11-й класс Задача № 1 Решение

11-й класс
Задача № 1
Решение
1) Здесь выполняется закон сохранения импульса носителя ракеты-носителя и спутника до и после
разделения.
2) Согласно закону сохранения импульса (m1 + m2)V0 = m1 V1 + m2 V2 
3) (20·8 + 5·7)·103 = (20 + 5) V0

V0 = 7,8·103 (м/с).
Примерная система оценивания
Указание на необходимость использование закона сохранения импульса
3 баллов,
Правильная запись закона сохранения импульса
4 балл.
Правильный расчет численного значения скорости
3 балла
Задача № 2
Решение
t = 27⁰C
v=4
Q= ?
I) По первому закону термодинамики количество теплоты, подведенное к
идеальному газу : Q = ∆U + A
(1),
где ∆U =
(2)
II) Работу найдем исходя из следующих соображений. По условию даны временные
зависимости р/р₀ = f₁(t) и V/V₀ = f₂(t).
Найдем эти зависимости в явном виде, которые похожи на параболы. Легко проверить по
точкам, что р/р₀ = 1 + t²
(3), a
V/V₀ = 1 + 0,5∙t²
(4)
V/V₀
p/p₀
t, c
Рис.1. Зависимость р/р₀ от времени.
t, c
Рис.2. Зависимость V/V₀ от времени.
Если из уравнений (3) и (4) исключить время, то получим зависимость р(V)
(5)
Получили линейную зависимость р(V) .
III) Тогда несложно посчитать работу, которая в этом случае равна площади треугольника под
прямой
А = ½∙∆р∙∆V .
(6)
Для удобства построим зависимость р/р₀ = F(V/V₀).
(7)
Т.к. ∆р = р₂ – р₀ ,
а ∆V = V₂ – V₀ ,
где , V₀ – давление и объем
в начальный момент, а р₂ , V₂ – давление и объем в конце второй секунды. По (3) и (4) ,
найдем: р₂ = 5р₀ , V₂ = 3V₀ .
p/p₀
V/V₀
Рис3.
Зависимость p/p₀ от V/V₀
Тогда подставляя в (6) получим А = ½∙(5р₀ – р₀)∙(3V₀ – V₀) = 4 р₀ V₀ или в соответствии с
уравнением Клапейрона-Менделеева А = 4 vRT₁ .
IV) В соответствии (2) получим: ∆U =
(8)
= ∙vR(T₂ – T₁) или ∆U = (р₂V₂ – р₀V₀)
∆U = (15 р₀V₀ – р₀V₀) = 21 р₀V₀ = 21 vRT₁
(9)
Подставив (8) и (9) в (1) окончательно получим
Q = 21 vRT₁ + 4∙vRT₁ = 25∙vRT₁ ≈ 250 кДж
Ответ: Q ≈ 250 кДж
Примерная система оценивания
I) Формулировка идеологии решения, запись формул (1) и (2)
2 балла,
II) Построение зависимостей р(V)
Формула (3)
1 балл.
Формула (4)
1 балл.
Формула (5)
1 балл.
III) Расчет работы газа
Формула (6)
1 балл.
Обоснование зависимости (7) и получение формулы (8)
2 балла
IV) Расчет количества теплоты
Получение формулы (9)
1 балл
Получение верного ответа
1 балл..
Задача № 3
Решение
m = 10–8 г
V = 30 м/с
Время пролетa вдоль конденсатора
t=
,
Ускорение заряда перпендикулярно пластинам
(1)
(2)
l = 10 см
d = 2 см
E = 500 кВ/м
q=?
Т.к. в перпендикулярном направлении пылинка пролетает расстояние d/2, то
(3).
Подставив в (3) значения t и а из формул (1) и (2) окончательно получим:
= 3,6·10–14 Кл.
или
Ответ: 3,6·10–14 Кл
Примерная система оценивания
Получение формулы (1)
2 балла
Получение формулы (2)
2 балла.
Получение формулы (3)
2 балла.
Вывод формулы для q
2 балла.
Численный расчет q
2 балла.
Задача № 4
Решение
1. Т.к. линза собирающая, то возможно два вида построения (см. рис. а и рис. б.) Докажем
для каждого вида построения.
