В.Н.Сачков ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982, 384 стр. Книга содержит изложение ряда основных комбинаторных методов современной дискретной математики в систематизированном виде. Предпочтение отдается тем методам, которые носят перечислительный характер, наиболее отработаны теоретически и имеют наибольшее число приложений. Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по специальностям "Прикладная математика" и "Кибернетика", а также для научных работников, работающих в области прикладной математики и кибернетики. Содержание Предисловие 5 Глава I. Основные понятия и элементарные методы 7 § 1. Множества 7 § 2. Отображения, соответствия, функции 13 § 3. Отношения, операции, алгебры 23 § 4. Числа, многочлены, операторы 34 § 5. Преобразования 46 § 6. Булевы функции 52 Задачи 58 Глава II. Формулы обращения и метод включения — исключения 62 § 1. Метод включения — исключения 62 § 2. Неравенства Бонферрони 67 § 3. Формулы обращения для частично упорядоченных множеств 70 Задачи 81 Глава III. Производящие функции 83 § 1. Формальные степенные ряды 83 § 2. Производящие функции 99 § 3. Метод дифференциальных уравнений 113 § 4. Метод линейных функционалов 120 § 5. Асимптотические разложения 131 § 6. Числа Каталана 137 Задачи 145 Глава IV. Графы и преобразования 150 § 1. Графы 150 § 2. Деревья 161 § 3. Циклы подстановок 171 § 4. Графы преобразований 182 § 5. Блоки 193 Глава V. Общая комбинаторная схема и теория Пойа 200 § 1. Группы и эквивалентность отображении 200 § 2. Общая комбинаторная схема 207 § 3. Коммутативный несимметричный n-базис 210 § 4. Некоммутативный несимметричный n-базис § 5. Коммутативный симметричный n-базис § 6. Некоммутативный симметричный n-базис § 7. Теорема Пойа Глава VI. Вероятностные методы в комбинаторном анализе § 1. Вероятностные распределения и случайные величины § 2. Моменты случайных величин § 3. Неотрицательные целочисленные матрицы § 4. Покрытия множеств § 5. Производящие функции и предельные теоремы § 6. Разбиения конечных множеств § 7. Конечные топологии § 8. Разделяющие системы множеств Задачи Глава VII. Перманенты и трансверсали § 1. Свойства перманентов § 2. Перманенты и трансверсали § 3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицы § 4. Оценки перманента Задачи Глава VIII. Системы инцидентности и блок-схемы § 1. Системы инцидентности § 2. Блок-схемы § 3. Ортогональные латинские квадраты и конечные проективные плоскости Задачи Литература Предметный указатель Предметный указатель Возрастание (убывание) Алгоритм Прюфера 163 перестановки 114, 286 Аппелево множество 104 Гиперграф 12 Асимптотический ряд степенной 133 Граф 12, 111 Базисная последовательность 99 - двудольный 15 Блок 193 - корневой 194 - покрытия 9, 269 - однородный 150 - связного графа 193 - плоский 150 Блок-схема 363 - Пойа 170 - - полная (неполная) 364 - полный 150 - - сбалансированная 364 - преобразования 182 Булеан 21 - с помеченными вершинами 153 Вес конфигураций 241 - связный 151 - фигур 241 - Ферре 229 Весовая спецификация 241 - частичный 151 219 225 234 240 251 251 255 263 268 277 292 300 306 316 317 317 330 339 352 359 362 362 364 374 380 381 383 - четный 156 Группа знакопеременная 52 - подстановок 47 - симметрическая 47 - степенная 202 Групповые проверочные процедуры 140 Декомпозиция матрицы 349 Декремент 52, 181 Денумерант 231 Дерево 111, 161 - корневое 111, 163 - остовное 162 - свободное 113 - с помеченными вершинами 111 Дзета-функция 72 Дихотомия 25 Дуга 15, 152 Задача Андре 96 - об ожерельях 246 - о циклических последовательностях 75 - поиска 315 Законы де Моргана 9 Инверсия 284 Инволюция 106, 178 Индекс покрытия 