Материалы для подготовки к зачету по логике Внимание! Если

Материалы для подготовки к зачету по логике
Внимание! Если вы скачиваете материалы из Интернета, то
при распечатке некоторые символы могут быть
неправильно воспроизведены (знаки конъюнкции,
дизъюнкции, кванторов и т.д.) Помните об этом.
Содержание
1. Пример типового зачетного задания по логике для факультетов
ПК, СП(К), ЮП, СО, ПО
2. Пример типового зачетного задания по логике для факультета ИТ
3. Дополнительные вопросы (5-е зачетное задание)
3а. для ПК, СП(К), ЮП
3б. для ИТ
4. Разбор решений типового зачетного задания
5. Типичные ошибки
6. Тренировочные упражнения
7. Литература
Друзья, не расстраивайтесь из-за того, что объем текста такой
большой. Просто эта нетленка создавалась с таким расчетом, чтобы
даже не посещавший занятия или несообразительный студент смог
сдать зачет по логике с первого раза. Поэтому большинство вопросов
разбирается так подробно. Возможно, что-то все равно останется
непонятным. В таком случае обращайтесь к преподавателю (до
зачета!), либо к однокурсникам, которые разбираются в этом
материале.
Если прочитанный курс логики понятен для вас, ознакомьтесь с
частями 1(2) и 3, остальные – по усмотрению.
Good luck.
O.N.
1
1. Пример типового зачетного задания по логике
студентов фак-тов ПК, СП(К), ЮП, ПО, СО
для
(на зачете вы получите, разумеется, не в точности такое задание: будут
другие формулы, рассуждения, понятия и т.д.)
1. Для следующих предложений с точки зрения ЯКЛВ (т.е.
сопоставьте данным предложениям формулы ЯКЛВ, которые
отображают их структуру).
И ты, и я знаем японский язык
Я приду вовремя, если не попаду в пробку.
Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.
Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.
Если
сегодня тринадцатое число, то мне не везет, если
сегодня (к тому же) пятница.
Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же) пятница,
то мне не везет.
Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в
этом материале и у меня будет свободное время.
2. Установите логический статус формулы
(p&q)  (р&q)
с
помощью
таблиц
истинности.
3.
Установите табличным методом, является ли да
данноое рассуждение логически правильным.
«–
А когда ты в первый раз заметил, Веничка, что
ты дурак?
– А вот когда. Когда я услышал одновременно
сразу два полярных упрёка: и в скучности, и в
легкомыслии. Потому что если человек умён и
скучен, он не опустится до легкомыслия. А если он
легкомыслен да умён – он скучным быть себе не
позволит. А вот я, рохля, как-то умел сочетать.»
(Вен. Ерофеев. Москва–Петушки).
4. Среди следующих языковых структур найдите 2
такие, которые могут превратиться как в
истинные, так и в ложные предложения,
подобрав для них модели и контрмодели:
1.
x у(Q (x, а) & Q(y, а))
2.
(x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
3.
(x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
4.
x(Q(x)&P(x))(xQ(x)&xP(x))
5.
x(P(x)yP(y))
6.
xyzR(x,y,z)&xyzR(x,y,z)
5. Дайте определения следующих понятий1:

ограничьте и обобщите понятие рассуждение, которое не
способен понять ни один человек с низким IQ

Ответы к заданию 1
см. также разбор задания ниже
p&q
qp
pq
pq
p(rq)
p&(rq)
p((q&r)s)
разбор решения см. ниже
разбор решения см. ниже
разбор решения см. ниже
умозаключение

свойство монотонности отношения логического
следования

предикат (уметь привести пример одноместного,
двухместного и трехместного предиката)


логические символы ЯКЛП =
операция ограничения понятий (также привести пример)

объем понятия (также привести пример)
1
Список понятий, которые могут быть в этом задании, см. ниже в разделе «Дополнительные вопросы»
2

содержание понятия (также привести пример)

закон обратного отношения между объемом понятия и
его содержанием (также привести пример)

законы де Моргана
(A&B)(AB)
(AB)(A&B)

(AB)(A&B)
закон отрицания импликации

р  q, р ⊨q правильная или неправильная условнокатегорическая схема умозаключения?

табличное определение импликации (условия истинности
и ложности структуры А  В)

(A()A())
(можно и так:
х(Р(х)уР(у)), у(Q(у)zQ(z)) и
т.п.)
принцип пьяницы

приведите пример предложений, которые показывают,
что связка «если…то» (импликация) не коммутативна

Есть ли такой человек, что если он негр, то и все негры?
Если да, кто это и почему? Если нет, тоже – почему?
3
2. Пример типового зачетного задания по логике
для
студентов фак-та ИТ
(на зачете вы получите, разумеется, не в точности такое задание: будут другие формулы,
рассуждения, понятия и т.д.)
На зачете можно пользоваться только правилами вывода натурального и секвенциального
исчислений (получаете у преподавателя)
1. Для следующих предложений с точки зрения ЯКЛВ (т.е.
сопоставьте данным предложениям формулы ЯКЛВ, которые
отображают их структуру).
И ты, и я знаем японский язык
Ответы к заданиям
см. также разбор задания ниже
p&q
Я приду вовремя, если не попаду в пробку.
qp
Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.
pq
Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.
pq
Если
сегодня тринадцатое число, то мне не везет, если
сегодня (к тому же) пятница.
Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же)
пятница, то мне не везет.
Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в
этом материале и у меня будет свободное время.
2. Установите логический статус формулы
(p&q)  (р&q)
с помощью таблиц
истинности.
3.
Установите табличным методом, является ли да
данноое рассуждение логически правильным.
«–
А когда ты в первый раз заметил, Веничка,
что
ты дурак?
– А вот когда. Когда я услышал одновременно
сразу два полярных упрёка: и в скучности, и в
легкомыслии. Потому что если человек умён и
скучен, он не опустится до легкомыслия. А если
он легкомыслен да умён – он скучным быть себе
не позволит. А вот я, рохля, как-то умел
сочетать.» (Вен. Ерофеев. Москва–Петушки).
4. Для следующих формул найдите модель и
контрмодель:
1. x у(Q (x, а) & Q(а,у))
2. xQ(x,а) xQ(x,а)
3. x(P(x)Q(x))  x(Q(x)&P(x))
p(rq)
p&(rq)
p((q&r)s)
разбор решения см. ниже
разбор решения см. ниже
5. Дайте определения следующих понятий2:

умозаключение

свойство монотонности отношения логического
следования

предикат (уметь привести пример одноместного,
двухместного и трехместного предиката)

(A&B)(AB)
законы де Моргана
(AB)(A&B)
2
Список понятий, которые могут быть в этом задании, см. ниже в разделе «Дополнительные вопросы».
4

(AB)(A&B)
закон отрицания импликации

табличное
определение
импликации
истинности и ложности структуры А  В)
(условия

приведите пример предложений, которые показывают,
что связка «если…то» (импликация) не коммутативна

если к неправильному умозаключению добавить
посылки, оно а) останется неправильным; б) станет
правильным; в) может остаться неправильным и может стать
правильным? Ответ пояснить.
6.
6.a. Обоснуйте выводимость
p q, p r,  qr⊨p
средствами натурального вывода или в секвенциальном
исчислении.
6.b. Постройте доказательство формул
рр (закон исключенного третьего)
((pq) p)  p (закон Пирса)
в натуральном исчислении высказываний (закон Пирса будет во
всех заданиях!)
7. Найдите структуру предложений с точки зрения языка
КЛП1=.
Все участники конференции – из Москвы и Петербурга.
См. лекцию и учебник В.Бочарова,
В.Маркина «Основы логики», гл. Теория
дедуктивных рассуждений
x(P(x)(Q(x,a)Q(x,b)) или
x(P(x)(Q(x)S(x))
В нашем районе не более 3 вузов.
У уравнения sin х+ах+b=0 при данных a, b по крайней мере 2
корня.
Все рыцари сражались друг с другом на поединках.
Существует наименьшее действительное решение уравнения
sin х=0.
5
(Для выражение sin х+ах+b=0 не надо определять
структуру)
x(xR&sinx+x=0&y((yR&yx)sinx+x0))
3(а). Дополнительные вопросы к зачету по логике
(5-е зачетное задание) для ПК, СП(К), ЮП, ПО, СО
(задаются выборочно, можно сдать до зачета)
Дайте определения следующих понятий, ответьте на вопросы, приведите примеры
Вводная тема «Предмет и основные понятия логики», логика высказываний



логика
предложение (как оно понимается в пройденном
курсе логики)
 истинностное значение
 рассуждение
 умозаключение
 контрпример к схеме умозаключения
 синтаксис (= синтаксический аспект изучения
языка)
 семантика (= семантический аспект изучения
языка)
     Т – табличные определения этих
связок (а также какие выражения им
соответствуют в естественном языке)
 А необходимое условие для В; А достаточное
условие для В
 закон КЛВ = закон логики в КЛВ =
тождественно-истинная формула = общезначимая
формула
 логическое противоречие в КЛВ = тождественноложная формула
 логически недетерминированная формула в КЛВ
 выполнимая формула в КЛВ
 отношение логического следования в КЛВ
 другие логические отношения между
структурами высказываний:
- эквивалентность;
- подчинение;
- независимость;








свойство монотонности отношения
логического следования
свойство транзитивности отношения
логического следования
свойство рефлексивности отношения
логического следования
приведите пример логически истинного
предложения
приведите пример логически ложного
предложения
приведите
пример
логически
недетерминированного предложения
покажите
на
примере
конкретных
предложений,
что
импликация
не
коммутативна
если к неправильному умозаключению
добавить посылки, оно а) останется
неправильным; б) станет правильным; в)
может остаться неправильным и может
стать правильным? Ответ пояснить.
Какие среди следующих схем рассуждения
являются правильными, а какие нет?
AB, A⊨B
AB, B⊨A
AB, В ⊨А
AB, А⊨В
Логика предикатов











n-местный предикат (естественного языка)
(привести пример)
n-местный функтор (естественного языка)
(привести пример)
логическое имя (привести пример)
кванторные выражения
логические символы ЯКЛП=
нелогические символы ЯКЛП=
интерпретация сигнатуры (т.е. какого-то
списка нелогических констант ЯКЛП)
(уметь привести пример)
замкнутая формула (уметь привести пример)
модель для замкнутой формулы (уметь
привести пример)
контрмодель для замкнутой формулы(уметь
привести пример)
 совместное множество формул (уметь
привести пример)



