средней костей, котом прибавить к полученно му результату сумму чисел на соприкасающих ся гранях средней и нижней костей, наконец, прибавить к последней сумме еще число на ни жней грани нижней кости. В заключение стол бик накрывается платком. Теперь показывающий поворачивается к зри телям и вынимает из кармана горсть спичек, ко личество которых оказывается равным сумме, найденной зрителем при сложении пяти чисел на гранях кубиков. Объяснение. Как только зритель сложит свои числа, показывающий на мгновение пово- ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ оо рачивает голову через плечо якобы для того, что бы попросить зрителя накрыть столбик платком. На самом же деле он в это время успевает заме тить цифру на верхней грани верхнего кубика. Допустим, это шестерка. В кармане всегда долж на быть 21 спичка. Захватив все свои спички, по казывающий, вынимая руку из кармана, роня ет шестъ из них обратно. Иными словами, он вы таскивает все спички без стольких, какова циф ра наверху столбика. Это число спичек и дает сумму цифр на пяти гранях. То обстоятельство, что зритель складывает числа на соприкасающихся гранях соседних кубиков, а не взаимно противоположные числа одного и того же кубика, служит хорошей мас кировкой применения принципа семерки. Этот фокус можно демонстрировать и без ис пользования принципа семерки. Следует лишь заметить цифры на любых двух гранях каждого из кубиков. Дело в том, что существуют только два различных способа нумерации костей, причем один из них является зеркальным отображением другого и, более того, все современные игральные кости нумеруются одинаково; если держать ку бик так, чтобы была видна тройка 1 ,2 и 3, то циф ры в ней будут расположены в порядке, обратном движению часовой стрелки (рис.22). Рисуя себе мысленно взаимное расположение цифр 1, 2, 3 и вспоминая принцип семерки, чтобы представить себе местонахождение цифр 4,5,6, можно, глядя сбоку на столбик (верхнюю грань верхнего кубика 261 ^ f ЛОГИКА в ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 262 предварительно накрывают монетой), правильно назвать число на верхней грани любо го кубика, При хорошем простран ственном воображении и не большой практике этот фокус можно показывать с порази тельной быстротой. ОТГАДЫВАНИЕ ВЫПАВШЕГО ЧИСЛА ОЧКОВ Много интересных фокусов с игральными костями связано с позиционным способом запи си чисел. Вот типичный из таких фокусов. Зри тель бросает три кости, причем, показывающий не смотрит на стол. Число, выпавшее на одной из костей, умножается на два, к полученному произведению прибавляется пять, и результат снова умножается на пять. Число, выпавшее на второй кости, складывается с предыдущей сум мой, и результат умножается на десять. Наконец, к полученному числу прибавляется число, вы павшее на третьей кости. Как только показыва ющий узнает окончательный результат, он не медленно называет три выпавших числа. Объяснение. Ог последнего числа показыва ющий отнимает 250. Три цифры полученной раз ности и будут искомыми числами, выпавшими на костях. 263 ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы ? Г ДОМИНО Домино встречается в математических фоку сах гораздо реже, чем карты и игральные кости. Весьма широко известен следующий фокус. Ц епочка с р азр ы во м Показывающий записывает предсказание на листке бумаги и откладывает его в сторону. Кос точки домино перемешивают, а затем выклады вают цепочкой, приставляя одинаковые концы друг к другу* как это делается при обычной игре в домино. После окончания раскладки смотрят на число очков на каждом из концов цепи. До стают листок бумаги, и оказывается, что там за писаны как раз эти два числам Фокус повторяет ся несколько раз, причем, каж ды й раз предска зываются новые цифры . Объяснение . Этот фокус получается потому, что любая цепочка, составленная из всех без ис ключения косточек домино (их бывает обычно 28), имеет одинаковое число очков на концах. Показывающий перед началом фокуса незамет но прячет одну косточку, а числа очков на кон цах ее записывает в предсказании. Так к ак при выкладывании всех 28 косточек должна образо ваться замкнутая цепочка, то отсутствующая косточка укажет числа очков на месте ее разры ва. Удаляемая косточка не должна быть дублем. 'И II ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ —--------------------------------------------- 264 РЯД ИЗ ТРИНАДЦАТИ КОСТОЧЕК Вот еще один любопытный фокус с домино. Для него нужны 13 косточек, которые уклады ваются в ряд лицевой стороной вниз. В отсутст вие показывающего кто-нибудь из зрителей пе редвигает по одной любое число косточек (от од ной до двенадцати) с одного конца ряда на дру гой. После этого показывающий возвращается в комнату, открывает одну косточку, и количест во очков на ней оказывается равным числу пере мещенных косточек. Фокус можно показывать сколько угодно раз. Объяснение . Косточки, конечно, подбира ются специальным, образом. Суммы очков на них должны последовательно равняться всем целым числа от 1 до 12. Тринадцатой будет двойная пустыш ка. Они выставляются в по рядке возрастания, начиная с единицы на ле вом конце. Справа ряд замы кается двойной пустышкой. Перед уходом из комнаты показы вающ ий демонстрирует, как нуж но переме щ ать косточки; передвинув несколько ш тук слева направо, он должен сообразить, сколько очков теперь на самой левой косточке. Возвра тившись, он мысленно считает до этого числа, начиная справа. Если на левой косточке было, например, 6 очков, ему нужно считать справа до шестой строчки. Косточку, на которую при дется это число, он открывает. Если она слу- „ 265 ------ — -------- — — ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К УСЫ — чайно окаж ется двойной пусты ш кой, ей при писывается значение 13. Повторять этот фокус совсем просто. Пока зывающий должен сосчитать про себя, сколько косточек осталось от открытой до крайней левой, сообразить, сколько па последней очков, и запом нитъ это число перед уходом из комнаты. Любопытная ситуация возникает, если ктонибудь вздумает подшутить над показывающим и не переставит ни одной косточки; в это?л слу чае откроется двойная пустышка. КАЛЕНДАРИ Можно проделать много интересных фоку сов с использованием табель-календаря. Вот не которые, наиболее интересные из них. ТАИНСТВЕННЫЕ КВАДРАТЫ Показывающий стоит, повернувшись спи ной к зрителям, а один из них выбирает на по месячном табель-календаре любой месяц и от мечает на нем какой-нибудь квадрат, содержа щий 9 чисел. Теперь достаточно зрителю назвать наименьшее из них, чтобы показывающ ий тут ж е, после быстрого подсчета, объявил сумму этих девяти чисел. Объяснение . Показывающему нужно приба вить к названному числу 8 и результат умножить на 9. ЛОГИКА В ВОПРОСАХ М ОТВЕТАХ 266 ФОКУС С ОТМЕЧЕННЫМИ ДАТАМИ Фокус начинается так. Зрителю предлагают открыть помесячный табель-календарь на любом месяце и обвести кружком по своему выбору по одной дате в каждом из п я т и столбиков. (В том случае, когда числа располагаются в шести стол биках, что бывает весьма редко, шестой столбик не принимают во внимание.) При этом показыва ющий стоит спиной к присутствующим. Все еіце оборачиваясь, он спрашивает: «Сколь ко у Вас обведено понедельников?», затем: «Сколь ко вторников?» и т . д., перебирая все дни недели. После седьмого и последнего вопроса показывающий объявляет сумму цифр, обведенных кружочками. Объяснение . Сумма чисел в строке, которая начинается первым числом месяца, всегда равна 75 (за исключением февраля невисокосного года). Каждое отмеченное число в следующей строке увеличивает эту сумму на 1, в следующей за ней строке на 2 и т. д.; каждое отмеченное число в предыдущей строке уменьшает упомянутую сум му на 1, в предшествующей ей строке на 2 и т. д. Пусть, например, первое число месяца приходит ся на четверг, и обведены один понедельник, один четверг и три субботы; показывающий произво дит в уме вычисление: 75+3x2—ІхЗ^ТЗ и объяв ляет полученный результат. Разумеется, показы вающий должен знать заранее, на какой день при ходится первое число выбранного месяца. ЛОГИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ 9 ? ПРЕДСКАЗАНИЕ На каком-нибудь листке помесячного табелькалендаря зритель заключает в квадрат 16 чисел. Показывающий после беглого взгляда на обведен ную фигуру записывает предсказание. Затем зри тель выбирает в этом квадрате четыре числа, по ви димости произвольных, но с соблюдением следу ющего правила. Первое из чисел выбирается (об водится кружочком) совершенно произвольно. За тем вычеркиваются все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбце, что и только что об веденное число. Б качестве второго числа зритель может обвеете кружочком любое число, оставшее ся незачеркнутым. После этого он вычеркивает все числа, оказавшиеся в одной и той ж е строчке и в одном и том же столбце со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соот ветствующие строчка и столбец вычеркиваются. В результате этих операций останется незачер кнутым одно единственное число. Его зритель также обводит кружочком. Если теперь взять сум му четырех отмеченных нами чисел, то она ока жется в точности равной предсказанному числу. Объяснение . Показывающий замечает два числа, находящихся на двух диагонально проти воположных углах квадрата. К акая из двух воз можных пар это будет — безразлично. Чтобы получить ответ, нужно сложить эти два числа и найденную сумму удвоить. F і: ЛОГИКА в ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ л лл — — ------------- ----------— — ------ 268 Более простой фокус, основанный на этом же принципе и не требующий табель-календаря, мож но демонстрировать так. Начертите квадратную сетку из 16 клеток, подобную шахматной доске, и перенумеруйте клетки от 1 до 16 в естественном порядке. Если теперь предложить зрителю вы брать четыре числа при помощи того процесса, ко торый описывался выше, и сложить их, то во всех случаях он будет получать одну и ту же сумму, а именно 34. Этот принцип можно демонстрировать на квадратах с любым числом клеток. ЧАСЫ Угадывание задуманного числа на циф ерблате Зритель задумывает какое-либо число от 1 до 12. Показывающий начинает притрагивать ся кончиком карандаша к числам на цифербла те, делая это, по-видимому, в совершенно про извольном порядке. В это время зритель счита ет про себя, начиная с задуманного числа до 20, причем так, чтобы на каждое прикосновение иоказываюіцего к часам приходилось одно число. Дойдя до 20, он произносит «стоп». И (стран ное совпадение!) карандаш оказывается в этот момент как раз на задуманном числе. Объяснение . Первые восемь прикосновений действительно делаются наугад. Однако уже на ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К УСЫ *?г ZО^ девятом покапывающий должен обязательно коснуться 12 и с этого момента перебирать часы строго подряд в направлении, обратном движе нию часовых стрелок. Когда зритель произне сет слово «стоп», кончик карандаш а будет ука зывать на требуемое число. Совсем не обязательно просить зрителя пре кращать счет именно на 20, вы можете предло жить ему самому выбрать число для окончания счета: нужно лиш ь, чтобы оно было больше 12. Конечно, зритель должен предупредить вас, на каком числе он собирается остановиться. Отни мите от этого числа 12, и полученный остаток ука жет, сколько прикосновений нужно сделать на угад, прежде чем притронуться к 12 и начать дви гаться последовательно против хода часовой стрелки. Принцип «последовательного счета», с кото рым мы только что встретились, применяется и во многих других фокусах. Например, такой фо кус. Присутствующие называют 16 слов, каждое из которых пишется на отдельном листе плотной бумаги, обратные стороны этих листков помеча ют буквами от «А» до «Р» (пропуская «не уд обу ные» буквы «Е» и «И»), Листки перемешивают ся на столе. Показывающий поворачивается спи ной, а кто-нибудь из присутствующих выбирает один из листков, запоминает слово и букву на кем, а затем смешивает с остальными. Показы вающий собирает листки и раскрывает их веером так, чтобы прису тствующие видели слова. Потом ж м с — II gj Ц *7 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 270 он начинает бросать листки па стол по одному без видимой системы *зритель же в это время назы вает про себя буквы в алфавитном порядке, на чиная с той, которой помечено задуманное им слово* Дойдя до «Р», он произносит «стоп». На листке, который к ак раз в этот момент бросает на стол показывающий, оказывается задуманное слово. Чтобы этот фокус получился, нужно бросать листки на стол в порядке, обратном алфавитно му, начиная с буквы <*Р». Ф окус с часами и игральной костью Вот еще один фокус с часами. Показывающий отворачивается от стала, а в это время зритель бро сает кость и задумывает какое-нибудь число (же лательно не больше 50, чтобы не затягивать фо кус). Допустим, это 19. Далее зритель начинает притрагиваться к цифрам на циферблате, начав с числа, указанного игральной костью, и двигаясь по часовой стрелке. Число, на которое придется последнее, 19-е касание, записывается. Затем он снова делает 19 прикосновений, но уже в направ лении, обратном движению часовой стрелки, от считывая их с той же цифры, что и в предыду щий раз. Число, на которое придется последнее прикосновение, опять записывается. G6a записан ных числа складываются, и сумма их называет ся вслух. После этого показывающий сразу назы вает число, выпавшее на игральной кости. ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К УСЫ *}f d I \ ■1 'M -I- —■■■■■ ........... шъ Объяснение . Если названная сумма меньше или равна 12, то для получения ответа нужно просто разделить ее на 2. Если же сумма больше 12, то показывающий сначала вычитает из нее 12, а затем уже делит остаток на 2. СПИЧКИ Существует много математических фокусов, в которых мелкие предметы используются просто как счетные единицы. Сейчас мы опишем несколь ко фокусов, для которых особенно удобны спич ки, хотя годятся и другие мелкие предметы, на пример монеты, камешки или листочки бумаги* Три кучки спичек Показывающий поворачивается спиной к аудитории, а кто-нибудь из присутствующих кладет на стол три кучки спичек так, чтобы чис ло спичек в кучках было одинаковым и большим трех в каждой. Зритель называет какое-нибудь число от 1 до 12. Показывающий просит зрителя перераспределить некоторым (специальным) об разом спички в кучках. При этом, хотя показы вающий и не знал первоначального числа спичек в кучках, в средней кучке оказывается заданное количество спичек. Объяснетіе. Вначале зрителя просят по три спички из крайних кучек перенести в среднюю. Затем он должен сосчитать оставшиеся спички в ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ .. — мд — — 272 е* одной из крайних кучек, взять это число спичек из средней кучки и перенести их в любую край нюю. Так как после этого в средней кучке всег да остается 9 спичек, то теперь уже совсем про сто получить в ней заданное число спичек (для этого потребуется только одна передвижка). Сколько спичек зажато в кулаке! Н а аналогичном принципе основан следую щий фокус, для показа которого необходим ко робок с 20 спичками, Показывающий, повернув шись спиной к зрителю, просит его вытянуть из коробка несколько спичек (не больше десяти) и положить в карман. Затем зритель пересчитыва ет оставшиеся в коробке спички. Допустим, их 14. Это число он «выписывает» на столе следую щим образом: единица изображается одной спич кой, положенной слева, а четверка —четырьмя спичками, положенными несколько правее. Эти пять спычек берутся из числа оставшихся в ко робке. После этого спички, изображавшие число 14, также кладутся в карман. В заключение зри тель вынимает из коробка еще несколько спичек и зажимает их в кулаке. Показывающий поворачивается лицом к зри телям, высыпает спички из коробка на стол и сра зу называет число спичек, зажатых в кулаке. Объяснение . Чтобы получить ответ, нужно вычесть из девятки число спичек, рассыпанных на столе. ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О КУСЫ 273 Кто ■* ЧТО ВЗЯЛ? Еще одші старинный фокус можно показать на 24 спичках, которые складываются кучкой рядом с тремя небольшими предметами, скажем, монетой, кольцом и ключиком, В фокусе просят принять участие трех зрителей (будем называть их условно 1, 2, 3), Первый зритель получает одну спичку, второй — две, третий — три. Вы поворачиваетесь к ним спиной и просите каждо го взять по вещице из лежащ их на столе (обозна чим их А, Б и Б), Предложите теперь зрителю, держ ащ ему предмет А, взять ровно столько спичек из чис ла оставшихся в кучке, сколько у него на ру ках, Зритель, взявш ий Б, пусть возьмет д важ ды столько спичек, сколько у него на руках. Последнему зрителю, взявшему предмет В, пред ложите взять четырежды столько спичек, сколь ко у него на руках. После этого пусть все три зри теля положат свои предметы и спички в карманы. Обернувшись к зрителям и взглянув на ос тавшиеся спички, вы сразу ж е тво р и те каж до му зрителю, какой предмет он взял. Объяснение . Если остается одна спичка, то зрители 1, 2 и 3 взяли соответственно предметы А, Б и В (именно в таком порядке). Если осталось 2 спички, то порядок предме тов будет Б, А, В. Если осталось 3 спички, то А, В, Б. Q f II ЛОГИКА Б ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ------ —-------------------- ------------------2 7 4 Если 4 спички, то кто-то ошибся, так как подобный остаток невозможен* Если 5, то порядок предметов будет Б, В, А. Если в, то В, А, Б. Если 7, то В, Б, А, Удобным мнемоническим средством будет список слов, согласные буквы которых (в поряд ке их написания) соответствуют начальным бук вам названий трех выбранных предметов. Так, например, если показывать фокус с ложкой, вил кой и ножом, то можно предложить следующий список слов: 1. 2. 3. 4. 5. 