СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Статсумма одномерной цепочки 3 6 2. Спин-спиновая корреляционная функция 7 3. Флуктуационно-диссипативное соотношение 8 4. Магнитная восприимчивость, теплоемкость и энтропия 10 5. Устойчивость упорядоченной одномерной системы 11 6. Метод матрицы переноса 13 7. Решеточный газ 15 8. Упорядочение в бинарных системах 16 Литература 18 Введение Многие системы, обладающие переходами типа «порядок-беспорядок», можно анализировать, используя модель Изинга. Она пригодна для описания фазового перехода в любой системе, характеризуемой набором переменных связанных с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле соответствующая переменная может принимать только два значения. Для ферромагнетика – это два возможных значения спина частиц, находящихся в узлах решетки. Узлы пронумерованы и каждый i-й узел решетки характеризуется переменной si = ±1 («+» если спин направлен «вверх» и « » если спин направлен «вниз»). По существу в модели Изинга спин – это одномерный единичный вектор, то есть рассматриваются только его проекции на какое-нибудь выделенное направление, обычно на направление поля h. Модель Изинга является простейшей и самой распространенной в статической физике моделью фазового перехода, с ней связанна богатая история. Она была предложена Ленцем (1920 г.) и исследована его дипломником Изингом с целью изучения фазового перехода из парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изиг рассчитал термодинамические свойства модели в одномерном случае и нашел (1925 г.), что в ней отсутствует фазовый переход. Однако в двухмерном и трехмерном случаях модель Изинга действительно обнаруживает фазовый переход из парамагнитного в ферромагнитное состояние при температури Кюри 𝑇𝑒 , связанной с проявлением спонтанной намагниченности в решеточной системе из спинов при 𝑇 < 𝑇𝑒 в отсутствие внешнего магнитного поля. Первое исследование ферромагнитных свойств двухмерной решетки Изинга было выполнено Пайерлсом (1936 г.) и затем развито Карамесом и Ванье (1941 г.). они точно определили температуру фазового перехода 𝑘∗𝑇𝑐 𝐽 = 2/ ln(1 + √2) = 2,269, где J- обменный интеграл. Онсагер (1944 г.) сделал следующий шаг в изучении статистической модели Изинга. Было показано, что точное вычисление свободной энергии приводит существенному отличию поведения термодинамических величин в окрестности фазового перехода от того которые предсказывается теориями, использующими приближенные методики, например метод среднего поля. 2 Важная роль статистической теории модели Изинга объясняется тем, что она находит применение при рассмотрении самых разнообразных магнитных и немагнитных систем. Сюда входят: ферромагнетики; антиферромагнетики; ферримагнетики; бинарные смеси и сплавы в которых атомы двух элементов могут замещать друг друга в фиксированных узлах решетки (в этом случае модель используется для изучения процессов упорядочения и разупорядочения атомов в сплавах); решеточная модель жидкости; решеточный газ (это система служит для модельного описания критической точки жидкость-газ); модель перколяции (объекты-узел целый или блокированный); «плавление» ДНК. Самыми существенными факторами, определяющими широкое использование модели Изинга для объяснения различных явлений, являются наблюдающиеся в модели кооперативные явления и фазовые переходы, а так же возможность ее точного математического рассмотрения. Поэтому статистика модели Изинга занимает видное место среди других вопросов статистической механики. Пусть узлы одномерного изинговского магнетика, выстроены вдоль одной прямой (цепочкой), имеют равные по модулю магнитные моменты, ориентированные вдоль некоторой оси. Граничные условия цепочки зададим как (оборванные концы), что подразумевает изолированный магнитный кластер. В настоящей работе учитывается ближнее взаимодействие и взаимодействие вторых соседей, энергия магнетика имеет вид: (1) Где N- количество узлов в одномерном магнетике; i- номер узла; 𝑆𝑖 проекция безразмерного вектора спинового магнитного момента i-го узла на ось z, в доль которой направлена напряженность внешнего магнитного поля; 3 ℎ = ℎ𝑧 - проекция напряженности магнитного поля на ось z; 𝑗1 - энергия взаимодействия ближайших соседей, 𝑗2 - энергия взаимодействия вторых соседей. Энергия магнетика выражается через энергию взаимодействия ближайших соседей (2) Тогда (3) Где H – безразмерная проекция магнитного поля, энергии взаимодействия выраженная через энергию взаимодействия. Если энергия взаимодействия ближайших соседей положительна, то перед вторым слагаемым в энергии магнетика ставится знак «−«, если отрицательная то знак «+». 