закон КЛП = закон логики в КЛП =
общезначимая формула
логическое противоречие в КЛП
логически недетерминированная формула в
КЛП
выполнимая формула в КЛП
Есть ли такой человек, что если он пьет, то все
пьют? Если да, то кто это и как он дожил до
такой жизни? Если нет, почему?
6
Понятие, определение






понятие
объем понятия
содержание понятия
сравнимые и несравнимые понятии (уметь
привести пример)
Операции:
-ограничения понятий;
- обобщения;
- деления.
Условия правильности деления понятий (в
каком случае деление осуществлено правильно –
перечислить по пунктам)






закон обратного отношения между объемом
и содержанием понятия (привести пример –
как этот закон работает для какого-нибудь
понятия)
операция определения
виды определения (назвать хотя бы 2)
ошибки в определении (перечислить 3
основных, если есть еще какие-то мысли пожалуйста)
обобщите и ограничьте понятие столичный
город
является ли правильным деление учащиеся
учебных заведений делятся на учащихся
средних учебных заведений, средних
специальных, высших, учащихся очной,
вечерней, заочной форм обучения, а также
бюджетников и платников. Ответ пояснить.
Как соотносятся объемы понятий:
(1) психолог, знающий английский или французский
языки; (или нестрогое) (2) психолог, знающий
английский и французский; (3) психолог, знающий
английский язык.
Законы
(А, В далее – любые формулы языков КЛВ и КЛП)
 AA (закон исключенного третьего)
 (A&A) (закон (не)противоречия)

(A&B)(B&A) (закон коммутативности &)
 (AB)(BA) (закон коммутативности )3
 (A&(B&C)) ((A&B)&C) (закон ассоциативности &)
 (A(BC)) ((AB)C) (закон ассоциативности )4
 (A&B)(AB) (закон де Моргана)
 (AB)(A&B) (закон де Моргана)
 (AB)(A&B) (закон отрицания импликации)
А, В – любые формулы языка КЛП, ,  - любая переменная
(x, y, z и т.д.).
 (A&B)(A&B)
(закон
общности через конъюнкцию)
3
4
эквиваленция () также коммутативна (перестановочна)
эквиваленция () также ассоциативна
7
пронесения
квантора
 (AB)(AB)
(закон
пронесения
квантора
существования через дизъюнкцию)
 (AB)
(AB)
(закон
пронесения
квантора
пронесения
квантора
общности через дизъюнкцию)
 (A&B)
(A&B)
(закон
существования через конъюнкцию)
 (A()A())
Условно-категорические схемы умозаключения :
AB, A⊨B (modus ponens)
AB, B⊨A (modus tollens)
Следующие условно-категорические схемы неправильны (и это
тоже надо знать!):
AB, В ⊨А
AB, А⊨В
Внимание!
Выше даны не конкретные формулы, а схемы формул.
Запись (A&B)(AB) предполагает, что вместо А и В можно
подставить любую формулу КЛВ и КЛП, тогда получим конкретный
вариант
закона
де
Моргана,
например,
(p&q)(pq),
((r&q)&p)((r&q)p) и т.п.
Для схемы закона (A()A()) ее конкретным вариантом
будет, например, формула x(P(x)yP(y)) (на лекции был именно
этот вариант).
На зачете можно записывать конкретные формулы: вместо А и В
ставить элементарные формулы КЛВ (т.е. переменные – p, q, r, s), а – для
законов логики предикатов – элементарные формулы КЛП с одноместным
предикатным символом, т.е. формулы вида Р(х), Q(y) и т.п.
8
3(б). Дополнительные вопросы к зачету по логике
(5-е зачетное задание) для ИТ
(задаются выборочно, можно сдать до зачета)
Дайте определения следующих понятий
Вводная тема «Предмет и основные понятия логики», логика высказываний





логика
предложение (как оно понимается в пройденном
курсе логики)
 истинностное значение
 рассуждение
 умозаключение
 объектный язык
 метаязык
 контрпример к схеме умозаключения
 синтаксис (= синтаксический аспект изучения
языка)
 семантика (= семантический аспект изучения
языка)
     Т – табличные определения этих
связок (а также какие выражения им
соответствуют в естественном языке)
 закон КЛВ = закон логики в КЛВ =
тождественно-истинная формула = общезначимая
формула
 логическое противоречие в КЛВ = тождественноложная формула
 логически недетерминированная формула в КЛВ
 выполнимая формула в КЛВ
 отношение логического следования в КЛВ
 другие логические отношения между
структурами высказываний:
- совместимость по истине;
- совместимость по ложности;
- эквивалентность;
- подчинение;
- независимость.










рефлексивное отношение (привести пример)
транзитивное отношение (привести пример)
свойство монотонности отношения
логического следования
свойство транзитивности отношения
логического следования
свойство рефлексивности отношения
логического следования
разрешимая теория
КЛВ разрешимая теория?
приведите пример логически истинного
предложения
приведите пример логически ложного
предложения
приведите
пример
логически
недетерминированного предложения
покажите
на
примере
конкретных
предложений,
что
импликация
не
коммутативна
если к неправильному умозаключению
добавить посылки, оно а) останется
неправильным; б) станет правильным; в)
может остаться неправильным и может
стать правильным? Ответ пояснить.
Какие среди следующих схем рассуждения
являются правильными, а какие нет?
AB, A⊨B
AB, B⊨A
AB, В ⊨А
AB, А⊨В
Логика предикатов










n-местный предикат (естественного языка)
(привести пример)
n-местный функтор (естественного языка)
(привести пример)
логическое имя (привести пример)
кванторные выражения
логические символы ЯКЛП=
нелогические символы ЯКЛП=
интерпретация сигнатуры (т.е. какого-то
списка нелогических констант ЯКЛП)
(уметь привести пример)
замкнутая формула (уметь привести пример)
условия истинности и ложности формулы с
кванторами








9
модель для замкнутой формулы (уметь
привести пример)
контрмодель для замкнутой формулы(уметь
привести пример)
совместное множество формул (уметь
привести пример)
закон КЛП = закон логики в КЛП =
общезначимая формула
логическое противоречие в КЛП
логически недетерминированная формула в
КЛП
выполнимая формула в КЛП
разрешимая теория, неразрешимая теория
определение равенства во второпорядковом
языке



Есть ли такой человек, что если он пьет, то
все пьют? Если да, то кто это и как он дожил
до такой жизни? Если нет, почему?
Предложение Все бессмертные люди
умеют летать истинно или ложно? А
Любое четное простое число, строго
большее 2, делится на 5?
КЛП разрешимая теория? Ответ, разумеется,
уметь пояснить.
Законы
(А, В далее – любые формулы языков КЛВ и КЛП)
 AA (закон исключенного третьего)
 (A&A) (закон (не)противоречия)

