Рассматриваются математические модели

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ОЧЕРЕДЬЮ В РЕЧЕВЫХ СИСТЕМАХ
САМООБСЛУЖИВАНИЯ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПРИБОРАМИ
Mais Farkhadov1, Nina Petukhova1, Dmitriy Efrosinin2, Olga Semenova3
1
Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Russia
Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russia
3
ZAO RDC Information and Networking Technologies, Moscow, Russia
2
1
mais@ipu.ru, 2Dmitry.Efrosinin@jku.at, 3olgasmnv@gmail.com
Рассматриваются математические модели для анализа и оптимизации центров
обслуживания вызовов современной архитектуры, имеющих сервисы самообслуживания
на базе компьютерного распознавания
речи. В таких центрах обслуживание
производится как операторами, так и серверами самообслуживания. Показано, что
оптимальная политика управления очередью улучшает характеристики обслуживания
вызовов.
1. Введение.
Улучшение характеристик обслуживания является актуальной задачей для
центров обслуживания вызовов. В работах [1-6] приведены модели, применяемые для
описания функционирования центров обслуживания вызовов на основе «классической»
теории массового обслуживания. Модели в [7-16] учитывают такие факторы, как наличие
нескольких классов вызовов, различные дисциплины обслуживания заявок,
«терпеливость» пользователя, повторные вызовы.
Однако в перечисленных материалах не исследованы центры обработки вызовов
современной архитектуры с сервисами самообслуживания на основе речевых технологий.
Такие центры позволяют обеспечить в автоматическом режиме, без участия операторов,
полное обслуживание большой доли входящих запросов. Примерами систем обработки
вызовов с сервисами самообслуживания на базе речевых технологий могут служить
система «Автодиспетчер» для приема заявок на подачу такси [17], система
«Автосекретарь» для диспетчеризации вызовов [18], и др. [19, 20]. Вызовы клиентов
поступают в центр обработки вызовов через сети разного вида: телефонную сеть общего
пользования, сети операторов мобильной связи, сеть Интернет. Центр обработки вызовов
включает в себя порты самообслуживания на базе компьютерного распознавания речи и
операторскую группу. Коммутация вызовов может
осуществляться по разным
алгоритмам. Одним из самых распространенных является алгоритм, когда входящие
вызовы направляются в первую очередь в порты самообслуживания, а при их занятости
в операторскую группу. На операторов переключаются также вызовы, недообслуженные
в автоматическом режиме портами самообслуживания из-за ошибок распознавателя.
Возможны и другие алгоритмы управления очередью вызовов.
2. Модель центра с сервисами самообслуживания с ограниченной очередью
Центры обслуживания вызовов с сервисами самообслуживания могут быть
исследованы с помощью модели открытой экспоненциальной многолинейной сети
массового обслуживания с двумя узлами, один из которых моделирует работу
сервисов самообслуживания, а второй – группу операторов. Такая модель была
рассмотрена авторами в [21]. Узел i сети представляет собой многолинейную СМО с
n 1 идентичными приборами, i = 1, 2. Пусть число мест для ожидания в первом
ограничено числом N, а во втором узле не ограничено.
Поток заявок из внешнего источника является пуассоновским интенсивности λ и
поступает в узел 1 или 2 в зависимости от числа свободных приборов в узле 2.
Если в узле 2 есть свободные приборы, то заявки из внешнего источника
поступают на узел 2, в противном случае заявки поступают на узел 1. Если также в узле 2
1
освобождается прибор, и нет заявок в очереди узла, то заявка, стоящая первой в очереди
узла 1 (если очередь не пуста), переходит в узел 2 и занимает освободившийся прибор.
Время обслуживания заявки в узле i экспоненциально распределено с параметром μ.
Предполагаем также, что с вероятностью 1 – p обслуживание заявки в первом
узле является успешным, и в момент завершения обслуживания эта заявка покидает
систему. В противном случае, с вероятностью p обслуживание является неудачным (в
ходе обработки запроса произошла ошибка, и запрос должен быть обработан
оператором), и заявка переходит во второй узел (Рис. 1).
Телефонные
вызовы
λ
Q2 ( t )  n 2
Операторы
Порты самообслуживания
Q1 (t )  n1 , Q2 (t )  n2
n1
n2
µ1 ... µ1
µ1
µ2
µ2 ... µ2
p
1-p
Обслуживание
вызовов
Рис.1. Схема сети массового обслуживания с двумя узлами
Для нахождения характеристик обслуживания был введен случайный процесс,
описывающий состояние сети в момент времени t:
X (t )t  0  {Q (t ), Q (t )} , где Q (t ) – число заявок в i-м узле, i = 1, 2,
1
2
t  0
i
и были рассмотрены стационарные вероятности
 (i, j )  lim X (t )  (i, j ), i  0, N , j  0.
t 
Предложен алгоритм для вычисления стационарных вероятностей, основанный на
матрично-аналитическом подходе к анализу многомерных цепей Маркова, имеющих не
более одной счетной компоненты [22] и определены характеристики производительности
системы.
3. Модель центра с сервисами самообслуживания с бесконечным числом
мест ожидания в узлах.
В [23] исследуется открытая экспоненциальная многолинейная сеть массового
обслуживания с бесконечным числом мест ожидания в узлах.
Доказано, что решение системы уравнений равновесия для этой сети имеет
мультипликативную форму. Вычисление стационарного распределения вероятностей
состояний системы позволяет найти следующие характеристики обслуживания:
 Среднее число занятых приборов в первом и втором узлах
2
n1

n1

N1    min i, n1 (i, j ) , N 2   min  j, n2  (i, j ) .
i 0 j 0

i 0 j 0
Среднее число заявок в системе


L   (i  j ) (i, j ) .
i 0 j 0

Вероятности того, что заявка, поступив в систему, попадает в первый узел и второй
узел, соответственно,

τ1  

 π(i,j) ,
τ2  1  τ1 .
i  0 j  n2

Среднее время ожидания в системе может быть получено по формуле Литтла W 

Среднее время ожидания заявки во втором узле
i 0  j 0 jπ(i,j) .


W2
L
.
λ

λ( 1  τ1( 1  p))
Решена также задача оптимизации количества приборов каждой фазы с точки
зрения минимизации функционала потерь, который представляет собой сумму штрафов
за ожидание в очередях, за обслуживание и за простои приборов.
4. Оптимальное управление очередью для центра обслуживания вызовов
с быстрыми и медленными приборами.
Для центров обслуживания вызовов с сервисами самообслуживания характерным
является разница в скоростях и стоимостях работы приборов первого и второго узлов.
Узел 1, описывающий сервер с ненадежным сервисом распознавания речи, имеет более
медленную скорость обслуживания, но при этом малые затраты на обслуживание. Узел 2,
описывающий работу операторов, является надежным, более быстрым и одновременно
более дорогим по сравнению с узлом 1. Задача оптимального управления общей
очередью в такой системе принадлежит к области задач управляемых марковских систем
массового обслуживания [24, 25, 26]. В [27] рассмотрена “проблема медленного
прибора”.
Применительно к центрам с функциями самообслуживания задачей является
поиск оптимального управления общей очередью с целью минимизации среднего
времени пребывания вызовов в системе.
С этой целью центр связи рассматривается авторами [28] как открытая
экспоненциальная сеть массового обслуживания с двумя узлами, каждый из которых
представляет собой многолинейную систему массового обслуживания типа M/M/ni с
идентичными приборами. Поток заявок в сеть является простейшим с параметром λ.
Заявка, прибывающая в сеть, поступает в узел 1 или 2 в зависимости от числа заявок в
узле 2. Если последнее равно или превышает пороговый уровень q2 (q2> n2), то заявка
направляется в узел 1, в противном случае – в узел 2.
Как только число заявок в узле 2 уменьшается до q2 – 1, а в узле 1 есть ожидающие заявки, то заявка, стоящая в начале очереди узла 1 переходит в конец очереди узла 2.
Выбор данного вида управления обусловлен тем фактом, что время обслуживания в узле
1 может превышать время ожидания в узле 2, так как приборы узла 2 имеют более
высокую скорость обслуживания.
3
Вводится
случайный
процесс
X (t )t  0  {Q1(t ), Q2 (t )}t  0 ,
обозначающий
состояние сети в момент времени t, где Q (t ) – число заявок в i-м узле сети в момент
i
времени t, i = 1,2.
Через Е обозначается множество состояний процесса X (t )t  0 ,
E = { x = ( i , j ) : i , j ≥ 0},
где состояние (i, j) случайного процесса означает, что в узле 1 находится i заявок, а в узле
2 – j заявок. Доказано, что решение системы уравнений равновесия также имеет
мультипликативную форму. Показано, что все вероятности системы представляются в
виде функции, зависящей от вероятности π(0, q2  1) , которая, в свою очередь,
вычисляется из условия нормировки.
Для нахождения оптимального порогового уровня q2 вводится следующая
структура штрафов:
c0,k – стоимость ожидания заявки в очереди узла k в единицу времени,
cu,k – стоимость работы одного прибора в узле k в единицу времени.
Задача состоит в минимизации функционала потерь
V (q2 ) : V ( λ, μ1 , μ2 , p, n1 , n2 , q2 )  min ,
q2
который в данном случае имеет вид
2
2
k 1
k 1
V (q2 )   cu ,k Ck   c0,k Qk .
На Рис. 2 (а) показано влияние вероятности р ошибки при обслуживании в узле 1, а на
рис. 2 (b) – интенсивности λ поступления новых заявок на функционал потерь V (q2 ) .
Очевидно, что увеличение значений параметров р и λ приводит к увеличению
оптимального порогового уровня q2, так как в этом случае возрастает нагрузка на систему
и возникает необходимость более интенсивного использования быстрого, но при этом
дорогого узла 2.
a)
4
b)
Рис. 2. Значение функции V (q2 ) для различных значений q2, р и λ
Заключение
В работе приведены результаты исследований характеристик телефонных систем
массового обслуживания с комбинацией традиционных методов обслуживания и
сервисов самообслуживания на основе компьютерных речевых технологий и
современных интерактивных средств взаимодействия. Модели учитывают специфику,
вносимую этими новыми технологиями. Модели могут быть использованы для
проектирования центров связи и обслуживания вызовов с современными интерфейсными
технологиями.
Литература
1. Росляков А.В., Самсонов М.Ю., Шибаева И.В. Центры обслуживания вызовов (Call
centre). М.: Эко-Трендз, 2002.
2. Росляков А.В. Современное состояние и прогнозы развития центров обслуживания
вызовов. Инфосфера, 2001. №11.
3. Самолюбова А.Б. Call Center на 100%. 2004, Москва: Альпина Бизнес Букс.
4. Солонин В. Call-центры в современном бизнесе России, 2005 //
http://www.cnews.ru/reviews/free/call-center/.
5. Гольдштейн B.C., Фрейнкман В.А. Call-центры и компьютерная телефония. СПб.:
БХВ - Санкт-Петербург, 2002.
6. Зарубин A. A. Call- и контакт-центры: эволюция технологий и математических
моделей // Вестник связи. 2003. №8. С. 85-88.
7. Zeltyn S., Mandelbaum A. Call centers with impatient customers: many-server asymptotics
of the M/M/n+G queue // Queueing Systems. 2005. Vol. 51. No. 3-4. P. 361-402.
8. Mandelbaum A., Zeltyn S. The Erlang-A/Palm queue, with applications to call centers //
Working paper, 2005. The Technion, Haifa, Israel.
9. Atar R., Mandelbaum A., Reiman M.I. Scheduling a multi-class queue with many
exponential servers // Annals of Applied Probability. 2004. Vol. 14. P. 1084-1134.
10. Atar R., Mandelbaum A., Reiman M.I. Brownian control problems for queueing systems in
the Halfin-Whitt regime // Annals of Applied Probability. 2004. Vol. 14. P. 1084-1134.
5
11. Garnett O., Mandelbaum A., Reiman M. Designing a call center with impatient customers
// Manufacturing and service operations management. 2002. Vol. 4. P. 208-227.
12. Borst S., Mandelbaum A., Reiman M.I. Dimensioning large call centers // Operations
Research. 2004. Vol. 52. No. 1. P. 17-34.
13. Cans N., Koole C., Mandelbaum A. Telephone call centers: Tutorial, review, and research
prospects // Manufacturing and service operations management. 2003. Vol. 5. P. 79-141.
14. Feinberg M. A. Performance characteristics of automated call distribution systems // IEEE.
GLOBECOM'90. 1990. P. 415-419.
15. Koole G. Call Center Mathematics, Version of January 26 of 2007.
16. Росляков А.В. Математические модели центров обслуживания вызовов / А.В.
Росляков, СВ. Ваняшин // М.: ИРИАС, 2006.
17. Жожикашвили В. А., Петухова Н.В., Зацепин А.Н., Азаров В.В. Современные
технологии управления в диспетчерской службе такси // Проблемы управления. 2006.
№2. С. 32-34.
18. Жожикашвили В.А., Билик Р.В., Вертлиб В.А., Мясоедова З.П., Петухова Н.В.,
Фархадов М.П. Интеллектуальные телефонные услуги на основе речевых технологий //
Информационно-измерительные и управляющие системы. 2007. №2. С. 75-78.
19. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Фархадов М.П. Компьютерные системы
массового обслуживания и речевые технологии / / Проблемы управления. 2006. №2. С. 37.
20. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Фархадов М.П. Мультисерверная архитектура
интеллектуальных порталов самообслуживания / / I V Международная конференция по
проблемам управления (МКПУ-IV). Москва. 2009. С. 1744-1748.
21. Фархадов М.П., Петухова Н.В., Ефросинин Д.В., Семенова О.В. Математическая
модель центра обслуживания вызовов с сервисами самообслуживания / / Poroceedings of
International Workshop Distributed Computer and Communication Networks DCCN'2009.
Sofia, Bulgaria. M.: R&D Company Information and Networking Technologies 2009. P. 86-95.
22. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными
потоками. Минск. БГУ. 2000.
23. Фархадов М.П., Петухова Н.В., Ефросинин Д.В., Семенова О.В., Двухфазная модель
с неограниченными очередями для расчета характеристик и оптимизации речевых
порталов самообслуживания // Проблемы управления. 2010 г. (в печати).
24. Kitaev, M.Yu. and Rykov, V.V., Controlled Queueing Systems, New York: CRC Press,
1995.
25. Efrosinin, D.V. and Rykov, V.V., Numerical Study of the Optimal Control of a System with
Heterogeneous Servers, Autom. Remote Control, 2003, no. 2, pp. 302–309.
26. Efrosinin, D. and Breuer, L., Threshold Policies for Controlled Retrial Queues with
Heterogeneous Servers, Ann. Oper. Res., 2006, vol. 141, pp. 139–162.
27. В.В. Рыков, Д.В. Ефросинин, О проблеме медленного прибора // АиТ. 2009. №12. С.
81-92.
28. Фархадов М.П., Петухова Н.В., Ефросинин Д.В., Семенова О.В. Моделирование
гибридного центра связи с сервисами самообслуживания и пороговым управлением
размещения заявок // УБС. 2010. Специальный выпуск. (в печати).
6