7. ЛиВеНь. Л е И и В е ц. В о Л а Н. ВаНиЛь, Н е В о Л я. НаЛиВка. Здесь буква «Л» должна обозначать ложку, «В» — вилку, «Н» —нож. Буквы расположены в словах в порядке, соответствующем порядку предметов. Числа, стоящие перед словами, обоз начают число оставшихся спичек. МОНЕТЫ Монеты обладают тремя свойствами, которые делают их удобными для демонстрации матема тических фокусов. Их можно использовать как 275 ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К УСЫ 11 счетные единицы, они обладают определенным числовым значением к, наконец, у них есть ли цевая и обратная стороны. В каждом из следующих фокусов демонстри руется какое-нибудь одно из этих трех свойств. ТАИНСТВЕННАЯ ДЕВЯТКА Дюжина (или больше) мо нет размещается на столе в фор О ° ° ° о ме девятки (рис.23). Показыва ю щ ий стоит, повернувш ись О° * 'х счет я О дакЕ нчкБ аетгя спиной к зрителям. Кто-нибудь Q здесь Q_> из присутствующих задумыва О ет число, большее числа монет О °о о О о в «ножке» девятки, и начинает отсчиты вать монеты снизу о вверх по ножке и далее но ко о лечку против часовой стрелки, О о ° пока не дойдет до задуманного Ряс. 23 числа. Затем он снова считает от единицы до задуманного числа, начав с моне ты, на которой остановился, но на этот раз по ча совой стрелке и только вокруг колечка. Под монету, на которой закончился счет, прячется маленький кусочек бумажки. Показы вающий поворачивается к столу и сразу же под нимает эту монету. Объяснение- Независимо от того, какое чис ло было задумано, счет заканчивается всегда на ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 276 одной и той же монете. Сначала сами проделайте все это в уме с любым числом, чтобы узнать, ка кая это будет монета. При повторении фокуса добавьте к ножке несколько монет, тогда счет закончится уже в другом месте. В какой руке м о н ета! Вот старинный фокус, в котором использу ется числовое значение монеты. Попросите когонибудь взять в один кулак гривенник, а в другой — копейку. Затем предложите умножить число вое значение монеты, лежащей в правом кулаке, на восемь (или любое другое четное число), а чис ловое значение другой монеты на пять (или лю бое нечетное число, какое вам захочется). Сло ж ив эти два числа, зритель должен сказать вам, четное или нечетное число получилось. После этого вы говорите ему, какая монета у него в ка кой руке. Объяснение. Если сумма четная, то в правой руке — копейка; нечетная — гривенник. О р е л или решка Интересный фокус, основанный на разнице между двумя сторонами монеты, орлом и реш кой, начинается с того, что на стол высыпается горсть мелочи. Показывающий отворачивается и просит кого-нибудь из зрителей запяться пере вертыванием монет по одной н а у г а д , произнося ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы <71 ..... ............. ' ' *& п р и каждом п е р е в е р т ы в а н и и «есть». При этом зритель может переворачивать одну и ту ж е мо нету по нескольку раз. Затем зритель накрывает ладонью одну из монет. Показывающий повора чивается к столу и говорит, как лежит закрытая монета — кверху орлом или решкой. Объяснение. Перед тем как отвернуться, вам нужно сосчитать число орлов. При каждом слове «есть» прибавляйте к этому числу единицу. Если последняя сумма четная, то число орлов, после того как зритель закончит перевертывание мо нет, тоже будет четным; если сумма нечетная, то нечетным. Посмотрев на открытые монеты, совсем не трудно определить, как лежит монета под ла донью, кверху орлом или решкой. Этот фокус можно показывать с набором лю бых одинаковых предметов, которые можно рас положить на столе одним из двух возможных способов, например, с крышечками от бутылок с лимонадом, листочками бумаги, одна сторона которых помечена крестиком, игральными кар тами, спичечными коробками и т. п. £і t ШАХМАТНАЯ ДОСКА Фокус с тремя шашками Пока показывающий стоит, отвернувшись от доски, зритель берет три ш аш ки и расстав- * ff ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — ■ - .......... 2 7о ляет их на доске либо по диагонали, отмеченной на рис. 24 тремя буквами А, либо на противопо ложной диагонали, отме ченной тремя буквами В, и начинает передвигать их, произнося про себя 2 3 4 5 6 7 8 буквы своего имени или Р ис. 2 4 фамилии (или и те, и дру гие). При этом на каждую букву должен прихо диться только один ход, который можно делать любой ш аш кой в любом направлении на одну клетку (шашки передвигаются только по белым полям). После того как вся фамилия будет про изнесена, зритель может повторить всю проце дуру еще несколько раз, опять-таки выбирая ш аш ки наугад. После этого показывающий по ворачивается к зрителям и, мельком взглянув на доску, объявляет, с какого угла зритель начинал передвигать шашки: с левого верхнего или пра вого нижнего* Объяснение. Имя и фамилия, которые нуж но побуквенно произносить про себя, должны обязательно состоять из четного числа букв. Если и имя и фамилия зрителя содержат такое число букв, можно брать как то, так и другое. Если чет ное число букв имеет только одно из таких слов, то предложите произносить именно это слово. Если, наконец, оба слова состоят из нечетного числа букв, то они должны произноситься друг в В I ■ ' ■ - ЛОГИЧЕС КИЕ Ф О К УСЫ а * я ■ " '■■■■і — " ■■■■■ j -і ■ -■■■_ем и и й и т и й ^ я зшйДиии ю — д а н— і и f ® ^ за другом (так как сумма двух нечетных чисел четна). Повернувшись к зрителям и взглянув на до ску, обратите внимание на вертикальные четные ряды, считая их занумерованными, как на ри сунке, Если в этих рядах окажется всего четное число шашек (т. е, две или ни одной), то вначале шашки стояли в правом нижнем углу, в против ном случае — в левом верхнем. МЕЛКИЕ ПРЕДМЕТЫ Фокус с тремя предметами Три различных предмета кладутся на столе в ряд, и занимаемые ими места (не сами предме ты, а лишь места) обозначаются цифрами 1» 2 и 3. Показывающий поворачивается к зрителям спиной, а кто-нибудь из присутствующих начи нает попарно менять местами предметы, назы вая при этом лишь соответствующие местам циф ры. Так, например, переставляя предметы, сто ящ ие на первом и третьем местах, он произно сит вслух «один и три». Таким образом, зритель может передвигать предметы сколько угодно раз, но обязательно называя при этом соответствую щие цифры. Когда ж е он, наконец, устанет от этого занятия, он задумывает какой- нибудь предмет и меняет местами два других предме та, ничего не говоря показывающему. Далее он f P ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ----------- ------------------------------ -------------- ---------------------------------- ------------------------ — ----------- 280 снова начинает попарно переставлять предметы произвольным образом, но опять называя вслух соответствующие цифры. Так зритель может про должать, пока ему не надоест. В конце концов показывающий поворачивается к столу и немед ленно указывает задуманный предмет. Объяснение . Стоя спиной к столу, вы неза метно для зрителя пользуетесь в качестве счет ного приспособления какой-нибудь рукой. Пусть три пальца (например, указательный, средний и безымянный) обозначают цифры 1, 2 и 3. Перед тем как отвернуться от предметов, заметьте положение одного из них. Допустим, что вы взяли для показа фокуса кольцо, каран даш и монету и кольцо занимает положение 1. Тогда коснитесь большим пальцем того пальца, которому вы приписали цифру 1. По мере того как зритель будет сообщать вслух о своих пере становках, вы должны передвигать большой палец по пальцам, обозначающим цифры, сле дя при этом только за положением кольца. Так, если первая перестановка вклю чала 1 и 3, вы перемещаете большой палец на палец под номе ром 3, Если же перестановка включала 2 и 3, не затрагивая таким образом кольца, то вы ничего не делаете, оставляя большой палец на прежнем месте. После того как зритель задумал предмет и сделал неизвестную вам передвижку остальных двух, он снова начинает называть вслух цифры, обозначающие перестановки. При этом вы про- 281 ЛОГИЧЕСКИЕ Ф О К У С Ы должаете следить за положением кольца, к ак если бы оно не изменилось в результате неиз вестной вам передвижки. В заключение всех операций по перестанов кам ваш большой палец остановится на каком-то пальце. Допустим, что этот палец имеет номер 2. Взгляните на второе место на столе. Если там ока жется кольцо, вы сразу же определяете, что было задумано именно кольцо, потому что его положе ние не изменилось в результате неизвестной вам передвижки. Если же кольцо оказывается не там, где это указывает вам большой палец, то взгляните на два других предмета (кольцо и еще что-то). Этот другой предмет (не кольцо) и будет задуманным. Наш метод поразительно прост и легко дога даться, почему он приводит к цели. По сути, мы здесь имеем дело с задачей элементарной логи ки, где пальцы выполняют роль простейшей ло гической машины. Фокус с отгадыванием одного из четырех предметов Вот еще один увлекательный фокус, имею щих! своим источником только что описанный фокус: четыре спички располагаются на столе в ряд, три из них обращены головками в одну сто рону, а четвертая, чтобы выделить ее среди ос тальных, — в противоположную. Показываю щий стоит, повернувшись к зрителям спиной, а * SГ ml ЛОГИКА В ВОПРОСА X И ОТВЕТ АХ ---------- -------------- -— — ----— — 282 кто-нибудь из присутствующих переставляет спички, на первый взгляд, совсем произвольным образом. Все еще не поворачиваясь к зрителям» показывающий просит убрать сначала одну спич ку, потом еще одну и, наконец, третью, оставляя таким образом на столе только одну спичку* И эта оставшаяся спичка обязательно оказывается по вернутой! Этот фокус можно повторятъ много раз, к он всегда будет' удаваться* Его молено показывать на любых четырех предметах, поэтому мы описы ваем его в этом разделе, а не там, где фокусы со спичками. Объяснение „ Положение спичек или пред метов, расположенных на столе, обозначьте циф рами 1, 2, 3 и 4 оПопросите кого-нибудь указать один из этих предметов* Прежде чем вы повер нетесь к зрителям спиной, запомните его пол ожение. Теперь попросите сделать пять пере становок, меняя при этом местами выбранный предмет с соседним* Если был указан предмет, находяіцийся на одном из концов, то, конечно, первую перестановку можно выполнить един ственным образом; если же был указан не край ний предмет, то его можно поменять местами* либо с правым соседним предметом, либо с ле вым. Поскольку зритель не сообщает показываю щему, как он меняет местами предметы, может возникнуть представление, что после данного числа перестановок выбранный предмет может ЛОГИ ЧЕСКИ Е Ф О К У С Ы 283 занять любое место в ряду* Однако это не так. Например, если указанный предмет занимал 2-е или 4-е (т,е. четное) место, то после пяти пере становок ок может оказаться либо на 1-м, либо на 3-м (т. е. нечетном) месте. Наоборот, если мы начнем с 1-го или 3-го места, то придем ко 2-му или 4-му. При нечетном числе перестановок так будет получаться всегда. В нашем примере мы предложили сделать пять перестановок, но мож но было назначить семь или, скажем, двадцать девять (любое нечетное число) число перестано вок, но в этом случае выбранный предмет очутил ся бы на четном месте, если он был на четном вначале, или на нечестном, если на таком же мес те он был вначале. Вопрос о числе перестановок может решать и сам зритель, хотя, конечно, это число он должен вам сообщить. Можно такж е, переставляя предметы, произносить по буквам свое имя и фамилию. После того как перестановки будут законче ны, вы должны указать зрителю, в каком поряд ке он должен поштучно убирать три предмета, чтобы на столе остался четвертый выбранный. Это нужно делать так. Если вам известно, что указанный предмет может оказаться после окончания передвижек на 1-м или 3-м месте, то сначала попросите уб рать предмет, находящийся на 4-м месте. Затем попросите зрителя поменять местами выбран ный предмет с соседним. В результате этой пос ледней перестановки указанны й вам предмет f ЛОГИКА В ВО ПРО САХ И ОТВЕТАХ 284 всегда окажется средним из трех оставшихся. Теперь уже не составляет никакого труда оста вить на столе выбранный зрителем предмет. Если же, наоборот, конечное положение ука занного предмета может быть 2-м или 4-м, то сначала следует убрать предает, находящийся на 1-м месте, а все остальное происходит так же. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ЛОГИКЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РАЗМИНКИ Задача 1. ЗО О М А ГА ЗИ Н Для того чтобы были выполнены все условия, а именно, попугай повторял каждое услышанное слово, одновременно с этим был нем как рыба и продавец не лгал, попугай дѳлжен быть глухим. Задача 2. БУТЫ ЛКА Профессор прав, утверждая, что, поставив бутылку в центре комнаты, он может вползти в нее, имеется в вида, в комнату. Задача 3. П РЕД СКА ЗА ТЕЛ Ь Счет любого футбольного, бейсбольного и бас кетбольного матча до его начала — 0: 0. Именно это и предсказывает Урия Фуллер. Задача 4. Ф ЕН О М ЕН А Л Ь Н А Я СКОРОСТЬ Фрэнк лег спать задолго до того, как стемне ло. Именно это позволило ему добраться до кро вати до того, как наступила темнота. ЗА Д А Ч И Д Л Я РАЗМ ИНКИ Задача 5, f БОЛТЛИВАЯ Д А М А Дама догадалась потому» что шофер привез ее по указанному ею адресу, следовательно* он все слышал. Задача 6, БЕГЛЫЙ П Р Е С Т У П Н И К Скорее всего преступник в момент обнаруже ния им машины с полицейскими находился на таком участке пути, где свернуть просто было не возможно, например, на мосту. Причем он про шел уже большую часть моста» поэтому для того чтобы свернуть в лес, он был вынужден поста раться преодолеть побыстрее оставшуюся часть моста. Поэтому он и побежал навстречу машине с полицейскими. Задача 7. ЗАБЫ ТЫ Й Н О М Е Р ТЕЛ ЕФ О Н А Ясно» что как первая, так и вторая полови на шестизначного числа представляют собой трехзначные числа. Из сказанного Кэти следу ет, что первая цифра номера телефона Везли не может быть больше 2 (в противном случае вто рая половина номера, которая в 4 раза больше пер вой, была бы не трехзначным, а четырехзначным числом). Сведения, сообщенные Сью* позволя ют утверждать, что номер телефона может на чинаться лиш ь с комбинации 12 или 24. Третья * SВ ГОТИКАВ ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ;; ——- — ■ — --------------- 288 цифра номера телефона Везли, как нетрудно установитъ, четная. Действительно, вторая циф ра равна либо 2, либо 4, а третья цифра (по утвер ждению Фрица) больше второй в 2 раза либо на 2. И в том, и в другом случае она четная. Нетруд но показать, что номер телефона Везли не может начинаться с комбинации цифр 24. Действитель но, если бы забытый номер телефона начинался с 24, то его первая половина была бы не меньше 240 и не больше 249, а вторая половина, которая по определению в 4 раза больше, была бы не мень ше 960 и не больше 996. Четвертой цифрой номе ра во всех случаях должна была быть 9. Но тогда и третьей цифрой должна бытъ 9. Как мы только что доказали, это невозможно, поскольку 9 — нечетное число. Таким образом, номер телефона может начинаться лишь с 12, а его третья цифра — 4, поскольку независимо от того, умножим ли мы 2 на 2 или прибавим 2 к 2, результат будет оди наковым — 4. Следовательно, первая половина номера Везли может совпадать лиш ь с числом 124, в силу чего вторая половина номера равна 4 к 124 =496. В соответствии с этим, номер телефо на Везли следующий: 12-44-96. МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ РАССУЖДАТЬ ЛОГИЧНО! Задача 1. ТОЧКА НА КАРТЕ Первому условию удовлетворяет Северный полюс. Второму условию такая точка, которая МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ РАССУЖДАТЬ ЛОГИЧНО* 289 f отстоит от Южного полюса на таком расстоя нии, чтобы, пройдя 100 миль на юг, можно было, сделав полный круг ка восток, вернуться в точку, которой завершается стомильный отре зок пути. От него движемся строго на север и оказываемся в исходной точке. Второй такой точ кой будет точка на карте, отстоящая от Южного полюса на таком расстоянии, чтобы, пройдя 100 миль на юг, можно было сделать при движении на восток два полных круга. Следующая точка связана с возможностью сделать три полных кру га и т. д. Задача 2. ТРИ Д ЕРЕВН И Нужно рассуждать от противного. Из дерев ни Правдино звонить не могли, ибо им не свой ственно лгать, значит, в Правдино ехать для ту шения пожара не нужно. Могли звонить из Кривдино, но и туда ехать нет нужды, поскольку они наверняка солгали про пожар. Значит, звонили из деревни Середина-Наполовину. Они сказали правду, признавшись, что они из этой деревни, значит, вторая часть фразы о том, что у них по жар, является ложью. Следовательно, пожарни кам никуда ехать не нужно. Задача 3. КН И Ж Н Ы Й ЧЕРВЬ Длина норки всего 0,5 см. В этом легко убе диться, поскольку первую страницу первого тома 10. Зак. Ш *} f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 290 и последнюю страницу второго тома разделяют две обложки. Задача 4, ГО Л Л А Н Д С К И Й БАНК Потребуется всего 4 взвешивания. Для этого нужно разделить монеты ка 3 кучки по 27 в каж дой, Взять две произвольные кучки и уравнове сить их на весах. Если фальшивая монета в од ной из них, то эта кучка будет легче, если кучки будут одинакового веса, значит, фальшивая мо нета в оставшейся кучке. Кучку с фальшивой мо нетой также разделить на 3 кучки по 9 монет и повторить процедуру и так далее, пока не будет выявлена фальшивая монета. Для этого требует ся 4 взвешивания. Задача 5. Ш А Х М А Т Ы И Д О М И Н О Чисто арифметически, казалось бы, задача разрешима. Но проблема в том, что число черных и белых клеток на шахматной доске одинаково. А поскольку две крайние и противоположные по диагонали клетки заняты (а ими могут быть толь ко две белые либо две черные клетки), то число оставшихся белых и черных клеток не равно друг другу* Поскольку каж дая косточка домино за крывает одну белую и одну черную клетки, то выполнить условие невозможно. 