x 2 ≤5
advertisement
Задание №2 Необходимо найти минимальное значение целевой функции L(X) = -x1+4x2 → min, при системе ограничений: 2x1-3x2≤6 (1) 3x1-2x2≤6 (2) 2x1+3x2≥0 (3) x1+x2≥-1 (4) x1≥0 (5) x2≥0 (6) Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). Построим уравнение 2x1-3x2 = 6 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -2. Для нахождения второй точки приравниваем x2= 0. Находим x1 = 3. Соединяем точку (0;-2) с (3;0) прямой линией. Построим уравнение 3x1-2x2 = 6 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -3. Для нахождения второй точки приравниваем x2= 0. Находим x1 = 2. Соединяем точку (0;-3) с (2;0) прямой линией. Построим уравнение 2x1+3x2 = 0 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 1. Находим x2 = -0.67. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 1. Находим x1 = -1.5. Соединяем точку (1;-0.67) с (-1.5;1) прямой линией. Построим уравнение x1+x2 = -1 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -1. Соединяем точку (0;-1) с (-1;0) прямой линией. Рассмотрим целевую функцию задачи L = -x1+4x2 → min. Построим прямую, отвечающую значению функции L = 0: L = -x1+4x2 = 0. Векторградиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации L(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-1; 4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией. Прямая L(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (5) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x2=0 3x1-2x2≤6 Решив систему уравнений, получим: x1 = 2, x2 = 0 Откуда найдем минимальное значение целевой функции: minL(X) = -1*2 + 4*0 = -2 Задание 4 5x1 + 2x2≤30 -3x1 - 2x2≤-6 - x1 + x2≤0 x2≤5 L(X) = 3x1 - x2 →min Решим прямую задачу линейного программирования использованием симплексной таблицы. симплексным методом, с Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1). Определим минимальное значение целевой функции L(X) = 3x1 - x2 при следующих условиях-ограничений. 5x1 + 2x2≤30 3x1 + 2x2≥6 - x1 + x2≤0 x2≤5 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. 5x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 30 3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 = 6 -1x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 0 0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 5 Введем искусственные переменные x: в 2-м равенстве вводим переменную x7; 5x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 30 3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 6 -1x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0 0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 5 Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так: L(X) = 3x1-1x2+Mx7 → min За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается. Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса. Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения. Из уравнений выражаем искусственные переменные: x7 = 6-3x1-2x2+x4 которые подставим в целевую функцию: L(X) = 3x1-x2 + M(6-3x1-2x2+x4) → min или L(X) = (3-3M)x1+(-1-2M)x2+(M)x4+(6M) → min Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: 5 2 1 0 0 0 0 3 2 0 -1 0 0 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x7, x5, x6, Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,30,0,0,5,6) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно. Базис B x1 x2 x3 x4 x3 30 5 2 1 0 x7 6 3 2 0 -1 x5 0 -1 1 0 0 x6 5 0 1 0 0 L(X0) 6M -3+3M 1+2M 0 -M Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. x5 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1 0 x7 0 1 0 0 0 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: min (30 : 5 , 6 : 3 , - , - ) = 2 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Базис x3 x7 x5 x6 L(X1) B x1 x2 x3 30 5 2 1 6 2 0 3 0 -1 1 0 5 0 1 0 6M 1+2M 0 -3+3M 4. Пересчет симплекс-таблицы. x4 0 -1 0 0 -M x5 