4 1. Статсумма одномерной цепочки Итак, классические феноменологические теории фазовых переходов (Ван-дер-Ваальса и Кюри-Вейсса) соответствуют простой модели межчастичных взаимодействий, основанной на довольно неправдоподобном предположении, согласно которому каждая частица одинаково взаимодействует со всеми остальными частицами системы. Такая грубая модель приводит к значениям критических показателей, которые не зависят от размерности системы и не соответствуют многим экспериментальным данным. Например, экспериментальное значение для критических показателей для перехода пар- жидкость близко к величине 0,3 в то время как теория среднего поля предсказывает значение 0,5. Поэтому желательно рассмотреть более реальную модель межчастичных взаимодействий. Самой простой такой моделью является модель Изинга, для которой получены точные решения в одномерном и двумерном случаях. Рассмотрим решение модели Изинга для одномерной линейной цепочки взаимодействующих спинов. Гамильтониан одномерной цепочки из N спинов, каждый из которых взаимодействует только с двумя ближайшими соседними спинами, запишем в виде: , 𝜎i =𝜎 ±1 (1.1) Цель расчета - получить статсумму для такой цепочки. , (1.2) где β – обратная температура. Найдем рекурентное соотношение, связывающее статсумму ZN c статсуммой ZN+1 . (1.3) Последнее суммирование по σN+1 дает (1.4) Принимая во внимание, что ch(x) = ch(-x) и что N = 1, получаем 5 ch(βJNσN) = ch(βJN). Следовательно ZN+1 = ZN 2ch(βJN) (1.5) Отсюда следует ZN+1 =Z1 2N ch(βJ1) ch(βJ2)...ch(βJN ) (1.6) Z1 =2, т.к. это просто число состояний для одного изолированного спина. Итак окончательно получаем (1.7) В случае одинакового взаимодействия ( Ji =J для всех i) ZN=2N chN-1 (βJ) (1.8) 2. Спин-спиновая корреляционная функция Вычислим двухспиновую корреляционную функцию (1.9) Здесь для краткости мы ввели символ , который означает N суммирование по всем 2 состояниям, т.е соответствует N-кратной сумме по спинам i в предыдущих формулах. Сначала рассмотрим корреляцию соседних спинов (1.10) 6 Аналогично можно получить и общую формулу (1.11) В формулах (1.10) и (1.11) для упрощения выкладок положено β=1, что не влияет на конечный результат. Дифференцируя (1.7), получим (1.12) Для однородной цепочки (1.13) Теперь будем искать температуру, при которой устанавливается дальний порядок. С точностью до постоянного множителя намагниченность М равна (1.14) Можно показать, что (1.15) где М0 М(Т=0, Н=0) – максимальное значение намагниченности для полностью упорядоченной системы спинов, а величину называют параметром порядка. Из (1.12) и (1.13) видно, что при конечных значениях параметров β и Ji, каждый член произведения th( Ji)<1, и, следовательно, = 0 при всех конечных температурах. При Т=0, βJi и 1. Таким образом при Т=0 намагниченность скачком достигает значения = 1. 3. Флуктуационно-диссипативное соотношение. Найдем магнитную восприимчивость в нулевом поле 7 (1.16) Для этого, казалось бы, нужно сначала найти намагниченность в ненулевом магнитном поле, т.е. вычислить статистическую сумму для модели Изинга во внешнем магнитном поле. Однако есть более простой путь, который состоит в том, чтобы воспользоваться флуктуационнодиссипативным соотношением: (1.17) Для вывода этой формулы запишем намагниченность в соответствии с (1.14) как среднее по распределению Гиббса (1.18) где гамильтониан системы представлен в виде суммы гамильтониана без поля Н0 и члена, описывающего взаимодействие спинов с внешним магнитным полем Н. (1.19) где . Далее, выполнив дифференцирование в соответствии с (1.16), получим: (1.20) Принимая во внимание, что (1.21) 8 и что , (1.22) далее подставляя (1.21) и (1.22) в (1.20), получим (1.23) (1.24) Учитывая, что получим (1.25) 4. Магнитная восприимчивость, теплоемкость и энтропия Для случая однородной цепочки (1.26) Подставляя (1.26) в (1.25) и произведя предварительное суммирование с учетом того, что при всех конечных значениях температуры М=0, получим (1.27) Далее, используя формулы геометрической прогрессии (1.28) окончательно получим 9 (1.29) Таким образом в термодинамическом пределе при N восприимчивость имеет существенную особенность вблизи критической температуры ТC = 0 в нулевом магнитном поле (1.30) Рассмотрим поведение теплоемкости вблизи ТC =0 (1.31) Аналогично можно найти выражение для энтропии: (1.32) При T S Nln2, а при Т 0 получим (1.33) 5. Устойчивость упорядоченной одномерной системы Таким образом в одномерной модели Изинга фазовый переход не имеет место. Это довольно легко обосновать из самых общих соображений, основанных на том, что равновесное состояние термодинамической системы отвечает минимуму свободной энергии. Предположим, что при некоторой конечной температуре все спины имеют значение i =1, i=1 N. Термодинамическая неустойчивость этого состояния следует из того, что изменение свободной энергии при перевороте всех спинов, имеющих i>k равно F= E - T S (1.34) 10 где E – изменение энергии системы, а S – изменение энтропии. Учитывая, что число способов, которыми можно сделать такое разупорядочение, равно N, и, следовательно, изменение энтропии равно lnN, а изменение энергии равно 2J (т.