291 МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ РАССУЖДАТЬ ЛОГИЧНО* f Задача 6. А Н ГЛ И Й С К И Й П У Т Е Ш Е С Т В Е Н Н И К Выясним, кто и что говорит. Если длинный — лжец, то в ответ на вопрос путешественника, го ворит ли он всегда правду, на своем языке он ска жет, конечно, «да». А если он правдолюбец, то он тоже ответит «да». Значит, кем бы ни был длин ный абориген, он всегда отвечает «да». В его сло вах не найти противоречия, значит, противоречие нужно искать в ответе короткого. Пусть длинный правдолюбец, и он сказал «да». Тогда короткий лжец, будучи лжецом, должен лгать каждым сво им заявлением. Посмотрим, что же он говорит: «Он сказал «да», но он отчаянный лжец». Если короткий лжец, то он не может подтвердить, что длинный сказал «да». Противоречие, которое мы повстречали, дает нам право отклонить эту вер сию. Рассмотрим вторую версию; длинный лжец на вопрос путешественика все равно говорит «да». Значит, короткий — правдолюбец, и он подтвер ждает это, говоря, что длинный сказал «да», но он отчаянный лжец. Так оно и есть. Задача 7. БУД Д И Й СК И Й М О Н А Х Бесполезно искать эту точку в начале или в конце пути, или сопоставлять то, в какое время может творить молитву буддийский монах. Ре шение проще: путь подъема и спуска один и тот іо* 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 292 же* Начало подъема и спуска было в одно и то же время — утром. Чтобы доказать, что на пути под ъема и спуска существует точка, которую монах проходил в одно и то же время суток, нужно пред ставить себе, что одновременно движутся два мо наха; один, поднимаясь в гору со скоростью под ъема, а другой, спускаясь с горы со скоростью спуска. Им не разойтись, где-то они обязательно встретятся, это и есть та самая точка. ЗАДАЧИ-ШУТКИ Задача 1. Д Е Л Е Ж Один человек берет яблоко вместе с корзиной. Задача 2. с н о л ь н о н о ш е н і Иной, пожалуй, начнет вычислять так; 4 кошки в углах, по 3 кошки против каждой — это еще 12 кош ек, да на хвосте каждой кош ки по кошке, значит, еще 16 кошек. Всего 32 кошки. И будет, по-своему, прав. Но более прав будет тот, кто сразу сообразит, что в комнате находится все го-навсего 4 кош ки. Ни более, ни менее. Задача 3. ПОРТНОЙ Если этот вопрос задан быстро и отвечающий не имеет времени на размышление, то часто мож- ЗАДАЧИ-ШУТКИ 293 01 но услышать в ответ: по истечении 8 дней. На самом деле последний кусок будет отрезан по истечении 7 дней. Задача 4. ЧИ СЛ О 666 Нужно написать это число, а потом перевер нуть бумажку «вверх ногами». Получится чис ло 999, Задача 5. Д РО БЬ Может, например г З = А ■6 - ю ' Задача 6. НАН РА ЗРУБИ ТЬ П О Д К О В У І Ели вы начертите подкову в виде дугообразной линки, как это обычно бывает, то сколько бы вы ни ломали голову, вам не удастся разрезать ее двумя пря мыми более чем на пять частей. Другое дело, если вы нарисуете подкову, имеющую ш ирину, т е, так, как она выглядит в дей ствительности, Тогда после проб вы найдете верное решение за дачи, разрежете подкову двумя линиями на 6 частей. 1 п ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 294 Задача 7. ЧТО С К А З А Л СТА Р И К * Старик шепнул казакам: «Пересядьте». Те по няли, мигом поменяли коней, и каждый погнал те перь во всю прыть чужую лошадь, на которой он си дел, чтобы его собственная лошадь пришла второй. ЗАДАЧИ НА ЛОГИКУ СЧЕТА Задача 1. Р Е Й С Ч ЕР ЕЗ О К ЕА Н Напрашивающийся ответ «семь», конечно же, неверен. Нужно учитывать как те суда, кото рые уже плывут в Гавр, так и те, которые еще бу дут отправляться в путь. В момент выхода паро хода из Гавра в пути, направляясь в Гавр, нахо дится 8 судов компании (одно из них входит в Гавр и одно выходит из Нью-Йорка). Наш пароход встретит все эти 8 судов. Кроме того,и в течение его семидневного плавания из Нью-Йорка выйдет еще 7 судов (последнее — в момент прихода парохода в Нью-Йорк). Они также будут встречены па роходом. Итак, правильный ответ — 15 судов. Задача 2. П Р О Д А Ж А Я Б Л О К Задача сразу решается, если сообразить, что последнему (шестому) покупателю досталось одно целое яблоко. Значит, пятому досталось 2 295 ЗАДАЧИ НА ЛОГИКУ СЧЕТА f яблока, четвертому 4, третьему 8 и т . д* Всего же яблок было 14-2+4+8+16+32—63, т* е. фермер привез на рынок 63 яблока. Задача 3. ГУСЕН И Ц А Часто при решении подобных задач рассуж дают так: гусеница за сутки, т. е. за 24 часа, впол зает на 5 м без 2 м. Значит, всего за сутки она вползет на В м, Следовательно, высоты 9 м она достигнет по истечении 3 суток, т* е. она будет на этой высоте в среду в 6 часов утра. Но такой ответ неверен: в конце вторых суток, т,е. во втор ник в 6 часов утра гусеница будет на высоте 6 м; но в этот же день, начиная с 6 часов утра, она до 18 часов может вползти еще на 5 м, Следователь но, на высоте 9 м, как легко рассчитать, она ока жется во вторник в 13 часов 12 минут. Задача 4. В ЕЛ О С И П ЕД И С Т Ы И М У Х А Часто при решении этой задачи пускаются в разные сложные рассуждения и выкладки, не давая себе труда уразуметь, что муха, не останав ливаясь, летела ровно 3 часа, а следовательно, пролетела 300 километров* Задача 5. С О Б А К А И Д В А П У Т Е Ш Е С Т В Е Н Н И К А Эта задача очень похожа на предыдущую. Ответ не зависит от того, первому или второму т ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ путешественнику принадлежит собака. Второй путешественник догонит первого через 4 часа, и за это время собака пробежит 4x15 = 60 км Задача 6. С Т Р А Н Н О Е ЧИ СЛО Так как при перенесении цифры 2 на первое место число удваивается, то предпоследняя циф ра его должна бытъ 4 (2 х 2=4), предшествующая ей должна бытъ 8 (2 х 4=8), перед ней 6 (8 х 2=16), затем 3 (1+2 х 6=13), затем 7 (1+2 х 3=7) и так далее. Наше число должно начинаться с 1. Поэ тому следует остановиться, когда после удвоения цифры и добавления 1 от цифр предыдущего раз ряда мы получим 1. Искомое число будет следу ющим: 105 263 157 894 736 842. Это одно из чисел, удовлетворяющих усло вию. Все остальные (а их бесконечно много) мож но получить, продолжая указанный процесс да лее о Легко убедиться, что каждое из них будет состоять из повторяющейся несколько раз ком бинации цифр, уже найденных нами. Задача 7. Е Щ Е О Д Н О С Т Р А Н Н О Е Ч И СЛ О Легко увидеть, что если к искомому числу до бавить единицу, то результат будет делиться без остатка на 2,3,4,5 и 6. Наименьшее число с этим свойством —60. 297 ЗАДАЧИ НА ЛОГИКУ СЧЕТА f Задача 8. С Б О Р ЯБЛ О К Нужно подойти к каждому яблоку и возвра титься обратно к корзине. Значит, число про йденных метров будет равно удвоенной сумме первых ста чисел, или 100 раз взятому числу 101, т. е. 10100. Это составит почти 10 ки л о метров. Задача 9. БОЙ ЧАСОВ Наибольшее количество ударов, отбиваемых обыкновенными часами, есть 12. Задача сводит ся к тому, чтобы узнать сумму всех чисел от 1 до 12. А это, мы знаем, будет половина 12 раз в зя тых тринадцати. Но в сутках 2 раза 12 часов, или 24 часа. Значит, часы сделают ровно 12 раз по тринадцать ударов, т. е. 156 ударов. СТАРИННЫЕ ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Задача 1. Б О Ч О Н О К К В А С А За 140 дней человек выпьет 10 бочонков ква са, а вдвоем с женой они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней ж ена выпьет 14—10=4 бо чонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140: 4=35 дней. 7f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 298 Задача 2. В Ж А РКИ Й Д ЕН Ь Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бо чонок кваса, то за один час такой бочонок выпь ют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок ква са выпьют 16 человек. Задача 3. НА О Х О Т Е Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сде лает 6 скачков, но собака за 5 скачков продела ет то же расстояние, что и заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизит ся к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент между зайцем и собакой было ровно 40 скачков соба ки, то она догонит зайца через 40 х 6=240 скач ков. Задача 4. К А К РА ЗД ЕЛ И ТЬ О Р ЕХ И ' Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четы рех меньших частях. Значит, большая часть до лж на содержать в 3 х 4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130 : 13=10 орехов, а большая 130—10=120 орехов. СТАРИННЫЕ ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ f Задача 5. СК ВО РЦ Ы Предположим, что после того как скворцы сели на деревья по два, с каждого дерева взлете ло по одному скворцу. Один из взлетевших сквор цов может сесть на незанятое дерево, тогда на каждом дереве будет сидеть по одномз^ скворцу. По условию, если на каждое дерево сядет по од ному скворцу, то один скворец останется в воз духе. Значит, взлетело 2 скворца. Тогда общее число скворцов будет 4, а число деревьев 3. Задача 6. К О М У П А СТИ ОВЕЦ * Из условия следует, что и у Ивана, и у Миха ила вдвое больше овец, чем у Якова, у Петра вдвое больше, чем у Ивана, и, значит, вчетверо боль ше, чем у Якова. Но тогда у Герасима столько же овец, сколько их имеет Яков. Общее число овец поэтому в (2ч-4-Ы+2+1)=10 раз больше, чем чис ло овец у Якова. Отсюда следует, что у Якова 1 овца, тогда у И вана и у М ихаила по 2 овцы, у Петра 4, а у Герасима 1 овца. Соответственно столько же дней должен пасти овец каж ды й из них. Задача 7. И З М О С К В Ы В В О Л О Г Д У За день первый человек пройдет по направ лению к Вологде 40 верст и, значит, к началу 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 300 ■т ^ следующего дня будет опережать второго чело века на 40 верст. В каждый следующий день пер вый человек будет проходить по 40 верст, второй по 45 верст, а расстояние между ними будет со кращаться на 5, верст* Н а 40 верст оно сократит ся за 8 дней. Поэтому второй человек настигнет первого к исходу восьмого дня своего пути. ЗАДАЧИ-ЗАГАДКИ Задача 1, К О З А По земле* Задача 2. О Д Н И М М Е Ш К О М — Д В А М Е Ш К А Надо один из пустых мешков вложить в дру гой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу. Задача 3. М Н О Г О Л И Г В О З Д Е Й Н А Й Д У Т! Скорее всего, ничего не найдут. Задача 4. С К О Л Ь К О УГОК? Всего летело три утки, одна за другой. ЗАДАЧИ-ЗАГАДКИ O f Задача 5. ЧТО Э Г О Т А К О Е ! Повар сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ножку» Повар бросил стул, чтобы она оставила куриную ножку» Задача 6» В О З М О Ж Н О Л И Т А К О ЕІ Всадник на лошади. Задача 7. ДВА ОТЦА И Д ВА СЫ НА Это были дедушка, его сын и внук. Из этих троих двое являются отцами и двое являются сыновьями. Задача 8. К А К Э Т О М О Г Л О БЬ/ГЫ Этот человек родился 29 февраля, т. е, день его рождения бывает раз в четыре года. ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ СИТУАЦИИ Ситуация 1. В О Л К , К О З А И К А П У С Т А Человек вначале перевозит на другой берег козу, оставляя волка с капустой; затем возвраща ется, забирает волка и перевозит его на другой *f f В 0 ЛОГИКА ВВОПРОСАХ ИОТВЕТАХ *-.................... 1 u U ^ берег, а козу увозит обратно. Оставляя козу на берегу, человек перевозит к волку капусту, а за тем возвращается и перевозит козу* Таким обра зом, на другом берегу оказываются вместе с че ловеком волк, коза и капуста. СИТУАЦИЯ 2. РЫЦАРИ И О Р У Ж ЕН О С Ц Ы Вначале переправляются два оруженосца. Затем один из оруженосцев возвращается и пе ревозит на другой берег третьего оруженосца* После этого один из трех оруженосцев возвраща ется к своему рыцарю и остается с ним на пер вом берегу, два других рыцаря отправляются к своим оруженосцам. Затем один из рыцарей воз вращается со своим оруженосцем, оставляет его, а с собой забирает рыцаря, оставшегося на этом берегу. Теперь оставшийся на другом берегу ору женосец переезжает и забирает с собой одного из двух оруженосцев, а следующим рейсом забира ет последнего оруженосца. СИТУАЦИЯ 3* РА ЗД ЕЛ И ТЬ К В А С П О Р О В Н У Приведем это решение в виде таблицы, ко торая показывает, сколько кваса остается в каж дом бочонке после каждого переливания. ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ СИТУАЦИИ f Бочонки В ведер 5 ведер 3 ведра До переливания После 1-го переливания 8 3 0 5 0 0 После 2-го переливания 3 2 3 После 3-го переливания 6 2 0 После 4-го переливания 6 0 2 После 5-го переливания 1 5 2 После 6-го переливания 1 4 3 После 7-го переливания 4 4 0 Ситуация 4. РА ЗД ЕЛ И ТЬ Б О Ч К И И М Е Д Приведем решение тоже в виде таблицы. П олны е бочонки Н ап ол н ен н ы е н ап ол ов и н у бочонки П усты е бочонки 1 человек 2 человек 3 человек 2 2 3 3 3 1 2 2 3 1 человек 2 человек 3 человек 3 3 1 1 1 5 3 3 1 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ *„ — 304 Ситуация 5. ДЕВИЧЬЯ ХИТРОСТЬ 24 девушки можно разместить так, как по казано на рис.25, a 16 девушек, как показано на рис. 26 Рис.25 Рис. 26 СИТУАЦИЯ 6. ВО ВРЕМЯ ШТОРМА Начертим круг и, отметив на нем 30 пало чек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9-ю палочку, затем 18-ю, затем 27-ши продол жаем счет, вычеркивая каждую 9-ю из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом будут пе речеркнуты палочки с номерами 5, 6, 7, 8, 9, 12, 1 6 ,1 8 ,1 9 , 22, 23, 24, 26, 27, 30. Значит, купец просил матросов расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 сво их, Ічужой, 3 своих, Ічужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих,! свой, 2 чужих, 2 своих, Ічужой. ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ И НЕПРАКТИЧНЫЕ Задача 1. ПРАЗДНИЧНЫЙ ОКОРОК Спор можно разрешить следующим образом. Право первенства выбора куска ветчины предос тавим третьей участнице покупки. Она, конеч но, выберет тот кусок, который на домашних ве сах весил не менее каждого из двух остальных кусков, а следовательно, тот, который, по ее мне нию, по своей стоимости соответствует не менее чем 15 тысячам рублей. Такой кусок должен су ществовать, так как при разделе целого на три части одна из этих частей должна быть не менее одной трети. Затем выбирает свой кусок вторая участни ца покупки. И эта тоже должна быть довольна, так как после того, как выбрала себе кусок третья участница, остался по крайней мере один кусок, который, по показанию весов в магазине соответ ствует по своей стоимости не менее чем 15 тыся чам рублей. Первая участница покупки получит остав шийся кусок; она тоже должна быть довольна, ибо она считала все куски равными по весу* 9f ЛОГИКА ВВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 306 Задача 3. КОГДА ЕГО ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ! Из описания дороги путешественника следу ет, что его палатка стояла на Северном полюсе, В этом месте земного шара восход солнца бывает толь ко раз в году — в день весеннего равноденствия, т. е. 21 марта* Это и есть день рождения Быкова, Задача 4. СКОЛЬКО РЫБ В ПРУДУ ! Пусть іі обозначает число рыб в пруду, годных для улова. Тогда отношение числа рыб в пруду, помечен ных меткой, к числу всех рыб будет равно 30/п. Второй раз ихтиолог поймал 40 рыб, среди которых две рыбы были помечены. Отношение числа помеченных рыб к числу всех выловлен ных рыб равно 1/20. Если предположить, что помеченные рыбы в пруду равномерно распределены среди всех рыб, то оба отношения должны быть одинаковы, т. е. 30/п ~ 1/20, откуда п ~ 600. Следовательно, число рыб в пруду равно 600. ПЕРЕПРАВЫ, РАЗЪЕЗДЫ, ПОГОНИ Задача 1. ПЕРЕПРАВА ЧЕРЕЗ РОВ Стоит взглянуть на прилагаемый здесь ри сунок, чтобы понять, к ак решается задача. ПЕРЕПРАВЫ, РАЗЪЕЗДЫ , ПОГОНИ 307 Поле Ров Задача 2. отряд СОЛДАТ Дети переехали реку. Один из мальчиков ос тался на берегу, а другой пригнал лодку к солда там и вылез. Тогда сел солдат и переправился на другой берег. Мальчик, оставшийся там, пригнал лодку обратно к солдатам, взял своего товари ща, отвез на другой берег и снова доставил лод ку обратно, после чего вылез, а в нее сел другой солдат и переправился через реку. Таким обра зом, после каж ды х двух перегонов лодки через реку и обратно переправляется один солдат. Так повторялось столько раз, сколько было солдат. Задача 3. ПЕРЕПРАВА ЧЕРЕЗ РЕКУ С ОСТРОВОМ Будем использовать следующие обозначения: рыцари — А , Б, В, Г; оруженосцы — а, б, в, г. Тогда исходная ситуация будет следующей: 9f ЛОГИНА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 308 Первый берег Остров Второй берег А Б В Г а б в г 1с Рыцарь Г перевозит своего оруженосца на ост ров и возвращается назад: А Б В Г а б в г 2. Рыцарь Г перевозит своего оруженосца на вто рой берег и возвращается назад: А Б В Г а б в г 3. Рыцарь В перевозит на остров рыцаря Г, заез жает за своим оруженосцем и возвращается с ним на первый берег; А Б В Г а б в г 4. Рыцари А, Б, В и их оруженосцы переправля ются, не заезжая на остров, следующим об разом. Сначала отправляются два оруженос ца, один из них возвращается и перевозит третьего. Возвращается один из оруженосцев и остается со своим рыцарем. Два других ры царя отправляются к своим оруженосцам. Один из рыцарей возвращается со своим ору женосцем, оставляет его и забирает с собой рыцаря. Оруженосец, оставшийся на другом берегу, переезжает на первый берег и заби рает оставшихся там оруженосцев. Затем ры- ПЕРЕПРАВЫ, РАЗЪЕЗД Ы , ПОГОНИ О І і У ■ ^ — ■1 ■ n il ■ гі III ■ ... ■!■■■— I I I I. I * ni ■ -" 1 *) [ t* царь забирает своего оруженосца и перевозит через реку. В итоге получается следующая ситуация: Г А Б В г а б в 5. Рыцарь А со своим оруженосцем переез жает на остров, оставляет там оруженосца и пе ревозит на второй берег рыцаря Г: А Б В Г а г б в 6о Оруженосец в сначала перевозит оруж е носца а, затем оруженосца г: А Б В Г а б в г Задача 4. НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ СТАНЦИИ Железнодорожный путь у станции имеет та кой вид, как показано на рисунке: По главному пути в направлении, обозначен ном стрелкой, идут впереди поезд Б, а за ним f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ вд ............... .......