(A&B)(B&A) (закон коммутативности &)
 (AB)(BA) (закон коммутативности )5
 (A&(B&C)) ((A&B)&C) (закон ассоциативности &)
 (A(BC)) ((AB)C) (закон ассоциативности )6
 (A&B)(AB) (закон де Моргана)
 (AB)(A&B) (закон де Моргана)
 (AB)(A&B) (закон отрицания импликации)
А, В – любые формулы языка КЛП, ,  - любая переменная
(x, y, z и т.д.).
 (A&B)(A&B)
(закон
пронесения
квантора
общности через конъюнкцию)
 (AB)(AB)
(закон
пронесения
квантора
существования через дизъюнкцию)
 (AB)
(AB)
(закон
пронесения
квантора
пронесения
квантора
общности через дизъюнкцию)
 (A&B)
(A&B)
(закон
существования через конъюнкцию)
5
6
эквиваленция () также коммутативна (перестановочна)
эквиваленция () также ассоциативна
10
 (A()A()) (принцип пьяницы)
Условно-категорические схемы умозаключения :
AB, A⊨B (modus ponens)
AB, B⊨A (modus tollens)
Следующие условно-категорические схемы неправильны (и это
тоже надо знать!):
AB, В ⊨А
AB, А⊨В
Внимание!
Выше даны не конкретные формулы, а схемы формул.
Запись (A&B)(AB) предполагает, что вместо А и В можно
подставить любую формулу КЛВ и КЛП, тогда получим конкретный
вариант
закона
де
Моргана,
например,
(p&q)(pq),
((r&q)&p)((r&q)p) и т.п.
Для схемы закона (A()A()) ее конкретным вариантом
будет, например, формула x(P(x)yP(y)) (на лекции был именно
этот вариант).
На зачете можно записывать конкретные формулы: вместо А и В
ставить элементарные формулы КЛВ (т.е. переменные – p, q, r, s), а – для
законов логики предикатов – элементарные формулы КЛП с одноместным
предикатным символом, т.е. формулы вида Р(х), Q(y) и т.п.
11
4. Разбор решений типового зачетного
задания
Внимание! Ниже решения задач разбираются очень подробно с тем
расчетом, чтобы даже совсем не умеющий их решать студент получил
достаточно информации. На зачете не требуется так подробно
разбирать задачи; достаточно, например, построить таблицу и
составить ее анализ (как на семинаре или на лекции) и т.п. для других
заданий.
Разбор решения задачи 1
И ты, и я знаем японский язык
Сегодня тринадцатое число, и если сегодня пятница, то мне не
везет.
Если
сегодня тринадцатое число, то мне не везет, если
сегодня (к тому же) пятница.
Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в
этом материале и у меня будет свободное время.
p&q
p&(qr)
p(rq)
p((q&r)s)
Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.
pq
qp
pq
Я приду вовремя, если не попаду в пробку.
Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.
Для того, чтобы правильно перевести предложение на язык классической логики
высказываний, т.е. найти его структуру с точки зрения ЯКЛВ надо, во-первых, чтобы
результат вашего перевода был формулой ЯКЛВ; и уже во вторую очередь чтобы эта
формула действительно соответствовала структуре рассматриваемого предложения.
первое предложение задания " И ты, и я знаем японский язык "
(1) В состав этого предложения этого предложения входят два элементарных:
- "ты знаешь японский язык"
- "я знаю японский язык".
(2) Введем для них (какую-нибудь) символизацию:
- "ты знаешь японский язык" – p,
- "я знаю японский язык" – q.
(3) В предложении утверждается истинность обоих простых предложений, поэтому
его структурой является формула p&q.
Неверно было бы в качестве итоговой формулы выписать такую: &p&q. Эта запись
вообще не является формулой, и мы не сможем ее анализировать, не сможем с ней работать.
Хотя в русском языке, как и в некоторых других, допустима конструкция с двойным
"и": "И А.С.Пушкин, и М.Ю.Лермонтов знали французский" или с "ни": "Ни Чехия, ни
Словакия не являются монархиями."
То же самое относится к структурам типа «Или А, или В» («Либо А, либо В»).
Им соответствует формула АВ (АВ).
*
Условная связь: «если - то»
12
На зачете от вас помимо прочего требуется умение различать несколько видов условной
связи и правильно изображать их формульно.
Условная связь утверждает, что что-то из чего-то следует, что-то наступает при
определенных условиях (если…).
Не путайте два выражения следования в одну сторону:
(1) А, если В (=Если В, то А)
и
(2) А, только если В(=Только если В, верно А = Только когда В, (верно) А).
Это разные виды следования.
Структура А, если В (=Если В, то А) утверждает, что если верно В, также обязательно
верно А (или так: если имеет место В, также обязательно имеет место А), - В является условием
для А. Формульно это выражается так: условие записывается до знака импликации, а следствие
после: В  А. Вообще бессмысленна запись АВ, – это даже не формула.
Структура А, только если В(=Только если В,( верно) А) утверждает другое.
Сравните два предложения: "NN. придет, если его пригласят" и "NN. придет, только если его
пригласят". Первое говорит, что если вы пригласили NN., то можете быть спокойны: он придет.
Второе предложение утверждает: если вы увидели NN. у кого-то в гостях, значит его точно
пригласили, не сам притащился. "Только" поменяло условие и вывод импликации.
Таким образом, выражению А, только если В (или, что то же самое, только если В,( верно) А;
только когда В, А) соответствует формула АВ.
Многие студенты, увидев слово только в выражении вида А, только если В, сразу же
вводят эквиваленцию (). Это неверно.
Эквивалентность двух высказываний фиксируется выражениями если и только если
(е.т.е.), тогда и только тогда когда (т.т.т.), равносильно. Эквивалентность АВ
предполагает две импликации: АВ и ВА, т.е. «А эквивалентно В» означает, что из А следует
В и из В следует А, поэтому об эквиваленции говорят, что это следование в обе стороны. А
выражение «А, только если В» - в одну (А В).
Наконец, А, разве что В означает то же, что Если не В, то А.
*
Рассмотрим теперь следующие три предложения из зачетного задания.
Я приду вовремя, если не попаду в пробку.
простые предложения , входящие в состав предложения
Я приду вовремя.
Я попаду в пробку.
символизация
p
q
Заменив простые предложения параметрами, получаем структуру: р, если не q. Условие – q,
следствие – p.
Логические связки в данном предложении: "если то" () и отрицание ().
Структура предложения: qp.
Неверно в качестве результирующей формулы записать
рq. С учетом введенной
символизации она прочитывается так: «Если я приду вовремя, то не попаду в пробку»,
содержание исходного предложения иное.
13
Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.
простые предложения , входящие в состав предложения
Я приду вовремя.
Я попаду в пробку.
символизация
p
q
Заменив простые предложения параметрами, получаем структуру: р, только если не q.
"Только" меняет местами антецедент и консеквент импликации, поэтому
структура данного предложения: pq.
Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.
простые предложения , входящие в состав предложения
Я приду вовремя.
Я попаду в пробку.
символизация
p
q
Заменив простые предложения параметрами, получаем структуру: р, если и только не q.
"если и только если" – эквиваленция – .
Структура предложения: pq.
*
Рассмотрим следующие два предложения. Не забывайте о правильной расстановке
скобок в формуле, отображающей структуру данного предложения.
(1) Если сегодня тринадцатое число и пятница, то мне не везет.
(2) Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же) пятница, то
мне не везет.
В состав обоих предложений входят три простых:
1. «сегодня тринадцатое число»,
2. «сегодня пятница»,
3. «сегодня мне не везет».
Введем для них символику:

«сегодня тринадцатое число» – p,

«сегодня пятница» – q,

«сегодня мне не везет» – r.
Некоторые студенты определяют структуру предложений (1) и (2) так: p&qr.
Это неверно, т.к. запись p&qr не является формулой, поскольку она допускает
двоякое прочтение: либо (p&q)r, либо p&(qr).
Далее, предложениям (1) и (2) соответствуют разные формулы, т.к.
элементарные предложения p, q и r по-разному соединены в предложениях (1) и (2). В
самом деле, первое предложение говорит о том, что кому-то не везет (¬r) если в
наличии оказываются два условия: нынче 13-ое число и, кроме того, пятница (p&q).
О том, в какой день (в какое число) произносится данное предложение, мы – в первом
предложении – не знаем. Т.е. структура (1) имеет вид (p&q)⊃r.
Второе предложение сообщает, что оно формулируется 13-ого числа (p), и (&)
далее сообщает, что имеется условная связь: если этот день выпал на пятницу (q), то
кому-то (автору предложения) в этот день не повезет (¬r). Откуда получаем, что
структура предложения (2): p&(q⊃r).
14
*
Последнее предложение. Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в этом
материале и у меня будет свободное время.
простые предложения , входящие в состав предложения
символизация
Я опоздаю.
Я объясню тебе задание.
Я разберусь в этом материале.
У меня будет свободное время.
p
q
s
r
Заменив предложения параметрами, получаем Если не p, то q, если s и r.
Обратите внимание, что следствие в этом предложении стоит в середине: я объясню тебе это
задание
(q);
остальные
предложения
являются
условиями
наступления
ситуации
q.
Переформулируем структуру таким образом, чтобы следствие стояло в конце: Если не p, то
если s и r, тогда q.
Структура предложения: p((sr)q)
Расстановка скобок
(p(sr))q неверна!! (Если непонятно почему, прочитайте эту
структуру в соответствии с введенной символизацией. Получится так: "Я объясню тебе задание
(q), если из того, что я не опоздаю(p) следует (), что я разберусь в материале и у меня будет
свободное время". Как видите, на выходе получается предложение с другим (странным)
смыслом.)
Разбор решения задачи 2
Для решения задачи необходимо понимать значения символов: p, q, r, &,
, , а также какая запись является формулой. Так что если не понимаете,
разбирайтесь (по лекциям, учебнику или с помощью однокурсников).
*
В логической теории классическая логика высказываний (сокращенно КЛВ) все формулы – структуры предложений – разбиваются на три
непересекающихся класса:

логические законы (=тождественно-истинные формулы)

логические противоречия (=тождественно-ложные формулы)