Как принято: a – расстояние от оптического центра до предмета; b – расстояние от оптического
центра до изображения
bb
а
a
x₂
FF
2. В случае получения действительного
изображения (рис. а) формула линзы имеет
вид
FF
x₁
=
(1),
Причем a = F + x₁ ,
эти значения в (1):
Рис. а
a
b = F + x₂. Подставим
, приведем к общему знаменателю
F² + F∙x₁ + F∙x₂ + x₁∙x₂ = F² + F∙x₂ + F² + F∙x₁

x₁∙x₂ = F²
ч.т.д.
3. В случае получения мнимого изображения (рис. б)
формула линзы имеет вид
bb
aa
=
Причем a = F – x₁ ,
(2):
(2)
a
FF
b = x₂ – F. Подставим эти значения в
x₂
Рис. б
x₁
F
F
, приведем к общему знаменателю
F∙x₂ – F² + F∙x₁ – x₁∙x₂ = F∙x₂ – F² – F² + F∙x₁
 x₁∙x₂ = F²
ч.т.д.
Примерная система оценивания
Выделение двух видов построения (1)
2 балла,
Вывод для случая (2)
4 балла.
Вывод для случая (3)
4 балла.
Задача 5 (экспериментальная)
10-й класс
Задача № 1
Решение
V = 40м/с
1). Очевидно, что проекции скоростей V и u на линию фала равны, т.е.
α = 45⁰
V∙cos α = u∙cos β
откуда следует, что u =
. (1)
β = 30⁰ (60⁰)
u=?
2) Условие u > V выполняется при
u>V?
3) что справедливо, если β > α
4) расчет скорости u: u =
>1 ,
= 32,7 м/с
u=
=56,6 м/с
Примерная система оценивания
1) Получение положения 1 и вывод уравнения (1)
4 балла,
2) Получение условия 2)
2 балл.
3) Получение условия 3)
2 балла
4) Расчет скорости u
2 балла
Задача № 2
Решение
M = 900 г
m = 300 г
ℓ = 40 см
k = 2,25 кН/м
V₀ = 2,5 м/с
ℓ₀ = ?
1). Воспользуемся законами сохранения энергии и импульса для начального
момента и момента выпадения пружины.
2). Зак. сохр. энер.:
=
х – деформация зажатой пружины;
выпадения пружины
,
(1) , где
u – скорость тела массы m в момент
3). Проекция зак. сохр. имп. на ось вектора скорости:
4). Из этих двух уравнений следует, что х =
Тогда ℓ₀ = ℓ + х = ℓ +
= 0,4 + 2,5
(2)
.
= 0,5 (м).
Примерная система оценивания
1) Понимание в необходимости использования законов сохранения энергии и импульса - 2 балла
2). Применение закона сохранения энергии, формула (1)
– 2 балла,
3). Применение закона сохранения импульса, формула (2)
– 2 балла,
4). Решение системы уравнений и получение численного ответа
– 4 балла.
Задача № 3
Решение
Т₀ = ?
р = 2∙10⁵ Па
m=?
1. Догадка Знайки помогает решить проблему численно. При низких
температурах, когда вода находится в твердом или даже в жидком состоянии
давлением водяных паров можно пренебречь. Следовательно, первые 4-5
точек соответствуют изобарическому расширению исследуемого идеального
газа. Прямая (1) должна проходить через 0 К (см. рис.).
2. Подставив значения V и Т из прямой (1), по уравнению Клапейрона-Менделеева найдем
количество молей идеального газа
V, л
2
2
1
Т, К
=
≈ 1 моль
3. При температурах более 380 К вода превращается в насыщенный пар, который так же
является идеальным газом. Поэтому точки графика от 380 К и выше соответствуют изобарному
процессу для смеси двух идеальных газов водяных паров и воздуха. Этому соответствует прямая
(2), на графике.
4. Подставив значения V и Т из прямой (2), по уравнению Клапейрона-Менделеева найдем
суммарное количество молей смеси идеальных газов
=
≈ 2 моль
5. Следовательно, водяного пара в смеси было равно 1 молю или 18 г , т.е. m = 18 г
Ответ: 18 г.
Примерная система оценивания
1) Рассуждения, приводящие к объяснению графика (1)
2) Расчет
2 балла
1 балл.
3) Рассуждения, приводящие к объяснению графика (2)
4) Расчет
2 балла.
3 балла.
5) Получение ответа
2 балла.
Задача № 4
Решение
I) Ясно, что на большом удалении от клемм A и B данной цепи ток течет только по нижнему
проводнику, а по верхней части цепи ток не идет, и поэтому ее можно разорвать. Тогда
изображенную на рисунке в условии задачи электрическую цепь можно представить, как
совокупность двух электрических цепей AC и СВ, соединенных последовательно (см.
рисунок 1).
II) Сопротивление всей электрической цепи R AB складывается из сопротивлений RAC и RCB
цепей AC и CB, которые совпадают: RAC  RСВ  RX . Поэтому
R AB  2 R X .
III) Перерисуем электрическую цепь AC (см. рисунок 2).
IV) Поскольку эта цепь бесконечная и ее сопротивление не изменяется при добавлении еще
одного звена в начале, представим ее так, как показано на рисунке 3.
V) Тогда из законов последовательного и параллельного соединения проводников получим:
RX  R 
RR X
2
, или R X  RR X  R 2  0 .
R  RX
Решая это квадратное уравнение, находим:
RX  R
1 5
.
2
Отсюда R AB  R( 1  5 ).
Ответ: R AB  R( 1  5 ).
Примерная система оценивания
Формулирование положения
Вывод условий сформулированных
I)
в
2 балла,
II)
2 балла.
III) Выделение электрической схемы (рис. 2)
2 балла
IV) Переход от рисунка 2 к рисунку 3
V) Составление и решение квадратного уравнения
Задача № 5 (экспериментальная)
1 балла.
3 балла
9-й класс
Задача № 1
Решение
1) Рассматриваем минимальный путь, когда модель движется по прямой. Введем прямоугольную
систему координат и направим ось x вдоль вектора ускорения . Тогда проекции скорости
тела на координатные оси зависят от времени  по следующим законам:
Vx() = Vx0 + a; Vy() = vy0;
Vz() = vz0.
Здесь Vx0, Vy0, Vz0 – проекции скорости тела на соответствующие оси при  = 0. Если
положить Vy0 = Vz0 = 0, то скорость тела в каждый момент времени  будет меньше, чем она
была бы при отличных от нуля Vy0 и Vz0. Поэтому будет меньше и пройденный путь. Значит,
для решения задачи нужно рассматривать движение тела вдоль прямой, параллельной оси x.
2) При таком движении возможны три случая, отличающиеся по знакам скорости в течение
времени движения t:
а) Vx() > 0 при 0    t;
б) Vx() < 0 при 0    t;
в) Vx() < 0 при 0   < t0 и Vx() > 0 при t0 <   t.
Отметим, что во всех случаях a > 0.
В случае (а) пройденный путь совпадает с перемещением и равен Sà  v x 0t 
at 2
at 2
.

2
2
В случае (б) пройденный путь – это перемещение, взятое с обратным знаком. Он равен



at 2
at 2 
at 2 
at 2 
at 2
   ( v x 0  at ) t 
   v x ( t ) t 
  v x ( t )  t 
Sá   v x 0 t 

.
2 
2 
2 
2
2



3) Наконец, в случае (в) пройденный путь складывается из двух отрезков, пройденных телом до и
после «точки поворота» (точки, в которой скорость тела обращается в ноль при  = t0). Первый
отрезок пути может быть найден из формулы, полученной при рассмотрении случая (б), при
подстановке в нее t = t0:
=
,
Второй же отрезок равен
(здесь учтено, что
.
Таким образом, пройденный путь в случае (в) равен
4) Это выражение можно представить как
.)
Очевидно, что минимум
будет достигаться при
, т.е.
Значит, минимальным является путь, который тело проходит в случае (в). Он равен
=9м,
причем «точка поворота» должна приходиться на середину промежутка времени движения t.
Ответ:
,
Примерная система оценивания
За рассуждения приводимые к выводу 1)
1 балл
За рассмотрение вариантов 2)
3 балла
За рассуждения приводимые 3)
Формула
1 балл;
Формула
1 балл;
Формула
1 балл;
За вывод условия
1 балл.
За получение ответа
1 балл
Правильный расчет
1 балл.
Задача № 2
Решение
Пусть после того, как на поршень массы M1 положили груз массы m, этот поршень опустился на
расстояние h1, а второй поршень поднялся на высоту h2 относительно начального положения.
При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен h1 + h2, а разность давлений,
создаваемая этим перепадом уровней, будет компенсироваться добавочным давлением, которое
создает груз m, лежащий на первом поршне. Отсюда получаем уравнение:
g( h 1  h 2 ) 
mg
.
S1
(1)
Здесь S1 – площадь поршня массы M1. Далее, так как объем жидкости под поршнями не
изменился, то справедливо соотношение:
S1h1 = S2h2,
(2)
где S2 – площадь поршня массы M2. Выражая из второго уравнения величину h1 и подставляя ее в
первое уравнение, найдем высоту, на которую поднимется поршень массы M2:
h 2 
m
.
(S1  S2 )
(3)
По условию задачи эта величина равна h.
Пусть теперь груз массы m положили на поршень массы M2. Проводя аналогичные рассуждения,
можно честно найти высоту h 1 , на которую при этом поднимется поршень массы M1. Однако,
зная выражение для h2, ответ можно просто угадать из симметрии задачи относительно М1 и М2.
Действительно, в рассматриваемой системе все равно, какой поршень считать «первым», а какой
– «вторым». Значит, для того, чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины
в последней формуле, то есть заменить все индексы «1» на индексы «2» и наоборот. В итоге
получим
h 1 
m
 h 2  h .
(S2  S1 )
(4)
Ответ: Если положить груз массы m на поршень массы M2, то поршень массы M1 поднимется
относительно начального положения на такую же высоту h, на какую поднимался поршень
массы M2, когда груз m клали на поршень массы M1.
Примерная система оценивания
Правильный вывод формулы (1)
3 балла.
Получение массы (2)
2 балл.
Получение формулы (3)
3 балла
Окончательный ответ (4)
2 балла.
Задача № 3
Решение
m = 200 г
m1 = 130 г
∆m = 70 г
∆Т = 1⁰С
τ1 = 1 мин
τ2 = ?
Вода в стакане нагревается за счет тепла получаемого от окружающей
среды. Пусть за 1 минуту стакан получает тепло равное Р (скорость
теплопередачи), тогда уравнение теплового баланса
Р∙τ1 = с∙m∙∆Т
(1)
Для второго стакана , сначала за счет теплообмена с окружающей средой
растает лед, а затем вода массой 200 г нагреется. Уравнение теплового
баланса в этом случае Р∙τ2 = с∙m∙∆Т + ∙λ∙∆m
с = 4200
λ = 330
Ответ: 225 с.
(2)
Из этих двух уравнений находим:
τ2 = τ1∙
= 60
=225 c
Примерная система оценивания
Правильная оценка причины нагревания воды
1 балла,
Получение формулы (1)
2 балла.
Получение формулы (2)
3 балла
Вывод окончательной формулы для τ2
2 балла
Правильный расчет
2 балла.
Задача № 4
Решение
I) Изображение предмета в плоском зеркале находится на том же расстоянии что и сам предмет и
имеет те же размеры.
II) Минимальные размеры (минимальная высота) зеркала определяется тем, что наблюдателю
должны быть видны нижняя и верхняя точки своего
изображения.
III) Поэтому, исходя из построения приведенного ниже учитывая,
что угол падения равен углу отражении, следует, что для одного
человека минимальная высота соответствующего зеркала
должна быть равна половине его роста: L = H/2.
L
H
h
IV) Чтобы все члены семьи могли видеть себя в зеркале, самый высокий (папа) должен видеть
свою голову, а самый маленький (сын) – свои ботиночки. Этим определяется требуемый
размер зеркала:
L = Hп – Hс /2 = 184 – 104/2 = 132 см.
V) Нижняя граница зеркала должна находиться на высоте равной половине роста сына, т.е.
h = 52 см
Ответ: L = 132 см,
h = 52 см
Примерная система оценивания
Рассуждения
I)
1 балла,
Рассуждения
II)
2 балла.
Построение изображения III)
Определение размеров зеркала
4 балл.
IV)
Определение высоты нижней границы зеркала
2 балл.
V)
1 балл.
8-й класс
Задача № 1
Решение
I) Сделаем рисунок и введём на нём следующие обозначения: К – Красный десант; R – Ростов-наДону; AB – участок, который автобус проехал под дождём за искомое время t; AC – участок,
который проехал бы автобус за то же время t, если бы не было дождя.
II) Ясно, что BC = AC – AB = (v1 – v2)t.
III) С другой стороны, автобус прошёл путь KA + AB + CR за то же время, за какое было
запланировано пройти весь путь KR. Значит, BC = v1Δt, где Δt = 10 минут – время, на которое
опоздали автобусы.
IV) Приравнивая полученные выражения, имеем: (v1 – v2)t = v1Δt, откуда
t
v1t
v1  v 2
Примерная система оценивания
Обсуждение ситуации
(I)
4 балла,
Обсуждение ситуации (II)
2 балла
Обсуждение ситуации (III)
2 балла
Окончательный вывод и получение ответа
2 балла.
Задача № 2
Решение
I) Мы знаем, что на глубине h под поверхностью жидкости давление равно p = gh, где  –
ее плотность, а g – ускорение свободного падения. Однако, мы не можем
воспользоваться этой формулой для нахождения давления в центре Земли, поскольку g
не остается постоянным по мере продвижения вглубь Земли.
II) Действительно, представим себе, что нам удалось просверлить скважину до центра
Земли. Ясно, что тело, опущенное в нее до этого центра, будет находиться в состоянии
невесомости, поскольку оно со всех сторон одинаково притягивается веществом Земли.
Таким образом, ускорение свободного падения постепенно уменьшается от значения
10 м/с2 на поверхности Земли до нуля в ее центре.
III) Поэтому для оценки в формулу для давления надо подставить среднее значение
ускорения свободного падения, равное g/2. Значит, величина давления в центре Земли
примерно равна p = gRЗ/2  1,6·1011 Па = 1,6 миллиона атмосфер!
Замечание. По современным представлениям, Земля состоит из трех основных слоев
– тонкой коры, довольно толстой мантии (около 3000 км), сложенной из пород
сравнительно небольшой плотности, и тяжелого (железного) ядра. Ускорение свободного
падения также довольно сложным образом зависит от глубины (см. задачу 1 для 11
класса). С учетом этого расчет дает для давления в центре Земли еще бóльшую величину:
pц  3,6 миллиона атмосфер!
Примерная система оценивания
Рассуждения, I)
4 балла,
Рассуждения, II)
4 балла
Рассуждения III) и получение ответа
2 балла
Задача № 3
Решение
Обозначим через x искомую глубину.
Сила тяжести, действующая на льдину с медведем, равна, g[m + лS(h + x)].
(1)
Она должна равняться силе давления воды на нижнюю поверхность льдины, находящуюся
на глубине x: Fдав = вgxS,
(2)
поскольку льдина находится в состоянии равновесия.
Отсюда получаем: x 
m   л hS
( в   л )S
Подстановка численных значений дает ответ х == 1 м
(3)
(4)
Ответ: 1 м
Примерная система оценивания
Обозначение глубины через х
1 балл.
Определение силы тяжести (1)
3 балла.
Определение силы давления на нижнюю поверхность (2)
3 балла
Получение расчетной формулы (3)
Численный расчет (4)
2 балл.
1 балла.
7-й класс
Задача № 1
Решение
36 км/ч = 10 м/с; 54 км/ч = 15м/с. Если мысленно превратить три стороны
квадрата в прямую линию, то получается что велосипедисты едут
навстречу друг другу по прямой линии. В этом случае время до их первой
встречи определяется, как расстояние (равное 3 сторонам квадрата)
деленное на их суммарную (относительную) скорость
а = 1500 м
V₁ = 36 км/ч
V₂ = 54 км/ч
t₁ = ?
t₂ = ?
t₃ = ?
t₁ =
=
= 180 с = 3 мин
(1)
Для нахождения интервала времени ∆t, необходимого для расчета
времени второй встречи сформулируем задачу: эти велосипедисты после
первой встречи начинают движение со своими скоростями в
противоположным направлениях и до второй встречи проходят четыре стороны квадрата.
Следовательно, ∆t =
=
= 240 с = 4 мин
Тогда t₂ = t₁ + ∆t =7 мин
(2),
(3)
Очевидно, что t₃ отличается от t₂ на тот же самый интервал ∆t, т.к. от момента второй встречи
все повторяется, как и после первой, т.е. t₃ = t₂ + ∆t = 7 мин + 4 мин = 11 мин
(4 )
Ответ: t₁ = 3мин,
t₂ = 7 мин,
t₃ = 11 мин.
Примерная система оценивания
Рассуждения, приводящие к уравнению (1)
4 балла,
Рассуждения, приводящие к уравнению (2)
4 балла
Рассуждения, приводящие к уравнению (3)
1 балл
Рассуждения, приводящие к уравнению (4)
1 балл
Задача № 2
Решение
I). Вася Победоносцев неподвижен через равные промежутки времени, в эти моменты показания
весов совпадают с его весом и не меняются. Значит, на графике должны быть повторяющиеся
горизонтальные отрезки.
II). Когда Вася начинает опускаться, показания весов сначала уменьшаются. Они даже могут
обратится в ноль, если Вася приседает очень резко, Это легко понять, представив себе, Вася
очень быстро поджал ноги, так что они оторвались от опоры и он начал падать на весы. Затем
Вася прекращает опускание, при этом показания весов увеличиваются, и становятся больше
настоящего веса Васи. Действительно, вес Васи до этого уменьшался за счет того, что он
приобрел движение вниз. Чтобы погасить это движение и снова иметь нулевую скорость.
Васе придется толкаться ногами сильнее, чем когда он прост неподвижно сидит, присев. Когда
скорость движения Васи вниз будет погашена, весы покажут вес Васи.
III). После идет обратный процесс: Вася отталкивается ногами от весов, двигаясь вверх, так что
весы показывают больше нормального Васиного веса. Затем показания весов уменьшаются.
причем они становятся меньше настоящего веса,
поскольку из-за сильного толчка ногами Вася
приобрел скорость, направленную вверх: в
конце подъема, чтобы погасить ее, Вася будет
давить на весы слабее, чем в состоянии покоя.
Когда скорость движения вверх будет погашена,
весы снова покажут вес Васи.
IV). Описанным свойством обладает, например,
периодический график, изображенный на
рисунке. Его характерным свойством является
наличие парных зубцов: два зубца вверх, два зубца вниз ... два зубца вверх, два зубца вниз ...
. Если Вася в начальный момент стоял, то график начинается с приседания, т.е с одного зубца
вниз и т.д. Этот рисунок соответствует графику «е»
Примерная система оценивания
Обсуждение ситуации (I)
1 балла,
Обсуждение ситуации (II)
2 балла
Обсуждение ситуации (III)
2 балла
Окончательный вывод (IV)
2 балла
Получение ответа (даже без обоснований)
3 балла.
Задача № 3
a = 10 см
Решение
Митрофанушка получил по своим измерениям,
b = 20 см
c = 25 см
m = 6 кг
что плотность материала
или
ρ=
=
ρ=
=1,2 г/см³
(1)
(2)
ρ =?
ρмин = ?
ρмакс = ?
∆a = 1 см
∆b = 1 см
∆c = 1 см
∆m = 50 г
При этом он получил не фиксированный результат, как получено в формуле
(2), а некоторый случайный результат. Истинное значение лежит в некотором
интервале и необходимо найти наименьшую и наибольшую плотности этого
интервала.
Наибольшая плотность будет, когда масса наибольшая, а объем наименьший
mмах = 6000 г + 50 г = 6050 г
Vмин = (a – ∆a)∙(b – ∆b)∙(c – ∆c) = 9 см19 см24 см = 4104 см³ или из (1)
ρмакс = 1,47 г/см³
(3)
Наименьшая плотность будет, когда масса наименьшая, а объем наибольший
mмин = 6000 г – 50 г = 5950 г
Vмах = (a + ∆a)∙(b + ∆b)∙(c + ∆c) = 11 см21 см26 см = 6006 см³
ρмин = 0,99 г/см³
Ответ: ρмин = 0,99 г/см³ ,
или из (1)
(4)
ρмакс = 1,47 г/см³ .
Примерная система оценивания
Использование уравнения (1)
Рассуждения, приводящие к выводу о неточности уравнения (2)
1 балл.
3 балла
Расчет, приводящий к (3)
3 балл
Расчет, приводящий к (4),
3 балла.