— ■" ' (5*U поезд А, который надо пропустить вперед, полъ* зуясь боковой веткой, где может поместиться лиш ь часть вагонов. Поезд А нагнал поезд Б и должен пройти вперед. Как же быть? А вот как. Поезд Б идет по главному пути и переходит весь за начало боковой ветки. Затем поезд Б идет задним ходом на это ответвление и оставляет там столько вагонов, сколько умещается, а остальная часть поезда Б вместе с паровозом уходит опять вперед, за начало ветки. Затем пропускают по езд А и, как только он весь пройдет за начало вет ки, к последнему его вагону прицепляют стоя щие на ветке вагоны поезда Б, а поезд А сводит ату часть поезда Б с ветки вперед. Затем поезд А пускают назад, влево от начала ветки, и оставля ют там вагоны поезда Б. В это время другая часть поезда Б (с паровозом) идет задним ходом и ста новится на ветку, открывая свободный путь для поезда А. Он мчится дальше, а паровоз поезда Б с несколькими передними вагонами опять выхо дит на главный путь, прицепляет оставшуюся часть своего состава и следует за поездом А. Задача 5. РАЗЪЕЗД ШЕСТИ ПАРОХОДОВ Положение судов и канал с заливом обозна чены на рисунке: А Б В Е Д Г d ll ПЕРЕПРАВЫ, РАЗЪ ЕЗД Ы , ПОГОНИ f —......... ■■ —— Пароходы Б и В отходят назад (вправо), А входит в залив; Г, Д и Е проходят по каналу мимо А; тогда А выходит из залива и идет своей доро гой (влево); Е, Д и Г отступают на прежнее место (налево); тогда с Б повторяется все, что делалось с А. Таким образом проходит и В, и пароходы плывут своей дорогой. ЛОГИКА И ФИНАНСЫ Задача 1, ОДНО И ТО Ж Е1 Нет, утверждения (1) и (2) не эквивалентны; утверждение (2) следует из утверждения (1), но не наоборот; утверждение (1) не следует из ут верждения (2). Действительно, предположим, что некоторая сумма денег выплачена наименьшим числом ку пюр, Это означает, что ни одну из них нельзя разменять другими купюрами, поскольку, если бы такой размен был возможен, то ту же сумму кассир мог бы выплатить большим числом купюр. Однако может представиться такой случай, когда нельзя разменять ни одну из купюр, но оп ределенную сумму денег тем не менее можно бу дет выплатить не наименьшим числом купюр. Пусть, например, требуется выплатить 110 дукатов. Кассир может выдать эту сумму одной купюрой в 50 дукатов и тремя купюрами по 20 дукатов. Ясно, что резменять 50 дукатов двадцатидукатовыми 9f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 312 купюрами невозможно. Однако это отнюдь не оз начает, что 110 дукатов выплачены наименьшим числом купюр; ту ж е сумму вместо четырех ку пюр можно выплатить всего лишь двумя купю рами: 100 и 10 дукатов. Задача 2. « Э К О Н О М Н А Я » ВЫ ПЛАТА Нет, такой уверенности нет и быть не может. Более того, скорее можно быть уверенным в об ратном. Действительно, весьма вероятно, что, услышав просьбу купца Казначеева, кассир вы дал ему сначала 2 монеты достоинством в 10 гри вен (поскольку монет большего достоинства в об ращении нет), затем 2 монеты достоинством в 1 гривну. Всего, таким образом, купец Казначеев получил 5 монет. Если же кассир проявит некоторую изобре тательность, то начнет выплату монет достоин ством не в 10, а в 8 гривен и, выдав купцу три такие монеты, добавит к ним еще одну монету достоинством в 1 гривну. Для выплаты всей сум мы на этот раз потребуется лишь 4 монеты. ДЕЛЕЖ И ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ Вместо мелких долей крупные Если мы из 5 данных пряников 3 разрежем пополам, то получим 6 равных кусков, каждый из которых и отдадим мальчиков. Затем 2 остав- 313 ДЕЛЕЖ И 9f шихся пряника разрежем каж ды й на 3 равных части и получим опять 6 равных кусков, кото рые и отдадим мальчикам. Таким образом, зада ча решена, причем ни одного пряника не при шлось разрезать на 6 частей. Кто прав! И Никита и Павел делают неправильный рас чет. 11 лепешек разделены на троих поровну, зна чит, каждый съел 11/3 лепешки. У Павла было 7 лепешек, он съел 11/3 лепеш ки, следовательно, охотнику отдал l /З (одну треть) лепешки. Охотник съел 11/3 лепешки и заплатил за них 11 копеек, значит, за каждую треть лепешки он дал по копейке. У Павла он взял 10 третей, а у Ни киты — одну треть; следовательно, Павел должен взять себе гривенник, а Никита — копейку. Спор Иван предложил крестьянам делить зерно так: — Я рассыпаю зерно на три кучи, на мой взгляд, поровну и отхожу в сторону. Мне подо йдет любая из куч. Пусть затем Петр укажет на именьшую, по его мнению, кучу зерна. Если Ни колай также посчитает, что зерна в этой куче меньше трети, то отдайте ее мне, а остаток зерна делите между собой известным уже способом. Если же Николай решит, что в указанной куче *7f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 314 не меньше трети зерна, пусть возьмет ее себе. Петр возьмет наибольшую, по его мнению, кучу, а оставшаяся достанется мне. Крестьяне последовали предложению Ивана, разделили зерно и довольные разошлись. Дележ между тремя Предполагается, конечно, что все бочонки — полные, заполненные наполовину и пустые — равны между собою. Ясно, что каждый должен получить по семь бочонков. Подсчитаем теперь, сколько же кваса должно прийтись на долю каж дого. Есть 7 бочонков полных и семь пустых. Если бы можно было от каждого полного бочон ка отлить половину в пустой, то получилось бы 14 наполовину заполненных бочонков; прибав ляя к ним еще 7 имеющихся наполовину запол ненных, мы получили бы всего 21 заполненный наполовину бочонок. Значит, на долю каждого должно прийтись по 7 наполовину заполненных бочонков вина. Сообразив это, получаем, что, не переливая кваса, можно поделить все поровну так: Полные бочонки Первый человек Второй человек Третий человек 2 2 3 Заполненные наполовину 3 3 1 Пустые бочонки 2 2 3 *>r ДЕЛЕЖИ 315 А вот и другое решение: Первый человек 3 1 3 Второй человек 3 1 3 Третий человек 1 5 1 Дележ между двумя Задача эта имеет два решения, и решения эти состоят, очевидно, в том, что из полного восьмиве дерного бочонка нужно отливать квас в пустые бо чонки, из этих последних переливать опять и т. д. Дадим эти решения в виде двух таблиц, ко торые показывают, сколько в каж дом бочонке остается кваса после каждого переливания. РЕШЕНИЕ 1 Бочонки 8-ведерн. 5-ведерн. 3-ведерн. До переливания После 1-го пер. После 2-го пер. После 3-го пер. После 4-го пер. После 5-го пер. После 6-го пер. 8 3 3 6 6 1 1 О О 5 2 2 О 3 О О 2 5 4 2 После 7-го пер. 4 4 3 О 9 1 ЛОЖ КА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ Р ЕШ ЕН И Е 2 316 Бочонки До переливания После 1-го пер. После 2-го пер. После 3-го пер. После 4-го пер. После 5-го пер. После 6-го пер. После 7-го пер. После 8-го пер. * а 1 н 8* 5 -вс дерн,, З -в е д о р н . 0 0 3 3 8 5 5 2 2 7 7 0 3 0 3 1 1 0 3 0 5 0 1 1 4 4 4 Дележ пополам РЕШЕНИЕ 1 1 6 'в ед , 11-в ед . 6- вед, 16 10 0 0 0 10 6 10 0 6 6 0 6 12 12 1 1 7 7 13 13 2 4 6 4 0 0 И 9 9 3 3 0 11 4 4 2 8 8 8 6 РЕШЕНИЕ 2 § 1 6 -в ед . 11 -вед. 0 16 10 10 4 4 15 15 9 9 3 6 3 0 14 3 3 14 0 2 8 8 2 8 6 0 6 -в ед. 0 0 6 0 6 0 6 6 11 0 1 1 7 1 7 11 1 0 6 0 6 2 2 0 6 0 Д ЕЛ ЕЖ И 317 91 Дележ кваса РЕШЕНИЕ 1 6-вед. 4 1 1 6 5 5 РЕШЕНИЕ 2 3-вед. 7-вед. 0 3 2 2 3 0 6 6 7 2 2 5 6-вед. 4 4 6 2 2 5 3-вед. 0 3 1 1 3 0 7-вед 6 3 3 7 5 5 Легко сформулировать множество подобных задач. Но выписанные таблицы не дают ответа на вопрос: каким же правилом руководствоваться для нахождения решения? С целью найти такое пра вило давайте представим себе задачу иначе — ге ометрически. Для определенности рассмотрим задачу 58. Обозначим через х и у количество жид кости, содержащейся после какого-либо перели вания соответственно в первом и втором бочонках. При переливании общее количество жидкости не изменяется, т. е. все время остается равным 4 + 6 —10 ведрам. Поэтому в третьем бочонке будет на ходиться 10 —х —у ведер жидкости. Количество жидкости, содержащейся в бочонке, не может быть больше объема бочонка. Мы видим, что чис ла х у у удовлетворяют таким условиям: > 0 < з ; < 6, 0<у < 3 , { 0 < 10 -х-у < 7 , или /-0< x <6, %0 < у < 3, Ѵ3 < х + у < 10. 9 Г •• ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 318 Для дальнейшего удобно воспользоваться лис том клетчатой бумаги- Возьмем такой лист, выбе рем на нем некоторую точку и проведем через нее две перпендикулярные прямые по линиям нане сенной на бумаге решетки. Одну назовем осью X, другую — осью Y. Каждой паре чисел дс, у мы смо жем тогда поставить в соответствие некоторую точ ку на листе бумаги — точку с координатами х, у . Нарисуем на плоскости все точки, координаты ко торых удовлетворяют написанным выше неравен ствам. Н а рис. 27 это множество — внутренняя часть четырехугольника PQRS —заштриховано. Начальному распределению жидкости соответству ет на этом рисунке точка А(х^4, у НЗ), а распреде лению, которое мы хотим получить, — точка В(х = 5, у = 0, при этом в третьем бочонке будет 5 ведер). Р ис. 27 Последовательность переливаний, ведущая от распределения А к распределению В, предста вится на этом рисунке в виде некоторой последо вательности точек, или, если мы соединим отрез ком прямой линии каждые две последовательные 319 ДЕЛЕЖИ 9 f точки, в виде ломаной с началом в точке А и кон дом в точке В. Попробуем выяснить, каким же условиям должны удовлетворять вершины этой ломаной и ее звенья. - Переливание заканчивается, когда напол нится тот бочонок, в который мы льем жидкость, или станет пустым бочонок, из которого мы жид кость выливаем. Это означает, что после каждо го переливания обязательно найдется хотя бы один пустой или хотя бы один полный бочонок. Где ж е на четырехугольнике PQRS будут распо лагаться соответствующие точки? Если полон первый бочонок ( jc—6), то точка леж ит на отрез ке RS; если первый бочонок пуст (#=0), то долж ны быть полными второй и третий бочонки (3+7=10). Имеется единственная точка с таки ми условиями —точка Q. Распределениям, при которых пуст второй бочонок (у=0), соответству ют точки отрезка PS, а если второй бочонок пол он (у=3) —точки отрезка QR. Наконец, третий бочонок пустым быть не может, в первые два бо чонка 10 ведер не вместятся, а если он полон, то в первых двух должно содержаться 10—7 = 3 ведра (х + у ~ 3). Соответствующие точки лежат на отрезке PQ. В любом случае точки леж ат на гра нице четырехугольника PQRS. Итак, мы устано вили, что вершины нашей ломаной должны рас полагаться на границе четырехугольника PQRS. Заметим теперь, что при каждом переливании содержимое одного бочонка остается низменным, f ЛОГИКА В ВО ПРО САХ И ОТВЕТАХ 320 ведь каждое переливание затрагивает только два бочонка. Если не изменяется содержимое перво го бочонка (х постоянно), то отрезок, соединяю щий точки, соответствующие распределениям до и после переливания, параллелен оси Y (у начала и конца отрезка координатах имеет одно и то же значение). Если при переливании не меняется со держимое второго бочонка, то соответствующее звено ломаной параллельно оси X (у постоянно). Наконец, если в переливании не участвует третий бочонок, то сохраняется общее количество жид кости в первых двух бочонках. Иными словами, в концах отрезка суммах + у принимает одно и то же значешіе. Это означает, что звено ломаной па раллельно отрезку PQ. Итак, каждое звено лома ной перпендикулярно оси ОХ или оси OY, или бис сектрисе угла между этими осями. Чтобы проверить себя, представим, что неко торое звено ломаной расположено на границе мно гоугольника PQRS, например на отрезке PQ. Что это означает? Звено образует равные углы с осями X, Y, поэтому в переливании не участвует третий бочонок. Кроме того, этот бочонок полон. В первых двух бочонках вместе содержится х + у = 3 ведра жидкости, так что переливание закончится, если станет пустым первый бочонок (х = О, точка Q) или второй бочонок (у = О, точка Р). Точно так же мож но рассуждать и для других сторон многоугольни ка PQRS. Мы выяснили, что если некоторое звено ломаной лежит на границе PQRS, то его конец обя зательно совпадает с одной из точек Р, Q, R или S. . . . . . —— ДЕЛЕЖИ 9 ? іо Наша задача на геометрическом языке вы глядит теперь так: соединить точку А с точкой Б ломаной, все вершины которой лежат на грани це многоугольника, а звенья параллельны осям X, Y или образуют равные углы с осями. При этом, если звено лежит на стороне многоуголь ника, то его конец должен совпадать с одной из вершин. В таком виде задача становится нагляднее, и требуемые ломаные без труда находятся (см. рис.28, 29). На клетчатой бумаге проведение ломаных не составляет никакого труда, так как все звенья проходят через узлы решетки, а вершины совпа дают с узлами* Ломаные, представленные на рис* 28, 29, соответствуют первому и второму реше ниям, в чем легко убедиться. В других задачах роль четырехугольника PQRS могут играть другие многоугольники: па раллелограмм , пятиугольник. Могут встретиться шестиугольники, причем 6 — это максимальное 11. Зак. 189 f ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 322 «я ■" ■■■ ...... —' " возможное число сторон. Формулировка задачи при этом остается той же самой, изменятся мно гоугольник и положения точек А, В. Геометрическое представление задачи и ее решения наглядно, однако выполнение всех пос троений отнимает лишнее время, требует бумаги и карандаша. Попробуем на основе геометричес ких соображений дать рекомендации, как в лю бой подобной задаче найти требуемый способ (если он существует), не прибегая к построениям. Вершины многоугольника соответствуют распределениям жидкости, при которых сразу два бочонка находятся в граничном состоянии (оба пусты; оба полны; один пуст, другой полон). I. Прежде всего нужно добиться с помощью переливав ий, чтобы, по крайней мере два бочон ка находились в граничном состоянии. Геометрически это соответствует тому, что мы строим ломаную, начинающуюся в точке А и кон чающуюся в какой-либо вершине многоугольника. II. Следует обойти все вершины многоуголь ника, переливая на каждом шаге жидкость из бо чонка, который не участвовал в предыдущем пе реливании, и не изменяя содержимого одного из бочонков, находящихся в граничном состоянии. Геометрически последовательное примене ние правила II означает переход от вершины мно гоугольника к соседней с ним вершине и так да лее. Вершин не более шести, поэтому, применяя правило II не более шести раз, мы вернемся к рас пределению, которое нам ранее уже встречалось. 323 ______________________________________________________ДЕЛЕЖ И 9/ Если, применяя правило I, мы не попали в В и если В отлично от вершин многоугольника (при менение II не дает нам В), то далее нужно посту пать следующим образом. III. Отправляясь от точки А, а также от рас пределение соответствующих каждой вершине многоугольника, совершать переливания, не при водящие к ранее встречавшимся распределениям, пока это будет возможно сделать, или встретится распределение В, При этом, как легко видеть, в переливании должны участвовать бочонок, нахо дящийся в граничном состоянии, и бочонок, не участвовавший в предыдущем переливании. Из геометрических соображений следует, что если это можно сделать, то единственным способом (из точки А иногда можно провести две ломаные, как в рассмотренной задаче). Если применение правила III не приведет к распре делению В, то, значит, переливаниями из А в В перейти невозможно. СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ Крестьянин и черт Задача разрешается очень легко, если толь ко решение ее начать с конца, приняв во внима ние, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдать. и* *f f 9в ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■. 324 В самом деле, если после последнего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но эти 12 коп. получились после того, как он отдал 24 коп,, значит, всего денег у него было 36 коп. Сле довательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп, получились у него после того, как он в первый раз перешел мост и отдал 24 коп. Значит, всего после первого перехода у него было денег 18 да 24 коп., т. е. 42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег. Прогадал крестьянин! Видно, что на чужой совет всегда надо еще свой ум иметь. і Крестьяне и картофель Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко со образить, что второй крестьянин оставил своим то варищам 12 картофелин, по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук. Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 кар тофелин. По первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся кар тофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук. СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ 1 5 ^ 0 * J .— - ■■■ ■■■— , , . i r - m ■■п.м .пг.. — ■ ■■■— ■— f 9 О О Два пастуха Задача старинная и многим известная* Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Но на сколько у него больше, чем у Петра? Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а комулибо другому, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, потому что поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Петр* Значит, если Иван отдаст одну овцу не Пет ру, а третьему лицу, то у него все-таки будет боль ше овец, чем у Петра, но на сколько больше? Ясно, что на одну овцу, потому что если приба вить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну* Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на две овцы больше, чем у Петра. Теперь примемся за второго пастуха, за Пет ра* У него, как мы нашли, на две овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Петр отдаст, скажем, одну свою овцу не Ивану, а кому-либо иному, то тогда у Ивана будет на три овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. Ясно, что тогда у него будет на четыре овцы больше, чем осталось у Петра. Но задача говорит, что у Ивана в этом случае бу дет ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Стало быть, четыре и есть именно то число овец, которое останет ся у Петра, если он отдаст одну овцу Ивану, у кото рого получится восемь овец. А до предполагаемой отдачи, значит, у Ивана было 7, а у Петра 5 овец. f •9 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ' ...... ■ 326 Недоумение крестьянок Недоумение крестьянок разрешается очень быстро, если сообразим, что, сложив свои ябло ки вместе и начав их продавать сообща, они, сами того не замечая, продавали их уже по другой цене, чем раньше. Возьмем, например, двух последішх кресть янок и рассмотрим, что они, в сущности, сделали. Пока первая и вторая думали продавать свои яблоки отдельно, цена одного яблока у первой была полкопейки, а у второй — треть копейки. Когда же они сложились и начали продавать каж дые пять яблок по 2 коп., то цена каждого ябло ка стала уже 2/5 коп. Значит, первая крестьянка все свои яблоки продала не по полкопейки за штуку, а по 2/5 коп. и на каждом яблоке теряла по 1/10 коп. 1 _ 2 _ 5 -4 _ 1 2 5 10 10 а на всех тридцати яблоках она потеряла 3 коп. Вторая же крестьянка, наоборот, вошедши в компанию, выигрывала на каждом яблоке по 1/15 коп. 2 _ 1 - 6 ' 2*5 ^ 1 5 3 15" 1 5 ’ а на всех тридцати яблоках выиграла, значит, 2 коп о SЛі СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ — — ■■ ■ — f 09 Первая потеряла 3 коп,, а вторая выиграла толь ко 2 коп. В общем, все-такк копейка потеряна. Путем подобных же рассуждений легко уз* нать, почему у первых двух крестьянок оказа лась «лишняя» копейка. Находка Крестьяне не умели правильно складывать дроби. В самом деле, сложите все части, на кото рые крестьяне хотели поделить находку: 1 1--1J----L І I —--57 -3 4 5 6 60' Значит, они все вместе хотели получить мень ше, чем нашли (нашли они 60/60). Найденные деньги вместе с деньгами верхового были разделе ны на 60 частей; из них 57/60 отданы крестьянам, а 3/60, или 1/20, остались у верхового. Но мы зна ем, что у верхового осталось 3 руб. Значит, 1/20 всех денег составляют 3 рубля; следовательно, всех де нег было 3 х 20 —60 руб. Карп получил из этих денег 1/4 часть, т. е. 15 руб.; но, если бы верховой не приложил своих денег, Карп должен был бы получить на 25 коп. меньше, т. е. 15 руб. — 25 коп. = 14 руб.75 коп.: такова 1/4 часть найденных де нег. Отсюда заключаем, что найдено было 14 руб. 75 руб. х 4 = 59 руб. С деньгами верхового стало 60 руб.; значит, верховой действительно приложил 1 рубль. Приложил он рубль, а увез 3 рубля: 2 рубля выгадал себе за умный дележ. 