КАЛЕЙДОСКОП УРОКОВ МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! КАЛЕЙДОСКОП К КАЛЕ КА АЛ ЛЕЙ ЛЕ ЙДОС Й ЙД ДОС ОСКО СКО КОП ОП У УРОК УР УРОКОВ ОКОВ ОК КОВ В ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ. 11 КЛАСС О. М. Богачёва, г. Саранск, Республика Мордовия Цель: обеспечить усовершенствование знаний и умений, связанных с применением производной к построению графиков функций: знания схемы исследования функции для построения её графика, формирование умений выполнять исследование функций (в том числе чётных и нечётных) в соответствии со схемой и строить эскизы графиков на основе проведённых исследований; содействовать развитию логического мышления, памяти, расширению математического кругозора; создать условия для формирования умения работать в команде. Тип урока: усовершенствование знаний и умений. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданиями для групповой работы. ХОД УРОКА I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Приветствие учащихся. Проверка готовности к уроку. II. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ Учащимся было предложено исследовать функцию y = x3 − 3x2 и построить её график. Проверку домашнего задания на исследование функции и построение её графика учащиеся выполняют по готовым образцам. Слайд 2 1. D (f ) = . 2. Находим точки пересечения графика с осями координат: с осью Ox : x3 − 3x2 = 0, x2 (x − 3) = 0, x = 0, x = 3, значит, имеем две точки: (0;0) и (3;0); с осью Oy : y = 03 − 3 ⋅ 02 = 0, значит, имеем точку (0;0). 3. Находим производную функции: y′ = 3x2 − 6x = 3x (x − 2). 4. Находим стационарные точки: 3x (x − 2) = 0, x = 0, x = 2. 5. Стационарные точки разбивают координатную прямую на три промежутка. y′ + – + x 2 0 Стационарная точка x = 0 — точка максимума, а x = 2 — точка минимума. 6. Составим таблицу. x x<0 0 0<x<2 2 x>2 y′ + 0 – 0 + y 0 −4 max min Учитель при необходимости поясняет важные моменты исследования. График функции представлен на слайде 3. Слайд 3 Слайд 1 При исследовании свойств функции полезно найти: 1) область её определения; 2) точки пересечения графика с осями координат; 3) производную; 4) стационарные точки; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения функции в этих точках 12 № 12 (48) декабрь 2014 y 1 –1 0 1 –4 2 3 x Слайд 5 y 2 1 x IV. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ Какой из графиков, изображённых на рисунках 1–3, соответствует результатам исследования функции, представленным в таблице (слайд 4)? (Функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел.) Слайд 4 Таблица x x < −1 −1 −1 < x < 2 2 x>2 f ′ (x ) – 0 + 0 – f (x ) 0 3 min y 3 3 x 3 –1 0 x –1 0 1 1 Таблица ( −∞; −1) x −1 ( −1;0) 0 (0;1) 1 (1;+∞ ) f ′ (x ) f (x ) max y 0 –1 2 1 — Является ли функция, график которой представлен на слайде 5, чётной или нечётной? Почему? — Как можно построить график чётной функции? — Каким свойством обладает график нечётной функции? — Исследуйте на чётность и нечётность функцию y = 2x3 − 6x. — Как можно построить график функции Рис. 1 Рис. 2 y y = 2x3 − 6x, зная, что она нечётная? Слайд 6 –1 y x 0 1 4 3 –1 –1 Рис. 3 V. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УМЕНИЙ 1. Коллективное выполнение заданий 1) На слайде 5 изображён график функции 1 x 0 –4 y = f (x ) определённой и непрерывной при x ∈. Пользуясь графиком, укажите её свойства и заполните таблицу. — Сделайте вывод о построении графика чётной (нечётной) функции. № 12 (48) декабрь 2014 13 МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! y = f (x ) КАЛЕЙДОСКОП УРОКОВ III. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА Одной из основных задач математики является исследование функции. Использование производной значительно облегчает задачу исследования функции и вместе с тем и построение её графика. Сегодня на уроке мы уточним схему исследования функции и будем использовать её для исследования функций и построения их графиков. МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! Вывод. Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать её свойства и построить её график при x ≥ 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). У ч и т е л ь. Исследование функции и построение её графика будем выполнять по такой схеме. x < −1 −1 −1 < x < 0 0 0 < x <1 1 x >1 y′ − 0 + 0 − 0 + y −4 −3 −4 min max 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. Схема исследования функции Найти область определения функции. Исследовать функцию на чётность и нечётность. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Найти производную функции. Найти стационарные точки. Найти промежутки возрастания, убывания функции. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках. Результаты исследования записать в таблицу. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек и построить график функции 2) Исследуйте функцию y = x − 2x − 3 4 2 и постройте её график. (Один учащийся работает у доски, остальные выполняют задания в тетрадях.) Решение y = x4 − 2x2 − 3. 1) D ( y ) = . min y Слайд 7 7. КАЛЕЙДОСКОП УРОКОВ x y = x4 − 2x2 − 3 –1 − 3 1 0 x 3 –1 –4 2. Работа в группах Учащиеся объединяются в три группы. Каждая группа получает карточку с заданием на исследование функции с помощью производной и построение графика. После окончания работы представители групп защищают свои решения. Карточка 1 Исследуйте функцию 2) y ( −x ) = ( −x ) − 2 ( −x ) − 3 = x4 − 2x2 − 3 = y ( x ). Функция чётная, график симметричен относительно оси ординат. 3) Точки пересечения графика с осями координат: с осью Ox : 4 2 y = 0, x4 − 2x2 − 3 = 0, y = x 4 − x2 и постройте её график Карточка 2 Исследуйте функцию y = 3x5 − 5x3 и постройте её график x1 = − 3, x2 = 3; (− ) ( 3; 0 , с осью Oy : (0; −3). ) Исследуйте функцию y = x4 − 4x3 4) y ′ = 4x − 4x. 3 и постройте её график 5) 4x3 − 4x = 0, ( ) 4x x2 − 1 = 0, x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1. 14 Карточка 3 3; 0 ; № 12 (48) декабрь 2014 После окончания работы представители групп защищают свои решения. Графики функций представлены на слайдах 8–10. y 1 − 1 1 x 2 2 –1 1 0 –0,25 –1 Слайд 9 График функции y = 3x5 − 5x3 y 2 1 x –1 − 5 3 0 1 5 3 –1 –2 Слайд 10 График функции y = x4 − 4x3 y 5 0 1 –1 –16 –27 3 4 x Готфрид Лейбниц (01.07.1646–14.11.1716) — немецкий математик, логик, физик, философ, историк, языковед и изобретатель, основоположник математического анализа, которого считают одним из самых всесторонних гениев за всю историю человечества. Родился в Лейпциге. Изучал философию и право в Лейпцигском (1661–1666) и математику в Йенском (1663) университетах. В Майнце занимался вопросами кодексации права. Был домашним учителем в Париже (1672–1676). В 1676–1716 гг. был придворным библиотекарем и тайным советником юстиции герцога Ганноверского. Организатор и первый президент Берлинской Академии наук. Способствовал открытию академий наук в Лейпциге, Вене и Петербурге. В 1711, 1712 и 1716 гг. встречался с Петром I, работал над проектом организации образования в России. Основные математические работы Лейбница посвящены разработке дифференциального и интегрального исчисления. Одновременно с И. Ньютоном, но независимо от него Лейбниц создал свой вариант анализа, исходя не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. Лейбниц установил зависимость между прямой и обратной задачами о касательных, разработал правила дифференцирования суммы, произведения, частного, степени. Дал определения экстремальных точек и точек перегиба. Ввёл много математических терминов, которые вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса и др., а также символы производных, дифференциала и интеграла. № 12 (48) декабрь 2014 15 МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! График функции y = x4 − x2 3. Историческая справка Сообщение группы учащихся, подготовивших к уроку сообщение об основоположнике математического анализа Г. Лейбнице. КАЛЕЙДОСКОП УРОКОВ Слайд 8 МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! 4. Самостоятельная работа Вариант 1 Исследуйте функцию f ( x ) = 12x − x3 и постройте эскиз её графика. Вариант 2 Исследуйте функцию f ( x ) = x3 − 27x и постройте эскиз её графика. Дополнительное задание Исследуйте функцию y = 1 − 2x2 − и постройте её график. 1. КАЛЕЙДОСКОП УРОКОВ x3 3 VI. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА Восстановите последовательность действий при исследовании свойств функции для построения её графика. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Найти производную функции. Найти область определения функции. Найти точки экстремума функции. 16 № 12 (48) декабрь 2014 Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Найти стационарные точки. Построить график функции. Исследовать функцию на чётность и нечётность. Найти значения функции в точках экстремума. 2. Охарактеризуйте особенности выполнения основных этапов исследования функции и отображения результатов исследования на графике функции. VII. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1. Повторить теоретический материал, учебник, § 51. 2. Выполнить задания: № 927 (1), № 930 (4). Литература 1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2012. 2. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — М. : Просвещение, 1990. 3. Математический анализ. Цветная вкладка. // Математика. Всё для учителя! — № 6 (30) 2014.