е. не зависит от N), получаем F=2J – TlnN (1.35) Для любого конечного значения J при достаточно больших значениях N изменение свободной энергии становится отрицательным. Следовательно, упорядоченное состояние одномерной цепочки Изинга является термодинамически неустойчивым, т.к. оно не соответствует минимуму свободной энергии. Основываясь на подобного рода рассуждениях, можно показать, что для двумерной решетки Изинга должна существовать конечная температура, ниже которой упорядоченное состояние становится термодинамически устойчивым. Рассмотрим некоторый замкнутый контур, который ограничивает на плоской решетке область инвертированных спинов рис. 1.1 рис.1. Пусть длина этого контура L, то есть контур пересекает L связей обменного взаимодействия соседних спинов. Изменение энергии решетки при таком инвертировании спинов равно 2JL, а изменение энтропии пропорционально логарифму числа способов выбора области с данной 11 длиной границы. Так как при выборе границы в каждом узле двумерной решетки имеется три варианта выбора направления движения, то число способов выбора данной области пропорционально 3L. Следовательно, изменение свободной энергии решетки (1.36) и F>0 при условии: (1.37) Ясно, что это очень грубая оценка температуры фазового перехода в двумерной решетке, и результат должен зависеть от конкретной структуры решетки, однако совершенно очевидна существенная роль размерности системы. 6. Метод матрицы переноса. Точное решение для двумерной решетки Изинга было получено Онзагером в 1944 году. Исходным моментом вывода Онзагера является метод матрицы переноса, который мы продемонстрируем ниже на примере вывода статистической суммы для одномерной цепочки Изинга в магнитном поле. Полный вывод Онзагера весьма сложен, и в нашу задачу не входит его подробный разбор. Отметим лишь, что значительно более простое решение было дано Н.В.Вдовиченко в 1965 году. Значение критических индексов для двумерной модели Изинга будут обсуждаться в следующей лекции (см. таб. 6.1). Рассмотрим одномерную замкнутую цепочку Изинговых спинов в постоянном внешнем магнитном поле. Замкнутая цепочка предполагает периодическое граничное условие . Гамильтониан системы (1.38) представим в виде (1.39) 12 где введено обозначение (1.40) Статсумму можно записать в виде (1.41) или вводя функцию (1.42), получим (1.43) Функцию (1.42) можно рассматривать как представление матрицы переноса размера 2х2, элементы которой нумеруются значениями +1 и –1 переменных вектора состояния i и i+1: (1.44) Тогда выражение для статсуммы (1.43) можно рассматривать как след Nкратного произведение матрицы f, который, как известно, равен сумме собственных значений матрицы fN. Если - суть собственные значения матрицы f, то собственные значения матрицы fN – это просто N. Решая характеристическое уравнение для матрицы (1.44), находим, что (1.45) Статсумма при N (1.46) В нулевом магнитном поле для замкнутой цепочки спинов получаем (1.47) 13 В термодинамическом пределе при N свободная энергия разомкнутой цепочки и замкнутой цепочки имеет одинаковый вид: (1.48) 7. Решеточный газ Формализм модели Изинга можно использовать не только для анализа поведения магнитных систем, но, например, для исследования проблемы конденсации газ-жидкость или упорядочения бинарных сплавов. Рассмотрим модель, которая называется решеточным газом. Представим, что некоторый объем V, в рамках которого рассматривается фазовый переход газ-жидкость, разбит на элементарные ячейки объема v, приближенно равного значению обратной плотности жидкой фазы. Каждая i-ая ячейка может находиться в одном из двух состояний – занятом молекулой, тогда переменная si для этой ячейки равна 1, и свободном – в этом случае si=0. Две молекулы в одной и той же ячейке находиться не могут. Далее дихотомическую переменную изинговского спина i свяжем с переменной si следующим соотношением: (1.49) Условие нормировки, которому должна удовлетворять переменная si, обеспечивает сохранение заданного числа молекул решеточного газа: (1.50) где n – число элементарных ячеек, а N – число молекул решеточного газа. Если две молекулы находятся в соседних ячейках, то потенциальная энергия их взаимодействия равна –J, во всех остальных случаях молекулы считаются невзаимодействующими. Таким образом, потенциал межмолекулярного взаимодействия удовлетворяет реальным физическим условиям, т.