9 f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 328 Какие же деньги были найдены в кошельке? Пять бумажек по 10 руб., одна в 5, одна в 3 и одна в 1 рубль. Сидору верховой дал 20 руб,: две десятирублевки; Карпу — 15 руб.: десятирублев ку и пятирублевку; Пахому — 12 руб.: десяти рублевку и две рублевки (одну — найденную, другую — свою); Фоке — последнюю десятируб левку, а трехрублевку взял себе. Д ел еж верблюдов Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду ка время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 х 1 2 = верблюдов, сред ний 18 х ——верблюдов, младший 18 х ——вер3 9 блюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9 + 6 + 2 + 1 — 18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сы новья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1 1 1 17 2 13 + 9 “ 18 Если вода в бочке налита ровно до половины, то наклонив бочку так, чтобы уровень воды при шелся как раз у края бочки, мы увидим, что вы сшая точка дна находится также на уровне воды (рис. 30, а). Это случится потому, что плоскость, „ л СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ 329 О / 1; -------------------------- проведенная через диаметрально противопо ложные точки верхней и нижней окружности бочки, делит ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки из воды должна выступить часть дна (ркс. 30, б). Наконец, если воды в бочке бо лее половины, то при наклоне дно окажется под водой (рис. 30, в). а б в Рассудив именно так, работник справился с заданием. Расстановка часовых 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 Р и с .3 1 3 ____ _ 1 3 1 1 3 Обманутый хозяин Слуга брал себе по бутылке из каждого среднего отделения и из тех же отделений, чтобы обма нуть хозяина, после каждого воровства прибавлял C) f ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 330 по бутылке в угловые отделения. Так он воровал 4 раза по 4 бутылки, а всего, значит, унес 16 бу тылок. Все это видно из рис, 32 . Слуга мог рас ставлять бутылки и другими способами. Но всег да в первом и третьем столбцах квадрата он до лжен был бы оставлять по 21 бутылке и потому не мог бы унести более 60 —2 x 2 1 = 18 бутылок, т. е. совершить более четырех краж 1-я кража 7 7 7 7 7 2-я кража 7 8 7 5 7 8 3 3 9 3 8 5 5 8 4-я кража 3-я кража 9 5 9 10 3 1 9 10 1 10 1 1 10 Р и с. 3 2 Сказка об Нване-царевече В первом случае в пещере остался 21 человек. Рассадить их с соблюдеітем условия, чтобы вдоль каждой стены находилось 9 человек, можно мно гими способами. Один из них показан на рис.33. 331 СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ f Р к с. 3 4 Во втором случае требуется рассадить 27 человек. Одно из возможных решений представлено на р,34. За грибами Нетрудно видеть, что третьему внуку дед дал грибов меньше всего, потому что третий внук до лжен был набрать еще столько же грибов, чтобы сравняться с братьями. Д ля простоты скажем, что третьему внуку дед дал грибов одну горсть. Сколько же он дал таких ж е горстей четвертому? Третий внук принес домой 2 горсти, потому что сам еще нашел столько же грибов, сколько дал ему дед. Четвертый внук принес домой ровно столько ж е грибов, сколько и третий, т. е. тоже 2 горсти; но он половину своих грибов растерял по дороге, значит, дед дал ему 4 горсти. Первый внук принес домой 2 горсти, но из них 2 гриба он сам нашел, значит, ему дед дал 2 горсти без двух грибов. Второй внук принес до мой 2 горсти, да по дороге он потерял 2 гриба; значит, дед ему дал 2 горсти да еще два гриба. Итак, дед роздал внукам 1 горсть, да 4 горсти, да 2 горсти без двух грибов, да 2 горсти с двумя грибами, итого 9 полных горстей (в двух горстях *7 £ ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 332 не хватало по два іриба, зато в двух других горстях было по два лишних гриба), В 9 равных горстях было 45 грибов; значит, в каждой горсти 45= 9 = 5 грибов. Третьему внуку дед дал 1 горсть, т, е. 5 гри бов; четвертому — 4 горсти, т0 е, 5 х 4 = 20 гри бов; первому — 2 горсти без двух грибов, т. е. (5 X 2) —2 = 8 грибов; второму — 2 горсти с двумя грибами, т. е. (5 х 2) + 2 = 12 грибов. Сколько было! Задача, очевидно, сводится к нахождению такого числа, которое делится нацело (т„ е. без остатка) на 7, а при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1, Наименьшее число, которое делится без ос татка на число 2, 3, 4, 5 и 6 (наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, значит, найти такое число, которое делилось бы на 7 нацело и было бы вместе с тем на одну единицу больше числа, делящегося на 60. Такое число можно найти пу тем последовательных попыток; 60, деленное на 7, дает в остатке 4, следовательно, 2 х 60 дает в остатке единицу (2 х 4 —8; 8 —7 = 1). Значит, 2 х 60 —числу, кратному 7 + 1, откуда следует, что (7 х 60 —2 х 60) + 1 = числу, кратному 7, т. е. 5 х 60 + 1 = числу, кратному 7, 5 х 60 + 1 = 301. Итак, наименьшее число, решающее задачу, есть 301. То есть наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине у женщины, есть 30L СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ ООО ■ ■■ — ■— ■ ■■■■■- f шт Часы поставлены верно Вопрос, очевидно, сводится к тому, чтобы знать точное время при возвращении домой. Петр рас суждал так. Я завожу с б о и часы и перед уходом замечаю их показание, которое, положим, равно а. Приходя к знакомому, немедлеішо справляюсь у пего о времени, и пусть его часы показывают Ъ. Перед уходом от знакомого опять замечаю время по его часам, которые на этот раз показывают с. Придя домой, я немедленно замечаю, что мои часы показывают cL По этим данным легко определить искомое показание часов. Разность d —а покажет время моего отсутствия дохла. Разность с — Ь — время, проведенное мною у знакомого. Разность (d—a) — (c~d)y полученная от вычитания второго времени из первого, даст время, проведенное мною b+d- а- с в дороге. Половина этого времени ^ употреблена мною на обратную дорогу» Прибавим Ъ+ с + d - а эту половину к С, получим ЭТО И -------------—— будет точное показание часов при моем воз вращении домой. Е ос становление записи По условию вся вырученная сумма, оче видно, не превышает 9997 руб.28 коп. Значит, число проданных кусков ке более 999728: 4936, т» е. не более 202 кусков. Последняя цифра неизвестного числа кусков должна быть такова, чтобы она, будучи умножена f ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ 334 на 6, давала произведение, оканчивающееся на 8; такая цифра может быть 3 или 8. Положим, что последняя цифра неизвестно го числа кусков равна 3= Стоимость трех кусков равна — 14808 коп.Вычитая это число из выру ченной суммы, мы должны получить число, оканчивающееся на 920, Если предположить, что последняя цифра равна 3, то вторая от конца цифра может бытъ или 2, или 7, так как только эти цифры, будучи умножены на 6, дают произведения, оканчивающиеся на 2. Положим, что неизвестное число оканчива ется на 23. Вычитая стоимость 23 кусков из всей вырученной суммы, получим число, оканчиваю щееся на 200. Третья цифра может быть или 2, или 7; но так как неизвестное число не превос ходит 202, то наше предположение неверно. Если бы мы предположили, что неизвестное число оканчивается на 73, то третья цифра была бы равна 4 или 9; такое предположение тоже неверно. Итак, последняя цифра не может быть 3; ос тается предположить, что она равна 8. Рассужде ния, подобные предыдущим, покажут нам, что вторая цифра может бытъ или 4, или 9; из этих двух предположений верным может быть только второе. Задача имеет одно решение: число продан ных кусков равно 98, вся вырученная сумма рав на 4837 руб.28 коп. Хитрецы Надо начинать счет с 6-го солдата, сидящего г и ОО СКАЗКИ—ИСТАРИ ННЫ ЕИСТОРИИ м— I — — *І7щf по левую руку от хозяина. Во втором же случае — с 5-го из солдат направо от хозяина. Спор кучера с пассажирами В пылу спора кучер не смог представить, сколь велико количество запряжек, которые он должен сделать. Подсчитаем же мы это количество. Обозначив лошадей цифрами 1, 2, 3, 4, 5, мы должны выяснить, сколькими способами можно преставить эти пять цифр. Две цифры можно переставить двумя спосо бами: (1,2) и (2Д). Перестановок из трех 1,2,3, начинающихся с цифры 1, будет также две. Но это число не зависит от того, какая фиксирован ная цифра из трех стоит на первом месте. Значит, всего перестановок из трех цифр будет 3 x 2 = 6: 123 132 213 231 312 321 Продолжая далее, мы находим, что переста новок из четырех цифр с фиксированной первой цифрой будет 6 и множество всех перестановок из 4 цифр распадается на 4 группы по 6 переста новок, начинающихся с одной и той же цифры — 1, 2, 3 или 4. Так что всех перестановок будет 4x6 = 4хЗх2х1 = 24. Аналогично, множество всех перестановок из 5 цифр состоит из 5 групп по 24 перестановки, начинающихся с одной цифры — 1, 2, 3, 4 или 5. Всего их будет 5 x 2 4 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Можно доказать, что множество перестано вок из п цифр {1, 2, 3,..., п} равняется произве дению 1 х 2 х 3... п. Это число обозначается п! ЛОГИКА В ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 33G Вернемся к нашей задаче- Итак, кучеру предстояло сделать 120 перепряжек. Если он на каждую затратит только минуту времени, то на все ему понадобится 2 часа. Кучер проспорил. Кто на ком женат? Если один из мужчин купил, скажем, х предметов, то по условию он заплатил за них х 2 копеек. Если его жена купила у предметов, то она заплатила за них у 2 копеек. Значит, имеем х2 —у2 = 48, или (х-у) х (х+у) = 48. Ч ислах, у по условию целые и положитель ные. Это возможно только в том случае, когда х-у и х+у четны и х+у > х —у. Разлагая 48 на со множители, видим, что имеется только три удовлетворяющие этому условию возможности: 48 = 2 х 24 = 4 x 1 2 = 6 x 8 , или Я Ч - Уі = 2 / х 2- у 2 = 4, J f x j - y * “ 6, I х ! + Уі = 24, \ х 2 + у2 = 12, \ х 3 + у3= 8. Реш ая эти системы уравнений, находим Xj = 13, y t = 11, х 2 = 8, У2 ** 4, х 3 = 7, у 3 = 1. Отыскивая те значения х и у, разность кото рых равна 9, находим, что Иван купил 13 пред метов, Екатерина — 4 предмета. Точно так же Петр купил 8 предметов, Мария — 1 предмет. Таким образом, имеем следующие пары: /И ван 13 \А ына 11 / Петр 8 \Е катерина 4 J Алексей 7 \ Мария 1 ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК • ff в о ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ I I _ ™ ■■ ■Щ ■■ I — ' і— ■■ ■■ ■ ■ O l i o — понятие, в котором отображен не конкретный предмет как таковой, а какое-либо свойство предмета или отношение, в котором он находится к другим предметам. А Б С ТР А К ТН О Е П О Н ЯТИ Е — временное отвлече ние, абстрагирование от различий в пред метах. Оно является относительным, име ющим значение лишь в пределах опреде ленного контекста. А Б С Т Р А К Т Н О Е ТО Ж Д ЕС ТВ О А БСТРА КЦ И Я «АБСО ЛІШ ТіО Й (ХЖ Ш ЕСТВІІМ О СТІІ» — применяемая в классической математике и логике болеее сильная абстракция, чем абстракция потенциальной (возможной) осуществимости, в соответствии с которой осуществимым считается всякий объект, который мол-сно мыслить без противоречия. АБСУРД — бессмыслица, нелепость. Свести к аб с у р д у — значит доказать, что в чем-либо заключается скрытое противоречие, и тем самым опровергнуть его. — употребление слова в его собствен ном значении, в противоположность пе реносному значению. А В ТО Л О ГИ Я А В ТО Н И М Н О Е У П О Т Р Е Б Л Е Н И Е В Ы Р А Ж Е Н И Я — такое употребление выражений, когда ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК 339 и м ен а и сп о л ь зу ю тся к а к и м ен а са м и х с е б я , н а п р и м е р , « Б е р е за — с л о в о , со сто ящ е е и з т р е х с л о го в » . А Д Е К В А Т Н Ы Й — о д и н а к о в ы й , в п о л н е с о о тв е т с тв у ю щ и й , р а в н ы й , то ж д е ств е н н ы й . А КСИ О М А — и сти н н о е п о л о ж е н и е , у тв е р ж д е н и е , ко то р о е н е тр е б уе т д о к а з а т е л ь с т в а , в н ем со д е р ж а н и е л о ги ч е с к о го с к а з у е м о го з а к л ю ч е н о в со д е р ж а н и и л о ги ч е с к о го п о д л е ж а щ е го . А Н А Л О ГИ Я — п о до б и е, с х о д с тв о п р ед м ето в в к а к и х -л и б о с в о й с тв а х и о т н о ш е н и я х . У м о з а к л ю ч е н и е по а н а л о ги и — т а к о е у м о з а к л ю ч е н и е , по к о то р о м у в р е з у л ь т а т е д е л а е т с я в ы в о д , ч то и с с л е д у е м ы й п р е д м е т , в о зм о ж н о , и м е е т п р и з н а к X , п о с -Ть к о л ь к у в се п р е д м е ты и з о б л а с т и , к о то рой п р и н а д л е ж и т э то т п р е д м е т, и м ею т п р и зн ак X . А Н ТЕЦ ЕД ЕН Т — первы й член и м п л и к ац и и , х а р а к те р и з у ю щ и й п р и ч и н н ы е у с л о в и я . * А Н ТИ Н О М И Я — п р о ти во п о ло ж н о сть м е ж д у д в ум я с у ж д е н и я м и , взаи м о и склю ч аю щ и м и д р у г д р у г а , но в то ж е в р е м я п р о и зв о д я щ и м и в п е ч а тл е н и е , ч то оба м о гу т б ы ть л о ги ч е с к и д о к а з а н ы в к а ч е с тв е п р а в и л ь н ы х . * It ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ 340 А Н Т И Т Е З А — полож ение, противополож ное те зи су, т . е . како м у-ли б о исходном у утвер ж ден и ю . А Н Т И Ф Р А З И С — т а к а л р е ч ь , в ко то р о й сл о в а в ы р аж аю т обратное то м у , ч то д ум а е т о ратор. А Н Т И Ц И П А Ц И Я — п р е д в о с х и щ е н и е , д о га д к а . М о ж е т и с п о л ь з о в а ть с я к а к в ы р а ж е н и е п р е д в зя то го м н е н и я . А Н ТО Н И М Ы — с л о в а , и м е ю щ и е п р о ти в о п о л о ж н ы е з н а ч е н и я и у п о тр е б л я ю щ и е с я д л я х а р а к т е р и с т и к и к о н тр а с то в . А П О ГО ГИ 4 Е С К 0 Е Д О К А ЗА ТЕЛ Ь С ТВ О — н еп р ям о е, косвенное д о казательств о , стр ем ящ ееся до к а з а т ь , ч то и сти н н ы м я в л я е тс я не те з и с , а лож ное вы р аж ен и е, противополож ное ем у. А П О РЕМ А — тр уд н о р азр е ш и м ая л о ги ч е ск а я про б л е м а , з а тр у д н е н и е . А П О Р И Я — б е зв ы хо д н о е п о л о ж е н и е . Т е р м и н , с п о м о щ ью к о то р о го а н ти ч н ы е ф и л о со ф ы и л о ги к и о б о зн ач али п р о ти в о р е ч и я в п о н я т и я х , н е п р е о д о л и м ы е л о ги ч е с к и е з а тр у д н е н и я . А П О СТЕРИ О РН О Е З Н А Н И Е — зн а н и е , приобретен ное и з о п ы та , п у те м ч ув ств е н н о го во сп р и я ти я . 341 ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК f А П О Ф АН СИ С — те р м и н , ко то р ы м в л о ги к е обозна ч а л о сь с у ж д е н и е , в ы с к а з ы в а н и е о п р и с у щ н о с ти и л и н е п р и с у щ н о с ти . А П П РО КС И М А Ц И Я — п р и б л и ж е н н о е в ы р а ж е н и е к а к и х -л и б о в е л и ч и н ч е р е з д р у ги е , более п р о с ты е . А П Р И О Р Н Ы Й — п р е д ш е с тв у ю щ и й о п ы т у , не з а в и с и м ы й о т о п ы та . А Р Г У М Е Н Т — до во д д о к а з а т е л ь с т в а , о сн о в а н и е в ы в о д а , п о л о ж е н и е , с п о м о щ ью ко то р о го о б о сн о в ы в а е тся т е з и с . А Р ГУ М Е Н Т А Ц И Я — пр иведение доводов д л я д о к а з а те л ь с тв а те з и с а и л и о п р о в е р ж е н и я а н ти те зи са . АТО М АРН О Е В Ы С К А З Ы В А Н И Е — и схо д н ы е в ы ск а з ы в а н и я в л о ги к е , н е р а зл о ж и м ы е н а бо ле е п р о сты е с о с та в л я ю щ и е . А Ф Р О Н Т — р е з к и й о тп о р в сп о р е , д и с к у с с и и . B A R B A R A — у с л о в н о е о б о зн а ч е н и е о д н о го и з м о д у со в п е р в о й ф и гу р ы п р о с то го к а т е го р и ч е с к о го с и л л о г и з м а ( А А А ) , у к о то р о го и п о с ы л к и и з а к л ю ч е н и е я в л я ю тс я о б щ е у тв е р д и те л ь н ы м и с у ж д е н и ям и. * fV *в ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ■■ "" — ............... і ' 342 ВА К О С О — усло вн о е обозначение одного и з м о д у сов вто ро й ф и гу р ы п р о сто го к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а (А О О ), в ко то р о м и з общ е у тв е р д и те л ь н о й и ч а с тн о о тр и ц а те л ь н о й п о сы л о к д е л а е тс я ч а стн о о тр и ц а те л ь ное з а к л ю ч е н и е , Б ЕЗО ТН О С И ТЕЛ Ь Н О Е П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , к о то рое н е н а х о д и тс я в н епо ср едственн о й с в я зи с д р у ги м и п о н я т и я м и , Б Е З У С Л О В Н А Я А Н А Л О ГИ Я — * а н а л о ги я , к о то р а я п р и м е н я е тс я т о г д а , к о гд а то ч н о и о п р е д е ле н н о у с та н о в л е н а с в я з ь м е ж д у о б щ и м и п р и зн а к а м и , и м е ю щ и м и ся у о б о и х со п о с та в л я е м ы х п р е д м е то в , Б ЕЗ У С Л О В Н О ГО Т О Ж Д Е С Т В А З А К О Н — о д н а ИЗ ф о р м то ж д е с т в а , с о гл а с н о ко то р о й м ы с л и , и м ею щ и е одно и то ж е со д е р ж а н и е и в ы р а ж е н н ы е в о д н о й ф о р м е, с ч и т а ю т с я то ж д е с тв е н н ы м и , Б ЕЗУ С Л О В Н О Е С У Ж Д Е Н И Е — суж д е н и е , в ко то ро м ч то -л и б о у т в е р ж д а е т с я (о тр и ц а е тс я ) в н е за в и с и м о с ти о т к а к о го -л и б о у с л о в и я , Б Л И Ж А Й Ш И Й РО Д — н еп о ср ед ств ен н о более ш и р о к и й к л а с с п р е д м е то в , в к о то р ы й в к а ч е с тв е в и д а в х о д и т р а с с м а тр и в а е м ы й п р е д м е т. 0 л0 343 ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ----------------------------- ------------------------------------------- О9 ml — условное обозначение одного из мо дусов третьей фигуры простого категори ческого силлогизма (ОАО), в котором из частноотрицательной и общеутверди тельной посылок следует частноотрица тельное заключение. BO CARD O Б О Л Ь Ш А Я П О С Ы Л К А — п о с ы л к а , в к о то р у ю д и т б о л ьш о й те р м и н . вхо — термин, который является предикатом заключения простого кате горического силлогизма. БО ЛЬШ О Й ТЕР М И Н — условное обозначение