Ценообразование и хеджирование структурных продуктов типа Autocallable
advertisement
STILREF.RU Главная Категории Правила О нас Контакты ID: 1484 Работа: Ценообразование и хеджирование структурных продуктов типа Autocallable Категория: Дипломная Описание: Согласно поставленной цели в рамках исследуемой проблемы сформулированы и решены следующие задачи: изучить сущность методов ценообразования внебиржевых производных финансовых инструментов основанных на итерационных численных методах реализации стохастических процессов и инструментах статистического анализа; рассмотреть общие алгоритмы позволяющие оценивать ключевые параметры оценки сложных опционов и исследовать меры чувствительности цены для обеспечения эффективного риск-менеджмента и стратегии хеджирования инвестиционного портфеля;... Язык: Русский Дата добавления: 2018-06-01 Размер файла: 1.42 MB Работу скачали: 4 чел. Чтобы скачать работу - расскажи о ней в социальной сети с помощью кнопок. Скачать работу Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет) Факультет прикладной математики и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Допустить к защите: Заведующий кафедрой ____________ проф. В.Ю.Попов ______________________ 2016 г. Выпускная квалификационная работа на тему: «Ценообразование и хеджирование структурных продуктов типаAutocallable» Направление подготовки 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль/Магистерская программа «Количественные методы в финансах и экономике» Выполнил: студент группыПМ2-1м Гетте Александр Сергеевич Научный руководитель: д.ф.-м.н. Саркисян Рафаэль Арташесович Москва - 2016 Оглавление ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА 1. СУЩНОСТЬ РЫНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ 8 1.1. Рынок производных финансовых инструментов 8 1.2. Теория Блэка-Шоулза 9 1.3. Ожидаемая волатильность 16 1.4. Греческие буквы 18 1.5. Метод Монте-Карло ценообразования опциона колл европейского типа 22 1.6. Экзотические опционы. Структурные продукты 23 1.7. Структурный продукт типа “Auto-callable” 26 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНОГО ПРОДУКТА ТИПА AUTO-CALLABLE НА КОРЗИНУ АКЦИЙ 31 2.1 Метод One-Step Survival 31 2.2 Математическая модель. Алгоритм прайсинга 36 ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ И ВЫБОР СТРАТЕГИИ РЕХЕДЖИРОВАНИЯ 51 3.1 Тестирование модели 51 3.2 Исследование зависимости оценки от входящих параметров 57 3.3 Стратегии Дельта-хеджирования 60 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 70 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 72 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Исходный код 77 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Результаты расчетов 86 ВВЕДЕНИЕ История становления мирового рынка производных финансовых инструментов берет начало в далеких 30-х годахXVII века, когда в результате бурного роста спроса на тюльпаны появились первые опционы на покупку луковиц тюльпана в Нидерландах, что обеспечило выход на рынок непрофессиональных спекулянтов, которые до того момента не могли себе позволить купить даже одну луковицу. Базовой целью фьючерсов и товарных опционов тогда выступала страховая защита от предполагаемого изменения стоимости на подлежащий актив, однако рост спекулятивной составляющей привел к возникновению пузыря, лопнувшего под горой необеспеченных срочных контрактов и вызвавшего волну недоверия к биржевой торговли. Вместе с тем возможность обеспечить существенно более дешевый и эффективный способ управления первичным капиталом явился одной из предпосылок выделения кредитных рисков из массы финансовых отношений в самостоятельный объект торговли, с развитием которой многообразие возможностей для участия в системе перераспределения благ становится шире с каждым днем. На сегодняшний день, в развитых странах объемы торгов на срочном рынке существенно превышают обороты на рынке-спот. В зарубежной практике распространено обращение самых разных производных от первичных ценных бумаг инструментов, направленных на разные цели. Одной из ветвей развития стал сегмент структурных продуктов, занявших достойную нишу между банковскими продуктами и прямым инвестированием в инструменты фондового рынка. Для России в последние годы развитие структурных продуктов видится особенно актуальным и своевременным: падение покупательской способности, реальное снижение зарплат, неустойчивость банковской системы, размытая денежно-кредитная политика государства, скрытая девальвация –последствия экономического кризиса, сменяющего фазы стагнации приватизацией, подкрепляют недоверие граждан к услугам депозитносберегательного типа иусиливают интерес к растущей волатильности на рынке ценных бумаг. В этой связи особенный интерес представляют возможные перспективы рынка структурных продуктов, поскольку привлечение накоплений средних слоев населения в механизм перераспределения национальных богатств теоретически может оказать противодействие оттоку капитала, сбалансировать объемы спроса и предложения, обеспечив ресурсы для решительных действий в реформировании финансовой системы, видимых результатов импортозамещения и росту независимости от экспортно-сырьевой составляющей экономики. Структурные продукты типаAutocallable подразумевают регулярный доход, как правило, при ставке на рост рынка в целом, и отдельных корпораций,бумаги которых заключены в условиях спецификации продукта. С другой стороны, в случае падения дериватив обеспечивает попавшие в тяжелое положение компании поддерживающим спросом в виде покупки акций выше рыночной стоимости,что в моменте отразится убытком для инвестора, но также откалибрует долю миноритариев среди акционеров. При достаточно развитом рынке деривативов, роль спекулятивных операций против отечественных компаний будет снижаться ввиду наличия спроса на дешевеющие активы. Следующие факторы обуславливают актуальность темы исследования: необходимость поддержания развития финансового рынка с целью повышения инвестиционной привлекательности российских компаний среди населения, способное обеспечить рост несырьевых секторов экономики; необходимость создания эффективного математического аппарата управления рыночными рисками, способного адаптироваться под структурные изменения; необходимость создания условий для удовлетворения потребностей широкого круга действующих и потенциальных инвесторов; отсутствие в отечественной литературе и практике российских инвестиционных компаний устойчивой методологии оценки стоимости активов, выступающих обеспечением по возложенным на финансовые институты обязательствам перед клиентами. Целью магистерской диссертации является разработка методики оценки справедливой стоимости структурного продукта типаAutocallable на корзину фондовых акций и расчета векторов греческих коэффициентов «Дельта» и «Гамма» для формирования стратегии хеджирования. Согласно поставленной цели в рамках исследуемой проблемы сформулированы и решены следующие задачи: изучить сущность методов ценообразования внебиржевых производных финансовых инструментов, основанных на итерационных численных методах реализации стохастических процессов и инструментах статистического анализа; рассмотреть общие алгоритмы, позволяющие оценивать ключевые параметры оценки сложных опционов и исследовать меры чувствительности цены для обеспечения эффективного риск-менеджмента и стратегии хеджирования инвестиционного портфеля; разработать методику расчёта ожидаемых выплат по структурному продукту типаAutocallable на корзину фондовых акций, приведенных к текущему моменту времени; Проанализировать концептуальные стратегии дельта-хеджирования опционной позиции базовыми акциями; на основе разработанной методики написатьпрограммы для расчета цены опциона и векторов греческих коэффициентов «Дельта» и «Гамма»; провести расчеты для различных наборов параметров спецификации продукта и анализ результатов. Объектом исследования являются инвестиции в пакетные кредитные деривативы в виде инструментов сегмента структурных продуктов, конвертируемые в ценные бумаги, стоимостная оценка зависимостей производных параметров.Предмет исследования – методология расчета справедливой стоимости структурного продукта типаAutocallable на корзину фондовых акций. Научная новизна состоит ввыявлении и четком выделенииметодики оценки ожидаемой дисконтированной выплаты по указанному опциону, реализации алгоритмов, применимых в текущих условиях российского фондового рынка. Практическая значимостьрезультатов исследования состоит в возможности использования инвестиционными компаниями, предоставляющими услуги на рынке ценных бумаг, расчётов и выводов, полученных в ходе исследования, как при внедрении рассмотренного продукта в качестве альтернативы портфельным инвестициям, так и при разработке отдельных структурных продуктов, подходящих под индивидуальные потребности инвесторов и актуальных в условиях меняющейся конъюнктуры рынка. В работе были применены методы теории вероятностей, статистического анализа, финансовой математики, численные итерационные методы моделирования. Программа расчета расчета цены опциона и векторов греческих коэффициентов «Дельта» и «Гамма» написана в интерактивной среде для программирования MATLAB,впоследствии оптимизированана языке C# с помощью пакета Visual Studio и адаптирована в пакет MS Excel в сборке xll-библиотеки. Дипломная работа состоит из трех глав, введения, заключения и двух приложений, содержит 7 таблиц и 17 рисунков. В первой главе описывается сущность рынка биржевых и внебиржевых производных финансовых инструментов, рассматриваются особенности ценообразования кредитных деривативов, методов контроля над рисками, раскрывается понятие ожидаемой волатильности и греческих коэффициентов, как мер чувствительности цены опциона. Во второй главе в первой части приведены модели статистического анализа, численные методы моделирования стохастических процессов, во второй части изученный материал закрепляется в ходе разработки модели ценообразования и написания алгоритма для реализации моделирования. Третья глава посвящена осуществлению практических расчётов и исследованию модели с целью формирования стратегии балансировки портфеля к риск-нейтральному состоянию путем дельта-хеджирования базовыми акциями, созданию программы для автоматизированного расчета, а также анализу результатов и выявлению закономерностей. ГЛАВА 1. СУЩНОСТЬ РЫНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ 1. Рынок производных финансовых инструментов По сравнению со старшими братьями с ЗападаРоссийский срочный рынок находится в состоянии зародыша, поэтому в срочной секции Московской Биржи обращаются фьючерсные контракты на малое число подлежащих активов, среди которых акции крупнейших корпораций, валютные пары евро/доллар, доллар/рубль, драгоценные металлы, нефть, индексы РТС и ММВБ. Ввиду низкой ликвидности рынка и его неэффективности появляются арбитражные возможности, а также возникает необходимость присутствия высокого левериджа для поддержания объемов торгов, поэтому, на сегодняшний день, биржевая торговля в России предлагает опционы европейского типа, базовым активом в которых выступают только фьючерсы на акции, но не сами акции. Рассмотрим базовые термины и определения, связанные с рынком ПФИ и структурными продуктами. Фьючерсный контракт – соглашение по купле или продаже некоего актива в определенный момент в будущем по заранее оговоренной цене, торговля которым осуществляется на организованных биржах, причем условия контракта стандартизированы. Опционный контракт – документ, предоставляющий его владельцу право купить(опцион «колл») или продать (опцион «пут») базовый актив в определенный день по определенной цене. Европейский опцион – опцион, который может быть исполнен только в момент истечения срока его обращения на рынке, то есть, в день экспирации. Американский опцион можно исполнить в любой момент в течение его срока действия. Фьючерсный опцион – опцион, базовым активом которого является фьючерсный контракт, который, как правило, истекает вскоре после исполнения опциона. Параметры опционного контракта —http://moex.com/ru/derivatives/contracts.aspx: А)Цена исполнения (страйк) – значение цены базового актива, по которому его можно купить (продать) в день поставки Б)Дата истечения срока (экспирация) – день, в который опцион может быть исполнен В)Базовый актив – ценная бумага, в отношении которой заключается опционный контракт. Г)тип опциона – опцион на покупку (call) или продажу (put) базового актива. 1. Теория Блэка-Шоулза В начале 1970-х годов Фишер Блэк, Майрон Шоулз и Роберт Мертон сделали фундаментальное открытие в теории ценообразования фондовых опционов. Этот результат известен как модель Блэка-Шоулза. Эта модель оказала огромное влияние на способы, с помощью которых трейдеры устанавливают цены и хеджируют опционы. Знаменитая формула была выведена на основе результатов работы Блэка над созданием модели ценообразования варрантов на акции, в которой исследовалось изменение приведенной стоимости варранта с течением времени наряду с меняющейся ценой акции. Полученная модель имела очевидное сходство с уравнением теплопроводности. Другой предпосылкой появления модели стала диссертационная работа Джеймса Бонесса, в которой приводилось обоснование правильности использования безрисковой ставки в качестве дисконтирующего фактора, а также выдвигались предположения о предпочтениях инвесторов в условиях риска. —Cohen J. B., Black F., Scholes M. The valuation of option contracts and a test of market efficiency //The Journal of Finance. – 1972. – Т. 27. – №. 2. – С. 399-417. При выводе дифференциального уравнения было принято предположение о том, что движение цены базового актива описывается стохастическим процессом вида: (1.1.1) Основные отличия данного уравнения от формулы обобщенного винеровского процесса заключаются в том, что ожидаемая скорость дрейфа не является константой, в то время как ожидаемая доходность является постоянной независимо от цены, при этом в действительности нельзя точно предсказать доходность ввиду колебательного характера движения цены, поэтому стандартное отклонение изменений цены пропорционально цене акции. —Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes: characterization and convergence. – John Wiley & Sons, 2009. –Т. 282. В общем виде дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза-Мертона выглядит следующим образом: —Hull J. «Options, Futures, and Other Derivatives», 8th ed. , , 2012 Оно имеет множество решений и может быть применимо ко многим производным от исходной акции финансовым инструментам, порядок определения цены которых зависит от стоимости акции в определенные моменты времени. Стоит отметить, что данное свойство имеет особое значение в развитии рынка производных инструментов, поскольку открывает возможности для контроля рисков в условиях меняющейся конъюнктуры конкретного рынка, создания сложных инвестиционных продуктов, соответствующих индивидуальным предпочтениям инвесторов. Для начала обратимся к частному решению уравнения (1.1.2), соответствующему оценкеc форвардной стоимости акции, по которой не предусмотрены выплаты дивидендов. Безрисковую ставку примем константой на всем периоде рассмотренияT. Имеем следующее выражение форвардной стоимости ценной бумаги в условиях рискнейтрального рынка для случая непрерывного начисления процентной ставки: В следующих разделах главы мы рассмотрим категорию структурных продуктов с защитой капитала (protectionrate) на фондовые акции (Equity-Linked), в которых значение цены исполнения (Strike) довольно часто принимают равным цене базового актива, зафиксированной в начальный момент срока действия продукта, поэтому будем обозначать стартовую цену акции заглавной латинской буквойK, часто используемой для обозначения страйка ванильных опционов, каковым является европейский опцион колл. В конце срокаT доход от владения данной акцией составит Обозначим символомf математическое ожидание дохода , приведенного к начальному моменту времени: Так как стартовая цена базовой акцииK известна заранее и, очевидно, является постоянной, то выражение (1.1.4) можно переписать в виде Поскольку в условияхбезарбитражного рынка ожидаемая скорость роста цены акции равна ставке процентаr, то ожидаемое значение форвардной цены в каждый момент времени будет равно теоретической форвардной цене акции, дисконтированной по безрисковой ставке доходности, отсюда получаем оценку то есть, Замена обозначения стартовой цены акции на обозначение страйка опциона была введена с целью проиллюстрировать источник прибыли от продажиEquty-linked структурных продуктов в виде маржи, заложенной в ставкеr. Соответственно для любой отличной от начальной котировки базового актива цены исполнения выражение (1.1.6) примет традиционный вид формулы оценки стоимости форвардного контракта на поставку акции Уравнение (1.1.2) можно применять с наложением ограничений в виде краевых условий по параметрам времени и цены базового актива, соблюдая при этом ряд оговорок, сделанных в ходе вывода уравнения, и больше известных как 6 допущений модели БлэкаШоулза. 1) Первое предположение о характере движения цены отражено в приведенной формуле (1.1.1) стохастического процесса с постоянным математическим ожиданием и дисперсией, иначе именуемого законом геометрического броуновского движения, который описывает движение цены акции. Таким образом, волатильность акции считается неизменной в течение всего срока жизни дериватива, данный факт будет рассмотрен подробнее в следующих главах. 2) Базовая акция не предполагает выплат дивидендного дохода на отрезке времени равном сроку обращения дериватива. 3) Рынок характеризуется абсолютной ликвидностью, у всех участников рынка в любой момент имеется возможность приобретения акций за счет займа под безрисковую ставку, то есть, отсутствуют условия извлечения арбитражной прибыли. 4) Продажи без покрытия осуществляются без ограничений по рыночной цене бумаги с немедленной поставкой и выплатой. 5) Затраты на осуществление сделок купли/продажи отсутствуют. 6) Безрисковая ставка процента известна и является постоянной в течение срока обращения опциона. —Конноли К. Б. Покупка и продажа волатильности //Пер. с англ. М.: Аналитика. – 2001. В рамках модели Блэка-Шоулза цена европейского опциона «колл» интерпретируется как функция от пяти аргументов: - цена-спот базового актива (S); - время до экспирации (t); - цена исполнения (K); - безрисковая процентная ставка (r); - волатильность цены базового актива (σ). Запись этой функции имеет вид Премию опциона на продажу акции легко получить из уравнения Паритета опционов колл и пут: Отсюда цена опциона пут равна где – функция Гаусса с коэффициентами и , а величины и (выведенные Робертом Мертоном) удовлетворяют уравнению (1.1.2). —Бабайцев В. А., Браилов А. В., Солодовников А. С. Теория вероятностей. Курслекций //М.:ФинансоваяакадемияприПравительствеРФ. – 2002. и – оценки вероятностей событий, состоящих в том, что цена акции к концу срока действия опциона примет значенияиK соответственно при уровне ожидаемой доходности, равном безрисковой ставкеr. Попробуем понять происхождение вероятностей с экономической точки зрения, анализируя математику описания. В первую очередь, значение функции распределения случайной величины в математической статистике есть вероятность того, что значение этой величины не превысит значение аргумента. В нашем случае выбор функции подразумевает рынок, в котором каждое событие оказывает одинаково несущественное влияние на изменение цены, вызванное в совокупном наступлении бесконечного множества таких событий, то есть, любое предположение о движении цены в определенную сторону на основании конкретной единицы информации найдет отражение в противоположном предположении, следующем из одновременного наступления неучтенного в исходной информации события или ряда событий. На реальных рынках, например, появление крупной фигуры, играющей на понижение, скорее всего повлечет за собой дальнейшее открытие коротких позиций мелких игроков, не обладающих информацией, и с каждой новой продажей, с каждым закрытием лонг-позиции по приказу Стоп-лосс, цена будет падать, а понимание спекулятивного характера движения среди всех участников рынка – расти, и, через некоторое время, когда наберется достаточная масса покупателей, после фиксации прибыли трейдеров, продававших актив в начале медвежьего падения, обратный скачок в цене также вызовет исполнение заявок покупателей и принудительное закрытие маржинальных позиций продажи инструмента вблизи искусственного уровня поддержки, следовательно, еще больший объем длинных позиций и больший отскок вплоть до значения цены в момент появления крупного продавца. Чем более ликвиден торгуемый инструмент и рынок в целом, тем меньше временной и ценовой интервал реакции курса на совершение сделок. Таким образом, можно сказать, что и крупный трейдер на понижение, и мелкий покупатель, понесший убыток, и все остальные участники торгов своими действиями вызвали волну колебаний, амплитуда и период которых при рассмотрении в достаточно более широком диапазоне столь незначительны, что их графическая интерпретация окажется ничтожно малой точкой, бесконечное множество коих располагается вдоль случайной траектории движения цены. Возможность рассмотрения в указанном диапазоне характеризуется высоким уровнем энтропии и, возможность представления факторов влияния на цену в виде совокупности факторов в различных точках - свойством делимости. Нормальному закону распределения свойственны бесконечная делимость и максимальная энтропия, поэтому с течением времени согласно центральной предельной теореме реальные финансовые рынки стремятся к эффективному. —Hull J. «Risk Management and Financial Institutions», , 2007 Записанные в виде слагаемых с общим знаменателем элементы величины и представляются как доходность опциона колл в нулевой момент времени взвешенная по ширине интервала разброса цены на протяжении срока опциона и взвешенная доходность безрисковой составляющей с учетом отклонения цены к границам интервала волатильности Иначе говоря, мы оцениваем вероятность того, что начальная цена акции к моменту исполнения не окажется выше страйка на величину, превышающую доход по безрисковой ставке с учетом роста в рамках волатильности и периода обращения опциона, и аналогичную вероятность в области левой границы интервала разброса. Тогда, можно сказать, что премия по опциону колл европейского типа на бездивидендную акцию равна математическому ожиданию стоимости форвардного контракта для заданных цены исполнения, безрисковой ставки доходности, волатильности акции, горизонта инвестирования. Анализ зависимости размера премии от изменения параметров ее расчета позволяет разрабатывать сложные системы риск-менеджмента при управлении портфелем акций, а также стратегии торговли с использованием комбинаций опционов и базового актива. Особое внимание трейдеры уделяют оценке волатильности. 1. Ожидаемая волатильность Примечательно, что значение каждого из приведенных ранее аргументов функции стоимости поддается простому определению за исключением показателя волатильности. Это важный нюанс при построении торговой стратегии и формировании опционного портфеля. Если речь идет об опционах, то часто говорят о следующих двух типах волатильности: Историческая волатильность (historicalvolatility) – фактически, стандартное отклонение доходности базового актива за определенный промежуток времени, рассчитанное на основе исторических данных о его стоимости Ожидаемая волатильность (impliedvolatility,IV) – волатильность, вычисленная на основе текущей стоимости финансового инструмента в предположении, что рыночная стоимость актива отражает ожидаемые риски. Роль показателяIV в модели Блэка-Шоулза настолько значительна, что расчет теоретической стоимости на основании переоцененной либо недооцененной ожидаемой волатильности может иметь серьезные последствия с точки зрения прибыли и убытков от процесса репликации опционов через дельта-хеджирование базовым активом. В некоторых случаях справедливую оценку теоретической стоимости опциона можно получить при включенииIV, рассчитанного по историческим данным. В других случаях наиболее приближенной к реализованной волатильности может оказаться простая экспертная оценка. —Chernov M. Implied volatilities as forecasts of future volatility, time-varying risk premia, and returns variability //AFA 2002 Atlanta Meetings. – 2001. Реализованная волатильность (Realizedvolatility,RV) – величина фактического разброса цены, определяемая для актива за период на основании набора значений цены , рассчитывается по формуле где . В силу непрерывности модели Блэка-Шоулза дальнейшие исследования привели к возникновению простого алгоритма, который может быть использован инвесторами для торговли на реальном рынке. Мэнахем Бреннер применил разложение в ряд Тейлора для нормального закона распределения, получив в результате формулуIV для случая паритета опционов: где-рыночное значение цены паритета. Однако, данный вывод не позволяет оценить опционыITM иOTM. Дон М. Ченс преобразовал модель (1.2.3) на основании предположения о том, что отклонение цен опционов в деньгах (вне денег) от средней цены опциона объясняется значением страйка и волатильностью .Однако его модель не учитывала возможность рассмотрения на разном удалении от даты исполнения. —Christensen B. J., Prabhala N. R. The relation between implied and realized volatility //Journal of Financial Economics. – 1998. –Т. 50. – № . 2. –С. 125-150. (что же позволяла эта модель?) Позже появился метод оценки ожидаемой волатильности на поверхности волатильности, в котором волатильность рассматривается как функция от срока опциона и цены страйк.Данный метод подразумевает, что в риск-нейтральных условиях рынка отклонение от паритета опционов объясняется волатильностью, страйком и сроком до исполнения опциона, то есть . —Gatheral J. et al. Asymptotics of implied volatility in local volatility models //Mathematical Finance. – 2012. –Т. 22. – №.4. – С. 591-620(смысл неясен) 1. Греческие буквы Торговля опционами, как правило, сопровождается исследованием мер чувствительности теоретической цены опциона к изменениям значений аргументов функции. В этой связи введем понятие «Греческих букв» или «грек»: А)Дельта– скорость изменения премии опциона относительно изменения цены базового актива, иначе говоря, частная производная первого порядка функции цены опциона по переменнойS Для европейского опциона согласно формуле Блэка-шоулза Б)Гамма – ускорение дельты по мере изменения цены базового актива, иначе говоря, вторая производная цены опциона по цене-спот базового актива. Для портфеля опционов на один базовый актив: Для дельта-нейтрального портфеля изменение его стоимости можно записать следующим образом: —Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском //М.: ТВП. – 1998. – Т. 576. – С. 3. В формуле Блэка-Шоулза коэффициент Гамма вычисляется по формуле В)Тета – чувствительность временной составляющей опционной премии к тому времени, которое осталось до даты истечения опциона, другими словами, производная цены опциона по переменнойt. Как и для других греческих букв, отражает скорость изменения портфеля в зависимости от соответствующей переменной, входящей в уравнение модели, при условии, что остальные аргументы функции останутся при своих текущих значениях. Для коэффициента Тета характерно то, что хоть цена акции движется по траектории, предсказать которую невозможно, течение времени происходит совершенно определенным образом. Несмотря на это, тета является полезным описательным параметром с точки зрения торговли волатильностью Г)Вега– чувствительность цены опциона к изменению волатильности, то есть, производная по переменной σ. В рамках модели БШ вычисляется по правилу Д)Ро – мера риска, которому подвергается портфель опционов при изменении процентных ставок Расчет коэффициента ро для европейского опциона колл по акции, для которой не предусмотрены выплаты дивидендов, производится по формуле Дляторговцев волатильностьюнаправление движения цены базового актива не имеет значения, а только амплитуда ее колебаний, поэтому рыночные позиции, выстраиваемые трейдерами, не подвержены рискам внезапного изменения тренда. Такие портфели называют дельта-нейтральными. —Конноли К. Б. Покупка и продажа волатильности //Пер. с англ. М.: Аналитика. – 2001. С геометрической точки зрения, коэффициент дельта характеризует наклон кривой, отражающей зависимость между ценами опциона и базовой акции. Допустим, что коэффициент дельта опциона на покупку акций равен 0,6. Это значит, что при изменении цены акции на небольшую величину цена опциона изменится на 60% этого приращения. Зависимость между ценой опциона на покупку акции и ценой этой акции изображена на рисунке 1. Цене акции соответствует точка А, цене опциона – точка В, а коэффициент дельта равен угловому коэффициенту этой прямой. Рисунок 1.4.1 Опционная позиция хеджируется позицией по базовому активу, котораяв результате системного рассмотрения(?) сводит коэффициент дельта портфеля к нулю. Таким образом, дельта позиции по акциям компенсируется дельтой по опционам. Следует подчеркнуть, что коэффициент дельта со временем изменяется, поэтому позиция инвестора остается дельтахеджированной только на протяжении относительно короткого промежутка времени. Балансировка портфеля по дельте обеспечивает контроль рисков направленного изменения цены базового актива, что само по себе не гарантирует положительный финансовый результат. —Вайн С. Инвестиции и трейдинг: формирование индивидуального подхода к принятию инвестиционных решений. – Альпина Паблишер, 2006. Для случая покупки волатильности прибыль возникает в виде начисляемой вариационной маржи в результате хеджирующих сделок купли и продажи базового актива. Конечный финансовый результат должен, как минимум, компенсировать премию за покупку опционов и транзакционные издержки, чтобы избежать убытков. При неправильно выбранном уровне ожидаемой волатильности актива, закладываемой в расчет цены опциона, колебания цены акции могут оказаться настолько незначительны, что амплитуды попросту не хватит для существенного изменения дельты. С другой стороны, о правильности можно будет судить только близко к экспирации Актуальная и справедливая модель расчета ожидаемой волатильности позволяет адекватно оценивать греки опционов, в частности, а математически обоснованная модель рехеджирования позволяет извлекать прибыль из удержания профиля текущей стоимости портфеля нейтральным к рыночным колебаниям цены. В рамках структурных продуктов любой предлагаемый инструмент можно рассматривать как экзотический синтетический опцион, для которого стандартная модель Блэка-Шоулза может использоваться с многочисленными оговорками. Следовательно, построение модели оценивания теоретической стоимости опциона (модели «прайсинга» структурного продукта) и разработка модели дельта-хеджирования являются ключевыми для эмитента. 1. Метод Монте-Карло ценообразования опциона колл европейского типа Моделирование по методу Монте-Карло применяется для решения многих задач из областей финансовой математики, статистической физики и других. Одним из ключевых достоинств метода является простота реализации, поскольку, в большинстве случаев, схема вычислений не зависит от размерности задачи. Для исследования цен опционов применяется методология, в которой движение цены акции подчиняется закону геометрического броуновского движения с конечным шагом по времени , то есть рассматривается модель с дискретным временем —Brooks S. et al. (ed.). Handbook of Markov Chain Monte Carlo. – CRC press, 2011. Цена акции рассматривается на множестве итераций, каждая из которых состоит в смещении на коэффициент сноса , который отражает ожидаемый уровень доходности актива и движении в сторону понижения и увеличения на корень квадратный из дисперсии (коэффициента диффузии), представляющего волатильность акции. Ожидаемая доходность рассматривается эквивалентной безрисковой ставке для случая риск-нейтральных параметров рынка. В рамках данной методологии симуляция по Монте-Карло состоит из трех основных этапов. Во-первых, по формуле (1.4.1) рассчитывается цена акции в момент исполнения опциона. Во-вторых, вычисляется выплата по опциону в зависимости от полученной цены базового актива. В-третьих, выплата дисконтируется по безрисковой ставке к текущей дате. Перечисленные шаги повторяются в рамках цикла, состоящего из достаточного числа итерации для получения справедливой оценки средней выплаты и, следовательно, стоимости опциона. Инвесторы обычно стремятся к получению более высокой доходности, что подвергает их более высокому риску, следовательно, должно зависеть от величины риска, заключенного в стохастическую компоненту Винеровского процесса. Для получения корректной оценки риск-нейтральная ставка доходности и ожидаемая доходность акции должны быть одинаковы. Стандартное отклонение пропорционального изменения цены акции на достаточно малом промежутке времени . В первом приближении эта величина на относительно длительном интервале времениTравна , значит волатильность можно интерпретировать как стандартное отклонение цены за год, однако для исследования подразумеваемой волатильности квартальных опционов данное допущение нуждается в корректировках. 1. Экзотические опционы. Структурные продукты На сегодняшний день, существует огромное многообразие производных финансовых инструментов, так что опционы на покупку и продажу акций европейского или американского типасчитаются каноническими, и их принято называть «ванильными» (plainvanillaproducts), поскольку описанию свойств данных инструментов было посвящено множество исследований, а после публикации модели Блэка-Шоулза зависимости были стандартизированы и общеприняты, поэтому биржевые опционы, активно торгуемые на различных финансовых рынках во всем мире, как правило, оцениваются по формуле теоретической стоимости премии указанной модели. В данной работе исследуется дериватив, состоящий из комбинации нестандартных инструментов, которые принято именовать экзотическими опционами. Барьерные опционы – производные инструменты, выплата по которым зависит от преодоления ценой базового актива за определенный период времени некоторого изначально установленного порогового значения. Дополнительное наложение ограничения способствует удешевлению стоимости, что выступает дополнительным преимуществом на внебиржевом рынке. Подразделяются на так называемые «knock-in» и «knock-out» опционы, что в первом случае означает, что условия опциона начинают действовать тогда, когда рыночная цена базового актива достигнет барьера, во втором случае, наоборот, условия действуют, пока цена не преодолеет порог. —Bernemann A., Schreyer R., Spanderen K. Accelerating exotic option pricing and model calibration using GPUs //Available at SSRN 1753596. – 2011. Бинарные опционы – инструменты с фиксированными выплатами. В отличие от ванильных опционов, для бинарных (binary) действует условие, что при превышении (для опциона колл) базовым активом цены исполнения инвестор получит заранее установленный размер выплаты, в противном случае – ничего. Таким образом, для бинарных опционов внутренняя стоимость заранее известна и не меняется с удалением цены акции от цены страйк опциона. Опционы с памятью (lookback) – опционы с выплатой в зависимости от максимальной или минимальной цены базовой акции за весь период действия опциона. Одной из разновидностей таких инструментов являются опционы, по которым предусмотрено несколько дат выплаты, и в этом случае невыплаты в более ранние даты могут быть компенсированы в будущем (memoryeffect). Опционы радуга (rainbow) – производные инструменты на несколько базовых активов. Наиболее популярной разновидностью таких деривативов являютсяпакетные опционы (basket). Это опционы, выплата по которым зависит от стоимости портфеля, вкоторых? входит корзина активов с зафиксированными ценами исполнения. —Hull J. «Options, Futures, and Other Derivatives», 8th ed. , , 2012 Структурный продукт – инвестиционный продукт, основанный на отдельной ценной бумаге или корзине активов, доходность которого зависит от воздействий на количественные характеристики подлежащего актива. Представляет собой как правило синтетический внебиржевой опцион, выписываемый или приобретаемый инвестором у эмитента. Наиболее распространенным является аналог банковского депозита, так называемый структурный продукт с защитой капитала. Его суть заключается в разделении инвестированной суммы на две части: защитную (зачастую, высокодоходные еврооблигации, обеспечивающие восполнение этой части инвестиций до выбранного уровня к моменту погашения структурного продукта) и доходную (открывается длинная позиция по опциону, которая дает возможность при удачном стечении обстоятельств получить долю в участии в движении цены базового актива). Схема работы продукта показана на рисунке 2. —Liedholm C. F., Rahm J. A risk-and performance study of financial structured products. – 2015. Рисунок 1.6.1 Другой популярный вид структурных продуктов – это инструменты с фиксированным купоном. Как правило осуществляется посредством открытия короткой позиции по опциону, премия по которому и будет представлять собой выплачиваемый купон. При неблагоприятных обстоятельствах опцион исполняется, и, если это был опцион «пут», то на всю сумму инвестирования приобретаются ценные бумаги по цене, закрепленной в страйке опциона. Если это был опцион «колл», а у инвестора имелись в наличии ценные бумаги, то они поставляются контрагенту по фиксированному страйку. При этом важно отметить, что купон выплачивается в любом случае. Схема работы продукта изображена на рисунке 3. Рисунок 1.6.2 1. Структурный продукт типа “Auto-callable” Еще с первого выпуска ноты в США банком BNP Paribas в августе 2003 года, структурные продукты Autocall набирают популярность среди участников рынка ценных бумаг, на сегодняшний день, часто являясь элементом инвестиционного портфеля различного рода инвесторов. Логика продукта частично схожа с инструментами, подразумевающими выплату фиксированного купона, то есть, клиент несет риск получения ценной бумаги. Для продукта с корзиной активов (multi-asset) это риск получения одной из нескольких бумаг по цене выше рыночной. —Hansson F. A pricing and performance study on auto-callable structured products. – 2012 Термины и определения: Корзина worst-of базовых активов – набор акций, выбранных как базовый актив продукта. Для корзины фиксируется стартовая цена в дату входа в продукт клиентом, то есть, 100% цены каждой бумаги – это ее цена в дату начала продукта. Worst-of – худшая бумага из набора, определяемая как та, которая в долевом выражении упала больше остальных от даты начала продукта, либо выросла меньше прочих. Порог отзыва (autocallbarrier) – это порог, который задается на момент начала продукта и если по окончании одного из купонных периодовworst-of превышает этот уровень, продукт немедленно гасится. В этом случае клиент получает очередной купон и всю первоначально инвестированную сумму обратно. Купонный порог – уровень цены худшей бумаги, который определяет, будет ли выплачен купон по окончании данного купонного периода. Если ценаworst-of на окончание купонного периода будет выше купонного порога, то клиент получает выплату купона за прошедший период плюс купоны за прошлые периоды, если они ранее не выплачивались. Такая характеристика продукта называется эффектом памяти (memoryeffect). Если ценаworst-of будет ниже купонного порога на дату окончания купонного периода, то клиент не получает купон в этом периоде, однако купон «запоминается» и может быть выплачен в последующие периоды, если условие «worst-of выше купонного порога на дату окончания купонного периода» выполнится в дальнейшем. Порог поставки - уровень цены худшей бумаги на момент окончания срока действия продукта, который определяет, будет осуществлена поставка этой акции по цене порога отзыва (Порог 1) на всю сумму инвестирования. Купоны и купонные периоды. Например, продукт существует 1 год, разбитый на 4 купонных периода (по умолчанию – по три месяца каждый). По окончании каждого купонного периода определяется, будет ли выплачен купон за данный период (Порог 2), будут ли выплачены купоны за предыдущие периоды (если они ранее не выплачивались), будет ли продукт досрочно погашен (Порог 1), и будет ли в конце срока жизни продукта осуществлена поставка худшей из бумаг (Порог 3) по цене порога отзыва. Величина купонов известна заранее и составляет, например, 5% (20% годовых). Купон выплачивается деньгами на счет клиента и может бытьклиентомвыведен клиентом, становится его собственностью уже без привязки к самому продукту. Функции выплат: 1. На дату отсечки: 1. Если ценаworst-of выше Порога 1, то выплачивается купон за текущий установленный промежуток времени, а также все накопленные, ранее не выплаченные купоны за прошедшие промежутки. После этого продукт погашается. 2. Если ценаworst-of ниже Порога 1, но выше Порога 2, то выплачивается купон, а также все накопленные, ранее не выплаченные, купоны за прошедшие промежутки. При этом продукт остается в работе. 3. Если ценаworst-of ниже Порога 2, то купон не выплачивается (но накапливается или другими словами запоминается), продукт остается в работе. 1. На дату окончания продукта: 1. Если ценаworst-of выше Порога 1, то выплачивается купон, выплачиваются накопленные, ранее не выплаченные купоны за прошедшие промежутки, а также выплачивается первоначальная сумма. 2. Если ценаworst-of ниже Порога 1, но выше Порога 2, то выплачивается купон, выплачиваются накопленные, ранее не выплаченные купоны за прошедшие промежутки, а также выплачивается первоначальная сумма. 3. Если ценаworst-of ниже Порога 2, но выше Порога 3, то купон не выплачивается, а клиент получает первоначальный объем инвестиций. При этом невыплаченные купоны сгорают. 4. Если ценаworst-of ниже Порога 3, то купон не выплачивается, а клиент получает акциюworst-of по цене Порога 1. При этом невыплаченные купоны сгорают. Схема работы продукта в общем виде представлена на рисунке 1. Рисунок 1.7.1 Структурный продуктAutocall является по сути совокупностью таких экзотических инструментов, как барьерные опционы и пакетного опциона «rainbow». Барьерными называются опционы, выигрыш которых зависит от того, превысит ли цена актива за определенный период времени заранее установленный уровень. Пакетный опцион «rainbow» - это опцион, выигрыш которого зависит от стоимости инвестиционного портфеля. —Nalholm M., Poulsen R. Static hedging and model risk for barrier options //Journal of Futures Markets. – 2006. –Т. 26. – №. 5. –С. 449-463. В задачи эмитента входит два основных пункта: 1. Справедливо оценить рыночную стоимость продукта и заложить в нее внутреннюю маржинальность (иными словами,autocall продается клиенту за 100% стоимости, в то время как его рыночная стоимость равна 95%, следовательно, разница в 5% есть доход эмитента от продажи продукта). 2. Обеспечить выплаты купона клиенту путем извлечения прибыли от дельтахеджирования. ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНОГО ПРОДУКТА ТИПАAUTO-CALLABLE НА КОРЗИНУ АКЦИЙ 2.1 Метод One-Step Survival Суть данного метода заключается в понижении дисперсии результата при оценивании текущей справедливой стоимости барьерных опционов в каждый момент времени. Модель основана на инструментах анализа выживаемости (survivalanalysis) – области статистического анализа, предназначенной для исследования и прогнозирования ожидаемого времени до наступления определенных событий, таких как смерть биологического организма или выход из строя механической системы. — Miller Jr R. G. Survival analysis. – John Wiley & Sons, 2011. –Т. 66. В нашем случае рассматривается событие пересечения ценой акции некоторого значения, после наступления которого выплата по продукту подразумевает окончание срока действия продукта. Таким образом, в терминах анализа выживаемости наша система представляется функционирующей до тех пор, пока не произойдет досрочного отзыва продукта (автоколлирования). Ценообразование опциона заключается в оценивании интеграла функции ожидаемой дисконтированной выплаты по опциону в условиях риск-нейтрального рынка. Для барьерных опционов эта функция имеет разрывы на всей области определения переменной цены базового актива. Базовый актив структурного продукта Автоколл является композитным, его цена – расчетная величина на основании стоимости портфеля акции. Функция выплат в качестве переменной по цене базового актива имеет вектор цен акций, входящих в корзину, поэтому аналитическое представление формулы ценообразования Автоколла становится затруднительным, так как должно учитывать вероятностные составляющие переменной, изменение которой происходит в условиях многомерных стохастических процессов. Симуляция в рамках метода заключается в разделении периода действия опциона на отрезки времени, границы которых совпадают с датами купонных выплат. Каждая траектория моделирования имеет начальный статический вектор значений случайной величины, описывающей стоимость портфеля акций, входящих в корзину базовых активов. «Выживание» продукта проверяется на каждом шаге, и рассматриваются только те траектории, для которых не происходило пересечения ценой барьера. —Wang H. et al. One-step generation of mice carrying mutations in multiple genes by CRISPR/Cas-mediated ge-nome engineering //Cell. – 2013. – Т. 153. – №. 4. – С. 910-918. Рассмотрим модель Блэка-Шоулза для одномерного случая. Статический вектор начальных значений здесь совпадает с ценой акции, движение которой описывается по формуле где – стандартное броуновское движение, и – константы. Для дискретного описания в условиях (2.2.1) применим правило где – нормально распределенныеслучайные величины . —Pelsser A. Pricing double barrier options using Laplace transforms //Finance and Stochastics. – 2000. –Т. 4. – №. 1. –С. 95-104. Барьеру соответствует пороговое значение цены , в соответствии с этим если цена акции не пересекла барьер на i-м шаге. Для down-and-out опциона колл дисконтированная выплата равна Для бинарного down-and-out опциона колл Теперь рассмотрим пример с двумя акциями, для которого вектор состоит из двух величин где – двухмерное Броуновское движение с нулевым коэффициентом сноса и ковариационной матрицей Для конечного шага по времени имеем где – случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону. В этом примере пересечение барьера можно определять первой координатой вектора, а итоговую выплату – второй, то есть Определим в качестве весового параметра где Очевидно, справедливо при , поскольку невозможно проверить условие «выживания» на следующем шаге, если барьер уже достигнут. Таким образом, – коэффициент правдоподобия выживания наiшагах. Алгоритм моделирования с проверкойsurvival-условия на каждом шаге получим путем преобразования формулы (2.2.2) где V – равномерно распределенная величина, а В результате получаем равномерно распределенную случайную величинуU, значения которой рассматриваются только в диапазоне, обеспечивающем избежание нокаута опциона. То есть, для заданных , функция имеет распределение Для случая с двумя базовыми акциями где Здесь величины равномерно распределены и независимы. —Glasserman P., Staum J. Conditioning on one-step survival for barrier option simulations //Operations Research. – 2001. –Т. 49. – №. 6. –С. 923-937. Оценка справедливой стоимости барьерного опциона, предусматривающего выплаты при отзыве (rebate) где – приведенная к моменту стоимость отзывной выплаты. С учетом выбора по критерию правдоподобия —Zhang X. et al. PDE modeling and control of a flexible two-link manipulator //Control Systems Technology, IEEE Transactions on. – 2005. –Т. 13. – №. 2. –С. 301-312.\ 2.2 Математическая модель. Алгоритм прайсинга Пусть – описывает динамику цены базового актива, а вектор оценок этой величины в некоторые фиксированные, хронологически выстроенные даты (). Рассмотрим модель Блэка-Шоулза, в которой величина подчиняется геометрическому закону Броуновского движения, где µ:=r-b, r – безрисковая ставка, b – дивидендный доход, – волатильность, а – стандартное Броуновское движение. Полученные далее результаты можно применить для случая непостоянных, но вычислимых параметров, а также для случая с стохастическими параметрами. Таким образом, для справедливо где – независимая случайная величина распределенная по стандартному нормальному закону. и – текущие время и цена БА. Оцененная выплата по autocallопциону на 1 актив вычисляется по формуле Cтоимость такого autocall-опциона в текущий момент времени является математическим ожиданием оцененной выплаты —Giese A. On the pricing of auto-callable equity securities in the presence of stochastic volatility and stochastic interest rates //Presentation at MathFinance Workshop: Derivatives and Risk Management in Theory and Practice, Frankfurt. – 2004. Стандартная оценка Монте-Карло цены вычисляется путем выбора последовательностей возможных реализаций (), n=1,…,N, случайных величин и нахождения приближенного значения как средней выплаты Процесс выбора осуществляется просто, начинаясь с текущей цены БА , и затем с использованием формулы (1) для последовательной генерации вплоть до . Очевидно, не нужно вычислять если уже справедливо неравенство Таким образом, вычисление каждого набора выборки с помощью (1) требует m или меньше значений нормально распределенной величины . Эти значения могут быть сгенерированы с помощью функции где значения равномерно распределенной случайной величины в интервале (0,1), и Ф – интегральная функция стандартного нормального закона распределения. Вышеприведенный стандартный алгоритм Монте-Карло можно улучшить путем выбора только таких траекторий, которые остаются ниже барьера B во всех точках наблюдения , то есть, траекторий, которые не приведут к отзыву продукта до наступления срока погашения. —Glasserman P. Monte Carlo methods in financial engineering. – Springer Science & Business Media, 2003. –Т. 53. В нашем случае, это может быть достигнуто заменой Что справедливо для равномерно распределенного аргумента в интервале (0, . Отметим, что также описывает вероятность того, что цена базового актива останется ниже барьера на следующем шаге. Следовательно, выбор осуществляется из усеченного одномерного стандартизированного нормального закона распределения, для которого Чтобы компенсировать пропуск траекторий с автоколлированием, взвешенная соответствующим образом (j+1)-я купонная выплата с отзывом должна быть добавлена к совокупной выплате для выбранного набора, и все последующие выплаты для этой выборки должны быть взвешены на Следовательно, мы заменим формулу (3) оценкой И Теперь рассмотрим автоколл-опцион с на корзину из двух активов с выплатой, зависящей от максимума из цен активов (best-of). Пусть описывает динамику движения спот-цен двух базовых активов в модели Блэка-Шоулза, т.е. удовлетворяет где , а () – двухмерное Броуновское движение с нулевым сносом и ковариационной матрицей Аналогично одномерному случаю определим и как вектора, состоящие из спотцен БА в некоторые фиксированные хронологически выстроенные даты наблюдения (). Они удовлетворяют следующим выражениям (для j=0,…,m-1) где () – случайные величины распределенные по нормальному закону с нулевым сносом и ковариационной матрицей (2.2.9). – текущие момент времени и цены БА. Функция выплат примет вид где , - фиксированная выплата в дату при условии, что цена одного из базовых активов впервые выше барьера . Выплата в момент отзыва есть некоторая функция от конечных цен базовых активов. Начиная с текущих цен можем последовательно сгенерировать оценки вектора с помощью формул (2.2.10), (2.2.11) и дополнительного survival условия и . Данная процедура сводится к моделированию значений случайной величины, распределенной по усеченному многомерному нормальному закону: где выплаты взвешиваются в соответствии с вероятностью: Где – двумерное кумулятивное нормальное распределение с корреляцией . Такое обобщение имеет два недостатка. Во-первых, неясно, каким образом необходимо моделировать значения из усеченного многомерного нормального распределения так, чтобы условия гладкости выполнялось для всех параметров, что необходимо для достижения желаемой стабильности при вычислении производных. Во-вторых, при таком подходе необходимо рассчитывать оценки двумерного нормального распределения в каждый момент наблюдения и для каждой итерации Монте-Карло, что требует больших вычислительных затрат. —Harrach D. A Monte Carlo pricing algorithm for autocallables that allows for stable //Journal of Computational Finance. –Т. 17. – №.1. – С. 43-70. Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится как интеграл от произведения значения случайной величины и функции плотности: — Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. – Москва : Наука, 1965. – Т. 3. где – плотность двумерного нормального распределения с корреляцией, при иначе находится по аналогии с (13). Мы применяем стандартную замену переменных к некоррелированным нормальным распределениям Это дает Где теперь Условие сохранения действия опциона эквивалентно условиям Что, в свою очередь, равносильно Разделим соответствующим образом одномерные интегралы в (14) и путем простых преобразований получим где и Данное преобразование приводит к появлению двух одномерных функций условной плотности распределения Каждая из которых должным образом нормирована, в частности, нормирование второй зависит от первой переменной подынтегрального выражения . После преобразования подынтегрального выражения для и по аналогии для последующих точек расчета полученный алгоритм можно применять и для случая с одним активом. В (j+1) точке наблюдения мы достигаем сохранения действия опциона, вопервых, с помощью выбора значения цены первого БА , такой что все еще можно не достичь барьера (путем генерации из надлежащим образом усеченного нормального распределения). Затем берем второй БА , такой что барьер наверняка не будет достигнут (путем генерации из нормального распределения с сечением, зависящим от ). Событие достижения барьера мы учитываем, добавляя купонную выплату с автоколлированием с весом 1-, описанным ранее(зависит от для ) и все последующие выплаты с весами . Рассмотрим наиболее часто встречающийся вид автоколл-опциона на корзину активов, когда выплата купона и отзыв в наблюдаемые даты происходит в случае, когда цены всех активов выше порогового значения, т.е. опцион с функцией выплат (12) и . Теперь область survival, то есть тот интервал цен, в котором не происходит погашения, не прямоугольная, а L-образная. —Rich D. R. The mathematical foundations of barrier option-pricing theory //Advances in Futures and Options Research. – 1994. –Т. 7. Генерация первого актива происходит без дополнительных ограничений (т.к. всегда существует вероятность избежать касания порога). В зависимости от полученной цены, моделирование второго актива либо осуществляется без дополнительных условий (если цена все еще окажется ниже порога), либо с условием, что цена должна быть ниже барьера. Конкретно, необходимо генерировать с помощью стандартизированного нормального распределения и затем сгенерировать из неусеченного стандартного норм распределения (при ), или (иначе) с наложенным дополнительным условием . Значит, в зависимости от усекающее условие для резко накладывается или снимается. Оценки при такой зависимости более не непрерывно дифференцируемы по всем параметрам, влияющим на область определения(domain bounds), поэтому итоговый алгоритм не даст желаемую стабильность при нахождении производных. Для решения проблемы непрерывности области определения второй оценки в зависимости от первой, введем дополнительное преобразование: Survival условие в этом случае равносильно неравенству Чтобы просто подобрать параметр α, сглаживающий функцию в правой части (2.2.15) до непрерывной по всем параметрам, нужно взять половину угла между линиями вдоль границ области определения, Отсюда где Для случая с корзиной из большего числа активов проблему отражения взаимосвязей цен базовых активов можно решить с помощью разложения Холецкого (представление симметричной положительно-определённой матрицы в виде где — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали). Матрица корреляции всегда является симметричной и положительно определенной, когда коэффициенты риска различны попарно и линейно независимы. Получаем следующее рекурсивное правило расчета компонентов в матрице : Таким образом, имея вектор цен активов, состоящий независимых стандартных нормальных случайных величин, и корреляционную матрицу , преобразование вида будет иметь многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и матрицей корреляции . —Glasserman P. Monte Carlo methods in financial engineering. – Springer Science & Business Media, 2003. –Т. 53. Элементы матрицы можно вычислить, начиная с верхнего левого угла матрицы, по формулам: Алгоритм 1. Ценообразование структурного продукта Autocall на корзину из 3 активов. – безрисковая ставка – фиксированная купонная выплата Моделируем N случайных итераций В цикле по n=1,…,N Выполнить (вероятность превышения барьера) accumCouponRate=addC=0 (накопленный купон) minNormVal=0 (наименьшее по корзине отношение текущей цены к начальной) В цикле по i=0,…,m-1 Выполнить Sample L=CholeskyDecomposition(CorrelationMatrix) – матрица L разложения Холецкого корреляционной матрицы. Если (minNormVal>Bottom) Тогда Выполнить [ addC=0 ] ЕслиminNormVal<=Bottom Тогда Выполнить [ addC=addC+Q ] Завершить цикл Завершить цикл Выплата Греки Timepassed=to-start Алгоритм 2. Ценообразование структурного продуктаAutocall на корзину из 4 активов. – безрисковая ставка – фиксированная купонная выплата МоделируемNслучайных итераций Forn=1,…,Ndo (вероятность превышения барьера) accumCouponRate=addC=0 (накопленный купон) minNormVal=0 (наименьшее по корзине отношение текущей цены к начальной) For i=0,…,m-1do Sample L=CholeskyDecomposition(CorrelationMatrix) LразложенияХолецкогокорреляционнойматрицы. –матрица If (minNormVal>Bottom)then Do addC=0 End if IfminNormVal<=Bottomthen do addC=addC+Q End if End for End for Return Греки Timepassed=to-start ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ И ВЫБОР СТРАТЕГИИ РЕХЕДЖИРОВАНИЯ 3.1Тестирование модели Прежде чем приступить к исследованию зависимостей изменения цены автоколла от изменений значений входящих в него параметров, необходимо убедитьсявкорректности программной реализации описанного в прошлой главе алгоритма (Приложение1). С этой целью достаточно рассмотреть несколько случаев с такими наборами начальных и текущих параметров, чтобы можно было приблизительно определить стоимость опциона, не прибегая к замысловатым моделям, требующим больших вычислительных мощностей. Необходимо, как минимум, подобрать ситуации, по аналогии с ванильными опционами, когда их цена целиком объясняется внутренней стоимостью. При этом для большей достоверности желательно проверить влияние каждого существенного атрибута всего опциона, а также параметров отдельно взятой акции из корзины. Пример 1 Рассмотрим для наглядности годовой автоколл с ежеквартальными выплатами в ситуации, когда в первую купонную дату цены всех активов превышают верхний порог. Параметры опциона номиналом в 100 представлены в таблице 3.1: Таблица 3.1 Прошло времени от начала, лет 0,25 Срок, лет 1 Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 80 Невыплаченные купоны, % 0 Волатильность i-й акции, % 0,25 Корреляция 0,5 Результат расчета: Рисунок 3.1 Цена и греки для Примера 1 Действительно, при условии превышения порога отзыва всеми акциями корзины в первую купонную дату опцион автоколлируется после выплаты купона, поэтому его справедливая стоимость составляет объем первоначальных инвестиций плюс купон. Пример 2 Рассмотрим теперь случай автоколла с теми же параметрами на предпоследнюю купонную дату при условии, что ранее выплат не было. Добавим также условие, что одна из акций находится слегка ниже барьера отзыва на уровне 99 (Таблица 3.2). Таблица 3.2 Прошло времени от начала, лет 0,75 Срок, лет 1 Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 80 Невыплаченные купоны, % 0 Волатильность i-й акции, % 0,25 Корреляции 0,25 Вектор цен (100, 100, 80) Результат расчета: Рисунок 3.2 Цена и греки для Примера 2 Видим, что, поскольку все цены всех акций находятся выше купонного порога, то происходит выплата текущего купона в размере 5 и всех ранее не выплаченных купонов на сумму 10, которые в совокупности с начальными инвестициями отражают внутреннюю стоимость продукта, а остаток есть разность дисконтированной стоимости последнего купона и убытка в случае поставки, взвешенных по вероятности для данных показателей волатильности и корреляции акций в условиях нахождения цен вблизи верхнего порога и заданной безрисковой ставки. Можно предположить, что вычисления верны. Пример 3 Изменим цену worst-of на слегка превышающую барьер поставки, например, равную 81. Результат расчета: Рисунок 3.3 Цена и греки для Примера 3 Внутренняя стоимость по-прежнему составляет 115, поскольку купоны за три квартала выплачены, и поставки бумаг не происходит, однако вероятность выхода на поставку бумаг в конце четвертого квартала значительно выше по сравнению с предыдущим примером. Все выплаченные ранее купоны в этом случае могут пойти на компенсацию разницы между ценой поставки худшей бумаги и ее рыночной котировкой и обеспечить в лучшем случае убыток равный размеру одного купона. В рассмотренном примере более показательными являются греки: дельта worst-of акции говорит о росте стоимости опциона более чем на единицу при увеличении цены акции на 1, при этом ее гамма оценка отражает высокую амплитуду колебаний дельты в окрестностях цены порога. Сам по себе данный пример не слишком показательный и не позволяет сделать каких-либо обоснованных выводов. Пример 4 Добавим еще две ситуации с ценой худшей бумаги равной и на единицу ниже порога, чтобы проанализировать изменение грек по сравнению с примером 3. Рисунок 3.4 Цена и греки для Примера 4. Цена worst-of равна 79 Стоимость опциона упала более чем на 10, что связано, в первую очередь, с отсутствием купонных выплат и возросшим риском покупки бумаг через 3 месяца по цене выше рынка. Коэффициенты дельта для всех трех акций выше, при этом с показателями гамма ситуация противоположная, но для акций, цены которых за порогом отзыва. Примечателен тот факт, гамма рисковой бумаги выросла. Рассмотрим случай «на деньгах». Рисунок 3.5 Цена и греки для Примера 4. Ценаworst-of равна 80 Видим, что стоимость опциона на 1 «вне денег» объясняется в основном худшим показателем корзины, в случае роста которого до нижнего страйка, при прочих равных условиях, изменение стоимости автоколла будет меньше объясняться движением цены worst-of и больше зависеть от значений по корзине в целом. Рост цены еще на единицу характеризуется значительным ростом цены опциона и резким скачком в греках, то есть после удаления на единицу от порога скорость роста цены опциона по цене корзины резко падает. Стоит отдельно обратить внимание на поведение гаммы в области риска. В приведенных примерах ее значение для цены акции 81 больше значения для цены 79 и меньше для 80, но значение показателя дельта падает на всем интервале. Данный вопрос будет рассмотрен более подробно в следующих разделах главы, а пока проверим, насколько адекватно влияют на расчет стоимости продукта ставка купона, безрисковая ставка и пороговые значения. Пример 5 Вернемся к началу жизни нашего опциона и рассчитаем справедливую стоимость при купонной ставке в 8% годовых. Покупать такой продукт не имеет смысла, поскольку можно столько же получить без риска, разместив деньги на депозит, следовательно, цена не должна превышать 92. Рисунок 3.6 Цена и греки для Примера 5 Пример 6 Теперь рассчитаем стоимость продукта с исходными условиями, но пороги выплаты купона и поставки бумаг установим равными нулю. Рисунок 3.7 Цена и греки для Примера 6 Результат, на первый взгляд, содержит ошибку, ведь совершенно точно исключены события невыплат и событие покупки бумаг дороже рынка, а безрисковая ставка обеспечивает более чем в 2 раза меньший доход за год, чем совокупные выплаты по структурному продукту. Ответ кроется в названии продукта, которое подразумевает досрочное исполнение с выплатой всех накопленных к текущей дате купонов. В нашем случае вероятность наступления такого события подкреплена положительной корреляцией цен бумаг. Проверим эту гипотезу, заменив корреляционную матрицу единичной. Рисунок 3.7 Цена и греки для Примера 6. Корреляции равны 1 Оценка стоимости опциона снизилась, греки по одной акции идентичны значениям по двум другим, при этом коэффициенты дельта сопоставимы с предыдущим расчетом, а гаммы существенно выросли, поскольку движение цены любой акции из корзины способствует эквивалентному изменению цен двух других, что отражается на стоимости портфеля. Результаты свидетельствуют о корректности характерных наборов исходящих параметров. полученных оценок для 3.2Исследование зависимости оценки от входящих параметров С целью подбора продукта, с одной стороны, достаточно привлекательного с точки зрения покупателя и, с другой, справедливая цена которого находится в интервале допустимых значений рентабельности с точки зрения продавца, необходимо полностью понимать поведение цены продукта в процессе управления хеджирующим портфелем и иметь отлаженную систему риск-менеджмента. Для формирования подобных знаний, разработки торговой стратегии и системыриск-менеджмента отобразим графически изменение оценки стоимости продукта в зависимости от входящих параметров в следующих тестах: Анализ влияния уровня порога отзыва Анализ влияния уровня порога выплаты купона Анализ влияния размера купона Анализ влияния уровня порога отзыва Параметры теста: Таблица 3.3 Срок 1 год Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Ставка купона, % 20 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 11,8 Рисунок 3.8 График зависимости цены автоколла от порога отзыва Вывод: график имеет горизонтальную асимптоту, после достижения некоторого уровня параметр порога отзыва перестает оказывать какое-либо влияние на стоимость опциона. Это связано с тем, что при заданных уровнях волатильности и матрице корреляций вероятность отзыва падает с ростом порога, при этом условия выплаты купонов в даты рассмотрения остаются прежними, а поставка ценных бумагworst-of осуществляется по цене верхнего порога. Анализ влияния уровня порога выплаты купона Рисунок 3.9 График зависимости цены автоколла от порога выплаты купона Анализируя график можно сделать вывод о том, что существенное удешевление автоколла характерно вплоть до достижения купонным порогом значения барьера отзыва, после преодоления которого зависимость цены становится незначительной, горизонтальная асимптота в области 91%. Анализ влияния размера купона Рисунок 3.10 График зависимости цены автоколла от порога выплаты купона Вывод: чем больше фиксированная выплата по продукту, тем выше его стоимость, зависимость линейная. 3.3 Стратегии Дельта-хеджирования Как было описано в прошлых главах, с точки зрения продавца структурного продукта Автоколл источником средств, предназначенных для исполнения обязательств по выплатам перед покупателем, является финансовый результат от сделок по удержанию рыночного портфеля акций дельта-нейтральным согласно спецификации опциона. Поэтому в качестве критерия эффективности стратегии дельта-хеджирования можно принять нулевое математическое ожидание финансового результата с учетом купонных выплат. Для анализа хеджированию: были выбраны два концептуальных подхода к дельта- 1. Стоимость портфеля, то есть хеджирование при условии изменения стоимости позиции на фиксированную сумму. На самом деле будем накладывать ограничение в виде фиксированной доли показателяVaR портфеля на каждом шаге. ИзменениеVaR будем рассчитывать по формуле Дельта-Гамма метода оценкиVaR: —Гетте А. С. МОДИФИКАЦИЯ ДЕЛЬТАГАММА МЕТОДА ОЦЕНКИ VAR //Инновационная наука. – 2016. – №. 1-3 (13). 1. Время. В данном случае рехеджирование осуществляется с фиксированным шагом по времени. В качестве базового актива будем использовать корзину из четырех акций, движение цены которых подчиняется закону броуновского движения с нулевым математическим ожиданием и волатильностью 30%. Параметры спецификации автоколла представлены в таблице Таблица 3.4 Срок 1 год Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Ставка купона, % 20 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 11,8 Рисунок 3.11 Моделирование дельта-хеджирования по критерию стоимости портфеля Рисунок 3.12 Моделирование дельта-хеджирования по критерию шага времени В результате моделирования оба способа можно считать пригодными, так как среднее значение на 50 траекториях оказалось в первом случае равно 1,728, а во втором 0.08. Данные эксперименты не учитывают затрат на совершение сделок. Если комиссию считать равной 0,1% от объема сделки, математическое ожидание результата в обоих случаях меньше нуля. Рисунок 3.13 Графики комиссии за сделки в случае рехеджирования по критерию стоимости портфеля Дальнейшее исследование показало, что хеджирующая позиция не всегда является длинной по волатильности, в случае, когдаworst-of актив из корзины падает ниже порога поставки, в связи с этим необходимо корректировать значение волатильности. Момент перехода из купленной позиции в проданную будем отслеживать, анализируя полученные гаммы. Алгоритм стратегии динамического рехеджирования 1. HV (историческая волатильность) рассчитывается за 3 месяца.HV рассчитывается один раз до момента запуска продукта и далее фиксируется напостоянном уровне(рисунок). Рисунок 3.14 Моделирование дельта-хеджирования по критерию стоимости портфеля 1. При известныхIV биржевых опционов фиксируются верхние и нижние Коэффициенты Запаса (КЗ)Kmax иKmin. По умолчанию используются значения Кmax = 1.3;Kmin = 0.7. 2. Коэффициенты запаса используются для расчета «завышенной» и «заниженной» волатильности: 1. 2. 1. Для расчёта дельты ( нужны следующие параметры: 1. Время до экспирацииT; 2. Цена Базового активаS; 3. Уровни верхнего и нижнего порога; 4. Значение купона; 5. Процентная ставка; 6. Волатильность 1. Для расчета волатильности выбрана следующая составная функция: Рисунок 3.15 Моделирование дельта-хеджирования по критерию стоимости портфеля Данная функция выбрана с целью сглаживания значения волатильности во избежание появления искусственногоpin-риска. 1. Зная , ежечасно рассчитывается дельта дериватива и происходит «рехеджирование» базовым активом. Тестирование на исторических данных Протестируем алгоритм прайсинга и дельта-хеджирования на реальных данных. Параметры спецификации оставим прежними. Для расчета волатильности будем брать наименьшую из рассматриваемых квартальной и годовой исторической по каждому активу. Тест 1 Таблица 3.5 Срок 1 год Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Ставка купона, % 20 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 11,8 В качестве корзины базовых активов выступит портфель из акций Сбербанк, Газпром, Сургутнефтегаз, Роснефть. Тестирование проводим с 2011 года, запуск продукта ежеквартально, всего 10 траекторий. Финансовый результат представлен на рисунке. Рисунок 3.16 Моделирование дельта-хеджирования по критерию стоимости портфеля Средняя стоимость автоколла – 93% Тест 2 Параметры спецификации Таблица 3.6 Срок 1 год Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Ставка купона, % 20 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 11,8 Корзина: Сбербанк, Газпром, Магнит, Лукойл. 20 симуляций с 2011 года. Запуск ежеквартально. Рисунок 3.17 Моделирование дельта-хеджирования по критерию стоимости портфеля Вывод: в начале срока действия наблюдается сильный «дребезг» финансового результата от дельта-хеджирования ввиду частого переключения волатильности по сигналу гаммы. Вблизи точек выплаты купона присутствует пин-риск. Суммарный финансовый результат с учетом комиссии около нуля. Необходима оптимизация модели. Тест 3 Параметры спецификации Таблица 3.7 Срок 1 год Порог отзыва, % 100 Порог выплаты купона, % 80 Порог поставки, % 80 Ставка купона, % 20 Число купонов 4 Безрисковая ставка, % 11,8 Корзина: Сбербанк, Газпром, Сургутнефтегаз, Роснефть. Для данного эксперимента учет безрисковой ставки осуществлялся с ежемесячным реинвестированием свободных средств. Хеджирование не производилось при условии, что цена актива изменилась менее чем на 1%. Прайсинг осуществляется по центральной (исторической) волатильности. Расчет греческих коэффициентов – по заниженной. Результат теста представлен на рисунке Рисунок 3.18 Финансовый результат от дельта-хеджирования по алгоритму теста 3 с учетом комиссии Рисунок 3.19 Комиссия за сделки по алгоритму теста 3 Рисунок 3.19 Разность комиссии за сделки дельта-хеджирования по алгоритмам из тестов 1 и3 Вывод: ошибка в расчетах гаммы имеет существенное значение при определении направления позиции портфеля по волатильности. Неправильный выбор волатильности базовых активов быстро сказывается на показателе «P&L». Оптимизация модели к спецификации с стохастической ожидаемой волатильностью может способствовать снижению пин-риска вблизи купонных дат, при условии нахождения цен акций в окрестностях пороговых значений. Ситуация схожа с оцениванием ванильных опционов «около денег» (ATM) европейского типа на кануне даты экспирации. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной работе была разработана методика расчета оценки справедливой цены структурного продукта типаAutocallable на корзину фондовых акций, реализованная методом моделирования Монте-Карло с применением одноэтапной техники понижения дисперсии результата, основанной на инструментах анализа выживаемости. Были получены следующие результаты: изучена сущность методов ценообразования внебиржевых производных финансовых инструментов, основанных на итерационных численных методах реализации стохастических процессов и инструментах статистического анализа; изучены общие алгоритмы, позволяющие оценивать ключевые параметры оценки сложных опционов и исследовать меры чувствительности цены для обеспечения эффективного риск-менеджмента и стратегии хеджирования инвестиционного портфеля; разработана методика расчёта ожидаемых выплат по структурному продукту типаAutocallable на корзину фондовых акций, приведенных к текущему моменту времени; протестированы предложенные стратегии дельта-хеджирования опционной позиции базовыми акциями по критерию изменения стоимости портфеля и фиксированному шагу времени; на основе разработанной методики написана программа для расчета цены опциона и векторов греческих коэффициентов «Дельта» и «Гамма»в интерактивной среде для программирования MATLAB, после оптимизированная на языке C# с помощью пакета Visual Studio и адаптирована в пакет MS Excel в сборке xll-библиотеки; проведены расчеты для различных наборов параметров спецификации продукта и анализ результатов. В силу наложенных ограничений по объему, в работе не были тщательно разобраны методы оценки ожидаемой волатильности, задача объективного оценивания которой в рамках ценообразования нестандартных опционных договоров является ключевой среди опционных трейдеров. Интереснымипредполагаются алгоритмы прайсинга, основанные на исследовании стохастической волатильности. При этом полученная методика может быть использована для более сложных структурных продуктов данного типа, например, с изменяющимся с течением времени интервалом пороговых значений, выходом на поставку с выплатой откупной суммы и других. Результаты исследования могут быть применены инвестиционными компаниями, предоставляющими услуги на рынке ценных бумаг, как при внедрении рассмотренного продукта в качестве альтернативы портфельным инвестициям, так и при разработке отдельных структурных продуктов, подходящие под индивидуальные потребности инвесторов и актуальные в условиях меняющейся конъюнктуры рынка. Написанная программа может быть использована в коммерческих целях, для практической работы по развитию сегмента внебиржевых производных финансовых инструментов, формирования сферы услуг в области инвестиций, сочетающей консервативный подход к оценке кредитных рисков, свойственный банковским продуктам, и высокий уровень целевой доходности, близкий к прямым инвестициям на биржевом рынке, а также широким кругом опционных трейдеров, работающих на срочном рынке, для исследования рыночных рисков опционных позиций, возможностей для хеджирования портфеля фондовых акций. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Агасандян Г. А. Ценообразование опционов в отсутствие безрисковых активов // Сообщения по прикладной математике, М., ВЦ РАН,-2000. – 2001. 2. Бабайцев В. А., Браилов А. В. Приложения теории Марковица к изучению фондовых рынков. – Препринт WP1/2013/04, серия WP1: Современная математика и концепции инновационного математического образования. М.: 2013. 3. Бабайцев В. А., Браилов А. В., Солодовников А. С. Теория вероятностей. Курс лекций //М.: Финансовая академия при Правительстве РФ. – 2002. 4. Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. – М. : Инфра-М, 1996. 5. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М. : 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. 6. Буренин А. Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные //М.: НТО. – 2011. 7. Буренин А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. – М. : Тривола, 1995. 8. Вайн С. Инвестиции и трейдинг: формирование индивидуального подхода к принятию инвестиционных решений. – Альпина Паблишер, 2006. 9. Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском //М.: ТВП. – 1998. – Т. 576. – С. 3. 10. Гетте А. С. МОДИФИКАЦИЯ ДЕЛЬТА-ГАММА МЕТОДА ОЦЕНКИ VAR // Инновационная наука. – 2016. – №. 1-3 (13). 11. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. – Москва : Наука, 1965. – Т. 3. 12. Дёмин Н. С., Андреева У. В. Экзотические Опционы Купли С Ограничением Выплат И Гарантированным Доходом В Модели Блэка Шоулса //Проблемы управления. – 2011. – №. 1. 13. Заяц С. А., Волков А. К. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ КРИВОЙ ПОДРАЗУМЕВАЕМОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ОПЦИОНОВ //Современные проблемы науки и образования. – 2013. – №. 6. 14. Канев М. А., Подойников С. А. Экзотические опционы: основные понятия и особенности //Новосибирский государственный университет.—1998. – 1998. 15. Кожин К. В. Структурные продукты на российском рынке производных финансовых инструментов : дис. – 2005. 16. Конноли К. Б. Покупка и продажа волатильности //Пер. с англ. М.: Аналитика. – 2001. 17. Макмиллан Л. Г. Опционы как стратегическое инвестирование. – М. : ЕВРО, 2003. 18. Миркин Я. М. Ценные бумаги и фондовый рынок //М.: Перспектива. – 1995. – Т. 534. – С. 4. 19. Скопинский А. И. КРЕДИТНЫЕ ДЕРИВАТИВЫ И ИХ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ //Контактная информация Организационного комитета конференции: Центр экономических исследований. – С. 47. 20. Стаханов Д. В. СРАВНЕНИЕ СТРАТЕГИЙ ХЕДЖИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ОПЦИОННЫХ ПОЗИЦИЙ С УЧЕТОМ ТРАНСАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК // ВЕСТНИК НИЖЕГОРОДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМ. НИ ЛОБАЧЕВСКОГО. – 2010. – №. 5-1. 21. Шоломицкий А. Г. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХЕДЖИРОВАНИЯ // Управление риском. – Т. 12. – №. 6. – С. 2-4. 22. Bernemann A., Schreyer R., Spanderen K. Accelerating exotic option pricing and model calibration using GPUs //Available at SSRN 1753596. – 2011. 23. Bernemann A., Schreyer R., Spanderen K. Pricing structured equity products on gpus //High Performance Computational Finance (WHPCF), 2010 IEEE Workshop on. – IEEE, 2010. –С. 1-7. 24. Bingham N. H., Kiesel R. Risk-neutral valuation: Pricing and hedging of financial derivatives. – Springer Science & Business Media, 2013. 25. Bollerslev T., Gibson M., Zhou H. Dynamic estimation of volatility risk premia and investor risk aversion from option-implied and realized volatilities //Journal of econometrics. – 2011. –Т. 160. – №. 1. –С. 235-245. 26. Bormetti G. et al. A backward Monte Carlo approach to exotic option pricing //Available at SSRN 2686115. – 2015. 27. Brooks S. et al. (ed.). Handbook of Markov Chain Monte Carlo. – CRC press, 2011. 28. Chernov M. Implied volatilities as forecasts of future volatility, time-varying risk premia, and returns variability //AFA 2002 Atlanta Meetings. – 2001. 29. Christensen B. J., Prabhala N. R. The relation between implied and realized volatility //Journal of Financial Economics. – 1998. –Т. 50. – №. 2. –С. 125-150. 30. Cohen J. B., Black F., Scholes M. The valuation of option contracts and a test of market efficiency //The Journal of Finance. – 1972. –Т. 27. – №.2. – С. 399-417. 31. Dennis P., Mayhew S. Risk-neutral skewness: Evidence from stock options //Journal of Financial and Quantitative Analysis. – 2002. –Т. 37. – №. 03. –С. 471-493. 32. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes: characterization and convergence. – John Wiley & Sons, 2009. –Т. 282. 33. Gatheral J. et al. Asymptotics of implied volatility in local volatility models //Mathematical Finance. – 2012. –Т. 22. – №.4. – С. 591-620. 34. Giese A. On the pricing of auto-callable equity securities in the presence of stochastic volatility and stochastic interest rates //Presentation at MathFinance Workshop: Derivatives and Risk Management in Theory and Practice, Frankfurt. – 2004. 35. Glasserman P. Monte Carlo methods in financial engineering. – Springer Science & Business Media, 2003. –Т. 53. 36. Glasserman P., Staum J. Conditioning on one-step survival for barrier option simulations //Operations Research. – 2001. –Т. 49. – №.6. – С. 923-937. 37. Grünbichler A., Wohlwend H. The valuation of structured products: Empirical findings for the Swiss market //Financial markets and portfolio management. – 2005. –Т. 19. – №. 4. –С. 361-380. 38. Hairer M. et al. Periodic homogenization with an interface: the multi-dimensional case //The Annals of Probability. – 2011. –Т. 39. – №.2. – С. 648-682. Другие работы 315. 316. 317. 318. 320. 321. Ауруханадан тыс пневмониялардың анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Егерде пневмонияға əкелетін инфекция ауруханадан тыс жағдайларда жұқса олауруханадан тыс дамыған пневмония болып саналады. Бейімдеуші факторлар суықтау жедел респираторлық вирустық инфекция. Пневмококкты пневмония көбіне аутоинфекцияның төмендеуінен дамиды. Патогенезі:Басты себепкері - инфекциялық қоздырғыштар. Доклад Доклад Вирусты пневмониялардың анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Вирусты пневмония өкпелерге вирустың енуімен сипатталатын жəне ол жерлерде қабынуды тудырып өттегі жүру жолдарын бөгейді. Вирусты пневмониямен көбінесе жас балалар жəне 65 жастан жоғары қарттар жиі шалдығады. Иммунтапшылығы бар науқастарда дамытын пневмониялардың анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Осы пневмонияға тəн саңырауқұлақшалық шарлар рентгендік зерттеуде анықталады. Бұл жағдайда пневмонияның қоздырғышын анықтау үшін барлық диагностикалық шараларды жасаған жөн: қақырықты себу жағындысын бояу серологиялық инвазиялық зерттеулер.Физикалдық зерттеуде өкпе дыбысының кейбір аймақтарда қысқарғаны шашыранқы құрғақ сырылдар. Доклад Жедел жəне созылмалы бронхиттердің анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Жедел бронхит бір айға дейін жалғасатын жиі инфекциялық себептердің салдарынан дамитын бронхтардың кілегей қабығының жедел қабынуы. Этиологиясы-90анықталатын қоздырғышы-АВ тұмаудың вирустары парагрипп вирусы риновирус жəне жедел респираторлы вирустық инфекция микоплазма.Бұлардан басқа жедел бронхиттің дамуына əр түрлі физикалық-химиялық ықпалдар əкеледі. Асқынбаған жағдайда жедел бронхит 7-14 күнге созылады. Доклад Доклад Асқазан ойық жара ауруының анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Жара ауруы- өршу кезінде жараның асқазанға онекелішекке қайталанып түсуімен өрбитін асқазан-онекелішек аймағының созылмалы рецидивтеуші ауруы. Асқазан жарасының 70-да жəне онекелішек жарасының 90-да НР табылады. Жара ауруына алып келетін факторлар: Тұқым қуалаушылық Өмір салты Стресстік бұзылыстар Химиялық жəне физикалық факторлар Дəрілік препараттар Жастық нейроэндогенді өзгерістер Патогенезі: НР-дің үйреншікті мекендейтін жері- асқазанның антральдік бөлігі. Он екі елі ішек ойық жара ауруының анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Жара ауруы созылмалы рецидивті ауру негізгі белгісі асқазан мен 12 елі ішек қабатында жараның түзілуі болып табылады. 12 елі ішек жарасы асқазан жарасына қарағанда 4 есе жиі кездеседі. Асқазан жарасы бар науқастар арасында əйелдер мен еректер қатынасы 1:2 12 елі ішек жарасы кезінде ол 1:4-1:7болады. НР тек асқазан эпителиінде ғана өмір сүре алады. Доклад 322. Доклад Тітіркенген ішек синдромының анықтамасы, этиологиясы, патогенезі Тітіркенген ішек синдромы органикалық аурулармен байланысы жоқ кем дегенде 3 айға созылған ішектің негізінен тоқ ішектің моторлық жəне секрециялық қызметінің бұзылуы. Тітіркенген ішек синдромы ересек адамдардың 14-18 кездеседі. Тітіркенген ішек синдромының себептері толық анықталған жоқ. 323. Доклад Жүрек ақаулары, анықтамасы, этиологиясы Жүрек ақауы жүрек қарыншалары мен жүрекшелерінің арасындағы қан өтетін саңылау тарылып жүрек қызметінің бұзылуы. Туа пайда болған жүрек ақауы көбіне ұрықтың дамуы кезінде жүректің қалыпты жетілмеуінен болады. Жүре пайда болатын жүрек ақауы негізінен баспа мерез т. © ООО "stilref" http://stilref.ru Все права на сайт и размещенные работы защищены законом об авторском праве.