е. отталкивание на малых расстояниях, притяжение на средних межмолекулярных расстояниях и отсутствие взаимодействия на больших расстояниях. Потенциальную энергию решеточного газа можно представить в следующем виде: (1.51) 14 где gij=1, если ячейки i и j являются соседними, в противном случае gij=0. Статсумма большого канонического распределения Гиббса, соответствующая газу взаимодействующих частиц, занимающему объем V при температуре Т, есть (1.52) где n - химический потенциал, ZN0 - статсумма идеального газа, QN – конфигурационный интеграл (см. формулы (1.4) и (1.5) предыдущей лекции). Выражение (1.52) можно свести к статсумме соответствующей модели Изинга подстановкой в QN потенциала (1.51) и заменой интегрирования по объему V суммированием по переменным si с учетом нормировки (1.50). Более детально результаты применения такого подхода к описанию фазового перехода газ-жидкость представлены в решении задачи 1.3. 8. Упорядочение в бинарных системах Еще одним примером применения модели Изинга является фазовый переход порядок-беспорядок в бинарных системах. Для жидких бинарных систем это фазовое расслоение смеси двух жидкостей, а для твердых – явление упорядочения бинарного сплава. Оба эти процесса можно рассмотреть с единой термодинамической точки зрения. Пусть каждый из N узлов решетки может быть занят молекулой A или олекулой В (рис.1.2). рис.1.2. Если NA- число молекул A в системе, то NB = N - NA – число молекул B. Так же как и в случае решеточного газа предполагается, что взаимодействуют только молекулы, находящиеся в соседних узлах решетки. В зависимости от соотношения между потенциалами взаимодействия частиц разного типа uAB и частиц одного типа uAА и uВB при достижении критической температуры будет наблюдаться либо фазовое расслоение (рис. 1.2с), 15 , (1.53) либо образование двух взаимопроникающих упорядоченных подрешеток частиц А и частиц В, при условии (1.54) Для сведения этой задачи к модели Изинга вводится новая переменная i, которая может принимать два значения i 1 в зависимости от того, частица какого сорта находится в i-том узле решетки. Например, (1.55) Если потенциал взаимодействия двух соседних узлов решетки представить в виде (1.56) то uAA=a+b+c, uBB=a-b+c, uAB=-a+c (1.57) Выполнение одного из соотношений (1.53) и (1.54) определяется выбором параметров a, b, с. Из (1.57) следует (1.58) Дальнейшая подстановка потенциала (1.56) в соответствующую статсумму приводит задачу ее вычисления к модели Изинга. Конкретный пример такого расчета можно найти в задаче 1.4. 16 Литература 1. Хакен Г. Синергетика. (М. ; Мир, 1980). 2. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. (М.; Янус, 1995). 3. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. (М. ; Мир, 1973). 4. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах (М. ; Мир, 1979). 5. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. (М. ; Мир, 1979). 6. Поплавский Р.П. Термодинамика информационных процессов. (М.; Наука, 1981) 7. Наука, 1990). 8. Толедано Ж-К, Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. (М. ; Мир, 1994). 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. (М.; Наука, 1995). 10.Хайтун С.Д. Механика и необратимость. (М.; Янус, 1996). 11.Капица С.П. и др. Синергетика и прогнозы будущего. (М.; Наука, 1997). 12.Литература 13.1 Парсонидж Н., Стейвли Л. Беспорядок в кристаллах. – М.: Мир, 1982, 436 с. 14.2 Спирин Д.В. Особенности критической динамикм изинговских наноразмерных магнетиков. 15.Автореферат диссертации, … канд. физ.-мат. наук. Томск, 2008 18 с. 16.Панченко Т.В. Сравнительный анализ эффективности генетических алгоритмов и алгоритма 17.Метрополиса применительно к задачам физики твердого тела: Автореф. дисс. … канд. физ.18.мат. наук: Астрахань, 2007, 18 с. 19.5 Спирин Д.В. Кинетические свойства малого одномерного изинговского магнетика // Д.В. 20.Физика. – Томск, 2005 – Т. 48 – № 4 – С.65-69. 21.6 Гаевский А.Ю. Модель Изинга с анизотропным многоспиновым взаимодействием в теории 22.плотноупакованных структур. Основное состояние, энергия дефектов упаковки 23.7 Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. 2-е изд. – 24.М.: Наука, 1982, 382 с. 25.8 Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. – М: Мир, 1988, 487 с. 17