одного из модусов четвертой фигуры простого к а тегорического силлогизма (ААІ), в кото ром из общеутвердительных посылок сле дует частноутвердительное заключение. B R A M A N T IP — правило, согласно которому к доказательству мож но п р и с о е д и н и ть д и з ъ ю н к ц и ю , если к а В В Е Д Е Н И Я Д И ЗЪ Ю Н КЦ И И П Р А В И Л О ко й -ли б о ч л е н э то й д и зъ ю н к ц и и у ж е и м е ется в д о к а з а т е л ь с т в е . — правило, которое формулируется так: если конеч ная последовательность формул Г и вы сказывание А дает В, то в Г может быть принята импликация вида: если А, то В. В В Е Д Е Н И Я И М П Л И К А Ц И И П РА В И Л О •I Г II ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ -------------------------------- -— ----- --------------------------- 3 4 4 — правило, заключающееся в том, что к доказатель ству можно присоединить конъюнкцию, если в числе строк доказательства име ются оба ее члена. В В Е Д Е Н И Я КО Н Ъ Ю Н КЦ И И П РА В И Л О — правило, со гласно которому из двух импликаций, имеющих одинаковый антецедент и про тиворечащие консеквенты, следует отри цание одинакового консеквента. В В Е Д Е Н И Я О ТРИ Ц А Н И Я П РА ВИ Л О — пра вило, по которому к доказательству мож но присоединитъ эквивалентность, если в доказательстве имеются импликации вида: если В, то В: если В, то А. В В Е Д Е Н И Я Э К В И В А Л ЕН ТН О С ТИ П РА ВИ Л О — принцип установления осмыс ленности, т. е. возможности какого-либо высказывания оказаться истинным или ложным. Это логический смысл верифи кации. В общеметодологическом смысле это установление фактуальности, досто верности, правдоподобности. ВЕРИ Ф И КА Ц И Я — логика, исследующая вероятностные суждения, базирующиеся не только на двух значениях истинности (ис тина и ложь), но и на значениях, распола гающих между истинностью и ложностью. В ЕР О Я ТН О С ТН А Я Л О ГИ КА 345 логический СПРАВОЧНИК *7 f В ЕР О Я Т Н О С Т Ь — с те п е н ь в о зм о ж н о сти к а к о го ли б о о п р е д е л е н н о го с о б ы ти я . ВЗАИМ НО ОДНОЗНАЧНОЕ О ТН О Ш ЕН И Е — та ко е о т н о ш е н и е , к о гд а к а ж д о м у зн а ч е н и ю у , в х о д я щ е м у в ф о р м у л у x R y , с о о тв е тс тв у е т одно е д и н с тв е н н о е зн а ч е н и е х . ВЗАИ М Н О О Д Н О ЗН АЧН О Е С О О ТВ ЕТС ТВ И Е — та к о е со о тветстви е м е ж д у элем ен там и д в у х м но ж е с т в , к о гд а к а ж д о м у э л е м е н ту п ер во го м н о ж е ств а н е ко то р ы м образом п о ста в л е н в с о о тв е тств и е о д и н о п р е д е л е н н ы й э л е м е н т вто р о го м н о ж е ств а . ВЗАИ М О ЗАМ ЕН И М О СТИ П РИ Н Ц И П — п р и н я то е в л о ги ч е с к о й с е м а н ти к е п о л о ж е н и е , со гл а сн о к о то р о м у в о зм о ж н а т а к а я за м е н а я зы к о в о го в ы р а ж е н и я д р у ги м я з ы к о в ы м в ы р аж ен и е м в дан н о м к о н т е к с т е , ч то п р и это м л о ги ч е с к и й см ы сл к о н т е к с т а н е м е н я е тся . ВИ ДО ВО Е О ТЛ И Ч И Е — п р и зн а к , о тли ч аю щ и й пред м е т о дн о го в и д а о т д р у ги х в и д о в , в х о д я щ и х в о ди н и т о т ж е ро д. ВИДОВОЕ П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , которое о то бр аж а е т с у щ е ств е н н ы е п р и з н а к и к л а с с а п р е д м е то в , я в л я ю щ и х с я ви до м к а к о го - ли б о ро да. *ff «е ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 1" ■■■■'" ' 1 1 — 346 — такой возможный объект, ко торый нами еще не воспринимается как нечто вполне определенное, но способ ный при наличии некоторых условий воз никнуть, проявиться. ВИ РТУА Л ЬН Ы Й — одно из направлений современой модальной (не классической) логики, применяющее ло гический аппарат для анализа корректнос ти суждений, содержащих в себе модаль ности временной упорядоченности явле ний, отношений и действий типа « рань ше», «позднее», «одновременно» и т. д. В Р ЕМ ЕН Н А Я (ТЕМ П О Р А Л Ь Н А Я ) Л О ГИ К А В С ЕГД А -И С Т И Н Н Ы Е В Ы С К А З Ы В А Н И Я (ТА В ТО Л О ГИ И ) — высказывания, которые всегда принимают только значение «истина». Б С Е ГД А -Л О Ж ІІЫ Е В Ы С К А З Ы В А Н И Я (Л О ГИ Ч ЕС К И Е П РО ТИ В О РЕЧ И Я ) — высказывания, принимающие только значение «ложь». В Т О Р А Я Ф И Г У Р А П РО СТО ГО К А Т Е ГО Р И Ч Е С К О ГО СИ Л Л О ГИ ЗМ А — фигура, в которой сред ний термин М в обеих посылках являет ся субъектом. Вторая фигура имеет сле дующий вид: Р—М S—М S—Р 0 л„ 347 логический справочник ------------------------------------------------------------------------ ВЫ ВО Д О9 і ; — последовательность вы сказываний или формул, состоящая из аксиом, по сылок и ранее доказанных вы сказы ва ний (теорем). Последняя из формул дан ной последовательности, вы веденная как непосредственное следствие пред ыдущих формул по одному из правил вы вода, представляет собою доказуемую формулу. — приняты й в логике знак , обозначающий отношение вы водимости последующего из предыду щего: А В — означает, что В выводит ся из А. ВЫ ВО Д И М О С ТИ З Н А К — формула, которая при своем исчислении на выходе ( в послед нем действии) дает хотя бы одно значе ние «истина». ВЫ П О Л Н И М АЯ Ф О РМ УЛ А В Ы С К А З Ы В А Н И Е — те р м и н в л о г и к е , к о то р ы м о б о зн а ч а е тся л о ги ч е с к и й с м ы с л к а к о го ли б о п р о сто го п о в е ств о в а те л ь н о го п р е д л о ж е н и я е с те с тв е н н о го я з ы к а . — метод исследования какого-либо предмета, основанный на анализе процесса его возникновения, становления, перехода от низших ступе ней к высшим. Г Е Н Е Т И Ч Е С К И Й М ЕТО Д * fF I; ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ — — — - — -— — ----------— — 348 Г Е Н Е Т И Ч Е С К О Е Д О К А З А ТЕЛ Ь С ТВ О — в и д д о к а за т е л ь с тв а , в котором и с п о л ь зу е тся ге н е ти ч е с к и й м етод* Г Е Н Е Т И Ч Е С К О Е О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е — о п р еделен и е, в ко то р о м у к а з ы в а е т с я н а п р о и схо ж д е н и е п р е д м е та . Г Е Р М Е Н Е В Т И К А — р аздел эп и сте м о л о ги и и м ето д о л о ги и н а у к и , с в я з а н н ы й с и с то л к о в а н и е м те к с т о в , и х п о н и м а н и е м , см ы сл о м . ГИ П О С ТА ЗИ Р О В А ТЬ — у тв е р ж д а ть о сущ е ств о в а н и и к а к и х -л и б о о б ъ е к то в н а то м то л ь к о о с н о в а н и и , ч то с у щ е с т в у ю т с л о в а , обоз н а ч а ю щ и е т а к и е о б ъ е к ты . ГИ П О ТА К С И С — п о д ч и н е н и е и л и за в и си м о с ть ч е го -ли б о о т д р у го го . ГИ П О Т Е З А — вер о ятн о е п р ед п о ло ж ен и е о п р и ч и н е к а к о го -л и б о я в л е н и я , д о сто в е р н о сть ч е го ещ е не д о ка за н а н и н а у к о й , н и п р а к ти к о й . ГИ П О ТЕТИ К О -Д ЕД У К ТИ В Н Ы Й М ЕТО Д — способ н а у ч н о го и с сл е д о в а н и я , со гл а сн о ко то р о м у в н а ч а л е в ы д в и га ю тс я н е ск о л ь к о ги п о те з о п р и ч и н а х и з у ч а е м ы х я в л е н и й , а за те м д е д у к ти в н ы м п у те м и з ги п о те з в ы в о д я т с я сл е д ств и я . u4 d — —— ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ........ —— ■■»■■■■ ^ f §$ ГИ С Т Е Р Е З И С — о тс та в а н и е с л е д с тв и я о т в ы з ы в а ю щ ей е го п р и ч и н ы . ГЛ О С С А — и н т е р п р е та ц и я н е п о н я тн о го и л и м ал о уп о тр е б и м о го с л о в а . ГЛ О С С О Л А Л И Я — б е ссм ы сл е н н ы е сл о в а и л и с л о в о со ч е та н и я . ГО М О ГЕН Н Ы Й — о д н о р о д н ы й , с о с то я щ и й и з од н и х и т е х ж е к о м п о н е н то в . ГОМ ОМ ОРФИЗМ — та к о е о тн о ш ен и е м е ж д у д в у м я с о в о к у п н о с тя м и о б ъ е к то в , к о гд а к а ж д о м у о б ъ е к ту (а ) п е р в о й с о в о к у п н о с ти с т а в и т с я в с о о тв е тс тв и е то л ь к о о д и н п р е д м е т (в ) и з в то р о й с о в о к у п н о с ти . D A R A P T I — усл о в н о е о б о зн ач е н и е о дн о го и з м о д усо в тр е ть е й ф и г у р ы п р о сто го к а т е г о р и ч е ск о го с и л л о ги з м а ( А А І) , в к о то р о м и з д в у х о б щ е у тв е р д и те л ь н ы х п о с ы л о к с л е д у е т ч а с тн о у тв е р д и те л ь к о е з а к л ю ч е ние. D A R II — усло вн о е обозначени е одного и з м о дусо в п ер во й ф и гу р ы п р о сто го к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а ( A l l ) , в ко то р о м и з о б щ е у тв е р д и те л ь н о й и ч а с тн о у тв е р д и те л ь н о й п о с ы л о к с л е д у е т ч а с тн о у тв е р д и те л ь н о е закл ю ч ен и е. f Ю^ ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ^ ^ —— э-^— ——™> U J U D A T IS I — усл о в н о е о б о значени е о дн о го и з м о д у со в тр е ть е й ф и гу р ы п р о сто го к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а ( А Н ) , в ко то р о м и з о б щ е утв е р д и те л ь н о й : и ч а с тн о у тв е р д и те л ь н о й п о сы л о к с л е д у е т ч а стн о у тв е р д и те л ь н о е за к л ю ч е н и е . Д ЕД У К ТИ В Н О Е Д О К А ЗА ТЕЛ Ь С ТВ О — одна и з ф орм д о к а з а те л ь с тв а , к о гд а т е з и с , я в л я ю щ и й с я ч а с т н ы м с у ж д е н и е м , п о д в о д и тс я п о д общ ее п р а в и л о . Д ЕД УК ТИ В Н О Е УМ О ЗА КЛ Ю Ч ЕН И Е — ум о заклю че н и е , ко то р о е о б есп ечи вает п р и и с ти н н о с т и п о с ы л о к и со б л ю д е н и и п р а в и л л о г и ч е с к о го в ы в о д а и с ти н н о с ть з а к л ю ч е н и я , с л е д у ю щ е го и з э т и х п о с ы л о к . Д Е Д У К Ц И Я — в ш и р о ко м см ы сл е — т а к а я ф орм а м ы ш л е н и я , к о гд а н о в а я м ы с л ь в ы в о д и т с я ч и сто л о ги ч е ски м п у те м . В у зк о м см ы с л е , п р и н я то м в тр а д и ц и о н н о й л о ги к е , это д е д у к ти в н о е у м о за к л ю ч е н и е . В ц ело м в л о г и к е , д е д у к ц и я — э то п о сл е д о в а те л ь н о сть м ы сл е й и л и с у ж д е н и и , к а ж д ы й к о м п о н е н т ко то р о й л о ги ч е с к и в ы те к а е т и з п р е д ы д у щ и х м ы сл е й и л и с у ж д е н и й . Д Е Д У Ц И Р О В А Т Ь — в ы в о д и ть к а к и е -л и б о з а к л ю ч е н и я и з д а н н ы х п о с ы л о к по п р а в и л а м л о ги к и . о5і I ■ ■ и — ■ ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК -- ■ ■—■ I ■ ■11 ^ f Д ЕЛ ЕН И Е О БЪ ЕМ А П О Н ЯТИ Й — л о ги ч е ск а я опера ц и я , з а к л ю ч а ю щ а я с я в то м , ч то п р ед м е т ы , о то б р аж ен н ы е в п о н я ти и , д е л я т с я н а виды . Д ЕЛ И М О Е П О Н Я ТИ Е — п о н я т и е , объем к о то р о го п о д в е р га е тся д е л е н и ю . Д ЕМ О Н С ТР А Ц И Я — л о ги ч е с к о е р а с с у ж д е н и е , в п р о ц ессе к о то р о го и з а р гу м е н то в в ы в о д и т с я и с ти н н о с ть и л и л о ж н о с ть т е з и с а . Д ЕН О М И Н А Ц И Я — п е р еи м ен о в ан и е. Д Е Н О Т А Т — в сам о м ш и р о к о м с м ы с л е — в е щ ь , п р е д м е т, к о то р ы й м ы им еем в в и д у , обоз н а ч а я со б ств е н н ы м и м е н е м . Д ЕО Н ТИ Ч ЕС К А Я Л О ГИ КА — один и з разделов совре м енной м о дальн о й л о ги к и , п р и м ен яю щ ей л о ги ч е ск и е ср е д ств а и м ето д ы д л я а н а л и за к о р р е к тн о сти р а с с у ж д е н и й , в к л ю ч а ю щ и х в себ я с у ж д е н и я , со д е р ж ащ и е м о д а л ьн о сти ти п а « о б я за те л ь н о » , «р азр еш е н о » , «зап р ещ ен о » и по до б ны е и м . Д е о н ти ч е с к а я л о ги к а и с п о л ь зу е тс я д л я и зу ч е н и я о тн о ш е н и й д о л ж е н ств о в а н и я , с т р у к т у р ы норм и н о р м а ти в н ы х к о д е к со в . Д Е С И ГН А Т — зн ач е н и е и м е н и , о б ъ е к т, о б о зн ач а е м ы й п о ср е д ств о м д а н н о го и м е н и . If ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 352 Д ЕС КРИ П ТИ ВН О Е П РЕД Л О Ж ЕН И Е описы ваю щ ее п р ед л о ж е н и е , которое м о ж е т к в а л и ф и ц и р о в а ть с я с то ч к и зр е н и я и с ти н н о с ти * Д Е С К Р И П Ц И Я — л о ги к о -л и н гв и с т и ч е с к и й те р м и н , к о то р ы й п р е д н а зн а ч е н д л я у к а з а н и я н а п р е д м е ты в в и д е д о п о л н и те л ь н о го и м е н и , н а п р и м е р : « т о т , к о то р ы й » ,. » , Д ЕФ И Н И ЕН Д У М — ч а с ть о пр еделени я, т о т те р м и н , зн ач е н и е ко то р о го тр е б у е тс я у т о ч н и т ь . Д ЕФ И Н И ЕН С — т о т те р м и н , посредством чего уто ч н я е т с я зн ач е н и е н е и зв е стн о го тер м и н а* Д ЕФ И Н И Ц И Я — л о ги ч е ская операция определения. Д И ЗЪ Ю Н К ТИ В Н А Я Н О РМ А Л ЬН А Я Ф О РМ А — (Д Н Ф ) — ф о р м а в ы с к а з ы в а н и я , с о с то я щ а я и з д и з ъ ю н к ц и и к о н ъ ю н к ц и й , п р и э то м к а ж д ы й ч л е н к о н ъ ю н к ц и и е с т ь эл е м е н тар н о е в ы ск а зы в а н и е и л и его о тр и ц а н и е . С п о м о щ ью Д Н Ф м о ж н о у с т а н о в и т ь , я в л я е т с я л и то и л и и но е в ы р а ж е н и е в се гд а л о ж н ы м ; есл и ка ж д ы й ч лен д и зъ ю н к ц и и л о ж н ы й , то в с я д и з ъ ю н к ц и я б у д е т в с е гд а л о ж н ы м в ы р а ж е н и е м . Д И З Ъ Ю Н К Ц И Я — л о ги ч е с к и й о п е р а то р , п р е д н а з н а ч е н н ы й д л я э к с п л и к а ц и и гр а м м а т и ч е ск о го сл о в а « и л и » . 3 5 3 ------------- логический СПРАВОЧНИК j . hi I л ' . - ч а г ііі 1 _ ц г д: ~ w i n g _ T щ ■■■ іи п п i i i - в д ^ - № Ы й и и с ь ѵ ^ ^ і і и і - - і у а ж ^ ~ - і и і -■*?■>г . . . ы п г а ^ ? у D IM A RIS — усл о в н о е о б о зн а ч е н и е о дн о го и з м о д усо в ч е тв е р то й ф и гу р ы п р о сто го к а т е го р и ч е ск о го с и л л о ги з м а (Х А І), в к о то р о м ч а с тн о у тв е р д и те л ы ю е з а к л ю ч е н и е с л е д у е т и з ч а с тн о у тв е р д и те л ь н о й и с б щ е у тв е р д и те л ь н о й п о с ы л о к . B IS A M IS — усл о в н о е о б о зн а ч е н и е о дн о го и з м о дусо в тр е ть е й ф и гу р ы п р о сто го к а те го р и ч е ск о го с и л л о ги з м а (Х А І), в ко то р о м п е р в а я п о с ы л к а — ч а с т н о у тв е р д и те л ь н о е с у ж д е н и е , в то р а я — о б щ е у тв е р д и те л ь н о е , а за к л ю ч е н и е и м е е т в и д ч а е тн о у тв е р д и те л ь н о го с у ж д е н и я . Д И С К У Р С И В Н Ы Й — о б о сн о ван н ы й п р е д ы д ущ и м и суж д ен и ям и . Д И С ТР И Б У ТИ В Н О С Т И З А К О Н — з а к о н , в ы р а ж а ю щ и й с л е д у ю щ е е о тн о ш е н и е : а (в-Ьс) — ав + а с . ДИ ХО ТО М И ЧЕСКО Е Д ЕЛ ЕН И Е О БЪ ЕМ А П О Н ЯТИ Я — в и д д е л е н и я о бъем а п о н я т и я , к о гд а объ ем д е л и тс я н а д в а п р о ти в о р е ч а щ и х д р у г д р у гу в и д о в ы х п о н я т и я А и н е - А , п о л н о стью и сч е р п ы в а ю щ и х объем д е л и м о го п о н я ти я . Д О К А З А ТЕЛ Ь С ТВ О — в ш и р о к о м см ы сл е л о ги ч е с к о е д е й с тв и е , в п р о ц е ссе к о то р о го у с т а 12. Зак. 189 *?Г ЛОГИКА 8 ВО П РО САХ И ОТВЕТАХ 354 яавдивается истинность какой-либо мыс ли, В логике под доказательством пони мается последовательность формул, в ко торой каждая формула является либо а к сиомой, либо следует из предшествую щих формул по правилам вывода. Д О КА ЗА ТЕЛ ЬС ТВО О Т П Р Е Д ІЮ Л О Ж ЕН И Я — в и д до к а з а т е л ь с т в а , к о гд а д о к а зы в а е м о е с у ж ден и е в ы в о д и тся п у те м д о п у щ е н и я какоію-либо п р е д п о л о ж е н и я . Д О К А ЗА ТЕЛ Ь С ТВ О О Т П РО ТИ ВН О ГО — в и д ко свен н о го д о к а з а те л ь с тв а , в ко то р о м д о п у с к а е тс я л о ж н о с ть д о ка зы в а е м о го т е з и с а , и з ч е го в ы в о д я тс я п о с л е д с тв и я , п р о ти в о р е ч а щ и е этому. Т а к и е п о с л е д с тв и я с л у ж а т к о св е н н ы м обоснованием и с ти н н о с ти до к а зы в а е м о го т е з и с а . Д О К А ЗА ТЕЛ Ь С ТВ О 110 С У Щ Е С Т В У — д о к а за те л ь с т в о , в ко то р о м и с сл е д у е тся со д ер ж ан и е ос н о в ан и и и л о ги ч е с к а я с в я з ь м е ж д у н и м и . доказа тельство, которое можно сформулировать так; если конечная последовательность формул Г и формула А дают формулу С та же последовательность и формула дают формулу С, то последовательности Г А или В дают С. w s Д О К А ЗА ТЕЛ Ь С ТВ О РАЗБО РО М С Л У Ч А Е В — 355 ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК 9 ? «« ДО СТАТОЧНОГО О СН О ВАН И Я З А К О Н — о ди н и з че т ы р е х за ко н о в ф о р м а л ь н о й л о г и к и , со гл а с н о к о то р о м у в с я к а я и с т и н а д о л ж н а б ы ть о б осно ван а д р у ги м и м ы с л я м и , и с ти н н о с т ь к о то р ы х д о к а з а н а . ЕД И Н И Ч Н О Е В Ы С К А З Ы В А Н И Е — в ы ска зы в ан и е об индивиде. ЕД И Н И Ч Н О Е П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , в ко то р о м ото б р а ж а ю тс я п р и з н а к и к а к о го -т о о дн о го е д и н с тв е н н о го п р е д м е та . ЕД И Н И Ч Н О Е С У Ж Д Е Н И Е — та к о е суж д е н и е ,, в к о то р о м ч то -то у т в е р ж д а е т с я и л и о тр и ц а е тс я об о тд е л ьн о м п р е д м е те . З Н А К — м а те р и а л ь н о -ч у в ств е н н о в о сп р и н и м а е м ы й о б ъ е к т, к о то р ы й с и м в о л и ч е с к и о т с ы л а е т н ас к р е а л ь н о м у о б ъ е к ту , обозна ч а е т е го . З Н А Ч Е Н И Е — х а р а к т е р и с ти к а и м е н о в а н и я пр ед м е то в , к о то р а я х а р а к т е р и з у е т т о , чем д а н н ы й о б ъ е к т я в л я е т с я д л я л ю д е й . Э то п р е д м е т, о тн о с и те л ь н о к о то р о го ф о р м у л и р у е тся п о н я ти е . И Д ЕМ П О ТЕН ТН О СТИ ЗА К О Н — за к о н , по ко то р о м у и з л о ги к и и с к л ю ч а ю тс я к о э ф ф и ц и е н ты . Т а к , ум н о ж ен и е д в у х в ы ск а зы в а н и й А 12 ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ ^^ в« (к о н ъ ю н к ц и я ) р а в н о си л ь н о в ы с к а з ы в а нию А . ИЗОМ ОРФИЗМ С И С ТЕМ — о тн о ш ен и е м е ж д у объ е к та м и о д и н а к о в о й , и л и то ж д е ств е н н о й стр у к ту р ы . И М П Е Р А Т И В — б е зу сл о в н о е тр е б о в а н и е , п р и каз. Е М П Л И & А Т И В Ш Е С У Ж Д Е Н И Е — суж д е н и е ти п а « е с л и ..., т о ... » . О но в ы р а ж а е т п р и ч и н н о -сл е д ств е н н ы е о тн о ш е н и я . И М П Л И КАЦ И Я — л о ги ч е ск и й оператор, вы р аж аю щ и й причинно-следствеы ны е о тн о ш е н и я. И М Я — я зы к о в о е в ы р а ж е н и е , н е п о ср е д ств е н н о о б о значаю щ ее к а к о й -л и б о п р е д м е т. И Н В ЕР С И Я — п р ео б р азо в ан и е у с л о в н о го с у ж д е н и я в новое усл о в н о е с у ж д е н и е . И Н Д УК ТИ В Н А Я Л О ГИ КА — раздел л о т к и , в котором и ссл е д у ю тся ум о за кл ю ч е н и я , в к о то р ы х м ы сль р азвивается о т единичного к общ ем у. И Н Д У К ТИ В Н О Е Д О К А З А ТЕЛ Ь С ТВ О - ф о рм а д о к а з а те л ь с тв а , к о гд а т е з и с , я в л я ю щ и й с я об щ и м с у ж д е н и е м , о б о сн о в ы в а е тся с п о м о щ ью ч а с т н ы х с у ж д е н и й . ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК f И Н Д У К ТИ В Н О Е О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е — та к о е определе н и е , ко то р о е п о зв о л я е т из н е к о то р ы х и с х о д н ы х о б ъ е кто в те о р и и путем п р и м е н е н и я к н и м л о ги ч е с к и х о п е р а ц и й п о стр о и т ь н о в ы е о б ъ е к ты те о р и и . — в широком смысле — это форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое -либо общее правило, присущее всем единичным предметам какого-либо класса. И Н Д УКЦ И Я — нахождение по ряду данных значений функции промежуточных ее значений. И Н ТЕР П О Л Я Ц И Я — систематические приписы вания формулам какого-либо искусствен ного язы ка значений истинности. И Н ТЕРП РЕТА Ц И Я — прави ло, согласно которому, если имеется дизъюнктивное суждение А или В и до резано, что из А следует С и из В следует С, то, следовательно, можно вывести С, И С КЛ Ю Ч ЕН И Я Д И ЗЪ Ю Н КЦ И И П РА В И Л О — способ доказательства ка кого-либо положения путем перечисле ния всех частных случаев, содержащих ся в этом положении, доказывая их не возможность за исключением одного, от- И С КЛ Ю Ч ЕН И Я М ЕТО Д *IF I: ЛОГИКА ВВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ - -------------------------------------- — --------------- -— — 358 н о си те л ь но ко то р о го в е д е тся д о к а за те л ь ств о . И СКЛ Ю Ч ЕН Н О ГО Т Р Е Т Ь Е Г О ЗА К О Н — о д и н и з ос н о в н ы х зако н о в ф о р м альн о й л о г и к и , со гл а сн о ко то р о м у и з д в у х п р о ти во р еч ащ и х в ы с к а з ы в а н и й в о дн о и то ж е в р е м я и в о дн о м и то м ж е о тн о ш е н и и одно н е п р е м ен н о и с т и н н о . И С ТИ Н Н О Е З Н А Ч Е Н И Е — о сн овно е к а ч е с тв о в ы с к а з ы в а н и й , с в я за н н о е с п р и п и с ы в а н и ем и м зн а ч е н и й « и сти н н о » и л и « л о ж н о » . И С Ч И С Л ЕН И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й — р аздел к л а с с и ч еско й (эл е м е н тар н о й ) л о ги к и , з ко то р о м а н а л и з и р у ю тс я р а с су ж д е н и я * в к л ю ч а ю щ и е в себ я в ы с к а з ы в а н и я . И С Ч И С Л ЕН И Е П Р Е Д И К А Т О В — р а зд е л л о г и к и , в к о то р о м р а с ш и р я ю т с я в о з м о ж н о с т и к л а с с и ч е с к о й л о ги к и и н а основе л о ги к и в ы с к а з ы в а н и й в с т р у к т у р у р а ссу ж д е н и й в в о д я тс я о тн о ш е н и я ти п а «все» и « н е к о то р ы е » , н а зы в а е м ы е с о о тв е тств е н н о к в а н то р а м и в се о б щ н о сти и с у щ е с тв о в а ния. К А К О Л О Ш Я — о ш иб о чно е со ч е тан и е с л о в , н а р у ш е н и е о б ы ч н ы х п р а в и л сл о в о уію тр е б л е ния. ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК С.!? s:_5 4 *7 і іи і и іі ііі^иг ііт —г~.г-- — ■— I■ яРРi' і Гіи n1 ■ '■ iі м г л и ч и н ■ т . н ’ш и М ШЖЯ Я ЯШ М т г ч т и ^ f igjj, Qj, — условное обозначение одного из мо дусов четвертой фигуры простого катего рического силлогизма (АЕЕ), в котором общеотрицательное заключение следует из общеутвердительного и общеотрица тельного суждений. C A M EN ES — условное обозначение одного из мо дусов второй фигуры простого категори ческого силлогизма (АЕЕ), в котором пер вая посылка общеутвсрдитеяьііа, вторая — общеотрицательна и заключение являет ся общеотрицательным суждением. C A M ESTEES К А Т А Х Р Е З А — в ы р а ж е н и е , со став лен н о е и з слов, обозначающих п о н я т и я , н а х о д я щ и е с я в отношении противоречия друг к д р у г у . — силлогизм, в ко тором вывод получаются из двух посы лок, являющихся категорическими суж дениями. К А ТЕГО РИ Ч ЕС К И Й СИЛЛОГИЗМ —■суждение, вы сказывающее принадлежность или не принадлежность какого-либо признака предмету. К А ТЕГО Р И Ч ЕС К О Е С У Ж Д ЕН И Е — логический оператор логики предика тов, выражающий отношения всеобщнос ти или единичности. КВАНТОР Si ЛОГИКА & ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 360 К Л А С С И Ф И К А Ц И Я — р асп р е д е л е н и е п р ед м ето в к а к о го -л и б о р о да н а в за и м о с в я за н н ы е к л а с с ы со гл а сн о наиболее сущ е ств е н н ы м п р и зн акам . КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — одно из направлений со вр ем ен н о й м а те м а ти ч е с к о й л о г и к и , в к о то р о м к а ж д о м у в ы с к а з ы в а н и ю п р и п и с ы в а е тс я зн ач ен и е и с ти н н о с ти и л и л ж и . В о тл и ч и е о т тр а д и ц и о н н о й л о ги к и , о сн о в ы в а ю щ е й с я н а э то м ж е п р и н ц и п е , к л а с с и ч е с к а я л о ги к а с в я за н а с п р и м е н е н и е м м е то д а ф о р м а л и за ц и и . К Л А С С И Ч Е С К О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И С Т И Н Ы — д ан о А р и с то те л е м . С о гл а сн о ем у о п р еделен и е и с ти н ы е сть со вп аден и е м ы с л и о пр едм е те с са м и м п р е д м е то м . К О М М УТА ТИ В Н О С ТИ З А К О Н — за к о н л о г и к и , по к о то р о м у р е з у л ь т а т о п е р а ц и и , п р о и зв о дим ой н ад в ы ск а зы в а н и я м и , не зав и си т о т т о го , в к а к о м п о р я д ке б е р у тс я э т и в ы сказы в ан и я. К О М П Л ЕК С Н А Я Л О ГИ К А — одно и з н а п р а в л е н и й I' н е к л а с с и ч е с к о и л о г и к и , в к о то р о м р е з у л ь т а т л о ги ч е с к о го вы во д а о п р е д е л я е т с я к а к с л е д с тв и е р ан ее д о б ы т ы х з н а ний. ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК О І Г it ■ — А .->r-JCн- ч^»н- — — Д — —И — Т М Р ■I » 1 " П ■ ■■ПИГІІИ В г М і ш й м і М і д и й j? (ф g j К О Н К РЕТН О Е П О Н ЯТИ Е — п о н я ти е , в котором ото б р аж ен о п р ед елен н ы й п р е д м е т и л и к л а с с п р е д м е то в . КО Н Н О ТА Ц И Я — д о п о л н и те л ьн ы е ч е р ты , ко то р ы е с о п у тс тв у ю т о сн о вн о м у со д ер ж ан и ю д а н н о го в ы с к а з ы в а н и я . К О Н С Е К В Е П Т — з а к л ю ч и Т е л ьы а я ч а с ть и м п л и к а ц и и , си м в о л и зи р ую щ а я собою сл е д ств и е , вы во д и м о е и з п р и ч и н ы . К О Н С Т А Н Т А — в л о ги к е — п о сто я н н о е в ы р а ж е н и е , зн а ч е н и е к о то р о го н е м е н я е т с я . КО Н ТРА П О ЗИ Ц И И П РО СТО Й З А К О Н — з а к о н , со гл а с н о к о то р о м у , е с л и и з в ы с к а з ы в а н и я А с л е д у е т в ы с к а з ы в а н и е В, то и з о тр и ц а н и я в ы с к а з ы в а н и я В с л е д у е т о тр и ц а н и е в ы с к а з ы в а н и я А. К О Н Т Р А Р Н О Е О ТН О Ш ЕН И Е — о тн о ш е н и е м е ж д у п р о ти в о п о л о ж н ы м и с у ж д е н и я м и , к о т о р ы е в м есте н е м о гу т б ы тъ и с ти н н ы м и , но оба м о гу т б ы ть л о ж н ы м и . К О Н Ъ Ю Н К Ц И Я — л о ги ч е с к и й о п е р а то р , со о тв е т с тв у ю щ и й гр а м м а ти ч е с к о м у со ю зу <ап», К Р У Г В Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В Е — л о ги ч е с к а я о ш и б ка в д о к а за те л ь с тв е , з а к л ю ч а ю щ а я с я в то м , еf ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ,., 362 ч т о и с ти н н о с ть к а к о го -л и б о те з и с а обос н о в ы в а е тс я п о ср е д ств о м т о го ж е сам о го п о л о ж е н и я , ко то р о е ещ е д о л ж н о б ы ть д о к а за н о . Л О Г И Ч Е С К И Е О Ш И БК И — о ш и б к и в у м о з а к л ю ч е н и я х , р а ссуж д е н и я х, о пр еделени ях п о х тя ти й , д о к а з а т е л ь с т в а х и о п р о в е р ж е н и я х . О ш и б к и д е л я т с я п а сл е д ую щ и е гр у п п ы : 1 ) ло ж н о е о сн ование и л и основное за б л уж д е н и е , к о гд а д о к а зы в а е м ы й те з и с п ы т а ю т с я в ы в е с ти и з л о ж н ы х п о сы ло к; 2 ) п р е д в о схи щ е н и е о сн о в а н и я , к о гд а д о к а зы в а е м ы й т е з и с п ы т а ю т с я в ы в е с ти и з т а к и х п о с ы л о к , к о то р ы е са м и ещ е не д о к а з а н ы ; 3 ) п о р о ч н ы й к р у г в д о к а з а те л ь с тв е , к о гд а те зи с в ы в о д и тс я и з п о с ы л о к , к о то р ы е , в свою оче р ед ь, в ы в о д я тся и з те з и с а ; 4 ) подм ена те з и с а , в ы р а ж а ю щ а я ся в то м , ч то н а ч а в д о к а з ы в а т ь о д и н т е з и с , в п р о ц ессе д о к а з а т е л ь с т в а он п о д м е н я е тс я н а д р у го й ; 5 ) чр езм ерное д о к а за те л ь с тв о , в ы р а ж аю щ е е ся в то м , ч то д о ка зы в а е тся с л и т к о м м н о го , т а к ч то и з д а н н ы х п о с ы л о к с л е д у е т не то л ь к о д о к а з ы в а е м ы й т е з и с , но и к а к о е -н и б у д ь ло ж н о е полож ение. Л О ГИ Ч ЕС К И Й С И Н ТА К С И С — р а зд е л л о г и к и , с в я з а н н ы й е и зу ч е н и е м о тн о ш е н и й в н у тр и 363 л о г и ч е с к и й СПРАВОЧНИК и с к у с с тв е н н о го я з ы к а , б е зо тн о с и те л ь н о к то м у , ч то з т и в ы р а ж е н и я о б о зн ач аю т в д е й с тв и те л ь н о с ти . Л О ГИ Ч ЕСКО Е П РО ТИ В О РЕЧ И Е— л о ги ч е ска я о ш иб к а , с в я з а н н а я с т е м , ч то в р а с с у ж д е н и и д о п у с к а е тс я у тв е р ж д е н и е о дн о вр ем ен н о с сто о тр и ц а н и е м . Л О ГИ Ч ЕС К О Е С Л Е Д С Т В И Е — с у ж д е н и е , п о л у ч а е м ое в р е з у л ь т а т е в ы в о д а и з п о с ы л о к п о л о ги ч е с к и м п р а в и л а м . Л О Г О М А Х И Я — т а к о й с п о р , к о гд а с п о р я щ и е , н е о п р е д е ли в в н а ч а л е с то ч н о с ть ю п р е д м е т сп о р а , о п р о в ер гаю т д р у г д р у га и л и н е со гл а ш а ю т с я д р у г с д р у го м . М Е Н Ь Ш А Я П О С Ы Л К А — п о с ы л к а к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а , в к о то р у ю в х о д и т м е н ь ш и й те р м и н . М ЕН ЬШ И Й ТЕР М И Н — те р м и н , к о то р ы й я в л я е т с я в за к л ю ч е н и и п р о сто го к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а с у б ъ е к то м . М Е Т А Б А З И С — у л о в к а в сп о р е , за к л ю ч а ю щ а я с я в т о м , ч то о п п о н е н т у к л о н я е т с я о т о б с у ж даем ого во пр о са к вм есто н его н е за м е тн о п о д к л ю ч а е т д р у го й в о п р о с. *| £ ЛОГИКА В ВО П РО СА Х И ОТВЕТАХ ^ ^ М Е Т А Я З Ы К — я з ы к , н а основе ко то р о го пр оизво д и т с я и ссл е д о в а н и е к а к о го -то д р у го го язы ка. М Н О ГО ЗН А Ч Н А Я Л О ГИ К А — р а зд е л л о ги к и , в к о то р о й и с п о л ь зу ю тся кр о м е к л а с с и ч е с к и х з н а ч е н и и « и с ти н а » и « л о ж ь » и д р у ги е зн ач е н и я, МОДА Л Ь Н А Я Л О ГИ К А — н е к л а с с и ч е с к а я л о ги к а , с в я за н н а я с прим енением м етодов л о ги к и д л я ан али за, р а ссуж д е н и й , вклю чаю :щ и х в себ я м о д усы с у ж д е н и й , и х м о д а л ьн о сти . М О Д АЛ ЬН О СТЬ — х а р а к те р и с ти к а с у ж д е н и я в за в и с и м о с ти о т е го с те п е н и в о зм о ж н о с ти , н е о б хо д и м о сти , о б я з а те л ь н о с ти и т . п . MODUS T O LL EN DO T O LLE N S — разновидность раздел ителъ но-категорического си лло ги зм а, к о г д а пер вая п о сы л к а — разделительное с у ж д ен и е, вто р ая п о сы л ка утв е р ж д ае т один и з член о в р аздели тельн о го с у ж д е н и я . латинское название первой фор мы гипотетического силлогизма, выра жающегося формулой: MODUS PO N EN S — Если А есть В, А есть В Значит, С есть Д то С есть Д f .,_ M ODUS T O LLEN D O P G N EN S — разновидность раз делительно-категорического умозаклю чения, имеющего вид: ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ЗО'із А или В, или С А есть С__ А есть В — латинское название формы ги потетического силлогизма, имеющего следующую формулу: M ODUS T O L LE N S Если А есть В, то С есть Д С не есть Д ___ А не есть В М ОДУСЫ ПРОСТОГО КА ТЕГО РИ Ч ЕСКО ГО СИЛЛОГИЗ М А — разновидности силлогизма, отли чающиеся друг от друга по количеству и качеству суждений. 1 фигура 4 фигура 2 фигура 3 фигура ААА ЕАЕ ААІ ААІ ЕАЕ АП АЕЕ ЕЮ ІАІ АП АЕЕ ІАІ ЕГО АСЮ ЕАО ЕАО ОАО ЕАО ЕГО ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 36 6 М О Щ Н О СТЬ М Н О Ж ЕС ТВ А — к о л и ч е с тв о э л е м е н то в , с о д е р ж а щ и х с я в м н о ж е с тв е . Н А Т У Р А Л Ь Н Ы Й Р Я Д — м н о ж е ств о ц е л ы х п о л о ж и те л ь н ы х ч и се л . Н ЕВЫ П О Л Н И М А Я Ф О РМ УЛ А — ф о р м ул а, п р и н и м а ю щ а я то л ь к о зн а ч е н и е « л о ж ь » . Н Е К О Р Р Е К Т Н Ы Й — н е п р а в и л ь н ы й ,, Н ЕП О Л Н А Я И Н Д УК Ц И Я — ви д и н д укти вн о го ум о за кл ю ч е н и я , в р е зул ьтате которого п о лу ч а е тся како й -ни б удь общ ий вы вод о всем классе предметов на основании зн ан и я ли ш ь н еко то р ы х предметов данного к л а сса . Н ЕП О Л Н А Я А Н А Л О ГИ Я — т а к а я ан ало ги я, ко гд а хо д ум озаклю чения и дет следую щ им обра зо м : предм еты , схо дны е с С но некоторы м свойствам , до лж н ы воспроизводить явлен и я В , но и з и звестн ы х нам зн ан и й о предм ете, вследствие наибольш его схо дства и х с С , м ы им еем сравнительно наибольш ее основание п р ед п о л агать, что он подойдет под очер ченную гр у п п у , следовательно , им еем пра во и о ж и д ать в стр е ти ть в нем явлени е В . Н Е Р А З Р Е Ш И М А Я Т Е О Р И Я — т а к а я те о р и я , д л я к о то р о й н е с у щ е с т в у е т р азр е ш и м о го м е т о д а , п о зв о л я ю щ е го р е ш и ть д л я к а к о й - Оь / ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК - і *7 F ——------------- —— ——---------------ив ч то ф о р м у л ы это м т е о р и и , я в л я е т с я л и о н а и с ти н н о й и л и н е т . Н ЕРА ЗРЕШ И М А Я Ф О РМ УЛ А — т а к а я ф о р м ула, о т н о си те л ьн о ко то р о й н е л ь з я о д н о зн ач н о с к а за ть , до казуем а она и л и опроверж им а. Н ЕЯ В Н О Е О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е П О Н Я ТИ Я — та к о е о п р е д е л е н и е , в ко то р о м о п р ед еляем о е п р о я с н я е т с я не с п о м о щ ью я в н ы м о б р азо м сф о р м у л и р о в а н н о го о п р е д е л я ю щ е го , а в определенном к о н те к с те . Н О М И Н А Л ЬН О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е — о б ъ я с н е н и е зн а ч е н и я сл о в а , и м ен и и л и те р м и н а , о б о зн а ч а ю щ е го э то п о н я т и е . поминл т — зн а ч е н и е и м е н и . О Б Щ ЕЕ П О Н Я ТИ Е — п о н я т и е , в к о то р о м о то б р а ж е н ы п р и з н а к и к л а с с а п р е д м е то в . О БЩ ЕЗН А Ч И М А Я Ф О Р М У Л А — ф о р м ул а , к о то р а я п р и н и м ает то л ь к о зн ач ен и е « и с ти н а » . О Б Щ ЕУ ТВ ЕРД И ТЕЛ Ь Н О Е С У Ж Д ЕН И Е — су ж д е н и е , ко то р о е и м е е т в и д : « В се S е с т ь Р » . О БЪ ЕМ П О Н Я Т И Я — м н о ж е ств о п р е д м е то в , к о то р ы е о б ъ е д и н е н ы о б щ и м п р и з н а к о м , с в о й с тв е н н ы м д а н н о м у п о н я т и ю . *?■S& ЛОГИКА Е ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ф 368 ОМ ОНИМ ИЯ — л о ги ч е с к а я о ш и б к а , к о то р а я п р о и с х о д и т в сл ед ств и е то го , ч то одно и то ж е п о з в у к у сло во м о ж е т у п о тр е б л я ть с я в одном р а ссуж д е н и и д л я о б о зн ачен и я р а з н ы х п р е д м е то в . О П ЕРА Ц И О Н А Л Ь Н О Е О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е — определе н и е , ко то р о е со д е р ж и т в себе у к а за н и е н а к а к о е -то д е й с тв и е , о п е р а ц и ю . О П РЕД ЕЛ ЕН И Е Ч Е Р Е З БЛИ Ж АЙ Ш И Й РОД И ВИ ДО ВЫ Е1. О ТЛ И Ч И Я — ло ги ч е ская о пер ац ия, ко то р а я з а к л ю ч а е тс я в то м , ч то д л я опреде ляе м о го п о н я ти я п о д ы ск и в а е тся б л и ж а й ш и й р о д с о тл и ч и те л ь н ы м и п р и з н а к а м и вида. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П О Н Я Т И Я Ч Е Р Е З О ТН О Ш ЕН И Е — о п е р а ц и я , к о то р а я з а к л ю ч а е т с я в т о м , ч то о п р еделяем о е п о н я ти е с о о тн о с и тс я с д р у ги м п о н я ти е м . О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е Ч Е Р Е З П РО ТИ ВО П О Л О Ж Н О СТЬ — о п е р а ц и я , посредством ко то р о й о пр еделя емое со о тн о си тся с п р о ти во п о ло ж н ы м по н я ти е м . О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е Ч Е Р Е З А Б С Т Р А К Ц И Ю — определе н и е , в ко то р о м сво й ства м н о ж е ств опреде л я ю тс я через устан о влен и е о тн о ш е н и я ра в е н ств а м е ж д у и зуч аем ы м и м н о ж е ств ам и . ЛОГИЧЕСКИМ СПРАВОЧНИК 3 6 9 — ------ » -- —_ вяа О П Р О В Е Р Ж Е Н И Е — д о к а з а те л ь с тв о л о ж н о с ти т е зи са. О СН О ВА Н И Е Д Е Л Е Н И Я П О Н Я Т И Я — п р и з н а к , к о то р ы й д а е т в о зм о ж н о сть р а з д е л и ть о б ъ ем родового п о н я т и я н а в и д ы . О С ТЕН С И В И 0 Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е — та к о е о п р еделе н и е , к о гд а н е п о ср е д ств е н н о у к а з ы в а е т с я п р е д м е т, к о то р ы й о б о зн а ч а е тся е л о вого и л и те р м и н о м . О ТН О СИ ТЕЛ ЬН О Е П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , о тображ а ю щ ее п р и з н а к и п р е д м е то в , с у щ е с тв о в а н и е к о то р ы х с в я з а н о с с у щ е ств о в а н и е м д р у г и х п р е д м е то в . О ТР И Ц А Н И Е — л о ги ч е с к а я о п е р а ц и я , за к л ю ч а ю щ а я с я в то м , ч т о и с ти н н о м у в ы с к а з ы в а н и ю п р о ти в о п о ста в л я е тся ло ж н о е в ы с к а зы в ан и е . О ТР И Ц А Н И Я О ТР И Ц А Н И Я З А К О Н — в л о ги к е — п р и н ц и п « с н я т и я » д в о й н о го о тр и ц а н и я . П А Р А Д Е Ё Г М А — в л о ги к е А р и с то те л я те р м и н , к о то р ы м н азы в ало сь ум о заклю ч ен и е по а н а л о ги и . П А Р А Д И ГМ А .