342 Индикатор 21 Инцидентные вершины 150 Класс графов го, го, рода, 1, 2, 153, 154 - транзитивности 48 Комбинаторная схема 207 Коммутативный несимметричный nбазис 209 - симметричный n-базис 209 Компонента преобразования 182 - связности 151, 182 Конгруэнтные циклы 180 Конечная проективная плоскость 378 Контур 152, 183 Конфигурация 240 Коэффициент биномиальный 35 - полиномиальный 35 Коэффициенты Гаусса 120 Кронекерово произведение 372 Латинский квадрат 82, 338, 374 - прямоугольник 82, 338 Латинское свойство матрицы 376 Лемма Бернсайда 201 Лес 162 Линия 342 - матрицы 263 Матрица Адамара 370 - вполне неразложимая 341 - дважды стохастическая 346 - импримитивная 340 - инцидентности 23, 337, 362 - неотрицательная 335 - неразложимая 339 - k-неразложимая 360 - нормальная 368 - положительная 335 - почти разложимая 356 - примитивная 340 - разложимая 339 - смежности графа 150 - стохастическая 345 - теплицева 326 - частично разложимая 341 Место 240 Метод включения — исключения 62 Многочлен Аппеля 107 - Бернулли 104 - Лежандра 109 - Моргана 136 Моноид 27 Мультиграф 153 Мультимножество 18 Некоммутативный несимметричный n-базис 209 - симметричный n-базис 209 Неравенства Бонферрони 69 Неравенство Фишера 366 Нумератор 175, 211, 220, 226, 237 Область транзитивности 201 Ожерелье 246 Орбита 48 - группы 201 - подстановки 171 Орграф 152 Период вектора 75 Перманент 317 Петля 183 Подграф 151 Подстановка 47 - противоречивая 81 - четная (нечетная) 181 Покрытие матрицы 342 - минимальное 271 - множества 9, 268 Правило произведения 17 - суммы 10 Производящая функция 99, 100 - - Эйлера 123 Путь 152, 182 Разбиение множества 9, 128, 269 - случайное 297 - совершенное 233 - сопряженное 230 - упорядоченное 10 - числа 21, 103 Разделяющая система множеств 307 - - функций 312, 315 Разложение Лапласа 321 - перманента 321 Размещение 226 Расстояние Хэмминга 66 Рекуррентное уравнение 89, 327 Решетка матрицы 335 Серия 215 Сигнатура 25 Система инцидентности 362 - образующих 170, 307, 309 - представителей 209 - троек 367 - - Штейнера 367 Слой дерева 161 Спецификация первичная (вторичная) 18, 163 Стабилизатор 201, 205 Схема без возвращения 311 Теорема Куртисса 280 - Пойа 242 - Фробениуса 340 - Шпернера 11 Точка сочленения 193 Трансверсаль 337 Транспозиция 48, 169 Урновая схема 207 Уровневое множество 312 Усиленная независимость 155 Фигура 240 Формальные тригонометрические функции 95 Формальный степенной ряд 85 Формула Бине — Коши 324 - биномиальная 34 - Гаусса 81 - Добинского 45, 131, 238 Формула обращения 38 - полиномиальная 35 - Райзера 328 - Сильвестра 78 - Стирлинга 133 Функция Мёбиуса 72 - Шуpa 318 - Эйлера 80 Характеристика 241 Цепь 111, 151 - простая 151 Цикл 111, 151, 171 - подстановки 48 - простой 151 Циклическая вершина 183 - (v, k, \lambda)-конфигурация 369 Циклический индекс 51 - элемент 183 Цикловый индикатор 172 - класс 49 Цикломатическое число 162 Числа Белла 129, 238 - Бернулли 97, 104 - Галуа 121 - Каталана 139 - Лаха 147 - Моргана 42 - Стирлинга 43, 240 - Фибоначчи 22, 326 - Эйлера 98 Эйлеров граф 157 Энтропия 314 А-подстановка 177 В-преобразование 184 АВ-преобразование 189 Е-подстановка 95 G-эквивалентность 202 GН-эквивалентность 202 Н-эквивалентность 203 перестановка, 95 m-выборка 209, 225, 235 m-ка 16 m-мультимножество 18 m-последовательность 16 m-размещение 17 - - с повторением 17 m-сочетание 11, 210 - - с повторением 18 n-базис 209 n-множество 8 n-перестановка 18 (n, m)-граф 153 q-биномиальная формула 127 q-ичное разложение 34 t-схема 373 (v, k, \lambda)-конфигурация 367 (v, k, \lambda)-разностное множество 369 \Lambda-граф 154 \Lambda-подстановка 176 матрица, 1, 266