логически недетерминированные формулы.
Решение задачи один предполагает ответ на вопрос, к какому из трех
перечисленных классов формул относится формула, данная в задании.
*
Напомним определения выше указанных типов формул.
15
Формула А есть закон КЛВ, или логический закон, е.т.е. она принимает
значение «истина», при любой оценке переменных, входящих в ее состав.
(Менее строго: логические законы – это такие структуры (предложений),
которые
могут
порождать
только
истинные
предложения;
ложных
предложений таких структур е существует.)
Формула А есть логическое противоречие, или тождественно-ложная,
е.т.е. она принимает значение «ложь», при любой оценке переменных,
входящих в ее состав. (Менее строго: логические противоречия – это
такие
структуры
ложные
(предложений),
предложения;
которые
истинные
могут
предложения
порождать
таких
только
структур
не
существуют.)
Формула А есть логически недетерминирована, е.т.е. существует оценка
переменных,
входящих
в
ее
состав,
при
которой
она
истинна,
и
существует оценка переменных, при которых она принимает значение
«ложь». (Менее строго: логически недетерминированные формулы – это
такие структуры (предложений), которым соответствуют как истинные
предложения естественного языка, так и ложные.)
Согласование
терминологии!
недетерминированной
учебнике
То,
формулой
В.А.Бочарова,
в
что
мы
называем
терминологии,
В.И.Маркина
«Основы
логически
принимаемой
логики»,
в
будет
выполнимой формулой, которая не является логическим законом.
*
Ниже задача решается табличным методом.
1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой
формулы: = 2 (p, q)
2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение
подформул данной формулы. В данной случае имеем:
2
1
6
3 5 4
(p & q)  (р & q),
т.е. сначала вычисляем значение (p&q), затем (p&q) и т.д.
Главный знак этой формулы (связка, которая вводилась последней при
построении данной формулы) – эквиваленция (). Важно понимать, где
главный знак формулы, т.к. ее логический статус будем определять,
рассматривая столбец именно под главным знаком формулы (итоговый
столбец).
16
3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если
формула содержит n различных переменных, то количество строк в
таблице для данной формулы = 2n. (Таким образом, если в состав
формулы входят 2 различных переменных, то число строк в таблице
истинности для такой формулы = 22=4; если в состав формулы входят 3
различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой
формулы
=
23=8; если
в
состав
формулы
входят
4
различных
переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы =
24=16 и т.д.) В нашем случае в таблице будет 4 строки.
4. Строим таблицу.
Порядок
2
1
6
3
5
4
вычисления
действий 
p q
 (p&q)  (p & q)
1
и и
л
и
и л
л
л
2
и л
и
л
л л
л
и
3
л и
и
л
л и
л
л
4
л л
и
л
и и
и
и
функции
оценок перемен
ных
pиq 
(Если на зачете преподаватель спросит вас, что понимается под функцией
оценки 1, отвечайте бодро и четко: «1 есть предположение о значениях
переменных р и q, а именно: что и р и q – истинны». Аналогично,
например, для последней строчки, где под р и q стоит «л» - это означает
предположение, что оба предложения (точнее, формулы) – ложны.)
Для того, чтобы заполнить столбцы под логическими знаками, надо знать
определения соответствующих знаков.
Например, & определяется так:
17
А & B
и
и
и
и
л
л
л
л
и
л
л
л
Из таблицы видно, что формула вида А&В истинна только в том случае,
если и слева, и справа от конъюнкции (&) формулы оценены как
истинные. Это и воспроизведено в таблице для нашей формулы – под
знаком &.
Далее мы вычислили значение формулы (p & q). Отрицание меняет
значение
формулы
на
противоположное:
 А
л
и
и
л
Значение столбца под первым отрицанием (2) вычисляем по значению
столбца под первой конъюнкцией (1).
Значение столбца под р вычисляем по столбцу под р. Например, если р –
«и» при первой оценке (1), тогда р при этой же оценке (т.е. в первой
строке) принимает значение «л» и т.д.
Значение столбца под q вычисляем по столбцу под q.
Значение столбца под второй конъюнкцией & - в формуле (р&q)
вычисляем по столбцам под р и под q.
Значение столбца под эквиваленцией () вычисляем по столбцам под
первым отрицанием (второе действие конъюнкцией - (р
(p
& q) и под
& q) (пятое действие).
Эквиваленцию вычисляем по следующему определению:
А  B
и
и и
и
л л
л
л и
л
и л
18
второй
Проанализируем теперь построенную для формулы (p&q)(р &q)
таблицу истинности.
Под главным знаком формулы -  - иногда стоит истинна («и»), а иногда
ложь
(«л»),
значит
логический
статус
этой
формулы:
логически
недетерминированная.
Более
культурный анализ
таблицы
звучит
так.
Существует оценка
переменных p и q (например, 1), при которой формула принимает
значение «и» и существует оценка этих переменных (например, 3), при
которой
формула
принимает
значение
«л».
Следовательно,
данная
формула логически недетерминирована.
Разбор решения задачи 3
Решение разбивается на 2 этапа:
(А) находим структуру данного умозаключения;
(В) строим совместную таблицу истинности для полученной схемы
умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с
ней и исходное рассуждение – логически корректной.
(А)
определение
структуры
умозаключения
(с
точки
зрения
КЛВ)
разбивается на следующие этапы:
1. определяем, где в данном рассуждении посылки и где заключение;
2. определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний
входит в состав данного умозаключения (высказывание простое,
если в его составе нет пропозициональных связок – отрицания,
конъюнкции («и», «а», «но»), дизъюнкции («или») и т.д. );
3. вводим символизацию для каждого из выделенных в 2 простых
предложений:
каждое
предложение
заменяем
какой-то
пропозициональной переменной (p, q, r, s);
4. находим структуру каждой посылки и структуру заключения с
учетом введенной в пункте 3 символизации;
5. представляем структуру умозаключения стандартным образом:
посылки записываем через запятую затем ставим знак шага вывода
(отношения логического следования) - ⊨ и после него записываем
формулу, соответствующую структуре заключения.
А. 1. Найдем посылки и заключение данного рассуждения.
В нем, между прочим,
вывод предшествует посылкам (допущениям), а
именно: вывод этого умозаключения: «Я дурак», после этого в тексте идет
19
обоснование этого утверждения («а вот когда я догадался»), т.е. вводятся
посылки.
Если
терминологию
забыть
о
посылок
всех
и
красотах
заключения,
стиля,
то,
унифицируя
получаем
следующее
умозаключение:
Я скучен и легкомыслен. (1-ая посылка)
Если я умен и скучен, я не легкомыслен. (2-ая посылка)
Если я легкомыслен и умен, я не скучен. (3-я посылка)
Следовательно, (шаг вывода)
я не умен [=я дурак] (заключение, вывод).
2. Определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний
входит в состав данного умозаключения. В данном случае имеем:
1.
я скучен;
2.
я легкомыслен;
3.
я умен.
3.
Введем
(какую-нибудь)
символизацию
этих
простых
предложений.7 Например, такую:
1.
я скучен – p;
2.
я легкомыслен – q;
3.
я умен – r.
4. Находим структуру каждой посылки и структуру заключения с учетом
введенной в пункте 3 символизации.
1-ая посылка: «Я скучен и легкомыслен».
Соединительному союзу русского языка «и» соответствует конъюнкция
КЛВ - &. Поэтому
структура первой посылки: p&q.
2-ая посылка: «Если я умен и скучен, я не легкомыслен».
Во второй посылке опять присутствует конъюнкция, отрицание «не» (),
а также условный способ связи: «если… то», которому в языке нашей
теории соответствует связка импликация - , поэтому
структура второй посылки: (r&p)q.
Обратите внимание: предложение, которое стоит между словами «если…
то», ставится перед импликацией, предложение, которое стоит после «то»,
ставится после импликации. Неверно (как это часто делают) передавать
«какую-нибудь», но не «какую угодно»: предложения заменяем (какими-нибудь) простейшими формулами языка
КЛВ, т.е. пропозициональными переменными (p, q, r, p1, q1, r1, p2 и т.д.), естественно, соблюдая правило: разные
предложения заменяем разными символами.
7
20
структуру второй посылки так: (r&p) q, или (p&q)q , - это вообще
не формулы, т.е. это неосмысленные записи.
Третья посылка:
«Если я легкомыслен и умен, я не скучен».
Структура третьей посылки: (q&r)p.
Заключение: «Я не умен».
Cтуктура заключения: r.
5. Представляем структуру умозаключения стандартным образом:
p&q, (r&p)q, (q&r)p ⊨r.
(В) Строим совместную таблицу истинности для полученной схемы
умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с
ней и исходное рассуждение – логически корректной.
Построение совместной таблицы истинности для нескольких формул
аналогично
построению
таблицы
истинности
Принципиальная разница заключается
для
одной
формулы.
в анализе этих таблиц, что
определяется разницей в задачах: ради ответа на какой вопрос строим
таблицы.
1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой
схемы умозаключения: = 3 (p, q, r)
2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение
подформул каждой формулы. В данной случае имеем (значения для
каждой формулы вычисляем независимо, т.е. в принципе неважно с какой
из этих четырех формул начинать работать):
1
3 2
1
3 4
p&q, (r&p)  q, (q&r) p ⊨r.
Над формулами p&q и r не стоит нумерация, поскольку в них надо
вычислить только дно действие.
Важно понимать, где главный знак каждой формулы, т.к. наличие
отношения логического следования будем определять, рассматривая
столбцы именно под главными знаками формул (итоговыми столбцами).
3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если
формула содержит n различных переменных, то количество строк в
таблице для данной формулы = 2n. (Таким образом, если в состав
