Системы счисления

Системы счисления
Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную
роль
чисел
в
практической
деятельности.
Известно
множество
способов
представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой
это некоторая величина.
Числа складываются из цифр по особым правилам. Эти правила мы называем
системами счисления.
Система счисления –совокупность приемов и правил записи чисел с помощью
определенного набора символов(цифр).
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы возникли раньше.
Для представления чисел используются непозиционные и позиционные
системы счисления.
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел.
Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что
первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо
значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Такая система записи чисел называется
единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения
одного знака, символизирующего единицу.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по
пять.
Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать
таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом
получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные,
системы счисления.
Древнеегипетская
десятичная
непозиционная
система
счисления.
Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою
числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д.
использовались специальные значки — иероглифы.
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции
сложения.
Система
непозиционной.
счисления
Древнего
Египта
является
десятичной,
но
того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было
записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая
сохранилась
до
наших
дней, может служить система счисления, которая
применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе
римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая
ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100,
500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов
(Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение,
но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак,
поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а
каждый
меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, XCIХ = -10+100-1+10.
Позиционные системы счисления.
системы, в которых значение каждой цифры числа зависит от того, в каком
месте – (позиции или разряде) она стоит.
В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой
форме может быть представлено в следующем виде:
2
Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)
.4
Здесь А — само число,
q — основание системы счисления,
ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n — число целых разрядов числа,
m — число дробных разрядов числа.
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
2
A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m
.6
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни.
Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Двоичная система счисления.
0,1
Восьмеричная
0,1,2,…7
Десяичная
0,1,2,…,9
Шестнадцатеричная
0,1,2,3,…A,B
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.
1. Представить число в развернутой форме.
2. Найти сумму ряда
Алгоритм перевода чисел из десятичной системы системы счисления в
любую другую.
1. Последовательно выполнять деление числа и получаемых целых частных
на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет
меньше делителя.
2. Полученные остатки привести в соответствие с новой системой счисления
3. Записать последнее частное и остатки в обратном порядке.
ПРИМЕР:
Сложение в двоичной системе счисления.
Правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения
одноразрядных чисел,
0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10.
Следовательно, используя известное запоминание
переполнения в старший разряд, получаем,

11101010011,111
1111100101,011
101100111001,010
в
уме
при
переносе
Вычитание в двоичной системы счисления.
Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем
правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе
счисления,
0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1.
Используя это правело можно проверить правильность произведенного выше
сложения вычитание из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы
вычислить в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо «занимать»
недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной
системе счисления поступают при вычитании большого числа из меньшего).
Умножение в двоичной системе счисления. Правила умножения одноразрядных
двоичных чисел наиболее очевидны,
0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1.
В таком случае, записывается столбиком процесс умножения двух много
*
1011,01
101,11
101101
 101101 
101101  
101101   
1000000,1011
разрядных двоичных чисел, получим следующий результат,
Затем, что при решении этого примера понадобилось в каждом разряде найти
сумму четырех одноразрядных двоичных чисел. При этом мы учли, что в двоичной
системе счисления.
1+1+1=10+1=11,
1+1+1+1=11+1=100.