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1 0 x7 0 1 0 0 0 min 6 2 0 Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент . Получаем новую симплекс-таблицу: Базис B x1 x2 x3 1 x3 20 0 -1 /3 1 2 x1 2 1 /3 0 2 x5 2 0 1 /3 0 x6 5 0 1 0 L(X1) 6 0 3 0 1. Проверка критерия оптимальности. x4 12/3 -1 /3 -1 /3 0 -1 x5 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1 0 x7 -12/3 1 /3 1 /3 0 1-M Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (- , 2 : 2/3 , 2 : 12/3 , 5 : 1 ) = 11/5 Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (12/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Базис x3 x1 x5 x6 L(X2) B x1 x2 x3 20 0 -11/3 1 2 2 1 /3 0 2 0 0 12/3 5 0 1 0 6 0 0 3 4. Пересчет симплекс-таблицы. x4 12/3 -1 /3 -1 /3 0 -1 x5 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1 0 x7 -12/3 1 /3 1 /3 0 1-M min 3 11/5 5 0 Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 2 войдет переменная x2. Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=12/3 На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Получаем новую симплекс-таблицу: Базис B x1 x2 x3 x3 213/5 0 0 1 1 x1 1 /5 1 0 0 x2 11/5 0 1 0 4 x6 3 /5 0 0 0 L(X2) 22/5 0 0 0 1. Проверка критерия оптимальности. x4 12/5 -1 /5 -1 /5 1 /5 -2 /5 x5 /5 -2 /5 3 /5 -3 /5 -14/5 4 x6 0 0 0 1 0 x7 -12/5 1 /5 1 /5 -1 /5 2 /5-M Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы: Базис x3 x1 x2 x6 F(X3) B 213/5 11/5 11/5 34/5 22/5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 12/5 -1 /5 -1 /5 1 /5 -2 /5 x5 /5 -2 /5 3 /5 -3 /5 4 -1 /5 4 x6 0 0 0 1 0 x7 -12/5 1 /5 1 /5 -1 /5 2 /5-M Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым. Оптимальный план можно записать так: x1 = 11/5 x2 = 11/5 F(X) = 3•11/5 -1•11/5 = 22/5 Составим двойственную задачу к прямой задаче. 5y1 - 3y2 - y3≤3 2y1 - 2y2 + y3 + y4≤-1 30y1 - 6y2 + 5y4 → max y1 ≤ 0 y2 ≤ 0 y3 ≤ 0 y4 ≤ 0 Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис. A = (A , A , A , A ) = 3 1 2 6 Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим: D = A-1 = Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. Тогда Y = C*A-1 = (0, 3, -1, 0) x = (0;-2/5;-9/5;0) Оптимальный план двойственной задачи равен: y1 = 0 y2 = -2/5 y3 = -14/5 y4 = 0 Z(Y) = 30*0+-6*-2/5+0*-14/5+5*0 = 22/5 Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер. Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a 1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β 2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке; Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). S = ∑(yi - y*i)2 → min Система нормальных уравнений. a•n + b∑x = ∑y a∑x + b∑x2 = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид 8a + 114.04 b = 103.57 114.04 a + 1690.14 b = 1487.81 Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.177, a = 10.4231 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = 0.177 x + 10.4231 Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1) x 11.73 15.69 19.9 17.22 12.54 13.12 12.29 11.55 114.04 y 11.06 14.31 13.4 13.29 13.4 12.41 13.98 11.72 103.57 x2 137.59 246.18 396.01 296.53 157.25 172.13 151.04 133.4 1690.14 1. Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние. Error! Error! Error! Выборочные дисперсии: Error! Error! Среднеквадратическое отклонение S(x) = S2(x) = 8.06 = 2.84 y2 122.32 204.78 179.56 176.62 179.56 154.01 195.44 137.36 1349.65 x•y 129.73 224.52 266.66 228.85 168.04 162.82 171.81 135.37 1487.81 S(y) = S2(y) = 1.1 = 1.05 1.1. Коэффициент корреляции Ковариация. cov(x,y) = x • y - x • y = 185.98 - 14.26 • 12.95 = 1.43 Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: Error! Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и прямая. 1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии). Error! Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.18 x + 10.42 Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент регрессии b = 0.18 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.18. Коэффициент a = 10.42 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо. Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая. Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2) x 11.73 15.69 19.9 17.22 12.54 13.12 12.29 11.55 114.04 y 11.06 14.31 13.4 13.29 13.4 12.41 13.98 11.72 103.57 y(x) 12.5 13.2 13.95 13.47 12.64 12.75 12.6 12.47 103.57 (yi-ycp)2 3.56 1.86 0.21 0.12 0.21 0.29 1.07 1.5 8.81 (y-y(x))2 2.07 1.23 0.3 0.0328 0.57 0.11 1.91 0.56 6.79 (xi-xcp)2 6.38 2.06 31.87 8.79 2.94 1.29 3.86 7.32 64.5 |y - yx|:y 0.13 0.0776 0.0407 0.0136 0.0565 0.027 0.0988 0.0638 0.51 2. Оценка параметров уравнения регрессии. Проверка регрессии. гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез. В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента. Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений. Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α. tкрит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447 Error! Error! Поскольку 1.34 < 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь. Error! Error! Поскольку 5.42 > 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается. Решение задачи линейного программирования графическим методом Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 3x 1+3x2 → max, при системе ограничений: 2x1+3x2≤35 (1) 4x1+2x2≤42 (2) 3x1+5x2≤49 (3) x1≥0 (4) x2≥0 (5) Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). Построим уравнение 2x1+3x2 = 35 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 11.67. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 17.5. Соединяем точку (0;11.67) с (17.5;0) прямой линией. Построим уравнение 4x1+2x2 = 42 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 21. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 10.5. Соединяем точку (0;21) с (10.5;0) прямой линией. Построим уравнение 3x1+5x2 = 49 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 9.8. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 16.33. Соединяем точку (0;9.8) с (16.33;0) прямой линией. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+3x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+3x2 = 0. Векторградиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией. Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 4x1+2x2≤42 3x1+5x2≤49 Решив систему уравнений, получим: x1 = 8, x2 = 5 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = 3*8 + 3*5 = 39 Симплекс-метод. Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x 1 + 3x2 при следующих условиях-ограничений. 2x1 + 3x2≤35 4x1 + 2x2≤42 3x1 + 5x2≤49 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 2x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 35 4x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 42 3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 49 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: 23100 A= 4 2 0 1 0 35001 Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5, Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,35,42,49) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно. Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x3 35 2 3 1 0 0 x4 42 4 2 0 1 0 x5 49 3 5 0 0 1 F(X0) 0 -3 -3 0 0 0 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (35 : 3 , 42 : 2 , 49 : 5 ) = 94/5 Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Базис B x1 x2 x3 x4 x5 min x3 35 2 3 1 0 0 112/3 x4 42 4 2 0 1 0 21 49 3 5 0 0 1 F(X1) 0 -3 -3 0 0 0 0 x5 4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x2. Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=5 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x3 3 5 /5 1 /5 0 1 0 -3 /5 x4 222/5 24/5 0 0 1 -2 /5 x2 4 9 /5 2 3 /5 1 0 0 1 /5 1 3 /5 F(X1) 29 /5 -1 /5 0 0 0 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: min (53/5 : 1/5 , 222/5 : 24/5 , 94/5 : 3/5 ) = 8 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (24/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Базис x3 B x1 x2 x3 x4 x5 min 53/5 1/5 0 1 0 /5 28 /5 22 /5 0 0 1 -2 F(X2) 292/5 0 0 0 3 x4 x2 2 -3 8 94/5 3/5 1 0 0 1/5 161/3 /5 0 4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=24/5 На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Получаем новую симплекс-таблицу: Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x3 4 0 0 1 -1 x1 8 1 0 0 5 5 0 1 0 -3 F(X2) 39 0 0 0 3 x2 /14 -4/7 /14 -1 /7 2 /14 /7 /7 3 /7 1. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы: Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x3 4 0 0 1 -1 /14 -4/7 x1 8 1 0 0 5 x2 5 0 1 0 -3 F(X3) 39 0 0 0 3 /14 -1 /7 /14 2/7 /7 3 /7 Оптимальный план можно записать так: x1 = 8 x2 = 5 F(X) = 3•8 + 3•5 = 39 Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов 1 2 3 4 5 Запас ы 200 175 225 отправления 1 5 7 4 2 5 2 7 1 3 1 10 3 2 3 6 8 7 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. в ∑a = 200 + 175 + 225 = 600 ∑b = 100 + 130 + 80 + 190 + 100 = 600 Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Занесем исходные данные в распределительную таблицу. 1 2 3 1 5 7 4 2 7 1 3 3 2 3 6 Потре 100 130 80 бност и Этап I. Поиск первого опорного плана. 4 5 2 1 8 190 5 10 7 100 Запас ы 200 175 225 1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи. План начинается заполняться с верхнего левого угла. Искомый элемент равен 5 Для этого элемента запасы равны 200, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его. x11 = min(200,100) = 100. 5 7 4 2 5 x x 100 100 = 0 1 3 130 3 6 80 1 8 190 10 7 100 200 100 = 100 175 225 0 Искомый элемент равен 7 Для этого элемента запасы равны 100, потребности 130. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его. x12 = min(100,130) = 100. 5 7 x x x 100 100 = x x 0 1 3 130 100 = 30 Искомый элемент равен 1 3 6 80 1 8 190 10 7 100 0 175 225 0 Для этого элемента запасы равны 175, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его. x22 = min(175,30) = 30. 5 x 7 1 x 0 x 30 - 30 =0 Искомый элемент равен 3 x 3 x 1 x 10 6 80 8 190 7 100 0 175 30 = 145 225 0 Для этого элемента запасы равны 145, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его. x23 = min(145,80) = 80. 5 x 7 1 x 0 x 0 x 3 x 1 x 8 80 - 80 190 =0 x 10 7 100 0 145 80 = 65 225 0 Искомый элемент равен 1 Для этого элемента запасы равны 65, потребности 190. Поскольку минимальным является 65, то вычитаем его. x24 = min(65,190) = 65. 5 x 7 1 x 3 x 1 x 0 x 0 x 0 8 190 65 = 125 x x 0 65 - 65 =0 7 225 100 0 Искомый элемент равен 8 Для этого элемента запасы равны 225, потребности 125. Поскольку минимальным является 125, то вычитаем его. x34 = min(225,125) = 125. 5 x x 7 1 x x 3 x x 1 8 x x 7 0 0 0 125 125 = 0 100 0 0 225 125 = 100 0 Искомый элемент равен 7 Для этого элемента запасы равны 100, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его. x35 = min(100,100) = 100. 5 x x 7 1 x x 3 x x 1 8 0 0 0 0 x x 7 0 0 100 100 = 0 0 100 100 = 0 Запас ы 1 5[100] 7[100] 4 2 5 200 2 7 1[30] 3[80] 1[65] 10 175 3 2 3 6 8[125] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 1 2 3 4 5 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 5*100 + 7*100 + 1*30 + 3*80 + 1*65 + 8*125 + 7*100 = 3235 Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 5; 0 + v1 = 5; v1 = 5 u1 + v2 = 7; 0 + v2 = 7; v2 = 7 u2 + v2 = 1; 7 + u2 = 1; u2 = -6 u2 + v3 = 3; -6 + v3 = 3; v3 = 9 u2 + v4 = 1; -6 + v4 = 1; v4 = 7 u3 + v4 = 8; 7 + u3 = 8; u3 = 1 u3 + v5 = 7; 1 + v5 = 7; v5 = 6 v1=5 v2=7 v3=9 v4=7 v5=6 u1=0 5[100] 7[100] 4 2 5 u2=-6 7 1[30] 3[80] 1[65] 10 u3=1 2 3 6 8[125] 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (1;3): 0 + 9 > 4; ∆13 = 0 + 9 - 4 = 5 (1;4): 0 + 7 > 2; ∆14 = 0 + 7 - 2 = 5 (1;5): 0 + 6 > 5; ∆15 = 0 + 6 - 5 = 1 (3;1): 1 + 5 > 2; ∆31 = 1 + 5 - 2 = 4 (3;2): 1 + 7 > 3; ∆32 = 1 + 7 - 3 = 5 (3;3): 1 + 9 > 6; ∆33 = 1 + 9 - 6 = 4 max(5,5,1,4,5,4) = 5 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 4 Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 3 4 5 Запас ы 200 5[100] 7[100] 4[+] 2 5 [-] 2 7 1[30][ 3[80][- 1[65] 10 175 +] ] 3 2 3 6 8[125] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (1,3; 1,2; 2,2; 2,3; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 80. Прибавляем 80 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 80 из Х ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5[100] 7[20] 4[80] 2 5 200 2 7 1[110] 3 1[65] 10 175 3 2 3 6 8[125] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 2 3 4 5 u1 + v1 = 5; 0 + v1 = 5; v1 = 5 u1 + v2 = 7; 0 + v2 = 7; v2 = 7 u2 + v2 = 1; 7 + u2 = 1; u2 = -6 u2 + v4 = 1; -6 + v4 = 1; v4 = 7 u3 + v4 = 8; 7 + u3 = 8; u3 = 1 u3 + v5 = 7; 1 + v5 = 7; v5 = 6 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 v1=5 v2=7 v3=4 v4=7 v5=6 u1=0 5[100] 7[20] 4[80] 2 5 u2=-6 7 1[110] 3 1[65] 10 u3=1 2 3 6 8[125] 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (1;4): 0 + 7 > 2; ∆14 = 0 + 7 - 2 = 5 (1;5): 0 + 6 > 5; ∆15 = 0 + 6 - 5 = 1 (3;1): 1 + 5 > 2; ∆31 = 1 + 5 - 2 = 4 (3;2): 1 + 7 > 3; ∆32 = 1 + 7 - 3 = 5 max(5,1,4,5) = 5 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 2 Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 2 3 4 5 1 Запас ы 200 5[100] 7[20][- 4[80] 2[+] 5 ] 2 7 1[110] 3 1[65][- 10 175 [+] ] 3 2 3 6 8[125] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (1,4; 1,2; 2,2; 2,4; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5[100] 7 4[80] 2[20] 5 200 2 7 1[130] 3 1[45] 10 175 3 2 3 6 8[125] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 2 3 4 5 u1 + v1 = 5; 0 + v1 = 5; v1 = 5 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v4 = 8; 2 + u3 = 8; u3 = 6 u3 + v5 = 7; 6 + v5 = 7; v5 = 1 v1=5 v2=2 v3=4 v4=2 v5=1 u1=0 5[100] 7 4[80] 2[20] 5 u2=-1 7 1[130] 3 1[45] 10 u3=6 2 3 6 8[125] 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (3;1): 6 + 5 > 2; ∆31 = 6 + 5 - 2 = 9 (3;2): 6 + 2 > 3; ∆32 = 6 + 2 - 3 = 5 (3;3): 6 + 4 > 6; ∆33 = 6 + 4 - 6 = 4 max(9,5,4) = 9 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 2 Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 2 3 4 5 1 Запас ы 200 5[100] 7 4[80] 2[20][ 5 [-] +] 2 7 1[130] 3 1[45] 10 175 3 2[+] 3 6 8[125] 7[100] 225 [-] Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (3,1; 3,4; 1,4; 1,1; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5 7 4[80] 2[120] 5 200 2 7 1[130] 3 1[45] 10 175 3 2[100] 3 6 8[25] 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v4 = 8; 2 + u3 = 8; u3 = 6 u3 + v1 = 2; 6 + v1 = 2; v1 = -4 u3 + v5 = 7; 6 + v5 = 7; v5 = 1 2 3 4 5 v1=-4 v2=2 v3=4 v4=2 v5=1 u1=0 5 7 4[80] 2[120] 5 u2=-1 7 1[130] 3 1[45] 10 u3=6 2[100] 3 6 8[25] 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (3;2): 6 + 2 > 3; ∆32 = 6 + 2 - 3 = 5 (3;3): 6 + 4 > 6; ∆33 = 6 + 4 - 6 = 4 max(5,4) = 5 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 3 Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 2 3 4 5 5 7 Запас ы 200 175 7 4[80] 2[120] 5 1[130] 3 1[45][ 10 [-] +] 3 2[100] 3[+] 6 8[25][- 7[100] 225 ] Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (3,2; 3,4; 2,4; 2,2; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 25. Прибавляем 25 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 25 из Х ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5 7 4[80] 2[120] 5 200 2 7 1[105] 3 1[70] 10 175 3 2[100] 3[25] 6 8 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 2 3 4 5 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 u3 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1 u3 + v5 = 7; 1 + v5 = 7; v5 = 6 v1=1 v2=2 v3=4 v4=2 v5=6 u1=0 5 7 4[80] 2[120] 5 u2=-1 7 1[105] 3 1[70] 10 u3=1 2[100] 3[25] 6 8 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (1;5): 0 + 6 > 5; ∆15 = 0 + 6 - 5 = 1 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 5 Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Запас ы 1 5 7 4[80] 2[120] 5[+] 200 [-] 2 7 1[105] 3 1[70][ 10 175 [-] +] 3 2[100] 3[25][ 6 8 7[100] 225 +] [-] Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (1,5; 1,4; 2,4; 2,2; 3,2; 3,5; ). 1 2 3 4 5 Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 1 2 3 4 5 Запасы 1 5 7 4[80] 2[20] 5[100] 200 2 7 1[5] 3 1[170] 10 175 3 2[100] 3[125] 6 8 7 225 Потребности 100 130 80 190 100 Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 u3 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1 u1 + v5 = 5; 0 + v5 = 5; v5 = 5 v1=1 v2=2 v3=4 v4=2 v5=5 u1=0 5 7 4[80] 2[20] 5[100] u2=-1 7 1[5] 3 1[170] 10 u3=1 2[100] 3[125] 6 8 7 Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 4*80 + 2*20 + 5*100 + 1*5 + 1*170 + 2*100 + 3*125 = 1610 Этап I. Поиск первого опорного плана. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. Искомый элемент равен 1 Для этого элемента запасы равны 175, потребности 130. Поскольку минимальным является 130, то вычитаем его. x22 = min(175,130) = 130. 5 7 x 1 4 3 2 1 5 10 2 100 x 130 - 6 80 8 190 7 100 200 175 130 = 45 225 0 130 = 0 Искомый элемент равен 1 Для этого элемента запасы равны 45, потребности 190. Поскольку минимальным является 45, то вычитаем его. x24 = min(45,190) = 45. 5 x x 1 4 x 2 1 2 100 x 0 6 80 8 190 45 = 145 5 x 200 45 - 45 =0 7 225 100 0 Искомый элемент равен 2 Для этого элемента запасы равны 200, потребности 145. Поскольку минимальным является 145, то вычитаем его. x14 = min(200,145) = 145. 5 x 4 2 5 x 2 100 1 x 0 x 6 80 1 x 145 145 = 0 x 7 100 200 145 = 55 0 225 0 Искомый элемент равен 2 Для этого элемента запасы равны 225, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его. x31 = min(225,100) = 100. x x 2 x 1 x 4 x 6 2 1 x 5 x 7 100 100 = 0 0 80 0 100 55 0 225 100 = 125 0 Искомый элемент равен 4 Для этого элемента запасы равны 55, потребности 80. Поскольку минимальным является 55, то вычитаем его. x13 = min(55,80) = 55. x x 4 2 x 2 0 1 x 0 x 6 80 - 55 = 25 1 x 0 x 55 - 55 =0 x 0 7 125 100 0 Искомый элемент равен 6 Для этого элемента запасы равны 125, потребности 25. Поскольку минимальным является 25, то вычитаем его. x33 = min(125,25) = 25. x x 2 x 1 x 4 x 6 2 1 x x x 7 0 0 25 - 25 =0 0 100 0 0 125 25 = 100 0 Искомый элемент равен 7 Для этого элемента запасы равны 100, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его. x35 = min(100,100) = 100. x x 2 x 1 x 4 x 6 2 1 x 0 0 0 0 x x 7 0 0 100 100 = 0 0 100 100 = 0 Запас ы 1 5 7 4[55] 2[145] 5 200 2 7 1[130] 3 1[45] 10 175 3 2[100] 3 6[25] 8 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 1 2 3 4 5 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 4*55 + 2*145 + 1*130 + 1*45 + 2*100 + 6*25 + 7*100 = 1735 Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u3 + v3 = 6; 4 + u3 = 6; u3 = 2 u3 + v1 = 2; 2 + v1 = 2; v1 = 0 u3 + v5 = 7; 2 + v5 = 7; v5 = 5 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 v1=0 v2=2 v3=4 v4=2 v5=5 u1=0 5 7 4[55] 2[145] 5 u2=-1 7 1[130] 3 1[45] 10 u3=2 2[100] 3 6[25] 8 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (3;2): 2 + 2 > 3; ∆32 = 2 + 2 - 3 = 1 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 3 Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 5 7 3 4 5 Запас ы 200 4[55][ 2[145] 5 +] [-] 2 7 1[130] 3 1[45][ 10 175 [-] +] 3 2[100] 3[+] 6[25][- 8 7[100] 225 ] Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (3,2; 3,3; 1,3; 1,4; 2,4; 2,2; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 25. Прибавляем 25 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 25 из Х ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5 7 4[80] 2[120] 5 200 2 7 1[105] 3 1[70] 10 175 3 2[100] 3[25] 6 8 7[100] 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 2 3 4 5 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 u3 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1 u3 + v5 = 7; 1 + v5 = 7; v5 = 6 v1=1 v2=2 v3=4 v4=2 v5=6 u1=0 5 7 4[80] 2[120] 5 u2=-1 7 1[105] 3 1[70] 10 u3=1 2[100] 3[25] 6 8 7[100] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (1;5): 0 + 6 > 5; ∆15 = 0 + 6 - 5 = 1 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 5 Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Запас ы 1 5 7 4[80] 2[120] 5[+] 200 [-] 2 7 1[105] 3 1[70][ 10 175 [-] +] 3 2[100] 3[25][ 6 8 7[100] 225 +] [-] Потре 100 130 80 190 100 бност и Цикл приведен в таблице (1,5; 1,4; 2,4; 2,2; 3,2; 3,5; ). 1 2 3 4 5 Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Запас ы 1 5 7 4[80] 2[20] 5[100] 200 2 7 1[5] 3 1[170] 10 175 3 2[100] 3[125] 6 8 7 225 Потре 100 130 80 190 100 бност и Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 1 u1 + v3 = 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4 u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2 u2 + v4 = 1; 2 + u2 = 1; u2 = -1 u2 + v2 = 1; -1 + v2 = 1; v2 = 2 u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 u3 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1 2 3 4 5 u1 + v5 = 5; 0 + v5 = 5; v5 = 5 v1=1 v2=2 v3=4 v4=2 v5=5 u1=0 5 7 4[80] 2[20] 5[100] u2=-1 7 1[5] 3 1[170] 10 u3=1 2[100] 3[125] 6 8 7 Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 4*80 + 2*20 + 5*100 + 1*5 + 1*170 + 2*100 + 3*125 = 1610 Решение: все вычисления будем заносить в таблицу. Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д. Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Так, для работы (4,8) в графу 1 поставим число 2, т.к. на номер 4 оканчиваются 2 работы: (2,4),(3,4). Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в графе 2, в графу 4 также заносятся нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4. Для заполнения следующих строк графы 4, т.е. строк начиная с номера 2, просматриваются заполненные строки графы 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы. Заполнение графы 4. Рассмотрим события: (1,2): 10. Заносим значение 10 в графу. Рассмотрим события: (1,3): 4. Заносим значение 4 в графу. Рассмотрим события: (2,4): 16;(3,4): 17. Максимальное значение: 17. Заносим его в графу. Рассмотрим события: (2,5): 26;(3,5): 12. Максимальное значение: 26. Заносим его в графу. Рассмотрим события: (2,6): 24;(3,6): 10;(5,6): 26. Максимальное значение: 26. Заносим его в графу. Рассмотрим события: (3,7): 12;(6,7): 26. Максимальное значение: 26. Заносим его в графу. Рассмотрим события: (4,8): 27;(7,8): 26. Максимальное значение: 27. Заносим его в графу. Графа 6 заполняется обратным ходом, т.е. снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 6 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (т.к. tр(i)= tп(i)). Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строчки по графе 6. Графа 7 заполняется в последнюю очередь. Значения этой граф равны сумме графы 3 и минимальному значению графы 5, оканчивающиеся на номер последнего события. Работа Количеств Продолжи Ранние Ранние Поздние Минималь (i,j) о тельность сроки: сроки: сроки:око ный предшеств tij начало окончание нчание разрез ующих tijР.Н. tijР.О. tijП.О. (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,8) (4,9) Из графы работ 0 10 0 0 4 0 1 6 10 1 16 10 1 14 10 1 13 4 1 8 4 1 6 4 1 8 4 2 10 17 2 5 17 7 выбираем минимальное значение 10 4 16 26 24 17 12 10 12 27 22 для всех на 9. Ответ: Продолжительность минимального пути: 21 11 10 4 4 17 16 27 26 27 24 17 17 27 12 27 10 27 12 27 26 27 21 событий, оканчивающихся