формулы входят 2 различных переменных, то число строк в таблице
21
истинности для такой формулы = 22=4; если в состав формулы входят 3
различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой
формулы
=
23=8; если
в
состав
формулы
входят
4
различных
переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы =
24=16 и т.д.) В нашем случае в таблице будет 23=8 строк.
4. Строим таблицу.
Последовательность
1
3
2
1
3
2
вычислений для
составных формул
(r&p)  q
(q&r)  p ⊨ r
и
и
л л
и
л л
и и л
и
л
и
л
л
и
3
и л и
л
и
и и
л
и л
л
4
и л л
л
л
и и
л
и л
и
5
л и и
л
л
и л
и
и и
л
6
л и л
л
л
и л
л
и и
и
7
л л и
л
л
и и
л
и и
л
8
л л л
л
л
и и
л
и и
и
Функции
p q r
p&q
1
и и и
2
оценки
переменных
л
л
+
и
5. Таблица построена. Проанализируем ее. Нас интересуют только одно:
допускает ли данная структура рассуждения логически неприемлемый
переход от всех истинных посылок к ложному заключению или нет. Для
этого
рассматриваем столбцы под главными знаками формул (эти
столбцы набраны жирным шрифтом). Смотрим, есть ли «плохая» строка
(оценка переменных p, q, r), в которой все посылки истинны, а
заключение ложно (и и и л), - если такая «плохая» строка (оценка) есть,
то схема рассуждения логически некорректна, если такой плохой
строки нет, то схема рассуждения логически правильна.
Рассмотрим первую строку таблицы – оценку 1. В ней первая посылка
истинна, но вторая – ложна (см. столбец под импликацией), значит первая
оценка уже не есть интересующий нас случай: (и и и л), где первые три
«и» - значения посылок, а «л» - значение заключения. Если бы в схеме
22
умозаключения было 4 посылки, то интересующий нас случай был бы (и
и и и л), первые четыре «и» - оценки посылок, а последнее «л» - значение
заключения.
При оценке 2 все посылки истинны. Заключение тоже истинно.
Значит все нормально.
При всех других оценках первая посылка принимает значение «л» и,
значит, «плохой» случай при этих оценках заведомо не реализуется
(например, при 3 распределение зачений посылок и заключения такое: (л
и и л), - повторю – единственный логически неприемлемый случай есть
распределение значений (и и и л)).
Таким образом, совместная таблица показывает, что не существует такой
оценки переменных p, q, r, при которой все посылки истинны, а
заключение ложно.
Следовательно, данная схема умозаключения логически корректна, а
вместе с ней и исходное рассуждение, по которому была получена эта
схема.
Разбор решения задачи 4
Формулы 2, 4, 5 – законы КЛП. Это просто нужно знать (и поэтому не
тратить по полчаса на то, чтобы из списка неправильно отобрать законы
логики, вызубрите пять формул и опознайте их, и все) (см. список пяти
законов КЛП, которые нужно знать).
Формула 6 – логическое противоречие, т.к. она имеет вид А&A
(убедитесь),
а
любая
противоречием
формула
(по-другому,
такого
вида
является
тождественно-ложной
логическим
формулой)
классической логики высказываний (это нужно знать) и, как следствие,
классической логики предикатов (это тоже нужно знать).
Остальные формулы – логически недетерминированные. Это нужно
показать, подобрав для них модель и контрмодель, или, по-простому,
подобрав предложения русского языка этих структур такие, что одно из
них будет истинным, а второе – ложным.
Формула 1. x у(Q (x, а) & Q(y, а))
Читается так: существуют такие объекты x и y, что они оба находятся в
отношении
Q
с
(фиксированным,
конкретным)
объектом
предполагается, что х и у – обязательно разные объекты.)
23
а.
(Не
Покажем, что данной структуре может соответствовать как истинное, так
и ложное предложение.
Нам нужно уточнить, как мы понимаем значение нелогических констант,
входящих в состав этой формулы, т.е. уточнить значение символов Q и а
(значение квантора существования () и конъюнкции (&) всегда одно и то
же).
Пусть мы рассуждаем о натуральных числах (т.е. об объектах множества
N={0, 1, 2,…}) и пусть Q есть отношение , а символ а означает число 1.
Тогда в этой интерпретации8 - обозначим ее I1 - формуле 1 соответствует
предложение: «Существуют натуральные числа, которые строго больше
1», что, естественно, истинно и, значит, модель для формулы построена.
(Модель для формулы без свободных переменных А – интерпретация, в
которой эта формула истинна.)
Построим контрмодель. (Контрмодель для формулы А без свободных
переменных – интерпретация, в которой эта формула ложна.)
Ею будет (например) такая интерпретация I2:
U - N={0, 1, 2,…}
|Q|I2 = отношение строго меньше ()
|a| I2 = 0
Тогда формула 1 прочитывается в I2 так:
«x у(xа & yа)», т.е. «Существуют натуральные числа х и у, которые
строго меньше нуля», что ложно.
Таким образом,
|x у(Q (x, а) & Q(y, а))| I1= истинно,
|x у(Q (x, а) & Q(y, а))| I2 = ложно.9
Тем
самым
мы
показали,
что
формула
1
является
логически
недетерминированной (т.е. данной структуре могут соответствовать как
истинные, так и ложные предложения, в отличие от логических законов,
которые порождают только истинные предложения, и от логических
противоречий, которые способны породить только ложные предложения).
Формула 3. (x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
Интерпретация I – это пара объектов (U, | |), где U – множество объектов рассмотрения (единственное требование,
к нему предъявляемое: U не должно быть пусто), знак модуля – функция приписывания значений нелогическим
константам, т.е. символ в знаке модуля означает, как мы понимаем этот символ, скажем, |с| указывает какой объект
из U понимается под символом с, а |Р1| - какое свойство объектов из U приписывается символу Р.
9
Запись |A|I означает «значение формулы А в интерпретации I».
8
24
Моделью для (x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x)) будет, например, такая
интерпретация:
U – люди
|Q|I3 = «быть смертным»
|Р| I3 = «уметь летать».
Убедимся, что в этой интерпретации формула 3 истинна.
Левая часть эквиваленции прочитывается: «Для всякого человека верно,
что он смертен или умеет летать», это означает, что какого бы человека
мы не взяли, по крайней мере одно из указанных условий для него всегда
выполнено, что верно, поскольку для любого человека выполнена первая
альтернатива. Значит, левая часть эквиваленции истинна.
Рассмотрим правую часть эквиваленции: «Все люди смертны или все
люди умеют летать». (Жаль, если вы сходу скажете, что это ложь.) В
данном предложении связаны с помощью «или» два предложения:
истинное («Все люди смертны») и ложное («Все люди умеют летать»).
Когда истинное и ложное предложения связываются с помощью «или»
результирующее составное предложение истинно. (Вспомните табличное
определение дизъюнкции.)
Таким
образом,
слева
и
справа
от
эквиваленции
стоят
истинные
высказывания и, значит, вся эквиваленция истинна. (См. табличное
определение эквиваленции.)
Контрмоделью для формулы 3 будет, например, такая интерпретация:
U - N={0, 1, 2,…}
|Q|I4 = четное число (свойство «быть четным числом»)
|Р| I4 = нечетное число (свойство «быть нечетным числом»).
Тогда формуле 3 в I4 соответствует ложное предложение «Всякое
натуральное число является четным или нечетным в том и только в том
случае, если всякое натуральное число четное или всякое натуральное
число нечетное». (Левая часть эквиваленции истинна, правая – ложна,
поэтому вся эквиваленция ложна.)
25
5. Типичные ошибки
К 1-му заданию
Резюмируем наиболее часто встречающиеся ошибки при определении
структуры высказываний
Криминал
«вообще не формула»
Правильный вариант
И А, и В
Неправильный
вариант(ы), вообще не
формула
&A&B
Или А, или В
АВ
АВ
Если А, то В
 (АВ);  АВ;  (АВ)
АВ
Тип структуры
A&B
Для сравнения представьте, что вам предложили поработать со следующими записями: (х+2)у=+ или 6у=12. Вы поймете, что кто-то совсем плохой, поскольку эти записи вообще не
имеют смысла, они не являются правильно построенными арифметическими выражениями. Ну,
так не будьте такими же «совсем плохими» на зачете по логике.
Ошибка: формула, но «не та»
Тип структуры
Неправильный вариант
Правильный вариант
А, если В
АВ
ВА
А, только если В
АВ
АВ
А, только если В
ВА
АВ
Другие примеры
Тип структуры
Примеры неправильных
вариантов
Правильный вариант
А или D, если В и С
(А  D)  (В&С)
(В&С)  (А D)
А или D, если В и С, но в
((А  D)  (В&С))&Е
((В&С)  (А D))&Е
любом случае верно Е.
А1 и А2 и А3, если В1или В2,
(А1&А2&А3)((В1 В2)&С); ((В1В2)& С)(А1&А2&А3)
26
разве что С.
(А1&А2&А3&C)(В1 В2);
(В1В2)(А1&А2&А3&C);
(В1В2&С)(А1&А2&А3) (не
хватает скобок в
подчеркнутой части);
((В1В2)&С)(А1&А2&А3)
А или D, только если В и С
(В&С)  (А D)
(А  D)  (В&С)
Если А, то В и С, если Е.
А  ((В&С)  Е);
А  (Е  (В&С))
(А &В&С)  Е
(А  Е)  (В&С)
Если А, то В, но не С, если
А  ((В&С) (D Е));
D или Е.
(А&В&С) (D Е)
А  (( D Е)  (В&С))
Ко 2-му и 3-му заданию
1. Ошибки в терминологии, криминал:
Студенты любят говорить о посылках в формулах вида А&В, AvB, ¬A, A≡B. В
формулах такого вида нет посылок (гипотез, допущений). В них ничего не допускается,
не рассматривается на правах гипотез. О посылках можно говорить, только если
формула имеет вид А⊃В (т.е. главный знак в формуле – импликация), либо если мы
имеем дело не с отдельной формулой, а со схемой рассуждения. В последнем случае
посылки записываются через запятую до знака следования (шага вывода) – |=.
Поэтому, в таких, например, формулах, как p&r, rvs, ((p&r)⊃q)&(rvs), – нет посылок.
2. При определении структуры рассуждения студенты неправильно
соединяют посылки и заключение.
Пример. Рассмотрим рассуждение: «Если сегодня холодно, я останусь дома.
Если я останусь дома, буду валять дурака. Не валяю. Значит, не холодно.»
В этом рассуждении три посылки (заключение всегда одно).
Структура посылок:

p⊃q

q⊃r

r
27
Структура заключения:

¬р
Все что нужно теперь, чтобы выразить структуру этого рассуждения в языке
логики высказываний, это записать посылки через запятую и соединить их с
заключением знаком следования (|=). Получаем следующую запись:
p⊃q, q⊃r, ¬r |= ¬р.
Вроде бы проще пареной репы. Тем не менее многие студенты в качестве
результирующей схемы рассуждения умудряются представить, например, такую
запись: p⊃q, q⊃r, ¬r ⊃ ¬р. Но эта запись есть просто запись через запятую трех
формул, она не моделирует никакое рассуждение. Формула
¬р относится – в
данной записи – только к одной формуле: ¬r ( "если ¬r, то ¬р ": ¬r ⊃ ¬р), а нужно
чтобы запись показывала, что ¬р следует из трех формул (ну, три же посылки в
исходном рассуждении).
Еще непонятнее (встречавшаяся на зачете) запись: p⊃q, q⊃r, ¬r ≡ ¬р (а где шаг
вывода? Почему последняя посылка соединена с заключением эквивалентностью??).
3. Не путайте два различных типа выражений: формулы и схемы
рассуждений! С этим связано неразличение двух разных типов задач (криминал!).
1-й тип задач: установить логический статус формулы (тождественноистинная, тождественно-ложная она или логически недетерминированная).
2-й тип задач: определить, есть ли между формулами отношение логического
следования (эта задача является частным случаем другой: установить, какие
логические отношения имеют место между данными формулами).
Пример 1. Установить логический статус формулы (p&r)≡(r&p), (тождественноистинная, тождественно-ложная или логически недетерминированная).
Криминал:
Допустим, вы правильно построили таблицу истинности для этой формулы и, значит,
под главным знаком формулы (≡) расположен столбец, состоящий из четырех
одинаковых значений – «истинно». Не надо победно заявлять, что все посылки в этой
формуле истинны (и не победно тоже) или что формула истинна при всех посылках. В
этой формуле вообще нет посылок. Эта формула принимает значение «истинно» при
любой оценке переменных p и r (и поэтому является тождественно-истинной формулой),
28
но оценки («истинно», «ложно») и посылки – это совершенно разные вещи! Оценки не
могут быть посылками и наоборот. Что касается переменных р и r, то они могут
выступать в роли посылок (например, в записи такой схемы рассуждения: p, qv¬r, r, p⊃s
|= s&q), но в данном случае они ими не являются.
Еще один – любимый студентами – пример бессмыслицы при анализе таблицы
истинности формулы: «формула истинна при всех переменных», – разумеется, формула
истинна не «при переменных», а при каких-то значениях переменных (или по-другому –
оценках, интерпретациях переменных).
К 3-му заданию
Определить, является ли следующая схема рассуждения логически корректной:
(qv¬r)vp, r, ¬p |= q (с точки зрения КЛВ).
Допустим, вы решаете этот вопрос табличным методом и, допустим, что вы правильно
построили соответствующую таблицу истинности. В таком случае в вашей таблице не
будет оценки переменных p, q и r, при которой все посылки ((qv¬r)vp, r, ¬p) истинны, а
заключение (q) ложно и, значит, схема рассуждения логически корректна, между
посылками и заключением имеет место отношение логического следования.
Как показывает история сдачи зачета по логике, студенты проявляют большую фантазию
по части анализа таблицы истинности для схемы рассуждения. Вот несколько таких
образчиков:
КРИМИНАЛ:
«схема рассуждения логически противоречива» – схема рассуждения не может быть
ни логически противоречивой, ни тождественно-ложной, ни тождественно-истинной,
ни логическим законом, ни логически недетерминированной – все эти понятия относятся
к характеристикам ровно одной формулы, а не схемы рассуждения;
«схема рассуждения правильная, потому что при всех логических выражениях она
истинна» – во-первых, рассуждения характеризуются не как истинные или ложные (это
характеризация предложений), а как правильные или неправильные; во-вторых,
словосочетание «логические выражения» в данном случае бессмысленно (при каких это
«логических выражениях» что-то может быть истинным или ложным???);
«схема рассуждения правильная, потому что существует оценка, при которой все
посылки истинны и заключение тоже истинно» – в отличие от двух предыдущих
примеров, это выражение осмысленно, но тем не менее, ложно: в теории КЛВ
29
недостаточно найти строчку в таблице, где все посылки истинны и заключение тоже
истинно, для того, чтобы сделать вывод, что с логикой в схеме рассуждения все в
порядке. Ведь наличие такой строки не исключает наличия другой, в которой все
посылки истинны, а заключение ложно (именно такая строка в таблице показывает, что
схема рассуждения логически некорректна). В КЛВ схема рассуждения логически
корректна, е.т.е. не существует оценки переменных, при которой все посылки истинны,
а заключение ложно.
К 4-му заданию
Значения термов и формул в интерпретациях
Пример
1
Показать,
что
данная
языковая
структура
логически
непротиворечива, подобрав для нее модель т.е. интерпретацию, в которой она
истинна10.
Формула 1: ∀х(Р(х)⊃Q(x))&∃x(P(x)&¬Q(x)
Ответ: у этой формулы вообще нет моделей, т.к. она как именно логически
противоречива (вдумайтесь в то, что она утверждает).
Формула 2: ∃х(Р(х)&R(х,а)).
Смысл этого выражения: имеется объект, обладающий свойством Р и
находящийся в отношении R с фиксированным объектом а.
Задание интерпретации для формулы осуществляется в 2 шага.
1.
Определяем область рассуждения (множество объектов, универсум).
2.
Задаем значения нелогических терминов, входящих в состав
формулы.
В нашем случае дополнительно требуется, чтобы получившееся утверждение
относительно объектов из области рассуждения оказалось истинным.
С выбором области рассуждения проблем нет: в принципе, это может быть
любое
(непустое!)
множество
объектов
(натуральных
чисел,
целых
чисел,
рациональных, множество людей, студентов, городов и т.д.)11.
Иногда студенты переформулируют для себя это задание так: найти истинное предложение
русского языка, которое имеет такую структуру. Ну что ж, можно и так.
11
Есть логические теории, которые не требуют, чтобы область интерпретации была обязательно
непустой, но в изучаемой нами теории – классической логике предикатов – выполнение этого
требования обязательно.
10
30
Ошибки
начинаются,
когда
студенты
пытаются
приписать
значения
нелогическим символам, входящим в состав формулы. Особо одаренные не
понимают различения выражений на логические и нелогические, и пытаются придать
смысл в рамках конкретной интерпретации, например, кванторному выражению (∃х),
в то время как его смысл одинаков во всех возможных интерпретациях и фиксируется
независимо от задания конкретной интерпретации. Логические выражения ЛП1=:
кванторы и пропозициональные связки (∃, ∀, ¬, &, v, ⊃, ≡, ⊥, Т, =), нелогические:
индивидные константы (a, b, c, a1, b1…), предикатные константы (Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1,
Qn1…) и функторные константы (fn, gn, hn, fn1, gn1…) (n≥1), а также индивидные
переменные (x, y, z, x1, y1…); скобки относятся к техническим символам.
Наиболее типичная ошибка:
 Нельзя
(в логике предикатов первого порядка) индивидным константам
приписывать в качестве значений класс объектов, так же как и индивидным
переменным. Индивидным константам и (свободным) переменным сопоставляются
объекты из универсума. Значение индивидных констант фиксировано и в конкретной
интерпретации не может меняться, значение индивидных переменных варьируется
внутри
интерпретации,
а
именно:
рассматриваются
всевозможные
функции
приписывания значений переменным (еще раз: эти значения выбираем из универсума
рассуждения интерпретации). Поэтому нельзя, например, ни символам х, у, z, ни a, b,
c сопоставлять (в соответствующих универсумах) значения «студент», «учитель»,
«четное число», «голубоглазый» и т.п.
КРИМИНАЛ
Ошибочно записать, например,
|x|I = студент,
|у|I = голубоглазый.
х, у – (какие-то) объекты из U (а выражение
студент, с точки зрения логики предикатов,
задает класс объектов, именно – студентов,
аналогично с голубоглазым).
Возвращаемся к формуле ∃х(Р(х)&R(х,а)).
31
Допустим, вы выбрали в качестве носителя интерпретации множество
натуральных чисел (U={0,1,2,…}). Тогда вы обязаны:

символу
«а»
сопоставить
конкретный
объект
из
области
интерпретации, т.е. конкретное натуральное число;

символу «Р» – одноместный предикат на множестве натуральных
чисел (т.е. какое-то свойство натуральных чисел);

символу «R» – двухместное отношение на множестве натуральных
чисел.
Все переменные формулы – объекты из U, т.е. (какие-то) натуральные числа.
Допустим, вы выбрали такую интерпретацию I:

|a|I = 0,

|P|I =свойство «быть четным»,

|R|I = отношение «<».
Тогда в выбранной вами интерпретации предложенная формула означает
«Существует четное число, которое строго меньше 0», что неверно. Стало быть,
интерпретацию вы построили, но не ту, которую требовалось, не модель. Дело,
конечно, легко поправимо. Достаточно изменить значение
«а». Например,
рассмотрим I*:
|a|I* = 1
|P|I* =свойство «быть четным»
|R|I* = отношение «<»
В новой интерпретации смысл формулы таков: «Существует четное число,
которое строго меньше 1», что истинно. (Это 0).
Формула3.
∃x∃y∃z(P(x)&P(y)&P(z)&¬R(x,y)&¬R(z,x))v∀z(P(z)⊃(Q(z)vR(a,z))vR(a,а)
В силу ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции несколько скобок
опущены.
Все не так страшно, как может показаться. Формула представляет собой
дизъюнкцию трех формул. Некоторые студенты стараются подобрать модель, где
истинными будут все три дизъюнкта. Между тем это совсем необязательно. Чтобы
нестрогая дизъюнкция оказалась истинной, достаточно, чтобы истинным был хотя бы
один
дизъюнкт
(в
нашем
случае
32
–
одна
из
трех
формул:
∃x∃y∃z(P(x)&P(y)&P(z)&¬R(x,y)&¬R(z,x)), или ∀z(P(z)⊃(Q(z)vR(a,z)), или R(a,а)) –
вспомните
табличное
определение
дизъюнкции.
Значит,
если
мы
найдем
интерпретацию, в которой формула R(a,a) будет истинна, то в этой же интерпретации
будет истинна и вся формула 3. Пойдем по этому пути.
Выберем в качестве носителя интерпретации множество людей (когда-либо
живших).
Тогда (предметной) константе «а» надо сопоставить (логическое имя)
конкретного человека, (предикатной) константе R – двухместное отношение между
людьми, (предикатной) константе Р – свойство, определенное на людях.; причем в
результате должно получиться истинное предложение (по требованию задачи)
Предикат R проинтерпретируем как «быть современником». Поскольку
каждый человек сам себе современник, то в качестве значения константе «а» можно
сопоставить (логическое имя) любого человека и формула R(a,а) превратится в
истинное высказывание в нашей интерпретации (чтобы в ней не означал предикат Р).
Таким образом, моделью для формулы R(a,а), а значит и для всей формулы 3 будет,
например, такая интерпретация I:
U= множество людей (когда-либо живших).
|a|I = Гай Юлий Цезарь
|P|I =свойство «быть сангвиником»
|R|I = отношение «быть современником».
Пример 2 Показать, что данная языковая структура логически необщезначима,
подобрав для нее контрмодель (т.е. интерпретацию, в которой она ложна).
Формула 1. ∀x∀y(x≠y⊃P(x,y)).
Смысл формулы – для любых объектов х и у: если эти объекты различны, то
они находятся в отношении Р.
Поскольку все вхождения переменных х и у в этой формуле связанные, им
нельзя приписывать каких-либо значений в рамках уже заданной интерпретации.
Надо только выбрать область интерпретации и задать на ней двухместный предикат
Р, так, чтобы формула превратилась в ложное высказывание. Сойдет, например,
такая:
U= множество людей (когда-либо живших).
|R| = отношение «быть современником».
В этой интерпретации исходная формула ложна, что и требовалось.
33
Формула 2. ∀х∃уР(х,у)⊃∃у∀хР(х,у)
Контрмоделью для формулы 2 будет такая интерпретация, в которой
антецедент импликации (∀х∃уР(х,у)) истинен, а консеквент (∃у∀хР(х,у)) ложен
(вспомните табличное определение импликации).
Следующие интерпретации не являются контрмоделью для формулы 2.
(1) U = множество натуральных чисел (U={0,1,2,…}).
|Р| = «быть четным числом».
Ошибка: в нашей формуле Р – двухместный предикат, а «четное число» –
одноместный.
(2) U = множество натуральных чисел (U=N={0,1,2,…}).
|Р| = отношение «>».
Ошибка. Прочтем антецедент нашей формулы в данной интерпретации: «Для
всякого натурального числа х найдется натуральное число у, такое что х>у», т.е.
всякое (натуральное) число (строго) больше какого-нибудь, что неверно: для нуля в N
не существует числа, которого он больше. Значит, антецедент импликации ложен. В
таком случае вся импликация истинна (см. таблицу истинности для импликации).
Значит, интерпретация (2) показывает, что формула 2 – не является логически
непротиворечивой, а нам нужно по заданию другое: показать, что она логически
необщезначима (= не является логическим законом).
Подойдет интерпретация из предыдущего примера:
U= множество людей (когда-либо живших).
|R| = отношение «быть современником».
В этой интерпретации:

антецедент импликации (∀х∃уР(х,у)) означает «У всякого человека
есть современник», что истинно;

консеквент импликации (∃у∀хР(х,у)) означает: «Существует человек,
которому всякий человек - современник», что ложно.
Значит вся импликация ложна в данной интерпретации, и, значит, она
(интерпретация) является контрмоделью для формулы 2, что и требовалось.
К 7-му заданию ИТ
34
Перевод выражений естественного языка на ЯЛП
Как и в логике высказываний, для того, чтобы правильно перевести
предложение на язык классической логики предикатов, т.е. найти его структуру с
точки зрения ЯКЛП надо,
во-первых,
чтобы результат вашего перевода был
формулой ЯКЛП; и уже во вторую очередь
чтобы эта формула действительно
соответствовала структуре рассматриваемого предложения.
Необходимо соблюдать следующие правила (список не полон, указаны
основные правила):
(1) В правильно построенной формуле (и ЯЛВ, и ЯЛП) число левых
(открывающихся) скобок всегда равно числу правых (закрывающихся) скобок.
(2) После квантора должна сразу идти переменная: ∃х, ∃у, ∀z и т.д.
Таким образом, нельзя (криминал!), например, сразу после знака квантора
ставить индивидную константу: ∃а, ∀с и т.д.; также в первопорядковой логике
предикатов (которую вы и изучаете) нельзя (криминал!) сразу после знака
квантора ставить предикаторный знак: ∃Р, ∀Q и т.д.
(3) При
переводе
предложений
естественного
языка
на
ЯЛП
результирующая формула должна оказаться замкнутой (т.е. не содержать
свободных вхождений переменных).
(4) При переводе предложений естественного языка, содержащих
выражения количества («все», «некоторые» и синонимичные им), на ЯЛП надо
обращать внимание на область действия кванторов.
Пример 1 Пусть надо найти структуру следующего предложения с точки
зрения ЯЛП: «Некоторые студенты любознательны».
В предложении имеются два одноместных предиката:

«студент»

«любознательный»
Введем символизацию:

«студент» – Р(…)

«любознательный» – Q(…).
Неправильные варианты перевода:
(a) ∃хP&Q
35
Это криминальная
запись: она вообще не является формулой: после
предикатных знаков не указаны объекты (термы), к которым они относятся.
(b) ∃хP(x)&Q(x)
Формула (b) говорит, что существуют объекты (по меньшей мере один такой
объект существует), обладающие свойством Р, и на этом рассказ об этих объектах
заканчивается, далее идет выражение «обладать свойством Q», причем неизвестно,
есть ли вообще объекты, обладающие этим свойством (переменная х в Q(x) – не
связана никаким квантором). Чтобы показать, что существуют объекты, обладающие
одновременно и свойством Р, и Q, нужно после квантора ∃х поставить следующее
выражение в скобках (P(x)&Q(x)). Тогда результирующая формула прочитывается
так: «Имеется объект – далее открывается скобка и начинается рассказ об этом
объекте, – который обладает свойствами Р и Q». Здесь первая скобка формулы
закрывается и завершается рассказ об этом объекте х.
(c) ∃хP(x) &∃хQ(x)
Формула (c) прочитывается: существует объект, обладающий свойством Р и
еще существует (возможно, другой) объект, обладающий свойством Q. Понятно, что
смысл исходного предложения (примера 1) иной.
Правильный вариант перевода: ∃х(P(x)&Q(x)).
Пример 2. Пусть надо найти структуру следующего предложения с точки
зрения ЯЛП: «Некоторые студенты знают английский язык, некоторые – нет».
В предложении имеются два одноместных предиката:
«студент»,
«знать английский»12.
Введем символизацию:

«студент» – Р (…),

«знать английский» – Q (…).
Неправильный вариант перевода:
(a) ∃х((P(x)&Q(x))&(P(x)&¬Q(x)))
Вместо одноместного предиката «знать английский» можно также рассмотреть двухместный
предикат «знать какой-либо язык», идя по этому пути, мы подробнее выявим структуру
предложения.
12
36
Формула (a) говорит, что существуют объекты х (по меньшей мере один такой
объект существует), которые – далее открывается скобка и начинается рассказ об
этих объектах – обладают свойствами Р(х), Q (x), Р(х) и ¬Q(x). Здесь закрывается
первая скобка формулы, и на этом рассказ об упомянутых в начале объектах
заканчивается. Формула (a) два раза сообщила одно и то же, именно: что
рассматриваемые объекты обладают свойством Р. Это, конечно, неэкономно
(избыточно), но логический смысл формулы от этого никак не меняется. Плохо
другое: оказывается, в формуле (a) речь идет о загадочных объектах, которые и
обладают неким свойством Q, и им же не обладают. Или – с учетом нашей
интерпретации предиката Q – есть такие студенты, которые и знают, и не знают
английский. Не вдаваясь в исследование смысла этого загадочного предложения (оно,
конечно, логически противоречиво), констатируем: смысл исходного высказывания
примера 2 иной. Чтобы адекватно отобразить его логическую структуру, нужно
ввести еще один квантор существования.
Правильный вариант перевода (ПВ):
∃х(P(x)&Q(x))&∃х(P(x)&¬Q(x)).
(Сплошная
линия
указывает
область
действия
первого
квантора
существования, пунктирная – второго)13.
В самом деле, формула (ПВ) прочитывается так: имеются объекты –
открывается скобка и начинается рассказ о них – которые обладают свойствами P и
Q, далее первая скобка закрывается и здесь заканчивается рассказ об упомянутых
вначале объектах, и еще существуют объекты – открывается скобка и начинается о
них рассказ – которые свойством Р обладают, а свойством Q – нет. Скобка после
второго квантора закрывается, и рассказ о вторых объектах завершен.
Некоторых студентов смущает употребление после обоих знаков кванторов
одной и той же переменной х. В данном случае это вполне корректно, т.к. области
действия этих кванторов не пересекаются. Но если вы, сомневаясь в этом месте,
введете для второго квантора другую переменную, ваш вариант тоже будет
13
Если рассматривать двухместный предикат «знать какой-либо язык», тогда
исходному предложению соответствует такая формула: ∃х(P(x)&Q(x,а))&∃х(P(x)&¬Q(x,а)),
где константе «а», естественно, сопоставлено значение «английский язык».
37
правильным: ∃х(P(x)&Q(x))&∃у(P(у)&¬Q(у)). (Эта формула логически эквивалентна
формуле (ПВ))
Другие примеры см., например,
в учебнике В.Бочарова, В.Маркина или в
конспектах лекций.
К 5-му заданию
ТЕМА «КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ»
Логический анализ языка
Пример 1 К какому типу нелогических терминов относятся выражения,
набранные курсивом?
1. 5-4=1.
2. Все философы немного странные.
3. Петербург севернее Москвы, Одесса – нет.
Логические имена: «5», «4», «1», "5-4", «Петербург», «Москва», «Одесса».
Напомним, что логическое имя – выражение, которое обозначает ровно один
объект.
Функтор: «…-…» (знак операции вычитания)
Предикаты:
одноместные: «философ», «немного странный»;
двухместные: «=» (может рассматриваться и как логический предикат),
«севернее».
Неверно отнести выражение «философ» к логическим именам, т.к. оно задает
класс объектов, значит, является одноместным предикатом.
Напомним, что предикат – выражение, с помощью которого можно строить
предложения. Чтобы построить предложение с помощью одноместного предиката,
надо его соединить ровно с одним (логическим) именем.
Пример 2 Логическое имя: «основатель дисциплины психологии». Соединяем
это выражение с выражением «философ», получаем предложение (нечто истинное
или ложное): «Основатель дисциплины «психология» – философ». (Кстати, кто?)
В общем случае, если предикат n-местный, к нему надо присоединить n имен,
чтобы получить предложение.
Так, предикат «=» - двухместный (что равно чему). Действительно, выражение
«…=…» бессмысленно оценивать как истинное или как ложное, то же относится к
38
выражению «4=…». Заполнив второй пропуск, получим предложение, например,
«4=5» (неважно в данном случае, что оно ложно; нужно было показать, что «=» –
двухместный предикат, и это мы сделали.)
Аналогично, предикат «севернее» - двухместный: что севернее чего?
Предикаты «…=1», «севернее Москвы» - одноместные.
Неверно относить знак операции вычитания к предикатам: с помощью него мы
строим не предложения, а имена объектов. «6-4» – ни истинно, ни ложно, а задает
логическое имя. Напомним, что функтор – выражение, с помощью которого можно
строить имена.
В общем случае, если функтор n-местный, к нему надо присоединить n имен,
чтобы получить имя. Так, к «…-…» нужно присоединить ровно два имени (не больше
и не меньше), чтобы получить имя, поэтому «…-…» – двухместный функтор.
А «…-6», например, одноместный.
ТЕМА «ПОНЯТИЕ»
1. Не путайте элементы объема понятия с частью его объема.
Пример. Объем понятия "человек" есть множество всех людей (когда-либо
живших). (Объем понятия – некоторое множество.)
Элементом множества всех людей является какой-то конкретный человек.
Частью этого множества является любое его собственное14 подмножество.
Примеры элементов объема понятия человек:
Первый президент США
Гай Юлий Цезарь
Нынешний ректор МГППУ
Примеры частей объема понятия "человек":
множество всех людей, которые на данный момент занимают должность
ректора в каком-либо вузе;
(все) голубоглазые люди;
некоторые голубоглазые люди;
люди, страдающие маниакально-деприссивным психозом;
люди с очень низким IQ;
14
Собственное, т.е. непустое и не равное всему множеству.
39
люди, страдающие маниакально-депрессивным психозом и интересующиеся
психоанализом;
бихевиористы;
множество (всех) президентов США;
множество первых трех президентов США.
Неверно сказать, что частью объема понятия "человек" является, например,
"рука" или "нога", поскольку это означает, что среди всех людей, помимо первого
президента США, Гая Юлия Цезаря, нынешнего ректора МГППУ, наконец, себя
любимого, вы найдете еще какую-то руку (или ногу).15
Аналогичным образом неверно, что "ветка" или "ствол" являются частью
объема понятия "дерево": частью объема этого понятия будет какое-то множество
деревьев; неверно, что "окно" есть часть объема понятия "здание" - частью объема
этого понятия будет какое-то множество зданий
(а элементами – конкретные
здания: главное здание МГУ, собор Василия Блаженного и т.д.).
Действительно, можно сказать, что корень, ствол, ветки – это части дерева, и в
этом смысле ветка есть часть дерева, и, аналогично,
окно есть часть здания. Но в
теории понятия слово часть (в выражении "часть объема понятия") употребляется
по-другому, на основании других принципов.
Здесь часть объема понятия есть
подмножество объема этого понятия.
2. Не пытайтесь сравнивать понятия, род которых не одинаков. Так, понятия
«математик» и «математика» некоторым образом, конечно, связаны, но их
логическая сравнимость означала бы, что существует некая область рассуждения,
объектами которой являются и все математики и научная дисциплина математика.
Аналогично несравнимы понятия «математик» и «натуральное число», первое
понятие предполагает рассмотрение множества людей, второе – множество
натуральных чисел. Если – как, может быть, вам очень хочется – эти понятия были
бы сравнимы, то в логической теории понятия это означало бы, что существует
некое общее свойство у объектов обоих множеств, т.е. свойство, присущее и всякому
математику, и всякому натуральному числу.
Другие примеры несравнимых понятий:
 студент – факультет вуза;
 столица – география – географ;
Можете найти, конечно, если являетесь элементом объема понятия "человек, страдающий тяжелым
неизлечимым психическим заболеванием"
15
40
 политика – политик – конституция.
3. Ограничить понятие – значит перейти к понятию с меньшим объемом, а обобщить
понятие – значит перейти к понятию с большим объемом.
Хорошо, если вы поймете, что при переходе от понятия вида хА(х) (читается: объект
х такой, что для него выполнено – некое – условие А(х)) к понятию вида
х(А(х)&B(x)) (где хB(x) – непустое понятие) происходит ограничение понятия хА(х),
т.е. что объектов х(А(х)&B(x)) меньше, чем объектов хА(х). Двойственным образом
объектов х(А(х)B(x)) больше, чем объектов хА(х), поэтому при переходе от понятия
хА(х) к понятию вида х(А(х)B(x)) происходит обобщение понятия хА(х).
Естественно, существуют и другие способы обобщения и ограничения понятий
(вообще их бесконечно много). Для решения зачетного задания от вас требуется
знание указанных способов обобщения и ограничения понятий плюс, как минимум,
минимум сообразительности (это не тавтология) и/или здравого смысла.
41
6. Тренировочные упражнения зачетного типа
1. Определите структуру высказываний с точки зрения ЯКЛВ (перевести на
ЯКЛВ)
1. Я знаю английский, а ты – нет.
2. Если я знаю английский и немецкий, то мой брат только английский.
3. Если завтра или суббота, или воскресенье, я высплюсь.
4. Только если завтра суббота или воскресенье, я высплюсь.
5. Если завтра суббота или воскресенье, я высплюсь, разве что сосед сверху опять начнет
безумствовать с утра пораньше.
6. Или ты прав, или я.
7. Если завтра среда или пятница, то у меня две пары английского и
одна математики, если завтра четная неделя.
8. Завтра у меня две пары английского и одна математики, если завтра
пятница.
9. Только если завтра пятница, у меня две пары английского и одна
математики.
10.
Завтра у меня есть английский, математика и логика в том и
только в том случае, если завтра среда.
11.
Если вчера я не знал, что говорю прозой, то сегодня я это знаю.
12.
Если долго заниматься математикой, можно рехнуться или
поумнеть или войти в нирвану.
13.
Можно рехнуться или поумнеть или войти в нирвану, если
долго заниматься математикой.
14.
Если завтра зачет по логике, то сегодня у меня депрессия и я
полон плохих предчувствий.
15.
Только если завтра зачет по логике, сегодня у меня депрессия
и я полон плохих предчувствий.
16.
Сегодня у меня депрессия и я полон плохих предчувствий, если
завтра зачет по логике или экзамен по математике.
17.
Завтра зачет по логике в том и только в том случае, если
сегодня у меня депрессия и я полон плохих предчувствий.
18.
Если ты понимаешь логику, математику или философию Канта,
ты интеллигент, если к тому же ты знаешь хорошо свой родной язык и
пару-тройку иностранных.
Установите логический статус формулы
таблиц истинности.
2.
а)
(p  q)  (р & q)
б)
Т
в)
 (  Т)
г)
(р & q)  (q & р)
д)
(p  q)  (р & q)
е)
(p  q)  (q  р)
ж) (р  q)  (q & r)
42
с помощью
з)
((р  q) & (р  r))  ((q  r)  p)
и)
((Ts)())
3. Установите табличным методом, является ли данное рассуждение логически правильным.
Неверно, что если ты дурак, то это надолго. Следовательно, ты дурак.
Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил.
Значит, сегодня воскресенье.
3. Только если сегодня воскресенье, я высплюсь и схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил.
Значит, сегодня воскресенье.
4. Если завтра зачет по логике, то у меня депрессия и есть подозрения насчет моего IQ; а если по
иностранному языку, тогда подозрения есть, но депрессии нет. Однако настроение у меня
прекрасное. Значит, завтра я сдаю ин.яз., а не логику.
5. Если завтра зачет по логике, то у меня депрессия и у меня есть подозрения насчет моего IQ, а если
по иностранному языку, тогда подозрения есть, но депрессии нет. Однако настроение у меня
прекрасное. Значит, завтра я не сдаю логику.
6. Если завтра зачет по логике, то у меня депрессия и у меня есть подозрения насчет моего IQ, а если
по иностранному языку, тогда подозрения есть, но депрессии нет. Однако настроение у меня
прекрасное. Значит, завтра я сдаю ин.яз.
7. Если я ничтожная личность, то не пойму, что зачетное задание по логике
очень простое, если мне никто не поможет разобраться в этой дисциплине.
Не понимаю. Значит, все-таки ничтожная.
1.
2.
4. Среди следующих языковых структур найдите 2 такие, которые
могут превратиться как в истинные, так и в ложные предложения,
подобрав для них модели и контрмодели.
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x у(Q (x, у)  Q(y, х))
xyzR(x,y,z)  xyzR(x,y,z)
(x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
(x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
x(Q(x)&P(x))(xQ(x)&xP(x))
x(P(x)yP(y))
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
R(а)  R(а)
R(a,b)  R(b,a)
(x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
(xP(x)xQ(x))  (x(P(x)Q(x))
у x Q (у,x)  ухQ (у,x)
(xP(x)& xQ(x))  (xQ(x)& xP(x))
5. Найдите модель и контрмодель для следующих формул.
1. R(a,b,с)
2. Р(а)   R(b)
3. R(a,b)  R(b,а)
4. R(a,b)  R(b,a)
5. R(a,b)  R(b,a)
6. x уQ (x, у)
7. ху Q (x, у)
8. ух Q (x, у)
9. x у(Q (x, у)  Q(y, х))
10. x у(Q (x, у)  Q(y, х))
11. x (Q (а,x)  Р(х))
12. xR(x)  xР(x)
13. уQ (у)  уР (у)
14. у(Q (у)  Р(у))
43
6. (для ИТ) Постройте вывод
исчислении высказываний.
1. (р & q)  (q & р)
2.
(р  q)  (q  р)
3.
(p  q)  (р & q)
4.
(р & q)  (p  q)
5.
(p  q)  (р & q)
6.
(p  q)  (q  р)
7.
рр
8.
(р&р)
7. (для ИТ) Обоснуйте
исчислении высказываний.
1. pq, р ├ q
2.
следующих
следующие
формул
выводимости
в
натуральном
в
натуральном
pq, q ├ p
3.
pq, qr, r ├ p
4.
pr, qr, pq ├ r
5.
pr, ps, rs ├ p
6.
pr, qs, pq ├ rs
7.
pr, qs, rs ├ qp
8.
(pq)(rs), r  r1, s  s1, r1&s1├ pq
8. Найдите структуру предложений с точки зрения ЯКЛП1=.
1.
Л.Толстой – русский писатель, а Ч.Диккенс – английский.
2.
Л.Толстой и Ч.Диккенс – современники, а Аристотель и Фома
Аквинский – нет.
3.
Некоторые теннисисты любят футбол.
4.
Лишь некоторые теннисисты любят футбол.
5.
Все студенты МГППУ изучают математику.
6.
Ни один тормоз не любит логику.
7.
Все студенты изучают по меньшей мере один иностранный язык.
8.
В нашей группе ровно два отличника.
9.
В нашей группе не меньше двух отличников.
10.
В нашей группе есть отличники, максимум – два.
11.
Волки и люди бояться друг друга.
44
12.
Так как 60 делится на 2 и на 3, то 60 делится на некоторые числа,
отличные от 60.
13.
1 – наименьшее
значение f на М. (При переводе пользуйтесь
символами 1, f и М.)
14.
1 – минимальное значение f на М. (При переводе пользуйтесь
символами 1, f и М.)
15.
n есть сумма четырех квадратов натуральных чисел. (Используйте
обычные математические обозначения для математических операций, а
также выражение N)
45
7. Литература
 Лекции
 Пособие по логике (в Интернете, там же, где Материалы для
подготовки к зачету )
 Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. (любое издание)
46