— п р и м е р , о б р азец . i F j ЛОГИКА S ВОПРОСАХ И ОТРЕТ AX --------------- -— - — — ------------ 3 7 0 П А Р А Д О К С — р а с с у ж д е н и е , п р и в о д ящ е е к в з а и м о и скл ю ч а ю щ и м п о с л е д с тв и я м . П А РА Л О ГИ ЗМ — л о ги ч е с к а я о ш и б ка в у м о за к л ю ч е н и и , п р о и сш ед ш ая н е п р ед ум ы ш л е н н о . П А Р А Ф Р А З А — п ер едач а св о и м и сл о в а м и ч у ж о й м ы сли . П Е Р В А Я Ф И Г У Р А СИ Л Л О ГИ ЗМ А — т а к а я ф и гу р а , в к о то р о й ср е д н и й те р м и н М я в л я е т с я с у б ъ е к то м б о льш ей п о с ы л к и и п р е д и к а то м в м е н ь ш е й п о с ы л к е . Ф и г у р а и м е е т следую щ и й в и д : М —Р _в —м " S—Р П Е Р Е М Е Н Н А Я — б укв а и л и си м в о л , н а м есто ко то р о го м о ж е т б ы ть п о д ста в л е н о лю бое зн а ч е н и е и з вы б р ан н о й о б л а сти и н те р п р е та ции. П О Д Ч И Н ЕН И Е П О Н Я ТИ Й — та к о е о тно ш ени е м еж д у п о н яти ягѵ ш , к о гд а объем о дно го п о н я т и я в х о д и т в объем д р у го го п о н я т и я . П О Л И СЕМ И Я — многозначность слоен. П О ЛИ СИ ЛЛО ГИ ЗМ — сл о ж н ы й с и л л о ги з м , со сто я щ и й и з н е ск о л ь к и х п р о сты х си лло ги зм о в . ОЯ8 f ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ■ Minim і■■ И — ■ ■■■ ■■■ мм 'И ■■ — & в» П О Л Н А Я И Н Д У К Ц И Я — в и д и н д у к ти в н о го у м о за к л ю ч е н и я , в р е з у л ь т а т е к о то р о го д е л а е т с я о б щ ий в ы в о д о в сем к л а с с е п р ед м е то в к а о сн о в а н и и з н а н и я в с е х б ез и с к л ю ч е н и я п р и зн а к о в э т и х п р е д м е то в . П О Н Я Т И Е — ф о рм а м ы ш л е н и я , о то б р а ж а ю щ а я в себе с у щ е с т в е н н ы е , за к о н о м е р н ы е п р и з н а к и п р е д м е та . П О С Ы Л К А — ч а с ть р а с с у ж д е н и я , в ко то р о й содер ж и т с я и з в е с т н а я и с с л е д о в а те л ю и н ф о р м а ц и я о п р е д м е те и з у ч е н и я . П РО П О ЗИ Ц И О Н АЛЬН Ы Е С В Я З К И — ло гические опе р а то р ы о т р и ц а н и я , к о н ъ ю н к ц и и , д и з ъ ю н кц и и , и м п л и кац и и и экви вален ц и и . Р А Б У Л Н С Т И К А — сл о в е сн ы е у х и щ р е н и я , к р ю ч к о тв о р с тв о , сл о в о б л у д и е . Р А В Е Н С Т В О — о тн о ш е н и е э к в и в а л е н тн о с ти м е ж д у в ы сказы в ан и ям и . РА ЗД ЕЛ И ТЕЛ Ь Н О Е С У Ж Д ЕН И Е — су ж д е н и е , в котором в ы р а ж а е тся зн ан и е то го , ч то д а н н о м у п р е д м е ту п р и с у щ (и л и н е п р и с у щ ) то л ь к о о д и н к а к о й -л и б о п р и з н а к и з ч и с л а т е х п р и з н а к о в , к о то р ы е у к а з ы в а ю т с я в это м с у ж д е н и и . Ф о р м у л а р а з д е л и те л ь к о го с у ж д е н и я за п и с ы в а е тс я сл е д ую щ и м «<5 ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТЕЕГАХ — — ---- *----- -— — ------------ — ■372 образом: S есть P I , или Р2, или РЗ, или Р4. Р А З Д ЕЛ И ТЕЛ Ь Н Ы Й К А ТЕГО Р И Ч ЕС К И Й СИ ЛЛО ГИ ЗМ — силлогизм, Е котором разделктель- ная посылка фиксирует ряд исключаю щих друг друга свойств, одно из которых может принадлежать предмету; катего рическая посылка отрицает все — каж дое в отдельности — свойства, отображен ные Е разделительной посылке, кроме од ного. В заключении такого силлогизма утвер ждается принадлежность предмету од ного свойства, которое не исключалось разделительной посылкой. РА ЗД ЕЛ И ТЕЛ ЬН О УСЛО ВН О Е УМ О ЗА КЛ Ю Ч ЕН И Е— такое умозаключение, в котором одна из посылок — разделительное суждение, а другие — условные суждения: А есть либо В, либо С. Если А есть В, то А есть К. Если А есть С, то А есть К. А есть К. Р А З Д Е Л Я Ю Щ Е Е С У Ж Д Е Н И Е — суждение, в кото ром выражается результат деления како го-либо класса на подклассы. ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК О / О ■— ■■■ 1 ■ '■■ " ■III ■ ' — ■ • — ■ ■■ — I - І І ВМ ф ф Р А С П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е ТЕРМ И Н О В В С У Ж Д ЕН И И — о т н о ш е н и е м е ж д у о б ъ е м а м и те р м и н о в (с у б ъ е к то в и п р е д и к а то в ) в с у ж д е н и и . Р А С П Р Е Д Е Л И Т Е Л Ь Н А Я А Н А Л О ГИ Я — а н а л о ги я , з ко то р о й о т с х о д с тв а я в л е н и й п р и х о д я т к за к л ю ч е н и ю о с х о д с тв е п р и ч и н . Р А С С У Ж Д ЕН И Е — ц еп ь ум о за кл ю ч е н и й н а к а к у ю ли б о т е м у , и з л о ж е н н ы х в л о ги ч е с к и п о с л е д о в ате л ь н о й ф о р м е. РЕА Л Ь Н О Е О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е — определение п о н я т и я , о то б р а ж а ю щ е е с у щ е с тв е н н ы е п р и з н а к и п р е д м е та , и м ею щ ее св о е й ц е л ь ю о тл и ч а ть о п р е д е л я е м ы й п р е д м е т о т в с е х д р у ги х п р е д м е то в . Р ЕГР ЕС С И В Н О Е Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О — д о к а з а те л ь с тв о , в ко то р о м х о д р а с с у ж д е н и й и д е т о т с л е д с тв и я к о сн о в а н и я м . В о з м о ж н ы д в а в и д а р е гр е сси в н о го д о к а з а т е л ь с т в а : 1 . К о гд а д о к а за те л ь с тв о в о схо д и т о т д о к а зы в а е м о й м ы с л и к ее о сн о в а н и я м . 2 . К о гд а д о к а за те л ь с тв о в о схо д и т о т ф а к то в к а к сл е д ств и й к д о к а зы в а ю щ е м у п о л о ж е н и ю к а к к о сн о в а н и ю . Р И Т О Р И К А — у ч е н и е об о р а то р ск о м и с к у с с т в е , те о р и я к р а с н о р е ч и я . *7 f В ЕЙ ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ ...................................... 374 РОДОВОЕ П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , которое в ы р а ж а е т с у ід е ств е н н ы е п р и з н а к и к л а с с а п р едм е то в , являю щ его ся родом ка ки х-л и б о видов. С В ЕД ЕН И Е В С Е Х Ф И ГУ Р К П ЕРВО Й Ф И Г У Р Е СИ ЛЛО ГИ З М А — л о ги ч е с к а я о п е р а ц и я , к о то р а я и м е е т ц елью п р о в е р ку п р а в и л ь н о сти с и л л о ги сти ч е ск о го в ы в о д а , п о с к о л ь к у в пер в о й ф и гу р е с и л л о ги з м а н аи б о лее я сн о в и д н о с о о тв е тств и е с и л л о ги з м а тр еб о ва н и я м а к си о м ы с и л л о ги з м а . С Е М А Н Т И К А — р а зд е л л о г и к и , в ко то р о м и з у ч а ю т с я сп о со б ы с и с те м а ти ч е с к о го припи с ы в а н и я зн а ч е н и и в ы р а ж е н и я м ф о р м а л и зо в а н н о го я з ы к а . О сн о в н ы е п о н я т и я л о ги ч е с к о й с е м а н ти к и — и с т и н н о с т ь , в ы п о л н и м о с ть , о б щ е зн а ч и м о с ть , л о ги ч е ск о е с л е д с тв и е . силлогизм — ум о за кл ю ч е н и е , в котором и з д в у х к а т е го р и ч е с к и х с у ж д е н и й , с в я з а н н ы х обтцим те р м и н о м , в ы в о д и тся тр е ть е с у ж д е н и е , н а зы в а е м о е з а к л ю ч е н и е м . СИ М ВО Л И Ч ЕСКАЯ Л О ГИ К А — одно и з названий фор м ал ьн о й л о ги к и , м ате м ати ч е ско й л о ги к и . СИ Н ТАКСИ С ФОРМ АЛИЗОВАННОГО Я З Ы К А — си сте м а п р ав и л п о стр о е н и я ч и сто ф о р м альн о й сто р о н ы л о ги ч е ск о й с и с те м ы , в ко то р о й 375 ЛОГИЧЕСКИЙСПРАВОЧНИК * Л4S и ссл е д ую тся способы пр ссбр алований я з ы к о в ы х в ь ф а ж е ш ш , независим о о т то го , ч то они об означаю т в д е й с тв и те л ь н о с ти . С Л О Ж Н Ы Й СИ Л Л О ГИ ЗМ — с и л л о ги з м , со с то я щ и й и з н е с к о л ь к и х п р о с т ы х с и л л о ги з м о в . СМ Ы СЛ — со д е р ж а н и е з н а к о в о го в ы р а ж е н и я ; м ы с л ь , с о д е р ж а щ а я с я в сл о в е . С О БИ РА ТЕЛ Ь Н О Е П О Н Я ТИ Е — п о н я ти е , в ко то р о м о то б р а ж е н ы п р и з н а к и с о в о к у п н о с ти о д н о р о д н ы х п р е д м е то в . С О Д Е Р Ж А Щ ІЕ П О Н Я ТИ Я — со в о куп н о сть п р и зн а к о в , о то б р а ж а ю щ и х сущ е ств е н н ы е ч е р ты к а к о го -то п р е д м е та , о тр а ж е н н ы е в м ы с ли о нем . С О ЕД И Н И ТЕЛ ЬН О Е С У Ж Д Е Н И Е — с у ж д е н и е , в к о тором у тв е р ж д а е тс я и л и о тр и ц а е тся п р и н а д л е ж н о с ть п р е д м е ту н е с к о л ь к и х со в м е с тн ы х п р и з н а к о в . С О К РА Щ ЕН Н Ы Й СИ ЛЛО ГИ ЗМ (Э Н ТИ М ЕМ А ) — с и л л о ги з м , б к о то р о м п р о п у щ е н а о д н а и л и н еско лько п о сы л о к . СО О ТНОСИ ТЕЛЬНОЕ О П Р ЕД ЕЛ ЕН И Е — определение, к о гд а о д и н о б ъ е к т о тн о с и тс я к д р у го м у о б ъ е к ту к а к к э к в и в а л е н ту . ЛОГИКА В ВОПРОСАХ И О ТЁЕТА Х 376 «а СОРАЗМ ЕРНОСТЬ Д ЕЛ ЕН И Я П О Н ЯТИ Я — хар актер и с т и к а , в ы р а ж аю щ а я т о , ч то п р и д е л е н и и п о н я ти я необходимо точно перечислить все в и д ы , вхо дящ и е е объем делим ого п о н я ти я . СО Ф И ЗМ — л о ги ч е с к а я у л о в к а , к о то р а я у м ы ш л е н н о и з п р а в и л ь н ы х п о сы л о к в ы в о д и т ло ж н о е з а к л ю ч е н и е . С РЕД Н И Й ТЕРМ И Н СИ Л Л О ГИ ЗМ А — те р м и н , к о то р ы й я в л я е тс я общ им д л я всех п о сы ло к с и л л о ги з м а . С Т Р О ГА Я А Н А Л О ГИ Я — а н а л о ги я , о сн о в а н н а я н а зн а н и и то го , ч то п р и зн а к и ср а в н и в а е м ы х п р едм ето в н а х о д я т с я в стр о го й зав и с к і м о с ти . С У Ж Д Е Н И Е — ф о рм а м ы с л и , в ко то р о й ч то -л и б о у т в е р ж д а е т с я и л и о тр и ц а е тс я о тн о с и те л ь н о п р е д м е та , его св о й ств , о тн о ш е н и й и л и к л а с с а п р е д м е то в . Т А Б Л И Ц А И СТИ Н Н О СТИ — с е м а н ти ч е ск а я та б л и ц а , с п о м о щ ь ю к о то р о й о п р е д е л я ю тс я и с ти н н о с тн ы е ф у н к ц и и с л о ж н ы х в ы с к а зы в ан и й . Т А В Т О Л О Г И Я — в с е гд а — и с ти н н о е в ы с к а з ы в а н и е , т . е . в ы ск а зы в а н и е , пр иним аю щ ее то л ь к о и с ти н н о е зн а ч е н и е . 377 ЛОГИЧЕСКИЙ СГІРАБ0"і№ & ft ГР ТЕЗА УРУС сло вар ь д л я п о и с к а ка ко го -л и б о сло в а по его п р и з н а к а м . Т Е З И С —- м ы с л ь и л и п о л о ж е н и е , к о то р о е тр е б у е т с я д о к а з а т ь в сп о р е . ТЕР М И Н — сло во и л и сл о в о со ч е та н и е . Т О Ж Д ЕС Т В ЕН Н Ы Е П О Н Я ТИ Я — п о н я т и я , им ею щ и е о д и н к т о т ж е о б ъ ем , т . е . о то б р аж а ю щ и е о д и н и т о т ж е п р е д м е т. ТРА Д И Ц И О Н Н А Я Л О ГИ К А — н а у к а о за к о н а х и п р и н ц и п а х в ы в о д и м о го з н а н и я н а р я д у с к л а сси ч е ск о й и н е к л а сси ч е ск о й л о ги к о й , о д и н и з о сн о в н ы х р а зд е л о в л о г и к и . Т р а д и ц и о н н о й л о ги к е с в о й с тв е н н а н е с т р о га я и н е п о л н а я ф о р м а л и за ц и я * О с н о в н ы м и во п р о сам и тр а д и ц и о н н о й л о т к и я в л я ю т с я во п р о сы и с сл е д о в а н и я ум о з а к л ю ч е н и й , с у ж д е н и й , п о н я т и й , о п р е делений. ТР А Н З И ТИ В Н О С ТЬ — св о й ств о о тн о ш е н и й , со сто я щ е е в т о м , ч то е сл и п е р в ы й ч л е н о тн о ш е н и я ср а в н и м со в то р ы м , а в то р о й с т р е т ь и м , то п е р в ы й ср а в н и м с тр е ть и м . Т Р Е Т Ь Я Ф И ГУ Р А ПРОСТОГО КА ТЕГО РИ Ч ЕС К О ГО СИ ЛЛО ГИ ЗМ А — ф и гур а, в кото рой ср едн и й тер м и н М я в л я е тс я суб ъ е кто м 91 9 ЛОГИКА В ВО ПРО САХ И ОТВЕТАХ .» 378 в обеих посылках,, Она имеет следующий вид: М—Р М —S S— Р — правило, по которому из двух импликаций, имею щих одинаковый копеек в ент и дизъюн кции формул, следует’формула, совпада ющая с консеквентом этих импликаций. У Д А Л Е Н И Я Д И ЗЪ Ю Н КЦ И И П РА ВИ Л О — символи чески имеет следующий вид: У Д А Л Е Н И Я И М П Л Н К А ІЩ И П РА ВИ Л О А В; А или А —>В, В. У Д А Л Е Н И Я КО Н Ъ Ю Н КЦ И И П РА В И Л О — правило, имеющее следующий вид: А В ____а ____ или А Ал В В _______ » У Д А Л Е Н И Я О ТР И Ц А Н И Я П Р А В И Л О — п р а в и л о , и м ею щ ее сл е д у ю щ и й в и д : Та в У С Л О В Н А Я А Н А Л О ГИ Я — т а к а я а н а л о ги я , к о гд а о п р е д е ле н н о н е у с та н о в л е н а с в я з ь м е ж д у о б щ и м и п р и з н а к а м и п р едм ето в и тем „„„ ЛОГИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК 379 ------------------------------------------------ Ц9 п р и з н а к о м , к о то р ы й п р и с в а и в а е т с я и с сл е д уе м о м у п р е д м е ту . УСЛ О ВН О Е С У Ж Д Е Н И Е — с у ж д е н и е , в котором ото б р а ж а е тс я з а в и с и м о с ть то го и л и и н о го я в л е н и я о т к а к и х -л и б о у сл о в и й . У С Л О В Н Ы Й СИ Л Л О ГИ ЗМ — с и л л о ги з м , в ко то р о м п о к р а й н е й м ер е о д н а и з п о с ы л о к я в л я е тся усло вн ы м суж д е н и е м . F E L A F T O N — усло вн о е о б о значени е о дн о го и з м о д у с о в тр е ть е й ф и г у р ы п р о с то го к а т е г о р и ч е с к о го с и л л о ги з м а (Е А О ), в к о то р о м п е р в а я п о с ы л к а — о б щ е о тр и ц а те л ь н о е с у ж д е н и е , в то р а я — о б щ е у тв е р д и те л ь ное суж д ен и е и закл ю ч е н и е и м еет ви д ч а с тн о о тр и ц а те л ь н о го с у ж д е н и я . І ЕШО — один из модусов первой фигуры просто го категорического силлогизма (ЕЮ), в котором первая посылка — общеотрица тельное суждение, вторая — частноутвердителыюе суждение, а заключение имеет частноотрицательный характер. один из модусов т р е т ь е й фигуры про стого категорического силлогизма (ЕЮ), в которой из об неотрицательной и час тноутвердительной посылок следует час тноотрицательное заключение. F E R IS G N — W ЛОГИКАВВОПРОСАXИ ОТВЕТАХ --------- ------- — — — - — — ------ — — 380 F E S A P O — усло в н о е обозначение одного и з м о д у сов ч е тв е р то й ф и гу р ы п р о сто го к а те го р и ч е с к о го с и л л о ги з м а (Е А О ), в ко то р о м и з о б щ е о тр и ц а те л ьн о й и о б щ е утв е р д и те л ь н о й п о с ы л о к с л е д у е т ч а с тн о о тр и ц а те л ь ное з а к л ю ч е н и е . Ф И Г У Р А СИ Л Л О ГИ ЗМ А — ф о р м а си л л о ги зм а * оп р е д е л я е м ая п о ло ж ен и ем ср еднего те р м и на в п о сы лках. Ф О РМ А Л И ЗА Ц И Я — м ето д и ссл ед о в ан и я* с в я з а н н ы й с и сп о л ьзо в а н и е м и с к у с с тв е н н о го я з ы к а , сп о со б ствую щ его то м у , ч то с и с те м ы л о ги ч е с к и х р а с су ж д е н и й тр а н сф о р м и р у ю тс я в ф о р м ал и зо в а н н ы е и с ч и сл е н и я , со сто я щ и е и з ф о р м у л . ФОРМ А Л И З О В А Н Н А Я ТЕО Р И Я — те о р и я , и зуч а ю щ а я о б ъ е к ты , п р е д с та в л е н н ы е в те р м и н а х ф о р м а л и зо в а н н ы х я з ы к о в . формализованный язык — и ск у сств е н н ы й я з ы к ф о р м а л ь н о -л о ги ч е с к и х и с ч и с л е н и й * я з ы к з н а к о в , ф о р м у л , си м в о л о в . - СОДЕРЖАНИЕ Л О ГИ К А ВВО П РО С А Х И О Т В Е Т А Х ______ ________ 3 ііЕрбДІЗѴІб^І?1ЛО ГИ КИ £4#*efle**«»«B<«»***№*** +«*4o*e****ft4t'#*-##**#e«'*fr МЫШЛѲНІіѲу ЛОГИКДj ЯЗЬХХъ 1^ Структура и правила корректного рассуждения......16 нконых^хытттлсіімн 26 Гѵ!отоды логики ^7 * * * * * Ф # * » # * # * * в 8 в * * * * * в * * * * * * * & * * * * * # * * » « « * * « 4 * 4 « 4 « * * і * * « » в Ф « * * е * * * « Ф * Ф 0 в # в 0 9 11OXX-JTXіИОС. Оу^КДѲНГіѲ в * * * CgJ 1 С I I V l 0 3‘8 № « « ф # * « * * » # . # * * « * # # # » * « с ® ' S- • * * * 0ЛCHX'XGГТ Хі-?Х^Х"'ХіТіф « ® Ф + Ф Ф # * * * * Ф ® в в в в в в Ф в * в * Ф * Ф * Ф ■=■ D С- П С- -Гі с ■=■ С -Г- □ -Ь й ■:■ С -Ь С D D □ С D Ч- D С' L- ■? П и Ч и * V *■ V о с- -z- с с- □ с- * <- -с- □ с- с -z- ■ о с- с и 4 ё t-6 £- 4 и о ■.■ ѵ * о ■■ и ■•■ *■ в М и С- и * г. #і г л М * * '4:0 О О £)0 Традиционная логика: аристотелевская СЛЯЛОРМСТика 6а Оиі^і ноліччесгсая лог^.ка і#**#**##^***^*?.^*^^^^®??®#®#»*®**®*®tiO ^1.Гоіи tea вьхеказыь збий ■e-»*#***^************-»#**»*-®#»®*-»®*-»*®* 82 ■.>*** Ф е - * о * * п с - о о » * с * с Ф * # # * « * # # « * • * * « № * * # • « < * * » « # # * КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ПО ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ....... 101 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ+**•*»«#*»***»**•«•«*«**********•**** 1X7 ІЗа^лачххдлярззмныіѵМі #*»***»*«##»«!«?«»#***»#*****• ****ев*** 118 Можете ли вы рассуждать логично?............. ®********121 <8а^дач Iі“шутки 12 ^Х 3 8дзчи на логику сч ет а «#«•«#®12 6 С^тарипГ'іые загхіхіѵііііТел ьххьхо оадал л ^ *е**«♦* t«*^»***180 задачи-загадки 18 2 Затруднительные ситуации *........ .....................м»*м133 Задачи практичные и непрактичные ................... Л 36 в * « * « » * * * » » * » * » « * « # » * » * * * * * # * # * е ' « * * « ' * * ® а в а * « « * а - а ПерепраЕЫ , р а зъ е зд ы , п о го н и .......... *..........- Л о ги к а и ф и н а н с ы . Л 39 ............ ................. . 1 4 1 Д е л е ж и п р и за т р у д н и т ел ь н ы х об стоя.;, ел ЬСТЕЙ-Х. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 С к а зк и и ст а р и н н ы е и с т о р и и ....................... ............ . . , . 1 4 6 Л О Г И Ч Е С К И Е И Г Р Ы ........................................... 167 О т га д а т ь слобо ................... ............ ................. ......................... 1 6 8 М о р ск о й б о й ............................................................................ 191 И гр ы с о с л о в а м и .......... ........................... .......... .......... .......... 2 1 2 Л О Г И Ч Е С К И Е Ф О К У С Ы .............................................................2 3 5 Ф о к у сы с к ар там и ............................. ............ . . . 2 3 6 И сп о л ь зо в а н и е л и ц ев о й и о б р а т н о й стор он к а р г ........., ........... Ф о к у сы с м ел к и м и п р ед м ет а м и ........................ Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Л О Г И К Е ....... . .......... 252 258 285 Л О Г И Ч Е С К И Й С П Р А В О Ч Н И К ............................................... 3 3 7 Учебное пособие К У Р Б А Т О В B .X L Л о ги к а в во про сах и о тв е та х Редактор: П оном арева С. Корректоры : Л а з а р е в а !4., П одгорны й Н. Х удож ники: Косивцов Д ., Н иколаев В. Компью терная верстка: Русинова Е. Лицензия ЛР № 062308 от 24 февраля 1993г. Сдано в набор 24.03.97 Подписано в печать 25.04.97 Формат 84х108/Э2. Бумага офсетная Гарнитура Literaturnaya Тираж 10 000. Заказ № 189. Издательство «ФЕНИКС» 344007 г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17 Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга» 344019 г. Ростов-на-Дону, у л. Советская, 57 И. КУРБАТОВ

Логика в вопросах и ответах - В.И. Курбатов

Related documents

Products

Support

Логика в вопросах и ответах - В.И. Курбатов

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib