Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Кубанский государственный технологический университет»
(ФГБОУ ВПО «КубГТУ»)
Кафедра информационных систем и программирования
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению
контрольной работы для студентов заочной формы обучения
направления 09.03.04 Программная инженерия
Краснодар
2015
Составитель: д.ф.-м.н., проф. В.М. Трофимов
Дискретная математика: методические указания по изучению
дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной
формы обучения направления 09.03.04 Программная инженерия / Сост.: В.М.
Трофимов; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. Инф. сист. и прогр. – Краснодар,
2015. – 12 с.
Приведены методические указания по изучению дисциплины и
типовые задания с ответами для выполнения контрольной работы студентами
заочной формы обучения направления 09.0304 Программная инженерия,
сформулированы требования к составу и объему работы.
Табл.2, Библиогр. : 4 назв.
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. каф. ИСП В.Н. Марков,
к.т.н., проф.каф. Информационных технологий в
профессиональной деятельности Академии
маркетинга и социально-информационных
технологий (ИМСИТ) Г.Д. Нестеров
Содержание
1. Введение ..................................................................................... 4
1.1. Цель дисциплины .................................................................. 4
1.2. Задачи дисциплины .............................................................. 4
2. Основные понятия, термины и определения ......................... 4
3. Требования к уровню усвоения содержания дисциплины ..... 5
4. Содержание дисциплины ......................................................... 6
4.1. Лекции ...................................................................................... 6
4.2. Практические занятия ............................................................ 8
4.3. Лабораторные занятия ............................................................ 8
5. Примеры заданий для контрольной работы с ответами ……...10
Список рекомендуемой литературы .......................................... 12
1. Введение
1.1. Цель дисциплины
Цель преподавания курса «Дискретная математика» - освоить
фундаментальные основы дискретной математики, необходимые при
решении прикладных задач информатики, а также системных задач
программирования.
1.2. Задачи дисциплины
Задачами изучения дискретной математики являются - освоение
понятий теории множеств, отношений, функций, комбинаторики, теории
графов и ориентированных графов. Студенты должны овладеть базовыми
алгоритмами дискретной математики, основными методами доказательств
теорем и математических утверждений, научиться решать задачи по всем
разделам дисциплины, овладеть прикладными методами дискретной
математики, используемыми в программной инженерии.
2. Основные понятия, термины и определения
Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического
обучения и дающее систематизированные основы научных знаний по
дисциплине, раскрывающее
состояние
и
перспективы
развития
соответствующей области науки и техники, концентрирующее внимание
обучающихся на наиболее сложных, узловых вопросах, стимулирующее их
познавательную деятельность и способствующее формированию творческого
мышления.
Практические занятия, ПЗ — одна из форм учебного занятия,
направленная на развитие самостоятельности учащихся и приобретение
умений и навыков. Данные учебные занятия углубляют, расширяют,
детализируют полученные на
лекции знания. Практическое занятие
предполагает выполнение студентами по заданию и под руководством
преподавателей одной или нескольких практических работ.
Лабораторная работа, ЛР – это работа(занятие), в которой
требуется произвести анализ и провести определѐнный опыт или
эксперимент. Обычно их проводят в лабораториях (на что и указывает
название), но могут быть проведены в обычном кабинете с использованием
и без использования технических средств обучения. Необходимо
использовать рабочие тетради для выполнения заданий и совместного
решения задач, так чтобы конспекты лекций велись отдельно в других
тетрадях.
Самостоятельная работа студента, СРС — планируемая учебная,
учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа студентов,
выполняемая во внеаудиторное (аудиторное) время по заданию и при
методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного
участия (при частичном непосредственном участии преподавателя,
оставляющем ведущую роль за работой студентов).
Контрольные задания, КЗ — задания в открытой форме, требующие
поэтапного решения и развернутого ответа, в т.ч. тестовые, и задания на
индивидуальное или коллективное выполнение проектов, задания на
выполнение лабораторных работ или практических действий.
3. Требования к уровню усвоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Дискретная математика»
выпускник должен
обладать следующими компетенциями:
- Способность к формализации в своей предметной области с учетом
ограничений используемых методов исследования (ПК-12);
- Готовность к использованию методов и инструментальных средств
исследования объектов профессиональной деятельности (ПК-13);
- Способность оценивать временную и емкостную сложность
программного обеспечения (ПК-20).
4. Содержание дисциплины
4.1. Лекции
Лекции являются основной формой учебных занятий в вузе.
Лекция – форма организации учебного процесса, направленная на
формирование ориентировочной основы для последующего усвоения
учащимися учебного материала. Главное назначение лекции - обеспечить
теоретическую основу обучения, развить интерес к учебной деятельности
и конкретной учебной дисциплине, сформировать у обучающихся
ориентиры для самостоятельной работы над курсом. Выбор форм, методов и
приемов чтения лекций во многом зависит от специфики преподаваемой
учебной дисциплины и состава академической аудитории.
Обычно выделяют три основных типа лекций, применяемых при
очном обучении для передачи теоретического материала:
∙ вводная лекция;
∙ информационная лекция;
∙ обзорная лекция.
Вводная лекция дает первое целостное представление об учебном
предмете и ориентирует студента в системе работы по данному курсу. Лектор
знакомит студентов с целью и назначением курса, его ролью, местом в
системе учебных дисциплин. Дается краткий обзор курса, вехи развития
науки, имена известных ученых. Намечаются перспективы развития науки,
еѐ вклад в практику.
Теоретический материал связывается с практикой будущей работы
специалиста. На этой лекции могут высказываться методические и
организационные особенности работы в рамках курса, а также может
даваться анализ
учебно-методической
литературы,
рекомендуемой
студентам, уточняться сроки и формы отчетности.
Лекция-информация. Ориентирована на изложение и объяснение
студентам научной
информации,
подлежащей
осмыслению
и
запоминанию. Это самый традиционный тип лекций в практике высшей
школы.
Обзорная лекция — это систематизация научных знаний на
высоком уровне, допускающая большое число ассоциативных связей в
процессе осмысления
информации,
излагаемой
при
раскрытии
внутрипредметной и межпредметной связи, исключая детализацию и
конкретизацию.
Как
правило, стержень излагаемых теоретических
положений составляет научно-понятийная и концептуальная основа всего
курса или крупных его разделов.
В зависимости от предмета изучаемой дисциплины и дидактических
целей могут быть использованы такие лекционные формы, как
проблемная
лекция, лекция-визуализация,
лекция-пресс-конференция,
лекция с заранее запланированными ошибками, лекция вдвоем и др.
Для заочной формы обучения лекция имеет черты общие с обзорной
лекцией, однако в целом имеет синтетический, охватывающий черты всех
типов лекций характер и, поэтому, наиболее трудна для преподавателя.
Тематика лекций
представлена в таблице 1.
Таблица 1
№ раздела
дисципли
ны
1
2
3
4
5
по
дисциплине
«Дискретная математика»
Наименование раздела,
подраздела, и их содержание
Множества, шаблоны доказательств и индукция
1.1 Множества: основные определения
1.2 Множества: шаблоны доказательств
1.3 Операции над множествами
1.4 Законы де Моргана и новые шаблоны
1.5 Принцип включения-исключения.
Математическая индукция
Отношения и функции
2.1 Бинарные отношения
2.2 Свойства и виды отношений
2.3 Отношения эквивалентности и отношения
порядка
Подсчеты и комбинаторика
2.4
3.1 Функции
Принципы подсчёта
3.2 Подсчёт повторяющихся объектов и
комбинаторные тождества
Теория графов
4.1 Основные понятия теории графов
4.2 Циклы, изоморфизм, представление графов в
компьютере
4.3 Связные графы
4.4 Графы-деревья
4.5Математическая
Ориентированныелогика
графы
4.6 Логика
Приложения
ориентированных графов
5.1
высказываний
Итого
Количество
часов
Очная Заочная
форма форма
10
2
8
2
4
2
12
2
36
6
4.2. Практические занятия
Практические занятия в данной дисциплине не предусмотрены.
4.3. Лабораторные занятия
Лабораторные
занятия
это
одна
из
разновидностей
практического занятия, являющаяся эффективной формой учебных
занятий в вузе. Лабораторные работы имеют ярко выраженную
специфику в зависимости от учебной дисциплины, углубляют и закрепляют
теоретические знания. На этих занятиях студенты осваивают конкретные
методы изучения дисциплины, обучаются экспериментальным способам
анализа действительности, умению работать с приборами и современным
оборудованием.
Порядок проведения лабораторного занятия
1. Вводная часть:
∙ входной контроль подготовки студента; вводный инструктаж
(знакомство студентов с содержанием предстоящей работы,
показ способов выполнения отдельных операций, напоминание отдельных
положений по технике безопасности).
2. Основная часть:
∙ проведение студентом лабораторной работы;
∙ текущий инструктаж (повторный показ или разъяснения (в случае
необходимости) преподавателем исполнительских действий,
являющихся предметом инструктирования).
3. Заключительная часть:
∙ оформление отчета о выполнении задания;
Тематика лабораторных занятий
математика» представлена в таблице 2.
по
дисциплине
«Дискретная
Таблица 2
№ раздела
дисциплин
ы
Наименование лабораторной работы и её
содержание
1
1
№1. Множества и доказательства
№2. Подсчёты мощности множеств
2
2
№3. Отношения и функции
№4. Транзитивные замыкания
3
3
№5. Комбинации без повторений
№6. Комбинации с повторениями
№7. Представление графов в компьютере
Колич-во часов
Очная
форма
Заочна
4
я2
форма
2
2
2
2
2
Заочная
форма
2
2
2
4
5
№8. Обход графов в глубину и в ширину
№9. Связность в графах
№10. Циклы и контуры в графах
№11. Ориентированные графы
№12. Взвешенные графы
№13. Потоки в сетях
№14. Математическая логика.
Итого:
2
4
4
4
2
2
2
36
2
8
5. Примеры заданий для контрольной работы с ответами
Контрольная работа № 1 (вариант 1)
1.Какие из следующих пар множеств равны? Для каждой пары неравных
множеств найдите элемент, который входит в одно множество, и не входит в
другое.
(a) {{5, 3, 5, 1, 5}, {2, 4, 6}, {5, 1, 3, 3}} и {{1, 3, 5, 1}, {6, 4, 2}, {6, 6, 4, 4,
6}}.
Ответ: множества не равны, отличаются элементом {6, 6, 4, 4, 6}
(b) {0, 1, 2} и {0, 0, 1, 2, 2, 1}.
Ответ: множества равны
(c) {0, 1, 3, {1, 2}} и {0, 1, 2, {2, 3}}.
Ответ: множества не равны, они имеют только два одинаковых элемента: 0 и
1
(d) ∅ и {x ∈ ℕ: x > 1 и x2 = x}.
Ответ: множества равны
(e) ∅ и {∅}
Ответ: множества не равны, второе множество имеет один элемент, а первое
не содержит ни одного элемента
2. Выясните, сколько целых чисел от 1 до 1000, включая оба этих числа, не
делятся хотя бы на одно из чисел 5, 6 или 8.
Ответ: применяя принцип дополнения, получаем сначала множество чисел от
1 до 1000, делящихся на все три числа: целая часть (1000/(5*6*4)) = 8.
Вычитая 8 из 1000, получаем 92. Примечание: наименьшее общее
произведение сомножителей 5*6*4, а не 5*6*8.
3.Найдите число перестановок слова КОММУНИКАТОР и ГИРОСКУТЕР
Ответ:
, так как в слове КОММУНИКАТОР две «к», две «м», две «о»,
остальных букв - по одной;
, так как в слове ГИРОСКУТЕР две буквы «р».
4. Найдите число следующих комбинаций пяти карт (колода включает 52
карты):
(а) четыре туза и ещё какая-нибудь карта;
Ответ: четыре туза – один вариант, для последней карты 52 – 4 = 48
вариантов; умножая варианты, получаем 48
(б) четыре карты одинаковой силы (четыре двойки, четыре вольта и т.д.) и
ещё какая-нибудь карта (то есть число ситуаций каре).
Ответ: всего может быть 13 номинаций четырёх одинаковых карт и 52 – 4 =
48 вариантов для пятой карты; всего вариантов 13*48 = 624
5. Пусть A ={a,b,c,d}. Отношения R1 и R2 определены на множестве A как :
R1 = {(a,a),(a,b),(b,d)} и R2 = {(a,d),(b,c),(b,d),(c,b)}
Найдите следующие композиции этих отношений:
(a) R2 ◦ R1; (б) R1 ◦ R2; (в) R1 ◦ R1 .
Ответ: (а) {(a,d), (a,c)}; (б) { (c,a), (c,d)}; в) { (a,a), (a,b), (a,d)}
6. Докажите, что никакие два из изображенных ниже графов
изоморфны:
,
и
не
Ответ: хотя все графы имеют одинаковое число вершин, рёбер и
равностепенных вершин, они не изоморфны ввиду несоответствия
местоположения равностепенных вершин. Например, две вершины степени
два в одном случае смежные в других несмежные.
7. Найдите остовное дерево наименьшей цены (ОДНЦ) графов G и H:
3
2
7 e 1 e 2
2
1 5
5
e2 6 f e5 f 7e
3
e
e
e
2
e e
f
e
e
f
f
1
e
4
e
f
3
6 f b3 f b
f 3f 1 e
1
b
e
f
f
b
b
e
f
b6 b b
e f 3 bbe b 4b 7 e
ef
e
e
f
b
b
b
b
f
b
f e 5bbf G2b eb4 e f
b fb f b
4 b e 3H
f
b
b
b
b
b
b
b
b f eb b 3 b
b f eb b eeb f e f b
e
beb
b bb
b
b
b
b
b
b
f
b
b
f
b
Ответ: fОДНЦ
вершинами:
2,1, 7, 6, 3, 4,
f b
b ffb для G - дерево, образованное
bfbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b 12,
5. Рёбра: 67, 71,
b bb63, 64, 45.
bbb
bb b
bb bb b b b
b b b
b
b
b
b – дерево,
ОДНЦ bдля bH
образованное
51,
b рёбрами:
b 54, 43, 32
6. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов. - 3-е изд. СПб. : Питер, 2009 (81014). - 383 с. - (Учеб. для вузов). - Библиогр.: с.
368-369 (31назв.). - ISBN 978-5-91180-759-7 : 380-00.
2. Вороненко, А.А.
Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями : учебнометодическое пособие / А. А. Вороненко. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. 104 с. - http://znanium.com/bookread2.php?book=424101
Дополнительная
3. Алексеев, В.Б.
Лекции по дискретной математике : учебное пособие / В. Б. Алексеев. М.:НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 90 с.
http://znanium.com/bookread2.php?book=371452
4. Просветов, Г.И. Дискретная математика: задачи и решения [Текст]
учеб.-практ. пособие / Г. И. Просветов. -2-е изд., доп. -М. : Альфа-Пресс,
2013 (111414). -239 с. -Библиогр.: с. 233-234 (36 назв.). -ISBN 978-594280-419-0.
